Delovanje sila i momenata sila na kruto teloČvrsto (kruto) telo je sistem čvrsto povezanih materijalnih tačaka (masaΔm1, Δm2, …, Δmi, …, Δmn) koje imaju svaka svoju težinu (ΔQ1, ΔQ2, …, ΔQi, …,ΔQn), čiji zbir predstavlja ukupnu težinu tela Q.

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.

Napadna tačka rezultante svih ovih sila težine kojedeluju na pojedinačne materijalne tačke je težište tela.

Bez obzira na položaj tela, ona ostaje na istom mestu,kao da je sva masa skoncentrisana u jednoj tački, tzv.centru mase tela C.

105

Težište (tačka “cg”)

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo.Centar mase je tačka koja reprezentuje prosečanpoložaj ukupne mase tela.

Centar mase je tačka karakteristična za čvrsto teloizloženo delovanju spoljašnje sile koja se kreće naizloženo delovanju spoljašnje sile, koja se kreće naisti način kao što se bi se kretala i materijalna tačka(mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te isterezultantne spoljašnje sile.

U homogenom gravitacionom polju se težište icentar mase poklapaju.

106

U primeru, napadna tačka rezultantne sile na slikama (a) i (b)se ne poklapa sa centrom mase – tela (spojena šipkom zane-marljive mase) pod uticajem sile započinju rotaciono kretanje.Kada je napadna tačka sile u centru mase, kao na slici (c) –sistem tela ne rotira, već se kreće translatorno.

Delovanje sila i momenata sila na kruto teloČvrsto (kruto) telo je sistem čvrsto povezanih materijalnih tačaka (masaΔm1, Δm2, …, Δmi, …, Δmn) koje imaju svaka svoju težinu (ΔQ1, ΔQ2, …, ΔQi, …,ΔQn), čiji zbir predstavlja ukupnu težinu tela Q.

Dinamika rotacionog kretanja krutog tela.

Napadna tačka rezultante svih ovih sila težine kojedeluju na pojedinačne materijalne tačke je težište tela.

Bez obzira na položaj tela, ona ostaje na istom mestu,kao da je sva masa skoncentrisana u jednoj tački, tzv.centru mase tela C.

105

Težište (tačka “cg”)

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo.Centar mase je tačka koja reprezentuje prosečanpoložaj ukupne mase tela.

Centar mase je tačka karakteristična za čvrsto teloizloženo delovanju spoljašnje sile koja se kreće naizloženo delovanju spoljašnje sile, koja se kreće naisti način kao što se bi se kretala i materijalna tačka(mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te isterezultantne spoljašnje sile.

U homogenom gravitacionom polju se težište icentar mase poklapaju.

106

U primeru, napadna tačka rezultantne sile na slikama (a) i (b)se ne poklapa sa centrom mase – tela (spojena šipkom zane-marljive mase) pod uticajem sile započinju rotaciono kretanje.Kada je napadna tačka sile u centru mase, kao na slici (c) –sistem tela ne rotira, već se kreće translatorno.

Svako kretanje krutog (čvrstog) tela može sepredstaviti kao kombinacija translatornog irotacionog kretanja.

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo

otac o og eta ja.

Kod translatornog kretanja prave koje spajaju tačkeu telu u toku kretanja ostaju same sebi paralelne.

Kod rotacionog kretanja tačke u telu se kreću pokoncentričnim kružnicama različitih poluprečnika.

Na složeno kretanje krutog tela deluju sile iti il

107

momenti sila.

Moment sile

U primeru na slici na vrata koja mogu rotirati oko vertikalne ose deluje sesilom F istog intenziteta i u istoj napadnoj tački.Razlika je u pravcima delovanja sile u odnosu na vektor položaja (radijusvektor) napadne tačke sile.

108

) pNajlakše je zarotirati vrata kada radijus vektor napadne tačke sile i vektorsile zaklapaju prav ugao, a rotacije vrata nema kada se pravci ova dvavektora poklapaju.

Svako kretanje krutog (čvrstog) tela može sepredstaviti kao kombinacija translatornog irotacionog kretanja.

Delovanje sila i momenata sila na kruto telo

otac o og eta ja.

Kod translatornog kretanja prave koje spajaju tačkeu telu u toku kretanja ostaju same sebi paralelne.

Kod rotacionog kretanja tačke u telu se kreću pokoncentričnim kružnicama različitih poluprečnika.

Na složeno kretanje krutog tela deluju sile iti il

107

momenti sila.

Moment sile

U primeru na slici na vrata koja mogu rotirati oko vertikalne ose deluje sesilom F istog intenziteta i u istoj napadnoj tački.Razlika je u pravcima delovanja sile u odnosu na vektor položaja (radijusvektor) napadne tačke sile.

108

) pNajlakše je zarotirati vrata kada radijus vektor napadne tačke sile i vektorsile zaklapaju prav ugao, a rotacije vrata nema kada se pravci ova dvavektora poklapaju.

Moment sile

Moment M sile F je vektorski proizvodradijus vektora r napadne tačke sile ivektora sile F. Jedinica za moment sile je [Nm].

109

FrMrrr

×=),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

dFrFM t ==

Samo tangencijalna komponenta sile (Ft) uzrokuje rotaciono kretanjekrutog tela.

Moment sile

Tangencijalna komponenta sile Ft koja stvaramoment sile M odgovoran za rotaciju krutog tela,ujedno daje tangencijalno ubrzanje at telu, čime seugaona brzina ω stalno povećava. Drugim rečima,kruto telo ima neko ugaono ubrzanje α.

Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni sumomenti sila.

Na veličinu ugaonog ubrzanja α, međutim, utiču nesamo momenti sila, već i masa tela, tačnije raspo-red masa u krutom telu u odnosu na osu rotacije.

110

ed s u u o e u u od osu osu o c je.

Tako je u dinamici rotacionog kretanja definisantzv. moment inercije I, veličina koja opisuje uticajrasporeda masa u krutom telu na rotaciju, tj. naugaono ubrzanje.

Jedinica za moment sile u SI sistemu Njutn puta metar, ali da se ne može zameniti Džulom, jer je fizički smisao momenta sile i energije (rada) bitno različit:

Moment sile

Moment M sile F je vektorski proizvodradijus vektora r napadne tačke sile ivektora sile F. Jedinica za moment sile je [Nm].

109

FrMrrr

×=),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

dFrFM t ==

Samo tangencijalna komponenta sile (Ft) uzrokuje rotaciono kretanjekrutog tela.

Moment sile

Tangencijalna komponenta sile Ft koja stvaramoment sile M odgovoran za rotaciju krutog tela,ujedno daje tangencijalno ubrzanje at telu, čime seugaona brzina ω stalno povećava. Drugim rečima,kruto telo ima neko ugaono ubrzanje α.

Za ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni sumomenti sila.

Na veličinu ugaonog ubrzanja α, međutim, utiču nesamo momenti sila, već i masa tela, tačnije raspo-red masa u krutom telu u odnosu na osu rotacije.

110

eds u u o e u u od osu osu o c je.

Tako je u dinamici rotacionog kretanja definisantzv. moment inercije I, veličina koja opisuje uticajrasporeda masa u krutom telu na rotaciju, tj. naugaono ubrzanje.

Moment inercije

2iii rmI Δ=

Za svaku materijalnu tačku u telu mase Δmi koja se nalazi na rastojanjuri od ose rotacije, moment inercije Ii je definisan preko:

Sumiranjem momenata inercije Ii za svematerijalne tačke koje čine kruto telo, dobija semoment inercije I tela u odnosu na datu osurotacije. Jedinica za moment inercije je [kgm2].

∑∑ Δ== rmII 2 ili

111

∑∑

∑∑

Δρ=Δρ=

Δ

iii

iii

iii

ii

VrrVI

rmII

22

ili

Moment inercije

Moment inercije I je veličina analogna masi u dinamici translatornogkretanja.Moment inercije je skalarna veličina, mera inertnosti tela prirotacionom kretanju.jMasa je nezavisna osobina tela, a moment inercije zavisi od izbora oserotacije u odnosu na koju se posmatra raspored mase u telu.

∑Δ=i

iirmI 22rmI =

Moment inercije za materijalnu tačku Moment inercije za kruto telo

112

∫=M

i

mrI0

2d ∫ρ=V

VrI0

2dili

Moment inercije

2iii rmI Δ=

Za svaku materijalnu tačku u telu mase Δmi koja se nalazi na rastojanjuri od ose rotacije, moment inercije Ii je definisan preko:

Sumiranjem momenata inercije Ii za svematerijalne tačke koje čine kruto telo, dobija semoment inercije I tela u odnosu na datu osurotacije. Jedinica za moment inercije je [kgm2].

∑∑ Δ== rmII 2 ili

111

∑∑

∑∑

Δρ=Δρ=

Δ

iii

iii

iii

ii

VrrVI

rmII

22

ili

Moment inercije

Moment inercije I je veličina analogna masi u dinamici translatornogkretanja.Moment inercije je skalarna veličina, mera inertnosti tela prirotacionom kretanju.jMasa je nezavisna osobina tela, a moment inercije zavisi od izbora oserotacije u odnosu na koju se posmatra raspored mase u telu.

∑Δ=i

iirmI 22rmI =

Moment inercije za materijalnu tačku Moment inercije za kruto telo

112

∫=M

i

mrI0

2d ∫ρ=V

VrI0

2dili

Moment inercije za razna geometrijski pravilna tela

113

Ako telo u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz njen centarmasa ima moment inercije I0, tada će u odnosu na bilo koju druguparalelnu osu, na rastojanju d od pomenute ose, imati momenti ij d fi i l ij

Moment inercije i Štajnerova teorema(teorema paralelnih osa)

inercije I definisan relacijom:2

0 mdII +=Primer

Moment inercije I0 je u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase.

114

222

23

2mRmRmRI =+=

Moment inercije I je u odnosu na osu koja je paralelna osi rotacije kroz centar mase i na rastojanju d od nje.

Moment inercije za razna geometrijski pravilna tela

113

Ako telo u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz njen centarmasa ima moment inercije I0, tada će u odnosu na bilo koju druguparalelnu osu, na rastojanju d od pomenute ose, imati momenti ij d fi i l ij

Moment inercije i Štajnerova teorema(teorema paralelnih osa)

inercije I definisan relacijom:2

0 mdII +=Primer

Moment inercije I0 je u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase.

114

222

23

2mRmRmRI =+=

Moment inercije I je u odnosu na osu koja je paralelna osi rotacije kroz centar mase i na rastojanju d od nje.

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanjaZa ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su momenti sila.

Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta sile Ft kojauzrokuje tangencijalno at i ugaono ubrzanje α i čija je napadna tačka narastojanju r od ose rotacije (krak sile) stvara moment sile M koji se možerastojanju r od ose rotacije (krak sile), stvara moment sile M koji se možeizraziti u obliku koji sadrži informaciju o rasporedu masa u odnosu naosu rotacije, tj. veličinu momenta inercije I krutog tela:

α== 2mrFrM t

α==α= rmamFra ttt

Primer rotacije materijalne tačke:

115

αmrFrM t

),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

α= IMII Njutnov zakon za rotaciju materijalne tačke oko nepokretne ose

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanjaU krutom telu se delovanje unutrašnjih sila fij=−fji međusobno poništava.Samo tangencijalne komponente spoljašnjih sila Fti koje deluju na pojedine delićemase Δmi krutog tela uzrokuju rotaciono kretanje.Momenti Mi takvih spoljašnjih sila se sabiraju, čime se dobija rezultantni moment

lj jih il k ji k j b jM spoljašnjih sila, koji uzrokuje ugaono ubrzanje α.

116),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

αΔ=Δ=α= iitiitiiti rmamFraα= IM

Primer rotacije krutog tela:

II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose

α=αΔ=== ∑∑∑ IrmFrMMi

iii

tiii

i2

2rmI =Moment inercije za materijalnu tačku

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanjaZa ugaono ubrzanje α krutog tela odgovorni su momenti sila.

Prema II Njutnovom zakonu, tangencijalna komponenta sile Ft kojauzrokuje tangencijalno at i ugaono ubrzanje α i čija je napadna tačka narastojanju r od ose rotacije (krak sile) stvara moment sile M koji se možerastojanju r od ose rotacije (krak sile), stvara moment sile M koji se možeizraziti u obliku koji sadrži informaciju o rasporedu masa u odnosu naosu rotacije, tj. veličinu momenta inercije I krutog tela:

α== 2mrFrM t

α==α= rmamFra ttt

Primer rotacije materijalne tačke:

115

αmrFrM t

),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

α= IMII Njutnov zakon za rotaciju materijalne tačke oko nepokretne ose

Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanjaU krutom telu se delovanje unutrašnjih sila fij=−fji međusobno poništava.Samo tangencijalne komponente spoljašnjih sila Fti koje deluju na pojedine delićemase Δmi krutog tela uzrokuju rotaciono kretanje.Momenti Mi takvih spoljašnjih sila se sabiraju, čime se dobija rezultantni moment

lj jih il k ji k j b jM spoljašnjih sila, koji uzrokuje ugaono ubrzanje α.

116),(sin FrrFMrr

∠=θθ=

αΔ=Δ=α= iitiitiiti rmamFraα= IM

Primer rotacije krutog tela:

II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose

α=αΔ=== ∑∑∑ IrmFrMMi

iii

tiii

i2

Kinetička energija i rad kod rotacionog kretanjaPri rotaciji krutog tela(bez translatornog kretanja):

22

222 ωΔ=

Δ=ω= iiii

kiiirmvmErv

2

2ω=

IE Rk

Pri složenom kretanju krutog tela ukupna kinetička energija je sumakinetičkih energija translatornog kretanja centra mase i rotacionog

Vrši se sumiranje kinetičkih energija zasvaki delić krutog tela:

117

kretanja tela:

22

22 ω+=

ImvE ck

Ako se pri rotaciji telo obrne za ugao θ (u [rad]) poduticajem momenta sile M, izvršeni rad je dat preko: θ= MA

Moment količine kretanja LMoment količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne oserotacije je vektorski proizvod njenog vektora položaja r i vektora njenekoličine kretanja k:

k rrrrrvmrkrL rrr

×=×=

ω=

°=∠

rv

vr 90),( rr

θ=θ= sinsin vrmkrL

118

ω= IL

ω= 2rmL

Kinetička energija i rad kod rotacionog kretanjaPri rotaciji krutog tela(bez translatornog kretanja):

22

222 ωΔ=

Δ=ω= iiii

kiiirmvmErv

2

2ω=

IE Rk

Pri složenom kretanju krutog tela ukupna kinetička energija je sumakinetičkih energija translatornog kretanja centra mase i rotacionog

Vrši se sumiranje kinetičkih energija zasvaki delić krutog tela:

117

kretanja tela:

22

22 ω+=

ImvE ck

Ako se pri rotaciji telo obrne za ugao θ (u [rad]) poduticajem momenta sile M, izvršeni rad je dat preko: θ= MA

Moment količine kretanja LMoment količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne oserotacije je vektorski proizvod njenog vektora položaja r i vektora njenekoličine kretanja k:

k rrrrrvmrkrL rrr

×=×=

ω=

°=∠

rv

vr 90),( rr

θ=θ= sinsin vrmkrL

118

ω= IL

ω= 2rmL

Moment količine kretanja L krutog tela oko nepokretne ose rotacijedobija se sumiranjem momenata količine kretanja za sve materijalne tačkekoje čine telo:

Moment količine kretanja L

ω=ωΔ=Δ=Δ×== ∑∑∑∑ IrmvrmvmrLLi

iii

iiii

iiii

i2

ω= IL

119

vmrvmrL rrr

rr

×+×=)(ddd

Vremenska promena momenta količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne ose rotacije:

ML rr

=dd

Moment količine kretanja L

M - ukupni moment spoljašnjih sila

v - periferna brzina materijalne tačke usled delovanja momenta sile M

MFrvmvtL

ttt

rrrrrr

+=×+×= 0dd

ddd td

°=∠ 0))(,( vmv rr0

Ovo je drugi oblik II Njutnovog zakona za rotaciono kretanje – analogija sa silom koja je jednaka

120MI

tI

tI

tL rr

=α=ω

=ω

=dd

d)(d

dd

Vremenska promena momenta količine kretanja L krutog tela okonepokretne ose rotacije:

j g j g j g j j j jbrzini promene količine kretanja kod translatornog kretanja tela:

Famtvm

tk rr

rr

===d

)(ddd

Moment količine kretanja L krutog tela oko nepokretne ose rotacijedobija se sumiranjem momenata količine kretanja za sve materijalne tačkekoje čine telo:

Moment količine kretanja L

ω=ωΔ=Δ=Δ×== ∑∑∑∑ IrmvrmvmrLLi

iii

iiii

iiii

i2

ω= IL

119

vmrvmrL rrr

rr

×+×=)(ddd

Vremenska promena momenta količine kretanja L materijalne tačke oko nepokretne ose rotacije:

ML rr

=dd

Moment količine kretanja L

M - ukupni moment spoljašnjih sila

v - periferna brzina materijalne tačke usled delovanja momenta sile M

MFrvmvtL

ttt

rrrrrr

+=×+×= 0dd

ddd td

°=∠ 0))(,( vmv rr0

Ovo je drugi oblik II Njutnovog zakona za rotaciono kretanje – analogija sa silom koja je jednaka

120MI

tI

tI

tL rr

=α=ω

=ω

=dd

d)(d

dd

Vremenska promena momenta količine kretanja L krutog tela okonepokretne ose rotacije:

j g j g j g j j j jbrzini promene količine kretanja kod translatornog kretanja tela:

Famtvm

tk rr

rr

===d

)(ddd

Zakon održanja momenta količine kretanjaZakon održanja momenta količine kretanja u izolovanom sistemu:

α==rr

r

IMtL

dd const.0

dd0za ==⇒= L

tLM

rr

r

Analogija sa I Njutnovim zakonom dinamike, prema kome tela zadržavaju svoje stanje kretanja(mirovanja ili pravolinijskog ravnomernog kretanja) ukoliko je rezultatntna sila koja na njega delujejednaka nuli:

)(ddk rr

Ako kruto telo rotira oko nepokretne ose rotacije, moment količine kreta-nja L se može predstaviti i kao:

Zakon održanja momenta količine kretanja je:

ω=rr

IL

const.=ωrI

const.0d

)(dddconst.00je ukoliko ===⇒=⇒=⇒= vm

tvm

tkvaF rrrr

Primeri zakona održanja momenta količine kretanjaRotacija čigre Rotacija balističkih projektila

122Prandtlova stolica

Ako je rezultanta momenata spoljašnjih sila, koje deluju na kruto telo i uzrokuju njegovo rotaciono kretanje, jednaka nuli (M=0),

tj.ako je sistem izolovan i zatvoren, ugaono ubrzanje je jednako nuli (α=0 ⇒ ω=const.), a moment količine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):

U zatvorenom izolovanom sistemu ukupan moment impulsa sistema L je konstantan,

bez obzira na promene koje se mogu dešavati unutar sistema.

Zakon održanja momenta količine kretanja

Ako je rezultanta momenata spoljašnjih sila, koje deluju na kruto telo iuzrokuju njegovo rotaciono kretanje, jednaka nuli (M=0), tj. ako je sistemizolovan, ugaono ubrzanje je jednako nuli (α=0 ⇒ ω=const.), a momentkoličine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):

Zakon održanja momenta količine kretanja u izolovanom sistemu:

α==rr

r

IMtL

dd

količine kretanja L ima konstantnu vrednost (konstantni intenzitet i pravac):

const.0dd0za ==⇒= L

tLM

rr

r

Analogija sa I Njutnovim zakonom dinamike, prema kome tela zadržavaju svoje stanje kretanja(mirovanja ili pravolinijskog ravnomernog kretanja) ukoliko je rezultatntna sila koja na njega delujejednaka nuli:

)(ddk rr

121

Ako kruto telo rotira oko nepokretne ose rotacije, moment količine kreta-nja L se može predstaviti i kao:

Zakon održanja momenta količine kretanja je:

ω=rr

IL

const.=ωrI

const.0d

)(dddconst.00je ukoliko ===⇒=⇒=⇒= vm

tvm

tkvaF rrrr

Primeri zakona održanja momenta količine kretanjaRotacija čigre Rotacija balističkih projektila

122Prandtlova stolica

Analogne veličine i jednačine koje važe kod translatornog i rotacionog kretanjatranslatorno kretanje rotaciono kretanje

pomeraj, x ugaoni pomeraj, θ

brzina, v ugaona brzina, ωtxv

ddrr

=

vdrubrzanje, a ugaono ubrzanje, α

masa, m moment inercije, I

količina kretanja, k

moment količine kretanja, L

sila, F moment sile, M

tva

ddr

=

tk

tvmFamF

dd

d)(d

rrrrr===

tL

tIMIM

dd

d)(d

rrrrr=

α=α=

vmk rr= ω=

rrIL

kinetička energija, Ek

rotaciona kinetička energija,

snaga, P snaga, P

RkE2

2mvEk = 2

2ω=

IE Rk

vFP rr⋅= ω⋅=

rrMP

Statika čvrstog telaPrimer delovanja sila na kruto telo:a) delovanje jedne sile izaziva samo pomeranje tela na jednu stranu;b) delovanje dve sile istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera daju rezultantnu

silu koja je jednaka nuli – telo je i u translatornoj i u rotacionoj ravnoteži;) d l j d il i i i i iji i kl jc) delovanje dve sile istog intenziteta i suprotnog smera, čiji se pravci ne poklapaju

daju rezultantni moment, pod čijim uticajem telo počinje rotaciju – telo nije urotacionoj ravnoteži.

124

edtde rrr θωω =⋅= edtde rrr θωω =⋅= edtde rrr θωω =⋅= edtde rrr θωω =⋅=

edtde rrr θωω =⋅=

eedtde

dtd rrrr

αθωα === 2

2

eedtde

dtd rrrr

αθωα === 2

2

eedtde

dtd rrrr

αθωα === 2

2

2rmI =

Analogne veličine i jednačine koje važe kod translatornog i rotacionog kretanjatranslatorno kretanje rotaciono kretanje

pomeraj, x ugaoni pomeraj, θ

brzina, v ugaona brzina, ωtxv

ddrr

=td

dθ=ω

vdr dωrubrzanje, a ugaono ubrzanje, α

masa, m moment inercije, I

količina kretanja, k

moment količine kretanja, L

sila, F moment sile, M

tva

ddr

=td

dω=α

r

tk

tvmFamF

dd

d)(d

rrrrr===

tL

tIMIM

dd

d)(d

rrrrr=

α=α=

vmk rr= ω=

rrIL

123

kinetička energija, Ek

rotaciona kinetička energija,

snaga, P snaga, P

RkE2

2mvEk = 2

2ω=

IE Rk

vFP rr⋅= ω⋅=

rrMP

Statika čvrstog telaPrimer delovanja sila na kruto telo:a) delovanje jedne sile izaziva samo pomeranje tela na jednu stranu;b) delovanje dve sile istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera daju rezultantnu

silu koja je jednaka nuli – telo je i u translatornoj i u rotacionoj ravnoteži;) d l j d il i i i i iji i kl jc) delovanje dve sile istog intenziteta i suprotnog smera, čiji se pravci ne poklapaju

daju rezultantni moment, pod čijim uticajem telo počinje rotaciju – telo nije urotacionoj ravnoteži.

124

Uslovi ravnoteže čvrstog tela Za ravnotežu je neophodno da se poništavaju ne samo spoljašnje sile, već imomenti spoljašnjih sila.

Uslovi ravnoteže čvrstog (krutog) tela:

Rezultantna spoljašnja sila koja deluje na telo treba da je jednaka nuli.

Rezultantni moment spoljašnjih sila oko bilo koje ose rotacije treba da je jednak nuli.

const.const.

00

=ω=

=α=rr

rr

v

a

00 == ∑∑i

ii

i MFrr

125

Uslovi ravnoteže za sve pravce koordinatnog sistema:

000

000iii

===

===

∑∑∑

∑∑∑

izi

iyi

ixi

ziyixi

MMM

FFF

rrr

rrr

const.const. ωv

Uslovi ravnoteže čvrstog tela Primeri:

126

Uslovi ravnoteže čvrstog tela Za ravnotežu je neophodno da se poništavaju ne samo spoljašnje sile, već imomenti spoljašnjih sila.

Uslovi ravnoteže čvrstog (krutog) tela:

Rezultantna spoljašnja sila koja deluje na telo treba da je jednaka nuli.

Rezultantni moment spoljašnjih sila oko bilo koje ose rotacije treba da je jednak nuli.

const.const.

00

=ω=

=α=rr

rr

v

a

00 == ∑∑i

ii

i MFrr

125

Uslovi ravnoteže za sve pravce koordinatnog sistema:

000

000iii

===

===

∑∑∑

∑∑∑

izi

iyi

ixi

ziyixi

MMM

FFF

rrr

rrr

const.const. ωv

Uslovi ravnoteže čvrstog tela Primeri:

126

Vrste ravnoteže. Stabilnost.

Postoji: a) stabilna, b) labilna, c) indiferentna

žravnoteža.

Prema veličini potencijalne energije koju telo poseduje u gravitacionom polju Zemlje:

Primer lenjir okačen o konac:a) težište C je ispod tačke vešanja;b) težište C je iznad tačke vešanja;c) težište C i tačka vešanja se poklapaju.

127

Prema veličini potencijalne energije koju telo poseduje u gravitacionom polju Zemlje: