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C u r s o: Física Mención

MATERIAL: FM-01

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES

La palabra “Física” tiene su origen en elgriego φύσις physis, que significanaturaleza. La Física se ocupa de lanaturaleza y busca descifrar sus Leyes.Los experimentos permiten verificarnuestras leyes y las matemáticas nospermiten expresar nuestros resultados sinambigüedades. Debido a su caráctercentral respecto a otras ciencias lacomprensión de la Física, se requiere enmuchas otras disciplinas.

Magnitudes Escalares

Son magnitudes físicas fáciles dereconocer, ya que para identificarlas sólonecesitamos saber su magnitud, enalgunos casos es necesario acompañarlosde la unidad de medida como los que semencionan a continuación.

Ejemplos: rapidez, masa, tiempo,distancia, área, perímetro, densidad,volumen, temperatura, etc.

Magnitudes Vectoriales

Un vector se identifica por 3características fundamentales: magnitud(módulo o largo), sentido (indicado por laflecha) y dirección (indicado por la línearecta que pasa sobre el vector).

Una magnitud vectorial se simboliza con

una letra y una flecha en su parte

superior, A.

Si queremos referirnos a la magnitud del

vector A se denota por A.

Algunos ejemplos de magnitudes

vectoriales son: desplazamiento, velocidad,

aceleración, fuerza, momentum lineal,

torque, etc.

Representación de un vector

Sea C un vector tridimensional (tresdimensiones X, Y, Z)

C = (CX, CY, CZ)

Donde:

CX es la componente del vector en ladirección de X.CY es la componente del vector en ladirección de Y.CZ es la componente del vector en ladirección de Z.La otra forma de escribir un vector es enfunción de vectores unitarios, es decirvectores que tienen magnitud de valoruno, asociados a cada eje.

Y

X

Z

fig. 2

kj

i

Punto de aplicaciónu origen

DIRECCIÓN

SENTIDO

fig. 1

MAGNITUD

DIRECCIÓN

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- Al eje X asociamos el vector unitario i.

- Al eje Y asociamos el vector unitario j.

- Al eje Z asociamos el vector unitario k.

i = j = k = 1

El vector C queda representado de lasiguiente forma:

C = CXi + CYj + CZk

La magnitud de C es:

C = 2 2 2X Y Z(C ) + (C ) + (C )

Proyección de un vector

Proyectar un vector es trazar la

perpendicular a los ejes cartesianos. Por

ejemplo en dos dimensiones la figura 3

muestra al vector A y las dos

componentes que se obtienen en esta

proyección AX y AY donde:

Álgebra de vectores

i. Adición (método del triángulo)

Al sumar dos vectores A y B, primero se

dibuja A y a continuación se dibuja B,

procurando mantener las proporciones,

luego el origen de A se une con el final de

B (punta de la flecha).

La suma es conmutativa.

ii. Multiplicación de un vector por unescalar

Al multiplicar un vector por un escalar, elresultado es un vector, este vector tiene lamisma dirección del original, si el escalares distinto de 1, su módulo varía. Susentido depende del signo del escalar, siéste es positivo su sentido es el mismo deloriginal y si el escalar es negativo, elsentido es contrario al del original.

En los siguientes ejemplos, los vectores

a, b y c, son los vectores originales los

cuales son multiplicados por 3 y -1/2,

respectivamente:

iii. Sustracción

Se procede como en la suma, es decir,

para obtener A – B, se procede a efectuar

la operación A + (-B) obteniéndose así una

suma de dos vectores.

La sustracción no es conmutativa

AY = A sen

AX = A cos A

AxX

Ay

Y

fig. 3

3a

a

b-12

b

AA

B

-B

A + (-B)

fig. 5

A

BA + B

A

Bfig. 4

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iv. Producto Punto (escalar)

El resultado del producto punto es un

escalar.

Propiedades:

- el producto punto es conmutativo

A · B = B · A.

- el producto punto entre dos vectoresperpendiculares es cero.

v. Producto Cruz (vectorial)

El resultado del producto cruz es un vector

perpendicular al vector A y B.

Propiedades:

- el producto cruz no es conmutativo.

- el producto cruz entre dos vectoresparalelos es cero.

Nota 1:

Un caso especial es la multiplicación de un

vector por -1. Esta operación corresponde

a encontrar el vector opuesto o negativo

de un vector. Así, encontrar el opuesto de

un vector equivale a hallar otro, que posea

igual magnitud y dirección, pero con

sentido opuesto. Matemáticamente el

opuesto de A es -A.

Nota 2:Dos vectores paralelos de sentido opuestose llaman antiparalelos.

Sistema Internacional (SI)

En 1960, un comité internacional

estableció un conjunto de patrones para

estas magnitudes fundamentales. El

sistema que se aceptó es una adaptación

del sistema métrico, y recibe el nombre de

Sistema Internacional (SI) de

unidades.

También existen Magnitudes Derivadas

que se obtienen a partir de las

fundamentales por medio de ecuaciones

matemáticas. Como por ejemplo, el área

que es derivada de longitud.

Nota: en cualquier fenómeno físico que se

analiza, se deben tener en cuenta las

unidades de medidas con las cuales se

trabaja, ya que deben ser compatibles, de

lo contrario se procede a la conversión de

unidades.

MagnitudesFundamentales

Nombre Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad decorriente eléctrica ampere A

Temperatura kelvin K

Cantidad desustancia mol Mol

Intensidad luminosa candela Cd

A

-A

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Análisis Dimensional

El principio de Fourier o principio dehomogeneidad establece que todaecuación será dimensionalmente correctasi los términos que componen una suma odiferencia son de iguales dimensiones. Esdecir para que una fórmula física seacorrecta todos los términos de la ecuacióndeben ser iguales dimensionalmente. En elS.I. la unidad de medida de la longitud esm, pero su dimensión es L, la unidad demedida de masa es kg y su dimensión esM, y la unidad de medida del tiempo es s ysu dimensión es T.

Ejemplo:Al analizar la ecuación para determinar laaltura, se observa que todos los términostienen dimensiones de longitud

20

1h = v t + a t

2

Transformación de Unidades

En muchas situaciones en Física, tenemosque realizar operaciones con magnitudesque vienen expresadas en unidades queno son homogéneas. Para que los cálculosque realicemos sean correctos, debemostransformar las unidades de forma que secumpla el principio de homogeneidad.

Por ejemplo, si tenemos una rapidez queestá expresada en km/h y la queremosexpresar en m/s, la debemos dividir por3,6 y así quedará la rapidez en m/s estose debe a lo siguiente:

1 km = 1.000 m; para pasar de kilómetro

a metro debemos multiplicar por 1.000.

1 h = 3.600 s; para pasar de hora asegundo debemos multiplicar por 3.600.

De lo anterior si tenemos v = 72 km/hpara llevarlo a m/s debemos hacer losiguiente:

Es decir, 72 km/h es equivalente a20 m/s.

Prefijos

Las unidades del sistema métrico utilizanlos mismos prefijos para todas lascantidades. Un milésimo de gramo es unmilígramo, y mil gramos son un kilógramo.Para usar eficientemente las unidades delSI, es importante conocer el significado delos prefijos de la tabla.

Factor Prefijo Símbolo

109

106

103

102

101

10-1

10-2

10-3

10-6

gigamegakilo

hectodecadecicentimili

micro

GMkhdadcm

m (m/s) · s (m/s2) · s2

v = 72km 1000m 1 m 1 m m = 72 · = 72 · = 72 · = 20

36001h 3600s s 3,6 s s1000

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EJEMPLOS

1. La suma vectorial de los vectores que se muestran en la figura 6 y que tienen igualmódulo, da como resultado el vector que se muestra en

A)

B)

C)

D)

E) el resultado depende del orden en que se sumen ambos vectores.

2. En la figura 7 que se forma con los vectores A, B y C, el vector C se obtiene de laoperación

A) A + B

B) B + A

C) B – A

D) A – B

E) A – 2B

3. El resultado de la operación A + B – C, donde todos los vectores son de igual magnitudy A es el opuesto de B, es un vector cuya dirección y sentido se muestra en

A)

B)

C)

D)

E)

fig. 6

B

C

A

fig. 7

A B C

fig. 8

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4. Respecto al producto punto entre dos vectores se afirma que

I) el resultado que se obtiene de este producto es otro vector.II) es cero si los vectores son perpendiculares entre sí.

III) nunca dará como resultado el vector cero.

Es (son) correcta(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo II y III.

5. De acuerdo a las diferentes relaciones que existen entre las unidades y sustransformaciones es correcto afirmar que

A) 1 m = 1.000 kmB) 20 m/s = 36 km/hC) 1 m2 = 1.000 cm2

D) 1 h = 3.600 sE) 1 cm/s = 3,6 km/h

6. Suponga que existe y es dimensionalmente correcta la ecuación P = AGK + HL donde Ase mide en s, G se mide en m2/s, K se mide en 1/m, H se mide en kg/s y L se mideen m · s/kg. De acuerdo a los datos dados es correcto que la unidad de medida de lavariable P es

A) sB) m/sC) mD) m · kgE) m2

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PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. El vector -C se muestra en la figura 1, entonces el vector 2C es el que se muestra en

A)

B)

C)

D)

E)

2. Se forma un triángulo equilátero con los vectores X, Y, Z. La relación que es correctaentre ellos es

A) Z = -Y

B) X = Y

C) X + Y + Z = 0

D) X + Z = Y

E) Z – Y = X

3. La diferencia vectorial X – Y, donde los vectores X e Y son los mostrados en la figura 3,da como resultado un vector cuya dirección y sentido es

A)

B)

C)

D)

E)

fig. 1

-C

fig. 2X

YZ

fig. 3

X Y

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4. La unidad de energía en el SI es el Joule, esta unidad se puede descomponerfinalmente en kg · m2/s2. Si las dimensiones de longitud, masa y tiempo sonrespectivamente L, M, T, ¿cuál es la dimensión de energía?

A) ML2/T2

B) M/L2T2

C) ML/T2

D) ML2T2

E) ML

5. Dados los vectores A, B, C y D, de igual módulo, con A antiparalelo a C y B

antiparalelo a D, (ver fig. 4), entonces si A es perpendicular a D, el vector

(A + B) + (C + D) es el vector

A)

B)

C)

D)

E) cero

6. Los módulos de los vectores A, B, C y D son, respectivamente 20, 25, 12 y 10. Si en lafigura 5 los vectores son horizontales y verticales, la resultante de la suma de todosellos tiene un módulo igual a

A) 67B) 23C) 17D) 10E) 7

7. A partir de la figura 6, la relación verdadera es

A) A = B + C + E

B) A = -E + D

C) A = E – D + C

D) A = D + C + B

E) A = E + D

C A

D B

fig. 5

fig. 4

B

A

D

C

C

A

E BD

fig. 6

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8. Sean los vectores A y B perpendiculares entre sí, de módulos 5 cm y 12 cm,respectivamente, la resta vectorial de ellos da como resultado un vector de módulo

A) 7B) 10C) 13D) 17E) 24

9. ¿Qué cantidad se obtiene al multiplicar 20 GA por 5 MA y luego dividir por 10 A?

A) 1010 AB) 1015 AC) 1024 AD) 1022 AE) 1028 A

10. En la ecuación z = u · t la variable z tiene unidad m/s y la variable t tiene como unidads, la unidad de medida de la constante u es

A) m/s2

B) s/mC) 1/s2

D) mE) s

11. La velocidad es un vector, al multiplicar velocidad y tiempo el producto quedarátotalmente definido al conocer su

A) valor.B) dirección y su valor.C) distancia.D) sentido y su valor.E) valor, su dirección y su sentido.

12. La unidad de medida de la potencia se llama Watt y se puede descomponer en elsistema internacional, como W = m2kg/s3. Si las dimensiones de longitud, masa ytiempo son respectivamente, L, M y T, ¿cuál es la dimensión de potencia?

A) L · T -3 · M-1

B) L2 · M · T -3

C) L2 · M · T3

D) L · M2 · T -3

E) L-2 · T -3 · M

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13. De la figura 7 se observa que el vector T se puede obtener de la relación mostrada en

A) P + Q + R + S

B) -S – R + P + Q

C) R + S

D) P + Q

E) (S + P)/2

14. Al sumar dos vectores, el módulo del vector resultante puede ser

I) mayor que los módulos de cada uno.II) igual que los módulos de cada uno.

III) nulo.

Es (son) verdaderas(s)

A) solo I.B) solo I y II.C) solo I y III.D) solo II y III.E) I, II y III.

15. En la expresión “95 km/h hacia Calama desde Antofagasta”, la magnitud físicainvolucrada es

A) distancia.B) desplazamiento.C) rapidez.D) velocidad.E) aceleración.

16. El cociente entre 1 mm y 1 km da como resultado la cantidad

A) 1 dB) 1C) 1 GD) 1 µE) 10

fig. 7

TP

R

S

Q

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17. La resta vectorial (A + B) – (A + C) considerando que B y C son opuestos, da comoresultado un vector de dirección y sentido mostrado en

A) B) C)

D) E)

18. De acuerdo a la figura 9, determine D = 2 A – B – 3 C

A) D = 2 i + 5 j

B) D = 2 i + 13 j

C) D = 10 i + 5 j

D) D = 10 i + 16 j

E) D = 10 i + 19 j

19. ¿Cuál es la dirección y sentido de la resta B – A?

A) 0

B)

C)

D)

E)

C

y

x

5

3

3-4

-4

BA

fig. 9

fig. 10

A

B

fig. 8

A

BA

C

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20. Respecto a los vectores, es correcto afirmar que

A) si una componente de un vector es nula, el módulo del vector también lo es.B) el producto punto entre dos vectores paralelos es nulo.C) el producto cruz entre dos vectores perpendiculares es nulo.D) el producto punto entre dos vectores iguales es igual al cuadrado de la magnitud de

uno de ellos.E) los vectores unitarios i y j son paralelos.

CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 D 2 D 3 C 4 E 5 D 6C

DMDOFM-01

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