PENGUJIAN HIPOTESIS RATA-RATA

Oleh : Riandy Syarif

Definisi

• Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yg didasarkan atas informasi sampelnya.

• Pengujian rata-rata terdiri dari : Satu rata-rata, beda dua rata-rata dan beda lebih dari dua rata-rata

PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA-RATA

1. Pengujian Hipotesis satu Rata-rata

Sampel Besar

n > 30

Uji Statistik : Distribusi Z

Sampel Kecil

n < 30

Uji statistik : Distribusi t

LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN SAMPEL BESAR (n > 30)

LANGKAH 1 : FORMULASI HIPOTESIS/KRITERIA PENGUJIAN

1) Ho : µ = µ0

H1 : µ > µ0

Uji satu arah (arah kanan)

2) Ho : µ = µ0

H1 : µ < µ0

Uji satu arah (arah kiri)

3) Ho : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

Uji dua arah

Kriteria Pengujian

A. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ > µ0 yakni:

• Ho diterima jika Zo ≤ Z α

• Ho ditolak jika Zo > Z α

Zα

B. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ < µ0 yakni:

• Ho diterima jika Zo ≥ - Z α

• Ho ditolak jika Zo < -Z α

Zα

C. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ ≠ µ0 yakni:

• Ho diterima jika -Z α/2 ≤ Zo ≤ Z α/2

• Ho ditolak jika Zo > Z α/2 atau Zo < -Z α/2

Langkah 2 : Taraf Nyata/menentukan nilai Z Tabel

• Mencari nilai Z tabel menggunakan Tabel distribusi “Z”.

• Misal dicari taraf nyata 5%, maka dapat diketahui dengan mencari nilai “0,05” atau nilai terdekatnya pada tabel distribusi “Z”

• Nilai Z hitung adalah Z0,05 = 1,645

• Maka Z0,05 =1,6 + 0,045 menjadi 1,645

1,645

Menentukan nilai Z tabel pengujian dua arah

0,025 0,025

Langkah 3 : Uji Statistik/”Z” hitung • Untuk Simpangan baku populasi (σ) diketahui: • Zo = =

• Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui: • Zo = = • Keterangan: • S = simpangan baku sampel n = Jumlah sampel • µo = nilai pendugaan Ho Zo = Z hitung • X = Rata-rata Sampel • σ = Simpangan baku Populasi

Langkah 4 : Menarik kesimpulan

“Z” Tabel

Membandingkan antara nilai “Z” Tabel : “Z” hitung dan kriteria pengujian apakah Ho diterima atau ditolak

Contoh soal

• Pimpinan bagian mutu barang pabrik susu merk SUSU WOW ingin mengetahui apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang diproduksi dan dipasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku/ standar deviasi bersih perkaleng sama dengan 125 gram. Dari sampel 100 kaleng yg diteliti, diperoleh rata-rata berat bersih 375 gram. Dapatkah diterima bahwa berat bersih rata-rata yang dipasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5%!

Penyelesaian

Diketahui :

n=100 ; X = 375 ; σ = 125 ; µo = 400

a. Formulasi hipotesis :

Ho ; µ = 400

H1 ; µ < 400

b. Taraf nyata dan nilai Z tabelnya :

α = 5% = 0,05

Z 0,05 = -1,645 (Pengujian sisi kiri)

c. Kriteria pengujian

Ho diterima jika Zo ≥ -1,64

Ho ditolak jika Zo < -1,64

d. Uji Statistik

𝑍0 =𝑋 − 𝜇0

𝜎

𝑛

𝑍0 =375 − 400

125

100

= −0,22

e. Kesimpulan

Karena Zo = -0,22 ≥ -1,64, maka Ho diterima. Jadi berat bersih rata-rata susu bubuk merk SUSU WOW per kaleng dipasarkan sama dengan 400 gram

Sampel Kecil (n<30)

• Untuk pengujian satu rata-rata dengan sampel kecil (n<30), uji statistiknya menggunakan distribusi t.

Formulasi Hipotesis

1) Ho : µ = µ0

H1 : µ > µ0

Uji satu pihak (pihak kanan)

2) Ho : µ = µ0

H1 : µ < µ0

Uji satu pihak (pihak kiri)

3) Ho : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

Uji dua pihak

Penentuan taraf nyata (α) dan nilai t tabel

• Menentukan nilai α sesuai, kemudian menentukan nilai db (derajat bebas) /df (degree of freedom) yaitu db=n-1

• Lalu menentukan nilai t α ; n-1 (Uji Satu Arah) atau t α/2 ; n-1 (Uji Dua Arah) ditentukan melalui tabel distribusi “t”

Kriteria Pengujian

A. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ > µ0 yakni:

• Ho diterima jika to ≤ tα

• Ho ditolak jika to > tα

B. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ < µ0 yakni:

• Ho diterima jika to ≥ - tα

• Ho ditolak jika to < -tα

C. Untuk Ho : µ = µ0 dan H1 : µ ≠ µ0 yakni:

• Ho diterima jika -tα/2 ≤ to ≤ tα/2

• Ho ditolak jika to > tα/2 atau to < -tα/2

Menentukan nilai “t” tabel

• Contoh : jika jumlah sampel sebanyak 15 dan taraf nyata 5% atau 0,05. Maka nilai tα adalah

Uji Statistik • Untuk Simpangan baku populasi (σ) diketahui: • to = =

• Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui: • to = = • Keterangan: • S = simpangan baku sampel n = Jumlah sampel • µo = nilai µ sesuai dengan Ho to = t hitung • X = Rata-rata Sampel • σ = Simpaangan baku Populasi

• Contoh soal : Sebuah sampel terdiri atas 15 kaleng cat, memiliki rata-rata isi berat kotor sebesar 1,208 dan simpangan baku sampel sebesar 0,02 Kg. Jika digunakan taraf nyata 1 %, dapatkah kita meyakini bahwa populasi cat dalam kaleng rata-rata memiliki berat kotor 1,2 Kg?

Diketahui:

n = 15 α = 1% = 0,01

µo = 1,2 db = 15-1 =14

S = 0,02

1. Formulasi Hipotesis :

Ho : µ = 1,2

H1 : µ ≠ 1,2

3. Taraf nyata dan nilai t tabel :

α = 1% = 0,01

α/2 = 0,005

db (derajat bebas) : 15-1 = 14

t 0,005;14 = 2,977

4. Kriteria Pengujian

• Ho diterima jika

-2,977≤ to ≤ 2,977

• Ho ditolak jika

-2,977>to > 2,977

5. Uji Statistik :

to = =

= 1,52

6. Kesimpulan

-2,977 < 1,52 <2,977 Ho diterima

1,208 - 1,2

0,02

√15

PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA DUA RATA-RATA

• Dalam praktek seringkali ingin diketahui apakah ada perbedaan yg berarti dari dua rata-rata. Misalnya apakah ada perbedaan rata-rata dari :

1. Harga beras per kilo di pasar inpres dan pasar sui durian

2. Gaji karyawan CU Keling Kumang dengan Bank Kalbar

3. Kecepatan mengerjakan suatu tugas bagi Mahasiswa dan mahasiswi Univ. Muhammadiyah

Perumusan hipotesa

• Ho : µ1 = µ2

H1 : µ1 > µ2

• Ho : µ1 = µ2

H1 : µ1 < µ2

• Ho : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

Uji Statistik Sampel besar (n>30)

• Jika Simpangan baku populasi diketahui :

• Jika Simpangan baku sampel diketahui :

Contoh Soal :

• Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di Kab. Melawi dan Kab. Sintang sama dengan alternative Melawi lebih besar dari pada Sintang. Untuk itu, diambil sampel di kedua daerah, masing 100 orang dan 70 orang dengan rata-rata dan simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35 dan 7 jam per minggu. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5%!

Penyelesaian • Diketahui : • .n1 = 100 X1 = 38 s1 = 9 • .n2 = 70 X2 = 35 s2 = 7 • Formulasi hipotesis : • Ho : µ1 = µ2 • H1 : µ1 > µ2 • Taraf nyata dan nilai Z tabel : • α = 5% = 0,05 • Z 0,05 = 1,64

• Kriteria pengujian : • Ho diterima jika Zo ≤ 1,64 • H1 ditolak jika Zo > 1,64

UJI STATISTIK

Kesimpulan : Zo = 2,44 > 1,64, Ho ditolak, rata-rata jam kerja buruh di Melawi tidak sama dengan di Sintang

Uji statistik untuk sampel kecil (n<30)

𝑡0=

𝑋1 − 𝑋2

n1 − 1 s1

2 + n2 − 1 s2 2

𝑛1 + 𝑛2 − 2 1𝑛1

+1𝑛2

𝑡0=

𝑋1 − 𝑋2

n1 − 1 s12 + n2 − 1 s2

2 𝑛1𝑛2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2)

𝑛1 + 𝑛2

Atau

Contoh

• Sebuah perusahaan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak 12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir pelatihan diberikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 80 dengan simpangan baku 4 dan kelas kedua nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternatif kedua tidak sama. Gunakan taraf nyata 10%, asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama.

Langkah 1 Penyelesaiannya

Diketahui :

n1 = 12 n2 = 10

𝑋 1= 80

𝑋 2= 75

s1 = 4 s2 = 4,5

Formulasi Hipotesis :

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 ≠ µ2

Taraf nyata dan nilai t tabelnya :

α = 10%

α/2 = 0,05

db = 12 + 10 -2 = 20

t0,05:20 = 1,725

Kriteria pengujian :

-1,725 ≤ t0 ≤ 1,725

1,725 > t0 > 1,725

Uji statistic :

𝑡0=

𝑋1 − 𝑋2

n1 − 1 s1

2 + n2 − 1 s2 2

𝑛1 + 𝑛2 − 2

1𝑛1

+1𝑛2

𝑡0=

80 − 75

12 − 1 42 + 10 − 1 4,5

2

12 + 10 − 2

112

+1

10

𝑡0=

5

11 16 + 9 20,2520

10 + 12

120

𝑡0=

5

176 + 182,2520

0,183

𝑡0=

5

358,2520

0,183

𝑡0=

5

3,278

𝑡0=

5

1,810

To = 2,762

2,79 > t 0,05;20= 1,725, Ho ditolak, jadi kedua metode yg digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya

LANGKAH 2

𝑡0=

𝑋1 − 𝑋2

n1 − 1 s12 + n2 − 1 s2

2 𝑛1𝑛2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2)

𝑛1 + 𝑛2

𝑡0=

80 − 75

12 − 1 42 + 10 − 1 4,5 2

12(10) (12 + 10 − 2)

12 + 10

𝑡0=

5

11 16 + 9 20,25

120 (22)

22

𝑡0=

5

176 + 182,25

2400

22

𝑡0=

5

358,25 109,091

𝑡0=

5

18,927 10,445

to = 2,759