2016/06/28

2.5

D3

2016/06/28

Abstract•

→

•

• G | | = | | - | | + 2

• G K5 K3,3

•

2016/06/28

Outline

•

• ( )

• •

• •

2016/06/28

Outline

•

• ( )

• •

• •

2016/06/28

2.28

• (simple Jordan curve):

• φ: [0,1] → ℝ2 (= )

• φ(0) φ(1)

• (closed Jordan curve):

• φ(0)=φ(1) 0≤x<x'<1 φ(x)≠φ(x')

φ: [0,1] → ℝ2 (= )

2016/06/28

• (polygonal arc):

• (polygon):

2016/06/28

(connected region)

• :

• J R = ℝ2 \ J

• p,q R (= J

)

• J

• 1 (= J )

1

2016/06/28

2.29 • ψ: V(G) → ℝ2

• e = {x,y} Je ( ψ(x), ψ(y) )

• e = {x,y}

ψ {Je : e∈E(G)} G

•

(Je \ { (x), (y)}) \ { (v) : v 2 V (G)} [

[

e02E(G)\{e}

Je0

!= ;

Je\{ψ(x),ψ(y)}

2016/06/28

(planar graph)

• G (planar) :

G

• Φ (face) :

Φ

2016/06/28

• K4

• K5 ( )

• ( 24)

• ( )

2016/06/28

2.30

:

1. J

2. J 2

→ 2 J

3. J 1

4. J J 2

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1

2016/06/28

2.30

:

1. J

p∈ℝ2\J, q∈J p q ℝ2\J∪{q}

(J J q )

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1

2016/06/28

2.30

:

2. J 2

p∈ℝ2\J, q∈J →

p q 1

q

→ 2 J

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1

2016/06/28

2.30

:

3. J 1

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1

2016/06/28

2.30

:

4. J 2

p∈ℝ2\J α lα

lα J " " cr(p, lα) α

cr(p,lα) → gp(α) = cr(p,lα) mod 2

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1p J

lα

2016/06/28

2.30

:

4. J 2

gp(α) = cr(p,lα) mod 2

pspt J → p∈pspt gp → gp

pspt J 1 → gps, gpt

gp 2 2

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1

J ℝ2\J 2

2 J J

ℝ2\J 1

ps pt

ps pt

lα

lα

J

J

2016/06/28

(outer face)

•

1

•

2016/06/28

Outline

•

• ( )

• •

• •

2016/06/28

2.31 2-

:

1. G (∵ 2.30)

2. G

1

x x-1

G Φ 2-

2

= |E(G)| - |V(G)| + 2

2016/06/28

2.31 2-

:

1. G (∵ 2.30)

- G {Je}

→ 2

{Je} 2 |E(G)| = |V(G)|

G Φ 2-

2

= |E(G)| - |V(G)| + 2

2016/06/28

2.31 2-

:

2. G

P G'

F' F' (C )

P x,y C x,y x-y- 2 (Q1, Q2 )

Q1+P, Q2+P F' 2 → 1

P |E(P)| - (|V(P)| - |{x,y}|) = 1 = -

G Φ 2-

2

= |E(G)| - |V(G)| + 2

P Q1 Q2

2016/06/28

2.32

:

1. G 2- (∵ 2.31)

2.

G

= |E(G)| - |V(G)| + 2

2016/06/28

2.32

:

2.

G1, ..., Gk Fk |E(Gk)| - |V(Gk)| + 2 1

+

F = Σk Fi-1 + 1 = Σk(|E(Gi)| - |V(Gi)| + 1) + 1 = |E(G)| - (|V(G)| + k - 1) + k + 1 = |E(G)| - |V(G)| + 2

G

= |E(G)| - |V(G)| + 2

Gi x

2016/06/28

(girth)

• G

= 4

2016/06/28

2.33

:

G Φ r r = |E(G)| + |V(G)| + 2 (∵ 2.32)

G 2- 2.31 2 (= )

k kr ≤ 2|E(G)|

|E(G)| - |V(G)| + 2 ≤ 2/k |E(G)| |E(G)| ≤ (n-2) k / (k-2)

G 2- 2-

k≥3 (n-2)×3 / (3-2) = 3n-6 ( )

G n k 2-

(n-2) k / (k-2)

G n ≥ 3 3n-6

2016/06/28

2.34 K5, K3,3

:

2.33

K5: 10 > 3×5 - 6 = 9

K3,3: 2- 4 9 > (6-2)×4 / (4-2) = 8

K5, K3,3

K5: 5K3,3: 3 3

2016/06/28

Outline

•

• ( )

• •

• •

2016/06/28

2.35 • G,H:

• H H' V(H') = V1

∪ ... ∪ Vk H' Vi 1 G

G H

• H (1) (G-v) (2) (G-e)

(3) (G/e) G G H

H G

2016/06/28

•

→

• K5, K3,3

•

H G

2016/06/28

2.36 35 3- G G/e 3-

e

:

e

→ e = {v,w} 3-

→ G - {v,w,x} x C

C x y G/{x,y} 3-

→ G - {x,y,z} z

→ v,w v,w D

D C ( ) C

zy

x v wCD

2016/06/28

2.36 35 3- G G/e 3-

e

: D C ( )

C: G - {v,w,x}

D: v,w G - {x,y,z}

y d∈D → {y,d} d ∈ V(C)

D: d v,w,x,y,z

C: d x,y,z

D ⊆ C y∈V(C) y∉V(D) D ⊂ C

zy

x v wC

Dd

2016/06/28

2.37 33-

K5 K3,3

:

)

)

2.36 e={v,w} 3-

( ) 2-

( 2.31)

K5 K3,3

2016/06/28

2.37 33-

K5 K3,3

:

)

e={v,w} G/e x

G/e-x ψ(x) → C

w v y1, ..., yk

C yi-yi+1 Pi w Γ(w) ⊆ {v}∪Pi i

( ) →

w v

P2P1

P3

P4

P5

2016/06/28

2.37 33-

K5 K3,3

: C = ∪Pi Γ(w) ⊆ {v}∪Pi i

(1) w y1, ..., yk 3 :

K5

wv

y1y2

y3

y4y5

2016/06/28

2.37 33-

K5 K3,3

: C = ∪Pi Γ(w) ⊆ {v}∪Pi i

(2) w y1, ..., yk 2 :

K3,3

wv

ysyi

ytyj

w v

ys

yt yj

yi

2016/06/28

2.37 33-

K5 K3,3

: C = ∪Pi Γ(w) ⊆ {v}∪Pi i

(3) w Pi Pi :

K3,3

(1)~(3) w

v

yiyi+1

z2

w v

yi

yi+1 z2

z1

z1

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

:

1.

2. x x x y, z

3. 2- x,y

a. 3- (∵ 2.37)

b. 2

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

:

1. :

3- G-X X = {x,y}

G1 = G[V(C)∪X], G2 = G-V(C)

: v,w ∈ V(G1) e = {v,w} K5, K3,3 G+e

G1+e+f G2+f K5, K3,3 (f = {x,y})

y

xG2G1

2016/06/28

2.38

:

V(G1) Z1, ..., Zt

Zi K5 (t=5) K3,3 (t=6) Z

Zi ⊆ V(G1) \ X Zj ⊆ V(G2) \ X i, j

(∵x, y 2 Zk Zi, Zj → K5, K3,3 3- )

(a) Zi ⊆ V(G1) \ X Zi → G2+f K5, K3,3

(b) Zi ⊆ V(G2) \ X Zi → G1+e+f K5, K3,3

: v,w ∈ V(G1) e = {v,w} K5, K3,3 G+e

G1+e+f G2+f K5, K3,3 (f = {x,y})

y

xG2G1

f

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

: 2. x x x y, z

(G 3- )

z G-x y z∈V(G1)

e = {y,z} G+e K5, K3,3 G1+e

G2 K5, K3,3 (f G )

G1+e y 2 G1 G2 G

: v,w ∈ V(G1) e = {v,w} K5, K3,3 G+e

G1+e+f G2+f K5, K3,3 (f = {x,y})

y

xG2G1

fz

2016/06/28

2.38

: 3. 2- x,y

G 2- f = {x,y} E(G)

G+f K5, K3,3 G1+f

G2+f K5, K3,3 G 2- G1, G2

x-y- f

→ G1, G2 K5, K3,3

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

: v,w ∈ V(G1) e = {v,w} K5, K3,3 G+e

G1+e+f G2+f K5, K3,3 (f = {x,y})

y

xG2G1

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

: 3-a. 3- (∵ 2.37)

Gi 5 K5 K3,3

→ 2.37 Gi 3-

→ Gi e e OK

: v,w ∈ V(G1) e = {v,w} K5, K3,3 G+e

G1+e+f G2+f K5, K3,3 (f = {x,y})

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

: 3-b. 2

Gi Φi f = {x,y} Fi

( 31)

zi∉{x,y} Fi e = {z1,z2} OK

G+e K5 K3,3

y

xF2F1 z2z1

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

: zi∉{x,y} Fi e = {z1,z2} OK

G+e Z1, ..., Zt Zi K5 (t=5)

K3,3 (t=6)

(1) V(G1) \ {x,y} Zi 1

w F2 y

xF2

z2w

2016/06/28

2.38

G 3- 5 K5 K3,3

e={v,w} G+e K5 K3,3

2 v, w

: zi∉{x,y} Fi e = {z1,z2} OK

G+e Z1, ..., Zt Zi K5 (t=5) K3,3 (t=6)

(2) V(Gk) \ {x,y} Zi 2

Z1,Z2 ∈ V(G1) \ {x,y}, Z3,Z4 ∈ V(G2) \ {x,y} z1∉Z1, z2∉Z3,

Z1 Z3 K5

Z1 Z3 Z5, Z6 K3,3

yx

Z4

z2

Z2

Z3Z1

z1

2016/06/28

2.39 Kuratowski

:

)

) 2.37 2.38

3- 2.38 3-

K5, K3,3 3- 2.37

K5

K3,3

2016/06/28

Kuratowski

• ( 29)

• K5 K3,3

•

( 28(b))

• 3- 3-

K5 K3,3

2016/06/28

2.40

• Hopcroft and Tarjan [1974]

• ( )