Download - Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi ...lppm.ikipmataram.ac.id/wp-content/uploads/2015/03/Zainal-Abidin... · Apabila semua syarat di atas dipenuhi, maka menunjukkan

Transcript

© 2015 LPPM IKIP Mataram

Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi Setelah Dilakukan Uji F Awal

Zainal Abidin

Pendidikan Matematika, FPMIPA IKIP MATARAM

Email: [email protected]

Abstract: Consider a linear regression model whit regrssion parameter β = (β1, ...,βp) and independent normal

errors. Suppose the parameter of interest is θ = , where a is specified. Define the s-diminsional parameter

vector , where C and t are specified. Suppose that we carry out a preliminary F test of the noll

hypothesis against the alternative hypothesis H1: . It is common statistical practice to then

construck a confidence interval for θ with nominal coverage 1 – α, using the same data, based on the

assumption that the selected model had been given to us a priori (as the true model). We call this the naive

confidence interval for . This assumption is false and it may lead to this confidence interval haveing

minimum coverage probability far below , making it completely inadequate. Our aim is to compute this

minimum coverage probability.

Abstrak: Ditentukan sebuah model regresi linier dengan parameter regresi β = (β1, ...,βp) dan eror normal

independen. Anggap parameter yang diinginkan adalah θ = , dimana diketahui. Ditentukan vektor

parameter dengan dimensi s adalah , dimana C dan t diketahui. Anggap bahwa kita telah

melakukan suatu uji F awal dari hipotesis nol melawan hipotesis alternatif H1: . Hal ini

merupakan praktek statistika umum yang selanjutnya membentuk interval konfidensi untuk θ dengan luas

cakupan nominal 1 – α, dengan menggunakan data yang sama, berdasarkan asumsi bahwa model yang dipilih

telah diberikan untuk menjadi prior (sebagai model yang sebenarnya). Kita menyebut ini sebagai naive interval

konfidensi 1 – α untuk θ. Asumsi ini salah dan dapat mengakibatkan interval konfidensi ini memiliki

probabilitas luas cakupan (coverage) minimum yang jauh di bawah 1 – α, sehingga membuatnya benar-benar

tidak cukup atau tidak memenuhi.

Kata kunci: analisis kovarian, naive interval konfidensi, uji F awal

Pendahuluan

Diketahui model regresi linier ,

dengan Y adalah n vektor random dari

variabel respon, sedangkan X adalah sebuah

matriks ukuran n × p yang diketahui dengan

kolom-kolom yang saling independen secara

linier, β adalah p vektor dari parameter yang

tidak diketahui, dan adalah vektor

gangguan dengan asumsi bahwa mean sama

dengan nol dan menpunyai variansi adalah

atau dinotasikan dengan .

Dimana σ2 adalah parameter positif yang

tidak diketahui. Dan kita anggap pula bahwa

parameter yang diinginkan yaitu

dimana adalah p vektor yang diberikan (

≠ 0). Kita akan mencari interval konfidensi 1

– α untuk θ.

Diketahui vektor parameter ber-

dimensi s adalah yang didefinisikan

sebagai dimana C adalah matriks p

× s yang ditetapkan (s < p) dengan kolom-

kolom yang independen secara linier dan t

adalah s vektor yang ditetapkan. Anggap

bahwa bukan bagian dari ruang bagian

linier yang dibangun atau direntangkan oleh

kolom-kolom dari C. Dengan melakukan uji

F awal dari hipotesis nol melawan

hipotesis alternatif H1: . Dan selanjut-

nya dibentuk interval konfidensi untuk

parameter θ dengan luas daerah cakupan

nominal adalah 1 – α, dan dengan meng-

gunakan data yang sama, dengan asumsi

bahwa model yang dipilih telah diberikan

untuk menjadi prior (model yang

sebenarnya). Kita menyebut interval yang

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

326

dibentuk setelah dilakukan uji F awal

sebagai naive interval konfidensi 1 – α untuk

parameter θ.

Naif interval konfidensi 1 – α untuk

parameter θ adalah interval kepercayaan

yang di dapatkan atau di kostruksi setelah

dilakukan suatu uji F terhadap parameter θ

dalam suatu model regresi. Dan memiliki

nominal luas cakupan yang mungkin

berbeda atau sama dengan luas cakupan

interval konfidensi sebelum dilakukan uji F.

Yang menjadi permasalahan berdasarkan

ulasan diatas adalah berapa probabilitas luas

cakupan dari naive interval konfidensi yang

di dapatkan setelah dilakukan uji F tersebut.

Probabilitas

2.1.1 Teori Probabilitas

Diberikan sebuah ruang sampel dari suatu

percobaan random dan sebuah -field

. Himpunan didalam disebut peristiwa.

Pada peristiwa dipasangkan dengan

sebuah bilangan real yang menyatakan

ukuran numerik dari kemungkinan hasil-

hasil percobaan akan menjadi anggota A,

dan selanjutnya disebut probabilitas dari

peristiwa A. Probabilitas dari suatu peristiwa

dapat diinterpretasikan atas dasar konsep

frekuensi relatif dan dapat pula didefinisikan

secara aksiomatik.

Definisi 2.1.1 Misalnya S menun-

jukkan ruang sampel eksprimen dan

menunjukkan kumpulan semua peristiwa

yang bisa dibentuk dari S. Probabilitas P(.)

adalah sebuah fungsi dengan domain dan

daerah hasil [0.1], yang memenuhu sifat-

sifat sebagai berikut:

i. P(A) 0, untuk setiap (2.1.1)

ii. P(S) = 1 (2.1.2)

iii. Jika adalah m buah

peristiwa yang saling asing dalan

(dalam arti

)

⋃ ∑

(2.1.3)

2.1.2 Sifat-sifat Probabilitas

Misalkan S adalah ruang sampel

eksperimen, A adalah kumpulan semua

peristiwa yang bisa dibentuk dari S, dan P(.)

adalah peluang sebuah peristiwa, maka

berlaku sifat-sifat berikut:

Teorema 2.1.2a Jika peristiwa himpunan

kosong dinyatakan dengan , maka:

Teorema 2.1.2b Jika A adalah sebuah

peristiwa dan adalah complemen, maka:

Teorema 2.1.2c Untuk setiap dua peristiwa

dan dalam suatu ruang sampel berlaku:

Teorema 2.1.2d Jika , maka:

Teorema 2.1.2e (Ketaksamaan Bonferroni’s)

Jika , ,...., adalah peristiwa, maka:

(⋂

) ∑

2.1.3 Probabilitas Bersyarat

Jika kita menghitung probabilitas

sebuah peristiwa, maka penghitunggannya

selalu didasarkan pada ruang sampel

eksperimen. Apabila A adalah sebuah

peristiwa, maka penghitungan probabilitas

dari peristiwa A selalu didasarkan pada

ruang sampel S. Akibatnya, peluang dari

peristiwa A ditulis selengkapnya dengan

| , artinya peluang dari peristiwa A

Zainal Abidin, Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi

327

diberikan S. Penulisan | dinamakan

peluang bersyarat.

Definisi 2.1.3. Jika A dan B adalah dua

peristiwa yang dibentuk dari ruang sampel

S, maka peluang bersyarat dari B diberikan

A didefinisikan sebagai:

|

Dalam hal ini, berarti kita ingin

menghitung probabilitas peristiwa B, apabila

peristiwa A sudah terjadi. Atau kita juga

dapat menyatakan bahwa probabilitas

peristiwa A dan B kedua-duanya terjadi

sama dengan probabilitas peristiwa A terjadi

dikalikan dengan probabilitas peristiwa B

apabila peritiwa A telah terjadi. Dalam hal

ini, kita dapat menuliskannya sebagai

berikut.

|

2.1.4 Aturan Bayes

Pehitungan peluang bersyarat Bayes

didasarkan pada beberapa peristiwa yang

merupakan partisi dari suatu ruang sampel.

Jika diketahui S adalah suatu ruang

sampel dan kejadian-kejadian dan

adalah suatu peristiwa dari ruang sampel S

Definisi 2.1.4 Peristiwa-peristiwa , ,

, ... , dikatakan partisi dari ruang

sampel, S jika :

.

Apabila semua syarat di atas dipenuhi, maka

menunjukkan partisi dari

suatu ruang sampel S.

Teorema 2.1.4.1 (Total Peluang) Jika

peristiwa-peristiwa me-

rupakan partisi dari suatu ruang sampel Ω,

maka peluang dari peristiwa A yang

sembarang dari S adalah:

∑ |

Teorema 2.1.4.2 Jika peristiwa-peristiwa

merupakan partisi dari

suatu ruang sampel S, maka untuk peristiwa

A yang sembarang dari S sedemikian hingga

berlaku:

| |

∑ |

2.1.5 Probabilitas Dua Kejadian yang

Independen

Dalam pembicaraan sehari-hari, dua

buah peristiwa dikatakan bebas, jika

terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa

yang satu tidak dipengaruhi oleh terjadinya

peristiwa yang lain.

Sebenarnya perumusan dua peristiwa

yang saling bebas didasarkan pada

perumusan perkalian dari peluang bersyarat,

yaitu | . Karena

dua peristiwa A dan B saling bebas, maka

dalam penghitungan | terjadinya

peristiwa A tidak dipengaruhi oleh

terjadinya peristiwa B. Sehingga peristiwa A

diberikan peristiwa B akan merupakan

peristiwa A itu sendiri. Akibatnya,

| atau | .

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

328

Definisi 2.1.4 Jika A dan B dua kejadiaan

dengan dan , maka A

dan B dikatakan independen jika dan hanya

jika:

Teorema 2.1.5 Bila A dan B dua kejadian

independen maka:

i. dan independen

ii. dan independen

iii. dan independen

Interval konfidensi

Definisi 2.2.1. Estimasi interval parameter

adalah pasangan fungsi dan

dari sampel yang

memenuhi untuk semua

. Jika dari terobservasi dapat dibuat

estimasi interval.

Definisi 2.2.2. Jika dan adalah

dua statistik yang memenuhi persamaan

[ ] , dimana

adalah suatu bilangan yang ditetapkan

sebelumnya antara 0 dan 1, dan jika nilai-

nilai yang diobsevasi dari dua statistik

tersebut adalah dan ,

maka [ ] disebut interval konfidensi

untuk dengan konfidensi kepercayaan .

Definisi 2.2.3. Misalkan

hanya

tergantung pada dan

adalah konstanta

dengan syarat . dikatakan

himpunan konfidensi untuk dengan taraf

. Peluang pada sisi kiri persamaan

Definisi 2.3 dikatakan cakupan peluang pada

. Jika persamaan Definisi 2.3 diperoleh

maka dikatakan himpunan konfidensi

dengan koefisien konfidensi taraf

biasa dikatakan himpunan konfidensi .

2.2.1 Metode Tes Inversi Untuk Interval

Konfidensi

Untuk mencari suatu estimator

interval, Statistisi memperkenalkan suatu

metode yaitu inversi uji statistik. Karena

diketahui hubungan yang erat antara uji

hipotesis dengan estimasi interval. Kita

dapat menyatakan bahwa setiap interval

konfidensi berhubungan dengan uji hipotesis

dan sebaliknya. Untuk melihat hubungan itu

perhatikan contoh berikut.

Untuk melihat lebih formal hubu-

ngan antara interval konfidensi dengan

hipotesis ini berikut diberikan suatu teorema

Teorema 2.2.1. Untuk setiap ,

misalkan adalah daerah penerimaan

taraf dari uji . Untuk setiap

, didifinisikan himpunan dalam

ruang parameter dengan

maka himpunan random adalah

interval konfidensi . Sebaliknya

misalkan adalah interval konfidensi

. Untuk setiap ,

didefinisikan

maka adalah penerimaan taraf

untuk uji .

Kenyataan bila dibangun himpunan

kepercayaan dengan tes inversi kita akan

mempinyai uji hipotesis alternatif

atau . Bentuk alternatif uti

akan membawa ke bentuk yang dapat

diterima dan bentuk akan menentukan

.

Daerah Konfidensi

Konsep pada sebuah interval

konfidensi dapat kita perumum menjadi

Zainal Abidin, Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi

329

sebuah daerah kepercayaan, pada kasus

multi-dimensi untuk parameter (mean,

variansi).

Teorema 2.3 Diberikan

adalah n variabel random yang i.i.d. dengan

p.d.f. . Untuk setiap

, dangan uji pada

level dan diberikan daerah

penerimaan. Himpunan ,

, dan diberikan

. Maka adalah daerah

konfidensi untuk dengan tingkat

kepercayaan .

Regresi

2.4.1 Regresi Parametrik

2.4.1.1 Regresi Linier Sederhana

Dalam regresi linier sederhana, kita

mencoba memodelkan hubungan antara dua

variabel random, seperti penghasilan dan

tingkat pendidikan, tinggi dan berat badan

seseorang, lebar dan panjang dari amplop,

suhu dan hasil dari proses industri,

ketinggian dan titik didih air, atau juga dosis

obat-obatan dan reaksinya. Untuk hubungan

linier ini, kita menggunakan bentuk model

yi = β0 + β1xi + εi i

= 1, 2, .... , n

dimana yi adalah variabel terikat

(bergantung) atau respon dan xi adalah

variabel bebas atau prediktor. Variabel

random ε merupakan error dalam model.

Dalam konteks ini, error bukan berarti

kesalahan tetapi merupakan istilah statistik

untuk merepresentasikan ketidaktetapan

acak, error dalam pengukuran, atau efek dari

variabel luar yang tidak bisa kita kontrol.

Untuk melengkapi model diatas, kita

membuat asumsi tambahan:

1. E (εi ) = 0 untuk i = 1,2,...,n, atau

ekuivalen dengan E (yi) = β0 + β1xi

2. Var (εi ) = σ2 untuk i = 1,2,...,n,

ekuivalen dengan var (yi) = σ2

3. Cov (εi, εj) = 0 untuk i ≠ j, ekuivalen

dengan cov (yi, yj) = 0

2.4.1.1a Estimasi Parameter Regrei Linear

Sederhana

Menggunakan sample random pada n

observasi y1, y2, ... , yn dan nilai tetap x1, x2,

..., xn, kita dapat mengestimasi parameter β0

dan β1. Untuk memperoleh dan , dapat

digunakan metode kuadrat terkecil, yang

tidak memerlukan persyaratan asumsi

distribusi manapun. Pada kuadrat terkecil,

kita mencari dan yang

meminimumkan kuadrat jumlah yi - untuk

n observasi yi dari prediksi nilai = +

xi :

∑ ( )

Perhatikan bahwa mengestimasi E(yi),

bukan yi,, dan + xi mengestimasi β0 +

β1xi bukan β0 + β1xi + εi .Untuk menemukan

nilai dan yang meminimumkan

pada persamaan diatas, kita differensialkan

masing-masing terhadap dan dan

hasilnya disamakan dengan 0 :

∑ ( )

Persamaan diatas menjadi,

Selanjutnya, turunkan terhadap dan

samakan dengan nol,

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

330

∑( )

Maka,

2.4.1.2 Regresi Linier Berganda

Diberikan n pengamatan

; ; ,

pandang model regresi

. Dengan variabel

respon, variabel prediktor, dan sesatan

random tidak terobservasi yang diasumsikan

tidak berkorelasi dengan mean nol.

Didasarkan pada pengamatan

model (2.4.1.2.1)

berbentuk

. Dalam model

(2.4.1.2.1) variabel X dapat merupakan

variabel random atau bukan. Untuk pertama

akan dibahas variabel X tidak random.

Dalam notasi matrik model (2.4.1.2.2) dapat

ditulis sebagai berikut, yaitu

dengan merupakan

vektor respon berukuran n x 1,

merupakan vektor sesatan

random dan disini diasumsikan mempunyai

mean nol dan varian-covarian dan

[

]

merupakan matrik dalam bentuk n x p.

2.4.1.2.1 Estimasi Kuadrat Terkecil

Salah satu metode untuk mendapat-

kan suatu estimasi vektor parameter alah

satu metode untuk mendapatkan suatu

estimasi vektor parameter adalah

meminimumkan ∑

terhadap ; yaitu,

misalkan .

Meminimumkan

‖ ‖ . Jadi prinsip metode

kuadrat terkecil adalah menentukan

sehingga selisih nilai yang diharapkan

dengan nilai observasi menjadi minimum.

Dengan kata lain, parameter ditentukan

sehingga jumlah kuadrat sesatan yaitu:

‖ ‖

minimum.

Dari

Maka,

(2.4.1.2.1)

Dengan asumsi bahwa X adalah matriks

bertipe n x p dengan rank p, difinite

positif, diperoleh merupakan matriks

non singular. Akibatnya persamaan (2.3.1a)

mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu:

Teorema 2.4.1.2

(a). P dan merupakan matrik simetris

dan indempoten.

(b). Rank [ ] [ ]

(c).

2.4.1.2.2 Sifat Estimasi Kuadrat Terkecil

Estimasi kuadrat terkecil memiliki

beberapa sifat antara lain:

(a). Estimasi kuadrat terkecil merupakan

estimasi tak bias untuk , sebab,

( )

(b). Matriks varian-koparian estimasi

kuadrat terkecil tergantung pada

variansi variabel random sesatan dan

Zainal Abidin, Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi

331

matriks X, artinya ( )

,

(c). Estimasi kuadrat terkecil merupakan

estimator linear tak bias dengan variansi

minimum dan tunggal.

2.4.2 Regresi Non Paramerik

Diberikan n pengamatan

; ; .

Pandang model regresi : ,

. Dengan variabel

predikator dan adalah sesatan random

tidak terobservasi yang diasumsikan tidak

berkorelasi dengan mean nol.

Dalam regresi non parametrik tidak

ada asumsi tentang bentuk fungsi regresi

m(.). Fungsi regresi m(.) umumnya hanya di

asumsikan termuat dalam suatu rauang

fungsi yang berdimensi tak hingga. Untuk

mengkonstruksi model regresi non para-

metrik terlebih dahulu dipilih ruang fungsi

yang sesuai yang mana fungsi regresi m(.)

dinyatakan termasuk didalamnya. Pemilihan

ruang fungsi ini biasanya dimotivasi oleh

sifat kelicinan (smoothness) dan kemudian

digunakan untuk mengestimasi fungsi m(.)

dengan tehnik smoothing tertentu.

2.4.3 Regresi Linier Parsial

Model regresi linier parsial didefi-

nisikan dalam bentuk

(2.2.3a). Dimana

( )

dan ( )

merupakan vektor dari variabel penjelas,

merupakan titik random yang i.i.d

(independent and identically distributed)

atau titik yang ditetapkan. ( )

adalah vektor dari parameter yang tidak

diketahui, g adalah fungsi yang tidak

diketahui dari ke R1, dan ε1, ... , εn adalah

error random yang independen dengan rata-

rata 0 dan variansi terbatas σ2 = E (εi

2).

Pembahasan

3.1 Naive Interval Konfidensi

Dalam bagian ini kita memberikan

sebuah gambaran tentang naive interval

konfidensi 1 – α yang dibentuk setelah uji F

awal. Ditentukan menyatakan estimator

kuadrat terkecil dari β. Diketahui

( ) . Diberikan

dalam arti m adalah banyaknya sampel acak

yang diberikan. Ditentukan ∑

⁄ ( ) ⁄ . Juga,

ditentukan serta .

Kita anggap bahwa kolom matriks C

independen secara linier. Kita juga

menganggap bahwa bukan merupakan

bagian dari subruang linier yang dibangun

oleh kolom-kolom dari C. Sekarang

ditentukan matriks (s + 1) × (s + 1)

[

]

([

] [ ])

Perhatikan bahwa ,

dan

.

Ditentukan β* adalah nilai β yang

meminimalkan R(β) berdasarkan batasan

bahwa = CTβ – t = 0. Seperti yang

diketahui (contohnya lihat Graybill, 1976,

p.222)

( ) ( )

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

332

Statistik uji standar untuk pengujian H0:

melawan adalah

( ) ⁄

Statistik uji ini berdistribusi

berdasarkan H0. Anggap bahwa kita

menolak H0 ketika dan menerima H0

untuk sebaliknya, dimana adalah nilai

positif yang ditentukan.

Ditentukan . Juga

ditentukan kuantil t(m) berdasarkan syarat

bahwa ( )

untuk . Naive interval konfidensi 1 – α

untuk θ didapatkan sebagai berikut.

Anggap bahwa . Interval

konfidensi disusun berdasarkan asumsi

bahwa = 0 tidak perlu benar. Dalam hal

ini, naive interval konfidensi 1 – α adalah

merupakan interval konfidensi 1 – α yang

biasa untuk θ berdasarkan pada penyesuaian

model penuh,

[ √ ∑ √ ∑]

Sekarang anggap bahwa . Interval

konfidensi disusun berdasarkan asumsi

bahwa = 0. Jika = 0 maka

dan

. Perhatikan bahwa dan

adalah variabel random yang saling

independen. Kita menggunakan notasi

[ ] untuk interval [ ]

. Dalam hal ini, naive interval konfidensi

1 – α untuk θ adalah

[ √

]

[ √

]

3.2 Probabilitas Cakupan Naif Interval

Konfidensi

Ditentukan

dan

∑ . Diketahui fW menotasikan fungsi

kepadatan peluang dari W. Ditentukan

‖ ‖ √ . Sedemikian sehingga

‖ ‖

Sehingga

‖ ‖ [ ]. Di asumsikan

bahwa vektor bukan merupakan bagian

dalam subruang linier yang dibangun oleh

kolom C, yang menunjukkan bahwa

‖ ‖ . Sehingga, kita dapat

mengasumsikan bahwa ‖ ‖ [ ] .

Kemudian ditentukan

‖ ‖

Dimana ‖ ‖ , dan

Zainal Abidin, Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi

333

‖ ‖ √

√ ‖ ‖

√ ‖ ‖

Ditentukan sebagai fungsi kepadatan

peluang dari √ ketika . Diketahui

B(a, b) menyatakan fungsi beta. Ditentukan

fungsi kepadatan peluang sebagai

( )

Untuk s ≥ 3, ditentukan fungsi kepadatan peluang sebagai

( )

Diketahui ⁄ ⁄ . Ditentukan

sebagai fungsi kepadatan peluang dari

distribusi khi kuadrat yang non sentral

dengan derajat bebas s dan parameter non

sentral . Juga ditentukan

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

Ditentukan vektor unit || ||⁄ .

Ketika || || , ditentukan ‖ ‖

dan selanjutnya . Ditentukan juga

ψ = 1 ketika ‖ ‖ . Sekarang, ketika

‖ ‖ , ditentukan

Teorema. Probabilitas cakupan dari naive

interval konfidensi 1 – α untuk θ adalah

.

Pernyataan yang tepat secara perhitungan

untuk bentuk kedua dalam penjumlahan ini

adalah

∫ ∫ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖

dan pernyataan yang tepat secara

perhitungan untuk adalah

sebagai berikut. Diketahui

√ ‖ ‖ Untuk s = 2,

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

334

∫∫ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖

Untuk s ≥ 3 dan ‖ ‖ , adalah sama dengan

∫∫ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖

Untuk s ≥ 3, ‖ ‖ 0 dan , (4)

∫∫ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖

Untuk s ≥ 3 dan , ‖ ‖

∫∫ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖

√ ⁄

Perhatikan bahwa untuk nilai ‖ ‖ yang

diberikan (yang ditentukan oleh dan X)

serta dan α, probabilitas cakupan

dari naive interval konfidensi 1 – α adalah

merupakan sebuah fungsi dari ‖ ‖ .

Simpulan dan Saran

Berdasarkan hasil dari pembahasan pada

bab-bab sebelumnya, maka dapat di ambil

kesimpulan bahwa :

4.1.1 Interval yang dikonstruksi setelah

dilakukan uji F pendahuluan

membentuk suatu interval yang kita

sebut naive interval konfidensi.

Dengan mengangap bahwa .

Interval konfidensi disusun

berdasarkan asumsi bahwa = 0 tidak

perlu benar. Dalam hal ini, naive

interval konfidensi 1 – α adalah

merupakan interval konfidensi 1 – α

yang biasa untuk θ berdasarkan pada

penyesuaian model penuh,

[ √ ∑ √ ∑]

Sedangkan untuk . Interval

konfidensi disusun berdasarkan asumsi

bahwa = 0. Jika = 0 maka

dan

. Perhatikan bahwa dan

adalah variabel random yang

saling independen. dan menggunakan

notasi [ ] untuk interval [

] . Dalam hal ini, naive

interval konfidensi 1 – α untuk θ

adalah

[ √

]

Zainal Abidin, Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi

335

[ √

]

4.1.2 Probabilitas cakupan dari naive

interval konfidensi dapat di tentukan

berdasarkan teorema” Probabilitas

cakupan dari naive interval konfidensi

1 – α untuk θ adalah

”, dengan luas

cakupan minimun dalam arti cakupan

dari naive interval komfidensi akan

lebih kecil dari besar interval

kepercanyan yang diberikan.

Dalam melakuan evaluasi tentang

keberlakuan dari persamaan dan teorema

mengenai probabilitis cakupan naive interval

utuk parameter yang berupa vektor baris

atau vektor kolom hendaknya menggunakan

program yang dikerjakan dalam MATLAB,

itu di karenakan peneliti akan berbicara

dalam ruang berdimensi n.

Daftar Pustaka

Chin, S.F., Storkson, J.M., Albright, K.J.,

Cook, M.E. & Pariza, M.W.:

Conjugate linoleic acid is a growth

factor for rats as shown by enhanced

weight gain and improved feed

effeciency. Journal of Nutrition 124,

2344 – 2349 (1994)

Fang, K.T. & Wang, Y.: Number-theoretic

Methods in Statistics. Chapman &

Hall, London (1994)

Farchione, D.: Interval estimators that

untilize uncertain prior information.

Un- published Ph.D. thesis,

Departement of Mathematics and

Statistics, La Trobe University

(2009)

Freund, R.J., Wilson, W.J. & Sa, P.:

Regression Analysis: Statistics

Modeling of a Response Variabel,

2ed ed.. Elsevier, Academic Press,

Burlington, Mass. (2006)

Graybill, F. A.: Theory and Application of

the Linear Model. Duxbury, Pacific

Grove, CA (1976)

Kabaila, P.: On the coverage probability of

cofidence intervals in regression

after variable selection. Australiaan

& New Zealand Journal of Statistics

47, 549-562 (2005)

Kabaila, P., Leeb, H.: On the Large-sample

minimal coverage probability of

confi-dence intervals after model

selection. Journal of the American

Statistical Association 101, 619-629

(2006)

Kabaila, P., Giri, K.: Upper bounds on the

minimum coverage probability of

con-fidence intervals in regression

after model selection. Australian &

New Zealand Journal of Statistics

51, 271 – 288 (2009)

Kabaila, P., Farchione, D.: The coverage

probabililty of confidence intervals

in regression after a preliminary F

tast. Departement of Mathematics

and Statistics, La Trobe University,

Victoria 3086, Australia

Herrhyanto, N., Gantini, T.: Pengantar

Statistika Matematika, CV. Irama

Widya

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

336

Knuth, D.E.: Two notes on notation.

American Matematican Monthly 99,

403–422 (1992)

Kuehl, R.O.: Design of Experiments:

Statistical Principles of Research

Design and Analysis, 2nd

ed..

Brooks/Cole, Pacific Grove, CA

(2002)