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Introduccion a la logica proposicional

Fernando Soler Toscano

1. Logica proposicional

1.1. El lenguaje de la logica proposicional

Formulas. El lenguaje de la logica proposicional esta compuesto de formulas. Se constru-yen segun las siguientes reglas:

Las proposiciones son formulas, que representamos con letras minusculas: p, q, r, . . .

Si α y β son formulas, tambien lo son: ¬α (negacion), α ∧ β (conjuncion), α ∨ β(disyuncion), α→ β (implicacion) y α↔ β (bicondicional).

Es posible utilizar parentesis cuando sea necesario para desambiguar la estructura de unaformula. Nos ayuda a reducir parentesis el orden de precedencia de operadores que, de mayora menor, es: ¬, ∧, ∨, →, ↔. Suponemos que todos tienen asociatividad a la derecha. Porejemplo, ¬p→ q∨r equivale a (¬p)→ (q∨r), y ¬(p∨q∧r∧s) equivale a ¬(p∨ (q∧ (r∧s))).

Arboles sintacticos. Para visualizar la estructura de una formula nos puede ayudar cons-truir su arbol sintactico.

¬p→ q ∨ r

¬p

q ∨ r

q r

¬(p ∧ q)→ p

¬(p ∧ q)

p ∧ q

p q

¬(p ∨ (q ∧ (r ∧ s)))

p ∨ (q ∧ (r ∧ s))

p q ∧ (r ∧ s)

q r ∧ s

r s

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1.2. Formalizacion de enunciados

Negacion: ¬α

No αNo es el caso que αNo es cierto que α

Conjuncion: α ∧ β

α y βα pero βα aunque β

Disyuncion: α ∨ β

α o βBien α, bien βYa α, ya β

Implicacion: α→ β

Si α, (entonces) βα solo si βSolo α si βSolo si β, (entonces) αβ, si αEs suficiente α para que βEs necesario β para que α

Bicondicional: α↔ β

α si y solo si βSi y solo si β, (entonces) αα es condicion suficiente y ne-cesaria de β

Ejemplos:

La logica es una asignatura facil (p), pero hay que estudiar para aprobarla (q): p∧qNo es cierto que haya tomado vino (p) o (que haya tomado) cerveza (q): ¬(p ∨ q)Solo si te entrenas (p), puedes ganar el partido (q): q → pEs suficiente la coincidencia de los dıgitos finales (p) para obtener premio (q): p→ qSolo si llueve (p), tomo un taxi (q): q → p

1.3. Tablas de verdad

α ¬αV FF V

α β α ∧ βV V VV F FF V FF F F

α β α ∨ βV V VV F VF V VF F F

α β α→ βV V VV F FF V VF F V

α β α↔ βV V VV F FF V FF F V

Con las tablas de verdad de las conectivas logicas (arriba), construimos la tabla de verdad decualquier formula. Consideramos todas las combinaciones de valores de verdad (V o F) paralas variables proposicionales que aparezcan en la formula. Si aparecen n variables, obtenemos2n filas. Usamos una columna por cada subformula:

p q r p ∧ q ¬(p ∧ q) r ∨ p ¬(p ∧ q)→ r ∨ pV V V V F V VV V F V F V VV F V F V V VV F F F V V VF V V F V V VF V F F V F FF F V F V V VF F F F V F F

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1.4. Nociones semanticas

Cada fila en una tabla de verdad asigna un valor de verdad a cada una de las variablesproposicionales de la formula. Formalmente, llamamos interpretacion a cada una de estasasignaciones.

Tautologıa. La formula α es una tautologıa (tambien llamada formula valida) si y solo sies verdadera en todas las interpretaciones. Formalmente, escribimos |= α. En una tabla deverdad, todos los valores de verdad de la columna de α son V.

Contradiccion. La formula α es una contradiccion (o formula contradictoria) si y solo sies falsa en todas las interpretaciones. En una tabla de verdad, todos los valores de verdadde la columna de α son F.

Formula contingente. La formula α es contingente si y solo si es verdadera en algunainterpretacion pero no en todas. En una tabla de verdad, la columna de α tiene alguna V yalguna F.

Satisfacibilidad. La formula α es satisfacible si y solo si es verdadera en alguna interpre-tacion, es decir, es contingente o valida. El conjunto de formulas Γ es satisfacible si y solo sihay al menos una interpretacion que hace verdadera todas las formulas de Γ.

Equivalencia. Las formulas α y β son equivalentes si y solo si su valor de verdad coincideen todas las interpretaciones. En una tabla de verdad, las columnas de α y β son identicas.

Consecuencia logica. Si Γ es un conjunto de formulas y α una formula, decimos que αes consecuencia logica de Γ si y solo si no existe ninguna interpretacion que haga verdaderastodas las formulas de Γ y falsa α. Dicho en otros terminos, cada interpretacion que hagaverdadera todas las formulas de Γ debe hacer verdadera α. En ese caso, escribimos Γ |= α.

La nocion de consecuencia logica Γ |= α se corresponde con la de validez deductiva deun argumento que tiene como premisas Γ y conclusion α.

Propiedades de la relacion de consecuencia logica clasica

Reflexividad. Toda formula es consecuencia logica de cualquier conjunto que la con-tenga:

Γ ∪ α |= α

Monotonıa. Si α es consecuencia logica de cierto conjunto de formulas Γ, lo sera decualquier conjunto que incluya las formulas de Γ (anadir premisas no anula la relacionde consecuencia):

Γ |= α

Γ ∪ Ω |= α

Transitividad. Si α es consecuencia logica de cierto conjunto de formulas Γ∪ γ, esposible sustituir una de tales formulas γ por un conjunto Ω del que γ sea consecuencialogica:

Γ ∪ γ |= α Ω |= γ

Γ ∪ Ω |= α

Ejercicio: Pensar si las propiedades de la relacion de consecuencia logica clasica se verificanen la argumentacion no deductiva.

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Ejercicios. Formalizar las premisas y conclusion de los siguientes argumentos. Utilizar tablasde verdad para comprobar si son argumentos validos (la conclusion es consecuencia logicade las premisas) o no:

1. Voy al cine solo si acabo pronto de limpiar la casa. Si me das dinero, voy al cine. Portanto, si me das dinero acabo pronto de limpiar la casa.

Voy al cine: pAcabo pronto de limpiar la casa: qMe das dinero: rFormalizacion: p→ q, r → p |= r → q

p q r p→ q r → p r → q1 V V V V V V2 V V F V V V3 V F V F V F4 V F F F V V5 F V V V F V6 F V F V V V7 F F V V F F8 F F F V V V

El argumento es valido. Comopodemos observar, las unicasfilas de la tabla de verdad don-de todas las premisas son Vson 1, 2, 6, y 8, y en todas esverdadera la conclusion.

2. La tierra es redonda. La tierra no es redonda. Por tanto, Espana ganara el Mundial.

3. Si hace buen tiempo iremos a la playa. Iremos a la playa. Por tanto, hace buen tiempo.

4. Si no estudio logica, entonces puedo visitar a Pedro. Por tanto, si no puedo visitar aPedro, entonces estudio logica.

5. Si el mundo es redondo y tengo un barco, entonces navego alrededor del mundo. Tengoun barco pero no navego alrededor del mundo. Por tanto, el mundo no es redondo.

6. Cuando las condiciones climaticas son las adecuadas salen setas. Si salen setas losbosques se llenan de buscadores de setas. Los bosques estan llenos de buscadores desetas. En consecuencia, las condiciones climaticas son las adecuadas.

7. Si el presentador fuese competente habrıa mantenido la audiencia, y si lo hubiese hecho,la empresa lo habrıa promocionado. Sin embargo, la empresa no lo ha promocionado.Ası pues, el presentador no es competente.

8. Siempre que sales tarde de casa debes correr para tomar el autobus. Tomas el autobussi el metro no funciona. Podemos concluir, pues, que cuando el metro no funciona, sino corres es que no sales tarde de casa.

9. Marıa pierde su oportunidad a menos que acuda inmediatamente. Marıa no acudeinmediatamente. Por tanto, Marıa pierde su oportunidad.

10. Si el espacio es euclıdeo, se cumple el quinto postulado. Pero si el espacio es riemanianono se cumple el quinto postulado. Por tanto, el espacio no es a la vez euclıdeo yriemaniano.

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1.5. El metodo de los arboles semanticos

Clasificacion de formulas.

α α1 α2

ϕ ∧ ψ ϕ ψ¬(ϕ ∨ ψ) ¬ϕ ¬ψ¬(ϕ→ ψ) ϕ ¬ψ

β β1 β2ϕ ∨ ψ ϕ ψ¬(ϕ ∧ ψ) ¬ϕ ¬ψϕ→ ψ ¬ϕ ψϕ↔ ψ ϕ ∧ ψ ¬ϕ ∧ ¬ψ¬(ϕ↔ ψ) ϕ ∧ ¬ψ ¬ϕ ∧ ψ

Se puede observar que una formula de tipo α es verdadera si y solo si son verdaderas sus doscomponentes α1 y α2. Por otra parte, una formula β es verdadera si y solo si es verdaderaal menos una de las componentes β1 y β2.

Reglas de formacion de arboles. La construccion comienza como un arbol (que seira ramificando hacia abajo) cuya raız es el conjunto de formulas de partida (cada formulaen un nodo de la rama inicial), y se aplican las siguientes reglas:

Regla α: Si en una rama hay una formula de la clase α, se anaden al final de la rama suscomponentes α1 y α2.

Regla β: Si en una rama hay una formula de la clase β, la rama se divide en dos, y en cadauna de las ramas resultantes se anade una de las formulas β1 y β2.

Regla σ (Doble Negacion): Si en una rama aparece una doble negacion ¬¬λ, se anadeλ a la rama.

Regla de Cierre: Si en una rama aparecen una formula λ y su negacion ¬λ, la construccionde la rama termina y decimos que queda cerrada. Se puede indicar con una marca ⊗.

La construccion del arbol semantico continua hasta que todas sus ramas se cierran (deci-mos que es un arbol cerrado) o no quedan reglas por aplicar (a cada formula se ha debidoaplicar la regla que sea posible en todas las ramas donde se encuentre). Observar que lasunicas formulas a las que no se puede aplicar ninguna regla son los literales (variables pro-posicionales y sus negaciones). Si tras terminar la construccion queda alguna rama abierta,decimos que es un arbol abierto.

Teorema: Un conjunto de formulas Γ es satisfactible si y solo si el arbol de Γ es abierto.

Teorema: Si el arbol semantico de Γ contiene una rama completa y abierta, se puedeconstruir una interpretacion que satisface Γ a partir de los literales de la rama. Toda inter-pretacion que satisfaga los literales de la rama abierta, satisface Γ.

Algunos usos de los arboles semanticos

La formula α es consecuencia logica del conjunto de formulas Γ si y solo si el arbol deΓ ∪ ¬α es cerrado. Si el arbol es abierto, a partir de una de las ramas abiertas depuede construir una interpretacion que satisface Γ pero no α (contraejemplo).

La formula α es universalmente valida (tautologıa) si y solo si el arbol de ¬α escerrado. Si el arbol es abierto, a partir de una rama abierta se puede construir unainterpretacion que hace falsa α.

La formula α es satisfacible si y solo si el arbol de α es abierto. A partir de cada unade las ramas abiertas, se puede construir una interpretacion que hace verdadera α.

Ejercicio: ¿Como se puede comprobar, usando arboles semanticos, si la formula α es con-tradictoria? ¿Como comprobamos si es contingente?

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Ejemplos.

Comprobamos p→ q∧r, ¬(q∧ t) |= t→ ¬p mediante un arbol semantico. Tenemos,por tanto, que construir el arbol de las premisas y la negacion de la conclusion:

p→ q ∧ r1. (Prem.)

¬(q ∧ t)2. (Prem.)

¬(t→ ¬p)3. (Negac. Conc.)

t α,34.

¬¬p5. α,3

p6. σ,5

¬p7. β,1⊗6,7

q ∧ r8. β,1

q9. α,8

r10. α,8

¬q11. β,2⊗9,11

¬t12. β,2⊗4,12

Obtenemos un arbol cerrado, por lo que la conclusion es consecuencia logica de laspremisas.

Comprobamos si la formula (p → ¬p ∨ ¬q) ∧ p es satisfacible. Para ello, hacemos elarbol semantico de la propia formula.

(p→ ¬p ∨ ¬q) ∧ p1.

p→ ¬p ∨ ¬q2. α,1

p3. α,1

¬p4. β,2⊗3,4

¬p ∨ ¬q5. β,2

¬p6. β,5⊗3,6

¬q7. β,5

Una rama, la de mas a la derecha, queda abierta. Sus literales p, ¬q definen unainterpretacion (la que los hace verdaderos) que hace verdadera la formula de partida.Por tanto, es satisfacible.

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1.6. Calculo deductivo natural

1.6.1. Reglas basicas

Conjuncionα ∧ βα

α ∧ ββ

E∧

α, β

α ∧ βI∧

Negacion¬¬αα

α...

β ∧ ¬β

¬αI¬

Implicacionα→ β, α

βMP

α...

α→ βI→

Disyuncion α ∨ β

α...

β...

γE∨

α ∨ ββ

α ∨ βI∨

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1.6.2. Reglas derivadas

Modus tollensα→ β, ¬β¬α

Contraposicionα→ β

¬β → ¬αCO

Identidadα

αID

Carga de premisasα

β → αCP

Silogismo hipoteticoα→ β, β → γ

α→ γSH

Silogismo disyuntivoα ∨ β, ¬α

βSD

Ex contradictione quodlibetα ∧ ¬αβ

ECQ

Principio de tercio exclusoα ∨ ¬α

PTE

Ley de De Morgan 1¬(α ∧ β)

¬α ∨ ¬βDM1

Ley de De Morgan 2¬(α ∨ β)

¬α ∧ ¬βDM2

Def. Implicacion 1α→ β

¬α ∨ βDI1

Def. Implicacion 2¬(α→ β)

α ∧ ¬βDI2

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1.6.3. Ejemplos

Ejemplo 1: ¬(α ∧ ¬β) ` α→ β (solo reglas basicas)

1 ¬(α ∧ ¬β) Prem

2 α H.A.

3 ¬β H.A.

4 α ∧ ¬β I∧ 2,3

5 (α ∧ ¬β) ∧ ¬(α ∧ ¬β) I∧ 1,4

6 ¬¬β I¬ 3

7 β D.N. 6

8 α→ β I→ 2-7

Observar que como queremos demostrar una implicacion, partimos del antecedente comohipotesis (2) para llegar al consecuente (7). Ya que se trata de llegar a β, suponemos ¬β (3)buscando una contradiccion (5).

Ejemplo 2: ¬α ∧ ¬β ` ¬(α ∨ β) (solo reglas basicas)

1 ¬α ∧ ¬β Prem

2 ¬α E∧ 1

3 ¬β E∧ 1

4 α ∨ β H.A.

5 α H.A.

6 α ∧ ¬α I∧ 2,5

7 β H.A.

8 ¬(α ∧ ¬α) H.A.

9 β ∧ ¬β I∧ 3,7

10 ¬¬(α ∧ ¬α) I¬ 8

11 α ∧ ¬α D.N. 10

12 α ∧ ¬α E∨ 4, 5-6, 7-11

13 ¬(α ∨ β) I¬ 4

Esta demostracion resulta compleja porque llegan a anidarse hasta tres hipotesis. Laanalizamos detenidamente. Se ha seguido una estrategia de reduccion al absurdo. Partimoscomo hipotesis de una formula cuya negacion es lo que queremos probar (4). Debemos llegara una contradiccion. Observamos que nuestra hipotesis α ∨ β es un disyuncion en la quecada uno se sus terminos nos llevarıa a una contradiccion, ya que tenemos mas arriba susnegaciones (2 y 3). Esto nos permite realizar una eliminacion del disyuntor de la hipotesis.Ası hacemos, y suponiendo α (5) obtenemos la contradiccion α ∧ ¬α (6). Observar que

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cuando desde una hipotesis obtenemos una contradiccion no necesariamente la usamos paraintroducir el negador (podemos pensar otras cosas que podrıamos haber hecho al cerrar estahipotesis, como introducir el implicador α→ (α ∧ ¬α) por ejemplo). Suponemos β (7) parallegar a la misma contradiccion. Ahora bien, como la contradiccion que obtendrıamos esα ∧ ¬β y necesitamos α ∧ ¬α, lo que hacemos es un truco para cuando no tenemos la reglade ex contradictione quodlibet. Si de una contradiccion se deduce cualquier cosa, tambiense deduce cualquier otra contradiccion. De hecho, todas las contradicciones son equivalentesentre sı (al ser siempre falsas). Observar como en (8) hemos supuesto la negacion de loque queremos obtener para que la contradiccion que tenemos (9) nos permita obtener loque queremos. Si en (8) hubieramos supuesto cualquier formula ¬γ, en (11) tendrıamosγ haciendo lo mismo. Como las hipotesis (5-6) y (7-11) nos conducen al mismo resultado(observar que el hecho de que sea una contradiccion aun no lo hemos usado), eliminamos en(12) la disyuncion de (4). Ahora bien, como lo que tenemos es una contradiccion (ahora sı lausamos), introducimos en negador en la hipotesis.

Ejemplo 3: (p ∧ r) ∨ q → ¬s, ¬q → r ` s→ ¬p (reglas basicas y derivadas)

1 (p ∧ r) ∨ q → ¬s Prem

2 ¬q → r Prem

3 s H.A.

4 ¬s H.A.

5 s ∧ ¬s I∧ 3,4

6 ¬¬s I¬ 4

7 ¬((p ∧ r) ∨ q) M.T. 1,6

8 ¬(p ∧ r) ∧ ¬q D.M. 7

9 ¬(p ∧ r) E∧ 8

10 ¬q E∧ 8

11 ¬p ∨ ¬r D.M. 9

12 r M.P. 2, 10

13 ¬r H.A.

14 r ∧ ¬r I∧ 12, 13

15 ¬¬r I¬ 13

16 ¬p S.D. 11, 15

17 s→ ¬p I→ 3-16

Con reglas derivadas, esta demostracion, aunque tiene muchos pasos, es sencilla. Lo unicoque merece la pena comentar es la estrategia seguida en (3-6) y (12-15) para poder pasarde una formula γ a ¬¬γ, con objeto de aplicar modus tollens o silogismo disyuntivo. Comoes tan frecuente la necesidad de introducir la doble negacion, puede relajarse la regla D.N.para usarla en sentido inverso al original.

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Ejemplo 4: p ∧ q → r ∨ s, p ∨ q → ¬r ` p→ (¬s→ ¬q) (reglas basicas y derivadas)

Veamos una primera prueba que no emplea introduccion del negador:

1 p ∧ q → r ∨ s Prem

2 p ∨ q → ¬r Prem

3 p H.A.

4 ¬s H.A.

5 p ∨ q I∨ 3

6 ¬r M.P. 2,5

7 ¬r ∧ ¬s I∧ 4,6

8 ¬(r ∨ s) D.M. 7

9 ¬(p ∧ q) M.T. 1, 8

10 ¬p ∨ ¬q D.M. 9

11 ¬¬p D.N. 3

12 ¬q S.D. 10,12

13 ¬s→ ¬q I→ 4-12

14 p→ (¬s→ ¬q) I→ 3-13

Dado que tenemos que probar una implicacion, comenzamos suponiendo el antecedente(3). Pero el consecuente es de nuevo una implicacion, por lo que suponemos tambien suantecedente (4). Ahora el objetivo sera llegar hasta ¬q (12) e ir saliendo sucesivamente delas hipotesis introduciendo implicaciones. En (5) usamos la introduccion de la disyuncionpara obtener el antecedente de (2) y poder aplicar modus ponens en (6). Los pasos (7-8) nos permiten obtener obtener la negacion del consecuente de (1) y ası aplicar modustollens (9). Ya solo queda transformar por una de las reglas de De Morgan (10) y aplicarsilogismo disyuntivo (12) para obtener ¬q. Vamos saliendo de las hipotesis e, introduciendoimplicaciones, obtenemos la conclusion que buscabamos.

La demostracion anterior es muy elegante, pero requiere cierta practica y estrategia paraencontrar la forma de llegar a la conclusion. Sin embargo, usando reglas derivadas, sueleser siempre posible seguir una estrategia mas simple, mas mecanica. Si desde las premisaspodemos alcanzar la conclusion, entonces, desde las premisas mas la negacion de la conclu-sion (reduccion al absurdo) encontraremos una contradiccion. Generalmente, se puede hacerusando reglas de simplificacion.

Esto es lo que mostramos en la siguiente prueba. En (3) negamos la conclusion quequeremos alcanzar y en los pasos (4-10) todo lo que hacemos son simplificaciones. Observarque la hipotesis que hemos hecho nos ha llevado a obtener p (5), ¬s (8) y q (10). Conestas formulas podemos componer (introduccion de la conjuncion o de la disyuncion) losantecedentes de (1) y (2) para aplicar modus ponens. Aplicando silogismo disyuntivo (13) eintroduccion del conjuntor (16) alcanzamos la contradiccion que nos lleva a negar nuestrahipotesis (17) y obtener la conclusion (18).