PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Semestre Académico 2014-1—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. a. Parametrizar la curva Γ :x − 12 + y2 = z2

y = x; z ≥ 0. 2 pts

b. Dadas las curvas:

C1 : Ft = e t−2, 11 + t

, lnt + 1 , t ∈ 0,+∞ y

C2 : Gr = r − 2, r9

, ln r , r ∈ 0,+∞.

Hallar la ecuación de la recta tangente a las curva C1 en el punto de intersección de C1

y C2. 2 pts

2. Sea C la curva descrita por la parametrización

Ft = t, 43

t32 , t

2, t ∈ 0,2.

a. Analizar si la parametrización de C es regular. 2 pts

b. Calcular la longitud de la curva C. 2 pts

3. Dada la curva Γ :x2 + 7y2 − z2 = 4

x2 + y2 + z2 = 4; z ≥ 0.

a. Parametrizar la curva Γ. 2 pts

b. Analizar si las rectas tangentes correspondientes a los puntos P1 = 0,1, 3 yP2 = 0,−1, 3 de la curva Γ son paralelas. 2 pts

4. Sean a una constante real positiva y Γ la curva definida por la parametrización

F : 2π, 3π R3

t Ft = at − sen t, a1 − cos t, 2

Encontrar un punto P1 de la curva, de modo que la longitud de arco comprendido entre lospuntos P0 = F 7π

3 y P1 sea 2 3 − 1 a unidades. 4 pts

5. La curva Γ : P = Ft = e t cos t, e t sen t, ut, t ∈ R está contenida en el cono

x2 + y2 − z2 = 0, z ≥ 0.

a. Demostrar que el vector unitario tangente Tt en el punto Ft forma un ángulo

constante con el vector de posición OP. 2 pts

b. Hallar el vector Bt en el punto 1,0,1. 2 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : N. Chau San Miguel, 31 de mayo del 2014

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Ciclo de Verano 2014—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. Dada la curva C :x2 + y2 + z2 = 8

z = x.

a. Hallar una parametrización para C en términos de senos y cosenos. 1 pto

b. Analizar si la parametrización hallada en (a) es regular en su dominio.Justificar surespuesta. 1 pto

c. Hallar la función longitud de arco de C. 1 pto

d. Calcular la longitud de la curva C. 1 pto

2. Sea la curva

Γ : Ft= 491 + t

32 , 4

91 − t

32 , t

3, t ∈ −1,1

Calcular los vectores unitarios T, N y B en el punto Q = 49, 49, 0 de la curva Γ. 3pts

3. Dada la curva

Γ : Ft = e t,e−t, 2 t , t ≥ 0

Calcular la curvatura kt y torsión τt de Γ en el punto Q = 1,1,0 de la curva Γ.3pts

4. Dada la función f x,y = lnx2 + y2.a. Hallar y esbozar las curvas de nivel

Sk = x,y ∈ R2 : f x,y = k para k = lne, ln4.

1 pto

b. Hallar las trazas a los planos coordenados YZ y XZ. 1 pto

c. Esbozar la gráfica de f, usando las trazas y las curvas de nivel. 1 pto

5.a. Probar que no existen los siguientes límites:

i. limx,y→0,0

xy2 + x2y

x2 + y42 pts

ii. limx,y→0,0

2xx2 + y2 + y

2 pts

b. Usando el teorema del Sandwich, demostrar que:

limx,y→0,0

x3y

x4 + y2= 0

3 ptsNorberto Chau

San Miguel, 13 de febrero del 2014

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Semestre Académico 2013-2—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. Dada la curva Γ descrita por la parametrización Ft = t3, t2,−t3, t > 0.a. Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto M donde es

paralela al plano x − 3y = 0. 2 pts

b. Las rectas tangentes a Γ intersecan al plano π : x + y + z = 1 en el punto Q.Parametrizar la curva descrita por el punto Q. 3 pts

2.

a. Sea la curva

Γ : Gt = 4 cos t + cos4t, 4 sen t + sen4t, t ∈ 0, 2π

Analizar si la parametrización de Γ es regular. En caso no lo sea, hallar los valores de t

para los cuales no se cumplen todas las condiciones de regularidad. 2 pts

b. Sea C la curva descrita por la parametrización

Ft = e t cos t, e t sen t, e t, t ∈ 0, 2π.

Calcular la longitud de la curva C. 3pts

3. Sea la curva

Γ : Ft= t, 131 + t

32 , 1

31 − t

32 , t ∈ −1, 1

Hallar el vector binormal Bt, la curvatura κt y la ecuación del plano osculador a la curvaΓ en cualquier punto de ella. 5 pts

4.

a. Demostrar que la curva C : βt = a cos t, a sen t, bt, a > 0, b > 0 tiene torsiónconstante. 3 pts

b. Sea Γ una curva regular parametrizada por α : I → R3 tal que todas sus rectas

tangentes pasan por el origen de coordenadas. Calcular la curvatura de dicha curva.2 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau San Miguel, 02 de noviembre del 2013

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporadodurante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Semestre Académico 2013-1—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. Sea Γ :z = y − x2

x + y = 6

a. Hallar una parametrización de Γ y analizar si dicha curva Γ es regular ó no. 3 pts

b. Por cada punto de P de Γ se traza una recta tangente la cual interseca al plano y = x enun punto Q. Demostrar que el lugar geométrico descrito por estos puntos Q estácontenida en una recta paralela al eje Z. 2 pts

2. Dada la parametrización de la curva Γ :

Ft = t − sen t, 1 − cos t, t3

3− πt2, t ∈ t ∈ 0,2π,

a. Analizar si es regular en su dominio.Justificar su respuesta. 2 pts

b. Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador en el punto π, 2,− 2π3

3. 3 pts

3. Sean Γ ⊂ R3 curva contenida en el plano z = 5 y F : 0,3 R una parametrización de

Γ.Si la proyección ortogonal de Γ sobre el plano XY es 3t − t3, 3t2, 0.a. Hallar el punto P0 = Ft0 ∈ Γ tal que el vector tangente a la curva Γ es ortogonal al

vector 0,1,0. 2 pts

b. Calcular el valor de t del punto P = Ft ∈ Γ tal que la longitud de arco de la curva Γcomprendida entre el punto P0 y P sea igual a 14. 3 pts

4. Dada la curva Γ, parametrizada por

αt= cos t, sen t, f t con t ∈ R,

donde f : R R tiene derivadas hasta de tercer orden.a. Demostrar que la curvatura κt es no nula. 2 pts

b. Hallar la torsión τt en cualquier punto de Γ. 2 pts

c. Encontrar una función f t no constante tales que la curva Γ sea plana. 1 pto

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau

San Miguel, 1 de junio del 2013

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Ciclo de Verano 2013—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.1. Expresar la longitud de la curva

Γ : Ft : = at2, bt, c ln t ;1 ≤ t ≤ T

como una integral definida. Evaluar la integral si b2 = 4ac. (3 pts)2. Sea la curva

Γ : Ft : = arctan t,22

lnt2 + 1, t − arctan t ; t ∈ 0,π

Hallar los vectores unitarios Tt, Bt y Nt en el punto Q = π4, 2

2ln2,1 − π

4.

(3 pts)3. Dada la curva Γ : Gt : =6t, , 3t2, t3; t ∈ R, hallar la curvatura κt , la torsión τt de la

curva Γ y el plano osculador en el punto A = 6,3,1. 3 pts

4. Dada la función

z = f x,y = x2 + y.

a. Hallar y esbozar las curvas de nivel Γk de la gráfica de f correspondientes a k = −1,k = 0 y k = 2. 2 pts

b. Hallar las trazas de la gráfica de f con los planos coordenados. 1 pto

c. Esbozar la gráfica de f. 1 pto

5. Analizar si existen los siguientes límites:

a. limx,y→0,0

xy3 + y2 + x2y6

x2 + y62 pts

b. limx,y→0,0

3x2 + 2xy2

x2 + 4y42 pts

6. Sea f x,y =

x2y3

x2 + y432

, si x,y ≠ 0,0

0 , si x,y = 0,0

Analizar la continuidad de f en R2. 3 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador : Prof. Norberto Chau

San Miguel, 14 de febrero del 2013

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Semestre Académico 2012-2—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. Sea la función F definida por

F t =

sen t tan tt2

, 4t1 − e4t

,ln 1 + t2

t, t ≠ 0

1,−1,0 , t = 0

Analizar si F es continua en t = 0. 4 pts

2. Dada la curva C :z = x2

y2 = 8x.

a. Usando como parámetro y = t, parametrizar C. 1 pto

b. Por cada punto de la curva C, se traza una recta perpendicular al plano XY, la cualinterseca al paraboloide hiperbólico S : z = 4x2 − y2 en el punto Q. Hallar la ecuaciónvectorial para la curva D descrita por Q. 2 pts

3. Dada la curva Γ:x2 + y = z

y = x2

a. Hallar una parametrización Ft de la curva Γ. 2 pts

b. Analizar la existencia de F ′t) en el dominio de F. 2 pts

4. Sea E :x2

4+y2

9= 1

y + z = 2

a. Parametrizar E usando senos y cosenos. 2 pts

b. Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a E, en cada punto donde E intersecaal plano P : x + y + z = 2. 2 pts

c. ¿Existe algún punto de la curva E, donde la recta tangente es paralela al eje Z?.Justificar su respuesta. 1 pto

5. Sea la curva Γ :x2 + 4y2 − 4y + z2 = 17

z = 2y + 1

a. Hallar una parametrización para Γ en términos de senos y cosenos. 2 pts

b. Analizar si la parametrización hallada en la parte a , es regular. 2 pts

Elaborado por los profesores del cursoCoordinador de Práctica: Prof. Norberto Chau

San Miguel, 3 de noviembre del 2012

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

TERCERA PRÁCTICA DE CÁLCULO 3

Semestre académico 2012-1

Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores líquidos. 1.

a. Sea

))(,)1(

1()( 22

22attLn

at

attF

Hallar todos los valores reales de para los cuales existe. (2 pts.) a )(tFLimat

b. Analizar si la función definida por

0 , ,)1(

,

0 , 0 ,1,

)(

21

ttt

tLnet

tetsen

tF

t

t

Es continua en . (2 pts.) 0t

2. La Hipérbola: 0 ; 0 ; 14

22 yz

xy , es la proyección ortogonal de una curva

que se encuentra en la superficie del cono . 0 ,222 zyzx

a. Hallar una parametrización de la curva .y su dominio. (3 pts.)

b. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva , en el punto )4

3,

4

5,1(Q

(2 pts.) 3. a. Sea . Hallar el dominio de ))tan( ),1( ,3()( 223 tArcttLnttt y el

valor de t para lo cual α′(t) sea cero. (2 pts.)

b. Sean I un intervalo abierto y una función tal que es paralelo a . Se define la función

3: RIF tFtF

)('' tF)(tF IttG todopara )(

t ,

)(')(

I c

. Demostrar que la

función derivada siendo una constante. ctG )('

(2 pts.) 4. Analizar si es una parametrización regular en

el conjunto R. ))1tan(2 ),( ,()( tArctttsentetF t

(3 pts.) 1 de 2

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

5. Sea la curva definida por la intersección de las superficies:

9

48)6()3(222

222

zyx

zyx

Parametrizar la curva usando senos, cosenos y especificar su dominio

(4 pts.)

San Miguel, 26 de mayo 2012

Preparado por los profesores del curso Coordinadora: Prof. Olga Chamorro

2 de 2

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Práctica N∘ 3

Ciclo de Verano 2012—

ADVERTENCIA: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctoreslíquidos.

1. Sea la esfera E : x2 + y2 + z2 + 2x + 2y = 0 y el plano P : λx + y + z + λ = 0.a. Hallar todos los valores de λ para los cuales C = E ∩ P es una circunferencia. 2 pts

b. Hallar el centro y el radio de C. 2 pts

2. La recta L : P = 1,2,0 + t−1,2,1, t ∈ R interseca a la esfera E : x2 + y2 + z2 = 17en los puntos Q y M. Hallar las ecuaciones cartesianas de los planos tangente a E en Q y M

respectivamente. 4 pts

3. Sea

Γ :x2 +

y2

4+ z2 = 1

y = z

a. Hallar una parametrización Ft de la curva Γ, en términos de senos y cosenos. 2 pts

b. Hacer un esbozo de la curva Γ. 1 pto

c. Encontrar todos los valores de t para que ‖F ′t‖ ≠ 0. 1 pto

4. Sea la función f definida por

F t =sen 2t

t2 ,ln1 + t2

t, 6t

1 − e3t, t ≠ 0

1,0,−2 , t = 0

Analizar si F es continua en t = 0. 2 pts

5. Dada la curva

C:x − 12 + y2 = 4

x + y + z = 3

a. Parametrizar C, indicando el dominio de la parametrización. 2 pts

b. Hallar la recta tangente a la curva C en cualquier punto Ft de la curva C. 2 pts

c. La recta tangente a C en el punto 1,2,0 corta al plano YZ en el punto Q . Hallar lascoordenadas de Q. 2 pts

Elaborado por los profesores del cursoSan Miguel, 9 de febrero del 2012

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

TERCERA PRÁCTICA DE CÁLCULO 3

Semestre académico 2011-2

Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores líquidos.

1. a . Sea , una parametrización regular de una curva C . RttsentttF , ) ,,cos2()( 3

Calcular los vectores unitarios: tangente, binormal y normal a la curva C en el punto . )0,0,2(

(2 puntos)

b. Sea la función

1 , 2,1,1

1 , 0 t, 1

ln2,

1

1,

)(

11

t

tt

t

t

ee

tF

tt

Analizar si es continua en 1. (2 puntos) F

2. La curva Γ es parametrizada por la función

]3

,6

[ , ))ln(cos2 ,2cos1 ,2()(

ttttsentF

Hallar la longitud del arco de la curva Γ comprendido entre el punto ))2

3ln(2,

2

1,

2

3( y el punto

))2

2ln(2,1,1( .

Recordar: ctttdt )tanln(secsec

(3 puntos)

3.-Sea la curva que resulta de la intersección de las superficies

1: 21 yxS , 13:2 yzS .

a. Hallar las rectas tangentes correspondientes a los puntos )3,0,1(1 P .y )3,2,3(2 P de

la curva. (3 puntos) b. Hallar la intersección del plano 1y con todas las rectas tangentes a la curva .

(2 puntos)

CONTINÚA…

1 de 2

4.- Sea la curva obtenida por una parametrización regular C

]3,1[ , 11

,4

,2)(2

4

t

t

tttF .

a) Hallar la longitud de la curva C . (2 puntos) b) Demostrar que la curvatura está dada por

2

33 2

6)(

ttt

tk (2 puntos)

5.- a. Hallar tal que )(tx 2 , ))2ln( , ),(()( ttttxtF , es una parametrización regular de la curva que pasa por el punto )0,1,2( sabiendo que para todo punto de su vector tangente es ortogonal al vector .

(3 puntos) )1,1,1(

b. Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador de en el punto . )0,1,2(

(1 puntos)

San Miguel, 29 de octubre 2011 Preparado por los profesores del curso Coordinadora: Prof. Olga Chamorro

2 de 2