Download - Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektor

Transcript

L/O/G/O

GITA SETIAWAN

1105749

VEKTOR

Kompetensi Dasar

Indikator

Perkalian Skalar dengan Vektor

Proyeksi Vektor

Perbandingan Vektor

Latihan Soal

KOMPETENSI DASAR

Memahami konsep skalar dan vektor dan

menggunakannya untuk membuktikan

berbagai sifat terkait jarak dan sudut serta

menerapkannya dalam memecahkan

masalah

INDIKATOR

Mampu menggambar vektor lain jika

diketahui dua vektor.

Perkalian Skalar dengan Vektor

Perhatikan vektor berikut :

Dari vektor tersebut diperoleh :

a2a1 K vektor a

a3

k skalar tak nol dan vektor u

= (a1, a2,a3)

Maka ku= (k a1, k a2, k a3)

Dalam perkalian skalar :

k>0 maka vektor ka searah

dengan vektor a

k<0 maka vektor ka

berlawanan arah dengan

vektor a

a

a

a

a

a

a

Contoh Soal Diketahui vektor a dan b seperti gambar

berikut :

Gambarkan vektor c dengan c = 2a - b!

a b

2a-b

c

Jika a dan b adalah vektor- vektor tak nol dan ἀ

adalah sudut di antara vektor a dan b

b

a

Maka perkalian skalar vektor

a. 𝐛 , yaitu :

a. 𝐛 = |a| |b| cos ἀ

Pada 𝑹𝒏

a.b =𝒂𝟏𝒃𝟏+ 𝒂𝟐𝒃𝟐+ …… + 𝒂𝒏𝒃𝒏( 𝒃 − 𝒂 )𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 - 2abcos ἀ

Cos ἀ = 𝒃−𝒂 𝟐 −𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

−𝟐𝒂𝒃

Bagaimana jika vektor beradapada 𝑹𝒏 ?

Proyeksi VektorPerhatikan segitiga AOB

Pada segitiga AOB, cos θ adalah :

|c| = |a| cos θ = |a| 𝒂.𝒃

𝒂 |𝒃|= 𝒂.𝒃

|𝒃|

Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b :

|c| = 𝒂.𝒃

|𝒃|

a

b

A

OC

c

Berdasarkan segitiga AOB, karena c berimpitdengan b maka :

vektor satuan c = 𝒃

|𝒃|

Jadi, c= 𝒂.𝒃

|𝒃|.

𝒃

|𝒃|=

𝒂.𝒃

|𝒃|𝟐. b

Proyeksi vektor a pada vektor b :

C= 𝐚.𝐛

|𝐛|𝟐. b

Dari hubungan

tersebut, bagaimana

dengan proyeksi

vektornya ?

Perbandingan Vektor

Misalkan:

• Posisi rumah Niko Sentera adalah P• Posisi sekolah adalah Q• Posisi Niko Sentera saat ini adalah NMaka dapat dituliskan PN : NQ m : n.

Niko Sentera pergi dari rumah ke sekolahnya dengan

berjalan kaki melintasi sebuah jalan yang lurus. Jika

saat ini, ia telah meninggalkan rumah sejauh m meter

dan ia harus menempuh jarak n meter lagi untuk

tiba di sekolah.

Maka perbandingan jarak yang telah ditempuh

dengan jarak yang belum ditempuhnya adalah m : n.

Ilustrasi seperti berikut :

Rumah Niko = P Niko Sentera = N Sekolah Niko = Q

Dari perbandingan seperti pada soal , kalian dapat menyatakan titik N sebagai vektor posisi n dalam vektorposisi titik P dan Q.Caranya sebagai berikut :

n = r + PN

= r + 𝒎

𝒎+𝒏𝑷𝑸

= r + 𝒎

𝒎+𝒏(s-r)

= 𝒎𝒓+𝒏𝒓+𝒎𝒔−𝒏𝒓

𝒎+𝒏

= 𝒎𝒔+𝒏𝒓

𝒎+𝒏

P

Q

O

N

r

s

n

m

n

Jadi, n = 𝒎𝒔+𝒏𝒓

𝒎+𝒏

Dalam perbandingan PN:NQ = m:n terdapat duakasus, yaitu :

Titik N membagi PQ di dalamPN:NQ = m:n

P

Q

N

m

n

Titik N membagi PQ di luar

PN:NQ = m: (-n)

P Nm

Q -n

Latihan Soal

1. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-

1,2,2). Tentukanlah besar sudut yang

dibentuk oleh vektor a dan vektor b!

2. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-

1,2,2). Tentukanlah panjang proyeksi

vektor a pada vektor b!

3. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-

1,2,2). Tentukan vektor proyeksi a pada

vektor b!

L/O/G/O

Thank You!