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Cardinales invariantes del continuo
Diego A. Meja
Universidad Tecnologica de Viena
Seminario institucionalInstituto de MatematicasUniversidad de Antioquia
16 de marzo del 2015
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 1 / 41
Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).
0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41
Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).
1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41
Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).
c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
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Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.
ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41
Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41
Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c.
CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 2 / 41
Notacion
= {0, 1, 2, . . .} (lmite de los numeros naturales).0 = ||(= ).1 es el menor cardinal mayor que 0, 2 es el menor cardinal mayorque 1 (la clase de cardinales esta bien ordenada).c := |R| = 20 el tamano del continuo.ZFC es el sistema axiomatico estandar donde se formaliza lamatematica moderna (junto con el Axioma de Eleccion).
CH (Hipotesis del continuo): c = 1, i.e., dado A R, |A| 0 o|A| = c. CH no se puede probar ni refutar en ZFC (Godel 1938,Cohen 1963).
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Notacion
Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa.
Por ejemplo:
R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.
n
Notacion
Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:
R y [0, 1].
2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.n
Notacion
Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:
R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.
n
Notacion
Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:
R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.
n
Notacion
Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:
R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.
n
Notacion
Un espacio polaco es un espacio topologico X , segundo contable quees metrizable con una metrica completa. Por ejemplo:
R y [0, 1].2 = {0, 1} y , ambos con la topologa discreta.
n
Espacios polacos
Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .
Teorema
Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).
Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!
Teorema
Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).
Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.
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Espacios polacos
Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .
Teorema
Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).
Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!
Teorema
Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).
Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.
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Espacios polacos
Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .
Teorema
Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).
Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!
Teorema
Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).
Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.
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Espacios polacos
Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .
Teorema
Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).
Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!
Teorema
Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).
Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.
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Espacios polacos
Dado un espacio topologico X , sea B(X ) la coleccion de subconjuntos deBorel de X , i.e., la -algebra generada por los subconjuntos abiertos de X .
Teorema
Sea X un espacio polaco, B X Borel. Si B es no contable, entoncescontiene un subconjunto perfecto no vaco (de hecho, isomorfo a 2).
Como consecuencia, CH es cierto para los subconjuntos de Borel de R!
Teorema
Todo espacio polaco no contable es Borel-isomorfo a R, es decir, si X espolaco no contable, existe una funcion biyectiva f : R X tal que, dadoA R, A B(R) sii f [A] B(X ).
Por ende, en teora de conjuntos de los reales, cualquier espacio polaco nocontable es considerado como un espacio de numeros reales.
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Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating
Dados f , g , definimos:
f g sii n
Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating
Dados f , g , definimos:f g sii n
Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating
Dados f , g , definimos:f g sii n
Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating
Dados f , g , definimos:f g sii n
Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating
Dados f , g , definimos:f g sii n
Cardinales invariantes clasicos - bounding and dominating
Dados f , g , definimos:f g sii n
Bounding and dominating
Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn
Bounding and dominating
Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn
Bounding and dominating
Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn
Bounding and dominating
Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn
Bounding and dominating
Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn
Bounding and dominating
Es claro que existe una familia {gn / n < } tal quegn
Bounding and dominating
Lema
1 b d c.
Observacion
d no cambia si consideramos en vez de (Ejercicio!).
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Bounding and dominating
Lema
1 b d c.
Observacion
d no cambia si consideramos en vez de
(Ejercicio!).
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Bounding and dominating
Lema
1 b d c.
Observacion
d no cambia si consideramos en vez de (Ejercicio!).
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Mas invariantes - almost disjointness
Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).
Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.
A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.
Definicion
a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41
Mas invariantes - almost disjointness
Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.
A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.
A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.
Definicion
a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.
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Mas invariantes - almost disjointness
Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.
A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.
Definicion
a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41
Mas invariantes - almost disjointness
Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.
A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,
es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.
Definicion
a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41
Mas invariantes - almost disjointness
Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.
A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.
Definicion
a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 8 / 41
Mas invariantes - almost disjointness
Consideremos [] = {a / a infinito} (subespacio polaco de 2).Dos a, b son casi disjuntos si a b es finito.A [] es una familia casi-disjunta si todo par de elementos de Ason casi disjuntos.
A [] es una familia mad si es una familia casi-disjunta maximal,es decir, es casi-disjunta y, dado x [] existe a A tal que a xes infinito.
Definicion
a es el menor cardinal infinito tal que existe una familia mad de tamano.
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Almost disjointness
Lema
Existe una familia mad de tamano c. Por lo tanto, a c.
Lema
b a.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 9 / 41
Almost disjointness
Lema
Existe una familia mad de tamano c. Por lo tanto, a c.
Lema
b a.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 9 / 41
Splitting and reaping
Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.
S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .
R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.
Definicion
(1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.
(2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41
Splitting and reaping
Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .
R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.
Definicion
(1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.
(2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41
Splitting and reaping
Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .
R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.
Definicion
(1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.
(2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41
Splitting and reaping
Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .
R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.
Definicion
(1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.
(2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41
Splitting and reaping
Dado a, x [], a sega a x si a x y x r a son infinitos.S [] es una familia segadora si, dado x [], existe a S quesega a x .
R [] es una familia no-segada si, dado a [], hay un x Rque no es segado por a.
Definicion
(1) s es el menor cardinal tal que existe una familia segadora de tamano.
(2) r es el menor cardinal tal que existe una familia no-segada detamano .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 10 / 41
Algunas desigualdades
Lema
b r c y 1 s d.
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 11 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).
1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).
1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).
1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).
r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).
(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.
(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
b
b b
b bb
b
1
b s
r da
c Cada afirmacion es consistente con ZFC:
1 = a = s < d = r = c (modelo de Cohen).1 = s < b = c (modelo de Hechler).1 = d = a < r = c (modelo de Solovay).1 < b = s = c (axioma de Martin y CH).r = a = d = 1 < c (modelo de Sacks).(Shelah 1984) 1 = b < s = a = 2.(Shelah 1984) b = a = 1 < s = 2.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 12 / 41
Resultados de consistencia
Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:
(Brendle 1998) b = < a = s = +.
(Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .
(Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.
Teorema (Shelah 2004)
Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.
(a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41
Resultados de consistencia
Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:
(Brendle 1998) b = < a = s = +.
(Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .
(Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.
Teorema (Shelah 2004)
Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.
(a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41
Resultados de consistencia
Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:
(Brendle 1998) b = < a = s = +.
(Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .
(Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.
Teorema (Shelah 2004)
Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.
(a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41
Resultados de consistencia
Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:
(Brendle 1998) b = < a = s = +.
(Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .
(Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.
Teorema (Shelah 2004)
Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.
(a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41
Resultados de consistencia
Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:
(Brendle 1998) b = < a = s = +.
(Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .
(Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.
Teorema (Shelah 2004)
Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.
(a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.
(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41
Resultados de consistencia
Algunas extensiones de los resultados de consistencia de Shelah son:
(Brendle 1998) b = < a = s = +.
(Brendle y Fischer 2011) b = a = < s = .
(Brendle y Fischer 2011) b = < s = a = por encima de uncardinal medible.
Teorema (Shelah 2004)
Las siguientes afirmaciones son consistentes con ZFC.
(a) 1 = s < b = d = r < a = c por encima de un cardinal medible.(b) 1 < b = d < a = c. En ese modelo, s = 1 y r = c.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 13 / 41
d v.s. a
Hasta el momento, no se conoce un modelo donde d = 1 < a.
De hecho,es un problema que ha estado abierto por aprox. 40 anos.
Problema (Roitman, 70s)
d = 1 implica a = 1?En general, aun no se sabe la respuesta de
Problema (Brendle y Raghavan 2014)
b = s = 1 implica a = 1?
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d v.s. a
Hasta el momento, no se conoce un modelo donde d = 1 < a. De hecho,es un problema que ha estado abierto por aprox. 40 anos.
Problema (Roitman, 70s)
d = 1 implica a = 1?
En general, aun no se sabe la respuesta de
Problema (Brendle y Raghavan 2014)
b = s = 1 implica a = 1?
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d v.s. a
Hasta el momento, no se conoce un modelo donde d = 1 < a. De hecho,es un problema que ha estado abierto por aprox. 40 anos.
Problema (Roitman, 70s)
d = 1 implica a = 1?En general, aun no se sabe la respuesta de
Problema (Brendle y Raghavan 2014)
b = s = 1 implica a = 1?
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Otros problemas abiertos relacionados
Problema (Brendle y Fischer 2011)
(1) Es consistente b < s < a?
(2) Es consistente s < b < a?
En el modelo de Shelah (2004), se sabe que s = 1 < b < a esconsistente. Mas aun,
Teorema (Fischer y D.M.)
Es consistente con ZFC que s = < b = < a = c = .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 15 / 41
Otros problemas abiertos relacionados
Problema (Brendle y Fischer 2011)
(1) Es consistente b < s < a?
(2) Es consistente s < b < a?
En el modelo de Shelah (2004), se sabe que s = 1 < b < a esconsistente.
Mas aun,
Teorema (Fischer y D.M.)
Es consistente con ZFC que s = < b = < a = c = .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 15 / 41
Otros problemas abiertos relacionados
Problema (Brendle y Fischer 2011)
(1) Es consistente b < s < a?
(2) Es consistente s < b < a?
En el modelo de Shelah (2004), se sabe que s = 1 < b < a esconsistente. Mas aun,
Teorema (Fischer y D.M.)
Es consistente con ZFC que s = < b = < a = c = .
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Medida
Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).
N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.
Lema
La union contable de subconjuntos nulos es nulo.
Definicion
add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que
A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41
Medida
Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).
N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0).
Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.
Lema
La union contable de subconjuntos nulos es nulo.
Definicion
add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que
A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41
Medida
Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).
N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.
Lema
La union contable de subconjuntos nulos es nulo.
Definicion
add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que
A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41
Medida
Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).
N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.
Lema
La union contable de subconjuntos nulos es nulo.
Definicion
add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que
A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41
Medida
Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).
N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.
Lema
La union contable de subconjuntos nulos es nulo.
Definicion
add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que
A no es nulo.
Del Lema, 1 add(N ).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41
Medida
Consideremos m : L [,] la medida de Lebesgue en R, donde Les la -algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles de R (note queB(R) L).
N R es nulo si N L y m(N) = 0 (equivalentemente, existeB B(R) tal que N B y m(B) = 0). Denotemos por N la familiade subconjuntos nulos de R.
Lema
La union contable de subconjuntos nulos es nulo.
Definicion
add(N ), la aditividad de N , es el menor tal que existe A N detamano tal que
A no es nulo.Del Lema, 1 add(N ).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 16 / 41
Medida
Definicion
(1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.
(2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .
(3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).
b b
b
b
b b1add(N )
cov(N )
non(N )
cof(N ) c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41
Medida
Definicion
(1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.
(2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .
(3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).
b b
b
b
b b1add(N )
cov(N )
non(N )
cof(N ) c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41
Medida
Definicion
(1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.
(2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .
(3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).
b b
b
b
b b1add(N )
cov(N )
non(N )
cof(N ) c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41
Medida
Definicion
(1) cov(N ), el numero de cubrimiento de N , es el menor tal que existeC N de tamano tal que C = R.
(2) non(N ), la uniformidad de N , es el menor tal que existe un Z Rno nulo de tamano .
(3) cof(N ), la cofinalidad de N , es el menor tal que existe C N detamano tal que ANBC(A B).
b b
b
b
b b1add(N )
cov(N )
non(N )
cof(N ) c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 17 / 41
Categora
Dado un espacio topologico X :
A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n
Categora
Dado un espacio topologico X :
A X es nunca-denso si int(cl(A)) = .
Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n
Categora
Dado un espacio topologico X :
A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .
M X es magro si M = n
Categora
Dado un espacio topologico X :
A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n
Categora
Dado un espacio topologico X :
A X es nunca-denso si int(cl(A)) = . Dicho de otro modo, paratodo U 6= abierto, existe V U abierto no vaco tal queA V = .M X es magro si M = n
Categora
En R, sea M la familia de subconjuntos magros de R. Como en el caso demedida, definimos add(M), cov(M), non(M) y cof(M). Del mismomodo,
b b
b
b
b b1add(M)
cov(M)
non(M)
cof(M) c
Si utilizamos un espacio polaco no contable X en vez de R, los valores deestos cardinales invariantes no cambian.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 19 / 41
Categora
En R, sea M la familia de subconjuntos magros de R. Como en el caso demedida, definimos add(M), cov(M), non(M) y cof(M). Del mismomodo,
b b
b
b
b b1add(M)
cov(M)
non(M)
cof(M) c
Si utilizamos un espacio polaco no contable X en vez de R, los valores deestos cardinales invariantes no cambian.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 19 / 41
-compacidad
Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .
Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.
Por lo tanto,
Lema
add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.
Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41
-compacidad
Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .
Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }
X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.Por lo tanto,
Lema
add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.
Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41
-compacidad
Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .
Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.
Por lo tanto,
Lema
add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.
Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41
-compacidad
Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .
Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.
Por lo tanto,
Lema
add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.
Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41
-compacidad
Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .
Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.
Por lo tanto,
Lema
add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.
Ademas, K M,
por lo cual b non(M) y cov(M) d.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41
-compacidad
Definimos K tal que X K sii existe un -compacto Z talque X Z .
Si Z es compacto, entonces existe un f tal queZ Sf := {x / x f }X K sii existe un f tal que X Sf := {x / x f }.
Por lo tanto,
Lema
add(K) = non(K) = b y cov(K) = cof(K) = d.
Ademas, K M, por lo cual b non(M) y cov(M) d.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 20 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 21 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 22 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 23 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 24 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 25 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados.
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
add(N ) = min{b, cov(M)} y cof(M) = max{d,non(M)}.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 26 / 41
El diagrama de Cichon
El siguiente diagrama ilustra las unicas desigualdades que se puedenprobar en ZFC sobre los cardinales involucrados. (desigualdades por:Bartoszynski, Fremlin, Miller, Rothberger, Truss; consistencia por:Bartoszynski, Judah, Miller, Shelah).
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
add(N ) = min{b, cov(M)} y cof(M) = max{d,non(M)}.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 27 / 41
Resultados de consistencia
Teorema (Brendle (en esencia) 1991)
Si 1 1 2 3 y
Resultados de consistencia
Teorema (Brendle (en esencia) 1991)
Si 1 1 2 3 y
Resultados de consistencia
Teorema (Goldstern, Shelah y D.M.)
Si 1 1 2 3 4 y
Resultados de consistencia
Teorema (Goldstern, Shelah y D.M.)
Si 1 1 2 3 4 y
Resultados de consistencia
Si b = 1 d = 2 y 0 = , con el forcing de Solovay se puedeconstruir un modelo de
b b b b b
b b
b b b b b
121
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Por lo tanto, es consistente que cov(M) < b < non(M)
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 31 / 41
Resultados de consistencia
Si b = 1 d = 2 y 0 = , con el forcing de Solovay se puedeconstruir un modelo de
b b b b b
b b
b b b b b
121
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Por lo tanto, es consistente que cov(M) < b < non(M)
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 31 / 41
Sobre cov(M) < non(M)
En general, es muy difcil construir modelos donde cov(M) < non(M) yc > 2.
Problema
Es b < cov(M) < non(M) consistente con ZFC?
Teorema (Brendle)
Si < , es consistente quecov(M) = non(N ) = < cov(N ) = non(M) = .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 32 / 41
Sobre cov(M) < non(M)
En general, es muy difcil construir modelos donde cov(M) < non(M) yc > 2.Problema
Es b < cov(M) < non(M) consistente con ZFC?
Teorema (Brendle)
Si < , es consistente quecov(M) = non(N ) = < cov(N ) = non(M) = .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 32 / 41
Sobre cov(M) < non(M)
En general, es muy difcil construir modelos donde cov(M) < non(M) yc > 2.Problema
Es b < cov(M) < non(M) consistente con ZFC?
Teorema (Brendle)
Si < , es consistente quecov(M) = non(N ) = < cov(N ) = non(M) = .
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 32 / 41
Pregunta abierta
Problema
Existe un modelo de ZFC donde b < cov(N ) < non(M)?
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 33 / 41
Parte derecha del diagrama de Cichon
Teorema (D.M. 2013)
Si 1 1 y
Parte derecha del diagrama de Cichon
Teorema (D.M. 2013)
Si 1 1 2 y
Parte derecha del diagrama de Cichon
Teorema (A. Fischer, Goldstern, Kellner, Shelah)
Si 1 6= 2, 1, 2 < 3 < 4 y 0i = i entonces existe un modelo de
b b b b b
b b
b b b b b
1
2
3 4
1
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 36 / 41
Preguntas abiertas
Problema
Es cov(M) < d < non(N ) < cof(N ) consistente con ZFC?
b b b b b
b b
b b b b b
1add(N ) add(M) cov(M) non(N )
b d
cov(N ) non(M) cof(M) cof(N )c
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 37 / 41
Preguntas abiertas
Problema
Si 1 < 1 < 2 < 3 < < < y
Referencias
T. Bartoszynski, H. Judah: Set Theory. On the Structure of the Real Line. A. K.Peters, Massachusetts, 1995.
A. Blass: Combinatorial cardinal characteristics of the continuum. In: A. Kanamori,M. Foreman (eds.), Handbook of Set-Theory, Springer, Heidelberg, 2010, pp.395-490.
J. Brendle: Larger cardinals in Cichons diagram, J. Symb. Logic 56, no. 3 (1991)795-810.
J. Brendle: Mob families and mad families. Arch. Math. Logic 37 (1998) 183-197.
J. Brendle: Forcing and the structure of the real line: the Bogota lectures. Lecturenotes, 2009.
J. Brendle, V. Fischer: Mad families, splitting families and large continuum. J.Symb. Logic 76, no. 1 (2011) 198-208.
J. Brendle: Shattered iterations. In preparation.
J. Brendle, D. Raghavan: Bounding, splitting and almost disjointness. Ann. PureAppl. Logic 165 (2014) 631-651.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 39 / 41
Referencias
A. Fischer, M. Goldstern, J. Kellner, S. Shelah: Creature forcing and five cardinalcharacteristics of the continuum. Submitted.
V. Fischer, D.A. Meja: Splitting, bounding and almost disjointness can be quitedifferent. In preparation.
M. Goldstern, D. A. Meja, S. Shelah: The left hand side of Cichons diagram. Inpreparation.
H. Judah, S. Shelah: The Kunen-Miller chart (Lebesgue measure, the Baireproperty, Laver reals and preservation theorems for forcing). J. Symb. Logic 55, no.3 (1990) 909-927.
A. S. Kechris: Classical descriptive set theory. Springer-Verlag, New York, 1995.
D. A. Meja: Matrix iterations and Cichons diagram, Arch. Math. Logic 52 (2013)261-278.
A. Miller: Some properties of measure and category. Trans. Amer. Math. Soc. 266(1981) 93-114.
S. Shelah: On cardinal invariants of the continuum. Contemp. Math. 31 (1984)184-207.
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 40 / 41
Referencias
S. Shelah: Two cardinal invariants of the continuum (d < a) and FS linearlyordered iterated forcing. Acta Math. 192 (2004) 187-223 (publication number 700).
Diego A. Meja (TU Wien) Cardinales invariantes 16.03.2015 41 / 41
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