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DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO

FLEXIÓN 2(PANDEO LATERAL)

(d)

ξ ζ

Mζ

Mξ

ζξ

(a)

(b)

Mx Mx

Mxx

vθ

(c)

Mξ

Mxx

Oscar de Buen López de Heredia

SOCIEDAD MEXICANA DEINGENIERÍA ESTRUCTURAL, A.C.

DISEÑODE ESTRUCTURAS DE ACERO

CAPÍTULO 5FLEXIÓN 2 ( PANDEO LATERAL)

Oscar de Buen López de Heredia

Av. del Parque No 91Colonia NápolesC.P. 03810 México, D.F.Tel 56 69 39 85, 52 72 99 91, 52 72 99 15Ext. 4002-4079Ext. Fax 4083

email: [email protected]: [email protected]:// www.fundacion-ica.org.mx

ISBN 968-7508 97-3

Impreso en México.

mailto:[email protected]

http://www.fundacion-ica.org.mx/

Flexión2 (Pandeo lateral) 3

CAPÍTULO 5. FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL)

ÍNDICE:

5.1 Introducción ........................................................................................................ 7

5.2 Comportamiento de vigas en flexión pura ........................................................ 10

5.2.1 Vigas de diversas longitudes ................................................................. 11

5.3 Torsión ............................................................................................................. 13

5.3.1 Introducción ........................................................................................... 13

5.3.2 Torsión pura o de Saint Venant ............................................................. 13

5.3.2.1 Barras de sección transversal abierta formadas porrectángulos angostos ................................................................... 13

5.3.2.2 Barras de sección transversal hueca de paredesdelgadas ...................................................................................... 14

5.3.3 Torsión no uniforme de barras de sección transversal abiertay paredes delgadas ................................................................................. 18

5.4 Pandeo lateral elástico ...................................................................................... 25

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexión pura ............................................. 25

5.4.1.1 Cálculo del momento crítico ......................................................... 26

5.4.1.1.1 Vigas de sección transversal rectangular,maciza o hueca ................................................................ 28

5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas ............................................ 28

5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga ...................................................... 29

5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas ................................................. 33

5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos ............................ 335.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio ............................. 355.4.2.1.3 Otras condiciones de carga ............................................. 385.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral ................................ 42

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas .................................. 43

4 Flexión 2 (pandeo lateral)

5.5 Pandeo lateral inelástico .................................................................................... 55

5.5.1 Aspectos generales ............................................................................... 55

5.5.2 Criterios para determinar la resistencia ................................................. 58

5.6 Resistencia de diseño en flexión ....................................................................... 62

5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crítico .............................. 62

5.6.1.1 Miembros que no se pandean ...................................................... 64

5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crítico ................................... 69

5.6.2.1 Pandeo lateral en el intervalo elástico .......................................... 69

5.6.2.2 Pandeo lateral inelástico .............................................................. 705.6.3 Normas técnicas complementarias del reglamento del D.F …….. 71

5.6.3.2.1 Fórmulas simplificadas ..................................................... 765.6.3.2.2 Flexión no uniforme .......................................................... 77

5.6.4 Longitudes características ..................................................................... 78

5.6.5 Efectos del nivel en el que están aplicadas las cargas .......................... 81

5.7 Contraventeo ..................................................................................................... 83

5.7.1 Introducción ........................................................................................... 83

5.7.2 Diseño de elementos de contraventeo ................................................... 86

5.7.3 Imperfecciones iniciales ......................................................................... 88

5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado ............................................ 89

5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo ..................................................... 90

5.7.6 Factores de resistencia y definiciones ................................................... 91

5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos ..................................... 91

5.7.7.1 Recomendaciones de diseño ....................................................... 91

5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas .............................. 94

Flexión2 (Pandeo lateral) 5

5.7.8.1 Recomendaciones de diseño ....................................................... 94

5.7.9 Contraventeo continuo de columnas .................................................... 100

5.7.9.1 Recomendaciones de diseño ..................................................... 100

5.7.10 Sistemas de apoyo ............................................................................. 100

5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patín ................................. 103

5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral .............................................. 105

5.7.12.1 Contraventeo lateral ................................................................... 106

5.7.12.2 Recomendaciones de diseño ..................................................... 107

5.7.13 Contraventeo torsional ........................................................................ 109

5.7.13.1 Recomendaciones de diseño ..................................................... 110

5.8 Especificaciones AISC basadas en factores de carga y resistencia ................ 115

5.8.1 Resistencia de diseño .......................................................................... 118

5.8.1.1 Casos en que no es crítica ninguna forma de pandeo ................ 118

5.8.1.2 Estados límite de pandeo lateral o local (λ>λp) .......................... 119

5.8.1.2.1 Pandeo inelástico (λp<λ≤λr) ........................................... 1195.8.1.2.2 Pandeo elástico (λ>λr) ................................................... 122

5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0 ..................................................... 122

5.9 Vigas de paredes delgadas ............................................................................. 136

5.10 Referencias ...................................................................................................... 138

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 7

CAPÍTULO 5. FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL)

5.1 INTRODUCCIÓN

Los elementos estructurales que trabajan en flexión, vigas, trabes armadas y armaduras,suelen tener resistencia y rigidez, en el plano de aplicación de las cargas (alrededor, casisiempre, del eje de mayor momento de inercia), mucho mayores que en el normal a él,por lo que, a menos que se contraventeen adecuadamente, para evitar deflexioneslaterales y deformaciones por torsión, pueden fallar por pandeo lateral por flexotorsiónantes de que se alcance su resistencia máxima en el plano. Esta forma de pandeo esespecialmente crítica durante la etapa de construcción, cuando no hay soportes laterales,o son muy diferentes de los definitivos.

El pandeo lateral por flexotorsión es un estado límite de utilidad estructural en el que laviga deformada se sale del plano de carga, desplazándose lateralmente y retorciéndose;la resistencia disminuye, bruscamente, por los cambios en geometría, que originan torsióny flexión alrededor del eje de menor resistencia, y por la rápida plastificación del material;puede evitarse colocando un contraventeo lateral espaciado y diseñado adecuadamente,utilizando secciones transversales de rigidez torsional elevada, como las secciones encajón, o asegurando que el momento de diseño no sea mayor que el crítico de pandeo.

La variable que más afecta la resistencia al pandeo lateral es la separación entresecciones soportadas lateralmente. Otras variables importantes son: tipo y posición de lascargas, restricciones a los desplazamientos de los apoyos y continuidad en ellos, forma delas secciones transversales, presencia, o ausencia, de elementos que restrinjan el alabeode secciones críticas, propiedades del material, magnitud y distribución de esfuerzosresiduales, imperfecciones iniciales en geometría y carga, discontinuidades producidaspor cambios de sección o agujeros, e interacción con pandeo local.

En la Fig. 5.1 se muestra una viga de sección I, apoyada de manera que sus extremospueden girar libremente alrededor de sus ejes centroidales y principales x y y, pero noalrededor del longitudinal z, sometida a flexión pura, producida por pares de magnitudesiguales y sentidos contrarios, aplicados en los extremos.

Uno de los patines, el superior en este caso, trabaja en compresión, y se encuentra encondiciones parecidas a las de una columna cargada axialmente; el otro patín está entensión.

Si los momentos crecen, el equilibrio del patín comprimido se vuelve eventualmenteinestable, y se pandea lateralmente; el patín en tensión trata de conservarse recto, lo queretrasa, pero no impide, el pandeo del comprimido; su influencia aumenta con la rigidezdel alma, que liga los dos patines entre sí, de manera que es mayor en vigas de almagruesa y poco peralte.

8 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

(d)

ξ ζ

Mζ

Mξ

ζξ

(a)

(b)

Mx Mx

Mxx

vθ

(c)

Mξ

Mx x

ηM

Fig. 5.1 Pandeo lateral de una viga I en flexión pura.

El patín comprimido se pandearía alrededor de su eje horizontal, que es el de menormomento de inercia, pero se lo impide el alma, por lo que se flexiona alrededor del

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 9

vertical, cuando los momentos alcanzan los valores críticos correspondientes. (Sólo lasalmas muy esbeltas son incapaces de impedir el pandeo del patín en el plano vertical;este problema se estudia en el Capítulo 6) .

Cualquier viga apoyada en los extremos y cargada en el plano del alma, con seccionestransversales que tengan un momento de inercia respecto al eje de flexión, x, mayor quealrededor del normal a él, y, puede pandearse lateralmente, a menos que ese fenómenose impida por medio de elementos exteriores; si Ix es apreciablemente mayor que Iy, comoen la mayoría de las vigas, el pandeo lateral y el colapso pueden presentarse muchoantes de que los esfuerzos normales debidos a la flexión lleguen al límite de fluencia.

Mientras las cargas, que actúan en el plano del alma, permanecen por debajo de unacierta intensidad, la viga se deforma únicamente en ese plano, y su equilibrio es estable:si, por medio de un agente externo, se le obliga a adoptar una configuración ligeramentedeformada lateralmente, recupera la configuración plana al desaparecer aquel. Sinembargo, cuando crecen las solicitaciones, llegan a ser posibles formas en equilibriodeformadas lateralmente y retorcidas, además de la plana; la carga menor para la quepueden presentarse esas nuevas formas de equilibrio es la carga crítica de pandeo lateralpor flexotorsión de la viga.

El comportamiento es semejante al de las columnas en compresión axial; como en ellas,la terminación del equilibrio estable se caracteriza por la aparición de un nuevo tipo dedesplazamiento, fuera del plano original de carga, que no existía para solicitacionesinferiores a la crítica.

10 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.2 COMPORTAMIENTO DE VIGAS EN FLEXIÓN PURA

Las curvas de la Fig. 5.2 muestran, en forma esquemática, el comportamiento de la vigaen flexión pura de la Fig. 5.1; la curva M - θ, momento-rotación en un extremo (Fig. 5.2a),representa el comportamiento de la barra en el plano de carga, y las curvas M - u ó M - φ,momento-desplazamiento lateral o momento-rotación alrededor del eje longitudinal (Fig.5.2b), describen el pandeo lateral. Si la viga fuese perfectamente recta y no hubieseninguna excentricidad en los momentos aplicados en sus extremos, las curvas M - u y M -φ serían como la representada con línea llena, y el punto A correspondería al instante enque el equilibrio se bifurca; a partir de él la viga puede, en teoría, admitir momentosmayores, manteniéndose en su plano (trayectoria AB), o desplazarse lateralmente bajomomento prácticamente constante, según AC.

(b)

(a)

Mcr

0 0

θ u, φ

Mcr

Bifurcación del equilibrio

Efecto de imperfecciones iniciales

Fig. 5.2 Comportamiento de una viga en flexión pura.

En las vigas reales no se presenta nunca la bifurcación del equilibrio, pues siempre hayimperfecciones iniciales, que hacen que los desplazamientos laterales comiencen bajomomentos mucho más pequeños que el crítico (curvas con línea interrumpida, Fig. 5.2), yla falla no es por pandeo propiamente dicho. Sin embargo, esas pequeñasimperfecciones no afectan mayormente las deformaciones calculadas suponiendo unsistema ideal perfecto más que cuando las cargas se acercan a los valores críticos de esesistema; cerca de la carga de pandeo, pequeños incrementos en las solicitacionesocasionan aumentos considerables en las deflexiones.

La determinación de la curva acción-deformación de vigas con imperfecciones iniciales eslarga y complicada, y rara vez se justifica en la práctica; en el diseño se utiliza la cargacrítica de pandeo de miembros inicialmente rectos como un límite de la resistencia de lasvigas reales aunque, como se mencionó arriba, el pandeo propiamente dicho, porbifurcación del equilibrio, no se presenta nunca. Muchos estudios de laboratorio y una

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 11

larga práctica de diseño han demostrado que este procedimiento es razonable yproporciona resultados satisfactorios.

En resumen, cuando el momento M se aproxima al valor crítico, aparecendesplazamientos u y φ relativamente grandes y, para fines prácticos, puede considerarseque Mcr es el momento máximo que la viga puede resistir. Mientras M es menor que Mcr,las deformaciones del miembro se confinan al plano que ocupa originalmente, pero tanpronto como alcanza el valor crítico se inicia el pandeo lateral por flexotorsión, y la vigafalla por flujo plástico después de una deformación considerable, mientras el momento semantiene prácticamente constante.

5.2.1 Vigas de diversas longitudes

Desde el punto de vista de su resistencia al pandeo lateral, una viga de acero en flexión,de sección tipo 1 o 2 (Capítulo 3), se comporta de alguna de las tres maneras siguientes:si es muy corta, sus secciones transversales se plastifican por completo antes depandearse, y pueden desarrollar el momento plástico; si es de longitud intermedia, laresistencia disminuye por la plastificación parcial que precede al pandeo, que se inicia enel intervalo inelástico, y si es larga se pandea elásticamente, bajo solicitaciones quepueden ser de magnitud muy pequeña. (Las vigas de sección transversal tipo 3 o 4pueden fallar antes, por pandeo local).

Como en las columnas, desde el punto de vista del pandeo lateral no interesa la longitudreal de las vigas, sino la distancia entre secciones fijas lateralmente, es decir, la longitudlibre de pandeo.

La gráfica momento resistente-longitud libre de pandeo de la Fig. 5.3 ilustra los tresintervalos mencionados arriba. El tramo AB describe el comportamiento de miembros muycortos, en los que el material se endurece por deformación, sin que haya pandeo lateral, yel CD corresponde al pandeo elástico. Las curvas AB y CD son hipérbolas que no secortan; la transición entre ellas, curva BC, representa el pandeo inelástico, que se iniciacuando parte del material de la viga ha fluido ya plásticamente. A causa de los esfuerzosresiduales, el comportamiento elástico termina cuando el momento vale Me, que puedeser bastante más pequeño que My.

En las Figs. 5.3 b, c y d, se han trazado las curvas M-u o M-φ de vigas que se encuentranen cada uno de los tres intervalos.

12 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

(b) (c) (d)

M p M y M

u, φ u, φ u, φ

M cr M cr

M cr M m

M M M

Momento resistente

Pandeo inelástico

Pandeo elástico

Longitud libre de pandeo

(a)

M p

M y

Pandeo en el intervalo de endu- recimiento por defor- mación

Diseño plástico

Diseño basado en esfuerzos permisibles

Fig. 5.3 Comportamiento de vigas de diferentes longitudes.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 13

5.3 TORSIÓN

5.3.1 Introducción

La torsión en elementos estructurales puede ser producida en forma directa por lasacciones exteriores (un eje de un motor, cuyo trabajo consiste en transmitir un momentode torsión, es un ejemplo típico), o puede presentarse al iniciarse el pandeo de unmiembro originalmente recto sometido, por ejemplo, a flexión; como se vé más adelante,el desplazamiento lateral del eje y las rotaciones de las secciones transversales quecaracterizan el pandeo de las vigas ocasionan momentos torsionantes; la resistencia de laviga aumenta cuando crece su oposición a los desplazamientos laterales lo que depende,entre otras cosas, de su resistencia a la torsión.

En los artículos siguientes se presenta un resumen de resultados que corresponden,principalmente, a la torsión del segundo tipo, que es la que tiene mayor interés en estelibro. El problema puede estudiarse en detalle en la ref. 5.1.

5.3.2 Torsión pura o de Saint Venant

El ángulo de rotación, por unidad de longitud, de una barra recta de sección transversalrectangular sometida a torsión pura, producida por pares aplicados en sus extremos, secalcula con la ec. 5.1, y los esfuerzos tangenciales máximos, que aparecen en los puntosmedios de los lados largos, con la ec. 5.2 (ref. 5.1):

bGaMk T3

1=θ (5.1)

τ máx ba

Mk T2

2= (5.2)

G es el módulo de elasticidad al esfuerzo cortante del material, MT el momento de torsión,constante, que actúa en la barra, a y b los lados menor y mayor del rectángulo, y k1 y k2coeficientes que dependen de las proporciones del rectángulo; si b/a = ∞, los dos valen3.0, y tienen un valor muy cercano, ligeramente mayor que 3.0, si b/a excede de 8 o 10.

5.3.2.1 Barras de sección transversal abierta formada por rectángulosangostos

Los resultados obtenidos para el rectángulo angosto son aplicables a cualquier seccióncompuesta por rectángulos alargados, unidos entre sí de manera que no rodeen porcompleto ninguna región del plano en que se encuentran (de aquí el nombre de abiertas),como las secciones I, H, canales y ángulos. Cada uno de los rectángulos actúa como siestuviese aislado; si se ignoran las perturbaciones locales en las zonas de unión entre

14 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

ellos, el momento torsionante total que resiste la sección es aproximadamente igual a lasuma de los momentos resistentes de todos.

Como los rectángulos que forman los perfiles laminados o hechos con placas tienensiempre relaciones b/a elevadas, se llega a resultados muy cercanos a los realeshaciendo, en todos los casos, k1 = k2 = 3.0.

Las ecs. 5.1 y 5.2 toman la forma general

)3( 3baGM T

∑=θ (5.3)

τ máx aba

M T

)3( 3∑= (5.4)

a y b son los lados corto y largo de cada uno de los rectángulos que forman la secciónque, en general, no son iguales entre sí; la a que multiplica la fracción de la ec. 5.4 es elancho del rectángulo en el que se quiere calcular el esfuerzo máximo.

La cantidad ∑ ( )a b3 3 es la constante de torsión de Saint Venant; se representa con la letraJ. Introduciendo esta notación, las ecs. 5.3 y 5.4 se escriben

GJTM

=θ (5.5)

τ máx aJ

MT= (5.6)

J = ba 331∑ (5.6a)

El producto GJ es la rigidez a la torsión de Saint Venant.

5.3.2.2 Barras de sección transversal hueca de paredes delgadas

Suelen estar formadas por varias placas de espesor pequeño en comparación con lasdimensiones generales de la sección; pueden ser manufacturadas doblando una láminaplana, o compuestas por placas soldadas entre sí.

En la Fig. 5.4 se muestran, en forma esquemática, los esfuerzos cortantes que produce latorsión en las secciones transversales de dos barras de paredes delgadas, iguales entodo, excepto en que una es abierta y la otra cerrada.

Para que las fuerzas interiores de la sección abierta puedan equilibrar un par de torsión,deben cambiar de sentido a través del grueso de las paredes; el brazo de los pares

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 15

resistentes es muy pequeño. En cambio, en la sección cerrada el flujo de fuerzas escontinuo y el brazo es mucho mayor; para valores iguales del esfuerzo cortante, suresistencia a la torsión es mucho más elevada.

(a) (b)Fig. 5.4 Esfuerzos cortantes en dos secciones de paredes delgadas,

una abierta y otra cerrada.

El ángulo de rotación por unidad de longitud, y el esfuerzo cortante máximo, en lassecciones cerradas, se calculan con las ecuaciones (ref. 5.1)

GJM

tds

GAM T

T == ∫24θ (5.7)

tAM

2=τ (5.8)

t es el grueso de la pared de la sección, que puede ser constante o variable; en elsegundo caso, en la ec. 5.8 se utiliza la t correspondiente al punto donde se deseacalcular el esfuerzo, que es máximo donde la pared es más delgada.

Ai es el área encerrada por el eje de las paredes.

La constante de Saint Venant de una pieza hueca de paredes delgadas es

∫=

tdsA

J24

La integración se efectúa a lo largo de todo el perímetro de la sección.

Las expresiones anteriores se simplifican cuando el grueso de las paredes es constante;entonces,

∫ ∫ ==s s t

Sds

ttds 1

16 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

S es el perímetro del eje de la pared.

GJM

= GtASM T

T24

=θ

StA

J i24

= (5.9)

Cuando el área efectiva de una sección hueca de paredes delgadas de espesor constantees menor que un quinto de la encerrada por el eje de las paredes (A ≤ Ai/5), el error quese comete al calcular los esfuerzos con la ec. 5.8 es menor de 10%; además, si A < Ai, elmomento resistente se obtiene con un error no mayor de 10%, de manera que casi todaslas secciones huecas de interés práctico pueden analizarse con la teoría desarrolladapara paredes delgadas.

En las secciones en cajón hechas con placas soldadas más comunes, las placasverticales tienen un grueso, y las horizontales otro; en ese caso, la constante J vale

dbJ

222 (5.10)

Ai es el área encerrada entre los ejes de las placas que forman la sección (Ai = bd) lasdemás cantidades se definen en la Fig. 5.5.

c c

Ai=bd

Fig. 5.5 Sección en cajón.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 17

EJEMPLO 5.1 Calcule los esfuerzos tangenciales máximos y los ángulos de rotación porunidad de longitud de dos barras de eje recto, cuyas secciones transversales semuestran en la Fig. E5.1.1, sobre las que actúan momentos MT en los extremos,que ocasionan torsión pura; no tenga en cuenta las concentraciones de esfuerzosque se presentan en las esquinas. Las dos secciones están hechas con la mismacantidad de material.

40 cm

1 cm

39cm

57 cm60 cm 54 cm

2 cm

40 cm

3 cm

Fig. E5.1.1 Sección transversal de ejemplo 5.1.

Sección I. J = 31

=∑ (2 x 33 x 40 + 23 x 54) = 864 cm4

G = E 0.385 = 0.3) + 2(1

E =

) + 2(1Eµ

Ec. 5.5.E

M 0.00301 =

864 x E 0.385M

= GJM

= TTTθ

Ec. 5.6. τmáx = 864M

= a J

M Tmáx

T x 3 = 0.00347 MT

Este esfuerzo se presenta en las zonas centrales de los patines.

Sección en cajón.

Ec. 5.10 J = 42222

cm 192 141 = 70

458 883 9 =

157

+ 3

3957 x 39 x 2

+ tb

d2b

θ = E

M 0.0000184 =

192 141 x 0.385EM

= GJM TTT

Ec. 5.8 τmáx = .TT

míni

T M0.000225 = 2(39x57)1

M =

t2AM

18 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

El ángulo de rotación y el esfuerzo máximo en la sección I son, respectivamente,164 y 15.4 veces más grandes que en la sección en cajón.

La sección en cajón es mucho más eficiente que la I; esta observación es de caráctergeneral, por lo que cuando la torsión es una solicitación predominante conviene utilizarmiembros de sección transversal hueca formados, por ejemplo, por cuatro placassoldadas, en vez de perfiles laminados.

5.3.3 Torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y de paredesdelgadas.

Exceptuando las barras de sección transversal circular, maciza o hueca, todos loselementos estructurales sometidos a torsión pura se alabean, es decir, los puntos situadosen planos originalmente normales al eje de la barra experimentan desplazamientosvariables paralelos a ese eje, lo que ocasiona que las secciones transversalesinicialmente planas dejen de serlo.

En la Fig. 5.6 se muestra un segmento de una barra de sección I con dos pares MT,iguales y de sentidos contrarios, aplicados en sus extremos; son las únicas acciones queobran sobre la barra, y no hay ningún factor externo que evite o restrinja lasdeformaciones. Las fibras longitudinales de la barra, inicialmente rectas, se retuercenpero, para rotaciones pequeñas, puede considerarse que siguen siendo rectas, inclinadasrespecto al eje; cada uno de los patines gira un cierto ángulo, conservando su formarectangular, y el alma se alabea.

Todas las secciones transversales normales al eje longitudinal se alabean lo mismo, por loque no cambian las dimensiones de las fibras longitudinales y no aparecen esfuerzosnormales; los únicos esfuerzos son los tangenciales correspondientes a la torsión de SaintVenant.

Si se empotra uno de los extremos de la barra, impidiendo su rotación alrededor del ejelongitudinal y los desplazamientos paralelos a ese eje de los puntos situados en él, labarra se deforma como se muestra en la Fig. 5.7; la sección inferior se mantiene en suposición original y sigue siendo plana, y todas las demás secciones transversales giranalrededor del eje longitudinal y se alabean. Como ni el giro ni el alabeo son constantes,sino aumentan desde cero en el extremo inferior hasta un máximo en el superior, lasfibras paralelas al eje no conservan su longitud inicial, como en torsión pura, sino unas sealargan y otras se acortan (por ejemplo, todas las fibras de la porción AEFB del patínanterior de la viga de la Fig. 5.7 se alargan, mientras que se acortan las de la zona EFDC,conservándose sin cambio únicamente la EF), lo que ocasiona esfuerzos normaleslongitudinales proporcionales a las deformaciones unitarias, que varían linealmente através de los patines; son máximos en el extremo empotrado, y disminuyen en seccionescada vez más alejadas de él, hasta que desaparecen eventualmente cuando las

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 19

secciones transversales están a una distancia suficiente para que dejen de sentirse losefectos de las restricciones producidas por el empotramiento.

Fig. 5.6 Alabeo de una barra de sección transversal I en torsión pura.

Fig. 5.7 Barra de sección transversal I en torsión no uniforme.

Para que aparezcan los esfuerzos normales longitudinales, no es necesario impedirtotalmente el alabeo de alguna sección transversal; basta con que, ya sea por lascondiciones de apoyo o de carga, o por una combinación de ambas, el alabeo no se

20 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

presente libremente y varíe de unas secciones transversales a otras, lo que ocasionadeformaciones longitudinales de las fibras.

Los esfuerzos normales producidos por la restricción al alabeo están acompañados poresfuerzos tangenciales, que contribuyen a resistir el momento de torsión exterior, demanera que éste no es equilibrado sólo por esfuerzos cortantes de Saint Venant, comosucede cuando el alabeo es libre.

En la Fig. 5.8 se muestran los esfuerzos normales y tangenciales en una barra de secciónI en torsión no uniforme, es decir, con alabeo restringido; tanto los tangenciales simples τscomo los debidos a la restricción al alabeo, τa, contribuyen a resistir el momento exteriorMT; si los momentos correspondientes se designan Mts y Mta, puede escribirse

MT = Mts + Mta (5.11)

(a) (b) (c)

Z Z Z

τa

+σa

-σa

τs

+σa

τa

Fig. 5.8 Esfuerzos producidos por la torsión no uniforme.

MT es el momento de torsión total que obra en la sección, Mts el momento resistentecorrespondiente a la torsión de Saint Venant, y Mta el debido a la resistencia al alabeo delas secciones transversales de la barra. (Los esfuerzos normales y cortantes queaparecen en el alma por este segundo concepto se desprecian, pues la flexión sepresenta alrededor de su eje de menor momento de inercia).

Los esfuerzos producidos al restringir el alabeo de barras de sección transversal macizano circular son mucho menores que los de las secciones abiertas de paredes delgadas;además, las piezas macizas no se emplean en estructuras de acero. Por estas razones,se tratan aquí sólo elementos con secciones transversales del segundo tipo.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 21

(a)

(b)

J= 3b1t1

3 +b2t23 +hw3

2b1(t1+t2)3+4b2t23 +hw3

J= 3

J= 32bt3+hw3

J= =4Ao

2 4(bd)2

Σ(b/t) b+b+2dt1 t2 w

t1 t1

t2 t2

ww w

wh h

Fig. 5.9 Constante de torsión de Saint Venant de diversas secciones.

MTs y MTa se calculan con las expresiones (ref. 5.1)

dzd

GJGJMTsφ

θ == (5.12)

dzd

ECM aTaφ

−= (5.13)

MTa es la parte del momento de torsión resistida por los esfuerzos tangenciales que seoriginan al alabearse las secciones transversales de una manera no uniforme; se le llamamomento resistente de torsión debido al alabeo no uniforme o, por brevedad, momento detorsión por alabeo. Ca es la constante de alabeo (tiene unidades de longitud elevada a lasexta potencia) y el producto ECa es la rigidez al alabeo.

Llevando las ecs. 5.12 y 5.13 a la 5.11, se obtiene la ecuación diferencial para torsión nouniforme de barras de sección transversal abierta y paredes delgadas:

22 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

dzd

ECdzd

GJM aTφφ

−= (5.14)

El signo menos que precede al segundo término proviene de la convención de signos quese utiliza para deducir las ecuaciones; en la solución de la ec. 5.14 los dos términos delsegundo miembro se suman.

y0 y2

d-tw

bb1

dh(a)

(b)

Ca=Iy(d-t)2

Ca=(y1+y2)2I1I2

I1+I2

b13 t1 b2

3 t212 12I1= I2=

y0=+_y1I1-y2I2

I1+I2

Centro degravedad

Centro detorsión

Ca=(d-t)

4 Iy+x2A (d-t)4Ix

( )_

x0= 1+ (d-t)2A4Ix

d(c)

Centro degravedad

Centro detorsión

2 A

Eje de inercia mínima

Centro de gravedad

Centro de gravedady torsión

Centro de torsión

(d)

(e)

(f)

Ca= 36(b1t1)3+(b2t2)3

Ca=144 36(bt)3

+(dw)3

Ca= 42d I

Fig. 5.10 Constante de torsión por alabeo de varias secciones.

En las Figs. 5.9 y 5.10 se proporcionan los valores de las constantes J y Ca para algunassecciones comunes.

EJEMPLO 5.2 En la Fig. E5.2.1 se muestra una trabe armada reforzada con dos placassoldadas a los patines. Las propiedades de la trabe sin cubreplacas se dan en lafigura. Determine los valores de esas propiedades para la sección reforzada.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 23

Ix=276 292 cm4

S=7248 cm 3x

Zx=7896 cm3

Iy=24767 cm4

Sy=1220 cm3

Zy=1846 cm3

J=316.7 cm4

Ca=33.9x106 cm6

Acotaciones en cm

C2=1.9

b2=35.0

b1=40.6

d2=80.04 d1=76.24

c1=2.22

h=71.8x

Fig. E.5.2.1 Sección transversal de la trabe armada.

Iy = 24767 + 2 x 1235.0 x 1.9 3

= 38 344 cm4

J se calcula con la fórmula de la Fig. 5.9c:

J = [2x35.0 (2.22+1.9)3+4x2.80 x 2.223 x71.8x0.953]/3 = 1693.2 cm4.

La constante de torsión por alabeo se determina con la ecuación

Ca = I1 ( ) ( )

211

222 cd

Icd +

+−

II e I2 son los momentos de inercia, respecto al eje y, de una placa de refuerzo y deun patín, y las demás cantidades se definen en la Fig. E5.2.1.

Ca = 662323

cm 10 x 54.6 = 2

2.22)-(76.24 x

122.22x40.6

+ 2

1.9)-(80.04 x

121.9x35

Ca puede determinarse también con la ecuación aproximada Ca = Iy 4/_

2 d , en laque Iy es el momento de inercia de la sección reforzada respecto al eje y, y d

_ la

distancia entre los centros de gravedad de los patines reforzados, que en este caso

es _

d = 75.77 cm. Por consiguiente,

Ca 6622

ycm 10 x 56.5 =

476.77 x 344 38

= 4dI

≈

Este valor de Ca es prácticamente igual al calculado arriba.Los módulos de sección elástico y plástico de la sección reforzada, respecto al ejex, son

24 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Ix = 276 292 + 2

2129.10.35 1.9+76.24

1.9 x 35.0 + x

= 479 352 cm4

Sx = 3cm 11978 = 2/04.80

479352

Zx = 7896 + 2 x 35.0 x 1.9

29.124.76

= 13092 cm3

El módulo de sección plástico es igual al de la viga sin reforzar más el momentoestático de las cubreplacas respecto al eje de simetría horizontal, x.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 25

5.4 PANDEO LATERAL ELÁSTICO

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexión pura

Para determinar el valor del momento flexionante, aplicado alrededor del eje de mayormomento de inercia, que ocasiona el pandeo lateral elástico por flexotorsión de una viga,se estudia primero el caso fundamental (Fig. 5.1): una viga I, laminada o formada portres placas soldadas, de eje recto, flexionada en el plano de mayor resistencia por paresiguales y de sentidos contrarios, de magnitud creciente, aplicados en los extremos.

Se admiten las hipótesis siguientes:

1. La viga es de sección transversal I, con dos ejes de simetría, constante en toda lalongitud. El centro de torsión coincide con el centro de gravedad de la sección.

2. Los esfuerzos normales máximos, obtenidos superponiendo los producidos porlos momentos exteriores con los residuales, están en el intervalo elástico cuandose inicia el pandeo.

3. La forma de las secciones transversales no cambia cuando la viga se flexiona yretuerce.

4. Los momentos que actúan en las secciones transversales se conservan en elplano que ocupaban originalmente.

5. La distancia entre las secciones de la viga soportadas lateralmente es igual alclaro.

6. El momento flexionante es constante entre las dos secciones soportadaslateralmente (flexión pura).

7. Los apoyos extremos son libres para flexión alrededor de los ejes x y y y paratorsión, lo que significa que pueden girar libremente alrededor de x y de y, y quelas secciones extremas pueden alabearse, pero no puede haber rotacionesalrededor del eje longitudinal z ni desplazamientos paralelos a los otros dos ejes.

La viga empieza a deformarse en cuanto se aplican los pares en sus extremos; mientrasson pequeños, se mantiene en el plano inicial, pero eventualmente se sale de él,desplazándose lateralmente y retorciéndose; los desplazamientos verticales v (Fig. 5.1c)se inician con la flexión, pero los laterales u y las rotaciones φ son nulos hasta que losmomentos alcanzan el valor crítico. El vector Mx, momento flexionante en una seccióncualquiera, que estaba alojado sobre el eje x de la misma, permanece paralelo a sudirección original, de manera que al cambiar la orientación de los ejes principales de lasección deja de coincidir con uno de ellos, y produce momentos alrededor de los tresnuevos ejes de referencia, ξ, η y ζ.

26 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Cuando el par que actúa alrededor del eje de inercia máxima alcanza un valor crítico laviga se deforma lateralmente, y el equilibrio exige que haya también torsión y flexiónalrededor del eje de menor inercia; el pandeo está asociado siempre con flexión lateral ytorsión.

El momento de torsión varía a lo largo del eje de la viga, puesto que la proyección de Mxsobre el eje ξ, que lo ocasiona, no es constante; es máxima en los extremos y nula en lamitad del claro, donde el eje ξ es paralelo al z, y el vector Mx es perpendicular a él. Laviga se encuentra en un estado de torsión no uniforme; su resistencia a la torsión es lasuma de los momentos resistentes correspondientes a la torsión de Saint Venant y a laoposición al alabeo de sus secciones transversales.

5.4.1.1 Cálculo del momento crítico

Interesa determinar la magnitud del momento Mx para la que se presenta una bifurcacióndel equilibrio, es decir, el momento para el que son posibles configuraciones en equilibrioligeramente deformadas lateralmente y retorcidas, además de la plana.

Las ecuaciones de partida, que se obtienen estudiando el equilibrio de la barradeformada, son (ref. 5.1)

022 =+ MdzudEI y φ (5.15)

033 =+− dzduMdzdGJdzdECa φφ (5.16)

Derivando la ec. 5.16 una vez, respecto a z, y sustituyendo d u dz2 2 por su valor dadopor 5.15, se obtiene la ec. 5.17, con el ángulo φ como única incógnita:

=−− φφφ

ya EI

Mdzd

GJdzd

EC (5.17)

Esta ecuación diferencial tiene una solución analítica porque el momento flexionante Mes constante en toda la longitud, y las condiciones de frontera permiten evaluar lasconstantes de integración:

+= 2

1GJL

ECnGJEI

M aycr

ππ (5.18)

Lo mismo que en las columnas, sólo tiene interés el menor de los valores del momentocrítico, a menos que se obligue a la viga a pandearse en alguno de los modossuperiores, a los que corresponde n = 2, 3, etc, por medio de restricciones exteriores queimpidan los desplazamientos laterales y las rotaciones de una o más secciones

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 27

transversales intermedias; en el caso en estudio, en el que la longitud sin soporte laterales el claro de la viga, n = 1.

También como en las columnas, la solución basada en desplazamientos pequeñosproporciona la configuración de la viga pandeada lateralmente, pero no la amplitud de losdesplazamientos, que permanece indeterminada.

Efectuando las operaciones indicadas dentro del radical, y haciendo n = 1, la ec. 5.18toma la forma

yaycr I L

CEGJEIL

M 2

22 ππ

+= (5.19a)

Recordando que G = E/2(1+µ) ≅E/2.6, y sacando E fuera del radical, se obtiene

Mcr =

ay CL

+ 2.6J

I LE 2ππ (5.19b)

Esta forma de la ecuación es un poco más fácil de usar que la 5.19a.

La resistencia total del perfil al pandeo lateral por flexotorsión está compuesta por dospartes, representadas por los dos términos del radical de la ec. 5.19a; la primeracorresponde al acoplamiento entre las resistencias a la flexión lateral y a la torsión pura,o de Saint Venant, y la segunda, al acoplamiento entre las resistencias a la flexión lateraly a la torsión por alabeo. En vigas I laminadas, que son relativamente robustas, el primertérmino suele ser mayor que el segundo, pues J es grande; en cambio, en perfiles degran peralte, hechos con tres placas soldadas, y en vigas de lámina delgada, se vuelvepredominante el término correspondiente a la resistencia al alabeo, aunque suimportancia relativa decrece cuando aumenta la separación entre secciones soportadaslateralmente, que aparece, elevada al cuadrado, en el denominador.

La ec. 5.19a puede escribirse

21 WGJEIL

M ycr +=π (5.20)

donde:

GJEC

LW aπ

= (5.21)

El parámetro W mide la importancia de la resistencia a la torsión por alabeo respecto a latorsión pura.

28 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Al obtener la ec. 5.19a se ha supuesto que la deflexión en el plano de carga no influyeen la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión, lo que se justifica cuando EIx esmucho mayor que EIy, y la deflexión en el plano es negligible comparada con la que sepresenta fuera de él. Cuando las dos rigideces son del mismo orden, el efecto de laflexión en el plano vertical y-z puede ser importante, y debe tenerse en cuenta al calcularMcr.

La ecuación siguiente representa una solución aproximada que incluye el efecto de lasdeflexiones en el plano (ref.5.2):

21 WI

GJEIL

ycr +=

donde ( )I I Ir y x= −1 .

Si Iy = Ix, Ir se anula, y Mcr se vuelve infinitamente grande. Si Iy > Ix, Ir se hace negativo yMcr imaginario, de manera que cuando Iy es igual o mayor que Ix, no hay solución. Deaquí se concluye que el pandeo lateral por flexocompresión de las vigas sólo es posiblecuando la sección tiene rigideces diferentes en los dos planos principales, y las cargasexteriores actúan en el plano del eje de menor momento de inercia (es decir, producenflexión alrededor del eje de mayor inercia). Como una consecuencia, las vigas desección transversal circular, maciza o hueca, y las de sección en cajón, cuadradas y degrueso uniforme, no fallan nunca por pandeo lateral por flexotorsión.

5.4.1.1.1 Vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca

La resistencia al alabeo de las secciones rectangulares, macizas o huecas (seccionesen cajón), es mucho menor que la resistencia a la torsión pura; en ese caso, Ca ≅ 0, elsegundo término del radical de la ec. 5.19a se desprecia, y Mcr vale

GJEIL

M ycrπ

= (5.22)

Sustituyendo E y G por sus valores numéricos, y haciendo I Ary y= 2 , se llega a

AJrL

cr3973000

= (5.23)

ry es el radio de giro de la sección respecto al eje de menor inercia. Tomando A y J encm2 y cm4, respectivamente, Mcr se obtiene en Kg cm.

5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 29

Cuando las paredes de las vigas son muy delgadas, como en perfiles de lámina dobladaen frío o en caliente, la constante J, que depende del grueso de las paredes elevado alcubo, es muy pequeña, de manera que el primer término del radical de la ec. 5.19apuede despreciarse, sin pérdida apreciable de resistencia; se obtiene, así,

yacr IL

CEL

M 2

22 ππ

= (5.24)

Haciendo C I da y= 2 4/ , donde d es el peralte de la sección, que es, en este caso, casiigual a la distancia entre los centroides de los patines, y sustituyendo Iy por Ary

2 , seobtiene

( )22

100620002 yy

cr rLAdEAd

rLM =

π (5.25)

A y d se toman en cm2 y cm y el resultado se obtiene en Kg cm.

5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga

Varias de las hipótesis que llevan a la ec. 5.19a, principalmente las dos últimas, suelenser demasiado severas cuando se aplican a casos reales, por lo que el valor de Mcr dadopor esa ecuación es, en general, un límite inferior del momento crítico. Si las condicionesde apoyo corresponden, por ejemplo, a un empotramiento en torsión, o si el momentoflexionante no es constante en toda la longitud, la ec. 5.19a proporciona resistencias quepueden ser significativamente menores que las reales. Cuando las acciones no sonpares aplicados en los extremos de la viga, sino fuerzas concentradas o distribuidasnormales a su eje, el nivel de aplicación de las cargas, respecto al centro de gravedadde las secciones transversales, influye también en la resistencia.

Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, la ec. 5.19a es tan básica para el estudio delpandeo lateral de vigas como la fórmula de Euler lo es para el de la inestabilidad decolumnas comprimidas axialmente.

Si en la ec 5.19a se sustituye Iy por Ary2 y se saca el radio de giro fuera del radical, éste

queda multiplicado por ( )π L ry : como en todos los problemas de pandeo, el valor críticode la carga es inversamente proporcional a la esbeltez del miembro, dada ahora por elcociente L ry . Si la distancia entre soportes laterales tiende a cero, el momento críticotiende a infinito, lo que es físicamente imposible; hay, por consiguiente, un límite superiorde Mcr.

Cuando el momento es constante en toda la viga, la ecuación diferencial que describe elequilibrio en una posición ligeramente deformada es lineal, con coeficientes constantes.En la práctica, las vigas tienen diferentes condiciones de apoyo y cargas de diversos

30 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

tipos, de manera que el momento flexionante varía a lo largo de su eje, las ecuacionesdiferenciales de equilibrio tienen coeficientes variables, y no se cuenta con solucionescerradas; las cargas críticas se obtienen con procedimientos numéricos aproximados.

Si las condiciones de apoyo impiden la rotación libre de las secciones extremasalrededor del eje y, la longitud L que aparece fuera del radical en la ecuación 5.18 o 5.19debe multiplicarse por un factor Ky para obtener la longitud efectiva de pandeo, y si elalabeo de las secciones extremas está restringido, ha de introducirse un segundo factor,Kz, que multiplica a la longitud L contenida dentro del radical, para obtener la longitudefectiva de alabeo; de esta manera la ecuación 5.18, con n = 1.0, se transforma en la5.26, en la que los factores Ky y Kz tienen en cuenta, respectivamente, las condicionesde apoyo correspondientes a giros alrededor del eje y y al alabeo de las seccionesextremas.

Mcr =

yy L)GJ(K

EC + 1 GJEI

LKππ (5.26)

La ref. 5.3 contiene valores de Ky y Kz para diferentes condiciones de apoyo, tomadosde resultados obtenidos en la ref. 5.4. Para simplificar la aplicación de la ecuación 5.26,los valores exactos de esos coeficientes pueden sustituirse por los siguientes, que danresultados del lado de la seguridad (ref. 5.3): 1.00, cuando los dos extremos estánlibremente apoyados, 0.70 cuando uno es libre y el otro fijo, y 0.5 cuando ambos sonfijos1, semejantes a los que proporcionan la longitud efectiva de columnas concondiciones de apoyo análogas; se obtienen así los momentos críticos para diversascombinaciones de las condiciones de apoyo: si, por ejemplo, uno de los extremos de laviga está soldado a tope, con soldaduras de penetración en alma y patines, a unacolumna muy robusta, y el otro está conectado a otra columna por medio de un par deángulos verticales de poca longitud adosados al alma, sin ninguna liga en los patines,puede considerarse que tanto la rotación alrededor del eje y como el alabeo estánimpedidos en el primer apoyo y que los dos pueden presentarse casi libremente en elsegundo; en esas condiciones se obtienen resultados conservadores tomando Ky = Kz =0.7.

Cuando hay dudas respecto a las condiciones de apoyo, conviene suponer que losfactores K valen 1.0.

El efecto de solicitaciones distintas de la flexión pura se toma en cuenta multiplicando elsegundo miembro de las ecs. 5.19 por un coeficiente C1 que depende de las condicionesde carga.La posición de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales de la vigatambién influye en su resistencia al pandeo; las que están arriba de él son másdesfavorables que las que actúan debajo, ya que al iniciarse el pandeo las primeras 1 Para determinar Ky se considera que un extremo es fijo cuando su giro alrededor del eje y está

impedido, y libre cuando no hay restricciones para ese giro; en la obtención de Kz los extremos fijosson aquellos en los que no puede haber alabeo, y los libres los que pueden alabearse sin restricción.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 31

tienden a retorcer el perfil, agravando las condiciones en que se encuentra, mientras quelas segundas tienen un efecto estabilizador, y tratan de enderezarlo; las cargasaplicadas en el centroide no influyen en este aspecto del problema (Fig. 5.11).

Fig. 5.11 Posiciones de las cargas respecto al centroide de lassecciones transversales.

En estructuras reales puede haber cargas en el patín superior (Fig. 5.12a) (es el casomás común, que se presenta cuando las fuerzas se transmiten por apoyo directo sobreel borde superior de la viga, pero los mismos elementos que transmiten las cargassuelen soportar lateralmente el patín, evitando el pandeo lateral), en el centroide (Fig.5.12b) (por ejemplo, cuando una viga principal recibe vigas secundarias por medio deángulos o placas adosados al alma), o en el patín inferior (Fig. 5.12c) (algunos tipos deapoyo de vigas secundarias en principales, grúas móviles colgadas del patín inferior dela viga de soporte).

Fig. 5.12 Casos en que las cargas están aplicadas en el patín superior,en el centroide o en el patín inferior de las secciones transversales.

Para tener en cuenta la posición del punto de aplicación de las cargas con respecto alcentroide de la sección, se introduce un nuevo factor, C2.

Con los factores C1 y C2, y los coeficientes de longitud efectiva Ky y Kz, se obtiene unafórmula general para el cálculo del momento crítico de pandeo de vigas I con cualquiercondición de apoyo y de carga; como en la mayoría de los casos prácticos las rotacionesφ alrededor del eje longitudinal están impedidas en los dos extremos, condición supuestaen la casi totalidad de los estudios teóricos, puede obtenerse una expresión generalconservadora para el cálculo del momento crítico que incluye sólo el factor de longitudefectiva Ky (ref. 5.5):

��

(a) (b) (c)

32 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Mcr = ( )

±+

GJEC

LKC

CLKGJ

ECGJEI

LKC a

1 πππ 222

11 (5.27)

Se toma el signo negativo que antecede al último término cuando las cargas estánaplicadas en el patín superior, y el positivo cuando actúan en el inferior; si obran en laviga sólo momentos en los extremos, o cargas aplicadas en el eje centroidal, C2 = 0, y laecuación 5.27 se reduce a la 5.26 multiplicada por C1.

Por comodidad en la obtención de tablas y gráficas que faciliten su uso, conviene escribirla ecuación 5.27 en la forma (ref. 5.5):

GJEI L

C = M y

4cr (5.28)

en la que C4 es igual a

C4 =

KLaC

C + (1 KL

a + 1

KC 22

21 πππ )

)( 2

(5.29)

K es el factor de longitud efectiva para flexión alrededor de los ejes principales verticalesy.

El parámetro ECa/GJ, cociente de las rigideces al alabeo y a la torsión simple,desempeña un papel muy importante en el pandeo lateral de vigas, y aparece enmuchas de las fórmulas relacionadas con él; su raíz cuadrada se ha designado con laletra a:

a = GJ

ECa (5.30)

La ref. 5.1 contiene curvas con las que se determinan los coeficientes C4 de vigas I concondiciones de carga y apoyo frecuentes en estructuras reales. Aquí se reproducen sólolas de vigas en flexión con pares en los extremos de diferentes magnitudes y signos (Fig.5.13); cubren las dos condiciones extremas de restricción alrededor de los ejes y de losapoyos, giros libres o totalmente impedidos.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 33

Nomenclatura

Cada curva está designadapor un número y una letra.El número indica la condiciónde carga; se han consideradolos cinco casos siguientes:

M M

La letra se refiere a lascondiciones de apoyo dela viga relativas a girosalrededor del eje vertical “y”.A, los extremos puedengirar libremente.B, los extremos están fijos.

50C446

20 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 1 2

a/L1 4

5B 4B 3B 2B 1B

Fig. 5.13 Valores del coeficiente C4 para vigas I flexionadas por pares aplicados ensus extremos.

5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas

5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos

Si las únicas acciones son momentos aplicados en los extremos de la viga, demagnitudes diferentes (Fig. 5.14), el momento flexionante a lo largo del eje es función de

34 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

z, y la ecuación diferencial de equilibrio tiene coeficientes variables, lo que obliga aemplear un procedimiento numérico complicado, que utiliza series de funcionesespeciales, para resolverla. Afortunadamente, se ha demostrado (refs. 5.6 y 5.7) que elefecto de la variación del momento sobre la resistencia al pandeo lateral puede tenerseen cuenta, con buena aproximación para fines de diseño, sustituyendo el momentovariable real que ocasionaría el pandeo por un momento uniforme equivalente ficticio,que produce el mismo resultado. El momento crítico de la viga de la Fig. 5.14 se obtienemultiplicando el del caso fundamental por un factor de momento equivalente, Cb, demanera que

M C Mcr b cr= 0 (5.31)

Mocr es el momento crítico de pandeo de la viga en flexión pura (ec. 5.19 o 5.20), y Cb secalcula con la expresión

( ) ( ) 3.23.005.175.1 22121 ≤++= MMMMCb (5.32)

M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos en los extremos (pueden ser iguales); elcociente M1/M2 es positivo cuando la viga se flexiona en curvatura doble y negativocuando lo hace en curvatura simple.

Flexión en curvatura dobleM1/M2 es positivo

M1 M2

Flexión en curvatura simpleM1/M2 es negativo

M1 M2

Fig. 5.14 Viga sujeta a momentos aplicados en sus extremos.En la Fig. 5.15 se comparan los valores de Mcr , dados por la ecuación aproximada 5.31,con los valores teóricos: los resultados de la ec. 5.31 están muy cerca de los momentoscríticos reales, y son ligeramente conservadores.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 35

1.00

-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.25 0.50

Banda de resultados teóricos

Curvaturasimple

CurvaturadobleM1/M2

0.75 1.000

0.75

0.50

M1 M20.25

M1 M2

1Cb

MocrMcr

Fig. 5.15 Comparación de la ec. 5.31 con resultados teóricos.

Puesto que M M1 2 está comprendido, en todos los casos, entre -1 y 1, Cb es siempremayor que la unidad (excepto en el caso particular en que M1/M2 = -1.0, en el que Cb =1.0), lo que confirma que la flexión pura, producida por momentos iguales y de sentidoscontrarios, es la condición de carga más severa.

5.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio

La ecuación diferencial de equilibrio de una viga libremente apoyada, con una cargaconcentrada en el centro del claro, tiene un coeficiente variable; su solución se obtienecon el método de series infinitas (ref. 5.8). Los resultados se indican con línea continuaen la Fig. 5.16, en la que se muestran tres casos: carga aplicada en el patín superior, enel centro de torsión y en el patín inferior de la sección transversal.

Con fines de diseño se utiliza la ec. 5.31, en la que Mcr es el momento máximo en la vigaen el instante en que se inicia el pandeo:

crbcr

cr MCLP

M 04== (5.33)

donde

cb = AB para carga en el patín inferior A para carga en el centro de torsión A/B para carga en el patín superior

36 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Los valores de A y B (ref. 5.9) son:

A = 1.35B = 1 + 0.649 W - 0.180 W2

W se calcula con la ec. 5.21.

Los valores aproximados de Pcr, obtenidos con la ec. 5.33 y los coeficientes Cb indicadosarriba, coinciden prácticamente con la solución “exacta” (Fig. 5.16).

Resultados aproximados0

L/2 L/2

0.5 1.0 1.5 2.0

GJEC aW2=

2.5

( )

Resultados teóricos

PcrL2

ElyGJ

Fig. 5.16 Viga con una carga en el centro del claro; comparación deresultados teóricos y aproximados.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 37

CargasDiagramas demomentosflexionantes

Mcr

L/4L/4

L/4

L/4 L/4 L/4 L/4

3L/4

PcrL4

3PcrL16

WcrL2

1.00

1.75

2.30

1.35

1.13

1.04

1.44

(a)

(b)

MAMBMmáx

MCCb=

12Mmáx2Mmáx+3MA+4MB+3MC

L/2 L/2

L/2

Tabla 5.1 Valores de Cb para varias condiciones de carga (Las fuerzasconcentradas están aplicadas en el centro de torsión de la sección

transversal).

38 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.4.2.1.3. Otras condiciones de carga

La Tabla 5.1a contiene soluciones aproximadas para varias condiciones de carga; lasfuerzas están aplicadas en el centro de torsión de la sección transversal de la viga, o sonpares que actúan en sus extremos. Las cargas críticas se obtienen con la ec. 5.31, en laque Mocr se calcula con la ec.5.19 o 5.20, y Cb se lee en la cuarta columna de la tabla; lacolumna tercera contiene las expresiones de Mcr para cada caso.

Cuando las cargas producen diagramas de momentos que no varían linealmente entrelos extremos de la viga, Cb puede calcularse con la fórmula empírica (ref. 5.2):

CBAmáx

máxb MMMM

343212

+++= (5.34)

MA, MB y MC son los valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro yel tercer cuarto del claro de la viga, y Mmáx es el momento máximo en la viga, también envalor absoluto (Tabla 5.1b).

En la Tabla 5.2 se proporciona información adicional para fuerzas que no estánaplicadas en el centro de torsión.

Carga Diagrama de momentosflexionantes M A B

PL4 1.35 1-0.180W2+0.649W

wL28

1.12 1-0.154W2+0.535W

PL1 1+L1

2L1+L2( ) 1-0.465W2+1.636W

P P

L/2 L/2

L1 L1L2

Tabla 5.2 Coeficientes A y B para vigas con cargas transversales.

EJEMPLO 5.3 Una viga libremente apoyada, cuya sección transversal se muestra en laFig. E5.3.1, tiene 10 m de claro y ningún soporte lateral intermedio; sobre ella

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 39

actúa una carga uniformemente repartida. Calcule el valor de la carga por unidadde longitud, wcr, que ocasionaría la falla por pandeo lateral elástico, suponiendoque está aplicada en el patín superior, en el centroide de las seccionestransversales, y en el patín inferior.

d=157.48 cm h=152.4 cm

1.27 cm

t=2.54 cm

b=30.5 cm

30.5 cm

Fig. E5.3.1 Sección transversal de la viga del ejemplo 5.3.

Las propiedades geométricas de la sección transversal son:

A = 348.5 cm2, Ix = 1 304 580 cm4, Iy = 12 037 cm4, J = 437.3 cm4, Ca = 72.2 x 106 cm6.

La carga crítica por unidad de longitud se determina con una expresión semejantea la 5.33:

Mcr = 2ocrb

crocrb

2cr

LM8C

= w MC = 8Lw

∴

El momento crítico en el caso fundamental (ec. 5.19b) es

Tm. 208.6 = Kgcm 363 857 20 = 391 577 8 + 531 024 2 1000

= 10 x 172.2 1000

+ 2.6

437.3 12037

1000E

= CL

+ J

I LE

= M 6ayocr

ππππ

6.2

Cb tiene los valores siguientes (Tablas 5.1 y 5.2):

Ec. 5.21, W = 3.437

6aa 10 x 72.2

x 2.6 1000

= J

C 2.6

L =

GJEC

πππ = 2.058

40 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

A = 1.12, B = 1 + 0.535 x 2.058 - 0.154 x 2.0582 = 1.449

a) Carga en el patín inferior. Cb = AB = 1.12 x 1.449 = 1.623b) Carga en el centro de torsión. Cb = A = 1.12c) Carga en el patín superior. Cb = A/B = 1.12/1.449 = 0.773

Cargas críticas elásticas.

a) wcri = 8 x 1.623 x 208.6/102 = 27.1 Ton/mb) wcrc = 8 x 1.12 x 208.6/102 = 18.7 Ton/mc) wcrs = 8 x 0.773 x 208.6/102 = 12.9 Ton/m

En el caso b, Cb puede calcularse también con la ecuación aproximada 5.34,utilizando el diagrama de momentos de la Fig. E5.3.2:

Cb = 1.14 = 9.375 3) + (3 + 12.5 4) + (2

12.5 x 12 =

3M + 4M + 3M + M2 M

CBAmáx

máx12

Este valor es muy cercano al obtenido arriba, 1.12.

10m

M B =M máx =12.5w

M A =M C =9.375w

B C2.5m 2.5m 2.5m 2.5m

Fig. E5.3.2 Diagrama de momentos de la viga del ejemplo 5.3.

Como se ve observando las cantidades dentro del radical de la ec. 5.19b, la resistenciaal pandeo lateral que proviene de la torsión por alabeo es mucho mayor que la quecorresponde a la torsión de Saint Venant.

EJEMPLO 5.4 Igual que el ejemplo 5.3, pero la viga es ahora de sección W12” x 35 lb/ft(30.5 cm x 52 Kg/m), tomada de la ref. 5.22, de 6 m de claro, y tiene una cargaconcentrada aplicada en la sección media. Se desea calcular los valores de esacarga que ocasionarían el pandeo lateral elástico de la viga.

Propiedades geométricas

A = 66.5 cm2; Iy = 1020 cm4; J = 30.8 cm4; Ca = 236 x 103 cm6

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 41

GJECa = 141.0 cm.

Las propiedades geométricas se han tomado de la ref. 5.22.

La ec. 5.33 proporciona la carga crítica:

L MC 4

= P MC= M= 4

LP ocrbcrocrbcr

cr ∴

De la ec. 5.19a

Mocr = .= 6599 + 12083 600

E = 10 x 236 x 1020

600 +

2.630.8 x 1020

E 3 πππ 2

600

= Tm 14.6 = Kgcm 243 1459

W = 600

0.141 π = 0.738. A = 1.35, B = 1 + 0.649 x 0.738 - 0.180 x 0.7382

= 1.381.

Los valores de A y B se han tomado de la Tabla 5.2.

a) Carga en el patín inferior . Cb = AB = 1.864b) Carga en el centro de torsión. Cb = A = 1.35c) Carga en el patín superior. Cb = A/B = 0.978

Cargas críticas.

a) Pcri = 4 x 1.864 x 14.6/6.0 = 18.1 Tonb) Pcrc = 4 x 1.35 x 14.6/6.0 = 13.1 Tonc) Pcrs = 4 x 0.978 x 14.6/6.0 = 9.5 Ton

En el caso b, Cb puede calcularse con la ec. 5.34.

Mmáx = MB = PL/4 = 1.5 P ; MA = MC = 0.75P

1.35 = 1.333 = 3) + (3 0.75 + 4) + (2 1.5

1.5 x 12 = C

b∴

La resistencia debida a la torsión de Saint Venant es ahora mayor que la queproviene de la resistencia al alabeo.

42 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral

Hasta ahora se ha supuesto que, desde el punto de vista del pandeo lateral, los soportesson apoyos simples en flexión lateral y en torsión, a los que corresponde el valor mínimode Mcr.

En uniones diseñadas para transmitir sólo fuerza cortante (dos ángulos soldados oatornillados al alma de la viga, de longitud bastante menor que el peralte de ésta, porejemplo), las condiciones anteriores se cumplen razonablemente; aunque hay algunasrestricciones contra la rotación alrededor de y y el alabeo, no pueden cuantificarse conexactitud, y es conservador considerarlas nulas.

Si la conexión transmite flexión, además de cortante, como en las uniones entre vigas ycolumnas de marcos rígidos, las condiciones de soporte se aproximan al empotramiento,tanto en flexión lateral como en torsión, y Mcr aumenta de manera importante.

Se cuenta con varios métodos para considerar las diversas condiciones de apoyo ysoporte lateral. Uno de ellos, en el que se utilizan dos coeficientes de longitud efectiva,para flexión lateral y torsión (Ky y Kz, respectivamente), se ha tratado en el art. 5.4.2.

En secciones en cajón, que tienen una resistencia a la torsión por alabeo despreciable

GJEI LK

M yy

crπ

= (5.35)

Otro método consiste en definir un coeficiente Cbs, semejante a Cb, que incluye, al mismotiempo, las condiciones de apoyo y el tipo de carga que actúa sobre la viga. De estamanera, la ec. 5.31 se convierte en

crbscr MCM 0= (5.36)

Si la viga está empotrada en los dos extremos, y tiene una carga concentrada en elcentro o repartida uniformemente en toda la longitud, se tiene (ref. 5.9):

Mcr =

adistribuid nteuniformeme carga la para /Lw

aconcentrad carga la para /LP

Cbs =

superiorpatín el en carga para A/Btorsión de centro el en carga para A

inferior patín el en carga para AB

Las expresiones para A y B están en la Tabla 5.3, y Mocr se calcula con la ec. 5.19 o5.20.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 43

Los coeficientes Cb de la ec. 5.31 y Cbs de la 5.36 no son iguales, pues el primero sólotoma en cuenta el efecto de la variación del momento sobre la carga crítica de pandeolateral, y el segundo incluye también las condiciones de apoyo en los extremos de laviga.

Carga A B

L/2 L/2

1.643+1.771W-0.405W2

1.916+1.851W-0.424W2

1+0.625W-0.339W2

1+0.923W-0.466W2

Tabla 5.3 Expresiones para A y B para una viga empotrada en losextremos.

Las referencias 5.7, 5.9 y 5.10 contienen información adicional para otras condiciones deapoyo y carga, incluyendo vigas en voladizo.

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas

En vigas continuas, formadas por varios tramos unidos entre sí en los apoyos, esfrecuente que se soporten lateralmente una o más secciones intermedias de alguno delos tramos; lo mismo sucede en vigas de marcos rígidos, sobre todo durante laconstrucción de la estructura. Si una viga con soportes laterales intermedios trata depandearse lateralmente, el tramo crítico interactúa con los adyacentes, y su resistencia,y la de la viga completa, aumentan; la importancia de la interacción depende de lageometría de la viga y de las cargas que obran sobre ella.

La viga de la Fig. 5.17 está apoyada libremente; el eje deformado vertical, que semuestra en a), es una semionda. Sin embargo, desde el punto de vista del pandeolateral es continua, a causa de los soportes laterales intermedios (Fig. 5.17b), que sonproporcionados, con frecuencia, por las mismas vigas transversales que aplican lascargas; en otras ocasiones, se colocan elementos especiales para dar apoyo lateral a lassecciones intermedias.

En el tramo central el gradiente de flexión es nulo, y en los laterales el momento varía deun máximo en un extremo a cero en el otro; estos tramos tienen mayor resistencia alpandeo que el central, restringen la rotación de sus extremos, y retrasan el fenómenohasta que se igualan las resistencias de los tres.

44 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Puntos de in flexiónb) P lanta y deform ación la teral

L/3 L/3L

P P

L/3

* *

Soportes la tera les*

* *

a) E levación y deform ación en e l plano vertica l

Fig. 5.17 Viga libremente apoyada con soportes laterales intermedios.

La viga de la Fig. 5.18 es continua vertical y lateralmente; sin embargo, desde el puntode vista del pandeo lateral su comportamiento es análogo al de la viga de la Fig. 5.17,aunque ahora es el tramo central el que restringe a los laterales.

b) Planta y deformación lateral

a) Elevación y deformación en el plano vertical

Soportes laterales Puntos de inflexión*

* * * *Ls2=L2 Ls2=L2Ls1=L 1

Fig. 5.18 Viga continua.

Los puntos de inflexión de la curva de deformación lateral se sitúan siempre en lostramos más débiles, y no coinciden con los de la deformada vertical, que aparecen enlas secciones de momento nulo; por consiguiente, al estudiar la resistencia al pandeolateral es erróneo considerar que los puntos de inflexión de la curva vertical puedenconsiderarse soportados lateralmente, y las distancias entre secciones de momento nulono son las longitudes efectivas de pandeo.

La Fig. 5.19 muestra el efecto de la interacción en los modos de pandeo elástico de unaviga continua de tres claros. Si sólo están cargados los laterales (P2 = 0), ellos son lostramos críticos, en los que se inicia, eventualmente, el pandeo; sin embargo, elfenómeno está restringido por el tramo central, sin carga, y en la curva de pandeo

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 45

aparecen puntos de inflexión en los claros extremos (Fig. 5.19b); si, en cambio, el centrales el único claro cargado (P1 = 0), lo restringen los laterales, y la curva de pandeo es lade la Fig. 5.19c, con puntos de inflexión en él. Entre esos dos extremos existe unacondición de carga para la que no hay interacción, cada claro se pandea como siestuviera aislado de los demás, y aparecen puntos de inflexión en los dos apoyosintermedios (Fig. 5.19d).

Puntos de inflexión

P1 P1P2

L1 L1L2

(d) Modo 3, no hay interacción

(a) Elevación

Los apoyos estánsoportados lateralmente

Puntos de inflexión

(b) Modo1, P2=0

Fig. 5.19 Modos de pandeo de una viga continua de tres claros.

Las curvas de las figuras b, c y d, características del pandeo lateral, corresponden a laconfiguración deformada de la viga fuera del plano de flexión; la curva elástica de la viga,en su plano vertical original, no depende del contraventeo lateral sino, únicamente, delas cargas.

Se cuenta con abundante información teórica para evaluar la carga crítica de pandeolateral de vigas continuas con soportes laterales entre los apoyos incluyendo, en lasolución del problema, la interacción de los tramos que las componen, pero losresultados son demasiado complicados para aplicarlos en problemas rutinarios de diseño(refs. 5.20, 5.21, 5.25); por ello, se han propuesto métodos simplificados.

En el más sencillo, aplicable a vigas formadas por varios segmentos con extremosapoyados o provistos de contraventeos que evitan que se alabeen y desplacenlateralmente, se ignora la continuidad lateral entre tramos adyacentes, y se consideracada uno de ellos como si, lateralmente, tuviese apoyos libres; el pandeo elástico decada segmento se estudia considerando los momentos flexionantes que actúan en él,obtenidos con un análisis de la viga en el plano de carga, y con una longitud efectiva Leigual a la longitud L del segmento (cada tramo, entre apoyos verticales o soporteslaterales, se trata como si estuviese aislado). El momento crítico elástico de cada

46 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

segmento se utiliza para evaluar el conjunto de cargas correspondiente, y el menor deellos se considera el crítico. Se obtiene, así, un límite inferior de las cargas queocasionan el pandeo que, en muchos casos, es bastante cercano al real. (En problemasde diseño basta, en general, con conocer el momento crítico de la viga, que se tomaigual al menor de los calculados para los tramos que la componen; no suele sernecesario determinar las cargas correspondientes).

Los resultados anteriores se pueden mejorar considerablemente, sin complicacionesexcesivas, incluyendo en el análisis, de manera aproximada, la interacción del segmentocrítico con los adyacentes (refs. 5.20, 5.21, 5.25); se supone que las restricciones contrael desplazamiento lateral y el alabeo de las secciones extremas son idénticas, y que lasque hay en el plano de flexión se tienen en cuenta por medio del diagrama de momentosflexionantes en ese plano.

Los pasos para resolver un problema son (en vez de las cargas criticas pueden utilizarselos momentos críticos, lo que suele ser ventajoso):

1. Se determina el diagrama de momentos flexionantes en el plano de carga (Fig.5.20a).

2. Se determinan Cb (ec.5.32 o 5.34) y Mcr (ec. 5.31) para cada uno de lossegmentos no contraventeados, con una longitud efectiva igual a la distancia realentre puntos soportados lateralmente, y se identifica el tramo que tiene la cargacrítica menor. Pm, PrI y PrD (Fig. 5.20b), son las cargas críticas de pandeo delsegmento más débil y de los situados a uno y otro lado de él, determinadassuponiendo que sus extremos están apoyados libremente.

3. Se calculan las rigideces de los tres segmentos; para el segmento crítico:

bcr

ym L

EI2=α

Para los tramos adyacentes:

−=

myr P

EIn 1α

n vale 2 si el extremo opuesto del segmento adyacente es continuo, 3 si estáarticulado, y 4 si está empotrado.

4. Se determinan las relaciones entre rigideces G m r= α α en los dos extremos delsegmento crítico, y se obtiene su factor de longitud efectiva, K, con el nomogramapara columnas restringidas, sin desplazamientos lineales relativos entre susextremos.2

2 El nomograma puede verse, por ejemplo, en las refs. 5.1, 5.12 ó 5.26, y se incluirá en un capítuloposterior de este libro. Aparece también en la Fig. E5.5.2.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 47

5. Se calcula el momento crítico de pandeo lateral del segmento más desfavorablecon la ecuación:

cr I (KL)

CE + GJEI KL

C = M

ππ

que es la ec. 5.19a, en la que se han introducido el coeficiente Cb y la longitudefectiva KL. Puede utilizarse también la ec. 5.19b, con los factores Cb y K.

Conocido Mcr puede determinarse, si se desea, la carga crítica elásticacorrespondiente.

Mn Mn+1

(a)

P , αrΙrΙ Pm m,α PrD rD,α

LΙ Lbcr LD

(b)Fig. 5.20 Efectos de las restricciones en los extremos: (a) momentos

flexionantes en el plano de carga, (b) contraventeo lateral ylongitudes de pandeo.

El problema puede resolverse trabajando sólo con momentos, sin recurrir a calcular lascargas críticas, como se ilustra en el Ejemplo 5.5.

El método anterior está basado en una similitud entre el pandeo elástico de columnascontinuas con extremos fijos linealmente y el pandeo lateral por flexotorsión de vigasformadas por varios tramos (ref. 5.21).

EJEMPLO 5.53 La viga de la Fig. E5.5.1 es un tramo de una viga continua, o formaparte de una estructura reticular; los apoyos y los puntos de aplicación de lascargas (1 a 5) están soportados lateralmente. Se desea determinar su momentocrítico elástico, a) considerando cada tramo, entre puntos fijos lateralmente,aislado de los demás; b) teniendo en cuenta la interacción de los tramos. La vigaes una W 24” x 55 lb/ft (61.0 cm x 82 Kg/m).

3 Este ejemplo esta basado en uno de la ref. 5.25.

48 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

a) Dimensiones y cargas

b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

3.80m 3.80m 3.80m 3.80m

1 2

15.8T.=2P; 23.7T.=3P; 7.9T.=P90.0Tm=0.75PL

3 4 5

75.0=0.625PL

90.0=0.75PL

15.0=0.125PL

90.0=0.75PL

Fig. E5.5.1 Viga del ejemplo 5.5.

Propiedades geométricas de la viga (ref. 5.22).

Iy = 1210 cm4; J = 49.1 cm4; Ca = 1039 x 103 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionantevaría linealmente en cada tramo.

Tramo 1.2 M1/M2= 0, Cb = 1.75

Tramo 2.3 M1/M2 = -(75.0/90.0) = -0.833

Cb = 1.75 + 1.05 (-0.833) + 0.3 (-0.833)2 = 1.084 < 2.3. Cb = 1.084

Tramo 3.4. M1/M2 = -(15.0/90.0) = -0.167.

Cb = 1.75 + 1.05 (-0.167) + 0.3 (-0.167)2 = 1.583 < 2.3. Cb = 1.583

Tramo 4.5 M1/M2 = 15.0/90.0 = 0.167

Cb = 1.75 + 1.05 x 0.167 + 0.3 x 0.1672 = 1.934 < 2.3. Cb = 1.934

Momentos críticos elásticos, suponiendo tramos aislados. Se calculan con la ec.5.19a o 5.19b, incluyendo en ellas el coeficiente Cb (ec. 5.31), y tomando lalongitud de pandeo de cada tramo igual a su longitud real.

Tramo 1.2

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 49

Mcr =

+ ay

b CL

JIL

EC 2

6.2ππ

= 10 x 1039 x 380

+ 2.649.1

1210 380

E1.75 3

2ππ

10 x -5

= 97.30 Tm.

Mcr/Mmáx = 97.30/75.0 = 1.30.

Como L = 3.80 m en todos los tramos, la única cantidad que varía en la ecuaciónanterior es Cb.

Tramo 2.3 Mcr = 97 30175

. x 1.084 = 60.27 Tm ;

máx

crMM =

60 2790 0

. = 0.67

Tramo 3.4 Mcr = 97 30175

. x 1.583 = 88.01 Tm ;

máx

crMM =

88 0190 0

. = 0.98

Tramo 4.5 Mcr = 97 30175

. x 1.934 = 107.53 Tm ;

máx

crMM =

107 5390 0

. = 1.19

a) Considerando cada tramo por separado, el crítico es el 2.3; el momentocrítico elástico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a(Mcr)2.3 = 60.27 Tm.

La viga no resistiría las cargas que actúan sobre ella, que producen momentosmayores que el crítico, pero eso no invalida el ejemplo. Las acciones que ocasionarían el pandeo elástico de la viga (determinadas sinconsiderar la interacción de los diversos tramos) y el diagrama de momentoscorrespondiente, se obtienen multiplicando por 0.67 las cargas y momentos de laFig. E5.5.1.

Rigideces aproximadas (del tramo crítico y los dos adyacentes).

Tramo 1.2. α

1.300.67

- 1 E 1210 x 3

= )/M(M)/M(M

- 1 L

3EI =

12máxcr

mínmáxcry12 380

= 9.44 x 106 Kgcm.

Tramo 2.3. α23 = 2EIy/L = 2 x 1210E/380 = 12.99 x 106 Kgcm.

Tramo 3.4. α34 =

0.980.67

- 1 1210E x

= )/M(M)/M(M

- 1 L

2EI

34máxcr

mínmáxcry

3802

= 4.11 x 106 Kgcm.

50 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Coeficientes G. G2 = 12.99/9.44 = 1.38; G3 = 12.99/4.11 = 3.16.

Factor de longitud efectiva. De la Fig. E5.5.2, K23 = 0.85.

b) Momento crítico elástico corregido (Tramo 2-3).

(Mcr)2 3. = Tm 80.95 10 x 10 x 1039 x 380 x 0.85

+ 1210 x

E 5-3 =

6.21.49

38085.0084.1 ππ

Al considerar la continuidad del tramo crítico con los que están a sus lados, elmomento crítico elástico de la viga sube de 60.37 Tm, que corresponde al tramo2-3 aislado, a 80.95 Tm, lo que representa un incremento de 34%. (80.95/60.37 =1.34).

El incremento en resistencia del párrafo anterior se refiere a pandeo elástico; sinembargo, como se ve más adelante, la mayoría de las vigas de estructuras realesse pandean en el intervalo inelástico, lo que obliga a corregir los resultadosobtenidos hasta ahora; la diferencia entre los momentos críticos reales, corregidospor inelasticidad, suele ser mucho menor que la que hay entre los elásticos.

El pandeo lateral puede ser más crítico durante la construcción que en laestructura terminada; esto sucede, por ejemplo, en las vigas compuestas, antesde colar la losa de concreto.

El problema puede resolverse también en función de las cargas críticas de cadatramo, en vez de los momentos críticos; para ello, se expresan las cargas y losmomentos en función de la menor de ellas, P, y del claro L = 15.20 m de la viga(Fig. E5.5.1). Se obtiene, así:

Tramo 1-2. Mcr = 97.30 Tm = 0.625 PcrL ∴ Pcr = 10.24 Ton.

Tramo 2-3. Mcr = 60.27 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr= 5.29 Ton.

Tramo 3-4. Mcr = 88.01 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 7.72 Ton.

Tramo 4-5. Mcr = 107.53 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 9.43 Ton.

El tramo crítico es el 2-3.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 51

0 0

0.1 0.1

0.2 0.2

0.3 0.3

0.4 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Gs K Gi

0.50.6 0.60.7 0.70.8 0.80.9 0.91.0 1.0

2.0 2.0

3.0 3.04.05.0 5.0

10.0 10.0

50.0 50.0oo oo

Fig. E5.5.2 Nomograma para determinar el factor de longitud decolumnas en marcos con desplazamientos laterales impedidos.

Rigideces aproximadas.

10.245.29

- 1 E 1210 x 3

= )(P)(P

- 1 L

3EI =

2-1cr

3-2cry12 380

= 9.42 x 106 Kgcm.

α23 = 2EIy/L = 12.99 x 106 Kgcm.

α34 =

7.725.29

- 1 1210E x

= )(P)(P

- 1 L

2EI

34cr

23cry

3802

= 4.09 x 106 Kgcm.

Los resultados son prácticamente iguales a los de arriba, de manera que seobtiene el mismo momento crítico corregido.

(Mcr)2-3 = 80.95 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 7.10 Ton.

7.10/5.29 = 1.34, igual que arriba.

52 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Las cargas que ocasionarían el pandeo elástico de la viga se obtienensustituyendo P por Pcr = 7.10 Ton en la Fig. E5.5.1a.

EJEMPLO 5.6 Igual que el ejemplo 5.5. La viga es una W12” x 50 lb/ft (31 cm x 74Kg/m), con las dimensiones y cargas que se indican en la Fig. E5.6.1.

2m 3m

5.4 (+)

(-)

6.6

1 2

2.3T. 3.5T.

R=2.7Tona) Dimensiones y cargas

b) Diagrama de momentosflexionantes (Tm)

5.8Tm

5.8

Fig. E5.6.1 Viga del ejemplo 5.6.

Propiedades geométricas de la W12 x 50 (ref. 5.22)

Iy = 923 cm4; J = 74.1 cm4; Ca = 504 847 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionantevaría linealmente en cada uno de los tramos.

Tramo 1-2. M1/M2 = 0, Cb = 1.75

Tramo 2-3. M1/M2 = -(5.4/6.6) = -0.818 (curvatura simple).

Cb = 1.75 + 1.05 (-0.818) + 0.3 (-0.818)2 = 1.09 < 2.3 ∴ Cb = 1.09

Tramo 3-4. M1/M2 = +5.8/6.6 = 0.879 (curvatura doble)

Cb = 1.75 + 1.05 x 0.879 + 0.3 x 0.8792 = 2.90 > 2.3 ∴ Cb = 2.3

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 53

Momentos críticos elásticos, suponiendo tramos aislados.

cm. 133.1 = 74.1

847 504 X 2.6 =

GJECa Esta cantidad es constante para todos

los tramos.

Tramo 1-2. Ec. 5.20, con el coeficiente Cb. Mcr = = W + 1 GJEI L

C 2y

bπ

= 22

133.1 x 200

+ 1 74.1 x 923 x E

ππ

6.220075.1

x 10-5 = 0.027 x 330.70 x 106 x 2.32 x 10-5 =

210.7 Tm.

Mcr/Mmáx = 210.7/5.4 = 39.02.

Tramo 2-3. Mcr = 5.02

)30009.1

300 133.1

+ 1 10 x (330.7 6 ππx10-5 = 64.8 Tm ;

Mcr/Mmáx = 64.8/6.6 = 9.82.

Tramo 3-4. Mcr = 5.02

)40090.2

400 133.1

+ 1 10 x (330.7 6 ππ x 10-5 = 109.0 Tm ; Mcr/Mmáx = 109.0/6.6

=16.52

a) Considerando cada tramo por separado, el tramo crítico es el 2-3, y elmomento crítico elástico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a64.8 Tm.

Rigideces aproximadas.

Tramo 1-2. α12 = 6

12máxcr

mínmáxcry10 x 21.13 =

39.029.82

- 1 200

E 923 x 3 =

)/M(M)/M(M

- 1 L

3EI

Tramo 2-3 α23 = 2EIy/L = 2 x 923 E/300 = 12.55 x 106

Tramo 3-4. α34 = 6

34máxcr

mínmáxcry10 x 5.72 =

16.529.82

- 1 400

E 923 x 3 =

)/M(M)/M(M

- 1 L

3EI

Coeficientes G. G2 = 12.55 x 106/21.13 x 106 = 0.59

G3 = 12.55 x 106/5.72 x 106 = 2.19

Factor de longitud efectiva. Del nomograma de la Fig. E5.5.2, K23 = 0.78

54 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

b) Momento crítico elástico corregido del tramo crítico (2-3).

(Mcr)23 = 2

6.230078.009.1

0.78x300133.1

+ 1 74.1 x 923 x E

2 ππ x 10-5 = 99.1 Tm.

Teniendo en cuenta la continuidad de los tramos, el momento crítico de la viga esde 99.1 Tm, 53% mayor que el que se obtiene considerando los tramos aislados(99.1/64.8 = 1.53).

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 55

5.5 PANDEO LATERAL INELÁSTICO

5.5.1 Aspectos generales

De la misma manera que la teoría de Euler sobrestima la resistencia de las columnasque se pandean fuera del intervalo elástico, las ecuaciones que se han visto hasta ahorapara calcular Mcr proporcionan valores que pueden ser mucho mayores que laresistencia última de las vigas, si el pandeo se inicia cuando parte de sus seccionestransversales está plastificada. Se presenta, en este caso, un fenómeno de pandeoinelástico, característico de vigas de longitud libre (separación entre seccionessoportadas lateralmente) intermedia (art. 5.2.1 y Fig. 5.3).

A causa de los esfuerzos residuales, la plastificación comienza antes de que se alcanceel momento plástico, Mp = Zx Fy, en las secciones tipo 1 o 2, o el momento elástico límite,My = Sx Fy, en las tipo 3. La plastificación parcial de las secciones transversales ocasionauna disminución de las diversas rigideces (EIx, EIy, GJ y ECa), pues las zonasplastificadas se deforman libremente bajo carga creciente, y la sección efectiva, desde elpunto de vista de la resistencia al pandeo lateral, disminuye (se reduce a la parte que seconserva en el intervalo elástico).

La complejidad del problema del pandeo lateral inelástico se debe a varias razones:

1. La distribución de esfuerzos residuales en las secciones transversales dependede su geometría y del proceso de fabricación del perfil, y puede variar de maneraapreciable aún entre vigas teóricamente iguales.

2. Cuando comienza la plastificación, las secciones bisimétricas pierden la simetríarespecto al eje de flexión, porque al superponerse los esfuerzos producidos por laflexión con los residuales el flujo plástico se inicia en los extremos del patíncomprimido y en la zona central del que está en tensión y, cuando crece elmomento, se extiende hacia el interior del primero y hacia los extremos delsegundo penetrando, además, en la parte del alma que está en contacto con éste(Fig. 5.21).

3. Si el momento flexionante varía a lo largo del eje de la viga, la amplitud de laszonas plastificadas y la geometría del núcleo elástico, del que proviene laresistencia al pandeo lateral, cambian de unas secciones a otras; el problema seconvierte en la determinación del momento crítico de una viga con un solo eje desimetría y de momento de inercia variable.

4. Los defectos geométricos inevitables, sobre todo que el eje de la viga no searigurosamente recto, como se supone en la teoría, influyen mucho más en laresistencia al pandeo inelástico que en el elástico.

El análisis teórico es tan complicado que no se cuenta con soluciones analíticas delproblema general en el intervalo inelástico.

56 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

σσrc=0.3y

σrt= σrc

σrcσrt

btbt+c(d-2t)

Zonas plastificadasen compresión

Zona plastificadaen tensión

Centroide de la secciónCentro de cortantedel núcleo elástico

cd2

Fig. 5.21 Esfuerzos residuales simplificados y zonas plastificadas.

Suponiendo una distribución de esfuerzos residuales y procediendo por etapassucesivas, con métodos numéricos o elementos finitos, se puede seguir elcomportamiento de una viga hasta que falla por pandeo inelástico; aunque los resultadosque proporcionan estos métodos analíticos son de aplicación práctica muy limitada,combinándolos con resultados experimentales permiten definir curvas sencillas detransición entre el pandeo elástico y la plastificación total de las secciones tipo 1 o 2, o laparcial de las tipo 3.

En la Fig. 5.22 se muestra la curva adimensional M M L rcr y y− típica de las secciones Ilaminadas en caliente, relevadas de esfuerzos residuales, en flexión pura, producida pormomentos iguales y de sentidos contrarios aplicados en los extremos (curva a); en elintervalo inelástico ( )M Mcr y > 1 , la variación del momento resistente en función de laesbeltez es casi lineal.

También se muestra en la figura una curva típica de las secciones I laminadas encaliente, con esfuerzos residuales, con la misma condición de carga (curva b). Losesfuerzos residuales reducen de manera apreciable la resistencia del perfil al pandeolateral por flexotorsión, en el intervalo inelástico, y hacen que el momento para el que seinicia el flujo plástico esté muy por debajo de My.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 57

Endurecimientopor deformación

050 100 150 200 250 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Pandeo elásticoMomento plástico

Vigas sin esfuerzos residuales

Vigas laminadas en caliente,con esfuerzos residuales

MocrMocr

MocrMy (b)

(a)

L/ry

Fig. 5.22 Resistencia de vigas en función de su esbeltez (momentosiguales y de sentidos contrarios en los extremos).

La ref. 5.11 contiene resultados numéricos obtenidos para vigas I, laminadas en caliente,con diversas condiciones de carga; algunos de ellos se muestran en la Fig. 5.23, en laque se han trazado curvas adimensionales M M M Mp y cr2 − , donde M My cr es unaesbeltez modificada. La condición de carga más severa es la que producen dos paresiguales y de sentidos contrarios, que flexionan la viga en curvatura simple, y la menossevera la correspondiente a pares iguales, que la flexionan en curvatura doble. En elprimer caso hay flujo plástico en toda la longitud de la viga, y en el segundo se limita, engeneral, a porciones pequeñas, en los apoyos o cerca de ellos.

Fig. 5.23 Resistencia de vigas con momentos desiguales en los

extremos.Cuando las vigas son muy robustas, fallan por formación de un mecanismo de colapsocon articulaciones plásticas, sin que haya inestabilidad lateral; en la Fig. 5.22 se indica,con línea interrumpida, el momento plástico resistente de una sección I laminada típica,

58 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

que es del orden de 1.12 veces My. Aunque una viga completamente plastificada resiste,en realidad, un momento mayor que Mp, por el endurecimiento por deformación delmaterial, este efecto suele ignorarse en el diseño.

5.5.2 Criterios para determinar la resistencia

Se han propuesto varios métodos para calcular aproximadamente, con fines de diseño,el momento crítico de pandeo de vigas que fallan en el intervalo inelástico. Entre ellosestán los siguientes:

1. Se supone que la relación entre las resistencias al pandeo elástico e inelástico esla misma para vigas que para columnas, de manera que el momento crítico de lasvigas que fallan por pandeo lateral en el intervalo inelástico se determinacalculando su momento crítico elástico ideal, correspondiente a una respuestaelástica ilimitada, y corrigiéndolo con una curva esfuerzo crítico - relación deesbeltez obtenida para columnas. Este procedimiento es la base de las fórmulasde diseño de las refs. 5. 12 y 5.13.

La ecuación de partida es la 2.28 del Capítulo 2,

−=

cre

yycr σ

σσσ

41 (2.28)

que proporciona el esfuerzo crítico de pandeo inelástico de una columna, σcr, enfunción del esfuerzo crítico elástico ideal correspondiente, σcre.

En la deducción de la ec. 2.28 se supone que los esfuerzos residuales máximosde compresión son iguales a σy / 2, de manera que el pandeo lateral se inicia en elintervalo inelástico siempre que las acciones exteriores ocasionan esfuerzosmayores que el cincuenta por ciento del de fluencia.

En términos de momentos, la ec. 2.28 toma la forma

( )

−=

cre

yycorrcr M

MMM

41 (5.37)

Mcre es el momento crítico elástico hipotético, correspondiente a las condicionesde apoyo y carga de la viga real, My = Sσy es el momento para el que se iniciaríael flujo plástico de la sección, si no hubiera esfuerzos residuales, y (Mcr)corr es elmomento crítico real, corregido por inelasticidad.

De acuerdo con las hipótesis aceptadas, el pandeo se inicia en el intervaloinelástico, y el momento crítico se calcula con la ec. 5.37, siempre que Mcre esmayor que My/2.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 59

La ec. 5.37 no tiene en cuenta que en vigas muy cortas puede alcanzarse elmomento de plastificación de la sección, Mp, sin pandeo lateral prematuro, pues elvalor máximo de (Mcr)corr dado por ella, para un momento crítico elásticoinfinitamente grande, que corresponde a L = 0, es My. Sus resultados mejoransustituyendo My por Mp, para que el momento crítico corregido tienda a Mp cuandoL tiende a cero.

2. El pandeo lateral por flexotorsión en el intervalo inelástico se representa con unalínea recta que une los puntos correspondientes a la longitud máxima para la quese alcanza el momento Mp, sin capacidad de rotación, y la longitud mínima para laque el fenómeno se inicia en el intervalo elástico. La primera longitud sedetermina experimentalmente, y la segunda depende del valor supuesto para losesfuerzos residuales máximos de compresión.

Este es el criterio que se utiliza en la ref. 5.14.

3. En la ref. 5.15 se define la zona de transición empleando el módulo de elasticidadtangente, Et, para tener en cuenta la pérdida de rigidez ocasionada por laplastificación parcial de la viga.

De acuerdo con ese criterio, el momento que produce el pandeo es

EEMM tcrecri =

Si se admite que para la longitud máxima para la que la viga se plastifica porcompleto, sin pandearse lateralmente, E Et = 0 25. , se obtieneM M Mcri cre p= =0 25. ,de donde M Mcre p= 2 .

Para definir el límite superior de la zona de transición, en la ref. 5.15 se tomaM Mcre p= 215. , que corresponde a E Et = 0 22. (Fig. 5.24).

El límite inferior de la zona de comportamiento inelástico, en el que E Et = 10. ,queda definido por el punto de la curva para pandeo elástico en el queM Mcre p= 0 67. . Dicho de otra manera, si M Mcre p< 0 67. , el pandeo lateral es elástico, ysi M Mcre p≥ 0 67. , se inicia en el intervalo inelástico. Esto equivale a suponer que losesfuerzos residuales máximos de compresión valen 0.33 Fy, independientementedel tipo de acero, del proceso de fabricación, y de la forma de las seccionestransversales de la viga.

60 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

2,15Mp

1,15Mp

0,67Mp

Lp L

Secciones tipo 1 o 2

Mcri(Ec.5.39)

Mcre (Ec.5.19a

Fig. 5.24 Criterio para definir la zona de transición (ref. 5.15).

Con los dos límites anteriores, la zona de transición puede definirse con laecuación

( )crepcri MMbaM += (5.38)

Las constantes a y b se determinan con los dos puntos conocidos, pcri MM =cuando M Mcre p= 215. , y M Mcri p= 0 67. cuando pcre MM 67.0= :a = 1.15 pM , b = -0.322 pM

Llevando estos valores a 5.38,

pcre

cre

ppcri M

MMM

MM ≤

−=

28.0115.1

322.015.1 (5.39)

Aunque Mcre no varía linealmente con L, la representación gráfica de la ecuaciónanterior es casi una línea recta.

La ec. 5.39 es válida para secciones de los tipos 1 y 2, y se utiliza también paralas tipo 3 admitiendo como límite del comportamiento elástico Mcre = 0.67My, ysustituyendo Mp por My:

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 61

ycre

yycri M

MM ≤

−=

28.0115.1 (5.40)

En la ref. 5.16 se utilizan también las ecs. 5.39 y 5.40.

Los coeficientes correctivos correspondientes a las diferentes condiciones deapoyo y carga se introducen en las ecs. 5.37, 5.39 y 5.40 modificando el valor deMcre. Su influencia disminuye cuando Mcri se acerca a Mp o My.

62 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.6 RESISTENCIA DE DISEÑO EN FLEXIÓN

Cuando el contraventeo lateral es adecuado, está regida por la resistencia de lassecciones transversales, que pueden fallar por pandeo local (capítulos 3 y 4); en casocontrario, la controla el pandeo lateral por flexotorsión.

5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crítico

La resistencia a la flexión de miembros provistos de soporte lateral continuo, o conseparaciones L no mayores que Lu, (Fig. 5.25), depende de las relaciones ancho/gruesode los elementos planos que los componen, pues como el pandeo lateral está impedido lafalla se produce, eventualmente, por pandeo local.4

Falla por

pandeo local

Falla por

pandeo lateral

Mp en Secs. tipo 1 y 2

My en Secs. tipo 3

Diseñoplástico

Ec. 5.50 o 5.51 (Secs. tipo 1 a 4)

Ec. 5.48 en Secs. tipo 1 y 2Ec. 5.60 en Secs. tipo 3 y 4

00 Lp Lu Lr L

Vigas intermedias Vigas esbeltasVigas robustas

Pandeo local(no hay

pandeo lateral)

Pandeo lateralinelástico

Pandeo lateralelástico

2323

Fig. 5.25 Resistencia al pandeo lateral de vigas de diversas longitudes.

En el art. 3.10.2, capítulo 3, se estudia el pandeo local de vigas, y en la Tabla 3.6 seindican los límites de los diversos tipos de sección, clasificados de acuerdo con estefenómeno.En vigas de sección transversal tipo 1 ó 2 en las que L, distancia entre seccionessoportadas lateralmente, no excede de Lu, el momento resistente de diseño MR es

4 La falla puede presentarse también sin pandeo local, cuando se forme un mecanismo con articulaciones

plásticas.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 63

MR = FRZFy = FRMp (5.41)

producto del factor de resistencia FR por el momento plástico nominal de la sección, Mp =ZFy, puesto que no se producen fallas prematuras por pandeo local ni lateral. FR sueletomarse igual a 0.9.

Además, si las secciones son tipo 1, L no excede de Lp en zonas de formación dearticulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso, y se cumplen lascondiciones adicionales señaladas en la sección 1.3 de la ref. 5.16, puede utilizarse lateoría plástica para el análisis de la estructura y el diseño de sus vigas.5

Si las secciones son tipo 3 y L ≤ Lu, tampoco es crítico el pandeo lateral; la viga falla porpandeo local cuando se inicia el flujo plástico en la sección crítica; en ese caso,

MR = FRSFy = FRMy (5.42)

Pueden, sin embargo, tomarse momentos resistentes mayores cuando las relacionesancho/grueso de patines y alma están comprendidas entre los límites que definen a lassecciones tipos 3 y 2 (Fig. 5.26).

Para ello, se interpola linealmente entre los puntos A y B de la Fig. 5.26, cuyascoordenadas se conocen, o se evalúan directamente con la ecuación de la recta AB (ecs.5.43 y 5.44).

Pandeo de los patines. Las coordenadas de los puntos A y B son (0.378 yE/F , FRMp) y(0.581 yE/F , FRMy), y la recta que los une tiene por ecuación

MR = FRMp

2tb

0.4427- 1.1693y (5.43)

Pandeo del alma. La ecuación de la recta que une los puntos A (3.712 yE/F , FRMp) y B

(5.602 yE/F , FRMy), es

MR = FRMp

0.0485- 1.1785y (5.44)

5 Las secciones tipo 2 tienen capacidad de rotación suficiente para ser utilizadas en estructuras diseñadasplásticamente que se construirán en zonas no sísmicas; las tipo 1 son adecuadas para vigas deestructuras en las que se requiere una gran ductilidad, como son los edificios de varios pisos en zonas dealta sismicidad.

64 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

En las dos ecuaciones anteriores se ha supuesto que el perfil tiene un factor de forma de1.10 (f = Mp/My = 1.10).

Secs.tipo 1 o 2

Secs.tipo 3

Secs.tipo 4

FR Mp

FR My

0.378 E/Fy

3.712 E/Fy 5.602 E/Fy (h/t) alma

0.581 E/Fy (b/2t) patines

Fig. 5.26 Momentos resistentes de diseño en vigas con seccionestipo 3. El pandeo lateral no es crítico.

Por último, si el alma o almas y los patines de la sección, o alguno de ellos, es tipo 4, elestado límite de falla es por pandeo local del elemento plano más desfavorable.

5.6.1.1 Miembros que no se pandean

El pandeo lateral no puede presentarse, cualquiera que sea la longitud libre, en vigas desección transversal circular o cuadrada, maciza o hueca, de cualquier tipo (1 a 4), ocuando la flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia de las seccionestransversales; en todos esos casos las vigas son estables desde el punto de vista de esaforma de pandeo. La resistencia de diseño se determina con la ec. 5.41 ó 5.42, si lasección es tipo 1, 2 ó 3, o queda regida por pandeo local, cuando es tipo 4.

EJEMPLO 5.7 La viga libremente apoyada de la Fig. E5.7.1a, de sección transversalconstante y 8.00 m de claro, debe soportar tres cargas concentradas, en lasposiciones que se indican. El sistema de piso proporciona soporte lateral continuoa su patín superior. Determine las intensidades máximas de diseño de las cargas,tomando como estado límite el agotamiento de la resistencia a la flexión en lasección crítica, para vigas con las secciones transversales hechas con tres placassoldadas que se indican en las Figs. E5.7.1.b a e. El acero es A36 (Fy = 2530Kg/cm2). El peso propio de la viga se considera incluido en las cargas exteriores.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 65

2m 2m 2m 2m

P P P

L=8.00m

(a)

(b)

(d) (e)

(c)

d=40.6cm h=38.1cm

tp=1.27

tp=1.27 tp=1.27

tp=1.27

ta=0.63

ta=0.63 ta=0.63

ta=0.63

b=20.3cm

d=60.0cm h=57.46cm

1.27

1.27 1.27

d=80cm d=80cmh=77.46cm h=77.46cm

b=38cm b=60cm

Fig. E5.7.1 Viga del ejemplo 5.7 y secciones transversales quese consideran en él.

Mmáx = 1.5 P x 4 - P x 2 = 4.00 P. Tomando P en Ton, Mmáx se obtiene en Tm.

Como no puede haber pandeo lateral, la resistencia queda regida por el pandeolocal de los elementos planos que forman la sección o por agotamiento de laresistencia a la flexión en la sección de momento máximo (Art. 5.6.1). Como la vigaes isostática, una sola articulación plástica la convierte en un mecanismo.

A continuación se indican las relaciones ancho/grueso máximas de patines y almasde secciones I sometidas a flexión alrededor de su eje de mayor momento deinercia, para acero con Fy = 2530 Kg/cm, correspondientes a los diferentes tipos desección que se especifican en el art. 3.10.2.1:

SECCIÓN TIPO 1 TIPO 2 TIPO 3Patines (b/2tp) 9.1 10.7 16.5

Alma (h/ta) 69.6 105.4 159.0

Sección b.

Clasificación (art. 3.10.2.1).

Patines. b/2tp = 20.3/(2 x 1.27) = 8.0 < 9.1

66 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Alma. h/ta = 38.1/0.63 = 60.5 < 69.6

La sección es tipo 1; el estado límite de resistencia en flexión se alcanza cuandose forma una articulación plástica en el centro del claro, donde el momento esmáximo.

Z = 1242.1 cm3, Mp = ZFy = 1242.1 x 2530 x 10-5 = 31.4 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR = FRZFy =FRMp (Ec. 5.41).

4.00 P = 0.9 x 31.4 ∴ Pu = 0.9 x 31.4/4.0 = 7.1 Ton.

El valor máximo de diseño de las cargas P que resiste la viga con la seccióntransversal b) es Pu = 7.1 ton.

Sección c.

Clasificación (art. 3.10.2.1).

Patines. b/2tp = 20.3/(2 x 1.27) = 8.0 < 9.1

Alma. h/ta = 57.46/0.63 = 91.2

69.6 < 91.2 < 105.4

Los patines satisfacen los requisitos de las secciones tipo 1, pero la relación h/ta delalma está comprendida entre las tipo 1 y 2. La sección es tipo 2.

Como en las secciones tipo 1, se alcanza el estado límite de resistencia en flexióncuando se forma una articulación plástica en el centro del claro. (No haydiferencias en el comportamiento de las secciones tipo 1 y 2, pues como la viga esisostática la falla se presenta, en las dos secciones, cuando se forma la primeraarticulación plástica, sin redistribución de momentos).

Z = 2034 cm3, Mp = ZFy = 2034 x 2530 x 10-5 = 51.46 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR = FRMp (Ec.5.41).4.00 P = 0.9 x 51.46 ∴ P = Pu = 0.9 x 51.46/4.0 = 11.6 Ton.

Las cargas máximas de diseño, Pu, que resiste la viga con la sección transversal c)son

Pu = 11.6 Ton.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 67

Sección d.

Clasificación.

Patines. b/2tp = 38/(2 x 1.27) = 15.0

10.7 < 15.0 < 16.5

Alma. h/ta = 77.46/0.63 = 123.0

105.4 < 123.0 < 159.0

Las relaciones ancho/grueso de patines y alma están entre los límites de lassecciones tipo 2 y 3. La sección es tipo 3.

La resistencia de diseño de la viga, MR, corresponde a la aparición del esfuerzo defluencia en los bordes superior e inferior de la sección media, en la que el momentoflexionante es máximo; está dada por (Ec. 5.42)

MR = FRSFy = FRMy

S = 4530 cm3, MR = 0.9 x 4530 x 2530 x 10-5 = 99.0 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR.

4.00 P = 99.0 ∴ P = Pu = 99.0/4.0 = 24.8 Ton.

El momento MR puede incrementarse de acuerdo con el art. 5.6.1 (Fig. 5.26 yecs. 5.43 y 5.44):

Z = 4745 cm3, Mp = 120.0 Tm.

Como b/2tp = 15.0 está comprendido entre 0.378 E / Fy = 10.7 y 0.581 E / Fy = 16.5, MR

está entre 0.9My = 99.0 Tm y 0.9Mp = 108.0 Tm. Se obtiene por interpolación linealentre FRMp y FRMy, teniendo en cuenta las relaciones b/2tp a las que correspondenesos dos momentos (Fig. E5.7.2a).De manera análoga se determina el momento resistente correspondiente al pandeolocal del alma (Fig. E5.7.2b).

MR está regido por el pandeo local de los patines, producido por un momento de101.3 Tm, menor que 105.0 Tm, que ocasiona el pandeo local del alma.

La aplicación de las ecuaciones 5.43 y 5.44 lleva a los mismos resultados: pandeolocal de los patines, MR = 101.0 Tm, pandeo local del alma, MR = 104.6 Tm.

Por consiguiente, MR = 101.3 Tm, Pu = 101.3/4.0 = 25.3 Ton.

68 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

La viga de sección d) resiste cargas máximas de diseño de 25.3 ton.

Patines AlmaTmTm

FRMp=108.0 FRMp=108.0

FRMy=99.0 FRMy=99.0

101.3

15.0 16.5=0.581

105.0

h/tab/2tp

MR=99.0+ (16.5-15.0)=101.3T m108.0-99.016.5-10.7 MR=99.0+ (159.0-123.0)=105.0Tm108.0-99.0

159.0-105.4

(a) (b)

10.7=0.378 EFy

EFy

3.712

123.0

5.602=105.4 =159.0

MR=101.3Tm

Fig. E5.7.2 Incremento del momento resistente de la sección d (tipo 3).

Sección e.

Clasificación.

Patines. b/2tp = 60.0/(2 x 1.27) = 23.6 > 16.5.

Alma. h/ta = 77.46/0.63 = 123.0105.4 < 123.0 < 159.0

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 69

El alma es tipo 3 y los patines tipo 4; el momento resistente corresponde a lainiciación del pandeo local del patín comprimido. Vale (ref. 5.16, y sec. 3.10.1.2.3):

MR = FRQsSFy = FRQsMy ≤ FRMy

10.7 = FyE

378.0 <

29.2 =

FyE

23.6 = 2tb

p029.1

∴ Qs = 1.415 - 0.00052 x 23.6 2530 = 0.798

S = 6578 cm3, My = 166.4 Tm, MR = 0.9 X 0.798 X 166.4 = 119.5 Tm < FRMy = 149.8 Tm.∴ Pu = 119.5/4.0 = 29.9 Ton. El momento resistente máximo de diseño está regido porla resistencia al pandeo local del patín comprimido.

5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crítico

Cuando la distancia entre puntos soportados lateralmente es mayor que Lu (Fig. 5.25), elestado límite de falla de vigas de sección transversal I o H flexionadas alrededor de losejes de mayor momento de inercia suele ser el de pandeo lateral por flexotorsión, queocasiona disminuciones, que pueden ser muy significativas, en la resistencia a la flexión.(En vigas con secciones transversales tipo 4 pueden presentarse fallas prematuras porpandeo local, bajo solicitaciones más pequeñas).

El pandeo lateral no suele ser crítico en estructuras terminadas, en las que las vigas estánsoportadas lateralmente, casi siempre, por los sistemas de piso; sin embargo, puede serloen casos particulares, o durante el proceso de montaje.

5.6.2.1 Pandeo lateral en el intervalo elástico

En una viga libremente apoyada de sección I o H, flexionada por momentos en losextremos, aplicados alrededor de los ejes de mayor inercia, que producen flexiónuniforme, es decir, momento flexionante constante y curvatura simple, el momento crítico,para el que se inicia el pandeo lateral por flexotorsión, se calcula con la expresión:

Mcr =

+ ayayy CL

+ 2.6J

I LE

= CILE

GJEI L

22 ππππ (5.19, a y b)

Las ecs. 5.19 son válidas cuando el pandeo se inicia en el intervalo elástico, lo quesucede cuando la longitud libre L es igual o mayor que Lr. En buena parte de los casosreales proporcionan resultados conservadores, pues el momento flexionante no suele serconstante en toda la longitud L, y las conexiones entre la viga y los elementosestructurales en los que se apoya, que pueden ser columnas u otras vigas, producenrestricciones que no se tienen en cuenta al deducirla. Sin embargo, en otros casospueden ser inseguras, ya que tampoco consideran el efecto desfavorable de las cargasaplicadas arriba del centro de gravedad de las secciones transversales.

70 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

En la fig. 5.25 se muestra esquemáticamente la relación entre el momento resistentenominal, MR/FR, y la longitud libre L, distancia entre puntos soportados lateralmente. Lasecs. 5.19 son válidas para longitudes L mayores que Lr; si L está comprendida entre Lu yLr, sus resultados se corrigen para tener en cuenta que el pandeo se inicia cuando partedel material está plastificado, y si L < Lu no hay pandeo lateral; la falla es por pandeo local.

En las últimas décadas las ecs. 5.19 han sido la base para el diseño de miembros desección transversal I o H en flexión, cuando el estado límite de falla es el pandeo lateral.Sin embargo, hasta hace pocos años se consideraban demasiado complicadas paradiseños rutinarios, por lo que en las normas de diseño se proponían fórmulassimplificadas basadas en ellas.

La simplificación más común consistía en despreciar uno de los dos términos del radical,conservando sólo la resistencia a la torsión de Saint Venant o la resistencia al alabeo, conlo que se obtenían, siempre, resultados conservadores. En la mayoría de los casos unade las resistencias es bastante mayor que la otra, por lo que si se toma en cuenta eltérmino más grande el error que se comete suele ser aceptable. De aquí proviene el usode dos fórmulas para evaluar, en cada caso, el esfuerzo permisible o el momentoresistente, tomando para el diseño el mayor de los dos valores. Este método serecomienda todavía en las especificaciones del AISC para diseño basado en esfuerzospermisibles (ref. 5.12).

El uso cada vez más frecuente de las computadoras electrónicas para resolver problemasde diseño, y el empleo universal de las calculadoras de bolsillo, hacen que las ecs. 5.19no resulten ya demasiado complicadas, por lo que se recomienda que se tome laecuación completa como base para determinar la resistencia en flexión de vigas desección H o I, flexionadas en el plano de mayor resistencia, cuando es crítico el pandeolateral.

Las ecs. 5.19 proporcionan el momento resistente nominal, Mu, de una viga de sección I oH, flexionada alrededor de sus ejes de mayor momento de inercia, cuando el pandeolateral se inicia en el intervalo elástico.

5.6.2.2 Pandeo lateral inelástico

Si las secciones son tipo 1 o 2 y el momento flexionante para el que se inicia el pandeolateral, calculado con las ecs. 5.19, es mayor que 2Mp/3, aproximadamente, lassuposiciones que llevan a la obtención de esas ecuaciones dejan de ser válidas; elmomento resistente nominal se calcula con la ecuación semiempírica 5.39, queproporciona la resistencia reducida por plastificación parcial de la viga; si el valor de Mcrobtenido con ella excede de Mp, éste es el momento resistente nominal, ya que Mp es laresistencia nominal máxima posible de una viga en flexión (ignorando el endurecimientopor deformación).

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 71

Como en todos los casos de pandeo de elementos o estructuras de acero, el problemateórico está resuelto cuando el fenómeno se inicia en el intervalo elástico, lo que sucedeen estructuras muy esbeltas. (Sin embargo, sigue habiendo incertidumbres al aplicar losresultados teóricos al diseño de estructuras reales debidas, entre otras cosas, a la falta deconocimiento exacto de las restricciones que imponen los apoyos en los movimientos delelemento). Además, por medios experimentales se han obtenido las característicasgeométricas de las estructuras para las que no se presentan fenómenos de pandeo.

En el caso de las vigas, se cuenta con expresiones analíticas para calcular la carga críticaelástica, que son aplicables a partir del punto B de la Fig. 5.25, es decir, para longitudeslibres mayores que Lr (el punto B se determina fijando su ordenada de una manera más omenos arbitraria, basada en los esfuerzos residuales que hay en los perfiles de acero), yse conoce la longitud libre correspondiente al punto A (Fig. 5.25), hasta la cual no haypandeo lateral.

Un número importante de vigas, entre las que está la mayoría de las que se emplean enestructuras reales, tiene longitudes libres comprendidas entre Lu y Lr, es decir, seencuentra entre los puntos A y B; en todas ellas el pandeo se inicia en el intervaloinelástico.

La determinación de la carga crítica de pandeo inelástico es un problema complejo, y nose cuenta con soluciones prácticas aplicables a la mayoría de los casos de interés enestructuras reales, por lo que para diseño se emplean curvas semiempíricas que unen lospuntos A y B, sancionadas comparando los resultados que proporcionan con losobtenidos con métodos experimentales.

Cuando las secciones son tipo 3 ó 4 se emplean expresiones semejantes (ecs. 5.39 parapandeo elástico y 5.40 para pandeo inelástico), en las que Mp se sustituye por My; Musigue calculándose con las mismas ecuaciones. En la determinación del momentoresistente máximo de las secciones tipo 4 se tiene en cuenta la posible pérdida deresistencia por pandeo local, ya que, independientemente de los resultados de un estudiodel pandeo lateral, la resistencia de la viga puede quedar regida por ese fenómeno.

5.6.3 Normas técnicas complementarias del reglamento del D.F.

A continuación se presentan los métodos que se utilizan en las refs. 5.16 y 5.19 paraevaluar las resistencias de diseño6 correspondientes a los estados límite de pandeo localy de pandeo lateral por flexotorsión; son aplicables a vigas laminadas o formadas porlámina delgada, doblada en frío o en caliente, y a trabes armadas de eje recto y seccióntransversal constante, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia.

Las ecuaciones de partida para el segundo estado límite son la 5.19, a o b, queproporciona el momento crítico de vigas que se pandean en el intervalo elástico, y la 5.39y 5.40, con las que se calculan los momentos críticos, corregidos por inelasticidad, de 6 Las resistencias de diseño se obtienen multiplicando las nominales por un “factor de resistencia”, FR,siempre menor que la unidad. En flexión suele tomarse FR = 0.9.

72 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

secciones tipo 1 y 2, o tipo 3. El segundo miembro de la ec. 5.19, a o b, se multiplica porun factor 1/C, que se estudia más adelante, para tener en cuenta la variación delmomento flexionante a lo largo del tramo de viga sin soporte lateral.

Se definen tres longitudes características, Lp, Lu y Lr, que son las distancias entresecciones transversales soportadas lateralmente (o sea las longitudes libres de pandeo)que separan los diferentes comportamientos de las vigas, desde el punto de vista de suposible falla por pandeo lateral (Fig. 5.25). Esas longitudes dependen, en cada casoparticular, de la geometría de las secciones transversales de la viga, de las propiedadesmecánicas del material, y de la variación del momento flexionante en el tramoconsiderado.

Lp es la longitud máxima sin soporte lateral para la que las vigas de sección transversaltipo 1 pueden desarrollar el momento plástico MP, y conservarlo durante las rotacionesnecesarias para la formación de un mecanismo de colapso; se calcula con las ecs. 5.45 y5.46, que provienen de estudios experimentales (ref. 5.17); son válidas, respectivamente,para secciones I y para secciones rectangulares, macizas o en cajón.

Lp = yy2

1 r FE

0.076 + 0.12

(5.45)

Lp = yy

yy2

1 r FE

0.10 r FE

0.10 + 0.17

≥

(5.46)

M1 y M2 son el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo nosoportado lateralmente, y ry el radio de giro de la sección transversal, respecto al eje demenor momento de inercia. El cociente M1/M2 es positivo cuando el segmento de vigaentre puntos soportados lateralmente se flexiona en curvatura doble, y negativo cuando lohace en curvatura simple. M2 es, con frecuencia, el momento plástico resistente delmiembro, Mp.

Si se satisfacen las condiciones 5.45 y 5.46 se obtienen capacidades de rotación de 3.0 omás, suficientes para estructuras diseñadas plásticamente bajo cargas estáticas y viento.En estructuras que se construirán en áreas de alta sismicidad, diseñadas teniendo encuenta su capacidad para disipar energía por comportamiento inelástico, en las quepueden requerirse capacidades de rotación comprendidas entre 7 y 9, o algo mayores, laec. 5.45 se sustituye por (refs. 5.14 y 5.18)

Lp = 176 000 ry /Fy (5.47)

Deben soportarse lateralmente todas las secciones en las que aparecen articulacionesplásticas asociadas con el mecanismo de colapso.

Lu es la longitud libre más grande para la que las vigas tipo 1 ó 2 pueden, todavía,desarrollar el momento Mp, pero no conservarlo durante rotaciones plásticas, de manera

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 73

que ese momento se alcanza sólo un instante y disminuye inmediatamente después; si L≤ Lu, los miembros tipo 3 desarrollan el momento My. Por último, Lr es la distancia entrepuntos soportados que separa el pandeo lateral elástico del inelástico. Más adelante secalculan Lu y Lr.

La parte de las normas de la ref. 5.16 relativa a este problema, con pequeñasmodificaciones, es la que sigue.

La resistencia de diseño de miembros en flexión provistos de soportes laterales conseparaciones mayores que Lu, es igual a:

a) Para secciones tipo 1 o 2 con dos ejes de simetría, flexionadas alrededor del eje demayor momento de inercia:

Si Mu > 32 Mp,

MR = 1.15 FR Mp

−

MM28.0

1 ≤ FR Mp (5.48)

Esta ecuación es la 5.39, en la que se ha introducido el factor de resistencia FR para pasarde resistencias nominales a resistencias de diseño.

Si Mu ≤ (2/3) Mp,

MR = FR Mu (5.49)

En vigas de sección transversal I o H, laminadas o hechas con tres placas soldadas, Mu,momento resistente nominal de la sección, cuando el pandeo lateral se inicia en elintervalo elástico, es igual a:

ayayyu CL

+ 2.6J

I CL

E = C I

+ GJEI CL

= M22 ππππ (5.50, a y b)

Estas ecuaciones son las 5.19, de las que sólo difieren en el coeficiente C que aparece enel denominador; más adelante se explica su significado.

En secciones I o H laminadas o hechas con placas, de dimensiones semejantes a laslaminadas, puede tomarse;

Mu = (1/C) 2c2

2c1 M+ M (5.51)

donde:

74 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Mc1 = )(L/r

EAt

y(5.52)

Mc2 = 2y )(L/rEAd 4.7 (5.53)

En las ecuaciones anteriores FR es el factor de resistencia, que vale 0.90, A y d son elárea total y el peralte de la sección considerada, Iy y ry su momento de inercia y radio degiro respecto al eje de simetría situado en el plano del alma, t el grueso del patíncomprimido, L la separación entre secciones transversales fijas lateralmente, J y Ca lasconstantes de torsión de Saint Venant y por alabeo de la sección y C, que puede tomarseconservadoramente igual a la unidad, está dado por:

C= 0.60 + 0.40 M1/M2 para tramos que se flexionan en curvatura simple.

C = 0.60 - 0.40 M1/M2 pero no menor que 0.4, para tramos que se flexionan encurvatura doble.

C = 1.0 cuando el momento flexionante en cualquier sección dentro deltramo no soportado lateralmente es mayor que M2, o cuando elpatín no está soportado lateralmente de manera efectiva en unode los extremos del tramo.

M1 y M2 son, respectivamente, el menor y el mayor de los momentos en los extremos deltramo en estudio, tomados en valor absoluto.

En miembros de sección transversal en cajón (rectangular hueca) se toma Ca = 0.

Lu es la longitud máxima no soportada lateralmente para la que el miembro puededesarrollar todavía el momento plástico Mp (no se exige capacidad de rotación), y Lr lalongitud que separa los intervalos de aplicación de las ecs. 5.48 y 5.49 (la ec. 5.48 esválida para L ≤ Lr y la 5.49 para L > Lr).

Lu y Lr se calculan con las expresiones siguientes:

Miembros de sección transversal I:

Lu = 2u

rX + 1 + 1

GJEC

Xπ2 (5.54)

Lr = 2r

rX + 1 + 1

GJEC

Xπ2 (5.55)

E es el módulo de elasticidad del acero y G su módulo de elasticidad al esfuerzo cortante;valen 2 040 000 Kg/cm2 y 784 000 Kg/cm2, respectivamente.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 75

Xu = 4.293 C y

ayrr

GJZF

C 34

= X ,X 3.220 = IC

GJZF

En secciones I laminadas o hechas con placas soldadas, de proporciones semejantes alas laminadas, pueden utilizarse las expresiones simplificadas.

Lu = 2u

uX + 1 + 1

tdr

6.55 (5.56)

Lr = 2r

rX + 1 + 1

tdr

X6.55

(5.57)

donde

Xu = 7.7 C EF

C 2.4 = X ,X 3.208 = EF

td y

rry

Miembros de sección transversal rectangular, maciza o hueca:

Lu = 0.91 JI CZF

y(5.58)

Lr = 2.92 JI CZF

y = 3.21 Lu (5.59)

b) Para secciones tipo 3 ó 4 con dos ejes de simetría y para canales en las que estáimpedida la rotación alrededor del eje longitudinal, flexionadas alrededor del eje demayor momento de inercia:

Si Mu > 32

My,

MR = 1.15 FR My

M M0.28

- 1 (5.60)

pero no mayor que FR My para secciones tipo 3, ni que el valor calculado teniendo encuenta la posible falla por pandeo local cuando las almas cumplen los requisitos de lassecciones 1, 2 o 3 y los patines son tipo 4.

La ecuación 5.60 proviene de la 5.40.

Si Mu ≤ 23

My,

76 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

MR = FR Mu (5.61)

Mu se calcula con una de las ecuaciones 5.50 o, cuando sean aplicables, pueden utilizarselas ecs. 5.51 a 5.53. Estas tres ecuaciones pueden emplearse también para las canales,haciendo en ellas Mc2 = 0.

Los límites de aplicación de las diversas ecuaciones se determinan también con las ecs.5.54 a 5.59, pero al calcular Xu y Xr y al aplicar las ecs. 5.58 y 5.59 a miembros de seccióntransversal rectangular hueca debe sustituirse Z por S.

Cuando los patines cumplen los requisitos de las secciones tipo 1, 2 o 3 y las almas sontipo 4, el momento resistente de diseño no debe exceder el valor obtenido teniendo encuenta la esbeltez del alma (en este caso la viga es una trabe armada; se estudia en elcapítulo 6).

En miembros de sección transversal en cajón (rectangular hueca) se toma Ca = 0.

5.6.3.2.1 Fórmulas simplificadas

En secciones I o H laminadas, o hechas con placas, de dimensiones semejantes a laslaminadas, el momento resistente nominal para pandeo elástico, Mu, puede calcularse conla expresión simplificada 5.51. Las ecs. 5.52 y 5.53, con las que se evalúan los términosMc1 y Mc2 del radical (ref. 5.1), corresponden, respectivamente, a la resistencia a la torsiónde Saint Venant y a la resistencia al alabeo.

La ec. 5.51 puede tener ventajas sobre las 5.50 cuando no se cuenta con valorestabulados de las constantes de torsión, J y Ca (que, por otro lado, no son difíciles decalcular).

En la Fig. 5.27 se muestran varias curvas que relacionan el momento resistente con lalongitud libre de pandeo lateral de una viga IPR 14” x 8” x 64.1 Kg/m (ref. 5.19), de acerocon Fy = 2530 Kg/cm2, sometida a flexión pura.

Las curvas (1) a (4) corresponden a valores de Mu obtenidos con las ecs. 5.50 a 5.53;todas están corregidas con la ec. 5.48 cuando el pandeo se inicia en el intervaloinelástico; el momento resistente máximo es el momento plástico de la viga.

Las curvas (1) y (2) tienen en cuenta la resistencia completa a la torsión del perfil;proporcionan resultados muy semejantes, como en todas las secciones I laminadas ohechas con tres placas soldadas, de proporciones semejantes a las laminadas.

En la curva (3) se conserva sólo la resistencia por torsión de Saint Venant, despreciandola contribución de la resistencia al alabeo, y en la (4) se ha considerado únicamente laresistencia a la torsión que proviene de la oposición del perfil al alabeo.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 77

De acuerdo con la ref. 5.12, el momento de diseño es el correspondiente a aquella de lascurvas (3) y (4) que se encuentra por encima de la otra para la longitud libre L de interés.Se obtienen siempre resultados conservadores, excepto en vigas muy cortas, en las querige el momento plástico. En la ref. 5.12 el diseño se basa en los esfuerzos permisiblesque corresponden a las curvas mencionadas.

Fig. 5.27 Relaciones momento resistente-longitud libre de pandeo.

Las curvas (3) y (4) se cruzan en el punto de abscisa L = 4.7 dry/t (5.84 m para la viga dela figura); este valor se obtiene igualando los segundos miembros de las ecs. 5.52 y 5.53 ydespejando L. Para longitudes mayores domina la resistencia a la torsión de SaintVenant, mientras que en las más cortas predomina la oposición al alabeo.

5.6.3.2.2 Flexión no uniforme

Las ecs. 5.32 y 5.34 proporcionan coeficientes Cb por los que se multiplica el momentocrítico de pandeo elástico de vigas en flexión pura, dado por las ecs. 5.19 ó 5.20, paraobtener el de vigas en flexión no uniforme.

En el diseño de miembros flexocomprimidos aparece otro coeficiente, llamado Cm en lasrefs. 5.12 y 5.14, que depende también de la ley de variación del momento flexionante a lolargo de la columna; se puede demostrar que Cb (ec. 5.32) es prácticamente igual a 1/Cm,en todo el intervalo de valores de M1/M2, por lo que en la ref. 5.16 se emplea un solocoeficiente, C, igual al Cm de los otros reglamentos. Así, para incluir el efecto, en Mcr, dela variación de los momentos flexionantes, se introduce en el segundo miembro de la ec.5.19 el factor 1/C, con lo que se llega a la ec. 5.50.

(1) Ecs. 5.41, 5.48, 5.49 y 5.50(2) Ecs. 5.41, 5.51, 5.48 y 5.49(3) Ecs. 5.41, 5.52, 5.48 y 5.49(4) Ecs. 5.41, 5.53, 5.48 y 5.49

Mp=28.9

(2/3)Mp=19.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

/FR

,TM

M ML

IPR14”x8”x64.1kg/mFy=2530kg/cm2

Lu=3

.46

5.84

Lr=7

.39

(1)(2)

(3)(4)

L,m

78 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

La expresión 5.32 para el cálculo de Cb, y las que se dan en la ref. 5.16 para determinarC, son bastante precisas si se aplican a tramos de vigas en los que el momento varíalinealmente, pero pierden exactitud cuando el diagrama es curvo, sobre todo si elmomento máximo en la zona central del tramo es mayor que el más grande de losmomentos en los extremos, M2; cuando esto sucede se toma, conservadoramente, C =1.0.

Para resolver ese problema, en la ref. 5.14 se recomienda la ec. 5.34, ligeramentemodificada.

En la Fig. 5.28 se muestra como evaluar C para diagramas de momentos de diversasformas, teniendo en cuenta las secciones de las vigas que están soportadas lateralmente.

5.6.4 Longitudes características

Las ecs. 5.54 a 5.59 proporcionan Lu y Lr para vigas de sección transversal I orectangular, maciza o hueca; con ellas se calcula la longitud libre máxima para la que elpandeo lateral no es crítico para un perfil determinado y la longitud que separa el pandeoelástico del inelástico.

Lr se obtiene igualando el momento dado por la ec. 5.50, en la que se ha sustituido L porLr, a (2/3)Mp, que es el momento crítico más grande para el que el pandeo se inicia,todavía, en el intervalo elástico (Fig. 5.25):

ypayr

ZF32

= M32

= CILE

+ GJEI CL

ππ

Despejando Lr se llega a la ec. 5.55.

Lu es la longitud máxima para la que el momento resistente es aún igual a Mp. Sedetermina con la ec. 5.48, en la que se sustituye Mu por el valor dado por la ec. 5.50; seiguala a Mp y se despeja L, que es la longitud Lu buscada (Fig. 5.25).

yRpR

ayy

ppR ZFF = MF =

CILE

+ GJEI CL

M0.28 MF 1.15

−2

1ππ

De esta igualdad se obtiene la ec. 5.54.

En vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca, flexionadas en el plano demayor resistencia, la contribución a la resistencia al pandeo que proviene de la torsión deSaint Venant es mucho mayor que la debida a la oposición al alabeo, por lo que se

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 79

comete un error de poca importancia, siempre del lado de la seguridad, si se desprecia elsegundo término de la ec. 5.50; se convierte en

GJEI CL

= M yuπ (5.62)

Procediendo de manera análoga a como se hizo arriba, pero sustituyendo la ec. 5.50 porla 5.62, se obtienen las ecs. 5.58 y 5.59.

En vigas I de mucho peralte, como son la mayoría de las trabes armadas, sucede locontrario que en las vigas en cajón; ahora predomina la resistencia al alabeo, y elmomento crítico de pandeo lateral elástico se obtiene, con buena precisión, con laecuación:

ayu CILE

= M2

ππ (5.63)

80 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

fig.5.28 Miembros en flexión. Valores del coeficiente C para distintos casos de carga y soporte lateral

RTE

LATE

L(P

LAN

TA)

DIA

TOS

VALO

E C1.

0L 1:1

.0L 1:0

.6L 1y L 3=0

L 2:0.6

0L 2:1

.0L 2:1

M5 M

L 1L 1

L 2L 2

L 3

M1 M

2 M1

M1 M

3 M2

M1 M

3; M5 M

4 M3

Si M

1 M3,

SiM

1 M3,1

0.6-

0.4

L 1:0.6

-0.4

L 1:0.6

-0.4

L 2:0.6

-0.4

3L 3:0

.6-0

o.4

L 2:0.6

+0.4

L 1L 2

L 3

M2 M

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 81

Los resultados de esta ecuación son, también, conservadores.

Siguiendo, una vez más, el camino que llevó a las ecs. 5.54 y 5.55, utilizando la ec. 5.63en lugar de la 5.50, se obtiene

Lu = Z

1.52 y

y(5.64)

Lr = Z

2.72 y

y(5.65)

d es la distancia entre los centros de gravedad de los patines.

Estas expresiones son aplicables a trabes armadas esbeltas, de sección I.

Tanto las ecs. 5.58 y 5.59 como las 5.64 y 5.65 proporcionan resultados conservadores(es decir, longitudes Lu y Lr menores que las que se obtienen con las ecs. 5.54 y 5.55),cuando se aplican a las secciones adecuadas.

La determinación de Lu y Lr puede ser necesaria para elaborar gráficas o tablas que sirvancomo ayudas de diseño, pero no se requiere para calcular la resistencia a la flexión; paraello, basta evaluar el momento resistente nominal de pandeo elástico Mu con las ecs. 5.50ó 5.51 (haciendo en las primeras Ca = 0 si la sección es en cajón) y compararlo con(2/3)Mp; si Mu > (2/3)Mp el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, y el momentoresistente de diseño se calcula con la ec. 5.48; si Mu ≤ (2/3)Mp el pandeo es elástico, Mues el momento resistente nominal, y el de diseño se obtiene con la ec. 5.49.

Las ecs. 5.54 a 5.59 son válidas también para vigas de sección transversal tipo 3 ó 4,sustituyendo en ellas el módulo de sección plástico Z por el elástico S.

5.6.5 Efecto del nivel en el que están aplicadas las cargas

Las ecuaciones proporcionadas en la ref. 5.16, reproducidas aquí, para determinar laresistencia de diseño de miembros en flexión en los que es crítico el pandeo lateral, sehan deducido suponiendo que la flexión es producida por momentos que actúan en losextremos de la viga, o por cargas transversales aplicadas en su eje centroidal. Si lascargas descansan sobre el patín superior, y éste no está soportado lateralmente, encuanto se inicia el `pandeo ocasionan momentos de torsión adicionales, que aceleran elfenómeno y reducen el valor del momento crítico; en cambio, si están aplicadas en elpatín inferior, o colgadas de él, producen un efecto estabilizador que incrementa laresistencia al pandeo lateral (Fig. 5.11).

El nivel de aplicación de las cargas no afecta la resistencia de los miembros en flexióncuando están impedidos los desplazamientos laterales y los giros de sus seccionestransversales.

82 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

En algunos casos (en vigas cuyo patín inferior sirve como soporte para una grúa móvil,por ejemplo), puede ser conveniente tener en cuenta los efectos favorables de las cargasaplicadas debajo del centro de gravedad de las secciones transversales; por otro lado,puede ser indispensable, para evitar diseños inseguros, considerar el efecto desfavorablede las que actúan encima de él; esta condición puede presentarse durante el proceso demontaje de la estructura, o cuando en el patín superior de la viga descansa una cubiertaligera y poco rígida que no proporciona soporte lateral adecuado.

Las refs. 5.1, 5.9 y 5.10 contienen curvas y fórmulas para calcular el momento crítico depandeo elástico correspondiente a cargas aplicadas en el patín superior, en el centroide yen el patín inferior de vigas con varias condiciones comunes de apoyo y carga. En elartículo 5.4.2 se han presentado algunos resultados.

El efecto que se está discutiendo es más importante en vigas de gran peralte y claropequeño que en las de sección transversal robusta y peralte reducido utilizadas en clarosgrandes.

El momento crítico reducido por el efecto desfavorable de las cargas aplicadas en el patínsuperior puede aproximarse, de manera conservadora, igualando a cero el segundo de losdos términos del radical de las ecs. 3.50 y 3.51, lo que equivale a despreciar lacontribución de la resistencia al alabeo a la resistencia total al pandeo lateral. Si se deseacalcular las longitudes Lu o Lr, debe hacerse con las ecs. 5.58 y 5.59.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 83

5.7 CONTRAVENTEO

5.7.1 Introducción

Los elementos con los que se da soporte lateral a las vigas deben evitar el movimientolateral y el giro de las secciones transversales contraventeadas. Para ello esoselementos (que pueden ser las mismas vigas secundarias que transmiten las cargas, omiembros colocados especialmente) y sus conexiones, han de tener resistencia yrigidez, bajo fuerzas axiales de compresión, y, a veces, de momentos flexionantes,suficientes para resistir la tendencia de la trabe a girar y deformarse lateralmente.

En las estructuras terminadas se cuenta con un contraventeo lateral que suele seradecuado, proporcionado por la losa que se apoya en las vigas, o por elementossecundarios que llegan a ellas, pero el contraventeo existente durante la construcción escon frecuencia escaso, por lo que debe revisarse también el posible pandeo lateral delas vigas en esta etapa. Este aspecto puede ser especialmente importante enestructuras compuestas, antes de que se cuelen las losas de concreto.

En las normas solía prestarse poca atención al diseño de los elementos de contraventeo;cuando se trataba el problema, tradicionalmente se indicaba que los elementos queproporcionan soporte lateral al patín comprimido de las vigas (o a la cuerda encompresión de las armaduras), y sus conexiones, debían diseñarse para resistir, comomínimo, una fuerza igual a un pequeño porcentaje, entre el uno y el 2.5 por ciento, de lacompresión existente en el patín (o en la cuerda) en el punto soportado. No solíahacerse ninguna indicación referente a la rigidez del contraventeo.

Esta situación está cambiando en los últimos años (ref. 5.25 y 5.27).

Si sobre la viga se apoya una losa de concreto reforzado en la que queda ahogado elpatín comprimido, o si ambos están interconectados mecánicamente, como en laconstrucción compuesta, o con un número adecuado de varillas del refuerzo transversalde la losa soldadas al patín, la restricción es suficiente para evitar todo desplazamientolateral o torsional si la losa y los elementos de unión entre ella y la viga pueden resistiruna fuerza total, aplicada en el plano de la losa y considerada uniformemente distribuidaa lo largo del patín comprimido, igual, como mínimo, al cinco por ciento de la fuerza decompresión máxima existente en el patín (ref. 5.15). Esto es aplicable, también, acuerdas comprimidas de armaduras.

También puede considerarse que el pandeo lateral está impedido cuando el sistema depiso, o la cubierta de la estructura, están constituidos por láminas metálicas soldadas alpatín comprimido de la viga, que satisfacen los requisitos del párrafo anterior.

Si hay transmisión de fuerzas de unos elementos de contraventeo a otros, paradiseñarlos debe tenerse en cuenta la fuerza total acumulada.

84 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Cuando los elementos que proporcionan el contraventeo lateral están conectados alpatín en tensión, han de tomarse las medidas necesarias para evitar distorsiones de lassecciones transversales de la viga y para impedir que su patín comprimido se desplacelateralmente. Esta situación es frecuente en zonas de momento negativo en vigas deedificios, en las que el patín comprimido es el inferior y el soportado, por medio delsistema de piso, el superior. La restricción contra la deflexión lateral del patín inferior esproporcionada únicamente por la rigidez a la flexión del alma, fuera de su plano, quepuede ser insuficiente para evitar distorsiones de la sección transversal, como semuestra en la Fig. 5.29. El problema puede ser crítico en vigas de mucho peralte y almadelgada; se evita colocando atiesadores verticales, ligados al alma y a los dos patines.

-Fig. 5.29 Deformación de vigas de gran peralte cuando sólo el

patín en tensión está soportado lateralmente.

En las refs. 5.2, 5.9, 5.10, 5.20 y 5.21 se tratan problemas especiales, relativos alpandeo lateral de vigas, que no suelen incluirse en especificaciones de diseño.

La resistencia de columnas o vigas esbeltas puede incrementarse hasta cualquier niveldeseado (teniendo como límite la resistencia de las secciones transversales, que puedeagotarse por plastificación o por pandeo local) colocando contraventeos, con los quecambia la forma de pandeo del elemento, o se elimina por completo.

Las recomendaciones de este artículo se refieren a columnas, vigas, y algunos tipos demarcos (ref. 5.25). Se consideran cuatro tipos de contraventeos (Fig. 5.30): relativos,discretos (o nodales), continuos y de apoyo (“lean-on”).

Los contraventeos relativos restringen el desplazamiento relativo de pisos consecutivosde marcos, o de puntos adyacentes situados a lo largo de una columna o viga (ejemplos:diagonales verticales en marcos, muros de rigidez, armaduras de contraventeo).

Los contraventeos discretos restringen sólo el movimiento de las seccionestransversales en las que están colocados; por ejemplo, las vigas de la Fig. 5.30b estáncontraventeadas discretamente en los puntos 1, con diafragmas, o marcos transversales,que las ligan entre sí.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 85

En los sistemas continuos la longitud sin contraventeo es nula; no puede haber pandeolateral.

a) relativo

c) continuo d) de apoyo

Contraventeo

Láminametálica

Diafragmas

Patíncomprimido

Marcostransversales

Viga

Columna

Pared metálicaligada a las columnas

b) discreto

Fig. 5.30 Tipos de sistemas de contraventeo.

Si una viga o columna depende, para su estabilidad, del soporte que le proporcionanotras vigas o columnas adyacentes, el sistema de contraventeo es de apoyo. Secaracteriza porque los elementos que lo forman están ligados entre sí de manera queninguno puede pandearse individualmente, con desplazamiento lateral; el fenómeno esde conjunto, y los desplazamientos laterales son iguales en las secciones conectadas(Fig. 5.30d). En el marco, la columna B “se apoya” en la A. (Desde luego, la columna Bpuede pandearse por sí sola, sin desplazamientos lineales de los extremos, si estefenómeno se presenta bajo una carga menor que la de pandeo de conjunto).

Un sistema de contraventeo adecuado debe satisfacer requisitos de resistencia y derigidez; las recomendaciones que indican que se diseñe para que soporte una fuerzaigual a un porcentaje de la compresión en el miembro contraventeado (2%, por ejemplo)son incompletas, pues se refieren sólo a la resistencia.

86 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.7.2 Diseño de elementos de contraventeo

El diseño de los elementos que proporcionan soporte lateral a vigas o columnas se basa,en buena parte, en un estudio aproximado del comportamiento de columnas encompresión axial (ref. 5.23).

La columna AB de la Fig. 5.31a tiene un resorte de rigidez k en el extremo superior B; sik es suficiente, el resorte proporciona una fuerza horizontal que evita el desplazamientode ese punto.

P P

∆=0

∆kk

Q=k∆ Q=k∆

(a) (b)

Fig. 5.31 Contraventeo de una columna aislada.

El estudio del equilibrio de la columna de la Fig. 5.31b, cuyo extremo superior tiene unpequeño desplazamiento lateral ∆, lleva a la ecuación

P∆ = QL = (k∆)L

k es la rigidez del resorte, y Q = k∆ la fuerza que aparece en él cuando se deforma unacantidad ∆.

B se desplaza lateralmente cuando (k∆)L es menor que P∆, pero no cuando es mayor;en ese caso, la columna se comporta como si estuviese articulada en los dos extremos.

El contraventeo ideal es el que tiene la rigidez mínima necesaria para evitar eldesplazamiento; con él se cumple la condición P∆ = (k∆)L, de donde

k =

La carga máxima en la columna de la Fig. 5.31 para la que puede requerirsecontraventeo es su carga crítica de pandeo, elástico o inelástico, con los dos extremosarticulados; el valor correspondiente de k es el óptimo,

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 87

k cropt =

pues no se obtiene ningún beneficio adicional con contraventeos más rígidos. En elintervalo elástico, Pcr es la carga crítica de Euler.

El concepto anterior puede extenderse a una columna soportada lateralmente en lasección media (Fig. 5.32). Cuando ésta no se desplaza, el pandeo es en dos semiondas(Fig. 5.32c), y la carga crítica, ( )P EA L rcr = 2π / / 2 ; si se introduce una articulación ficticiaen el punto de inflexión, y se toman momentos respecto a ella, en la columnaligeramente deformada (Fig. 5.32b), se obtiene la ecuación

Pcr ∆ = 22

L)k( = L

Q ∆

kopt es la rigidez mínima necesaria para crear un punto de inflexión (de desplazamientolateral nulo) en la sección media:

kopt = LPcr2

(a) (b) (c)Pcr

Pcr

L∆ k

Q/2

Q QL’=2L

Fig. 5.32 Contraventeo en la sección media de una columna.

Aplicando el mismo procedimiento a columnas con soportes laterales que las obligan apandearse en tres o más semiondas de longitudes iguales, se llega a la expresióngeneral

kopt = L

Pcrβ (5.66)

β vale 2 o 3 para dos o tres semiondas de pandeo, y 4 para cuatro o más.

88 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

La ec. 5.66 proporciona la rigidez óptima de los contraventeos, necesaria para evitar eldesplazamiento lateral de los puntos soportados; a esa condición se le ha de agregaruna de resistencia.

Los análisis anteriores, referidos a miembros perfectos geométricamente, noproporcionan información sobre la fuerza que deben resistir los contraventeos; con ellossólo se obtiene la rigidez necesaria para obligar a la columna a pandearse en más deuna semionda. Para investigar las fuerzas en los contraventeos han de analizarsecolumnas con imperfecciones geométricas iniciales; aunque el problema analítico es muycomplejo, se cuenta con soluciones aproximadas.

5.7.3 Imperfecciones iniciales

La fuerza que aparece en el contraventeo óptimo de la columna perfectamente a plomode la Fig.5.33a es

Fcon = kopt∆

igual al producto de la rigidez del contraventeo por su cambio de longitud.

Columna"perfecta"

P P

Falta deverticalidadinicial

∆τ

∆ο

∆ο∆

k ∆

Fig. 5.33 Columna con imperfecciones iniciales.

Como ∆ es nulo hasta que se inicia el pandeo, Fcon vale cero hasta ese instante.

Los miembros estructurales reales no son nunca perfectos. Si se supone que el extremosuperior de la columna de la Fig. 5.31 (o de la Fig. 5.32) está desplazado lateralmenteuna cantidad ∆o, antes de que se apliquen las cargas, la ecuación de equilibrio (Fig.5.33) es

P(∆ + ∆o) = (k∆)L

Para P = Pcr ,

kreq =

∆∆

∆∆ o

optocr + k = +

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 89

En general,

kreq =

∆∆ ocr +

1β (5.67)

El factor β depende del número de semiondas de pandeo.

kreq es la rigidez requerida de los elementos que contraventean miembros comprimidoscon defectos iniciales ∆0.

El requisito de resistencia es

Fcon = kreq∆ = β ( )ocrocr + L

P = +

∆∆∆

∆∆

β1 (5.68)

La fuerza en el contraventeo, Fcon, es función de la falta de rectitud (“out-of-straightness”)inicial de la columna, ∆o, y de su propia rigidez k.

Para llegar a las recomendaciones que se dan más adelante, se supone un valorparticular de la falta de rectitud (o de verticalidad) inicial, y se consideran contraventeosde rigidez igual, como mínimo, a dos veces la óptima, con lo que se evitan fuerzas Fconexcesivas, y se conserva el desplazamiento ∆, correspondiente a cargas factorizadas,dentro de límites aceptables; la fuerza en el contraventeo disminuye cuando crece surigidez, pues ∆ se reduce, y tiende a Pcr∆o/L cuando es muy rígido.

Pcr se calcula teniendo en cuenta los contravientos de que está provista la columna.

Las ecs. 5.67 y 5.68, deducidas para columnas, sirven también para determinar lascaracterísticas de los contraventeos de vigas o armaduras. Son las que se recomiendanen la ref. 5.15, en la que se indica que en vez de Pcr se utilice la fuerza en la columna, enla porción comprimida de la viga, o en la cuerda en compresión de la armadura,producida por cargas de diseño (multiplicadas por el factor de carga).

En las refs. 5.12, 5.14 y 5.16 no se da ninguna recomendación para el dimensionamientode los contraventeos, pero sí se dan en la ref. 5.27.

5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado

Los pocos estudios realizados sobre el contraventeo relativo o discreto de columnas yvigas que se pandean fuera del intervalo elástico indican que su diseño no se modificasustancialmente por la plastificación parcial de los elementos contraventeados (ref.5.25).

90 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

En sistemas continuos y de apoyo, el diseño del contraventeo se basa en la rigidez,elástica o inelástica, de los miembros contraventeados; el efecto de la inelasticidad seaproxima, razonablemente, con el módulo de elasticidad tangente, ET = τ E, donde τ =ET/E es el factor de reducción por inelasticidad; el esfuerzo normal en el miembro, no suesbeltez, define el intervalo de comportamiento elástico, pues las barras con relación L/rbaja responden elásticamente, si el esfuerzo normal es reducido; de acuerdo con la ref.5.14, la columna es elástica si el esfuerzo normal no excede de 0.33Fy.

Los factores de reducción de la rigidez tabulados en la ref. 5.22 para diferentes nivelesde esfuerzo P/A, se calculan con las expresiones

Para Pu/Py ≤ 1/3 (comportamiento elástico): τ =1.0Para Pu/Py > 1/3 (comportamiento inelástico):

τ = -7.38 (P/Py)log (1.176 P/Py) (5.69)

Pu es la carga de diseño (factorizada) en la columna, y Py = A Fy. Pu no debe exceder deFR Py.

La fuerza axial máxima que resiste una columna, cuando P/Py ≥ 1/3, es

)(877.0

kLEIπ

τ ; si

P/Py < 1/3 se usa la misma expresión, con τ = 1.0, con lo que se reduce a la recomendadaen la ref. 5.14.

5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo

Si las conexiones del contraventeo son flexibles o pueden deslizar, deben tenerse encuenta al evaluarse la rigidez:

conconexsis k +

k =

k111 (5.70)

ksis, rigidez del sistema de contraventeo, es menor que la más pequeña de las rigidecesde la conexión, kconex, y del contraventeo, kcon.

Al diseñar el contraventeo de varias columnas o vigas paralelas, no debe olvidarse quelas fuerzas se acumulan a lo largo de sus diversos tramos, lo que ocasionadesplazamientos diferentes en las secciones soportadas. Las soluciones de esteproblema son demasiado complejas para diseño; conviene disminuir las fuerzasaumentando el número de crujías contraventeadas, y empleando contraventeos rígidos.Se ha recomendado contraventear, cuando menos, una crujía de cada ocho (ref. 5.25).

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 91

5.7.6 Factores de resistencia y definiciones

Las recomendaciones se basan en la resistencia última de las estructuras. Se utilizancargas de diseño (factorizadas) en columnas y vigas. Las fuerzas en el contraventeo,producidas por esas cargas, se comparan con su resistencia de diseño y la de susconexiones, que incluyen ya el factor de resistencia FR adecuado.

∆0 es un desplazamiento inicial pequeño de los puntos soportados, medido desde lasposiciones teóricas, en la estructura con geometría perfecta, que no es debido a lascargas gravitacionales o a las fuerzas de compresión. En sistemas relativos y discretos,se define respecto a la distancia entre puntos soportados adyacentes, L. Por ejemplo, ∆0puede ser producido por viento o sismo o tolerancias de montaje, como falta deverticalidad inicial. En todos los casos, las recomendaciones para calcular las fuerzas enlos elementos de contraventeo se basan en un valor supuesto ∆0 = 0.002L; para otrosvalores puede hacerse una proporción directa. Cuando un sistema de contraventeoestabiliza n columnas, cada una con un ∆0 aleatorio, se recomienda un valor promedio ∆0=0.002L / n . Para el contraventeo torsional de vigas o columnas se considera unarotación inicial θo = 0.002L/hO, donde h0 es la distancia entre los centroides de lospatines.

En estructuras formadas por marcos, Pu es la suma de las cargas de diseño(factorizadas) en todas las columnas de un entrepiso que son estabilizadas por elcontraventeo en consideración. En un contraventeo discreto de un miembro, Pu es elpromedio de las fuerzas de compresión arriba y abajo (o a un lado y otro) del puntosoportado.

5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos

5.7.7.1 Recomendaciones de diseño

La fuerza y la rigidez requeridas en los contravientos en diagonal, muros de cortante, uotros medios equivalentes, que proporcionan la estabilidad lateral necesaria en marcoscontraventeados, son

Fcon = 0.004 Σ UP (5.71)

FR = 0.75; LFP

= KR

ureq

∑2 (5.72)

L es la altura del entrepiso.

Las ecuaciones anteriores se basan en la 5.67 y 5.68, con ∆ = ∆0 = L/500 = 0.002L, y enuna rigidez inicial del contraventeo doble de la óptima. Si ∆0 es diferente de 0.002L, Fcon

92 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

cambia en proporción directa al nuevo valor. Si la rigidez real del contraventeo, kreal, noes igual a kreq, Fcon se modifica como sigue:

Fcon = 0.004realreq

u kk P

/21

−∑ (5.73)

No se especifica ningún factor de reducción de la resistencia del contraventeo porque seincluye en las recomendaciones para diseño de elementos estructurales y conexiones.

Los requisitos de estabilidad del entrepiso deben combinarse con las fuerzas laterales ydesplazamientos que provienen de otras causas, como viento o sismo.

Las recomendaciones anteriores son válidas también para columnas individualessoportadas lateralmente en puntos intermedios, separados distancias iguales; en estecaso, Pu, fuerza axial factorizada en la columna, sustituye a ΣPu.

El ejemplo 5.8 ilustra el diseño de un contraviento relativo.

EJEMPLO 5.8 Diseñe el contraventeo relativo de la Fig. E5.8.1. Suponga que uncontraventeo típico debe estabilizar tres marcos, y que sólo trabaja la diagonal entensión. Las fuerzas de la figura son de diseño (están factorizadas).

100T. 200T. 70T.

4.0m

8.0m

θFy=2530kg/cm2

Fu=4100kg/cm2

Fig. E5.8.1 Estructura del ejemplo 5.8.

Carga total en un marco = 100 + 200 + 70 = 370.0 Ton.

En las recomendaciones de diseño se supone que la fuerza en el contraventeo,Fcon, y el desplazamiento del extremo de las columnas, ∆, son perpendiculares alas columnas.

Fuerza en el contraventeo.

Ec. 5.71. Fcon = 0.004 ∑ Pu = Fd cosθ

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 93

Fd es la fuerza en la diagonal.

∑Pu = 370 x 3 = 1110.0 Ton

Fd cos θ = 0.004 ∑Pu, Fd = 0.895

1110.0 x 0.004 = 4.96 Ton

Se revisan los dos estados límite de elementos en tensión.

Flujo plástico de la sección total. Fd = 4.96 Ton = 0.9 Fy At ∴ Ad = 4.96 x 103/0.9 x 2530

= 2.18 cm2

Fractura de la sección neta. Fd = 4.96 Ton = 0.75 Fy An ∴ An = 4.96 x 103/0.75 x 4100

= 1.61 cm2

Una varilla roscada de 1.90 cm (3/4”) de diámetro, con At = 2.85 cm2, y An = 2.01 cm2,es adecuada desde el punto de vista de resistencia, aunque está ligeramenteescasa. Acero con Fy = 2530 Kg/cm2.

Rigidez del contraventeo.

Ec. 5.72 kreq = LFP

u∑2 ; FR = 0.75

kreq = 0.475.00.11102

= 740.0 T/m = 7400 Kg/cm

Alargamiento de la diagonal de contraventeo ∆d = ∆cosθ (Fig. E5.8.2).

L d= 8

.94m

L c=4.0

∆d

∆θ

Sen =0.447θ

Fig. E5.8.2 Alargamiento de la diagonal.

94 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

De la ley de Hooke:

Pd = EAd Ld

d ∴∆

Constante de resorte c

dd L

EA =

= P

= kθcos∆

∆

Proyección horizontal de la constante de resorte kdcosc

LEA

= θ

θ2cos

7400 = c

LEA θ2cos ∴ Ad =

E0.895400 x 74002 = 1.81 cm2

Rige la resistencia del contraventeo; puede utilizarse una barra roscada de 1.90cm de diámetro.

En este ejemplo las diagonales se han diseñado, exclusivamente, comoelementos de contraventeo; no se ha considerado que, como sucede en muchasestructuras reales, sirvan, además, para resistir fuerzas horizontales, de viento osismo.

5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas

5.7.8.1 Recomendaciones de diseño

Resistencia:

Fcon = 0.01 Pu (5.74)

Rigidez:

FR = 0.75; kreq = Ni LFP

n2 (5.75)

Ni ≈ 4 – (2/n)

Pu es la carga de diseño (factorizada) en la columna, n y L el número de contraventeos ysu separación, constante.

La Fig. 5.34 representa un sistema discreto con tres contraventeos intermedios. Si nohubiese contraventeo, Pcr = π2 EI/(4L)2; si tiene una rigidez pequeña, Pcr crecesustancialmente, aunque la columna continúa pandeándose en una sola onda (primermodo); cuando aumenta la rigidez, la forma de pandeo cambia. El contraventeo escompletamente efectivo cuando kL/Pe = 3.41 = Ni. Si hay varios contraventeos con

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 95

separaciones iguales, el factor de rigidez adimensional Ni varía de 2.0, para uncontraventeo, a 4.0, para un número grande de ellos (ref. 5.8), de manera que puedetomarse 4.0 en todos los casos, con resultados conservadores. La recomendación dediseño se basa en contraventeo completo, para una carga Pcr = π2 EI/L2;

La fuerza en el contraventeo se obtiene suponiendo que su rigidez es dos veces el valorideal; si es otra, puede usarse el factor de ajuste dado por la ec. 5.73.

Cuando la separación real entre puntos soportados lateralmente es menor que lalongitud no contraventeada máxima para la que la columna resiste la fuerza que hay enella, con K = 1, la L de las ecs. 5.72 y 5.75 puede sustituirse por esa longitud.

Si hay un solo contraventeo discreto, en cualquier punto de la columna, Ni se determinacon la ecuación

Ni = 1 + a1 (5.76)

L es la longitud del segmento más largo, y aL la del más corto.

Fig. 5.34 Sistema discreto con tres soportes laterales intermedios.

Si la sección de la columna soportada lateralmente es la media, a = 0.5, y con la ec. 5.76se obtiene Ni = 2, como se determinó arriba.

En el ejemplo 5.9 se diseña el contraventeo discreto en la sección media de unacolumna, y en el 5.10 se revisan dos columnas contraventeadas entre ellas, y se diseñanpuntales y diagonales,

EJEMPLO 5.9 La columna de la Fig. E5.9.1 está soportada lateralmente, en la secciónmedia, por un elemento que impide que se desplace girando alrededor del eje demenor momento de inercia. Las cargas que se muestran están factorizadas.Diseñe el elemento de contraventeo, utilizando acero A36.

Rigidez del contraventeo. FR = 0.75

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.8

1.0

0.6

3.41

Límite (contraventeocompletamente efectivo)

Pcr

LPcrPe k

Pe= π2EIL2

kL/Pe

96 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Ec. 5.75. kreq = cm/Kg = x x x

x = k = / - = N ; LF

P N req

ui 1219

35075.010802

221242 3

1 ∴

Contraventeo

Corte AA

3.50m

2.50m

2.50mA A

80.0Ton

Fig. E5.9.1 Columna del ejemplo 5.9.

2.50m 2.50m

∆

Fig. E5.9.2 Viga de contraventeo.

Esta rigidez debe ser proporcionada por una viga libremente apoyada, de 5.0 mde claro, con una fuerza en la sección media (Fig. E5.9.2).

reqcon k = LEI

= F

= k EI

FL = 3

3 4848 ∆

∴∆

433

155748

500121948

cm = E x

= ELk

= I reqcon∴

1 [ 20.3 cm x 31.62 Kg/m (Ix = 1988 cm4)

Esta canal, colocada con el alma horizontal, satisface sobradamente el requisitode rigidez.

Revisión de la resistencia.

Ec. 5.74. Fuerza en el contraventeo Fcon = 0.01 P = 0.01 x 80.0 = 0.80 Ton.

Mmáx = 0.80 x 5.0/4.0 = 1.0 Ton.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 97

fb = 25

xKg/cm 511 =

10 x 1.0 =

7.195máx

Sx = 195.7 cm3 es el módulo de sección de la [ 203 x 31.62.

Si la canal tiene soporte lateral continuo, proporcionado, por ejemplo, por lalámina de pared de una estructura industrial, el esfuerzo fb calculado arriba indicaque está sobrada, desde el punto de vista de resistencia. En caso contrario, sedeterminará el esfuerzo admisible, reducido por pandeo lateral, y se compararácon el calculado.

EJEMPLO 5.10 a) Revise si el perfil de acero grado 50 (Fy = 3515 Kg/cm2) indicado enla Fig. E5.10.1 es adecuado para las columnas que se muestran en ella.Suponga que trabajan en compresión axial, y que las cargas son de diseño (estánmultiplicadas por el factor de carga adecuado). La longitud libre de pandeoalrededor del eje x es la total. Utilice las normas AISC-LRFD 93 (ref. 5.14). b)Diseñe el contraventeo requerido entre las dos columnas, utilizando acero A36(Fy = 2530 Kg/cm2) para los elementos que lo forman.

Fig. E5.10.1 Columnas contraventeadas del ejemplo 5.10.

Propiedades de la sección de las columnas:

A = 101.0 cm2; rx = 15.0 cm ; ry = 4.69 cm.

A B

Puntal

Tirantes

Ld=11.18m

10.0m

Corte1-1

Pu=140T. Pu=140T.

Sen =0.447Cos =0.895

θθ

Col

umna

s.-w

14”x

53lb

/ft

1 1

3@5m

=15m

98 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

a) Se supone, por ahora, que el contraventeo es adecuado para hacer que lascolumnas se pandeen en tres semiondas, al flexionarse alrededor del eje y. (En laparte b del ejemplo se diseñarán los elementos de contraventeo necesarios paraque se cumpla esa condición).

Relaciones de esbeltez.

Las restricciones en los apoyos y en los extremos superiores de las columnasjustifican que se tome (KL)x = 15 m, (KL)y = 5 m.

4.89500

= r

KL ; 100 =

15.01500

= r

= 102

Rige el pandeo alrededor de y.

1.5 < 1.348 = EF

102

= EF

KL = yy

yc ππλ

Ec. 2.33 Fy = )(0.658 = F )(0.65821.348

2cλ Fy = 1643kg/cm2

Rc = FR Pn = FR A Fcr = 0.85 x 101.0 x 1643 x 10-3 = 141.0 Ton ≈ 140.0 Ton.

(De la tabla 2.7, para KL/r = 102, Rc/A = 1396 Kg/cm2, Rc = 1396 x 101.0 x 10-3 = 141.0 Ton).

El perfil propuesto es adecuado.

b) El tirante AD, trabajando en tensión, evita que el punto D se desplace haciala derecha y, de manera semejante, el tirante BC impide que C se mueva hacia laizquierda; además, el puntal CD, que debe resistir compresiones, impide que lospuntos C y D se acerquen uno al otro, lo que no está evitado por los tirantes; deesta manera, el conjunto formado por los dos tirantes AD y BC y el puntal CD fijalinealmente los puntos C y D, en el plano que se indica en la figura. De igualmanera, partiendo de los puntos C y D se fijan E y F y, por último, G y H. En elplano perpendicular al de la figura los tirantes y puntales no ejercen ningunarestricción, por lo que la longitud libre de pandeo de la columna, por flexiónalrededor de los ejes x, es la total, 15 m.

Los tirantes colocados en diagonal deben proporcionar las fuerzas y rigidecesnecesarias para evitar que se desplacen lateralmente las secciones intermedias yextremas de las columnas; en cada punto trabaja un solo tirante, que ha de sercapaz de resistir los efectos de las dos columnas, pues ambas pueden tratar dedesplazarse hacia el mismo lado (en ese caso, el puntal que liga las dossecciones se traslada lateralmente, sin oponerse al movimiento).

Rigidez del contraventeo. RF = 0.75

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 99

Ec. 5.75 kreq = Ni 50075.0)

x10 x 140 x 2(2

x 3 = k 3 = 22

- 4 = n2

- 4 = N LF

P 3

reqiR

U ∴ = 4480 Kg/cm

La proyección horizontal de la constante de resorte de un contraventeo es (verejemplo 5.8)

kd cosθ = EAd cos2θ/Lc

∴ 4480 = E Adcos2θ/Lc, Ad = 4490 x 500/0.8952 E = 1.37 cm2

Fuerza en el contraventeo.

Ec. 5.74 Fcon = 0.01 Pu = 0.01 (2 x 140) = 2.80 Ton = Fd cosθ

Fuerza en cada diagonal. Fd cosθ = 2.80 ∴ Fd = 2.80/0.895 = 3.13 Ton.

Diseño de las diagonales.

Se revisan los dos estados límite de elementos en tensión.

Flujo plástico de la sección total.

Fd = 3.13 Ton = 0.9 Fy At ∴ At = 3.13 x 103/0.9 x 2530 = 1.37 cm2

Fractura de la sección neta.

Fd = 3.13 Ton = 0.75 Fu An ∴ An = 3.13 x 103/0.75 x 4100 = 1.02 cm2

Puede utilizarse una varilla roscada de 1.6 cm (5/8”) de diámetro, que tiene At =1.98 cm2 y An = 1.30 cm2, de acero con Fy = 2530Kg/cm2. Esta varilla satisface tambiénlos requisitos de rigidez.

Puntales.

En la condición más desfavorable, cuando las dos columnas tienden a flexionarsehacia adentro, cada puntal debe soportar una compresión, calculada arriba, de2.80 Ton.

Radio de giro mínimo. L/r = 200 ∴ rmín = L/200 = 1000/200 = 5.0 cm (se estásuponiendo que los puntales están articulados en los extremos).

Puede usarse, por ejemplo, un tubo de sección cuadrada de 12.7 cm x 12.7 cm x 0.48cm (5” x 5” x 3/16”), con rmín = 4.96 cm ≈ 5.0

Para L/r = 200 y n = 1.4, con Fy = 2530 Kg/cm2, Rc/At = 422 Kg/cm2 (Tabla 2.3).

100 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

∴ Rc = 422 At = 422 x 22.7 x 10-3 = 9.58 Ton >> 2.80

Como en este ejemplo, el diseño de los puntales queda regido, con frecuencia,por la relación de esbeltez máxima admisible.

5.7.9 Contraventeo continuo de columnas

La carga crítica de columnas con contraventeo continuo se determina con la expresiónaproximada 5.77, que proviene de resultados de la ref. 5.8:

eecr kP L

+ P = Pπ2 (5.77)

k es la rigidez del contraventeo por unidad de longitud.

En el intervalo inelástico, τ Pe sustituye a Pe.

5.7.9.1 Recomendaciones para diseño

Fcon = 0.04 Pu/Lo (5.78)

RCF Pcr = Po + ( ) oRconKPFL 2/π (5.79)

Po = RCF (0.877)τPe , RCF = 0.85, FRcon = 0.75.

Estas recomendaciones se basan en la ec. 5.77, con k dividido entre 2 para limitar lasfuerzas en el contraventeo, añadiendo FRcon = 0.75, y tomando para P0 la resistencia dediseño de la columna (ref. 5.14). La resistencia del contraventeo debe ser Fcon =

2π P∆Τ/L0, donde L0 es la longitud máxima no contraventeada para la que la columnaresiste la carga. Haciendo ∆Τ =2∆0 y ∆0 = 0.002 L0, se obtiene Fcon = 0.04 P/Lo.

5.7.10 Sistemas de apoyo

La Fig. 5.35 ilustra el comportamiento de sistemas en los que unos miembros se apoyanen otros.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 101

Dos columnas, A y B, la primera con una carga P, y la segunda sin carga, están ligadasentre sí por tres vigas separadas distancias iguales, L. El conjunto puede pandearse enuna sola semionda entre los extremos, o en cuatro, entre los extremos y las vigashorizontales. Si B es muy esbelta, el modo de pandeo es el primero (con raya-punto enla Fig. 5.35a); la resistencia del sistema es la suma de resistencias de las dos columnas;es estable si las cargas aplicadas, ΣP, son menores queΣ CRP . En cambio, si la columnaB tiene rigidez suficiente, el pandeo de A es en cuatro semiondas. Cuando las columnasunidas entre sí son más de dos, el comportamiento es semejante. Deben revisarse losdos modos, en todos los casos.

Fig. 5.35 Contraventeo de apoyo.

La Fig. 5.35b representa una solución elástica “exacta”; cuando aumenta la relación IB/IAde los momentos de inercia de las dos columnas, Pcr crece linealmente, y el pandeo esen una semionda, hasta que IB/IA llega a 15.3; para relaciones mayores, A se pandea encuatro semiondas, B permanece recta, y la carga crítica del sistema es (Pe)a=π2EIA/L2; Les la separación entre vigas.

En el primer modo de pandeo, las resistencias elásticas de las dos columnas sonπ2EIA/(4L)2 y π2EIB/(4L)2; en el segundo modo, Pcr=π2EIA/L2. El valor aproximado de IBpara que el contraventeo sea completamente efectivo se obtiene despejándolo de laigualdad

)4()(

LIIE BA +π = 22 / LEI Aπ

Se llega a IB/IA=15, casi igual a la solución “exacta”.

En el intervalo inelástico se usa τI, que se determina para cada columna por separado.

B A (a) (b)

=Peπ2

EIAL2

1.0

10 20

15.3

Sinusoide

PcrPe

IB/IA

102 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

EJEMPLO 5.11 En la Fig. E5-11.1 se muestran dos columnas, ligadas entre sí pormedio de vigas provistas de conexiones diseñadas para transmitir sólo fuerzacortante, por lo que se puede suponer, conservadoramente, que estánarticuladas a las columnas. Los extremos superiores de las columnas están fijoslateralmente. La columna A es una W14” x 48lb/ft, con el alma perpendicular alplano de la figura, y la B, una W14” x 34, tiene el alma en ese plano. El acero esA36 (Fy = 2530 Kg/cm2). En la columna B actúa una carga vertical de 50 Ton.Determine la carga máxima que resiste la columna A, considerando sólo laposibilidad de pandeo en el plano de la figura. Utilice las Normas TécnicasComplementarias del Reglamento de Construcciones del D. F.

Fig. E5.11.1 Columnas del ejemplo 5.11.

Propiedades geométricas.

Col. A W 14 x 48 A = 91.0 cm2; Iy = 2139 cm4 ; ry = 4.85 cmCol. B W 14 x 34 A = 64.5 cm2; Ix = 14152 cm4 ; rx = 14.81 cm

Dependiendo de las rigideces relativas de las dos columnas, el pandeo puedepresentarse en tres semiondas, entre los elementos horizontales, o en una sola,de toda la longitud, de manera análoga a como se muestra en la Fig. 5.34.

a) Pandeo en una semionda.

Columna A. L/ry = 900/4.85 = 186

De la Tabla 2.3 (para n = 1.4),

RcAt = 481 Kg/cm2, Rc = 481 x 91.0 x 10-3 = 43.8 Ton

Columna B. L/ry = 900/14.81 = 61

De la Tabla 2.3,

w14

x34

50T. P=?

3m3m

B A w14x48

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 103

Rc/At = 1847 Kg/cm2, Rc = 1847 x 64.5 x 10-3 = 119.1 Ton > 50.0

Resistencia del sistema = ΣRc = 43.8 + 119.1 = 162.9 Ton.

Como en la columna B hay una carga de 50 Ton, a la A le corresponderían 162.9 -50 = 112.9 Ton; sin embargo, 112.9 > 43.8 Ton, por lo que la resistencia de lacolumna A es RcA = 43.8 Ton.

b) Pandeo en tres semiondas.

Columna A. L/ry = 300/4.85 = 62, Rc/At = 1832 2cm/kg , Rc = 1832 x 91.0 x 10-3 = 166.7 Ton.

Suponiendo PA = (Rc)A = 166.7 Ton, se revisa si la columna se pandea en elintervalo elástico o en el inelástico.

> 0.724 = 102530x91.0x

166.7 =

AFP

3-y

A El pandeo es inelástico (Art. 5.7.4).

Ec. 5.69.

τ = -7.38

1.176 log PP

= -7.38 x 0.724 log (1.176 x 0.724) = 0.373

Ton 133.0 = 10 x 2139 x E 0.877 x 0.373 x 0.85

= (kL)

EI(0.877)0.85 = P F 3-

AR 22 300ππτ

Columna B. = 10 x 2530 x 64.5

50=

Fy A P

3-B

<0.306

; 1.0 = τ∴ la columna se conserva en el intervalo elástico.

Ton 262.1 = 10 x 900

14152Ex)0.85(0.877 = PF 3-

BRπ

Resistencia del sistema = ∑ RF P = 133.0 + 262.1 = 395.1 Ton > ∑P = 133.0 + 50 = 183.0 Ton.

La columna B proporciona las restricciones laterales necesarias para que la A sepandee en tres semiondas. La carga máxima que resiste esta columna es (Rc)A =

RF PA = 133.0 Ton.

5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patín

Las columnas con secciones transversales con dos ejes de simetría se pandean porflexión entre los puntos contraventeados cuando se evitan en ellos, al mismo tiempo, el

104 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

desplazamiento lateral y la rotación. Si no se impiden las rotaciones (por ejemplo,cuando se coloca una varilla unida a la columna en el centro del alma), puedepresentarse un modo de pandeo por torsión.

La Fig. 5.36 muestra un contraventeo frecuente en estructuras industriales. Loslargueros de pared, unidos al patín exterior de la columna, restringen su desplazamientolateral, pero si son discontinuos no evitan la torsión: el pandeo puede producirse porrotación alrededor del punto soportado (Fig. 5.36b).

Ä Fè

a d

Punto soportado Punto soportado

a) Contraventeo lateralen el patín.

b) Forma de pandeo

Fig. 5.36 Pandeo por torsión alrededor de un punto soportado.

La carga de pandeo por torsión, TP , de una columna restringida lateralmente, es (ref.5.8):

( )[ ]222

22 4/9.0

eyT rra

GJadPP

++=

τ(5.80)

a es la distancia entre el punto restringido y el centroide de la columna, d el peralte de lasección transversal, y Pey la carga crítica de Euler, calculada con la longitud entre puntoscon giro impedido; τ se calcula con la ec. 5.69. El factor 0.9 tiene en cuenta que loselementos de contraventeo no son infinitamente rígidos.

Si la fuerza de compresión de diseño es mayor que PΤ, el contraventeo debe evitar latorsión, para lo que se emplean, por ejemplo, soluciones como las de la Fig. 5.37. Larigidez torsional del contraventeo debe ser, como mínimo kT = MT/θ = Fd2/∆ = kd2.

a) Patas de gallo. b) Conexión que resiste t ti d

Conexión que resiste momento

Atiesador de peralte parcial

Fig. 5.37 Soluciones para evitar el pandeo por torsión.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 105

MT = Fd es el momento de torsión, F la fuerza necesaria en el patín no restringido (Fig.5.37b), y k la rigidez del contraventeo discreto de la Sec. 5.7.8, determinada con P iguala la mitad de la fuerza en la columna, que es la carga aproximada que resiste cadapatín.

El momento de torsión, que corresponde a una rotación inicial supuesta de 1°, es0.0175kΤ.

5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral

Los puntos de inflexión de las vigas no pueden considerarse soportados lateralmente,como se hace a veces, erróneamente. La viga a de la Fig. 5.38 tiene un momentoexterior en un extremo; se flexiona en curvatura simple; la longitud libre de pandeo, Lb,es igual a L, y Cb =1.67; la viga b, con momentos en los dos extremos, tiene un punto deinflexión en el centro, Cb =2.3, y Lb=2L. Si el punto de inflexión actuase como siestuviera soportado lateralmente, los momentos críticos de las dos vigas serían iguales;sin embargo, la b, de claro 2L y punto de inflexión en el centro, se pandea bajo cargasque son el 68% de las críticas de la viga a. Cuando b se pandea los dos patines,superior e inferior, se mueven lateralmente, en direcciones opuestas, en el centro delclaro (Fig.5.38c). Ni siquiera un contraventeo real, unido a un patín en el punto deinflexión, proporciona soporte lateral adecuado en la sección media.

(a)

(b)

(c)

100 C b = 1.67

C b = 2.3

L L

Diagramas de momentos

Punto soportado lateralmente

Eje centroidal Patín superior

Patín inferior Forma de pandeo

Fig. 5.38 Viga con un punto de inflexión.

El contraventeo de las vigas debe evitar que las secciones giren, no que se desplacenlateralmente. Puede ser lateral o torsional; cualquiera de ellos debe impedir eldesplazamiento relativo de los patines, para que la sección no se retuerza. Tanto elprimero (largueros o vigas secundarias ligados al patín comprimido de una viga

106 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

libremente apoyada, por ejemplo) como el segundo (diafragmas entre vigas adyacentes)pueden controlar de manera efectiva la rotación de las secciones transversales, yalgunos sistemas restringen, a la vez, el desplazamiento lateral y la rotación (una losaligada al patín superior con conectores de cortante). Puede utilizarse cualquiera de losdos sistemas, pero suelen obtenerse mejores resultados cuando se usan encombinación.

El contraventeo lateral es relativo, discreto, continuo o de apoyo (aquí se presentanrecomendaciones sólo para los dos primeros tipos); el torsional, relativo o discreto.

Cuando varias vigas están unidas entre sí, se apoyan unas en otras, de manera que lassecciones conectadas no pueden pandearse lateralmente hasta que se pandean todas;el sistema estructural es estable hasta que la suma de los momentos máximos en todaslas vigas supera la suma de sus resistencias individuales al pandeo. Las vigasindividuales de sistemas de apoyo sólo pueden pandearse entre miembrostransversales; no se requieren contraventeos adicionales.

Si dos vigas adyacentes están interconectadas en el centro del claro, con un diafragma ocon dos puntales horizontales y diagonales verticales, correctamente diseñados, puedeconsiderarse que su sección media está contraventeada. La eficacia de estecontraventeo ha sido cuestionada, porque las secciones medias de las dos vigas puedendesplazarse lateralmente; sin embargo, si sus dos patines se desplazan lo mismo, lassecciones no giran, y pueden considerarse contraventeadas; ésto ha sido confirmadoteórica y experimentalmente (ref. 5.25).

5.7.12.1 Contraventeo lateral

La eficiencia de un contraventeo lateral depende de su posición en la sección transversalde la viga, del número de contraventeos discretos en el claro, y del nivel de la carga,respecto al centroide de las secciones; todos esos factores se han incluido en lasrecomendaciones que siguen. El contraventeo es más eficiente cuando se conecta alpatín comprimido, exceptuando en los voladizos, en los que conviene ligarlo al patínsuperior (en tensión); es inútil si se coloca cerca del centroide de la sección transversal.

Las recomendaciones sólo son válidas para contraventeos relativos y discretos unidos ala viga cerca del patín comprimido; se ha supuesto que la carga actúa en el patínsuperior, que es el caso más desfavorable, y puede usarse cualquier número decontraventeos discretos. La fuerza de compresión en el patín se considera,conservadoramente, igual a Mf/h0; h0 es la distancia entre los centroides de los patines.Cuando la viga tiene un punto de inflexión, el contraventeo lateral cercano a él ha deunirse a los dos patines, y la rigidez necesaria aumenta, como lo indica el factor Cd. Losrequisitos referentes a la fuerza de diseño son semejantes a los del contraventeo de lascolumnas (secciones 5.7.7 y 5.7.8); están basados en un desplazamiento inicial del patíncomprimido igual a 0.002 veces la distancia Lb entre secciones contraventeadas. Se hanconsiderado rigideces del doble del valor ideal.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 107

5.7.12.2 Recomendaciones de diseño

FR = 0.75

Contraventeo relativo

hCM.

= F ducon

0080 (5.81)

hLFCM

= kbR

duL

4 (5.82)

Contraventeo discreto

hCM.

= F ducon

020 (5.83)

hLFCM

= kbR

duL

10 (5.84)

Mu es el momento máximo de diseño, y Cd = 1.0 para curvatura simple, 2.0 paracurvatura doble. h y Lb se han definido arriba. Cd = 2.0 se utiliza sólo para elcontraventeo más cercano al punto de inflexión.

EJEMPLO 5.12 Las trabes libremente apoyadas de la Fig. E5-12.1 trabajarán enconstrucción compuesta con la losa de concreto que se colará sobre ellas; sinembargo, durante el proceso de construcción, sus patines superiores, encompresión, deben soportarse lateralmente, lo que se logra por medio de unconjunto de diagonales y puntales colocados en el nivel de esos patines, queconstituyen un sistema de contraventeo lateral relativo. Cada armadura decontraventeo estabiliza tres vigas. Las diagonales de contraventeo, de acero A36(Fy = 2530 Kg/cm2), trabajan en tensión. El momento máximo, en el centro delclaro de cada viga, es de 120 Tm.

108 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

h=1,40m

L c=5.0

[email protected]=17.00m

5tra

mos

@5m

=25m

Sen =0.827Cos =0.562

θθ

Planta en el nivel de la cuerdasuperior de las trabes

Fig. E5.12.1 Sistema de vigas y contraventeos del ejemplo 5.11.

Rigidez de las diagonales.

Ec. 5.82 kL = 914 = x x

. x x x =

hLFCM

14050075.0011012044 5

Kg/cm = 0.91 Ton/cm

La proyección normal al eje de la viga de una diagonal es (ver Ejemplo 5.8):

kd = 6050.562EA

= LcosEA 2

d θ2 = 1064 Ad

1064 Ad = 914 x 3 ∴ Ad = 2.58 cm2

El factor 3 se debe a que cada tirante estabiliza tres vigas.

Resistencia.

Ec. 5.81 Fcon = 140

1 x 10 x 120 x 0.008 =

hC M0.008 5

df = 686 Kg

Ad (0.9 x 2530) cos 2d cm 1.61 =

0.562 x 2530 x 0.93 x 686

= A 3 x 686 = ∴θ

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 109

El diseño queda controlado por la rigidez; puede utilizarse 1L 1 ¾ x 1/8 (A = 2.74cm2 > 2.58).

En las crujías contraventadas deben colocarse puntales que resistan compresión(ver ejemplo 5.10); los elementos que unen las dos vigas centrales con lasarmaduras horizontales trabajan en tensión.

5.7.13 Contraventeo torsional

Son ejemplos los diafragmas en secciones discretas, y el soporte continuoproporcionado por el sistema de piso en armaduras y trabes de paso a través, o porlámina acanalada y losas de concreto. Los efectos del número de contraventeos, de suposición en la sección transversal, y de la carga en el patín superior, son pocoimportantes, de manera que la eficiencia de estos contraventeos es la misma si estánconectados al patín en tensión o al comprimido; tampoco influye que la viga se flexioneen curvatura simple o doble. La conexión entre un contraventeo torsional y la viga deberesistir el momento que se indica más adelante.

En cambio, la distorsión de la sección transversal contraventeada (Fig. 5.39) afectamucho su efectividad, pues aunque el patín superior no se retuerce, el inferior sedesplaza lateralmente; este problema puede evitarse con atiesadores verticales.

Contraventeo torsional

Alma

Fig. 5.39 Distorsión de la sección transversal.

Los requisitos para el diseño de estos contraventeos se basan en la resistencia alpandeo lateral de vigas restringidas torsionalmente a lo largo de toda su longitud.

Los contraventeos discretos y los continuos se diseñan con la misma fórmula básica. Larigidez torsional de los continuos es k T = kTn/L donde kT es la rigidez torsional de uncontraventeo discreto, n su número, y L el claro de la viga. La rigidez del sistema. kT,depende de la del contraventeo, kcon, y de la del alma, con o sin atiesadores, ksec:

sec

111k

+ k

= k conT

(5.85)

110 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

Diafragmas Trabes de paso a través

Mcon

θ θ

s6EIb= s

2EIb=

Kcon Kcon

Fig. 5.40 Rigidez del contraventeo.

bs hb

Fig. 5.41 Alma rigidizadaparcialmente.

En la Fig. 5.40 se proporcionan valores de kcon para diafragmas de varios tipos, y en la5.41 se muestra un alma rigidizada parcialmente; la rigidez de cada una de susporciones, hi, es

12125133

,,332

ssai

itsc

bt +

th.

E. = k k k (5.86)

Tomando E en kg/cm2 y las dimensiones en cm, las k se obtienen en kg cm / rad.

1/ksec = ∑ (1/ki), y ts = grueso del atiesador. Si el contraventeo es continuo, 1.5hi sesustituye por 1cm, y si no hay atiesador, ts = 0. La porción del alma que corresponde ahb (peralte del elemento de contraventeo) puede considerarse de rigidez infinita.. Ensecciones con h/ta ≤ 60 (condición que se cumple en la mayoría de los perfileslaminados), la distorsión de la sección transversal deja de ser significativa cuando laconexión del diafragma ocupa, al menos, la mitad del peralte del alma.

5.7.13.1 Recomendaciones de diseño (Fig. 5.42)

FR = 0.75

Resistencia: 2

2040

bbef

ubbrcon CnEI

LM. = hF = M (5.87)

Rigidez: 2

24.2

bbefR

uTT CnEIF

LM =

nLk

= k (5.88)

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 111

Mu es el momento máximo de diseño, Ief = Iyc + (t/c)Iyt, n el número de claroscontraventeados, y Cbb el factor de modificación de los momentos para la condición decontraventeo completo. Iyc e Iyt, son los momentos de inercia de los patines, encompresión y en tensión, respecto al eje vertical y.

x x

Patín comprimido

Patín en tensión

Fig. 5.42 Contraventeo torsional.

En secciones con un eje de simetría, Iyc e Iyt son los momentos de inercia de los patinesen compresión y tensión, respecto a ese eje; si la simetría es doble, Ief = Iy. El factor 2.4en la fórmula de la rigidez proviene de usar el doble de la rigidez ideal, y un incrementoadicional de 20% para tener en cuenta la carga en el patín superior. En el cálculo de Mconse considera un giro inicial de 1° (0.0175 rad).

El ejemplo 5.13 es semejante al 5.12, pero con contraventeo torsional.

EJEMPLO 5.13 Igual al ejemplo 5.12, pero se utiliza contraventeo torsional a cada 5 m,con las características que se indican en la Fig. E5.13.1.

PL de 20x2 cm

3.40 m 3.40 mPL de 40x3.2 cm

1.40 m

1.27 72.20 cm

15.2 cm

50 cm

Fig. E5.13.1 Vigas y contraventeos torsionales del ejemplo 5.13.

Las propiedades geométricas de las vigas son:

h = 137.4 cm, c = 86.4 cm, t = 51.0 cm

112 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

h, c y t se definen en la Fig 5.42.

Ix = 946352 cm4; Iyc = 1333 cm4 ; Iyt = 17067 cm4

Ief = 4cm 11407 = 17067 x 86.451.0

+ 1333

Cada contraventeo, y la unión entre él y la viga, debe resistir un momento igual a(ec. 5.87):

2bef

con (1.0) 11407 x 10 x 2039 x 10 x (120 x 2500 x 0.04

= CEI nML 0.04

= M4

x 10-5 = 155 Tm

El módulo de sección y la rigidez necesarios en cada elemento de contraventeoson:

concmx cm 68.0 =

2530 x 10 x 1.55

= FF

M = S

9.0)(

Ec. 5.88

Tm/rad. 123.8 = 10 x (1.0) 407 11 x 10 x 2039 x 4 x

10 x (120 x 2500 x 2.4 =

CnEIF2.4LM

= k 5-23

2befR

T 75.0)2

La rigidez de los diafragmas en las vigas exteriores es 6EIcon/s, donde s es laseparación entre vigas; en las vigas interiores, esa rigidez se duplica, por lo que larigidez promedio con que se cuenta en cada viga, kT, es

EI 10 =

sEI

x 12 x 4 + 6 x concon

Icon es el momento de inercia xI del elemento de contraventeo.

10 45

con5con cm 206 =

10E340 x 10 x 123.8

= I 10 x 123.8 = s

EI∴

Se ensayará 1[6” x 12.2 Kg/m (Fig. E5.13.1) Sx = 71.0 cm3 > 68, Ix = 541 cm4 > 206

Aunque aquí no se hace, deberá revisarse si la canal puede resistir el momentoRF SxFy, lo que depende de su longitud y soporte lateral.

kcon = Tm/rad 324.4 = 10 x 340

541E x 10 =

s10EI 5-con

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 113

0.0050 = 0.0031 - 0.0081 = k

1 ,

+ 324.4

1 =

+ K

1 =

123.81

= k1

5.85, ec. la DesecsecsecconT

ksec = 200.2 Ton/rad.

12b 0.95

+ 12

1.27 x 72.2 x 72.2174.4

72.23.3E

12b 0.95

+ 12

1.27 x 50 x 50

174.4

503.3E

1 =

+ k1

= 10 x 200.2

1 =

3tc5

sec

5.1

).(3/8" cm 0.95 = t supuesto ha se expresión esta En s

cm. 9.0 = b b 0.013 + 3.060

1 +

b 0.039 + 6.3811

= 10 x 200.2

Es3

s3s

5 ∴

Se utilizarán atiesadores de 9 cm x 0.95 cm (3/8”)

En la ref. 5.27 se dan las recomendaciones siguientes para el diseño delcontraventeo torsional de vigas:

El contraventeo torsional puede ser nodal o continuo a lo largo de la viga. Puedeunirse a cualquier sección transversal, y no es necesario que esté cerca del patíncomprimido. La conexión entre el contraventeo y la viga debe resistir el momentoque se indica adelante.

a) Contraventeo nodal

El contraventeo debe resistir un momento

ucon LnC

L M0.024 = M (5.89)

La rigidez requerida en el marco transversal o diafragma de contraventeo es

sec

Tcon

- 1

k = k (5.90)

donde

2byR

T CnEIF2.4LM

= k (5.91)

114 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

12bt

+ 12

t1.5h

h3.3E

= k3ss

3ao

osec (5.92)

FR = 0.75 L = claro de la viga, cm. n = número de secciones contraventeadas de la viga Cb = factor de modificación del momento (Art. 5.4.2.1) ta = grueso del alma de la viga, cm. ts = grueso del atiesador del alma al que se conecta el contraventeo, cm. bs = ancho del atiesador cuando está colocado en un solo lado del alma (para

atiesadores en los dos lados del alma se toma igual a la suma de los dosanchos), cm.

kT = rigidez del contraventeo, sin incluir la distorsión del alma, kg-cm/rad.ksec = rigidez distorsional del alma (incluye el efecto de los atiesadores

transversales colocados en ella), kg cm/rad.

Si ksec < kT, la ec. 5.90 proporciona resultados negativos, lo que indica que elcontraventeo torsional no es efectivo porque el alma de la viga no tiene rigidezdistorsional adecuada.

a) Contraventeo continuo

Se emplean las ecs. 5.89, 5.90 y 5.91, con L/n = 1.0; se obtienen momentos yrigideces por unidad de longitud. La rigidez torsional de un alma no atiesada es

sec 12h3.3Et

= k (5.93)

Flexión 2 (Pandeo lateral) 115

5.8 ESPECIFICACIONES AISC BASADAS EN FACTORES DE CARGA YRESISTENCIA (REF. 5.27)

En estas especificaciones se proporcionan fórmulas y procedimientos para determinar laresistencia de diseño en flexión de canales y vigas de sección transversal H o I con unoo dos ejes de simetría, flexionadas en el plano de mayor o de menor resistencia, vigasde sección transversal maciza con dos ejes de simetría, vigas en cajón, con dos planosde simetría, cargadas en uno de ellos, y tubos circulares de paredes delgadas; se indica,también, cómo evaluar la resistencia de diseño de miembros de sección transversal I deperalte variable, que satisfacen ciertas condiciones indicadas en las Normas.

Aquí se reproducen y comentan únicamente los requisitos de diseño referentes amiembros de sección transversal constante, H o I, con uno o dos ejes de simetría, y acanales, estas últimas restringidas lateralmente y contra la torsión en los apoyos y en lospuntos de aplicación de las cargas.

Las ecuaciones se han escrito como en la ref. 5.14 y, cuando es posible, también enforma adimensional, entre paréntesis, como aparecen en la ref. 5.28 y aparecerán,también, en las refs. 5.27 y 5.29.

Los miembros en flexión de sección I, cargados en el plano del alma, se subdividen endos categorías, vigas y trabes armadas, de acuerdo con la esbeltez del alma. h/t =8134/ )ypyp E/F (5.70 F es la relación peralte/grueso que separa las dos categorías. h esel peralte del alma (distancia libre entre patines en secciones hechas con placassoldadas, o distancia entre los puntos donde se inician las curvas que unen el alma conlos patines en perfiles laminados), t su grueso, y Fyp el esfuerzo de fluencia del materialde los patines, en Kg/cm2. (En sus especificaciones, el AISC cubre los perfiles“híbridos”, fabricados con placas de acero de características diferentes en los patines yel alma; no se tratan aquí).

Las almas con relación peralte/grueso mayor que la indicada son esbeltas, de maneraque su resistencia puede quedar regida por pandeo local; se tratan en el Apéndice G dela ref. 5.14, que se refiere al diseño de trabes armadas. (El límite correspondiente, en laref. 5.16, es 8000/ )yy E/F (5.60 F ; las trabes armadas se tratan en el capítulo 6).

Deben investigarse cuatro estados límite: flujo plástico, pandeo lateral por flexotorsiónde los tramos entre puntos soportados lateralmente (lateral-torsional buckling: LTB),pandeo local del patín comprimido (flange local buckling: FLB) y pandeo local del alma(web local buckling: WLB)7. A cada uno le corresponde un momento resistente; elmenor de los cuatro es el momento resistente de diseño del elemento.

7 En el resto de este artículo se utilizan las iniciales de los nombres en inglés, LTB, FLB y WLB, paraidentificar las tres formas de pandeo.

116 Flexión 2 (Pandeo lateral)

En vigas compactas soportadas lateralmente, con Lb ≤ Lp, sólo es aplicable el estadolímite de flujo plástico; en vigas compactas no contraventeadas son aplicables losestados límite de flujo plástico y de pandeo lateral por flexotorsión, y si la flexión esalrededor del eje de menor momento de inercia, el pandeo lateral no es posible.

Cada momento resistente es función de un parámetro de esbeltez, λ, que se definecomo sigue:

Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión: λ = Lb/ry = longitud sin soportelateral/radio de giro de la sección transversal respecto al eje normal al de flexión.

Estado límite de pandeo local del patín comprimido: λ = bp/2tp = mitad del ancho total delpatín comprimido/grueso del mismo.

Estado límite de pandeo local del alma: λ = h/t = peralte del alma (definidoarriba)/grueso de la misma.

Se definen también tres relaciones de esbeltez características:

λpd = esbeltez máxima hasta la que es aplicable el diseño plástico, desde el punto devista del pandeo lateral por flexotorsión.

λp = valor máximo de λ hasta el que Mn = Mp, donde Mn es el momento resistentenominal. (Para el estado límite de pandeo lateral por flexotorsión λp sólo tienesignificado cuando el momento es constante en el tramo considerado, es decir, cuandoCb = 1.0; más adelante se estudia este coeficiente).

λr = valor máximo de λ para pandeo inelástico. (Si λ > λr el pandeo se inicia en elintervalo elástico).

En la Fig. 5.43 se muestra la respuesta generalizada para las tres formas de pandeo enconsideración.

Si todas las relaciones de esbeltez se hallan en el intervalo 0 ≤ λ ≤ λp (tramo A-B de lafigura) la sección es compacta y no hay pandeo de ningún tipo; el estado límite es el deplastificación completa de la sección crítica; la resistencia a la flexión es la máxima quepuede proporcionar el miembro; su momento resistente nominal es el momento plástico,Mp. Cuando alguna de las relaciones λ es mayor que λr, la forma de pandeocorrespondiente se inicia en el intervalo elástico (tramo C-D). Entre los puntos B (λp, Mp)y C (λr, Mr), que corresponden a la esbeltez máxima para la que el momento resistentenominal es Mp y a la iniciación del pandeo elástico, se encuentra la región en la que elpandeo comienza en el intervalo inelástico, cuando algunas porciones de la viga hanfluido ya plásticamente; el pandeo inelástico queda representado de manera adecuada,en los tres casos, por la línea recta que une los puntos mencionados.

Flexión 2 (Pandeo lateral) 117

(1) Límite superior de las relaciones ancho/grueso de secciones compactas.(2) Límite superior de las relaciones ancho/grueso de secciones no compactas.

(A) (B)

(D)

Mn=Mp

λpd λp λr(Ec. 5.95 o 5.96)

Seccionescompactas

Dis. Plástico

Seccionesno compactas

Seccionesesbeltas Pandeo local

(FLB y WLB)

El pandeo lateralno es crítico

Pandeo lateralinelástico

Pandeo lateralelástico Pandeo lateral

(LTB)( r)λ

No hay falla porpandeo de ningún

tipoFalla por LTB, FLB ó WLB

(2)λr

LTB.-Ec. 5.71

FLB

WLB.-5.70 E/Fyp

Sec. Laminadas, 0.83 E/F LSec. Soldadas, 0.95 Ek c/FL

WLB.-3.71 E/Fyp

(Ec. 5.98)LTB.-1.762 E/FypFLB.-0.38 E/Fypλp

(1)

( p)λ

(C)

_LTB.-Mn=Mcr < Mp (Mcr se calcula con la ec. 5.106)

WLB Trabes armadas(Ap.G,ref.5.14)

Sec. Laminados.-Mcr=1406200 Sx/ 2<MpλSec. Soldadas.-Mcr=1842100 kcSx/ 2<Mpλ

FLB__

LTB.-Mn=Cb Mp-(Mp-Mr)(p ) <Mp (Ec. 5.97)λ-λ _

λr-λp

FLB y WLB.-Mn=Mp-(Mp-Mr)(p ) (Ec.104)λ-λ

λ r- pλ

LTB.-Lb/ryFLB.-b/2tWLB.-h/ta

LTB.-FLSxFLB.-FLSxWLB.-FypSx

Fig. 5.43 Resistencia nominal en flexión de vigas de seccióntransversal Ι, Τ y [ (ref. 5.14).

La relación de esbeltez λpd = Lpd/ry corresponde a la longitud máxima sin soporte lateral,en las zonas de formación de articulaciones plásticas, para la que todavía puedeutilizarse la teoría plástica; se obtienen capacidades de rotación del orden de 3 ó 4, queson suficientes en la mayoría de los casos. Ese límite no es aplicable a las otras dos

118 Flexión 2 (Pandeo lateral)

formas de pandeo porque la esbeltez λp garantiza capacidades de rotación del mismoorden, después de alcanzar Mp y antes de que se inicie el pandeo local. Porconsiguiente, para que se pueda utilizar la teoría plástica han de satisfacerse lascondiciones λ ≤ λpd, a ambos lados de las articulaciones, para LTB, y λ < λp para FLB yWLB.

Las capacidades de rotación mencionadas pueden ser insuficientes en estructuras quese construirán en zonas de alta sismicidad; cuando ese sea el caso, véanse los artículos3.7.1 y 3.10.3 del Capítulo 3.

Si el cociente Lb/ry está comprendido entre λpd y λp la sección desarrolla el momento Mp,pero el pandeo lateral reduce la capacidad de rotación a valores insuficientes paradiseño plástico.

5.8.1 Resistencia de diseño

5.8.1.1 Casos en que ninguna forma de pandeo es crítica. (Tramo AB, Fig. 5.43)

El estado límite es por flujo plástico.

a) La capacidad de rotación es suficiente para diseño plástico (λ≤ λpd para LTB, λ<λp para FLB y WLB).

La resistencia de diseño en flexión es φb Mn = φbMp, donde φb = 0.90 y

Mp = Zx Fy ≤ 1.5 My (5.94)

My es el momento correspondiente al inicio del flujo plástico, sin tener en cuentaesfuerzos residuales = FyS.

Limitando Mp a 1.5My se controlan las deformaciones inelásticas, bajo cargas de servicio,de secciones con factor de forma f = Mp/My mayor que 1.5, como las secciones I y Hflexionadas alrededor del eje de menor momento de inercia.

φb es el factor de reducción de la resistencia y Mn el momento resistente nominal.

Las esbelteces máximas hasta las que puede utilizarse el diseño plástico son:

LTB.- λ = Lb/ry = Lpd/ry = λ pd

FLB.- λ = bP/2tP = 0.382 E / F = y pλ

WLB.- λ = h/t = 3.758 E / F = y pλ

Flexión 2 (Pandeo lateral) 119

Para secciones I con dos ejes de simetría o con uno solo, con el patín de compresiónigual o mayor que el de tensión, cargadas en el plano del alma, λpd es igual a

λpd =

0.076 + 0.124 = r

L(5.95)

Fy es el esfuerzo mínimo de fluencia del patín comprimido, en Kg/cm2, M1 y M2 el menory el mayor de los momentos en los extremos del tramo no contraventeado, y ry el radiode giro alrededor del eje de menor momento de inercia; M1/M2 es positivo cuando eltramo se flexiona en curvatura doble, y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M2suele ser el momento plástico de la sección.

En estructuras que se construirán en zonas de alta sismicidad, diseñadas con fuerzaslaterales disminuidas por comportamiento inelástico, la ec. 5.95 se sustituye por

λpd = yy

0.086 = r

L(5.96)

b) La capacidad de rotación no es suficiente para diseño plástico.

λpd < (λ = Lb/ry) ≤ λp; λ ≤ λp para FLB y WLB.

La resistencia de diseño sigue siendo φbMp, pero la longitud libre es mayor que laadmisible en diseño plástico.

5.8.1.2 Estados límite de pandeo lateral o local (λ > λp)

Cualquiera de las formas de pandeo puede iniciarse en el intervalo elástico (λ ≥ λr, Fig.5.43) o fuera de él (λp < λ < λr).

La resistencia de diseño es el menor de los productos φbMn, donde φb = 0.90 y Mn elmomento resistente nominal correspondiente a cada estado límite de pandeo.

La resistencia nominal en flexión, Mn, para cada estado límite, se determina como sigue:

5.8.1.2.1 Pandeo inelástico (λp < λ ≤ λr)

El momento nominal de pandeo inelástico se obtiene con buena precisión representandoel fenómeno con la línea recta que une los puntos B (λp, Mp) y C (λr, Mr) (Fig. 5.43).

a) Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión (LTB)

120 Flexión 2 (Pandeo lateral)

Mn = Cb ppr

prpp M

- -

)M- (M- M ≤

λλ

λλ (5.97)

ypy

pp F

E1.762 =

= λ (5.98)

2L2

rr F X + 1 + 1

= rL

= λ (5.99)

Mr = FL Sx (5.100)

FL es el menor de los valores (Fyp - Fr) o Fya.

X1 = 2

EGJA

S X

π (5.101)

X2 = 4 2

GJS

(5.102)

Cb es un factor correctivo para momentos flexionantes no uniformes entre las seccionesextremas, soportadas lateralmente, del tramo en estudio, dado por

Cb = CB Amáx

máx

M3 + 4M M3 + M2.5 M12.5+

(5.103)

donde

Mmáx = valor absoluto del momento máximo en el tramo sin soporte lateral.

MA, MB, MC = valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y el tercercuarto del tramo sin soporte lateral.

Cb puede tomarse, conservadoramente, igual a 1.0, en todos los casos. En vigas envoladizo con el extremo libre no contraventeado, Cb = 1.0.

La ec. 5.103 es la 5.34, ligeramente modificada.

Cuando el momento varía linealmente a lo largo del tramo sin contraventeo, Cb puedecalcularse con la ec. 5.32, que se recomendaba en normas anteriores del AISC; sigueutilizándose en las refs. 5.12, 5.15 y 5.16.

Flexión 2 (Pandeo lateral) 121

λ = Lb/ry; Lb es la distancia entre puntos en los que el patín comprimido está soportadolateralmente, o entre secciones provistas de un contraventeo que evite eldesplazamiento lateral y la rotación.

Fyp y Fya son los esfuerzos de fluencia de los aceros del patín comprimido y del alma,respectivamente, y Fr es el esfuerzo residual máximo de compresión en los patines, iguala 10 Ksi (700 Kg/cm2) en perfiles laminados, y a 16.5 Ksi (1160 Kg/cm2) en seccionessoldadas. Mr es, por consiguiente, el momento para el que empieza a plastificarse lasección, teniendo en cuenta los esfuerzos residuales de fabricación que hay en ella.

Las expresiones anteriores son válidas para miembros de sección I, con dos o con uneje de simetría, con el patín comprimido igual o mayor que el de tensión, y para canalescargadas en el plano del alma.

En la ref. 5.14 se proporcionan también recomendaciones para secciones en cajón ypara secciones rectangulares macizas, flexionadas alrededor de su eje de mayormomento de inercia.

Las ecs. 5.98 y 5.99 sólo son aplicables cuando Cb = 1.0.

X1 y X2 están tabulados en la ref. 5.22 para todas las secciones laminadas H e I queaparecen en ella. También están tabuladas las longitudes Lr y Lp de las secciones quese utilizan como vigas.

b) Estados límite de pandeo local del patín comprimido o del alma (FLB o WLB).

Mn= Mp - (Mp - Mr)

- - λλ

λλ(5.104)

Para FLB, λp = 0.382 Lry; E/F0.828/ = ,E/F λ para secciones laminadas; Lcr FEk0.951 = λ parasecciones soldadas; Mr = FLSx.

Para WLB, λP = 3.758 ;yry E/F5.696 = ,E/F λ Mr = FypSx

kc = 4/ h / ta , pero 0.35 ≤ kc ≤ 0.763.

El factor kc tiene en cuenta la interacción del pandeo local de patines y alma.

Para un perfil dado, Mn (ec. 5.104) es una cantidad fija, independiente de la longitud libreLb, puesto que Mp, Mr, λ, λp y λr son función, exclusivamente, de las característicasgeométricas y mecánicas del perfil.

122 Flexión 2 (Pandeo lateral)

5.8.1.2.2 Pandeo elástico (λ > λr)

a) Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión (LTB).

Mn = Mcr ≤ Mp (5.105)

Mcr es el momento crítico de pandeo elástico, que se determina con la ecuación.

Mcr = Cb 2yb

xbay

b )/r2(LXX

+ 1 /rLXSC

=CILE

+ GJEIL

ππ (5.106)

Esta expresión es válida para secciones I, T y C.

b) Estado límite de pandeo local del patín comprimido (FLB).

Mn = Mcr = Sx Fcr (5.107)

Fcr = 20.690Eλ

para perfiles laminados

= 2ck 0.903E

λ para miembros hechos con placas soldadas.

c) Estado límite de pandeo local del alma (WLB).

Cuando λ > λr = 5.696 ypE/F el elemento es una trabe armada (Apéndice G, ref. 5.14).

5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0

Con el coeficiente Cb se incluye en las fórmulas, de manera aproximada, la influencia dela ley de variación del momento sobre la resistencia de las vigas al pandeo lateral porflexotorsión. Esa variación influye también en la resistencia al pandeo local, del patíncomprimido o del alma, pero su efecto es mucho menos significativo en estos casos, porlo que Cb no aparece en las fórmulas que proporcionan las resistencias de diseñocorrespondientes. Por este motivo, lo que sigue se refiere sólo al estado límite depandeo por flexotorsión.

Cuando Cb es mayor que uno, la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión se obtienemultiplicando la resistencia básica, que corresponde a Cb = 1.0, por Cb, teniendo encuenta que el momento resistente nominal, Mn, no puede exceder de Mp (Fig. 5.44).

En la figura se observa que los valores de Lp y Lr, dados por las ecs. 5.98 y 5.99, sólotienen significado físico cuando Cb = 1.0; si Cb > 1.0 puede alcanzarse el momento Mp

Flexión 2 (Pandeo lateral) 123

con longitudes no contraventeadas más grandes (L’p > Lp), y aumenta también la longitudLr, llegando, incluso, a desaparecer la región de pandeo inelástico.

(1) En este tramo se alcanza Mp pero no se tiene capacidad de rotaciónsuficiente para usar el perfil en diseño plástico.

Ec. 5.97

Ec. 5.97 con

Mr.Cb

0 Lpd Lp Lr L’p Lb

Diseñoplástico

(1)Cb=1.0

Ec. 5.106 conCb=1.0

Cb>1.0

Mp LTBinelástico Cb=1.0

(Resist. básica)

Resist. básica x Cb(Ec. 5.106)

LTBelástico

Fig. 5.44 Influencia del coeficiente Cb en la resistencia al pandeolateral por flexotorsión.

Si Cb es mayor que la unidad se presenta alguno de los casos indicados en la Fig. 5.45.(Recuérdese que Lp es la longitud libre máxima para la que la viga puede desarrollar elmomento plástico, Mp, y Lr la que separa el pandeo inelástico del elástico, ambas paramomento uniforme, es decir, para Cb = 1.0).

La frontera entre los dos casos corresponde a

Mr Cb = Mp ∴XL

pb SF

ZF =

= C

La resistencia nominal de la viga se conserva igual a Mp hasta que Lb = Lr; paralongitudes libres mayores el pandeo es elástico; desaparece la zona de pandeoinelástico. En estas condiciones, L’p = Lr, donde L’p es la longitud no contraventeadamáxima hasta la que Mn es igual a Mp, teniendo en cuenta el efecto benéfico de lavariación del momento flexionante.

124 Flexión 2 (Pandeo lateral)

En perfiles laminados de acero A36, Cb = x

700 - 2530

2530 = 1.383 f (Si se supone que el factor

de forma f vale 1.12, Cb = 1.55).

En vigas del mismo acero, soldadas, x

1160 - 2530

2530 = 1.847 f (Para f = 1.12, Cb = 2.07).

Las longitudes (L’p)1 y (L’p)2 para las que la viga puede resistir, todavía, el momento Mp,se obtienen, respectivamente, igualando las ecs. 5.106 y 5.107 a Mp, y despejando Lb decada una de ellas.

Mr.Cb>Mp (caso 1)

Mr.Cb=Mp

Mr.Cb<Mp (caso 2)

Lpd Lp Lr(L’p)2 (L’p)1 Lb

Ec. 5.97, conCb=1.0

Cb=1.0Cb>1.0

Ec. 5.106, con Cb=1.0

Fig. 5.45 Curvas Mn – Lb cuando Cb > 1.0.

Si Cb tiene un valor mayor que los calculados arriba, (L’p)1 es mayor que Lr, de maneraque Mn se conserva igual a Mp hasta que se inicia el pandeo elástico. Si, en cambio, esmenor, Lp < (L’p)2 < Lr; se amplía la zona correspondiente a Mn = Mp con respecto al casoen que Cb = 1.0, pero sigue habiendo un intervalo de longitudes libres en el que elpandeo es inelástico.

EJEMPLO 5.14 La viga libremente apoyada de la Fig. E5.14.1, de 8 m de claro, debesoportar las cargas de trabajo, muerta y viva, que se indican. El piso proporcionasoporte lateral continuo al patín superior. Escoja el perfil W más económico de laref. 5.22, utilizando acero grado 50, con Fy = 3515 Kg/cm2. Utilice las normas delas refs. 5.14 y 5.16.

Como el patín superior de la viga está soportado lateralmente en toda su longitud,el pandeo lateral no es crítico. Los estados límite de resistencia que deben

Flexión 2 (Pandeo lateral) 125

revisarse son el de agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección crítica(la viga es isostática, y no puede haber redistribución de momentos), el deresistencia del alma al cortante y, dependiendo de las características geométricasdel perfil que se emplee, los de pandeo local. Además, ha de revisarse el estadolímite de servicio de deflexiones.

Carga muerta=1.0 T/mCarga viva=2.0 T/m

L=8.00 m

a) Geometría y cargas

b) Sección transversal: W14x43(acotaciones en cm)

tp=1.35

h=32.0

tp=1.35

k=3.33

d=34.7

ta=0.77

dc=28.04

k=3.33

b=20.3

Fig. E5.14.1 Viga del ejemplo 5.14.

a) Ref. 5.27.

Acciones de diseño. Wu = 1.2 x 1.0 + 1.6 x 2.0 = 4.4 T/m.

máxu )M( = 4.4 x 82/8 = 35.2 Tm ; máxu )V( = 4.4 x 8/2 = 17.6 Ton.

Diseño por flexión. Debe satisfacer la condición MR ≥ Mu.

Si la sección es tipo 1 o 2, el momento resistente vale MR = FR Mp = FR Z Fy ≤ 1.5 FR SFy.

Se requiere un módulo de sección plástico Z no menor que

FR Z Fy = Mu ∴ Z = 3515 x 0.910 x 35.2

= FF

M 5

u = 1113 cm3

126 Flexión 2 (Pandeo lateral)

Una W14” x 43 lb/pie, con Z = 1140 cm3, es el más ligero de los perfiles de la ref.5.22que cumple el requisito.

En este caso, FRZFy = 0.9 x 1140 Fy x 10-5 = 36.1 Tm ≤ 1.5 FR SFy = 1.5 x 0.9 x 1027 Fy x 10-5 = 48.7Tm.

Clasificación de la sección. En la Fig. E5.14.1 se muestran las dimensiones de lasección escogida.

Patines. b/2tp = 20.3/(2 x 1.35) = 7.5 < 0.38 E /FY = 9.2

Alma. dc/ta = 28.0/0.77 = 36.4 < 3.76 E /FY = 90.6

Como la sección es compacta puede desarrollar el momento Mp ∴ La sección escorrecta.

Revisión por cortante.

dc/ta = 36.4 < 2.45 YE/F = 59.1 ∴ VR = 0.6 Fy Aa = 0.6 x 3515 x 34.7 x 0.77 x 10-3 = 56.4 Ton > Vu = 17.6 Ton.

El área del alma se toma igual al producto de su grueso por el peralte total delperfil.

La viga está muy sobrada por cortante, lo que sucede casi siempre en este tipo deproblemas.

Estado límite de deflexiones. La ref. 5.27 no proporciona valores límiteespecíficos de las deflexiones, por lo que se utilizarán los de la ref. 5.24. Deacuerdo con ella, la flecha máxima, producida por cargas de servicio, no debeexceder de L/240 + 0.5 cm, donde L es el claro de la viga.Flecha máxima admisible =

240800

+ 0.5 = 3.83 cm.

Flecha máxima producida por las cargas de servicio

∆máx = 17815E

800 x 30

3845

= EIL

384

5 44ω = 4.40 cm > 3.83.

La flecha máxima es un poco mayor que la admisible; se escogerá un perfil demomento de inercia mayor, probablemente conservando el peralte, puesto que elincremento requerido es pequeño.

Inec = 17815 x 4.40/3.83 = 20 466 cm4

1W 14” x 48 lb/ft (I = 20187 cm4 ≈ 20 466)

Flexión 2 (Pandeo lateral) 127

Según el destino del piso del que forma parte la viga, podría ser necesario revisarel estado límite de vibraciones; si no se cumple, convendría, seguramente,escoger un perfil de mayor peralte.

Los estados límite de deflexiones y vibraciones son más críticos cuando, como eneste ejemplo, se utiliza un acero de resistencia elevada. Si se hubiese usadoacero A36, la flecha máxima habría quedado, sin duda, por debajo de la máximapermisible.

b) Ref. 5.16. En este caso las normas de esta referencia son casi iguales alas de la ref. 5.27, por lo que al aplicarlas se llega a los mismos resultados. No sepresentan los cálculos correspondientes.

EJEMPLO 5.15 Revise el perfil escogido por resistencia en el ejemplo 5.14 en los doscasos siguientes:

I) La viga no tiene ningún soporte lateral entre los apoyos.II) La sección central de la viga está soportada lateralmente.

Los apoyos tienen soporte lateral adecuado en los dos casos.

Utilice las normas de las refs. 5.14 y 5.16.

Aunque en el ejemplo 5.14 se aumentó ligeramente el perfil para satisfacer elestado límite de deflexiones, aquí se conserva la sección necesaria porresistencia, para estudiar la influencia del tipo de soporte lateral. Si, al disminuirlas restricciones laterales, fuese necesario escoger un perfil mayor, es probableque se cumpla automáticamente el estado límite de deflexiones.

En el ejemplo 5.14 se ha demostrado que la sección es compacta.I) La viga no tiene soportes laterales entre los apoyos.

Las propiedades de interés de la sección transversal de la viga son:

W14” x 43 lb/ft

A = 81.3 cm2; Ix = 17815 cm4; Iy = 1881 cm4; Sx = 1027 cm3 ; Zx = 1140 cm3 ;

J = 43.7 cm4 ; Ca = 523 645 cm6 ; GJECa = 176.0 cm.

Los valores de las constantes de torsión se han tomado de la ref. 5.22; si no secuenta con ellos, para secciones I hechas con placas soldadas, por ejemplo,pueden calcularse con las fórmulas aproximadas, que se utilizan aquí con finesilustrativos.

128 Flexión 2 (Pandeo lateral)

Ec. 5.6a J = 31

∑bt3 = 31

(2 x 20.3 x 1.353 + 32.0 x 0.773) = 38.2 cm4.

Fig. 5.10. Ca = 4

2'2y 33.4 x 1881

= 4dI

= 523 023 cm6

El valor de Ca es prácticamente igual al tabulado, y J es algo menor. En lo quesigue se utilizan las constantes de la ref. 5.22.

a) Ref. 5.16.

Acciones de diseño. WD = (1.0 + 2.0) 1.4 = 4.2 T/m ; (MD)máx = 4.2 x 82/8 = 33.6 Tm ; (VD)máx

= 4.2 x 8/2 = 16.8 Ton.

Diseño por flexión. Como primer paso se determina la longitud Lu, para saber siel pandeo lateral es o no crítico.

El momento en el centro del tramo sin soporte lateral es más grande que el mayorde los momentos en los extremos (que son nulos), de manera que C = 1.0.

Xu = 4.293 C 8.38 = 1881

645 523

7784000x43.3515 x 1140

x 1 x 4.293 = IC

GJZF

Ec. 5.54

Lu = cm. 286.7 = 8.38 + 1 + 1 176.0 x 2

= X + 1 + 1 GJECa

22u

u 38.82 ππ

L = 800 cm > Lu = 286.7 cm ∴ Es crítico el pandeo lateral por flexocompresión.

Resistencia de diseño. El estado límite es de pandeo lateral por flexotorsión y lasección es tipo 1, con dos ejes de simetría, de manera que la resistencia dediseño se calcula como sigue:

Ec. 5.50.

Mu =

ay C L

+ 2.6J

I CL

E 2ππ =

523645800

+ 2.6

43.7 1881

1.0x800E 2ππ

x 10-5 = 17.32 Tm.

Puede utilizarse también la expresión aproximada 5.51:

Mu = 2c2

2c1 M + M

Flexión 2 (Pandeo lateral) 129

Ec. 5.52. Tm 13.43 = 10 x 800/4.8

1.35E x 31.3 =

L/rEAt

M 5-

yc =1

Ec. 5.53. Tm. 9.73 = 10 x (800/4.8)

4.7E4.7x81.3x3 =

)(L/r4.7EAd

= M 5-2

yc2 2

Mu = Tm. 16.58 = 9.73 + 13.43 220.1

Las contribuciones de las dos formas de torsión son parecidas, aunque es unpoco mayor la correspondiente a la torsión de Saint Venant.

Las fórmulas aproximadas (ecs. 5.51 a 5.53) y la exacta (ec. 5.50) proporcionanresultados muy semejantes; las ecuaciones aproximadas no tienen, en realidad,ninguna ventaja.

Mp = Z Fy = 1140 x 3515 x 10-5 = 40.1 Tm.

Mu = 17.32 Tm < 23

Mp = 26.7 Tm ∴ El pandeo se inicia en el intervalo elástico.

MR = FR Mu = 0.9 x 17.32 = 15.6 Tm < 33.6

El perfil del ejemplo 5.14 sin ningún soporte lateral entre los apoyos no esadecuado para resistir las cargas que actúan en él.

b) Ref. 5.14.

Ec. 5.98 Lp = 1.762 ry/ m 8.00 =L < cm 203.7 = E/F4.8 x 1.762 = E/F yy

Ec. 5.99 Lr = 2L2

1yFX + 1 + 1

FXr

De la ref. 5.25, X1 = 163 119 Kg/cm2, X2 = 0.991 x 10-6 ( )[ ]2Kg/cm1/

FL = Fy - Fr = 3515 - 700 = 2815 Kg/cm2

Lr = 2-6 2815 x 10 x 0.991 + 1 + 1 2815

119 163 x 4.8 = 554.6 cm < L = 800 cm

El pandeo se inicia en el intervalo elástico.

Resistencia nominal en flexión Mn = Mcr = 17.32 Tm < Mp

Mcr es igual a Mu, calculado arriba.

130 Flexión 2 (Pandeo lateral)

RF Mn = 0.9 x 17.32 = 15.76 Tm < 35.2 Tm. El perfil ensayado está muy escaso.

El momento de diseño Mu = 35.2 Tm se obtuvo en el ejemplo 5.14.

II) La sección central de la viga está soportada lateralmente. (L = 4.00 m).

a) Ref. 5.16

Este problema se resolverá sin calcular las longitudes características.

C = 0.60, pues M1/M2 = 0. M1 es el momento en un extremo, libremente apoyado, dela viga, y M2 el momento en el centro del claro.

Mu = Tm. 81.1 = 10 x 400

+ 2.643.7

1881 0.6x400

E = C

L +

2.6J

I CL

E 5-ay

52364522 ππππ

Mu = 81.1 Tm > 23

Mp = 26.7 Tm ∴ El pandeo se inicia en el intervalo inelástico.

Ec. 5.48 MR = 1.15 FR Mp

81.10.28x40.1

- 1 40.1 x 0.9 x 1.15 = M

0.28M -

p1 = 35.8 Tm <

FRMp = 0.9 x 40.1 = 36.1 Tm.

MR = 35.8 Tm > MD = 33.6 Tm.

El perfil del ejemplo 5.14 con la sección central soportada lateralmente escorrecto.

b) Ref. 5.14

Lp = 203.7 cm < Lb = 400 cm < Lr = 554.6 cm.

Es crítico el pandeo lateral, que se inicia en el intervalo inelástico.

MA=

15.4

MB=

26.4

Mc=

33.0

M35

2Tm

1m 1m 1m 1m

Lb=4 m

Fig. E5.15.1 Cálculo del coeficiente Cb.

Flexión 2 (Pandeo lateral) 131

Ec. 5.103 Cb= = 3M + 4M + 3M2.5M

M 12.5CBAmáx

máx+

1.30 = 33.0 x3 26.4 x4 15.4 x3 35.2 x 2.5

35.2 x 12.5+++

Los momentos de la ecuación anterior aparecen en la fig E5.15.1

Resistencia nominal en flexión (ec. 5.100): M= FLSx = 2815 x 1027 x 10-5 = 28.9 Tm.r

Ec.5.97

Mn=Cb ( ) ( ) = 203.7-400 28.9- 40.1- 40.11.30 = L- LL- L

M- M- Mpr

pbrpp

−

7.2036.554

p M> Tm 44.0 = = 40.1 ∴ Mn = 40.1 Tm.

FR Mn = 0.9 x 40.1 = 36.1 Tm > 35.2 ∴ El perfil es adecuado.

Al soportar lateralmente la sección media de la viga crece su resistencia alpandeo por dos motivos: a) disminuye la longitud libre de pandeo y b), crece elcoeficiente Cb (o 1/C, cuando se aplican las normas de la ref. 5.16).

EJEMPLO 5.16 Revise si la sección W18” x 76 lb/ft de la Fig. E5.16.2 (ref. 5.22) esadecuada para la viga de la Fig. E5.16.1. Los apoyos y los puntos de aplicaciónde las cargas están soportados lateralmente. El acero es A36. Las cargasindicadas son nominales (o de trabajo), y los diagramas de elementos mecánicoscorresponden a ellas.

Clasificación de la sección (Tabla 3.6, art. 3.10.2.1)

Patines. p2t/b =28.03/(2 x 1.73) = 8.10 < 0.32 yE/F = 9.1

Alma. dc/ta = 39.3/1.08 = 36.4 < 2.45 yE/F = 69.6

La sección es tipo 1; no hay problemas de pandeo local. Deben revisarse losestados límite de pandeo lateral por flexotorsión y de resistencia del alma alcortante.

132 Flexión 2 (Pandeo lateral)

A B CD

12.0 Ton

7.30 m 8.50 m 6.50m15.80 m

5.2 Ton

+31.51

-33.80M

(TM)

V(Ton)4.32

7.685.20

Fig. E5.16.1 Cargas ydiagramas de elementosmecánicos (nominales).

3.5

dc=39.3 d=46.3

ta=1.08

tp=1.73

b=28.03

A=143.87 cm2

Ix=55360 cm4; 5x=2393 cm3

Zx= 2671 cm3

Iy=6327 cm4; ry=6.63 cmJ=117.8 cm4

Ca=3141 870 cm6

Acotaciones en cm

Fig. E5.16.2 Dimensiones y propiedadesgeométricas de la sección W18´´x76 lb/ft.

Revisión de la resistencia al pandeo lateral

Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del D. F. (Ref. 5.16)

Se toma Fc = 1.4.

Tramo BC. Este es, probablemente, el que se encuentra en peores condiciones,por lo que se revisará primero.

Longitudes características (Ecs. 5.54 y 5.55).

C = 0.6 (El momento en un extremo es nulo).

Xr = 6327

870 141 3

117.8 x 7840002530 x 2671

x 0.6 x 34

= IC

GJZF

C 34

ay = 1.305

Xu = 3.220 Xr = 4.202

1.612 = J

C 2.6 =

(E/2.6)JEC

= GJEC aaaa

Lu = 22u

u4.202 + 1 + 1

117.8870 141 3

1.612 x 4.202

2 = X + 1 + 1

1.612 x X2 ππ = 642.0 cm

Lr = 22r

r1.305 + 1 + 1

117.8870 141 3

1.612 x 1.305

2 = X + 1 + 1

1.612 x X2 ππ = 1 457.4 cm

Puesto que (Lu = 642 cm) < L = 650 cm < (Lr = 1457.4 cm), el pandeo se presentaen el intervalo inelástico, y MR se calcula con la ec. 5.48.

Flexión 2 (Pandeo lateral) 133

Resistencia de diseño

Ec. 5.50

Mu = Tmx870 141 3 650

+ 2.6

117.8 6327

650 x 0.6E

= CL

+ 2.6J

I CL

E-5

ay 3.14210 522

−ππππ

Mp = 2671 x 2530 x 10-5 = 67.6 Tm

Ec. 5.48

MR = 1.15 FR Mp

M M0.28

- 1 = 1.15 x 0.9 x 67.6

142.367.6 x 0.28

- 1 =

= 60.7 Tm < 0.9 Mp = 60.8

Como L es muy poco menor que Lu, el momento resistente MR es casi igual aFRMp.

Las longitudes Lu y Lr no son necesarias en un problema como éste, en el quepueden aplicarse directamente las ecuaciones.

Mu = 142.3 Tm > (2/3) Mp = 45.1 Tm

Se aplica la ec. 5.48, y se obtiene MR = 60.7 Tm

El tramo ensayado está sobrado, pues MR = 60.7 Tm > Mu = 33.8 x 1.4 = 47.3 Tm(47.3/60.7 = 0.779)

El tramo BC es seguramente el crítico; sin embargo, para completar el problemase revisarán los otros dos.

Tramo AD. L = 7.30 m.

Tm 118.3 = 10 x 870 141 3 730

+ 2.6

117.8 6327

730 x E

M 5-u

6.0ππ

MR = 1.15 x 0.9 x 67.6

118.367.6 x 0.28

- 1 = 58.8 Tm > 1.4 x 31.51 = 44.1 Tm

Tramo DB. L = 8.50 m ; C = 0.6 - 0.4 33.8031.51

= 0.227 < 0.4 ∴ C = 0.4

Mu =

870 141 3 850

+ 2.6

117.8 6327

850 x 0.4E 2ππ

x 10-5 = 140.8 Tm

134 Flexión 2 (Pandeo lateral)

MR = 1.15 x 0.9 x 67.6

140.867.6 x 0.28

- 1 = 60.6 Tm > 47.3 Tm

El perfil ensayado está sobrado.

Normas AISC-ASD 89 (ref. 5.12)

Tramo BC. L = 6.50 m

= 2530

28.03 x 637 =

F637b

y355 cm < L = 6.50 m; Cb = 1.75, pues M1/M2 = 0

Fb = 2Kg/cm 2379 = 1.73) x 346.3/(28.0 x 650

1.75 x 843720 > 0.6 Fy ∴ Fb = 0.6 Fy = 1518 Kg/cm2

fb = Mmáx/Sx = 33.8 x 105/2393 = 1412 Kg/cm2 < 1518 (1412/1518 = 0.930)

El perfil propuesto está sobrado; no es necesario revisar los otros tramos.

Obsérvese que al revisar la sección con las recomendaciones de la ref. 5.16 seencuentra que está mucho más sobrada que con la ref. 5.12.

Normas AISC-LRFD (ref. 5.14)

Se toma Fc = 1.4 (valor propuesto en la ref. 5.16)

Tramo BC. L = 6.50 m. Mmáx = 33.8 x 1.4 = 47.32 Tm.

Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 5.14).

Patines. b/2tp = 8.10 < 0.38 yE/F = 10.8

Alma. dc//ta = 36.4 < 3.76 yE/F = 106.7

La sección es compacta; no es necesario revisar los estados límite de pandeolocal de alma o patines.

Ec. 5.98 Lp = 2516 ry/ yF = 2516 x 6.63/ 2530 = 331.5 cm < L = 6.50 m.

Debe revisarse el estado límite de pandeo lateral por flexotorsión.

De la ref. 5.22: X1 = 2180 Ksi = 153 276 Kg/cm2 ; X2 x 106 = 6520 (1/Ksi)2 = 1.319 (1/(Kg/cm))2

X2 = 1.319 x 10-6

FL = Fy - 700 = 1830 Kg/cm2 ; Mr = FLSx = 1830 x 2393 x 10-5 = 43.8 Tm.

Flexión 2 (Pandeo lateral) 135

Lr = 26-2L2

1y1830 x 10 x 1.319 + 1 + 1

1830153276 x 6.63

= FX + 1 + 1 FXr

= 1013 cm > L = 6.50 m Ec. 5.99

Cb = 1.75

Ec. 5.92 Resistencia nominal

Mn = Cb ( ) = L - LL - L

M- M - Mpr

prpp

=1.75 ( )

− 331.51013331.5-650

43.8 - 67.6 - 67.6 = 98.8 Tm > Mp

∴ Mn = Mp

Resistencia de diseño = φb Mn = 0.9 x 98.8 = 88.9 Tm > Mmáx = 47.32 Tm

El perfil propuesto está sobrado; no es necesario revisar los otros tramos.

Revisión de la resistencia al cortante

VD = 7.68 x 1.4 = 10.75 Ton.

Ref. 5.16.

h = 46.3 - 2 x 1.73 = 42.84 cm. 25305.0

1400 = Fk

1400 < 39.7 = 1.0842.84

= th

ya = 62.2

∴ VN = 0.66 Fy Aa

Resistencia de diseño VR = FR VN = 0.9 x 0.66 x 2530 x 46.3 x 1.08 x 10-3 = 75.1 Ton >> 10.75 Ton

Como en la mayoría de los problemas reales, el estado límite de resistencia alcortante no es crítico.

136 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.9 VIGAS DE PAREDES DELGADAS

De acuerdo con las normas AISI para diseño por factores de carga y resistencia (ref.5.13), la resistencia de diseño φbMb de tramos no contraventeados lateralmente de vigasde sección transversal con dos ejes de simetría8, que fallan por pandeo lateral, sedetermina con φb = 0.9, y Mn se calcula como sigue:

Mn = Mc f

SS (5.108)

donde

Sf = módulo de sección elástico de la sección transversal completa, respecto a la fibraextrema en compresión.

Sc = módulo de sección elástico de la sección transversal efectiva, determinada con elesfuerzo Mc/Sf en la fibra extrema en compresión.

Mc = momento crítico calculado como se indica a continuación.

El momento Mc de secciones I flexionadas alrededor del eje centroidal perpendicular alalma (eje x), se calcula con las ecuaciones siguientes:

Para Me ≥ 2.78 My,Mc = My (5.109)

Para 2.78 My > Me > 0.56 My,

Mc =

yy 36M

10M- 1 M

910 (5.110)

Para Me ≤ 0.56 My,Mc = Me (5.111)

En las expresiones anteriores,

My = momento que ocasiona la iniciación del flujo plástico en la fibra comprimida extrema de la sección transversal completa = Sf Fy (5.112)

Me = momento crítico de pandeo elástico.

En la ref. 5.13 se proporcionan expresiones para calcular Me; cuando se aplican asecciones con dos ejes de simetría, se reducen a las que se han visto aquí.

8 La ref. 5.13 contiene recomendaciones para secciones con un solo eje de simetría y para las que tienenun centro de simetría, como las Z; no se incluyen aquí.

Flexión 2 (Pandeo Lateral) 137

En el art. 5.5.2 se propuso la ec. 5.37 para calcular el momento crítico de pandeoinelástico; es válida cuando Me excede de My/2; en caso contrario, el pandeo se inicia enel intervalo elástico, y el momento crítico se evalúa con la ec. 5.19a del art. 5.4.1.1.

cre

yycr 4M

M - 1 M= M (5.37)

Los resultados que proporciona la ec. 5.37 mejoran sustituyendo My por Mp, para que elmomento crítico de pandeo inelástico tienda a Mp cuando L tiende a cero; suponiendoque Mp = (10/9)My = 1.11 My, y haciendo la sustitución, se obtiene la ec. 5.110, que esválida para Mc mayor que Mp/2 = 1.11 My/2 ≈ 0.56 My ; si Mc ≤ 0.56 My, el pandeo eselástico (ec. 5.111). De manera conservadora, el valor máximo del momento crítico selimita a My, y la ec. 5.110 es aplicable sólo hasta que Mc = My; de esta condición seobtiene el límite Me = 2.78 My, arriba del cual se toma Mc = My (ec. 5.109).

En vigas de paredes delgadas, la interacción del pandeo local de los elementoscomprimidos con el pandeo lateral de conjunto puede ocasionar una disminución en laresistencia al pandeo lateral; el efecto del pandeo local en el momento crítico se toma encuenta con la ec. 5.108.

138 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

5.10 REFERENCIAS

5.1 De Buen, O., “Estructuras de acero, Comportamiento y Diseño”, Limusa, México, D. F., 1980.

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5.4 Vlasov, V. Z., “Thin Walled Elastic Beams”, Moscú, 1959. (Traducido al inglés, Israel Program forScientific Translations, Jerusalén, 1961).

5.5 “The Column Research Council Guide to Design Criteria for Metal Compression Members”, 2a.Ed., B.G. Johnston, editor, John Wiley and Sons, Nueva York, 1966.

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5.10 Allen, H.G., y P.S. Bulson, “Background to Buckling”, McGraw-Hill Book Co. (UK) Ltd., Londres,1980.

5.11 Nethercot, D.A., y N.S. Trahair, “Inelastic Lateral Buckling of Determinate Beams”, J. Str. Div.,ASCE, Vol. 102, Nº ST4, abril de 1976.

5.12 “Specification for Structural Steel Buildings. Allowable Stress Design and Plastic Design” (incluyeComentario), American Institute of Steel Construction, Chicago, Ill., junio de 1989.

5.13 “Specification for the Design of Cold-Formed Steel Structural Members”, edición de 1996, Cold-Formed Steel Design Manual-Part V, American Iron and Steel Institute, Washington, D.C., junio de1997.

5.14 “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings” (incluyeComentario), American Institute of Steel Construction, Chicago, Ill., diciembre de 1993.

5.15 “Limit States Design of Steel Structures”, CAN/CSA-S16.1-94, Canadian Standards Association,Rexdale (Toronto), Ontario, Canadá, diciembre de 1994.

5.16 “Normas técnicas complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”, GacetaOficial del Distrito Federal, México, D. F., febrero de 1995.

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Flexión 2 (Pandeo Lateral) 139

5.18 Galambos, T.V., “Proposed Criteria for Load Resistance Factor Design of Steel BuildingStructures”, Boletín Nº 27, American Iron and Steel Institute, Washington, D.C., enero de 1978.

5.19 Manual AHMSA, “Construcción de acero”, Altos Hornos de México, S.A., México, D. F., 1975.

5.20 Trahair, N.S., “Lateral Buckling of Beams and Beam-Columns”, Cap.3 del libro “Theory of Beam-Columns”, Vol. 2, W.F. Chen y T. Atsuta, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1977.

5.21 Trahair, N.S. y M.A. Bradford, “The Behaviour and Design of Steel Structures”, 2a. Ed., Chapmanand Hall, Londres, 1988.

5.22 “Manual of Steel Construction, Load and Resistance Factor Design”, Vol. 1, 2a. Ed., AmericanInstitute of Steel Construction, Chicago, Ill., 1994.

5.23 Salmon, C.G., y J.E. Johnson, “Steel Structures. Design and Behavior”, 3a. Ed., Harper and Row,Nueva York, 1990.

5.24 “Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal”, Diario Oficial, 2 de agosto de 1993(actualizado el 4 de junio de 1997).

5.25 Galambos, T.V., editor, “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, 5a. Ed., John Wileyand Sons, Inc., Nueva York, 1998.

5.26 De Buen, O., “Comentarios, ayudas de diseño y ejemplos de las Normas TécnicasComplementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”, Vol. I., Instituto deIngeniería, UNAM, julio de 1993.

5.27 “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings” (incluyeComentario), American Institute of Steel Construction, Chicago, Ill, diciembre de 1999.

5.28 “Metric Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, AmericanInstitute of Steel Construction, Chicago, Ill., diciembre de 1994.

5.29 “Normas Técnicas complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”,Gobierno del Distrito Federal, México, D. F., 2002 (en preparación).

Fundación ICA es una Asociación Civil constituida conforme a las leyes mexicanas el26 de octubre de 1986, como se hace constar en la escritura pública número 21,127,pasada ante la fe del Lic. Eduardo Flores Castro Altamirano, Notario Público número 33del Distrito Federal, inscrita en el Registro Público de la Propiedad en la sección dePersonas Morales Civiles bajo folio 12,847. A fin de adecuar a las disposiciones legalesvigentes los estatutos sociales, estos fueron modificados el 17 de octubre de 1994,como se hace constar en la escritura pública número 52,025 pasada ante la fe del Lic.Jorge A. Domínguez Martínez, Notario Público número 140 del Distrito Federal.

Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el RegistroNacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia yTecnología, con el número 2001/213 del 29 de agosto de 2001.

Esta edición de "Diseño de estructuras de acero. Flexión 2 (Pandeo lateral)" setermino en agosto del 2002 se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, fuegrabado en Av. del Parque 91 col. Nápoles C.P. 03810 México DF. la edición estuvo alcuidado de Fernando Oscar Luna Rojas, César Arteaga y Carolina Zempoalteca Durán.

Otras publicaciones del Ing. Oscar de Buen López de Heredia

• "Un método para el trazo de líneas de influencia de estructuras hiperestáticas".Ingeniería. Julio 1959.

• "Diseño de columnas de acero cargada axialmente". Ingeniería. Abril 1963.

• "Pandeo lateral de vigas de acero". Ingeniería. Octubre 1963.

• "Diseño de piezas flexocomprimidas de acero estructural". Ingeniería. Abril 1964.

• "Pandeo de placas comprimidas". Ingeniería. Julio 1964.

• Apuntes sobre "Análisis plástico de estructuras de acero". Facultad de Ingeniería.División de Estudios de Superiores. 1964.

• "Plastic desing of a three – story steel frame".Engineerring Journal, AmericanInstitute of Steel Construction (A.I.S.C.), Nueva York. Julio 1965.

• "Estabilidad de placas sujetas a esfuerzos cortantes y esfuerzos normales nouniforme". Ingeniería. Octubre 1965.

• "Diseño de trabes armadas". Ingeniería. Enero 1966.

• "A plastically designed five – story building in México City". (A.S.C.E.) StructuralEngineering Conference. Miami, Florida. Febrero 1966.

• "Un método para el análisis y diseño plástico de marcos de acero para edificios devarios pisos". Ingeniería. Abril 1966

• "Diseño plástico de marcos rígidos de edificios". Ingeniería Civil. Abril, Enero –Febrero 1966.

• "Conexiones para marcos rígidos de acero". Parte I. InvestigacionesExperimentales. Diseño Elástico. Ingeniería. Julio 1966.

• "Conexiones para marcos rígidos de acero". Parte II. Diseño Plástico. Ingeniería.Julio 1967.

• "Diseño plástico de marcos rígidos no contraventeados". II Congreso Nacional deIngeniería Sísmica, S.M.I.S. Veracruz, Ver. Mayo 1968.

• "Estructura de acero de la cubierta del Palacio de los Deportes". Ingeniería.Octubre 1968.

• "Antiseismic Design of Multi – Story Steel Frames by Plastic Methods". IVCongreso Mundial de Ingeniería Sísmica. Santiago, Chile. Enero 1969.

• "Nociones de Metalurgia de la Soldadura". Instituto de Ingeniería U.N.A.M. 1969.

• "A Modification to the Subassemblage Method of Designing Unbraced Multi – StoryFrames". Engineering Journal, American Institute of Steel Construction. (A.I.S.C.).Nueva York. Octubre 1969.

• Secciones F e I (Análisis Estructural y estructuras de Acero), del "Manual deDiseño de Obras Civiles" de la Comisión Federal de Electricidad. Instituto deInvestigaciones de la Industria Eléctrica. México, D, F, 1969.

• "Estudio metalográfico del acero de las aspas del ventilador de un generador de laCentral Hidroeléctrica de Malpaso". (Con Marcos de Teresa y Carral). Instituto deIngeniería. Febrero 1970.

• "Estudios experimentales en el puente Bulevar Aeropuerto". Ingeniería. Julio –Septiembre 1970.

• "Recomendaciones para soldar varillas de refuerzo en estructuras de concreto".Ingeniería. Octubre – Diciembre 1971.

• "Algunas ideas sobre el diseño plástico de marcos de acero en zonas sísmicas". IIICongreso Nacional de Ingeniería. (S.M.I.S.) Acapulco, Gro. Noviembre 1971.

• "Diseño de Columnas en Edificios Altos". Conferencia Regional de Planeación yDiseño de Edificios Altos. México, D.F. Marzo 1973.

• Capítulo de "Diseño de Estructuras Metálicas". Reglamento de las Construccionesdel Distrito Federal. 1973.

• "Efectos de Esbeltez con Relación a los Reglamentos de Diseño Estructural", ConS Gérard. Instituto de Ingeniería, U.N.A.M. Diciembre 1975.

• Discusión del artículo "Inelastic Sway Buckling of Multistory Frames", de F Cheong– Siat – Moy; J. of the Structural Division, Proc. ASCE. Vol. 102, No. ST 12.Diciembre 1976.

• "Treinta Años de Ingeniería Estructural en México". Conferencia Plenaria.Memorias del Primer Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. México, D.F.1977.

• "Un Método para el Diseño Plástico de Marcos no Contraventeados". Memorias delPrimer Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. México, D.F. 1977.

• "A Method for the Plastic Design of Unbraced Multistory Frames". A.I.S.C.Enginnering Journal. Vol. 15 No. 3. American Institute of Steel Construction .Nueva York. 1978.

• "Algunos Comentarios sobre la Evolución de la carrera de Ingeniero Civil en losÚltimos Cincuenta Años". Ingeniería. Vol. XLIX, No. 1, 1979.

• "Evolución de las Especificaciones del Instituto Americano de la Construcción enAcero (A.I.S.C.), para Diseño de Estructuras". Ingeniería, Vol. XLIX, No. 2, 1979.

• "Estructuras de Acero. Comportamiento y Diseño". Libro Publicado por EditorialLimusa. México, D.F. 1980. (673 páginas).

• Cap. 4, "Steel Structures", del libro "Design of Earthquake Resistant Structures",E. Rosenblueth, editor. Pentech Press. Londres, Inglaterra, 1980. (42 páginas).

• "Plastic Design of Unbraced Multistory Steel Frames with Composite Beams",(A.I.S.C.) Engineering Journal, Vol. 17, No. 4. American Institute of SteelConstruction, Chicago, III., 1980.

• "Treinta Años de Ingeniería Estructural en México". Ingeniería. Vol. LI, No. 4, 1981.

• "El Diseño por Viento de Edificios Altos y el Reglamento de las Construccionespara el Distrito Federal". Memorias del III Congreso Nacional de IngenieríaEstructural. Morelia, Mich. Marzo 1982.

• "Diseño de Columnas de Acero Cargadas Axialmente". 1ª. Parte. Ingeniería. Vol.LII, No. 2, 1982.

• "Presente y Futuro de las Estructuras de Acero en México". Ingeniería. Vol. LIII,No. 3, 1983.

• "Evolución de las Normas para el Diseño Sísmico de Estructuras Urbanas deAcero". Memorias del VI Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Puebla, Pue.Noviembre 1983.

• "Diseño de Marcos Rígidos de un Piso de Acero Estructural". Memorias del IVCongreso Nacional de Ingeniería Estructural. León, Gto. Marzo 1984.

• "Evolución de las Normas para Diseño Sísmico de Estructuras Urbanas de Acero".Ingeniería. Vol. LIV. No. 3. 1984.

• "Hacia una racionalización de las Normas para Diseño de Estructuras de Acero".Memorias del 4º. Simposio Nacional de Estructuras Metálicas. México, D.F. Julio1985.

• "Un Cambio de Enfoque en el Diseño Sísmico". Memorias del V CongresoNacional de Ingeniería Estructural. Veracruz, Ver. Mayo 1986.

• "Evolución del Diseño Sísmico en la Ciudad de México". Memorias del 1er.Simposio Nacional de Ingeniería Sísmica. Sociedad Mexicana de IngenieríaSísmica, Ixtapa, Gro. Noviembre 1986.

• "Thoughts on a Different Approach to Seismic Design Codes". The MéxicoEarthquakes – 1985, Proceedings of the International Conference, AmericanSociety of Civil Engineers, Nueva York, 1987.

• "Evolución del Diseño Sísmico de Edificios de Acero". Memoria del VII CongresoNacional de Ingeniería Sísmica. Querétaro, Qro. Noviembre 1987.

• "Las Normas Técnicas Complementarias para el diseño de estructuras metálicasdel Reglamento de las Construcciones para el Distrito .Federal. de 1987".Memorias del 4º. Simposio Internacional de Estructuras de Acero y 5º. SimposioNacional. Morelia, Mich. Noviembre 1987.

• "La Ingeniería Estructural en Zonas Sísmicas". Ingeniería Sísmica. Revista de laSociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. México, D.F., Agosto 1988.

• "Comportamiento Sísmico de Estructuras de Acero y su reflejo en las Normas deDiseño". Memorias del 1er. Simposio de Ingeniería Sísmica. Sociedad Mexicanade Ingeniería Sísmica. Guadalajara, Jal. Noviembre 1988.

• "Los Sismos de Septiembre de 1985". Capítulo 2 del libro "Reto Sísmico".Teléfonos de México. Editorial IDM., S.A. de C.V. México, D.F. Noviembre 1988.

• "Diseño Sísmico de Edificios utilizando Criterios de Estado Límite". Memorias delVIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica y VII Congreso Nacional deIngeniería Estructural. Acapulco, Gro. Noviembre 1989.

• "Análisis de segundo orden de marcos rígidos". Memorias del IX CongresoNacional de Ingeniería Sísmica y VIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural.Manzanillo, Col. Noviembre 1991.

• "Diseño de columnas de acero en marcos con carga gravitacional". Memorias delIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica y VIII Congreso Nacional deIngeniería Estructural. Manzanillo, Col. Noviembre 1991.

• "Column Design in Steel Frames under Gravity Loads". J. of Str. Eng., Vol. 118,No. 10, ASCE. Octubre 1992.

• "Comentarios, ayuda de diseño y ejemplos de las Normas TécnicasComplementarias para Diseño y Construcción de Estructuras Metálicas".Publicación ES –3, Instituto de Ingeniería, U.N.A.M. Julio 1993 (1205 páginas).

• "Efectos geométricos de segundo orden en edificios diseñados con el Reglamentode Construcciones para el Distrito Federal". Memorias del X Congreso Nacional deIngeniería Sísmica. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. Puerto Vallarta, Jal.Octubre 1993.

• "Algunos aspectos del diseño de columnas de acero de acuerdo con elReglamento de Construcciones para el Distrito Federal". Memorias del3er.Simposio Internacional y 4º. Simposio Nacional de Estructuras de Acero.Oaxaca, Oax. Noviembre 1993.

• "Diseño aproximado de marcos rígidos con carga horizontal" Memorias del IXCongreso Nacional de Ingeniería Estructural. Zacatecas, Zac. 29 de Octubre – 1º.De Noviembre 1994.

• "Formación de Ingenieros: educación". Revista de Ingeniería, Vol. XIV, No.4.Facultad de Ingeniería, U.N.A.M. Octubre – Noviembre 1994.

• "Estados límite de servicio". Revista de Ingeniería, Vol. XV, No. 2, Facultad deIngeniería, U.N.A.M. Abril – Junio 1995.

• "Estado del arte del diseño de marcos rígidos de acero de altura media". Memoriasdel 1er. Simposio Argentino sobre el estado del arte de las estructuras de aceropara edificios. Buenos Aires, Argentina. Noviembre 1995.

• "Diseño de columnas en marcos rígidos de acero de altura media". Memorias del4º. Simposio Internacional de Estructuras de Acero. Instituto Mexicano de laConstrucción en Acero. Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural. Universidadde Guanajuato. Guanajuato, Gto. Noviembre 1995.

• "Diseño Sísmico: una visión de la práctica". Memorias del XI Congreso Mundial deIngeniería Sísmica. International Association… for Earthquake Engineering.Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. Acapulco, Gro. Junio 1996 (Publicadotambién en un número especial de "Ingeniería Sísmica", revista de la SociedadMexicana de Ingeniería Sísmica).

• "Comparación de normas norteamericanas para diseño de columnas de acerocomprimidas axialmente". Memorias del Congreso Nacional de IngenieríaEstructural. Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural. Universidad de Yucatán.Mérida, Yuc. Noviembre 1996 (Publicado también en "Ingeniería Civil", OrganoOficial del C.I.C.M., No. 336. Abril 1997.).

• "Estabilidad de marcos, longitud efectiva y diseño sísmico". Memorias del 5º.Simposio Internacional de Estructuras de Acero. Instituto Mexicano de laConstrucción en Acero. Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural. Guadalajara.Jal. Noviembre 1997.

Consejo Directivo de Fundación ICA

PresidenteIng. Bernardo Quintana

VicepresidentesDr. Francisco Barnés de CastroDr. Daniel Resendiz NuñezDr. Julio Rubio OcaIng. Luis Zárate Rocha

Director EjecutivoM. en C. Fernando O. Luna Rojas

Cuerpos Colegiados de los Programas Operativos

Comité de BecasDr. Juan Casillas García de LeónDr. Sergio Gallegos CazaresIng. Miguel Angel Parra Mena

Comité de PremiosDr. Luis Esteva MarabotoIng. Gregorio Farias LongoriaM.I. José Antonio González Fajardo

Comité de PublicacionesDr. Oscar González CuevasDr. Horacio Ramírez de AlbaM.I. Gabriel Moreno PeceroIng. Gilberto García Santamaría González

Comité de InvestigaciónDr. José Luis Fernández ZayasDr. Bonifacio Peña PardoDr. Ramón Padilla MoraDr. Roberto Meli Piralla

Universidad Autónoma del Estado de México

Directorio

Dr. en Q. Rafael López CastañaresRector

Lic. en T. Maricruz Moreno ZagalSecretaria de Docencia

M. en A.P. José Martínez VilchisSecretario de Administración

M. en E.S. Gustavo A. Segura LazcanoCoordinador General de Difusión Cultural

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y DISEÑO

Directorio

Lic. en D.I. Enrique Aguirre HallDirección

M. en Arq. Ma. de Lourdes Ortega TerrónSubdirección Académica

Arq. Ricardo Rolando Cruz JiménezSubdirección Administrativa

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

Mesa Directiva 2001 – 2002

PresidenteIng. José María Riobóo Martín

VicepresidenteIng. José Gaya Prado

Vicepresidente TécnicoDr. Sergio Alcocer Martínez de Castro

SecretarioM. I. José Carlos Arce Riobóo

TesoreroIng. Sergio Escamilla Aguilar

VocalesDr. Mario Rodríguez Rodríguez

Ing. Germán Cervantes HernándezIng. Fernando González Roser

Ing. Héctor Soto Rodríguez

El Ing. Oscar de Buen López de Heredia, termino sus estudios de ingeniería civilen 1952, empezó su carrera como docente con la cátedra "Elasticidad de laConstrucción", seguida de "Estructuras de Acero", "Estructuras Hiperestaticas " y"Análisis y Diseño Estructural". Ha sido profesor de la UNAM y de otras Universidadesen el extranjero.

Tiene reconocimientos por su brillante desempeño profesional, Fundación ICA loreconoció como un Gran Valor Mexicano de la Ingeniería y recibió el Premio Nacionalde Ingeniería.

Tiene un sinnúmero de publicaciones en revistas nacionales y del extranjero, hapublicado un libro y ha participado en varios más.

En los últimos dos años se han publicado por parte de la Fundación ICA lossiguientes títulos:

• Diseño de estructuras de acero. Miembros en Tensión.• Diseño de estructuras de acero. Miembros en Compresión• Diseño de estructuras de acero. Placas.• Diseño de estructuras de acero. Flexión 1 (Vigas sin pandeo lateral).

Ing. Oscar de Buen López de Heredia

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