Pi

~3,1415926535…

Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Histoire:Histoire: La lettre grecque "π" est la première des mots grecs La lettre grecque "π" est la première des mots grecs περιφέρεια (περιφέρεια (périphériepériphérie) et περίμετρος () et περίμετρος (périmètrepérimètre, c'est à , c'est à dire dire circonférencecirconférence).).Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les analyse. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie.nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie.

La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs approchées connues de π : des premières valeurs approchées connues de π : Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que π est évalué àque π est évalué à

Calcul de la valeur de piCalcul de la valeur de pi::

Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre π ne possède pas de Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre π ne possède pas de développement décimal fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut développement décimal fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une valeur approchée avec 100 décimales:valeur approchée avec 100 décimales:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 …3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 …

Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs. donne 7 chiffres significatifs.

Pi à travers le temps ...Pi à travers le temps ...

INTRODUCTION:INTRODUCTION:

Le nombre Pi est parvenu à nos jours en évoluant au Le nombre Pi est parvenu à nos jours en évoluant au cours des siècles. De nos jours on peut trouver à peu cours des siècles. De nos jours on peut trouver à peu près 1 000 000 000 000 de décimales de Pi.près 1 000 000 000 000 de décimales de Pi.

Le nombre Pi sert à calculer les volumes, les aires des Le nombre Pi sert à calculer les volumes, les aires des sphères ou des disques.sphères ou des disques.

1. Babyloniens 1. Babyloniens

Une tablette babylonienne trouvée en 1936 date Une tablette babylonienne trouvée en 1936 date de plus de 4000 ans. Les Babyloniens savaient de plus de 4000 ans. Les Babyloniens savaient que le périmètre d’un hexagone est le triple de que le périmètre d’un hexagone est le triple de son diamètre. Ils savaient que le rapport entre son diamètre. Ils savaient que le rapport entre le périmètre d’un cercle de 1 cm de rayon et le périmètre d’un cercle de 1 cm de rayon et celui d’un hexagone inscrit avait une valeur de celui d’un hexagone inscrit avait une valeur de 57/60+36/(60)² (valeur obtenue d’après un 57/60+36/(60)² (valeur obtenue d’après un usage de base de 60). Ils en ont déduit:usage de base de 60). Ils en ont déduit:

                        Π = 3/(57/60+36/3600)Π = 3/(57/60+36/3600)                              = 3+1/8 = 3,1 25 = 3+1/8 = 3,1 25 

2. Égyptiens  2. Égyptiens 

Le papyrus de Rhind trouvé en 1855, recopié vers 1650 Le papyrus de Rhind trouvé en 1855, recopié vers 1650 avant J-C par le scribe Ahmès montre que les Egyptiens avant J-C par le scribe Ahmès montre que les Egyptiens ont travaillé sur le nombre Pi. Les archéologues et les ont travaillé sur le nombre Pi. Les archéologues et les chercheurs ont conclu que le problème était encore plus chercheurs ont conclu que le problème était encore plus ancien (1800 ans av.J.C.) . Le calcul de ce problème ancien (1800 ans av.J.C.) . Le calcul de ce problème évalue le nombre Pi à une formule de (16/9)² = évalue le nombre Pi à une formule de (16/9)² = 3,160449.3,160449.

  Méthode de calcul :Méthode de calcul : On construit un octogone dans un carré, dont chaque On construit un octogone dans un carré, dont chaque

côté mesure 9 unités. L’aire de cet octogone est égale à côté mesure 9 unités. L’aire de cet octogone est égale à 63 unités en comptant les carrés et les demi-carrés qui 63 unités en comptant les carrés et les demi-carrés qui le constituent. On dessine un cercle qui a pour aire le constituent. On dessine un cercle qui a pour aire (9/2)²Π, circonscrit à cet octogone. Cette aire est à peu (9/2)²Π, circonscrit à cet octogone. Cette aire est à peu près égale  à 63. Puis on remplace 63 par 64 pour près égale  à 63. Puis on remplace 63 par 64 pour faciliter les calculs et on trouve (16/9)²Π pour l’aire de ce faciliter les calculs et on trouve (16/9)²Π pour l’aire de ce cercle. Autrement dit les Egyptiens connaissaient la cercle. Autrement dit les Egyptiens connaissaient la formule pour calculer le périmètre d’un cercle: P=2Πr.formule pour calculer le périmètre d’un cercle: P=2Πr.

3. Dans la Bible: 3. Dans la Bible:

Dans la Bible (Livre des Rois 1, 7, 3 et 2, chronique 4, 2), le texte expliquant Dans la Bible (Livre des Rois 1, 7, 3 et 2, chronique 4, 2), le texte expliquant la construction du temple de Salomon et la description du grand chaudron la construction du temple de Salomon et la description du grand chaudron du fondeur de bronze Hiram (aux alentours de 550 avant J.C.)  indique du fondeur de bronze Hiram (aux alentours de 550 avant J.C.)  indique l’utilisation du nombre Pi. Π=3. Cette valeur n’était qu’une approximation.l’utilisation du nombre Pi. Π=3. Cette valeur n’était qu’une approximation.

4. Grecs4. Grecs

  Les Grecs ont travaillé sur les quadratures Les Grecs ont travaillé sur les quadratures du cercle et ont défini : Π=3,1du cercle et ont défini : Π=3,1

5. Archimède de Syracuse5. Archimède de Syracuse(287-212 avJC.)(287-212 avJC.)

Mathématicien et ingénieur, il progresse sur le sujet de Pi. Il établit que le Mathématicien et ingénieur, il progresse sur le sujet de Pi. Il établit que le rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre  à son diamètre. Ensuite, en considérant des rapport de son périmètre  à son diamètre. Ensuite, en considérant des polygones de 6, 12, 24, 48 puis de 96 côtés, il détermine des polygones de 6, 12, 24, 48 puis de 96 côtés, il détermine des encadrements.encadrements.

  3+10/71 < Π <3+1/7       ou        223/71 < Π < 22/73+10/71 < Π <3+1/7       ou        223/71 < Π < 22/7

Il obtient 3,1408 < Π < 3,1429.Il obtient 3,1408 < Π < 3,1429.

Il utilisait des calculs abstraits mais pas des mesures. C‘est le premier à Il utilisait des calculs abstraits mais pas des mesures. C‘est le premier à proposer une méthode de calcul de Pi avec une précision aussi grande proposer une méthode de calcul de Pi avec une précision aussi grande que l’on veut.que l’on veut.

  6. En Inde6. En Inde

En Inde le plus ancien document date de 380 après J.C. En Inde le plus ancien document date de 380 après J.C. Ce texte utilise les valeurs :Ce texte utilise les valeurs :

        3+177/1250 = 3,14163+177/1250 = 3,1416

Aryabhata en 449 utilise 3, 1416 comme valeur d’après Aryabhata en 449 utilise 3, 1416 comme valeur d’après les formules d’Archimède.les formules d’Archimède.

Un peu plus tard, en  596 après J.C. le mathématicien Un peu plus tard, en  596 après J.C. le mathématicien Brahmagupta définit:Brahmagupta définit:

Π = V10 = 3,162277Π = V10 = 3,162277

7.  En Chine :7.  En Chine :

En 1200 avant J.C. les Chinois utilisaient la valeur Π=3.En 1200 avant J.C. les Chinois utilisaient la valeur Π=3.

En 130 de notre ère Hou Han Shu proposa Π = 3,1622 comme En 130 de notre ère Hou Han Shu proposa Π = 3,1622 comme valeur très proche de V10.valeur très proche de V10.

En 263, Lui Hui étudie comme Archimède un polygone de 192 côtés En 263, Lui Hui étudie comme Archimède un polygone de 192 côtés et proposa l’encadrement:et proposa l’encadrement:

3,1415926 < Π < 3,14159273,1415926 < Π < 3,1415927et trouve l’approximation de 355/113 que l’Europe ne trouvera qu’au et trouve l’approximation de 355/113 que l’Europe ne trouvera qu’au

XVIe siècle.XVIe siècle.

8. Dans le monde de 8. Dans le monde de l’Islam :l’Islam :

Vers l’an 800, Muhammed ibn Musa Al-Khwarizmi né en Huwarizm (en Vers l’an 800, Muhammed ibn Musa Al-Khwarizmi né en Huwarizm (en Ouzbekistan nommé aujourd’hui Khiva) a utilisé la valeur Π=3,1416.Ouzbekistan nommé aujourd’hui Khiva) a utilisé la valeur Π=3,1416.

Vers 1450 Al-Kashi astronome à Samarkand (en Turkestan) dont il dirige un Vers 1450 Al-Kashi astronome à Samarkand (en Turkestan) dont il dirige un observatoire calcule Pi avec 14 décimales.observatoire calcule Pi avec 14 décimales.

Par la méthode d’Archimède :Par la méthode d’Archimède :C‘est la première fois dans l’histoire de l’humanité que l’on obtient plus de dix C‘est la première fois dans l’histoire de l’humanité que l’on obtient plus de dix

décimales de Π.décimales de Π.                                                                                                                      Al-Khashi calcule dans le système sexagésimal et trouveAl-Khashi calcule dans le système sexagésimal et trouveΠ = 3,082944004725530725.Π = 3,082944004725530725.

Un petit poème pour Pi :Un petit poème pour Pi :Que j' aime à faire apprendre un nombre utile Que j' aime à faire apprendre un nombre utile

aux sages!aux sages!Glorieux Archimède, artiste ingénieux !Glorieux Archimède, artiste ingénieux !

Toi, de qui Syracuse, aime encore la Toi, de qui Syracuse, aime encore la gloire,gloire,

Soit ton nom conservé par de savants Soit ton nom conservé par de savants grimoires.grimoires.

Jadis, mystérieux, un problème existait.Jadis, mystérieux, un problème existait.Tout l'admirable procédé, l 'oeuvre Tout l'admirable procédé, l 'oeuvre

étonnante !étonnante !Que Pythagore découvrit aux anciens Que Pythagore découvrit aux anciens

Grecs:Grecs:Ô quadrature ! Vieux tourment du Ô quadrature ! Vieux tourment du

philosophe ! philosophe ! Sibylline rondeur, trop longtemps vous Sibylline rondeur, trop longtemps vous

avezavezDéfié Pythagore et ses imitateurs !Défié Pythagore et ses imitateurs !

Comment intégrer l'espace plan Comment intégrer l'espace plan circulaire ?circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?Former un triangle auquel il équivaudra ?Nouvelle invention : Archimède inscriraNouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; Appréciera son aireDedans un hexagone ; Appréciera son aireFonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra !Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra !

Dédoublera chaque élément antérieur ;Dédoublera chaque élément antérieur ;Toujours de l'orbe calculée approchera;Toujours de l'orbe calculée approchera;

Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteurDéfinira limite ; enfin, l'arc, le limiteurDe cet inquiétant cercle, ennemi trop De cet inquiétant cercle, ennemi trop

rebelle !rebelle !Professeur, enseignez son problème avec Professeur, enseignez son problème avec

zèle...zèle...

3,141592653589793238462643383279502884193,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286207169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282308998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481116647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954937450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233780381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610456783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006604326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364366315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146957892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186111941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833677351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190703362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384672179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827784818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901225771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923544953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629772019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049954771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908301059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010002642522308253344685035261931188171010003137838752...3137838752...

1. En effet, en remplaçant chacun des mots par le nombre de lettres le constituant, on obtient... Pi!)

(Remarque: un mot de 10 lettres = 0)

9.  En Europe :9.  En Europe :Claude Ptolémée, astronome et géonome grec (vers 100-170) utilise la valeur Claude Ptolémée, astronome et géonome grec (vers 100-170) utilise la valeur

sexagésimale:sexagésimale:

3+8/60+30/(60)²=3+17/120=377/120= 3,14166663+8/60+30/(60)²=3+17/120=377/120= 3,1416666En 1220 Léonard de Pise (dit Fibonacci) [1180-1250] calculeEn 1220 Léonard de Pise (dit Fibonacci) [1180-1250] calculeΠ=3,141818Π=3,141818

En 1573 en Allemagne Valentinus Otho trouve 355/113 (déjà connu par les Chinois En 1573 en Allemagne Valentinus Otho trouve 355/113 (déjà connu par les Chinois depuis le Ve siècle) Π=3,14159292 (utilisation avec 6 décimales).depuis le Ve siècle) Π=3,14159292 (utilisation avec 6 décimales).

En Allemagne Nicolas de Cues (1401-1464) propose la valeurEn Allemagne Nicolas de Cues (1401-1464) propose la valeur    Π = 3/4 (V3+V6) = 3,13615. Regimontanus a démontré sa fausseté un peu plus tard.Π = 3/4 (V3+V6) = 3,13615. Regimontanus a démontré sa fausseté un peu plus tard.

En 1593 aux Pays-Bas Adriaen von Rooman (1561-1615) calcule Π avec 15 décimales En 1593 aux Pays-Bas Adriaen von Rooman (1561-1615) calcule Π avec 15 décimales en utilisant un polygone.en utilisant un polygone.

Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilise la méthode d’Archimède à l’université de Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilise la méthode d’Archimède à l’université de Leyde .En 1596, il calcule Pi avec 20 décimales puis en 1609 avec 34 décimales.Leyde .En 1596, il calcule Pi avec 20 décimales puis en 1609 avec 34 décimales.

10.  Isaac Newton10.  Isaac Newton

Isaac Newton (1642-1727) calcule Pi avec 16 décimales.Isaac Newton (1642-1727) calcule Pi avec 16 décimales.

11. Wiliam Gosper11. Wiliam Gosper

Calcule Pi avec 17 millions de Calcule Pi avec 17 millions de décimales en 1985.décimales en 1985.

  12. Au Japon12. Au Japon

Yasumasa KanadaYasumasa Kanada

En 1997 Yasumasa Kanada et Daisuke Takahashi obtient En 1997 Yasumasa Kanada et Daisuke Takahashi obtient le record de Pi avec 51 539 600 000 décimales.le record de Pi avec 51 539 600 000 décimales.

CONCLUSIONCONCLUSION

On voit que le nombre Pi est un nombre infini dit  “transcendant”, et a On voit que le nombre Pi est un nombre infini dit  “transcendant”, et a une histoire qui date de 2000 ans avant J-C Ce nombre est infini. une histoire qui date de 2000 ans avant J-C Ce nombre est infini.

On peut même trouver des chansons, des poèmes, ou  écrits sur le On peut même trouver des chansons, des poèmes, ou  écrits sur le nombre Pi. Ce qui  montre que Pi est aussi  un nombre fascinant.nombre Pi. Ce qui  montre que Pi est aussi  un nombre fascinant.

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http://www.lcdgankara.org/eleves/sites/maths2001/http://www.lcdgankara.org/eleves/sites/maths2001/pi.htmpi.htm