Download - ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Transcript
Page 1: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΜΣ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΘΗΝΑ 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Σηmicroειώσεις για το ΠΜΣ ∆ιδακτικής

TOPICS IN GEOMETRY

Lecture Notes for Didactics

AMS (2000) Subject Classification

01A20 01A55 01A60

51A05 51A10 51E15

53A04 53A05 58A05

83shy99

COPYRIGHT copy 2015 by Efstathios E Vassiliou

All rights reserved

email address evassilmathuoagrurl httpusersuoagr evassil

Πρόλογος

The Greeks were the first mathematicians who are still lsquorealrsquo to

us toshyday Oriental mathematics may be an interesting curiosity

but Greek mathematics is the real thing The greeks first spoke a

a language which modern mathematicians can understand So

greek mathematics is lsquopermanentrsquo more permanent even than Greshy

ek literature Archimedes will be remembered when Aeschylus is

forgotten because languages die and mathematical ideas do not

G H Hardy [16 σελ 80ndash81]

Ο ι σηmicroειωσεις αυτες αποτελούν microία σειρά εισαγωγικών microαθηmicroάτων σε microερικούς

κλάδους της γεωmicroετρίας ΄Εχουν σκοπό να αποτελέσουν οδηγό για τη microελέτη

ϑεmicroατικών ενοτήτων ϑεωρητικού ενδιαφέροντος για ϕοιτητέςτριες του Μεταπτυχια-

κού Προγράmicromicroατος της ∆ιδακτικής του ΕΚΠΑ Αποτελούν ϐελτιωmicroένη έκδοση των

προηγουmicroένων σηmicroειώσεων microας microε τίτλο laquoΓεωmicroετρία για τη ∆ιδακτικήraquo όπως είχαν

διαmicroορφωθεί microέχρι το 2012

Βασικός στόχος των ενοτήτων που αναφέρονται εδώ είναι να ϕέρουν τοντην α-

ναγνώστηστρια σε επαφή microε διάφορες απόψεις και microεθόδους της γεωmicroετρίας Οι

τελευταίες microπορούν να παίξουν ένα χρήσιmicroο ϱόλο κυρίως από τη σκοπιά της διεύ-

ϱυνσης microερικών ϑεmicroελιωδών εννοιών οι οποίες εκτείνονται πιο πέρα από αυτές που

διδάσκονται στη δευτεροβάθmicroια εκπαίδευση Είναι κοινώς αποδεκτό ότι οη διδά-

σκωνουσα microε ευρεία (και όσο το δυνατόν ϐαθύτερη) γνώση microπορεί να είναι πηγή

έmicroπνευσης για τους microαθητές Μέσα από microικρές παρεmicroβάσεις (ακόmicroη και ιστορικού

v

vi Πρόλογος

περιεχοmicroένου) microπορεί να διεγείρει τη ϕαντασία και το ενδιαφέρον τους microπορεί να

τους ϐοηθήσει να προσεγγίσουν microε περισσότερη αγάπη τον ανεξάντλητο κόσmicroο της

γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα

Στο πρώτο κεφάλαιο microετά από microια συνοπτική αναδροmicroή στη γεωmicroετρία πριν

τον Ευκλείδη αναλύεται η δοmicroή των laquoΣτοιχείωνraquo του γίνεται κριτική των ατελειών

τους αναφέρονται οι αρχές της σύγχρονης αξιωmicroατικής microεθόδου και η χρήση των

laquomicroοντέλωνraquo στον έλεγχο των σχετικών απαιτήσεών της Τέλος γίνεται microια σύντοmicroη

αναφορά στις microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες και παρουσιάζονται microερικά ϐασικά microοντέλα

της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας

Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωmicroένο σε microια στοιχειώδη εισαγωγή στην Προ-

ϐολική Γεωmicroετρία Αυτό γίνεται προκειmicroένου να δοθεί (σε πληρέστερη microορφή) ένα

παράδειγmicroα αξιωmicroατικού συστήmicroατος για microια πολύ γενική microορφή microη Ευκλείδειας

Γεωmicroετρίας ϑεmicroελιωmicroένο σύmicroφωνα microε την άποψη του Hilbert Τα ϐασικά συmicroπε-

ϱάσmicroατα του κεφαλαίου παρουσιάζονται εδώ σε αντιπαράθεση microε τα αντίστοιχα της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και microπορούν να ϱίξουν ϕως στην τελευταία από microιαν άλλη ο-

πτική γωνία Ανάmicroεσα στ᾿ άλλα εξετάζεται και η περίπτωση πεπερασmicroένων επιπέδων

κάτι που συνήθως αγνοείται και τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες Επίσης α-

ναφερόmicroαστε στη σύγχρονη έννοια του laquomicroορφισmicroούraquo που επεκτείνει τη συνήθη έννοια

της απεικόνισης όπως αυτή εφαρmicroόζεται στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου

Τέλος η σύντοmicroη αναφορά στην αναλυτική πλευρά του πραγmicroατικού προβολικού

επιπέδου ϕέρνει τοντην αναγνώστηστρια σε επαφή microε τις οmicroογενείς συντεταγmicroένες

και δίνει microια πρώτη γεύση της αλγεβροποίησης του (τυχόντος) προβολικού επιπέδου

Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή στη ϑεωρία των διαφορισίmicroων καmicroπυλών

microε σκοπό να αναδειχθεί και από άλλη πλευρά η συmicroβολή του ∆ιαφορικού Λογισmicroού

στη microελέτη της γεωmicroετρίας ΄Ηδη οι διδάσκοντεςουσες γνωρίζουν τη σηmicroασία των

παραγώγων στη γεωmicroετρική microελέτη του γραφήmicroατος των (πραγmicroατικών) συναρτή-

σεων microιας (πραγmicroατικής) microεταβλητής Εδώ επιχειρείται η διευρύνση του ϱόλου των

παραγώγων στη microελέτη των καmicroπυλών του τριδιάστατου χώρου (ειδική περίπτωση

των οποίων αποτελεί το γράφηmicroα microιας συνάρτησης όπως προηγουmicroένως) Η laquoστρέ-

ψηraquo και η laquoκαmicroπυλότηταraquo είναι τα δύο ϑεmicroελιώδη microεγέθη που χαρακτηρίζουν τις

καmicroπύλες και microαζί microε το laquoσυνοδεύον τρίεδροraquo των FrenetshySerret καθορίζουν ένα

είδος laquoεσωτερικήςraquo γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

Το τέταρτο κεφάλαιο που αποτελεί και τη σηmicroαντικότερη αλλαγή είναι microία περι-

γραφική περιήγηση στη Θεωρία των Επιφανειών και την εξ αυτών (ϐάσει του Θεωρή-

microατος Egregium του Gauss) απορρέουσα Θεωρία των ∆ιαφορικών Πολλαπλοτήτων

Στόχος της αναφοράς στις τελευταίες είναι να επισηmicroανθεί ο ϱόλος τους στη δια-

τύπωση του χωροχρόνου όπως εmicroφανίζεται στην (Ειδική και Γενική) Θεωρία της

Σχετικότητας του Einstein και σε άλλους τοmicroείς της σύγχρονης Φυσικής

΄Οπως προαναφέρθηκε το κείmicroενο αποτελεί ένα σύντοmicroο ϐοήθηmicroα που έχει στό-

χο να καθοδηγήσει τοντην αναγνώστηστρια στη microελέτη και άλλων πηγών οι οποίες

συνδέονται microε τους σκοπούς αυτών των microεταπτυχιακών microαθηmicroάτων και σε καmicroιά πε-

ϱίπτωση δεν microπορούν να τις υποκαταστήσουν Πιστεύουmicroε ότι microε αυτό το υπόβαθρο

οι ενδιαφερόmicroενοιες microπορούν να προχωρήσουν στη microελέτη και άλλων πιο εξειδικευ-

Πρόλογος vii

κένων ϑεmicroάτων τα οποία έχουν παραλειφθεί εδώ σύmicroφωνα microε τις κατευθυντήριες

γραmicromicroές και τους περιορισmicroούς του παρόντος ϐοηθήmicroατος

΄Ενα χρήσιmicroο εργαλείο για την κατανόηση των σχετικών εννοιών και microεθόδων α-

ποτελούν και οι προτεινόmicroενες ασκήσεις Για διευκόλυνση των αναγνωστώνστριών

στο τέλος των σηmicroειώσεων παρατίθενται οι λύσεις των περισσοτέρων από αυτές microε-

ϱικές από τις οποίες είναι υποδειγmicroατικά λυmicroένες microε αρκετές λεπτοmicroέρειες Οι α-

ναγνώστεςστριες καλούνται να επιχειρήσουν να επεξεργαστούν τις ασκήσεις πριν

καταφύγουν στις λύσεις

Στην παρούσα έκδοση εκτός από την προσθήκη του τετάρτου κεφαλαίου γίνεται

χρήση (υπερ)συνδέσmicroων εντός του κειmicroένου αλλά και σε τοποθεσίες του διαδικτύου

που διευκολύνουν την ηλεκτρονική ανάγνωση των σηmicroειώσεων (microέσω υπολογιστή ή

tablet) Επίσης έχουν γίνει microερικές microικρές ϐελτιώσεις και διορθώνονται διάφορες

αβλεψίες προηγουmicroένων εκδόσεων που ευγενώς επισηmicroάνθηκαν από τους αναγνώ-

στες Ο συγγραφέας ϑα είναι ιδιαίτερα υποχρεωmicroένος σε όσους ϑα ϑελήσουν να του

γνωστοποιήσουν lowast λάθη και ατέλειες που ϑα επισηmicroάνουν και σ᾿ αυτήν τη νέα έκδοση

ΕΒ Αθήνα Ιούλιος 2015

lowast Ηλεκτρονική διεύθυνση evassilmathuoagr

Περιεχόmicroενα

Πρόλογος v

1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία 1

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 2

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 6

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 10

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 12

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 20

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

18 Ασκήσεις 29

2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα 31

20 Εισαγωγή 32

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

22 Το προβολικό επίπεδο 42

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 48

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 56

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες 79

30 Εισαγωγή 80

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 80

ix

x Πρόλογος

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

36 Ασκήσεις 103

4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες 109

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 110

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 124

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία 125

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες 126

Βιβλιογραφία 129

Πίνακας εννοιών 133

Υποδείξεις λύσεων 137

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1

Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία

Η υπόθεση ότι το άθροισmicroα των γωνιών [ενός τριγώνου]

είναι microικρότερο από 180o οδηγεί σε microια παράξενη Γεωmicroε-

τρία αρκετά διαφορετική από τη δική microας [την Ευκλείδεια]

αλλά τελείως συνεπή την οποία έχω αναπτύξει microε όλη microου

την ευχαρίστηση Τα ϑεωρήmicroατα αυτής της Γεωmicroετρίας

ϕαίνονται παράδοξα και για τον αmicroύητο παράλογα όmicroως

ο ήρεmicroος επίmicroονος στοχασmicroός αποκαλύπτει ότι δεν περιέ-

χουν τίποτε το απίθανο

Απο γραmicromicroα του K F Gauss (1824) [11 σελ 109]

Στο κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη αναδροmicroή σε microερικούς σταθmicroούς που

σηmicroατοδότησαν την εξέλιξη της γεωmicroετρίας Αρχίζουmicroε microε την αρχαία περίοδο

και αναλύουmicroε την αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση του Ευκλείδη η οποία έπαιξε ιδιαίτερο

ϱόλο στην εξέλιξη της γεωmicroετρίας (sectsect11ndash13)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

2 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Η κριτική του Ευκλειδείου συστήmicroατος (sect14) microας οδηγεί στις νεώτερες αντιλή-

ψεις περί (γεωmicroετρικών) αξιωmicroατικών συστηmicroάτων τη σηmicroασία των microοντέλων στον

έλεγχο των σχετικών ιδιοτήτων τους καθώς και την κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroελί-

ωση της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (sect15)

Οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες (Υπερβολική και Ελλειπτική) δηmicroιουργήmicroατα microό-

λις του 19ου αιώνα εξετάζονται στις sectsect16 και 17 αντιστοίχως όπου και παρουσιά-

Ϲονται σχετικά microοντέλα τους

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη

Στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία παρατηρούmicroε microια πληθώρα microορφών που εδώ και

αιώνες τις αποκαλούmicroε γεωmicroετρικές και αντιλαmicroβανόmicroαστε ένα είδος γεωmicroετρικής

δοmicroής microέσα στη ϕύση που microας περιβάλλει Η αντίληψη αυτή ενισχύεται σήmicroερα και

από την επιστήmicroη η οποία microας αποκαλύπτει ότι παντού microέσα στη ϕύση υπάρχει

microία laquoΓεωmicroετρίαraquo η τάξη της οποίας υπόκειται της δοmicroής όλων των πραγmicroάτων από

τα microόρια και τους κρυστάλλους microέχρι τους γαλαξίες δηλαδή από τον microικρόκοσmicroο lowast

microέχρι τον microακροκόσmicroο

Στους αρχαιότατους χρόνους όταν η επιστήmicroη ήταν ένα microε τη ϑρησκεία και τη

microαγεία η ϐασική γνώση ήταν συγκεντρωmicroένη στα χέρια των ιερέων Τα microαθηmicroατι-

κά (αριθmicroητική και γεωmicroετρία) της εποχής αυτής αποτελούσαν microέρος της microυστικής

γνώσης και συχνά συνδέονταν microε τον microυστικισmicroό Αργότερα η αρmicroονία η οποία

ενυπάρχει στις γεωmicroετρικές δοmicroές ϑεωρήθηκε έκφραση ενός laquoϑεϊκού σχεδίουraquo που

διέπει τον κόσmicroο (εξού και η γνωστή ϱήση των Πυθαγορείων laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας

γεωmicroετρείraquo)

΄Οmicroως για να microπορέσει ο άνθρωπος να χειριστεί και να microελετήσει αυτές τις microορ-

ϕές είναι απαραίτητη η ιδεατή αναπαράστασή τους ΄Ετσι ο κύκλος (ένα από τα

αρχαιότερα σύmicroβολα που χάραξε ο άνθρωπος) microπορεί να ϑεωρηθεί ως η ιδεατή απο-

τύπωση του ηλιακού δίσκου και των περάτων του ϕυσικού ορίζοντα Η (microαθηmicroατική)

σφαίρα παραπέmicroπει στον ουράνιο ϑόλο Το επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

είναι η ιδεατή εικόνα της στάθmicroης του νερού που ηρεmicroεί κοκ

Η αφαίρεση της καθηmicroερινής εmicroπειρίας και η microεταφορά των απλών παρατη-

ϱήσεων στο επίπεδο microιας νοητικής διεργασίας αρχικά εξυπηρέτησε πρακτικές και

τεχνικές ανάγκες (όπως άλλωστε συνέβη και στο ξεκίνηmicroα κάθε επιστήmicroης) ΄Ετσι

στην αρχαία Αίγυπτο η γεωmicroετρία χρησιmicroοποιήθηκε στην οριοθέτηση και τη microέτρηση

των γαιών απ᾿ όπου και ο όρος laquoγεωmicroετρίαraquo Αυτό ήταν απαραίτητο microετά τις ετήσιες

πληmicromicroύρες του ποταmicroού Νείλου προκειmicroένου να αποδοθούν και πάλι οι ιδιοκτη-

σίες στους κατόχους τους και να επιmicroετρηθούν οι ϕορολογικές τους υποχρεώσεις

στους Φαραώ Αργότερα πιο προχωρηmicroένοι υπολογισmicroοί (πάντοτε εmicroπειρικοί και

lowast Για την περιοχή της κβαντικής ϕυσικής υπάρχουν σοβαρά προβλήmicroατα στην περιγραφή γεωmicroε-

τρικών εννοιών όπως αυτή του χώρουλόγω των εξαιρετικά microικρών αποστάσεων που υπεισέρχονται

στη microελέτη της

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 3

πρακτικοί) χρησιmicroοποιήθηκαν στην οικοδόmicroηση των πυραmicroίδων Ανάλογες πρακτι-

κές ανάγκες εκάλυπτε η γεωmicroετρία και σε άλλους λαούς (Βαβυλωνίους Κινέζους)

όπως microαρτυρούν σύγχρονες αρχαιολογικές ανακαλύψεις

Σε κάθε περίπτωση η κατασκευή των πυραmicroίδων και άλλων τεχνικών έργων ση-

microατοδοτεί microιαν αναmicroφισβήτητη πρόοδο ΄Οmicroως αυτή παρέmicroεινε καθαρά εmicroπειρική

Για παράδειγmicroα διάφορα εmicroβαδά υπολογίζονταν κατά περίπτωση πρακτικά χωρίς

να υπάρχει ένας συγκεκριmicroένος τύπος ή αλγόριθmicroος για το κάθε είδος Οmicroοίως και

διάφοροι αριθmicroητικοί υπολογισmicroοί και πράξεις πραγmicroατοποιούνταν κατά περίπτωση

χωρίς να ακολουθείται κάποιος κανόνας Εποmicroένως οι πολιτισmicroοί της Αιγύπτου και

της Βαβυλωνίας (στους οποίους εmicroφανίζονται οι παραπάνω χρήσεις της γεωmicroετρίας

και της αριθmicroητικής) δεν έδωσαν στους ΄Ελληνες microε τους οποίους ήρθαν σε επα-

ϕή τίποτε το ϑεωρητικό αλλά microια τεράστια συλλογή συγκεκριmicroένων microαθηmicroατικών

δεδοmicroένων microε τη microορφή υπολογισmicroών ή απλών καταγραφών (ϐλ τους microαθηmicroατι-

κούς πίνακες από τις ανασκαφές της Νινευή τον πάπυρο Rhind και τον πάπυρο της

Μόσχας) ΄Οπως πολύ επιτυχηmicroένα σχολιάζει ο L Mlodinow (ϐλ [26 σελ 9]lowast) ϑα

λέγαmicroε ότι οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι microοιάζουν microε τους κλασικούς ϐιολόγους

και ϕυσιοδίφες που microε microεγάλη υποmicroονή και σχολαστικότητα καταλογογράφησαν τα

είδη και όχι microε τους σύγχρονους γενετιστές που προσπαθούν να κατανοήσουν πώς

αναπτύσσονται και λειτουργούν οι οργανισmicroοί

Αντιθέτως η microελέτη της γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα πέρα από

τις πρακτικές ανάγκες ως πνευmicroατική αναζήτηση ως ϑεωρητικό πρόβληmicroα είναι

κατάκτηση του αρχαίου ελληνικού πνεύmicroατος Είναι το αποτέλεσmicroα του ελληνικού

ορθολογισmicroού που προσπαθεί να ϐάλει τάξη στον περιβάλλοντα κόσmicroο και να τον

ερmicroηνεύσει αναζητώντας το laquoγιατίraquo και το laquoπώςraquo των ϕαινοmicroένων

Εδώ πρέπει να αναφερθεί πρώτα το όνοmicroα του γεωmicroέτρη και ϕιλοσόφου Θαλή

Εικονα 1 Θαλής

lowast Οι αριθmicroοί σε αγκύλες παραπέmicroπουν στη ϐιβλιογραφία

4 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ενός εκ των επτά Σοφών της αρχαίας Ελλάδας Ο Θαλής στο πλαίσιο του παραπάνω

ορθολογισmicroού αναζήτησε τη ϑεωρητική επεξήγηση των εmicroπειρικών δεδοmicroένων των

Αιγυπτίων Θεωρείται ότι είναι ο πρώτος που συνέλαβε (και εφάρmicroοσε) την ιδέα της

απόδειξης Η χρήση των οmicroοίων τριγώνων τού επέτρεψε τον ακριβή υπολογισmicroό του

ύψους των πυραmicroίδων (που όπως προείπαmicroε γινόταν microόνον εmicroπειρικά προηγου-

microένως) Η πρόβλεψη της έκλειψης του Ηλίου το 585 πΧ τον κατέστησε πρόσωπο

microυθικό ∆ίκαια τοποθετείται στο ϐάθρο του πρώτου επιστήmicroονα και microαθηmicroατικού

Ο Θαλής αναmicroφίβολα προετοίmicroασε τους Πυθαγορείους και απέδειξε πολλά ϑεω-

ϱήmicroατα που περιέλαβε ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo του Στον ίδιο αποδίδεται η έννοια

της laquoισότηταςraquo ή laquoσύmicroπτωσηςraquo των σχηmicroάτων (όπως εννοείται σήmicroερα microε τους ξενό-

γλωσσους όρους Kongruenz congruence) σύmicroφωνα microε την οποία δύο σχήmicroατα είναι

ίσα αν microε κατάλληλη κίνηση (microεταφορά και στροφή) το ένα microπορεί να συmicroπέσει microε

το άλλο Προφανώς οι microαθηmicroατικές απόψεις και επιδόσεις του Θαλή δεν είναι α-

ποκοmicromicroένες από τη ϕιλοσοφική του άποψη ότι η ϕύση έχει νόmicroους τους οποίους

microπορούmicroε να ανακαλύψουmicroε ενώ microπορούmicroε να εξηγήσουmicroε τα ϕαινόmicroενα microέσω της

παρατήρησης και της λογικής

Μετά τον Θαλή σταθmicroό στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής και ϕιλοσοφικής σκέψης

αποτελεί το έργο του Πυθαγόρα και της Σχολής του Εmicroπνευστής του πρώτου υπήρξε

ο Θαλής

Εικονα 2 Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τους νόmicroους της αρmicroονίας και έδωσε στην αριθmicroητι-

κή τη microορφή ϑεωρητικής επιστήmicroης επί της οποίας στηρίχτηκε και η ϕιλοσοφική

του διδασκαλία Οι αριθmicroοί microπορούν να χωριστούν σε τριγωνικούς και τετραγωνι-

κούς συνδυασmicroοί των οποίων παράγουν ενδιαφέροντα αποτλέσmicroατα Αν ϕανταστού-

microε τους αριθmicroούς σαν τελείες ή πετραδάκια και τους τοποθετήσουmicroε σε κατάλληλους

σχηmicroατισmicroούς microπορούmicroε να πάρουmicroε microερικές microορφές της ταξινόmicroησης αυτής που

εmicroφανίζεται στην Εικόνα 3

Στην ίδια Σχολή microαζί microε τη ϕιλοσοφία τη microουσική και την αριθmicroητική καλ-

λιεργείται και η γεωmicroετρία η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήmicroατος η microελέτη των

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 5

κανονικών σχηmicroάτων και στερεών είναι microερικές microόνον από τις laquoγεωmicroετρικέςraquo ενα-

σχολήσεις της Το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα microε τη διττή του ερmicroηνεία γεωmicroετρική και

αριθmicroητική εκφράζει microιαν ενότητα microεταξύ γεωmicroετρίας και αριθmicroητικής Πρίν από

τους Πυθαγορείους οι Βαβυλώνιοι είχαν καταγράψει τριάδες αριθmicroών (α γ) που

ικανοποιούν τη σχέση α2= 2+γ2 αλλά η γεωmicroετρική ερmicroηνεία και απόδειξη του ϑε-

ωρήmicroατος στη γενική του microορφή δόθηκε για πρώτη ϕορά από τους Πυθαγόρειους

Γενικά ϐλέπουmicroε ότι στο (microαθηmicroατικό) πυθαγόρειο έργο υπάρχει microία σύζευξη της

γεωmicroετρίας microε την αριθmicroητική κάτι που ϑα επαναληφθεί αργότερα ndashσε άλλη microορφή

και microε άλλο στόχοndash από τον Rene Descartes [Καρτέσιο] (1596ndash1650) και τον ϕί-

λο του Pierre de Fermat (1601ndash1665) Φυσικά αυτός ο συσχετισmicroός οδήγησε στην

ανακάλυψη των ασυmicromicroέτρων αριθmicroών που ανέτρεψε τις ϕιλοσοφικές δοξασίες των

Πυθαγορείων και οδήγησε στην παρακmicroή της Σχολής τους

Εικονα 3 Πυθαγόρειοι αριθmicroοί

Τα Μαθηmicroατικά όρος που οφείλεται στους Πυθαγορείους προφανώς σχετίζον-

ται microε τις ϕιλοσοφικές τους δοξασίες Οι ίδιοι αναζητώντας τη συmicromicroετρία και την

αρmicroονία του κόσmicroου (άλλος πυθαγορικός όρος κι αυτός) αναγνωρίζουν ουσιαστικά

την ύπαρξη microιας γεωmicroετρικής δοmicroής σ᾿ αυτόν ΄Οmicroως η δοmicroή αυτή συνδέεται microε το

άρρητο σχέδιο της δηmicroιουργίας που δεν microπορεί να γίνει αντιληπτό από τον άνθρωπο

(πρβλ laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας γεωmicroετρείraquo) ΄Ετσι η κοσmicroογονία και η οντολογία των

πυθαγορείων παραmicroένει laquoαριθmicroολογικήraquo ΄Αλλωστε αιώνες αργότερα ο L Kronecker

υποστήριξε ότι (παραφράζοντάς τον) laquoαεί ο Θεός γεωmicroετρεί και ο ανθρωπος κάνει

αριθmicroητικήraquo

Η γεωmicroετρία (και τα microαθηmicroατικά γενικότερα) εξελίσσονται σηmicroαντικά και στην

Πλατωνική Ακαδηmicroία Τη σηmicroασία που είχε η γεωmicroετρία για τον Πλάτωνα και τους

6 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microαθητές του περιγράφει microε τον πιο εναργή τρόπο η επιγραφή η οποία κοσmicroούσε

την είσοδο της Ακαδηmicroίας το περίφηmicroο laquoΜηδείς αγεωmicroέτρητος εισίτωraquo

Εικονα 4 Πλάτων

Τα κανονικά πολύεδρα γνωστά και ως πλατωνικά στερεά κατέχουν ιδιαίτερη ϑέ-

ση στην πλατωνική ϕιλοσοφία και κοσmicroολογία Στην Ακαδηmicroία έδρασαν διάσηmicroοι

microαθηmicroατικοί όπως ο Εύδοξος ο Κνίδιος οι αδελφοί Μέναιχmicroος και ∆εινόστρατος ο

Θεαίτητος ο Αθηναίος ο Ερmicroότιmicroος ο Κολοφώνιος και πολλοί άλλοι ενώ δεν ϕαίνεται

να είχε κάποια ιδιαίτερη συmicroβολή στην ίδια τη γεωmicroετρία ο Πλάτων

Φυσικά δεν πρέπει να παραλείψουmicroε και τους εκτός της Πλατωνικής Ακαδηmicroίας

Θεόδωρο τον Κυρηναίο (διδάσκαλο του Πλάτωνος) τον Αρχύτα τον Ταραντίνο (ϕίλο

του Πλάτωνος) τον Φιλόλαο και τον Ιπποκράτη τον Χίο

Για τις ϕιλοσοφικές ϑεωρήσεις της Σχολής των Πυθαγορείων και της Πλατωνικής

Ακαδηmicroίας όπως και τη σχέση τους microε τη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε στο [1]

Επειδή σκοπός αυτής της αναδροmicroής δεν είναι η παρουσίαση ούτε της ιστορίας

της γεωmicroετρίας στην αρχαιότητα ούτε των microεγάλων γεωmicroετρών και του έργου τους

αλλά microια απλή αναφορά σε microερικούς σταθmicroούς της προ-Ευκλείδειας περιόδου ϑα

έρθουmicroε αmicroέσως σ᾿ αυτόν που σφράγισε την εξέλιξη της γεωmicroετρίας των microαθηmicroατικών

γενικότερα καθώς και πολλών άλλων επιστηmicroών δηλαδή στον Ευκλείδη

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του

Ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια και η ακmicroή του τοποθετείται περί το 300 πΧ Οι

ηmicroεροmicroηνίες γέννησης και ϑανάτου του παραmicroένουν άγνωστες Στο περίφηmicroο έργο

του laquoΣτοιχείαraquo περιέλαβε το microεγαλύτερο microέρος της microέχρι τότε microαθηmicroατικής γνώσης

και οργάνωσε τη γεωmicroετρία κατά τρόπον αυστηρό όπως απαιτούσε το πνεύmicroα της

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 7

λογικής και της ενότητας το οποίον του κληροδότησαν οι προηγούmicroενες γενιές των

microαθηmicroατικών και ϕιλοσόφων

Εικονα 5 Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης microπορεί να χαρακτηριστεί ως ο διαmicroορφωτής της microελέτης του 2-

διάστατου χώρου microέσω της καθαρής σκέψης χωρίς αναφορά στον ϕυσικό κόσmicroο

Το όνοmicroά του ταυτίζεται microε τη γεωmicroετρία Σε πολλές προτάσεις έδωσε δικές του

αποδείξεις ενώ απλοποίησε άλλες προγενέστερες Η ταξινόmicroηση της ύλης είναι υπο-

δειγmicroατική Η λιτότητα και η όλη παρουσίαση δικαίως έκαναν τα laquoΣτοιχείαraquo πρότυπο

γραφής επιστηmicroονικού συγγράmicroατος

Τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη είναι το δεύτερο έργο που τυπώθηκε microετά την Αγία

Γραφή και το δεύτερο παγκοσmicroίως σε πλήθος εκδόσεων έργο (και πάλι microετά την

Αγ Γραφή) Καθόρισε ουσιαστικά την εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης microέχρι

τον 19ο αιώνα χωρίς ϕυσικά να έχει καταργηθεί microέχρι σήmicroερα Η ανακάλυψη του

έργου αυτού στους Μεσαίους χρόνους εσήmicroανε την αφετηρία της αναγέννησης των

επιστηmicroών και του πνεύmicroατος γενικότερα

Τον τρόπο διατύπωσης των laquoΣτοιχείωνraquo microιmicroήθηκε στο ϕιλοσοφικό του έργο ο Bashy

ruch Spinoza (1632ndash1677) Ο Immanuel Kant (1724ndash1804) στο γνωστό ϕιλοσοφικό

του έργο laquoΚριτική του Καθαρού Λόγουraquo ϑεωρεί ότι η Ευκλειδεια Γεωmicroετρία είναι η

microόνη γεωmicroετρία την οποίαν microπορεί να αντιληφθεί ο ανθρώπινος νούς εξαιτίας της

δοmicroής του εγκεφάλου του Αποτέλεσmicroα αυτού είναι ότι η γνώση του χώρου δεν είναι

εmicroπειρική αλλά υπάρχει a priori Με τις διαδεδοmicroένες αυτές απόψεις του διάση-

microου ϕιλοσόφου ϕοβόταν να αντιπαρατεθεί ο microεγάλος microαθηmicroατικός Karl Friedrich

Gauss (1775ndash1855) όταν ανακάλυψε (αρκετά microετα τον ϑάνατο του πρώτου) τη microη

Ευκλείδεια Γεωmicroετρία για τούτο ndashmicroαζί και microε άλλους λόγουςndash δεν δηmicroοσίευσε τίποτε

σχετικό

Πριν αναφερθούmicroε πιο διεξοδικά στη διάρθρωση των laquoΣτοιχείωνraquo ας κάνουmicroε α-

κόmicroη λίγα γενικά σχόλια Η γεωmicroετρία αναφέρεται στην έννοια του χώρου συστατικά

8 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

του οποίου είναι τα σηmicroεία οι ευθείες και τα επίπεδα Πρόκειται για έννοιες που ενώ

τις αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία δεν microπορούmicroε να τις ορίσου-

microε microε ακρίβεια Εποmicroένως δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα πώς είναι δυνατόν να

οικοδοmicroηθεί αυστηρά η γεωmicroετρία όταν τα ίδια τα δοmicroικά στοιχεία της παραmicroένουν

άγνωστα

Εδώ η συmicroβολή του Ευκλείδη υπήρξε καταλυτική Παρ᾿ όλο που προσπάθησε (α-

νεπιτυχώς) να ορίσει τις παραπάνω έννοιες η προσέγγισή του έκανε ϕανερό ότι στα

microαθηmicroατικά δεν microας ενδιαφέρει η ουσία των αντικειmicroένων που microας απασχολούν αλ-

λά οι σχέσεις microεταξύ αυτών (των αντικειmicroένων) ΄Ετσι αδιαφορώντας για την οντολογία

των σηmicroείων και των ευθειών microπορούmicroε να ξεκινήσουmicroε microε ένα σύστηmicroα σχέσεων

δηλαδή microε τα αξιώmicroατα των οποίων την αλήθεια δεχόmicroαστε εκ των προτέρων και κα-

τόπιν microε τη ϐοήθεια της λογικής (συν)επαγωγής να προχωρήσουmicroε στην απόδειξη

της ισχύος ή όχι κάθε άλλης γεωmicroετρικής σχέσης που microπορεί να διατυπωθεί

Αυτή είναι η ϐασική ιδέα της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη Τα αξιώ-

microατα ϐρίσκονται στην αφετηρία και είναι απαραίτητα για να microην περιπέσουν οι

συλλογισmicroοί microας σε ϕαύλο κύκλο Το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων πρέπει να καλύπτει

προφανώς κάποιες ουσιαστικές απαιτήσεις Θα πούmicroε περισσότερα για τη σύγχρονη

αξιωmicroατική microέθοδο στην sect14

Ας ξαναγυρίσουmicroε τώρα στα laquoΣτοιχείαraquo Το περιεχόmicroενό τους κατανέmicroεται σε

bull 13 ϐιβλία (κάτι σαν 13 κεφάλαια)

και αποτελείται από

bull 23 όρους

bull 5 αιτήmicroατα

bull 7 (ή 9) κοινές έννοιες

και microέσω αυτών αποδεικνύονται

bull 465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σηmicroερινά ϑεωρήmicroατα προτάσεις λήmicro-

microατα και πορίσmicroατα)

Τα ϐιβλία 1ndash4 περιέχουν τη ϐασική γεωmicroετρία του επιπέδου Τα ϐιβλία 5ndash6 πραγ-

microατεύονται τη ϑεωρία των λόγων ήτοι των συmicromicroέτρων microεγεθών και εισάγονται κα-

τόπιν τα ασύmicromicroετρα microεγέθη Τα ϐιβλία 7ndash9 αναφέρονται στην αριθmicroητική Στο 10ο

ϐιβλίο ταξινοmicroούνται γεωmicroετρικά οι ασύmicromicroετροι αριθmicroοί Στα ϐιβλία 11ndash12 εκτίθενται

τα ϐασικά ϑεωρήmicroατα της στερεοmicroετρίας Το 13ο και τελευταίο ϐιβλίο περιέχει την

κατασκευή πέντε κανονικών πολυέδρων και την απόδειξη της microη ύπαρξης άλλων

Σηmicroειώνουmicroε ότι microεταγενέστερα προστέθηκαν και άλλα δύο ϐιβλία όmicroως αυτά δεν

γράφτηκαν από τον Ευκλείδη

Οι όροι αποτελούν ουσιαστικά τους ορισmicroούς εννοιών όπως σηmicroείο ευθεία γραmicro-

microή γωνία ορθή γωνία κύκλος κλπ Μερικοί απ᾿ αυτούς (όπως ο κύκλος οι παράλ-

ληλες ευθείες κλπ) είναι ακριβείς ενώ άλλοι (όπως το σηmicroείο η ευθεία κλπ) είναι

ασαφείς και χωρίς ιδιαίτερη αξία

΄Οπως αναφέρθηκε και πιο πάνω τα αιτήmicroατα (ή αξιώmicroατα) αναφέρονται σε

γεωmicroετρικές προτάσεις ή ιδιότητες που συνδέουν απροσδιόριστους όρους και των

οποίων η αλήθεια γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη Συνήθως απορρέουν από την απλή

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 9

παρατήρηση (microέσα στα στενά όρια της ανθρώπινης κλίmicroακας) ή από τη microελέτη ενος

συγκεκριmicroένου παραδείγmicroατος ΄Ετσι η πρακτική διαπίστωση ότι ανάmicroεσα σε δύο

σηmicroεία ενός κοινού επιπέδου ή ενός ϕύλλου χαρτιού χαράσσεται microία microόνον ευθεία

οδηγεί στη διατύπωση του πρώτου αξιώmicroατος της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (που ϑα

αναφέρουmicroε microαζί microε τα άλλα πιο κάτω)

Οι κοινές έννοιες είναι προτάσεις των οποίων δεχόmicroαστε την αλήθεια (όπως

και των αξιωmicroάτων) δεν αναφέρονται σε γεωmicroετρικές ιδιότητες ή σχέσεις αλλά είναι

κυρίως προτάσεις της Λογικής (για παράδειγmicroα laquoΤὰ τω αὐτωι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστίν

ἴσαraquo laquoΚαὶ τὸ ὅλον του microέρους microειϹὸν [ἐστιν]raquo κλπ)

Σήmicroερα χρησιmicroοποιούmicroε κυρίως τον (microεταγενέστερο) αριστοτελικό όρο αξίωmicroα

για τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

Οι προτάσεις (όπως και τα ϑεωρήmicroατα κλπ) είναι πλέον αποφάνσεις των οποίων

η αλήθεια συνάγεται microε λογική διαδικασία από τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

καθώς και από άλλα ήδη αποδειχθέντα ϑεωρήmicroατα

Στα laquoΣτοιχείαraquo εφαρmicroόζονται οι ακόλουθες τρείς αποδεικτικές microέθοδοι

Η συνθετική Κατ᾿ αυτήν προκειmicroένου να αποδείξουmicroε microια πρόταση χρησιmicroο-

ποιούmicroε τους ορισmicroούς τα αξιώmicroατα και άλλες ήδη γνωστές προτάσεις (που κι αυτές

microε τη σειρά τους απορρέουν από τα αξιώmicroατα και τους ορισmicroούς) και microε λογικούς

συλλογισmicroούς καταλήγουmicroε στην πρός απόδειξη

Η εις άτοπον απαγωγή Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν αρχικά δεχόmicroαστε ότι αληθεύει κά-

ποια πρόταση αντίθετη προς αυτήν που Ϲητούmicroε να αποδείξουmicroε Χρησιmicroοποιώντας

όπως πριν τα αξιώmicroατα και άλλες γνωστές προτάσεις καταλήγουmicroε σε microία πρόταση

η οποία αντιφάσκει είτε microε κάποιο αξίωmicroα είτε microε κάποιαν άλλη πρόταση που ήδη

έχει αποδειχθεί ότι αληθεύει Η αντίφαση προκύπτει προφανώς επειδή ξεκινήσαmicroε

από microια λαθεmicroένη υπόθεση και αίρεται αν δεχτούmicroε ότι αληθεύει η προς απόδειξη

πρόταση Η microέθοδος αυτή χρησιmicroοποιείται ευρύτατα στα laquoΣτοιχείαraquo

Η αναλυτική που ϐασίζεται στην εξής microεθοδολογία ∆εχόmicroαστε προς στιγmicroήν ότι

η προς απόδειξη πρόταση P είναι αληθής Απ᾿ αυτήν συνάγουmicroε την αλήθεια microιας

πρότασης ή microιας αλυσίδας προτάσεων Εφ᾿ όσον οι τελευταίες είναι αληθείς τότε

προφανώς είναι αληθής και η αρχική πρόταση P καθ᾿ όσον microπορούmicroε συνθετικά

πλέον να αναχθούmicroε σ᾿ αυτήν από τις προηγούmicroενες

Μιλώντας κυριολεκτικά πρέπει να κατατάξουmicroε την αναλυτική microέθοδο στις ευρε-

τικές microεθόδους ∆εν χρησιmicroοποιείται εmicroφανώς από τον Ευκλείδη αλλά είναι ϐέβαιον

ότι ορισmicroένες (πολύπλοκες) αποδείξεις έχουν προκύψει από την εφαρmicroογή της του-

λάχιστον από προγενέστερους γεωmicroέτρες Παρ᾿ όλο που η microέθοδος ανάγεται στους

Πυθαγορείους συστηmicroατικός περί αυτής λόγος γίνεται στη laquoΣυναγωγήraquo του Πάππου

και έχει δηmicroιουργήσει σηmicroαντικά προβλήmicroατα ερmicroηνείας Σχετικώς παραπέmicroπουmicroε

και στο άρθρο [27]

10 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Θα διατυπώσουmicroε τα αξιώmicroατα (αιτήmicroατα) των laquoΣτοιχείωνraquo για να κάνουmicroε κατόπιν

microια σύντοmicroη κριτική που ϑα δικαιολογήσει τις νεώτερες αναθεωρήσεις της ϑεmicroελίω-

σης του Ευκλείδη Για διευκόλυνση ϑα τα διατυπώσουmicroε σε microία microορφή απλούστερη

από αυτήν που προκύπτει από την ακριβή microετάφραση της πρωτότυπης διατύπωσής

τους Για την αρχαιοελληνική microορφή τους και την ακριβή microετάφραση παραπέmicroπουmicroε

στο [39]

Αξίωmicroα 1 Από ένα σηmicroείο άγεται σε ένα άλλο microία ευθεία γραmicromicroή

Αξίωmicroα 2 Κάθε πεπερασmicroένη ευθεία microπορεί να επεκτείνεται συνεχώς και

ευθυγράmicromicroως

Αξίωmicroα 3 Μπορούmicroε να γράψουmicroε κύκλο microε οποιοδήποτε κέντρο και ο-

ποιαδήποτε ακτίνα

Αξίωmicroα 4 ΄Ολες οι ορθές γωνίες είναι ίσες

Αξίωmicroα 5 Αν microία ευθεία που τέmicroνει δύο άλλες σχηmicroατίζει τις εντός και

επί τα αυτά γωνίες microε άθροισmicroα microικρότερο των δύο ορθών τότε

οι δύο ευθείες προεκτεινόmicroενες επ᾿ άπειρον ϑα τmicroηθούν (συmicro-

πέσουν) και microάλιστα προς το microέρος όπου ϐρίσκοται οι γωνίες microε

το microιικρότερο των δύο ορθών άθροισmicroα

Τα δύο πρώτα αξώmicroατα ϕαίνονται απλά και συmicroφωνούν microε τη συνήθη εmicroπειρία

Το 3ο είναι πιο λεπτό και σηmicroαίνει ότι δεχόmicroαστε πως το microήκος παραmicroένει αναλλοί-

ωτο καθώς κινούmicroαστε από σηmicroείο σε σηmicroείο κατά τη χάραξη του κύκλου ∆ηλαδή

δεχόmicroαστε ότι η απόσταση ορίζεται microε τέτοιον τρόπο στο χώρο ώστε να εξασφαλίζε-

ται το αναλλοίωτό της Το 4ο αξίωmicroα κι αυτό ϕαίνεται απλό και προφανές Αλλά αν

microπορεί να διαπιστωθεί laquoπειραmicroατικάraquo στο χαρτί microας αυτό δεν σηmicroαίνει ότι αληθεύει

και σε κάποιο άλλο σηmicroείο του σύmicroπαντος (όπως microπορεί να συmicroβεί άλλωστε και microε

κάθε άλλο αξίωmicroα) Στην πραγmicroατικότητα το 4ο αξίωmicroα αποδέχεται την οmicroοιογένεια

του χώρου Τέλος το 5ο αξίωmicroα που είναι γνωστό και ως αξίωmicroα των παραλλή-

λων δεν ϕαίνεται ούτε τόσο απλό ούτε τόσο άmicroεσο όπως τα άλλα Οφείλεται microάλλον

αποκλειστικά στον Ευκλείδη και δεν πρέπει να περιείχετο στην προγενέστερη γεωmicroε-

τρική γνώση που κατέγραψε αυτός παρ᾿ όλο που υποστήριζε ότι ήταν γνωστό στους

Πυθαγορείους

Η ιστορία του 5ου αξιώmicroατος είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα Ο ιδιος ο Ευκλεί-

δης δεν το χρησιmicroοποίησε παρά microετά την 28η πρόταση Λόγω της πολυπλοκότητας

της αρχικής του διατύπωσης οι microεταγενέστεροι microαθηmicroατικοί το αντιmicroετώπισαν microε

κάποια αmicroηχανία γι᾿ αυτό πολλοί ϑεώρησαν ότι είναι απόρροια των προηγουmicroένων

αξιωmicroάτων συνεπώς είναι ένα ϑεώρηmicroα Αυτή η προσπάθεια της αναγωγής του 5ου

αξιώmicroατος στα άλλα άρχισε πολύ νωρίς microετά την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo και συνε-

χίστηκε microέχρι τον 19ο αιώνα οπότε τελικά αποδείχτηκε η ανεξαρτησία του [το 1868

από τον Eugenio Beltrami (1835ndash1900 )]

Σηmicroειώνουmicroε ότι όλες οι προτάσεις (microεταξύ αυτών και οι πρώτες 28 των laquoΣτοιχεί-

ωνraquo που microπορούν να αποδειχθούν χωρίς τη χρήση του αξιώmicroατος των παραλλήλων

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 11

συνιστούν τη λεγόmicroενη Απόλυτη ή Ουδέτερη Γεωmicroετρία

Γνωρίζουmicroε σήmicroερα περί τις 28 απόπειρες απόδειξης του αξιώmicroατος των παραλ-

λήλων Στην πραγmicroατικότητα οδηγούν σε ισοδύναmicroες διατυπώσεις του αφού όλες

ξεκινούσαν microε microια ϕαινοmicroενικά προφανή υπόθεση που στην ουσία της συνιστού-

σε ένα άλλο αξίωmicroα Ας δούmicroε microερικές απ᾿ αυτές τις ισοδύναmicroες microορφές του 5ου

αξιώmicroατος

1 Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας κείmicroενο άγεται προς αυτήν microία και

microοναδική παράλληλη

2 Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές

3 Υπάρχουν Ϲεύγη οmicroοίων τριγώνων

4 Υπάρχει Ϲεύγος ευθειών που ισαπέχουν η microια της άλλης

5 ∆οθέντων τριών (διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών) σηmicroείων υπάρ-

χει κύκλος που διέρχεται δι᾿ αυτών

6 Αν τρείς γωνίες ενός τετραπλέυρου είναι ορθές τότε και η τέταρη

γωνία είναι ορθή

7 Αν microία ευθεία τέmicroνει microία από δύο δοθείσες παράλληλες ευθείες τότε

ϑα τέmicroνει και την άλλη

Η microορφή 1 είναι γνωστή ως αξίωmicroα του John Playfair (1748ndash1819) Μ᾿ αυτήν

αντικαθιστούmicroε σήmicroερα το 5ο αξίωmicroα αφού έτσι είναι προφανώς πιο εύχρηστο Η

microορφή 3 οφείλεται στον John Wallis (1616ndash1703) ΄Αλλοι γνωστοί microαθηmicroατικοί που

προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο αξίωmicroα είναι ο νεοπλατωνικός Πρόκλος ο Λύκιος

ή ∆ιάδοχος (410ndash485 microΧ) ο Giovanni Gerolamo Saccheri (1667ndash1733) (που ό-

πως ϑα δούmicroε στη συνέχεια micro᾿ αυτήν του την προσπάθεια ουσιαστικά έφτασε στην

Υπερβολική Γεωmicroετρία) και ο AdrienshyMarie Legendre (1752ndash1833)

Η άρνηση του 5ου αξιώmicroατος microπορεί να γίνει microε δύο τρόπους

α) ∆εχόmicroαστε ότι από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται δύο ή και περισσό-

τερες ευθείες παράλληλες προς τη δοθείσα

ϐ) Αρνούmicroαστε εξ ολοκλήρου την ύπαρξη της παραλληλίας ευθειών

Η άρνηση αυτή οδηγεί στη δηmicroιουργία των λεγοmicroένων microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

Ακριβέστερα η περίπτωση α) οδηγεί στην Υπερβολική Γεωmicroετρία ενώ η ϐ) στην

Ελλειπτική Γεωmicroετρία Και οι δύο δηmicroιουργήθηκαν microόλις τον 19ο αιώνα και α-

ποτελούν microια απο τις συναρπαστικότερες εξελίξεις στην ιστορία της γεωmicroετρίας Θα

επανέλθουmicroε σ᾿ αυτές σε επόmicroενες παραγράφους

Πριν ασχοληθούmicroε microε την κριτική της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη

ας αναφέρουmicroε συmicroπληρωmicroατικά ότι παράλληλα microε την ανάπτυξη της γεωmicroετρίας

που ακολουθεί την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo έχουmicroε microιαν εντυπωσιακή ανάπτυξη

της αστρονοmicroίας και της microηχανικής αφού και οι δύο συνδέονται στενά microε την πρώτη

Εδώ ϑα πρέπει να αναφέρουmicroε κυρίως τον Αρίσταρχο το Σάmicroιο (περίπου 310-250

πΧ) πρόδροmicroο του ηλιοκεντρικού συστήmicroατος ο οποίος για πρώτη ϕορά υπολόγισε

(έστω και χωρίς microεγάλη ακρίβεια) τη σχέση των αποστάσεων Ηλίου και Σελήνης απο

12 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

τη Γη τη σχέση των διαmicroέτρων τους κλπ ϐασιζόmicroενος σε γεωmicroετρικές microεθόδους και

microια microορφή πρωτόγονης τριγωνοmicroετρίας τον Ερατοσθένη (περίπου 275 ndash195 πΧ)

που microέτρησε τη διάmicroετρο της Γης microε εκπληκτική ακρίβεια για την εποχή του χρη-

σιmicroοποιώντας microιαν ευφυή microέθοδο τον ΄Ιππαρχο (2ος αιώνας πΧ) που υπολόγισε

την απόσταση και το microέγεθος του Ηλίου και της Σελήνης και έβαλε τις ϐάσεις της

τριγωνοmicroετρίας τον Πτολεmicroαίο Κλαύδιο (138ndash180 microΧ) που microεταξύ των άλλων στο

έργο του laquo΄Απλωσις Επιφανείαςraquo εναφέρεται στη microελέτη προβολών για την κατασκευή

χαρτών

Ιδιαιτέρως επίσης πρέπει να microνηmicroονευθεί και ο Αρχιmicroήδης (287ndash212 πΧ)

microεγαλοφυής microαθηmicroατικός ϕυσικός και microηχανικός Με την έξοχη laquomicroέθοδο της εξ-

αντλήσεωςraquo υπολόγισε το εmicroβαδόν ποικίλων χωρίων και τον όγκο διαφόρων σωmicroάτων

κάνοντας κατάλληλες προσεγγίσεις microέσω εmicroβαδών απλών σχηmicroάτων ϑέτοντας έτσι τις

ϐάσεις του Ολοκληρωτικού Λογισmicroού Ο Αρχιmicroήδης ϑεωρείται η microεγαλύτερη microαθη-

microατική και επιστηmicroονική microορφή της αρχαιότητας και ένας από τους microεγαλύτερους

microαθηmicroατικούς όλων των εποχών

Η ανάπτυξη της γεωmicroετρίας συνεχίστηκε microετά το Ευκλείδη και τον Αρχιmicroήδη από

τον Απολλώνιο (περίπου 260ndash200 πΧ) που ϑεωρείται ως ο τελευταίος microεγάλος γε-

ωmicroέτρης της ελληνιστικής περιόδου Στο οκτάτοmicroο έργο του laquoΚώνου Τοmicroαίraquo microελέτησε

την έλλειψη την παραβολή και την υπερβολή τις οποίες ϑεώρησε τοmicroές του κώνου

microε ένα επίπεδο κατάλληλης κλίσης Η ιδέα αυτή microπορεί να ϑεωρηθεί και ως απαρ-

χή της Προβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ Κεφάλαιο 2) αφού οι προηγούmicroενες καmicroπύλες

είναι προβολές (από την κορυφή του κώνου) της κυκλικής ϐάσης του στα διάφορα

τέmicroνοντα επίπεδα

Παρά την microετέπειτα σχετική κάmicroψη του ελληνικού πνεύmicroατος η microεγάλη γεωmicroε-

τρική παράδοση συνεχίστηκε από σπουδαίους microαθηmicroατικούς όπως ο Νικοmicroήδης ο

∆ιοκλής ο ∆ιόφαντος ο Μενέλαος και ο Πάππος (microε το έργο του laquoΣυναγωγήraquo )

Μετά από αυτούς και πολύ αργότερα microετά τον τραγικό ϑάνατο της Υπατίας

(5ος microΧ αιώνας) που ϑεωρείται και η τελευταία microαθηmicroατικός της αρχαίας εποχής

επήλθε η πλήρης στασιmicroότητα Η αναγέννηση της γεωmicroετρίας άρχισε τον 16ο αιώνα

microε την Αναλυτική Γεωmicroετρία του Καρτέσιου (Descartes) Αργότερα η εφαρmicroογή του

∆ιαφορικού Λογισmicroού οδήγησε στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία η ανάπτυξη της οποίας

υπήρξε ϱαγδαία και microαζί microε τη σύγχρονη ϕυσική έχει αλλάξει την αντίληψή microας για

τον κόσmicroο

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και η αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του D Hilbert

Η προσεκτική microελέτη των laquoΣτοιχείωνraquo σε microεταγενέστερες εποχές απεκάλυψε ότι

ορισmicroένες αποδείξεις έχουν σηmicroαντικές ατέλειες ή κενά καθ᾿ όσον ϐασίζονται σε

διάφορες γεωmicroετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης ϑεώρησε αυτονόητες χωρίς

όmicroως αυτές να microπορούν να δικαιολογηθουν ούτε από τους ορισmicroούς και τα αξιώmicroατα

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 13

ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις

Σχηmicroα 11 Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

΄Ετσι ας πάρουmicroε για παράδειγmicroα την απόδειξη της Πρότασης 1 των laquoΣτοιχείωνraquo

στην οποία κατασκευάζεται ισόπλευρο τρίγωνο microε δεδοmicroένη ϐάση AB Η κορυφή

του τριγώνου ϑα είναι microία από τις τοmicroές του κύκλου που γράφεται microε κέντρο το

A και ακτίνα AB microε τον κύκλο ίδιας ακτίνας και κέντρου B όπως στο παραπάνω

σχήmicroα Πώς όmicroως εξασφαλίζεται αυτή η τοmicroή Προφανώς η εmicroπειρική κατασκευή

δεν αρκεί Κανένα αξίωmicroα δεν απαγορεύει οι κύκλοι να έχουν πολύ microικρές οπές

όπως ϑα microπορούσε να συmicroβεί στην περίπτωση της γεωmicroετρίας που αναφέρεται σε

σηmicroεία microε ϱητές συντεταγmicroένες

΄Εντονη κριτική δέχονται ακόmicroη η microέθοδος της laquoυπέρθεσηςraquo ή laquoεπί-ϑεσηςraquo δηλ

της microετακίνησης και τοποθέτησης ενός σχήmicroατος επί ενός άλλου microε την οποίαν

αποδεικνύεται η ισότητα δύο τριγώνων (ϐλ πχ Πρόταση 4) η συχνή χρήση της

έννοιας laquomicroεταξύraquo που δεν ορίζεται πουθενά η laquoεπ᾿ άπειρον και χωρίς όριαraquo επέκταση

microιας γραmicromicroής οι ιδιότητες διαχωρισmicroού των σηmicroείων και των γραmicromicroών (δηλαδή η

παραδοχή ότι ένα σηmicroείο διαχωρίζει microια γραmicromicroή σε δύο διακεκριmicroένα τmicroήmicroατα ενώ

microία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο διακεκριmicroένα σύνολα κλπ)

Είναι αξιοσηmicroείωτο ότι παρά τις παραπάνω αδυναmicroίες καmicroιά από τις προτάσεις

των laquoΣτοιχείωνraquo δεν είναι λάθος (ως προς το τελικό συmicroπέρασmicroα) ΄Οmicroως χωρίς να

microειώνεται στο ελάχιστο η αξία της ευκλείδειας προσέγγισης έπρεπε να διορθωθούν

οι ατέλειές της σύmicroφωνα microε τις απαιτήσεις της αυστηρότητας που χαρακτηρίζει (και)

τα σύγχρονα microαθηmicroατικά Αυτό υπήρξε περισσότερο από ποτέ αναγκαίο microετά την

ανακάλυψη των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών οπότε και έγινε εmicroφανέστερη η ση-

microασία της τακτοποίησης του αξιωmicroατικού συστήmicroατος κάθε γεωmicroετρίας Προς την

κατεύθυνση αυτή εργάστηκαν διακεκριmicroένοι microαθηmicroατικοί όπως ο Julius Wilhelm

Richard Dedekind (1831ndash1916) ο Giuseppe Peano (1858ndash1932) ο David Hilbert

(1862ndash1943) και ο George David Birkhoff (1884ndash1944)

Εδώ ϑα αναφερθούmicroε microόνον στην αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρία από τον Hilbert (ϐλ [18]) επειδή το σύστηmicroά του είναι (παρά τον microεγάλο αριθmicroό

14 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αξιωmicroάτων) σχετικώς απλό και κοντά στο πνεύmicroα του Ευκλείδη

Εικονα 6 David Hilbert

Εξ αρχής ο Hilbert ϑεωρεί ως πρωταρχικές έννοιες του συστήmicroατος τις ακόλουθες

απροσδιόριστες έννοιες

σηmicroείο ευθεία (γραmicromicroή) επίπεδο κείται (ϐρίσκεται) επί

microεταξύ σύmicroπτωσηισότητα (Kongruenz congruence)

Τα αξιώmicroατά του χωρίζονται ανάλογα microε το ϱόλο τους στις εξής κατηγορίες

Κατηγορία I Αξιώmicroατα σύνδεσης (ή συνοχής)

Κατηγορία II Αξιώmicroατα διάταξης

Κατηγορία III Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Κατηγορία IV Αξίωmicroα της παραλληλίας

Κατηγορία V Αξιώmicroατα συνεχείας

Στη συνέχεια αναφέρουmicroε σε ελεύθερη microετάφραση τα αξιώmicroατα του Hilbert (ϐλ

επίση και τις σχετικες αποδόσεις των [11] [18] [39]) Ενδιαmicroέσως παρεmicroβάλλονται

και microερικοί απαραίτητοι ορισmicroοί και συmicroβολισmicroοί

Ι Αξιώmicroατα σύνδεσης

Τα αξιώmicroατα της κατηγορίας αυτής συνδέουν τις απροσδιόριστες έννοιες σηmicroείο

ευθεία και επίπεδο δηλαδή καθορίζουν τις microεταξύ των σχέσεις

Ι1 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει πάντοτε microία ευθεία ℓ που τα

περιέχει (Ισοδύναmicroη έκφραση Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται microία ευθεία)

Ι2 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει microόνον microία ευθεία που τα περιέχει

Η microοναδική ευθεία που περιέχει τα A B κατά τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα

συmicroβολίζεται microε ℓ = AB = BA

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 15

Ι3 Κάθε ευθεία περιέχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά σηmicroεία Υπάρχουν τουλάχι-

στον τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται (κείνται) στην ίδια ευθεία

Ι4 Τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C τα οποία δεν ϐρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία

ορίζουν ένα microοναδικό επίπεδο που τα περιέχει

Ι5 Αν δύο σηmicroεία A B microιας ευθείας ℓ ϐρίσκονται σε ένα επίπεδο Π τότε και κάθε

άλλο σηmicroείο της ℓ ϐρίσκεται σο Π

Ι6 Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σηmicroείο τότε έχουν ακόmicroη τουλάχιστον άλλο ένα

κοινό σηmicroείο

Ι7 Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία που δεν κείνται στο ίδιο

επίπεδο

ΙΙ Αξιώmicroατα διάταξης

Τα αξιώmicroατα αυτής της κατηγορίας καθορίζουν την έννοια του microεταξύ microέσω της

οποίας microπορεί να εισαχθεί microια έννοια διάταξης ανάmicroεσα στα σηmicroεία microιας ευθείας

ενός επιπέδου ή του χώρου

ΙΙ1 Αν ένα σηmicroείο B κείται microεταξύ των σηmicroείων A και C τότε τα A B C είναι

διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας και το B ϐρίσκεται επίσης microεταξύ των C και A

ΙΙ2 Για οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία A C υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένα

σηmicroείο B που ϐρίσκεται microεταξύ των A και C

ΙΙ3 Αν A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας τότε microόνον ένα από

αυτά ϐρίσκεται microεταξύ των δύο άλλων

ΙΙ4 ΄Εστω ότι A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται στην ίδια

ευθεία και ℓ είναι microία ευθεία που δεν περιέχει κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία

Αν η ℓ διέρχεται από ένα σηmicroείο του (ευθυγράmicromicroου) τmicroήmicroατος AB τότε αυτή διέρχεται

επίσης είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος AC είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος BC

Το προηγούmicroενο αξίωmicroα είναι γνωστό και ως αξίωmicroα του Pasch [καθώς οφεί-

λεται στον γερmicroανό γεωmicroέτρη Moritz Pasch (1843ndash1931)] Για τη διατύπωσή

του απαιτείται ο επόmicroενος ορισmicroός Κάλούmicroε ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB το σύνολο

των σηmicroείων microεταξύ των A και B Το τmicroήmicroα AB είναι το ίδιο microε το BA

ΙΙΙ Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Η κατηγορία αυτών των αξιωmicroάτων ορίζει την έννοια της ισότητας και κατ᾿ επέκτασιν

την έννοια της κίνησης οπότε αξιωmicroατικοποιείται η διαδικασία της microετακίνησης και

υπέρθεσης που χρησιmicroοποιείται στα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη

ΙΙΙ1 Αν A και B είναι διαφορετικά σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime ένα σηmicroείο microιας

ευθείας ℓ όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικής της k τότε σε microία καθορισmicroένη πλευρά της

ℓ από το Aprime υπάρχει πάντοτε ένα microοναδικό σηmicroείο Bprime έτσι ώστε το τmicroήmicroα AB είναι

ίσο microε το AprimeBprime

16 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Το συmicroπέρασmicroα του προηγουmicroένου αξιώmicroατος συmicroβολικά γράφεται AB equiv AprimeBprime

(ή AB ≃ AprimeBprime ακόmicroη και AB = AprimeBprime) Χρείαζόmicroαστε εδώ τους εξής ορισmicroούς

Μία ηmicroιευθεία (ή ακτίνα) από το σηmicroείο A προς το B αποτελείται από όλα τα

σηmicroεία C της ευθείας AB έτσι ώστε το A να microην είναι microεταξύ των B και C

Εποmicroένως κάθε σηmicroείο A microιας ευθείας ℓ ορίζει δύο ηmicroιευθείες (της ℓ από το

A) microε microοναδικό κοινό σηmicroείο το A Μία πλευρά της ℓ από το A αποτελείται από

όλα τα σηmicroεία που ϐρίσκονται στην ίδια ηmicroιευθεία της ℓ και είναι διαφορετικά

από το A

ΙΙΙ2 Αν AprimeBprime equiv AB και AprimeprimeBprimeprime equiv AB τότε και AprimeBprime equiv AprimeprimeBprimeprime

Από τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα προκύπτει ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz conshy

gruence) είναι σχέση ισοδυναmicroίας

ΙΙΙ3 Υποθέτουmicroε ότι A B είναι σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime Bprime σηmicroεία microιας ευθείας

ℓ (microε k = ℓ ή k ℓ) Αν C είναι σηmicroείο microεταξύ των A B και το Cprime σηmicroείο microεταξύ των

Aprime Bprime έτσι ώστε AC equiv AprimeCprime και CB equiv CprimeBprime τοτε είναι και AB equiv AprimeBprime

Πριν τη διατύπωση των δύο εποmicroένων αξιωmicroάτων δίνονται οι εξής ορισmicroοί ∆ύο

ηmicroιευθείες h και k microε κοινή αρχή (άκρο) το σηmicroείο O οι οποίες ανήκουν σε

διαφορετικές ευθείες λέmicroε ότι σχηmicroατίζουν microία γωνία microε πλευρές τις h k και

κορυφή το O Η γωνία αυτή συmicroβολίζεται microε ang (h k) Αν επί της h ϑεωρήσουmicroε

ένα σηmicroείο P και επί της k ένα σηmicroείο Q (οπότε h = OP και k = OQ) τότε την

ang (h k) συmicroβολίζουmicroε και microε ang POQ

Από σχετική πρόταση (microέσω των οmicroάδων αξιωmicroάτων Ι και ΙΙ) προκύπτει ότι κά-

ϑε ευθεία χωρίζει τα σηmicroεία του επιπέδου στο οποίο ϐρίσκεται σε δύο microέρη

ή πλευρές ως προς αυτήν Χωρίς να καταφύγουmicroε στις τεχνικές λεπτοέρειες

(που είναι αναγκαίες για την αυστηρή διατύπωση της πρότασης) είναι ϕανερόν

ότι εδώ δικαιολογούνται πλήρως οι έννοιες του διαχωρισmicroού του επιπέδου σε

δύο microέρη των πλευρών microιας ευθείας στο επίπεδο κα που χρησιmicroοποιούνται

στα laquoΣτοιχείαraquo ΄Ετσι microία γωνία χωρίζει το επίπεδο σε εσωτερικά και εξωτερι-

κά σηmicroεία όπως τα αντιλαmicroβανόmicroαστε διαισθητικά (αλλά ορίζονται microε κάθε

αυστηρότητα στο προτεινόmicroενο αξιωmicroατικό σύστηmicroα)

Τέλος ένα τρίγωνο ορίζεται από τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C και τα ευθύ-

γραmicromicroα τmicroήmicroατα AB BC AC Το συmicroβολίζουmicroε microε ABC

ΙΙΙ4 Υποθέτουmicroε ότι ang (h k) είναι microία γωνία ενός επιπέδου Π (microε κορυφή O) και ℓprime

ευθεία ενός επιπέδου Πprime (όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικού του Π) Θεωρούmicroε επίσης

και microία καθορισmicroένη πλευρά του Πprime ως προς την ℓprime Αν hprime είναι microία ηmicroιευθεία της ℓprime

microε αρχή ένα σηmicroείο Oprime τότε υπάρχει στο Πprime microια microοναδική ηmicroιευθεία kprime (εκ του Oprime)

τέτοια ώστε η ang (hprime kprime) να είναι ίση microε την ang (h k) (συmicroβολικά ang (hprime kprime) equiv ang (h k))και όλα τα εσωτρικά σηmicroεία της ang (hprime kprime) να ϐρίσκονται στην ίδια πλευρά του Πprime ως

προς την ℓprime

ΙΙΙ5 Αν σε δύο τρίγωνα ABC και AprimeBprimeCprime ισχύουν οι ισότητες AB equiv AprimeBprime AC equiv AprimeCprime

και angBAC equiv angBprimeAprimeCprime τότε ισχύει επίσης και η ισότητα angABC equiv angAprimeBprimeCprime

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 17

IV Αξίωmicroα των παραλλήλων

IV1 (Αξίωmicroα του Ευκλείδη microε την ισοδύναmicroη διατύπωση του Playfair) Από ένα

σηmicroείο P εκτός ευθείας ℓ άγεται (στο επίπεδο που ορίζεται από το P και την ℓ) microία

microοναδική ευθεία k παράλληλη προς την ℓ

V Αξιώmicroατα συνεχείας

V1 (Αξίωmicroα του Αρχιmicroήδη ή αξίωmicroα της microέτρησης) Αν AB και CD είναι δύο ευθύγραmicro-

microα τmicroήmicroατα τότε επί της ευθείας AB υπάρχει ένα πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων A1

A2 Aν έτσι ώστε AA1 equiv A1A2 equiv A2A3 equiv middot middot middot equiv Aνminus1Aν equiv CD και το B να ϐρίσκεται

microεταξύ των Aνminus1 και Aν

V2 (Αξίωmicroα της γραmicromicroικής πληρότητας) Το σύστηmicroα των σηmicroείων microιας ευθείας microε

τις σχέσεις της διάταξης και της ισότητας δεν microπορεί να επεκταθεί (δηλ να του επι-

συνάψουmicroε και άλλα σηmicroεία) εις τρόπον ώστε να παραmicroένουν αληθείς οι σχέσεις που

υφίστανται microεταξύ των στοιχείων του καθώς και οι ϐασικές ιδιότητες που απορρέουν

από τα αξιώmicroατα IndashIII και V1

Το αξίωmicroα V1 (του Αρχιmicroήδη) και αξίωmicroα V2 (της γραmicromicroικής πληρότητας) ισο-

δυναmicroούν microε το αξίωmicroα (συνεχείας) του Dedekind που έχει ως εξής

Για κάθε διαmicroέριση των σηmicroείων microιας ευθείας σε δύο microη κενά σύνολα τέτοια ώστε

κανένα σηmicroείο του ενός να microην ϐρίσκεται microεταξύ δύο σηmicroείων του άλλου υπάρχει

ένα σηmicroείο του ενός συνόλου που ϐρίσκεται microεταξύ οποιουδήποτε σηmicroείου αυτού

του συνόλου και οποιουδήποτε σηmicroείου του άλλου συνόλου

Για διάφορες προτάσεις που προκύπτουν από την εφαρmicroογή των παραπάνω α-

ξιωmicroάτων και σχετικά σχόλια παραπέmicroπουmicroε επίσης και στην ελληνική microετάφραση

του [18]

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα του Hilbert είναι διατυπωmicroένο microε τέτοιο τρόπο ώστε να

microην αναφέρεται κατ᾿ ανάγκην στον κόσmicroο της συνήθους εmicroπειρίας προς την οποίαν

ήταν περισσότερο προσανατολισmicroένο το σύστηmicroα του Ευκλείδη ΄Ετσι τα σηmicroεία microπο-

ϱούν να αναφέρονται στα σηmicroεία της εmicroπειρίας όπως microας τα διδάσκει η Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία αλλά και στα στοιχεία ενός συνόλου τα οποία αυθαιρέτως καλούmicroε έτσι

Το ίδιο και για τις ευθείες ενώ η σύmicroπτωση ενός σηmicroείου και microιας ευθείας (δηλαδή

το να κείται ένα σηmicroείο επί microιας ευθείας ή όχι) περιγράφεται από microιαν αφηρηmicroένη

microαθηmicroατική σχέση Θα τα δούmicroε όλα αυτά microε περισσότερες λεπτοmicroέρεις στο Κεφά-

λαιο 2

Την άποψη αυτή για τη ϑεmicroελίωση της γεωmicroετρίας κατά τρόπο γενικό και α-

ϕηρηmicroένο δηλαδή χωρίς άmicroεση αναφορά στην εmicroπειρία υποστηρίζει και ο Henri

Poincare (1854-1912) λέγοντας ότι (ϐλ [36 σελ 161])

18 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 7 Henri Poincare

Οι εκφράσεις laquoκείται επί διέρχεται απόraquo κλπ δεν προορίζονται να

ανακαλέσουν εικόνες είναι απλώς συνώνυmicroα της λέξης προσδιορίζω Οι

λέξεις laquoσηmicroείο ευθεία και επιπέδοraquo αυτές καθ᾿ εαυτές δεν πρέπει να προκα-

λούν στο πνεύmicroα καmicroία αισθητή παράσταση Θα microπορούσαν αδιαφόρως να

αποδίδουν αντικείmicroενα οποιασδήποτε ϕύσης αρκεί να microπορούmicroε να εγκα-

ϑιδρύσουmicroε microεταξύ αυτών των αντικειmicroένων microιάν αντιστοιχία τέτοια ώστε

σε κάθε σύστηmicroα δύο αντικειmicroένων που καλούνται σηmicroεία να αντιστοιχεί

ένα από τα αντικείmicroενα που καλούνται ευθείες και ένα microόνον

Τοιουτοτρόπως ο Κος Hilbert για να το πούmicroε έτσι προσπάθησε να

ϑέσει τα αξιώmicroατα σε microία τέτοια microορφή που να microπορούν να εφαρmicroοστούν

από οποιονδήποτε που δεν ϑα αντιλαmicroβανόταν το νόηmicroά τους γιατί δεν ϑα

είχε δεί ποτέ ούτε σηmicroεία ούτε ευθεία ούτε επίπεδο

Θα microπορούmicroε έτσι να κατασκευάσουmicroε όλη τη γεωmicroετρία δεν ϑα έλεγα

ακριβώς χωρίς να καταλαβαίνουmicroε τίποτε αφού ϑα συλλάβουmicroε τη λογική

αλληλουχία των προτάσεων αλλά το λιγότερο χωρίς να ϐλέπουmicroε τίποτε

σ᾿ αυτήν Θα microπορούσαmicroε να εmicroπιστευθούmicroε τα αξιώmicroατα σε microία λογική

microηχανή για παράδειγmicroα στο laquoλογικό πιάνοraquo του Stanley Jevons και ϑα

ϐλέπαmicroε να ϐγαίνει απ᾿ αυτό όλη η γεωmicroετρία

Το ακριβές κείmicroενο στα γαλλικά έχει ως εξής

Les expressions etre situe sur passer par etc ne sont pas deshy

stinees a evoquer des images elles sont simplement des synonymes du

mot determiner Les mots point droite et plan euxshymemes ne doivent

provoquer dans lrsquo esprit aucune representation sensible Ils pourraient

indifferemment designer des objets drsquo une nature quelconque pourvu

qursquo on put etablir entre ces objets une correspondance telle qursquo a tout

systeme de deux objets appeles points correspondit un des objets apshy

peles droites et un seul

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

Ainsi M Hilbert a pour ainsi dire cherche a mettre les axiomes sous

une forme telle qursquo ils puissent etre appliquees par quelqursquo un qui nrsquo en

comprendrait pas le sens parce qursquo il nrsquo aurait jamais vu ni points ni

droite ni plan

On pourra ainsi construire toute la geometrie je ne dirais pas preciseshy

ment sans y rien comprendre puisqursquo on saisira lrsquo enchainement logique

des propositions mais tout au moins sans y rien voir On pourrait confier

les axiomes a une machine a raisoner par example au piano raisoneur

de Stanley Jevons et on en verrair sortir toute la geometrie

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα

΄Οπως προκύπτει απ᾿ όσα αναφέραmicroε microέχρις εδώ ένα σύγχρονο αξιωmicroατικό σύστηmicroα

για τη ϑεmicroελίωση microιας γεωmicroετρίας περιέχει τα εξής στοιχεία

bull Απροσδιόριστους όρους (δηλαδή microη οριζόmicroενες αρχικές έννοιες ό-

πως σηmicroείο ευθεία κλπ)

bull Ορισmicroούς (όπως παραλληλία ευθειών κύκλος τρίγωνο κλπ)

bull Αξιώmicroατα (όπως τα αξιώmicroατα του Ευκλείδη του Hilbert)

bull ΄Ενα λογικό σύστηmicroα (όπως αυτό της Αριστοτέλειας Λογικής)

bull Θεωρήmicroατα Προτάσεις κλπ (που συνάγονται από τα τρία πρώτα

στοιχεία microεσω του λογικού συστήmicroατος)

Ταυτόχρονα πρέπει το σύστηmicroα να ικανοποιεί και τις ακόλουθες απαιτήσεις

1 Να είναι συνεπές (consistent) δηλαδή να microην υπάρχουν αξιώmicroατα ή ϑεω-

ϱήmicroατα που αντιφάσκουν microεταξύ τους Η σηmicroασία της συνέπειας είναι προφανής

Ποιά αξία ϑα είχε ένα σύστηmicroα στο οποίο ϑα microπορούσαν να ισχύουν ταυτόχρονα ένα

συmicroπέρασmicroα και η άρνησή του

2 Να είναι ανεξάρτητο (independent) δηλαδή κανένα αξίωmicroα να microην προκύπτει

(αποδεικνύεται) από άλλα αξιώmicroατα Τέτοια αξιώmicroατα καλούνται επίσης ανεξάρτητα

3 Να είναι πλήρες (complete) δηλαδή για κάθε πρόταση που microπορεί να δια-

τυπωθεί microε τους όρους και τα αξιώmicroατα του συστήmicroατος ϑα πρέπει να microπορούmicroε να

αποφανθούmicroε για την ισχύ ή όχι της πρότασης Αυτό ισοδύναmicroα σηmicroαίνει ότι δεν

είναι δυνατόν να προσθέσουmicroε στο σύστηmicroα κι ένα άλλο ανεξάρτητο αξίωmicroα

Ο άmicroεσος έλεγχος των παραπάνω απαιτήσεων είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο αν ό-

χι αδύνατο Ιδιαιτέρως η δυνατότητα της πληρότητας τίθεται υπό αmicroφισβήτηση πλέον

microετά την απόδειξη [από τον Kurt Godel(1906ndash1978)] της microη πληρότητας της Αριθ-

microητικής αλλά και κάθε άλλου αξιωmicroατικού συστήmicroατος που περιέχει αποτελέσmicroατα

της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθmicroών

Για τον έλεγχο της συνέπειας και ανεξαρτησίας ενός συστήmicroατος καταφεύγουmicroε

στα (γεωmicroετρικά) microοντέλα Ακριβέστερα ένα microοντέλο για ένα (γεωmicroετρικό) αξιωmicroατι-

κό σύστηmicroα προκύπτει όταν στους απροσδιόριστους όρους του συστήmicroατος δώσουmicroε

20 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microια συγκεκριmicroένη ερmicroηνεία έτσι ώστε τα αξιώmicroατα να είναι τώρα αληθείς προτά-

σεις για τα αντικείmicroενα της ερmicroηνείας Τα microοντέλα microπορεί να αναφερονται είτε στον

ϕυσικό κόσmicroο είτε σε άλλα αξιωmicroατικά συστήmicroατα

Η ύπαρξη microοντέλου για ένα αξιωmicroατικό σύστηmicroα συνεπάγεται τη συνέπεια του

τελευταίου Αυτό είναι προφανές αρκεί να σκεφτούmicroε ότι η ασυνέπεια microεταξύ α-

ξιωmicroάτων ϑα οδηγούσε σε αντίφαση αληθών (στο microοντέλο) προτάσεων Οmicroοίως και

οποιαδήποτε αντίφαση αξιωmicroάτων microε ϑεωρήmicroατα ή αντίφαση microεταξύ ϑεωρηmicroάτων

Φυσικά αν microια πρόταση αληθεύει σε ένα microοντέλο δεν σηmicroαίνει ότι είναι και ϑεώρη-

microα του αντίστοιχου αξιωmicroατικού συστήmicroατος

Απ᾿ το άλλο microέρος η ανεξαρτησία ενός συστήmicroατος οδηγεί προφανώς στην ε-

πιλογή του ελαχίστου αριθmicroού αξιωmicroάτων που είναι απαραίτητα Βέβαια όσο πιο

λίγα είναι τα αξιώmicroατα τόσο δυσκολότερες είναι οι αποδειξεις (τουλάχιστον ενός αρ-

χικού αριθmicroού ϐασικών προτάσεων) και τόσο microεγαλύτερος είναι ο αριθmicroός των προς

απόδειξη προτάσεων

Μια συνήθης διαδικασία ελέγχου της ανεξαρτησίας ενός αξιωmicroατικού συστήmicroατος

(microέσω microοντέλων) είναι η εξής ΄Εστω ότι ϑέλουmicroε να ελέγξουmicroε την ανεξαρτησία του

αξιώmicroατος X στο αξιωmicroατικό σύστηmicroα S Θεωρούmicroε το αύστηmicroα Sprime που προκύπτει

από το S όταν στη ϑέση του X ϐάλουmicroε την άρνησή του και προσπαθούmicroε να

κατασκευάσουmicroε ένα microοντέλο Mprime για το Sprime Αν κατασκευάζεται ένα Mprime τότε το

X είναι ανεξάρτητο επειδή τα αξιώmicroατα του Sprime είναι αληθείς προτάσεις στο Mprime

Πράγmicroατι αν το X ήταν εξηρτηmicroένο ϑα ήταν ένα ϑεώρηmicroα που ϑα προέκυπτε από

τα υπόλοιπα αξιώmicroατα του S συνεπώς ϑα ήταν και microία αληθής πρόταση στο Mprime

πράγmicroα που δεν microπορεί να συmicroβεί αφού στο ίδιο το Mprime αληθεύει η άρνηση του X

Προφανώς microια τέτοια διαδικασία είναι επίπονη και ϑα πρέπει να κατασκευαστούν

τόσα microοντέλα όσος είναι ο αριθmicroός των αξιωmicroάτων του συστήmicroατος

Στη συνέχεια ϑα δούmicroε microερικά microοντέλα microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ενώ στο

Κεφάλαιο 2 ϑα δούmicroε microοντέλα του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία

Είπαmicroε πιο πάνω ότι οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες στις οποίες ανήκει η Υπερβολική

Γεωmicroετρία που ϑα εξετάσουmicroε microε συντοmicroία εδώ είναι δηmicroιούργηmicroα του 19ου αιώ-

να Προέκυψαν από τη συστηmicroατική microελέτη της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας ιδιαιτέρως

από τις προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώmicroατος του Ευκλείδη (αξίωmicroα των πα-

ϱαλλήλων) Επειδή πολλά συmicroπεράσmicroα τους ήσαν παράξενα σε σχέση microε αυτά της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας συνάντησαν την άρνηση Παρά το γεγονός ότι ο ϕιλόσοφος

I Kant είχε πεθάνει από το 1808 οι απόψεις του επί της γεωmicroετρίας εξακολουθού-

σαν να επηρεάζουν πολλούς εξού και η πολεmicroική τους κατά της νέας γεωmicroετρίας

που εmicroφανίστηκε σχεδόν microια εικοσαετία αργότερα

΄Οπως επίσης αναφέραmicroε στην Παράγραφο 13 το ερώτηmicroα της ανεξαρτησίας του

5ου αξιώmicroατος επιλύθηκε οριστικά το 1868 από τον E Beltrami οποίος κατεσκεύ-

ασε ένα microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ πιο κάτω τα περί ψευδόσφαιρας)

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 21

Η σχετική διαδικασία γίνεται όπως περιγράφεται στην προηγούmicroενη παράγραφο

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα Sprime της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας προκύπτει από το σύστηmicroα

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας S microε την αντίστοιχη άρνηση του 5ου αξιώmicroατος Για

το Sprime κατασκευάζεται ένα microοντέλο (ψευδόσφαιρα) στο οποίον αληθεύουν ως ϑεω-

ϱήmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα του Sprime εποmicroένως όπως εξηγήσαmicroε το 5ο αξίωmicroα είναι

ανεξάρτητο

Η κατανόηση των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών (ιδιαίτερα της Ελλειπτικής) ήταν

αρκετά δύσκολη microέχρι την ανακάλυψη microερικών απλών microοντέλων τα οποία ϑα περι-

γράψουmicroε στη συνέχεια

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι (ϐλ σελίδα 11) η Υπερβολική Γεωmicroετρία προκύπτει όταν στη

ϑέση του 5ου αξιώmicroατος δεχτούmicroε ότι ισχύει το

Υπερβολικό αξίωmicroα Από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται προς αυτήν δύο

ή περισσότερες παράλληλες

Εικονα 8 Janos Bolyai

ενώ διατηρούνται τα υπόλοιπα τέσσερα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Η

αλλαγή αυτή δεν επηρεάζει ολόκληρο το οικοδόmicroηmicroα της τελευταίας Πολλές προ-

τάσεις της εξακολουθούν να ισχύουν (εφ᾿ όσον δεν ϐασίζονται στο 5ο αξίωmicroα άρα

αποτελούν microέρος της Απόλυτης Γεωmicroετρίας) Τα περισσότερα όmicroως συmicroπεράσmicroατα

της Ευκλειδειας Γεωmicroετρίας ανατρέπονται και οδηγούν σε περίεργα (για την ανθρώ-

πινη εmicroπειρία) συmicroπεράσmicroατα όπως ότι laquoτο άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των δύο ορθώνraquo laquoδύο τρίγωνα microε ίσες γωνίες είναι ίσαraquo και πολλά άλλα

Θεωρούmicroε δηmicroιουργούς της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας τον Ούγγρο Janos W Bolshy

yai (1802ndash1860) και τον Ρώσο Nikolai I Lobachewsky (1793ndash1856) οι οποίοι δηmicroο-

σίευσαν τα αποτελέσmicroατά τους (ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον) το 1829 και 1832

22 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αντίστοιχα

Εικονα 9 Nikolai I Lobachewsky

Επίσης και ο microεγάλος microαθηmicroατικός K F Gauss (1775ndash1855) είχε ανακαλύψει

αυτή τη γεωmicroετρία πριν τις δηmicroοσιεύσεις των άλλων όπως microαρτυρούν διάφορες επι-

στολές του καθώς και τα ηmicroερολόγιά του που είδαν το ϕώς της δηmicroοσιότητας περί-

που σαράντα χρόνια microετά τον ϑάνατό του ΄Οmicroως ο Gauss δεν δηmicroοσίευσε τίποτε αφ᾿

ενός microεν ϕοβούmicroενος τις laquoϕωνές των Βοιωτώνraquo δηλαδή τις αντιδράσεις αυτών που δεν

ϑα microπορούσαν να κατανοήσουν τη νέα γεωmicroετρία αφ᾿ ετέρου δε λόγω της επιθυmicroίας

του οι εργασίες του να είναι άψογες από κάθε άποψη γι᾿ αυτό και οι δηmicroοσιεύσεις

του είναι λίγες σε σχέση microε την πληθώρα των αποτελεσmicroάτων που περιέγραφε στα

ηmicroερολόγιά του Για λεπτοmicroέρειες σχετικές microε τη Ϲωή και τις δραστηριότητες των

προηγουmicroένων παραπέmicroπουmicroε πχ στους [8] [11] [15] και [20]

Εδώ πρέπει να αναφέρουmicroε ότι ένας σηmicroαντικός αριθmicroός αποτελεσmicroάτων της Υ-

περβολικής Γεωmicroετρίας είχαν ανακαλυφθεί και από τον Ιταλό Gerolamo Saccheri

(1667ndash1773) σχεδόν εκατό χρόνια πριν την επίσηmicroη εmicroφάνισή της Αυτά προέκυ-

ψαν από την προσπάθειά του να αποδείξει ότι το 5ο αξίωmicroα του Ευκλείδη δεν ήταν

ανεξάρτητο Υποθέτοντας λοιπόν το αντίθετο κατέληξε (microέσω διαφόρων σκέψεων για

το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου που στο πλαίσιο της Απόλυτης Γεωmicroετρίας

δεν microπορεί να υπερβαίνει τις δύο ορθές) σε συmicroπεράσmicroατα ϱιζικά αντίθετα από αυτά

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Επειδή αυτό συνιστούσε κατά την άποψή του αντί-

ϕαση (αφού microέχρι τότε ήταν εδραιωmicroένη η πεποίθηση ότι η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ήταν η microόνη δυνατή) ϑα έπρεπε να δεχθεί την εξάρτηση του αξιώmicroατος και κατά

συνέπεια την ισχύ της Απόλυτης Γεωmicroετρίας Κατ᾿ αυτόν τον τρόπο ο Saccheri όχι

microόνον υπέπεσε σε λογικό λάθος αλλά έχασε και την ευκαιρία να ϑεωρηθεί ο πατέ-

ϱας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού τα συmicroπεράσmicroατά της στα οποία έφτασε τα

απέρριψε ως laquoαπεχθήraquo

Επίσης ο Γερmicroανός Μαθηmicroατικός Johann Lambert (1728ndash1777) είχε πλησιάσει

πολύ στην ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού διεπίστωσε ότι η άρνηση

του αξιώmicroατος των παραλλήλων οδηγεί σε τρίγωνα microε άθροισmicroα γωνιών διαφορετι-

κό από τις 180 καθώς και στην ανυπαρξία οmicroοίων τριγώνων Απέρριψε όmicroως τα

συmicroπεράσmicroατα αυτά ϑεωρώντας ότι οδηγούν σε αντιφάσεις Σχετικές λεπτοmicroέρειες

αναφέρονται στο [32]

Το πρώτο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί η ψευδόσφαιρα (pseudoshy

sphere) που πρότεινε ο E Beltrami το 1868 Πρόκειται για την επιφάνεια που απο-

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 23

τελείται από microία ή δύο χοάνες όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 12 ΄Οψεις της ψευδόσφαιρας (από το ϐιβλίο [11])

Η ψευδόσφαιρα παράγεται από την περιστροφή (εδώ) περί τον άξονα των x της

καmicroπύλης που καλείται έλκουσα (tractrix) και απεικονίζεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 13 Η έλκουσα (από το httpTractrix)

Πολύ περιγραφικά η έλκουσα παράγεται ως εξής Υποθέτουmicroε ότι στο σηmicroείο

(0 1) τοποθετείται ένα αντικείmicroενο ενώ στην αρχή των αξόνων στέκεται ένας πα-

ϱατηρητής που συνδέεται microε το αντικείmicroενο microε microία αλυσίδα microήκους 1 Καθώς ο

παρατηρητής κινείται στον άξονα των x κατά τη ϑετική ϕορά το αντικείmicroενο (κι-

νούmicroενο εκτός του άξονος των y) διαγράφει το δεξιό τmicroήmicroα της καmicroπύλη Ανάλογα

σχηmicroατίζεται και το αριστερό τmicroήmicroα Χαρακτηριστικό της έλκουσας είναι το ότι το

microήκος της εφαπτοmicroένης από το σηmicroείο επαφής microέχρι το σηmicroείο τοmicroής της microε τον

άξονα των x είναι σταθερά 1

24 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία των Επιφανειών αποδεικνύεται ότι η ψευδόσφαιρα έχει

σταθερή αρνητική καmicroπυλότητα Gauss αντίθετα από τη συνήθη σφαίρα του τριδιά-

στατου χώρου που έχει σταθερή ϑετική καmicroπυλότητα (για την έννοια της καmicroπυλό-

τητας παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις microας [7])

Στην περίπτωση αυτού του microοντέλου ϑεωρούmicroε ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας τα σηmicroεία της επιφάνειας της ψευδόσφαιρας ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε τις

λεγόmicroενες γεωδαισιακές γραmicromicroές της ίδιας επιφάνειας Οι τελευταίες είναι το ανά-

λογο των ευθειών του (Ευκλειδείου) επιπέδου για microια επιφάνεια Ακριβέστερα microία

γεωδαισιακή είναι η καmicroπύλη η οποία έχει το microικρότερο microήκος από όλες τις καmicro-

πύλες που συνδέουν δύο σηmicroεία συνεπώς microετρά την απόσταση microεταξύ σηmicroείων της

επιφάνειας Οι γεωδαισιακές της ψευδόσφαιρας είναι καmicroπύλες όπως η ℓ και οι δύο

καmicroπύλες που περνούν από το P (ϐλ το δεύτερο σχήmicroα) Στο ίδιο σχήmicroα ϕαίνεται

ότι από το σηmicroείο P που ϐρίσκεται εκτός της ℓ διέρχονται περισσότερες της microιας

ευθείες που δεν τέmicroνουν την ℓ

΄Οmicroως το microοντέλο αυτό δεν είναι ένα πλήρες microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας

microε την έννοια οτι δεν ισχύουν όλα τα αξιώmicroατα της Πράγmicroατι δεν ίσχύει το αξίωmicroα

2 καθ᾿ όσον microια γεωδαισιακή όπως η ℓ δεν microπορεί να επεκταθεί laquoοmicroαλάraquo πάνω από

τα σηmicroεία επαφής των δύο χοανών Με τον όρο οmicroαλά εννοούmicroε ότι η καmicroπύλη έχει

εφαπτόmicroενες σε όλα τα σηmicroεία της πράγmicroα που δεν συmicroβαίνει στα σηmicroεία επαφής των

χοανών Στα ίδια σηmicroεία η επιφάνεια δεν διαθέτει εφαπτόmicroενα επίπεδα (ϐλ και [7])

Επίσης πρέπει να τονιστεί ότι κύκλοι όπως ο C του σχήmicroατος δεν είναι γεωδαισιακές

όπως microπορεί να ϕανεί εκ πρώτης όψεως

Εποmicroένως η ψευδόσφαιρα δεν αποδεικνύει τη συνέπεια της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας Αργότερα ο Hilbert απέδειξε ότι οι επιφάνειες αρνητικής καmicroπυλότητας δεν

microπορούν να δηmicroιουργήσουν microοντέλα της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Σε κάθε περίπτω-

ση όmicroως το microοντέλο του Beltrami ϐοήθησε τη διάδοση της γεωmicroετρίας αυτής και την

αναζήτηση ακριβέστερων microοντέλων

Σχηmicroα 14 Ο δίσκος των KleinshyBeltrami (από το ϐιβλίο [5])

Τα πράγmicroατα έγιναν απλούστερα microε τον δίσκο των KleinshyBeltrami που εmicroφα-

νίζεται στο προηγούmicroενο σχήmicroα Πρόκειται για το πρώτο πραγmicroατικό microοντέλο της

Υπερβολικής Γεωmicroετρίας που πρότειναν οι δύο αναφερόmicroενοι microαθηmicroατικοί (ανεξάρ-

τητα ο ένας από τον άλλον) το 1871

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

Εδώ ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερι-

κού του δίσκου και ως ευθείες τις (ανοιχτές) χορδές δηλαδή τις χορδές χωρίς τα

επί της περιφερείας άκρα τους Προφανώς από το σηmicroείο P του σχήmicroατος άγονται

άπειρες παράλληλες προς τη χορδή AB (χωρίς τα σηmicroεία A B) Το microοντέλο αυτό

χρησιmicroοποιείται επίσης για να αποδειχθεί ότι η Υπερβολική Γεωmicroετρία είναι υποσύ-

στηmicroα (Υπογεωmicroετρία) της Προβολικής Γεωmicroετρίας για την οποίαν γίνεται λόγος στο

επόmicroενο κεφάλαιο

Για την επαλήθευση του δευτέρου αξιώmicroατοςεισάγεται ένας κατάλληλος τύπος για

το microήκος ευθείας ϐάσει του οποίου αποδεικνύεται ότι καθώς προχωρούmicroε προς τα

άκρα microιας χορδής το microήκος της απειρίζεται Οmicroοίως ορίζονται microε κατάλληλο τρόπο

και οι γωνίες (οπότε αποδεικνύεται ότι το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των 180o)

΄Ενα άλλο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί ο δίσκος του Poincare

Σχηmicroα 15 Ο δίσκος του Poincare (από το ϐιβλίο [11])

Στην περίπτωση αυτή ως σηmicroεία ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερικού του δίσκου

(όπως και στην προηγούmicroενη περίπτωση) ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε του κύκλους

που είναι κάθετοι στον κύκλο του δίσκου καθώς και τις διαmicroέτρους του πρώτου ∆υο

κύκλοι λέγονται κάθετοι αν έχουν κάθετες εφαπτόmicroενες στα σηmicroεία τοmicroής τους Η

αξία του microοντέλου αυτού είναι ιστορικά σηmicroαντική γιατί χρησιmicroοποιήθηκε για την

απόδειξη της συνέπειας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Για microια λεπτοmicroερή παρουσία-

ση του microοντέλου του Poincare και τη επαλήθευση των αξιωmicroάτων της Υπερβολικής

Γεωmicroετρίας σ᾿ αυτό παραπέmicroπουmicroε στο [11 σελ 164ndash170]

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία είναι πιο πολύπλοκη στη ϑεmicroελίωσή της και οφείλεται στον

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως αναφέρεται στη σελιδα

11 το είδος αυτής της γεωmicroετρίας προκύπτει όταν αρνούmicroαστε καθ᾿ ολοκληρίαν

την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών ΄Οmicroως αν κρατήσουmicroε τα αξιώmicroατα 1 2 3 4 της

26 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 9 Bernhard Riemann

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και αντικαταστήσουmicroε απλώς το 5ο αξίωmicroα της microε το

Ελλειπτικό αξίωmicroα ∆ύο ευθείες (γραmicromicromicroές) τέmicroνονται πάντοτε

τότε microέσω του 2ου αξιώmicroατος και microερικών προτάσεων που συνάγονται απ᾿ αυτό

καταλήγουmicroε στην απόδειξη της ύπαρξης παραλλήλων Εποmicroένως για να ϑεmicroελιωθεί

microία γεωmicroετρία χωρίς παράλληλες ϑα πρέπει να διατηρηθούν τα αξιώmicroατα 1 3 4 της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας να αντικατασταθεί το 5ο αξίωmicroα microε το ελλειπτικό αξίωmicroα

και να αντικατασταθεί το 2ο αξίωmicroα microε το

Αξίωmicroα 2prime ΄Ενα πεπερασmicroένο ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microπορεί να επεκταθεί σε

ευθεία Η ευθεία αυτή microπορεί να είναι χωρίς όρια όχι όmicroως απαραιτήτως

και απείρου microήκους

Αλλά και micro᾿ αυτήν την αλλαγή microετά από αρκετά ϐήmicroατα διαπιστώνεται και πάλι

ότι υπάρχουν παράλληλες ΄Οπως δείχνει η προσεκτική έρευνα του πράγmicroατος για

την επίτευξη του σκοπού microας ϑα πρέπει να καταργήσουmicroε τη microία από τις δύο επόmicroε-

νες προτάσεις S1 και S2 αφού η ταυτόχρονη ισχύς τους microοιραία οδηγεί στην ύπαρξη

παραλλήλων

S1 Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

S2 ∆ύο (διαφορετικά) σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία

΄Ετσι

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S1 microε ταυ-

τόχρονη διατήρηση της S2 οδηγούν στην απλή ελλειπτική γεωmicroετρία

ενώ

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S2lowast microε

ταυτόχρονη διατήρηση της S1 οδηγούν στην διπλή ελλειπτική γεωmicroε-

τρία

Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουmicroε microια γεωmicroετρία εντελώς διαφορετική από την

Ευκλείδεια στην οποίαν δεν ισχύει κανένα από τα συmicroπεράσmicroατα της τελευταίας (σε

αντίθεση microε την Υπερβολική Γεωmicroετρία που διασώζει microερικά από αυτά)

lowast δηλαδή η άρνηση της microοναδικότητας αφού ορίζεται ευθεία κατά το αξίωmicroα 1

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 27

Η ακριβής διατύπωση ενός συνεπούς συστήmicroατος αξιωmicroάτων της Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας είναι πιο πολύπλοκη από την παράπανω (για χάρη της απλούστευσης)

ϐασική περιγραφή Για την πληρότητα περιγράφουmicroε δύο microοντέλα Το πρώτο (Σχήmicroα

16) αναφέρεται στην απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Σχηmicroα 16 Μοντέλο απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Ως σηmicroεία της απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας παίρνουmicroε όλα τα σηmicroεία της επιφά-

νειας ενός ηmicroισφαιρίου (στον Ευκλειδειο χώρο R3) εφ᾿ οσον αυτά δεν ϐρίσκονται επί

της γραmicromicroής του ισηmicroερινού καθώς και όλα τα Ϲεύγη αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του

ισηmicroερινού ∆ηλαδή ένα Ϲεύγος αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του ισηmicroερινού ϑεωρεί-

ται ένα σηmicroείο της γεωmicroετρίας αυτής Ως ευθείες ϑεωρούmicroε τους microισούς microέγιστους

κύκλους και τον ισηmicroερινό Το microήκος είναι το microήκος microε την Ευκλείδεια έννοια

λαmicroβάνοντας όmicroως υπόψη τις προηγούmicroενες απαιτήσεις Τέλος ως microέτρον γωνίας

παίρνουmicroε αυτό της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Αντίθετα στο microοντέλο της διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας που απεικονίζεται

στο Σχήmicroα 17 ϑεωρούmicroε όλα τα σηmicroεία ολόκληρης της σφαιρικής επιφάνειας και

(όλους) τους ολόκληρους microέγιστους κύκλους Να σηmicroειωθεί ότι οι microέγιστοι κύκλου

της σφαίρας αποτελούν τις γεωδαισιακές της (ϐλ σχετικώς τα αναφερόmicroενα στην

ψευδόσφαιρα) συνεπώς υλοποιούν την απόσταση microεταξύ δύο σηmicroείων

Σχηmicroα 17 Μοντέλο διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Μέσω των προηγουmicroένων microοντέλων microπορούmicroε να διαπιστώσουmicroε εύκολα microερικές

28 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ιδιότητες της αντίστοιχης Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας Για παράδειγmicroα έχουmicroε

Απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία ∆ιπλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

bull Μία ευθεία δεν χωρίζει το επίπεδο bull Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται microία microοναδική ευθεία

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται τουλάχιστον microία ευθεία

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε ένα σηmicroείο

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε δύο σηmicroεία

bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

Τα δύο τελευταία microοντέλα επειδή ανήκουν στη Σφαιρική Γεωmicroετρία microας κάνουν

πολλές ϕορές να χρησιmicroοποιούmicroε τον τελευταίο όρο στη ϑέση της Ελλειπτικής Γεω-

microετρίας Πολλές ιδιότητες των τριγώνων της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ήσαν γνωστές και

πριν την ανάπτυξη της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας και είχαν χρησιmicroοποιηθεί στην κατα-

σκευή (γεωγραφικών) χαρτών ΄Οmicroως η ερmicroηνεία της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ως ενός

διδιάστατου ελλειπτικού χώρου έγινε από τον Riemann στην περίφηmicroη επί Υφηγεσίᾳ

διάλεξή του (στο Πανεπιστήmicroιο του Gttingen το 1854) microε τίτλο Uber die Hypothesen

welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται

στα ϑεmicroέλια της γεωmicroετρίας)

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα microοντέλων της Υπερβολικής και Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας γίνεται τώρα εντελώς κατανοητή η συνηγορεία του Poincare (σελ 18)

που microε τόση ϑέρmicroη υποστηρίζει την άποψη του Hilbert ότι απροσδιόριστοι όροι

σηmicroείο και ευθεία microπορούν να έχουν οποιαδήποτε ερmicroηνεία (συγκρίνατε πχ τα

σηmicroεία της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας microε τα σηmicroεία της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας τις

ευθείες τις πρώτης microε τις ευθείες του δίσκου του Poincare ή τους microέγιστους κύκλους

της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας κλπ)

Κλείνοντας τα περί microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ϑα πρέπει να προσθέσουmicroε ότι οι

πιο ϱιζοσπαστικές αντιλήψεις για τη Γεωmicroετρία και την έννοια του χώρου ϐρίσκονται

στην προαναφερόmicroενη διάλεξη επί Υφηγεσίᾳ του Riemann ο οποίος ϕαντάστηκε ένα

χώρο καmicroπυλωmicroένο microε αυθαίρετη διάσταση ο οποίος microόνον τοπικά (δηλ στην πε-

ϱιοχή του κάθε σηmicroείου του) είναι ευκλείδειος ΄Ετσι ο Riemann συνέλαβε την έννοια

της Πολλαπλότητας (manifold) η οποία είχε τεράστια σηmicroασία για τη σύγχρονη ε-

ξέλιξη των microαθηmicroατικών και της ϕυσικής Η Θεωρία της Σχετικότητας του Albert

Einstein (1878ndash1955) ϐρήκε στη γεωmicroετρία του Riemann το αναγκαίο microαθηmicroατικό

υπόβαθρο για τη διατύπωση και την παραπέρα microελέτη της Στη ϑεωρία αυτή microέσω

της ταύτισης της καmicroπυλότητας (που είναι ιδιότητα και microέγεθος γεωmicroετρικό) microε τη

ϐαρύτητα (που είναι εκδήλωση της ύλης και microέγεθος ϕυσικό) καταλήγουmicroε σε microία

γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου Περισσοτερα ϑα αναπτυχθούν στην sect 43

18 Ασκήσεις 29

΄Οπως είναι ϕυσικό η προηγουmicroένη σύντοmicroη περιήγηση σε microερικές από τις ιδέ-

ες της γεωmicroετρίας δεν microπορεί να εξαντλήσει τις πολυάριθmicroες λεπτοmicroέρειες από τις

συναρπαστικές κατακτήσεις που πραγmicroατοποιήθηκαν στη microακραίωνη πορεία της

Συmicroπληρωmicroατικά ο αναγνώστης microπορεί να συmicroβουλευτεί ανάmicroεσα σε microια πλού-

σια ϐιβλιογραφία και τις εξής πηγές J N Cederberg [10] R L Faber [15] Χ

Στράντζαλος [41] (για την αξιωmicroατική microέθοδο και τη ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας και

microη Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας) M Spivak [38] [για microια microετάφραση στα Αγγλικά της

διάλεξης του Riemann ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια της

γεωmicroετρίας) στην οποίαν περιέχονται οι αντιλήψεις του τελευταίου για τον χώρο και

τη γεωmicroετρία] H Poincare [36] (για ποικίλλες σκέψεις του γύρω από τη γεωmicroετρία

τα microαθηmicroατικά και τη ϕυσική) Επίσης για διάφορα ιστορικά στοιχεία σχετικά microε

την εξέλιξη της γεωmicroετρίας τη Ϲωή και το έργο διαφόρων microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε και στους E T Bell [8] S Hollingdale [19] L Mlodinov [26] Μ Μπρίκα

[28] R Osserman [32] J Pierpont [35] D J Struik [42] και I M Yaglom [45]

Σηmicroείωση Για τη συγγραφή του κεφαλαίου αυτού χρησιmicroοποιήθηκαν κυρίως οι πη-

γές [8] [10] [11] [32] και [39] όπου παραπέmicroπουmicroε για περισσότερες λεπτοmicroέρειες

και συmicroπληρώσεις

18 Ασκήσεις

1 Να microελετηθεί η προσέγγιση του Saccheri (ϐλ [11 σελ 104ndash107])

2 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της επαλήθευσης των αξιωmicroάτων της Υπερβολική

Γεωmicroετρίας στο microοντέλο του Poincare (ϐλ [11 σελ 164ndash170])

3 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας (ϐλ [11 σελ 138ndash139

και 143ndash162])

4 Να αναζητηθεί η ιστορία της έλκουσας (σελ 23) και η παραmicroετρική microορφή της

5 Να αποδειχθεί ισχυρισmicroός της σελ 16 ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz congruence)

που ορίζεται από τα αξιώmicroατα της οmicroάδας ΙΙΙ του Hilbert είναι σχέση ισοδυναmicroίας

6 Να περιγραφεί ένα (αριθmicroητικό) microοντέλο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2

Συσχετισmicroένα και

προβολικά επίπεδα

Η αιφνιδία άνοδος της συνθετικής Προβολικής Γεωmicroετρί-

ας κατά τον 17ο αιώνα εmicroφανίζεται τώϱα σαν microία καθυστε-

ϱηmicroένη αναβίωση του ελληνικού πνεύmicroατος ΄Οmicroως ή-

ταν microόνον microε το εκκεντρικό laquoΠρόχειρο Σχέδιοraquo (συντετmicroη-

microένος τίτλος) του Desargues στα 1639 που η συνθετική

Προβολική Γεωmicroετρία αναπτύχθηκε σε νέο και ανεξάρτη-

το κλάδο της γεωmicroετρίας

E T Bell [8 σελ 158]

Μετα απο microια συντοmicroη εισαγωγή στη δηmicroιουργία της Προβολικής Γεωmicroετρίας

στις sectsect21ndash22 του κεφαλαίου παρουσιάζεται η κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου αντιστοίχως Επισηmicroαίνονται

οι ϐασικές διαφορές τους και συνάγονται τα πρώτα απαραίτητα για την συνέχεια

συmicroπεράσmicroατα

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

31

32 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Η sect23 αναφέρεται στην αρχή του δυϊσmicroού Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν για κάθε συmicroπέρα-

σmicroα που ισχύει στο προβολικό επίπεδο ισχύει και το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

να γίνει η απόδειξη του τελευταίου

Οι στοιχειώδεις απεικονίσεις (sect24) είναι αmicroφιmicroονοσήmicroαντες απεικονίσεις microεταξύ

απλών σχηmicroατισmicroών (όπως σηmicroειοσειρών δεσmicroών ευθειών) και επιτρέπουν τη σύγ-

κριση του πλήθους των στοιχείων των προηγουmicroένων σχηmicroατισmicroών

Στην sect25 συνδέονται τα συσχετισmicroένα microε τα προβολικά επίπεδα Από ένα συ-

σχετισmicroένο επίπεδο microε την προσθήκη των ιδεατών (ή κατ᾿ εκδοχήν) σηmicroείων και της

ιδεατής ευθείας οδηγούmicroαστε σε ένα προβολικό επίπεδο Αντιστρόφως η αφαίρεση

microιας ευθείας του προβολικού επιπέδου οδηγεί σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

Τέλος η sect26 αφιερώνεται στην έννοια του microορφισmicroού microεταξύ προβολικών επιπέ-

δων ΄Ενας microορφισmicroός αποτελείται από ένα Ϲεύγος απεικονίσεων που αντανακλούν

microε κατάλληλο τρόπο τη δοmicroή του προβολικού επιπέδου

20 Εισαγωγή

Η Προβολική Γεωmicroετρία είναι microία microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία αφού σ᾿ αυτήν δεχόmicroα-

στε ότι δεν ορίζεται η έννοια της παραλληλίας

΄Οπως και η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία έτσι και η Προβολική προέκυψε από microιαν

ανάγκη Ανάγκη όχι πρακτική αλλά αισθητική Πρόκειται για την προσπάθεια να

αποτυπωθούν τα αντικείmicroενα του τριδιάστατου χώρου στο διδιάστατο Ϲωγραφικό πί-

νακα microε τρόπο που να δηmicroιουργείται η αίσθηση του ϐάθους (προοπτική)

Παρ᾿ όλο που η επίλυση του προηγουmicroένου αισθητικού προβλήmicroατος είχε απα-

σχολήσει τους αρχαίους ΄Ελληνες Ϲωγράφους και αργότερα τους Βυζαντινούς ϑα

λέγαmicroε ότι οι κανόνες της προοπτικής συστηmicroατοποιήθηκαν κυρίως στην περίοδο

της Αναγέννησης από καλλιτέχνες όπως οι Filippo Brunelleschi (1377ndash1446) Paolo

Uccello (1379ndash1475) Leone Battista Alberti (1404ndash1472) Pierro de la Francesca

(1416ndash1492) Sandro Botticelli (1445ndash1510) Leonardo da Vinci (1452ndash1519) Alshy

brecht Durer (1471ndash1528) Michelangelo Buonarroti (1475ndash1564) Raffaello Santi

Sanzio (1483ndash1520) κα Αξίζει σχετικώς να αναφέρουmicroε ότι πολλοί από τους microε-

γάλους Ϲωγράφους και γλύπτες της περιόδου αυτής είχαν σοβαρές γνώσεις microαθηmicroα-

τικών και microηχανικής για τούτο και οι κανόνες της προοπτικής είχαν microαθηmicroατικό

υπόβαθρο και απετέλεσαν τη ϐάση για τη microεταγενέστερη ανάπτυξη της Προβολικής

Γεωmicroετρίας σε αυτοτελή κλάδο των microαθηmicroατικών

Ας δούmicroε microε συντοmicroία τη διαδικασία αποτύπωσης των εικόνων στο Ϲωγραφικό

πίνακα Για ευκολία υποθέτουmicroε ότι ο τελευταίος [που συmicroβολίζεται microε (Π ) στο

επόmicroενο σχήmicroα] είναι διαφανής (γυάλινος) και κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο (E)επάνω στο οποίο στέκεται ο Ϲωγράφος Η εικόνα ενός σηmicroείου P του επιπέδου (E)είναι το σηmicroείο P prime τοmicroή της οπτικής ακτίνας OP (αν O συmicroβολίζει τον οφθαλmicroό του

Ϲωγράφου) microε το επίπεδο του πίνακα (Π ) Παρόmicroοια προσδιορίζεται στον πίνακα και

20 Εισαγωγή 33

η εικόνα Rprime οποιουδήποτε σηmicroείου R του χώρου

Σχηmicroα 21

Εξάλλου από την εmicroπειρία microας γνωρίζουmicroε ότι καθώς τα σηmicroεία P του χώρου

ή του επιπέδου (E) αποmicroακρύνονται από το επίπεδο (Π ) οι αντίστοιχες εικόνες P prime

πλησιάζουν προς την ευθεία AB (ϐλ Σχήmicroα 22) που είναι η τοmicroή του (Π ) microε ένα

νοητό επίπεδο το οποίο διέρχεται από το O και είναι παράλληλο προς το επίπεδο

(E) Η ευθεία AB αποτυπώνει στον πίνακα του Ϲωγράφου τον οπτικό ορίζοντα τα

σηmicroεία του οποίου ϕαίνονται να ϐρίσκονται σε laquoάπειρηraquo απόσταση από τον Ϲωγράφο

(laquoεπ᾿ άπειρονraquo σηmicroεία)

Σχηmicroα 22

Παρόmicroοια δύο ευθείες α και [του (E) ή του χώρου] οι οποίες είναι παράλληλες

34 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

microεταξύ τους αποτυπώνονται στον πίνακα σε δύο ευθείες αprime και prime τεmicroνόmicroενες σε ένα

σηmicroείο της γραmicromicroής του ορίζοντα AB (ϐλτο επόmicroενο σχήmicroα)

Σχηmicroα 23

Εποmicroένως στο Ϲωγραφικό πίνακα εmicroφανίζεται ένα άλλο είδος γεωmicroετρίας στο

οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες (εκτός από αυτές που απεικονίζουν τις

ευθείες τις παράλληλες προς την CD άρα και την AB αλλά κι αυτές ϑεωρούmicroε ότι

τέmicroνονται στο άπειρο πραγmicroα που ϕαινοmicroενικά ϑα συmicroβεί αν κάνουmicroε microια microικρή

στροφή του πίνακα)

Επίσης όπως ϕαίνεται πάλι στο Σχήmicroα 23 ανατρέπονται και οι microετρικές ιδιό-

τητες της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας η απόσταση των παραλλήλων α και ϕυσικά

δεν διατηρείται στις τεmicroνόmicroενες πλέον εικόνες αprime και prime ΄Οσο προχωρούmicroε προς τη

γραmicromicroή του ορίζοντα η απόσταση αυτή microικραίνει για να microηδενιστεί επί της AB

Στην επόmicroενη σελίδα εmicroφανίζονται δύο Ϲωγραφικοί πίνακες Ο πρώτος του Gioshy

vanni Antonio Canal γνωστού και ως Canaletto (1697ndash1768) απεικονίζει το κανάλι

της Βενετίας Είναι ένα τυπικό παράδειγmicroα Ϲωγραφικού πίνακα στον οποίον ακολου-

ϑούνται οι κανόνες της προοπτικής Το ύψος των κτιρίων microειώνεται καθώς η microατιά

κινείται προς τη γραmicromicroή του ορίζοντα ενώ οι πλευρές του καναλιού πλησιάζουν

΄Ετσι δηmicroιουργείται η εντύπωση του ϐάθους και η αίσθηση ότι έχουmicroε να κάνουmicroε

microε ένα τριδιάστατο αντικείmicroενο

Στο δεύτερο πίνακα που οφείλεται στον Andrea Mantegna (1431ndash1506) απει-

κονίζεται ο νεκρός Χριστός Εδώ ο Ϲωγράφος για να προσδώσει microεγαλύτερη δραmicroατι-

κότητα καταργεί (ή αντιστρέφει) την προοπτικότητα ΄Ετσι αντίθετα από τον συνήθη

κανόνα της προοπτικής τα microεγέθη αυξάνουν καθώς κινούmicroεθα προς την κεφαλή

του Ιησού όπου και εστιάζεται ο Θείος πόνος και οι γραmicromicroές συγκλινουν προς τον

ϑεατή

20 Εισαγωγή 35

Εικονα 10 Canaetto Το κανάλι της Βενετίας

Εικονα 11 Mantegna Ο Θρήνος του Χριστού

36 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

΄Ενα άλλο παράδειγmicroα κατασκευής προοπτικών σχηmicroάτων microας παρέχουν οι κω-

νικές τοmicroές που microελετήθηκαν από τον microεγάλο γεωmicroέτρη Απολλώνιο (ϐλ σχετικά

σχόλια και στη σελ 12)

Εικονα 12 Απολλώνιος

Αν στην κορυφή O ενός κώνου ϐρίσκεται ο οφθαλmicroός του Ϲωγράφου ο κύκλος της ϐά-

σης ϑα αποτυπώνεται στον πίνακα (Π ) σαν κύκλος έλλειψη παραβολή ή υπερβολή

ανάλογα microε την κλίση του (Π ) ως προς το επίπεδο της ϐάσης (E) Κι εδώ διαπιστώ-

νεται η microη διατήρησης των αποστάσεων κατά τη διαδικασία της προβολής [δηλαδή

κατά τη διαδικασία της αποτύπωσης της εικόνας των σηmicroείων του κύκλου επί του

(Π )] Στο Σχήmicroα 24 απεικονίζεται για παράδειγmicroα η περίπτωση της έλλειψης

Σχηmicroα 24

Στην sect25 ϑα δούmicroε microε αυστηρό τρόπο πώς από το σύνηθες επίπεδο της Ευκλεί-

δειας Γεωmicroετρίας microε την επισύναψη των laquoεπ᾿ άπειρονraquo (ή laquoκατ᾿ εκδοχήνraquo) σηmicroείων

αναγόmicroαστε στο επίπεδο της Προβολικής Γεωmicroετρίας δηλαδή στο επίπεδο που microα-

ϑηmicroατικοποιεί το Ϲωγραφικό πίνακα

Η πλήρης microαθηmicroατικοποίηση των κανόνων της προοπτικής έγινε microόλις τον 17ο

αιώνα Μετά την κυριαρχία της Ανάλυσης κατά τον 18ο αιώνα άρχισε η αναγέννηση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

της γεωmicroετρίας microέσα στην οποίαν πρωτεύουσα ϑέση κατέχει η Προβολική Γεωmicroε-

τρία Η συστηmicroατική ανάπτυξή της είναι ένα από τα πιο σηmicroαντικά microαθηmicroατικά

επιτεύγmicroατα του 19ου αιώνα

Μετά τις πρόδροmicroες εργασίες των Girard Desargues (1591ndash1661) Blaise Pascal

(1623ndash1662) Philippe de la Hire (1640 ndash1718) κα αποφασιστική για την εξέλιξη

της Προβολικής Γεωmicroετρίας ήταν η συmicroβολή των Gaspar Monge (1746ndash1818) Jeanshy

Victor Poncelet (1788ndash1867) Charles Brianchon (1785ndash1864) August Ferdinand

Mobius (1790ndash1868) Jacob Steiner (1796ndash1863) Julius Plucker (1801ndash1868) και

Karl Georg Christian von Staudt (1798ndash1867)

Εικονα 13 G Monge JV Poncelet J Steiner

Στην πορεία περίπου δύο αιώνων κυριάρχησαν δύο ϐασικές απόψεις η συνθετική

και η αναλυτική Η πρώτη ϐασίζεται σε καθαρά γεωmicroετρικές microεθόδους microε σηmicroείον

εκκίνησης τα αξιώmicroατα Η δεύτερη στηρίζεται κυρίως σε αλγεβρικές microεθόδους Μετα-

ξύ των εκπροσώπων των δύο microεθοδολογικών απόψεων σηmicroειώθηκαν πολλές ϕοϱές

σηmicroαντικές αντιδικίες για το κατά πόσον η microία υπερτερεί της άλλης ή κατά πόσον η

γεωmicroετρία ϑα πρέπει να είναι απαλλαγmicroένη από την άλγεβρα

Σε microεταγενέστερη περίοδο ϑεmicroελιώδης υπήρξεν η ιδέα να χαρακτηριστεί microία Γεω-

microετρία από την αντίστοιχη οmicroάδα των microετασχηmicroατισmicroών που διατηρούν αναλλοίωτες

της ϐασικές ιδιότητές της Η συmicroβολή των Sophus Lie (1842ndash1899) Henrie Poishy

ncare (1854ndash1912) και ιδιαιτέρως του Christian Felix Klein (1849ndash1925) κατέχει

πρωτεύουσα ϑέση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο

Στην παράγραφο αυτή έχοντας ως laquoυπόδειγmicroαraquo τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ορίζουmicroε microέσω τριών ϐασικών αξιωmicroάτων το λεγόmicroενο συσχετισmicroένο επίπεδο

Με τη συmicroπλήρωση των αξιωmicroάτων του συσχετισmicroένου επιπέδου έτσι ώστε να εί-

ναι δυνατή η σύγκριση η διάταξη και η microέτρηση οδηγούmicroαστε στη ϑεmicroελίωση ενός

επιπέδου του οποίου παράδειγmicroα είναι το (σύνηθες) επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ΄Οmicroως δεν ϑα προχωρήσουmicroε προς την κατεύθυνση αυτή αφού κύριος στόχος

38 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

του κεφαλαίου είναι το προβολικό επίπεδο Η σύντοmicroη microελέτη του συσχετισmicroένου ε-

πίπεδου γίνεται προκειmicroένου να αποσαφηνιστούν οι ϐασικές διαφορές ανάmicroεσα στην

(προ)Ευκλείδεια και την Προβολική Γεωmicroετρία

Ακολουθώντας τις ιδέες του D Hilbert [18] ϑεωρούmicroε

bull Ενα σύνολο P empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε σηmicroεία (points) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε κεφαλαία γράmicromicroατα

A B C P Q Γ∆ X Y

bull Ενα σύνολο L empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε ευθείες (lines) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε microικρά γράmicromicroατα

a b c k ℓ α x y

bull Μία σχέση I microεταξύ των P και L δηλαδή I sub P times L την οποίαν καλούmicroε

σχέση σύmicroπτωσης ή απλώς σύmicroπτωση (incidence)

Από τα προηγούmicroενα προκύπτει ότι τα σηmicroεία και οι ευθείες είναι έννοιες που δεν

ορίζονται Απλώς αποτελούν την αυθαίρετη ονοmicroασία των στοιχείων δύο αντιστοίχων

συνόλων

΄Οπως στη στοιχειώδη γεωmicroετρία τα σηmicroεία και οι ευθείες διαφέρουν κατά τη

ϕύση τους Αυτό το εκφράζουmicroε αυστηρά microε τη σχέση

P cap L = empty

Η σχέση της σύmicroπτωσης microας επιτρέπει για ένα Ϲεύγος (P k) isin P times L να απο-

ϕανθούmicroε ότι (P k) isin I ή (P k) lt I

Ο συmicroβολισmicroός

(P k) isin Iαποδίδεται λεκτικά microε τις (ισοδύναmicroες) εκφράσεις

mdash το σηmicroείο P ανήκει (ή περιέχεται) στην ευθεία k

mdash το P είναι σηmicroείο της k

mdash η ευθεία k διέρχεται από το P

Οι εκφράσεις αυτές προέρχονται από την αντίστοιχη σύmicroπτωση σηmicroείου και ευθείας

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και ανταποκρίνονται στη συνήθη εmicroπειρία Φυσικά οι

προηγούmicroενες εκφράσεις ϑα αποδίδονταν καλλίτερα microε τον συmicroβολισmicroό P isin k Αυτό

όmicroως ϑα σήmicroαινε ότι microία ευθεία είναι σύνολο σηmicroείων (σηmicroειοσειρά) γεγονός που δεν

προκύπτει από τους πιο πάνω αφηρηmicroένους ορισmicroούς της ευθείας και του σηmicroείου

Κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται microέσω κατάλληλης ισοmicroορφίας όπως ϑα δείξουmicroε πολύ

αργότερα (ϐλ Θεώρηmicroα 268 για την περίπτωση του προβολικού επιπέδου που

microας ενδιαφέρει εδώ)

Θα χρειαστούmicroε ακόmicroη και την ορολογία του επόmicroενου ορισmicroού

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 39

211 Ορισmicroός Υποθέτουmicroε ότι (PLI) είναι microία τριάδα όπως προηγουmicroένως Τρία

ή και περισσότερα σηmicroεία Pi isin P λέγονται συγγραmicromicroικά (collinear) αν υπάρχει

ευθεία k isin L τέτοια ώστε

(Pi k) isin I i = 1 2 3

Αναλόγως τρείς ή περισσότερες ευθείες ki isin L διέρχονται από το (ή τέmicroνονται ή

συγκλίνουν στο) ίδιο σηmicroείο (concurrent lines) αν υπάρχει P isin P τέτοιο ώστε

(P ki) isin I i = 1 2 3

Τέλος δύο ευθείες k ℓ isin L λέγονται παράλληλες (parallel) οπότε συmicroβολικά γρά-

ϕουmicroε ότι kℓ αν συmicroβαίνει ένα από τα επόmicroενα

mdash είτε k = ℓ

mdash είτε k ℓ και δεν υπάρχει P isin P (P k) isin I ni (P ℓ)

212 Ορισmicroός ΄Ενα συσχετισmicroένο επίπεδο (affine plane) είναι microια τριάδα της

microορφής (PLI) η οποία ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΣΕ 1) Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται ακριβώς microία ευθεία (ή δύο διαφορετικά

σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία) Συmicroβολικά το αξίωmicroα διατυπώνεται και microε τη

microορφή

[ forall (P Q) isin P times P P Q ] rArr [ exist k isin L (P k) isin I ni (Q k) ]

(ΣΕ 2) (Ευκλείδειον αίτηmicroα) Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας διέρχεται microία microοναδική

ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα Συmicroβολικά

[ forall (P k) isin P times L (P k) lt I ] rArr [ exist ℓ isin L (P ℓ) isin I kℓ ]

(ΣΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σηmicroεία τα οποία είναι διαφορετικά microεταξύ τους και

microη συγγραmicromicroικά

Το αξίωmicroα (ΣΕ 2) όπως ήδη γνωρίζουmicroε οφείλεται στον J Playfair και αποτελεί

ισοδύναmicroη διατύπωση του 5ου αιτήmicroατος (αξιώmicroατος) του Ευκλείδη Η διατύπωση

του τελευταίου σε αρχαία ελληνικά ϐρίσκεται για παράδειγmicroα στο [39]

213 Παραδείγmicroατα 1) Το επίπεδο της Στοιχειώδους (Ευκλείδειας) Γεωmicroετρίας εί-

ναι συσχετισmicroένο επίπεδο Αποτελείται από τα σηmicroεία και τις ευθείες όπως ορίζονται

στην Ευκλείδεια Γεωmicroετρία και αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινη εmicroπειρία microας

ενώ η I είναι η συνήθης σύmicroπτωση που εδώ εκφράζεται microε τη συνολοθεωρητική

σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo (ανήκει) ∆ηλαδή

(P ℓ) isin I hArr P isin ℓ

2) Αν ϑεωρήσουmicroε τα σύνολα

P = A B C DL =

A B A C A D B C B D C D

40 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και ως I τη σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo τότε ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι η τριάδα (PLI) είναι συσχετι-

σmicroένο επίπεδο

Το παράδειγmicroα αυτό δείχνει ότι υπάρχουν συσχετισmicroένα επίπεδα microε πεπερασmicroένο

πλήθος σηmicroείων και ευθειών σε αντίθεση microε το επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

3) (Αντιπαράδειγmicroα) Ο δίσκος των KleinshyBeltrami που αναφέραmicroε στη σελιδα 24

214 Ορισmicroός Η microονοσήmicroαντα ορισmicroένη ευθεία k του αξιώmicroατος (ΣΕ 1) λέγεται

ένωση (join) των σηmicroείων P Q και συmicroβολίζεται microε

k = P or Q = Q or P

Η δεύτερη ισότητα είναι προφανής συνέπεια του (ΣΕ 1)

bull Στο υπόλοιπο της παραγράφου ϑεωρούmicroε ότι δίνεται ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

(PLI)

215 Πρόταση Αν A B C είναι τρία διαφορετικά συγγραmicromicroικά σηmicroεία και ℓ η κοινή

τους ευθεία τότε

ℓ = A or B = A or C = B or C

Απόδειξη Από τον Ορισmicroό 211 έχουmicroε τις σχέσεις

(A ℓ) isin I και (B ℓ) isin I

Επειδή A B από το (ΣΕ 1) ορίζεται και η ευθεία A or B και ισχύουν οι σχέσεις

(A A or B) isin I και (B A or B) isin I

Εποmicroένως από το microονοσήmicroαντο του (ΣΕ 1) προκύπτει ότι ℓ = A or B Με τον ίδιο

τρόπο αποδεικνύονται και οι άλλες ισότητες

216 Πρόταση ∆ύο διαφορετικές ευθείες k ℓ έχουν το πολύ ένα κοινό σηmicroείο

δηλαδή ένα σηmicroείο P που ικανοποιεί τις σχέσεις (P k) isin I και (P ℓ) isin I

Απόδειξη Αν οι ευθείες k l είναι παράλληλες (kℓ) τότε (αφού k ℓ) δεν υπάρχει

κανένα κοινό σηmicroείο P άρα αληθεύει το συmicroπέρασmicroα

Αν k mdashℓ τότε οπωσδήποτε υπάρχει κοινό σηmicroείο P (γιατί αλλιώς οι ευθείες ϑα

ήσαν παράλληλες) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι υπάρχει κι ένα άλλο κοινό σηmicroείο Q

δηλαδή (Q k) isin I ni (Q ℓ) Θα δείξουmicroε ότι P = Q Πραγmicroατικά αν ήταν P Q τότε

κατά το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία P or Q Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή τα P Q είναι και

σηmicroεία των k και ℓ πάλι από το (ΣΕ 1) και το microονοσήmicroαντό του προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

πράγmicroα που αντίκειται στην υπόθεση k ℓ Εποmicroένως κατ᾿ ανάγκην καταλήγουmicroε

στη σχέση P = Q

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 41

217 Ορισmicroός Αν k και ℓ είναι δύο microη παράλληλες διαφορετικές ευθείες τότε το

microονοσήmicroαντα ορισmicroένο κοινό σηmicroείο τους (Πρόταση 216) λέγεται τοmicroή (intersectshy

ion) των k ℓ και συmicroβολίζεται microε

P = k and ℓ = ℓ and k

218 Πρόταση Στο συσχετισmicroένο επίπεδο η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυνα-

microίας

Απόδειξη Η αυτοπαθής και η συmicromicroετρική ιδιότητα είναι άmicroεσες συνέπειες του ο-

ϱισmicroού Για την απόδειξη της microεταβατικής ιδιότητας υποθέτουmicroε ότι kℓ και ℓm

Αν k = m τότε έχουmicroε το συmicroπέρασmicroα Αν k m τότε αναγκαίως km γιατί αν

υπήρχε κοινό σηmicroείο P (δηλ P = k andm) ϑα είχαmicroε ότι

(P k) isin I όπου kℓ

(P m) isin I όπου mℓ

΄Οmicroως (P ℓ) lt I (επειδή ℓk και ℓm) Εποmicroένως από το σηmicroείο P που δεν ϐρί-

σκεται στην ℓ διέρχονται δύο ευθείες παράλληλες προς αυτήν (οι k και m) Το

συmicroπέρασmicroα αυτό αντιβαίνει στο (ΣΕ 2) άρα km

219 Θεώρηmicroα Σε κάθε συσχετισmicroένο επίπεδο υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα δια-

ϕορετικά σηmicroεία τα οποία ανά τρία είναι microη συγγραmicromicroικά

Απόδειξη Το (ΣΕ 3) εξασφαλίζει ότι υπάρχουν τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C που

δεν είναι συγγραmicromicroικά άρα ορίζονται οι ευθείες A orB και B orC Επειδή τα σηmicroεία

είναι microη συγγραmicromicroικά ισχύει ότι (C AorB) lt I Εποmicroένως κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microοναδική ευθεία ℓ isin L microε (C ℓ) isin I και ℓA or B Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και microιά

m isin L microε (A m) isin I και mB or C

Σχηmicroα 25

Παρατηρούmicroε ότι ℓ m Πραγmicroατικά αν ήταν ℓ = m τότε το A (ως σηmicroείο της

m) ϑα ανήκε και στην ℓ πράγmicroα που είναι άτοπο αφού ℓA or B Επίσης ℓ mdashm

Πραγmicroατικά αν ήταν ℓm επειδή και ℓA or B ϑα είχαmicroε ότι mA or B λόγω της

συmicromicroετρικής και microεταβατικής ιδιότητας της παραλληλίας Αυτό είναι άτοπο επειδή

το A είναι κοινό σηmicroείο των m και A or B Συνεπώς αφού οι ℓ και m είναι διάφορες

42 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και microη παράλληλες ορίζεται το microοναδικό σηmicroείο D = ℓ and m (ϐλ Πρόταση 216

και Ορισmicroό 217) Στο επόmicroενο Σχήmicroα 25 απεικονίζεται για ευκολία η παραπάνω

διαδικασία στο (συσχετισmicroένο) επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

Για να ολοκληρώσουmicroε την απόδειξη ϑα πρέπει να δείξουmicroε ότι το D είναι διαφο-

ϱετικό από τα A B C και δεν είναι συγγραmicromicroικό microε οποιαδήποτε δύο από αυτά Για

το πρώτο συmicroπέρασmicroα αρκεί να δείξουmicroε ότι D A (παρόmicroοια εργαζόmicroαστε και για

τα B C) Αυτό αληθεύει γιατί αν ήταν D = A τότε οι παράλληλες και διαφορετικές

ευθείες A or B και ℓ ϑα είχαν κοινό το σηmicroείο A = D (άτοπο)

Τέλος ας υποθέσουmicroε ότι το D είναι συγγραmicromicroικό microε δύο άλλα σηmicroεία ας πούmicroε

τα A και B Τότε από την Πρόταση 215 έχουmicroε ότι η κοινή ευθεία των A B D

είναι ακριβώς η A or B ΄Αρα το D ϑα ήταν κοινό σηmicroείο των ℓ και A or B (άτοπο

όπως προηγουmicroένως) Παρόmicroοια δείχνουmicroε ότι το D δεν είναι συγγραmicromicroικό και microε

οποιαδήποτε άλλα δύο σηmicroεία οπότε η απόδειξη είναι πλήρης

2110 Παρατηρήσεις 1) Από το Θεώρηmicroα 219 προκύπτει ότι το microικρότερο πλή-

ϑος σηmicroείων ενός συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4 Αυτό σηmicroαίνει ότι

η ελαχίστη ισχύς του συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4

και δικαιολογεί την επιλογή των τεσσάρων σηmicroείων στο Παράδειγmicroα 213 (2)

2) Μία άλλη ϑεmicroελίωση του συσχετισmicroένου επιπέδου microε αλγεβρική γλώσσα γί-

νεται στη Γραmicromicroική (ή Συσχετισmicroένη) Γεωmicroετρία (ϐλ [3]) Εκεί ξεκινώντας από άλλα

αξιώmicroατα (αλγεβρικής υφής) αποδεικνύονται ως συmicroπεράσmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα

της προηγούmicroενης ϑεmicroελίωσης

2111 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθούν οι ισχυρισmicroοί των Παραδειγmicroάτων 213 (1) και 213 (2)

2 Κάθε ευθεία του συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει τουλάχιστον δύο διαφορετικά

σηmicroεία

3 Από κάθε σηmicroείο του συσχετισmicroένου επιπέδου διέρχονται τουλάχιστον τρεις δια-

ϕορετικές ευθείες

4 ∆ίνονται οι διαφορετικές ευθείες k ℓ m ενός συσχετισmicroένου επιπέδου microε kℓ Αν

η m τέmicroνει τη microία από τις δύο παράλληλες ευθείες τότε ϑα τέmicroνει και την άλλη

22 Το προβολικό επίπεδο

΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο ϑεωρούmicroε microία τριάδα (PLI) όπου P και Lείναι σύνολα διάφορα του κενού τέτοια ώστε P cap L = empty και I sub P times L είναι microία

σχέση σύmicroπτωσης Τα στοιχεία των P και L ονοmicroάζουmicroε όπως πριν σηmicroεία και

ευθείες αντιστοίχως Η έννοια της συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων και της σύγκλισης

ευθειών είναι όπως στον Ορισmicroό 211

22 Το προβολικό επίπεδο 43

221 Ορισmicroός ΄Ενα προβολικό επίπεδο (projective plane) είναι microία τριάδα

(PLI) που ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) Για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q υπάρχει ακριβώς microία ευθεία ℓ isin L

τέτοια ώστε (P ℓ) isin I ni (Q ℓ)

(ΠΕ 2) Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ υπάρχει σηmicroείο P isin P τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (P ℓ)

(ΠΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σηmicroεία διαφορετικά microεταξύ τους τα οποία είναι

ανά τρία microη συγγραmicromicroικά

222 Παρατηρήσεις 1) Από το (ΠΕ 1) ϐλέπουmicroε ότι υπάρχει microία microοναδική ευθεία

η οποία διέρχεται (ή περιέχει ή ορίζεται) από δύο διαφορετικά σηmicroεία Εποmicroένως

το (ΠΕ 1) συmicroπίπτει microε το (ΣΕ 1) Αντιθέτως από το (ΠΕ 2) προκύπτει ότι δύο

οποιεσδήποτε διαφορετικές ευθείες έχουν πάντοτε κοινό σηmicroείο Εποmicroένως

Στο προβολικό επίπεδο δεν υπάρχει έννοια παραλληλίας

2) ΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο τη microονοσήmicroατα ορισmicroένη ευθεία ℓ του (ΠΕ

1) ονοmicroάζουmicroε ένωση των P Q και τη συmicroβολίζουmicroε microε

ℓ = P or Q = Q or P

3) Επίσης όπως ϑα δείξουmicroε στην παρακάτω Πρόταση 224 και το κοινό σηmicroείο P

του (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο Το καλούmicroε τοmicroή των k ℓ και το συmicroβολί-

Ϲουmicroε microε

P = k and ℓ = ℓ and k

223 Παραδείγmicroατα 1) Θεωρούmicroε τα σύνολα

P = Ai |i = 1 7L =

ℓ1 = A1 A2 A3 ℓ2 = A1 A4 A6 ℓ3 = A1 A5 A7

ℓ4 = A2 A4 A7 ℓ5 = A2 A5 A6 ℓ6 = A3 A4 A5 ℓ7 = A3 A6 A7

και τη σύmicroπτωση I που ορίζει η συνολοθεωρητική σχέση lsquolsquoisinrsquorsquoΕίναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η τριάδα (PL isin) είναι προβολικό ε-

πίπεδο Το επίπεδο αυτό λέγεται και προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων και

αποτελεί παράδειγmicroα προβολικού επιπέδου microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων (και

ευθειών)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε αρκετά πιο κάτω [ϐλ Παρατήρηση 249 (2)] η ελαχίστη ισχύς

του προβολικού επιπέδου είναι 7 Αυτό δικαιολογεί και την επιλογή των 7 σηmicroείων

του προηγουmicroένου παραδείγmicroατος

44 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Μερικούς τρόπους απεικόνισης (στο ευκλείδειο επίπεδο ) των σηmicroείων και των

ευθειών του παραδείγmicroατος παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήmicroατα

Σχηmicroα 26

Ας σηmicroειωθεί ότι οι ευθείες των σχηmicroάτων (συνεχείς και διακεκοmicromicroένες) δεν έχουν

καmicroιά σχέση microε τις συνήθεις ευθείες του ευκλειδείου επιπέδου αλλά σχεδιάζονται

για να υποδηλώσουν τις αντίστοιχες τριάδες σηmicroείων οι οποίες ορίζουν τις ευθείες

του παραπάνω προβολικού επιπέδου

Η σύmicroπτωση των σηmicroείων και ευθειών του ιδίου παραδείγmicroατος περιγράφεται

και στον εποmicroενο πίνακα του οποίου η ερmicroηνεία είναι προφανής Τέτοιοι πίνακες

είναι ιδιαιτέρως χρήσιmicroοι όταν ϑέλουmicroε να περιγράψουmicroε τη σχέση της σύmicroπτωσης

προβολικών επιπέδων microε σχετικώς microεγάλο (αλλά πεπερασmicroένο) πλήθος σηmicroείων και

ευθειών

ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ℓ5 ℓ6 ℓ7

A1 bull bull bullA2 bull bull bullA3 bull bull bullA4 bull bull bullA5 bull bull bullA6 bull bull bullA7 bull bull bull

2) Στο διανυσmicroατικό (γραmicromicroικό) χώρο R3 ορίζουmicroε τα σύνολα

P =P equiv U le R3 dimU = 1

L =ℓ equiv V le R3 dimV = 2

όπου U le R3 σηmicroαίνει ότι ο U είναι γραmicromicroικός υπόχωρος του R3 (παρόmicroοια και για

τον V le R3) Επίσης ορίζουmicroε τη σχέση σύmicroπτωσης I sub P times L microε

(P ℓ) isin I hArr U le V αν P = U και ℓ = V

22 Το προβολικό επίπεδο 45

Είναι ϕανερόν ότι τα σηmicroεία του P2 είναι ακριβώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρ-

χονται από το 0 equiv (0 0 0) ενώ οι ευθείες του P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3

που διέρχονται επίσης από το 0

Σχηmicroα 27

Ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι το (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο που ονοmicroάζεται

πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο διάστασης 2 και συmicroβολίζεται microε P2

bull Τα δύο προηγούmicroενα παραδείγmicroατα αποτελούν microοντέλα προβολικών επιπέδων (το

πρώτο microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων και ευθειών το δεύτερο microε άπειρο πλήθος)

Εδώ οι απροσδιόριστοι όροι (σηmicroεία και ευθείες) αποκτούν συγκεκριmicroένη υπόστα-

ση (δυάδεςτριάδες στοιχείων γραmicromicroικοί υπόχωροι του R3 κλπ) microέσω της οποίας

επαληθεύουmicroε την ισχύ των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3)

Ας δούmicroε τώρα microερικές άmicroεσες συνέπειες των αξιωmicroάτων ενός προβολικού επιπέ-

δου (PLI)

224 Πρόταση Το σηmicroείο P του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο

Απόδειξη Ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει κι ένα άλλο σηmicroείο τέτοιο ώστε Q P microε

(Q k) isin I ni (Q ℓ) Τότε επειδή τα P Q είναι σηmicroεία των k και ℓ από το (ΠΕ 1)

προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

που είναι άτοπο επειδή έχουmicroε υποθέσει ότι k ℓ

225 Πρόταση Αν A B C είναι συγγραmicroικά σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου

διαφορετικά microεταξύ τους και ℓ η κοινή ευθεία που τα περιέχει τότε

ℓ = A or B = B or C = A or C

Απόδειξη Η ίδια microε την απόδειξη της Πρότασης 215

226 Πρόταση Κάθε ευθεία ενός προβολικού επιπέδου περιέχει τουλάχιστον τρία

διαφορετικά σηmicroεία

46 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη ΄Εστω ℓ microία οποιαδήποτε ευθεία του προβολικού επιπέδου Σύmicroφωνα microε

το (ΠΕ 3) υπάρχουν τέσσερα σηmicroεία που είναι microεταξύ τους διαφορετικά και ανά τρία

microη συγγραmicromicroικά Ας τα καλέσουmicroε A B C D και ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι κανένα

απ᾿ αυτά δεν ανήκει στην ℓ Ορίζουmicroε τις ευθείες A or B A or C και A or D οι οποίες

είναι microεταξύ τους διαφορετικές [ αν δύο απ᾿ αυτές συνέπιπταν ϑα είχαmicroε ότι τρία

από τα παραπάνω σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)] Επίσης οι ίδιες ευθείες

είναι διαφορετικές από την ℓ [ αν ήταν πχ A or B = ℓ τότε (A ℓ) isin I (άτοπο)]

Σχηmicroα 28

Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα τα σηmicroεία (της ℓ )

X = ℓ and (A or B) Y = ℓ and (A or C) Z = ℓ and (A or D)

Παρατηρούmicroε ότι X Y Z X Πραγmicroατικά αν ήταν πχ X = Y τότε

A or B = A or X = A or Y = A or C

(ϐλ Πρόταση 225) που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι A or B A or C

Αν υποθέσουmicroε ότι ένα ή δύο σηmicroεία από τα A B C D ανήκουν στην ℓ τότε αρκεί

να εξασφαλίσουmicroε αντιστοίχως την ύπαρξη ακόmicroη δύο ή ενός σηmicroείων ακολουθώντας

παρόmicroοια διαδικασία

227 Πρόταση Κάθε προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον τέσσερις διαφορετικές

ευθείες οι οποίες ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο

Απόδειξη Θεωρούmicroε τα τέσσερα σηmicroεία A B C D του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) Ορίζουmicroε

τις ευθείες A or B B or C C or D και D or A Βλέπουmicroε αmicroέσως ότι είναι διαφορετικές

microεταξύ τους [ αλλιώς ϑα ϐρίσκαmicroε τριάδες συγγραmicromicroικών σηmicroείων από τα A B C

D (άτοπο)]

Οι προηγούmicroενες ευθείες δεν διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σηmicroείο Πραγ-

microατικά ας υποθέσουmicroε για παράδειγmicroα ότι υπάρχει σηmicroείο O isin P από το οποίο

διέρχονται οι A or B B or C και C or D Τότε λόγω του microονοσήmicroαντου της τοmicroής των

διαφορετικών ευθειών A or B και B or C ϑα ήταν B = O Αναλόγως από τις B or C

και C or D ϑα ήταν και C = O οπότε ϑα καταλήγαmicroε στο άτοπο συmicroπέρασmicroα ότι

B = O = C

22 Το προβολικό επίπεδο 47

228 Πρόταση Από κάθε σηmicroείο O ενός προβολικού επιπέδου διέρχονται τουλάχι-

στον τρεις διαφορετικές ευθείες

Απόδειξη Σύmicroφωνα microε την προηγούmicroενη πρόταση υπάρχουν τέσσερις ευθείες k ℓ

m n οι οποίες είναι διάφορες microεταξύ τους και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο

σηmicroείο

Σχηmicroα 29

Ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι καmicroία απ᾿ αυτές δεν διέρχεται από το O Τότε ορίζονται

τα σηmicroεία P = kand ℓ Q = kandm και R = kandn (ϐλ Σχήmicroα 29) που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους [ αν δύο απ᾿ αυτά συνέπιπταν τότε τρεις από τις παραπάνω ευθείες ϑα

διέρχονταν από το ίδιο σηmicroείο (άτοπο)]

Επίσης τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν συmicroπίπτουν microε το O [ αν για παράδειγmicroα

O = P τότε το O ϑα ανήκε στην k (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα οι

ευθείες

x = O or P y = O or Q z = O or R

Παρατηρούmicroε ότι x y z x αν πχ ήταν x = y τότε

P = k and x = k and y = Q

που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι P Q

Αν τώρα υποθέσουmicroε ότι από το O διέρχονται microία ή δύο από τις ευθείες k ℓ m

n τότε αρκεί να εξασφαλίσουmicroε ότι διέρχονται ακόmicroη δύο ή microία ευθείες αντιστοίχως

εφαρmicroόζοντας ακριβώς την προηγούmicroενη διαδικασία

229 Ασκήσεις

1 ΄Εστω ότι microία τριάδα (PLI) ικανοποιεί τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1prime) Αν P Q isin P microε P Q τότε υπάρχει ευθεία k isin L τέτοια ώστε (P k) isin I ni(Q k)

48 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

(ΠΕ 2prime) Αν k ℓ isin L microε k ℓ τότε υπάρχει ακριβώς ένα σηmicroείο P isin I τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (Q k)(ΠΕ 3prime) = (ΠΕ 3)

α) Να αποδειχθεί ότι η k του (ΠΕ 1prime) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη

ϐ) Τί συmicroπέρασmicroα προκύπτει για την τριάδα (PLI)

2 Σε κάθε προβολικό επίπεδο υπάρχει ευθεία ℓ και σηmicroείο P microε την ιδιότητα

(P ℓ) lt I Ισχύει το ίδιο συmicroπέρασmicroα και σ᾿ ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

3 ∆ίνεται microία ευθεία ℓ ενός προβολικού επιπέδου Τότε υπάρχει σηmicroείο P microε (P ℓ) ltI Αναλόγως αν δίνεται το P υπάρχει ευθεία ℓ microε την ίδια ιδιότητα όπως προηγου-

microένως

4 Αν k και ℓ είναι δύο διαφορετικές ευθείες ενός προβολικού επιπέδου τότε υπάρ-

χει ένα σηmicroείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε καmicroία από τις ευθείες αυτές Να

αποδειχθεί το ανάλογο του συσχετισmicroένου επιπέδου

5 ΄Εστω S2=

(x y z) isin R3 x2

+y2+z2= 1

η microοναδιαία σφαίρα του R3 microε κέντρο

το 0 equiv (0 0 0) Για κάθε a = (x y z) isin S2 συmicroβολίζουmicroε microε minusa = (minusxminusyminusz) το

αντιδιαmicroετρικό του σηmicroείο Θεωρούmicroε τα σύνολα

P =P = (aminusa)

∣∣∣ a isin S2

L =S1

∣∣∣ S1 microέγιστος κύκλος της S2

Αν I είναι η σχέση σύmicroπτωσης που ορίζεται microε την ισοδυναmicroία

(P S1) isin I hArr (aminusa) isin S1 αν P = (aminusa)

τότε η τριάδα (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο Πώς συνδέεται το τελευταίο microε

το P2

23 Η αρχή του δυϊσmicroού

Συγκρίνοντας τις Προτάσεις 226 και 228 ϐλέπουmicroε ότι η microία προκύπτει από την

άλλη αν εναλλάξουmicroε τις έννοιες σηmicroείο ευθεία ανήκει (περιέχεται) αντιστοίχως microε

τις έννοιες ευθεία σηmicroείο διέρχεται

Σηmicroείο Ευθεία ανήκει (περιέχεται)

Ευθεία

6

Σηmicroείο

6

διέρχεται

6

Σχηmicroα 210

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 49

Το ίδιο διαπιστώνουmicroε συγκρίνοντας και τις αποδείξεις των ιδίων προτάσεων καθώς

επίσης και το αξίωmicroα (ΠΕ 3) microε την Πρόταση 227

Στις περιπτώσεις αυτές λέmicroε ότι η Πρόταση 228 είναι δυϊκή (dual) της 226

και αντιστρόφως Οmicroοίως και η Πρόταση 227 είναι ένα συmicroπέρασmicroα δυϊκό του

αξιώmicroατος (ΠΕ 3)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε στη συνέχεια στην Προβολική Γεωmicroετρία ισχύει η αρχή του

δυϊσmicroού (principle of duality) σύmicroφωνα microε την οποία για κάθε συmicroπέρασmicroα που ι-

σχύει (αληθεύει) στο προβολικό επίπεδο ισχύει ταυτόχρονα και το δυϊκό του δηλαδή

αυτό που προκύπτει microε την παραπάνω εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Την πατρότητα της αρχής αυτής διεκδίκησαν οι γεωmicroέτρες J V Poncelet (1788ndash

1867) και J D Gergonne (1771ndash1859) πράγmicroα που τους οδήγησε σε microία microα-

κροχρόνια και ϑλιβερή διαmicroάχη ίσως χειρότερη από αυτήν microεταξύ των I Newton

(1642ndash1727) και G W Leibniz (1646ndash11716) για την πατρότητα του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού

Για την απόδειξη της αρχής του δυϊσmicroού ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PL

I) και την τριάδα

(PlowastLlowastIlowast) όπου Plowast = L Llowast = P

και η Ilowast ορίζεται ως εξής για ένα (Plowast ℓlowast) isin Plowast times Llowast ϑα είναι

(Plowast ℓlowast) isin Ilowast hArr (Q k) isin I

αν Plowast = k και ℓlowast = Q microε (Q k) isin P times L

∆ηλαδή η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) έχει προκύψει από το αρχικό προβολικό επίπεδο

microε την εναλλαγή που περιγράψαmicroε πιο πάνω

231 Πρόταση Η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) αποτελεί προβολικό επίπεδο το οποίον καλεί-

ται δυϊκό του (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ισχύουν τα αξιώmicroατα (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Για την απόδειξη

του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε τα Plowast Qlowast isin Plowast microε Plowast Qlowast Εποmicroένως ϑα υπάρχουν ευθείες

k m isin L microε k m και τέτοιες ώστε Plowast = k και Qlowast = m ΄Αρα κατά το (ΠΕ 2) και την

Πρόταση 224 [για το (PL I)] ορίζεται microονοσήmicroαντα το σηmicroείο k and m Θέτοντας

ℓlowast = k andm παρατηρούmicroε ότι

(k andm k) isin I hArr (Plowast ℓlowast) isin Ilowast(k andm m) isin I hArr (Qlowast ℓlowast) isin Ilowast

Εποmicroένως η ℓlowast είναι ευθεία του Llowast που περιέχει τα Plowast και Qlowast Η ℓlowast είναι και η

microοναδική microε αυτήν την ιδιότητα γιατί αν υπήρχε και microια xlowast = X isin Llowast microε την ίδια

ιδιότητα τότε

(Plowast xlowast) isin Ilowast hArr (X k) isin I

(Qlowast xlowast) isin Ilowast hArr (X m) isin I

50 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

οπότε ϑα είχαmicroε ότι X = k andm (εφ᾿ όσον k m) δηλαδή xlowast = ℓlowast

Για το (ΠΕ 2) αναλόγως προς τα προηγούmicroενα ϑεωρούmicroε τις διαφορετικές ευ-

ϑείες klowast ℓlowast isin Llowast Μπορούmicroε να ϑέσουmicroε klowast = Q και ℓlowast = R (microε Q R) Εποmicroένως

κατά το (ΠΕ 1) για το επίπεδο (PLI) ορίζεται η Q or R isin L οπότε το Plowast = Q or R

είναι το (microοναδικό) κοινό σηmicroείο των klowast ℓlowast

Τέλος για το (ΠΕ 3) παρατηρούmicroε τα εξής Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 227

υπάρχουν ευθείες ki isin L (i = 1 4) οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους και

ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο Εποmicroένως ϑέτοντας Plowasti = ki ϐρίσκουmicroε

τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία του Plowast Τα σηmicroεία αυτά δεν ϐρίσκονται ανά τρία σε

κοινή ευθεία Πραγmicroατικά αν υπήρχε ευθεία ℓlowast isin Llowast που να περιείχε τρία εξ αυτών

τότε οι αντίστοιχες ευθείες ki ϑα διέρχονταν από ένα κοινό σηmicroείο του P αυτό που

ορίζει η ℓlowast (άτοπο) ΄Αρα ισχύει και το (ΠΕ 3)

Από την προηγούmicroενη απόδειξη γίνεται ϕανερόν ότι τα αξιώmicroατα του προβολι-

κού επιπέδου (PlowastLlowastIlowast) είναι δυϊκές εκφράσεις αξιωmicroάτων του αρχικού επιπέδου

(PLI) Ακριβέστερα αν (ΠΕlowast N) (N = 1 2 3) συmicroβολίζει άξίωmicroα του δυϊκού προβο-

λικού επιπέδου και (ΠΕ N)lowast το δυϊκό του αξιώmicroατος (ΠΕ N) τότε έχουmicroε την επόmicroενη

αντιστοιχία

(ΠΕlowast 1) = (ΠΕ 2)lowast (ΠΕlowast 2) = (ΠΕ 1)lowast (ΠΕlowast 3) = ΠΡΟΤΑΣΗ 227 = (ΠΕ 3)lowast

232 Λήmicromicroα Υποθέτουmicroε ότι S είναι microία πρόταση που ισχύει σε ένα προβολικό επί-

πεδο (PLI) Τότε η δυϊκή πρόταση Slowast ισχύει στο δυϊκό επίπεδο (PlowastLlowastIlowast)

Απόδειξη Αφού η S ισχύει στο (PLI) σηmicroαίνει ότι προκύπτει από τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Η απόδειξη της δυϊκής πρότασης Slowast γίνεται αν εφαρmicroόσουmicroε την

εναλλαγή του Σχήmicroατος 210 στην απόδειξη της S άρα προκύπτει από τα δυϊκά των

αξιωmicroάτων του (PLI) Εποmicroένως η απόδειξη της Slowast τελικά προκύπτει από τα

αξιώmicroατα του (PlowastLlowastIlowast) άρα η Slowast αληθεύει στο (PlowastLlowastIlowast)

Μπορούmicroε τώρα να δείξουmicroε το επόmicroενο ϐασικό

233 Θεώρηmicroα (Αρχή του δυϊσmicroού) Στην κατηγορία των προβολικών επιπέδων

ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού ∆ηλαδή αν S είναι microία πρόταση η οποία αληθεύει σε

κάθε προβολικό επίπεδο τότε αληθεύει και δυϊκή της πρόταση Slowast επίσης σε κάθε

προβολικό επίπεδο

Απόδειξη Αφού η S αληθεύει σε κάθε προβολικό επίπεδο (PLI) (δηλαδή είναι

microια γενική ιδιότητα των προβολικών επιπέδων) ϑα αληθεύει και σε κάθε δυϊκό επί-

πεδο (PlowastLlowastIlowast) Εποmicroένως κατά το Λήmicromicroα 232 η Slowast αληθεύει και στο δυϊκό του

τελευταίου επιπέδου δηλαδή στο((Plowast)lowast (Llowast)lowast (Ilowast)lowast) Επειδή (Plowast)lowast = P (Llowast)lowast = L

και η (Ilowast)lowast ταυτίζεται microε την I καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

΄Οπως προκύπτει από τα προηγούmicroενα η αρχή του δυϊσmicroού παρέχει microία σηmicroαν-

τική διευκόλυνση στη microελέτη της Προβολικής Γεωmicroετρίας αφού microαζί microε κάθε συmicro-

πέρασmicroα (που αποδεικνύουmicroε) ισχύει και ένα νέο το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

να το αποδείξουmicroε ΄Αλλωστε και η διαδικασία της απόδειξης του δυϊκού συmicroπερά-

σmicroατος είναι δυϊκή της απόδειξης του αρχικού συmicroπεράσmicroατος δηλαδή προκύπτει

από την αρχική απόδειξη microε τη γνωστή εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Επίσης η ίδια αρχή δείχνει ότι οι (microη οριζόmicroενες) έννοιες της ευθείας και του

σηmicroείου έχουν ανάλογες (συmicromicroετρικές) ιδιότητες ενώ επιβεβαιώνεται ndashακόmicroη microια

ϕοράndash η αυθαιρεσία της ονοmicroατολογίας ΄Ετσι κάποια στοιχεία που αποτελούν τα

σηmicroεία ενός επιπέδου microπορούν να είναι ευθείες ενός άλλου κοκ

234 Ασκήσεις

1 Ποιο είναι το δυϊκό του προβολικού επιπέδου των 7 σηmicroείων

2 Να δικαιολογηθεί γιατί δεν ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού στην κατηγορία των συ-

σχετισmicroένων επιπέδων

3 Είναι το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) αυτοδυϊκό ∆ηλαδή αν πά-

ϱουmicroε τα δυϊκά τους τότε παραmicroένουmicroε εντός του συστήmicroατος Με ποια προσθήκη

microπορούmicroε να δηmicroιουργήσουmicroε ένα αυτοδυϊκό σύνολο αξιωmicroάτων και προτάσεων

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις

Στην παράγραφο αυτή ϑα εξετάσουmicroε microερικές απλές απεικονίσεις microε τις οποίες

συγκρίνουmicroε το πλήθος των σηmicroείων που ανήκουν σε διάφορες ευθείες το πλήθος

των ευθειών που διέρχονται από διάφορα σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου και άλλα

σχετικά ερωτήmicroατα

bull Θεωρούmicroε πάντοτε ένα προβολικό επίπεδο (PLI)

241 Ορισmicroός Αν m είναι ευθεία του προβολικού επιπέδου καλούmicroε σηmicroειοσειρά

ή δέσmicroη σηmicroείων (pencil of points) της m το σύνολο

J(m) = P isin P (P m) isin I

Η ευθεία m καλείται επίσης άξονας (axis) της σηmicroειοσειράς

Αντιστοίχως αν O είναι σηmicroείο του προβολικού επιπέδου καλούmicroε δέσmicroη ευ-

ϑειών (pencil of lines) του O (ή από το O) το σύνολο

J(O) = ℓ isin L (O ℓ) isin I

Το O καλείται και κέντρο (center) της δέσmicroης

Προφανώς οι δύο έννοιες είναι δυϊκές microεταξύ τους Στην περίπτωση της Στοι-

χειώδους Γεωmicroετρίας η σηmicroειοσειρά της m αποτελείται από όλα τα σηmicroεία της ενώ

τη δέσmicroη του O αποτελούν όλες οι ευθείες που διέρχονται από το O Ο Ορισmicroός

241 γενικεύει την κατάσταση της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας στο δικό microας πλαίσιο

στο οποίον οι έννοιες laquoανήκειraquo laquoδιέρχεταιraquo κλπ ορίζονται microέσω της σύmicroπτωσης I και

οι ευθείες δεν είναι κατ᾿ ανάγκην σηmicroειοσειρές

52 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

242 Πρόταση Αν k ℓ isin L τότε ισχύει η ισοδυναmicroία

[ k = ℓ ] hArr [ J(k) = J(ℓ) ]

Απόδειξη Αν k = ℓ τότε η ισότητα των δύο σηmicroειοσειρών είναι προφανής Αντι-

στρόφως ας υποθέσουmicroε ότι J(k) = J(ℓ) Λόγω της Πρότασης 226 η k διαθέτει

τουλάχιστον τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C οπότε k = A or B Επίσης από τον

Ορισmicroό 241 προκύπτει ότι A B C isin J(k) = J(ℓ) άρα και ℓ = A or B Εποmicroένως

k = A or B = ℓ

Για να συγκρίνουmicroε τις σηmicroειοσειρές και τις δέσmicroες ευθειών χρειαζόmicroαστε και τον

επόmicroενο ορισmicroό

243 Ορισmicroός ΄Εστω O isin P και m isin L microε (O m) lt I (ισοδύναmicroα O lt J(m))Ονοmicroάζουmicroε στοιχειώδη απεικόνιση (elementary correpondence) από τη δέσmicroη

J(O) στη σηmicroειοσειρά J(m) την απεικόνιση

δ J(O) minusrarr J(m) ℓ 7rarr ℓ andm

Σχηmicroα 211

Αν έχουmicroε πολλές στοιχειώδεις απεικονίσεις γράφουmicroε και

(241) δ = δOm

προκειmicroένου να διευκρινίσουmicroε ότι η δ απεικονίζει τη δέσmicroη του σηmicroείου O στη

σηmicroειοσειρά της ευθείας m

244 Πρόταση Η απεικόνιση δ = δOm είναι καλά ορισmicroένη 1 ndash1 και επί

Απόδειξη Για κάθε ℓ isin J(O) ϑα είναι ℓ m σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 ΄Αρα

(ϐλ και Πρόταση 224 το σηmicroείο ℓ and m είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο και η δ είναι

καλά ορισmicroένη

Για να δείξουmicroε ότι η δ είναι 1 minus 1 ας υποθέσουmicroε ότι δ(ℓ) = δ(ℓprime) δηλαδή

ℓandm = ℓprime andm Επειδή O lt J(m) ϑα είναι ℓandm O ℓprime andm οπότε (ϐλ και Σχήmicroα

211)

ℓ = O or (ℓ andm) = O or (ℓprime andm) = ℓprime

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 53

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

Τέλος η δ είναι επί πραγmicroατικά για τυχόν P isin J(m) ϑα είναι P O Συνεπώς

ορίζεται η k = P or O Παρατηρούmicroε ότι k isin J(O) και

δ(k) = (P or O) andm = P

όπως Ϲητούσαmicroε

245 Συmicroβολισmicroός Την ισχύ (cardinality) δηλαδή το πλήθος των στοιχείων της δέ-

σmicroης J(O) [αντίστ της σηmicroειοσειράς J(m)] συmicroβολίζουmicroε microε | J(O) | (αντίστ | J(m) |)΄Ενας άλλος συmicroβολισmicroός για την ισχύ πεπερασmicroένης δέσmicroης (αντίστ σηmicroειοσειράς)

που δεν ακολουθείται εδώ είναι και J(O) [αντίστ J(m)]

΄Αmicroεση συνέπεια της Πρότασης 244 είναι τώρα τα επόmicroενα συmicroπεράσmicroατα

246 Πόρισmicroα Για οποιοδήποτε Ϲεύγος (O m) isin PtimesL microε (O m) lt I ισχύει η σχέση

| J(O) | = | J(m) |

247 Πόρισmicroα Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L ισχύει η σχέση

| J(k) | = | J(ℓ) |

Απόδειξη Αν k = ℓ η σχέση είναι προφανής Αν k ℓ τότε [ϐλ ΄Ασκηση 229 (4)]

υπάρχει O isin P microε (O k) lt I και (O ℓ) lt I Εφαρmicroόζοντας το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε

ότι

| J(k) | = | J(O) | = | J(ℓ) |

΄Ενας συσχετισmicroός microεταξύ του πλήθους των σηmicroείων microιας ευθείας (που είναι το

ίδιο για όλες τις ευθείες κατά το Πόρισmicroα 247) και του πλήθους των σηmicroείων

ενός πεπερασmicroένου προβολικού επιπέδου (δηλ microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων)

δίνεται στην επόmicroενη

248 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι ℓ είναι microία ευθεία του προβολικού επιπέδου microε n +1

(n ge 2) το πλήθος διαφορετικά σηmicroεία Τότε το προβολικό επίπεδο διαθέτει ακριβώς

n2+ n + 1 σηmicroεία

Απόδειξη Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο O isin P microε (O ℓ) lt I [ϐλ ΄Ασκηση 229 (3)] και

καλούmicroε Pi (i = 1 n + 1) τα σηmicroεία της ℓ (ϐλ και το Σχήmicroα 212 στην επόmicroενη

σελίδα)

Επειδή O Pi [αφού O lt J(ℓ)] ορίζονται οι ευθείες O or Pi (i = 1 n + 1)που είναι όλες διαφορετικές από την ℓ σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 Επίσης

O or Pi O or Pj (για όλους τους δείκτες i j microε i j ) γιατί αν ήταν O or Pi = O or Pj (για

κάποιους δείκτες i j ) τότε ϑα είχαmicroε ότι

Pi = ℓ and (O or Pi) = ℓ and (O or Pj) = Pj

που είναι άτοπο Εποmicroένως από το O διέρχονται οι n + 1 διαφορετικές ευθείες

54 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Σχηmicroα 212

OorPi και κάθε microία απ᾿ αυτές έχει n+1 το πλήθος σηmicroεία διαφορετικά (αφού |J(ℓ)| =|J(O or Pi)| κατά το Πόρισmicroα 247) ΄Αρα η κάθε microία έχει n το πλήθος διαφορετικά

microεταξύ τους σηmicroεία και διαφορετικά από το O Κατά συνέπειαν ϑεωρώντας όλα τα

σηmicroεία τους εκτός του O από τις ευθείες αυτές λαmicroβάνουmicroε (n + 1) middot n = n2+ n

σηmicroεία Υπολογίζοντας τώρα και το O λαmicroβάνουmicroε τελικώς n2+ n + 1 διαφορετικά

σηmicroεία του προβολικού επιπέδου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχουν άλλα σηmicroεία στο επίπεδο εκτός απ᾿ αυτά που

πήραmicroε microε την προηγούmicroενη διαδικασία Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

κι ένα σηmicroείο Q διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Τότε ϑα ορίζεται και η ευθεία

O or Q η οποία ϑα είναι διαφορετική από όλες τις O or Pi αφού το Q δεν ανήκει σε

καmicroιά τους [αλλιώς η OorPi που ϑα περιείχε το Q ϑα είχε n +2 διαφορετικά σηmicroεία

(άτοπο)] ΄Αρα από το O ϑα διέρχονται n+2 διαφορετικές ευθείες (οι OorPi και η OorQ)

∆ηλαδή ϑα είναι | J(O) | = n+2 που είναι επίσης άτοπο γιατί | J(O) | = | J(ℓ) | = n+1

(ϐλ Πόρισmicroα 246) Εποmicroένως αληθεύει ο παραπάνω ισχυρισmicroός και αποδεικνύεται

η πρόταση

249 Παρατηρήσεις 1) Ο περιορισmicroός n ge 2 στην εκφώνηση της Πρότασης 248

είναι (προφανώς) συνέπεια της Πρότασης 226

2) Για n = 2 το πλήθος των σηmicroείων του προβολικού επιπέδου είναι 7 άρα κάθε

προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον 7 διαφορετικά σηmicroεία [συγκρίνατε microε το (ΠΕ

3)] Εποmicroένως

η ελαχίστη ισχύς του προβολικού επιπέδου ειναι 7

και αυτό δικαιολογεί το Παράδειγmicroα 223 (1)

3) Μπορούmicroε να δείξουmicroε το συmicroπέρασmicroα της προηγούmicroενης παρατήρησης αmicroέ-

σως από το (ΠΕ 3) χωρίς τη χρήση της Πρότασης 248 ως εξής ας ξεκινήσουmicroε microε

τα τέσσερα σηmicroεία A B C D τα οποία ορίζονται κατά το (ΠΕ 3) Σύmicroφωνα microε το

(ΠΕ 1) ορίζονται οι ευθείες

(242) A or B A or C A or D B or C B or D C or D

οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους άρα τέmicroνονται κατά Ϲεύγη Εποmicroένως εκτός

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 55

των A B C D ορίζονται και τα σηmicroεία

E = (A or C) and (B or D) G = (A or D) and (B or C) H = (A or B) and (D or C)

Σχηmicroα 213

δηλαδή τελικώς έχουmicroε 7 διαφορετικά σηmicroεία Για την πληρότητα ας παρατηρήσουmicroε

ότι εκτός από τις ευθείες (242) υπάρχει και άλλη microία η ευθεία που περιέχει τα

σηmicroεία G E H και σηmicroειώνεται στο Σχήmicroα 213 microε διάστικτη microορφή

Εδώ διευκρινίζουmicroε ότι όπως σχολιάσαmicroε και microετά το Παράδειγmicroα 223 (1)

οι ευθείες που προκύπτουν τελικώς είναι τριάδες της microορφής A B H A D GG E H κλπ και δεν έχουν καmicroία σχέση microε τις συνήθεις γραmicromicroές (που περιέχουν

τα αντίστοιχα σηmicroεία) του Σχήmicroατος 213 Το τελευταίο σχήmicroα γίνεται στο σύνηθες

επίπεδο για διευκόλυνση και δεν αποδίδει ακριβώς την αντίστοιχη κατάσταση στο

(αφηρηmicroένο) προβολικό επίπεδο Αυτό ϕαίνεται ακόmicroη περισσότερο στην απεικόνιση

της ευθείας G E H4) Αν οι ευθείες ενός (πεπερασmicroένου) προβολικού επιπέδου περιέχουν n + 1

(διαφορετικά) σηmicroεία λέmicroε ότι το επίπεδο έχει τάξη (order) n ΄Ετσι το επίπεδο των

7 σηmicroείων έχει τάξη 2 ενώ το επίπεδο τάξης 3 είναι αυτό των 13 σηmicroείων κοκ

΄Ενα δύσκολο πρόβληmicroα είναι να αποφανθούmicroε αν υπάρχει ή όχι προβολικό επί-

πεδο microε δεδοmicroένη τάξη Είναι γνωστόν ότι υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης n για

όλα τα n = pk όπου p είναι πρώτος αριθmicroός αλλά αγνοούmicroε αν είναι και οι microόνες

δυνατές τάξεις πεπερασmicroένων προβολικών επιπέδων Για παράδειγmicroα γνωρίζουmicroε

ότι δεν υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης 6 10 14 21 22 κα ενώ παραmicroένει

ανοιχτό το πρόβληmicroα για n = 12 15 18 κα Για περισσότερες λεπτοmicroέρειες ϐλ [10

σελ 12] και [25 σελ 105]

2410 Ασκήσεις

1 Αναλόγως προς τη δOm ορίζεται η απεικόνιση

δprime = δmO J(m) minusrarr J(O) P 7rarr P or O

Να αποδειχθούν τα εξής

56 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

α) Η δprime είναι microία καλά ορισmicroένη απεικόνιση 1 minus 1 και επί

ϐ) Η δprime είναι αντίστροφη της δ

2 Να αποδειχθεί ότι για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q είναι

| J(P) | = | J(Q) |

3 Αν (A ℓ) isin P times L και (A ℓ) isin I να εξεταστεί αν ισχύει η σχέση

| J(A) | = | J(ℓ) |

Να συσχετιστεί το αποτέλεσmicroα microε το Πόρισmicroα246

4 Γιατί ένα επίπεδο που έχει περισσότερα από 7 σηmicroεία ϑα έχει αναγκαστικά του-

λάχιστον 13 διαφορετικά σηmicroεία Τι συmicroβαίνει microε τις ευθείες ενός τέτοιου επιπέδου

5 Να οριστεί η έννοια της σηmicroειοσειράς και της δέσmicroης ευθειών σε ένα συσχετισmicroένο

επίπεδο και να αποδειχθεί το ανάλογο της Πρότασης 242

6 Ισχύουν σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246

247 Ποιά είναι τα ανάλογα συmicroπεράσmicroατα στην περίπτωση αυτή

7 Αν microια ευθεία ℓ ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει n (n ge 2) το πλήθος διαφο-

ϱετικά σηmicroεία τότε το επίπεδο έχει ακριβώς n2 διαφορετικά σηmicroεία

8 Με τις υποθέσεις της προηγούmicroενης άσκησης να αποδειχθεί ότι από κάθε σηmicroείο

του επιπέδου διέρχονται n + 1 διαφορετικές ευθείες [Υπόδειξη Να εξεταστούν δύο

περιπτώσεις το σηmicroείο να ϐρίσκεται α) επί της ℓ και ϐ) εκτός αυτής]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων

Στην παράγραφο αυτή ϑα δείξουmicroε ότι microέσω της διαδικασίας της πλήρωσης από

ένα συσχετισmicroένο επίπεδο κατασκευάζεται ένα προβολικό και αντιστρόφως microέσω της

αποπλήρωσης από ένα προβολικό επίπεδο κατασκευάζεται ένα συσχετισmicroένο

Θεωρούmicroε πρώτα δεδοmicroένο ένα συσχετισmicroένο επίπεδο (PLI) Υπενθυmicroίζου-

microε ότι σύmicroφωνα microε τους ορισmicroούς της Παραγράφου 24 [ϐλ ιδιαιτέρως την Πρό-

ταση 242 και την ΄Ασκηση 2410 (5)] για ένα συσχετισmicroένοπροβολικό επίπεδο

(PLI) ισχύει η ισοδυναmicroία

(P ℓ) isin I hArr P isin J(ℓ) forall (P l) isin P times L

΄Οπως είδαmicroε στην Πρόταση 218 η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυναmicroίας

Αν ℓmiddot = [ ℓ ] συmicroβολίζει την κλάση ισοδυναmicroίας microιας ευθείας ℓ του συσχετισmicroένου

επιπέδου ϑέτουmicroε

εinfin =ℓmiddot | ℓ isin L

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 57

δηλαδή το εinfin είναι το σύνολο-πηλίκο Lsim του L ως προς τη σχέση ισοδυναmicroίας που

εισάγει η παραλληλία

Ορίζουmicroε και το σύνολο (σηmicroείων)

P+ = P cup εinfin = P cup ℓmiddot | ℓ isin L

Αν συmicroβολίσουmicroε γενικά microε P+ τα σηmicroεία του P+ τότε εισάγουmicroε την επόmicroενη

ορολογία

251 Ορισmicroός ΄Ενα σηmicroείο P+ isin P+ ϑα λέγεται πραγmicroατικό (αντιστ ιδεατό ή κατ᾿

εκδοχήν) αν υπάρχει P isin P (αντιστ ℓ isin L ) έτσι ώστε P+ = P (αντιστ P+ = ℓmiddot)

Παρατηρούmicroε ότι στο P+ έχει έννοια η ένωση

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot

αφού J(ℓ) sub P sub P+ και ℓmiddot isin εinfin sub P+ Εποmicroένως microπορούmicroε να ορίσουmicroε και το

σύνολο (ευθειών)

L+ = ℓlowast | ℓ isin L cup εinfinΣυmicroβολίζοντας τις ευθείες του L+ γενικά microε ℓ+ ϑα είναι είτε ℓ+ = ℓlowast για κάποια

ℓ isin L είτε ℓ+ = εinfin οπότε έχουmicroε την ακόλουθη ορολογία

252 Ορισmicroός Κάθε ευθεία της microορφής ℓlowast ϑα λέγεται πραγmicroατική ενώ η εinfinλέγεται ιδεατή (ή κατ᾿ εκδοχήν)

Συνοψίζοντας ϐλέπουmicroε ότι το P+ προκύπτει αν στα σηmicroεία του P επισυνάψου-

microε (προσθέσουmicroε) τα ιδεατά σηmicroεία του επιπέδου Επίσης κάθε πραγmicroατική

ευθεία ℓlowast αποτελείται από τη σηmicroειοσειρά της ℓ isin L και το αντίστοιχο ιδεατό

σηmicroείο ℓmiddot ενώ η ιδεατή ευθεία εinfin αποτελείται από τα ιδεατά σηmicroεία και microόνον

αυτά Η τελευταία ευθεία στον κόσmicroο της εmicroπειρίας microας ή στον Ϲωγραφικό

πίνακα αντιστοιχεί στη γραmicromicroή του ορίζοντα

Ορίζουmicroε ακόmicroη microία σχέση σύmicroπτωσης I+ sub P+ timesL+ microε τον εξής τρόπο για ένα

Ϲεύγος (P+ ℓ+) isin P+ times L+ ϑα είναι (P+ ℓ+) isin I+ τότε και microόνον τότε αν ισχύει microία

από τις επόmicroενες συνθήκες

i) P+ = kmiddot (k isin L ) και ℓ+ = εinfin [ οπότε kmiddot isin εinfin ]

ii) P+ = P isin P ℓ+ = ℓlowast και P isin J(ℓ) [ ισοδύναmicroα (P ℓ) isin I ]

iii) P+ = kmiddot ℓ+ = ℓlowast και kℓ [ οπότε kmiddot = ℓmiddot ]

Από τον προηγούmicroενο ορισmicroό προκύπτει ότι

bull Κάθε ιδεατό σηmicroείο ανήκει (microε την έννοια της I+) στην ιδεατή ευθεία

bull ΄Ενα πραγmicroατικό σηmicroείο ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν είναι σηmicroείο της

αρχικής ευθείας ℓ από την οποίαν προέρχεται η ℓlowast

58 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

bull ΄Ενα ιδεατό σηmicroείο kmiddot ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν οι αντίστοιχες ευθείες

k και ℓ (από τις οποίες προέρχονται το σηmicroείο και η ευθεία) είναι παράλληλες

bull ∆εν ορίζεται σύmicroπτωση microεταξύ πραγmicroατικών σηmicroείων και της ιδεατής ευθείας δη-

λαδή

(P+ ℓ+) lt I+ αν P+ = P isin P και ℓ+ = εinfin

Με τους προηγούmicroενους συmicroβολισmicroούς αποδεικνύεται τώρα το

253 Θεώρηmicroα Η τριάδα (P+L+I+) αποτελεί ένα προβολικό επίπεδο το οποίον

καλείται πλήρωση (completion) του συσχετισmicroένου επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα επαληθεύσουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικά σηmicroεία P+ και Q+ Αναλόγως microε το είδος των

σηmicroείων (πραγmicroατικά ή ιδεατά) εmicroφανίζονται οι επόmicroενες περιπτώσεις

α) Τα P+ και Q+ είναι και τα δύο πραγmicroατικά σηmicroεία δηλαδή P+ = P και Q+ = Q

Τότε σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία ℓ = PorQ (του συσχετισmicroένου επιπέδου)

οπότε η ℓ+ = ℓlowast isin L+ είναι microια ευθεία που περιέχει τα P+ και Q+

Η ευθεία αυτή είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι υ-

πάρχει και microία άλλη ευθεία m+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία τότε ϑα είναι αναγκαίως

m+ = mlowast = J(m) cup mmiddot (η περίπτωση m+ = εinfin αποκλείεται αφού τα P+ Q+ είναι

πραγmicroατικά σηmicroεία) Συνεπώς επειδή P Q isin J(m) πάλι από το (ΣΕ 1) προκύπτει

ότι m = ℓ και m+ = ℓ+

ϐ) Τα P+ και Q+ είναι ιδεατά δηλαδή P+ = kmiddot και Q+ = ℓmiddot για κάποιες ευθείες

k ℓ isin L Επειδή kmiddot ℓmiddot isin εinfin προφανώς η εinfin είναι και η microοναδική ευθεία που

περιέχει τα P+ και Q+ (ϐλ τον ορισmicroό της I+ και τα σχετικά σχόλια)

γ) Το ένα σηmicroείο είναι πραγmicroατικό και το άλλο ιδεατό Για παράδειγmicroα αν υπο-

ϑέσουmicroε ότι P+ = P και Q+ = kmiddot τότε διακρίνουmicroε δύο υποπεριπτώσεις

γ1) P isin J(k) και γ2) P lt J(k)

Στη γ1) παρατηρούmicroε ότι η ευθεία k+ = klowast = J(k) cup kmiddot περιέχει τα P+ Q+

Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και

microία άλλη ευθεία m+ k+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία Τότε επειδή το P+ είναι

πραγmicroατικό σηmicroείο η m+ αποκλείεται να είναι η εinfin άρα ϑα έχει τη microορφή m+ =

mlowast = J(m) cup mmiddot Επίσης επειδή η m+ περιέχει το kmiddot αναγκαστικά ϑα είναι και

kmiddot = mmiddot (αφού υπάρχει microόνον ένα κατ᾿ εκδοχήν σηmicroείο επί της mlowast) οπότε km

Το τελευταίο συmicroπέρασmicroα όmicroως είναι άτοπο επειδή k m έχουν το P κοινό σηmicroείο

(προφανώς k m διαφορετικά ϑα ήταν k+ = m+)

Στη γ2) σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 2) υπάρχει microία microοναδική ℓ isin L microε ℓk και (P ℓ) isin I

Εποmicroένως ϑέτοντας ℓ+ = ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot έχουmicroε ότι (P+ ℓ+) isin I+ Επίσης λόγω

της προηγουmicroένης παραλληλίας ϑα είναι Q+ = kmiddot = ℓmiddot άρα (Q+ ℓ+) isin I+ και η

Ϲητουmicroένη ευθεία είναι η ℓ+ Για το microονοσήmicroαντο της ℓ+ παρατηρούmicroε ότι αν υπάρχει

και microία m+ ℓ+ που περιέχει τα P+ και Q+ τότε [εργαζόmicroενοι αναλόγως προς την

γ1)] έχουmicroε ότι mmiddot = kmiddot = ℓmiddot άρα mkℓ ΄Οmicroως το P ανήκει στις m και ℓ (m ℓ)΄Αρα από το P διέρχονται δύο παράλληλες προς την k (άτοπο)

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 59

Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση υπάρχει microία microοναδική ευθεία τουL+ που περιέχει

τα P+ και Q+ οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

(ΠΕ 2) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες k+ ℓ+ και ϑα δείξουmicroε ότι διαθέτουν

κοινό σηmicroείο Προφανώς εmicroφανίζονται δύο περιπτώσεις

α) και οι δύο ευθείες είναι πραγmicroατικές

ϐ) microία απ᾿ αυτές είναι η ιδεατή ευθεία

Στην περίπτωση α) ϑα είναι k+ = klowast και ℓ+ = ℓlowast Παρατηρούmicroε ότι αναγκαίως

k ℓ [αν ήταν k = ℓ τότε ϑα ήταν και klowast = ℓlowast (άτοπο)] Εποmicroένως προκύπτουν δύο

υποπεριπτώσεις

α1) kℓ και α2) k mdashℓ

Στην πρώτη υποπερίπτωση το P+ = kmiddot = ℓmiddot είναι κοινό σηmicroείο των k+ και ℓ+

Στη δεύτερη οι k και ℓ διαθέτουν ένα (microοναδικό) κοινό σηmicroείο P = k and ℓ Επειδή

P isin J(k) και P isin J(ℓ) τελικώς το P+ = P είναι κοινό σηmicroείο και των ευθειών k+ ℓ+

Στην περίπτωση ϐ) ας υποθέσουmicroε ότι k+ = εinfin και ℓ+ = ℓlowast Προφανώς εinfin ℓ+

(αφού τα πραγmicroατικά σηmicroεία δεν ανήκουν στην ιδεατή ευθεία) Τότε το P+ = ℓmiddot είναι

το Ϲητούmicroενο κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Κατά το Θεώρηmicroα 219 στο P υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D τα οποία είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά Τα ίδια σηmicroεία είναι

και (πραγmicroατικά) σηmicroεία του P+ άρα κανένα τους δεν ανήκει στην εinfin Ας δούmicroε

αν τρία από αυτά πχ τα A B C microπορούν να ανήκουν σε microία πραγmicroατική ευθεία

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot Αν συνέβαινε κάτι τέτοιο ϑα είχαmicroε ότι A B C isin J(ℓ) πράγmicroα που

είναι άτοπο Εποmicroένως τα σηmicroεία A+ = A B+ = B και C+ = C ικανοποιούν το (ΠΕ

3) στο P+ Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη

Η αντίστροφη διαδικασία της πλήρωσης (αποπλήρωση) συνίσταται στην αφαίρεση

microιας ευθείας (ακριβέστερα σηmicroειοσειράς) από ένα προβολικό επίπεδο οπότε οδηγού-

microαστε στην κατασκευή ενός συσχετισmicroένου επιπέδου

΄Ετσι ϑεωρώντας δεδοmicroένο ένα προβολικό επίπεδο (PLI) σταθεροποιούmicroε

microιαν ευθεία ℓo isin L και ορίζουmicroε το σύνολο (σηmicroείων)

Pminus = P minus J(ℓo) = P isin P (P ℓo) lt I equiv P isin P P lt J(ℓo)

∆ηλαδή τα σηmicroεία του Pminus είναι όλα τα σηmicroεία του P εκτός των σηmicroείων της σηmicroειο-

σειράς J(ℓo)Επίσης ϑεωρούmicroε και το σύνολο (ευθειών)

Lminus =kminus = J(k) minus k and ℓo

∣∣∣k isin L k ℓo

Εποmicroένως το Lminus δεν περιέχει την J(ℓo) ενώ κάθε άλλο στοιχείο του είναι microία ση-

microειοσειρά που αντιστοιχεί σε ευθεία του L από την οποίαν έχει αφαιρεθεί το σηmicroείο

60 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

τοmicroής της microε την ℓo Προφανώς κάθε kminus είναι σηmicroειοσειρά άρα microπορούmicroε να γρά-

ψουmicroε ότι kminus equiv J(kminus)

Σχηmicroα 214

Τέλος ορίζουmicroε και microία σχέση σύmicroπτωσης Iminus sub Pminus times Lminus microε τον εξής τρόπο για

ένα (P kminus) isin Pminus times Lminus ϑα είναι

(P kminus) isin Iminus hArr P isin kminus = J(k) minus k and ℓo

δηλ το P είναι σηmicroείο της kminus τότε και microόνον τότε αν (P k) isin I και P k and ℓo

Επειδή σκοπός microας είναι να δείξουmicroε ότι η τριάδα (PminusLminusIminus) είναι συσχετισmicroένο

επίπεδο ϑα πρέπει να εξασφαλίσουmicroε πρώτα την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών

254 Λήmicromicroα Στο σύνολο Lminus υπάρχουν παράλληλες ευθείες

Απόδειξη Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο A της ευθείας ℓo Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 228

microπορούmicroε να ϐρούmicroε δύο ευθείες k και m του L τέτοιες ώστε k m isin J(A) και

k ℓo m k Τότε οι kminus και mminus είναι παράλληλες [αν υπήρχε κοινό σηmicroείο P

ϑα είχαmicroε ότι k = P or A = m (άτοπο)] Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και άλλες παράλληλες

χρησιmicroοποιώντας ευθείες που διέρχονται από τα διάφορα σηmicroεία της ℓo

255 Θεώρηmicroα Η τριάδα (PminusLminusIminus) αποτελεί συσχετισmicroένο επίπεδο το οποίον

καλείται αποπλήρωση (deletion) του προβολικού επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ικανοποιούνται τα αξιώmicroατα του συσχετισmicroένου επιπέδου

(ΣΕ 1) Θεωρούmicroε δύο σηmicroεία P Q isin Pminus microε P Q Τα P Q (ως διαφορετικά σηmicroεία

και του P) ορίζουν την ευθεία k = P or Q isin L Προφανώς k ℓo αφού τα P Q δεν

ανήκουν στην ℓo Εποmicroένως η kminus = J(k) minus k and ℓo είναι ευθεία του Lminus που περιέχει

τα P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

και microία άλλη ευθεία mminus isin Lminus που περιέχει τα δύο προηγούmicroενα σηmicroεία Τότε από

τον ορισmicroό της mminus προκύπτει ότι τα P Q είναι και σηmicroεία της m Εποmicroένως κατά

το (ΠΕ 1) m = k και mminus = kminus που αποδεικνύει το (ΣΕ 1)

(ΣΕ 2) Υποθέτουmicroε ότι (P kminus) isin Pminus times Lminus microε P lt J(k) Αν ϑέσουmicroε (για ευκολία)

A = k and ℓo isin P παρατηρούmicroε ότι P A [διαφορετικά ϑα ήταν P isin J(ℓo) (άτοπο)]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 61

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία m = P orA isin L και η αντίστοιχη mminus = J(m)minusm and lo =J(m) minus A (ϕυσικά m ℓo αφού το P είναι σηmicroείο της m αλλά όχι και της ℓo) Αυτά

δείχνουν ότι (P mminus) isin Iminus και mminuskminus (ϐλ τη σχετική κατασκευή παραλλήλων στην

απόδειξη του Λήmicromicroατος 254) δηλαδή η mminus είναι ευθεία (του Lminus) που διέρχεται

από το P και είναι παράλληλη προς την kminus

Σχηmicroα 215

Η mminus είναι η microοναδική ευθεία microε τις προηγούmicroενες ιδιότητες Πραγmicroατικά ας

υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και microία άλλη ευθεία xminus = J(x) minus x and ℓo isin Lminus η οποία

διέρχεται από το P και είναι παράλληλη προς την kminus microε xminus mminus Τότε σύmicroφωνα

microε τον ορισmicroό της παραλληλίας είναι είτε xminus = kminus είτε xminus kminus και xminus cap kminus = emptyΗ πρώτη περίπτωση αποκλείεται επειδή το P δεν είναι σηmicroείο της kminus Στη δεύτερη

περίπτωση ϑα είναι υποχρεωτικά x k [ διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι x and ℓo = k and ℓo

οπότε xminus = kminus (άτοπο)] ΄Αρα ορίζεται το σηmicroείο Z = x and k (ϐλ το παραπάνω Σχήmicroα

215) και εmicroφανίζονται δύο νέες περιπτώσεις

i) Το Z είναι διαφορετικό από τα σηmicroεία A = k and ℓo και B = x and ℓo

ii) Το Z συmicroπίπτει microε ένα από τα A B

Στην i) έχουmicroε κατ᾿ ανάγκην ότι (Z kminus) isin Iminus ni (Z xminus) το οποίον είναι άτοπο

αφού kminusxminus

Στη ii) ας πάρουmicroε πρώτα ότι Z = A Τότε ϑα είναι και Z P [αλλιώς ϑα ήταν

P = Z isin J(k) (άτοπο)] Εποmicroένως

x = P or Z = P or A = m

άρα xminus = mminus που είναι άτοπο γιατί δεχτήκαmicroε από την αρχή ότι xminus mminus Αν Z = B

τότε k = Aor Z = AorB = ℓo που είναι επισης άτοπο Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση

η υπόθεση ότι υπάρχει και η xminus (microε τις αναφερόmicroενες ιδιότητες) οδηγεί σε άτοπο

΄Αρα τελικώς η mminus είναι η microοναδική παράλληλη προς την kminus που διέρχεται από το

P πράγmicroα που αποδεικνύει πλήρως το (ΣΕ 2)

(ΣΕ 3) Στο αρχικό προβολικό επίπεδο υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D που είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά ΄Αρα δύο τουλάχιστον

62 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

από αυτά ας πούmicroε τα A και B δεν ανήκουν στην ℓo Ας υποθέσουmicroε ακόmicroη ότι τα

C D ανήκουν και τα δύο στην ℓo Θεωρούmicroε την ευθεία

Σχηmicroα 216

A or C οπότε (λόγω της Πρότασης 226 υπάρχει ένα τουλάχιστον σηmicroείο της X

διαφορετικό από τα A C Προφανώς X lt J(ℓo) Εποmicroένως τα A B X είναι τρία

διαφορετικά microεταξύ τους (γιατί) σηmicroεία που ανήκουν στο Pminus επειδή κανένα τους

δεν ανήκει στην ℓo

Τα A B X δεν είναι συγγραmicromicroικά στο Pminus Πραγmicroατικά αν ανήκαν και τα τρία

σε microια ευθεία kminus = J(k) minus k and ℓo isin Lminus τότε ϑα ήταν A B X isin J(k) και

k = A or B = A or X = A or C

δηλαδή τα A B C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο προβολικό επίπεδο P που είναι άτοπο

Αν υποθέσουmicroε ότι C lt J(ℓo) [microε D isin J(ℓo) ή D lt J(ℓo)] εργαζόmicroενοι όπως στην

προηγούmicroενη περίπτωση δείχνουmicroε ότι τα σηmicroεία A B C είναι διαφορετικά και microη

συγγραmicromicroικά στο PminusΣυνεπώς microπορούmicroε πάντοτε να ϐρούmicroε τρία διαφορετικά σηmicroεία του Pminus που

ικανοποιούν το (ΣΕ 3) Με αυτό ολοκληρώνεται και η απόδειξη

΄Ενα ενδιαφέρον ερώτηmicroα είναι τώρα το εξής αν ξεκινήσουmicroε από ένα προβολικό

επίπεδο και εφαρmicroόσουmicroε πρώτα τη διαδικασία της αποπλήρωσης και κατόπιν αυτή

της πλήρωσης ποιά είναι η σχέση του αρχικού προβολικού επιπέδου microε το τελευταίο

Αποδεικνύεται ότι τα επίπεδα αυτά είναι ισόmicroορφα (ϐλ [5 Θεώρηmicroα 234]) Η έννοια

του ισοmicroορφισmicroού προβολικών επιπέδων ορίζεται στην επόmicroενη παράγραφο

256 Το κλασικό προβολικό επίπεδο

΄Οπως αναφέραmicroε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου (sect20) το προβολικό επίπεδο

εmicroφανίζεται ιστορικά ως αφαίρεση (microαθηmicroατικοποίηση) του επιπέδου του Ϲωγραφι-

κού πίνακα όπου ϑεωρούmicroε ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες ή ισοδύναmicroα

υποθέτουmicroε ότι όλες οι ευθείες που είναι microεταξύ τους παράλληλες τέmicroνονται στο

άπειρο επάνω στη γραmicromicroή του ορίζοντα Σε πιο αυστηρή γλώσσα χρησιmicroοποιώντας

την ορολογία αυτής της παραγράφου [ϐλ και Παράδειγmicroα 213 (1)]

το κλασικό προβολικό επίπεδο δηλαδή το επίπεδο της κλασικής Προβολικής

Γεωmicroετρίας είναι η πλήρωση του συνήθους (συσχετισmicroένου) επιπέδου E ( R2)της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

257 Σχόλιο ΄Οπως ήδη έχει αντιληφθεί ο αναγνώστης πολύ συχνά χρησιmicroοποι-

ήσαmicroε την εις άτοπον απαγωγή ΄Οπως αναφέρθηκε και στην sect12 αυτή είναι microία

ϐασική microέθοδος απόδειξης της συνθετικής γεωmicroετρίας και χρησιmicroοποιήθηκε συ-

στηmicroατικά από τον Ευκλείδη στα laquoΣτοιχείαraquo του Σχετικά ο G H Hardy [16 sect12]

παρατηρεί ότι

laquoη εις άτοπον απαγωγή (reductio ad absurdum) την οποίαν ο Ευκλείδης αγα-

πούσε τόσο πολύ είναι ένα από τα πιο έξοχα όπλα ενός microαθηmicroατικούraquo

258 Ασκήσεις

1 Αναφορικά microε την απόδειξη του (ΣΕ 3) στο Θεώρηmicroα 255 να δικαιολογηθεί

το σηmicroειούmicroενο γιατί και να ολοκληρωθεί η διερεύνηση για τα σηmicroεία C και D

(σχετικώς microε τη ϑέση τους ως προς την ευθεία ℓo)

2 Να εξηγηθεί γιατί είναι

P+ cap L+ = empty και Pminus cap Lminus = empty

3 Να αποδειχθεί ότι η πλήρωση του συσχετισmicroένου επιπέδου των τεσσάρων σηmicroείων

[Παράδειγmicroα 213 (2)] είναι το προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων [Παράδειγ-

microα 223 (1)]

4 Αντιστρόφως προς την προηγουmicroένη άσκηση να δειχθεί ότι η αποπλήρωση του

προβολικού επιπέδου των επτά σηmicroείων είναι το συσχετισmicroένο επίπεδο των τεσσάρων

σηmicroείων

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων

Στη Θεωρία Συνόλων ορίζεται η έννοια της απεικόνισης h S rarr Sprime microεταξύ δύο συνό-

λων S και Sprime Αν υποθέσουmicroε επιπλέον ότι τα σύνολα S και Sprime έχουν microιαν ιδιαίτερη

δοmicroή (πχ δοmicroή γραmicromicroικού χώρου οmicroάδας κλπ) το ενδιαφέρον microας εστιάζεται ό-

χι στις οποιεσδήποτε απεικονίσεις microεταξύ των συνόλων αυτών αλλά minusκυρίωςminus στις

απεικονίσεις εκείνες που αντανακλούν την προηγούmicroενη δοmicroή ΄Ετσι στους γραmicro-

microικούς χώρους ενδιαφερόmicroαστε ιδιαιτέρως για τις laquoγραmicromicroικές απεικονίσειςraquo στις

οmicroάδες για τους laquoοmicroοmicroορφισmicroούςraquo κοκ

Τις απεικονίσεις που συνδέονται microε την ιδιαίτερη δοmicroή των (microαθηmicroατικών) αν-

τικειmicroένων microιας κατηγορίας (όπως πχ των γραmicromicroικών χώρων των οmicroάδων των

προβολικών επιπέδων κλπ) τις καλούmicroε microορφισmicroούς (Εδώ χρησιmicroοποιούmicroε την

ορολογία της Θεωρίας Κατηγοριών για την οποία δεν microπορούmicroε να πούmicroε τίποτε

περισσότερο στο πλαίσιο αυτών των microαθηmicroάτων) Σε microερικές περιπτώσεις οι microορφι-

σmicroοί έχουν ένα συγκεκριmicroένο όνοmicroα όπως γραmicromicroικές απεικονίσεις οmicroοmicroορφισmicroοί

κλπ

64 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Για παράδειγmicroα ας ϑυmicroίσουmicroε την περίπτωση των οmicroοmicroορφισmicroών οmicroάδων Αν

(G middot) και (H lowast) είναι δύο οmicroάδες τότε microία απεικόνιση φ G rarr H καλείται microορφισmicroός

( οmicroοmicroορφισmicroός) οmicroάδων αν

(261) φ(g middotgprime) = φ(g) lowast φ(gprime) (g gprime) isin G times GΗ σχέση (261) σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός φ διατηρεί τη δοmicroή της οmicroάδας

Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί Τότε υπάρχει η αντί-

στροφη απεικόνιση φminus1 H rarr G Αποδεικνύεται εύκολα ότι και αυτή η απεικόνιση

είναι επίσης microορφισmicroός οmicroάδων δηλαδή ισχύει η

(262) φminus1(h lowast hprime) = φminus1(h) middot φminus1(hprime) (h hprime) isin H times HΣτην περίπτωση αυτή λέmicroε ότι η φ είναι ισοmicroορφισmicroός οmicroάδων

Γενικότερα microπορούmicroε να ορίσουmicroε την έννοια του ισοmicroορφισmicroού και για οποια-

δήποτε άλλη δοmicroή ΄Ετσι microία απεικόνιση f S rarr Sprime microεταξύ δύο συνόλων εφοδια-

σmicroένων microε microία συγκεκριmicroένη δοmicroή είναι ισοmicroορφισmicroός (ως προς την εξεταζοmicroένη

δοmicroή) αν η f είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί και minusεπιπλέονminus η απεικόνιση f minus1 είναι

επίσης microορφισmicroός

Εδώ πρέπει να διευκρινήσουmicroε ότι στον προηγούmicroενο ορισmicroό απαιτήσαmicroε να είναι

microορφισmicroός και η f minus1 Αυτό είναι απαραίτητο γιατί υπάρχουν περιπτώσεις όπου microπο-

ϱούmicroε να ϐρούmicroε microορφισmicroούς f οι οποίοι είναι 1 ndash 1 και επί χωρίς να είναι και οι

f minus1 microορφισmicroοί Μια τέτοια περίπτωση αποτελούνοι τοπολογικοί χώροι Οι microορφισmicroοί

εδώ είναι οι συνεχείς απεικονίσεις ΄Οmicroως υπάρχουν παραδείγmicroατα συνεχών απει-

κονίσεων που είναι 1 ndash 1 και επί microε αντίστροφη όχι κατ᾿ ανάγκην συνεχή ΄Αρα στην

περίπτωση αυτή ένας microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί δεν ορίζει πάντοτε έναν ισοmicroορφισmicroό

Αντιθέτως στην περίπτωση των οmicroάδων κάθε οmicroοmicroορφισmicroός 1 ndash 1 και επί είναι

ισοmicroορφισmicroός Παρόmicroοια στους γραmicromicroικούς χώρους για να είναι microια απεικόνιση

ισοmicroορφισmicroός γραmicromicroικών χώρων αρκεί να είναι γραmicromicroική 1 ndash 1 και επί Γενικότερα

το ίδιο ισχύει στις laquoαλγεβρικές δοmicroέςraquo αλλά όχι σε πολυπλοκότερες δοmicroές όπως οι

τοπολογικοί χώροι οι διαφορικές πολλαπλότητες κλπ

Ποια όmicroως είναι η σηmicroασία ενός ισοmicroορφισmicroού Απ᾿ όσα είπαmicroε microέχρις εδώ

γίνεται ϕανερό πως δύο σύνολα S και Sprime microε την ίδια δοmicroή τα οποία συνδέονται

microεταξύ τους microε έναν ισοmicroορφισmicroό f S rarr Sprime δεν διαφέρουν ουσιαστικά microεταξύ τους

Πραγmicroατικά η απεικόνιση f όχι microόνον αντιστοιχεί κατά τρόπον αmicroφιmicroονοσήmicroαντο

τα στοιχεία των S και Sprime microεταξύ τους αλλά microεταφέρει και όλες τις ιδιότητες του S σε

αντίστοιχες ιδιότητες του Sprime και αντιστρόφως Εποmicroένως κάτι που ισχύει στο S ϑα

ισχύει και σε κάθε άλλο Sprime ισόmicroορφο (δηλ που συνδέεται microε έναν ισοmicroορφισmicroό)

microε το S Με άλλα λόγια microπορούmicroε να πούmicroε ότι υπάρχει microια (microαθηmicroατική) ταύτιση

microεταξύ των S και Sprime Συνεπώς microέσω των ισοmicroορφισmicroών microπορούmicroε να διακρίνουmicroε αν

δύο αντικείmicroενα είναι laquoίδιαraquo (ταυτίζονται) ή όχι δηλαδή έχουmicroε ένα τρόπο σύγκρισης

Συνοψίζοντας microπορούmicroε να πούmicroε ότι ανάmicroεσα στις απεικονίσεις microεταξύ των

αντικειmicroένων microιας κατηγορίας (δηλ συνόλων microε microια συγκεκριmicroένη δοmicroή) microας

ενδιαφέρουν minusκυρίωςminus εκείνες που διατηρούν τη δοmicroή αυτή Ιδιαιτέρως microας

ενδιαφέρουν οι ισοmicroορφισmicroοί που επιτρέπουν να συγκρίνουmicroε τα αντικείmicroενα

της κατηγορίας και να τα ταξινοmicroήσουmicroε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 65

Τη λέξη laquoταξινόmicroησηraquo την παίρνουmicroε εδώ microε την κυριολεκτική σηmicroασία της και όχι

microε το ειδικό περιεχόmicroενο που έχει συχνά στα microαθηmicroατικά

Μετά τα παραπάνω διευκρινιστικά ας δούmicroε τα πράγmicroατα στο πλαίσιο της Προ-

ϐολικής Γεωmicroετρίας Οι microορφισmicroοί κι εδώ ϑα πρέπει να αντανακλούν τη δοmicroή του

προβολικού επιπέδου Εποmicroένως πρέπει να απεικονίζουν τα σηmicroεία σε σηmicroεία και

τις ευθείες σε ευθείες Αλλά υπάρχει και microια σχέση σύmicroπτωσης Θα πρέπει όπως στις

περιπτώσεις που συζητήσαmicroε αυτή η σύmicroπτωση να διατηρείται ΄Ολα αυτά οδηγούν

στον επόmicroενο ϕυσιολογικό ορισmicroό

261 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (morphism) microεταξύ των προβολικών επιπέδων

(PLI) και (PprimeLprimeIprime) είναι ένα Ϲεύγος απεικονίσεων (φψ) όπου

φ P minusrarr Pprime και ψ L minusrarr Lprime

έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη

(P ℓ) isin I rArr (φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime

Περιφραστικά η τελευταία συνθήκη σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός διατηρεί τη σύmicro-

πτωση Συmicroβολικά επίσης γράφουmicroε ότι

(φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime)

262 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime) καλείται 1 ndash1

(αντιστ επί ) αν και οι δυο απεικονίσεις φ και ψ είναι 1 ndash 1 (αντίστ επί) Ιδιαιτέρως

ένας microορφισmicroός (φψ) καλείται ισοmicroορφισmicroός (isomorphism) αν οι απεικονίσεις

φ και ψ είναι 1 ndash 1 και επί Στην περίπτωση αυτή τα προβολικά επίπεδα λέγονται

ισόmicroορφα

263 Παρατήρηση Στην εισαγωγή αυτής της παραγράφου είπαmicroε ότι για να είναι

ένας microορφισmicroός f και ισοmicroορφισmicroός ϑα πρέπει να υπάρχει η f minus1 και να είναι επίσης

microορφισmicroός Στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου ϐεβαιώνεται κανείς εύκολα ότι

ένας ισοmicroορφισmicroός (όπως στον Ορισmicroό 262 είναι ισοmicroορφισmicroός microε την κατηγορι-

κή έννοια δηλαδή ότι και το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι επίσης microορφισmicroός προβολικών

επιπέδων [ϐλ ΄Ασκηση 2610 (3) στο τέλος αυτής της παραγράφου]

Μερικές άmicroεσες συνέπειες του Ορισmicroού 261 περιέχονται στην εποmicroένη

264 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι (φ ψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) είναι microορφισmicroός

προβολικών επιπέδων Τότε ισχύουν τα εξής συmicroπεράσmicroατα

i) Αν η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q)

για οποιαδήποτε σηmicroεία PQ isin P microε P Q

ii) Αν η ψ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

φ(k and ℓ) = ψ(k) and ψ(ℓ)

για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

66 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη i) Οι ευθείες P or Q και ψ(P or Q) ορίζονται επειδή P Q Από τον Ορι-

σmicroό 261 έχουmicroε ότι

(P P or Q) isin I rArr (φ(P) ψ(P or Q)) isin Iprime(Q P or Q) isin I rArr (φ(Q) ψ(P or Q)) isin Iprime

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 ϑα είναι και φ(P) φ(Q) οπότε ορίζεται η φ(P)orφ(Q) Το (ΠΕ

1) και οι σχέσεις της δεύτερης στήλης των παραπάνω συνεπαγωγών αποδεικνύουν

ακριβώς το πρώτο συmicroπέρασmicroα

Για το ii) προχωρούmicroε αναλόγως

(k and ℓ k) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(k)) isin Iprime(k and ℓ ℓ) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(ℓ)) isin Iprime

Το συmicroπέρασmicroα τώρα προκύπτει από τις προηγούmicroενες σχέσεις και το (ΠΕ 2) σε

συνδυασmicroό microε την Πρόταση 224

Φυσικά η απόδειξη του συmicroπεράσmicroατος ii) περιττεύει επειδή είναι δυϊκό του i)

Εδώ έγινε microόνον για την εξοικείωση του αναγνώστη microε το microηχανισmicroό των microορφισmicroών

Για να διαπιστώσουmicroε πότε ένας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων είναι και ισο-

microορφισmicroός (Ορισmicroός 262) αρκεί να ελέγξουmicroε τη microία από τις δύο απεικονίσεις του

microορφισmicroού όπως προκύπτει από το επόmicroενο ϐασικό συmicroπέρασmicroα

265 Θεώρηmicroα ΄Εστω (φψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) microορφισmicroός προβολικών επι-

πέδων Η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί τότε και microόνον τότε αν η ψ είναι απεικόνιση

1 ndash 1 και επί

Απόδειξη Υποθέτουmicroε πρώτα ότι η φ είναι 1 ndash 1 και επί οπότε ϑα δείξουmicroε ότι τις

ίδιες ιδιότητες έχει και η ψ

Η ψ είναι επί ΄Εστω ℓprime isin Lprime τυχούσα ευθεία Αν P prime και Qprime είναι δυο οποιαδήποτε

διαφορετικά σηmicroεία της δηλαδή (P prime ℓprime) isin Iprime ni (Qprime ℓprime) τότε το επί της φ εξασφαλίζει

την ύπαρξη δύο σηmicroείων P Q isin P microε φ(P) = P prime και φ(Q) = Qprime Αναγκαίως ϑα είναι

και P Q [αλλιώς η σχέση P = Q συνεπάγεται ότι P prime = φ(P) = φ(Q) = Qprime (άτοπο)]

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία ℓ = P or Q isin L και ισχύουν οι σχέσεις

(P ℓ) isin I rArr (P prime = φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime(Q ℓ) isin I rArr (Qprime = φ(Q) ψ(ℓ)) isin Iprime

Από τις σχέσεις αυτές και το (ΠΕ 1) προκύπτει ότι

ψ(ℓ) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

Η ψ είναι 1 ndash 1 Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής δεν είναι τόσο άmicroεση όπως πριν

αλλά ϐασίζεται σ᾿ ένα τέχνασmicroα Αν υποθέσουmicroε ότι δεν ισχύει το συmicroπέρασmicroα τότε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 67

αυτό σηmicroαίνει ότι microπορούmicroε να ϐρούmicroε (τουλάχιστον δύο) ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

και τέτοιες ώστε ψ(k) = ψ(ℓ) Θα δείξουmicroε ότι ισχύει ο εξής ισχυρισmicroός

(lowast) forall P isin P rArr (φ(P) ψ(k)) isin Iprime

δηλαδή κάθε σηmicroείο του προβολικού επιπέδου (PLI) απεικονίζεται microέσω της φ

επί της ευθείας ψ(k) = ψ(ℓ)Πρώτα παρατηρούmicroε από τον ορισmicroό του microορφισmicroού ότι όλα τα σηmicroεία των k και

ℓ απεικονίζονται στην ψ(k) = ψ(ℓ) οπότε πρέπει να δείξουmicroε ότι το ίδιο συmicroβαίνει

και για οποιοδήποτε X isin P που δεν ανήκει στις k ℓ Πραγmicroατικά αν ϑέσουmicroε

A = k and ℓ στην ℓ υπάρχει κι ένα σηmicroείο B A Επίσης B X διαφορετικά ϑα

ήταν (X = B ℓ) isin I που είναι άτοπο ΄Αρα ορίζεται η ευθεία B or X (ϐλ και Σχήmicroα

217) Προφανώς B or X k αφού η πρώτη έχει σηmicroεία που δεν ανήκουν στην άλλη

(ϐλ Πρόταση 242) άρα ορίζεται και το σηmicroείο C = (B or X )and k Εφαρmicroόζοντας τον

Ορισmicroό 261 έχουmicroε διαδοχικά

(263)(B ℓ) isin I rArr (φ(B) ψ(ℓ)) isin Iprime(C k) isin I rArr (φ(C) ψ(k)) isin Iprime

Σχηmicroα 217

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και B C ϑα είναι φ(B) φ(C) οπότε ορίζεται η φ(B)orφ(C)Εποmicroένως από την Πρόταση 224 τις σχέσεις (263) και την υπόθεση ψ(k) = ψ(ℓ)προκύπτει ότι

(264) ψ(B or C) = φ(B) or φ(C) = ψ(k) = ψ(ℓ)

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή το X είναι σηmicroείο της B or C δηλαδή (X B or C) isin I

ϑα είναι και

(265)(φ(X ) ψ(B or C)

) isin Iprime

Εποmicroένως από τις (264) και (265) έχουmicroε ότι

(φ(X ) ψ(k)) isin Iprime

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό (lowast)Ας δούmicroε τώρα τη συνέπεια του (lowast) Επειδή η φ είναι απεικόνιση επί για τυχόν

P prime isin Pprime υπάρχει P isin P microε φ(P) = P prime ΄Αρα λόγω του (lowast) ϑα είναι (P prime ψ(k)) isin Iprime Αυτό

68 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

ισχύει για κάθε σηmicroείο του Pprime δηλαδή ϐρίσκουmicroε ότι όλα τα σηmicroεία του Pprime είναι

συγγραmicromicroικά που είναι άτοπο [λόγω του (ΠΕ 3)] Το άτοπο αίρεται αν δεχθούmicroε ότι

η ψ είναι 1 ndash 1 (οπότε παύει να ισχύει και ο (lowast) ο οποίος είναι συνέπεια της άρνησης

του 1 ndash 1)

Για να κλείσει η απόδειξη πρέπει να δείξουmicroε ότι αν η ψ είναι 1 ndash 1 και επί

τότε και η φ έχει τις ίδιες ιδιότητες Αυτό όmicroως προκύπτει από το προηγούmicroενο

συmicroπέρασmicroα ϐάσει της αρχής του δυϊσmicroού

Προφανής συνέπεια του προηγουmicroένου ϑεωρήmicroατος και του Ορισmicroού 262 είναι

το επόmicroενο

266 Πόρισmicroα ΄Ενας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων (φ ψ) είναι ισοmicroορφισmicroός

αν και microόνον αν microία από τις απεικονίσεις φ ψ είναι 1 ndash 1 και επί

267 Παρατηρήσεις 1) ΄Οπως ϕάνηκε στην απόδειξη του Θεωρήmicroατος 265 για

την απόδειξη του επί της ψ αρκεί microόνον το επί της φ Αρα microπορούmicroε να πούmicroε ότι

η ψ είναι επί τότε και microόνον τότε αν η φ είναι επί

Κάνοντας όmicroως χρήση και του 1 ndash 1 της φ microπορούmicroε να δείξουmicroε το επί της ψ και

ως εξής για τα P prime Qprime (όπως στην αρχική απόδειξη του ϑεωρήmicroατος) υπάρχουν

microονοσήmicroαντα ορισmicroένα (και ϕυσικά διαφορετικά microεταξύ τους) σηmicroεία P και Q που

ορίζουν την ℓ = P or Q Εφαρmicroόζοντας την Πρόταση 264 ϐρίσκουmicroε ότι

ψ(ℓ) = ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

2) Αντιθέτως για το 1 ndash 1 της ψ χρησιmicroοποιείται και το 1 ndash 1 και το επί της φ

Μέχρι τώρα έχουmicroε ορίσει το προβολικό επίπεδο (όπως και το συσχετισmicroένο ε-

πίπεδο) microε τη ϐοήθεια microιας αφηρηmicroένης σύmicroπτωσης I ΄Οmicroως στη Στοιχειώδη (Ευ-

κλείδεια) Γεωmicroετρία και στην κλασική Προβολική Γεωmicroετρία (για την οποίαν έγινε

λόγος στο εδάφιο 256 σελ 62) η σύmicroπτωση αυτή είναι η συνήθης σύmicroπτωση της

εmicroπειρίας η οποία έχει την ίδια σηmicroασία microε το συνολοθεωρητικό lsquolsquoisinrsquorsquoΜε τη χρήση των ισοmicroορφισmicroών προβολικών επιπέδων ϑα δείξουmicroε ότι και η αφη-

ϱηmicroένη σύmicroπτωση I που έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει microέχρι τώρα microπορεί να ταυτιστεί

(microέσω κατάλληλου ισοmicroορφισmicroού) microε τη συνήθη σύmicroπτωση που ορίζει το lsquolsquoisinrsquorsquo Αυτό

επιτυγχάνεται αν ταυτίσουmicroε κάθε ευθεία microε την αντίστοιχη σηmicroειοσειρά της ΄Ετσι

και πιο κοντά στην εmicroπειρία ϐρισκόmicroαστε και τους συmicroβολισmicroούς microας απλοποιούmicroε

σηmicroαντικά

Για την ακρίβεια ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PLI) και το δυναmicroοσύ-

νολο P(P) του P Επίσης ορίζουmicroε την απεικόνιση

J L minusrarr P(P)

η οποία σε κάθε ευθεία ℓ αντιστοιχεί τη σηmicroειοσειρά της (ϐλ Ορισmicroό 241)

(266) J(ℓ) =P isin P (P ℓ) isin I

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 69

Η J είναι καλά ορισmicroένη (ϐλ Πρόταση 242) Θέτουmicroε

L = J(L)

οπότε σχηmicroατίζεται η τριάδα (P L isin) Παρατηρούmicroε ότι P cap L = empty και το lsquolsquoisinrsquorsquo ορίζει

microια σχέση σύmicroπτωσης στο P times L

Αν συmicroβολίσουmicroε microε 1P την ταυτοτική απεικόνιση του P τότε έχουmicroε το

268 Θεώρηmicroα Με τους προηγουmicroένους συmicroβολισmicroούς ισχύουν τα εξής συmicroπερά-

σmicroατα

i) Η τριάδα (P L isin) είναι προβολικό επίπεδο

ii) Το Ϲεύγος (1P J) είναι ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των προβολικών επιπέδων (PLI)και (P L isin)

Απόδειξη Για το i) επαληθεύουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Αν P Q είναι δύο οποιαδήποτε σηmicroεία της δεύτερης τριάδας microε P Q τότε

ως σηmicroεία του πρώτου προβολικού επιπέδου ορίζουν microονοσήmicroαντα την ευθεία PorQ

Συνεπώς ορίζεται και η J(P or Q) isin L Επειδή (P P or Q) isin I ϑα είναι P isin J(P or Q)και παρόmicroοια Q isin J(P or Q) ΄Αρα η J(P or Q) είναι microια ευθεία του L που περιέχει

(ή ορίζεται από) τα σηmicroεία P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά αν

υπήρχε και κάποια άλλη ευθεία από το L που να περιέχει τα P Q τότε αυτή ϑα

είχε τη microορφή J(k) για κάποια k isin L Επειδή PQ isin J(k) λόγω της (266) ϑα ήταν

(P k) isin I ni (Q k) Αλλά P Q οπότε το (ΠΕ 1) στο προβολικό επίπεδο (PLI)συνεπάγεται ότι k = P or Q άρα και J(k) = J(P or Q) απ᾿ όπου προκύπτει και το

microονοσήmicroαντο της ευθείας (του L ) η οποία περιέχει τα P και Q

(ΠΕ 2) Αν J(k) και J(ℓ) είναι στοιχεία του L microε J(k) J(ℓ) τότε και k ℓ (ϐλ

Πρόταση 242 Συνεπώς από το (ΠΕ 2) για το (PLI) ορίζεται το σηmicroείο P = kand ℓΕπειδή (P k) isin I ni (P ℓ) οι τελευταίες σχέσεις και η (266) συνεπάγονται ότι

P isin J(k) cap J(ℓ) δηλαδή οι J(k) και J(ℓ) έχουν κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Επειδή το P είναι το ίδιο και στις δύο τριάδες και η πρώτη είναι προβολικό

επίπεδο microπορούmicroε να ϐρούmicroε τέσσερα σηmicroεία Pi (i = 1 4) διαφορετικά και ανά

τρία microη συγγραmicromicroικά (ως προς τις ευθείες του L ) Τα σηmicroεία αυτά δεν είναι ανά

τρία συγγραmicromicroικά και ως προς τις ευθείες του L Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι

υπάρχει κάποια ευθεία J(k) που περιέχει ας πούmicroε τα P1 P2 P3 τότε ϑα ήταν και

(Pj k) isin I ( j = 1 23) δηλαδή τα σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο πρώτο επίπεδο

(άτοπο)

Για το συmicroπέρασmicroα ii) παρατηρούmicroε ότι σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό της J

[ forall (P k) isin P times L (P k) isin I ] rArr [ 1P(P) = P isin J(k) ]

΄Αρα το Ϲεύγος (1P J) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Επειδή η 1P είναι 1 ndash 1

και επί το Πόρισmicroα 266 ολοκληρώνει την απόδειξη

70 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

269 Παρατηρήσεις Με τη ϐοήθεια του προηγουmicroένου ισοmicroορφισmicroού (1P J) το

προβολικό επίπεδο (PLI) ταυτίζεται microε το προβολικό επίπεδο (P L isin) του οποίου

οι ευθείες είναι σηmicroειοσύνολα δηλαδή υποσύνολα τουP ΄Ετσι ταυτίζοντας (microέσω της

J ) microια ευθεία k isin L microε τη σηmicroειοσειρά της J(k) κάθε σηmicroείο P της k [microε την έννοια

(P k) isin I] microπορεί να ϑεωρηθεί και σηmicroείο της ευθείας (σηmicroειοσειράς) J(k) isin L [microε

τη συνήθη συνολοθεωρητική έννοια δηλ P isin J(k)]΄Οπως εξηγήσαmicroε και στη συζήτηση πριν το Θεώρηmicroα 268 τα προηγούmicroενα

ϐρίσκονται σε συmicroφωνία microε τη Στοιχειώδη Γεωmicroετρία (όπου οι ευθείες είναι σύνολα

σηmicroείων) και δικαιολογεί τις εκφράσεις laquoένα σηmicroείο ανήκει σε microία ευθείαraquo laquoδύο

ευθείες τέmicroνονται σ᾿ ένα σηmicroείοraquo κλπ τις οποίες έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει ήδη από

τους πρώτους ορισmicroούς

2610 Ασκήσεις

1 Αν (φψ) (PL isin) rarr (PprimeLprime isin) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων 1 ndash 1 τότε

ισχύει η συνεπαγωγή

[ forall (P ℓ) isin P times L P lt ℓ] rArr [φ(P) lt ψ(ℓ)]

Τι συmicroβαίνει αν παραλειφθεί η υπόθεση ότι ο microορφισmicroός (φψ) είναι 1 ndash 1

2 Με τις υποθέσεις της προηγουmicroένης άσκησης έχουmicroε ότι

[ forall (P ℓ) isin P times L φ(P) isin ψ(ℓ)] rArr [P isin ℓ ]

3 Αν (φψ) είναι ισοmicroορφισmicroός τότε το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι microορφισmicroός προβο-

λικών επιπέδων (Να συνδυαστεί η άσκηση microε την Παρατήρηση 263) Συmicroβολικά

γράφουmicroε ότι

(φminus1 ψminus1) = (φψ)minus1

4 ΄Εστω ότι (φ ψ) είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 microεταξύ προβολικών επιπέδων Τότε κάθε microία

από τις απεικονίσεις του Ϲεύγους εκφράζεται microέσω της άλλης

5 Αν (φψ) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων και η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1

τότε για οποιονδήποτε άλλο microορφισmicroό (φψprime) ϑα είναι ψ = ψprime

6 Να αποδειχθεί ότι το P2 όπως ορίστηκε στο Παράδειγmicroα 223 (2) είναι ισόmicroορφο

microε το προβολικό επίπεδο της ΄Ασκησης 229 (5)

7 Αν (φ1 ψ1) είναι microορφισmicroός του προβολικού επιπέδου (P1L1I1) στο (P2L2I2)και (φ2 ψ2) microορφισmicroός του (P2L2I2) στο (P3L3I3) τότε και το Ϲεύγος (φ2 φ1 ψ2 ψ1) είναι microορφισmicroός του (P1L1I1) στο (P3L3I3) Συmicroβολικά γράφουmicroε

ότι

(φ2 φ1 ψ2 ψ1) = (φ2 ψ2) (φ1 ψ1)

8 ∆ίνονται τα προβολικά επίπεδα (PL isin) (PprimeLprime isin) και υποθέτουmicroε ότι φ P rarr Pprimeείναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί η οποία διατηρεί τη συγγραmicromicroικότητα σηmicroείων

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

δηλ απεικονίζει συγγραmicromicroικά σηmicroεία του πρώτου επιπέδου σε συγγραmicromicroικά σηmicroεία

του δευτέρου Τότε υπάρχει microία microοναδική ψ L rarr Lprime τέτοια ώστε το (φψ) να είναι

ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των δύο προβολικών επιπέδων

9 Αν (PL isin) είναι ένα προβολικό επίπεδο συmicroβολίζουmicroε microε Aut(P) το σύνολο

των αυτοmicroορφισmicroών του (δηλ των ισοmicroορφισmicroών του επιπέδου στον εαυτό του) Να

αποδειχθεί ότι το Aut(P) αποτελεί οmicroάδα (microε πράξη τη σύνθεση των microορφισmicroών

όπως αναφέρεται στην παραπάνω ΄Ασκηση 7

Τα στοιχεία του Aut(P) καλούνται ιδιαιτέρως συγγραmicromicroικότητες του προ-

ϐολικού επιπέδου (PLI) ενώ το Ϲεύγος (PAut(P)) αποτελεί τη Γεωmicroετρία

Klein αυτού Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός προβολικού επιπέδου προκύ-

πτουν από αντίστοιχες ιδιότητες της οmicroάδαςAut(P) και ορισmicroένων υποοmicroάδων

της Η ορολογία αυτή χρησιmicroοποιείται προς τιmicroήν του Felix Klein (1849ndash1925)

ο οποίος είχε την ιδέα να microελετήσει τη γεωmicroετρία ενός συνόλου S εφοδιασmicroέ-

νου microε microία δοmicroή microέσω της αντίστοιχης οmicroάδας Aut(S) ΄Ετσι η Γεωmicroετρία

Klein του S είναι το ξεύγος (SAut(S)) Την ιδέα αυτή ανέπτυξε ο Klein το

1872 στο περίφηmicroο Erlanger Programm (Πρόγραmicromicroα του Erlangen) που είχε

πολύ microεγάλη επίδραση στην εξέλιξη της Γεωmicroετρίας

Εικονα 14 Felix Klein

27 Αλγεβρική microελέτη του P2

Στο Παράδειγmicroα 223 (2) ορίσαmicroε το πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο P2 Επειδή το

επίπεδο αυτό προκύπτει από τον χώρο R3 στον οποίον υπάρχει η δυνατότητα να

χρησιmicroοποιηθεί ο microηχανισmicroός της Γραmicromicroικής ΄Αλγεβρας το P2 είναι ένα πρώτο (και

σηmicroαντικό) παράδειγmicroα συσχετισmicroού της Προβολικής Γεωmicroετρίας microε την ΄Αλγεβρα

που οδηγεί στη γενικότερη ιδέα της αλγεβροποίηση του τυχόντος προβολικού επιπέ-

δου

΄Οπως εξηγήσαmicroε στο προαναφερόmicroενο παράδειγmicroα τα σηmicroεία του P2 είναι ακρι-

ϐώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρχονται από το 0 equiv (000) ενώ οι ευθείες του

P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3 τα οποία επίσης διέρχονται από το 0

72 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Ας ϑυmicroηθούmicroε από την ΑναλυτικήΓραmicromicroική Γεωmicroετρία ότι αν ε είναι microια ευ-

ϑεία του R3 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε η ε ορίζεται πλήρως από

το 0 και τυχόν άλλο σηmicroείο της (ao bo co) (000) Ακριβέστερα

ε = t(ao bo co) | t isin R(271)

Προφανώς για δύο τυχόντα σηmicroεία (a b c) (aprime bprime cprime) της ε που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους καθώς και προς το 0 υπάρχει κάποιο λ isin Rlowast = R minus 0 έτσι ώστε

(aprime bprime cprime) = λ(a b c)Απ᾿ το άλλο microέρος ένα επίπεδο του R3 που διέρχεται από το 0 ορίζεται από microία

εξίσωση της microορφής

αx + y + γz = 0(272)

όπου οι συντελεστές α γ είναι στοιχεία του R3 microε (α γ) (0 00) Οι τριάδες

(x y z) που είναι λύσεις της (272) αποτελούν τα σηmicroεία του επιπέδου Επειδή

ένα τέτοιο επίπεδο καθορίζεται πλήρως από την τριάδα (α γ) το συmicroβολίζουmicroε microε

Π(α γ)Αν ϑεωρήσουmicroε δύο επίπεδα Π(α γ) και Π(αprime prime γprime) τότε διαπιστώνουmicroε ότι

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime) hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Πραγmicroατικά η σχέση (272) συνεπάγεται ότι

(α γ) perp (x y z)

για κάθε (x y z) isin Π(α γ) άρα

(α γ) perp Π(α γ)

και παρόmicroοια

(αprime prime γprime) perp Π(αprime prime γprime)

Εποmicroένως

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime)hArr (αprime prime γprime) (α γ)

hArr (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Οι προηγούmicroενες υπενθυmicroίσεις ϑα microας επιτρέψουν να κατασκευάσουmicroε microε αλγε-

ϐρικό τρόπο ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο microε το P2 Λόγω της ισοmicroορφίας αυτής

ϑα ταυτίζουmicroε τα δύο επίπεδα οπότε ϑα έχουmicroε την δυνατότητα να microελετήσουmicroε το

P2 microε αλγεβρικές microεθόδους Για το σκοπό αυτό στο χώρο

R3lowast = R3 minus (000)

ορίζουmicroε την εποmicroένη σχέση ισοδυναmicroίας

(a b c) sim (aprime bprime cprime) hArr exist λ isin Rlowast (aprime bprime cprime) = λ(a b c)(273)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 73

Την κλάση ισοδυναmicroίας του σηmicroείου (a b c) συmicroβολίζουmicroε microε [a b c] (αντί του πο-

λυπλοκοτέρου [(a b c)]) Προφανώς

[a b c] =λ(a b c) | λ isin Rlowast

Ο αντίστοιχος χώρος-πηλίκον R3lowast sim δηλαδή το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυνα-

microίας οι οποίες προκύπτουν microε τον προηγούmicroενο τρόπο συmicroβολίζεται microε Pα ΄Αρα

Pα = R3lowast sim =

[a b c] | (a b c) isin R3

lowast(274)

Πιο κάτω τις κλάσεις του Pα ϑα τις αντιστοιχίσουmicroε στα σηmicroεία του P2 (δηλαδή τις

ευθείες του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Στη συνέχεια για microια τριάδα (α γ) isin R3lowast (που microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι

αντιστοιχεί στους συντελεστές ενός επιπέδου από το 0) ορίζουmicroε και την ισοδυναmicroία

(επίσης στο R3lowast )

(α γ) sim (αprime prime γprime)hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)(275)

Την κλάση ισοδυναmicroίας της τριάδας (α γ) συmicroβολίζουmicroε microε ltα γ gt και ϑέτουmicroε

(276) Lα=

ltα γ gt | (α γ) isin R3

lowast

Θα δούmicroε πιο κάτω ότι τα στοιχεία (κλάσεις) του Lα αντιστοιχούν στις ευθείες του P2

(δηλαδή στα επίπεδα του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Μεταξύ των Pα και Lα υπάρχει microια προφανής σχέση σύmicroπτωσης (λόγω του συ-

σχετισmicroού τους microε τις ευθείες και τα επίπεδα του R3) που δίνεται απο την

(277) [p q r] isin ltα γ gt hArr αp + q + γr

Επίσης Pα cap Lα= empty Εποmicroένως σχηmicroατίζεται η τριάδα (PαLα isin) όπου ο εκθέτης

laquoαraquo χρησιmicroοποιείται για να υποδηλώσει ότι η κατασκευή της έγινε microε τον laquoαλγεβρικόraquo

τρόπο που περιγράψαmicroε

Πριν αποδείξουmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) αποτελεί προβολικό επίπεδο ας πα-

ϱατηρήσουmicroε ότι οι ισοδυναmicroίες (273) και (275) δεν διαφέρουν microεταξύ τους από

συνολοθεωρητική άποψη ΄Οmicroως όπως προαναφέραmicroε οι κλάσεις της πρώτης ϑα

αντιστοιχούν σε σηmicroεία του P2 ενώ οι κλάσεις της δεύτερης στις ευθείες του Λόγω

αυτής της διαφοροποίησης χρησιmicroοποιούmicroε τα σύmicroβολα [ ] και lt gt για να διακρί-

νουmicroε microεταξύ τους τις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναmicroίας ΄Ετσι για παράδειγmicroα αν

(x y z) isin R3lowast τότε τα στοιχεία [x y z] και ltx y zgt συmicroβολίζουν εντελώς διαφορετι-

κά αντικείmicroενα στο υπό κατασκευήν προβολικό επίπεδο (PαLα isin) το [x y z] είναι

ένα σηmicroείο του ενώ το ltx y zgt είναι microια ευθεία του ιδίου επιπέδου

271 Θεώρηmicroα Η τριάδα Pα2 = (PαLα isin) ορίζει ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο

προς το P2

74 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη Για την απόδειξη του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία [a1 b1 c1]και [a2 b2 c2] του Pα microε [a1 b1 c1] [a2 b2 c2] (εποmicroένως δεν υπάρχει λ isin Rlowastτέτοιο ώστε (a2 b2 c2) = λ(a1 b1 c1)) Θα δείξουmicroε ότι τα δύο σηmicroεία ορίζουν microία

(microοναδική) ευθεία Αν καλέσουmicroε ltx y z gt την ευθεία αυτή τότε ϑα ικανοποιείται

το οmicroογενές σύστηmicroα των εξισώσεων

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0(278)

Το τελευταίο σύmicroφωνα microε τη γενική ϑεωρία των (οmicroογενών) γραmicromicroικών συστηmicroάτων

διαθέτει microη microηδενικές λύσεις και το σύνολο όλων των λύσεών του αποτελεί γραmicromicroικό

χώρο διάστασης 1 (ϐλ σχετικώς [2 σελ 135] [4 σελ 249] [14 σελ 84]) Εποmicroένως

αν (x y z) είναι microια οποιαδήποτε microη microηδενική λύση τότε κάθε άλλη λύση επίσης

microη microηδενική ϑα είναι της microορφής (x prime yprime zprime) = λ(x y z) microε λ isin Rlowast ∆ηλαδή όλες οι

microη microηδενικές λύσεις του συστήmicroατος (278) ορίζουν ακριβώς microιαν ευθεία ltx y zgt

οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

Για την απόδειξη του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) ϑεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες

ltα1 1 γ1gt και ltα2 2 γ2gt του Lα οπότε αναζητούmicroε ένα κοινό σηmicroείο [x y z]Τότε ϑα πρέπει να επιλύσουmicroε το σύστηmicroα

α1x + 1y + γ1z = 0

α2x + 2y + γ2z = 0

που είναι ακριβώς του τύπου (278) ΄Αρα microε την ίδια microέθοδο αποδεικνύουmicroε την

ύπαρξη ενός (microοναδικού) [x y z] microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα

Τέλος ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία [100] [010] [001] και [111] ∆ιαπιστώνουmicroε

στοιχειωδώς ότι είναι διαφορετικά microεταξύ τους Επίσης δεν είναι συγγραmicromicroικά ανά

τρία Για παράδειγmicroα αν τα [100] [010] και [111] ήσαν συγγραmicromicroικά και

ltx y zgt η κοινή τους ευθεία τότε από την (277) ϑα είχαmicroε ότι (x y z) = (0 00)που δεν έχει έννοια [ϐλεπίσης και την Εφαρmicroογή 272 (4) στη συνέχεια] Εποmicroένως

ικανοποιείται και το αξίωmicroα (ΠΕ 3)

Αφού δείξαmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) είναι προβολικό επίπεδο για να το συγκρί-

νουmicroε microε το (γεωmicroετρικό) P2 = (PLsub) όπως το έχουmicroε ορίσει microέσω ευθειών και

επιπέδων του R3 ορίζουmicroε τις απεικονίσεις Φα P rarr Pα και Ψα L rarr Lα microε

P ni t(a b c) | t isin R ⊢ Φαminusminusminusrarr [a b c] isin Pα(279)

L ni Π(α γ) ⊢ Ψαminusminusminusrarr ltα γ gt isin Lα(2710)

Οι Φα και Ψα είναι καλά ορισmicroένες Θα δείξουmicroε ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι

microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Πραγmicroατικά αν P και ℓ είναι σηmicroείο και ευθεία

αντιστοίχως του P2 microε P isin ℓ τότε microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι

P = t(a b c) | t isin R και ℓ = Π(α γ)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 75

για κάποιες τριάδες (a b c) και (α γ) του R3lowast Επειδή

P isin ℓ hArr t(a b c) | t isin R sub Π(α γ)

προκύπτει ότι κάθε σηmicroείο t(a b c) microε t 0 ικανοποιεί την (277) δηλαδή

α(ta) + (tb) + γ(tc) = 0 ή αa + b + γc = 0

πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι [a b c] isin ltα γ gt Εποmicroένως σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό

των Φα και Ψα είναι

Φα(P) = [a b c] isin ltα γ gt = Ψα(Π(α γ))

που αποδεικνύει ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι πράγmicroατι microορφισmicroός

Τέλος διαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι οι απεικονίσεις ΦαΨα είναι 1 ndash 1 και επί (αρκεί

ο έλεγχος της microιας) άρα το (ΦαΨα) ορίζει έναν ισοmicroορφισmicroό microεταξύ των προβολικών

επιπέδων P2 και Pα

Σχόλιο Εξαιτίας της ισοmicroορφίας του Θεωρήmicroατος 271 ταυτίζουmicroε τα επίπεδα P2

και Pα2 οπότε χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιο σύmicroβολο P2 και για τα δύο ΄Ετσι το P2

microπορεί να ερmicroηνευθεί και να microελετηθεί κατά δύο (ισοδύναmicroους) τρόπους είτε

όπως στο Παράδειγmicroα 223 (2) [microε ευθείες και επίπεδα του R3] είτε microε κλάσεις

ισοδυναmicroίας όπως πιο πάνω Η προτίmicroηση για τον έναν ή τον άλλον τρόπο υ-

παγορεύεται από το συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα που αντιmicroετωπίζουmicroε κάθε ϕορά

272 Μερικές εφαρmicroογές στο P2

(1) Να ϐρεθεί το σηmicroείο τοmicroής των ευθειών lt012gt και lt101gt

Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι οι δύο ευθείες είναι διαφορετικές αφού δεν υπάρχει λ isinRlowast τέτοιο ώστε (101) = λ(012) Εποmicroένως αν [x y z] είναι η Ϲητουmicroένη τοmicroή

τότε ϑα επαληθεύεται το σύστηmicroα των εξισώσεων

0x + 1y + 2z = 0

1x + 0y + 1z = 0

απ᾿ όπου προκύπτει ότι x = minusz και y = minus2z Εποmicroένως

[x y z] = [minuszminus2z z] = [minusz(12minus1)]

Επειδή z 0 [αλλιώς ϑα ήταν (x y z) = (0 00) άτοπο] έχουmicroε τελικώς ότι

lt012gt and lt10 1gt = [12minus1]

(2) Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας ℓ = lt012gt

Αν συmicroβολίσουmicroε microε [x y z] το τυχόν σηmicroείο της ℓ τότε

[x y z] isin ℓ hArr 0x + 1y + 2z = 0 hArr y = minus2z

76 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

δηλαδή τα σηmicroεία της ℓ έχουν τη microορφή [x y z] = [xminus2z z]Επειδή (x y z) (000) ϑα είναι είτε x 0 είτε z 0 Για x 0 ϑα έχουmicroε

ότι

[x y z] = [xminus2z z] =[x(1minus2

z

xz

x

)]=

[1minus2

z

xz

x

]

οπότε ϑέτοντας λ =z

x καταλήγουmicroε στην

[x y z] = [1minus2λ λ] forall λ isin R(2711)

Στην περίπτωση που είναι z 0 ϑα έχουmicroε ότι

[x y z] = [1minus2z z] =[z(x

z minus 21

)]=

[x

z minus 21

]

άρα για micro = xz προκύπτει ότι

[x y z] = [microminus2 1] forall micro isin R(2712)

Τις (2711) και (2712) microπορούmicroε να ενοποιήσουmicroε ως εξής για λ = 0 παίρ-

νουmicroε το σηmicroείο [1 00] ενώ για λ 0 είναι

[x y z] =[λ middot

(1

λminus2 1

)]=

[1

λminus2 1

]

το οποίο (προφανώς) αποτελεί σηmicroείο της microορφής (2712)

Εποmicroένως τα σηmicroεία της ευθείας lt 012gt είναι το [1 00] και όλα τα σηmicroεία

της microορφής [microminus21] microε micro isin R

(3) Να ϐρεθεί η ευθεία την οποίαν ορίζουν τα σηmicroεία [001] και [1 11]

∆ιαπιστώνουmicroε ότι [001] [111] άρα ορίζεται η ευθεία [00 1] or [1 11] Αν

την καλέσουmicroε ltx y zgt τότε ϑα επαληθεύονται οι εξισώσεις

z = 0 x + y + z = 0

από τις οποίες προκύπτει ότι

ltx y zgt = ltxminusx 0gt = lt1minus10gt

(επειδή αναγκαίως είναι x 0) Εποmicroένως

[001] or [1 11] = lt1minus1 0gt

(4) Να ϐρεθεί η συνθήκη συγγραmicromicroικότητας τριών σηmicroείων

Ας υποθέσουmicroε ότι Ϲητούmicroε να ϐρούmicroε microία ευθεία lt x y z gt η οποία να περιέχει

τρία δεδοmicroένα σηmicroεία [ai bi ci] i = 1 2 3 Τότε ϑα πρέπει το οmicroογενές σύστηmicroα

aix + biy + ciz = 0 i = 1 2 3(2713)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 77

να διαθέτει microία λύση διάφορη της microηδενικής Αυτό συmicroβαίνει τότε και microόνον τότε αν η

ορίζουσα των συντελεστών του (2713) microηδενίζεται Εποmicroένως η Ϲητουmicroένη συνθήκη

είναι η

(2714)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

273 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις (273) (276) ορίζουν πράγmicroατι σχέσεις ισοδυνα-

microίας Επίσης να αποδειχθεί ότι η σχέση σύmicroπτωσης (277) δεν εξαρτάται από την

επιλογή των αντιπροσώπων των κλάσεων

2 Στο Θεώρηmicroα 271 να συmicroπληρωθεί η απόδειξη του (ΠΕ 3) και να αποδειχθεί

ότι οι Φα Ψα είναι καλά ορισmicroένες απεικόνίσεις 1ndash1 και επί

3 Να ϐρεθεί η ευθεία που ορίζουν τα σηmicroεία

α) [213] και [10minus1]ϐ) [10minus2] και [minus204]

4 Να ϐρεθεί η τοmicroή των ευθειών

α) lt2minus10gt και ltminus11

2 0gt

ϐ) lt100gt και lt1minus21gt

5 Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας lt001gt

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται στο ϐιβλίο του παρόντος συγγραφέα [5]

όπου και παραπέmicroπουmicroε τους ενδιαφεροmicroένους για παραπέρα microελέτη Πολύ κοντά

στην παραπάνω έκθεση ϐρίσκονται και τα ϐιβλια [9] [25] στα οποία microπορεί κανείς

να ϐρεί και άλλα πιό εξειδικευmicroένα ϑέmicroατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3

∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Το πρόβληmicroα της κατασκευής επιπέδων χαρτών της επιφάνειας

της Γης υπήρξε microία από τις απαρχές της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας η

οποία microπορεί χονδρικά να περιγραφεί ως η έρευνα των ιδιοτήτων

των καmicroπυλών και επιφανειών Μια άλλη απαρχή αυτής της

laquoτοπικήςraquo γεωmicroετρίας ήταν η microελέτη στον 17ο και 18ο αιώνα των

εφαπτοmicroένων των πρώτων καθέτων και της καmicroπυλότητας microε τον

[∆ιαφορικό] Λογισmicroό να έχει δώσει ικανά εργαλεία για τη γενική

επίθεση

E T Bell [8 σελ 353]

Μ ετα απο microια συντοmicroη ιστορική αναδροmicroή στην sect31 δίνονται οι ϐασικοί ορι-

σmicroοί που αφορούν τις διαφορίσιmicroες παραmicroετρηmicroένες καmicroπύλες Η έννοια της

αναπαραmicroέτρησης εισάγεται στην sect32 όπου αποδεικνύεται ότι κάθε κανονική καmicro-

πύλη δέχεται αναπαραmicroέτρηση microοναδιαίας ταχύτητας Για τις τελευταίες ορίζονται οι

ϑεmicroελιώδεις έννοιες της καmicroπυλότητας και στρέψης καθώς επίσης και το τρίεδρο

FrenetshySerret (sect33) Τα ίδια στοιχεία για καmicroπύλες τυχαίας ταχύτητας εξετάζονται

στις τελευταίες sectsect34ndash35

79

80 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

30 Εισαγωγή

Καmicroπύλες όπως ο κύκλος οι κωνικές τοmicroές οι έλικες και οι σπείρες είχαν απασχολή-

σει τους αρχαίους ΄Ελληνες Με σχετικά προβλήmicroατα είχαν ασχοληθεί ο Πλάτωνας

ο Μέναιχmicroος ο Απολλώνιος ο Αρχιmicroήδης κα Επίσης για την αντιmicroετώπιση των

περίφηmicroων άλυτων (microε κανόνα και διαβήτη) προβληmicroάτων είχαν ανακαλυφθεί και

microελετηθεί η κισσοειδής (καmicroπύλη) του ∆ιοκλέους η κογχοειδής του Νικοmicroήδους και

η τετραγωνίζουσα του ∆εινοστράτου

Ενα σηmicroαντικό πρόβληmicroα που απασχόλησε τους microαθηmicroατικούς από την εποχή

της αρχαιότητας ήταν η χάραξη της εφαπτοmicroένης σε ένα σηmicroείο microιας καmicroπύλης Το

πρόβληmicroα αντιmicroετωπίστηκε ϕυσικά στο πλαίσιο της γνωστής τότε (συνθετικής) Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήσαν microόνον microερικές και αφορού-

σαν συγκεκριmicroένες καmicroπύλες Μια καλλίτερη προσέγγιση έγινε δυνατή στο πλαίσιο

της Αναλυτικής Γεωmicroετρίας Παρά τις σηmicroαντικές προόδους που σηmicroειώθηκαν στην

κατεύθυνση αυτή από τους R Descartes (Καρτέσιο) P Fermat και C Huygens

και πάλι η γενική microέϑοδος επίλυσης του προβλήmicroατος σταmicroατούσε όταν επρόκειτονα

αντιmicroετωπιστούν εξισώσεις ϐαθmicroού ανωτέρου του 3

Το πρόβληmicroα του προσδιορισmicroού της εφαπτοmicroένης επιλύθηκε στη γενικότητά του

microε την χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού που microαζί microε τον Ολοκληρωτικό Λογισmicroό

άσκησαν τεράστια επίδραση στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης

Η χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού στη microελέτη της Γεωmicroετρίας οδήγησε στην δη-

microιουργία ενός νέου κλάδου της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Στην ανάπτυξη της ∆ιαφορι-

κής Γεωmicroετρίας των καmicroπυλών είχαν ϑεmicroελιώδη συmicroβολή οι I Newton G W Leibniz

L Euler G Monge J Bernoulli A C Clairaut F Frenet J A Serret Ch Dupin

J Bertrand και πολλοί άλλοι

Η microελέτη των καmicroπυλών εκτός από το καθ᾿ αυτό microαθηmicroατικό ενδιαφέρον της

έχει σηmicroαντικές εφαρmicroογές στη microηχανική στη ναυσιπλοΐα στον προσδιορισmicroό των

τροχιών ουρανίων σωmicroάτων ή συστηmicroάτων δορυφόρων κα

Εδώ ϑα γνωρίσουmicroε microερικές ϐασικές έννοιες και συmicroπεράσmicroατα της λεγόmicroενης

τοπικής ϑεωρίας των καmicroπυλών

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες

Στην Αναλυτική Γεωmicroετρία λέγοντας καmicroπύλη εννοούmicroε ένα σύνολο σηmicroείων X (του

χώρου ή του επιπέδου) που ικανοποιούν ορισmicroένες συνθήκες Για παράδειγmicroα microπο-

ϱεί να είναι ο γεωmicroετρικός τόπος σηmicroείων που ικανοποιούν microια συγκεκριmicroένη ιδιό-

τητα (κύκλος έλλειψη κλπ) το γράφηmicroα microιας συνάρτησης f R rarr R η τροχιά

ενός κινητού κοκ Σκοπός microας είναι να εφαρmicroόσουmicroε microεθόδους του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού στην microελέτη του X και για να γίνει αυτό ϑα πρέπει να δούmicroε τις καmicroπύλες

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 81

ως εικόνες κατάλληλων συναρτήσεων δηλαδή να τις παραmicroετρήσουmicroε Ετσι δίνουmicroε

τον επόmicroενο ορισmicroό

311 Ορισmicroός Μια παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη στο χώρο (parametrized curve) ή

απλώς καmicroπύλη στο χώρο (space curve) είναι microια συνεχής απεικόνιση α I rarr R3

όπου I sube R είναι ένα διάστηmicroα

Εποmicroέmicroως ο όρος laquoπαραmicroετρηmicroένηraquo (που συνήθως ϑα παραλείπεται στη συνέ-

χεια) σηmicroαίνει ότι η καmicroπύλη περιγράφεται microε την ϐοήθεια microιας microεταβλητής (παρα-

microέτρου) t isin I Σε προβλήmicroατα ϕυσικής η τελευταία microπορεί να παριστά τον χρόνο

Επειδή για κάθε t isin I είναι α(t) isin R3 η α είναι microία τριάδα της microορφής

(311) α = (α1 α2 α3)

Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγmicroένη)

αi = ui α i = 123

όπου η ui R3 rarr R συmicroβολίζει την κανονική προβολή στην i-συντεταγmicroένη είναι microια

πραγmicroατική συνάρτηση microιας πραγmicroατικής microεταβλητής Η συνέχεια της α ισοδυναmicroεί

microε την συνέχεια κάθε microιας από τις αi

Αν η εικόνα α(I) microιας καmicroπύλης περιέχεται σε ένα επίπεδο του R3 λέmicroε ότι η α

είναι επίπεδη καmicroπύλη (plane curve) Σ᾿ αυτήν την περίπτωση microε microια αλλαγή του

συστήmicroατος συντεταγmicroένων microπορούmicroε να ϑεωρούmicroε ότι α(I) sub R2

Ενδιαφερόmicroαστε όχι για την απεικόνιση α (παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη) αλλά για

τις γεωmicroετρικές ιδιότητες της εικόνας δηλαδή του συνόλου X = α(I) Η απεικό-

νιση α είναι απλώς το εργαλείο για τη microελέτη του α(I)

Εδώ πρέπει να παρατηρήσουmicroε ότι οι καmicroπύλες

α R minusrarr R2 t 7rarrradic

2

2t

radic2

2t

R minusrarr R2 t 7rarr (t t)

γ R minusrarr R2 t 7rarr (t3 t3)

δ R minusrarr R2 t 7rarr(t t) t le 0

(t2 t2) t gt 0

έχουν την ίδια εικόνα α(R) = (R) = γ(R) = δ(R) = ∆R δηλαδή την διαγώνιο του R2

(ϐλ και Σχήmicroα 31 στην επόmicroενη σελίδα)

Απ᾿ αυτές

ndash η α είναι διαφορίσιmicroη microε αprime(t) = 1 για κάθε t isin R

ndash η είναι διαφορίσιmicroη microε prime(t) 0 για κάθε t isin R

ndash η γ είναι διαφορίσιmicroη και υπάρχει ένα σηmicroείο το 0 όπου γprime(0) = (00)ndash ενώ η δ δεν είναι διαφορίσιmicroη (εννοείται παντού αφού δεν υπάρχει διαφορισι-

microότητα στο σηmicroείο 0)

82 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

x

Diexcl

y

Σχηmicroα 31

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα προκύπτει ότι (1) η ίδια καmicroπύλη ∆R microπο-

ϱεί να περιγραφεί ως εικόνα διαφορετικών (παραmicroετρηmicroένων) καmicroπυλών και (2) η

ανυπαρξία παραγώγου ή ο microηδενισmicroός της (για microια παραmicroέτρηση) δεν συνδέονται

κατ᾿ ανάγκην microε κάποια ανωmicroαλία στο σχήmicroα της εικόνας ∆R ∆ηmicroιουργούν όmicroως

τεχνικές δυσκολίες γι᾿ αυτό ϑα ϑεωρήσουmicroε καmicroπύλες που διαγράφουν την εικό-

να microε τον καλλίτερο δυνατό τρόπο έτσι ώστε να δίνουν αmicroεσώτερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα

΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και έστω ότι σε ένα σηmicroείο to εί-

ναι αprime(to) 0 Τότε υπάρχει η εφαπτοmicroένη ευθεία (tangent line) της α στο σηmicroείο

x

y

( )ota

( )otacent εφαπτομένη

Σχηmicroα 32

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 83

α(to) που δίνεται από την εξίσωση

(312) ϸ(s) = α(to) + sαprime(to) s isin R

Η ανυπαρξία ή ο microηδενισmicroός της παραγώγου αprime(to) στο σηmicroείο to δεν επιτρέπουν

την προηγούmicroενη έκφραση της εφαπτοmicroένης Γι᾿ αυτό στα επόmicroενα ϑεωρούmicroε microό-

νο διαφορίσιmicroες καmicroπύλες των οποίων η παράγωγος δεν microηδενίζεται πουθενά Μια

καmicroπύλη micro᾿ αυτήν την ιδιότητα ονοmicroάζεται κανονική ή οmicroαλή (regular) ενώ σε microια

καmicroπύλη α που δεν είναι οmicroαλή κάθε σηmicroείο όπου microηδενίζεται η παράγωγος λέγεται

σηmicroείο ανωmicroαλίας (της α)

Στη συνέχεια υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας έχουν τάξη διαφορισιmicroότητας αρ-

κετά microεγάλη (συνήθως ge 3) ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη όσων παραγώγων χρειά-

Ϲονται Επίσης υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας είναι και απλές δηλαδή είναι α-

πεικονίσεις 1ndash1 Εποmicroένως για να αποφύγουmicroε τις περιττές επαναλήψεις microε τον

όρο laquoκανονική καmicroπύληraquo ϑα εννοούmicroε microια απλή κανονική καmicroπύλη Cr-διαφορίσιmicroη

microε r ge 3

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α η παράγωγος

(313) αprime(t) = (αprime1(t) αprime2(t) αprime3(t))

ονοmicroάζεται εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα (tangent vector) ή διάνυσmicroα ταχύτητας (velocity)

της α στο α(t) ενώ το microήκος του ανωτέρω διανύσmicroατος

v(t) = αprime(t) =(αprime1(t)2

+ αprime2(t)2+ αprime3(t)2

)12

ονοmicroάζεται microέτρο της ταχύτητας (speed) της α στο t

Αν και η αprime είναι διαφορίσιmicroη τότε η δεύτερη παράγωγος

(314) αprimeprime(t) =(αprimeprime1 (t) αprimeprime2 (t) αprimeprime3 (t)

)

ονοmicroάζεται επιτάχυνση (acceleration) της α στο t

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α I rarr R3 ονοmicroάζουmicroε microήκος (length) της α το

ολοκλήρωmicroα

(315) L(α) =int

I

αprime(t)dt

Για δύο καmicroπύλες α I rarr R3 συmicroβολίζουmicroε microε lt α gt την διαφορίσιmicroη

συνάρτηση

(316) ltα gt I minusrarr R t 7rarrltα(t) (t) gt

και microε α times την διαφορίσιmicroη καmicroπύλη

(317) α times I minusrarr R3 t 7rarr α(t) times (t)

84 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα γινόmicroενα στην εικόνα των (316) και (317) είναι αντιστοίχως το σύνηθες εσω-

τερικό και εξωτερικό γινόmicroενο του R3 Από τη διγραmicromicroικότητα τους προκύπτουν οι

παρακάτω κανόνες παραγώγισης

lt α gtprime (t) =lt αprime(t) (t) gt + lt α(t) prime(t) gt(318)

(α times )prime(t) = (αprime(t) times (t)) + (α(t) times prime(t))(319)

Η απόδειξη των τύπων αυτών προκύπτει επίσης στοιχειωδώς αν γράψουmicroε τις καmicro-

πύλες microε τις συνιστώσες τους [ϐλ σχέση (311)] και εφαρmicroόσουmicroε τον ορισmicroό του

εσωτερικού και εξωτερικού γινοmicroένου έχουmicroε τις αντίστοιχες σχέσεις

lt α(t) (t) gt= α1(t)1(t) + α2(t)2(t) + α3(t)3(t)

α(t) times (t) =(α2(t)3(t) minus α3(t)2(t) α3(t)1(t) minus α1(t)3(t) α1(t)2(t) minus α2(t)1(t)

)

οπότε παραγωγίζουmicroε τις τελευταίες microε το συνήθη τρόπο

Οι παράγωγοι και το microήκος της α microας δίνουν πολλές πληροφορίες για την α(I)όπως γίνεται ϕανερό από τα επόmicroενα

312 Παραδείγmicroατα (1) ΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη Αν αprimeprime(t) = 0

για κάθε t isin I η α είναι ευθεία

Πράγmicroατι

αprimeprime(t) = 0rArr αprime(t) = α rArr α(t) = λt + micro

Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο

(2) ΄Εστω α microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη που δεν περνά από το 0 Αν α(to) είναι το

σηmicroείο της εικόνας το πλησιέστερο στο 0 και αprime(to) 0 τότε το διανυσmicroα α(to) είναι

κάθετο στο αprime(to)

Πράγmicroατι ας ϑεωρήσουmicroε την συνάρτηση που σε κάθε t isin I αντιστοιχεί το τετρά-

γωνο της απόστασης του α(t) από το 0 δηλαδή την

δ I minusrarr R t 7rarr α(t)2 = α1(t)2+ α2(t)2

+ α3(t)2=lt α(t) α(t) gt

Αφού η δ παρουσιάζει ελάχιστο στο to ϑα είναι δprime(to) = 0 άρα ϐάσει της (318)

έχουmicroε ότι

0 = δprime(to) =lt α(to) αprime(to) gt + lt α

prime(to) α(to) gt= 2 lt α(to) αprime(to) gt

απ᾿ όπου συνάγεται ότι α(to) perp αprime(to)(3) ΄Εστω α I rarr R2 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε αprime(t) 0 για κάθε t isin I Τότε η

εικόνα α(I) είναι τόξο ενός κύκλου microε κέντρο 0 εάν και microόνον εάν το α(t) είναι κάθετο

στο αprime(t) για κάθε t isin I

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

΄Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε το τετράγωνο της απόστασης του α(t) από το 0

δ I minusrarr R t 7rarrlt α(t) α(t) gt

Η δ είναι σταθερή εάν και microόνον εάν δprime = 0 Αλλά

δprime(t) = lt α α gtprime (t) =lt αprime(t) α(t) gt + lt α(t) αprime(t) gt= 2 lt αprime(t) α(t) gt

Εποmicroένως δprime = 0 ισοδυναmicroεί microε α(t) perp αprime(t) για κάθε t isin I οπότε έχουmicroε το

αποτέλεσmicroα

(4) Η καmicroπύλη ελάχιστου microήκους που ενώνει δύο σηmicroεία P και Q είναι το ευθύ-

γραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα τα P Q

Αν p και q είναι τα διανύσmicroατα ϑέσης των σηmicroείων P και Q αντιστοίχως το

ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα P Q είναι η καmicroπύλη

ϸ [01] minusrarr R3 t 7rarr ϸ(t) = p + t(q minus p)

και έχει microήκος [ϐλ σχέση (315)]

L(ϸ) =int 1

0

ϸprime(t)dt =int 1

0

q minus pdt = q minus p

΄Εστω α [x y] rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε α(x) = p και α(y) = q Για ένα

τυχόν σταθερό u isin R3 microε u = 1 είναι

lt a u gtprime (t) = lt αprime(t) u gt + lt α(t) uprime gt = lt αprime(t) u gt

le αprime(t)u = αprime(t)

εποmicroένως

L(α) =int y

x

αprime(t)dt geint y

x

lt α(t) u gtprime dt = lt α(t) u gt |yx

= lt q u gt minus lt p u gt = lt q minus p u gt

για κάθε u isin R3 microε u = 1 Παίρνοντας τώρα u = (q minus p)q minus p καταλήγουmicroε στη

σχέση

L(α) geltq minus p q minus pgt q minus p = q minus p = L(ϸ)

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης

321 Ορισmicroός Αν α I rarr R3 είναι microια καmicroπύλη τότε microια καmicroπύλη J rarr R3 λέ-

γεται αναπαραmicroέτρηση (reparametrization) της α αν υπάρχει microια αmicroφιδιαφόριση

h J rarr I microε = α h (ϐλ και το επόmicroενο σχετικό διάγραmicromicroα)

86 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

΄Αρα αν η παράmicroετρος της α είναι t και της είναι s έχουmicroε ότι t = h(s)

Iα - X sube R3

J

h

6

-

∆ιάγραmicromicroα 31

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι η έκφραση laquoη h είναι αmicroφιδιαφόρισηraquo σηmicroαίνει ότι η h είναι

διαφορίσιmicroη απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε διαφορίσιmicroη αντίστροφη Κατά το Θεώρηmicroα

της Αντίστροφης Συνάρτησης η h είναι αmicroφιδιαφόριση τότε και microόνον τότε αν είναι

1 ndash 1 και επί microε hprime(s) 0 για κάθε s isin J

Είναι ϕανερό ότι κάθε αναπαραmicroέτρηση της α έχει την ίδια εικόνα microε την α Είναι

επίσης ϕανερό ότι αν η α είναι κανονική τότε και κάθε αναπαραmicroέτρησή της είναι

κανονική

Θα αναζητήσουmicroε εκείνες τις ιδιότητες της εικόνας X = α(I) = (J) που δεν

εξαρτώνται από την καmicroπύλη microε την οποία διατρέχουmicroε το X Μια τέτοια ιδιότητα

microας δίνει το επόmicroενο

322 Θεώρηmicroα Αν είναι microια αναπαραmicroέτρηση της α τότε L() = L(α)

Απόδειξη ΄Εστω α [a b] rarr R3 και [aprime bprime] rarr R3 αναπαραmicroέτρησή της α microε

= α h όπου h [aprime bprime] rarr [a b] αmicroφιδιαφόριση Είναι

L() =int bprime

aprimeprime(s)ds =

int bprime

aprime(α h)prime(s)ds

=

int bprime

aprimeαprime(h(s)) middot |hprime(s)|ds

Για hprime gt 0 δηλαδή για h γνησίως αύξουσα έχουmicroε

L() =int bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds =

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

=

int b

a

αprime(t)dt = L(α)

Για hprime lt 0 δηλαδή για h γνησίως ϕθίνουσα έχουmicroε

L() = minusint bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds = minus

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

= minusint a

b

αprime(t)dt = L(α)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι η αprimeprime microας δείχνει πώς αλλάζει η αprime Η αλλαγή

αυτή microπορεί να αφορά σε αλλαγή του microέτρου της αprime ή σε αλλαγή της διεύθυνσης

Σταθεροποιώντας το microέτρο παίρνουmicroε επιτάχυνση που δείχνει microόνο την αλλαγή της

διεύθυνσης άρα την καmicroπύλωση του χώρου X = α(I) Ετσι ανάmicroεσα σε όλες τις

καmicroπύλες που έχουν την ίδια εικόνα αυτή που microας δίνει ευκολότερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα για την κοινή εικόνα είναι η καmicroπύλη που έχει ταχύτητα microε σταθερό

microέτρο ίσο microε 1

Ισχύει το επόmicroενο ϐασικό

323 Θεώρηmicroα Κάθε κανονική καmicroπύλη α I rarr R3 δέχεται αναπαραmicroέτρηση

J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J

Απόδειξη ΄Εστω I = [a b] Θεωρούmicroε την απεικόνιση (microήκος τόξου)

s [a b] minusrarr [0 L(α)] t 7rarrint t

a

αprime(u)du

Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και διαφορίσιmicroη microε

(321) sprime(t) = αprime(t) = v(t) gt 0

άρα (ϐλ Θεώρηmicroα Αντίστροφης Απεικόνισης) έχει διαφορίσιmicroη αντίστροφη

h [0 L(α)] minusrarr [a b]

της οποίας η παράγωγος δίνεται από την σχέση

(322) hprime(s) = 1sprime(h(s)) forall s isin [0 L(α)]

Θέτοντας = α h έχουmicroε ότι

prime(s) = αprime(h(s)) middot |hprime(s)| = αprime(h(s))|sprime(h(s))| = 1

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

324 Ορισmicroός Μια καmicroπύλη J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J ονοmicroάζεται

καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν α είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη λέmicroε

ότι η αναπαραmicroέτρηση που κατασκευάστηκε στο προηγούmicroενο ϑεώρηmicroα είναι

η αναπαραmicroέτρηση microέσω (του) microήκους τόξου ή ότι έχει παράmicroετρο το microήκος

τόξου Επίσης το microήκος τόξου λέγεται και ϕυσική παράmicroετρος

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet

Σκοπός microας είναι να ορίσουmicroε κάποια αριθmicroητικά microεγέθη που χαρακτηρίζουν γεω-

microετρικά το σύνολο X = α(I) όπου α είναι microια κανονική καmicroπύλη Οπως σηmicroειώσαmicroε

και νωρίτερα τα Ϲητούmicroενα συmicroπεράσmicroατα για το X τα παίρνουmicroε ευκολότερα αν η

88 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

καmicroπύλη έχει microοναδιαία ταχύτητα Γι΄ αυτό αν η αρχική α δεν έχει microοναδιαία ταχύ-

τητα ϑεωρούmicroε την αντίστοιχη αναπαραmicroέτρηση microέσω του microήκους τόξου

΄Εστω λοιπόν (s) s isin J microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Θέτουmicroε

(331) T (s) = prime(s) forall s isin J

Εποmicroένως το T (s) είναι το εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα ή διάνυσmicroα ταχύτητας της

στο σηmicroείο (s) Εφ᾿ όσον T (s) = 1 για κάθε s isin J τα εφαπτόmicroενα διανύσmicroατα

T (s) είναι στοιχεία της microοναδιαίας σφαίρας του R3

Μεταβάλλοντας το s στο J παίρνουmicroε microία διαφορίmicroη συνάρτηση

(331prime) T J ni s 7minusrarr T (s) = prime(s) isin R3

Ισχύει το επόmicroενο

331 Λήmicromicroα Αν (s) s isin J είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε

T prime perp T

δηλαδή

T prime(s) perp T (s) forall s isin J

Απόδειξη Το microήκος του διανύσmicroατος T (s) είναι σταθερό άρα και η συνάρτηση

T (s)2 =lt T (s) T (s) gt είναι σταθερή δηλαδή έχει microηδενική παράγωγο

lt T T gtprime (s) = 2 lt T prime(s) T (s) gt= 0 forall s isin J

απ᾿ όπου προκύπτει το Ϲητούmicroενο

Επειδή το microήκος του T (s) = prime(s) (ταχύτητα) είναι σταθερά 1 η παράγωγος T prime(s) =primeprime(s) (επιτάχυνση) δείχνει την αλλαγή της διεύθυνσης του διανύσmicroατος T (s)

Το microήκος του διανύσmicroατος T prime(s) συmicroβολίζεται microε

(332) k(s) = T prime(s)

και ονοmicroάζεται καmicroπυλότητα της στο (s) Η k(s) είναι ένας microη αρνητικός πραγ-

microατικός αριθmicroός Αν k(s) = 0 λέmicroε ότι το σηmicroείο s είναι ιδιάζον σηmicroείο τάξης 1

Προφανώς ορίζεται και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση (καmicroπυλότητας)

(332prime) k J ni s 7minusrarr k(s) isin [0 infin)

΄Οπως ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 334 η καmicroπυλότητα microετράει το κατά πόσον η καmicro-

πύλη διαφέρει από την ευθεία

Για τα επόmicroενα χρειάζεται η να microην έχει ιδιάζοντα σηmicroεία τάξης 1 άρα έχει

παντού microη microηδενική καmicroπυλότητα Για k(s) 0 το αντίστροφο της καmicroπυλότητας

δηλαδή ο αριθmicroός

(333) ρ(s) =1

k(s)

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 89

καλείται ακτίνα καmicroπυλότητας Μέσω της τελευταίας για κάθε s isin J ορίζουmicroε το

διάνυσmicroα

(334) N(s) =1

k(s)T prime(s)

που ονοmicroάζεται πρώτο κάθετο ή πρωτεύον κάθετο διάνυσmicroα (normal vector) της

στο (s) Το διάνυσmicroα αυτό είναι microοναδιαίο και (σύmicroφωνα microε το Λήmicromicroα 331)

κάθετο στο εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα Ορίζεται επίσης και η αντίστοιχη διαφορίσιmicroη

απεικόνιση

(334prime) N J ni s 7minusrarr N(s) isin R3

Τέλος για κάθε s isin J ορίζουmicroε και το διάνυσmicroα

(335) B(s) = T (s) times N(s)

και την αντίστοιχη διαφορίσιmicroη απεικόνιση

(335prime) B J ni s 7minusrarr B(s) isin R3

Το B(s) καλείται δεύτερο κάθετο διάνυσmicroα (binormal vector) της στο (s) Προ-

ϕανώς είναι κάθετο στα T (s) N(s) και microοναδιαίο

Από τα προηγούmicroενα συνάγεται ότι γιά κάθε s isin J η τριάδα

T (s) N(s) B(s)

x

y

z

( )T s

( )B s

( )N s

( )T s

( )B s

( )N s

( )sb

Σχηmicroα 33

90 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R3 που ονοmicroάζεται συνοδεύον τρίεδρο (moving

frame) ή τρίεδρο Frenet (Frenet frame) στο σηmicroείο (s) της Αντιστοίχως η

τριάδα των συναρτήσεων

T N B

καλείται συνοδεύον τρίεδρο ή τρίεδρο Frenet κατά microήκος της

Πολλές ϕορές για διευκόλυνση αλλά και για την παραστατικότερη απεικόνιση

των πραγmicroάτων ϑεωρούmicroε ότι τα τρία προηγούmicroενα διανύσmicroατα έχουν microεταφερ-

ϑεί παραλλήλως κατά το διάνυσmicroα (s) οπότε έχουν ως αρχήν το σηmicroείο (s) της

καmicroπύλης ΄Ετσι σχηmicroατίζεται η εικόνα ενός τριέδρου που συνοδεύει τα σηmicroεία της

καmicroπύλης Αυτό δικαιολογεί και την παραπάνω ορολογία Σχετικώς παραθέτουmicroε το

Σχήmicroα 33

Μέσω των παραπάνω ϐασικών διανυσmicroάτων ορίζουmicroε τρία χαρακτηριστικά επί-

πεδα που επίσης συνοδεύουν την καmicroπύλη Ακριβέστερα για κάθε σηmicroείο s isin J τα

κάθετα microεταξύ τους διανύσmicroατα T (s) και N(s) ορίζουν ένα επίπεδο E Το (microοναδικό)

επίπεδο που περνά από το σηmicroείο (s) και είναι παράλληλο προς το E (άρα και

προς τα διάνύσmicroατα T (s) N(s)) ονοmicroάζεται εγγύτατο επίπεδο (osculating plane)

της στο (s) Το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς

το επίπεδο των N(s) και B(s) καλείται κάθετο επίπεδο (normal plane) της στο

σηmicroείο (s) ενώ το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς το

επίπεδο των T (s) και B(s) καλείται ευθειοποιούν επίπεδο (rectifying plane) της

στο σηmicroείο (s)

( )T s

( )B s

( )N s

Κάθετοεπίπεδο

Εγγύτατοεπίπεδο

Ευθειοποιούνεπίπεδο

Σχηmicroα 34

Προφανώς το εγγύτατο επίπεδο (στο (s)) είναι κάθετο στο διάνυσmicroα B(s) το

κάθετο επίπεδο είναι κάθετο στο T (s) και το ευθειοποιούν επίπεδο είναι κάθετο

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 91

στο N(s) Οι τελευταίες ιδιότητες χρησιmicroοποιούνται για τον προσδιορισmicroό των αντι-

στοίχων εξισώσεων των επιπέδων αυτών όπως εξηγούmicroε στις ασκήσεις του παρόντος

κεφαλαίου

Στα Σχήmicroατα 33 και 34 απεικονίζονται τα προηγούmicroενα επίπεδα Σηmicroειώνουmicroε

ότι και στα δύο έχουmicroε microεταθέσει τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) στο σηmicroείο (s)οπότε το εγγύτατο επίπεδο ταυτίζεται microε το επίπεδο των T (s) N(s)) κοκ

Στη συνέχεια ϑα ορίσουmicroε και ένα άλλο ϐασικό για την microελέτη microιας καmicroπύλης

microέγεθος Επειδή lt N(s) B(s) gt= 0 για κάθε s isin J παραγωγίζοντας τη συνάρτηση

lt NB gt= 0 [ϐλ και τις ανάλογες σχέσεις (316) (318)] ϐρίσκουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt + lt N(s) Bprime(s) gt= 0

Τον πραγmicroατικό αριθmicroό

(336) τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=lt N prime(s) B(s) gt

ονοmicroάζουmicroε στρέψη (torsion) της καmicroπύλης στο σηmicroείο (s) Προφανώς ορίζεται

και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση

(336prime) τ J ni s 7minusrarr τ(s) isin R

Από την (336) προκύπτει ότι η στρέψη αφού περιέχει την παράγωγοBprime(s) microετρά

κατά κάποιον τρόπο την microεταβολή του δευτέρου καθέτου διανύσmicroατος άρα και τη

microεταβολή του εγγυτάτου επιπέδου Η microεταβολή του τελευταίου ουσιαστικά καθορίζει

τη ϑέση της καmicroπύλης στο χώρο δηλαδή το κατά πόσον η καmicroπύλη αποmicroακρίνεται

από το επίπεδο άρα διαφέρει από microια επίπεδη καmicroπύλη Την ακριβή σηmicroασία της

στρέψης (όπως και της καmicroπυλότητας) ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 335

Πριν συνδέσουmicroε τα διανύσmicroατα του τριέδρου Frenet και τις παραγώγους τους

microε την καmicroπυλότητα και την στρέψη αποδεικνύουmicroε το επόmicroενο ϐοηθητικό συmicroπέ-

ϱασmicroα

332 Λήmicromicroα Αν u v isin R3 microε u = 1 και u perp v τοτε

(u times v) times u = v

Απόδειξη ΄Εστω u = (a b c) και v = (x y z) Τότε

u times v =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a b c

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= (bz minus cy)e1 minus (az minus cx)e2 + (ay minus bx)e3

= (bz minus cy cx minus az ay minus bx)

92 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Εποmicroένως

(u times v) times u =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

bz minus cy cx minus az ay minus bxa b c

∣∣∣∣∣∣∣∣= [c(cx minus az) minus b(ay minus bx)]e1 minus [c(bz minus cy) minus a(ay minus bx)]e2+

+ [b(bz minus cy) minus a(cx minus az)]= (c2x minus acz minus aby + b2x)e1 minus (cbz minus c2y minus a2y + abx)e2+

+ (b2z minus bcy minus acx + a2z)e3 =

= ((1 minus a2)x minus acz minus aby (1 minus b2)y minus abx minus cbz(1 minus c2)z minus bcy minus acx)

= (x minus a(ax + by + cz) y minus b(ax + by + cz)

z minus c(ax + by + cz))= (x minus a lt u v gt y minus b lt u v gt z minus c lt u v gt)

= (x y z) = v

που είναι η Ϲητούmicroενη ισότητα

333 Πόρισmicroα Ισχύουν οι σχέσεις

T (s) times N(s) = B(s)

N(s) times B(s) = T (s)

B(s) times T (s) = N(s)

Απόδειξη Η πρώτη σχέση είναι ακριβώς η (335) δηλαδή ο ορισmicroός του B(s) Για

την τρίτη παρατηρούmicroε ότι το Λήmicromicroα 332 συνεπάγεται ότι

B(s) times T (S) = (T (s) times N(s)) times T (s) = N(s)

Παρόmicroοια για την δεύτερη σχέση εχουmicroε

N(s) times B(s) = N(s) times (T (S) times N(s)) =

= minus(T (S) times N(s)) times N(s) = (N(S) times T (s)) times N(s) = T (s)

Ερχόmicroαστε τώρα στην απόδειξη των τύπων (εξισώσεων) FrenetshySerret οι οποί-

οι εκφράζουν τις παραγώγους T prime(s) N prime(s) Bprime(s) ως γραmicromicroικούς συνδυασmicroούς των

ϐασικών διανυσmicroάτων του τριέδρου Frenet microε συντελεστές την καmicroπυλότητα και τη

στρέψη Αποδείχτηκαν (ανεξαρτητα) από τους Jean Frederic Frenet (1816ndash1900) και

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 93

Joseph Alfred Serret (1819ndash1885)

Εικονα 15 F Frenet και J Serret

334 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε k gt 0 και

T N B το αντίστοιχο τρίεδρο του Frenet κατά microήκος της Τότε ισχύουν οι σχέσεις

(τύποι FrenetshySerret)

(F 1) T prime = kN

(F 2) N prime = minuskT + τB(F 3) Bprime = minusτN

Απόδειξη Η (F 1) προκύπτει από τον ορισmicroό του N(s) [ϐλ σχέση (334)]

Για την (F 2) προχωρούmicroε ως εξής Επειδή για κάθε s isin J τα διανύσmicroατα

T (s) N(s) και B(s) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση υπάρχουν microονοσήmicroαντα ορισmicroέ-

νες συναρτήσεις a b c J rarr R έτσι ώστε

(337) N prime(s) = a(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Για να προσδιορίσουmicroε τις συναρτήσεις a b c ϑα σχηmicroατίσουmicroε το εσωτερικό γινό-

microενο της (337) διαδοχικά microε τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) Στην πρώτη περίπτωση

έχουmicroε ότι

lt N prime(s) T (s) gt = a(s)lt T (s) T (s) gt + b(s)lt N(s) T (s) gt

+ c(s)lt B(s) T (s) gt

= a(s)1 + b(s)0 + c(s)0 = a(s)

Απ᾿ το άλλο microέρος η παραγώγιση της σχέσης lt T N gt= 0 δίνει ότι

lt T N gtprime =lt T prime N gt + lt TN prime gt= 0

94 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

άρα microαζί microε την (F 1)

lt TN prime gt= minus lt T prime N gt= minus lt kNN gt= minusk middot 1 = minusk

Εποmicroένως καταλήγουmicroε στη σχέση

a(s) = minusk(s)

οπότε η (337) παίρνει την microορφή

(338) N prime(s) = minusk(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία εσωτερικά microε N(s) έχουmicroε

lt N prime(s) N(s) gt = minusk(s)lt T (s) N(s) gt + b(s)lt N(s) N(s) gt

+ c(s)lt B(s) N(s) gt

= minusk(s)0 + b(s)1 + c(s)0 = b(s)

Η σχέση lt NN gt= 1 οδηγεί στην

lt N N gtprime = 2 lt NN prime gt= 0

άρα

b(s) = 0

microέσω της οποίας η (338) microετασχηmicroατίζεται στην

(339) N prime(s) = minusk(s)T (s) + 0N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Τέλος από την προηγούmicroενη σχέση έχουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt = minusk(s)lt T (s) B(s) gt + 0lt N(s) B(s) gt

+ c(s)lt B(s) B(s) gt

= minusk(s)0 + 0 + c(s)1 = c(s)

Αλλά η lt BN gt= 0 δίνει ότι

lt B N gtprime =lt Bprime N gt + lt BN prime gt= 0

άρα σύmicroφωνα microε την (336)

lt B(s) N prime(s) gt= minus lt Bprime(s) N(s) gt= τ(s)

οπότε

c(s) = τ(s)

και η (339) microετασχηmicroατίζεται στην

N prime(s) = minusk(s)T (s) + τ(s)B(s) forall s isin J

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 95

δηλαδή καταλήγουmicroε στην (F 2)

Για την (F 3) αρκεί να παραγωγίσουmicroε την B = T times N λαmicroβάνοντας υπόψιν τις

(F 1) (F 2) και τις σχέσεις του Πορίσmicroατος 333 Πράγmicroατι

Bprime = T prime times N + T times N prime

= kN times N + T times (minuskT + τB)

= k middot 0 + (minuskT times T + τT times B)

= minusk middot 0 + τT times B= minusτN

Οι τύποι FrenetshySerret συνοψίζονται και στην επόmicroενη microορφή

(3310)

T prime

N prime

Bprime

=

0 k 0

minusk 0 τ

0 minusτ 0

T

N

B

Απο εδώ ϕαίνεται και ο microνηmicroονοτεχνικός κανόνας microέσω του οποίου ϐρίσκουmicroε α-

microέσως τους συντελεστές των (F 1) ndash (F 3) εmicroφανίζονται microόνον η καmicroπυλότητα και

η στρέψη (κατά σειράν) στην 2η γραmicromicroή και την 2η στήλη microε την σηmicroειούmicroενη

εναλλαγή προσήmicroων

Το επόmicroενα αποτελέσmicroατα διαφωτίζουν το ϱόλο της καmicroπυλότητας και της στρέ-

ψης microιας καmicroπύλης

335 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε ισχύουν

οι επόmicroενοι χαρακτηρισmicroοί

(i) k = 0 εάν και microόνον εάν η είναι ευθεία

(ii) Αν k gt 0 τότε τ = 0 εάν και microόνον εάν η είναι επίπεδη

Απόδειξη (i) k = 0 hArr T prime = primeprime = 0 hArr prime(s) = λ hArr (s) = λs + micro [ϐλ και

Παράδειγmicroα 312 (1)] Προφανώς για να είναι η καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας

ϑα πρέπει λ = 1

(ii) Από τις σχέσεις Bprime = minusτN και τ = minus lt NBprime gt συνάγεται ότι τ = 0 εάν και

microόνον εάν Bprime = 0 που microε τη σειρά του ισοδυναmicroεί microε το ότι η απεικόνιση B = T times Nείναι σταθερή δηλαδή για ένα so isin J

B(s) = B(so) forall s isin JΕτσι έχουmicroε

τ = 0 rArr B(s) = B(so) forall s isin JrArr T (s) perp B(so) forall s isin JrArr lt T (s) B(so) gt=lt

prime(s) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt

prime= 0 forall s isin J

rArr lt (s) B(so) gt= σταθερό forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt=lt (so) B(so) gt forall s isin JrArr lt (s) minus (so) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr (s) minus (so) perp B(so) forall s isin J

96 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Η τελευταία σχέση σηmicroαίνει ότι (s) minus (so) ανήκει στο επίπεδο Eo των T (so) και

N(so) δηλαδή το (s) ανήκει στο εγγύτατο επίπεδο Eo + (so) για κάθε s isin J

Αντιστρόφως έστω ότι (s) isin E για κάποιο επίπεδο E και έστω Eo το επίπεδο

(υπόχωρος του R2 διάστασης 2) που είναι παράλληλο microε το E και περιέχει το 0

Τότε

E = (s) + Eo forall s isin JΣταθεροποιώντας ένα so isin J παίρνουmicroε ότι

(s) isin (so) + Eo forall s isin J

Αν το Eo παράγεται από microία ορθοκανονική ϐάση u v τότε

(3311) (s) = (so) + λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

όπου λ micro J rarr R είναι διαφορίσιmicroες συναρτήσεις Πραγmicroατικά η διαφορισιmicroότητα

της λ ελέγχεται ως εξής Από την (3311) έχουmicroε ότι

(s) minus (so) = λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

οπότε παίρνοντας το εσωτερικό γινόmicroενο και των δύο microελών της τελευταίας microε το u

ϐρίσκουmicroε την

lt (s) minus (so) u gt = lt λ(s)u u gt + lt micro(s)v u gt

= λ(s)1 + micro(s)0 = λ(s)

δηλαδή λ =lt minus (so) u gt που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό Παρόmicroοια αποδεικνύ-

εται και η διαφορισιmicroότητα της micro

Παραγωγίζοντας τώρα την σχέση (3311) έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) = λprime(s)u + microprime(s)v isin Eo forall s isin J

η παραγώγιση επίσης της οποίας οδηγεί στην

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

1

k(s)(λprimeprime(s)u + microprimeprime(s)v) isin Eo forall s isin J

΄Αρα το επίπεδο των T (s) και N(s) είναι σταθερά το Eo και το διάνυσmicroα B(s) είναι στα-

ϑερά το ένα από τα δύο microοναδιαία διανύσmicroατα που είναι κάθετα στο Eo Εποmicroένως

λόγω της σταθερότητας του B(s) και της (336) προκύπτει ότι τ = 0

336 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε

η είναι τmicroήmicroα κύκλου εάν και microόνον εάν έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0

Απόδειξη Αν η είναι τmicroήmicroα κύκλου κέντρου (xo yo) και ακτίνας r τότε δίνεται από

τον τύπο

(s) = r(cos

s

r sin

s

r

)+ (xo yo) s isin J sube [02π]

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

απ᾿ όπου παίρνουmicroε τις σχέσεις

T (s) = prime(s) =( minus sin

s

r cos

s

r

)

T prime(s) = primeprime(s) =1

r

( minus coss

r minus sin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

r

Αντιστρόφως έστω ότι η έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0 και microηδενική στρέψη

Θεωρούmicroε την απεικόνιση

γ(s) = (s) +1

kN(s)

Η γ είναι προφανώς διαφορίσιmicroη και

γprime(s) = prime(s) +1

kN prime(s)

= T (s) +1

k(minuskT (s) + τB(s))

= T (s) minus T (s) + 0 = 0

δηλαδή η γ είναι σταθερή Αν a = γ(s) isin R3 είναι η σταθερή τιmicroή της γ τότε

(s) minus a = 1

kN(s) = 1

k= r

δηλ τα σηmicroεία (s) ανήκουν στην σφαίρα microε κέντρο a και ακτίνα r Επειδή η είναι

επίπεδη ολοκληρώνεται η απόδειξη

337 Παρατηρήσεις 1) Από την προηγούmicroενη απόδειξη ϕαίνεται ότι η ακτίνα του

κύκλου είναι ακριβώς η ακτίνα καmicroπυλότητας της [ ϐλ σχέση (333)] ενώ το κέντρο

είναι το σηmicroείο (s) + 1

kN(s)

2) Από τα Θεωρηmicroατα 335 και 336 συνάγεται ότι η καmicroπυλότητα microετρά το πόσο

αποκλίνει η καmicroπύλη από το να είναι ευθεία ενώ η στρέψη microετρά την απόκλιση από

το να είναι η καmicroπύλη επίπεδη

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης

Το τρίεδρο Frenet η καmicroπυλότητα και η στρέψη microιας καmicroπύλης ορίστηκαν προη-

γουmicroένως microε την προϋπόθεση ότι η είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν

α I rarr R3 είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα

πώς microπορούmicroε να εκφράσουmicroε τα προηγούmicroενα στοιχεία της καmicroπύλης χωρίς ανα-

παραmicroέτρηση microε το microήκος τόξου Αυτό είναι απαραίτητο πχ στην περίπτωση που

ενώ κατά το Θεώρηmicroα 323 υπάρχει πάντοτε τέτοια αναπαραmicroέτρηση εντούτοις οι

υπολογισmicroοί microας καταλήγουν σε microη υπολογίσιmicroο ολοκλήρωmicroα

Σύmicroφωνα microε όσα είπαmicroε στην προηγούmicroενη παράγραφο τα παραπάνω στοιχεία

αναφέρονται σε ιδιότητες του συνόλου X = α(I) και όχι της παραmicroέτρησης (απεικό-

νισης) α Εποmicroένως ο επόmicroενος ορισmicroός είναι εντελώς ϕυσιολογικός

98 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

341 Ορισmicroός ΄Εστω α microια τυχαία κανονική καmicroπύλη και α η παραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου (ϐλ Θεώρηmicroα 323) Αν T N B k τ είναι το τρίεδρο Frenet

η καmicroπυλότητα και η στρέψη της α τότε ορίζουmicroε τα αντίστοιχα microεγέθη T N B k τ

της α microέσω των τύπων

T (t) = T (s(t))( i )

N(t) = N(s(t))( ii )

B(t) = B(s(t))( iii )

k(t) = k(s(t))( iv )

τ(t) = τ(s(t))( v )

342 Θεώρηmicroα Αν α I rarr R3 είναι microια (τυχαία) κανονική καmicroπύλη τότε

k =αprime times αprimeprimeαprime3

Απόδειξη ΄Εστω α microια κανονική καmicroπύλη και α = α h η αναπαραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε α = α s οπότε

για κάθε t isin I έχουmicroε τις σχέσεις

αprime(t) = (α s)prime(t) = sprime(t)αprime(s(t)) = sprime(t)T (s(t))(341)

αprimeprime(t) = sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2(T prime(s(t))

= sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))(342)

οπότε

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)T (s(t)) times [sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))]

ή ϐάσει των ιδιοτήτων του εξωτερικού γινοmicroένου

(343)

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)sprimeprime(t)[T (s(t)) times T (s(t))]+

+ sprime(t)3k(s(t))[T (s(t)) times N(s(t))]

= 0 + sprime(t)3k(s(t))B(s(t))

= αprime(t)3k(s(t))B(s(t))

΄Αρα

αprime(t) times αprimeprime(t) = αprime(t)3k(s(t))

απ᾿ όπου προκύπτει η

k(t) = k(s(t)) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3

δηλαδή η Ϲητούmicroενη σχέση

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

343 Θεώρηmicroα Αν η α είναι microια κανονική καmicroπύλη microε k gt 0 τότε

τ =lt αprime times αprimeprime αprimeprimeprime gtαprime times αprimeprime2 =

[αprimeαprimeprimeαprimeprimeprime]αprime times αprimeprime2

Απόδειξη Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α της α microέσω του

microήκους τόξου Από την σχέση (342) ϐρίσκουmicroε ότι

αprimeprimeprime(t) = sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)T prime(s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) + sprime(t)3k(s(t))N prime(s(t))

= sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t))N (s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) minus sprime(t)3k(s(t))2T (s(t)) +

+sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))B(s(t))

= X (t)T (s(t)) + Y (t)N (s(t)) + Z (t)B(s(t))

όπου ϑέσαmicroε

X (t) = sprimeprimeprime(t) minus sprime(t)3k(s(t))2

Y (t) = sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t)) + [sprime(t)2k(s(t))]prime

Z (t) = sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν την (343) και ότι το B(s(t)) είναι κάθετο προς τα T (s(t)) και

N(s(t)) έχουmicroε

lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gt = sprime(t)3k(s(t)) lt B(s(t)) αprimeprimeprime(t) gt

= sprime(t)3k(s(t))X (t) lt B(s(t)) T (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Y (t) lt B(s(t)) N (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Z (t) lt B(s(t)) B(s(t)) gt

= 0 + 0 + sprime(t)6k(s(t))2 τ(s(t))

= αprime(t) times αprimeprime(t)2 τ(s(t))

απ᾿ όπου παίρνουmicroε την

τ(t) = τ(s(t)) =lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gtαprime(t) times αprimeprime(t)2

microε την οποίαν ολοκληρώνεται η απόδειξη

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης

Θα υπολογίσουmicroε τώρα τα διανύσmicroατα T (t) N(t) και B(t) (ϐλ Ορισmicroό 341) για

microία τυχαία κανονική καmicroπύλη α microε microη microηδενική καmicroπυλότητα

100 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

351 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T (t) N(t) B(t) το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet Τότε

T (t) =αprime(t)αprime(t)

(351)

N(t) =(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

(352)

B(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

(353)

Απόδειξη ΄Εστω α = α h η αντίστοιχη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (ϐλ Θεώ-

ϱηmicroα 322) όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε

T (t) = T (s(t)) = αprime(s(t)) = (α h)prime(s(t))

= αprime(h(s(t)))hprime(s(t)) = αprime(t) middot 1

sprime(t)

=αprime(t)αprime(t)

[ϐλ σχέση (321)]

Ανάλογα από την σχέση T = T s παίρνουmicroε την T = T h εποmicroένως

N(t) = N(s(t)) =T prime(s(t))

k(s(t))=

(T h)prime(s(t))k(t)

=T prime(h(s(t)))hprime(s(t))

k(t)=

T prime(t)k(t)sprime(t)

=T prime(t)sprime(t)

middot αprime(t)3αprime(t) times αprimeprime(t)[Θεώρηmicroα 342]

= T prime(t)αprime(t)2

αprime(t) times αprimeprime(t)

Από την παραπάνω ισότητα έχουmicroε ότι T prime(t) και N(t) είναι συγγραmicromicroικά Επειδή

T (t) perp N(t) είναι και T (t) perp T prime(t) Επίσης προφανώς T (t) = 1 ΄Αρα εφαρmicroόζοντας

το Λήmicromicroα 332 για u = T (t) και v = T prime(t) παίρνουmicroε

T prime(t) = (T (t) times T prime(t)) times T (t)

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι T (t) =αprime(t)sprime(t)

[ϐλ σχέση (351)] και

T prime(t) =αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 101

ϐρίσκουmicroε ότι

T prime(t) =

(αprime(t)sprime(t)

times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

)times α

prime(t)sprime(t)

=1

sprime(t)4[(αprime(t) times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t) times αprime(t)sprimeprime(t)] times αprime(t)

=1

sprime(t)3[(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)]

απ᾿ όπου προκύπτει η

N(t) =

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

Τέλος

B(t) = B(s(t)) = T (s(t)) times N(s(t)) = T (t) times N(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) middot αprime(t) times αprimeprime(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) times

αprime(t)αprime(t)

)

=αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

όπου στην τελευταία ισότητα έχει πάλι χρησιmicroοποιηθεί το Λήmicromicroα 332 για

u =αprime(t)αprime(t) και v =

αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

352 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ΄ ανάγκη microονα-

διαίας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T N B το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet (κατά microήκος της α) Τότε ισχύουν οι (γενικευmicroένοι) τύποι FrenetshySerret

(F prime 1) T prime = kvN

(F prime 2) N prime = minuskvT + τvB

(F prime 3) Bprime = minusτvN

όπου v(t) = αprime(t) το microέτρο της ταχύτητας της α στο t isin IΑπόδειξη Θεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α J rarr R3 της α microέσω του microήκους τόξου

και το τρίεδρο Frenet T N B κατά microήκος της α Για κάθε t isin I είναι

T prime(t) = (T s)prime(t) = T prime(s(t))sprime(t) = k(s(t))N (s(t))sprime(t) = k(t)v(t)N(t)

N prime(t) = (N s)prime(t) = N prime(s(t))sprime(t)= minusk(s(t))sprime(t)T (s(t)) + τ(s(t))sprime(t)B(s(t))

= minusk(t)v(t)T (t) + τ(t)v(t)B(t)

Bprime(t) = (B s)prime(t) = Bprime(s(t))sprime(t) = minusτ(s(t))N (s(t))sprime(t) = minusτ(t)v(t)N(t)

οπότε η απόδειξη των τύπων είναι πλήρης

102 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα δύο αριθmicroητικά microεγέθη η καmicroπυλότητα και η στρέψη που αντιστοιχίσαmicroε

σε microια κανονική καmicroπύλη καθορίζουν ουσιαστικά microονοσήmicroαντα την καmicroπύλη Πιό

συγκεκριmicromicroένα δύο καmicroπύλες microε την ίδια καmicroπυλότητα και την ίδια στρέψη διαφέ-

ϱουν microόνο ως προς την ϑέση τους στο χώρο και αντιστρόφως

Για την ακριβή διατύπωση του σχετικού ϑεωρήmicroατος υπενθυmicroίζουmicroε ότι Μετα-

ϕορά (translation) κατά (το διάνυσmicroα) h isin R3 ονοmicroάζεται η απεικόνιση

microh R3 minusrarr R3 u 7rarr microh(u) = u + h

Στροφή (rotation) ονοmicroάζεται κάθε οϱθογώνιος microετασχηmicroατισmicroός του R3 microε ϑετική

ορίζουσα micro᾿ άλλα λόγια κάθε γραmicromicroική απεικόνιση f R3 rarr R3 που διατηρεί τα

εσωτερικά γινόmicroενα δηλαδή

lt f (u) f (v) gt=lt u v gt forall u v isin R3

και ο πίνακας της έχει ϑετική ορίζουσα Εποmicroένως η f διατηρεί τις αποστάσεις και

αντιστρέφεται (δηλαδή είναι γραmicromicroικός ισοmicroορφισmicroός)

Παρατηρούmicroε ότι οι microεταφορές και οι στροφές είναι αντιστρέψιmicroες απεικονίσεις

της ίδιας microορφής η αντίστροφη της microh είναι η microminush δηλαδή είναι επίσης microία microετα-

ϕορά ενώ η αντίστροφη microιάς στροφής είναι άmicroεσον ότι αποτελεί κι αυτή στροφή

∆ιαπιστώνεται εύκολα ότι

f microc = microf (c) fΗ σύνθεση microια microεταφοράς και microια στροφής ονοmicroάζεται στερεά κίνηση (rigid moshy

tion)

Τα προηγούmicroενα microας επιτρέπουν να διατυπώσουmicroε το επόmicroενο Θεmicroελιώδες Θε-

ώρηmicroα των Καmicroπυλών microε το οποίον και κλείνουmicroε το κεφάλαιο αυτό

353 Θεώρηmicroα ΄Εστω k(s) gt 0 και τ(s) s isin J = [0 c] δύο διαφορίσιmicroες πραγmicroα-

τικές συναρτήσεις Τότε υπάρχει microια καmicroπύλη α J rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα k και στρέψη τ Επιπλέον microια άλλη κανονική καmicroπύλη έχει τις ίδιες

ιδιότητες τότε και microόνον τότε αν διαφέρει από την α κατά microία στερεά κίνηση

Για microια λεπτοmicroερή απόδειξη του ϑεωρήmicroατος η οποία είναι αρκετά τεχνική και

ϐρίσκεται εκτός του σκοπού αυτών των σηmicroειώσεων παραπέmicroπουmicroε στο [7] Εδώ

περιοριζόmicroαστε στην παράθεση του Σχήmicroατος 35 στην επόmicroενη σελίδα

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται κυρίως στις σηmicroειώσεις [7] Από την πολλή

εκτεταmicroένη ϐιβλιογραφία της στοιχειώδους διαφορικής γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

επιλέγουmicroε να παραπέmicroψουmicroε τον ενδιαφερόmicroενο αναγνώστη στα πολύ κατανοητά

ϐιβλία [24] [30] και [34]

36 Ασκήσεις 103

x

y

z

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )sa

1e

2e0

3e

a

b

Σχηmicroα 35

36 Ασκήσεις

1 Να ϐρεθούν (i) Μία παραmicroέτρηση α του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος που ενώνει δύο

(διαφορετικά) σηmicroεία P και Q του R3 (ii) Το microήκος και η καmicroπυλότητα της α (iii) Μία

αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (iv) Το microήκος και η καmicroπυλότητα

της

2 Ο κύκλος microε κέντρο (00) και ακτίνα r είναι εικόνα της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R2 t 7rarr (r cost r sint)

Να δείξετε ότι (i) Η α ορίζει microία κανονική παραmicroέτρηση (ii) Το διάνυσmicroα της τα-

χύτητας είναι κάθετο στην ακτίνα (iii) Το διάνυσmicroα της επιτάχυνσης κατευθύνεται

προς το κέντρο (iv) Να υπολογίσετε το microήκος της α (v) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση

της α microε microοναδιαία ταχύτητα και να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα k της

3 Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέτρηση της παραβολής y = x2 και η αντίστοιχη

καmicroπυλότητα Ποιόν γεωmicroετρικό τόπο παριστάνει η (t) = (t3 t6) microε t isin R

4 ∆ίνεται microία διαφορίσιmicroη συνάρτηση f R rarr R Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέ-

τρηση α του γραφήmicroατος της και να προσδιοριστούν τα διανύσmicroατα T N B και η

καmicroπυλότητα της α

104 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

5 Να ϐρεθούν το microήκος η καmicroπυλότητα και η στρέψη της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr(

1radic

2cost sint

1radic

2cost

)

6 Να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) = (a cost b sint) t isin [02π] a b gt 0

Ποιά είναι η εικόνα της

7 Η (διαφορίσιmicroη) καmicroπύλη

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr (r cost r sint bt) r gt 0 b isin Rlowast

περιγράφει microία κυκλική έλικα (circular helix) η οποία απεικονίζεται στο Σχήmicroα

36

(i) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (ii) Να ϐρεθούν

καmicroπυλότητα και η στρέψη της (iii) Να αποδειχθεί ότι η γωνία φ microεταξύ της

εφαπτοmicroένης σε κάθε σηmicroείο της έλικας και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή (iv) Να

αποδειχθεί ότι η γωνία ω microεταξύ της δεύτερης καθέτου lowast σε κάθε σηmicroείο της έλικας

και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή

2 bp

z

x

t

y

Σχηmicroα 36

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 151

36 Ασκήσεις 105

8 Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) =

(tt2

2

) 0 le t le 1

9 Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

α Rrarr R2 t 7rarr (t2 t3)

Είναι κανονική Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητά της

10 Να ϐρεθεί διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α microε a(0) = (01) η οποία διαγράφει τον

κύκλο microε την ϕορά των δεικτών του ωρολογίου

11 ΄Εστω α I rarr R3 διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και διάνυσmicroα v isin R3 τέτοιο ώστε

α(0) perp v και αprime(t) perp v forall t isin I

Να δείξετε ότι α(t) perp v για κάθε t isin I

12 Να δείξετε ότι οι εφαπτόmicroενες της καmicroπύλης

α R minusrarr R3 t 7rarr (3t 3t2 2t3)

σχηmicroατίζουν σταθερή γωνία θ microε την ευθεία y = 0 x = z

13 ΄Ενας κύκλος ακτίνας r στέκεται στο σηmicroείο (00) του άξονα x primeOx και αρχίζει

να κυλά προς τα δεξιά (i) Να ϐρεθεί η καmicroπύλη α που διαγράφει το σηmicroείο A το

οποίον αρχικά ακουmicroπά στο (00) (ii) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της α τις

χρονικές στιγmicroές t = 0 t = π και t = 2π (iii) Να υπολογιστεί το microήκος του τmicroήmicroατος

της α όταν t isin [0 2π]Η καmicroπύλη α είναι γνωστή microε το όνοmicroα κυκλοειδής (η microορφή της εmicroφανίζεται

στο σχήmicroα της λύσης σελ 153)

14 ΄Εστω (s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (i) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει διάνυ-

σmicroα w ( διάνυσmicroα Darboux) τέτοιο ώστε T prime = ωtimesT N prime = ωtimesN και Bprime = ωtimesB (ii)

Να αποδειχθεί η σχέση T prime timesT primeprime = k2ω [Στις παραπάνω σχέσεις για ευκολία έχουmicroε

παραλείψει την microεταβλητή s]

15 ΄Εστω J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε την ιδιότητα η εφαπτοmicroένη

σε κάθε σηmicroείο (s) περνά από ένα σταθερό σηmicroείο P Να αποδειχθεί ότι η είναι

ευθεία

16 ΄Εστω a J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η α είναι τmicroήmicroα

κύκλου εάν και microόνον εάν όλες οι πρώτες κάθετοιlowast της α περνούν από σταθερό

σηmicroείο P

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 156

106 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

17 Αν a J rarr R3 είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε οι δεύτερες κάθετοι

της a δεν microπορούν να περνούν από σταθερό σηmicroείο

18 ΄Εστω α J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η ταχύτητα της

α είναι συνεχώς παράλληλη microε ένα σταθερό διάνυσmicroα 0 u isin R3 εάν και microόνον εάν

η α είναι ευθεία

19 Να ϐρεθεί η εξίσωση του κάθετου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κανονι-

κής καmicroπύλης Ως εφαρmicroογή να δείξετε ότι όλα τα κάθετα επίπεδα της καmicroπύλης

(t) = (a sin2 t a sint cost a cost)

διέρχονται από το σηmicroείο (000)

20 Να ϐρεθεί η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κα-

νονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) = (cost sint t) t isin R Να

ϐρεθεί η (καρτεσιανή) εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου της α(t) στο σηmicroείο α(to)

όπου to =π

2

21 Να ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια

κανονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) =

(tt2

2t3

3

) t isin R Να

ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου της α(t) στο σηmicroείο που αντιστοιχεί

στο to = 1

22 ∆ίνεται microία καmicroπύλη α I rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε καmicroπυλότητα k(s) gt 0

για κάθε s isin I και στρέψη τ(s) Θέτουmicroε (s) = T (s) όπου T (s) το εφαπτόmicroενο

διάνυσmicroα της α (i) Να αποδειχθεί ότι η είναι κανονική καmicroπύλη (ii) Αν σ είναι η

συναρτηση microήκους τόξου της (microε αρχή το so) να αποδειχθεί ότι σprime(s) = k(s) για

κάθε s isin I (iii) Να υπολογιστεί καmicroπυλότητα k και η στρέψη τ της

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η καmicroπύλη καλείται σφαιρική δείκτρια (spherical indicatrix)

της (συνάρτησης) T Ανάλογα ορίζονται και οι σφαιρικές δείκτριες των N και B Η

ορολογία οφείλεται στο γεγονός ότι οι δείκτριες παίρνουν τιmicroές στη microοναδιαία σφαίρα

του R3 microε κέντρο το 0

23 Υποθέτουmicroε ότι α I rarr R2 είναι επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα 0 lt k(s) lt 1 foralls isin I Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

(s) = α(s) + N(s) s isin I

(παράλληλη της α) όπου N(s) το πρώτο κάθετο διάνυσmicroα της α Να αποδειχθεί ότι

η είναι κανονική και ότι η καmicroπυλότητά της k δίνεται από την σχέση

k =k

1 minus k

24 Εστω α(s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε στρέψη τ(s) 0 Να εκφραστεί η

καmicroπυλότητα k της α συναρτήσει της τ και των δεύτερων κάθετων διανυσmicroάτων B(s)

36 Ασκήσεις 107

25 Αν γ είναι κανονική καmicroπύλη microε την ιδιότητα οι διχοτόmicroοι της γωνίας που

σχηmicroατίζουν τα πρώτα κάθετα διανύσmicroατα microε τα αντίστοιχα δεύτερα να διέρχονται

από σταθερό σηmicroείο τότε η γ είναι κύκλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

4

Από τους χάρτες στις

Πολλαπλότητες

΄Οπως αποδείχτηκε στον Riemann έλειπε ακόmicroη ένα

στοιχείο κλειδί γαι microια πλήρη εικόνα του σύmicroπαντος Γι

αυτήν ο κόσmicroος ϑα έπρεπε να περιmicroένει ακόmicroη microισόν αιώ-

να microέχρι τη γέννηση του Albert Einstein

R Osserman [32 σελ 92]

Σ το Κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη περιγραφή της έννοιας της (διαφορικής)

πολλαπλότητας αφού προηγουmicroένως ορίσουmicroε την έννοια ενός χάρτη και microιας

επιφάνειας στον χώρο R3

Η πολλαπλότητα που αναφέρεται για πρώτη ϕορά από τον Riemann το 1848 γε-

νικεύει την έννοια της επιφάνειας στον R3 Αφορmicroή για τις ιδέες του Riemann υπήρξε

το Θεώρηmicroα Egregium του Gauss και η συνακόλουθη ανακάλυψη της εσωτερικής

γεωmicroετρίας της επιφάνειας

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

109

110 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Η γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων αποτελεί τη σηmicroαντικότερη εξέλιξη της γεωmicroε-

τρίας στον 20ο αιώνα και είναι ϑεmicroελιώδης για τα σύγχρονα microαθηmicroατικά (∆ιαφορική

Γεωmicroετρία και Τοπολογία Συmicroπλεκτική Γεωmicroετρία κλπ) και τη ϕυσική (Θεωρία

Σχετικότητας Θεωρίες Βαθmicroίδας κα)

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss

Παραλλάσοντας την εναρκτήρια ϕράση laquoεν αρχή ην τα microπαχαρικάraquo από τον laquoΜαγγε-

λάνοraquo του Stefan Zweig ϑα microπορούσαmicroε χωρίς υπερβολή να πούmicroε για τη νεώτερη

εξέλιξη της γεωmicroετρίας ότι

εν αρχή ην ο χάρτης

Η κατασκευή χαρτών απασχόλησε τους γεωγράφους από την αρχαιότητα για

την εξυπηρέτηση της ναυσιπλοΐας και έγινε επιτακτική ανάγκη microετά τις microεγάλες

εξερευνήσεις (ανακάλυψη της Αmicroερικής κλπ) Η ακριβής αποτύπωση του σχήmicroατος

της Γης και η κατασκευή χαρτών οδήγησαν αργότερα στη συστηmicroατική microελέτη και

(της διαφορικής γεωmicroετρίας) των επιφανειών

Τι είναι όmicroως χάρτης Είναι microία προβολή δηλ απεικόνιση (microέρους) της Γης στο

επίπεδο Παράδειγmicroα τέτοιας απεικόνισης είναι η στερεογραφική προβολή που

οφείλεται στον ΄Ιππαρχο (190ndash125 πΧ) και χρησιmicroοποιήθηκε για την κατασκευή

αστρονοmicroικών χαρτών Ο όρος στερεογραφική προβολή οφείλεται στον F Drsquo Aiguillon

(1566ndash1617)

Η ιδέα της στερεογραφικής προβολής από τον Βόρειο Πόλο N εmicroφανίζεται στο

επόmicroενο σχήmicroα

N

S

x

y

z

P

NP

E

0

Σχηmicroα 41 Στερεογραφική προβολή από τον Βόρειο Πόλο

Αν ϑεωρήσουmicroε ότι microια σφαίρα microε κέντρο 0 και ακτίνα 1 αναπαριστά ιδεατά τη

γήινη σφαίρα N είναι ο Βόρειος Πόλος και E το επίπεδο του Ισηmicroερινού τότε η

(στερεογραφική) προβολή PN του σηmicroείου P της σφαίρας είναι η τοmicroή της ευθείας

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 111

NP microε το E Με την προηγούmicroενη διαδικασία ορίζεται η 1ndash1 και επί (διαφορίσιmicroη)

απεικόνιση

(411) S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

microε αντίστροφη την (επίσης διαφορίσιmicroη)

(412) R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Οι προηγούmicroενες εκφράσεις των απεικονίσεων προκύπτουν microε εφαρmicroογή στοιχειώ-

δους Αναλυτικής Γεωmicroετρίας

΄Ετσι αν ϕανταστούmicroε ότι στο επίπεδο του Ισηmicroερινού έχει απλωθεί ένα τεράστιο

ϕύλλο χαρτιού ϑα έχουν απεικονιστεί όλα τα σηmicroεία της σφαίρας σ΄ αυτό εκτός από

τον Βόρειο Πόλο άρα ϑα έχουmicroε κατασκευάσει (ϑεωρητικά) ένα χάρτη Επειδή ο

προηγούmicroενος χάρτης δεν απεικονίζει τον Βόρειο Πόλο για να καλύψουmicroε όλη τη

Γη χρειαζόmicroαστε και τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο Πόλο microε αντίστοιχες

εκφράσεις (ποιές )

Οι δυο προηγούmicroενοι χάρτες microαζί αποτελούν όπως microαθαίνουmicroε στη γεωγραφία

έναν άτλαντα Φυσικά οι χαρτες αυτοί δεν έχουν καmicroιά πρακτική αξία λόγω προ-

ϕανών microειονεκτηmicroάτων (περιοχές κοντά στους πόλους ϑα απεικονίζονται τερατωδώς

παραmicroορφωmicroένες σε εξαιρετικά αποmicroακρυσmicroένες περιοχές του χάρτη) ΄Οmicroως αυτή

η ϑεωρητική κατασκευή εmicroπεριέχει microια ϐασική ιδέα απεικόνισης από microια επιφάνεια

στο επίπεδο

΄Εναν καλλίτερο χαρτη του ϐορείου ηmicroισφαιρίου δίνει η προβολή του στο επίπεδο

του Ισηmicroερινού όπως στο επόmicroενο σχήmicroα

( )u v

2 21( )u vu v - -

(01)D

S z

+

Σχηmicroα 42 Προβολή του ϐορείου ηmicroισφαιρίου στο επίπεδο (του Ισηmicroερινού)

Ακριβέστερα έχουmicroε την 1ndash1 και επι (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(413) φ+z S+z ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (0 1)

όπου S+z = (x y z) isin S2 z gt 0 (ϐόρειο ηmicroισφαίριο χωρίς την περιφέρεια του

Ισηmicroερινού) και DZ (01) = (u v) isin R2 u2+ v2 lt 1 (ο microοναδιαίος δίσκος microε

112 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

κέντρο το 0 που είναι κάθετος στον άξονα των z) Η αντίστροφη της προηγούmicroενης

είναι προφανώς η (επίσης διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(414) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u v

radic1 minus u2 + v2

)isin S+z

Ανάλογα ϑεωρούmicroε το (νότιο ηmicroισφαίριο) Sminusz = (x y z) isin S2 z lt 0 που

προβάλεται στον ίδιο δίσκο DZ (01) microέσω της απεικόνισης

(415) φminusz Sminusz ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (01)

microε αντίστροφη την

(416) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u vminus

radic1 minus u2 + v2

)isin Sminusz

Με αυτή τη διαδικασία έχουmicroε τα έξι ηmicroισφαίρια (δύο ως προς κάθε άξονα)

(417) Sαi microε i = x y z και α = +minus

τα οποία προβάλονται στους δίσκους Di microέσω των αντιστοίχων απεικονίσεων φαi Με

τον τρόπο αυτόν προκύπτει ένας άτλαντας microε έξι χάρτες

S+

z

S-

z

S+

x

S-

x

S+

y

S-

y

z

x y

Σχηmicroα 43 Τα έξι ηmicroισφαίρια

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 113

Για άλλα είδη προβολών προβλήmicroατα σχετικά microε τη δηmicroιουργία χαρτών και τις

συνακόλουθες ατέλειές τους καθώς και την αδυναmicroία της κατασκευής ενός laquoιδεώ-

δουςraquo χάρτη (Θεώρηmicroα Euler) παραπέmicroπουmicroε στα ϐιβλία [24] και (το πιό περιγρα-

ϕικό) [32]

Κάθε χάρτης εισάγει ένα (τοπικό) σύστηmicroα συντεταγmicroένων και παραmicroετρηκοποιεί

ένα τmicroήmicroα της επιφάνειας δηλ την περιγράφει microέσω microιας κατάλληλης απεικόνισης

στην οποίαν εφαρmicroόζεται ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός (ϐλ και τα σχετικά σχόλια για την

παραmicroέτρηση καmicroπύλης στην αρχή της sect31)

Τα προηγούmicroενα microας οδηγούν στους εξής τυπικούς ορισmicroούς

411 Ορισmicroός Μία παραmicroέτρηση (parametrization) ή σύστηmicroα συντεταγmicroένων

(coordinate system) ή χάρτης (chart) [microιας επιφάνειας S sube R3] είναι ένα Ϲεύγος

(U r) όπου U sube R2 είναι ανοιχτό σύνολο και r U rarr R3 διαφορίσιmicroη απεικόνιση

έτσι ώστε να ισχύουν οι συνθήκες

bull Η r U rarr W = r(U ) είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

bull Για κάθε σηmicroείο q = (u v) isin U το διαφορικό της r στο q Dr(q) R2 rarr R3 είναι

απεικόνιση 1ndash1 Ισοδύναmicroα rank(Jqr

)= 2 όπου Jqr συmicroβολίζει τον πίνακα

Jacobi της r στο σηmicroείο q

Επειδή το πεδίον ορισmicroού της r είναι στο R2 λέmicroε ότι ο χάρτης έχει διάσταση 2

(διδιάστατος χάρτης)

Το επόmicroενο σχήmicroα εικονίζει ένα χάρτη επιφάνειας

urvr

ou

ou

UWr

q

x

y

z

u

v

Σχηmicroα 44 Χάρτης επιφάνειας

412 Ορισmicroός Μια (κανονική) επιφάνεια (regular surface) είναι ένα σύνολο

S sube R3 microε τις εξής ιδιότητες

bull Υπάρχει microία οικογένεια χαρτών (Ui ri)iisinI τέτοια ώστε κάθε Wi = ri(Ui) sube S να

είναι ανοιχτό υποσύνολο του S

114 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull S =⋃

iisinI Wi

Ισοδύναmicroα Για κάθε σηmicroείο p isin S υπάρχει (2-διάστατος) χάρτης (Up rp) microε p isinWp = ri(Ui) και Wp sube S ανοιχτό

Το σύνολο των χαρτών (Ui ri)iisinI του S αποτελεί έναν (2-διάστατο) άτλαντα (atlas)

Περιγραφικά ϑα microπορούσαmicroε να πούmicroε ότι η επιφάνεια καλύπτεται από τις

εικόνες των χαρτών της

413 Παραδείγmicroατα bull Κάθε επίπεδο του χώρου R3

bull Η σφαίρα S2 microε τις δύο δοmicroές που ορίστηκαν στην αρχή αυτής της παραγράφου

[ϐλ ΄Ασκηση 417 (2)]

bull Το γράφηmicroα

Γf =(u v f (u v)) | (u v) isin R2

microιας διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3 [ϐλ ΄Ασκηση 417 (3)]

bull Επιφάνειες όπως στα επόmicroενα σχήmicroατα 45 και 46

x

y

z

Σχηmicroα 45 Η επιφάνεια του ελλειψοειδούς

και πλήθος άλλες εκ των οποίων πολλές ιδιαίτερα περίπλοκες

Ισχύει το επόmicroενο ϑεmicroελιώδες συmicroπέρασmicroα

414 Θεώρηmicroα Η αλλαγή των συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

Θυmicroίζουmicroε ότι αmicroφιδιαφόριση είναι microία απεικόνιση 1ndash1 και επί η οποία είναι

διαφορίσιmicroη microε διαφορίσιmicroη αντίστροφο

Περιγραφικά (ϐλ και το Σχήmicroα 47) το ϑεώρηmicroα σηmicroαίνει ότι αν έχουmicroε δύο

συστήmicroατα συντεταγmicroένων (U1 r1) και (U2 r2) τέτοια ώστε W = r1(U1) cap r2(U2) emptyτότε οι συναρτήσεις rminus1

2 r1 και rminus12 r1 (που είναι η microία αντίστροφος της άλλης) είναι

διαφορίσιmicroες Εποmicroένως οι συντεταγmicroένες των σηmicroείων του W ανάγονται η microία στην

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 115

x

y

z

Σχηmicroα 46 Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς

2iexcl

2iexcl

W

1 1( )r U 2 2( )r U

1U 2U

1r 11r-

12r-

2r

11 2r r-

o

12 1r r-

o

S

Σχηmicroα 47 Η αλλαγή συντεταγmicroένων επιφάνειας

άλλη microε διαφορίσιmicroο τρόπο Για την απόδειξη του ϑεωρήmicroατος παραπέmicroπουmicroε στο

[7 Θεώρηmicroα 233]

Σε κάθε σηmicroείο P microιας επιφάνειας S ορίζονται δύο αντικείmicroενα τα οποία παίζουν

ουσιώδη ϱόλο στη γεωmicroετρική microελέτη της επιφάνειας Αυτά είναι

bull το εφαπτόmicroενο επίπεδο (tangent plane) Ep και

bull το microοναδιαίο κάθετο διάνυσmicroα (unit normal vector) N equiv N(p)

όπως ϕαίνονται στο παρακάτω Σχήmicroα 48

116 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

N

P

vr

ur

p pE T Sordm

Σχηmicroα 48 Εφαπτόmicroενο επίπεδο και πρώτο κάθετο διάνυσmicroα

Λεπτοmicroερέστερα το Ep είναι η microεταφορά κατά το διάνυσmicroα ϑέσης p του σηmicroείου

P του εφαπτοmicroένου χώρου (tangent space)

TpS = Drq(R2) = αprime(0)

για όλες τις διαφορίσιmicroες καmicroπύλες α R supe Iα rarr R3 microε α(Iα) sub S και α(0) = p Η

πρώτη ισότητα στον παραπάνω ορισmicroό σε συνδυασmicroό microε τη δεύτερη συνθήκη του

Ορισmicroού 411 συνεπάγεται ότι ο εφαπτόmicroενος χώρος είναι ένας γραmicromicroικός υπόχωρος

του R3 διάστασης δύο δηλ ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξονων

Εποmicroένως

Ep = p + TpS

Απ΄ το άλλο microέρος είναι προφανές ότι

το N υπάρχει γιατί η S ϐρίσκεται εντός του R3

και η microεταβολή του αντανακλά το laquoσχήmicroαraquo της επιφάνειας το οποίον ουσιαστικά

προσδιορίζεται από ένα ϑεmicroελιώδες microέγεθος την καmicroπυλότητα που σήmicroερα είναι

γνωστή ως καmicroπυλότητα Gauss (Gauss curvature) για να τιmicroηθεί η ϑεmicroελιώδης

συmicroβολή του microεγάλου microαθηmicroατικού στη ϑεωρία των επιφανειών

Σχήmicroα 49 Καmicroπυλότητα σφαιρικών επιφανειών

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 117

Χωρίς να microπούmicroε εδώ σε τεχνικές λεπτοmicroέρειες microπορούmicroε να πούmicroε ότι η καmicroπυ-

λότητα του Gauss microετράει σε κάθε σηmicroείο την laquoαπόκλισηraquo της επιφάνειας από το

να είναι το επίπεδο Το προηγούmicroενο σχήmicroα παρουσιάζει σε τοmicroη δύο σφαιρικές

επιφάνειες που εφάπτονται σε ένα επίπεδο στο σηmicroείο P Τα σηmicroεία της microεγάλης

σφαίρας που ϐρίσκονται κοντά στο P απέχουν από το επίπεδο λιγότερο απ΄ ότι τα

σηmicroεία της microικρής σφαίρας επίσης κοντά στο P ∆ιαισθητικά αντιλαmicroβανόmicroαστε ότι

η σφαίρα microε τη microεγαλύτερη ακτίνα έχει microικρότερη καmicroπυλότητα

Ο Leonhard Euler (1707ndash1783) υπολόγισε την καmicroπυλότητα microε τον παρακάτω

τρόπο ο οποίος στηρίζεται στην ύπαρξη του καθέτου διανύσmicroατος

Εικονα 15 Leonhard Euler

Θεωρούmicroε όλα τα επίπεδα Π που περιέχουν το κάθετο διάνυσmicroα N στο σηmicroείο P

της επιφάνειας S και είναι κάθετα στο εφαπτόmicroενο επίπεδο της S στο P (ϐλ Σχήmicroα

410) Κάθε τέτοιο επίπεδο τέmicroνει την S κατά microήκος microιας καmicroπύλης γ microε αντίστοιχη

καmicroπυλότητα στο P κγ (ϐλ sectsect 33 34)

Σχήmicroα 410 Υπολογισmicroός της καmicroπυλότητας από τον Euler

Στο σύνολο των καmicroπυλοτήτων όλων των καmicroπυλών που λαmicroβάνονται micro΄ αυτόν

118 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

τον τρόπο υπάρχει microία ελάχιστη τιmicroή κ1 και microία microέγιστη κ2 Τότε η καmicroπυλότητα

Gauss K της S στο P δίνεται από τη σχέση

Kp = κ1 middot κ2

Αργότερα όmicroως Ο Carl Friedrich Gauss παρακινούmicroενος από γεωδαιτικές microε-

λέτες (ως ∆ιευθυντής του Γαιωδαιτικού Ινστιτούτου του Gottingen) microε σκοπό τη σύν-

ταξη τοπογραφικών χαρτών microεγάλης κλίmicroακας στο (τότε) Βασίλειο του Ανοβέρου

κατέληξε στον υπολογισmicroό της καmicroπυλότητας microιας επιφάνειας S αποκλειστικά microε

microετρήσεις επί της S δηλαδή χωρίς προσφυγή στον περιβάλλοντα χώρο και την ύ-

παρξη του καθέτου διανύσmicroατος Επιστέγασmicroα της προσέγγισης αυτής ήταν και η

απόδειξη του εποmicroένου διασήmicroου αποτελέσmicroατος

415 Θεώρηmicroα (Egregium) Η καmicroπυλότητα Gauss είναι ισοmicroετρική αναλλοίωτη

Εικονα 16 Carl Friedrich Gauss

Συνέπεια του ϑεωρήmicroατος αυτού του Gauss είναι και το

416 Πόρισmicroα Κάθε επιφάνεια S διαθέτει microια εσωτερική γεωmicroετρία ∆ηλαδή η

γεωmicroετρία της S δεν εξαρτάται από την εmicroβάπτισή της στον R3

Η ανάλυση των προηγουmicroένων οδηγεί και στο εξής συmicroπέρασmicroα

Αν στη Γη κατοικούσαν 2-διάστατα όντα (χωρίς την αίσθηση της τρίτης διάστα-

σης) και είχαν τις γνώσεις και την ευφυία του Gauss τότε αυτά ϑα microπορούσαν

να ανακαλύψουν το σχήmicroα της microε microετρήσεις στην ίδια την επιφάνεια της Γης

΄Ενας σύγχρονος (και σχετικά εύκολος) τρόπος υπολογισmicroού της καmicroπυλότητας

προκύπτει microε laquoκατάλληληraquo διαφόριση του N από την οποίαν προκύπτει ένας αυτο-

συζυγής (συmicromicroετρικός) τελεστής του TpS ΄Ενας τέτοιος τελεστής έχει δύο ιδιοτιmicroές

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

(κύριες καmicroπυλότητες) κ1 κ2 οπότε όπως και microε τη microέθοδο του Euler Kp = κ1 middot κ2

Κι εδώ η καmicroπυλότητα υπολογίζεται microε τη ϐοήθεια του καθέτου διανύσmicroατος άρα

τελικά λαmicroβάνοντας υπόψη ότι η επιφάνεια είναι εmicroβαπτισmicroένη στο χώρο R3

417 Ασκήσεις

1 Να αποδειχτούν οι τύποι της στερεογραφικής προβολής από το Βόρειο Πόλο (411)

(412) και να ϐρεθούν οι αντιστοιχες εκφράσεις για τη στερεογραφική προβολή από

το Νότιο Πόλο

2 Να οριστούν τα συστήmicroατα συντεταγmicroένων (χάρτες) της S2 ως επιφάνειας microε την

αυστηρή έννοια του Ορισmicroού 411 για τις στερεογραφικές προβολές και τα ηmicroι-

σφαίρια

3 Να δικαιολογηθεί γιατί το γράφηmicroα microιάς διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3

(ϐλ Παραδείγmicroατα 413) είναι κανονική επιφάνεια

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες

Η έννοια της (διαφορικής) πολλαπλότητας αναπτύχθηκε από τον Bernhard Riemann

(1826ndash1866) στη διάλεξή του laquoΕπί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια

της γεωmicroετρίαςraquolowast (ϐλ και σχετικά σχόλια στη σελ 28) Στη διάλεξη αυτή ο Riemann

ανέπτυξε ϱιζοσπαστικές ιδέες για τον χώρο ο οποίος δεν πρέπει να ϑεωρείται κατ΄

ανάγκην Ευκλείδειος αλλά ότι είναι laquoκαmicroπυλωmicroένοςraquo και η καmicroπυλότητά του microπο-

ϱεί να υπολογιστεί (όπως και στις επιφάνειες) microε εσωτερικές microετρήσεις ΄Ετσι ο χώρος

είναι microία laquoπολλαπλότηταraquo δηλαδή ένα γεωmicroετρικό αντικείmicroενο που δεν είναι απα-

ϱαίτητα εmicroβαπτισmicroένο σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο και microπορεί να έχει διάσταση

microεγαλύτερη του 3 ακόmicroη και άπειρη Η ύπαρξη microιας microετρικής στην πολλαπλότητα

που σήmicroερα είναι γνωστή ως microετρική Riemann οδηγεί στην εύρεση της αντίστοιχης

καmicroπυλότητας άλλα και άλλων σχετικών microεγεθών που αποκαλύπτουν τις γεωmicroετρι-

κές ιδιότητες του αντικειmicroένουχώρου

Είναι προφανές ότι οι ιδέες αυτές είχαν ως αφορmicroή την εσωτερική γεωmicroετρία του

Gauss Θυmicroίζουmicroε ότι ο Riemann υπήρξε microαθητής του Gauss και ο τελευταίος ήταν

ίσως και ο microοναδικός καθηγητής του Gottingen που microπορούσε να κατανοήσει τις

ϱιζοσπαστικές ιδέες του microαθητή του όπως αυτός (δηλ ο Riemann) τις διατύπωσε

στην παραπάνω διάλεξη

Στα επόmicroενα ϑα ϑεωρήσουmicroε ένα σύνολο M empty Με σύγχρονη ορολογία και

συmicroβολισmicroούς (που καθιερώθηκαν microετά τα microέσα της δεκαετίας του 1930) έχουmicroε

πρώτα τον επόmicroενο τυπικό ορισmicroό (συγκρίνατε microε τον Ορισmicroό 411)

421 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος χάρτης (chart) του M είναι ένα Ϲεύγος (Uφ)όπου

lowast Για τη microετάφραση της διάλεξης στα Αγγλικά και εκτενή επεξηγηmicroατικά σχόλια ϐλ M Spivak

[38] σελίδες 132ndash178

120 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull U sube M

bull φ U≃minusminusrarr φ(U ) sube Rn είναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε φ(U ) sube Rn ανοιχτό

Σχηmicroα 411 Χάρτης πολλαπλότητας

Οι χάρτες κι εδώ ορίζουν τοπικά συστήmicroατα συντεταγmicroένων Το Σχήmicroα 411 πα-

ϱουσιάζει ένα χάρτη του M και συγκρινόmicroενο microε το αντίστοιχο Σχήmicroα 44 της σε-

λίδας 113 δείχνει τη σχέση των χαρτών microιας πολλαπλότητας microε αυτούς microιας επι-

ϕάνειας Συνολοθεωρητικά προσδιορίζονται από το ίδιο είδος απεικονίσεων (1ndash1 και

επί) microε εναλλαγή των πεδίων ορισmicroού και τιmicroών Οι τοπολογικές απαιτήσεις και οι

συνθήκες διαφορισιmicroότητας επί των χαρτών της επιφάνειας δεν έχουν έννοια εδώ

αφού το M είναι ένα σύνολο χωρίς καmicroιά δοmicroή (προς το παρόν)

422 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος άτλαντας (atlas) του M είναι microία οικογένεια

χαρτών A = (Ui φi) | i isin I τέτοια ώστε

bull M =⋃

iisinIUi δηλαδή ο A καλύπτει το M

bull Η αλλαγή των χαρτώνσυντεταγmicroένων

φj φminus1i φi(Ui cap Uj) minusrarr φj(Ui cap Uj)

είναι αmicroφιδιαφόρίση όπου υποθέτουmicroε ότι τα σύνολα

φi(Ui cap Uj) και φj(Ui cap Uj)

είναι ανοιχτά υποσύνολα του Rn

Βασική παρατήρηση Η δεύτερη ιδιότητα του Ορισmicroού 422 (αmicroφιδιαφόριση αλ-

λαγής χαρτώνσυντεταγmicroένων) εδώ λαmicroβάνεται ως αξίωmicroα ενω στις επιφάνειες είναι

ιδιότητα που αποδεικνύεται όπως αναφέρεται στο Θεώρηmicroα 414 Η αλλαγή των

χαρτών microιας πολλαπλότητας απεικονίζεται στο Σχήmicroα 412 της επόmicroενης σελίδας

και είναι το ανάλογο του Σχήmicroατος 47 (σελ 115)

423 Ορισmicroός ΄Ενα σύνολοM εφοδιασmicroένο microε ένα microέγιστο άτλαντα αποτελεί microία (n-

διάστατη) διαφορική πολλαπλότητα οπότε λέmicroε ισοδύναmicroα ότι το M εφοδιάζεται

microε microία διαφορική δοmicroή

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 121

Μέγιστος είναι ένας άτλαντας που περιέχει κάθε χάρτη για τον οποίον οι αλ-

λαγές των συντεταγmicroένων microε όλους τους χάρτες του άτλαντα είναι αmicroφιδιαφορίσεις

Αποδεικνύεται ότι για κάθε άτλαντα υπάρχει ένας microοναδικός microέγιστος που τον πε-

ϱιέχει

Συνοπτικά microπορούmicroε να πούmicroε ότι microέσω των χαρτών

Μία n-διάστατη πολλαπλότητα τοπικά microοιάζει microε τον Ευκλείδειο χώρο Rn

Σχηmicroα 412 Αλλαγή συντεταγmicroένων πολλαπλότητας

424 Παραδείγmicroατα

bull Ολες οι επιφάνειες (προφανώς)

bull ΄Ενα πιό laquoαφηρηmicroένοraquo πράδειγmicroα είναι ο (διδιάστατος) προβολικός χώρος

(projective space) P2(R) Γεωmicroετρικά αποτελείται από το σύνολο όλων των ευθειών

του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΄Οmicroως κάθε τέτοια ευθεία καθορί-

Ϲεται πλήρως από ένα οποιοδήποτε σηmicroείο της Ακριβέστερα αν ℓ είναι ευθεία διερ-

χόmicroενη από το 0 και (x y z) ένα τυχόν σηmicroείο της τοτε κάθε άλλο σηmicroείο (x prime yprime zprime)της ℓ δίνεται από τη σχέση (x prime yprime zprime) = λ (x y z) για ένα πραγmicroατικό αριθmicroό λ 0

Εποmicroένως ισοδύναmicroα ο προβολικός χώρος περιγράφεται και αλγεβρικά ως εξής

P2(R) equiv[x y z]

∣∣∣ (x y z) isin R3lowast

όπου έχουmicroε ϑέσει

[x y z] =λ (x y z) |λ isin Rlowast

122 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Μπορούmicroε να ορίσουmicroε τον άτλαντα A = (Ui φi) | i = 123

U1 =[x y z] x 0

ni [x y z]φ1minusminusminusminusminusminusrarr

(y

xz

x

)isin R2

U2 =[x y z] y 0

ni [x y z]φ2minusminusminusminusminusminusrarr

(x

yz

y

)isin R2

U3 =[x y z] z 0

ni [x y z]φ3minusminusminusminusminusminusrarr

(x

zy

z

)isin R2

Προφανώς ο P2(R) δεν είναι εmicroβαπτισmicroένος σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο (ούτε

και microπορεί να παρασταθεί) παρ΄ όλο που κατασκευάζεται από στοιχεία του R3 Με

ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται από τον Rn+1 ο n-διάστατος προβολικός χώρος Pn(R)

Φυσικά υπάρχει πληθώρα microαθηmicroατικών χώρων που είναι πολλαπλότητες αλλά

δεν microπορούν να εκτεθούν σ΄ αυτές τις σηmicroειώσεις

Μια πολλαπλότητα M αποκτά αρχικά microία τοπολογική δοmicroή ορίζοντας ότι ένα

A sube M είναι ανοιχτό (open) αν κάθε σύνολο

φ(A cap U ) sube Rn

είναι ανοιχτό (microε τη συνήθη έννοια των Ευκλειδείων χώρων) για όλους τους χάρτες

(Uφ) της διαφορικής δοmicroής

425 Πρόταση Με την προηγούmicroενη τοπολογία τα πεδία ορισmicroού U των χαρτών

(Uφ) είναι ανοιχτά σύνολα στο M και οι απεικονίσεις φ U rarr φ(U ) είναι οmicroοιοmicroορ-

ϕισmicroοί

Κατόπιν microπορούmicroε να ορίσουmicroε microίαν έννοια διαφορισιmicroότητας που επεκτείνει τη

συνήθη διαφορισιmicroότητα των Ευκλειδείων χώρων και εισάγει ένα ∆ιαφορικό Λογισmicroό

σε πολλαπλότητες Ακριβέστερα microία απεικόνιση microεταξύ πολλαπλοτήτων f M rarr N

είναι διαφορίσιmicroη στο p isin M (differentiable at p) αν υπάρχουν χάρτες (U φ) και

(V ψ) τωνM καιN αντίστιχα microε p isin U και f (U ) sube V έτσι ώστε η τοπική παράσταση

(local representation) της f

F = ψ f φminus1 Rm supe φ(U ) minusrarr ψ(V ) sube Rn

να είναι διαφορίσιmicroη στο φ(p) (microε τη συνήθη έννοια πλέον των Ευκλειδείων χώρων)

Το Σχήmicroα 413 στην επόmicroενη σελίδα διαφωτίζει τον ορισmicroό της διαφορισιmicroότητας

Ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός που προκύπτει microε αυτόν τον τρόπο έχει όλες τις καλές

ιδιότητες που ξέρουmicroε και ικανοποιεί τα περισσότερα γνωστά ϑεωρήmicroατα όπως το

Θεώρηmicroα της Αλυσίδας της Αντίστροφης Συνάρτησης κλπ

΄Οπως και στις επιφάνειες σε κάθε σηmicroείο microιας πολλαπλότητας microπορούmicroε να αν-

τιστοιχίσουmicroε ένα γραmicromicroικό χώρο που καλούmicroε εφαπτόmicroενο χώρο και προσεγγίζει

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 123

γραmicromicroικά την πολλαπλότητα Η περιγραφή του είναι πιό πολύπλοκη απ΄ αυτήν του

εφαπτοmicroένου χώρου και του εφαπτοmicroένου επιπέδου microιας επιφάνειας

Σχηmicroα 413 Τοπική παράσταση διαφορίσιmicroης απεικόνισης

Ο χώρος αυτός λόγω της γραmicromicroικής δοmicroής του επιτρέπει να ορίσουmicroε

bull Το διαφορικό (παράγωγο) microιας διαφορίσιmicroης απεικόνισης microεταξύ πολλαπλο-

τήτων Ουσιωδώς αυτό ανάγεται στο αντίστοιχο διαφορικό της τοπικής παρά-

στασης που υπολογίζεται τώρα microε τις συνήθεις microεθόδους διαφόρισης σε Ευ-

κλείδειους χώρους (πεπερασmicroένης διάστασης)

bull Εσωτερικό γινόmicroενο microετρική Minkowski κλπ που προκύπτουν και πάλι

από αντίστοιχα αντικείmicroενα σε Ευκλείδειους χώρους

Συγκολλώντας τα εσωτερικά γινόmicroενα ή τις microετρικές των εφαπτοmicroένων χώρων καθι-

στούmicroε την πολλαπλότητα microετρικό χώρο και ορίζουmicroε δοmicroή πολλαπλότητας Rieshy

mann πολλαπλότητας Lorentz κλπ

Απο την προηγούmicroενη σύντοmicroη αναφορά στις πολλαπλότητες microπορεί να κατα-

νοήσει κανείς ότι microε τη ϐοήθεια των χαρτών microπορούmicroε να microεταφέρουmicroε (σχεδόν)

όλο το microαθηmicroατικό οπλοστάσιο των Ευκλειδείων χώρων και σ᾿ αυτές Πρέπει να πού-

microε εδώ ότι οι πολλαπλότητες ndash σε πρώτη ανάγνωσηndash ϕαντάζουν ως ένα microαθηmicroατικό

αντικείmicroενο πολύ δύσκολο Για τον κοινό άνθρωπο αυτό είναι αλήθεια Για τον microέ-

σο microαθηmicroατικό η microελέτη των πολλαπλοτήτων δεν είναι δυσκολότερη απ΄ αυτήν των

επιφανειών που διδάσκονται στα microαθήmicroατα γεωmicroετρίας των πανεπιστηmicroίων

426 Ασκήσεις

1 Να αναφέρετε τη microορφή των χαρτών της σφαίρας ως διαφορικής πολλαπλότητας

microέσω των στερεογραφικών προβολών και των ηmicroισφαιρίων Κατόπιν να επαληθεύσετε

ότι η αλλαγή των συντεταγmicroένων που αντιστοιχούν στα ηmicroισφαίρια S+x και Sminusy είναι

αmicroφιδιαφόριση

124 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

2 Να αποδειχθεί ότι η συλλογή A = (Ui φi) | i = 12 3 που αναφέρεται στο

δεύτερο από τα Παραδείγmicroατα 424 πραγmicroατικά αποτελεί άτλαντα του προβολικού

χώρου P2(R)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας

Στόχος microας εδώ είναι να περιγράψουmicroε microόνο τον χωρόχρονο ως πολλαπλότητα για

να δούmicroε από τη microια microεριά το microαθηmicroατικό υπόβαθρο της Θεωρίας της Σχετικότητας

(Ειδικής και Γενικής) και από την άλλη το λόγο για τον οποίον είναι δύσκολο να

εξηγήσουmicroε το υπόβαθρο αυτό σε microη microαθηmicroατικό κοινό Πριν απ᾿ αυτό ας αναφερ-

ϑούmicroε σε microερικά διάσηmicroα ονόmicroατα τα οποία σχετίζονται ϑετικά ή αρνητικά microε την

παραπάνω ϑεωρία

Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως ήδη εξηγήσαmicroε και αλλού γεωmicroετρία του

υπήρξε ϑεmicroελιώδης για τη microαθηmicroατική διατύπωση της ΓΘΣ Ο Einstein έτρεφε

microεγάλοθαυmicroασmicroό γι΄ αυτόν (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 26)

Hermann Minkowski (1864ndash1909) Από τους πρώτους ένθερmicroους υποστηρικτές

της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΕΘΣ) στην οποίαν εισήγαγε την έννοια του

χωροχρόνου και microελέτησε τη γεωmicroετρία του

Hermann Minkowski

Το 1908 δήλωσε

Από εδώ και στο εξής ο χώρος microόνος του και ο χρόνος microόνος του είναι καταδι-

κασmicroένοι να εξασθενίσουν σε απλές σκιές και microόνον ένα είδος ένωσης και των

δυο ϑα αποτελέσει microιαν ανεξάρτητη πραγmicroατικότητα

Henri Poincare (1854ndash1912) Ασχολήθηκε (microεταξύ των άλλων) και microε προβλήmicroατα

σχετικά microε το ϕώς και είχε διερωτηθεί αν η ταχύτητα του πρέπει να ϑεωρηθεί σταθερή

Εντούτοις παρέmicroεινε πολέmicroιος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ) (Βλ

ϕωτογραφία του στη σελ 18)

Hendrik Antoon Lorentz (1853ndash1928) Είχε αντιληφθεί το 1905 κάποια παράδοξα

ϕυσικά ϕαινόmicroενα χωρίς να microπορεί να κατανοήσει τη σηmicroασία τους (όπως έγινε από

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 125

τον Einstein microε την ΕΘΣ)

Hendrik Lorentz

Οι microετασχηmicroατισmicroοί του (σήmicroερα γνωστοί ως microετασχηmicroατισmicroοί Lorentz χρησιmicroοποι-

ήθηκαν στην ΓΘΣ

David Hilbert (1862ndash1943) Είχε καταλήξει σε microερικά microαθηmicroατικά αποτελέσmicroατα

της ΓΘΣ χωρίς να microπορεί να εκτιmicroήσει ή να ερmicroηνεύσει τη ϕυσική τους σηmicroασία

Λόγω σχετικής παρεξήγησης που δηmicroιουργήθηκε ανεγνώρισε δηmicroόσια ότι η ΓΘΣ

είναι δηmicroιούργηmicroα του Einstein (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 14)

Albert Einstein (1879ndash1955)

Για τον δηmicroιουργό της Ειδικής και της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας τον ϕυσικό

που ανέτρεψε την εικόνα του κόσmicroου που επικρατούσε πριν απ΄ αυτόν δεν ϑα πούmicroε

τίποτε εδώ Είναι τεράστιο το πλήθος των ϐιβλίων και άρθρων που αναφέρονται στον

άνθρωπο και επιστήmicroονα Einstein απο τα οποία microπορεί κανείς να αντλήσει κάθε

είδους πληροφορία επιστηmicroονική ιστορική ακόmicroη και ανεκδοτολογική

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία

Α Ο χωρόχρονος της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι ισοmicroετρική microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

126 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

∆ιευκρινίζουmicroε ότι ο χώρος Minkowski είναι το R4 microε την ψευδοmicroετρική που

εισάγεται από τα laquoγινόmicroεναraquo της microορφής

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusx1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4 ή

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusc2 x1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4

όπου c η ταχύτητα του ϕωτός (η δεύτερη microορφή χρησιmicroοποιείται συχνά στη ϕυσική)

Μία πολλαπλότητα Lorentz είναι microία πολλαπλότητα εφοδιασmicroένη microε τη microετρική

Lorentz Η τελευταία είναι microία (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση που σε κάθε σηmicroείο p

του χωρόχρονου M αντιστοιχεί microία microετρική Minkowski στον αντίστοιχο εφαπτόmicroενο

χώρο TpM Μερικές άλλες τεχνικές λεπτοmicroέρειες δίνονται στην τελευταία υποπαρά-

γραφο

Στην ΕΘΣ δεν υπεισέρχεται η ϐαρύτητα και υπάρχουν πολλά παράδοξα (όπως

των διδύmicroων της αλλοίωσης των διαστάσεων κλπ) ας άmicroεση συνέπεια της γεωmicroετρίας

του χωροχρόνου

Β Ο χωρόχρονος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι τοπικώς ισόmicroορφη microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση του Einstein

G = 8πT

όπου G είναι ο τανυστής της ϐαρύτητας και T ο τανυστής stressshyenergy που κα-

ϑορίζεται από την καmicroπυλότητα (Ricci) της πολλαπλότητας οδηγεί στο συmicroπέρασmicroα

ότι

ϐαρύτητα equiv καmicroπυλότητα

εποmicroένως η ΓΘΣ αποτελεί γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου

Ο microεγάλος στόχος της σύγχρονης έρευνας είναι η ενοποίηση της Θεωρίας της

Σχετικότητας (που περιγράφει τον microακρόκοσmicroο) microε την Κβαντική Θεωρία (που περι-

γράφει τον microικρόκοσmicroο) Κυρίαρχο εργαλείο ϕαίνεται να είναι κι εδώ η γεωmicroετρία

όπως χρησιmicroοποιείται στη Θεωρία Βαθmicroίδος (gauge theory) στη Θεωρία των Υπερ-

χορδών (string theory) κλπ Φυσικά είναι έξω από τα όρια αυτών των σηmicroειώσεων

να περιγράψουmicroε τι ακριβώς εννοούmicroε σήmicroερα πια τον όρο γεωmicroετρία τα εξαιρετικά

προηγmicroένα microαθηmicroατικά εργαλεία που χρησιmicroοποιεί καιτη σύmicroπλεξή της microε τους

άλλους κλαδους των microαθηmicroατικών

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες

bull Η (τοπολογική) υπόθεση της συνεκτικότητας σηmicroαίνει (από ϕυσική άποψη) ότι δεν

υπάρχουν περιοχές του χωρόχρονου ανάmicroεσα στις οποίες δεν υπάρχει laquoεπικοινωνίαraquo

(microετάδοση σήmicroατος)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 127

bull Η microετρική Minkowski διαχωρίζει τα διανύσmicroατα u (του R4 ή τουTpM ) σε

χωρικά αν u middot u gt 0 ή u = 0

microηδενικά αν u middot u = 0 και u 0

χρονικά αν u middot u lt 0

οπότε σχηmicroατίζονται δύο διπλοί κώνοι όπως στο Σχήmicroα 414 Ο άνω και κάτω κώνος

αποτελούνται από τα χρονικά διανύσmicroατα ο δεξιά και αριστερά από τα χωρικά ενώ

στην επιφάνεια ανήκουν τα microηδενικά (ή ϕωτεινά) διανύσmicroατα

Σχηmicroα 414 Ο κώνος ϕωτός

bull Χρονικός προσανατολισmicroός σηmicroαίνει ότι επιλέγουmicroε τον έναν από τους κώνους των

χρονικών διανυσmicroάτων όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα που δανειζόmicroαστε από το

ϐιβλίο [30]

Σχηmicroα 415 Χρονικός προσανατολισmicroός

Σηmicroείωση Για τη στοιχειώδη γεωmicroετρία των επιφανειών παραπέmicroπουmicroε κυρίως στα

ϐιβλία [24] [30] [34] και τις σηmicroειώσεις [7] Για microια πρώτη γνωριmicroία microε τη διαφορική

γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων προτεινουmicroε το [44] και τις χειρόγραφες σηmicroειώσεις

[6] Η σχετική ϐιβλιογραφία είναι πολλή microεγάλη Μια πλήρης microαθηmicroατική έκθε-

ση της ΕΘΣ και της ΓΘΣ microαζί microε τα απαραίτητα στοιχεία της γεωmicroετρίας των

πολλαπλοτήτων Riemann και άλλων ϐασικών ϑεmicroάτων περιέχεται στο [29]

Πολλά ιστορικά στοιχεία και πληροφορίες για τα ϑέmicroατα που ϑίξαmicroε σ᾿ αυτό το

σύντοmicroο κεφάλαιο όπως και απλοποιηmicroένες παρουσιάσεις των ϑεωριών του Einstein

και των συνεπειών τους περιέχονται στα ϐιβλία [11] [26] [32]

Βιβλιογραφία

[1] ∆ Αναπολιτανος Εισαγωγή στη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών Εκδόσεις Νεφέλη

Αθήνα 1985

[2] Σ Ανδρεαδακης Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Αθήνα 1980

[3] Ι Αραχωβιτης ndash Ε Βασιλειου Σηmicroειώσεις Γραmicromicroικής Γεωmicroετρίας Πανεπιστήmicroιο

Αθηνών Αθήνα 1985

[4] ∆ Βαρσος κα (συγγραφική οmicroάδα) Εισαγωγή στη Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Τόmicroος

Α Εκδόσεις Σοφία Θεσσαλονίκη 2003

[5] Ε Βασιλειου Στοιχεία Προβολικής Γεωmicroετρίας Εκδόσεις Συmicromicroετρία Αθήνα

2009

[6] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας I Πα-

νεπιστήmicroιο Αθηνών 2009 httpLecture Notes on Curves and Surfaces

[7] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Καmicro-

πυλών και Επιφανειών Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 20010

[8] E T Bell The Development of Mathematics Dover New York 1992

[9] J W Blattner Projective plane geometry HoldenshyDay San Francisco 1968

[10] J N Cederberg A Course in Modern Geometries Springer New York 1989

[11] D D Davis Η Φύση και η ∆ύναmicroη των Μαθηmicroατικών Πανεπιστηmicroιακές Εκ-

δόσεις Κρήτης Ηράκλειο 2005

129

130 Βιβλιογραφία

[12] M P Do Carmo Differential geometry of Curves and Surfaces PrenticeshyHall

Englegood Cliffs New Jersey 1976

[13] P Dombrowski 150 Years after Gaussrsquo disquisitiones generales circa supershy

ficies curvas Asterisque 62 Soc Math de France Paris 1979

[14] N V Efimov ndash E R Rozendorn Linear Algebra and Multidimensional Geoshy

metry MIR Publishers Moscow 1975

[15] R L Faber Foundations of Euclidean and nonshyEuclidean Geometry Marcel

Dekker New York 1983

[16] G H Hardy A Mathematicianrsquos Apology Cambridge Univ Press Canto edishy

tion Cambridge 2002

[17] M Henle Modern Geometry The Analytic Approach Prentice Hall New Jershy

sey 1997

[18] D Hilbert Foundations of Geometry (Grunlangen der Geometrie) Open

Court Illinois 1971 Ελληνική microετάφραση Θεmicroέλια της Γεωmicroετρίας Τροχα-

λια Αθήνα 1995

[19] S Hollingdale Makers of Mathematics Penguin London 1991

[20] M Kline Mathematics in Western Culture Oxford Univ Press 1953 Ελλη-

νική microετάφραση Τα Μαθηmicroατικά στο ∆υτικό Πολιτισmicroό (τόmicroοι Α-Β) Κώδικας

Αθήνα 2002

[21] W Klingenberg A Course in Differential Geometry Springer New York

1978

[22] ∆ Κουτρουφιωτη Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Leader Books Αθήνα

2006

[23] M Lipschutz Differential Geometry Schaumrsquos Outline Series McGraw Hill

New York 1974 Ελληνική microετάφραση ∆ιαφορική Γεωmicroετρία ΕΣΠΙ Ε Περ-

σίδης Αθήνα 1981

[24] J McCleary Geometry from a Differential Point of View Cambridge Univ

Press Cambridge 1994

[25] R J Mihalek Projective Geometry and Algebraic Structures Academic

Press New York 1972

[26] L Mlodinov Euclidrsquos Window The Story of Geometry from Parallel Lines to

Hyperspace Allen Lane The Penguin Press London 2002 Ελληνική microετά-

ϕραση Το Παράθυρο του Ευκλείδη Τραυλός Αθήνα 2007

Βιβλιογραφία 131

[27] S NegrepontisndashD Lamprinidis The Platonic Anthyphairetic Interpretation of

Pappusrsquo account of analysis and synthesis History and Epistemology in Mashy

thematics Education Proceedings of the 5th European Summer University

Prague 2007 pp 501ndash511

[28] Μ Μπρικας Μαθήmicroατα Προβολικής Γεωmicroετρίας Αθήνα 1964

[29] B OrsquoNeill SemishyRiemannian Geometry With Applications to Relativity Acashy

demic Press New York 1983

[30] B OrsquoNeill Elementary Differential Geometry Academic Press New York

1997 Ελληνική microετάφραση Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Πανεπιστη-

microιακές Εκδόσεις Κρήτης 2002

[31] J Oprea Differential Geometry and its Applications Prentice Hall Upper

Saddle River New Jersey 1997

[32] R Osserman Poetry of the Universe Anchor Books Doubleday New York

1995 Ελληνική microετάφραση Η Ποίηση του Σύmicroπαντος Τραυλός Αθήνα 1998

[33] Β Παπαντωνιου ∆ιαφορική Γεωmicroετρία I Θεωρία Καmicroπυλών Πάτρα 1996

[34] A Pressley Elementary Differential Geometry Springer London 2001

[35] J Pierpont The history of mathematics in the nineteenth century Bull

Amer Math Soc 37 (2000) 3ndash8 [reprinted from Bull Amer Math Soc 11

(1905) 238ndash246]

[36] H Poincare Dernieres Pensees Flammarion Paris 1913

[37] C Reid Ο προκλητικός Κος Χίλmicroπερτ Εκδοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

[38] M Spivak Differential Geometry Vol II Publish or Perish Wilmington 1979

[39] Ε Σταmicroατης Εὐκλείδου Γεωmicroετρία Τόmicroος Ι (Στοιχείων Βιβλία IndashIV) Εκδόσεις

Ν Σάκκουλα Αθήνα 1952

[40] F W Stevenson Projetive Planes W H Freeman San Francisco 1972

[41] Χ Στραντζαλος Η εξέλιξη των Ευκλειδείων και microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

(Μέρος Α) Εκδόσεις Καρδαmicroίτσα Αθήνα 1987

[42] D J Struik Συνοπτική Ιστορία των Μαθηmicroατικών Εκδόσεις Ι Ζαχαρόπουλος

Αθήνα 1982

[43] M B W Tent Καρλ Φρίντριχ Γκάους Ο Πρίγκηπας των Μαθηmicroατικών Εκ-

δοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

132 Βιβλιογραφία

[44] LW Tu An Introductiion to Manifolds (2nd edition) Springer New York

2011

[45] I M Yaglom Felix Klein and Sophus Lie Birkhauser Boston 1988

Πίνακας εννοιών

Αίτηmicroα 8

ακτίνα καmicroπυλότητας 89

αmicroφιδιαφόριση 114

αναπαραmicroέτρηση

ndash καmicroπύλης 85

ndash microέσω microήκους τόξου 87

ανοιχτό σύνολο πολλαπλότητας 122

αντίθετη καmicroπύλη 152

αξίωmicroα 8

ndash 2prime 26

ndash Αρχιmicroήδη 17

ndash ελλειπτικό 26

ndash παραλλήλων 10

ndash πληρότητας (γραmicromicroικής) 17

ndash υπερβολικό 21

ndash Dedekind 17

ndash Pasch 15

ndash Playfair 11

αξιωmicroατικό σύστηmicroα

ndash ανεξάρτητο 19

ndash πλήρες 19

ndash συνεπές 19

άξονας σηmicroειοσειράς 51

αποδεικτική microέθοδος

ndash αναλυτική 9

ndash εις άτοπον απαγωγή 9

ndash συνθετική 9

Απόλυτη Γεωmicroετρία 11

αποπλήρωση 60

απροσδιόριστες έννοιες 14

αρχή του δυισmicroού 49 50

άτλαντας

ndash επιφάνειας 114

ndash microέγιστος 121

ndash πολλαπλότητας 120

άτοπος απαγωγή 9

Γεωδαισιακή γραmicromicroή 24

Γεωmicroετρία

ndash Απόλυτη 11

ndash Ελλειπτική 11 25

ndash Ουδέτερη 11

ndash Klein 71

ndash Υπερβολική 11 21

∆έσmicroη

ndash ευθειών 51

ndash σηmicroείων 51

διάνυσmicroα

ndash Darboux 105

ndash δεύτερο κάθετο 89

ndash εφαπτόmicroενο 83 88

ndash πρωτεύον κάθετο 89

133

134 Πίνακας εννοιών

ndash πρώτο κάθετο 89

ndash ταχύτητας 83 88

διάσταση χάρτη 113

διαφορίσιmicroη απεικόνιση πολλαπλότητας

122

διατήρηση

ndash συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων 71

ndash σύmicroπτωσης 65

δίσκος

ndash KleinshyBeltrami 24

ndash Poincare 25

δυική πρόταση 49

Ελαχίστη ισχύς

ndash προβολικού επιπέδου 54

ndash συσχετισmicroένου επιπέδου 42

έλικα (κυκλική) 104

έλκουσα 23

Ελλειπτική Γεωmicroετρία 11

ndash απλή 26

ndash διπλή 26

ένωση σηmicroείων 40 43

επίπεδο

ndash εγγύτατο 90

ndash ευθειοποιούν 90

ndash κάθετο 90

ndash προβολικό 43

ndash κλασικό 62

ndash συσχετισmicroένο 39

επιφάνεια (κανονική) 113

επιτάχυνση 83

εσωτερική γεωmicroετρία 118

εφαπτοmicroένη ευθεία 82

εφαπτόmicroενο

ndash διάνυσmicroα καmicroπύλης 83

ndash επίπεδο 115

εφαπτόmicroενος χωρος επιφάνειας 116

ευθεία 38 42

ndash εφαπτοmicroένη 82

ndash ιδεατή 57

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash πραγmicroατική 57

ευθείες παράλληλες 39

Θεώρηmicroα 9

ndash Θεmicroελιώδες των Καmicroπυλών 102

ndash Egregium 118

Ισόmicroορφα

ndash προβολικά επίπεδα 65

ndash σύνολα 64

ισοmicroορφισmicroός

ndash δοmicroής 64

ndash προβολικών επιπέδων 65

ισχύς

ndash δέσmicroης ευθειών 53

ndash σηmicroειοσειράς 53

Κάθετο διάνυσmicroα

ndashεπιφάνειας 115

ndashκαmicroπύλης

ndash δεύτερο 89

ndash πρωτεύον 89

ndash πρώτο 89

κάθετος

ndash δεύτερη (καmicroπύλης) 104 151 156

ndash πρώτη (καmicroπύλης) 105 156

καmicroπύλη 81

ndash αντίθετη 152

ndash απλή 83

ndash επίπεδη 81

ndash κανονική 83

ndash microοναδιαίας ταχύτητας 87

ndash οmicroαλή 83

ndash παράλληλη 106

ndash παραmicroετρηmicroένη 81

ndash στο χώρο 81

καmicroπυλότητα 88 98

καmicroπυλότητα Gauss 116

κέντρο δέσmicroης ευθειών 51

κοινή έννοια 9

κυκλοειδής 105

Μεταφορά 102

microέτρο ταχύτητας 83

microήκος καmicroπύλης 83

microοντέλο 19

microορφισmicroός 63

Πίνακας εννοιών 135

ndash προβολικών επιπέδων 65

ndash 1ndash1 65

ndash επί 65

Οϱος 8

Ουδέτερη Γεωmicroετρία 11

Παράλληλες ευθείες 39

παραmicroέτρηση 113

παράmicroετρος

ndash microήκος τόξου 87

ndash ϕυσική 87

πλήρωση 58

πολλαπλότητα

ndash διαφορική 120

ndash Lorentz 126

πρόταση 9

προβολικό επίπεδο 43

ndash δυικό 49

ndash πεπερασmicroένο 53

ndash πραγmicroατικό διάστασης 2 45

ndash των επτά σηmicroείων 43

προβολικός χώρος 121

Σηmicroεία συγγραmicromicroικά 39

σύστηmicroα συντεταγmicroένων 113

σηmicroείο 38 42

ndash ανωmicroαλίας 83

ndash ιδεατό 57

ndash ιδιάζον 88

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash κοινό 40

ndash πραγmicroατικό 57

σηmicroειοσειρά 51

στερεά κίνηση 102

στοιχειώδης απεικόνιση 52

στρέψη 91 98

στροφή 102

συγγραmicromicroικότητα 71

σύmicroπτωση ϐλέπε σχέση σύmicroπτωσης

σφαιρική δείκτρια 106

σχέση σύmicroπτωσης 38 42

Τάξη προβολικού επιπέδου 55

τοmicroή ευθειών 41 43

τοπική παράσταση 122

τρίεδρο

ndash Frenet 90 98 100

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

ndash συνοδεύον 90

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

τύποι FrenetshySerret 93

ndash γενικευmicroένοι 101

Υπερβολική Γεωmicroετρία 11

Χάρτης

ndash επιφάνειας 113

ndash πολλαπλότητας 119

χώρος Minkowski 126

χωρόχρονος

ndash της ΕΘΣ 125

ndash της ΓΘΣ 126

Ψευδόσφαιρα 20 22

Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις επιλεγmicroένων ασκήσεων)

2111 (2) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία ενός συσχετισmicroένου επιπέδου Σύmicroφωνα microε το

Θεώρηmicroα 219 υπάρχουν 4 διαφορετικά σηmicroεία AB C D που είναι ανά 3 microη

συγγραmicromicroικά Στην ακραία περίπτωση που δύο (το πολύ) από τα AB C D ανήκουν

στην ℓ έχουmicroε αmicroέσως το αποτέλεσmicroα

∆ιακρίνουmicroε τις εξής δύο microη τετριmicromicroένες περιπτώσεις

i) Κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν ανήκει στην ℓ

Τότε ορίζονται οι ευθείες AorB AorC και AorD που είναι διαφορετικές microεταξύ τους

καθώς και προς την ℓ (ϐλ και την απόδειξη της Πρότασης 226) Απ᾿ αυτές microία το

πολύ microπορεί να είναι παράλληλη προς την ℓ ας πούmicroε η AorD Εποmicroένως οι AorB

A or C ϑα τέmicroνουν την ℓ στα αντίστοιχα σηmicroεία X και Y Παρατηρούmicroε ότι X Y

γιατί διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι A or B = A or X = A or Y = A or C (άτοπο)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

138 Υποδείξεις λύσεων

ii) ΄Ενα από τα AB C D ϐρίσκεται επί της ℓ ας πούmicroε το A Τότε προσδιορίζουmicroε

ένα δεύτερο σηmicroείο Z A ακολουθώντας παρόmicroοια microε την προηγουmicroένη διαδικασία

όπως συνοπτικά απεικονίζεται και το επόmicroενο σχήmicroα

2111 (3) Α΄ Τρόπος ΄Εστω P τυχόν σηmicroείο ενός ΣΕ Πρώτα παρατηρούmicroε ότι υπάρ-

χει microία ευθεία ℓ η οποία δεν περιέχει το P Πραγmicroατικά από το (ΣΕ 3) εξασφαλίζεται

η ύπαρξη 3 διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών σηmicroείων A B C Αν το P συmicroπίπτει

microε ένα απο τα προηγούmicroενα σηmicroεία τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε ως ℓ την ευθεία που

ορίζουν τα άλλα δύο Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα απο τα σηmicroεία αυτά τότε ϑα

ανήκει το πολύ σε microία από τις 3 ευθείες που ορίζουν ανά 2 τα AB C άρα microπορούmicroε

να επιλέξουmicroε τη microια από τις υπόλοιπες

Σύmicroφωνα microε την προηγουmicroένη διαπίστωση microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε τώρα microια

ευθεία ℓ που δεν περιέχει το P Κατά την παραπάνω ΄Ασκηση 2111 (2) η ℓ περιέχει

δύο διαφορετικά σηmicroεία ας τα καλέσουmicroε X και Y

Επειδή X P Y ορίζονται οι P or X και P or Y Επίσης κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microία microοναδική ευθεία k που είναι παράλληλη προς την ℓ και διέρχεται από το P

∆ιαπιστώνουmicroε εύκολα ότι οι k PorX PorY είναι 3 διαφορετικές διαφορετικές ευθείες

που διέρχονται από το P

Β΄ Τρόπος Θεωρούmicroε τα 4 σηmicroεία AB C D του Θεωρήmicroατος 219 και διακρίνουmicroε

διάφορες δυνατές περιπτώσεις σε σχέση microε τη ϑέση του P ως προς τα A B C D

i) Το P συmicroπίπτει microε ένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία πχ το A Τότε οι ευθείες

PorB PorC και PorD αποδεικνύουν τον ισχυρισmicroό της άσκησης επειδή είναι microεταξύ

τους διαφορετικές [αν ήταν για παράδειγmicroα P or B = P or C τότε τα P = A και BC

ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)]

ii) Το P ϐρίσκεται στην τοmicroή δύο ευθειών από αυτές που ορίζουν ανά 2 τα

Υποδείξεις λύσεων 139

AB C D όπως στην οmicroάδα των παρακάτω τεσσάρων σχηmicroάτων

Στην περίπτωση που για παράδειγmicroα P = (A or C) and (B or D) ϕέρνουmicroε από το

C την kB or D και από το D την ℓA or C Παρατηρούmicroε ότι k ℓ [διαφορετικά η

k = ℓ ϑα συνεπάγονταν ότι το C ϑα ήταν σηmicroείο της ℓ (άτοπο)] Επίσης k mdashℓ [στην

αντίθετη περίπτωση ϑα ήταν και B or Dℓ (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζεται το E = k and ℓΕπειδή E P ορίζεται και η P or E Οι ευθείες P or E A or C και B orD επαληθεύουν

τον ισχυρισmicroό αφού είναι microεταξύ τους διάφορες [αν πχ ήταν P or E = A or C τότε

το E ϑα ανήκε στην A or C (άτοπο)]

140 Υποδείξεις λύσεων

iii) Το P ϐρίσκεται σε microία από τις ευθείες που ορίζουν 2 από τα προηγούmicroενα

σηmicroεία ας πούmicroε την A or B (ϐλ το προηγούmicroενο σχήmicroα) Οι P or C και P or Dείναι διαφορετικές microεταξύ τους καθώς και προς την A or B Πραγmicroατικά αν ήταν

P or C = P or D τότε ϑα είχαmicroε ότι

C = (P or C) and (C or D) = (P or D) and (C or D) = D

που είναι άτοπο Επίσης η A or B = P or C για παράδειγmicroα ϑα συνεπάγονταν ότι

τα AB C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά που είναι επίσης άτοπο Οι A or B P or C P or Dαποτελούν τις Ϲητούmicroενες ευθείες

iv) Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα από τα A B C D τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε

τις ευθείες P or A P or B P or C οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους

2111 (4) Αν S = k andm και υποθέσουmicroε ότι η m δεν τέmicroνει την ℓ τότε από το

S ϑα είχαmicroε δύο παράλληλες προς την ℓ πράγmicroα που αντιβαίνει στο (ΣΕ 2)

229 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι άmicroεση συνέπεια του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) [αντιστοίχως

του (ΣΕ 3)]

229 (3) Αν ℓ είναι οποιαδήποτε ευθεία τότε από τα 4 σηmicroεία του (ΠΕ 3) τουλάχι-

στον 2 ϐρίσκονται εκτός της ℓ Αν τώρα δίνεται ένα σηmicroείο P τουλάχιστον 2 από τις

ευθείες που ορίζονται από τα ίδια 4 προηγούmicroενα σηmicroεία δεν περιέχουν το P

229 (4) Αν S = k and ℓ τότε υπάρχει σηmicroείο A της k microε A S και σηmicroείο B

της ℓ microε B S Επειδή A B ορίζεται η A or B Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 226

Υποδείξεις λύσεων 141

η A or B διαθέτει ακόmicroη ένα σηmicroείο C διαφορετικό από τα A και B Το C είναι το

Ϲητούmicroενο επειδή δεν ανήκει σε καmicroιά από τις δύο ευθείες Πραγmicroατικά αν για

παράδειγmicroα (C k) isin I τότε k = A or C = A or B άρα (B k) isin I (άτοπο)

Στην περίπτωση ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διακρίνουmicroε δύο περιπτώσεις

i) Αν οι k και ℓ τέmicroνονται ϑέτουmicroε S = k and ℓ

Επειδή η k διαθέτει τουλάχιστον ένα σηmicroείοA S [ϐλ ΄Ασκηση 2111 (2)] microπορούmicroε

να ϕέρουmicroε από το A microία (microοναδική) ευθεία ℓprimeℓ Η ℓprime διαθέτει και ένα σηmicroείο O A

∆ιαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι το O είναι ένα σηmicroείο όπως το Ϲητούmicroενο

ii) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι οι k και ℓ είναι παράλληλες Η k διαθέτει τουλάχιστον

δύο διαφορετικά σηmicroεία A B και η ℓ άλλα δύο Aprime Bprime Αν το επίπεδο έχει microόνον 4

σηmicroεία τότε δεν υπάρχει σηmicroείο microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Αν υπάρχουν περισσότερα

από 4 τότε υπάρχει ένα X διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Στην περίπτωση που το

X δεν ϐρίσκεται σε καmicroιά από τις k ℓ τότε αυτό είναι το Ϲητούmicroενο Αν το X ανήκει

ας πούmicroε στην k τότε ορίζονται οι ευθείες A or Aprime και B orAprime από τις οποίες το πολύ

microία είναι παράλληλη προς την X or Bprime

Η τοmicroή της τελευταίας microε την microη παράλληλη από τις προηγούmicroενες δίνει ένα σηmicroείο

O microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Παρόmicroοια εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποίαν το

142 Υποδείξεις λύσεων

σηmicroείο X ανήκει στην ευθεία ℓ

229 (5) Η επαλήθευση των αξιωmicroάτων του προβολικού επιπέδου είναι άmicroεση Το

επίπεδο αυτό ϐρίσκεται σε 1 ndash 1 και επί αντιστοιχία microε το P2 Πραγmicroατικά κάθε

ευθεία του R3 που περνάει από την αρχή των αξόνων 0 τέmicroνει τη microοναδιαία σφαίρα

σε δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία Αντιστρόφως δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία ορίζουν microια

διάmicroετρο άρα ευθεία που περνάει από το 0 Επίσης κάθε microέγιστος κύκλος ορίζει

ένα επίπεδο που περνάει από το 0 και αντιστρόφως

234 (1) Το ίδιο το επίπεδο των 7 σηmicroείων

234 (2) Αυτό διαπιστώνεται microε πολλούς τρόπους Για παράδειγα

ndash Από το δυϊκό του (ΣΕ 1) που δεν αληθεύει πάντοτε λόγω της ύπαρξης παραλλήλων

ευθειών

ndash Από τη δυϊκή διατύπωση του αξιώmicroατος (ΣΕ 2) που οδηγεί στη microη οριζοmicroένη έννοια

παραλληλίας σηmicroείων [παραλληλία δύο διαφορετικών σηmicroείων δυΐκώς προς αυτήν

των ευθειών ϑα σήmicroαινε ανυπαρξία laquoκοινήςraquo ευθείας (που περιέχει τα σηmicroεία αυτά)

σε αντίφαση microε το (ΣΕ 1)]

ndash Το δυΐκό συmicroπέρασmicroα της ΄Ασκησης 2111 (3) συνεπάγεται ότι κάθε ευθεία διαθέτει

τουλάχιστον 3 διαφορετικά σηmicroεία πράγmicroα που δεν είναι γενικώς αληθές ( στο συ-

σχετισένο επίπεδο των τεσσάρων σηmicroείων οι ευθείες έχουν ακριβώς δύο διαφορετικά

σηmicroεία)

234 (3) ΄Οχι αφού το δυϊκό του (ΠΕ 3) δεν περιέχεται στο σύστηmicroα των αξιωmicroάτων

(ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3) Θα πρέπει να προστεθούν οι Προτάσεις 224 και 227

2410 (1) Η απόδειξη γίνεται microε συλλογισmicroούς δυϊκούς προς αυτούς της Προτα-

σης 244

2410 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι δυϊκό του Πορίσmicroατος 247

2410 (3) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο O εκτός της ℓ Τότε σύmicroφωνα microε την προηγου-

microένη άσκηση και το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε ότι |J(A)| = |J(O)| = |J(ℓ)| Εποmicroένως το

Πόρισmicroα 246 ισχύει είτε το O ϐρίσκεται επί της m είτε όχι

2410 (4) Σε ένα τέτοιο προβολικό επίπεδο όλες οι ευθείες ϑα περιέχουν τουλά-

χιστον 4 διαφορετικά σηmicroεία (αλλιώς ϑα αναγόmicroαστε στο επίπεδο των 7 σηmicroείων)

Εποmicroένως το πλήθος των σηmicroείων ϑα είναι τουλάχιστον 32+ 3 + 1 = 13

2410 (6) Επειδή από το O διέρχεται microία ευθεία παράλληλη προς την m στην πε-

ϱίπτωση που το συσχετισmicroένο επίπεδο περιέχει άπειρο πλήθος σηmicroείων δεν ισχύει

η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246 και 247 Αν όmicroως το επίπεδο έχει πε-

περασmicroένο πλήθος σηmicroείων τότε το ανάλογο του Πορίσmicroατος 246 είναι |J(m)| =|J(O)| minus 1 Με τις ίδιες προϋποθέσεις [και χρησιmicroοποιώντας την ΄Ασκηση229 (4) για

το συσχετισmicroένο επίπεδο] η παραπάνω σχέση οδηγεί στην |J(k)| = |J(ℓ)| που δίνει

το συσχετισmicroένο ανάλογο του Πορίσmicroατος 247

2410 (7) Ακολουθούmicroε τη συλλογιστική της Πρότασης248 Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο

O εκτός της ℓ Ορίζονται οι n διαφορετικές ευθείες O or Ai όπου Ai (i = 1 n) τα

Υποδείξεις λύσεων 143

σηmicroεία της ℓ Επίσης από το O διέρχεται και microία m παράλληλη προς την ℓ Κάθε microία

από τις προηγούmicroενες ευθείες διαθέτει nminus1 διαφορετικά σηmicroεία από τοO Εποmicroένως

microαζί microε το O έχουmicroε (n + 1)(n minus 1) + 1 = n2 διαφορετικά σηmicroεία Αποδεικνύουmicroε

ότι αυτά είναι ακριβώς τα σηmicroεία του επιπέδου αν υπάρχει ακόmicroη ένα σηmicroείο Q

διαφορετικό από τα προηγούmicroενα τότε ορίζεται η O or Q η οποία αναγκαστικά ϑα

συmicroπίπτει είτε microε την m είτε microε microία από τις O or Ai Εποmicroένως το Q είναι ένα από τα

προηγούmicroενα n2 σηmicroεία

2410 (8) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία και Ai (i = 1 n) τα σηmicroεία της Αν P τυχόν

σηmicroείον του επιπέδου που δεν ανήκει στην ℓ τότε [ϐλ τη λύση της παραπάνω

΄Ασκησης 2410 (6) για πεπερασmicroένα συσχετισmicroένα επίπεδα] είναι |J(P)| = |J(ℓ)|+1 =

n + 1

Αν το P ανήκει στην ℓ τότε αυτό συmicroπίπτει microε κάποιο απο τα Ai Χωρίς ϐλάβη της

γενικότητας ας υποθέσουmicroε ότι P = A1 Θεωρούmicroε και ένα O εκτός της ℓ Εποmicroένως

από το P διέρχονται οι ευθείες ℓ PorO και kj OorAj (j = 2 n) δηλαδή συνολικά

n + 1 ευθείες (ϐλ και το παραπάνω σχήmicroα) Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι όλες είναι

διαφορετικές microεταξύ τους

258 (3) Οι ευθείες AB και CD είναι παράλληλες άρα ορίζουν το ιδεατό σηmicroείο

kmiddot = ABmiddot = CDmiddot

Παρόmicroοια οι παράλληλες AD και BC ορίζουν το

lmiddot = ADmiddot = BCmiddot

ενώ οι παράλληλες AC BD ορίζουν το

mmiddot = ACmiddot = BDmiddot

Συνεπώς η πλήρωση αποτελείται από τα πραγmicroατικά σηmicroεία AB C D και τα ιδεατά

kmiddot lmiddot mmiddot δηλαδή καταλήγουmicroε στο προβολικό επίπεδο των 7 σηmicroείων Οι ευθείες της

πλήρωσης είναι προφανώς οι

AB kmiddot CD kmiddot AD lmiddot BC lmiddot ACmmiddot BDmmiddot εinfin = kmiddot lmiddot mmiddot

144 Υποδείξεις λύσεων

Το παρακάτω σχήmicroα αποτελεί microια απεικόνιση της προηγούmicroενης διαδικασίας

258 (4) Αν αφαιρέσουmicroε microιαν ευθεία για παράδειγmicroα την A1 A5 A7 τότε παίρ-

νουmicroε το συσχετισmicroένο επίπεδο των 4 σηmicroείων όπως ϕαίνεται και στο επόmicroενο ϐοη-

ϑητικό σχήmicroα

2610 (1) Ας υποθέσουmicroε ότι φ(P) isin ψ(ℓ) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο X isin ℓ οπότε

φ(X ) isin ψ(ℓ) Επειδή X P ορίζεται η X or P άρα ψ(X or P) = φ(X ) or φ(P) = ψ(ℓ)Εποmicroένως το 1 ndash 1 του microορφισmicroού συνεπάγεται ότι X or P = ℓ (άτοπο)

Αν υποθέσουmicroε ότι ο microορφισmicroός δεν είναι 1 ndash 1 ισχυριζόmicroαστε ότι δεν ισχύει το

προηγούmicroενο συmicroπέρασmicroα δηλαδή microπορούmicroε να ϐρούmicroε Q isin P και k isin L έτσι ώστε

Q lt k και φ(Q) isin ψ(k) Πραγmicroατικά αφού η ψ δεν είναι 1 ndash 1 υπάρχουν τουλαχιστον

δύο ευθείες k m τέτοιες ώστε k m και ψ(k) = ψ(m) Θέτουmicroε S = kandm και επί της

m επιλέγουmicroε και ένα σηmicroείο Q S Προφανώς Q lt k Επιπλέον αφού (φψ) είναι

microορφισmicroός η Q isin m συνεπάγεται ότι φ(Q) isin ψ(m) = ψ(k) εποmicroένως καταλήγουmicroε

στον ισχυρισmicroό

2610 (2) Πρόκειται για την αντιθετοαντιστροφή της προηγουmicroένης άσκησης

[ αν ήταν P lt ℓ τότε αναγκαίως ϑα είχαmicroε ότι φ(P) lt ψ(ℓ) (άτοπο)]

2610 (3) ΄Εστω τυχόν (P prime ℓprime) isin Pprime times Lprime microε P prime isin ℓprime Λόγω της υπόθεσης υπάρχουν

P isin P και ℓ isin L τέτοια ώστε φ(P) = P prime και ψ(ℓ) = ℓprime Εποmicroένως φ(P) isin ψ(ℓ) Εφαρ-

microόζοντας τώρα την ΄Ασκηση 2610 (2) από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι P isin ℓκαι ισοδύναmicroα φminus1(P prime) isin ψminus1(ℓprime) microε την οποίαν καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

2610 (4) Εκφράζουmicroε πρώτα την ψ microέσω της φ αν ℓ είναι microία ευθεία του πρώτου

επιπέδου ϑεωρούmicroε δύο τυχόντα σηmicroεία της A B Τότεψ(ℓ) = ψ(AorB) = φ(A)orφ(B)Προφανώς αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της ℓ ας πούmicroε τα C D (ή τα A C αν

Υποδείξεις λύσεων 145

έχουmicroε το επίπεδο των 7 σηmicroείων οπότε οι ευθείες έχουν ακριβώς 3 σηmicroεία) ϑα

έχουmicroε ότι ℓ = A or B = C or D άρα ψ(ℓ) = φ(C) or φ(D) = φ(A) or φ(B)Αναλόγως εκφράζεται η φ microέσω της ψ

2610 (5) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία του πρώτου επιπέδου Σύmicroφωνα microε την προη-

γουmicroένη άσκηση ϑα είναι ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) = ψprime(ℓ) για οποιαδήποτε σηmicroεία A B

της ℓ Επειδή η τελευταία ισχύει για κάθε ℓ isin L συνάγεται ότι ψ = ψprime

2610 (7) Για οποιοδήποτε (P ℓ) isin P1 times L1 microε P isin ℓ ο ορισmicroός του microορφισmicroού

συνεπάγεται το επόmicroενο microεταθετικό διάγραmicromicroα που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

(P ℓ) isin I1

(φ1 ψ1) - (φ1(P) ψ1(ℓ)

) isin I2

(φ2(φ1(P)) ψ2(ψ1(ℓ))

) isin I3

(φ2 ψ2)

(φ2 φ1 ψ2 ψ1)

-

2610 (8) Για τυχούσα ευθεία ℓ ϑέτουmicroε ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) όπου A B είναι δύ-

ο οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία της ℓ Η ψ είναι καλά ορισmicroένη πραγmicroατικά

αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της C και D διαφορετικά microεταξύ τους καθώς και

προς τα προηγούmicroενα (ή τα AC αν η ευθεία διαθέτει microόνον 3 σηmicroεία) τότε η συγ-

γραmicromicroικότητα των A B C D και η υπόθεση συνεπάγονται τη συγγραmicromicroικότητα των

φ(A) φ(B) φ(C) φ(D) Εποmicroένως ψ(ℓ) = φ(A)orφ(B) = φ(C)orφ(D) που αποδεικνύει

ότι ο ορισmicroός της ψ(ℓ) είναι ανεξάρτητος της επιλογής των σηmicroείων της ℓ

Κατόπιν διαπιστώνουmicroε ότι το Ϲεύγος (φψ) ορίζει microορφισmicroό προβολικών επιπέ-

δων για τυχόν (P ℓ) microε P isin ℓ microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι ℓ = A or B οπότε όπως

προηγουmicroένως φ(P) isin φ(A) or φ(B) = ψ(ℓ)Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και επί το (φψ) είναι ισοmicroορφισός (ϐλ Πόρισmicroα 266)

Τέλος το microονοσήmicroαντο της ψ είναι συνέπεια της ΄Ασκησης 2610 (5)

2610 (9) Η σύνθεση δύο συγγραmicromicroικοτήτων είναι προφανώς συγγραmicromicroικότητα

σύmicroφωνα microε την ΄Ασκηση 2610 (7) Το ουδέτερο στοιχείο είναι η συγγραmicromicroικότητα

(1P 1L) Οποιαδήποτε συγγραmicromicroικότητα (φ ψ) isin Aut(P) διαθέτει αντίστροφη την

(φψ)minus1 = (φminus1 ψminus1)

[ϐλ και την ΄Ασκηση 2610 (3)] Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει ως αποτέλεσmicroα

της αντίστοιχης ιδιότητας που έχει η σύνθεση των συνήθων απεικονίσεων

273 (3) α) [2 13] or [10minus1] =lt1minus5 1gt

ϐ) ∆εν ορίζεται ευθεία αφού [minus20 4] = [minus2(10minus2)] = [10minus2] δηλαδή τα δεδο-

microένα σηmicroεία συmicroπίπτουν

273 (4) α) ∆εν υπάρχει τοmicroή ϐ) lt100gt and lt1minus21gt= [012]

273 (5) Είναι τα [t 10] για κάθε t isin R

146 Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

36 (1) (i) Αν p q είναι τα αντίστοιχα διανύσmicroατα ϑέσης των P Q το ευθύγραmicromicroο

τmicroήmicroα PQ είναι εικόνα της παραmicroετρηmicroένης καmicroπύλης

α [0 1] minusrarr R3 t 7rarr α(t) = p + t(q minus p)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = q minus p 0

δηλαδή η καmicroπύλη είναι κανονική και το microήκος της δίνεται από την σχέση

L(α) =int 1

0

αprime(u)du =int 1

0

q minus pdu = q minus p

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή αprimeprime(t) = 0 το Θεώρηmicroα 342 συνεπάγεται ότι kα(t) = 0

για κάθε t isin [0 1]

(iii) Επειδή το microήκος τόξου της α είναι

s(t) =int t

0

αprime(u)du =int t

0

q minus pdu = q minus pt

ϐλέπουmicroε ότι η απεικόνιση

s [01] minusrarr [0 q minus p] t 7rarr q minus pt

είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 q minus p] minusrarr [01] s 7rarr s

q minus p

οπότε η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [0 q minus p] rarr R3 microε

(s) = (α h)(s) = α

(s

q minus p

)= p +

q minus pq minus ps

(iv) Επειδή prime(s) = q minus pq minus p το microήκος της είναι επίσης

L() =int qminusp

0

prime(u)du =int qminusp

0

du = q minus p

Τέλος για την καmicroπυλότητα k της έχουmicroε ότι T (s) = prime(s) = q minus pq minus p άρα T prime(s) = 0

και [από την (332)] k(s) = 0

36 (2) (i) Από την

αprime(t) = (minusr sint r cost)

Υποδείξεις λύσεων 147

προκύπτει ότι ||αprime(t)|| = r 0 άρα αprime(t) = r 0 δηλαδή η α είναι παραmicroέτρηση

κανονικής καmicroπύλης

(ii) Κάθε χρονική στιγmicroή t η ακτίνα συmicroπίπτει microε την ϑέση του κινητού δηλαδή microε

το σηmicroείο α(t) και η ταχύτητα είναι αprime(t) Εποmicroένως

lt α(t) αprime(t) gt= minusr2 cost sint + r2 cost sint = 0

που σηmicroαίνει ότι α(t) perp αprime(t)(iii) αprimeprime(t) = (minusr costminusr sint) = minusα(t)

(iv) Για το microήκος της α έχουmicroε αprime(t) = r άρα

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

rdt = 2πr

(v) Είναι αprime(t) = r 0 Ορίζουmicroε την συνάρτηση microήκους τόξου

s [02π] minusrarr R t 7rarr s(t) =int t

0

αprime(u)du = rt

΄Αρα η s [02π] rarr [0 2πr] είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 2πr] minusrarr [02π] s 7rarr s

r

και η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [02πr] rarr R2 microε

(s) = (α h)(s) = α(s

r

)=

(r cos

s

r r sin

s

r

)

Για την καmicroπυλότητα της τελευταίας έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) =(minus sin

s

r cos

s

r

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

T prime(s) =(minus1

rcos

s

rminus1

rsin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

rmiddot

36 (3) Προφανώς η

α(t) = (t t2) t isin R

είναι microία παραmicroέτρηση της αναφερόmicroενης παραβολής Είναι κανονική αφού

αprime(t) = (1 2t) 0 forall t isin R

148 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή η α δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας η καmicroπυλότητα υπολογίζεται από τη

Θεώρηmicroα 342 Επειδή

αprime(t) = (12t) equiv (12t 0)

αprimeprime(t) = (0 2) equiv (020)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (020)

ϐρίσκουmicroε ότι

k(t) = 2(1 + 4t2

)minus32

Η είναι microία καmicroπύλη της οποίας η εικόνα είναι η ίδια παραβολή όmicroως δεν

είναι κανονικη αφού prime(t) = (3t26t5) άρα το t = 0 είναι σηmicroείο ανωmicroαλίας

36 (4) Η καmicroπύλη α(t) = (t f (t)) t isin R έχει εικόνα ακριβώς το γράφηmicroα της f

Για την α έχουmicroε ότι

αprime(t) = (1 f prime(t)) equiv (1 f prime(t) 0)

αprimeprime(t) = (0 f primeprime(t)) equiv (0 f primeprime(t) 0)

αprimeprimeprime(t) = (0 f primeprimeprime(t)) equiv (0 f primeprimeprime(t) 0)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (0 0 f primeprime(t))

Επειδή

αprime(t) =(1 + f prime(t)2

)12

0 forall t isin Rέχουmicroε κανονική καmicroπύλη που εν γένει δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας Οπότε

σύmicroφωνα microε Θεώρηmicroα 351 είναι

T (t) =1

(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t) 0

) equiv 1(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t)

)

N(t) =f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1 0)

equiv f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1)

B(t) =

(00

f primeprime

|f primeprime|

)= (0 0plusmn1) = plusmne3

Η καmicroπυλότητα ϐάσει του Θεωρήmicroατος 342 είναι

k(t) =|f primeprime(t)|

(1 + f prime(t)2

)32

Είδαmicroε ότι B(t) = plusmne3 (σταθερά) Αυτό συmicroβαίνει σε όλες τις επίπεδες καmicroπύλες

Για λέπτοmicroέρειες παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις [7] Προφανώς αφού η α(t) είναι

επίπεδη καmicroπύλη τ = 0 (ϐλ Θεώρηmicroα 335)

Υποδείξεις λύσεων 149

36 (5) Είναι

T (t) = αprime(t) =

(minus 1radic

2sint costminus 1

radic2

sint

)

άρα

αprime(t) =(1

2sin2 t + cos2 t +

1

2sin2 t

)12

= 1

δηλαδή η α είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

1dt = 2π

Για την καmicroπυλότητα έχουmicroε

T prime(t) = αprimeprime(t) =

(minus 1radic

2costminus sintminus 1

radic2

cost

)

οπότε

k(t) = T prime(t) =(1

2cos2 t + sin2 t +

1

2cos2 t

)12

= 1

Παρατηρούmicroε ότι

B(t) = T (t) times N(t) = αprime(t) times αprimeprime(t) = 1radic

2(minuse1 + e3) = c

άρα Bprime(t) = 0 και

τ(t) = minus lt N(t) Bprime(t) gt= 0

δηλαδή τελικά η α είναι επίπεδη καmicroπύλη

36 (6) Θέτοντας x = a cost και y = b sint έχουmicroε ότι

x2

a2+y2

b2= 1

άρα πρόκειται για έλλειψη

Βρίσκουmicroε

αprime(t) = (minusa sint b cost) equiv (minusa sint b cost 0)

άρα

αprime(t) =(a2 sin2 t + b2 cos2 t

)12

Επίσης

αprimeprime(t) = (minusa costminusb sint) equiv (minusa costminusb sint 0)

και

αprime(t) times αprimeprime(t) = abe3

150 Υποδείξεις λύσεων

απ᾿ όπου

αprime(t) times αprimeprime(t) = ab

και τελικά

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

ab

(a2 sin2 t + b2 cos2 t)32

36 (7) (i) Είναι

αprime(t) = (minusr sint r cost b)

εποmicroένως

αprime(t) = (r2+ b2)12

= c gt 0

Θεωρούmicroε την

s [02π] minusrarr R t 7rarrint t

0

αprime(u)du = tc

και την αντίστροφή της

h [02πc] minusrarr [02π] s 7rarr s

c

Αρα η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η

[0 2πc] minusrarr R3 s 7rarr (s) = (α h)(s) =(r cos

s

c r sin

s

cb

cs)

(ii) Για την καmicroπυλότητα της έχουmicroε

T (s) = prime(s) =(minus rc

sins

cr

ccos

s

cb

c

)

άρα

T prime(s) =(minus rc2

coss

c minus r

c2sin

s

c 0

)

και

k(s) = T prime(s) = r

c2 0

Σχετικά microε την στρέψη είναι

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

(minus cos

s

c minus sin

s

c 0

)

B(s) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

T1 T2 T3

N1 N2 N3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(b

csin

s

c minus b

ccos

s

cr

c

)

απ΄ όπου προκύπτει ότι

Bprime(s) =(b

c2cos

s

cb

c2sin

s

c 0

)

Υποδείξεις λύσεων 151

και

τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=b

c2

(iii) Για τη γωνία φ έχουmicroε ότι

cosφ =lt αprime(t) e3 gt

αprime(t) middot e3=b

c

Παρατηρούmicroε ότι η φ δίνεται και από τη σχέση

cosφ =lt T (s) e3 gt

T (s) middot e3= lt T (s) e3 gt =

b

c

(iv) Η δεύτερη κάθετος της στο σηmicroείο (s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = (s) + tB(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το (s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο κάθετο

διάνυσmicroα B(s) Εποmicroένως για την γωνία ω του τελευταίου ερωτήmicroατος έχουmicroε ότι

cosω =lt B(s) e3 gt

B(s) middot e3= lt B(s) e3 gt =

r

c

36 (8) Είναι

αprime(t) = (1 t) equiv (1 t 0)

αprime(t) = (1 + t2)12 gt 0

αprimeprime(t) = (01) equiv (010)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 t 0

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= e3

αprime(t) times αprimeprime(t) = 1

Εποmicroένως

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

1

(1 + t2)32

36 (9) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = (2t3t2)

152 Υποδείξεις λύσεων

άρα αprime(0) = (0 0) και η α δεν είναι κανονική σε όλο το R Είναι όmicroως κανονική στα

διαστήmicroατα (minusinfin 0) και (0+infin) Για t 0 έχουmicroε

αprime(t) = (4t2 + 9t4)12

αprimeprime(t) = (26t)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

2t 3t2 0

2 6t 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 6t2e3 = (006t2)

αprime(t) times αprimeprime(t) = 6t2

οπότε

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

6t2

(4t2 + 9t4)32

36 (10) Η γ(t) = (cost sint) διαγράφει τον κύκλο microε ϕορά αντίθετη των δεικτών του

ωρολογίου και έχει γ(0) = (1 0)Η (t) = (cos(t + π2) sin(t + π2)) διαγράφει τον κύκλο microε την ίδια ϕορά microε

(0) = (01)Η αντίθετη καmicroπύλη της δηλαδή η

α(t) = (minust) = (cos(π2 minus t) sin(π2 minus t))

διαγράφει τον κύκλο microε την αντίθετη ϕορά και έχει α(0) = (0) = (01)

36 (11) Αφού lt α(0) v gt= 0 αρκεί να δείξουmicroε ότι lt α(t) v gt είναι σταθερό ή

ισοδύναmicroα ότι lt α(t) v gtprime= 0 Πράγmicroατι

lt α(t) v gtprime equivlt α v gtprime (t) = lt αprime(t) v gt + lt α(t) vprime gt= 0+ lt α(t) 0 gt= 0

36 (12) Η εφαπτοmicroένη της α στο τυχόν σηmicroείο α(t) είναι η ευθεία

ϸt(s) = α(t) + sαprime(t) t isin R

που είναι παράλληλη προς το διάνυσmicroα αprime(t) = (36t6t2) (να σηmicroειωθεί εδώ ότι το s

δεν είναι κατ᾿ ανάγκην microήκος τόξου) Η ευθεία που ορίζεται από τις συνθήκες y = 0

και x = z περιέχει το διάνυσmicroα v = (1 01) Επειδή η Ϲητούmicroενη γωνία θ είναι η

γωνία των ανωτέρω διανυσmicroάτων ϐρίσκουmicroε ότι

cosθ =lt αprime(t) v gtαprime(t) middot v =

3 + 6t2radic

9 + 36t2 + 36t4 middotradic

2=

radic2

2= cos

4

)

36 (13) (i) ΄Εστω ότι το A από την αρχική του ϑέση στο (00) microετακινείται στη ϑέση

A = (x y) οπότε το κέντρο K = (0 r) του κύκλου ϑα microετακινηθεί κατά ένα microήκος a

Υποδείξεις λύσεων 153

και ϑα έρθει στο σηmicroείο K prime = (a r)

x

y

K centK

r

Acentcent

AcentA

B

q

rp 2 rpO

Τότε στον άξονα x primeOx ακουmicroπά το σηmicroείο B και το τόξο AB έχει microήκος a Αν θ είναι

η γωνία AKB τότε a = rθ Συmicroβολίζουmicroε microε Aprime και Aprimeprime τις προβολές του A στις ευθείες

K primeB και KK prime Τότε έχουmicroε

x = OB minus AAprime = rθ minus r sinθ = r(θ minus sinθ)

y = OK minus AAprimeprime = r minus r cosθ = r(1 minus cosθ)

άρα η κυκλοειδής περιγράφεται από την παραmicroέτρηση

α(θ) =(r(θ minus sinθ) r(1 minus cosθ)

)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(θ) =(r(1 minus cosθ) r sinθ

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

αprime(0) = (00) αprime(π) = (2r0) αprime(2π) = (00)

΄Αρα για θ = 0 και θ = 2π η εφαπτοmicroένη δεν ορίζεται ενώ για θ = π είναι

ϸπ(s) = α(π) + sαprime(π)

=(r(π minus sinπ) r(1 minus cosπ)) + s(r(1 minus cosπ) r sinπ

)

= (rπ2r) + s(2r0) = (rπ + 2rs 2r)

(iii) Χρησιmicroοποιώντας τους γνωστούς τριγωνοmicroετρικούς τύπους του διπλασίου τόξου

ϐρίσκουmicroε ότι

αprime(θ)2 = r2(1 + cos2 θ minus 2 cosθ + sin2 θ)

= 2r2(1 minus cosθ) = 2r2

(1 minus cos2

θ

2+ sin2 θ

2

)

= 4r2 sin2 θ

2

154 Υποδείξεις λύσεων

οπότε

αprime(θ) = 2r∣∣∣∣ sin

θ

2

∣∣∣∣ = 2r sinθ

2 0 le θ le 2π

Εποmicroένως

L(α) =int 2π

0

αprime(θ)dθ = 2r

int 2π

0

sinθ

2dθ

= 2r

int π

0

2 sinφdφ = 4r(minus cosφ

∣∣∣π0

)

= 4r(minus cosπ + cos0) = 8r

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε ότι ανάλογα συmicroπεράσmicroατα ισχύουν για όλα τα δια-

στήmicroατα της microορφής (2kπ2(k + 1)π) k isin Z Η καmicroπύλη είναι κανονική microόνο σε

αυτά

36 (14) (i) Θέτουmicroε ω = xT + yN + zB και ϑα προσδιορίσουmicroε τους συντελεστές

x y z Τότε

ω times T = xT times T + yN times T + zB times T= x0 minus yB + zN = minusyB + zN

οπότε ϐάσει της υπόθεσης T prime = ω times T

minus yB + zN = T prime = kN

απ᾿ την οποίαν προκύπτει ότι y = 0 και z = k Αναλόγως

ω times N = xT times N + yN times N + zB times N= xB + y0 + minuszT = xB minus zT

άρα λόγω της υπόθεσης N prime = ω times N

xB minus zT = N prime = minuskT + τB

οπότε x = τ και z = k ∆ηλαδή αν υπάρχει τέτοιο διάνυσmicroα ϑα είναι το

ω = τT + kB

Αποδεικνύουmicroε ότι το ω ικανοποιεί και την τρίτη ισότητα

ω times B = (τT + kB) times B = (τT times B) + kB times B = minusτN + 0 = Bprime

΄Αρα αποδείχθηκε η ύπαρξη (και το microονοσήmicroαντο) του ω

Υποδείξεις λύσεων 155

(ii) Από τη σχέση T prime = kN παίρνουmicroε ότι

T primeprime = kprimeN + kN prime = kprimeN + k(minuskT + τB) = minusk2T + kprimeN + τkB

Εποmicroένως

T prime times T primeprime = kN times (minusk2T + kprimeN + τkB)

= minusk3(N times T ) + kkprime(N times N) + τk2(N times B)

= k3B + 0 + τk2T = k2(kB + τT ) = k2ω

36 (15) Η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της στο (s) είναι ϸs(t) = (s) + tprime(s) t isin R

Λόγω της υπόθεσης ϑα υπάρχει ts isin R έτσι ώστε ϸs(ts) = p όπου p isin R3 είναι το

διάνυσmicroα ϑέσης του P δηλαδή

(s) + tsprime(s) = p

Αν πάρουmicroε ένα άλλο σηmicroείο της καmicroπύλης πχ (s) τότε για την εφαπτοmicroένη

ϸs(t) = (s) + tprime(s) ϑα υπάρχει ts έτσι ώστε

(s) + tsprime(s) = p

και παρόmicroοια και για τα άλλα s isin J Εποmicroένως για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin Rέτσι ώστε

( lowast ) (s) + λ(s)prime(s) = p

που εκφράζει ακριβώς την συνθήκη της εκφώνησης

Η απεικόνιση s 7rarr λ(s) είναι διαφορίσιmicroη αφού

(lowast ) rArr λ(s)prime(s) = p minus (s)

rArr lt λ(s)prime(s) prime(s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) lt T (s) T (s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) =lt p minus (s) prime(s) gt

Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε για κάθε s isin J

(lowast )rArr prime(s) + λprime(s)prime(s) + λ(s)primeprime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr (1 + λprime(s))T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr 1 + λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

rArr λprime(s) = minus1 και λ(s)k(s) = 0

rArr λ(s) = c minus s και (c minus s)k(s) = 0

rArr k(s) = 0

156 Υποδείξεις λύσεων

που ισοδυναmicroεί microε το ότι η είναι ευθεία Προφανώς c minus s 0 διαφορετικά ϑα

είχαmicroε ότι λprime(s) = 0 (άτοπο) ΄Αλλωστε και η λ(s) = 0 συνεπάγεται ότι (s) = p

forall s isin J δηλαδή η ϑα εκφυλιζόταν σε σηmicroείο (επίσης άτοπο)

36 (16) Η πρώτη κάθετος της α στο α(s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = α(s) + t N(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το πρώτο κάθετο

διάνυσmicroα N(s) Ακολουθώντας το σκεπτικό της προηγούmicroενης άσκησης η υπόθεση

συνεπάγεται ότι για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε την ιδιότητα

( ) α(s) + λ(s)N(s) = p

( p το διάνυσmicroα ϑέσης του P) Η λ είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση από την (lowast ) προ-

κύπτει ότι

λ(s) =lt λ(s)N(s) N(s) gt=lt p minus α(s) N(s) gt

Παραγωγίζοντας τώρα την (lowast ) έχουmicroε

(lowast)rArr αprime(s) + λprime(s)N(s) + λ(s)N prime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)(minusk(s)T (s) + τ(s)B(s)) = 0

rArr (1 minus λ(s)k(s))T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)τ(s)B(s) = 0

rArr 1 minus λ(s)k(s) = λprime(s) = λ(s)τ(s) = 0

rArr λ = c (σταθερά) λk(s) = 1 και λτ(s) = 0

Η δεύτερη ισότητα δίνει λ 0 η τελευταία δίνει τ = 0 δηλαδή η α είναι επίπεδη

καmicroπύλη και από την k(s) = 1λ = σταθερά έχουmicroε ότι η α είναι τmicroήmicroα κύκλου

Το αντίστροφο είναι άmicroεσο το P είναι το κέντρο του κύκλου

36 (17) Υπενθυmicroίζεται ότι η δεύτερη κάθετος της α στο α(s) [ϐλ λύση της ΄Ασκη-

σης 36(7)] είναι η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο

κάθετο διάνυσmicroα B(s) δηλαδή η

ϸs(t) = α(s) + tB(s) t isin R

Με τους συλλογισmicroούς των δύο προηγουmicroένων ασκήσεων ας υποθέσουmicroε ότι για

κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε

( lowast ) α(s) + λ(s)B(s) = p

Η λ είναι διαφορίσιmicroη επειδή

λ(s) =lt λ(s)B(s) B(s) gt=lt P minus α(s) B(s) gt

Υποδείξεις λύσεων 157

άρα παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε ότι

αprime(s) + λ(s)Bprime(s) + λprime(s)B(s) = 0

ή ισοδύναmicroα

T (s) minus λ(s)τ(s)N(s) + λprime(s)B(s) = 0

η οποία ισχύει microόνο όταν

1 = minusλ(s)τ(s) = λprime(s) = 0

που είναι άτοπο

36 (18) (lArr) Προφανές

(rArr) Από την υπόθεση για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R ώστε

( lowast ) λ(s)T (s) = u = σταθ

Παρατηρούmicroε ότι

λ(s) =lt λ(s)T (s) T (s) gt=lt u T (s) gt

δηλαδή η λ(s) είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε

(lowast ) rArr λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr λprime(s)T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

Από την ισότητα λprime(s) = 0 προκύπτει ότι λ(s) = c Αν c = 0 τότε u = c T = 0 που

είναι άτοπο ΄Αρα c 0 και η ισότητα c k(s) = 0 δίνει ότι k = 0 που ισοδυναmicroεί microε

το ότι η α είναι ευθεία (Θεώρηmicroα 335)

36 (19) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του κάθετου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z)minus(so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα N(so) και B(so) δηλαδή είναι

κάθετη στο T (so) = prime(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) T (so) gt= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus (so) prime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ΄ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast)lt (x y z) minus α(to) T (to) gt= 0

158 Υποδείξεις λύσεων

Μέσω της (351) η προηγούmicroενη microετασχηmicroατίζεται στην

lang(x y z) minus α(to)

αprime(to)α(to)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε αυτά που είπαmicroε προηγουmicroένως το σηmicroείο (000) ανήκει

στο κάθετο επίπεδο σε κάθε σηmicroείο (t) αν

lt (00 0) minus (t) prime(t) gt=lt (t) prime(t) gt= 0 forall t isin R

Παρατηρούmicroε ότι

prime(t) =(2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint

)

Συνεπώς

lt (t) prime(t) gt=

lt (a sin2 t a sint cost a cost) (2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint) gt=

2a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sin3 t cost minus a2 sint cost =

a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sint cost =

a2 sint cost(sin2 t + cos2 t) minus a2 sint cost = 0

36 (20) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του εγγύτατου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και N(so) δηλαδή

είναι κάθετη στο B(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του εγγύτατου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) B(so) gt= 0

Επειδή

B(so) = T (so) times N(so) = prime(so) times

T prime(so)k(so)

= prime(so) timesprimeprime(so)k(so)

η (lowast ) ισοδυναmicroεί microε την

lt (x y z) minus (so) prime(so) times primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του εγγυτάτου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) B(to) gt= 0

Υποδείξεις λύσεων 159

Χρησιmicroοποιώντας την ισότητα [ϐλ (353)]

B(to) =αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

παίρνουmicroε την συνθήκηlang(x y z) minus α(to)

αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) times αprimeprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου εγγύτατου επίπεδου ικανοποιούν την συνθή-

κη

lt (x y z) minus α(π2

) αprime

(π2

)times αprimeprime

(π2

)gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(π

2

)=

(cos

π

2 sin

π

2

)=

(01

π

2

)

αprime(t) = (minus sint cost 1)

αprime(π

2

)=

(minus sin

π

2 cos

π

2 1

)= (minus1 01)

αprimeprime(t) = (minus costminus sint 0)

αprimeprime(π

2

)=

(minus cos

π

2minus sin

π

2 0

)= (0minus1 0)

΄Αρα η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου γίνεταιlang(x y z) minus

(01

π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

lang(x y minus 1 z minus π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y minus 1 z minus π2

minus1 0 1

0 minus1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 hArr

x + z =π

2

36 (21) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του ευθειοποιούντος επιπέδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η

διαφορά (x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και B(so)δηλαδή είναι κάθετη στο N(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου

στο (so) ικανοποιούν την συνθήκη

(lowast ) lt (x y z) minus (so) N(so) gt= 0

160 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή

N(so) =T prime(so)k(so)

=primeprime(so)k(so)

η (lowast ) microετασχηmicroατίζεται στηνlang(x y z) minus (so)

primeprime(so)k(so)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα στην

lt (x y z) minus (so) primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου στο α(to) ικανοποιούν

την αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) N(to) gt= 0

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι [ϐλ (352)]

N(to) =

(αprime(to) times αprimeprime(to)

) times αprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

ϐρίσκουmicroε ότιlang(x y z) minus α(to)

(αprime(to) times αprimeprime(to)

)αprime(to)

αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

(lowastlowast ) lt (x y z) minus α(to) (αprime(to) times αprimeprime(to)) times αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε την (lowastlowast ) τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου ευθειοποιούντος επι-

πέδου ικανοποιούν την συνθήκη

lt (x y z) minus α(1)(αprime(1) times αprimeprime(1)

) times αprime(1) gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(1) =(1

1

21

3

)

(x y z) minus α(1) =(x minus 1 y minus 1

2 z minus 1

3

)

αprime(t) =(1 t t2

)

αprime(1) = (1 11)

αprimeprime(t) = (012t)

αprimeprime(1) = (0 12)

αprime(1) times αprimeprime(1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1minus2 1)

Υποδείξεις λύσεων 161

΄Αρα η Ϲητούmicroενη συνθήκη είναι

lt (x minus 1 y minus 12 z minus 13) (1minus2 1) times (111) gt=

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 minus2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

που ισοδυναmicroεί microε την

x minus z = 2

3

36 (22) (i) Παρατηρούmicroε ότι prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) Εποmicroένως prime(s) = k(s) 0

δηλαδή η είναι κανονική καmicroπύλη

(ii) Εφ᾿ όσον η συνάρτηση microήκους τόξου δίνεται από την σχέση

σ(s) =int s

so

prime(u)du

έχουmicroε ότι

σprime(s) = prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) = k(s)

(iii) Επειδή η δεν είναι απαραίτητα microοναδιαίας ταχύτητας (κάτι τέτοιο ϑα συνέβαινε

αν k = 1 πράγmicroα που δεν δηλώνεται εδώ) ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους της

καmicroπυλότης και στρέψης που δίνονται από τα Θεωρήmicroατα 342 και 343 αντιστοί-

χως

Για το σκοπό αυτό ϐρίσκουmicroε (παραλείποντας τη microεταβλητή s)

prime = T prime = kN

primeprime = kprimeN + kN prime

= kprimeN + k(minuskT + τB)

= minusk2T + kprimeN + kτB

οπότε

prime times primeprime = kN times (minusk2+ kprimeN + kτB)

= minusk3N times T + kkprimeN times N + k2τN times B= k2τT + 0 + k3B = k2τT + 0N + k3B

και

prime times primeprime2 = k6+ k4τ2 = k4(k2

+ τ2)

Εποmicroένως

k =prime times primeprimeprime3 =

k2(k2+ τ2

)12

k3=

(k2+ τ2

)12

k

162 Υποδείξεις λύσεων

Για τον προσδιορισmicroό της στρέψης χρειαζόmicroαστε και την primeprimeprime Παραγωγίζοντας την

primeprime που ϐρήκαmicroε πιό πάνω έχουmicroε

primeprimeprime = minus2kkprimeT minus k2T prime + kprimeprimeN + kprimeN prime + kprimeτB + kτprimeB + kτBprime

= minus2kkprimeT minus k3N + kprimeprimeN + kprime(minuskT + τB) + (kprimeτ + kτprime)B + kτ(minusτN)

= minus3kkprimeT + (minusk3+ kprimeprime minus kτ2)N + (2kprimeτ + kτprime)B

Εποmicroένως

τ =lt prime times primeprime primeprimeprime gtprime times primeprime2 =

k3(kτprime minus kprimeτ)k4(k2 + τ2)

=kτprime minus kprimeτk(k2 + τ2)

36 (23) (α) Η είναι κανονική

prime(s) = αprime(s) + N prime(s) = T (s) minus k(s) middot T (s) = (1 minus k(s)) middot T (s) 0

(ϐ) Η δεν είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας άρα υπολογίζουmicroε την καmicro-

πυλότητά της από τον τύπο του Θεωρήmicroατα 342 Παραλείποντας την microεταβλητή s

έχουmicroε

prime = (1 minus k)T = |1 minus k| = 1 minus k

primeprime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)T prime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

prime times primeprime = (1 minus k)T times ((1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

= (1 minus k)(1 minus k)primeT times T + (1 minus k)2kT times N= k(1 minus k)B

prime times primeprime = k(1 minus k)2

k =k(1 minus k)2

(1 minus k)3=

k

1 minus k

36 (24) Από τον τύπο των FrenetshySerret για την παράγωγο του B παίρνουmicroε ότι

N(s) = minusBprime(s)τ(s)

οπότε από τον ορισmicroό της καmicroπυλότητας έχουmicroε διαδοχικά

k(s) = T prime(s) = (N(s) times B(s))prime

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

times B(s)

)prime∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

)primetimes B(s) +

(minusB

prime(s)τ(s)

)times Bprime(s)

∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥minusBprimeprime(s)τ(s) + Bprime(s)τprime(s)

τ(s)2times B(s) + 0

∥∥∥∥∥

=1

τ(s)2

∥∥∥(τprime(s)Bprime(s) minus τ(s)Bprimeprime(s)) times B(s)∥∥∥

Υποδείξεις λύσεων 163

36 (25) Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι η γ είναι microο-

ναδιαίας ταχύτητας Ακολουθώντας την microεθοδολογία των Ασκήσεων 36 15ndash3618

microπορούmicroε να γράψουmicroε την συνθήκη της άσκησης microε την microορφή

() p = γ(s) + λ(s)(N(s) + B(s))

όπου p το διάνυσmicroα ϑέσης του δοσmicroένου σταθερού σηmicroείου και λ(s) διαφορίσιmicroη

συνάρτηση Παραγωγίζουmicroε την () και παραλείποντας το s ϐρίσκουmicroε

T + λprime(N + B) + λ(minuskT + τB minus τN) = 0

ή ισοδύναmicroα

(1 minus λk)T + (λprime minus λτ)N + (λprime + λτ)B = 0

οπότε

1 minus λk = 0 λprime minus λτ = 0 λprime + λτ = 0

Αθροίζοντας τις δύο τελευταίες ϐρίσκουmicroε λprime = 0 άρα λ = c = σταθερό και το

σύστηmicroα των παραπάνω ισοτήτων γίνεται

1 minus ck = 0 cτ = 0

Από την πρώτη προκύπτει c 0 και k = 1c σταθερό και από την δεύτερη τ = 0

Αρα η γ είναι κύκλος ακτίνας c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

417 (1) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο P = (x y z) της σφαίρας και τη στερεογραφική

προβολή του από το Βόρειο Πόλο PN = (xN yN ) equiv (xN yN 0) Το ευθύγραmicroο τmicroήmicroα

microε άκρα N = (0 01) και PN δίνεται από την παραmicroετρηmicroένη microορφή [ϐλ και τη λύση

της ΄Ασκησης 36 (1) σελ 146]

ϸ(t) = (001) + t[(xN yN 0) minus (0 01)] = (txN tyN 1 minus t) t isin [01]

Εποmicroένως υπάρχει 0 lt to lt 1 τέτοιο ώστε ϸ(to) = (x y z) δηλαδή (toxN toyN 1minusto) =(x y z) Από την τελευταία προκύπτει ότι to = 1 minus z άρα

xN =x

1 minus z yN =y

1 minus z

οπότε καταλήγουmicroε στην (411)

S2 minus N minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PN =

(x

1 minus z y

1 minus z

)

164 Υποδείξεις λύσεων

όπως Ϲητούσαmicroε

Για να ϐρούmicroε την αντίστροφη της προηγούmicroενης απεικόνισης εργαζόmicroαστε ως

εξής ΄Εστω τυχόν (u v) isin R2 Ζητούmicroε να ϐρούmicroε ένα (x y z) isin S2 minus N τέτοιο ώστε

(xN yN ) = (u v) Εποmicroένως πρέπει

(x

1 minus z y

1 minus z

)= (u v) ή x = u(1 minus z) y = v(1 minus z)

Αντικαθιστώντας τα τετράγωνα των δύο τελευταίων στη σχέση x2+ y2

+ z2= 1 ϐρί-

σκουmicroε ότι (1minusz)(u2+v2) = 1+z Επιλύοντας την προηγούmicroενη ως προς z ϐρίσκουmicroε

ότι

z =minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

Αντικαθιστώντας τώρα το z στις παραπάνω εκφράσεις των x και y ϐρίσκουmicroε τελικά

ότι

x =2u

1 + u2 + v2 y =

2v

1 + u2 + v2

οπότε προκύπτει η έκφραση της αντίστροφης απεικόνισης (412)

R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Εργαζόmicroενοι microε τον ίδιο τρόπο για τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο πόλο

S = (00minus1) και σηmicroειώνοντας microε PS = (xS yS0) την προβολή του P = (x y z)ϐρίσκουmicroε την απεικόνιση

S2 minus S minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PS =

(x

1 + zy

1 + z

)

της οποίας η αντίστροφη είναι η απεικόνιση

R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

417 (2) Ας συmicroβολίσουmicroε microε (UN rN ) το τυπικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων που ορίζει

η στερεογραφική προβολή από το Βόρειο Πόλο Τότε σύmicroφωνα microε τους τύπους αυτής

της προβολής και τον Ορισmicroό 411 ϑα είναι UN = R2 και

rN R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Το UN = R2 είναι ανοιχτό σύνολο (στο R2) Η rN είναι συνεχής microε συνεχή αντίστροφο

την απεικόνιση

rminus1N S2 minus N minusrarr UN (x y z) 7rarr

(x

1 minus z y

1 minus z

)

Υποδείξεις λύσεων 165

Εποmicroένως η rN είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επιπλέον είναι διαφορίmicroη και ο αντίστοιχος

πίνακας Jacobi στο τυχόν σηmicroείο (u v) isin R2 είναι ο

J(uv)rN =2

1 + u2 + v2

1 minus u2+ v2 minus2uv

minus2uv 1 + u2+ v2

2u 2v

Οι ορίζουσες των τριών 2 times 2 υποπινάκων είναι

2v(1 + u2+ v2) minus2u(1 + u2

+ v2) (1 minus u2 minus v2)(1 + u2+ v2)

Μία εξ αυτών είναι αναγκαία microη microηδενική αφού ο ταυτόχρονος microηδενισmicroός και των

τριών οδηγεί σε άτοπο (ποιό )

Αναλογα έχουmicroε και τον χάρτη (US rS) όπου (ϐλ και τους τύπους της προη-

γούmicroενης άσκησης για τη στερεογραφική προβολή απο τον Νότιο Πόλο) US = R2

και

rS R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

Απ᾿ το άλλο microέρος microέσω ηmicroισφαιρίων έχουmicroε τα έξι συστήmicroατα συντεταγmicroένων

(Ui r

αi

) i = x y z α = +minus

όπου Ui = Di(01) είναι οι microοναδιαίοι δίσκοι microε κέντρο το 0 κάθετοι στους τρείς

άξονες ενώ rαi =

(φα

i

)minus1[ϐλ (413)] Προφανώς rα

i

(D(0 1)

)= Sα

i

Για παράδειγmicroα στο σύστηmicroα συντεταγmicroένων (Uz = Dz(0 1) r+z ) το (Dz(0 1) είναι

ο microοναδιαίος δίσκος κάθετος στον άξονα των z ενώ

r+z (u v) =(φ+z

)minus1(u v) =(u v

radic1 minus u2 minus v2

) (u v) isin Uz

Στο (Ux = Dx(0 1) rminusx ) είναι

rminusx (u v) =(φminusx

)minus1(u v) =(minusradic

1 minus u2 minus v2 u v)) (u v) isin Ux

Ας δείξουmicroε πχ ότι το (Ux = Dx(01) rminusx ) ικανοποιεί τις συνθήκες του Ορι-

σmicroού 411 Προφανώς Ux = Dx(01) είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2 Η rminusx είναι

συνεχής microε συνεχή αντίστροφο την απεικόνιση

Sminusx ni (x y z) 7minusrarr (y z) isin Dx(01)

άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επίσης είναι διαφορίσιmicroη microε πίνακα Jacobi

J(uv)rminusx =

minus uradic minus vradic

1 0

0 1

166 Υποδείξεις λύσεων

που έχει προφανώς τάξη 2

417 (3) Θεωρούmicroε το Ϲεύγος (U r) όπου U = R2 και η r R2 rarr Γf sub R3 δίνεται από

τη σχέση r(u v) = (u v f (u v)) isin Γf Η r είναι συνεχής microε αντίστροφη την επίσης

συνεχή απεικόνιση Γf ni (u v f (u v) 7rarr (u v) isin R2 άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

Επίσης είναι και διαφορίσιmicroη microε αντίστοιχο πίνακα Jacobi στο τυχόν (u v) isin U

J(uv)r =

1 0

0 1partf

partu

∣∣∣∣(uv)

partf

partv

∣∣∣∣(uv)

Ο τελευταίος έχει προφανώς τάξη 2 για κάθε (u v) Εποmicroένως το γράφηmicroα είναι

microία κανονική επιφάνεια microε ένα microοναδικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων (χάρτη)

426 (1) Μέσω στερογραφικών προβολών έχουmicroε τους χάρτες (UN φN ) και (US φS)όπου τώρα είναι UN = S

2 minus N US = S2 minus S και

φN S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

φS S2 minus S minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 + zy

1 + z

)

[ϐλ (411) και τόν τύπο της στερεογραφικής προβολής από τον Νότιο Πόλο στη λύση

της ΄Ασκησης 417 (1)]

Οι χάρτες που ορίζουν τα ηmicroισφαίρια είναι ακριβώς τα Ϲεύγη

(Sαi φ

αi ) i = x y z α = +minus

microε [ϐλ και τις σχέσεις (413)ndash(417)]

φ+x (x y z) = (y z) (x y z) isin S+x φminusx (x y z) = (y z) (x y z) isin Sminusx φ+y (x y z) = (x z) (x y z) isin S+y φminusy (x y z) = (x z) (x y z) isin Sminusy φ+z (x y z) = (x y) (x y z) isin S+z φminusz (x y z) = (x y) (x y z) isin Sminusz

Για τη συmicroβιβαστότητα των S+x και Sminusy πρώτα παρατηρούmicroε ότι

S+x cap Sminusy =(x y z) isin S2 x gt 0 y lt 0

άρα

S+x cap Sminusy ni (x y z) 7minusrarr φ+x (x y z) = (y z) isin Dx microε y lt 0

δηλαδή

φ+x(S+x cap Sminusy

)= Dx cap (y z) isin R2 y lt 0 = (y z) isin R2 y2

+ z2 lt 1 και y lt 0

Υποδείξεις λύσεων 167

Εποmicroένως το φ+x(S+x capSminusy

)είναι το εσωτερικό του microισού δίσκου Dx που είναι ανοιχτό

υποσύνολο του R2 Παρόmicroοια και το

φminusy(S+x cap Sminusy

)= Dy cap (x z) isin R2 x lt 0

είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2

΄Εχοντας εξασφαλίσει ότι τα πεδία ορισmicroού και τιmicroών των συναρτήσεων που εκ-

ϕράζουν την αλλαγή των συντεταγmicroένων (χαρτών) microπορούmicroε να ελέγξουmicroε τη διαφο-

ϱισιmicroότητα τους ως εξής Για κάθε (y z) isin φ+x(S+x cap Sminusy

) είναι

(φminusy

(φ+x

)minus1)(x z) = φminusy

( radic1 minus y2 minus z2 y z

)=

( radic1 minus y2 minus z2 z

)

που αποδεικνύει ότι η

φminusy (φ+x

)minus1 φ+x(S+x cap Sminusy

) minusrarr φminusy(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση

Παρόmicroοια και η (αντίστροφη της προηγουmicroένης)

φ+x (φminusy

)minus1 φminusy(S+x cap Sminusy

) minusrarr φ+x(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση επειδή για κάθε (x z) isin φminusy(S+x cap Sminusy

) είναι

(φ+x

(φminusy

)minus1)(x z) = φ+x

(xminusradic

1 minus x2 minus z2 y z)=

(minusradic

1 minus x2 minus z2 z)

Εποmicroένως η αλλαγή των αναφεροmicroένων συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

426 (2) Το Ϲεύγος (U1 φ1) είναι χάρτης Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι η φ1 είναι απει-

κόνιση 1ndash1 αφού

φ1([x y z]) = φ1([x prime yprime zprime]) rArr(y

xz

x

)=

(yprime

x primezprime

x prime

)

οπότε ϑέτοντας λ = x primex ϐρίσκουmicroε ότι (x prime yprime zprime) = λ(x y z) δηλαδή [x y z] =[x prime yprime zprime] Κατόπιν ϐλέπουmicroε ότι η φ1(U1) = R2 αφού για οποιοδήποτε (u v) isin R2

είναι [1 u v] isin U1 και φ1([1 u v]) = (u v) ΄Αρα η φ1 είναι microια 1ndash1 απεικόνιση

του U1 επί του ανοικτού συνόλου φ1(U1) = R2 συνεπώς το (U1 φ1) είναι χάρτης

Ανάλογα ισχύουν και για τα υπόλοιπα Ϲεύγη

Είναι ϕανερόν ότι οι προηγούmicroενοι χάρτες καλύπτουν τον προβολικό χώρο δηλ

P2(R) =3⋃

i=1

Ui

αφού τυχούσα κλαση [x y z] έχει τουλάχιστον microία συντεταγmicroένη της microη microηδενική

άρα ανήκει τουλάχιστον σε ένα από τα Ui

168 Υποδείξεις λύσεων

Τέλος ας αποδείξουmicroε για παράδειγmicroα τη συmicroβιβαστότητα των χαρτών U1 και

U2 Πρώτα παρατηρούmicroε ότι

U1 cap U2 =[x y z] x 0 y 0

οπότε για ένα [x y z] isin U1 cap U2 είναι

φ1([x y z]) =(y

xz

x

)isin (R minus 0) times R

Επειδή και για τυχόν (u v) isin (R minus 0) times R είναι [1 u v] isin U1 cap U2 καταλήγουmicroε

στο συmicroπέρασmicroα ότι φ1(U1 cap U2) = (R minus 0) times R που είναι ανοιχτό υποσύνολο του

RtimesR equiv R2 Παρόmicroοια έχουmicroε ότι και φ2(U1capU2) = (Rminus0)timesR εποmicroένως microπορούmicroε

να ελέγξουmicroε τη διαφορισιmicroότητα των

φ2 φminus11 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

φ1 φminus12 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

Η πρώτη έχει τη microορφή

(φ2 φminus1

1

)(u v) = φ2([1 u v]) =

(1

uv

u

)

που είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση Την ίδια ακριβώς microορφή έχει και η φ1 φminus12

Εποmicroένως η αλλαγή συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση οπότε πραγmicroατικά η οι-

κογένεια A είναι (διδιάστατος) άτλαντας (πολλαπλότητας) επί του P2(R)

  • Prologoc
  • Eukleideia kai mh Eukleideia Gewmetria
    • H gewmetria prin ton Eukleidh
    • O Eukleidhc kai ta ((Stoiqeia)) tou
    • Ta axiwmata thc Eukleideiac Gewmetriac
    • Kritikh twn ((Stoiqeiwn)) kai o Hilbert
    • Ta sugqrona gewmetrika susthmata
    • H Uperbolikh Gewmetria
    • H Elleiptikh Gewmetria
    • Askhseic
      • Susqetismena kai probolika epipeda
        • Eisagwgh
        • To susqetismeno epipedo
        • To proboliko epipedo
        • H arqh tou dusmou
        • Stoiqeiwdeic apeikoniseic
        • Sqesh probolikwn kai susqetismenwn epipedwn
        • Morfismoi probolikwn epipedwn
        • Algebrikh meleth tou P2
          • Diaforisimec Kampulec
            • Eisagwgh
            • Diaforisimec kampulec
            • Anaparametrhsh kampulhc
            • Kampulothta kai streyh - Triedro Frenet
            • Kampulothta kai streyh tuqaiac kampulhc
            • To triedro Frenet miac tuqaiac kampulhc
            • Askhseic
              • Apo touc qartec stic Pollaplothtec
                • H Jewria twn Epifaneiwn kai o Gauss
                • Diaforikec Pollaplothtec
                • Duo logia gia th Jewria thc Sqetikothtac
                  • Qwroqronoc kai Diaforikh Gewmetria
                  • Merikec teqnikec leptomereiec
                      • Bibliografia
                      • Pinakac ennoiwn
                      • Upodeixeic lusewn
Page 2: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Σηmicroειώσεις για το ΠΜΣ ∆ιδακτικής

TOPICS IN GEOMETRY

Lecture Notes for Didactics

AMS (2000) Subject Classification

01A20 01A55 01A60

51A05 51A10 51E15

53A04 53A05 58A05

83shy99

COPYRIGHT copy 2015 by Efstathios E Vassiliou

All rights reserved

email address evassilmathuoagrurl httpusersuoagr evassil

Πρόλογος

The Greeks were the first mathematicians who are still lsquorealrsquo to

us toshyday Oriental mathematics may be an interesting curiosity

but Greek mathematics is the real thing The greeks first spoke a

a language which modern mathematicians can understand So

greek mathematics is lsquopermanentrsquo more permanent even than Greshy

ek literature Archimedes will be remembered when Aeschylus is

forgotten because languages die and mathematical ideas do not

G H Hardy [16 σελ 80ndash81]

Ο ι σηmicroειωσεις αυτες αποτελούν microία σειρά εισαγωγικών microαθηmicroάτων σε microερικούς

κλάδους της γεωmicroετρίας ΄Εχουν σκοπό να αποτελέσουν οδηγό για τη microελέτη

ϑεmicroατικών ενοτήτων ϑεωρητικού ενδιαφέροντος για ϕοιτητέςτριες του Μεταπτυχια-

κού Προγράmicromicroατος της ∆ιδακτικής του ΕΚΠΑ Αποτελούν ϐελτιωmicroένη έκδοση των

προηγουmicroένων σηmicroειώσεων microας microε τίτλο laquoΓεωmicroετρία για τη ∆ιδακτικήraquo όπως είχαν

διαmicroορφωθεί microέχρι το 2012

Βασικός στόχος των ενοτήτων που αναφέρονται εδώ είναι να ϕέρουν τοντην α-

ναγνώστηστρια σε επαφή microε διάφορες απόψεις και microεθόδους της γεωmicroετρίας Οι

τελευταίες microπορούν να παίξουν ένα χρήσιmicroο ϱόλο κυρίως από τη σκοπιά της διεύ-

ϱυνσης microερικών ϑεmicroελιωδών εννοιών οι οποίες εκτείνονται πιο πέρα από αυτές που

διδάσκονται στη δευτεροβάθmicroια εκπαίδευση Είναι κοινώς αποδεκτό ότι οη διδά-

σκωνουσα microε ευρεία (και όσο το δυνατόν ϐαθύτερη) γνώση microπορεί να είναι πηγή

έmicroπνευσης για τους microαθητές Μέσα από microικρές παρεmicroβάσεις (ακόmicroη και ιστορικού

v

vi Πρόλογος

περιεχοmicroένου) microπορεί να διεγείρει τη ϕαντασία και το ενδιαφέρον τους microπορεί να

τους ϐοηθήσει να προσεγγίσουν microε περισσότερη αγάπη τον ανεξάντλητο κόσmicroο της

γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα

Στο πρώτο κεφάλαιο microετά από microια συνοπτική αναδροmicroή στη γεωmicroετρία πριν

τον Ευκλείδη αναλύεται η δοmicroή των laquoΣτοιχείωνraquo του γίνεται κριτική των ατελειών

τους αναφέρονται οι αρχές της σύγχρονης αξιωmicroατικής microεθόδου και η χρήση των

laquomicroοντέλωνraquo στον έλεγχο των σχετικών απαιτήσεών της Τέλος γίνεται microια σύντοmicroη

αναφορά στις microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες και παρουσιάζονται microερικά ϐασικά microοντέλα

της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας

Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωmicroένο σε microια στοιχειώδη εισαγωγή στην Προ-

ϐολική Γεωmicroετρία Αυτό γίνεται προκειmicroένου να δοθεί (σε πληρέστερη microορφή) ένα

παράδειγmicroα αξιωmicroατικού συστήmicroατος για microια πολύ γενική microορφή microη Ευκλείδειας

Γεωmicroετρίας ϑεmicroελιωmicroένο σύmicroφωνα microε την άποψη του Hilbert Τα ϐασικά συmicroπε-

ϱάσmicroατα του κεφαλαίου παρουσιάζονται εδώ σε αντιπαράθεση microε τα αντίστοιχα της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και microπορούν να ϱίξουν ϕως στην τελευταία από microιαν άλλη ο-

πτική γωνία Ανάmicroεσα στ᾿ άλλα εξετάζεται και η περίπτωση πεπερασmicroένων επιπέδων

κάτι που συνήθως αγνοείται και τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες Επίσης α-

ναφερόmicroαστε στη σύγχρονη έννοια του laquomicroορφισmicroούraquo που επεκτείνει τη συνήθη έννοια

της απεικόνισης όπως αυτή εφαρmicroόζεται στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου

Τέλος η σύντοmicroη αναφορά στην αναλυτική πλευρά του πραγmicroατικού προβολικού

επιπέδου ϕέρνει τοντην αναγνώστηστρια σε επαφή microε τις οmicroογενείς συντεταγmicroένες

και δίνει microια πρώτη γεύση της αλγεβροποίησης του (τυχόντος) προβολικού επιπέδου

Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή στη ϑεωρία των διαφορισίmicroων καmicroπυλών

microε σκοπό να αναδειχθεί και από άλλη πλευρά η συmicroβολή του ∆ιαφορικού Λογισmicroού

στη microελέτη της γεωmicroετρίας ΄Ηδη οι διδάσκοντεςουσες γνωρίζουν τη σηmicroασία των

παραγώγων στη γεωmicroετρική microελέτη του γραφήmicroατος των (πραγmicroατικών) συναρτή-

σεων microιας (πραγmicroατικής) microεταβλητής Εδώ επιχειρείται η διευρύνση του ϱόλου των

παραγώγων στη microελέτη των καmicroπυλών του τριδιάστατου χώρου (ειδική περίπτωση

των οποίων αποτελεί το γράφηmicroα microιας συνάρτησης όπως προηγουmicroένως) Η laquoστρέ-

ψηraquo και η laquoκαmicroπυλότηταraquo είναι τα δύο ϑεmicroελιώδη microεγέθη που χαρακτηρίζουν τις

καmicroπύλες και microαζί microε το laquoσυνοδεύον τρίεδροraquo των FrenetshySerret καθορίζουν ένα

είδος laquoεσωτερικήςraquo γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

Το τέταρτο κεφάλαιο που αποτελεί και τη σηmicroαντικότερη αλλαγή είναι microία περι-

γραφική περιήγηση στη Θεωρία των Επιφανειών και την εξ αυτών (ϐάσει του Θεωρή-

microατος Egregium του Gauss) απορρέουσα Θεωρία των ∆ιαφορικών Πολλαπλοτήτων

Στόχος της αναφοράς στις τελευταίες είναι να επισηmicroανθεί ο ϱόλος τους στη δια-

τύπωση του χωροχρόνου όπως εmicroφανίζεται στην (Ειδική και Γενική) Θεωρία της

Σχετικότητας του Einstein και σε άλλους τοmicroείς της σύγχρονης Φυσικής

΄Οπως προαναφέρθηκε το κείmicroενο αποτελεί ένα σύντοmicroο ϐοήθηmicroα που έχει στό-

χο να καθοδηγήσει τοντην αναγνώστηστρια στη microελέτη και άλλων πηγών οι οποίες

συνδέονται microε τους σκοπούς αυτών των microεταπτυχιακών microαθηmicroάτων και σε καmicroιά πε-

ϱίπτωση δεν microπορούν να τις υποκαταστήσουν Πιστεύουmicroε ότι microε αυτό το υπόβαθρο

οι ενδιαφερόmicroενοιες microπορούν να προχωρήσουν στη microελέτη και άλλων πιο εξειδικευ-

Πρόλογος vii

κένων ϑεmicroάτων τα οποία έχουν παραλειφθεί εδώ σύmicroφωνα microε τις κατευθυντήριες

γραmicromicroές και τους περιορισmicroούς του παρόντος ϐοηθήmicroατος

΄Ενα χρήσιmicroο εργαλείο για την κατανόηση των σχετικών εννοιών και microεθόδων α-

ποτελούν και οι προτεινόmicroενες ασκήσεις Για διευκόλυνση των αναγνωστώνστριών

στο τέλος των σηmicroειώσεων παρατίθενται οι λύσεις των περισσοτέρων από αυτές microε-

ϱικές από τις οποίες είναι υποδειγmicroατικά λυmicroένες microε αρκετές λεπτοmicroέρειες Οι α-

ναγνώστεςστριες καλούνται να επιχειρήσουν να επεξεργαστούν τις ασκήσεις πριν

καταφύγουν στις λύσεις

Στην παρούσα έκδοση εκτός από την προσθήκη του τετάρτου κεφαλαίου γίνεται

χρήση (υπερ)συνδέσmicroων εντός του κειmicroένου αλλά και σε τοποθεσίες του διαδικτύου

που διευκολύνουν την ηλεκτρονική ανάγνωση των σηmicroειώσεων (microέσω υπολογιστή ή

tablet) Επίσης έχουν γίνει microερικές microικρές ϐελτιώσεις και διορθώνονται διάφορες

αβλεψίες προηγουmicroένων εκδόσεων που ευγενώς επισηmicroάνθηκαν από τους αναγνώ-

στες Ο συγγραφέας ϑα είναι ιδιαίτερα υποχρεωmicroένος σε όσους ϑα ϑελήσουν να του

γνωστοποιήσουν lowast λάθη και ατέλειες που ϑα επισηmicroάνουν και σ᾿ αυτήν τη νέα έκδοση

ΕΒ Αθήνα Ιούλιος 2015

lowast Ηλεκτρονική διεύθυνση evassilmathuoagr

Περιεχόmicroενα

Πρόλογος v

1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία 1

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 2

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 6

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 10

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 12

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 20

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

18 Ασκήσεις 29

2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα 31

20 Εισαγωγή 32

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

22 Το προβολικό επίπεδο 42

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 48

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 56

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες 79

30 Εισαγωγή 80

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 80

ix

x Πρόλογος

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

36 Ασκήσεις 103

4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες 109

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 110

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 124

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία 125

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες 126

Βιβλιογραφία 129

Πίνακας εννοιών 133

Υποδείξεις λύσεων 137

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1

Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία

Η υπόθεση ότι το άθροισmicroα των γωνιών [ενός τριγώνου]

είναι microικρότερο από 180o οδηγεί σε microια παράξενη Γεωmicroε-

τρία αρκετά διαφορετική από τη δική microας [την Ευκλείδεια]

αλλά τελείως συνεπή την οποία έχω αναπτύξει microε όλη microου

την ευχαρίστηση Τα ϑεωρήmicroατα αυτής της Γεωmicroετρίας

ϕαίνονται παράδοξα και για τον αmicroύητο παράλογα όmicroως

ο ήρεmicroος επίmicroονος στοχασmicroός αποκαλύπτει ότι δεν περιέ-

χουν τίποτε το απίθανο

Απο γραmicromicroα του K F Gauss (1824) [11 σελ 109]

Στο κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη αναδροmicroή σε microερικούς σταθmicroούς που

σηmicroατοδότησαν την εξέλιξη της γεωmicroετρίας Αρχίζουmicroε microε την αρχαία περίοδο

και αναλύουmicroε την αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση του Ευκλείδη η οποία έπαιξε ιδιαίτερο

ϱόλο στην εξέλιξη της γεωmicroετρίας (sectsect11ndash13)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

2 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Η κριτική του Ευκλειδείου συστήmicroατος (sect14) microας οδηγεί στις νεώτερες αντιλή-

ψεις περί (γεωmicroετρικών) αξιωmicroατικών συστηmicroάτων τη σηmicroασία των microοντέλων στον

έλεγχο των σχετικών ιδιοτήτων τους καθώς και την κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroελί-

ωση της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (sect15)

Οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες (Υπερβολική και Ελλειπτική) δηmicroιουργήmicroατα microό-

λις του 19ου αιώνα εξετάζονται στις sectsect16 και 17 αντιστοίχως όπου και παρουσιά-

Ϲονται σχετικά microοντέλα τους

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη

Στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία παρατηρούmicroε microια πληθώρα microορφών που εδώ και

αιώνες τις αποκαλούmicroε γεωmicroετρικές και αντιλαmicroβανόmicroαστε ένα είδος γεωmicroετρικής

δοmicroής microέσα στη ϕύση που microας περιβάλλει Η αντίληψη αυτή ενισχύεται σήmicroερα και

από την επιστήmicroη η οποία microας αποκαλύπτει ότι παντού microέσα στη ϕύση υπάρχει

microία laquoΓεωmicroετρίαraquo η τάξη της οποίας υπόκειται της δοmicroής όλων των πραγmicroάτων από

τα microόρια και τους κρυστάλλους microέχρι τους γαλαξίες δηλαδή από τον microικρόκοσmicroο lowast

microέχρι τον microακροκόσmicroο

Στους αρχαιότατους χρόνους όταν η επιστήmicroη ήταν ένα microε τη ϑρησκεία και τη

microαγεία η ϐασική γνώση ήταν συγκεντρωmicroένη στα χέρια των ιερέων Τα microαθηmicroατι-

κά (αριθmicroητική και γεωmicroετρία) της εποχής αυτής αποτελούσαν microέρος της microυστικής

γνώσης και συχνά συνδέονταν microε τον microυστικισmicroό Αργότερα η αρmicroονία η οποία

ενυπάρχει στις γεωmicroετρικές δοmicroές ϑεωρήθηκε έκφραση ενός laquoϑεϊκού σχεδίουraquo που

διέπει τον κόσmicroο (εξού και η γνωστή ϱήση των Πυθαγορείων laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας

γεωmicroετρείraquo)

΄Οmicroως για να microπορέσει ο άνθρωπος να χειριστεί και να microελετήσει αυτές τις microορ-

ϕές είναι απαραίτητη η ιδεατή αναπαράστασή τους ΄Ετσι ο κύκλος (ένα από τα

αρχαιότερα σύmicroβολα που χάραξε ο άνθρωπος) microπορεί να ϑεωρηθεί ως η ιδεατή απο-

τύπωση του ηλιακού δίσκου και των περάτων του ϕυσικού ορίζοντα Η (microαθηmicroατική)

σφαίρα παραπέmicroπει στον ουράνιο ϑόλο Το επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

είναι η ιδεατή εικόνα της στάθmicroης του νερού που ηρεmicroεί κοκ

Η αφαίρεση της καθηmicroερινής εmicroπειρίας και η microεταφορά των απλών παρατη-

ϱήσεων στο επίπεδο microιας νοητικής διεργασίας αρχικά εξυπηρέτησε πρακτικές και

τεχνικές ανάγκες (όπως άλλωστε συνέβη και στο ξεκίνηmicroα κάθε επιστήmicroης) ΄Ετσι

στην αρχαία Αίγυπτο η γεωmicroετρία χρησιmicroοποιήθηκε στην οριοθέτηση και τη microέτρηση

των γαιών απ᾿ όπου και ο όρος laquoγεωmicroετρίαraquo Αυτό ήταν απαραίτητο microετά τις ετήσιες

πληmicromicroύρες του ποταmicroού Νείλου προκειmicroένου να αποδοθούν και πάλι οι ιδιοκτη-

σίες στους κατόχους τους και να επιmicroετρηθούν οι ϕορολογικές τους υποχρεώσεις

στους Φαραώ Αργότερα πιο προχωρηmicroένοι υπολογισmicroοί (πάντοτε εmicroπειρικοί και

lowast Για την περιοχή της κβαντικής ϕυσικής υπάρχουν σοβαρά προβλήmicroατα στην περιγραφή γεωmicroε-

τρικών εννοιών όπως αυτή του χώρουλόγω των εξαιρετικά microικρών αποστάσεων που υπεισέρχονται

στη microελέτη της

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 3

πρακτικοί) χρησιmicroοποιήθηκαν στην οικοδόmicroηση των πυραmicroίδων Ανάλογες πρακτι-

κές ανάγκες εκάλυπτε η γεωmicroετρία και σε άλλους λαούς (Βαβυλωνίους Κινέζους)

όπως microαρτυρούν σύγχρονες αρχαιολογικές ανακαλύψεις

Σε κάθε περίπτωση η κατασκευή των πυραmicroίδων και άλλων τεχνικών έργων ση-

microατοδοτεί microιαν αναmicroφισβήτητη πρόοδο ΄Οmicroως αυτή παρέmicroεινε καθαρά εmicroπειρική

Για παράδειγmicroα διάφορα εmicroβαδά υπολογίζονταν κατά περίπτωση πρακτικά χωρίς

να υπάρχει ένας συγκεκριmicroένος τύπος ή αλγόριθmicroος για το κάθε είδος Οmicroοίως και

διάφοροι αριθmicroητικοί υπολογισmicroοί και πράξεις πραγmicroατοποιούνταν κατά περίπτωση

χωρίς να ακολουθείται κάποιος κανόνας Εποmicroένως οι πολιτισmicroοί της Αιγύπτου και

της Βαβυλωνίας (στους οποίους εmicroφανίζονται οι παραπάνω χρήσεις της γεωmicroετρίας

και της αριθmicroητικής) δεν έδωσαν στους ΄Ελληνες microε τους οποίους ήρθαν σε επα-

ϕή τίποτε το ϑεωρητικό αλλά microια τεράστια συλλογή συγκεκριmicroένων microαθηmicroατικών

δεδοmicroένων microε τη microορφή υπολογισmicroών ή απλών καταγραφών (ϐλ τους microαθηmicroατι-

κούς πίνακες από τις ανασκαφές της Νινευή τον πάπυρο Rhind και τον πάπυρο της

Μόσχας) ΄Οπως πολύ επιτυχηmicroένα σχολιάζει ο L Mlodinow (ϐλ [26 σελ 9]lowast) ϑα

λέγαmicroε ότι οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι microοιάζουν microε τους κλασικούς ϐιολόγους

και ϕυσιοδίφες που microε microεγάλη υποmicroονή και σχολαστικότητα καταλογογράφησαν τα

είδη και όχι microε τους σύγχρονους γενετιστές που προσπαθούν να κατανοήσουν πώς

αναπτύσσονται και λειτουργούν οι οργανισmicroοί

Αντιθέτως η microελέτη της γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα πέρα από

τις πρακτικές ανάγκες ως πνευmicroατική αναζήτηση ως ϑεωρητικό πρόβληmicroα είναι

κατάκτηση του αρχαίου ελληνικού πνεύmicroατος Είναι το αποτέλεσmicroα του ελληνικού

ορθολογισmicroού που προσπαθεί να ϐάλει τάξη στον περιβάλλοντα κόσmicroο και να τον

ερmicroηνεύσει αναζητώντας το laquoγιατίraquo και το laquoπώςraquo των ϕαινοmicroένων

Εδώ πρέπει να αναφερθεί πρώτα το όνοmicroα του γεωmicroέτρη και ϕιλοσόφου Θαλή

Εικονα 1 Θαλής

lowast Οι αριθmicroοί σε αγκύλες παραπέmicroπουν στη ϐιβλιογραφία

4 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ενός εκ των επτά Σοφών της αρχαίας Ελλάδας Ο Θαλής στο πλαίσιο του παραπάνω

ορθολογισmicroού αναζήτησε τη ϑεωρητική επεξήγηση των εmicroπειρικών δεδοmicroένων των

Αιγυπτίων Θεωρείται ότι είναι ο πρώτος που συνέλαβε (και εφάρmicroοσε) την ιδέα της

απόδειξης Η χρήση των οmicroοίων τριγώνων τού επέτρεψε τον ακριβή υπολογισmicroό του

ύψους των πυραmicroίδων (που όπως προείπαmicroε γινόταν microόνον εmicroπειρικά προηγου-

microένως) Η πρόβλεψη της έκλειψης του Ηλίου το 585 πΧ τον κατέστησε πρόσωπο

microυθικό ∆ίκαια τοποθετείται στο ϐάθρο του πρώτου επιστήmicroονα και microαθηmicroατικού

Ο Θαλής αναmicroφίβολα προετοίmicroασε τους Πυθαγορείους και απέδειξε πολλά ϑεω-

ϱήmicroατα που περιέλαβε ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo του Στον ίδιο αποδίδεται η έννοια

της laquoισότηταςraquo ή laquoσύmicroπτωσηςraquo των σχηmicroάτων (όπως εννοείται σήmicroερα microε τους ξενό-

γλωσσους όρους Kongruenz congruence) σύmicroφωνα microε την οποία δύο σχήmicroατα είναι

ίσα αν microε κατάλληλη κίνηση (microεταφορά και στροφή) το ένα microπορεί να συmicroπέσει microε

το άλλο Προφανώς οι microαθηmicroατικές απόψεις και επιδόσεις του Θαλή δεν είναι α-

ποκοmicromicroένες από τη ϕιλοσοφική του άποψη ότι η ϕύση έχει νόmicroους τους οποίους

microπορούmicroε να ανακαλύψουmicroε ενώ microπορούmicroε να εξηγήσουmicroε τα ϕαινόmicroενα microέσω της

παρατήρησης και της λογικής

Μετά τον Θαλή σταθmicroό στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής και ϕιλοσοφικής σκέψης

αποτελεί το έργο του Πυθαγόρα και της Σχολής του Εmicroπνευστής του πρώτου υπήρξε

ο Θαλής

Εικονα 2 Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τους νόmicroους της αρmicroονίας και έδωσε στην αριθmicroητι-

κή τη microορφή ϑεωρητικής επιστήmicroης επί της οποίας στηρίχτηκε και η ϕιλοσοφική

του διδασκαλία Οι αριθmicroοί microπορούν να χωριστούν σε τριγωνικούς και τετραγωνι-

κούς συνδυασmicroοί των οποίων παράγουν ενδιαφέροντα αποτλέσmicroατα Αν ϕανταστού-

microε τους αριθmicroούς σαν τελείες ή πετραδάκια και τους τοποθετήσουmicroε σε κατάλληλους

σχηmicroατισmicroούς microπορούmicroε να πάρουmicroε microερικές microορφές της ταξινόmicroησης αυτής που

εmicroφανίζεται στην Εικόνα 3

Στην ίδια Σχολή microαζί microε τη ϕιλοσοφία τη microουσική και την αριθmicroητική καλ-

λιεργείται και η γεωmicroετρία η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήmicroατος η microελέτη των

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 5

κανονικών σχηmicroάτων και στερεών είναι microερικές microόνον από τις laquoγεωmicroετρικέςraquo ενα-

σχολήσεις της Το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα microε τη διττή του ερmicroηνεία γεωmicroετρική και

αριθmicroητική εκφράζει microιαν ενότητα microεταξύ γεωmicroετρίας και αριθmicroητικής Πρίν από

τους Πυθαγορείους οι Βαβυλώνιοι είχαν καταγράψει τριάδες αριθmicroών (α γ) που

ικανοποιούν τη σχέση α2= 2+γ2 αλλά η γεωmicroετρική ερmicroηνεία και απόδειξη του ϑε-

ωρήmicroατος στη γενική του microορφή δόθηκε για πρώτη ϕορά από τους Πυθαγόρειους

Γενικά ϐλέπουmicroε ότι στο (microαθηmicroατικό) πυθαγόρειο έργο υπάρχει microία σύζευξη της

γεωmicroετρίας microε την αριθmicroητική κάτι που ϑα επαναληφθεί αργότερα ndashσε άλλη microορφή

και microε άλλο στόχοndash από τον Rene Descartes [Καρτέσιο] (1596ndash1650) και τον ϕί-

λο του Pierre de Fermat (1601ndash1665) Φυσικά αυτός ο συσχετισmicroός οδήγησε στην

ανακάλυψη των ασυmicromicroέτρων αριθmicroών που ανέτρεψε τις ϕιλοσοφικές δοξασίες των

Πυθαγορείων και οδήγησε στην παρακmicroή της Σχολής τους

Εικονα 3 Πυθαγόρειοι αριθmicroοί

Τα Μαθηmicroατικά όρος που οφείλεται στους Πυθαγορείους προφανώς σχετίζον-

ται microε τις ϕιλοσοφικές τους δοξασίες Οι ίδιοι αναζητώντας τη συmicromicroετρία και την

αρmicroονία του κόσmicroου (άλλος πυθαγορικός όρος κι αυτός) αναγνωρίζουν ουσιαστικά

την ύπαρξη microιας γεωmicroετρικής δοmicroής σ᾿ αυτόν ΄Οmicroως η δοmicroή αυτή συνδέεται microε το

άρρητο σχέδιο της δηmicroιουργίας που δεν microπορεί να γίνει αντιληπτό από τον άνθρωπο

(πρβλ laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας γεωmicroετρείraquo) ΄Ετσι η κοσmicroογονία και η οντολογία των

πυθαγορείων παραmicroένει laquoαριθmicroολογικήraquo ΄Αλλωστε αιώνες αργότερα ο L Kronecker

υποστήριξε ότι (παραφράζοντάς τον) laquoαεί ο Θεός γεωmicroετρεί και ο ανθρωπος κάνει

αριθmicroητικήraquo

Η γεωmicroετρία (και τα microαθηmicroατικά γενικότερα) εξελίσσονται σηmicroαντικά και στην

Πλατωνική Ακαδηmicroία Τη σηmicroασία που είχε η γεωmicroετρία για τον Πλάτωνα και τους

6 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microαθητές του περιγράφει microε τον πιο εναργή τρόπο η επιγραφή η οποία κοσmicroούσε

την είσοδο της Ακαδηmicroίας το περίφηmicroο laquoΜηδείς αγεωmicroέτρητος εισίτωraquo

Εικονα 4 Πλάτων

Τα κανονικά πολύεδρα γνωστά και ως πλατωνικά στερεά κατέχουν ιδιαίτερη ϑέ-

ση στην πλατωνική ϕιλοσοφία και κοσmicroολογία Στην Ακαδηmicroία έδρασαν διάσηmicroοι

microαθηmicroατικοί όπως ο Εύδοξος ο Κνίδιος οι αδελφοί Μέναιχmicroος και ∆εινόστρατος ο

Θεαίτητος ο Αθηναίος ο Ερmicroότιmicroος ο Κολοφώνιος και πολλοί άλλοι ενώ δεν ϕαίνεται

να είχε κάποια ιδιαίτερη συmicroβολή στην ίδια τη γεωmicroετρία ο Πλάτων

Φυσικά δεν πρέπει να παραλείψουmicroε και τους εκτός της Πλατωνικής Ακαδηmicroίας

Θεόδωρο τον Κυρηναίο (διδάσκαλο του Πλάτωνος) τον Αρχύτα τον Ταραντίνο (ϕίλο

του Πλάτωνος) τον Φιλόλαο και τον Ιπποκράτη τον Χίο

Για τις ϕιλοσοφικές ϑεωρήσεις της Σχολής των Πυθαγορείων και της Πλατωνικής

Ακαδηmicroίας όπως και τη σχέση τους microε τη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε στο [1]

Επειδή σκοπός αυτής της αναδροmicroής δεν είναι η παρουσίαση ούτε της ιστορίας

της γεωmicroετρίας στην αρχαιότητα ούτε των microεγάλων γεωmicroετρών και του έργου τους

αλλά microια απλή αναφορά σε microερικούς σταθmicroούς της προ-Ευκλείδειας περιόδου ϑα

έρθουmicroε αmicroέσως σ᾿ αυτόν που σφράγισε την εξέλιξη της γεωmicroετρίας των microαθηmicroατικών

γενικότερα καθώς και πολλών άλλων επιστηmicroών δηλαδή στον Ευκλείδη

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του

Ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια και η ακmicroή του τοποθετείται περί το 300 πΧ Οι

ηmicroεροmicroηνίες γέννησης και ϑανάτου του παραmicroένουν άγνωστες Στο περίφηmicroο έργο

του laquoΣτοιχείαraquo περιέλαβε το microεγαλύτερο microέρος της microέχρι τότε microαθηmicroατικής γνώσης

και οργάνωσε τη γεωmicroετρία κατά τρόπον αυστηρό όπως απαιτούσε το πνεύmicroα της

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 7

λογικής και της ενότητας το οποίον του κληροδότησαν οι προηγούmicroενες γενιές των

microαθηmicroατικών και ϕιλοσόφων

Εικονα 5 Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης microπορεί να χαρακτηριστεί ως ο διαmicroορφωτής της microελέτης του 2-

διάστατου χώρου microέσω της καθαρής σκέψης χωρίς αναφορά στον ϕυσικό κόσmicroο

Το όνοmicroά του ταυτίζεται microε τη γεωmicroετρία Σε πολλές προτάσεις έδωσε δικές του

αποδείξεις ενώ απλοποίησε άλλες προγενέστερες Η ταξινόmicroηση της ύλης είναι υπο-

δειγmicroατική Η λιτότητα και η όλη παρουσίαση δικαίως έκαναν τα laquoΣτοιχείαraquo πρότυπο

γραφής επιστηmicroονικού συγγράmicroατος

Τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη είναι το δεύτερο έργο που τυπώθηκε microετά την Αγία

Γραφή και το δεύτερο παγκοσmicroίως σε πλήθος εκδόσεων έργο (και πάλι microετά την

Αγ Γραφή) Καθόρισε ουσιαστικά την εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης microέχρι

τον 19ο αιώνα χωρίς ϕυσικά να έχει καταργηθεί microέχρι σήmicroερα Η ανακάλυψη του

έργου αυτού στους Μεσαίους χρόνους εσήmicroανε την αφετηρία της αναγέννησης των

επιστηmicroών και του πνεύmicroατος γενικότερα

Τον τρόπο διατύπωσης των laquoΣτοιχείωνraquo microιmicroήθηκε στο ϕιλοσοφικό του έργο ο Bashy

ruch Spinoza (1632ndash1677) Ο Immanuel Kant (1724ndash1804) στο γνωστό ϕιλοσοφικό

του έργο laquoΚριτική του Καθαρού Λόγουraquo ϑεωρεί ότι η Ευκλειδεια Γεωmicroετρία είναι η

microόνη γεωmicroετρία την οποίαν microπορεί να αντιληφθεί ο ανθρώπινος νούς εξαιτίας της

δοmicroής του εγκεφάλου του Αποτέλεσmicroα αυτού είναι ότι η γνώση του χώρου δεν είναι

εmicroπειρική αλλά υπάρχει a priori Με τις διαδεδοmicroένες αυτές απόψεις του διάση-

microου ϕιλοσόφου ϕοβόταν να αντιπαρατεθεί ο microεγάλος microαθηmicroατικός Karl Friedrich

Gauss (1775ndash1855) όταν ανακάλυψε (αρκετά microετα τον ϑάνατο του πρώτου) τη microη

Ευκλείδεια Γεωmicroετρία για τούτο ndashmicroαζί και microε άλλους λόγουςndash δεν δηmicroοσίευσε τίποτε

σχετικό

Πριν αναφερθούmicroε πιο διεξοδικά στη διάρθρωση των laquoΣτοιχείωνraquo ας κάνουmicroε α-

κόmicroη λίγα γενικά σχόλια Η γεωmicroετρία αναφέρεται στην έννοια του χώρου συστατικά

8 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

του οποίου είναι τα σηmicroεία οι ευθείες και τα επίπεδα Πρόκειται για έννοιες που ενώ

τις αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία δεν microπορούmicroε να τις ορίσου-

microε microε ακρίβεια Εποmicroένως δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα πώς είναι δυνατόν να

οικοδοmicroηθεί αυστηρά η γεωmicroετρία όταν τα ίδια τα δοmicroικά στοιχεία της παραmicroένουν

άγνωστα

Εδώ η συmicroβολή του Ευκλείδη υπήρξε καταλυτική Παρ᾿ όλο που προσπάθησε (α-

νεπιτυχώς) να ορίσει τις παραπάνω έννοιες η προσέγγισή του έκανε ϕανερό ότι στα

microαθηmicroατικά δεν microας ενδιαφέρει η ουσία των αντικειmicroένων που microας απασχολούν αλ-

λά οι σχέσεις microεταξύ αυτών (των αντικειmicroένων) ΄Ετσι αδιαφορώντας για την οντολογία

των σηmicroείων και των ευθειών microπορούmicroε να ξεκινήσουmicroε microε ένα σύστηmicroα σχέσεων

δηλαδή microε τα αξιώmicroατα των οποίων την αλήθεια δεχόmicroαστε εκ των προτέρων και κα-

τόπιν microε τη ϐοήθεια της λογικής (συν)επαγωγής να προχωρήσουmicroε στην απόδειξη

της ισχύος ή όχι κάθε άλλης γεωmicroετρικής σχέσης που microπορεί να διατυπωθεί

Αυτή είναι η ϐασική ιδέα της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη Τα αξιώ-

microατα ϐρίσκονται στην αφετηρία και είναι απαραίτητα για να microην περιπέσουν οι

συλλογισmicroοί microας σε ϕαύλο κύκλο Το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων πρέπει να καλύπτει

προφανώς κάποιες ουσιαστικές απαιτήσεις Θα πούmicroε περισσότερα για τη σύγχρονη

αξιωmicroατική microέθοδο στην sect14

Ας ξαναγυρίσουmicroε τώρα στα laquoΣτοιχείαraquo Το περιεχόmicroενό τους κατανέmicroεται σε

bull 13 ϐιβλία (κάτι σαν 13 κεφάλαια)

και αποτελείται από

bull 23 όρους

bull 5 αιτήmicroατα

bull 7 (ή 9) κοινές έννοιες

και microέσω αυτών αποδεικνύονται

bull 465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σηmicroερινά ϑεωρήmicroατα προτάσεις λήmicro-

microατα και πορίσmicroατα)

Τα ϐιβλία 1ndash4 περιέχουν τη ϐασική γεωmicroετρία του επιπέδου Τα ϐιβλία 5ndash6 πραγ-

microατεύονται τη ϑεωρία των λόγων ήτοι των συmicromicroέτρων microεγεθών και εισάγονται κα-

τόπιν τα ασύmicromicroετρα microεγέθη Τα ϐιβλία 7ndash9 αναφέρονται στην αριθmicroητική Στο 10ο

ϐιβλίο ταξινοmicroούνται γεωmicroετρικά οι ασύmicromicroετροι αριθmicroοί Στα ϐιβλία 11ndash12 εκτίθενται

τα ϐασικά ϑεωρήmicroατα της στερεοmicroετρίας Το 13ο και τελευταίο ϐιβλίο περιέχει την

κατασκευή πέντε κανονικών πολυέδρων και την απόδειξη της microη ύπαρξης άλλων

Σηmicroειώνουmicroε ότι microεταγενέστερα προστέθηκαν και άλλα δύο ϐιβλία όmicroως αυτά δεν

γράφτηκαν από τον Ευκλείδη

Οι όροι αποτελούν ουσιαστικά τους ορισmicroούς εννοιών όπως σηmicroείο ευθεία γραmicro-

microή γωνία ορθή γωνία κύκλος κλπ Μερικοί απ᾿ αυτούς (όπως ο κύκλος οι παράλ-

ληλες ευθείες κλπ) είναι ακριβείς ενώ άλλοι (όπως το σηmicroείο η ευθεία κλπ) είναι

ασαφείς και χωρίς ιδιαίτερη αξία

΄Οπως αναφέρθηκε και πιο πάνω τα αιτήmicroατα (ή αξιώmicroατα) αναφέρονται σε

γεωmicroετρικές προτάσεις ή ιδιότητες που συνδέουν απροσδιόριστους όρους και των

οποίων η αλήθεια γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη Συνήθως απορρέουν από την απλή

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 9

παρατήρηση (microέσα στα στενά όρια της ανθρώπινης κλίmicroακας) ή από τη microελέτη ενος

συγκεκριmicroένου παραδείγmicroατος ΄Ετσι η πρακτική διαπίστωση ότι ανάmicroεσα σε δύο

σηmicroεία ενός κοινού επιπέδου ή ενός ϕύλλου χαρτιού χαράσσεται microία microόνον ευθεία

οδηγεί στη διατύπωση του πρώτου αξιώmicroατος της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (που ϑα

αναφέρουmicroε microαζί microε τα άλλα πιο κάτω)

Οι κοινές έννοιες είναι προτάσεις των οποίων δεχόmicroαστε την αλήθεια (όπως

και των αξιωmicroάτων) δεν αναφέρονται σε γεωmicroετρικές ιδιότητες ή σχέσεις αλλά είναι

κυρίως προτάσεις της Λογικής (για παράδειγmicroα laquoΤὰ τω αὐτωι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστίν

ἴσαraquo laquoΚαὶ τὸ ὅλον του microέρους microειϹὸν [ἐστιν]raquo κλπ)

Σήmicroερα χρησιmicroοποιούmicroε κυρίως τον (microεταγενέστερο) αριστοτελικό όρο αξίωmicroα

για τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

Οι προτάσεις (όπως και τα ϑεωρήmicroατα κλπ) είναι πλέον αποφάνσεις των οποίων

η αλήθεια συνάγεται microε λογική διαδικασία από τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

καθώς και από άλλα ήδη αποδειχθέντα ϑεωρήmicroατα

Στα laquoΣτοιχείαraquo εφαρmicroόζονται οι ακόλουθες τρείς αποδεικτικές microέθοδοι

Η συνθετική Κατ᾿ αυτήν προκειmicroένου να αποδείξουmicroε microια πρόταση χρησιmicroο-

ποιούmicroε τους ορισmicroούς τα αξιώmicroατα και άλλες ήδη γνωστές προτάσεις (που κι αυτές

microε τη σειρά τους απορρέουν από τα αξιώmicroατα και τους ορισmicroούς) και microε λογικούς

συλλογισmicroούς καταλήγουmicroε στην πρός απόδειξη

Η εις άτοπον απαγωγή Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν αρχικά δεχόmicroαστε ότι αληθεύει κά-

ποια πρόταση αντίθετη προς αυτήν που Ϲητούmicroε να αποδείξουmicroε Χρησιmicroοποιώντας

όπως πριν τα αξιώmicroατα και άλλες γνωστές προτάσεις καταλήγουmicroε σε microία πρόταση

η οποία αντιφάσκει είτε microε κάποιο αξίωmicroα είτε microε κάποιαν άλλη πρόταση που ήδη

έχει αποδειχθεί ότι αληθεύει Η αντίφαση προκύπτει προφανώς επειδή ξεκινήσαmicroε

από microια λαθεmicroένη υπόθεση και αίρεται αν δεχτούmicroε ότι αληθεύει η προς απόδειξη

πρόταση Η microέθοδος αυτή χρησιmicroοποιείται ευρύτατα στα laquoΣτοιχείαraquo

Η αναλυτική που ϐασίζεται στην εξής microεθοδολογία ∆εχόmicroαστε προς στιγmicroήν ότι

η προς απόδειξη πρόταση P είναι αληθής Απ᾿ αυτήν συνάγουmicroε την αλήθεια microιας

πρότασης ή microιας αλυσίδας προτάσεων Εφ᾿ όσον οι τελευταίες είναι αληθείς τότε

προφανώς είναι αληθής και η αρχική πρόταση P καθ᾿ όσον microπορούmicroε συνθετικά

πλέον να αναχθούmicroε σ᾿ αυτήν από τις προηγούmicroενες

Μιλώντας κυριολεκτικά πρέπει να κατατάξουmicroε την αναλυτική microέθοδο στις ευρε-

τικές microεθόδους ∆εν χρησιmicroοποιείται εmicroφανώς από τον Ευκλείδη αλλά είναι ϐέβαιον

ότι ορισmicroένες (πολύπλοκες) αποδείξεις έχουν προκύψει από την εφαρmicroογή της του-

λάχιστον από προγενέστερους γεωmicroέτρες Παρ᾿ όλο που η microέθοδος ανάγεται στους

Πυθαγορείους συστηmicroατικός περί αυτής λόγος γίνεται στη laquoΣυναγωγήraquo του Πάππου

και έχει δηmicroιουργήσει σηmicroαντικά προβλήmicroατα ερmicroηνείας Σχετικώς παραπέmicroπουmicroε

και στο άρθρο [27]

10 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Θα διατυπώσουmicroε τα αξιώmicroατα (αιτήmicroατα) των laquoΣτοιχείωνraquo για να κάνουmicroε κατόπιν

microια σύντοmicroη κριτική που ϑα δικαιολογήσει τις νεώτερες αναθεωρήσεις της ϑεmicroελίω-

σης του Ευκλείδη Για διευκόλυνση ϑα τα διατυπώσουmicroε σε microία microορφή απλούστερη

από αυτήν που προκύπτει από την ακριβή microετάφραση της πρωτότυπης διατύπωσής

τους Για την αρχαιοελληνική microορφή τους και την ακριβή microετάφραση παραπέmicroπουmicroε

στο [39]

Αξίωmicroα 1 Από ένα σηmicroείο άγεται σε ένα άλλο microία ευθεία γραmicromicroή

Αξίωmicroα 2 Κάθε πεπερασmicroένη ευθεία microπορεί να επεκτείνεται συνεχώς και

ευθυγράmicromicroως

Αξίωmicroα 3 Μπορούmicroε να γράψουmicroε κύκλο microε οποιοδήποτε κέντρο και ο-

ποιαδήποτε ακτίνα

Αξίωmicroα 4 ΄Ολες οι ορθές γωνίες είναι ίσες

Αξίωmicroα 5 Αν microία ευθεία που τέmicroνει δύο άλλες σχηmicroατίζει τις εντός και

επί τα αυτά γωνίες microε άθροισmicroα microικρότερο των δύο ορθών τότε

οι δύο ευθείες προεκτεινόmicroενες επ᾿ άπειρον ϑα τmicroηθούν (συmicro-

πέσουν) και microάλιστα προς το microέρος όπου ϐρίσκοται οι γωνίες microε

το microιικρότερο των δύο ορθών άθροισmicroα

Τα δύο πρώτα αξώmicroατα ϕαίνονται απλά και συmicroφωνούν microε τη συνήθη εmicroπειρία

Το 3ο είναι πιο λεπτό και σηmicroαίνει ότι δεχόmicroαστε πως το microήκος παραmicroένει αναλλοί-

ωτο καθώς κινούmicroαστε από σηmicroείο σε σηmicroείο κατά τη χάραξη του κύκλου ∆ηλαδή

δεχόmicroαστε ότι η απόσταση ορίζεται microε τέτοιον τρόπο στο χώρο ώστε να εξασφαλίζε-

ται το αναλλοίωτό της Το 4ο αξίωmicroα κι αυτό ϕαίνεται απλό και προφανές Αλλά αν

microπορεί να διαπιστωθεί laquoπειραmicroατικάraquo στο χαρτί microας αυτό δεν σηmicroαίνει ότι αληθεύει

και σε κάποιο άλλο σηmicroείο του σύmicroπαντος (όπως microπορεί να συmicroβεί άλλωστε και microε

κάθε άλλο αξίωmicroα) Στην πραγmicroατικότητα το 4ο αξίωmicroα αποδέχεται την οmicroοιογένεια

του χώρου Τέλος το 5ο αξίωmicroα που είναι γνωστό και ως αξίωmicroα των παραλλή-

λων δεν ϕαίνεται ούτε τόσο απλό ούτε τόσο άmicroεσο όπως τα άλλα Οφείλεται microάλλον

αποκλειστικά στον Ευκλείδη και δεν πρέπει να περιείχετο στην προγενέστερη γεωmicroε-

τρική γνώση που κατέγραψε αυτός παρ᾿ όλο που υποστήριζε ότι ήταν γνωστό στους

Πυθαγορείους

Η ιστορία του 5ου αξιώmicroατος είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα Ο ιδιος ο Ευκλεί-

δης δεν το χρησιmicroοποίησε παρά microετά την 28η πρόταση Λόγω της πολυπλοκότητας

της αρχικής του διατύπωσης οι microεταγενέστεροι microαθηmicroατικοί το αντιmicroετώπισαν microε

κάποια αmicroηχανία γι᾿ αυτό πολλοί ϑεώρησαν ότι είναι απόρροια των προηγουmicroένων

αξιωmicroάτων συνεπώς είναι ένα ϑεώρηmicroα Αυτή η προσπάθεια της αναγωγής του 5ου

αξιώmicroατος στα άλλα άρχισε πολύ νωρίς microετά την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo και συνε-

χίστηκε microέχρι τον 19ο αιώνα οπότε τελικά αποδείχτηκε η ανεξαρτησία του [το 1868

από τον Eugenio Beltrami (1835ndash1900 )]

Σηmicroειώνουmicroε ότι όλες οι προτάσεις (microεταξύ αυτών και οι πρώτες 28 των laquoΣτοιχεί-

ωνraquo που microπορούν να αποδειχθούν χωρίς τη χρήση του αξιώmicroατος των παραλλήλων

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 11

συνιστούν τη λεγόmicroενη Απόλυτη ή Ουδέτερη Γεωmicroετρία

Γνωρίζουmicroε σήmicroερα περί τις 28 απόπειρες απόδειξης του αξιώmicroατος των παραλ-

λήλων Στην πραγmicroατικότητα οδηγούν σε ισοδύναmicroες διατυπώσεις του αφού όλες

ξεκινούσαν microε microια ϕαινοmicroενικά προφανή υπόθεση που στην ουσία της συνιστού-

σε ένα άλλο αξίωmicroα Ας δούmicroε microερικές απ᾿ αυτές τις ισοδύναmicroες microορφές του 5ου

αξιώmicroατος

1 Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας κείmicroενο άγεται προς αυτήν microία και

microοναδική παράλληλη

2 Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές

3 Υπάρχουν Ϲεύγη οmicroοίων τριγώνων

4 Υπάρχει Ϲεύγος ευθειών που ισαπέχουν η microια της άλλης

5 ∆οθέντων τριών (διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών) σηmicroείων υπάρ-

χει κύκλος που διέρχεται δι᾿ αυτών

6 Αν τρείς γωνίες ενός τετραπλέυρου είναι ορθές τότε και η τέταρη

γωνία είναι ορθή

7 Αν microία ευθεία τέmicroνει microία από δύο δοθείσες παράλληλες ευθείες τότε

ϑα τέmicroνει και την άλλη

Η microορφή 1 είναι γνωστή ως αξίωmicroα του John Playfair (1748ndash1819) Μ᾿ αυτήν

αντικαθιστούmicroε σήmicroερα το 5ο αξίωmicroα αφού έτσι είναι προφανώς πιο εύχρηστο Η

microορφή 3 οφείλεται στον John Wallis (1616ndash1703) ΄Αλλοι γνωστοί microαθηmicroατικοί που

προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο αξίωmicroα είναι ο νεοπλατωνικός Πρόκλος ο Λύκιος

ή ∆ιάδοχος (410ndash485 microΧ) ο Giovanni Gerolamo Saccheri (1667ndash1733) (που ό-

πως ϑα δούmicroε στη συνέχεια micro᾿ αυτήν του την προσπάθεια ουσιαστικά έφτασε στην

Υπερβολική Γεωmicroετρία) και ο AdrienshyMarie Legendre (1752ndash1833)

Η άρνηση του 5ου αξιώmicroατος microπορεί να γίνει microε δύο τρόπους

α) ∆εχόmicroαστε ότι από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται δύο ή και περισσό-

τερες ευθείες παράλληλες προς τη δοθείσα

ϐ) Αρνούmicroαστε εξ ολοκλήρου την ύπαρξη της παραλληλίας ευθειών

Η άρνηση αυτή οδηγεί στη δηmicroιουργία των λεγοmicroένων microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

Ακριβέστερα η περίπτωση α) οδηγεί στην Υπερβολική Γεωmicroετρία ενώ η ϐ) στην

Ελλειπτική Γεωmicroετρία Και οι δύο δηmicroιουργήθηκαν microόλις τον 19ο αιώνα και α-

ποτελούν microια απο τις συναρπαστικότερες εξελίξεις στην ιστορία της γεωmicroετρίας Θα

επανέλθουmicroε σ᾿ αυτές σε επόmicroενες παραγράφους

Πριν ασχοληθούmicroε microε την κριτική της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη

ας αναφέρουmicroε συmicroπληρωmicroατικά ότι παράλληλα microε την ανάπτυξη της γεωmicroετρίας

που ακολουθεί την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo έχουmicroε microιαν εντυπωσιακή ανάπτυξη

της αστρονοmicroίας και της microηχανικής αφού και οι δύο συνδέονται στενά microε την πρώτη

Εδώ ϑα πρέπει να αναφέρουmicroε κυρίως τον Αρίσταρχο το Σάmicroιο (περίπου 310-250

πΧ) πρόδροmicroο του ηλιοκεντρικού συστήmicroατος ο οποίος για πρώτη ϕορά υπολόγισε

(έστω και χωρίς microεγάλη ακρίβεια) τη σχέση των αποστάσεων Ηλίου και Σελήνης απο

12 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

τη Γη τη σχέση των διαmicroέτρων τους κλπ ϐασιζόmicroενος σε γεωmicroετρικές microεθόδους και

microια microορφή πρωτόγονης τριγωνοmicroετρίας τον Ερατοσθένη (περίπου 275 ndash195 πΧ)

που microέτρησε τη διάmicroετρο της Γης microε εκπληκτική ακρίβεια για την εποχή του χρη-

σιmicroοποιώντας microιαν ευφυή microέθοδο τον ΄Ιππαρχο (2ος αιώνας πΧ) που υπολόγισε

την απόσταση και το microέγεθος του Ηλίου και της Σελήνης και έβαλε τις ϐάσεις της

τριγωνοmicroετρίας τον Πτολεmicroαίο Κλαύδιο (138ndash180 microΧ) που microεταξύ των άλλων στο

έργο του laquo΄Απλωσις Επιφανείαςraquo εναφέρεται στη microελέτη προβολών για την κατασκευή

χαρτών

Ιδιαιτέρως επίσης πρέπει να microνηmicroονευθεί και ο Αρχιmicroήδης (287ndash212 πΧ)

microεγαλοφυής microαθηmicroατικός ϕυσικός και microηχανικός Με την έξοχη laquomicroέθοδο της εξ-

αντλήσεωςraquo υπολόγισε το εmicroβαδόν ποικίλων χωρίων και τον όγκο διαφόρων σωmicroάτων

κάνοντας κατάλληλες προσεγγίσεις microέσω εmicroβαδών απλών σχηmicroάτων ϑέτοντας έτσι τις

ϐάσεις του Ολοκληρωτικού Λογισmicroού Ο Αρχιmicroήδης ϑεωρείται η microεγαλύτερη microαθη-

microατική και επιστηmicroονική microορφή της αρχαιότητας και ένας από τους microεγαλύτερους

microαθηmicroατικούς όλων των εποχών

Η ανάπτυξη της γεωmicroετρίας συνεχίστηκε microετά το Ευκλείδη και τον Αρχιmicroήδη από

τον Απολλώνιο (περίπου 260ndash200 πΧ) που ϑεωρείται ως ο τελευταίος microεγάλος γε-

ωmicroέτρης της ελληνιστικής περιόδου Στο οκτάτοmicroο έργο του laquoΚώνου Τοmicroαίraquo microελέτησε

την έλλειψη την παραβολή και την υπερβολή τις οποίες ϑεώρησε τοmicroές του κώνου

microε ένα επίπεδο κατάλληλης κλίσης Η ιδέα αυτή microπορεί να ϑεωρηθεί και ως απαρ-

χή της Προβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ Κεφάλαιο 2) αφού οι προηγούmicroενες καmicroπύλες

είναι προβολές (από την κορυφή του κώνου) της κυκλικής ϐάσης του στα διάφορα

τέmicroνοντα επίπεδα

Παρά την microετέπειτα σχετική κάmicroψη του ελληνικού πνεύmicroατος η microεγάλη γεωmicroε-

τρική παράδοση συνεχίστηκε από σπουδαίους microαθηmicroατικούς όπως ο Νικοmicroήδης ο

∆ιοκλής ο ∆ιόφαντος ο Μενέλαος και ο Πάππος (microε το έργο του laquoΣυναγωγήraquo )

Μετά από αυτούς και πολύ αργότερα microετά τον τραγικό ϑάνατο της Υπατίας

(5ος microΧ αιώνας) που ϑεωρείται και η τελευταία microαθηmicroατικός της αρχαίας εποχής

επήλθε η πλήρης στασιmicroότητα Η αναγέννηση της γεωmicroετρίας άρχισε τον 16ο αιώνα

microε την Αναλυτική Γεωmicroετρία του Καρτέσιου (Descartes) Αργότερα η εφαρmicroογή του

∆ιαφορικού Λογισmicroού οδήγησε στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία η ανάπτυξη της οποίας

υπήρξε ϱαγδαία και microαζί microε τη σύγχρονη ϕυσική έχει αλλάξει την αντίληψή microας για

τον κόσmicroο

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και η αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του D Hilbert

Η προσεκτική microελέτη των laquoΣτοιχείωνraquo σε microεταγενέστερες εποχές απεκάλυψε ότι

ορισmicroένες αποδείξεις έχουν σηmicroαντικές ατέλειες ή κενά καθ᾿ όσον ϐασίζονται σε

διάφορες γεωmicroετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης ϑεώρησε αυτονόητες χωρίς

όmicroως αυτές να microπορούν να δικαιολογηθουν ούτε από τους ορισmicroούς και τα αξιώmicroατα

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 13

ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις

Σχηmicroα 11 Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

΄Ετσι ας πάρουmicroε για παράδειγmicroα την απόδειξη της Πρότασης 1 των laquoΣτοιχείωνraquo

στην οποία κατασκευάζεται ισόπλευρο τρίγωνο microε δεδοmicroένη ϐάση AB Η κορυφή

του τριγώνου ϑα είναι microία από τις τοmicroές του κύκλου που γράφεται microε κέντρο το

A και ακτίνα AB microε τον κύκλο ίδιας ακτίνας και κέντρου B όπως στο παραπάνω

σχήmicroα Πώς όmicroως εξασφαλίζεται αυτή η τοmicroή Προφανώς η εmicroπειρική κατασκευή

δεν αρκεί Κανένα αξίωmicroα δεν απαγορεύει οι κύκλοι να έχουν πολύ microικρές οπές

όπως ϑα microπορούσε να συmicroβεί στην περίπτωση της γεωmicroετρίας που αναφέρεται σε

σηmicroεία microε ϱητές συντεταγmicroένες

΄Εντονη κριτική δέχονται ακόmicroη η microέθοδος της laquoυπέρθεσηςraquo ή laquoεπί-ϑεσηςraquo δηλ

της microετακίνησης και τοποθέτησης ενός σχήmicroατος επί ενός άλλου microε την οποίαν

αποδεικνύεται η ισότητα δύο τριγώνων (ϐλ πχ Πρόταση 4) η συχνή χρήση της

έννοιας laquomicroεταξύraquo που δεν ορίζεται πουθενά η laquoεπ᾿ άπειρον και χωρίς όριαraquo επέκταση

microιας γραmicromicroής οι ιδιότητες διαχωρισmicroού των σηmicroείων και των γραmicromicroών (δηλαδή η

παραδοχή ότι ένα σηmicroείο διαχωρίζει microια γραmicromicroή σε δύο διακεκριmicroένα τmicroήmicroατα ενώ

microία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο διακεκριmicroένα σύνολα κλπ)

Είναι αξιοσηmicroείωτο ότι παρά τις παραπάνω αδυναmicroίες καmicroιά από τις προτάσεις

των laquoΣτοιχείωνraquo δεν είναι λάθος (ως προς το τελικό συmicroπέρασmicroα) ΄Οmicroως χωρίς να

microειώνεται στο ελάχιστο η αξία της ευκλείδειας προσέγγισης έπρεπε να διορθωθούν

οι ατέλειές της σύmicroφωνα microε τις απαιτήσεις της αυστηρότητας που χαρακτηρίζει (και)

τα σύγχρονα microαθηmicroατικά Αυτό υπήρξε περισσότερο από ποτέ αναγκαίο microετά την

ανακάλυψη των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών οπότε και έγινε εmicroφανέστερη η ση-

microασία της τακτοποίησης του αξιωmicroατικού συστήmicroατος κάθε γεωmicroετρίας Προς την

κατεύθυνση αυτή εργάστηκαν διακεκριmicroένοι microαθηmicroατικοί όπως ο Julius Wilhelm

Richard Dedekind (1831ndash1916) ο Giuseppe Peano (1858ndash1932) ο David Hilbert

(1862ndash1943) και ο George David Birkhoff (1884ndash1944)

Εδώ ϑα αναφερθούmicroε microόνον στην αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρία από τον Hilbert (ϐλ [18]) επειδή το σύστηmicroά του είναι (παρά τον microεγάλο αριθmicroό

14 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αξιωmicroάτων) σχετικώς απλό και κοντά στο πνεύmicroα του Ευκλείδη

Εικονα 6 David Hilbert

Εξ αρχής ο Hilbert ϑεωρεί ως πρωταρχικές έννοιες του συστήmicroατος τις ακόλουθες

απροσδιόριστες έννοιες

σηmicroείο ευθεία (γραmicromicroή) επίπεδο κείται (ϐρίσκεται) επί

microεταξύ σύmicroπτωσηισότητα (Kongruenz congruence)

Τα αξιώmicroατά του χωρίζονται ανάλογα microε το ϱόλο τους στις εξής κατηγορίες

Κατηγορία I Αξιώmicroατα σύνδεσης (ή συνοχής)

Κατηγορία II Αξιώmicroατα διάταξης

Κατηγορία III Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Κατηγορία IV Αξίωmicroα της παραλληλίας

Κατηγορία V Αξιώmicroατα συνεχείας

Στη συνέχεια αναφέρουmicroε σε ελεύθερη microετάφραση τα αξιώmicroατα του Hilbert (ϐλ

επίση και τις σχετικες αποδόσεις των [11] [18] [39]) Ενδιαmicroέσως παρεmicroβάλλονται

και microερικοί απαραίτητοι ορισmicroοί και συmicroβολισmicroοί

Ι Αξιώmicroατα σύνδεσης

Τα αξιώmicroατα της κατηγορίας αυτής συνδέουν τις απροσδιόριστες έννοιες σηmicroείο

ευθεία και επίπεδο δηλαδή καθορίζουν τις microεταξύ των σχέσεις

Ι1 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει πάντοτε microία ευθεία ℓ που τα

περιέχει (Ισοδύναmicroη έκφραση Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται microία ευθεία)

Ι2 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει microόνον microία ευθεία που τα περιέχει

Η microοναδική ευθεία που περιέχει τα A B κατά τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα

συmicroβολίζεται microε ℓ = AB = BA

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 15

Ι3 Κάθε ευθεία περιέχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά σηmicroεία Υπάρχουν τουλάχι-

στον τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται (κείνται) στην ίδια ευθεία

Ι4 Τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C τα οποία δεν ϐρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία

ορίζουν ένα microοναδικό επίπεδο που τα περιέχει

Ι5 Αν δύο σηmicroεία A B microιας ευθείας ℓ ϐρίσκονται σε ένα επίπεδο Π τότε και κάθε

άλλο σηmicroείο της ℓ ϐρίσκεται σο Π

Ι6 Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σηmicroείο τότε έχουν ακόmicroη τουλάχιστον άλλο ένα

κοινό σηmicroείο

Ι7 Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία που δεν κείνται στο ίδιο

επίπεδο

ΙΙ Αξιώmicroατα διάταξης

Τα αξιώmicroατα αυτής της κατηγορίας καθορίζουν την έννοια του microεταξύ microέσω της

οποίας microπορεί να εισαχθεί microια έννοια διάταξης ανάmicroεσα στα σηmicroεία microιας ευθείας

ενός επιπέδου ή του χώρου

ΙΙ1 Αν ένα σηmicroείο B κείται microεταξύ των σηmicroείων A και C τότε τα A B C είναι

διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας και το B ϐρίσκεται επίσης microεταξύ των C και A

ΙΙ2 Για οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία A C υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένα

σηmicroείο B που ϐρίσκεται microεταξύ των A και C

ΙΙ3 Αν A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας τότε microόνον ένα από

αυτά ϐρίσκεται microεταξύ των δύο άλλων

ΙΙ4 ΄Εστω ότι A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται στην ίδια

ευθεία και ℓ είναι microία ευθεία που δεν περιέχει κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία

Αν η ℓ διέρχεται από ένα σηmicroείο του (ευθυγράmicromicroου) τmicroήmicroατος AB τότε αυτή διέρχεται

επίσης είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος AC είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος BC

Το προηγούmicroενο αξίωmicroα είναι γνωστό και ως αξίωmicroα του Pasch [καθώς οφεί-

λεται στον γερmicroανό γεωmicroέτρη Moritz Pasch (1843ndash1931)] Για τη διατύπωσή

του απαιτείται ο επόmicroενος ορισmicroός Κάλούmicroε ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB το σύνολο

των σηmicroείων microεταξύ των A και B Το τmicroήmicroα AB είναι το ίδιο microε το BA

ΙΙΙ Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Η κατηγορία αυτών των αξιωmicroάτων ορίζει την έννοια της ισότητας και κατ᾿ επέκτασιν

την έννοια της κίνησης οπότε αξιωmicroατικοποιείται η διαδικασία της microετακίνησης και

υπέρθεσης που χρησιmicroοποιείται στα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη

ΙΙΙ1 Αν A και B είναι διαφορετικά σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime ένα σηmicroείο microιας

ευθείας ℓ όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικής της k τότε σε microία καθορισmicroένη πλευρά της

ℓ από το Aprime υπάρχει πάντοτε ένα microοναδικό σηmicroείο Bprime έτσι ώστε το τmicroήmicroα AB είναι

ίσο microε το AprimeBprime

16 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Το συmicroπέρασmicroα του προηγουmicroένου αξιώmicroατος συmicroβολικά γράφεται AB equiv AprimeBprime

(ή AB ≃ AprimeBprime ακόmicroη και AB = AprimeBprime) Χρείαζόmicroαστε εδώ τους εξής ορισmicroούς

Μία ηmicroιευθεία (ή ακτίνα) από το σηmicroείο A προς το B αποτελείται από όλα τα

σηmicroεία C της ευθείας AB έτσι ώστε το A να microην είναι microεταξύ των B και C

Εποmicroένως κάθε σηmicroείο A microιας ευθείας ℓ ορίζει δύο ηmicroιευθείες (της ℓ από το

A) microε microοναδικό κοινό σηmicroείο το A Μία πλευρά της ℓ από το A αποτελείται από

όλα τα σηmicroεία που ϐρίσκονται στην ίδια ηmicroιευθεία της ℓ και είναι διαφορετικά

από το A

ΙΙΙ2 Αν AprimeBprime equiv AB και AprimeprimeBprimeprime equiv AB τότε και AprimeBprime equiv AprimeprimeBprimeprime

Από τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα προκύπτει ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz conshy

gruence) είναι σχέση ισοδυναmicroίας

ΙΙΙ3 Υποθέτουmicroε ότι A B είναι σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime Bprime σηmicroεία microιας ευθείας

ℓ (microε k = ℓ ή k ℓ) Αν C είναι σηmicroείο microεταξύ των A B και το Cprime σηmicroείο microεταξύ των

Aprime Bprime έτσι ώστε AC equiv AprimeCprime και CB equiv CprimeBprime τοτε είναι και AB equiv AprimeBprime

Πριν τη διατύπωση των δύο εποmicroένων αξιωmicroάτων δίνονται οι εξής ορισmicroοί ∆ύο

ηmicroιευθείες h και k microε κοινή αρχή (άκρο) το σηmicroείο O οι οποίες ανήκουν σε

διαφορετικές ευθείες λέmicroε ότι σχηmicroατίζουν microία γωνία microε πλευρές τις h k και

κορυφή το O Η γωνία αυτή συmicroβολίζεται microε ang (h k) Αν επί της h ϑεωρήσουmicroε

ένα σηmicroείο P και επί της k ένα σηmicroείο Q (οπότε h = OP και k = OQ) τότε την

ang (h k) συmicroβολίζουmicroε και microε ang POQ

Από σχετική πρόταση (microέσω των οmicroάδων αξιωmicroάτων Ι και ΙΙ) προκύπτει ότι κά-

ϑε ευθεία χωρίζει τα σηmicroεία του επιπέδου στο οποίο ϐρίσκεται σε δύο microέρη

ή πλευρές ως προς αυτήν Χωρίς να καταφύγουmicroε στις τεχνικές λεπτοέρειες

(που είναι αναγκαίες για την αυστηρή διατύπωση της πρότασης) είναι ϕανερόν

ότι εδώ δικαιολογούνται πλήρως οι έννοιες του διαχωρισmicroού του επιπέδου σε

δύο microέρη των πλευρών microιας ευθείας στο επίπεδο κα που χρησιmicroοποιούνται

στα laquoΣτοιχείαraquo ΄Ετσι microία γωνία χωρίζει το επίπεδο σε εσωτερικά και εξωτερι-

κά σηmicroεία όπως τα αντιλαmicroβανόmicroαστε διαισθητικά (αλλά ορίζονται microε κάθε

αυστηρότητα στο προτεινόmicroενο αξιωmicroατικό σύστηmicroα)

Τέλος ένα τρίγωνο ορίζεται από τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C και τα ευθύ-

γραmicromicroα τmicroήmicroατα AB BC AC Το συmicroβολίζουmicroε microε ABC

ΙΙΙ4 Υποθέτουmicroε ότι ang (h k) είναι microία γωνία ενός επιπέδου Π (microε κορυφή O) και ℓprime

ευθεία ενός επιπέδου Πprime (όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικού του Π) Θεωρούmicroε επίσης

και microία καθορισmicroένη πλευρά του Πprime ως προς την ℓprime Αν hprime είναι microία ηmicroιευθεία της ℓprime

microε αρχή ένα σηmicroείο Oprime τότε υπάρχει στο Πprime microια microοναδική ηmicroιευθεία kprime (εκ του Oprime)

τέτοια ώστε η ang (hprime kprime) να είναι ίση microε την ang (h k) (συmicroβολικά ang (hprime kprime) equiv ang (h k))και όλα τα εσωτρικά σηmicroεία της ang (hprime kprime) να ϐρίσκονται στην ίδια πλευρά του Πprime ως

προς την ℓprime

ΙΙΙ5 Αν σε δύο τρίγωνα ABC και AprimeBprimeCprime ισχύουν οι ισότητες AB equiv AprimeBprime AC equiv AprimeCprime

και angBAC equiv angBprimeAprimeCprime τότε ισχύει επίσης και η ισότητα angABC equiv angAprimeBprimeCprime

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 17

IV Αξίωmicroα των παραλλήλων

IV1 (Αξίωmicroα του Ευκλείδη microε την ισοδύναmicroη διατύπωση του Playfair) Από ένα

σηmicroείο P εκτός ευθείας ℓ άγεται (στο επίπεδο που ορίζεται από το P και την ℓ) microία

microοναδική ευθεία k παράλληλη προς την ℓ

V Αξιώmicroατα συνεχείας

V1 (Αξίωmicroα του Αρχιmicroήδη ή αξίωmicroα της microέτρησης) Αν AB και CD είναι δύο ευθύγραmicro-

microα τmicroήmicroατα τότε επί της ευθείας AB υπάρχει ένα πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων A1

A2 Aν έτσι ώστε AA1 equiv A1A2 equiv A2A3 equiv middot middot middot equiv Aνminus1Aν equiv CD και το B να ϐρίσκεται

microεταξύ των Aνminus1 και Aν

V2 (Αξίωmicroα της γραmicromicroικής πληρότητας) Το σύστηmicroα των σηmicroείων microιας ευθείας microε

τις σχέσεις της διάταξης και της ισότητας δεν microπορεί να επεκταθεί (δηλ να του επι-

συνάψουmicroε και άλλα σηmicroεία) εις τρόπον ώστε να παραmicroένουν αληθείς οι σχέσεις που

υφίστανται microεταξύ των στοιχείων του καθώς και οι ϐασικές ιδιότητες που απορρέουν

από τα αξιώmicroατα IndashIII και V1

Το αξίωmicroα V1 (του Αρχιmicroήδη) και αξίωmicroα V2 (της γραmicromicroικής πληρότητας) ισο-

δυναmicroούν microε το αξίωmicroα (συνεχείας) του Dedekind που έχει ως εξής

Για κάθε διαmicroέριση των σηmicroείων microιας ευθείας σε δύο microη κενά σύνολα τέτοια ώστε

κανένα σηmicroείο του ενός να microην ϐρίσκεται microεταξύ δύο σηmicroείων του άλλου υπάρχει

ένα σηmicroείο του ενός συνόλου που ϐρίσκεται microεταξύ οποιουδήποτε σηmicroείου αυτού

του συνόλου και οποιουδήποτε σηmicroείου του άλλου συνόλου

Για διάφορες προτάσεις που προκύπτουν από την εφαρmicroογή των παραπάνω α-

ξιωmicroάτων και σχετικά σχόλια παραπέmicroπουmicroε επίσης και στην ελληνική microετάφραση

του [18]

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα του Hilbert είναι διατυπωmicroένο microε τέτοιο τρόπο ώστε να

microην αναφέρεται κατ᾿ ανάγκην στον κόσmicroο της συνήθους εmicroπειρίας προς την οποίαν

ήταν περισσότερο προσανατολισmicroένο το σύστηmicroα του Ευκλείδη ΄Ετσι τα σηmicroεία microπο-

ϱούν να αναφέρονται στα σηmicroεία της εmicroπειρίας όπως microας τα διδάσκει η Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία αλλά και στα στοιχεία ενός συνόλου τα οποία αυθαιρέτως καλούmicroε έτσι

Το ίδιο και για τις ευθείες ενώ η σύmicroπτωση ενός σηmicroείου και microιας ευθείας (δηλαδή

το να κείται ένα σηmicroείο επί microιας ευθείας ή όχι) περιγράφεται από microιαν αφηρηmicroένη

microαθηmicroατική σχέση Θα τα δούmicroε όλα αυτά microε περισσότερες λεπτοmicroέρεις στο Κεφά-

λαιο 2

Την άποψη αυτή για τη ϑεmicroελίωση της γεωmicroετρίας κατά τρόπο γενικό και α-

ϕηρηmicroένο δηλαδή χωρίς άmicroεση αναφορά στην εmicroπειρία υποστηρίζει και ο Henri

Poincare (1854-1912) λέγοντας ότι (ϐλ [36 σελ 161])

18 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 7 Henri Poincare

Οι εκφράσεις laquoκείται επί διέρχεται απόraquo κλπ δεν προορίζονται να

ανακαλέσουν εικόνες είναι απλώς συνώνυmicroα της λέξης προσδιορίζω Οι

λέξεις laquoσηmicroείο ευθεία και επιπέδοraquo αυτές καθ᾿ εαυτές δεν πρέπει να προκα-

λούν στο πνεύmicroα καmicroία αισθητή παράσταση Θα microπορούσαν αδιαφόρως να

αποδίδουν αντικείmicroενα οποιασδήποτε ϕύσης αρκεί να microπορούmicroε να εγκα-

ϑιδρύσουmicroε microεταξύ αυτών των αντικειmicroένων microιάν αντιστοιχία τέτοια ώστε

σε κάθε σύστηmicroα δύο αντικειmicroένων που καλούνται σηmicroεία να αντιστοιχεί

ένα από τα αντικείmicroενα που καλούνται ευθείες και ένα microόνον

Τοιουτοτρόπως ο Κος Hilbert για να το πούmicroε έτσι προσπάθησε να

ϑέσει τα αξιώmicroατα σε microία τέτοια microορφή που να microπορούν να εφαρmicroοστούν

από οποιονδήποτε που δεν ϑα αντιλαmicroβανόταν το νόηmicroά τους γιατί δεν ϑα

είχε δεί ποτέ ούτε σηmicroεία ούτε ευθεία ούτε επίπεδο

Θα microπορούmicroε έτσι να κατασκευάσουmicroε όλη τη γεωmicroετρία δεν ϑα έλεγα

ακριβώς χωρίς να καταλαβαίνουmicroε τίποτε αφού ϑα συλλάβουmicroε τη λογική

αλληλουχία των προτάσεων αλλά το λιγότερο χωρίς να ϐλέπουmicroε τίποτε

σ᾿ αυτήν Θα microπορούσαmicroε να εmicroπιστευθούmicroε τα αξιώmicroατα σε microία λογική

microηχανή για παράδειγmicroα στο laquoλογικό πιάνοraquo του Stanley Jevons και ϑα

ϐλέπαmicroε να ϐγαίνει απ᾿ αυτό όλη η γεωmicroετρία

Το ακριβές κείmicroενο στα γαλλικά έχει ως εξής

Les expressions etre situe sur passer par etc ne sont pas deshy

stinees a evoquer des images elles sont simplement des synonymes du

mot determiner Les mots point droite et plan euxshymemes ne doivent

provoquer dans lrsquo esprit aucune representation sensible Ils pourraient

indifferemment designer des objets drsquo une nature quelconque pourvu

qursquo on put etablir entre ces objets une correspondance telle qursquo a tout

systeme de deux objets appeles points correspondit un des objets apshy

peles droites et un seul

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

Ainsi M Hilbert a pour ainsi dire cherche a mettre les axiomes sous

une forme telle qursquo ils puissent etre appliquees par quelqursquo un qui nrsquo en

comprendrait pas le sens parce qursquo il nrsquo aurait jamais vu ni points ni

droite ni plan

On pourra ainsi construire toute la geometrie je ne dirais pas preciseshy

ment sans y rien comprendre puisqursquo on saisira lrsquo enchainement logique

des propositions mais tout au moins sans y rien voir On pourrait confier

les axiomes a une machine a raisoner par example au piano raisoneur

de Stanley Jevons et on en verrair sortir toute la geometrie

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα

΄Οπως προκύπτει απ᾿ όσα αναφέραmicroε microέχρις εδώ ένα σύγχρονο αξιωmicroατικό σύστηmicroα

για τη ϑεmicroελίωση microιας γεωmicroετρίας περιέχει τα εξής στοιχεία

bull Απροσδιόριστους όρους (δηλαδή microη οριζόmicroενες αρχικές έννοιες ό-

πως σηmicroείο ευθεία κλπ)

bull Ορισmicroούς (όπως παραλληλία ευθειών κύκλος τρίγωνο κλπ)

bull Αξιώmicroατα (όπως τα αξιώmicroατα του Ευκλείδη του Hilbert)

bull ΄Ενα λογικό σύστηmicroα (όπως αυτό της Αριστοτέλειας Λογικής)

bull Θεωρήmicroατα Προτάσεις κλπ (που συνάγονται από τα τρία πρώτα

στοιχεία microεσω του λογικού συστήmicroατος)

Ταυτόχρονα πρέπει το σύστηmicroα να ικανοποιεί και τις ακόλουθες απαιτήσεις

1 Να είναι συνεπές (consistent) δηλαδή να microην υπάρχουν αξιώmicroατα ή ϑεω-

ϱήmicroατα που αντιφάσκουν microεταξύ τους Η σηmicroασία της συνέπειας είναι προφανής

Ποιά αξία ϑα είχε ένα σύστηmicroα στο οποίο ϑα microπορούσαν να ισχύουν ταυτόχρονα ένα

συmicroπέρασmicroα και η άρνησή του

2 Να είναι ανεξάρτητο (independent) δηλαδή κανένα αξίωmicroα να microην προκύπτει

(αποδεικνύεται) από άλλα αξιώmicroατα Τέτοια αξιώmicroατα καλούνται επίσης ανεξάρτητα

3 Να είναι πλήρες (complete) δηλαδή για κάθε πρόταση που microπορεί να δια-

τυπωθεί microε τους όρους και τα αξιώmicroατα του συστήmicroατος ϑα πρέπει να microπορούmicroε να

αποφανθούmicroε για την ισχύ ή όχι της πρότασης Αυτό ισοδύναmicroα σηmicroαίνει ότι δεν

είναι δυνατόν να προσθέσουmicroε στο σύστηmicroα κι ένα άλλο ανεξάρτητο αξίωmicroα

Ο άmicroεσος έλεγχος των παραπάνω απαιτήσεων είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο αν ό-

χι αδύνατο Ιδιαιτέρως η δυνατότητα της πληρότητας τίθεται υπό αmicroφισβήτηση πλέον

microετά την απόδειξη [από τον Kurt Godel(1906ndash1978)] της microη πληρότητας της Αριθ-

microητικής αλλά και κάθε άλλου αξιωmicroατικού συστήmicroατος που περιέχει αποτελέσmicroατα

της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθmicroών

Για τον έλεγχο της συνέπειας και ανεξαρτησίας ενός συστήmicroατος καταφεύγουmicroε

στα (γεωmicroετρικά) microοντέλα Ακριβέστερα ένα microοντέλο για ένα (γεωmicroετρικό) αξιωmicroατι-

κό σύστηmicroα προκύπτει όταν στους απροσδιόριστους όρους του συστήmicroατος δώσουmicroε

20 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microια συγκεκριmicroένη ερmicroηνεία έτσι ώστε τα αξιώmicroατα να είναι τώρα αληθείς προτά-

σεις για τα αντικείmicroενα της ερmicroηνείας Τα microοντέλα microπορεί να αναφερονται είτε στον

ϕυσικό κόσmicroο είτε σε άλλα αξιωmicroατικά συστήmicroατα

Η ύπαρξη microοντέλου για ένα αξιωmicroατικό σύστηmicroα συνεπάγεται τη συνέπεια του

τελευταίου Αυτό είναι προφανές αρκεί να σκεφτούmicroε ότι η ασυνέπεια microεταξύ α-

ξιωmicroάτων ϑα οδηγούσε σε αντίφαση αληθών (στο microοντέλο) προτάσεων Οmicroοίως και

οποιαδήποτε αντίφαση αξιωmicroάτων microε ϑεωρήmicroατα ή αντίφαση microεταξύ ϑεωρηmicroάτων

Φυσικά αν microια πρόταση αληθεύει σε ένα microοντέλο δεν σηmicroαίνει ότι είναι και ϑεώρη-

microα του αντίστοιχου αξιωmicroατικού συστήmicroατος

Απ᾿ το άλλο microέρος η ανεξαρτησία ενός συστήmicroατος οδηγεί προφανώς στην ε-

πιλογή του ελαχίστου αριθmicroού αξιωmicroάτων που είναι απαραίτητα Βέβαια όσο πιο

λίγα είναι τα αξιώmicroατα τόσο δυσκολότερες είναι οι αποδειξεις (τουλάχιστον ενός αρ-

χικού αριθmicroού ϐασικών προτάσεων) και τόσο microεγαλύτερος είναι ο αριθmicroός των προς

απόδειξη προτάσεων

Μια συνήθης διαδικασία ελέγχου της ανεξαρτησίας ενός αξιωmicroατικού συστήmicroατος

(microέσω microοντέλων) είναι η εξής ΄Εστω ότι ϑέλουmicroε να ελέγξουmicroε την ανεξαρτησία του

αξιώmicroατος X στο αξιωmicroατικό σύστηmicroα S Θεωρούmicroε το αύστηmicroα Sprime που προκύπτει

από το S όταν στη ϑέση του X ϐάλουmicroε την άρνησή του και προσπαθούmicroε να

κατασκευάσουmicroε ένα microοντέλο Mprime για το Sprime Αν κατασκευάζεται ένα Mprime τότε το

X είναι ανεξάρτητο επειδή τα αξιώmicroατα του Sprime είναι αληθείς προτάσεις στο Mprime

Πράγmicroατι αν το X ήταν εξηρτηmicroένο ϑα ήταν ένα ϑεώρηmicroα που ϑα προέκυπτε από

τα υπόλοιπα αξιώmicroατα του S συνεπώς ϑα ήταν και microία αληθής πρόταση στο Mprime

πράγmicroα που δεν microπορεί να συmicroβεί αφού στο ίδιο το Mprime αληθεύει η άρνηση του X

Προφανώς microια τέτοια διαδικασία είναι επίπονη και ϑα πρέπει να κατασκευαστούν

τόσα microοντέλα όσος είναι ο αριθmicroός των αξιωmicroάτων του συστήmicroατος

Στη συνέχεια ϑα δούmicroε microερικά microοντέλα microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ενώ στο

Κεφάλαιο 2 ϑα δούmicroε microοντέλα του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία

Είπαmicroε πιο πάνω ότι οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες στις οποίες ανήκει η Υπερβολική

Γεωmicroετρία που ϑα εξετάσουmicroε microε συντοmicroία εδώ είναι δηmicroιούργηmicroα του 19ου αιώ-

να Προέκυψαν από τη συστηmicroατική microελέτη της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας ιδιαιτέρως

από τις προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώmicroατος του Ευκλείδη (αξίωmicroα των πα-

ϱαλλήλων) Επειδή πολλά συmicroπεράσmicroα τους ήσαν παράξενα σε σχέση microε αυτά της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας συνάντησαν την άρνηση Παρά το γεγονός ότι ο ϕιλόσοφος

I Kant είχε πεθάνει από το 1808 οι απόψεις του επί της γεωmicroετρίας εξακολουθού-

σαν να επηρεάζουν πολλούς εξού και η πολεmicroική τους κατά της νέας γεωmicroετρίας

που εmicroφανίστηκε σχεδόν microια εικοσαετία αργότερα

΄Οπως επίσης αναφέραmicroε στην Παράγραφο 13 το ερώτηmicroα της ανεξαρτησίας του

5ου αξιώmicroατος επιλύθηκε οριστικά το 1868 από τον E Beltrami οποίος κατεσκεύ-

ασε ένα microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ πιο κάτω τα περί ψευδόσφαιρας)

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 21

Η σχετική διαδικασία γίνεται όπως περιγράφεται στην προηγούmicroενη παράγραφο

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα Sprime της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας προκύπτει από το σύστηmicroα

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας S microε την αντίστοιχη άρνηση του 5ου αξιώmicroατος Για

το Sprime κατασκευάζεται ένα microοντέλο (ψευδόσφαιρα) στο οποίον αληθεύουν ως ϑεω-

ϱήmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα του Sprime εποmicroένως όπως εξηγήσαmicroε το 5ο αξίωmicroα είναι

ανεξάρτητο

Η κατανόηση των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών (ιδιαίτερα της Ελλειπτικής) ήταν

αρκετά δύσκολη microέχρι την ανακάλυψη microερικών απλών microοντέλων τα οποία ϑα περι-

γράψουmicroε στη συνέχεια

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι (ϐλ σελίδα 11) η Υπερβολική Γεωmicroετρία προκύπτει όταν στη

ϑέση του 5ου αξιώmicroατος δεχτούmicroε ότι ισχύει το

Υπερβολικό αξίωmicroα Από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται προς αυτήν δύο

ή περισσότερες παράλληλες

Εικονα 8 Janos Bolyai

ενώ διατηρούνται τα υπόλοιπα τέσσερα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Η

αλλαγή αυτή δεν επηρεάζει ολόκληρο το οικοδόmicroηmicroα της τελευταίας Πολλές προ-

τάσεις της εξακολουθούν να ισχύουν (εφ᾿ όσον δεν ϐασίζονται στο 5ο αξίωmicroα άρα

αποτελούν microέρος της Απόλυτης Γεωmicroετρίας) Τα περισσότερα όmicroως συmicroπεράσmicroατα

της Ευκλειδειας Γεωmicroετρίας ανατρέπονται και οδηγούν σε περίεργα (για την ανθρώ-

πινη εmicroπειρία) συmicroπεράσmicroατα όπως ότι laquoτο άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των δύο ορθώνraquo laquoδύο τρίγωνα microε ίσες γωνίες είναι ίσαraquo και πολλά άλλα

Θεωρούmicroε δηmicroιουργούς της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας τον Ούγγρο Janos W Bolshy

yai (1802ndash1860) και τον Ρώσο Nikolai I Lobachewsky (1793ndash1856) οι οποίοι δηmicroο-

σίευσαν τα αποτελέσmicroατά τους (ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον) το 1829 και 1832

22 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αντίστοιχα

Εικονα 9 Nikolai I Lobachewsky

Επίσης και ο microεγάλος microαθηmicroατικός K F Gauss (1775ndash1855) είχε ανακαλύψει

αυτή τη γεωmicroετρία πριν τις δηmicroοσιεύσεις των άλλων όπως microαρτυρούν διάφορες επι-

στολές του καθώς και τα ηmicroερολόγιά του που είδαν το ϕώς της δηmicroοσιότητας περί-

που σαράντα χρόνια microετά τον ϑάνατό του ΄Οmicroως ο Gauss δεν δηmicroοσίευσε τίποτε αφ᾿

ενός microεν ϕοβούmicroενος τις laquoϕωνές των Βοιωτώνraquo δηλαδή τις αντιδράσεις αυτών που δεν

ϑα microπορούσαν να κατανοήσουν τη νέα γεωmicroετρία αφ᾿ ετέρου δε λόγω της επιθυmicroίας

του οι εργασίες του να είναι άψογες από κάθε άποψη γι᾿ αυτό και οι δηmicroοσιεύσεις

του είναι λίγες σε σχέση microε την πληθώρα των αποτελεσmicroάτων που περιέγραφε στα

ηmicroερολόγιά του Για λεπτοmicroέρειες σχετικές microε τη Ϲωή και τις δραστηριότητες των

προηγουmicroένων παραπέmicroπουmicroε πχ στους [8] [11] [15] και [20]

Εδώ πρέπει να αναφέρουmicroε ότι ένας σηmicroαντικός αριθmicroός αποτελεσmicroάτων της Υ-

περβολικής Γεωmicroετρίας είχαν ανακαλυφθεί και από τον Ιταλό Gerolamo Saccheri

(1667ndash1773) σχεδόν εκατό χρόνια πριν την επίσηmicroη εmicroφάνισή της Αυτά προέκυ-

ψαν από την προσπάθειά του να αποδείξει ότι το 5ο αξίωmicroα του Ευκλείδη δεν ήταν

ανεξάρτητο Υποθέτοντας λοιπόν το αντίθετο κατέληξε (microέσω διαφόρων σκέψεων για

το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου που στο πλαίσιο της Απόλυτης Γεωmicroετρίας

δεν microπορεί να υπερβαίνει τις δύο ορθές) σε συmicroπεράσmicroατα ϱιζικά αντίθετα από αυτά

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Επειδή αυτό συνιστούσε κατά την άποψή του αντί-

ϕαση (αφού microέχρι τότε ήταν εδραιωmicroένη η πεποίθηση ότι η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ήταν η microόνη δυνατή) ϑα έπρεπε να δεχθεί την εξάρτηση του αξιώmicroατος και κατά

συνέπεια την ισχύ της Απόλυτης Γεωmicroετρίας Κατ᾿ αυτόν τον τρόπο ο Saccheri όχι

microόνον υπέπεσε σε λογικό λάθος αλλά έχασε και την ευκαιρία να ϑεωρηθεί ο πατέ-

ϱας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού τα συmicroπεράσmicroατά της στα οποία έφτασε τα

απέρριψε ως laquoαπεχθήraquo

Επίσης ο Γερmicroανός Μαθηmicroατικός Johann Lambert (1728ndash1777) είχε πλησιάσει

πολύ στην ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού διεπίστωσε ότι η άρνηση

του αξιώmicroατος των παραλλήλων οδηγεί σε τρίγωνα microε άθροισmicroα γωνιών διαφορετι-

κό από τις 180 καθώς και στην ανυπαρξία οmicroοίων τριγώνων Απέρριψε όmicroως τα

συmicroπεράσmicroατα αυτά ϑεωρώντας ότι οδηγούν σε αντιφάσεις Σχετικές λεπτοmicroέρειες

αναφέρονται στο [32]

Το πρώτο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί η ψευδόσφαιρα (pseudoshy

sphere) που πρότεινε ο E Beltrami το 1868 Πρόκειται για την επιφάνεια που απο-

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 23

τελείται από microία ή δύο χοάνες όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 12 ΄Οψεις της ψευδόσφαιρας (από το ϐιβλίο [11])

Η ψευδόσφαιρα παράγεται από την περιστροφή (εδώ) περί τον άξονα των x της

καmicroπύλης που καλείται έλκουσα (tractrix) και απεικονίζεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 13 Η έλκουσα (από το httpTractrix)

Πολύ περιγραφικά η έλκουσα παράγεται ως εξής Υποθέτουmicroε ότι στο σηmicroείο

(0 1) τοποθετείται ένα αντικείmicroενο ενώ στην αρχή των αξόνων στέκεται ένας πα-

ϱατηρητής που συνδέεται microε το αντικείmicroενο microε microία αλυσίδα microήκους 1 Καθώς ο

παρατηρητής κινείται στον άξονα των x κατά τη ϑετική ϕορά το αντικείmicroενο (κι-

νούmicroενο εκτός του άξονος των y) διαγράφει το δεξιό τmicroήmicroα της καmicroπύλη Ανάλογα

σχηmicroατίζεται και το αριστερό τmicroήmicroα Χαρακτηριστικό της έλκουσας είναι το ότι το

microήκος της εφαπτοmicroένης από το σηmicroείο επαφής microέχρι το σηmicroείο τοmicroής της microε τον

άξονα των x είναι σταθερά 1

24 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία των Επιφανειών αποδεικνύεται ότι η ψευδόσφαιρα έχει

σταθερή αρνητική καmicroπυλότητα Gauss αντίθετα από τη συνήθη σφαίρα του τριδιά-

στατου χώρου που έχει σταθερή ϑετική καmicroπυλότητα (για την έννοια της καmicroπυλό-

τητας παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις microας [7])

Στην περίπτωση αυτού του microοντέλου ϑεωρούmicroε ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας τα σηmicroεία της επιφάνειας της ψευδόσφαιρας ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε τις

λεγόmicroενες γεωδαισιακές γραmicromicroές της ίδιας επιφάνειας Οι τελευταίες είναι το ανά-

λογο των ευθειών του (Ευκλειδείου) επιπέδου για microια επιφάνεια Ακριβέστερα microία

γεωδαισιακή είναι η καmicroπύλη η οποία έχει το microικρότερο microήκος από όλες τις καmicro-

πύλες που συνδέουν δύο σηmicroεία συνεπώς microετρά την απόσταση microεταξύ σηmicroείων της

επιφάνειας Οι γεωδαισιακές της ψευδόσφαιρας είναι καmicroπύλες όπως η ℓ και οι δύο

καmicroπύλες που περνούν από το P (ϐλ το δεύτερο σχήmicroα) Στο ίδιο σχήmicroα ϕαίνεται

ότι από το σηmicroείο P που ϐρίσκεται εκτός της ℓ διέρχονται περισσότερες της microιας

ευθείες που δεν τέmicroνουν την ℓ

΄Οmicroως το microοντέλο αυτό δεν είναι ένα πλήρες microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας

microε την έννοια οτι δεν ισχύουν όλα τα αξιώmicroατα της Πράγmicroατι δεν ίσχύει το αξίωmicroα

2 καθ᾿ όσον microια γεωδαισιακή όπως η ℓ δεν microπορεί να επεκταθεί laquoοmicroαλάraquo πάνω από

τα σηmicroεία επαφής των δύο χοανών Με τον όρο οmicroαλά εννοούmicroε ότι η καmicroπύλη έχει

εφαπτόmicroενες σε όλα τα σηmicroεία της πράγmicroα που δεν συmicroβαίνει στα σηmicroεία επαφής των

χοανών Στα ίδια σηmicroεία η επιφάνεια δεν διαθέτει εφαπτόmicroενα επίπεδα (ϐλ και [7])

Επίσης πρέπει να τονιστεί ότι κύκλοι όπως ο C του σχήmicroατος δεν είναι γεωδαισιακές

όπως microπορεί να ϕανεί εκ πρώτης όψεως

Εποmicroένως η ψευδόσφαιρα δεν αποδεικνύει τη συνέπεια της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας Αργότερα ο Hilbert απέδειξε ότι οι επιφάνειες αρνητικής καmicroπυλότητας δεν

microπορούν να δηmicroιουργήσουν microοντέλα της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Σε κάθε περίπτω-

ση όmicroως το microοντέλο του Beltrami ϐοήθησε τη διάδοση της γεωmicroετρίας αυτής και την

αναζήτηση ακριβέστερων microοντέλων

Σχηmicroα 14 Ο δίσκος των KleinshyBeltrami (από το ϐιβλίο [5])

Τα πράγmicroατα έγιναν απλούστερα microε τον δίσκο των KleinshyBeltrami που εmicroφα-

νίζεται στο προηγούmicroενο σχήmicroα Πρόκειται για το πρώτο πραγmicroατικό microοντέλο της

Υπερβολικής Γεωmicroετρίας που πρότειναν οι δύο αναφερόmicroενοι microαθηmicroατικοί (ανεξάρ-

τητα ο ένας από τον άλλον) το 1871

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

Εδώ ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερι-

κού του δίσκου και ως ευθείες τις (ανοιχτές) χορδές δηλαδή τις χορδές χωρίς τα

επί της περιφερείας άκρα τους Προφανώς από το σηmicroείο P του σχήmicroατος άγονται

άπειρες παράλληλες προς τη χορδή AB (χωρίς τα σηmicroεία A B) Το microοντέλο αυτό

χρησιmicroοποιείται επίσης για να αποδειχθεί ότι η Υπερβολική Γεωmicroετρία είναι υποσύ-

στηmicroα (Υπογεωmicroετρία) της Προβολικής Γεωmicroετρίας για την οποίαν γίνεται λόγος στο

επόmicroενο κεφάλαιο

Για την επαλήθευση του δευτέρου αξιώmicroατοςεισάγεται ένας κατάλληλος τύπος για

το microήκος ευθείας ϐάσει του οποίου αποδεικνύεται ότι καθώς προχωρούmicroε προς τα

άκρα microιας χορδής το microήκος της απειρίζεται Οmicroοίως ορίζονται microε κατάλληλο τρόπο

και οι γωνίες (οπότε αποδεικνύεται ότι το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των 180o)

΄Ενα άλλο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί ο δίσκος του Poincare

Σχηmicroα 15 Ο δίσκος του Poincare (από το ϐιβλίο [11])

Στην περίπτωση αυτή ως σηmicroεία ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερικού του δίσκου

(όπως και στην προηγούmicroενη περίπτωση) ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε του κύκλους

που είναι κάθετοι στον κύκλο του δίσκου καθώς και τις διαmicroέτρους του πρώτου ∆υο

κύκλοι λέγονται κάθετοι αν έχουν κάθετες εφαπτόmicroενες στα σηmicroεία τοmicroής τους Η

αξία του microοντέλου αυτού είναι ιστορικά σηmicroαντική γιατί χρησιmicroοποιήθηκε για την

απόδειξη της συνέπειας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Για microια λεπτοmicroερή παρουσία-

ση του microοντέλου του Poincare και τη επαλήθευση των αξιωmicroάτων της Υπερβολικής

Γεωmicroετρίας σ᾿ αυτό παραπέmicroπουmicroε στο [11 σελ 164ndash170]

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία είναι πιο πολύπλοκη στη ϑεmicroελίωσή της και οφείλεται στον

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως αναφέρεται στη σελιδα

11 το είδος αυτής της γεωmicroετρίας προκύπτει όταν αρνούmicroαστε καθ᾿ ολοκληρίαν

την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών ΄Οmicroως αν κρατήσουmicroε τα αξιώmicroατα 1 2 3 4 της

26 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 9 Bernhard Riemann

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και αντικαταστήσουmicroε απλώς το 5ο αξίωmicroα της microε το

Ελλειπτικό αξίωmicroα ∆ύο ευθείες (γραmicromicromicroές) τέmicroνονται πάντοτε

τότε microέσω του 2ου αξιώmicroατος και microερικών προτάσεων που συνάγονται απ᾿ αυτό

καταλήγουmicroε στην απόδειξη της ύπαρξης παραλλήλων Εποmicroένως για να ϑεmicroελιωθεί

microία γεωmicroετρία χωρίς παράλληλες ϑα πρέπει να διατηρηθούν τα αξιώmicroατα 1 3 4 της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας να αντικατασταθεί το 5ο αξίωmicroα microε το ελλειπτικό αξίωmicroα

και να αντικατασταθεί το 2ο αξίωmicroα microε το

Αξίωmicroα 2prime ΄Ενα πεπερασmicroένο ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microπορεί να επεκταθεί σε

ευθεία Η ευθεία αυτή microπορεί να είναι χωρίς όρια όχι όmicroως απαραιτήτως

και απείρου microήκους

Αλλά και micro᾿ αυτήν την αλλαγή microετά από αρκετά ϐήmicroατα διαπιστώνεται και πάλι

ότι υπάρχουν παράλληλες ΄Οπως δείχνει η προσεκτική έρευνα του πράγmicroατος για

την επίτευξη του σκοπού microας ϑα πρέπει να καταργήσουmicroε τη microία από τις δύο επόmicroε-

νες προτάσεις S1 και S2 αφού η ταυτόχρονη ισχύς τους microοιραία οδηγεί στην ύπαρξη

παραλλήλων

S1 Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

S2 ∆ύο (διαφορετικά) σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία

΄Ετσι

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S1 microε ταυ-

τόχρονη διατήρηση της S2 οδηγούν στην απλή ελλειπτική γεωmicroετρία

ενώ

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S2lowast microε

ταυτόχρονη διατήρηση της S1 οδηγούν στην διπλή ελλειπτική γεωmicroε-

τρία

Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουmicroε microια γεωmicroετρία εντελώς διαφορετική από την

Ευκλείδεια στην οποίαν δεν ισχύει κανένα από τα συmicroπεράσmicroατα της τελευταίας (σε

αντίθεση microε την Υπερβολική Γεωmicroετρία που διασώζει microερικά από αυτά)

lowast δηλαδή η άρνηση της microοναδικότητας αφού ορίζεται ευθεία κατά το αξίωmicroα 1

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 27

Η ακριβής διατύπωση ενός συνεπούς συστήmicroατος αξιωmicroάτων της Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας είναι πιο πολύπλοκη από την παράπανω (για χάρη της απλούστευσης)

ϐασική περιγραφή Για την πληρότητα περιγράφουmicroε δύο microοντέλα Το πρώτο (Σχήmicroα

16) αναφέρεται στην απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Σχηmicroα 16 Μοντέλο απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Ως σηmicroεία της απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας παίρνουmicroε όλα τα σηmicroεία της επιφά-

νειας ενός ηmicroισφαιρίου (στον Ευκλειδειο χώρο R3) εφ᾿ οσον αυτά δεν ϐρίσκονται επί

της γραmicromicroής του ισηmicroερινού καθώς και όλα τα Ϲεύγη αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του

ισηmicroερινού ∆ηλαδή ένα Ϲεύγος αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του ισηmicroερινού ϑεωρεί-

ται ένα σηmicroείο της γεωmicroετρίας αυτής Ως ευθείες ϑεωρούmicroε τους microισούς microέγιστους

κύκλους και τον ισηmicroερινό Το microήκος είναι το microήκος microε την Ευκλείδεια έννοια

λαmicroβάνοντας όmicroως υπόψη τις προηγούmicroενες απαιτήσεις Τέλος ως microέτρον γωνίας

παίρνουmicroε αυτό της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Αντίθετα στο microοντέλο της διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας που απεικονίζεται

στο Σχήmicroα 17 ϑεωρούmicroε όλα τα σηmicroεία ολόκληρης της σφαιρικής επιφάνειας και

(όλους) τους ολόκληρους microέγιστους κύκλους Να σηmicroειωθεί ότι οι microέγιστοι κύκλου

της σφαίρας αποτελούν τις γεωδαισιακές της (ϐλ σχετικώς τα αναφερόmicroενα στην

ψευδόσφαιρα) συνεπώς υλοποιούν την απόσταση microεταξύ δύο σηmicroείων

Σχηmicroα 17 Μοντέλο διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Μέσω των προηγουmicroένων microοντέλων microπορούmicroε να διαπιστώσουmicroε εύκολα microερικές

28 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ιδιότητες της αντίστοιχης Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας Για παράδειγmicroα έχουmicroε

Απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία ∆ιπλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

bull Μία ευθεία δεν χωρίζει το επίπεδο bull Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται microία microοναδική ευθεία

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται τουλάχιστον microία ευθεία

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε ένα σηmicroείο

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε δύο σηmicroεία

bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

Τα δύο τελευταία microοντέλα επειδή ανήκουν στη Σφαιρική Γεωmicroετρία microας κάνουν

πολλές ϕορές να χρησιmicroοποιούmicroε τον τελευταίο όρο στη ϑέση της Ελλειπτικής Γεω-

microετρίας Πολλές ιδιότητες των τριγώνων της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ήσαν γνωστές και

πριν την ανάπτυξη της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας και είχαν χρησιmicroοποιηθεί στην κατα-

σκευή (γεωγραφικών) χαρτών ΄Οmicroως η ερmicroηνεία της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ως ενός

διδιάστατου ελλειπτικού χώρου έγινε από τον Riemann στην περίφηmicroη επί Υφηγεσίᾳ

διάλεξή του (στο Πανεπιστήmicroιο του Gttingen το 1854) microε τίτλο Uber die Hypothesen

welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται

στα ϑεmicroέλια της γεωmicroετρίας)

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα microοντέλων της Υπερβολικής και Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας γίνεται τώρα εντελώς κατανοητή η συνηγορεία του Poincare (σελ 18)

που microε τόση ϑέρmicroη υποστηρίζει την άποψη του Hilbert ότι απροσδιόριστοι όροι

σηmicroείο και ευθεία microπορούν να έχουν οποιαδήποτε ερmicroηνεία (συγκρίνατε πχ τα

σηmicroεία της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας microε τα σηmicroεία της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας τις

ευθείες τις πρώτης microε τις ευθείες του δίσκου του Poincare ή τους microέγιστους κύκλους

της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας κλπ)

Κλείνοντας τα περί microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ϑα πρέπει να προσθέσουmicroε ότι οι

πιο ϱιζοσπαστικές αντιλήψεις για τη Γεωmicroετρία και την έννοια του χώρου ϐρίσκονται

στην προαναφερόmicroενη διάλεξη επί Υφηγεσίᾳ του Riemann ο οποίος ϕαντάστηκε ένα

χώρο καmicroπυλωmicroένο microε αυθαίρετη διάσταση ο οποίος microόνον τοπικά (δηλ στην πε-

ϱιοχή του κάθε σηmicroείου του) είναι ευκλείδειος ΄Ετσι ο Riemann συνέλαβε την έννοια

της Πολλαπλότητας (manifold) η οποία είχε τεράστια σηmicroασία για τη σύγχρονη ε-

ξέλιξη των microαθηmicroατικών και της ϕυσικής Η Θεωρία της Σχετικότητας του Albert

Einstein (1878ndash1955) ϐρήκε στη γεωmicroετρία του Riemann το αναγκαίο microαθηmicroατικό

υπόβαθρο για τη διατύπωση και την παραπέρα microελέτη της Στη ϑεωρία αυτή microέσω

της ταύτισης της καmicroπυλότητας (που είναι ιδιότητα και microέγεθος γεωmicroετρικό) microε τη

ϐαρύτητα (που είναι εκδήλωση της ύλης και microέγεθος ϕυσικό) καταλήγουmicroε σε microία

γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου Περισσοτερα ϑα αναπτυχθούν στην sect 43

18 Ασκήσεις 29

΄Οπως είναι ϕυσικό η προηγουmicroένη σύντοmicroη περιήγηση σε microερικές από τις ιδέ-

ες της γεωmicroετρίας δεν microπορεί να εξαντλήσει τις πολυάριθmicroες λεπτοmicroέρειες από τις

συναρπαστικές κατακτήσεις που πραγmicroατοποιήθηκαν στη microακραίωνη πορεία της

Συmicroπληρωmicroατικά ο αναγνώστης microπορεί να συmicroβουλευτεί ανάmicroεσα σε microια πλού-

σια ϐιβλιογραφία και τις εξής πηγές J N Cederberg [10] R L Faber [15] Χ

Στράντζαλος [41] (για την αξιωmicroατική microέθοδο και τη ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας και

microη Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας) M Spivak [38] [για microια microετάφραση στα Αγγλικά της

διάλεξης του Riemann ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια της

γεωmicroετρίας) στην οποίαν περιέχονται οι αντιλήψεις του τελευταίου για τον χώρο και

τη γεωmicroετρία] H Poincare [36] (για ποικίλλες σκέψεις του γύρω από τη γεωmicroετρία

τα microαθηmicroατικά και τη ϕυσική) Επίσης για διάφορα ιστορικά στοιχεία σχετικά microε

την εξέλιξη της γεωmicroετρίας τη Ϲωή και το έργο διαφόρων microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε και στους E T Bell [8] S Hollingdale [19] L Mlodinov [26] Μ Μπρίκα

[28] R Osserman [32] J Pierpont [35] D J Struik [42] και I M Yaglom [45]

Σηmicroείωση Για τη συγγραφή του κεφαλαίου αυτού χρησιmicroοποιήθηκαν κυρίως οι πη-

γές [8] [10] [11] [32] και [39] όπου παραπέmicroπουmicroε για περισσότερες λεπτοmicroέρειες

και συmicroπληρώσεις

18 Ασκήσεις

1 Να microελετηθεί η προσέγγιση του Saccheri (ϐλ [11 σελ 104ndash107])

2 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της επαλήθευσης των αξιωmicroάτων της Υπερβολική

Γεωmicroετρίας στο microοντέλο του Poincare (ϐλ [11 σελ 164ndash170])

3 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας (ϐλ [11 σελ 138ndash139

και 143ndash162])

4 Να αναζητηθεί η ιστορία της έλκουσας (σελ 23) και η παραmicroετρική microορφή της

5 Να αποδειχθεί ισχυρισmicroός της σελ 16 ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz congruence)

που ορίζεται από τα αξιώmicroατα της οmicroάδας ΙΙΙ του Hilbert είναι σχέση ισοδυναmicroίας

6 Να περιγραφεί ένα (αριθmicroητικό) microοντέλο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2

Συσχετισmicroένα και

προβολικά επίπεδα

Η αιφνιδία άνοδος της συνθετικής Προβολικής Γεωmicroετρί-

ας κατά τον 17ο αιώνα εmicroφανίζεται τώϱα σαν microία καθυστε-

ϱηmicroένη αναβίωση του ελληνικού πνεύmicroατος ΄Οmicroως ή-

ταν microόνον microε το εκκεντρικό laquoΠρόχειρο Σχέδιοraquo (συντετmicroη-

microένος τίτλος) του Desargues στα 1639 που η συνθετική

Προβολική Γεωmicroετρία αναπτύχθηκε σε νέο και ανεξάρτη-

το κλάδο της γεωmicroετρίας

E T Bell [8 σελ 158]

Μετα απο microια συντοmicroη εισαγωγή στη δηmicroιουργία της Προβολικής Γεωmicroετρίας

στις sectsect21ndash22 του κεφαλαίου παρουσιάζεται η κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου αντιστοίχως Επισηmicroαίνονται

οι ϐασικές διαφορές τους και συνάγονται τα πρώτα απαραίτητα για την συνέχεια

συmicroπεράσmicroατα

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

31

32 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Η sect23 αναφέρεται στην αρχή του δυϊσmicroού Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν για κάθε συmicroπέρα-

σmicroα που ισχύει στο προβολικό επίπεδο ισχύει και το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

να γίνει η απόδειξη του τελευταίου

Οι στοιχειώδεις απεικονίσεις (sect24) είναι αmicroφιmicroονοσήmicroαντες απεικονίσεις microεταξύ

απλών σχηmicroατισmicroών (όπως σηmicroειοσειρών δεσmicroών ευθειών) και επιτρέπουν τη σύγ-

κριση του πλήθους των στοιχείων των προηγουmicroένων σχηmicroατισmicroών

Στην sect25 συνδέονται τα συσχετισmicroένα microε τα προβολικά επίπεδα Από ένα συ-

σχετισmicroένο επίπεδο microε την προσθήκη των ιδεατών (ή κατ᾿ εκδοχήν) σηmicroείων και της

ιδεατής ευθείας οδηγούmicroαστε σε ένα προβολικό επίπεδο Αντιστρόφως η αφαίρεση

microιας ευθείας του προβολικού επιπέδου οδηγεί σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

Τέλος η sect26 αφιερώνεται στην έννοια του microορφισmicroού microεταξύ προβολικών επιπέ-

δων ΄Ενας microορφισmicroός αποτελείται από ένα Ϲεύγος απεικονίσεων που αντανακλούν

microε κατάλληλο τρόπο τη δοmicroή του προβολικού επιπέδου

20 Εισαγωγή

Η Προβολική Γεωmicroετρία είναι microία microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία αφού σ᾿ αυτήν δεχόmicroα-

στε ότι δεν ορίζεται η έννοια της παραλληλίας

΄Οπως και η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία έτσι και η Προβολική προέκυψε από microιαν

ανάγκη Ανάγκη όχι πρακτική αλλά αισθητική Πρόκειται για την προσπάθεια να

αποτυπωθούν τα αντικείmicroενα του τριδιάστατου χώρου στο διδιάστατο Ϲωγραφικό πί-

νακα microε τρόπο που να δηmicroιουργείται η αίσθηση του ϐάθους (προοπτική)

Παρ᾿ όλο που η επίλυση του προηγουmicroένου αισθητικού προβλήmicroατος είχε απα-

σχολήσει τους αρχαίους ΄Ελληνες Ϲωγράφους και αργότερα τους Βυζαντινούς ϑα

λέγαmicroε ότι οι κανόνες της προοπτικής συστηmicroατοποιήθηκαν κυρίως στην περίοδο

της Αναγέννησης από καλλιτέχνες όπως οι Filippo Brunelleschi (1377ndash1446) Paolo

Uccello (1379ndash1475) Leone Battista Alberti (1404ndash1472) Pierro de la Francesca

(1416ndash1492) Sandro Botticelli (1445ndash1510) Leonardo da Vinci (1452ndash1519) Alshy

brecht Durer (1471ndash1528) Michelangelo Buonarroti (1475ndash1564) Raffaello Santi

Sanzio (1483ndash1520) κα Αξίζει σχετικώς να αναφέρουmicroε ότι πολλοί από τους microε-

γάλους Ϲωγράφους και γλύπτες της περιόδου αυτής είχαν σοβαρές γνώσεις microαθηmicroα-

τικών και microηχανικής για τούτο και οι κανόνες της προοπτικής είχαν microαθηmicroατικό

υπόβαθρο και απετέλεσαν τη ϐάση για τη microεταγενέστερη ανάπτυξη της Προβολικής

Γεωmicroετρίας σε αυτοτελή κλάδο των microαθηmicroατικών

Ας δούmicroε microε συντοmicroία τη διαδικασία αποτύπωσης των εικόνων στο Ϲωγραφικό

πίνακα Για ευκολία υποθέτουmicroε ότι ο τελευταίος [που συmicroβολίζεται microε (Π ) στο

επόmicroενο σχήmicroα] είναι διαφανής (γυάλινος) και κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο (E)επάνω στο οποίο στέκεται ο Ϲωγράφος Η εικόνα ενός σηmicroείου P του επιπέδου (E)είναι το σηmicroείο P prime τοmicroή της οπτικής ακτίνας OP (αν O συmicroβολίζει τον οφθαλmicroό του

Ϲωγράφου) microε το επίπεδο του πίνακα (Π ) Παρόmicroοια προσδιορίζεται στον πίνακα και

20 Εισαγωγή 33

η εικόνα Rprime οποιουδήποτε σηmicroείου R του χώρου

Σχηmicroα 21

Εξάλλου από την εmicroπειρία microας γνωρίζουmicroε ότι καθώς τα σηmicroεία P του χώρου

ή του επιπέδου (E) αποmicroακρύνονται από το επίπεδο (Π ) οι αντίστοιχες εικόνες P prime

πλησιάζουν προς την ευθεία AB (ϐλ Σχήmicroα 22) που είναι η τοmicroή του (Π ) microε ένα

νοητό επίπεδο το οποίο διέρχεται από το O και είναι παράλληλο προς το επίπεδο

(E) Η ευθεία AB αποτυπώνει στον πίνακα του Ϲωγράφου τον οπτικό ορίζοντα τα

σηmicroεία του οποίου ϕαίνονται να ϐρίσκονται σε laquoάπειρηraquo απόσταση από τον Ϲωγράφο

(laquoεπ᾿ άπειρονraquo σηmicroεία)

Σχηmicroα 22

Παρόmicroοια δύο ευθείες α και [του (E) ή του χώρου] οι οποίες είναι παράλληλες

34 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

microεταξύ τους αποτυπώνονται στον πίνακα σε δύο ευθείες αprime και prime τεmicroνόmicroενες σε ένα

σηmicroείο της γραmicromicroής του ορίζοντα AB (ϐλτο επόmicroενο σχήmicroα)

Σχηmicroα 23

Εποmicroένως στο Ϲωγραφικό πίνακα εmicroφανίζεται ένα άλλο είδος γεωmicroετρίας στο

οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες (εκτός από αυτές που απεικονίζουν τις

ευθείες τις παράλληλες προς την CD άρα και την AB αλλά κι αυτές ϑεωρούmicroε ότι

τέmicroνονται στο άπειρο πραγmicroα που ϕαινοmicroενικά ϑα συmicroβεί αν κάνουmicroε microια microικρή

στροφή του πίνακα)

Επίσης όπως ϕαίνεται πάλι στο Σχήmicroα 23 ανατρέπονται και οι microετρικές ιδιό-

τητες της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας η απόσταση των παραλλήλων α και ϕυσικά

δεν διατηρείται στις τεmicroνόmicroενες πλέον εικόνες αprime και prime ΄Οσο προχωρούmicroε προς τη

γραmicromicroή του ορίζοντα η απόσταση αυτή microικραίνει για να microηδενιστεί επί της AB

Στην επόmicroενη σελίδα εmicroφανίζονται δύο Ϲωγραφικοί πίνακες Ο πρώτος του Gioshy

vanni Antonio Canal γνωστού και ως Canaletto (1697ndash1768) απεικονίζει το κανάλι

της Βενετίας Είναι ένα τυπικό παράδειγmicroα Ϲωγραφικού πίνακα στον οποίον ακολου-

ϑούνται οι κανόνες της προοπτικής Το ύψος των κτιρίων microειώνεται καθώς η microατιά

κινείται προς τη γραmicromicroή του ορίζοντα ενώ οι πλευρές του καναλιού πλησιάζουν

΄Ετσι δηmicroιουργείται η εντύπωση του ϐάθους και η αίσθηση ότι έχουmicroε να κάνουmicroε

microε ένα τριδιάστατο αντικείmicroενο

Στο δεύτερο πίνακα που οφείλεται στον Andrea Mantegna (1431ndash1506) απει-

κονίζεται ο νεκρός Χριστός Εδώ ο Ϲωγράφος για να προσδώσει microεγαλύτερη δραmicroατι-

κότητα καταργεί (ή αντιστρέφει) την προοπτικότητα ΄Ετσι αντίθετα από τον συνήθη

κανόνα της προοπτικής τα microεγέθη αυξάνουν καθώς κινούmicroεθα προς την κεφαλή

του Ιησού όπου και εστιάζεται ο Θείος πόνος και οι γραmicromicroές συγκλινουν προς τον

ϑεατή

20 Εισαγωγή 35

Εικονα 10 Canaetto Το κανάλι της Βενετίας

Εικονα 11 Mantegna Ο Θρήνος του Χριστού

36 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

΄Ενα άλλο παράδειγmicroα κατασκευής προοπτικών σχηmicroάτων microας παρέχουν οι κω-

νικές τοmicroές που microελετήθηκαν από τον microεγάλο γεωmicroέτρη Απολλώνιο (ϐλ σχετικά

σχόλια και στη σελ 12)

Εικονα 12 Απολλώνιος

Αν στην κορυφή O ενός κώνου ϐρίσκεται ο οφθαλmicroός του Ϲωγράφου ο κύκλος της ϐά-

σης ϑα αποτυπώνεται στον πίνακα (Π ) σαν κύκλος έλλειψη παραβολή ή υπερβολή

ανάλογα microε την κλίση του (Π ) ως προς το επίπεδο της ϐάσης (E) Κι εδώ διαπιστώ-

νεται η microη διατήρησης των αποστάσεων κατά τη διαδικασία της προβολής [δηλαδή

κατά τη διαδικασία της αποτύπωσης της εικόνας των σηmicroείων του κύκλου επί του

(Π )] Στο Σχήmicroα 24 απεικονίζεται για παράδειγmicroα η περίπτωση της έλλειψης

Σχηmicroα 24

Στην sect25 ϑα δούmicroε microε αυστηρό τρόπο πώς από το σύνηθες επίπεδο της Ευκλεί-

δειας Γεωmicroετρίας microε την επισύναψη των laquoεπ᾿ άπειρονraquo (ή laquoκατ᾿ εκδοχήνraquo) σηmicroείων

αναγόmicroαστε στο επίπεδο της Προβολικής Γεωmicroετρίας δηλαδή στο επίπεδο που microα-

ϑηmicroατικοποιεί το Ϲωγραφικό πίνακα

Η πλήρης microαθηmicroατικοποίηση των κανόνων της προοπτικής έγινε microόλις τον 17ο

αιώνα Μετά την κυριαρχία της Ανάλυσης κατά τον 18ο αιώνα άρχισε η αναγέννηση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

της γεωmicroετρίας microέσα στην οποίαν πρωτεύουσα ϑέση κατέχει η Προβολική Γεωmicroε-

τρία Η συστηmicroατική ανάπτυξή της είναι ένα από τα πιο σηmicroαντικά microαθηmicroατικά

επιτεύγmicroατα του 19ου αιώνα

Μετά τις πρόδροmicroες εργασίες των Girard Desargues (1591ndash1661) Blaise Pascal

(1623ndash1662) Philippe de la Hire (1640 ndash1718) κα αποφασιστική για την εξέλιξη

της Προβολικής Γεωmicroετρίας ήταν η συmicroβολή των Gaspar Monge (1746ndash1818) Jeanshy

Victor Poncelet (1788ndash1867) Charles Brianchon (1785ndash1864) August Ferdinand

Mobius (1790ndash1868) Jacob Steiner (1796ndash1863) Julius Plucker (1801ndash1868) και

Karl Georg Christian von Staudt (1798ndash1867)

Εικονα 13 G Monge JV Poncelet J Steiner

Στην πορεία περίπου δύο αιώνων κυριάρχησαν δύο ϐασικές απόψεις η συνθετική

και η αναλυτική Η πρώτη ϐασίζεται σε καθαρά γεωmicroετρικές microεθόδους microε σηmicroείον

εκκίνησης τα αξιώmicroατα Η δεύτερη στηρίζεται κυρίως σε αλγεβρικές microεθόδους Μετα-

ξύ των εκπροσώπων των δύο microεθοδολογικών απόψεων σηmicroειώθηκαν πολλές ϕοϱές

σηmicroαντικές αντιδικίες για το κατά πόσον η microία υπερτερεί της άλλης ή κατά πόσον η

γεωmicroετρία ϑα πρέπει να είναι απαλλαγmicroένη από την άλγεβρα

Σε microεταγενέστερη περίοδο ϑεmicroελιώδης υπήρξεν η ιδέα να χαρακτηριστεί microία Γεω-

microετρία από την αντίστοιχη οmicroάδα των microετασχηmicroατισmicroών που διατηρούν αναλλοίωτες

της ϐασικές ιδιότητές της Η συmicroβολή των Sophus Lie (1842ndash1899) Henrie Poishy

ncare (1854ndash1912) και ιδιαιτέρως του Christian Felix Klein (1849ndash1925) κατέχει

πρωτεύουσα ϑέση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο

Στην παράγραφο αυτή έχοντας ως laquoυπόδειγmicroαraquo τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ορίζουmicroε microέσω τριών ϐασικών αξιωmicroάτων το λεγόmicroενο συσχετισmicroένο επίπεδο

Με τη συmicroπλήρωση των αξιωmicroάτων του συσχετισmicroένου επιπέδου έτσι ώστε να εί-

ναι δυνατή η σύγκριση η διάταξη και η microέτρηση οδηγούmicroαστε στη ϑεmicroελίωση ενός

επιπέδου του οποίου παράδειγmicroα είναι το (σύνηθες) επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ΄Οmicroως δεν ϑα προχωρήσουmicroε προς την κατεύθυνση αυτή αφού κύριος στόχος

38 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

του κεφαλαίου είναι το προβολικό επίπεδο Η σύντοmicroη microελέτη του συσχετισmicroένου ε-

πίπεδου γίνεται προκειmicroένου να αποσαφηνιστούν οι ϐασικές διαφορές ανάmicroεσα στην

(προ)Ευκλείδεια και την Προβολική Γεωmicroετρία

Ακολουθώντας τις ιδέες του D Hilbert [18] ϑεωρούmicroε

bull Ενα σύνολο P empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε σηmicroεία (points) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε κεφαλαία γράmicromicroατα

A B C P Q Γ∆ X Y

bull Ενα σύνολο L empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε ευθείες (lines) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε microικρά γράmicromicroατα

a b c k ℓ α x y

bull Μία σχέση I microεταξύ των P και L δηλαδή I sub P times L την οποίαν καλούmicroε

σχέση σύmicroπτωσης ή απλώς σύmicroπτωση (incidence)

Από τα προηγούmicroενα προκύπτει ότι τα σηmicroεία και οι ευθείες είναι έννοιες που δεν

ορίζονται Απλώς αποτελούν την αυθαίρετη ονοmicroασία των στοιχείων δύο αντιστοίχων

συνόλων

΄Οπως στη στοιχειώδη γεωmicroετρία τα σηmicroεία και οι ευθείες διαφέρουν κατά τη

ϕύση τους Αυτό το εκφράζουmicroε αυστηρά microε τη σχέση

P cap L = empty

Η σχέση της σύmicroπτωσης microας επιτρέπει για ένα Ϲεύγος (P k) isin P times L να απο-

ϕανθούmicroε ότι (P k) isin I ή (P k) lt I

Ο συmicroβολισmicroός

(P k) isin Iαποδίδεται λεκτικά microε τις (ισοδύναmicroες) εκφράσεις

mdash το σηmicroείο P ανήκει (ή περιέχεται) στην ευθεία k

mdash το P είναι σηmicroείο της k

mdash η ευθεία k διέρχεται από το P

Οι εκφράσεις αυτές προέρχονται από την αντίστοιχη σύmicroπτωση σηmicroείου και ευθείας

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και ανταποκρίνονται στη συνήθη εmicroπειρία Φυσικά οι

προηγούmicroενες εκφράσεις ϑα αποδίδονταν καλλίτερα microε τον συmicroβολισmicroό P isin k Αυτό

όmicroως ϑα σήmicroαινε ότι microία ευθεία είναι σύνολο σηmicroείων (σηmicroειοσειρά) γεγονός που δεν

προκύπτει από τους πιο πάνω αφηρηmicroένους ορισmicroούς της ευθείας και του σηmicroείου

Κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται microέσω κατάλληλης ισοmicroορφίας όπως ϑα δείξουmicroε πολύ

αργότερα (ϐλ Θεώρηmicroα 268 για την περίπτωση του προβολικού επιπέδου που

microας ενδιαφέρει εδώ)

Θα χρειαστούmicroε ακόmicroη και την ορολογία του επόmicroενου ορισmicroού

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 39

211 Ορισmicroός Υποθέτουmicroε ότι (PLI) είναι microία τριάδα όπως προηγουmicroένως Τρία

ή και περισσότερα σηmicroεία Pi isin P λέγονται συγγραmicromicroικά (collinear) αν υπάρχει

ευθεία k isin L τέτοια ώστε

(Pi k) isin I i = 1 2 3

Αναλόγως τρείς ή περισσότερες ευθείες ki isin L διέρχονται από το (ή τέmicroνονται ή

συγκλίνουν στο) ίδιο σηmicroείο (concurrent lines) αν υπάρχει P isin P τέτοιο ώστε

(P ki) isin I i = 1 2 3

Τέλος δύο ευθείες k ℓ isin L λέγονται παράλληλες (parallel) οπότε συmicroβολικά γρά-

ϕουmicroε ότι kℓ αν συmicroβαίνει ένα από τα επόmicroενα

mdash είτε k = ℓ

mdash είτε k ℓ και δεν υπάρχει P isin P (P k) isin I ni (P ℓ)

212 Ορισmicroός ΄Ενα συσχετισmicroένο επίπεδο (affine plane) είναι microια τριάδα της

microορφής (PLI) η οποία ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΣΕ 1) Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται ακριβώς microία ευθεία (ή δύο διαφορετικά

σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία) Συmicroβολικά το αξίωmicroα διατυπώνεται και microε τη

microορφή

[ forall (P Q) isin P times P P Q ] rArr [ exist k isin L (P k) isin I ni (Q k) ]

(ΣΕ 2) (Ευκλείδειον αίτηmicroα) Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας διέρχεται microία microοναδική

ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα Συmicroβολικά

[ forall (P k) isin P times L (P k) lt I ] rArr [ exist ℓ isin L (P ℓ) isin I kℓ ]

(ΣΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σηmicroεία τα οποία είναι διαφορετικά microεταξύ τους και

microη συγγραmicromicroικά

Το αξίωmicroα (ΣΕ 2) όπως ήδη γνωρίζουmicroε οφείλεται στον J Playfair και αποτελεί

ισοδύναmicroη διατύπωση του 5ου αιτήmicroατος (αξιώmicroατος) του Ευκλείδη Η διατύπωση

του τελευταίου σε αρχαία ελληνικά ϐρίσκεται για παράδειγmicroα στο [39]

213 Παραδείγmicroατα 1) Το επίπεδο της Στοιχειώδους (Ευκλείδειας) Γεωmicroετρίας εί-

ναι συσχετισmicroένο επίπεδο Αποτελείται από τα σηmicroεία και τις ευθείες όπως ορίζονται

στην Ευκλείδεια Γεωmicroετρία και αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινη εmicroπειρία microας

ενώ η I είναι η συνήθης σύmicroπτωση που εδώ εκφράζεται microε τη συνολοθεωρητική

σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo (ανήκει) ∆ηλαδή

(P ℓ) isin I hArr P isin ℓ

2) Αν ϑεωρήσουmicroε τα σύνολα

P = A B C DL =

A B A C A D B C B D C D

40 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και ως I τη σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo τότε ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι η τριάδα (PLI) είναι συσχετι-

σmicroένο επίπεδο

Το παράδειγmicroα αυτό δείχνει ότι υπάρχουν συσχετισmicroένα επίπεδα microε πεπερασmicroένο

πλήθος σηmicroείων και ευθειών σε αντίθεση microε το επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

3) (Αντιπαράδειγmicroα) Ο δίσκος των KleinshyBeltrami που αναφέραmicroε στη σελιδα 24

214 Ορισmicroός Η microονοσήmicroαντα ορισmicroένη ευθεία k του αξιώmicroατος (ΣΕ 1) λέγεται

ένωση (join) των σηmicroείων P Q και συmicroβολίζεται microε

k = P or Q = Q or P

Η δεύτερη ισότητα είναι προφανής συνέπεια του (ΣΕ 1)

bull Στο υπόλοιπο της παραγράφου ϑεωρούmicroε ότι δίνεται ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

(PLI)

215 Πρόταση Αν A B C είναι τρία διαφορετικά συγγραmicromicroικά σηmicroεία και ℓ η κοινή

τους ευθεία τότε

ℓ = A or B = A or C = B or C

Απόδειξη Από τον Ορισmicroό 211 έχουmicroε τις σχέσεις

(A ℓ) isin I και (B ℓ) isin I

Επειδή A B από το (ΣΕ 1) ορίζεται και η ευθεία A or B και ισχύουν οι σχέσεις

(A A or B) isin I και (B A or B) isin I

Εποmicroένως από το microονοσήmicroαντο του (ΣΕ 1) προκύπτει ότι ℓ = A or B Με τον ίδιο

τρόπο αποδεικνύονται και οι άλλες ισότητες

216 Πρόταση ∆ύο διαφορετικές ευθείες k ℓ έχουν το πολύ ένα κοινό σηmicroείο

δηλαδή ένα σηmicroείο P που ικανοποιεί τις σχέσεις (P k) isin I και (P ℓ) isin I

Απόδειξη Αν οι ευθείες k l είναι παράλληλες (kℓ) τότε (αφού k ℓ) δεν υπάρχει

κανένα κοινό σηmicroείο P άρα αληθεύει το συmicroπέρασmicroα

Αν k mdashℓ τότε οπωσδήποτε υπάρχει κοινό σηmicroείο P (γιατί αλλιώς οι ευθείες ϑα

ήσαν παράλληλες) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι υπάρχει κι ένα άλλο κοινό σηmicroείο Q

δηλαδή (Q k) isin I ni (Q ℓ) Θα δείξουmicroε ότι P = Q Πραγmicroατικά αν ήταν P Q τότε

κατά το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία P or Q Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή τα P Q είναι και

σηmicroεία των k και ℓ πάλι από το (ΣΕ 1) και το microονοσήmicroαντό του προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

πράγmicroα που αντίκειται στην υπόθεση k ℓ Εποmicroένως κατ᾿ ανάγκην καταλήγουmicroε

στη σχέση P = Q

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 41

217 Ορισmicroός Αν k και ℓ είναι δύο microη παράλληλες διαφορετικές ευθείες τότε το

microονοσήmicroαντα ορισmicroένο κοινό σηmicroείο τους (Πρόταση 216) λέγεται τοmicroή (intersectshy

ion) των k ℓ και συmicroβολίζεται microε

P = k and ℓ = ℓ and k

218 Πρόταση Στο συσχετισmicroένο επίπεδο η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυνα-

microίας

Απόδειξη Η αυτοπαθής και η συmicromicroετρική ιδιότητα είναι άmicroεσες συνέπειες του ο-

ϱισmicroού Για την απόδειξη της microεταβατικής ιδιότητας υποθέτουmicroε ότι kℓ και ℓm

Αν k = m τότε έχουmicroε το συmicroπέρασmicroα Αν k m τότε αναγκαίως km γιατί αν

υπήρχε κοινό σηmicroείο P (δηλ P = k andm) ϑα είχαmicroε ότι

(P k) isin I όπου kℓ

(P m) isin I όπου mℓ

΄Οmicroως (P ℓ) lt I (επειδή ℓk και ℓm) Εποmicroένως από το σηmicroείο P που δεν ϐρί-

σκεται στην ℓ διέρχονται δύο ευθείες παράλληλες προς αυτήν (οι k και m) Το

συmicroπέρασmicroα αυτό αντιβαίνει στο (ΣΕ 2) άρα km

219 Θεώρηmicroα Σε κάθε συσχετισmicroένο επίπεδο υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα δια-

ϕορετικά σηmicroεία τα οποία ανά τρία είναι microη συγγραmicromicroικά

Απόδειξη Το (ΣΕ 3) εξασφαλίζει ότι υπάρχουν τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C που

δεν είναι συγγραmicromicroικά άρα ορίζονται οι ευθείες A orB και B orC Επειδή τα σηmicroεία

είναι microη συγγραmicromicroικά ισχύει ότι (C AorB) lt I Εποmicroένως κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microοναδική ευθεία ℓ isin L microε (C ℓ) isin I και ℓA or B Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και microιά

m isin L microε (A m) isin I και mB or C

Σχηmicroα 25

Παρατηρούmicroε ότι ℓ m Πραγmicroατικά αν ήταν ℓ = m τότε το A (ως σηmicroείο της

m) ϑα ανήκε και στην ℓ πράγmicroα που είναι άτοπο αφού ℓA or B Επίσης ℓ mdashm

Πραγmicroατικά αν ήταν ℓm επειδή και ℓA or B ϑα είχαmicroε ότι mA or B λόγω της

συmicromicroετρικής και microεταβατικής ιδιότητας της παραλληλίας Αυτό είναι άτοπο επειδή

το A είναι κοινό σηmicroείο των m και A or B Συνεπώς αφού οι ℓ και m είναι διάφορες

42 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και microη παράλληλες ορίζεται το microοναδικό σηmicroείο D = ℓ and m (ϐλ Πρόταση 216

και Ορισmicroό 217) Στο επόmicroενο Σχήmicroα 25 απεικονίζεται για ευκολία η παραπάνω

διαδικασία στο (συσχετισmicroένο) επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

Για να ολοκληρώσουmicroε την απόδειξη ϑα πρέπει να δείξουmicroε ότι το D είναι διαφο-

ϱετικό από τα A B C και δεν είναι συγγραmicromicroικό microε οποιαδήποτε δύο από αυτά Για

το πρώτο συmicroπέρασmicroα αρκεί να δείξουmicroε ότι D A (παρόmicroοια εργαζόmicroαστε και για

τα B C) Αυτό αληθεύει γιατί αν ήταν D = A τότε οι παράλληλες και διαφορετικές

ευθείες A or B και ℓ ϑα είχαν κοινό το σηmicroείο A = D (άτοπο)

Τέλος ας υποθέσουmicroε ότι το D είναι συγγραmicromicroικό microε δύο άλλα σηmicroεία ας πούmicroε

τα A και B Τότε από την Πρόταση 215 έχουmicroε ότι η κοινή ευθεία των A B D

είναι ακριβώς η A or B ΄Αρα το D ϑα ήταν κοινό σηmicroείο των ℓ και A or B (άτοπο

όπως προηγουmicroένως) Παρόmicroοια δείχνουmicroε ότι το D δεν είναι συγγραmicromicroικό και microε

οποιαδήποτε άλλα δύο σηmicroεία οπότε η απόδειξη είναι πλήρης

2110 Παρατηρήσεις 1) Από το Θεώρηmicroα 219 προκύπτει ότι το microικρότερο πλή-

ϑος σηmicroείων ενός συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4 Αυτό σηmicroαίνει ότι

η ελαχίστη ισχύς του συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4

και δικαιολογεί την επιλογή των τεσσάρων σηmicroείων στο Παράδειγmicroα 213 (2)

2) Μία άλλη ϑεmicroελίωση του συσχετισmicroένου επιπέδου microε αλγεβρική γλώσσα γί-

νεται στη Γραmicromicroική (ή Συσχετισmicroένη) Γεωmicroετρία (ϐλ [3]) Εκεί ξεκινώντας από άλλα

αξιώmicroατα (αλγεβρικής υφής) αποδεικνύονται ως συmicroπεράσmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα

της προηγούmicroενης ϑεmicroελίωσης

2111 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθούν οι ισχυρισmicroοί των Παραδειγmicroάτων 213 (1) και 213 (2)

2 Κάθε ευθεία του συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει τουλάχιστον δύο διαφορετικά

σηmicroεία

3 Από κάθε σηmicroείο του συσχετισmicroένου επιπέδου διέρχονται τουλάχιστον τρεις δια-

ϕορετικές ευθείες

4 ∆ίνονται οι διαφορετικές ευθείες k ℓ m ενός συσχετισmicroένου επιπέδου microε kℓ Αν

η m τέmicroνει τη microία από τις δύο παράλληλες ευθείες τότε ϑα τέmicroνει και την άλλη

22 Το προβολικό επίπεδο

΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο ϑεωρούmicroε microία τριάδα (PLI) όπου P και Lείναι σύνολα διάφορα του κενού τέτοια ώστε P cap L = empty και I sub P times L είναι microία

σχέση σύmicroπτωσης Τα στοιχεία των P και L ονοmicroάζουmicroε όπως πριν σηmicroεία και

ευθείες αντιστοίχως Η έννοια της συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων και της σύγκλισης

ευθειών είναι όπως στον Ορισmicroό 211

22 Το προβολικό επίπεδο 43

221 Ορισmicroός ΄Ενα προβολικό επίπεδο (projective plane) είναι microία τριάδα

(PLI) που ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) Για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q υπάρχει ακριβώς microία ευθεία ℓ isin L

τέτοια ώστε (P ℓ) isin I ni (Q ℓ)

(ΠΕ 2) Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ υπάρχει σηmicroείο P isin P τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (P ℓ)

(ΠΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σηmicroεία διαφορετικά microεταξύ τους τα οποία είναι

ανά τρία microη συγγραmicromicroικά

222 Παρατηρήσεις 1) Από το (ΠΕ 1) ϐλέπουmicroε ότι υπάρχει microία microοναδική ευθεία

η οποία διέρχεται (ή περιέχει ή ορίζεται) από δύο διαφορετικά σηmicroεία Εποmicroένως

το (ΠΕ 1) συmicroπίπτει microε το (ΣΕ 1) Αντιθέτως από το (ΠΕ 2) προκύπτει ότι δύο

οποιεσδήποτε διαφορετικές ευθείες έχουν πάντοτε κοινό σηmicroείο Εποmicroένως

Στο προβολικό επίπεδο δεν υπάρχει έννοια παραλληλίας

2) ΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο τη microονοσήmicroατα ορισmicroένη ευθεία ℓ του (ΠΕ

1) ονοmicroάζουmicroε ένωση των P Q και τη συmicroβολίζουmicroε microε

ℓ = P or Q = Q or P

3) Επίσης όπως ϑα δείξουmicroε στην παρακάτω Πρόταση 224 και το κοινό σηmicroείο P

του (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο Το καλούmicroε τοmicroή των k ℓ και το συmicroβολί-

Ϲουmicroε microε

P = k and ℓ = ℓ and k

223 Παραδείγmicroατα 1) Θεωρούmicroε τα σύνολα

P = Ai |i = 1 7L =

ℓ1 = A1 A2 A3 ℓ2 = A1 A4 A6 ℓ3 = A1 A5 A7

ℓ4 = A2 A4 A7 ℓ5 = A2 A5 A6 ℓ6 = A3 A4 A5 ℓ7 = A3 A6 A7

και τη σύmicroπτωση I που ορίζει η συνολοθεωρητική σχέση lsquolsquoisinrsquorsquoΕίναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η τριάδα (PL isin) είναι προβολικό ε-

πίπεδο Το επίπεδο αυτό λέγεται και προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων και

αποτελεί παράδειγmicroα προβολικού επιπέδου microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων (και

ευθειών)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε αρκετά πιο κάτω [ϐλ Παρατήρηση 249 (2)] η ελαχίστη ισχύς

του προβολικού επιπέδου είναι 7 Αυτό δικαιολογεί και την επιλογή των 7 σηmicroείων

του προηγουmicroένου παραδείγmicroατος

44 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Μερικούς τρόπους απεικόνισης (στο ευκλείδειο επίπεδο ) των σηmicroείων και των

ευθειών του παραδείγmicroατος παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήmicroατα

Σχηmicroα 26

Ας σηmicroειωθεί ότι οι ευθείες των σχηmicroάτων (συνεχείς και διακεκοmicromicroένες) δεν έχουν

καmicroιά σχέση microε τις συνήθεις ευθείες του ευκλειδείου επιπέδου αλλά σχεδιάζονται

για να υποδηλώσουν τις αντίστοιχες τριάδες σηmicroείων οι οποίες ορίζουν τις ευθείες

του παραπάνω προβολικού επιπέδου

Η σύmicroπτωση των σηmicroείων και ευθειών του ιδίου παραδείγmicroατος περιγράφεται

και στον εποmicroενο πίνακα του οποίου η ερmicroηνεία είναι προφανής Τέτοιοι πίνακες

είναι ιδιαιτέρως χρήσιmicroοι όταν ϑέλουmicroε να περιγράψουmicroε τη σχέση της σύmicroπτωσης

προβολικών επιπέδων microε σχετικώς microεγάλο (αλλά πεπερασmicroένο) πλήθος σηmicroείων και

ευθειών

ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ℓ5 ℓ6 ℓ7

A1 bull bull bullA2 bull bull bullA3 bull bull bullA4 bull bull bullA5 bull bull bullA6 bull bull bullA7 bull bull bull

2) Στο διανυσmicroατικό (γραmicromicroικό) χώρο R3 ορίζουmicroε τα σύνολα

P =P equiv U le R3 dimU = 1

L =ℓ equiv V le R3 dimV = 2

όπου U le R3 σηmicroαίνει ότι ο U είναι γραmicromicroικός υπόχωρος του R3 (παρόmicroοια και για

τον V le R3) Επίσης ορίζουmicroε τη σχέση σύmicroπτωσης I sub P times L microε

(P ℓ) isin I hArr U le V αν P = U και ℓ = V

22 Το προβολικό επίπεδο 45

Είναι ϕανερόν ότι τα σηmicroεία του P2 είναι ακριβώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρ-

χονται από το 0 equiv (0 0 0) ενώ οι ευθείες του P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3

που διέρχονται επίσης από το 0

Σχηmicroα 27

Ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι το (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο που ονοmicroάζεται

πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο διάστασης 2 και συmicroβολίζεται microε P2

bull Τα δύο προηγούmicroενα παραδείγmicroατα αποτελούν microοντέλα προβολικών επιπέδων (το

πρώτο microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων και ευθειών το δεύτερο microε άπειρο πλήθος)

Εδώ οι απροσδιόριστοι όροι (σηmicroεία και ευθείες) αποκτούν συγκεκριmicroένη υπόστα-

ση (δυάδεςτριάδες στοιχείων γραmicromicroικοί υπόχωροι του R3 κλπ) microέσω της οποίας

επαληθεύουmicroε την ισχύ των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3)

Ας δούmicroε τώρα microερικές άmicroεσες συνέπειες των αξιωmicroάτων ενός προβολικού επιπέ-

δου (PLI)

224 Πρόταση Το σηmicroείο P του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο

Απόδειξη Ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει κι ένα άλλο σηmicroείο τέτοιο ώστε Q P microε

(Q k) isin I ni (Q ℓ) Τότε επειδή τα P Q είναι σηmicroεία των k και ℓ από το (ΠΕ 1)

προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

που είναι άτοπο επειδή έχουmicroε υποθέσει ότι k ℓ

225 Πρόταση Αν A B C είναι συγγραmicroικά σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου

διαφορετικά microεταξύ τους και ℓ η κοινή ευθεία που τα περιέχει τότε

ℓ = A or B = B or C = A or C

Απόδειξη Η ίδια microε την απόδειξη της Πρότασης 215

226 Πρόταση Κάθε ευθεία ενός προβολικού επιπέδου περιέχει τουλάχιστον τρία

διαφορετικά σηmicroεία

46 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη ΄Εστω ℓ microία οποιαδήποτε ευθεία του προβολικού επιπέδου Σύmicroφωνα microε

το (ΠΕ 3) υπάρχουν τέσσερα σηmicroεία που είναι microεταξύ τους διαφορετικά και ανά τρία

microη συγγραmicromicroικά Ας τα καλέσουmicroε A B C D και ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι κανένα

απ᾿ αυτά δεν ανήκει στην ℓ Ορίζουmicroε τις ευθείες A or B A or C και A or D οι οποίες

είναι microεταξύ τους διαφορετικές [ αν δύο απ᾿ αυτές συνέπιπταν ϑα είχαmicroε ότι τρία

από τα παραπάνω σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)] Επίσης οι ίδιες ευθείες

είναι διαφορετικές από την ℓ [ αν ήταν πχ A or B = ℓ τότε (A ℓ) isin I (άτοπο)]

Σχηmicroα 28

Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα τα σηmicroεία (της ℓ )

X = ℓ and (A or B) Y = ℓ and (A or C) Z = ℓ and (A or D)

Παρατηρούmicroε ότι X Y Z X Πραγmicroατικά αν ήταν πχ X = Y τότε

A or B = A or X = A or Y = A or C

(ϐλ Πρόταση 225) που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι A or B A or C

Αν υποθέσουmicroε ότι ένα ή δύο σηmicroεία από τα A B C D ανήκουν στην ℓ τότε αρκεί

να εξασφαλίσουmicroε αντιστοίχως την ύπαρξη ακόmicroη δύο ή ενός σηmicroείων ακολουθώντας

παρόmicroοια διαδικασία

227 Πρόταση Κάθε προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον τέσσερις διαφορετικές

ευθείες οι οποίες ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο

Απόδειξη Θεωρούmicroε τα τέσσερα σηmicroεία A B C D του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) Ορίζουmicroε

τις ευθείες A or B B or C C or D και D or A Βλέπουmicroε αmicroέσως ότι είναι διαφορετικές

microεταξύ τους [ αλλιώς ϑα ϐρίσκαmicroε τριάδες συγγραmicromicroικών σηmicroείων από τα A B C

D (άτοπο)]

Οι προηγούmicroενες ευθείες δεν διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σηmicroείο Πραγ-

microατικά ας υποθέσουmicroε για παράδειγmicroα ότι υπάρχει σηmicroείο O isin P από το οποίο

διέρχονται οι A or B B or C και C or D Τότε λόγω του microονοσήmicroαντου της τοmicroής των

διαφορετικών ευθειών A or B και B or C ϑα ήταν B = O Αναλόγως από τις B or C

και C or D ϑα ήταν και C = O οπότε ϑα καταλήγαmicroε στο άτοπο συmicroπέρασmicroα ότι

B = O = C

22 Το προβολικό επίπεδο 47

228 Πρόταση Από κάθε σηmicroείο O ενός προβολικού επιπέδου διέρχονται τουλάχι-

στον τρεις διαφορετικές ευθείες

Απόδειξη Σύmicroφωνα microε την προηγούmicroενη πρόταση υπάρχουν τέσσερις ευθείες k ℓ

m n οι οποίες είναι διάφορες microεταξύ τους και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο

σηmicroείο

Σχηmicroα 29

Ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι καmicroία απ᾿ αυτές δεν διέρχεται από το O Τότε ορίζονται

τα σηmicroεία P = kand ℓ Q = kandm και R = kandn (ϐλ Σχήmicroα 29) που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους [ αν δύο απ᾿ αυτά συνέπιπταν τότε τρεις από τις παραπάνω ευθείες ϑα

διέρχονταν από το ίδιο σηmicroείο (άτοπο)]

Επίσης τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν συmicroπίπτουν microε το O [ αν για παράδειγmicroα

O = P τότε το O ϑα ανήκε στην k (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα οι

ευθείες

x = O or P y = O or Q z = O or R

Παρατηρούmicroε ότι x y z x αν πχ ήταν x = y τότε

P = k and x = k and y = Q

που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι P Q

Αν τώρα υποθέσουmicroε ότι από το O διέρχονται microία ή δύο από τις ευθείες k ℓ m

n τότε αρκεί να εξασφαλίσουmicroε ότι διέρχονται ακόmicroη δύο ή microία ευθείες αντιστοίχως

εφαρmicroόζοντας ακριβώς την προηγούmicroενη διαδικασία

229 Ασκήσεις

1 ΄Εστω ότι microία τριάδα (PLI) ικανοποιεί τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1prime) Αν P Q isin P microε P Q τότε υπάρχει ευθεία k isin L τέτοια ώστε (P k) isin I ni(Q k)

48 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

(ΠΕ 2prime) Αν k ℓ isin L microε k ℓ τότε υπάρχει ακριβώς ένα σηmicroείο P isin I τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (Q k)(ΠΕ 3prime) = (ΠΕ 3)

α) Να αποδειχθεί ότι η k του (ΠΕ 1prime) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη

ϐ) Τί συmicroπέρασmicroα προκύπτει για την τριάδα (PLI)

2 Σε κάθε προβολικό επίπεδο υπάρχει ευθεία ℓ και σηmicroείο P microε την ιδιότητα

(P ℓ) lt I Ισχύει το ίδιο συmicroπέρασmicroα και σ᾿ ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

3 ∆ίνεται microία ευθεία ℓ ενός προβολικού επιπέδου Τότε υπάρχει σηmicroείο P microε (P ℓ) ltI Αναλόγως αν δίνεται το P υπάρχει ευθεία ℓ microε την ίδια ιδιότητα όπως προηγου-

microένως

4 Αν k και ℓ είναι δύο διαφορετικές ευθείες ενός προβολικού επιπέδου τότε υπάρ-

χει ένα σηmicroείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε καmicroία από τις ευθείες αυτές Να

αποδειχθεί το ανάλογο του συσχετισmicroένου επιπέδου

5 ΄Εστω S2=

(x y z) isin R3 x2

+y2+z2= 1

η microοναδιαία σφαίρα του R3 microε κέντρο

το 0 equiv (0 0 0) Για κάθε a = (x y z) isin S2 συmicroβολίζουmicroε microε minusa = (minusxminusyminusz) το

αντιδιαmicroετρικό του σηmicroείο Θεωρούmicroε τα σύνολα

P =P = (aminusa)

∣∣∣ a isin S2

L =S1

∣∣∣ S1 microέγιστος κύκλος της S2

Αν I είναι η σχέση σύmicroπτωσης που ορίζεται microε την ισοδυναmicroία

(P S1) isin I hArr (aminusa) isin S1 αν P = (aminusa)

τότε η τριάδα (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο Πώς συνδέεται το τελευταίο microε

το P2

23 Η αρχή του δυϊσmicroού

Συγκρίνοντας τις Προτάσεις 226 και 228 ϐλέπουmicroε ότι η microία προκύπτει από την

άλλη αν εναλλάξουmicroε τις έννοιες σηmicroείο ευθεία ανήκει (περιέχεται) αντιστοίχως microε

τις έννοιες ευθεία σηmicroείο διέρχεται

Σηmicroείο Ευθεία ανήκει (περιέχεται)

Ευθεία

6

Σηmicroείο

6

διέρχεται

6

Σχηmicroα 210

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 49

Το ίδιο διαπιστώνουmicroε συγκρίνοντας και τις αποδείξεις των ιδίων προτάσεων καθώς

επίσης και το αξίωmicroα (ΠΕ 3) microε την Πρόταση 227

Στις περιπτώσεις αυτές λέmicroε ότι η Πρόταση 228 είναι δυϊκή (dual) της 226

και αντιστρόφως Οmicroοίως και η Πρόταση 227 είναι ένα συmicroπέρασmicroα δυϊκό του

αξιώmicroατος (ΠΕ 3)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε στη συνέχεια στην Προβολική Γεωmicroετρία ισχύει η αρχή του

δυϊσmicroού (principle of duality) σύmicroφωνα microε την οποία για κάθε συmicroπέρασmicroα που ι-

σχύει (αληθεύει) στο προβολικό επίπεδο ισχύει ταυτόχρονα και το δυϊκό του δηλαδή

αυτό που προκύπτει microε την παραπάνω εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Την πατρότητα της αρχής αυτής διεκδίκησαν οι γεωmicroέτρες J V Poncelet (1788ndash

1867) και J D Gergonne (1771ndash1859) πράγmicroα που τους οδήγησε σε microία microα-

κροχρόνια και ϑλιβερή διαmicroάχη ίσως χειρότερη από αυτήν microεταξύ των I Newton

(1642ndash1727) και G W Leibniz (1646ndash11716) για την πατρότητα του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού

Για την απόδειξη της αρχής του δυϊσmicroού ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PL

I) και την τριάδα

(PlowastLlowastIlowast) όπου Plowast = L Llowast = P

και η Ilowast ορίζεται ως εξής για ένα (Plowast ℓlowast) isin Plowast times Llowast ϑα είναι

(Plowast ℓlowast) isin Ilowast hArr (Q k) isin I

αν Plowast = k και ℓlowast = Q microε (Q k) isin P times L

∆ηλαδή η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) έχει προκύψει από το αρχικό προβολικό επίπεδο

microε την εναλλαγή που περιγράψαmicroε πιο πάνω

231 Πρόταση Η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) αποτελεί προβολικό επίπεδο το οποίον καλεί-

ται δυϊκό του (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ισχύουν τα αξιώmicroατα (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Για την απόδειξη

του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε τα Plowast Qlowast isin Plowast microε Plowast Qlowast Εποmicroένως ϑα υπάρχουν ευθείες

k m isin L microε k m και τέτοιες ώστε Plowast = k και Qlowast = m ΄Αρα κατά το (ΠΕ 2) και την

Πρόταση 224 [για το (PL I)] ορίζεται microονοσήmicroαντα το σηmicroείο k and m Θέτοντας

ℓlowast = k andm παρατηρούmicroε ότι

(k andm k) isin I hArr (Plowast ℓlowast) isin Ilowast(k andm m) isin I hArr (Qlowast ℓlowast) isin Ilowast

Εποmicroένως η ℓlowast είναι ευθεία του Llowast που περιέχει τα Plowast και Qlowast Η ℓlowast είναι και η

microοναδική microε αυτήν την ιδιότητα γιατί αν υπήρχε και microια xlowast = X isin Llowast microε την ίδια

ιδιότητα τότε

(Plowast xlowast) isin Ilowast hArr (X k) isin I

(Qlowast xlowast) isin Ilowast hArr (X m) isin I

50 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

οπότε ϑα είχαmicroε ότι X = k andm (εφ᾿ όσον k m) δηλαδή xlowast = ℓlowast

Για το (ΠΕ 2) αναλόγως προς τα προηγούmicroενα ϑεωρούmicroε τις διαφορετικές ευ-

ϑείες klowast ℓlowast isin Llowast Μπορούmicroε να ϑέσουmicroε klowast = Q και ℓlowast = R (microε Q R) Εποmicroένως

κατά το (ΠΕ 1) για το επίπεδο (PLI) ορίζεται η Q or R isin L οπότε το Plowast = Q or R

είναι το (microοναδικό) κοινό σηmicroείο των klowast ℓlowast

Τέλος για το (ΠΕ 3) παρατηρούmicroε τα εξής Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 227

υπάρχουν ευθείες ki isin L (i = 1 4) οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους και

ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο Εποmicroένως ϑέτοντας Plowasti = ki ϐρίσκουmicroε

τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία του Plowast Τα σηmicroεία αυτά δεν ϐρίσκονται ανά τρία σε

κοινή ευθεία Πραγmicroατικά αν υπήρχε ευθεία ℓlowast isin Llowast που να περιείχε τρία εξ αυτών

τότε οι αντίστοιχες ευθείες ki ϑα διέρχονταν από ένα κοινό σηmicroείο του P αυτό που

ορίζει η ℓlowast (άτοπο) ΄Αρα ισχύει και το (ΠΕ 3)

Από την προηγούmicroενη απόδειξη γίνεται ϕανερόν ότι τα αξιώmicroατα του προβολι-

κού επιπέδου (PlowastLlowastIlowast) είναι δυϊκές εκφράσεις αξιωmicroάτων του αρχικού επιπέδου

(PLI) Ακριβέστερα αν (ΠΕlowast N) (N = 1 2 3) συmicroβολίζει άξίωmicroα του δυϊκού προβο-

λικού επιπέδου και (ΠΕ N)lowast το δυϊκό του αξιώmicroατος (ΠΕ N) τότε έχουmicroε την επόmicroενη

αντιστοιχία

(ΠΕlowast 1) = (ΠΕ 2)lowast (ΠΕlowast 2) = (ΠΕ 1)lowast (ΠΕlowast 3) = ΠΡΟΤΑΣΗ 227 = (ΠΕ 3)lowast

232 Λήmicromicroα Υποθέτουmicroε ότι S είναι microία πρόταση που ισχύει σε ένα προβολικό επί-

πεδο (PLI) Τότε η δυϊκή πρόταση Slowast ισχύει στο δυϊκό επίπεδο (PlowastLlowastIlowast)

Απόδειξη Αφού η S ισχύει στο (PLI) σηmicroαίνει ότι προκύπτει από τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Η απόδειξη της δυϊκής πρότασης Slowast γίνεται αν εφαρmicroόσουmicroε την

εναλλαγή του Σχήmicroατος 210 στην απόδειξη της S άρα προκύπτει από τα δυϊκά των

αξιωmicroάτων του (PLI) Εποmicroένως η απόδειξη της Slowast τελικά προκύπτει από τα

αξιώmicroατα του (PlowastLlowastIlowast) άρα η Slowast αληθεύει στο (PlowastLlowastIlowast)

Μπορούmicroε τώρα να δείξουmicroε το επόmicroενο ϐασικό

233 Θεώρηmicroα (Αρχή του δυϊσmicroού) Στην κατηγορία των προβολικών επιπέδων

ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού ∆ηλαδή αν S είναι microία πρόταση η οποία αληθεύει σε

κάθε προβολικό επίπεδο τότε αληθεύει και δυϊκή της πρόταση Slowast επίσης σε κάθε

προβολικό επίπεδο

Απόδειξη Αφού η S αληθεύει σε κάθε προβολικό επίπεδο (PLI) (δηλαδή είναι

microια γενική ιδιότητα των προβολικών επιπέδων) ϑα αληθεύει και σε κάθε δυϊκό επί-

πεδο (PlowastLlowastIlowast) Εποmicroένως κατά το Λήmicromicroα 232 η Slowast αληθεύει και στο δυϊκό του

τελευταίου επιπέδου δηλαδή στο((Plowast)lowast (Llowast)lowast (Ilowast)lowast) Επειδή (Plowast)lowast = P (Llowast)lowast = L

και η (Ilowast)lowast ταυτίζεται microε την I καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

΄Οπως προκύπτει από τα προηγούmicroενα η αρχή του δυϊσmicroού παρέχει microία σηmicroαν-

τική διευκόλυνση στη microελέτη της Προβολικής Γεωmicroετρίας αφού microαζί microε κάθε συmicro-

πέρασmicroα (που αποδεικνύουmicroε) ισχύει και ένα νέο το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

να το αποδείξουmicroε ΄Αλλωστε και η διαδικασία της απόδειξης του δυϊκού συmicroπερά-

σmicroατος είναι δυϊκή της απόδειξης του αρχικού συmicroπεράσmicroατος δηλαδή προκύπτει

από την αρχική απόδειξη microε τη γνωστή εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Επίσης η ίδια αρχή δείχνει ότι οι (microη οριζόmicroενες) έννοιες της ευθείας και του

σηmicroείου έχουν ανάλογες (συmicromicroετρικές) ιδιότητες ενώ επιβεβαιώνεται ndashακόmicroη microια

ϕοράndash η αυθαιρεσία της ονοmicroατολογίας ΄Ετσι κάποια στοιχεία που αποτελούν τα

σηmicroεία ενός επιπέδου microπορούν να είναι ευθείες ενός άλλου κοκ

234 Ασκήσεις

1 Ποιο είναι το δυϊκό του προβολικού επιπέδου των 7 σηmicroείων

2 Να δικαιολογηθεί γιατί δεν ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού στην κατηγορία των συ-

σχετισmicroένων επιπέδων

3 Είναι το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) αυτοδυϊκό ∆ηλαδή αν πά-

ϱουmicroε τα δυϊκά τους τότε παραmicroένουmicroε εντός του συστήmicroατος Με ποια προσθήκη

microπορούmicroε να δηmicroιουργήσουmicroε ένα αυτοδυϊκό σύνολο αξιωmicroάτων και προτάσεων

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις

Στην παράγραφο αυτή ϑα εξετάσουmicroε microερικές απλές απεικονίσεις microε τις οποίες

συγκρίνουmicroε το πλήθος των σηmicroείων που ανήκουν σε διάφορες ευθείες το πλήθος

των ευθειών που διέρχονται από διάφορα σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου και άλλα

σχετικά ερωτήmicroατα

bull Θεωρούmicroε πάντοτε ένα προβολικό επίπεδο (PLI)

241 Ορισmicroός Αν m είναι ευθεία του προβολικού επιπέδου καλούmicroε σηmicroειοσειρά

ή δέσmicroη σηmicroείων (pencil of points) της m το σύνολο

J(m) = P isin P (P m) isin I

Η ευθεία m καλείται επίσης άξονας (axis) της σηmicroειοσειράς

Αντιστοίχως αν O είναι σηmicroείο του προβολικού επιπέδου καλούmicroε δέσmicroη ευ-

ϑειών (pencil of lines) του O (ή από το O) το σύνολο

J(O) = ℓ isin L (O ℓ) isin I

Το O καλείται και κέντρο (center) της δέσmicroης

Προφανώς οι δύο έννοιες είναι δυϊκές microεταξύ τους Στην περίπτωση της Στοι-

χειώδους Γεωmicroετρίας η σηmicroειοσειρά της m αποτελείται από όλα τα σηmicroεία της ενώ

τη δέσmicroη του O αποτελούν όλες οι ευθείες που διέρχονται από το O Ο Ορισmicroός

241 γενικεύει την κατάσταση της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας στο δικό microας πλαίσιο

στο οποίον οι έννοιες laquoανήκειraquo laquoδιέρχεταιraquo κλπ ορίζονται microέσω της σύmicroπτωσης I και

οι ευθείες δεν είναι κατ᾿ ανάγκην σηmicroειοσειρές

52 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

242 Πρόταση Αν k ℓ isin L τότε ισχύει η ισοδυναmicroία

[ k = ℓ ] hArr [ J(k) = J(ℓ) ]

Απόδειξη Αν k = ℓ τότε η ισότητα των δύο σηmicroειοσειρών είναι προφανής Αντι-

στρόφως ας υποθέσουmicroε ότι J(k) = J(ℓ) Λόγω της Πρότασης 226 η k διαθέτει

τουλάχιστον τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C οπότε k = A or B Επίσης από τον

Ορισmicroό 241 προκύπτει ότι A B C isin J(k) = J(ℓ) άρα και ℓ = A or B Εποmicroένως

k = A or B = ℓ

Για να συγκρίνουmicroε τις σηmicroειοσειρές και τις δέσmicroες ευθειών χρειαζόmicroαστε και τον

επόmicroενο ορισmicroό

243 Ορισmicroός ΄Εστω O isin P και m isin L microε (O m) lt I (ισοδύναmicroα O lt J(m))Ονοmicroάζουmicroε στοιχειώδη απεικόνιση (elementary correpondence) από τη δέσmicroη

J(O) στη σηmicroειοσειρά J(m) την απεικόνιση

δ J(O) minusrarr J(m) ℓ 7rarr ℓ andm

Σχηmicroα 211

Αν έχουmicroε πολλές στοιχειώδεις απεικονίσεις γράφουmicroε και

(241) δ = δOm

προκειmicroένου να διευκρινίσουmicroε ότι η δ απεικονίζει τη δέσmicroη του σηmicroείου O στη

σηmicroειοσειρά της ευθείας m

244 Πρόταση Η απεικόνιση δ = δOm είναι καλά ορισmicroένη 1 ndash1 και επί

Απόδειξη Για κάθε ℓ isin J(O) ϑα είναι ℓ m σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 ΄Αρα

(ϐλ και Πρόταση 224 το σηmicroείο ℓ and m είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο και η δ είναι

καλά ορισmicroένη

Για να δείξουmicroε ότι η δ είναι 1 minus 1 ας υποθέσουmicroε ότι δ(ℓ) = δ(ℓprime) δηλαδή

ℓandm = ℓprime andm Επειδή O lt J(m) ϑα είναι ℓandm O ℓprime andm οπότε (ϐλ και Σχήmicroα

211)

ℓ = O or (ℓ andm) = O or (ℓprime andm) = ℓprime

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 53

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

Τέλος η δ είναι επί πραγmicroατικά για τυχόν P isin J(m) ϑα είναι P O Συνεπώς

ορίζεται η k = P or O Παρατηρούmicroε ότι k isin J(O) και

δ(k) = (P or O) andm = P

όπως Ϲητούσαmicroε

245 Συmicroβολισmicroός Την ισχύ (cardinality) δηλαδή το πλήθος των στοιχείων της δέ-

σmicroης J(O) [αντίστ της σηmicroειοσειράς J(m)] συmicroβολίζουmicroε microε | J(O) | (αντίστ | J(m) |)΄Ενας άλλος συmicroβολισmicroός για την ισχύ πεπερασmicroένης δέσmicroης (αντίστ σηmicroειοσειράς)

που δεν ακολουθείται εδώ είναι και J(O) [αντίστ J(m)]

΄Αmicroεση συνέπεια της Πρότασης 244 είναι τώρα τα επόmicroενα συmicroπεράσmicroατα

246 Πόρισmicroα Για οποιοδήποτε Ϲεύγος (O m) isin PtimesL microε (O m) lt I ισχύει η σχέση

| J(O) | = | J(m) |

247 Πόρισmicroα Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L ισχύει η σχέση

| J(k) | = | J(ℓ) |

Απόδειξη Αν k = ℓ η σχέση είναι προφανής Αν k ℓ τότε [ϐλ ΄Ασκηση 229 (4)]

υπάρχει O isin P microε (O k) lt I και (O ℓ) lt I Εφαρmicroόζοντας το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε

ότι

| J(k) | = | J(O) | = | J(ℓ) |

΄Ενας συσχετισmicroός microεταξύ του πλήθους των σηmicroείων microιας ευθείας (που είναι το

ίδιο για όλες τις ευθείες κατά το Πόρισmicroα 247) και του πλήθους των σηmicroείων

ενός πεπερασmicroένου προβολικού επιπέδου (δηλ microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων)

δίνεται στην επόmicroενη

248 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι ℓ είναι microία ευθεία του προβολικού επιπέδου microε n +1

(n ge 2) το πλήθος διαφορετικά σηmicroεία Τότε το προβολικό επίπεδο διαθέτει ακριβώς

n2+ n + 1 σηmicroεία

Απόδειξη Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο O isin P microε (O ℓ) lt I [ϐλ ΄Ασκηση 229 (3)] και

καλούmicroε Pi (i = 1 n + 1) τα σηmicroεία της ℓ (ϐλ και το Σχήmicroα 212 στην επόmicroενη

σελίδα)

Επειδή O Pi [αφού O lt J(ℓ)] ορίζονται οι ευθείες O or Pi (i = 1 n + 1)που είναι όλες διαφορετικές από την ℓ σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 Επίσης

O or Pi O or Pj (για όλους τους δείκτες i j microε i j ) γιατί αν ήταν O or Pi = O or Pj (για

κάποιους δείκτες i j ) τότε ϑα είχαmicroε ότι

Pi = ℓ and (O or Pi) = ℓ and (O or Pj) = Pj

που είναι άτοπο Εποmicroένως από το O διέρχονται οι n + 1 διαφορετικές ευθείες

54 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Σχηmicroα 212

OorPi και κάθε microία απ᾿ αυτές έχει n+1 το πλήθος σηmicroεία διαφορετικά (αφού |J(ℓ)| =|J(O or Pi)| κατά το Πόρισmicroα 247) ΄Αρα η κάθε microία έχει n το πλήθος διαφορετικά

microεταξύ τους σηmicroεία και διαφορετικά από το O Κατά συνέπειαν ϑεωρώντας όλα τα

σηmicroεία τους εκτός του O από τις ευθείες αυτές λαmicroβάνουmicroε (n + 1) middot n = n2+ n

σηmicroεία Υπολογίζοντας τώρα και το O λαmicroβάνουmicroε τελικώς n2+ n + 1 διαφορετικά

σηmicroεία του προβολικού επιπέδου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχουν άλλα σηmicroεία στο επίπεδο εκτός απ᾿ αυτά που

πήραmicroε microε την προηγούmicroενη διαδικασία Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

κι ένα σηmicroείο Q διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Τότε ϑα ορίζεται και η ευθεία

O or Q η οποία ϑα είναι διαφορετική από όλες τις O or Pi αφού το Q δεν ανήκει σε

καmicroιά τους [αλλιώς η OorPi που ϑα περιείχε το Q ϑα είχε n +2 διαφορετικά σηmicroεία

(άτοπο)] ΄Αρα από το O ϑα διέρχονται n+2 διαφορετικές ευθείες (οι OorPi και η OorQ)

∆ηλαδή ϑα είναι | J(O) | = n+2 που είναι επίσης άτοπο γιατί | J(O) | = | J(ℓ) | = n+1

(ϐλ Πόρισmicroα 246) Εποmicroένως αληθεύει ο παραπάνω ισχυρισmicroός και αποδεικνύεται

η πρόταση

249 Παρατηρήσεις 1) Ο περιορισmicroός n ge 2 στην εκφώνηση της Πρότασης 248

είναι (προφανώς) συνέπεια της Πρότασης 226

2) Για n = 2 το πλήθος των σηmicroείων του προβολικού επιπέδου είναι 7 άρα κάθε

προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον 7 διαφορετικά σηmicroεία [συγκρίνατε microε το (ΠΕ

3)] Εποmicroένως

η ελαχίστη ισχύς του προβολικού επιπέδου ειναι 7

και αυτό δικαιολογεί το Παράδειγmicroα 223 (1)

3) Μπορούmicroε να δείξουmicroε το συmicroπέρασmicroα της προηγούmicroενης παρατήρησης αmicroέ-

σως από το (ΠΕ 3) χωρίς τη χρήση της Πρότασης 248 ως εξής ας ξεκινήσουmicroε microε

τα τέσσερα σηmicroεία A B C D τα οποία ορίζονται κατά το (ΠΕ 3) Σύmicroφωνα microε το

(ΠΕ 1) ορίζονται οι ευθείες

(242) A or B A or C A or D B or C B or D C or D

οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους άρα τέmicroνονται κατά Ϲεύγη Εποmicroένως εκτός

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 55

των A B C D ορίζονται και τα σηmicroεία

E = (A or C) and (B or D) G = (A or D) and (B or C) H = (A or B) and (D or C)

Σχηmicroα 213

δηλαδή τελικώς έχουmicroε 7 διαφορετικά σηmicroεία Για την πληρότητα ας παρατηρήσουmicroε

ότι εκτός από τις ευθείες (242) υπάρχει και άλλη microία η ευθεία που περιέχει τα

σηmicroεία G E H και σηmicroειώνεται στο Σχήmicroα 213 microε διάστικτη microορφή

Εδώ διευκρινίζουmicroε ότι όπως σχολιάσαmicroε και microετά το Παράδειγmicroα 223 (1)

οι ευθείες που προκύπτουν τελικώς είναι τριάδες της microορφής A B H A D GG E H κλπ και δεν έχουν καmicroία σχέση microε τις συνήθεις γραmicromicroές (που περιέχουν

τα αντίστοιχα σηmicroεία) του Σχήmicroατος 213 Το τελευταίο σχήmicroα γίνεται στο σύνηθες

επίπεδο για διευκόλυνση και δεν αποδίδει ακριβώς την αντίστοιχη κατάσταση στο

(αφηρηmicroένο) προβολικό επίπεδο Αυτό ϕαίνεται ακόmicroη περισσότερο στην απεικόνιση

της ευθείας G E H4) Αν οι ευθείες ενός (πεπερασmicroένου) προβολικού επιπέδου περιέχουν n + 1

(διαφορετικά) σηmicroεία λέmicroε ότι το επίπεδο έχει τάξη (order) n ΄Ετσι το επίπεδο των

7 σηmicroείων έχει τάξη 2 ενώ το επίπεδο τάξης 3 είναι αυτό των 13 σηmicroείων κοκ

΄Ενα δύσκολο πρόβληmicroα είναι να αποφανθούmicroε αν υπάρχει ή όχι προβολικό επί-

πεδο microε δεδοmicroένη τάξη Είναι γνωστόν ότι υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης n για

όλα τα n = pk όπου p είναι πρώτος αριθmicroός αλλά αγνοούmicroε αν είναι και οι microόνες

δυνατές τάξεις πεπερασmicroένων προβολικών επιπέδων Για παράδειγmicroα γνωρίζουmicroε

ότι δεν υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης 6 10 14 21 22 κα ενώ παραmicroένει

ανοιχτό το πρόβληmicroα για n = 12 15 18 κα Για περισσότερες λεπτοmicroέρειες ϐλ [10

σελ 12] και [25 σελ 105]

2410 Ασκήσεις

1 Αναλόγως προς τη δOm ορίζεται η απεικόνιση

δprime = δmO J(m) minusrarr J(O) P 7rarr P or O

Να αποδειχθούν τα εξής

56 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

α) Η δprime είναι microία καλά ορισmicroένη απεικόνιση 1 minus 1 και επί

ϐ) Η δprime είναι αντίστροφη της δ

2 Να αποδειχθεί ότι για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q είναι

| J(P) | = | J(Q) |

3 Αν (A ℓ) isin P times L και (A ℓ) isin I να εξεταστεί αν ισχύει η σχέση

| J(A) | = | J(ℓ) |

Να συσχετιστεί το αποτέλεσmicroα microε το Πόρισmicroα246

4 Γιατί ένα επίπεδο που έχει περισσότερα από 7 σηmicroεία ϑα έχει αναγκαστικά του-

λάχιστον 13 διαφορετικά σηmicroεία Τι συmicroβαίνει microε τις ευθείες ενός τέτοιου επιπέδου

5 Να οριστεί η έννοια της σηmicroειοσειράς και της δέσmicroης ευθειών σε ένα συσχετισmicroένο

επίπεδο και να αποδειχθεί το ανάλογο της Πρότασης 242

6 Ισχύουν σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246

247 Ποιά είναι τα ανάλογα συmicroπεράσmicroατα στην περίπτωση αυτή

7 Αν microια ευθεία ℓ ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει n (n ge 2) το πλήθος διαφο-

ϱετικά σηmicroεία τότε το επίπεδο έχει ακριβώς n2 διαφορετικά σηmicroεία

8 Με τις υποθέσεις της προηγούmicroενης άσκησης να αποδειχθεί ότι από κάθε σηmicroείο

του επιπέδου διέρχονται n + 1 διαφορετικές ευθείες [Υπόδειξη Να εξεταστούν δύο

περιπτώσεις το σηmicroείο να ϐρίσκεται α) επί της ℓ και ϐ) εκτός αυτής]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων

Στην παράγραφο αυτή ϑα δείξουmicroε ότι microέσω της διαδικασίας της πλήρωσης από

ένα συσχετισmicroένο επίπεδο κατασκευάζεται ένα προβολικό και αντιστρόφως microέσω της

αποπλήρωσης από ένα προβολικό επίπεδο κατασκευάζεται ένα συσχετισmicroένο

Θεωρούmicroε πρώτα δεδοmicroένο ένα συσχετισmicroένο επίπεδο (PLI) Υπενθυmicroίζου-

microε ότι σύmicroφωνα microε τους ορισmicroούς της Παραγράφου 24 [ϐλ ιδιαιτέρως την Πρό-

ταση 242 και την ΄Ασκηση 2410 (5)] για ένα συσχετισmicroένοπροβολικό επίπεδο

(PLI) ισχύει η ισοδυναmicroία

(P ℓ) isin I hArr P isin J(ℓ) forall (P l) isin P times L

΄Οπως είδαmicroε στην Πρόταση 218 η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυναmicroίας

Αν ℓmiddot = [ ℓ ] συmicroβολίζει την κλάση ισοδυναmicroίας microιας ευθείας ℓ του συσχετισmicroένου

επιπέδου ϑέτουmicroε

εinfin =ℓmiddot | ℓ isin L

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 57

δηλαδή το εinfin είναι το σύνολο-πηλίκο Lsim του L ως προς τη σχέση ισοδυναmicroίας που

εισάγει η παραλληλία

Ορίζουmicroε και το σύνολο (σηmicroείων)

P+ = P cup εinfin = P cup ℓmiddot | ℓ isin L

Αν συmicroβολίσουmicroε γενικά microε P+ τα σηmicroεία του P+ τότε εισάγουmicroε την επόmicroενη

ορολογία

251 Ορισmicroός ΄Ενα σηmicroείο P+ isin P+ ϑα λέγεται πραγmicroατικό (αντιστ ιδεατό ή κατ᾿

εκδοχήν) αν υπάρχει P isin P (αντιστ ℓ isin L ) έτσι ώστε P+ = P (αντιστ P+ = ℓmiddot)

Παρατηρούmicroε ότι στο P+ έχει έννοια η ένωση

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot

αφού J(ℓ) sub P sub P+ και ℓmiddot isin εinfin sub P+ Εποmicroένως microπορούmicroε να ορίσουmicroε και το

σύνολο (ευθειών)

L+ = ℓlowast | ℓ isin L cup εinfinΣυmicroβολίζοντας τις ευθείες του L+ γενικά microε ℓ+ ϑα είναι είτε ℓ+ = ℓlowast για κάποια

ℓ isin L είτε ℓ+ = εinfin οπότε έχουmicroε την ακόλουθη ορολογία

252 Ορισmicroός Κάθε ευθεία της microορφής ℓlowast ϑα λέγεται πραγmicroατική ενώ η εinfinλέγεται ιδεατή (ή κατ᾿ εκδοχήν)

Συνοψίζοντας ϐλέπουmicroε ότι το P+ προκύπτει αν στα σηmicroεία του P επισυνάψου-

microε (προσθέσουmicroε) τα ιδεατά σηmicroεία του επιπέδου Επίσης κάθε πραγmicroατική

ευθεία ℓlowast αποτελείται από τη σηmicroειοσειρά της ℓ isin L και το αντίστοιχο ιδεατό

σηmicroείο ℓmiddot ενώ η ιδεατή ευθεία εinfin αποτελείται από τα ιδεατά σηmicroεία και microόνον

αυτά Η τελευταία ευθεία στον κόσmicroο της εmicroπειρίας microας ή στον Ϲωγραφικό

πίνακα αντιστοιχεί στη γραmicromicroή του ορίζοντα

Ορίζουmicroε ακόmicroη microία σχέση σύmicroπτωσης I+ sub P+ timesL+ microε τον εξής τρόπο για ένα

Ϲεύγος (P+ ℓ+) isin P+ times L+ ϑα είναι (P+ ℓ+) isin I+ τότε και microόνον τότε αν ισχύει microία

από τις επόmicroενες συνθήκες

i) P+ = kmiddot (k isin L ) και ℓ+ = εinfin [ οπότε kmiddot isin εinfin ]

ii) P+ = P isin P ℓ+ = ℓlowast και P isin J(ℓ) [ ισοδύναmicroα (P ℓ) isin I ]

iii) P+ = kmiddot ℓ+ = ℓlowast και kℓ [ οπότε kmiddot = ℓmiddot ]

Από τον προηγούmicroενο ορισmicroό προκύπτει ότι

bull Κάθε ιδεατό σηmicroείο ανήκει (microε την έννοια της I+) στην ιδεατή ευθεία

bull ΄Ενα πραγmicroατικό σηmicroείο ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν είναι σηmicroείο της

αρχικής ευθείας ℓ από την οποίαν προέρχεται η ℓlowast

58 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

bull ΄Ενα ιδεατό σηmicroείο kmiddot ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν οι αντίστοιχες ευθείες

k και ℓ (από τις οποίες προέρχονται το σηmicroείο και η ευθεία) είναι παράλληλες

bull ∆εν ορίζεται σύmicroπτωση microεταξύ πραγmicroατικών σηmicroείων και της ιδεατής ευθείας δη-

λαδή

(P+ ℓ+) lt I+ αν P+ = P isin P και ℓ+ = εinfin

Με τους προηγούmicroενους συmicroβολισmicroούς αποδεικνύεται τώρα το

253 Θεώρηmicroα Η τριάδα (P+L+I+) αποτελεί ένα προβολικό επίπεδο το οποίον

καλείται πλήρωση (completion) του συσχετισmicroένου επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα επαληθεύσουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικά σηmicroεία P+ και Q+ Αναλόγως microε το είδος των

σηmicroείων (πραγmicroατικά ή ιδεατά) εmicroφανίζονται οι επόmicroενες περιπτώσεις

α) Τα P+ και Q+ είναι και τα δύο πραγmicroατικά σηmicroεία δηλαδή P+ = P και Q+ = Q

Τότε σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία ℓ = PorQ (του συσχετισmicroένου επιπέδου)

οπότε η ℓ+ = ℓlowast isin L+ είναι microια ευθεία που περιέχει τα P+ και Q+

Η ευθεία αυτή είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι υ-

πάρχει και microία άλλη ευθεία m+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία τότε ϑα είναι αναγκαίως

m+ = mlowast = J(m) cup mmiddot (η περίπτωση m+ = εinfin αποκλείεται αφού τα P+ Q+ είναι

πραγmicroατικά σηmicroεία) Συνεπώς επειδή P Q isin J(m) πάλι από το (ΣΕ 1) προκύπτει

ότι m = ℓ και m+ = ℓ+

ϐ) Τα P+ και Q+ είναι ιδεατά δηλαδή P+ = kmiddot και Q+ = ℓmiddot για κάποιες ευθείες

k ℓ isin L Επειδή kmiddot ℓmiddot isin εinfin προφανώς η εinfin είναι και η microοναδική ευθεία που

περιέχει τα P+ και Q+ (ϐλ τον ορισmicroό της I+ και τα σχετικά σχόλια)

γ) Το ένα σηmicroείο είναι πραγmicroατικό και το άλλο ιδεατό Για παράδειγmicroα αν υπο-

ϑέσουmicroε ότι P+ = P και Q+ = kmiddot τότε διακρίνουmicroε δύο υποπεριπτώσεις

γ1) P isin J(k) και γ2) P lt J(k)

Στη γ1) παρατηρούmicroε ότι η ευθεία k+ = klowast = J(k) cup kmiddot περιέχει τα P+ Q+

Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και

microία άλλη ευθεία m+ k+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία Τότε επειδή το P+ είναι

πραγmicroατικό σηmicroείο η m+ αποκλείεται να είναι η εinfin άρα ϑα έχει τη microορφή m+ =

mlowast = J(m) cup mmiddot Επίσης επειδή η m+ περιέχει το kmiddot αναγκαστικά ϑα είναι και

kmiddot = mmiddot (αφού υπάρχει microόνον ένα κατ᾿ εκδοχήν σηmicroείο επί της mlowast) οπότε km

Το τελευταίο συmicroπέρασmicroα όmicroως είναι άτοπο επειδή k m έχουν το P κοινό σηmicroείο

(προφανώς k m διαφορετικά ϑα ήταν k+ = m+)

Στη γ2) σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 2) υπάρχει microία microοναδική ℓ isin L microε ℓk και (P ℓ) isin I

Εποmicroένως ϑέτοντας ℓ+ = ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot έχουmicroε ότι (P+ ℓ+) isin I+ Επίσης λόγω

της προηγουmicroένης παραλληλίας ϑα είναι Q+ = kmiddot = ℓmiddot άρα (Q+ ℓ+) isin I+ και η

Ϲητουmicroένη ευθεία είναι η ℓ+ Για το microονοσήmicroαντο της ℓ+ παρατηρούmicroε ότι αν υπάρχει

και microία m+ ℓ+ που περιέχει τα P+ και Q+ τότε [εργαζόmicroενοι αναλόγως προς την

γ1)] έχουmicroε ότι mmiddot = kmiddot = ℓmiddot άρα mkℓ ΄Οmicroως το P ανήκει στις m και ℓ (m ℓ)΄Αρα από το P διέρχονται δύο παράλληλες προς την k (άτοπο)

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 59

Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση υπάρχει microία microοναδική ευθεία τουL+ που περιέχει

τα P+ και Q+ οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

(ΠΕ 2) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες k+ ℓ+ και ϑα δείξουmicroε ότι διαθέτουν

κοινό σηmicroείο Προφανώς εmicroφανίζονται δύο περιπτώσεις

α) και οι δύο ευθείες είναι πραγmicroατικές

ϐ) microία απ᾿ αυτές είναι η ιδεατή ευθεία

Στην περίπτωση α) ϑα είναι k+ = klowast και ℓ+ = ℓlowast Παρατηρούmicroε ότι αναγκαίως

k ℓ [αν ήταν k = ℓ τότε ϑα ήταν και klowast = ℓlowast (άτοπο)] Εποmicroένως προκύπτουν δύο

υποπεριπτώσεις

α1) kℓ και α2) k mdashℓ

Στην πρώτη υποπερίπτωση το P+ = kmiddot = ℓmiddot είναι κοινό σηmicroείο των k+ και ℓ+

Στη δεύτερη οι k και ℓ διαθέτουν ένα (microοναδικό) κοινό σηmicroείο P = k and ℓ Επειδή

P isin J(k) και P isin J(ℓ) τελικώς το P+ = P είναι κοινό σηmicroείο και των ευθειών k+ ℓ+

Στην περίπτωση ϐ) ας υποθέσουmicroε ότι k+ = εinfin και ℓ+ = ℓlowast Προφανώς εinfin ℓ+

(αφού τα πραγmicroατικά σηmicroεία δεν ανήκουν στην ιδεατή ευθεία) Τότε το P+ = ℓmiddot είναι

το Ϲητούmicroενο κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Κατά το Θεώρηmicroα 219 στο P υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D τα οποία είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά Τα ίδια σηmicroεία είναι

και (πραγmicroατικά) σηmicroεία του P+ άρα κανένα τους δεν ανήκει στην εinfin Ας δούmicroε

αν τρία από αυτά πχ τα A B C microπορούν να ανήκουν σε microία πραγmicroατική ευθεία

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot Αν συνέβαινε κάτι τέτοιο ϑα είχαmicroε ότι A B C isin J(ℓ) πράγmicroα που

είναι άτοπο Εποmicroένως τα σηmicroεία A+ = A B+ = B και C+ = C ικανοποιούν το (ΠΕ

3) στο P+ Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη

Η αντίστροφη διαδικασία της πλήρωσης (αποπλήρωση) συνίσταται στην αφαίρεση

microιας ευθείας (ακριβέστερα σηmicroειοσειράς) από ένα προβολικό επίπεδο οπότε οδηγού-

microαστε στην κατασκευή ενός συσχετισmicroένου επιπέδου

΄Ετσι ϑεωρώντας δεδοmicroένο ένα προβολικό επίπεδο (PLI) σταθεροποιούmicroε

microιαν ευθεία ℓo isin L και ορίζουmicroε το σύνολο (σηmicroείων)

Pminus = P minus J(ℓo) = P isin P (P ℓo) lt I equiv P isin P P lt J(ℓo)

∆ηλαδή τα σηmicroεία του Pminus είναι όλα τα σηmicroεία του P εκτός των σηmicroείων της σηmicroειο-

σειράς J(ℓo)Επίσης ϑεωρούmicroε και το σύνολο (ευθειών)

Lminus =kminus = J(k) minus k and ℓo

∣∣∣k isin L k ℓo

Εποmicroένως το Lminus δεν περιέχει την J(ℓo) ενώ κάθε άλλο στοιχείο του είναι microία ση-

microειοσειρά που αντιστοιχεί σε ευθεία του L από την οποίαν έχει αφαιρεθεί το σηmicroείο

60 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

τοmicroής της microε την ℓo Προφανώς κάθε kminus είναι σηmicroειοσειρά άρα microπορούmicroε να γρά-

ψουmicroε ότι kminus equiv J(kminus)

Σχηmicroα 214

Τέλος ορίζουmicroε και microία σχέση σύmicroπτωσης Iminus sub Pminus times Lminus microε τον εξής τρόπο για

ένα (P kminus) isin Pminus times Lminus ϑα είναι

(P kminus) isin Iminus hArr P isin kminus = J(k) minus k and ℓo

δηλ το P είναι σηmicroείο της kminus τότε και microόνον τότε αν (P k) isin I και P k and ℓo

Επειδή σκοπός microας είναι να δείξουmicroε ότι η τριάδα (PminusLminusIminus) είναι συσχετισmicroένο

επίπεδο ϑα πρέπει να εξασφαλίσουmicroε πρώτα την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών

254 Λήmicromicroα Στο σύνολο Lminus υπάρχουν παράλληλες ευθείες

Απόδειξη Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο A της ευθείας ℓo Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 228

microπορούmicroε να ϐρούmicroε δύο ευθείες k και m του L τέτοιες ώστε k m isin J(A) και

k ℓo m k Τότε οι kminus και mminus είναι παράλληλες [αν υπήρχε κοινό σηmicroείο P

ϑα είχαmicroε ότι k = P or A = m (άτοπο)] Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και άλλες παράλληλες

χρησιmicroοποιώντας ευθείες που διέρχονται από τα διάφορα σηmicroεία της ℓo

255 Θεώρηmicroα Η τριάδα (PminusLminusIminus) αποτελεί συσχετισmicroένο επίπεδο το οποίον

καλείται αποπλήρωση (deletion) του προβολικού επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ικανοποιούνται τα αξιώmicroατα του συσχετισmicroένου επιπέδου

(ΣΕ 1) Θεωρούmicroε δύο σηmicroεία P Q isin Pminus microε P Q Τα P Q (ως διαφορετικά σηmicroεία

και του P) ορίζουν την ευθεία k = P or Q isin L Προφανώς k ℓo αφού τα P Q δεν

ανήκουν στην ℓo Εποmicroένως η kminus = J(k) minus k and ℓo είναι ευθεία του Lminus που περιέχει

τα P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

και microία άλλη ευθεία mminus isin Lminus που περιέχει τα δύο προηγούmicroενα σηmicroεία Τότε από

τον ορισmicroό της mminus προκύπτει ότι τα P Q είναι και σηmicroεία της m Εποmicroένως κατά

το (ΠΕ 1) m = k και mminus = kminus που αποδεικνύει το (ΣΕ 1)

(ΣΕ 2) Υποθέτουmicroε ότι (P kminus) isin Pminus times Lminus microε P lt J(k) Αν ϑέσουmicroε (για ευκολία)

A = k and ℓo isin P παρατηρούmicroε ότι P A [διαφορετικά ϑα ήταν P isin J(ℓo) (άτοπο)]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 61

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία m = P orA isin L και η αντίστοιχη mminus = J(m)minusm and lo =J(m) minus A (ϕυσικά m ℓo αφού το P είναι σηmicroείο της m αλλά όχι και της ℓo) Αυτά

δείχνουν ότι (P mminus) isin Iminus και mminuskminus (ϐλ τη σχετική κατασκευή παραλλήλων στην

απόδειξη του Λήmicromicroατος 254) δηλαδή η mminus είναι ευθεία (του Lminus) που διέρχεται

από το P και είναι παράλληλη προς την kminus

Σχηmicroα 215

Η mminus είναι η microοναδική ευθεία microε τις προηγούmicroενες ιδιότητες Πραγmicroατικά ας

υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και microία άλλη ευθεία xminus = J(x) minus x and ℓo isin Lminus η οποία

διέρχεται από το P και είναι παράλληλη προς την kminus microε xminus mminus Τότε σύmicroφωνα

microε τον ορισmicroό της παραλληλίας είναι είτε xminus = kminus είτε xminus kminus και xminus cap kminus = emptyΗ πρώτη περίπτωση αποκλείεται επειδή το P δεν είναι σηmicroείο της kminus Στη δεύτερη

περίπτωση ϑα είναι υποχρεωτικά x k [ διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι x and ℓo = k and ℓo

οπότε xminus = kminus (άτοπο)] ΄Αρα ορίζεται το σηmicroείο Z = x and k (ϐλ το παραπάνω Σχήmicroα

215) και εmicroφανίζονται δύο νέες περιπτώσεις

i) Το Z είναι διαφορετικό από τα σηmicroεία A = k and ℓo και B = x and ℓo

ii) Το Z συmicroπίπτει microε ένα από τα A B

Στην i) έχουmicroε κατ᾿ ανάγκην ότι (Z kminus) isin Iminus ni (Z xminus) το οποίον είναι άτοπο

αφού kminusxminus

Στη ii) ας πάρουmicroε πρώτα ότι Z = A Τότε ϑα είναι και Z P [αλλιώς ϑα ήταν

P = Z isin J(k) (άτοπο)] Εποmicroένως

x = P or Z = P or A = m

άρα xminus = mminus που είναι άτοπο γιατί δεχτήκαmicroε από την αρχή ότι xminus mminus Αν Z = B

τότε k = Aor Z = AorB = ℓo που είναι επισης άτοπο Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση

η υπόθεση ότι υπάρχει και η xminus (microε τις αναφερόmicroενες ιδιότητες) οδηγεί σε άτοπο

΄Αρα τελικώς η mminus είναι η microοναδική παράλληλη προς την kminus που διέρχεται από το

P πράγmicroα που αποδεικνύει πλήρως το (ΣΕ 2)

(ΣΕ 3) Στο αρχικό προβολικό επίπεδο υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D που είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά ΄Αρα δύο τουλάχιστον

62 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

από αυτά ας πούmicroε τα A και B δεν ανήκουν στην ℓo Ας υποθέσουmicroε ακόmicroη ότι τα

C D ανήκουν και τα δύο στην ℓo Θεωρούmicroε την ευθεία

Σχηmicroα 216

A or C οπότε (λόγω της Πρότασης 226 υπάρχει ένα τουλάχιστον σηmicroείο της X

διαφορετικό από τα A C Προφανώς X lt J(ℓo) Εποmicroένως τα A B X είναι τρία

διαφορετικά microεταξύ τους (γιατί) σηmicroεία που ανήκουν στο Pminus επειδή κανένα τους

δεν ανήκει στην ℓo

Τα A B X δεν είναι συγγραmicromicroικά στο Pminus Πραγmicroατικά αν ανήκαν και τα τρία

σε microια ευθεία kminus = J(k) minus k and ℓo isin Lminus τότε ϑα ήταν A B X isin J(k) και

k = A or B = A or X = A or C

δηλαδή τα A B C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο προβολικό επίπεδο P που είναι άτοπο

Αν υποθέσουmicroε ότι C lt J(ℓo) [microε D isin J(ℓo) ή D lt J(ℓo)] εργαζόmicroενοι όπως στην

προηγούmicroενη περίπτωση δείχνουmicroε ότι τα σηmicroεία A B C είναι διαφορετικά και microη

συγγραmicromicroικά στο PminusΣυνεπώς microπορούmicroε πάντοτε να ϐρούmicroε τρία διαφορετικά σηmicroεία του Pminus που

ικανοποιούν το (ΣΕ 3) Με αυτό ολοκληρώνεται και η απόδειξη

΄Ενα ενδιαφέρον ερώτηmicroα είναι τώρα το εξής αν ξεκινήσουmicroε από ένα προβολικό

επίπεδο και εφαρmicroόσουmicroε πρώτα τη διαδικασία της αποπλήρωσης και κατόπιν αυτή

της πλήρωσης ποιά είναι η σχέση του αρχικού προβολικού επιπέδου microε το τελευταίο

Αποδεικνύεται ότι τα επίπεδα αυτά είναι ισόmicroορφα (ϐλ [5 Θεώρηmicroα 234]) Η έννοια

του ισοmicroορφισmicroού προβολικών επιπέδων ορίζεται στην επόmicroενη παράγραφο

256 Το κλασικό προβολικό επίπεδο

΄Οπως αναφέραmicroε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου (sect20) το προβολικό επίπεδο

εmicroφανίζεται ιστορικά ως αφαίρεση (microαθηmicroατικοποίηση) του επιπέδου του Ϲωγραφι-

κού πίνακα όπου ϑεωρούmicroε ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες ή ισοδύναmicroα

υποθέτουmicroε ότι όλες οι ευθείες που είναι microεταξύ τους παράλληλες τέmicroνονται στο

άπειρο επάνω στη γραmicromicroή του ορίζοντα Σε πιο αυστηρή γλώσσα χρησιmicroοποιώντας

την ορολογία αυτής της παραγράφου [ϐλ και Παράδειγmicroα 213 (1)]

το κλασικό προβολικό επίπεδο δηλαδή το επίπεδο της κλασικής Προβολικής

Γεωmicroετρίας είναι η πλήρωση του συνήθους (συσχετισmicroένου) επιπέδου E ( R2)της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

257 Σχόλιο ΄Οπως ήδη έχει αντιληφθεί ο αναγνώστης πολύ συχνά χρησιmicroοποι-

ήσαmicroε την εις άτοπον απαγωγή ΄Οπως αναφέρθηκε και στην sect12 αυτή είναι microία

ϐασική microέθοδος απόδειξης της συνθετικής γεωmicroετρίας και χρησιmicroοποιήθηκε συ-

στηmicroατικά από τον Ευκλείδη στα laquoΣτοιχείαraquo του Σχετικά ο G H Hardy [16 sect12]

παρατηρεί ότι

laquoη εις άτοπον απαγωγή (reductio ad absurdum) την οποίαν ο Ευκλείδης αγα-

πούσε τόσο πολύ είναι ένα από τα πιο έξοχα όπλα ενός microαθηmicroατικούraquo

258 Ασκήσεις

1 Αναφορικά microε την απόδειξη του (ΣΕ 3) στο Θεώρηmicroα 255 να δικαιολογηθεί

το σηmicroειούmicroενο γιατί και να ολοκληρωθεί η διερεύνηση για τα σηmicroεία C και D

(σχετικώς microε τη ϑέση τους ως προς την ευθεία ℓo)

2 Να εξηγηθεί γιατί είναι

P+ cap L+ = empty και Pminus cap Lminus = empty

3 Να αποδειχθεί ότι η πλήρωση του συσχετισmicroένου επιπέδου των τεσσάρων σηmicroείων

[Παράδειγmicroα 213 (2)] είναι το προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων [Παράδειγ-

microα 223 (1)]

4 Αντιστρόφως προς την προηγουmicroένη άσκηση να δειχθεί ότι η αποπλήρωση του

προβολικού επιπέδου των επτά σηmicroείων είναι το συσχετισmicroένο επίπεδο των τεσσάρων

σηmicroείων

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων

Στη Θεωρία Συνόλων ορίζεται η έννοια της απεικόνισης h S rarr Sprime microεταξύ δύο συνό-

λων S και Sprime Αν υποθέσουmicroε επιπλέον ότι τα σύνολα S και Sprime έχουν microιαν ιδιαίτερη

δοmicroή (πχ δοmicroή γραmicromicroικού χώρου οmicroάδας κλπ) το ενδιαφέρον microας εστιάζεται ό-

χι στις οποιεσδήποτε απεικονίσεις microεταξύ των συνόλων αυτών αλλά minusκυρίωςminus στις

απεικονίσεις εκείνες που αντανακλούν την προηγούmicroενη δοmicroή ΄Ετσι στους γραmicro-

microικούς χώρους ενδιαφερόmicroαστε ιδιαιτέρως για τις laquoγραmicromicroικές απεικονίσειςraquo στις

οmicroάδες για τους laquoοmicroοmicroορφισmicroούςraquo κοκ

Τις απεικονίσεις που συνδέονται microε την ιδιαίτερη δοmicroή των (microαθηmicroατικών) αν-

τικειmicroένων microιας κατηγορίας (όπως πχ των γραmicromicroικών χώρων των οmicroάδων των

προβολικών επιπέδων κλπ) τις καλούmicroε microορφισmicroούς (Εδώ χρησιmicroοποιούmicroε την

ορολογία της Θεωρίας Κατηγοριών για την οποία δεν microπορούmicroε να πούmicroε τίποτε

περισσότερο στο πλαίσιο αυτών των microαθηmicroάτων) Σε microερικές περιπτώσεις οι microορφι-

σmicroοί έχουν ένα συγκεκριmicroένο όνοmicroα όπως γραmicromicroικές απεικονίσεις οmicroοmicroορφισmicroοί

κλπ

64 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Για παράδειγmicroα ας ϑυmicroίσουmicroε την περίπτωση των οmicroοmicroορφισmicroών οmicroάδων Αν

(G middot) και (H lowast) είναι δύο οmicroάδες τότε microία απεικόνιση φ G rarr H καλείται microορφισmicroός

( οmicroοmicroορφισmicroός) οmicroάδων αν

(261) φ(g middotgprime) = φ(g) lowast φ(gprime) (g gprime) isin G times GΗ σχέση (261) σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός φ διατηρεί τη δοmicroή της οmicroάδας

Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί Τότε υπάρχει η αντί-

στροφη απεικόνιση φminus1 H rarr G Αποδεικνύεται εύκολα ότι και αυτή η απεικόνιση

είναι επίσης microορφισmicroός οmicroάδων δηλαδή ισχύει η

(262) φminus1(h lowast hprime) = φminus1(h) middot φminus1(hprime) (h hprime) isin H times HΣτην περίπτωση αυτή λέmicroε ότι η φ είναι ισοmicroορφισmicroός οmicroάδων

Γενικότερα microπορούmicroε να ορίσουmicroε την έννοια του ισοmicroορφισmicroού και για οποια-

δήποτε άλλη δοmicroή ΄Ετσι microία απεικόνιση f S rarr Sprime microεταξύ δύο συνόλων εφοδια-

σmicroένων microε microία συγκεκριmicroένη δοmicroή είναι ισοmicroορφισmicroός (ως προς την εξεταζοmicroένη

δοmicroή) αν η f είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί και minusεπιπλέονminus η απεικόνιση f minus1 είναι

επίσης microορφισmicroός

Εδώ πρέπει να διευκρινήσουmicroε ότι στον προηγούmicroενο ορισmicroό απαιτήσαmicroε να είναι

microορφισmicroός και η f minus1 Αυτό είναι απαραίτητο γιατί υπάρχουν περιπτώσεις όπου microπο-

ϱούmicroε να ϐρούmicroε microορφισmicroούς f οι οποίοι είναι 1 ndash 1 και επί χωρίς να είναι και οι

f minus1 microορφισmicroοί Μια τέτοια περίπτωση αποτελούνοι τοπολογικοί χώροι Οι microορφισmicroοί

εδώ είναι οι συνεχείς απεικονίσεις ΄Οmicroως υπάρχουν παραδείγmicroατα συνεχών απει-

κονίσεων που είναι 1 ndash 1 και επί microε αντίστροφη όχι κατ᾿ ανάγκην συνεχή ΄Αρα στην

περίπτωση αυτή ένας microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί δεν ορίζει πάντοτε έναν ισοmicroορφισmicroό

Αντιθέτως στην περίπτωση των οmicroάδων κάθε οmicroοmicroορφισmicroός 1 ndash 1 και επί είναι

ισοmicroορφισmicroός Παρόmicroοια στους γραmicromicroικούς χώρους για να είναι microια απεικόνιση

ισοmicroορφισmicroός γραmicromicroικών χώρων αρκεί να είναι γραmicromicroική 1 ndash 1 και επί Γενικότερα

το ίδιο ισχύει στις laquoαλγεβρικές δοmicroέςraquo αλλά όχι σε πολυπλοκότερες δοmicroές όπως οι

τοπολογικοί χώροι οι διαφορικές πολλαπλότητες κλπ

Ποια όmicroως είναι η σηmicroασία ενός ισοmicroορφισmicroού Απ᾿ όσα είπαmicroε microέχρις εδώ

γίνεται ϕανερό πως δύο σύνολα S και Sprime microε την ίδια δοmicroή τα οποία συνδέονται

microεταξύ τους microε έναν ισοmicroορφισmicroό f S rarr Sprime δεν διαφέρουν ουσιαστικά microεταξύ τους

Πραγmicroατικά η απεικόνιση f όχι microόνον αντιστοιχεί κατά τρόπον αmicroφιmicroονοσήmicroαντο

τα στοιχεία των S και Sprime microεταξύ τους αλλά microεταφέρει και όλες τις ιδιότητες του S σε

αντίστοιχες ιδιότητες του Sprime και αντιστρόφως Εποmicroένως κάτι που ισχύει στο S ϑα

ισχύει και σε κάθε άλλο Sprime ισόmicroορφο (δηλ που συνδέεται microε έναν ισοmicroορφισmicroό)

microε το S Με άλλα λόγια microπορούmicroε να πούmicroε ότι υπάρχει microια (microαθηmicroατική) ταύτιση

microεταξύ των S και Sprime Συνεπώς microέσω των ισοmicroορφισmicroών microπορούmicroε να διακρίνουmicroε αν

δύο αντικείmicroενα είναι laquoίδιαraquo (ταυτίζονται) ή όχι δηλαδή έχουmicroε ένα τρόπο σύγκρισης

Συνοψίζοντας microπορούmicroε να πούmicroε ότι ανάmicroεσα στις απεικονίσεις microεταξύ των

αντικειmicroένων microιας κατηγορίας (δηλ συνόλων microε microια συγκεκριmicroένη δοmicroή) microας

ενδιαφέρουν minusκυρίωςminus εκείνες που διατηρούν τη δοmicroή αυτή Ιδιαιτέρως microας

ενδιαφέρουν οι ισοmicroορφισmicroοί που επιτρέπουν να συγκρίνουmicroε τα αντικείmicroενα

της κατηγορίας και να τα ταξινοmicroήσουmicroε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 65

Τη λέξη laquoταξινόmicroησηraquo την παίρνουmicroε εδώ microε την κυριολεκτική σηmicroασία της και όχι

microε το ειδικό περιεχόmicroενο που έχει συχνά στα microαθηmicroατικά

Μετά τα παραπάνω διευκρινιστικά ας δούmicroε τα πράγmicroατα στο πλαίσιο της Προ-

ϐολικής Γεωmicroετρίας Οι microορφισmicroοί κι εδώ ϑα πρέπει να αντανακλούν τη δοmicroή του

προβολικού επιπέδου Εποmicroένως πρέπει να απεικονίζουν τα σηmicroεία σε σηmicroεία και

τις ευθείες σε ευθείες Αλλά υπάρχει και microια σχέση σύmicroπτωσης Θα πρέπει όπως στις

περιπτώσεις που συζητήσαmicroε αυτή η σύmicroπτωση να διατηρείται ΄Ολα αυτά οδηγούν

στον επόmicroενο ϕυσιολογικό ορισmicroό

261 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (morphism) microεταξύ των προβολικών επιπέδων

(PLI) και (PprimeLprimeIprime) είναι ένα Ϲεύγος απεικονίσεων (φψ) όπου

φ P minusrarr Pprime και ψ L minusrarr Lprime

έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη

(P ℓ) isin I rArr (φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime

Περιφραστικά η τελευταία συνθήκη σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός διατηρεί τη σύmicro-

πτωση Συmicroβολικά επίσης γράφουmicroε ότι

(φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime)

262 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime) καλείται 1 ndash1

(αντιστ επί ) αν και οι δυο απεικονίσεις φ και ψ είναι 1 ndash 1 (αντίστ επί) Ιδιαιτέρως

ένας microορφισmicroός (φψ) καλείται ισοmicroορφισmicroός (isomorphism) αν οι απεικονίσεις

φ και ψ είναι 1 ndash 1 και επί Στην περίπτωση αυτή τα προβολικά επίπεδα λέγονται

ισόmicroορφα

263 Παρατήρηση Στην εισαγωγή αυτής της παραγράφου είπαmicroε ότι για να είναι

ένας microορφισmicroός f και ισοmicroορφισmicroός ϑα πρέπει να υπάρχει η f minus1 και να είναι επίσης

microορφισmicroός Στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου ϐεβαιώνεται κανείς εύκολα ότι

ένας ισοmicroορφισmicroός (όπως στον Ορισmicroό 262 είναι ισοmicroορφισmicroός microε την κατηγορι-

κή έννοια δηλαδή ότι και το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι επίσης microορφισmicroός προβολικών

επιπέδων [ϐλ ΄Ασκηση 2610 (3) στο τέλος αυτής της παραγράφου]

Μερικές άmicroεσες συνέπειες του Ορισmicroού 261 περιέχονται στην εποmicroένη

264 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι (φ ψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) είναι microορφισmicroός

προβολικών επιπέδων Τότε ισχύουν τα εξής συmicroπεράσmicroατα

i) Αν η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q)

για οποιαδήποτε σηmicroεία PQ isin P microε P Q

ii) Αν η ψ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

φ(k and ℓ) = ψ(k) and ψ(ℓ)

για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

66 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη i) Οι ευθείες P or Q και ψ(P or Q) ορίζονται επειδή P Q Από τον Ορι-

σmicroό 261 έχουmicroε ότι

(P P or Q) isin I rArr (φ(P) ψ(P or Q)) isin Iprime(Q P or Q) isin I rArr (φ(Q) ψ(P or Q)) isin Iprime

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 ϑα είναι και φ(P) φ(Q) οπότε ορίζεται η φ(P)orφ(Q) Το (ΠΕ

1) και οι σχέσεις της δεύτερης στήλης των παραπάνω συνεπαγωγών αποδεικνύουν

ακριβώς το πρώτο συmicroπέρασmicroα

Για το ii) προχωρούmicroε αναλόγως

(k and ℓ k) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(k)) isin Iprime(k and ℓ ℓ) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(ℓ)) isin Iprime

Το συmicroπέρασmicroα τώρα προκύπτει από τις προηγούmicroενες σχέσεις και το (ΠΕ 2) σε

συνδυασmicroό microε την Πρόταση 224

Φυσικά η απόδειξη του συmicroπεράσmicroατος ii) περιττεύει επειδή είναι δυϊκό του i)

Εδώ έγινε microόνον για την εξοικείωση του αναγνώστη microε το microηχανισmicroό των microορφισmicroών

Για να διαπιστώσουmicroε πότε ένας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων είναι και ισο-

microορφισmicroός (Ορισmicroός 262) αρκεί να ελέγξουmicroε τη microία από τις δύο απεικονίσεις του

microορφισmicroού όπως προκύπτει από το επόmicroενο ϐασικό συmicroπέρασmicroα

265 Θεώρηmicroα ΄Εστω (φψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) microορφισmicroός προβολικών επι-

πέδων Η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί τότε και microόνον τότε αν η ψ είναι απεικόνιση

1 ndash 1 και επί

Απόδειξη Υποθέτουmicroε πρώτα ότι η φ είναι 1 ndash 1 και επί οπότε ϑα δείξουmicroε ότι τις

ίδιες ιδιότητες έχει και η ψ

Η ψ είναι επί ΄Εστω ℓprime isin Lprime τυχούσα ευθεία Αν P prime και Qprime είναι δυο οποιαδήποτε

διαφορετικά σηmicroεία της δηλαδή (P prime ℓprime) isin Iprime ni (Qprime ℓprime) τότε το επί της φ εξασφαλίζει

την ύπαρξη δύο σηmicroείων P Q isin P microε φ(P) = P prime και φ(Q) = Qprime Αναγκαίως ϑα είναι

και P Q [αλλιώς η σχέση P = Q συνεπάγεται ότι P prime = φ(P) = φ(Q) = Qprime (άτοπο)]

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία ℓ = P or Q isin L και ισχύουν οι σχέσεις

(P ℓ) isin I rArr (P prime = φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime(Q ℓ) isin I rArr (Qprime = φ(Q) ψ(ℓ)) isin Iprime

Από τις σχέσεις αυτές και το (ΠΕ 1) προκύπτει ότι

ψ(ℓ) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

Η ψ είναι 1 ndash 1 Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής δεν είναι τόσο άmicroεση όπως πριν

αλλά ϐασίζεται σ᾿ ένα τέχνασmicroα Αν υποθέσουmicroε ότι δεν ισχύει το συmicroπέρασmicroα τότε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 67

αυτό σηmicroαίνει ότι microπορούmicroε να ϐρούmicroε (τουλάχιστον δύο) ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

και τέτοιες ώστε ψ(k) = ψ(ℓ) Θα δείξουmicroε ότι ισχύει ο εξής ισχυρισmicroός

(lowast) forall P isin P rArr (φ(P) ψ(k)) isin Iprime

δηλαδή κάθε σηmicroείο του προβολικού επιπέδου (PLI) απεικονίζεται microέσω της φ

επί της ευθείας ψ(k) = ψ(ℓ)Πρώτα παρατηρούmicroε από τον ορισmicroό του microορφισmicroού ότι όλα τα σηmicroεία των k και

ℓ απεικονίζονται στην ψ(k) = ψ(ℓ) οπότε πρέπει να δείξουmicroε ότι το ίδιο συmicroβαίνει

και για οποιοδήποτε X isin P που δεν ανήκει στις k ℓ Πραγmicroατικά αν ϑέσουmicroε

A = k and ℓ στην ℓ υπάρχει κι ένα σηmicroείο B A Επίσης B X διαφορετικά ϑα

ήταν (X = B ℓ) isin I που είναι άτοπο ΄Αρα ορίζεται η ευθεία B or X (ϐλ και Σχήmicroα

217) Προφανώς B or X k αφού η πρώτη έχει σηmicroεία που δεν ανήκουν στην άλλη

(ϐλ Πρόταση 242) άρα ορίζεται και το σηmicroείο C = (B or X )and k Εφαρmicroόζοντας τον

Ορισmicroό 261 έχουmicroε διαδοχικά

(263)(B ℓ) isin I rArr (φ(B) ψ(ℓ)) isin Iprime(C k) isin I rArr (φ(C) ψ(k)) isin Iprime

Σχηmicroα 217

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και B C ϑα είναι φ(B) φ(C) οπότε ορίζεται η φ(B)orφ(C)Εποmicroένως από την Πρόταση 224 τις σχέσεις (263) και την υπόθεση ψ(k) = ψ(ℓ)προκύπτει ότι

(264) ψ(B or C) = φ(B) or φ(C) = ψ(k) = ψ(ℓ)

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή το X είναι σηmicroείο της B or C δηλαδή (X B or C) isin I

ϑα είναι και

(265)(φ(X ) ψ(B or C)

) isin Iprime

Εποmicroένως από τις (264) και (265) έχουmicroε ότι

(φ(X ) ψ(k)) isin Iprime

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό (lowast)Ας δούmicroε τώρα τη συνέπεια του (lowast) Επειδή η φ είναι απεικόνιση επί για τυχόν

P prime isin Pprime υπάρχει P isin P microε φ(P) = P prime ΄Αρα λόγω του (lowast) ϑα είναι (P prime ψ(k)) isin Iprime Αυτό

68 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

ισχύει για κάθε σηmicroείο του Pprime δηλαδή ϐρίσκουmicroε ότι όλα τα σηmicroεία του Pprime είναι

συγγραmicromicroικά που είναι άτοπο [λόγω του (ΠΕ 3)] Το άτοπο αίρεται αν δεχθούmicroε ότι

η ψ είναι 1 ndash 1 (οπότε παύει να ισχύει και ο (lowast) ο οποίος είναι συνέπεια της άρνησης

του 1 ndash 1)

Για να κλείσει η απόδειξη πρέπει να δείξουmicroε ότι αν η ψ είναι 1 ndash 1 και επί

τότε και η φ έχει τις ίδιες ιδιότητες Αυτό όmicroως προκύπτει από το προηγούmicroενο

συmicroπέρασmicroα ϐάσει της αρχής του δυϊσmicroού

Προφανής συνέπεια του προηγουmicroένου ϑεωρήmicroατος και του Ορισmicroού 262 είναι

το επόmicroενο

266 Πόρισmicroα ΄Ενας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων (φ ψ) είναι ισοmicroορφισmicroός

αν και microόνον αν microία από τις απεικονίσεις φ ψ είναι 1 ndash 1 και επί

267 Παρατηρήσεις 1) ΄Οπως ϕάνηκε στην απόδειξη του Θεωρήmicroατος 265 για

την απόδειξη του επί της ψ αρκεί microόνον το επί της φ Αρα microπορούmicroε να πούmicroε ότι

η ψ είναι επί τότε και microόνον τότε αν η φ είναι επί

Κάνοντας όmicroως χρήση και του 1 ndash 1 της φ microπορούmicroε να δείξουmicroε το επί της ψ και

ως εξής για τα P prime Qprime (όπως στην αρχική απόδειξη του ϑεωρήmicroατος) υπάρχουν

microονοσήmicroαντα ορισmicroένα (και ϕυσικά διαφορετικά microεταξύ τους) σηmicroεία P και Q που

ορίζουν την ℓ = P or Q Εφαρmicroόζοντας την Πρόταση 264 ϐρίσκουmicroε ότι

ψ(ℓ) = ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

2) Αντιθέτως για το 1 ndash 1 της ψ χρησιmicroοποιείται και το 1 ndash 1 και το επί της φ

Μέχρι τώρα έχουmicroε ορίσει το προβολικό επίπεδο (όπως και το συσχετισmicroένο ε-

πίπεδο) microε τη ϐοήθεια microιας αφηρηmicroένης σύmicroπτωσης I ΄Οmicroως στη Στοιχειώδη (Ευ-

κλείδεια) Γεωmicroετρία και στην κλασική Προβολική Γεωmicroετρία (για την οποίαν έγινε

λόγος στο εδάφιο 256 σελ 62) η σύmicroπτωση αυτή είναι η συνήθης σύmicroπτωση της

εmicroπειρίας η οποία έχει την ίδια σηmicroασία microε το συνολοθεωρητικό lsquolsquoisinrsquorsquoΜε τη χρήση των ισοmicroορφισmicroών προβολικών επιπέδων ϑα δείξουmicroε ότι και η αφη-

ϱηmicroένη σύmicroπτωση I που έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει microέχρι τώρα microπορεί να ταυτιστεί

(microέσω κατάλληλου ισοmicroορφισmicroού) microε τη συνήθη σύmicroπτωση που ορίζει το lsquolsquoisinrsquorsquo Αυτό

επιτυγχάνεται αν ταυτίσουmicroε κάθε ευθεία microε την αντίστοιχη σηmicroειοσειρά της ΄Ετσι

και πιο κοντά στην εmicroπειρία ϐρισκόmicroαστε και τους συmicroβολισmicroούς microας απλοποιούmicroε

σηmicroαντικά

Για την ακρίβεια ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PLI) και το δυναmicroοσύ-

νολο P(P) του P Επίσης ορίζουmicroε την απεικόνιση

J L minusrarr P(P)

η οποία σε κάθε ευθεία ℓ αντιστοιχεί τη σηmicroειοσειρά της (ϐλ Ορισmicroό 241)

(266) J(ℓ) =P isin P (P ℓ) isin I

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 69

Η J είναι καλά ορισmicroένη (ϐλ Πρόταση 242) Θέτουmicroε

L = J(L)

οπότε σχηmicroατίζεται η τριάδα (P L isin) Παρατηρούmicroε ότι P cap L = empty και το lsquolsquoisinrsquorsquo ορίζει

microια σχέση σύmicroπτωσης στο P times L

Αν συmicroβολίσουmicroε microε 1P την ταυτοτική απεικόνιση του P τότε έχουmicroε το

268 Θεώρηmicroα Με τους προηγουmicroένους συmicroβολισmicroούς ισχύουν τα εξής συmicroπερά-

σmicroατα

i) Η τριάδα (P L isin) είναι προβολικό επίπεδο

ii) Το Ϲεύγος (1P J) είναι ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των προβολικών επιπέδων (PLI)και (P L isin)

Απόδειξη Για το i) επαληθεύουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Αν P Q είναι δύο οποιαδήποτε σηmicroεία της δεύτερης τριάδας microε P Q τότε

ως σηmicroεία του πρώτου προβολικού επιπέδου ορίζουν microονοσήmicroαντα την ευθεία PorQ

Συνεπώς ορίζεται και η J(P or Q) isin L Επειδή (P P or Q) isin I ϑα είναι P isin J(P or Q)και παρόmicroοια Q isin J(P or Q) ΄Αρα η J(P or Q) είναι microια ευθεία του L που περιέχει

(ή ορίζεται από) τα σηmicroεία P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά αν

υπήρχε και κάποια άλλη ευθεία από το L που να περιέχει τα P Q τότε αυτή ϑα

είχε τη microορφή J(k) για κάποια k isin L Επειδή PQ isin J(k) λόγω της (266) ϑα ήταν

(P k) isin I ni (Q k) Αλλά P Q οπότε το (ΠΕ 1) στο προβολικό επίπεδο (PLI)συνεπάγεται ότι k = P or Q άρα και J(k) = J(P or Q) απ᾿ όπου προκύπτει και το

microονοσήmicroαντο της ευθείας (του L ) η οποία περιέχει τα P και Q

(ΠΕ 2) Αν J(k) και J(ℓ) είναι στοιχεία του L microε J(k) J(ℓ) τότε και k ℓ (ϐλ

Πρόταση 242 Συνεπώς από το (ΠΕ 2) για το (PLI) ορίζεται το σηmicroείο P = kand ℓΕπειδή (P k) isin I ni (P ℓ) οι τελευταίες σχέσεις και η (266) συνεπάγονται ότι

P isin J(k) cap J(ℓ) δηλαδή οι J(k) και J(ℓ) έχουν κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Επειδή το P είναι το ίδιο και στις δύο τριάδες και η πρώτη είναι προβολικό

επίπεδο microπορούmicroε να ϐρούmicroε τέσσερα σηmicroεία Pi (i = 1 4) διαφορετικά και ανά

τρία microη συγγραmicromicroικά (ως προς τις ευθείες του L ) Τα σηmicroεία αυτά δεν είναι ανά

τρία συγγραmicromicroικά και ως προς τις ευθείες του L Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι

υπάρχει κάποια ευθεία J(k) που περιέχει ας πούmicroε τα P1 P2 P3 τότε ϑα ήταν και

(Pj k) isin I ( j = 1 23) δηλαδή τα σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο πρώτο επίπεδο

(άτοπο)

Για το συmicroπέρασmicroα ii) παρατηρούmicroε ότι σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό της J

[ forall (P k) isin P times L (P k) isin I ] rArr [ 1P(P) = P isin J(k) ]

΄Αρα το Ϲεύγος (1P J) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Επειδή η 1P είναι 1 ndash 1

και επί το Πόρισmicroα 266 ολοκληρώνει την απόδειξη

70 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

269 Παρατηρήσεις Με τη ϐοήθεια του προηγουmicroένου ισοmicroορφισmicroού (1P J) το

προβολικό επίπεδο (PLI) ταυτίζεται microε το προβολικό επίπεδο (P L isin) του οποίου

οι ευθείες είναι σηmicroειοσύνολα δηλαδή υποσύνολα τουP ΄Ετσι ταυτίζοντας (microέσω της

J ) microια ευθεία k isin L microε τη σηmicroειοσειρά της J(k) κάθε σηmicroείο P της k [microε την έννοια

(P k) isin I] microπορεί να ϑεωρηθεί και σηmicroείο της ευθείας (σηmicroειοσειράς) J(k) isin L [microε

τη συνήθη συνολοθεωρητική έννοια δηλ P isin J(k)]΄Οπως εξηγήσαmicroε και στη συζήτηση πριν το Θεώρηmicroα 268 τα προηγούmicroενα

ϐρίσκονται σε συmicroφωνία microε τη Στοιχειώδη Γεωmicroετρία (όπου οι ευθείες είναι σύνολα

σηmicroείων) και δικαιολογεί τις εκφράσεις laquoένα σηmicroείο ανήκει σε microία ευθείαraquo laquoδύο

ευθείες τέmicroνονται σ᾿ ένα σηmicroείοraquo κλπ τις οποίες έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει ήδη από

τους πρώτους ορισmicroούς

2610 Ασκήσεις

1 Αν (φψ) (PL isin) rarr (PprimeLprime isin) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων 1 ndash 1 τότε

ισχύει η συνεπαγωγή

[ forall (P ℓ) isin P times L P lt ℓ] rArr [φ(P) lt ψ(ℓ)]

Τι συmicroβαίνει αν παραλειφθεί η υπόθεση ότι ο microορφισmicroός (φψ) είναι 1 ndash 1

2 Με τις υποθέσεις της προηγουmicroένης άσκησης έχουmicroε ότι

[ forall (P ℓ) isin P times L φ(P) isin ψ(ℓ)] rArr [P isin ℓ ]

3 Αν (φψ) είναι ισοmicroορφισmicroός τότε το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι microορφισmicroός προβο-

λικών επιπέδων (Να συνδυαστεί η άσκηση microε την Παρατήρηση 263) Συmicroβολικά

γράφουmicroε ότι

(φminus1 ψminus1) = (φψ)minus1

4 ΄Εστω ότι (φ ψ) είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 microεταξύ προβολικών επιπέδων Τότε κάθε microία

από τις απεικονίσεις του Ϲεύγους εκφράζεται microέσω της άλλης

5 Αν (φψ) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων και η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1

τότε για οποιονδήποτε άλλο microορφισmicroό (φψprime) ϑα είναι ψ = ψprime

6 Να αποδειχθεί ότι το P2 όπως ορίστηκε στο Παράδειγmicroα 223 (2) είναι ισόmicroορφο

microε το προβολικό επίπεδο της ΄Ασκησης 229 (5)

7 Αν (φ1 ψ1) είναι microορφισmicroός του προβολικού επιπέδου (P1L1I1) στο (P2L2I2)και (φ2 ψ2) microορφισmicroός του (P2L2I2) στο (P3L3I3) τότε και το Ϲεύγος (φ2 φ1 ψ2 ψ1) είναι microορφισmicroός του (P1L1I1) στο (P3L3I3) Συmicroβολικά γράφουmicroε

ότι

(φ2 φ1 ψ2 ψ1) = (φ2 ψ2) (φ1 ψ1)

8 ∆ίνονται τα προβολικά επίπεδα (PL isin) (PprimeLprime isin) και υποθέτουmicroε ότι φ P rarr Pprimeείναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί η οποία διατηρεί τη συγγραmicromicroικότητα σηmicroείων

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

δηλ απεικονίζει συγγραmicromicroικά σηmicroεία του πρώτου επιπέδου σε συγγραmicromicroικά σηmicroεία

του δευτέρου Τότε υπάρχει microία microοναδική ψ L rarr Lprime τέτοια ώστε το (φψ) να είναι

ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των δύο προβολικών επιπέδων

9 Αν (PL isin) είναι ένα προβολικό επίπεδο συmicroβολίζουmicroε microε Aut(P) το σύνολο

των αυτοmicroορφισmicroών του (δηλ των ισοmicroορφισmicroών του επιπέδου στον εαυτό του) Να

αποδειχθεί ότι το Aut(P) αποτελεί οmicroάδα (microε πράξη τη σύνθεση των microορφισmicroών

όπως αναφέρεται στην παραπάνω ΄Ασκηση 7

Τα στοιχεία του Aut(P) καλούνται ιδιαιτέρως συγγραmicromicroικότητες του προ-

ϐολικού επιπέδου (PLI) ενώ το Ϲεύγος (PAut(P)) αποτελεί τη Γεωmicroετρία

Klein αυτού Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός προβολικού επιπέδου προκύ-

πτουν από αντίστοιχες ιδιότητες της οmicroάδαςAut(P) και ορισmicroένων υποοmicroάδων

της Η ορολογία αυτή χρησιmicroοποιείται προς τιmicroήν του Felix Klein (1849ndash1925)

ο οποίος είχε την ιδέα να microελετήσει τη γεωmicroετρία ενός συνόλου S εφοδιασmicroέ-

νου microε microία δοmicroή microέσω της αντίστοιχης οmicroάδας Aut(S) ΄Ετσι η Γεωmicroετρία

Klein του S είναι το ξεύγος (SAut(S)) Την ιδέα αυτή ανέπτυξε ο Klein το

1872 στο περίφηmicroο Erlanger Programm (Πρόγραmicromicroα του Erlangen) που είχε

πολύ microεγάλη επίδραση στην εξέλιξη της Γεωmicroετρίας

Εικονα 14 Felix Klein

27 Αλγεβρική microελέτη του P2

Στο Παράδειγmicroα 223 (2) ορίσαmicroε το πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο P2 Επειδή το

επίπεδο αυτό προκύπτει από τον χώρο R3 στον οποίον υπάρχει η δυνατότητα να

χρησιmicroοποιηθεί ο microηχανισmicroός της Γραmicromicroικής ΄Αλγεβρας το P2 είναι ένα πρώτο (και

σηmicroαντικό) παράδειγmicroα συσχετισmicroού της Προβολικής Γεωmicroετρίας microε την ΄Αλγεβρα

που οδηγεί στη γενικότερη ιδέα της αλγεβροποίηση του τυχόντος προβολικού επιπέ-

δου

΄Οπως εξηγήσαmicroε στο προαναφερόmicroενο παράδειγmicroα τα σηmicroεία του P2 είναι ακρι-

ϐώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρχονται από το 0 equiv (000) ενώ οι ευθείες του

P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3 τα οποία επίσης διέρχονται από το 0

72 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Ας ϑυmicroηθούmicroε από την ΑναλυτικήΓραmicromicroική Γεωmicroετρία ότι αν ε είναι microια ευ-

ϑεία του R3 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε η ε ορίζεται πλήρως από

το 0 και τυχόν άλλο σηmicroείο της (ao bo co) (000) Ακριβέστερα

ε = t(ao bo co) | t isin R(271)

Προφανώς για δύο τυχόντα σηmicroεία (a b c) (aprime bprime cprime) της ε που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους καθώς και προς το 0 υπάρχει κάποιο λ isin Rlowast = R minus 0 έτσι ώστε

(aprime bprime cprime) = λ(a b c)Απ᾿ το άλλο microέρος ένα επίπεδο του R3 που διέρχεται από το 0 ορίζεται από microία

εξίσωση της microορφής

αx + y + γz = 0(272)

όπου οι συντελεστές α γ είναι στοιχεία του R3 microε (α γ) (0 00) Οι τριάδες

(x y z) που είναι λύσεις της (272) αποτελούν τα σηmicroεία του επιπέδου Επειδή

ένα τέτοιο επίπεδο καθορίζεται πλήρως από την τριάδα (α γ) το συmicroβολίζουmicroε microε

Π(α γ)Αν ϑεωρήσουmicroε δύο επίπεδα Π(α γ) και Π(αprime prime γprime) τότε διαπιστώνουmicroε ότι

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime) hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Πραγmicroατικά η σχέση (272) συνεπάγεται ότι

(α γ) perp (x y z)

για κάθε (x y z) isin Π(α γ) άρα

(α γ) perp Π(α γ)

και παρόmicroοια

(αprime prime γprime) perp Π(αprime prime γprime)

Εποmicroένως

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime)hArr (αprime prime γprime) (α γ)

hArr (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Οι προηγούmicroενες υπενθυmicroίσεις ϑα microας επιτρέψουν να κατασκευάσουmicroε microε αλγε-

ϐρικό τρόπο ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο microε το P2 Λόγω της ισοmicroορφίας αυτής

ϑα ταυτίζουmicroε τα δύο επίπεδα οπότε ϑα έχουmicroε την δυνατότητα να microελετήσουmicroε το

P2 microε αλγεβρικές microεθόδους Για το σκοπό αυτό στο χώρο

R3lowast = R3 minus (000)

ορίζουmicroε την εποmicroένη σχέση ισοδυναmicroίας

(a b c) sim (aprime bprime cprime) hArr exist λ isin Rlowast (aprime bprime cprime) = λ(a b c)(273)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 73

Την κλάση ισοδυναmicroίας του σηmicroείου (a b c) συmicroβολίζουmicroε microε [a b c] (αντί του πο-

λυπλοκοτέρου [(a b c)]) Προφανώς

[a b c] =λ(a b c) | λ isin Rlowast

Ο αντίστοιχος χώρος-πηλίκον R3lowast sim δηλαδή το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυνα-

microίας οι οποίες προκύπτουν microε τον προηγούmicroενο τρόπο συmicroβολίζεται microε Pα ΄Αρα

Pα = R3lowast sim =

[a b c] | (a b c) isin R3

lowast(274)

Πιο κάτω τις κλάσεις του Pα ϑα τις αντιστοιχίσουmicroε στα σηmicroεία του P2 (δηλαδή τις

ευθείες του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Στη συνέχεια για microια τριάδα (α γ) isin R3lowast (που microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι

αντιστοιχεί στους συντελεστές ενός επιπέδου από το 0) ορίζουmicroε και την ισοδυναmicroία

(επίσης στο R3lowast )

(α γ) sim (αprime prime γprime)hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)(275)

Την κλάση ισοδυναmicroίας της τριάδας (α γ) συmicroβολίζουmicroε microε ltα γ gt και ϑέτουmicroε

(276) Lα=

ltα γ gt | (α γ) isin R3

lowast

Θα δούmicroε πιο κάτω ότι τα στοιχεία (κλάσεις) του Lα αντιστοιχούν στις ευθείες του P2

(δηλαδή στα επίπεδα του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Μεταξύ των Pα και Lα υπάρχει microια προφανής σχέση σύmicroπτωσης (λόγω του συ-

σχετισmicroού τους microε τις ευθείες και τα επίπεδα του R3) που δίνεται απο την

(277) [p q r] isin ltα γ gt hArr αp + q + γr

Επίσης Pα cap Lα= empty Εποmicroένως σχηmicroατίζεται η τριάδα (PαLα isin) όπου ο εκθέτης

laquoαraquo χρησιmicroοποιείται για να υποδηλώσει ότι η κατασκευή της έγινε microε τον laquoαλγεβρικόraquo

τρόπο που περιγράψαmicroε

Πριν αποδείξουmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) αποτελεί προβολικό επίπεδο ας πα-

ϱατηρήσουmicroε ότι οι ισοδυναmicroίες (273) και (275) δεν διαφέρουν microεταξύ τους από

συνολοθεωρητική άποψη ΄Οmicroως όπως προαναφέραmicroε οι κλάσεις της πρώτης ϑα

αντιστοιχούν σε σηmicroεία του P2 ενώ οι κλάσεις της δεύτερης στις ευθείες του Λόγω

αυτής της διαφοροποίησης χρησιmicroοποιούmicroε τα σύmicroβολα [ ] και lt gt για να διακρί-

νουmicroε microεταξύ τους τις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναmicroίας ΄Ετσι για παράδειγmicroα αν

(x y z) isin R3lowast τότε τα στοιχεία [x y z] και ltx y zgt συmicroβολίζουν εντελώς διαφορετι-

κά αντικείmicroενα στο υπό κατασκευήν προβολικό επίπεδο (PαLα isin) το [x y z] είναι

ένα σηmicroείο του ενώ το ltx y zgt είναι microια ευθεία του ιδίου επιπέδου

271 Θεώρηmicroα Η τριάδα Pα2 = (PαLα isin) ορίζει ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο

προς το P2

74 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη Για την απόδειξη του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία [a1 b1 c1]και [a2 b2 c2] του Pα microε [a1 b1 c1] [a2 b2 c2] (εποmicroένως δεν υπάρχει λ isin Rlowastτέτοιο ώστε (a2 b2 c2) = λ(a1 b1 c1)) Θα δείξουmicroε ότι τα δύο σηmicroεία ορίζουν microία

(microοναδική) ευθεία Αν καλέσουmicroε ltx y z gt την ευθεία αυτή τότε ϑα ικανοποιείται

το οmicroογενές σύστηmicroα των εξισώσεων

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0(278)

Το τελευταίο σύmicroφωνα microε τη γενική ϑεωρία των (οmicroογενών) γραmicromicroικών συστηmicroάτων

διαθέτει microη microηδενικές λύσεις και το σύνολο όλων των λύσεών του αποτελεί γραmicromicroικό

χώρο διάστασης 1 (ϐλ σχετικώς [2 σελ 135] [4 σελ 249] [14 σελ 84]) Εποmicroένως

αν (x y z) είναι microια οποιαδήποτε microη microηδενική λύση τότε κάθε άλλη λύση επίσης

microη microηδενική ϑα είναι της microορφής (x prime yprime zprime) = λ(x y z) microε λ isin Rlowast ∆ηλαδή όλες οι

microη microηδενικές λύσεις του συστήmicroατος (278) ορίζουν ακριβώς microιαν ευθεία ltx y zgt

οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

Για την απόδειξη του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) ϑεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες

ltα1 1 γ1gt και ltα2 2 γ2gt του Lα οπότε αναζητούmicroε ένα κοινό σηmicroείο [x y z]Τότε ϑα πρέπει να επιλύσουmicroε το σύστηmicroα

α1x + 1y + γ1z = 0

α2x + 2y + γ2z = 0

που είναι ακριβώς του τύπου (278) ΄Αρα microε την ίδια microέθοδο αποδεικνύουmicroε την

ύπαρξη ενός (microοναδικού) [x y z] microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα

Τέλος ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία [100] [010] [001] και [111] ∆ιαπιστώνουmicroε

στοιχειωδώς ότι είναι διαφορετικά microεταξύ τους Επίσης δεν είναι συγγραmicromicroικά ανά

τρία Για παράδειγmicroα αν τα [100] [010] και [111] ήσαν συγγραmicromicroικά και

ltx y zgt η κοινή τους ευθεία τότε από την (277) ϑα είχαmicroε ότι (x y z) = (0 00)που δεν έχει έννοια [ϐλεπίσης και την Εφαρmicroογή 272 (4) στη συνέχεια] Εποmicroένως

ικανοποιείται και το αξίωmicroα (ΠΕ 3)

Αφού δείξαmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) είναι προβολικό επίπεδο για να το συγκρί-

νουmicroε microε το (γεωmicroετρικό) P2 = (PLsub) όπως το έχουmicroε ορίσει microέσω ευθειών και

επιπέδων του R3 ορίζουmicroε τις απεικονίσεις Φα P rarr Pα και Ψα L rarr Lα microε

P ni t(a b c) | t isin R ⊢ Φαminusminusminusrarr [a b c] isin Pα(279)

L ni Π(α γ) ⊢ Ψαminusminusminusrarr ltα γ gt isin Lα(2710)

Οι Φα και Ψα είναι καλά ορισmicroένες Θα δείξουmicroε ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι

microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Πραγmicroατικά αν P και ℓ είναι σηmicroείο και ευθεία

αντιστοίχως του P2 microε P isin ℓ τότε microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι

P = t(a b c) | t isin R και ℓ = Π(α γ)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 75

για κάποιες τριάδες (a b c) και (α γ) του R3lowast Επειδή

P isin ℓ hArr t(a b c) | t isin R sub Π(α γ)

προκύπτει ότι κάθε σηmicroείο t(a b c) microε t 0 ικανοποιεί την (277) δηλαδή

α(ta) + (tb) + γ(tc) = 0 ή αa + b + γc = 0

πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι [a b c] isin ltα γ gt Εποmicroένως σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό

των Φα και Ψα είναι

Φα(P) = [a b c] isin ltα γ gt = Ψα(Π(α γ))

που αποδεικνύει ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι πράγmicroατι microορφισmicroός

Τέλος διαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι οι απεικονίσεις ΦαΨα είναι 1 ndash 1 και επί (αρκεί

ο έλεγχος της microιας) άρα το (ΦαΨα) ορίζει έναν ισοmicroορφισmicroό microεταξύ των προβολικών

επιπέδων P2 και Pα

Σχόλιο Εξαιτίας της ισοmicroορφίας του Θεωρήmicroατος 271 ταυτίζουmicroε τα επίπεδα P2

και Pα2 οπότε χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιο σύmicroβολο P2 και για τα δύο ΄Ετσι το P2

microπορεί να ερmicroηνευθεί και να microελετηθεί κατά δύο (ισοδύναmicroους) τρόπους είτε

όπως στο Παράδειγmicroα 223 (2) [microε ευθείες και επίπεδα του R3] είτε microε κλάσεις

ισοδυναmicroίας όπως πιο πάνω Η προτίmicroηση για τον έναν ή τον άλλον τρόπο υ-

παγορεύεται από το συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα που αντιmicroετωπίζουmicroε κάθε ϕορά

272 Μερικές εφαρmicroογές στο P2

(1) Να ϐρεθεί το σηmicroείο τοmicroής των ευθειών lt012gt και lt101gt

Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι οι δύο ευθείες είναι διαφορετικές αφού δεν υπάρχει λ isinRlowast τέτοιο ώστε (101) = λ(012) Εποmicroένως αν [x y z] είναι η Ϲητουmicroένη τοmicroή

τότε ϑα επαληθεύεται το σύστηmicroα των εξισώσεων

0x + 1y + 2z = 0

1x + 0y + 1z = 0

απ᾿ όπου προκύπτει ότι x = minusz και y = minus2z Εποmicroένως

[x y z] = [minuszminus2z z] = [minusz(12minus1)]

Επειδή z 0 [αλλιώς ϑα ήταν (x y z) = (0 00) άτοπο] έχουmicroε τελικώς ότι

lt012gt and lt10 1gt = [12minus1]

(2) Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας ℓ = lt012gt

Αν συmicroβολίσουmicroε microε [x y z] το τυχόν σηmicroείο της ℓ τότε

[x y z] isin ℓ hArr 0x + 1y + 2z = 0 hArr y = minus2z

76 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

δηλαδή τα σηmicroεία της ℓ έχουν τη microορφή [x y z] = [xminus2z z]Επειδή (x y z) (000) ϑα είναι είτε x 0 είτε z 0 Για x 0 ϑα έχουmicroε

ότι

[x y z] = [xminus2z z] =[x(1minus2

z

xz

x

)]=

[1minus2

z

xz

x

]

οπότε ϑέτοντας λ =z

x καταλήγουmicroε στην

[x y z] = [1minus2λ λ] forall λ isin R(2711)

Στην περίπτωση που είναι z 0 ϑα έχουmicroε ότι

[x y z] = [1minus2z z] =[z(x

z minus 21

)]=

[x

z minus 21

]

άρα για micro = xz προκύπτει ότι

[x y z] = [microminus2 1] forall micro isin R(2712)

Τις (2711) και (2712) microπορούmicroε να ενοποιήσουmicroε ως εξής για λ = 0 παίρ-

νουmicroε το σηmicroείο [1 00] ενώ για λ 0 είναι

[x y z] =[λ middot

(1

λminus2 1

)]=

[1

λminus2 1

]

το οποίο (προφανώς) αποτελεί σηmicroείο της microορφής (2712)

Εποmicroένως τα σηmicroεία της ευθείας lt 012gt είναι το [1 00] και όλα τα σηmicroεία

της microορφής [microminus21] microε micro isin R

(3) Να ϐρεθεί η ευθεία την οποίαν ορίζουν τα σηmicroεία [001] και [1 11]

∆ιαπιστώνουmicroε ότι [001] [111] άρα ορίζεται η ευθεία [00 1] or [1 11] Αν

την καλέσουmicroε ltx y zgt τότε ϑα επαληθεύονται οι εξισώσεις

z = 0 x + y + z = 0

από τις οποίες προκύπτει ότι

ltx y zgt = ltxminusx 0gt = lt1minus10gt

(επειδή αναγκαίως είναι x 0) Εποmicroένως

[001] or [1 11] = lt1minus1 0gt

(4) Να ϐρεθεί η συνθήκη συγγραmicromicroικότητας τριών σηmicroείων

Ας υποθέσουmicroε ότι Ϲητούmicroε να ϐρούmicroε microία ευθεία lt x y z gt η οποία να περιέχει

τρία δεδοmicroένα σηmicroεία [ai bi ci] i = 1 2 3 Τότε ϑα πρέπει το οmicroογενές σύστηmicroα

aix + biy + ciz = 0 i = 1 2 3(2713)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 77

να διαθέτει microία λύση διάφορη της microηδενικής Αυτό συmicroβαίνει τότε και microόνον τότε αν η

ορίζουσα των συντελεστών του (2713) microηδενίζεται Εποmicroένως η Ϲητουmicroένη συνθήκη

είναι η

(2714)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

273 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις (273) (276) ορίζουν πράγmicroατι σχέσεις ισοδυνα-

microίας Επίσης να αποδειχθεί ότι η σχέση σύmicroπτωσης (277) δεν εξαρτάται από την

επιλογή των αντιπροσώπων των κλάσεων

2 Στο Θεώρηmicroα 271 να συmicroπληρωθεί η απόδειξη του (ΠΕ 3) και να αποδειχθεί

ότι οι Φα Ψα είναι καλά ορισmicroένες απεικόνίσεις 1ndash1 και επί

3 Να ϐρεθεί η ευθεία που ορίζουν τα σηmicroεία

α) [213] και [10minus1]ϐ) [10minus2] και [minus204]

4 Να ϐρεθεί η τοmicroή των ευθειών

α) lt2minus10gt και ltminus11

2 0gt

ϐ) lt100gt και lt1minus21gt

5 Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας lt001gt

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται στο ϐιβλίο του παρόντος συγγραφέα [5]

όπου και παραπέmicroπουmicroε τους ενδιαφεροmicroένους για παραπέρα microελέτη Πολύ κοντά

στην παραπάνω έκθεση ϐρίσκονται και τα ϐιβλια [9] [25] στα οποία microπορεί κανείς

να ϐρεί και άλλα πιό εξειδικευmicroένα ϑέmicroατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3

∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Το πρόβληmicroα της κατασκευής επιπέδων χαρτών της επιφάνειας

της Γης υπήρξε microία από τις απαρχές της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας η

οποία microπορεί χονδρικά να περιγραφεί ως η έρευνα των ιδιοτήτων

των καmicroπυλών και επιφανειών Μια άλλη απαρχή αυτής της

laquoτοπικήςraquo γεωmicroετρίας ήταν η microελέτη στον 17ο και 18ο αιώνα των

εφαπτοmicroένων των πρώτων καθέτων και της καmicroπυλότητας microε τον

[∆ιαφορικό] Λογισmicroό να έχει δώσει ικανά εργαλεία για τη γενική

επίθεση

E T Bell [8 σελ 353]

Μ ετα απο microια συντοmicroη ιστορική αναδροmicroή στην sect31 δίνονται οι ϐασικοί ορι-

σmicroοί που αφορούν τις διαφορίσιmicroες παραmicroετρηmicroένες καmicroπύλες Η έννοια της

αναπαραmicroέτρησης εισάγεται στην sect32 όπου αποδεικνύεται ότι κάθε κανονική καmicro-

πύλη δέχεται αναπαραmicroέτρηση microοναδιαίας ταχύτητας Για τις τελευταίες ορίζονται οι

ϑεmicroελιώδεις έννοιες της καmicroπυλότητας και στρέψης καθώς επίσης και το τρίεδρο

FrenetshySerret (sect33) Τα ίδια στοιχεία για καmicroπύλες τυχαίας ταχύτητας εξετάζονται

στις τελευταίες sectsect34ndash35

79

80 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

30 Εισαγωγή

Καmicroπύλες όπως ο κύκλος οι κωνικές τοmicroές οι έλικες και οι σπείρες είχαν απασχολή-

σει τους αρχαίους ΄Ελληνες Με σχετικά προβλήmicroατα είχαν ασχοληθεί ο Πλάτωνας

ο Μέναιχmicroος ο Απολλώνιος ο Αρχιmicroήδης κα Επίσης για την αντιmicroετώπιση των

περίφηmicroων άλυτων (microε κανόνα και διαβήτη) προβληmicroάτων είχαν ανακαλυφθεί και

microελετηθεί η κισσοειδής (καmicroπύλη) του ∆ιοκλέους η κογχοειδής του Νικοmicroήδους και

η τετραγωνίζουσα του ∆εινοστράτου

Ενα σηmicroαντικό πρόβληmicroα που απασχόλησε τους microαθηmicroατικούς από την εποχή

της αρχαιότητας ήταν η χάραξη της εφαπτοmicroένης σε ένα σηmicroείο microιας καmicroπύλης Το

πρόβληmicroα αντιmicroετωπίστηκε ϕυσικά στο πλαίσιο της γνωστής τότε (συνθετικής) Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήσαν microόνον microερικές και αφορού-

σαν συγκεκριmicroένες καmicroπύλες Μια καλλίτερη προσέγγιση έγινε δυνατή στο πλαίσιο

της Αναλυτικής Γεωmicroετρίας Παρά τις σηmicroαντικές προόδους που σηmicroειώθηκαν στην

κατεύθυνση αυτή από τους R Descartes (Καρτέσιο) P Fermat και C Huygens

και πάλι η γενική microέϑοδος επίλυσης του προβλήmicroατος σταmicroατούσε όταν επρόκειτονα

αντιmicroετωπιστούν εξισώσεις ϐαθmicroού ανωτέρου του 3

Το πρόβληmicroα του προσδιορισmicroού της εφαπτοmicroένης επιλύθηκε στη γενικότητά του

microε την χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού που microαζί microε τον Ολοκληρωτικό Λογισmicroό

άσκησαν τεράστια επίδραση στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης

Η χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού στη microελέτη της Γεωmicroετρίας οδήγησε στην δη-

microιουργία ενός νέου κλάδου της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Στην ανάπτυξη της ∆ιαφορι-

κής Γεωmicroετρίας των καmicroπυλών είχαν ϑεmicroελιώδη συmicroβολή οι I Newton G W Leibniz

L Euler G Monge J Bernoulli A C Clairaut F Frenet J A Serret Ch Dupin

J Bertrand και πολλοί άλλοι

Η microελέτη των καmicroπυλών εκτός από το καθ᾿ αυτό microαθηmicroατικό ενδιαφέρον της

έχει σηmicroαντικές εφαρmicroογές στη microηχανική στη ναυσιπλοΐα στον προσδιορισmicroό των

τροχιών ουρανίων σωmicroάτων ή συστηmicroάτων δορυφόρων κα

Εδώ ϑα γνωρίσουmicroε microερικές ϐασικές έννοιες και συmicroπεράσmicroατα της λεγόmicroενης

τοπικής ϑεωρίας των καmicroπυλών

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες

Στην Αναλυτική Γεωmicroετρία λέγοντας καmicroπύλη εννοούmicroε ένα σύνολο σηmicroείων X (του

χώρου ή του επιπέδου) που ικανοποιούν ορισmicroένες συνθήκες Για παράδειγmicroα microπο-

ϱεί να είναι ο γεωmicroετρικός τόπος σηmicroείων που ικανοποιούν microια συγκεκριmicroένη ιδιό-

τητα (κύκλος έλλειψη κλπ) το γράφηmicroα microιας συνάρτησης f R rarr R η τροχιά

ενός κινητού κοκ Σκοπός microας είναι να εφαρmicroόσουmicroε microεθόδους του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού στην microελέτη του X και για να γίνει αυτό ϑα πρέπει να δούmicroε τις καmicroπύλες

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 81

ως εικόνες κατάλληλων συναρτήσεων δηλαδή να τις παραmicroετρήσουmicroε Ετσι δίνουmicroε

τον επόmicroενο ορισmicroό

311 Ορισmicroός Μια παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη στο χώρο (parametrized curve) ή

απλώς καmicroπύλη στο χώρο (space curve) είναι microια συνεχής απεικόνιση α I rarr R3

όπου I sube R είναι ένα διάστηmicroα

Εποmicroέmicroως ο όρος laquoπαραmicroετρηmicroένηraquo (που συνήθως ϑα παραλείπεται στη συνέ-

χεια) σηmicroαίνει ότι η καmicroπύλη περιγράφεται microε την ϐοήθεια microιας microεταβλητής (παρα-

microέτρου) t isin I Σε προβλήmicroατα ϕυσικής η τελευταία microπορεί να παριστά τον χρόνο

Επειδή για κάθε t isin I είναι α(t) isin R3 η α είναι microία τριάδα της microορφής

(311) α = (α1 α2 α3)

Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγmicroένη)

αi = ui α i = 123

όπου η ui R3 rarr R συmicroβολίζει την κανονική προβολή στην i-συντεταγmicroένη είναι microια

πραγmicroατική συνάρτηση microιας πραγmicroατικής microεταβλητής Η συνέχεια της α ισοδυναmicroεί

microε την συνέχεια κάθε microιας από τις αi

Αν η εικόνα α(I) microιας καmicroπύλης περιέχεται σε ένα επίπεδο του R3 λέmicroε ότι η α

είναι επίπεδη καmicroπύλη (plane curve) Σ᾿ αυτήν την περίπτωση microε microια αλλαγή του

συστήmicroατος συντεταγmicroένων microπορούmicroε να ϑεωρούmicroε ότι α(I) sub R2

Ενδιαφερόmicroαστε όχι για την απεικόνιση α (παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη) αλλά για

τις γεωmicroετρικές ιδιότητες της εικόνας δηλαδή του συνόλου X = α(I) Η απεικό-

νιση α είναι απλώς το εργαλείο για τη microελέτη του α(I)

Εδώ πρέπει να παρατηρήσουmicroε ότι οι καmicroπύλες

α R minusrarr R2 t 7rarrradic

2

2t

radic2

2t

R minusrarr R2 t 7rarr (t t)

γ R minusrarr R2 t 7rarr (t3 t3)

δ R minusrarr R2 t 7rarr(t t) t le 0

(t2 t2) t gt 0

έχουν την ίδια εικόνα α(R) = (R) = γ(R) = δ(R) = ∆R δηλαδή την διαγώνιο του R2

(ϐλ και Σχήmicroα 31 στην επόmicroενη σελίδα)

Απ᾿ αυτές

ndash η α είναι διαφορίσιmicroη microε αprime(t) = 1 για κάθε t isin R

ndash η είναι διαφορίσιmicroη microε prime(t) 0 για κάθε t isin R

ndash η γ είναι διαφορίσιmicroη και υπάρχει ένα σηmicroείο το 0 όπου γprime(0) = (00)ndash ενώ η δ δεν είναι διαφορίσιmicroη (εννοείται παντού αφού δεν υπάρχει διαφορισι-

microότητα στο σηmicroείο 0)

82 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

x

Diexcl

y

Σχηmicroα 31

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα προκύπτει ότι (1) η ίδια καmicroπύλη ∆R microπο-

ϱεί να περιγραφεί ως εικόνα διαφορετικών (παραmicroετρηmicroένων) καmicroπυλών και (2) η

ανυπαρξία παραγώγου ή ο microηδενισmicroός της (για microια παραmicroέτρηση) δεν συνδέονται

κατ᾿ ανάγκην microε κάποια ανωmicroαλία στο σχήmicroα της εικόνας ∆R ∆ηmicroιουργούν όmicroως

τεχνικές δυσκολίες γι᾿ αυτό ϑα ϑεωρήσουmicroε καmicroπύλες που διαγράφουν την εικό-

να microε τον καλλίτερο δυνατό τρόπο έτσι ώστε να δίνουν αmicroεσώτερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα

΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και έστω ότι σε ένα σηmicroείο to εί-

ναι αprime(to) 0 Τότε υπάρχει η εφαπτοmicroένη ευθεία (tangent line) της α στο σηmicroείο

x

y

( )ota

( )otacent εφαπτομένη

Σχηmicroα 32

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 83

α(to) που δίνεται από την εξίσωση

(312) ϸ(s) = α(to) + sαprime(to) s isin R

Η ανυπαρξία ή ο microηδενισmicroός της παραγώγου αprime(to) στο σηmicroείο to δεν επιτρέπουν

την προηγούmicroενη έκφραση της εφαπτοmicroένης Γι᾿ αυτό στα επόmicroενα ϑεωρούmicroε microό-

νο διαφορίσιmicroες καmicroπύλες των οποίων η παράγωγος δεν microηδενίζεται πουθενά Μια

καmicroπύλη micro᾿ αυτήν την ιδιότητα ονοmicroάζεται κανονική ή οmicroαλή (regular) ενώ σε microια

καmicroπύλη α που δεν είναι οmicroαλή κάθε σηmicroείο όπου microηδενίζεται η παράγωγος λέγεται

σηmicroείο ανωmicroαλίας (της α)

Στη συνέχεια υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας έχουν τάξη διαφορισιmicroότητας αρ-

κετά microεγάλη (συνήθως ge 3) ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη όσων παραγώγων χρειά-

Ϲονται Επίσης υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας είναι και απλές δηλαδή είναι α-

πεικονίσεις 1ndash1 Εποmicroένως για να αποφύγουmicroε τις περιττές επαναλήψεις microε τον

όρο laquoκανονική καmicroπύληraquo ϑα εννοούmicroε microια απλή κανονική καmicroπύλη Cr-διαφορίσιmicroη

microε r ge 3

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α η παράγωγος

(313) αprime(t) = (αprime1(t) αprime2(t) αprime3(t))

ονοmicroάζεται εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα (tangent vector) ή διάνυσmicroα ταχύτητας (velocity)

της α στο α(t) ενώ το microήκος του ανωτέρω διανύσmicroατος

v(t) = αprime(t) =(αprime1(t)2

+ αprime2(t)2+ αprime3(t)2

)12

ονοmicroάζεται microέτρο της ταχύτητας (speed) της α στο t

Αν και η αprime είναι διαφορίσιmicroη τότε η δεύτερη παράγωγος

(314) αprimeprime(t) =(αprimeprime1 (t) αprimeprime2 (t) αprimeprime3 (t)

)

ονοmicroάζεται επιτάχυνση (acceleration) της α στο t

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α I rarr R3 ονοmicroάζουmicroε microήκος (length) της α το

ολοκλήρωmicroα

(315) L(α) =int

I

αprime(t)dt

Για δύο καmicroπύλες α I rarr R3 συmicroβολίζουmicroε microε lt α gt την διαφορίσιmicroη

συνάρτηση

(316) ltα gt I minusrarr R t 7rarrltα(t) (t) gt

και microε α times την διαφορίσιmicroη καmicroπύλη

(317) α times I minusrarr R3 t 7rarr α(t) times (t)

84 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα γινόmicroενα στην εικόνα των (316) και (317) είναι αντιστοίχως το σύνηθες εσω-

τερικό και εξωτερικό γινόmicroενο του R3 Από τη διγραmicromicroικότητα τους προκύπτουν οι

παρακάτω κανόνες παραγώγισης

lt α gtprime (t) =lt αprime(t) (t) gt + lt α(t) prime(t) gt(318)

(α times )prime(t) = (αprime(t) times (t)) + (α(t) times prime(t))(319)

Η απόδειξη των τύπων αυτών προκύπτει επίσης στοιχειωδώς αν γράψουmicroε τις καmicro-

πύλες microε τις συνιστώσες τους [ϐλ σχέση (311)] και εφαρmicroόσουmicroε τον ορισmicroό του

εσωτερικού και εξωτερικού γινοmicroένου έχουmicroε τις αντίστοιχες σχέσεις

lt α(t) (t) gt= α1(t)1(t) + α2(t)2(t) + α3(t)3(t)

α(t) times (t) =(α2(t)3(t) minus α3(t)2(t) α3(t)1(t) minus α1(t)3(t) α1(t)2(t) minus α2(t)1(t)

)

οπότε παραγωγίζουmicroε τις τελευταίες microε το συνήθη τρόπο

Οι παράγωγοι και το microήκος της α microας δίνουν πολλές πληροφορίες για την α(I)όπως γίνεται ϕανερό από τα επόmicroενα

312 Παραδείγmicroατα (1) ΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη Αν αprimeprime(t) = 0

για κάθε t isin I η α είναι ευθεία

Πράγmicroατι

αprimeprime(t) = 0rArr αprime(t) = α rArr α(t) = λt + micro

Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο

(2) ΄Εστω α microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη που δεν περνά από το 0 Αν α(to) είναι το

σηmicroείο της εικόνας το πλησιέστερο στο 0 και αprime(to) 0 τότε το διανυσmicroα α(to) είναι

κάθετο στο αprime(to)

Πράγmicroατι ας ϑεωρήσουmicroε την συνάρτηση που σε κάθε t isin I αντιστοιχεί το τετρά-

γωνο της απόστασης του α(t) από το 0 δηλαδή την

δ I minusrarr R t 7rarr α(t)2 = α1(t)2+ α2(t)2

+ α3(t)2=lt α(t) α(t) gt

Αφού η δ παρουσιάζει ελάχιστο στο to ϑα είναι δprime(to) = 0 άρα ϐάσει της (318)

έχουmicroε ότι

0 = δprime(to) =lt α(to) αprime(to) gt + lt α

prime(to) α(to) gt= 2 lt α(to) αprime(to) gt

απ᾿ όπου συνάγεται ότι α(to) perp αprime(to)(3) ΄Εστω α I rarr R2 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε αprime(t) 0 για κάθε t isin I Τότε η

εικόνα α(I) είναι τόξο ενός κύκλου microε κέντρο 0 εάν και microόνον εάν το α(t) είναι κάθετο

στο αprime(t) για κάθε t isin I

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

΄Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε το τετράγωνο της απόστασης του α(t) από το 0

δ I minusrarr R t 7rarrlt α(t) α(t) gt

Η δ είναι σταθερή εάν και microόνον εάν δprime = 0 Αλλά

δprime(t) = lt α α gtprime (t) =lt αprime(t) α(t) gt + lt α(t) αprime(t) gt= 2 lt αprime(t) α(t) gt

Εποmicroένως δprime = 0 ισοδυναmicroεί microε α(t) perp αprime(t) για κάθε t isin I οπότε έχουmicroε το

αποτέλεσmicroα

(4) Η καmicroπύλη ελάχιστου microήκους που ενώνει δύο σηmicroεία P και Q είναι το ευθύ-

γραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα τα P Q

Αν p και q είναι τα διανύσmicroατα ϑέσης των σηmicroείων P και Q αντιστοίχως το

ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα P Q είναι η καmicroπύλη

ϸ [01] minusrarr R3 t 7rarr ϸ(t) = p + t(q minus p)

και έχει microήκος [ϐλ σχέση (315)]

L(ϸ) =int 1

0

ϸprime(t)dt =int 1

0

q minus pdt = q minus p

΄Εστω α [x y] rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε α(x) = p και α(y) = q Για ένα

τυχόν σταθερό u isin R3 microε u = 1 είναι

lt a u gtprime (t) = lt αprime(t) u gt + lt α(t) uprime gt = lt αprime(t) u gt

le αprime(t)u = αprime(t)

εποmicroένως

L(α) =int y

x

αprime(t)dt geint y

x

lt α(t) u gtprime dt = lt α(t) u gt |yx

= lt q u gt minus lt p u gt = lt q minus p u gt

για κάθε u isin R3 microε u = 1 Παίρνοντας τώρα u = (q minus p)q minus p καταλήγουmicroε στη

σχέση

L(α) geltq minus p q minus pgt q minus p = q minus p = L(ϸ)

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης

321 Ορισmicroός Αν α I rarr R3 είναι microια καmicroπύλη τότε microια καmicroπύλη J rarr R3 λέ-

γεται αναπαραmicroέτρηση (reparametrization) της α αν υπάρχει microια αmicroφιδιαφόριση

h J rarr I microε = α h (ϐλ και το επόmicroενο σχετικό διάγραmicromicroα)

86 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

΄Αρα αν η παράmicroετρος της α είναι t και της είναι s έχουmicroε ότι t = h(s)

Iα - X sube R3

J

h

6

-

∆ιάγραmicromicroα 31

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι η έκφραση laquoη h είναι αmicroφιδιαφόρισηraquo σηmicroαίνει ότι η h είναι

διαφορίσιmicroη απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε διαφορίσιmicroη αντίστροφη Κατά το Θεώρηmicroα

της Αντίστροφης Συνάρτησης η h είναι αmicroφιδιαφόριση τότε και microόνον τότε αν είναι

1 ndash 1 και επί microε hprime(s) 0 για κάθε s isin J

Είναι ϕανερό ότι κάθε αναπαραmicroέτρηση της α έχει την ίδια εικόνα microε την α Είναι

επίσης ϕανερό ότι αν η α είναι κανονική τότε και κάθε αναπαραmicroέτρησή της είναι

κανονική

Θα αναζητήσουmicroε εκείνες τις ιδιότητες της εικόνας X = α(I) = (J) που δεν

εξαρτώνται από την καmicroπύλη microε την οποία διατρέχουmicroε το X Μια τέτοια ιδιότητα

microας δίνει το επόmicroενο

322 Θεώρηmicroα Αν είναι microια αναπαραmicroέτρηση της α τότε L() = L(α)

Απόδειξη ΄Εστω α [a b] rarr R3 και [aprime bprime] rarr R3 αναπαραmicroέτρησή της α microε

= α h όπου h [aprime bprime] rarr [a b] αmicroφιδιαφόριση Είναι

L() =int bprime

aprimeprime(s)ds =

int bprime

aprime(α h)prime(s)ds

=

int bprime

aprimeαprime(h(s)) middot |hprime(s)|ds

Για hprime gt 0 δηλαδή για h γνησίως αύξουσα έχουmicroε

L() =int bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds =

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

=

int b

a

αprime(t)dt = L(α)

Για hprime lt 0 δηλαδή για h γνησίως ϕθίνουσα έχουmicroε

L() = minusint bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds = minus

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

= minusint a

b

αprime(t)dt = L(α)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι η αprimeprime microας δείχνει πώς αλλάζει η αprime Η αλλαγή

αυτή microπορεί να αφορά σε αλλαγή του microέτρου της αprime ή σε αλλαγή της διεύθυνσης

Σταθεροποιώντας το microέτρο παίρνουmicroε επιτάχυνση που δείχνει microόνο την αλλαγή της

διεύθυνσης άρα την καmicroπύλωση του χώρου X = α(I) Ετσι ανάmicroεσα σε όλες τις

καmicroπύλες που έχουν την ίδια εικόνα αυτή που microας δίνει ευκολότερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα για την κοινή εικόνα είναι η καmicroπύλη που έχει ταχύτητα microε σταθερό

microέτρο ίσο microε 1

Ισχύει το επόmicroενο ϐασικό

323 Θεώρηmicroα Κάθε κανονική καmicroπύλη α I rarr R3 δέχεται αναπαραmicroέτρηση

J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J

Απόδειξη ΄Εστω I = [a b] Θεωρούmicroε την απεικόνιση (microήκος τόξου)

s [a b] minusrarr [0 L(α)] t 7rarrint t

a

αprime(u)du

Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και διαφορίσιmicroη microε

(321) sprime(t) = αprime(t) = v(t) gt 0

άρα (ϐλ Θεώρηmicroα Αντίστροφης Απεικόνισης) έχει διαφορίσιmicroη αντίστροφη

h [0 L(α)] minusrarr [a b]

της οποίας η παράγωγος δίνεται από την σχέση

(322) hprime(s) = 1sprime(h(s)) forall s isin [0 L(α)]

Θέτοντας = α h έχουmicroε ότι

prime(s) = αprime(h(s)) middot |hprime(s)| = αprime(h(s))|sprime(h(s))| = 1

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

324 Ορισmicroός Μια καmicroπύλη J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J ονοmicroάζεται

καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν α είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη λέmicroε

ότι η αναπαραmicroέτρηση που κατασκευάστηκε στο προηγούmicroενο ϑεώρηmicroα είναι

η αναπαραmicroέτρηση microέσω (του) microήκους τόξου ή ότι έχει παράmicroετρο το microήκος

τόξου Επίσης το microήκος τόξου λέγεται και ϕυσική παράmicroετρος

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet

Σκοπός microας είναι να ορίσουmicroε κάποια αριθmicroητικά microεγέθη που χαρακτηρίζουν γεω-

microετρικά το σύνολο X = α(I) όπου α είναι microια κανονική καmicroπύλη Οπως σηmicroειώσαmicroε

και νωρίτερα τα Ϲητούmicroενα συmicroπεράσmicroατα για το X τα παίρνουmicroε ευκολότερα αν η

88 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

καmicroπύλη έχει microοναδιαία ταχύτητα Γι΄ αυτό αν η αρχική α δεν έχει microοναδιαία ταχύ-

τητα ϑεωρούmicroε την αντίστοιχη αναπαραmicroέτρηση microέσω του microήκους τόξου

΄Εστω λοιπόν (s) s isin J microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Θέτουmicroε

(331) T (s) = prime(s) forall s isin J

Εποmicroένως το T (s) είναι το εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα ή διάνυσmicroα ταχύτητας της

στο σηmicroείο (s) Εφ᾿ όσον T (s) = 1 για κάθε s isin J τα εφαπτόmicroενα διανύσmicroατα

T (s) είναι στοιχεία της microοναδιαίας σφαίρας του R3

Μεταβάλλοντας το s στο J παίρνουmicroε microία διαφορίmicroη συνάρτηση

(331prime) T J ni s 7minusrarr T (s) = prime(s) isin R3

Ισχύει το επόmicroενο

331 Λήmicromicroα Αν (s) s isin J είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε

T prime perp T

δηλαδή

T prime(s) perp T (s) forall s isin J

Απόδειξη Το microήκος του διανύσmicroατος T (s) είναι σταθερό άρα και η συνάρτηση

T (s)2 =lt T (s) T (s) gt είναι σταθερή δηλαδή έχει microηδενική παράγωγο

lt T T gtprime (s) = 2 lt T prime(s) T (s) gt= 0 forall s isin J

απ᾿ όπου προκύπτει το Ϲητούmicroενο

Επειδή το microήκος του T (s) = prime(s) (ταχύτητα) είναι σταθερά 1 η παράγωγος T prime(s) =primeprime(s) (επιτάχυνση) δείχνει την αλλαγή της διεύθυνσης του διανύσmicroατος T (s)

Το microήκος του διανύσmicroατος T prime(s) συmicroβολίζεται microε

(332) k(s) = T prime(s)

και ονοmicroάζεται καmicroπυλότητα της στο (s) Η k(s) είναι ένας microη αρνητικός πραγ-

microατικός αριθmicroός Αν k(s) = 0 λέmicroε ότι το σηmicroείο s είναι ιδιάζον σηmicroείο τάξης 1

Προφανώς ορίζεται και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση (καmicroπυλότητας)

(332prime) k J ni s 7minusrarr k(s) isin [0 infin)

΄Οπως ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 334 η καmicroπυλότητα microετράει το κατά πόσον η καmicro-

πύλη διαφέρει από την ευθεία

Για τα επόmicroενα χρειάζεται η να microην έχει ιδιάζοντα σηmicroεία τάξης 1 άρα έχει

παντού microη microηδενική καmicroπυλότητα Για k(s) 0 το αντίστροφο της καmicroπυλότητας

δηλαδή ο αριθmicroός

(333) ρ(s) =1

k(s)

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 89

καλείται ακτίνα καmicroπυλότητας Μέσω της τελευταίας για κάθε s isin J ορίζουmicroε το

διάνυσmicroα

(334) N(s) =1

k(s)T prime(s)

που ονοmicroάζεται πρώτο κάθετο ή πρωτεύον κάθετο διάνυσmicroα (normal vector) της

στο (s) Το διάνυσmicroα αυτό είναι microοναδιαίο και (σύmicroφωνα microε το Λήmicromicroα 331)

κάθετο στο εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα Ορίζεται επίσης και η αντίστοιχη διαφορίσιmicroη

απεικόνιση

(334prime) N J ni s 7minusrarr N(s) isin R3

Τέλος για κάθε s isin J ορίζουmicroε και το διάνυσmicroα

(335) B(s) = T (s) times N(s)

και την αντίστοιχη διαφορίσιmicroη απεικόνιση

(335prime) B J ni s 7minusrarr B(s) isin R3

Το B(s) καλείται δεύτερο κάθετο διάνυσmicroα (binormal vector) της στο (s) Προ-

ϕανώς είναι κάθετο στα T (s) N(s) και microοναδιαίο

Από τα προηγούmicroενα συνάγεται ότι γιά κάθε s isin J η τριάδα

T (s) N(s) B(s)

x

y

z

( )T s

( )B s

( )N s

( )T s

( )B s

( )N s

( )sb

Σχηmicroα 33

90 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R3 που ονοmicroάζεται συνοδεύον τρίεδρο (moving

frame) ή τρίεδρο Frenet (Frenet frame) στο σηmicroείο (s) της Αντιστοίχως η

τριάδα των συναρτήσεων

T N B

καλείται συνοδεύον τρίεδρο ή τρίεδρο Frenet κατά microήκος της

Πολλές ϕορές για διευκόλυνση αλλά και για την παραστατικότερη απεικόνιση

των πραγmicroάτων ϑεωρούmicroε ότι τα τρία προηγούmicroενα διανύσmicroατα έχουν microεταφερ-

ϑεί παραλλήλως κατά το διάνυσmicroα (s) οπότε έχουν ως αρχήν το σηmicroείο (s) της

καmicroπύλης ΄Ετσι σχηmicroατίζεται η εικόνα ενός τριέδρου που συνοδεύει τα σηmicroεία της

καmicroπύλης Αυτό δικαιολογεί και την παραπάνω ορολογία Σχετικώς παραθέτουmicroε το

Σχήmicroα 33

Μέσω των παραπάνω ϐασικών διανυσmicroάτων ορίζουmicroε τρία χαρακτηριστικά επί-

πεδα που επίσης συνοδεύουν την καmicroπύλη Ακριβέστερα για κάθε σηmicroείο s isin J τα

κάθετα microεταξύ τους διανύσmicroατα T (s) και N(s) ορίζουν ένα επίπεδο E Το (microοναδικό)

επίπεδο που περνά από το σηmicroείο (s) και είναι παράλληλο προς το E (άρα και

προς τα διάνύσmicroατα T (s) N(s)) ονοmicroάζεται εγγύτατο επίπεδο (osculating plane)

της στο (s) Το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς

το επίπεδο των N(s) και B(s) καλείται κάθετο επίπεδο (normal plane) της στο

σηmicroείο (s) ενώ το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς το

επίπεδο των T (s) και B(s) καλείται ευθειοποιούν επίπεδο (rectifying plane) της

στο σηmicroείο (s)

( )T s

( )B s

( )N s

Κάθετοεπίπεδο

Εγγύτατοεπίπεδο

Ευθειοποιούνεπίπεδο

Σχηmicroα 34

Προφανώς το εγγύτατο επίπεδο (στο (s)) είναι κάθετο στο διάνυσmicroα B(s) το

κάθετο επίπεδο είναι κάθετο στο T (s) και το ευθειοποιούν επίπεδο είναι κάθετο

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 91

στο N(s) Οι τελευταίες ιδιότητες χρησιmicroοποιούνται για τον προσδιορισmicroό των αντι-

στοίχων εξισώσεων των επιπέδων αυτών όπως εξηγούmicroε στις ασκήσεις του παρόντος

κεφαλαίου

Στα Σχήmicroατα 33 και 34 απεικονίζονται τα προηγούmicroενα επίπεδα Σηmicroειώνουmicroε

ότι και στα δύο έχουmicroε microεταθέσει τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) στο σηmicroείο (s)οπότε το εγγύτατο επίπεδο ταυτίζεται microε το επίπεδο των T (s) N(s)) κοκ

Στη συνέχεια ϑα ορίσουmicroε και ένα άλλο ϐασικό για την microελέτη microιας καmicroπύλης

microέγεθος Επειδή lt N(s) B(s) gt= 0 για κάθε s isin J παραγωγίζοντας τη συνάρτηση

lt NB gt= 0 [ϐλ και τις ανάλογες σχέσεις (316) (318)] ϐρίσκουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt + lt N(s) Bprime(s) gt= 0

Τον πραγmicroατικό αριθmicroό

(336) τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=lt N prime(s) B(s) gt

ονοmicroάζουmicroε στρέψη (torsion) της καmicroπύλης στο σηmicroείο (s) Προφανώς ορίζεται

και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση

(336prime) τ J ni s 7minusrarr τ(s) isin R

Από την (336) προκύπτει ότι η στρέψη αφού περιέχει την παράγωγοBprime(s) microετρά

κατά κάποιον τρόπο την microεταβολή του δευτέρου καθέτου διανύσmicroατος άρα και τη

microεταβολή του εγγυτάτου επιπέδου Η microεταβολή του τελευταίου ουσιαστικά καθορίζει

τη ϑέση της καmicroπύλης στο χώρο δηλαδή το κατά πόσον η καmicroπύλη αποmicroακρίνεται

από το επίπεδο άρα διαφέρει από microια επίπεδη καmicroπύλη Την ακριβή σηmicroασία της

στρέψης (όπως και της καmicroπυλότητας) ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 335

Πριν συνδέσουmicroε τα διανύσmicroατα του τριέδρου Frenet και τις παραγώγους τους

microε την καmicroπυλότητα και την στρέψη αποδεικνύουmicroε το επόmicroενο ϐοηθητικό συmicroπέ-

ϱασmicroα

332 Λήmicromicroα Αν u v isin R3 microε u = 1 και u perp v τοτε

(u times v) times u = v

Απόδειξη ΄Εστω u = (a b c) και v = (x y z) Τότε

u times v =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a b c

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= (bz minus cy)e1 minus (az minus cx)e2 + (ay minus bx)e3

= (bz minus cy cx minus az ay minus bx)

92 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Εποmicroένως

(u times v) times u =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

bz minus cy cx minus az ay minus bxa b c

∣∣∣∣∣∣∣∣= [c(cx minus az) minus b(ay minus bx)]e1 minus [c(bz minus cy) minus a(ay minus bx)]e2+

+ [b(bz minus cy) minus a(cx minus az)]= (c2x minus acz minus aby + b2x)e1 minus (cbz minus c2y minus a2y + abx)e2+

+ (b2z minus bcy minus acx + a2z)e3 =

= ((1 minus a2)x minus acz minus aby (1 minus b2)y minus abx minus cbz(1 minus c2)z minus bcy minus acx)

= (x minus a(ax + by + cz) y minus b(ax + by + cz)

z minus c(ax + by + cz))= (x minus a lt u v gt y minus b lt u v gt z minus c lt u v gt)

= (x y z) = v

που είναι η Ϲητούmicroενη ισότητα

333 Πόρισmicroα Ισχύουν οι σχέσεις

T (s) times N(s) = B(s)

N(s) times B(s) = T (s)

B(s) times T (s) = N(s)

Απόδειξη Η πρώτη σχέση είναι ακριβώς η (335) δηλαδή ο ορισmicroός του B(s) Για

την τρίτη παρατηρούmicroε ότι το Λήmicromicroα 332 συνεπάγεται ότι

B(s) times T (S) = (T (s) times N(s)) times T (s) = N(s)

Παρόmicroοια για την δεύτερη σχέση εχουmicroε

N(s) times B(s) = N(s) times (T (S) times N(s)) =

= minus(T (S) times N(s)) times N(s) = (N(S) times T (s)) times N(s) = T (s)

Ερχόmicroαστε τώρα στην απόδειξη των τύπων (εξισώσεων) FrenetshySerret οι οποί-

οι εκφράζουν τις παραγώγους T prime(s) N prime(s) Bprime(s) ως γραmicromicroικούς συνδυασmicroούς των

ϐασικών διανυσmicroάτων του τριέδρου Frenet microε συντελεστές την καmicroπυλότητα και τη

στρέψη Αποδείχτηκαν (ανεξαρτητα) από τους Jean Frederic Frenet (1816ndash1900) και

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 93

Joseph Alfred Serret (1819ndash1885)

Εικονα 15 F Frenet και J Serret

334 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε k gt 0 και

T N B το αντίστοιχο τρίεδρο του Frenet κατά microήκος της Τότε ισχύουν οι σχέσεις

(τύποι FrenetshySerret)

(F 1) T prime = kN

(F 2) N prime = minuskT + τB(F 3) Bprime = minusτN

Απόδειξη Η (F 1) προκύπτει από τον ορισmicroό του N(s) [ϐλ σχέση (334)]

Για την (F 2) προχωρούmicroε ως εξής Επειδή για κάθε s isin J τα διανύσmicroατα

T (s) N(s) και B(s) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση υπάρχουν microονοσήmicroαντα ορισmicroέ-

νες συναρτήσεις a b c J rarr R έτσι ώστε

(337) N prime(s) = a(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Για να προσδιορίσουmicroε τις συναρτήσεις a b c ϑα σχηmicroατίσουmicroε το εσωτερικό γινό-

microενο της (337) διαδοχικά microε τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) Στην πρώτη περίπτωση

έχουmicroε ότι

lt N prime(s) T (s) gt = a(s)lt T (s) T (s) gt + b(s)lt N(s) T (s) gt

+ c(s)lt B(s) T (s) gt

= a(s)1 + b(s)0 + c(s)0 = a(s)

Απ᾿ το άλλο microέρος η παραγώγιση της σχέσης lt T N gt= 0 δίνει ότι

lt T N gtprime =lt T prime N gt + lt TN prime gt= 0

94 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

άρα microαζί microε την (F 1)

lt TN prime gt= minus lt T prime N gt= minus lt kNN gt= minusk middot 1 = minusk

Εποmicroένως καταλήγουmicroε στη σχέση

a(s) = minusk(s)

οπότε η (337) παίρνει την microορφή

(338) N prime(s) = minusk(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία εσωτερικά microε N(s) έχουmicroε

lt N prime(s) N(s) gt = minusk(s)lt T (s) N(s) gt + b(s)lt N(s) N(s) gt

+ c(s)lt B(s) N(s) gt

= minusk(s)0 + b(s)1 + c(s)0 = b(s)

Η σχέση lt NN gt= 1 οδηγεί στην

lt N N gtprime = 2 lt NN prime gt= 0

άρα

b(s) = 0

microέσω της οποίας η (338) microετασχηmicroατίζεται στην

(339) N prime(s) = minusk(s)T (s) + 0N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Τέλος από την προηγούmicroενη σχέση έχουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt = minusk(s)lt T (s) B(s) gt + 0lt N(s) B(s) gt

+ c(s)lt B(s) B(s) gt

= minusk(s)0 + 0 + c(s)1 = c(s)

Αλλά η lt BN gt= 0 δίνει ότι

lt B N gtprime =lt Bprime N gt + lt BN prime gt= 0

άρα σύmicroφωνα microε την (336)

lt B(s) N prime(s) gt= minus lt Bprime(s) N(s) gt= τ(s)

οπότε

c(s) = τ(s)

και η (339) microετασχηmicroατίζεται στην

N prime(s) = minusk(s)T (s) + τ(s)B(s) forall s isin J

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 95

δηλαδή καταλήγουmicroε στην (F 2)

Για την (F 3) αρκεί να παραγωγίσουmicroε την B = T times N λαmicroβάνοντας υπόψιν τις

(F 1) (F 2) και τις σχέσεις του Πορίσmicroατος 333 Πράγmicroατι

Bprime = T prime times N + T times N prime

= kN times N + T times (minuskT + τB)

= k middot 0 + (minuskT times T + τT times B)

= minusk middot 0 + τT times B= minusτN

Οι τύποι FrenetshySerret συνοψίζονται και στην επόmicroενη microορφή

(3310)

T prime

N prime

Bprime

=

0 k 0

minusk 0 τ

0 minusτ 0

T

N

B

Απο εδώ ϕαίνεται και ο microνηmicroονοτεχνικός κανόνας microέσω του οποίου ϐρίσκουmicroε α-

microέσως τους συντελεστές των (F 1) ndash (F 3) εmicroφανίζονται microόνον η καmicroπυλότητα και

η στρέψη (κατά σειράν) στην 2η γραmicromicroή και την 2η στήλη microε την σηmicroειούmicroενη

εναλλαγή προσήmicroων

Το επόmicroενα αποτελέσmicroατα διαφωτίζουν το ϱόλο της καmicroπυλότητας και της στρέ-

ψης microιας καmicroπύλης

335 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε ισχύουν

οι επόmicroενοι χαρακτηρισmicroοί

(i) k = 0 εάν και microόνον εάν η είναι ευθεία

(ii) Αν k gt 0 τότε τ = 0 εάν και microόνον εάν η είναι επίπεδη

Απόδειξη (i) k = 0 hArr T prime = primeprime = 0 hArr prime(s) = λ hArr (s) = λs + micro [ϐλ και

Παράδειγmicroα 312 (1)] Προφανώς για να είναι η καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας

ϑα πρέπει λ = 1

(ii) Από τις σχέσεις Bprime = minusτN και τ = minus lt NBprime gt συνάγεται ότι τ = 0 εάν και

microόνον εάν Bprime = 0 που microε τη σειρά του ισοδυναmicroεί microε το ότι η απεικόνιση B = T times Nείναι σταθερή δηλαδή για ένα so isin J

B(s) = B(so) forall s isin JΕτσι έχουmicroε

τ = 0 rArr B(s) = B(so) forall s isin JrArr T (s) perp B(so) forall s isin JrArr lt T (s) B(so) gt=lt

prime(s) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt

prime= 0 forall s isin J

rArr lt (s) B(so) gt= σταθερό forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt=lt (so) B(so) gt forall s isin JrArr lt (s) minus (so) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr (s) minus (so) perp B(so) forall s isin J

96 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Η τελευταία σχέση σηmicroαίνει ότι (s) minus (so) ανήκει στο επίπεδο Eo των T (so) και

N(so) δηλαδή το (s) ανήκει στο εγγύτατο επίπεδο Eo + (so) για κάθε s isin J

Αντιστρόφως έστω ότι (s) isin E για κάποιο επίπεδο E και έστω Eo το επίπεδο

(υπόχωρος του R2 διάστασης 2) που είναι παράλληλο microε το E και περιέχει το 0

Τότε

E = (s) + Eo forall s isin JΣταθεροποιώντας ένα so isin J παίρνουmicroε ότι

(s) isin (so) + Eo forall s isin J

Αν το Eo παράγεται από microία ορθοκανονική ϐάση u v τότε

(3311) (s) = (so) + λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

όπου λ micro J rarr R είναι διαφορίσιmicroες συναρτήσεις Πραγmicroατικά η διαφορισιmicroότητα

της λ ελέγχεται ως εξής Από την (3311) έχουmicroε ότι

(s) minus (so) = λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

οπότε παίρνοντας το εσωτερικό γινόmicroενο και των δύο microελών της τελευταίας microε το u

ϐρίσκουmicroε την

lt (s) minus (so) u gt = lt λ(s)u u gt + lt micro(s)v u gt

= λ(s)1 + micro(s)0 = λ(s)

δηλαδή λ =lt minus (so) u gt που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό Παρόmicroοια αποδεικνύ-

εται και η διαφορισιmicroότητα της micro

Παραγωγίζοντας τώρα την σχέση (3311) έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) = λprime(s)u + microprime(s)v isin Eo forall s isin J

η παραγώγιση επίσης της οποίας οδηγεί στην

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

1

k(s)(λprimeprime(s)u + microprimeprime(s)v) isin Eo forall s isin J

΄Αρα το επίπεδο των T (s) και N(s) είναι σταθερά το Eo και το διάνυσmicroα B(s) είναι στα-

ϑερά το ένα από τα δύο microοναδιαία διανύσmicroατα που είναι κάθετα στο Eo Εποmicroένως

λόγω της σταθερότητας του B(s) και της (336) προκύπτει ότι τ = 0

336 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε

η είναι τmicroήmicroα κύκλου εάν και microόνον εάν έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0

Απόδειξη Αν η είναι τmicroήmicroα κύκλου κέντρου (xo yo) και ακτίνας r τότε δίνεται από

τον τύπο

(s) = r(cos

s

r sin

s

r

)+ (xo yo) s isin J sube [02π]

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

απ᾿ όπου παίρνουmicroε τις σχέσεις

T (s) = prime(s) =( minus sin

s

r cos

s

r

)

T prime(s) = primeprime(s) =1

r

( minus coss

r minus sin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

r

Αντιστρόφως έστω ότι η έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0 και microηδενική στρέψη

Θεωρούmicroε την απεικόνιση

γ(s) = (s) +1

kN(s)

Η γ είναι προφανώς διαφορίσιmicroη και

γprime(s) = prime(s) +1

kN prime(s)

= T (s) +1

k(minuskT (s) + τB(s))

= T (s) minus T (s) + 0 = 0

δηλαδή η γ είναι σταθερή Αν a = γ(s) isin R3 είναι η σταθερή τιmicroή της γ τότε

(s) minus a = 1

kN(s) = 1

k= r

δηλ τα σηmicroεία (s) ανήκουν στην σφαίρα microε κέντρο a και ακτίνα r Επειδή η είναι

επίπεδη ολοκληρώνεται η απόδειξη

337 Παρατηρήσεις 1) Από την προηγούmicroενη απόδειξη ϕαίνεται ότι η ακτίνα του

κύκλου είναι ακριβώς η ακτίνα καmicroπυλότητας της [ ϐλ σχέση (333)] ενώ το κέντρο

είναι το σηmicroείο (s) + 1

kN(s)

2) Από τα Θεωρηmicroατα 335 και 336 συνάγεται ότι η καmicroπυλότητα microετρά το πόσο

αποκλίνει η καmicroπύλη από το να είναι ευθεία ενώ η στρέψη microετρά την απόκλιση από

το να είναι η καmicroπύλη επίπεδη

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης

Το τρίεδρο Frenet η καmicroπυλότητα και η στρέψη microιας καmicroπύλης ορίστηκαν προη-

γουmicroένως microε την προϋπόθεση ότι η είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν

α I rarr R3 είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα

πώς microπορούmicroε να εκφράσουmicroε τα προηγούmicroενα στοιχεία της καmicroπύλης χωρίς ανα-

παραmicroέτρηση microε το microήκος τόξου Αυτό είναι απαραίτητο πχ στην περίπτωση που

ενώ κατά το Θεώρηmicroα 323 υπάρχει πάντοτε τέτοια αναπαραmicroέτρηση εντούτοις οι

υπολογισmicroοί microας καταλήγουν σε microη υπολογίσιmicroο ολοκλήρωmicroα

Σύmicroφωνα microε όσα είπαmicroε στην προηγούmicroενη παράγραφο τα παραπάνω στοιχεία

αναφέρονται σε ιδιότητες του συνόλου X = α(I) και όχι της παραmicroέτρησης (απεικό-

νισης) α Εποmicroένως ο επόmicroενος ορισmicroός είναι εντελώς ϕυσιολογικός

98 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

341 Ορισmicroός ΄Εστω α microια τυχαία κανονική καmicroπύλη και α η παραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου (ϐλ Θεώρηmicroα 323) Αν T N B k τ είναι το τρίεδρο Frenet

η καmicroπυλότητα και η στρέψη της α τότε ορίζουmicroε τα αντίστοιχα microεγέθη T N B k τ

της α microέσω των τύπων

T (t) = T (s(t))( i )

N(t) = N(s(t))( ii )

B(t) = B(s(t))( iii )

k(t) = k(s(t))( iv )

τ(t) = τ(s(t))( v )

342 Θεώρηmicroα Αν α I rarr R3 είναι microια (τυχαία) κανονική καmicroπύλη τότε

k =αprime times αprimeprimeαprime3

Απόδειξη ΄Εστω α microια κανονική καmicroπύλη και α = α h η αναπαραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε α = α s οπότε

για κάθε t isin I έχουmicroε τις σχέσεις

αprime(t) = (α s)prime(t) = sprime(t)αprime(s(t)) = sprime(t)T (s(t))(341)

αprimeprime(t) = sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2(T prime(s(t))

= sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))(342)

οπότε

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)T (s(t)) times [sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))]

ή ϐάσει των ιδιοτήτων του εξωτερικού γινοmicroένου

(343)

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)sprimeprime(t)[T (s(t)) times T (s(t))]+

+ sprime(t)3k(s(t))[T (s(t)) times N(s(t))]

= 0 + sprime(t)3k(s(t))B(s(t))

= αprime(t)3k(s(t))B(s(t))

΄Αρα

αprime(t) times αprimeprime(t) = αprime(t)3k(s(t))

απ᾿ όπου προκύπτει η

k(t) = k(s(t)) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3

δηλαδή η Ϲητούmicroενη σχέση

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

343 Θεώρηmicroα Αν η α είναι microια κανονική καmicroπύλη microε k gt 0 τότε

τ =lt αprime times αprimeprime αprimeprimeprime gtαprime times αprimeprime2 =

[αprimeαprimeprimeαprimeprimeprime]αprime times αprimeprime2

Απόδειξη Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α της α microέσω του

microήκους τόξου Από την σχέση (342) ϐρίσκουmicroε ότι

αprimeprimeprime(t) = sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)T prime(s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) + sprime(t)3k(s(t))N prime(s(t))

= sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t))N (s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) minus sprime(t)3k(s(t))2T (s(t)) +

+sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))B(s(t))

= X (t)T (s(t)) + Y (t)N (s(t)) + Z (t)B(s(t))

όπου ϑέσαmicroε

X (t) = sprimeprimeprime(t) minus sprime(t)3k(s(t))2

Y (t) = sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t)) + [sprime(t)2k(s(t))]prime

Z (t) = sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν την (343) και ότι το B(s(t)) είναι κάθετο προς τα T (s(t)) και

N(s(t)) έχουmicroε

lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gt = sprime(t)3k(s(t)) lt B(s(t)) αprimeprimeprime(t) gt

= sprime(t)3k(s(t))X (t) lt B(s(t)) T (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Y (t) lt B(s(t)) N (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Z (t) lt B(s(t)) B(s(t)) gt

= 0 + 0 + sprime(t)6k(s(t))2 τ(s(t))

= αprime(t) times αprimeprime(t)2 τ(s(t))

απ᾿ όπου παίρνουmicroε την

τ(t) = τ(s(t)) =lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gtαprime(t) times αprimeprime(t)2

microε την οποίαν ολοκληρώνεται η απόδειξη

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης

Θα υπολογίσουmicroε τώρα τα διανύσmicroατα T (t) N(t) και B(t) (ϐλ Ορισmicroό 341) για

microία τυχαία κανονική καmicroπύλη α microε microη microηδενική καmicroπυλότητα

100 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

351 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T (t) N(t) B(t) το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet Τότε

T (t) =αprime(t)αprime(t)

(351)

N(t) =(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

(352)

B(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

(353)

Απόδειξη ΄Εστω α = α h η αντίστοιχη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (ϐλ Θεώ-

ϱηmicroα 322) όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε

T (t) = T (s(t)) = αprime(s(t)) = (α h)prime(s(t))

= αprime(h(s(t)))hprime(s(t)) = αprime(t) middot 1

sprime(t)

=αprime(t)αprime(t)

[ϐλ σχέση (321)]

Ανάλογα από την σχέση T = T s παίρνουmicroε την T = T h εποmicroένως

N(t) = N(s(t)) =T prime(s(t))

k(s(t))=

(T h)prime(s(t))k(t)

=T prime(h(s(t)))hprime(s(t))

k(t)=

T prime(t)k(t)sprime(t)

=T prime(t)sprime(t)

middot αprime(t)3αprime(t) times αprimeprime(t)[Θεώρηmicroα 342]

= T prime(t)αprime(t)2

αprime(t) times αprimeprime(t)

Από την παραπάνω ισότητα έχουmicroε ότι T prime(t) και N(t) είναι συγγραmicromicroικά Επειδή

T (t) perp N(t) είναι και T (t) perp T prime(t) Επίσης προφανώς T (t) = 1 ΄Αρα εφαρmicroόζοντας

το Λήmicromicroα 332 για u = T (t) και v = T prime(t) παίρνουmicroε

T prime(t) = (T (t) times T prime(t)) times T (t)

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι T (t) =αprime(t)sprime(t)

[ϐλ σχέση (351)] και

T prime(t) =αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 101

ϐρίσκουmicroε ότι

T prime(t) =

(αprime(t)sprime(t)

times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

)times α

prime(t)sprime(t)

=1

sprime(t)4[(αprime(t) times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t) times αprime(t)sprimeprime(t)] times αprime(t)

=1

sprime(t)3[(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)]

απ᾿ όπου προκύπτει η

N(t) =

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

Τέλος

B(t) = B(s(t)) = T (s(t)) times N(s(t)) = T (t) times N(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) middot αprime(t) times αprimeprime(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) times

αprime(t)αprime(t)

)

=αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

όπου στην τελευταία ισότητα έχει πάλι χρησιmicroοποιηθεί το Λήmicromicroα 332 για

u =αprime(t)αprime(t) και v =

αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

352 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ΄ ανάγκη microονα-

διαίας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T N B το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet (κατά microήκος της α) Τότε ισχύουν οι (γενικευmicroένοι) τύποι FrenetshySerret

(F prime 1) T prime = kvN

(F prime 2) N prime = minuskvT + τvB

(F prime 3) Bprime = minusτvN

όπου v(t) = αprime(t) το microέτρο της ταχύτητας της α στο t isin IΑπόδειξη Θεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α J rarr R3 της α microέσω του microήκους τόξου

και το τρίεδρο Frenet T N B κατά microήκος της α Για κάθε t isin I είναι

T prime(t) = (T s)prime(t) = T prime(s(t))sprime(t) = k(s(t))N (s(t))sprime(t) = k(t)v(t)N(t)

N prime(t) = (N s)prime(t) = N prime(s(t))sprime(t)= minusk(s(t))sprime(t)T (s(t)) + τ(s(t))sprime(t)B(s(t))

= minusk(t)v(t)T (t) + τ(t)v(t)B(t)

Bprime(t) = (B s)prime(t) = Bprime(s(t))sprime(t) = minusτ(s(t))N (s(t))sprime(t) = minusτ(t)v(t)N(t)

οπότε η απόδειξη των τύπων είναι πλήρης

102 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα δύο αριθmicroητικά microεγέθη η καmicroπυλότητα και η στρέψη που αντιστοιχίσαmicroε

σε microια κανονική καmicroπύλη καθορίζουν ουσιαστικά microονοσήmicroαντα την καmicroπύλη Πιό

συγκεκριmicromicroένα δύο καmicroπύλες microε την ίδια καmicroπυλότητα και την ίδια στρέψη διαφέ-

ϱουν microόνο ως προς την ϑέση τους στο χώρο και αντιστρόφως

Για την ακριβή διατύπωση του σχετικού ϑεωρήmicroατος υπενθυmicroίζουmicroε ότι Μετα-

ϕορά (translation) κατά (το διάνυσmicroα) h isin R3 ονοmicroάζεται η απεικόνιση

microh R3 minusrarr R3 u 7rarr microh(u) = u + h

Στροφή (rotation) ονοmicroάζεται κάθε οϱθογώνιος microετασχηmicroατισmicroός του R3 microε ϑετική

ορίζουσα micro᾿ άλλα λόγια κάθε γραmicromicroική απεικόνιση f R3 rarr R3 που διατηρεί τα

εσωτερικά γινόmicroενα δηλαδή

lt f (u) f (v) gt=lt u v gt forall u v isin R3

και ο πίνακας της έχει ϑετική ορίζουσα Εποmicroένως η f διατηρεί τις αποστάσεις και

αντιστρέφεται (δηλαδή είναι γραmicromicroικός ισοmicroορφισmicroός)

Παρατηρούmicroε ότι οι microεταφορές και οι στροφές είναι αντιστρέψιmicroες απεικονίσεις

της ίδιας microορφής η αντίστροφη της microh είναι η microminush δηλαδή είναι επίσης microία microετα-

ϕορά ενώ η αντίστροφη microιάς στροφής είναι άmicroεσον ότι αποτελεί κι αυτή στροφή

∆ιαπιστώνεται εύκολα ότι

f microc = microf (c) fΗ σύνθεση microια microεταφοράς και microια στροφής ονοmicroάζεται στερεά κίνηση (rigid moshy

tion)

Τα προηγούmicroενα microας επιτρέπουν να διατυπώσουmicroε το επόmicroενο Θεmicroελιώδες Θε-

ώρηmicroα των Καmicroπυλών microε το οποίον και κλείνουmicroε το κεφάλαιο αυτό

353 Θεώρηmicroα ΄Εστω k(s) gt 0 και τ(s) s isin J = [0 c] δύο διαφορίσιmicroες πραγmicroα-

τικές συναρτήσεις Τότε υπάρχει microια καmicroπύλη α J rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα k και στρέψη τ Επιπλέον microια άλλη κανονική καmicroπύλη έχει τις ίδιες

ιδιότητες τότε και microόνον τότε αν διαφέρει από την α κατά microία στερεά κίνηση

Για microια λεπτοmicroερή απόδειξη του ϑεωρήmicroατος η οποία είναι αρκετά τεχνική και

ϐρίσκεται εκτός του σκοπού αυτών των σηmicroειώσεων παραπέmicroπουmicroε στο [7] Εδώ

περιοριζόmicroαστε στην παράθεση του Σχήmicroατος 35 στην επόmicroενη σελίδα

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται κυρίως στις σηmicroειώσεις [7] Από την πολλή

εκτεταmicroένη ϐιβλιογραφία της στοιχειώδους διαφορικής γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

επιλέγουmicroε να παραπέmicroψουmicroε τον ενδιαφερόmicroενο αναγνώστη στα πολύ κατανοητά

ϐιβλία [24] [30] και [34]

36 Ασκήσεις 103

x

y

z

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )sa

1e

2e0

3e

a

b

Σχηmicroα 35

36 Ασκήσεις

1 Να ϐρεθούν (i) Μία παραmicroέτρηση α του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος που ενώνει δύο

(διαφορετικά) σηmicroεία P και Q του R3 (ii) Το microήκος και η καmicroπυλότητα της α (iii) Μία

αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (iv) Το microήκος και η καmicroπυλότητα

της

2 Ο κύκλος microε κέντρο (00) και ακτίνα r είναι εικόνα της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R2 t 7rarr (r cost r sint)

Να δείξετε ότι (i) Η α ορίζει microία κανονική παραmicroέτρηση (ii) Το διάνυσmicroα της τα-

χύτητας είναι κάθετο στην ακτίνα (iii) Το διάνυσmicroα της επιτάχυνσης κατευθύνεται

προς το κέντρο (iv) Να υπολογίσετε το microήκος της α (v) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση

της α microε microοναδιαία ταχύτητα και να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα k της

3 Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέτρηση της παραβολής y = x2 και η αντίστοιχη

καmicroπυλότητα Ποιόν γεωmicroετρικό τόπο παριστάνει η (t) = (t3 t6) microε t isin R

4 ∆ίνεται microία διαφορίσιmicroη συνάρτηση f R rarr R Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέ-

τρηση α του γραφήmicroατος της και να προσδιοριστούν τα διανύσmicroατα T N B και η

καmicroπυλότητα της α

104 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

5 Να ϐρεθούν το microήκος η καmicroπυλότητα και η στρέψη της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr(

1radic

2cost sint

1radic

2cost

)

6 Να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) = (a cost b sint) t isin [02π] a b gt 0

Ποιά είναι η εικόνα της

7 Η (διαφορίσιmicroη) καmicroπύλη

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr (r cost r sint bt) r gt 0 b isin Rlowast

περιγράφει microία κυκλική έλικα (circular helix) η οποία απεικονίζεται στο Σχήmicroα

36

(i) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (ii) Να ϐρεθούν

καmicroπυλότητα και η στρέψη της (iii) Να αποδειχθεί ότι η γωνία φ microεταξύ της

εφαπτοmicroένης σε κάθε σηmicroείο της έλικας και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή (iv) Να

αποδειχθεί ότι η γωνία ω microεταξύ της δεύτερης καθέτου lowast σε κάθε σηmicroείο της έλικας

και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή

2 bp

z

x

t

y

Σχηmicroα 36

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 151

36 Ασκήσεις 105

8 Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) =

(tt2

2

) 0 le t le 1

9 Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

α Rrarr R2 t 7rarr (t2 t3)

Είναι κανονική Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητά της

10 Να ϐρεθεί διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α microε a(0) = (01) η οποία διαγράφει τον

κύκλο microε την ϕορά των δεικτών του ωρολογίου

11 ΄Εστω α I rarr R3 διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και διάνυσmicroα v isin R3 τέτοιο ώστε

α(0) perp v και αprime(t) perp v forall t isin I

Να δείξετε ότι α(t) perp v για κάθε t isin I

12 Να δείξετε ότι οι εφαπτόmicroενες της καmicroπύλης

α R minusrarr R3 t 7rarr (3t 3t2 2t3)

σχηmicroατίζουν σταθερή γωνία θ microε την ευθεία y = 0 x = z

13 ΄Ενας κύκλος ακτίνας r στέκεται στο σηmicroείο (00) του άξονα x primeOx και αρχίζει

να κυλά προς τα δεξιά (i) Να ϐρεθεί η καmicroπύλη α που διαγράφει το σηmicroείο A το

οποίον αρχικά ακουmicroπά στο (00) (ii) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της α τις

χρονικές στιγmicroές t = 0 t = π και t = 2π (iii) Να υπολογιστεί το microήκος του τmicroήmicroατος

της α όταν t isin [0 2π]Η καmicroπύλη α είναι γνωστή microε το όνοmicroα κυκλοειδής (η microορφή της εmicroφανίζεται

στο σχήmicroα της λύσης σελ 153)

14 ΄Εστω (s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (i) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει διάνυ-

σmicroα w ( διάνυσmicroα Darboux) τέτοιο ώστε T prime = ωtimesT N prime = ωtimesN και Bprime = ωtimesB (ii)

Να αποδειχθεί η σχέση T prime timesT primeprime = k2ω [Στις παραπάνω σχέσεις για ευκολία έχουmicroε

παραλείψει την microεταβλητή s]

15 ΄Εστω J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε την ιδιότητα η εφαπτοmicroένη

σε κάθε σηmicroείο (s) περνά από ένα σταθερό σηmicroείο P Να αποδειχθεί ότι η είναι

ευθεία

16 ΄Εστω a J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η α είναι τmicroήmicroα

κύκλου εάν και microόνον εάν όλες οι πρώτες κάθετοιlowast της α περνούν από σταθερό

σηmicroείο P

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 156

106 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

17 Αν a J rarr R3 είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε οι δεύτερες κάθετοι

της a δεν microπορούν να περνούν από σταθερό σηmicroείο

18 ΄Εστω α J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η ταχύτητα της

α είναι συνεχώς παράλληλη microε ένα σταθερό διάνυσmicroα 0 u isin R3 εάν και microόνον εάν

η α είναι ευθεία

19 Να ϐρεθεί η εξίσωση του κάθετου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κανονι-

κής καmicroπύλης Ως εφαρmicroογή να δείξετε ότι όλα τα κάθετα επίπεδα της καmicroπύλης

(t) = (a sin2 t a sint cost a cost)

διέρχονται από το σηmicroείο (000)

20 Να ϐρεθεί η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κα-

νονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) = (cost sint t) t isin R Να

ϐρεθεί η (καρτεσιανή) εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου της α(t) στο σηmicroείο α(to)

όπου to =π

2

21 Να ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια

κανονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) =

(tt2

2t3

3

) t isin R Να

ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου της α(t) στο σηmicroείο που αντιστοιχεί

στο to = 1

22 ∆ίνεται microία καmicroπύλη α I rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε καmicroπυλότητα k(s) gt 0

για κάθε s isin I και στρέψη τ(s) Θέτουmicroε (s) = T (s) όπου T (s) το εφαπτόmicroενο

διάνυσmicroα της α (i) Να αποδειχθεί ότι η είναι κανονική καmicroπύλη (ii) Αν σ είναι η

συναρτηση microήκους τόξου της (microε αρχή το so) να αποδειχθεί ότι σprime(s) = k(s) για

κάθε s isin I (iii) Να υπολογιστεί καmicroπυλότητα k και η στρέψη τ της

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η καmicroπύλη καλείται σφαιρική δείκτρια (spherical indicatrix)

της (συνάρτησης) T Ανάλογα ορίζονται και οι σφαιρικές δείκτριες των N και B Η

ορολογία οφείλεται στο γεγονός ότι οι δείκτριες παίρνουν τιmicroές στη microοναδιαία σφαίρα

του R3 microε κέντρο το 0

23 Υποθέτουmicroε ότι α I rarr R2 είναι επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα 0 lt k(s) lt 1 foralls isin I Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

(s) = α(s) + N(s) s isin I

(παράλληλη της α) όπου N(s) το πρώτο κάθετο διάνυσmicroα της α Να αποδειχθεί ότι

η είναι κανονική και ότι η καmicroπυλότητά της k δίνεται από την σχέση

k =k

1 minus k

24 Εστω α(s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε στρέψη τ(s) 0 Να εκφραστεί η

καmicroπυλότητα k της α συναρτήσει της τ και των δεύτερων κάθετων διανυσmicroάτων B(s)

36 Ασκήσεις 107

25 Αν γ είναι κανονική καmicroπύλη microε την ιδιότητα οι διχοτόmicroοι της γωνίας που

σχηmicroατίζουν τα πρώτα κάθετα διανύσmicroατα microε τα αντίστοιχα δεύτερα να διέρχονται

από σταθερό σηmicroείο τότε η γ είναι κύκλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

4

Από τους χάρτες στις

Πολλαπλότητες

΄Οπως αποδείχτηκε στον Riemann έλειπε ακόmicroη ένα

στοιχείο κλειδί γαι microια πλήρη εικόνα του σύmicroπαντος Γι

αυτήν ο κόσmicroος ϑα έπρεπε να περιmicroένει ακόmicroη microισόν αιώ-

να microέχρι τη γέννηση του Albert Einstein

R Osserman [32 σελ 92]

Σ το Κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη περιγραφή της έννοιας της (διαφορικής)

πολλαπλότητας αφού προηγουmicroένως ορίσουmicroε την έννοια ενός χάρτη και microιας

επιφάνειας στον χώρο R3

Η πολλαπλότητα που αναφέρεται για πρώτη ϕορά από τον Riemann το 1848 γε-

νικεύει την έννοια της επιφάνειας στον R3 Αφορmicroή για τις ιδέες του Riemann υπήρξε

το Θεώρηmicroα Egregium του Gauss και η συνακόλουθη ανακάλυψη της εσωτερικής

γεωmicroετρίας της επιφάνειας

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

109

110 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Η γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων αποτελεί τη σηmicroαντικότερη εξέλιξη της γεωmicroε-

τρίας στον 20ο αιώνα και είναι ϑεmicroελιώδης για τα σύγχρονα microαθηmicroατικά (∆ιαφορική

Γεωmicroετρία και Τοπολογία Συmicroπλεκτική Γεωmicroετρία κλπ) και τη ϕυσική (Θεωρία

Σχετικότητας Θεωρίες Βαθmicroίδας κα)

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss

Παραλλάσοντας την εναρκτήρια ϕράση laquoεν αρχή ην τα microπαχαρικάraquo από τον laquoΜαγγε-

λάνοraquo του Stefan Zweig ϑα microπορούσαmicroε χωρίς υπερβολή να πούmicroε για τη νεώτερη

εξέλιξη της γεωmicroετρίας ότι

εν αρχή ην ο χάρτης

Η κατασκευή χαρτών απασχόλησε τους γεωγράφους από την αρχαιότητα για

την εξυπηρέτηση της ναυσιπλοΐας και έγινε επιτακτική ανάγκη microετά τις microεγάλες

εξερευνήσεις (ανακάλυψη της Αmicroερικής κλπ) Η ακριβής αποτύπωση του σχήmicroατος

της Γης και η κατασκευή χαρτών οδήγησαν αργότερα στη συστηmicroατική microελέτη και

(της διαφορικής γεωmicroετρίας) των επιφανειών

Τι είναι όmicroως χάρτης Είναι microία προβολή δηλ απεικόνιση (microέρους) της Γης στο

επίπεδο Παράδειγmicroα τέτοιας απεικόνισης είναι η στερεογραφική προβολή που

οφείλεται στον ΄Ιππαρχο (190ndash125 πΧ) και χρησιmicroοποιήθηκε για την κατασκευή

αστρονοmicroικών χαρτών Ο όρος στερεογραφική προβολή οφείλεται στον F Drsquo Aiguillon

(1566ndash1617)

Η ιδέα της στερεογραφικής προβολής από τον Βόρειο Πόλο N εmicroφανίζεται στο

επόmicroενο σχήmicroα

N

S

x

y

z

P

NP

E

0

Σχηmicroα 41 Στερεογραφική προβολή από τον Βόρειο Πόλο

Αν ϑεωρήσουmicroε ότι microια σφαίρα microε κέντρο 0 και ακτίνα 1 αναπαριστά ιδεατά τη

γήινη σφαίρα N είναι ο Βόρειος Πόλος και E το επίπεδο του Ισηmicroερινού τότε η

(στερεογραφική) προβολή PN του σηmicroείου P της σφαίρας είναι η τοmicroή της ευθείας

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 111

NP microε το E Με την προηγούmicroενη διαδικασία ορίζεται η 1ndash1 και επί (διαφορίσιmicroη)

απεικόνιση

(411) S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

microε αντίστροφη την (επίσης διαφορίσιmicroη)

(412) R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Οι προηγούmicroενες εκφράσεις των απεικονίσεων προκύπτουν microε εφαρmicroογή στοιχειώ-

δους Αναλυτικής Γεωmicroετρίας

΄Ετσι αν ϕανταστούmicroε ότι στο επίπεδο του Ισηmicroερινού έχει απλωθεί ένα τεράστιο

ϕύλλο χαρτιού ϑα έχουν απεικονιστεί όλα τα σηmicroεία της σφαίρας σ΄ αυτό εκτός από

τον Βόρειο Πόλο άρα ϑα έχουmicroε κατασκευάσει (ϑεωρητικά) ένα χάρτη Επειδή ο

προηγούmicroενος χάρτης δεν απεικονίζει τον Βόρειο Πόλο για να καλύψουmicroε όλη τη

Γη χρειαζόmicroαστε και τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο Πόλο microε αντίστοιχες

εκφράσεις (ποιές )

Οι δυο προηγούmicroενοι χάρτες microαζί αποτελούν όπως microαθαίνουmicroε στη γεωγραφία

έναν άτλαντα Φυσικά οι χαρτες αυτοί δεν έχουν καmicroιά πρακτική αξία λόγω προ-

ϕανών microειονεκτηmicroάτων (περιοχές κοντά στους πόλους ϑα απεικονίζονται τερατωδώς

παραmicroορφωmicroένες σε εξαιρετικά αποmicroακρυσmicroένες περιοχές του χάρτη) ΄Οmicroως αυτή

η ϑεωρητική κατασκευή εmicroπεριέχει microια ϐασική ιδέα απεικόνισης από microια επιφάνεια

στο επίπεδο

΄Εναν καλλίτερο χαρτη του ϐορείου ηmicroισφαιρίου δίνει η προβολή του στο επίπεδο

του Ισηmicroερινού όπως στο επόmicroενο σχήmicroα

( )u v

2 21( )u vu v - -

(01)D

S z

+

Σχηmicroα 42 Προβολή του ϐορείου ηmicroισφαιρίου στο επίπεδο (του Ισηmicroερινού)

Ακριβέστερα έχουmicroε την 1ndash1 και επι (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(413) φ+z S+z ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (0 1)

όπου S+z = (x y z) isin S2 z gt 0 (ϐόρειο ηmicroισφαίριο χωρίς την περιφέρεια του

Ισηmicroερινού) και DZ (01) = (u v) isin R2 u2+ v2 lt 1 (ο microοναδιαίος δίσκος microε

112 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

κέντρο το 0 που είναι κάθετος στον άξονα των z) Η αντίστροφη της προηγούmicroενης

είναι προφανώς η (επίσης διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(414) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u v

radic1 minus u2 + v2

)isin S+z

Ανάλογα ϑεωρούmicroε το (νότιο ηmicroισφαίριο) Sminusz = (x y z) isin S2 z lt 0 που

προβάλεται στον ίδιο δίσκο DZ (01) microέσω της απεικόνισης

(415) φminusz Sminusz ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (01)

microε αντίστροφη την

(416) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u vminus

radic1 minus u2 + v2

)isin Sminusz

Με αυτή τη διαδικασία έχουmicroε τα έξι ηmicroισφαίρια (δύο ως προς κάθε άξονα)

(417) Sαi microε i = x y z και α = +minus

τα οποία προβάλονται στους δίσκους Di microέσω των αντιστοίχων απεικονίσεων φαi Με

τον τρόπο αυτόν προκύπτει ένας άτλαντας microε έξι χάρτες

S+

z

S-

z

S+

x

S-

x

S+

y

S-

y

z

x y

Σχηmicroα 43 Τα έξι ηmicroισφαίρια

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 113

Για άλλα είδη προβολών προβλήmicroατα σχετικά microε τη δηmicroιουργία χαρτών και τις

συνακόλουθες ατέλειές τους καθώς και την αδυναmicroία της κατασκευής ενός laquoιδεώ-

δουςraquo χάρτη (Θεώρηmicroα Euler) παραπέmicroπουmicroε στα ϐιβλία [24] και (το πιό περιγρα-

ϕικό) [32]

Κάθε χάρτης εισάγει ένα (τοπικό) σύστηmicroα συντεταγmicroένων και παραmicroετρηκοποιεί

ένα τmicroήmicroα της επιφάνειας δηλ την περιγράφει microέσω microιας κατάλληλης απεικόνισης

στην οποίαν εφαρmicroόζεται ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός (ϐλ και τα σχετικά σχόλια για την

παραmicroέτρηση καmicroπύλης στην αρχή της sect31)

Τα προηγούmicroενα microας οδηγούν στους εξής τυπικούς ορισmicroούς

411 Ορισmicroός Μία παραmicroέτρηση (parametrization) ή σύστηmicroα συντεταγmicroένων

(coordinate system) ή χάρτης (chart) [microιας επιφάνειας S sube R3] είναι ένα Ϲεύγος

(U r) όπου U sube R2 είναι ανοιχτό σύνολο και r U rarr R3 διαφορίσιmicroη απεικόνιση

έτσι ώστε να ισχύουν οι συνθήκες

bull Η r U rarr W = r(U ) είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

bull Για κάθε σηmicroείο q = (u v) isin U το διαφορικό της r στο q Dr(q) R2 rarr R3 είναι

απεικόνιση 1ndash1 Ισοδύναmicroα rank(Jqr

)= 2 όπου Jqr συmicroβολίζει τον πίνακα

Jacobi της r στο σηmicroείο q

Επειδή το πεδίον ορισmicroού της r είναι στο R2 λέmicroε ότι ο χάρτης έχει διάσταση 2

(διδιάστατος χάρτης)

Το επόmicroενο σχήmicroα εικονίζει ένα χάρτη επιφάνειας

urvr

ou

ou

UWr

q

x

y

z

u

v

Σχηmicroα 44 Χάρτης επιφάνειας

412 Ορισmicroός Μια (κανονική) επιφάνεια (regular surface) είναι ένα σύνολο

S sube R3 microε τις εξής ιδιότητες

bull Υπάρχει microία οικογένεια χαρτών (Ui ri)iisinI τέτοια ώστε κάθε Wi = ri(Ui) sube S να

είναι ανοιχτό υποσύνολο του S

114 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull S =⋃

iisinI Wi

Ισοδύναmicroα Για κάθε σηmicroείο p isin S υπάρχει (2-διάστατος) χάρτης (Up rp) microε p isinWp = ri(Ui) και Wp sube S ανοιχτό

Το σύνολο των χαρτών (Ui ri)iisinI του S αποτελεί έναν (2-διάστατο) άτλαντα (atlas)

Περιγραφικά ϑα microπορούσαmicroε να πούmicroε ότι η επιφάνεια καλύπτεται από τις

εικόνες των χαρτών της

413 Παραδείγmicroατα bull Κάθε επίπεδο του χώρου R3

bull Η σφαίρα S2 microε τις δύο δοmicroές που ορίστηκαν στην αρχή αυτής της παραγράφου

[ϐλ ΄Ασκηση 417 (2)]

bull Το γράφηmicroα

Γf =(u v f (u v)) | (u v) isin R2

microιας διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3 [ϐλ ΄Ασκηση 417 (3)]

bull Επιφάνειες όπως στα επόmicroενα σχήmicroατα 45 και 46

x

y

z

Σχηmicroα 45 Η επιφάνεια του ελλειψοειδούς

και πλήθος άλλες εκ των οποίων πολλές ιδιαίτερα περίπλοκες

Ισχύει το επόmicroενο ϑεmicroελιώδες συmicroπέρασmicroα

414 Θεώρηmicroα Η αλλαγή των συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

Θυmicroίζουmicroε ότι αmicroφιδιαφόριση είναι microία απεικόνιση 1ndash1 και επί η οποία είναι

διαφορίσιmicroη microε διαφορίσιmicroη αντίστροφο

Περιγραφικά (ϐλ και το Σχήmicroα 47) το ϑεώρηmicroα σηmicroαίνει ότι αν έχουmicroε δύο

συστήmicroατα συντεταγmicroένων (U1 r1) και (U2 r2) τέτοια ώστε W = r1(U1) cap r2(U2) emptyτότε οι συναρτήσεις rminus1

2 r1 και rminus12 r1 (που είναι η microία αντίστροφος της άλλης) είναι

διαφορίσιmicroες Εποmicroένως οι συντεταγmicroένες των σηmicroείων του W ανάγονται η microία στην

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 115

x

y

z

Σχηmicroα 46 Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς

2iexcl

2iexcl

W

1 1( )r U 2 2( )r U

1U 2U

1r 11r-

12r-

2r

11 2r r-

o

12 1r r-

o

S

Σχηmicroα 47 Η αλλαγή συντεταγmicroένων επιφάνειας

άλλη microε διαφορίσιmicroο τρόπο Για την απόδειξη του ϑεωρήmicroατος παραπέmicroπουmicroε στο

[7 Θεώρηmicroα 233]

Σε κάθε σηmicroείο P microιας επιφάνειας S ορίζονται δύο αντικείmicroενα τα οποία παίζουν

ουσιώδη ϱόλο στη γεωmicroετρική microελέτη της επιφάνειας Αυτά είναι

bull το εφαπτόmicroενο επίπεδο (tangent plane) Ep και

bull το microοναδιαίο κάθετο διάνυσmicroα (unit normal vector) N equiv N(p)

όπως ϕαίνονται στο παρακάτω Σχήmicroα 48

116 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

N

P

vr

ur

p pE T Sordm

Σχηmicroα 48 Εφαπτόmicroενο επίπεδο και πρώτο κάθετο διάνυσmicroα

Λεπτοmicroερέστερα το Ep είναι η microεταφορά κατά το διάνυσmicroα ϑέσης p του σηmicroείου

P του εφαπτοmicroένου χώρου (tangent space)

TpS = Drq(R2) = αprime(0)

για όλες τις διαφορίσιmicroες καmicroπύλες α R supe Iα rarr R3 microε α(Iα) sub S και α(0) = p Η

πρώτη ισότητα στον παραπάνω ορισmicroό σε συνδυασmicroό microε τη δεύτερη συνθήκη του

Ορισmicroού 411 συνεπάγεται ότι ο εφαπτόmicroενος χώρος είναι ένας γραmicromicroικός υπόχωρος

του R3 διάστασης δύο δηλ ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξονων

Εποmicroένως

Ep = p + TpS

Απ΄ το άλλο microέρος είναι προφανές ότι

το N υπάρχει γιατί η S ϐρίσκεται εντός του R3

και η microεταβολή του αντανακλά το laquoσχήmicroαraquo της επιφάνειας το οποίον ουσιαστικά

προσδιορίζεται από ένα ϑεmicroελιώδες microέγεθος την καmicroπυλότητα που σήmicroερα είναι

γνωστή ως καmicroπυλότητα Gauss (Gauss curvature) για να τιmicroηθεί η ϑεmicroελιώδης

συmicroβολή του microεγάλου microαθηmicroατικού στη ϑεωρία των επιφανειών

Σχήmicroα 49 Καmicroπυλότητα σφαιρικών επιφανειών

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 117

Χωρίς να microπούmicroε εδώ σε τεχνικές λεπτοmicroέρειες microπορούmicroε να πούmicroε ότι η καmicroπυ-

λότητα του Gauss microετράει σε κάθε σηmicroείο την laquoαπόκλισηraquo της επιφάνειας από το

να είναι το επίπεδο Το προηγούmicroενο σχήmicroα παρουσιάζει σε τοmicroη δύο σφαιρικές

επιφάνειες που εφάπτονται σε ένα επίπεδο στο σηmicroείο P Τα σηmicroεία της microεγάλης

σφαίρας που ϐρίσκονται κοντά στο P απέχουν από το επίπεδο λιγότερο απ΄ ότι τα

σηmicroεία της microικρής σφαίρας επίσης κοντά στο P ∆ιαισθητικά αντιλαmicroβανόmicroαστε ότι

η σφαίρα microε τη microεγαλύτερη ακτίνα έχει microικρότερη καmicroπυλότητα

Ο Leonhard Euler (1707ndash1783) υπολόγισε την καmicroπυλότητα microε τον παρακάτω

τρόπο ο οποίος στηρίζεται στην ύπαρξη του καθέτου διανύσmicroατος

Εικονα 15 Leonhard Euler

Θεωρούmicroε όλα τα επίπεδα Π που περιέχουν το κάθετο διάνυσmicroα N στο σηmicroείο P

της επιφάνειας S και είναι κάθετα στο εφαπτόmicroενο επίπεδο της S στο P (ϐλ Σχήmicroα

410) Κάθε τέτοιο επίπεδο τέmicroνει την S κατά microήκος microιας καmicroπύλης γ microε αντίστοιχη

καmicroπυλότητα στο P κγ (ϐλ sectsect 33 34)

Σχήmicroα 410 Υπολογισmicroός της καmicroπυλότητας από τον Euler

Στο σύνολο των καmicroπυλοτήτων όλων των καmicroπυλών που λαmicroβάνονται micro΄ αυτόν

118 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

τον τρόπο υπάρχει microία ελάχιστη τιmicroή κ1 και microία microέγιστη κ2 Τότε η καmicroπυλότητα

Gauss K της S στο P δίνεται από τη σχέση

Kp = κ1 middot κ2

Αργότερα όmicroως Ο Carl Friedrich Gauss παρακινούmicroενος από γεωδαιτικές microε-

λέτες (ως ∆ιευθυντής του Γαιωδαιτικού Ινστιτούτου του Gottingen) microε σκοπό τη σύν-

ταξη τοπογραφικών χαρτών microεγάλης κλίmicroακας στο (τότε) Βασίλειο του Ανοβέρου

κατέληξε στον υπολογισmicroό της καmicroπυλότητας microιας επιφάνειας S αποκλειστικά microε

microετρήσεις επί της S δηλαδή χωρίς προσφυγή στον περιβάλλοντα χώρο και την ύ-

παρξη του καθέτου διανύσmicroατος Επιστέγασmicroα της προσέγγισης αυτής ήταν και η

απόδειξη του εποmicroένου διασήmicroου αποτελέσmicroατος

415 Θεώρηmicroα (Egregium) Η καmicroπυλότητα Gauss είναι ισοmicroετρική αναλλοίωτη

Εικονα 16 Carl Friedrich Gauss

Συνέπεια του ϑεωρήmicroατος αυτού του Gauss είναι και το

416 Πόρισmicroα Κάθε επιφάνεια S διαθέτει microια εσωτερική γεωmicroετρία ∆ηλαδή η

γεωmicroετρία της S δεν εξαρτάται από την εmicroβάπτισή της στον R3

Η ανάλυση των προηγουmicroένων οδηγεί και στο εξής συmicroπέρασmicroα

Αν στη Γη κατοικούσαν 2-διάστατα όντα (χωρίς την αίσθηση της τρίτης διάστα-

σης) και είχαν τις γνώσεις και την ευφυία του Gauss τότε αυτά ϑα microπορούσαν

να ανακαλύψουν το σχήmicroα της microε microετρήσεις στην ίδια την επιφάνεια της Γης

΄Ενας σύγχρονος (και σχετικά εύκολος) τρόπος υπολογισmicroού της καmicroπυλότητας

προκύπτει microε laquoκατάλληληraquo διαφόριση του N από την οποίαν προκύπτει ένας αυτο-

συζυγής (συmicromicroετρικός) τελεστής του TpS ΄Ενας τέτοιος τελεστής έχει δύο ιδιοτιmicroές

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

(κύριες καmicroπυλότητες) κ1 κ2 οπότε όπως και microε τη microέθοδο του Euler Kp = κ1 middot κ2

Κι εδώ η καmicroπυλότητα υπολογίζεται microε τη ϐοήθεια του καθέτου διανύσmicroατος άρα

τελικά λαmicroβάνοντας υπόψη ότι η επιφάνεια είναι εmicroβαπτισmicroένη στο χώρο R3

417 Ασκήσεις

1 Να αποδειχτούν οι τύποι της στερεογραφικής προβολής από το Βόρειο Πόλο (411)

(412) και να ϐρεθούν οι αντιστοιχες εκφράσεις για τη στερεογραφική προβολή από

το Νότιο Πόλο

2 Να οριστούν τα συστήmicroατα συντεταγmicroένων (χάρτες) της S2 ως επιφάνειας microε την

αυστηρή έννοια του Ορισmicroού 411 για τις στερεογραφικές προβολές και τα ηmicroι-

σφαίρια

3 Να δικαιολογηθεί γιατί το γράφηmicroα microιάς διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3

(ϐλ Παραδείγmicroατα 413) είναι κανονική επιφάνεια

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες

Η έννοια της (διαφορικής) πολλαπλότητας αναπτύχθηκε από τον Bernhard Riemann

(1826ndash1866) στη διάλεξή του laquoΕπί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια

της γεωmicroετρίαςraquolowast (ϐλ και σχετικά σχόλια στη σελ 28) Στη διάλεξη αυτή ο Riemann

ανέπτυξε ϱιζοσπαστικές ιδέες για τον χώρο ο οποίος δεν πρέπει να ϑεωρείται κατ΄

ανάγκην Ευκλείδειος αλλά ότι είναι laquoκαmicroπυλωmicroένοςraquo και η καmicroπυλότητά του microπο-

ϱεί να υπολογιστεί (όπως και στις επιφάνειες) microε εσωτερικές microετρήσεις ΄Ετσι ο χώρος

είναι microία laquoπολλαπλότηταraquo δηλαδή ένα γεωmicroετρικό αντικείmicroενο που δεν είναι απα-

ϱαίτητα εmicroβαπτισmicroένο σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο και microπορεί να έχει διάσταση

microεγαλύτερη του 3 ακόmicroη και άπειρη Η ύπαρξη microιας microετρικής στην πολλαπλότητα

που σήmicroερα είναι γνωστή ως microετρική Riemann οδηγεί στην εύρεση της αντίστοιχης

καmicroπυλότητας άλλα και άλλων σχετικών microεγεθών που αποκαλύπτουν τις γεωmicroετρι-

κές ιδιότητες του αντικειmicroένουχώρου

Είναι προφανές ότι οι ιδέες αυτές είχαν ως αφορmicroή την εσωτερική γεωmicroετρία του

Gauss Θυmicroίζουmicroε ότι ο Riemann υπήρξε microαθητής του Gauss και ο τελευταίος ήταν

ίσως και ο microοναδικός καθηγητής του Gottingen που microπορούσε να κατανοήσει τις

ϱιζοσπαστικές ιδέες του microαθητή του όπως αυτός (δηλ ο Riemann) τις διατύπωσε

στην παραπάνω διάλεξη

Στα επόmicroενα ϑα ϑεωρήσουmicroε ένα σύνολο M empty Με σύγχρονη ορολογία και

συmicroβολισmicroούς (που καθιερώθηκαν microετά τα microέσα της δεκαετίας του 1930) έχουmicroε

πρώτα τον επόmicroενο τυπικό ορισmicroό (συγκρίνατε microε τον Ορισmicroό 411)

421 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος χάρτης (chart) του M είναι ένα Ϲεύγος (Uφ)όπου

lowast Για τη microετάφραση της διάλεξης στα Αγγλικά και εκτενή επεξηγηmicroατικά σχόλια ϐλ M Spivak

[38] σελίδες 132ndash178

120 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull U sube M

bull φ U≃minusminusrarr φ(U ) sube Rn είναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε φ(U ) sube Rn ανοιχτό

Σχηmicroα 411 Χάρτης πολλαπλότητας

Οι χάρτες κι εδώ ορίζουν τοπικά συστήmicroατα συντεταγmicroένων Το Σχήmicroα 411 πα-

ϱουσιάζει ένα χάρτη του M και συγκρινόmicroενο microε το αντίστοιχο Σχήmicroα 44 της σε-

λίδας 113 δείχνει τη σχέση των χαρτών microιας πολλαπλότητας microε αυτούς microιας επι-

ϕάνειας Συνολοθεωρητικά προσδιορίζονται από το ίδιο είδος απεικονίσεων (1ndash1 και

επί) microε εναλλαγή των πεδίων ορισmicroού και τιmicroών Οι τοπολογικές απαιτήσεις και οι

συνθήκες διαφορισιmicroότητας επί των χαρτών της επιφάνειας δεν έχουν έννοια εδώ

αφού το M είναι ένα σύνολο χωρίς καmicroιά δοmicroή (προς το παρόν)

422 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος άτλαντας (atlas) του M είναι microία οικογένεια

χαρτών A = (Ui φi) | i isin I τέτοια ώστε

bull M =⋃

iisinIUi δηλαδή ο A καλύπτει το M

bull Η αλλαγή των χαρτώνσυντεταγmicroένων

φj φminus1i φi(Ui cap Uj) minusrarr φj(Ui cap Uj)

είναι αmicroφιδιαφόρίση όπου υποθέτουmicroε ότι τα σύνολα

φi(Ui cap Uj) και φj(Ui cap Uj)

είναι ανοιχτά υποσύνολα του Rn

Βασική παρατήρηση Η δεύτερη ιδιότητα του Ορισmicroού 422 (αmicroφιδιαφόριση αλ-

λαγής χαρτώνσυντεταγmicroένων) εδώ λαmicroβάνεται ως αξίωmicroα ενω στις επιφάνειες είναι

ιδιότητα που αποδεικνύεται όπως αναφέρεται στο Θεώρηmicroα 414 Η αλλαγή των

χαρτών microιας πολλαπλότητας απεικονίζεται στο Σχήmicroα 412 της επόmicroενης σελίδας

και είναι το ανάλογο του Σχήmicroατος 47 (σελ 115)

423 Ορισmicroός ΄Ενα σύνολοM εφοδιασmicroένο microε ένα microέγιστο άτλαντα αποτελεί microία (n-

διάστατη) διαφορική πολλαπλότητα οπότε λέmicroε ισοδύναmicroα ότι το M εφοδιάζεται

microε microία διαφορική δοmicroή

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 121

Μέγιστος είναι ένας άτλαντας που περιέχει κάθε χάρτη για τον οποίον οι αλ-

λαγές των συντεταγmicroένων microε όλους τους χάρτες του άτλαντα είναι αmicroφιδιαφορίσεις

Αποδεικνύεται ότι για κάθε άτλαντα υπάρχει ένας microοναδικός microέγιστος που τον πε-

ϱιέχει

Συνοπτικά microπορούmicroε να πούmicroε ότι microέσω των χαρτών

Μία n-διάστατη πολλαπλότητα τοπικά microοιάζει microε τον Ευκλείδειο χώρο Rn

Σχηmicroα 412 Αλλαγή συντεταγmicroένων πολλαπλότητας

424 Παραδείγmicroατα

bull Ολες οι επιφάνειες (προφανώς)

bull ΄Ενα πιό laquoαφηρηmicroένοraquo πράδειγmicroα είναι ο (διδιάστατος) προβολικός χώρος

(projective space) P2(R) Γεωmicroετρικά αποτελείται από το σύνολο όλων των ευθειών

του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΄Οmicroως κάθε τέτοια ευθεία καθορί-

Ϲεται πλήρως από ένα οποιοδήποτε σηmicroείο της Ακριβέστερα αν ℓ είναι ευθεία διερ-

χόmicroενη από το 0 και (x y z) ένα τυχόν σηmicroείο της τοτε κάθε άλλο σηmicroείο (x prime yprime zprime)της ℓ δίνεται από τη σχέση (x prime yprime zprime) = λ (x y z) για ένα πραγmicroατικό αριθmicroό λ 0

Εποmicroένως ισοδύναmicroα ο προβολικός χώρος περιγράφεται και αλγεβρικά ως εξής

P2(R) equiv[x y z]

∣∣∣ (x y z) isin R3lowast

όπου έχουmicroε ϑέσει

[x y z] =λ (x y z) |λ isin Rlowast

122 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Μπορούmicroε να ορίσουmicroε τον άτλαντα A = (Ui φi) | i = 123

U1 =[x y z] x 0

ni [x y z]φ1minusminusminusminusminusminusrarr

(y

xz

x

)isin R2

U2 =[x y z] y 0

ni [x y z]φ2minusminusminusminusminusminusrarr

(x

yz

y

)isin R2

U3 =[x y z] z 0

ni [x y z]φ3minusminusminusminusminusminusrarr

(x

zy

z

)isin R2

Προφανώς ο P2(R) δεν είναι εmicroβαπτισmicroένος σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο (ούτε

και microπορεί να παρασταθεί) παρ΄ όλο που κατασκευάζεται από στοιχεία του R3 Με

ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται από τον Rn+1 ο n-διάστατος προβολικός χώρος Pn(R)

Φυσικά υπάρχει πληθώρα microαθηmicroατικών χώρων που είναι πολλαπλότητες αλλά

δεν microπορούν να εκτεθούν σ΄ αυτές τις σηmicroειώσεις

Μια πολλαπλότητα M αποκτά αρχικά microία τοπολογική δοmicroή ορίζοντας ότι ένα

A sube M είναι ανοιχτό (open) αν κάθε σύνολο

φ(A cap U ) sube Rn

είναι ανοιχτό (microε τη συνήθη έννοια των Ευκλειδείων χώρων) για όλους τους χάρτες

(Uφ) της διαφορικής δοmicroής

425 Πρόταση Με την προηγούmicroενη τοπολογία τα πεδία ορισmicroού U των χαρτών

(Uφ) είναι ανοιχτά σύνολα στο M και οι απεικονίσεις φ U rarr φ(U ) είναι οmicroοιοmicroορ-

ϕισmicroοί

Κατόπιν microπορούmicroε να ορίσουmicroε microίαν έννοια διαφορισιmicroότητας που επεκτείνει τη

συνήθη διαφορισιmicroότητα των Ευκλειδείων χώρων και εισάγει ένα ∆ιαφορικό Λογισmicroό

σε πολλαπλότητες Ακριβέστερα microία απεικόνιση microεταξύ πολλαπλοτήτων f M rarr N

είναι διαφορίσιmicroη στο p isin M (differentiable at p) αν υπάρχουν χάρτες (U φ) και

(V ψ) τωνM καιN αντίστιχα microε p isin U και f (U ) sube V έτσι ώστε η τοπική παράσταση

(local representation) της f

F = ψ f φminus1 Rm supe φ(U ) minusrarr ψ(V ) sube Rn

να είναι διαφορίσιmicroη στο φ(p) (microε τη συνήθη έννοια πλέον των Ευκλειδείων χώρων)

Το Σχήmicroα 413 στην επόmicroενη σελίδα διαφωτίζει τον ορισmicroό της διαφορισιmicroότητας

Ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός που προκύπτει microε αυτόν τον τρόπο έχει όλες τις καλές

ιδιότητες που ξέρουmicroε και ικανοποιεί τα περισσότερα γνωστά ϑεωρήmicroατα όπως το

Θεώρηmicroα της Αλυσίδας της Αντίστροφης Συνάρτησης κλπ

΄Οπως και στις επιφάνειες σε κάθε σηmicroείο microιας πολλαπλότητας microπορούmicroε να αν-

τιστοιχίσουmicroε ένα γραmicromicroικό χώρο που καλούmicroε εφαπτόmicroενο χώρο και προσεγγίζει

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 123

γραmicromicroικά την πολλαπλότητα Η περιγραφή του είναι πιό πολύπλοκη απ΄ αυτήν του

εφαπτοmicroένου χώρου και του εφαπτοmicroένου επιπέδου microιας επιφάνειας

Σχηmicroα 413 Τοπική παράσταση διαφορίσιmicroης απεικόνισης

Ο χώρος αυτός λόγω της γραmicromicroικής δοmicroής του επιτρέπει να ορίσουmicroε

bull Το διαφορικό (παράγωγο) microιας διαφορίσιmicroης απεικόνισης microεταξύ πολλαπλο-

τήτων Ουσιωδώς αυτό ανάγεται στο αντίστοιχο διαφορικό της τοπικής παρά-

στασης που υπολογίζεται τώρα microε τις συνήθεις microεθόδους διαφόρισης σε Ευ-

κλείδειους χώρους (πεπερασmicroένης διάστασης)

bull Εσωτερικό γινόmicroενο microετρική Minkowski κλπ που προκύπτουν και πάλι

από αντίστοιχα αντικείmicroενα σε Ευκλείδειους χώρους

Συγκολλώντας τα εσωτερικά γινόmicroενα ή τις microετρικές των εφαπτοmicroένων χώρων καθι-

στούmicroε την πολλαπλότητα microετρικό χώρο και ορίζουmicroε δοmicroή πολλαπλότητας Rieshy

mann πολλαπλότητας Lorentz κλπ

Απο την προηγούmicroενη σύντοmicroη αναφορά στις πολλαπλότητες microπορεί να κατα-

νοήσει κανείς ότι microε τη ϐοήθεια των χαρτών microπορούmicroε να microεταφέρουmicroε (σχεδόν)

όλο το microαθηmicroατικό οπλοστάσιο των Ευκλειδείων χώρων και σ᾿ αυτές Πρέπει να πού-

microε εδώ ότι οι πολλαπλότητες ndash σε πρώτη ανάγνωσηndash ϕαντάζουν ως ένα microαθηmicroατικό

αντικείmicroενο πολύ δύσκολο Για τον κοινό άνθρωπο αυτό είναι αλήθεια Για τον microέ-

σο microαθηmicroατικό η microελέτη των πολλαπλοτήτων δεν είναι δυσκολότερη απ΄ αυτήν των

επιφανειών που διδάσκονται στα microαθήmicroατα γεωmicroετρίας των πανεπιστηmicroίων

426 Ασκήσεις

1 Να αναφέρετε τη microορφή των χαρτών της σφαίρας ως διαφορικής πολλαπλότητας

microέσω των στερεογραφικών προβολών και των ηmicroισφαιρίων Κατόπιν να επαληθεύσετε

ότι η αλλαγή των συντεταγmicroένων που αντιστοιχούν στα ηmicroισφαίρια S+x και Sminusy είναι

αmicroφιδιαφόριση

124 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

2 Να αποδειχθεί ότι η συλλογή A = (Ui φi) | i = 12 3 που αναφέρεται στο

δεύτερο από τα Παραδείγmicroατα 424 πραγmicroατικά αποτελεί άτλαντα του προβολικού

χώρου P2(R)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας

Στόχος microας εδώ είναι να περιγράψουmicroε microόνο τον χωρόχρονο ως πολλαπλότητα για

να δούmicroε από τη microια microεριά το microαθηmicroατικό υπόβαθρο της Θεωρίας της Σχετικότητας

(Ειδικής και Γενικής) και από την άλλη το λόγο για τον οποίον είναι δύσκολο να

εξηγήσουmicroε το υπόβαθρο αυτό σε microη microαθηmicroατικό κοινό Πριν απ᾿ αυτό ας αναφερ-

ϑούmicroε σε microερικά διάσηmicroα ονόmicroατα τα οποία σχετίζονται ϑετικά ή αρνητικά microε την

παραπάνω ϑεωρία

Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως ήδη εξηγήσαmicroε και αλλού γεωmicroετρία του

υπήρξε ϑεmicroελιώδης για τη microαθηmicroατική διατύπωση της ΓΘΣ Ο Einstein έτρεφε

microεγάλοθαυmicroασmicroό γι΄ αυτόν (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 26)

Hermann Minkowski (1864ndash1909) Από τους πρώτους ένθερmicroους υποστηρικτές

της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΕΘΣ) στην οποίαν εισήγαγε την έννοια του

χωροχρόνου και microελέτησε τη γεωmicroετρία του

Hermann Minkowski

Το 1908 δήλωσε

Από εδώ και στο εξής ο χώρος microόνος του και ο χρόνος microόνος του είναι καταδι-

κασmicroένοι να εξασθενίσουν σε απλές σκιές και microόνον ένα είδος ένωσης και των

δυο ϑα αποτελέσει microιαν ανεξάρτητη πραγmicroατικότητα

Henri Poincare (1854ndash1912) Ασχολήθηκε (microεταξύ των άλλων) και microε προβλήmicroατα

σχετικά microε το ϕώς και είχε διερωτηθεί αν η ταχύτητα του πρέπει να ϑεωρηθεί σταθερή

Εντούτοις παρέmicroεινε πολέmicroιος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ) (Βλ

ϕωτογραφία του στη σελ 18)

Hendrik Antoon Lorentz (1853ndash1928) Είχε αντιληφθεί το 1905 κάποια παράδοξα

ϕυσικά ϕαινόmicroενα χωρίς να microπορεί να κατανοήσει τη σηmicroασία τους (όπως έγινε από

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 125

τον Einstein microε την ΕΘΣ)

Hendrik Lorentz

Οι microετασχηmicroατισmicroοί του (σήmicroερα γνωστοί ως microετασχηmicroατισmicroοί Lorentz χρησιmicroοποι-

ήθηκαν στην ΓΘΣ

David Hilbert (1862ndash1943) Είχε καταλήξει σε microερικά microαθηmicroατικά αποτελέσmicroατα

της ΓΘΣ χωρίς να microπορεί να εκτιmicroήσει ή να ερmicroηνεύσει τη ϕυσική τους σηmicroασία

Λόγω σχετικής παρεξήγησης που δηmicroιουργήθηκε ανεγνώρισε δηmicroόσια ότι η ΓΘΣ

είναι δηmicroιούργηmicroα του Einstein (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 14)

Albert Einstein (1879ndash1955)

Για τον δηmicroιουργό της Ειδικής και της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας τον ϕυσικό

που ανέτρεψε την εικόνα του κόσmicroου που επικρατούσε πριν απ΄ αυτόν δεν ϑα πούmicroε

τίποτε εδώ Είναι τεράστιο το πλήθος των ϐιβλίων και άρθρων που αναφέρονται στον

άνθρωπο και επιστήmicroονα Einstein απο τα οποία microπορεί κανείς να αντλήσει κάθε

είδους πληροφορία επιστηmicroονική ιστορική ακόmicroη και ανεκδοτολογική

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία

Α Ο χωρόχρονος της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι ισοmicroετρική microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

126 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

∆ιευκρινίζουmicroε ότι ο χώρος Minkowski είναι το R4 microε την ψευδοmicroετρική που

εισάγεται από τα laquoγινόmicroεναraquo της microορφής

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusx1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4 ή

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusc2 x1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4

όπου c η ταχύτητα του ϕωτός (η δεύτερη microορφή χρησιmicroοποιείται συχνά στη ϕυσική)

Μία πολλαπλότητα Lorentz είναι microία πολλαπλότητα εφοδιασmicroένη microε τη microετρική

Lorentz Η τελευταία είναι microία (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση που σε κάθε σηmicroείο p

του χωρόχρονου M αντιστοιχεί microία microετρική Minkowski στον αντίστοιχο εφαπτόmicroενο

χώρο TpM Μερικές άλλες τεχνικές λεπτοmicroέρειες δίνονται στην τελευταία υποπαρά-

γραφο

Στην ΕΘΣ δεν υπεισέρχεται η ϐαρύτητα και υπάρχουν πολλά παράδοξα (όπως

των διδύmicroων της αλλοίωσης των διαστάσεων κλπ) ας άmicroεση συνέπεια της γεωmicroετρίας

του χωροχρόνου

Β Ο χωρόχρονος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι τοπικώς ισόmicroορφη microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση του Einstein

G = 8πT

όπου G είναι ο τανυστής της ϐαρύτητας και T ο τανυστής stressshyenergy που κα-

ϑορίζεται από την καmicroπυλότητα (Ricci) της πολλαπλότητας οδηγεί στο συmicroπέρασmicroα

ότι

ϐαρύτητα equiv καmicroπυλότητα

εποmicroένως η ΓΘΣ αποτελεί γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου

Ο microεγάλος στόχος της σύγχρονης έρευνας είναι η ενοποίηση της Θεωρίας της

Σχετικότητας (που περιγράφει τον microακρόκοσmicroο) microε την Κβαντική Θεωρία (που περι-

γράφει τον microικρόκοσmicroο) Κυρίαρχο εργαλείο ϕαίνεται να είναι κι εδώ η γεωmicroετρία

όπως χρησιmicroοποιείται στη Θεωρία Βαθmicroίδος (gauge theory) στη Θεωρία των Υπερ-

χορδών (string theory) κλπ Φυσικά είναι έξω από τα όρια αυτών των σηmicroειώσεων

να περιγράψουmicroε τι ακριβώς εννοούmicroε σήmicroερα πια τον όρο γεωmicroετρία τα εξαιρετικά

προηγmicroένα microαθηmicroατικά εργαλεία που χρησιmicroοποιεί καιτη σύmicroπλεξή της microε τους

άλλους κλαδους των microαθηmicroατικών

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες

bull Η (τοπολογική) υπόθεση της συνεκτικότητας σηmicroαίνει (από ϕυσική άποψη) ότι δεν

υπάρχουν περιοχές του χωρόχρονου ανάmicroεσα στις οποίες δεν υπάρχει laquoεπικοινωνίαraquo

(microετάδοση σήmicroατος)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 127

bull Η microετρική Minkowski διαχωρίζει τα διανύσmicroατα u (του R4 ή τουTpM ) σε

χωρικά αν u middot u gt 0 ή u = 0

microηδενικά αν u middot u = 0 και u 0

χρονικά αν u middot u lt 0

οπότε σχηmicroατίζονται δύο διπλοί κώνοι όπως στο Σχήmicroα 414 Ο άνω και κάτω κώνος

αποτελούνται από τα χρονικά διανύσmicroατα ο δεξιά και αριστερά από τα χωρικά ενώ

στην επιφάνεια ανήκουν τα microηδενικά (ή ϕωτεινά) διανύσmicroατα

Σχηmicroα 414 Ο κώνος ϕωτός

bull Χρονικός προσανατολισmicroός σηmicroαίνει ότι επιλέγουmicroε τον έναν από τους κώνους των

χρονικών διανυσmicroάτων όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα που δανειζόmicroαστε από το

ϐιβλίο [30]

Σχηmicroα 415 Χρονικός προσανατολισmicroός

Σηmicroείωση Για τη στοιχειώδη γεωmicroετρία των επιφανειών παραπέmicroπουmicroε κυρίως στα

ϐιβλία [24] [30] [34] και τις σηmicroειώσεις [7] Για microια πρώτη γνωριmicroία microε τη διαφορική

γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων προτεινουmicroε το [44] και τις χειρόγραφες σηmicroειώσεις

[6] Η σχετική ϐιβλιογραφία είναι πολλή microεγάλη Μια πλήρης microαθηmicroατική έκθε-

ση της ΕΘΣ και της ΓΘΣ microαζί microε τα απαραίτητα στοιχεία της γεωmicroετρίας των

πολλαπλοτήτων Riemann και άλλων ϐασικών ϑεmicroάτων περιέχεται στο [29]

Πολλά ιστορικά στοιχεία και πληροφορίες για τα ϑέmicroατα που ϑίξαmicroε σ᾿ αυτό το

σύντοmicroο κεφάλαιο όπως και απλοποιηmicroένες παρουσιάσεις των ϑεωριών του Einstein

και των συνεπειών τους περιέχονται στα ϐιβλία [11] [26] [32]

Βιβλιογραφία

[1] ∆ Αναπολιτανος Εισαγωγή στη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών Εκδόσεις Νεφέλη

Αθήνα 1985

[2] Σ Ανδρεαδακης Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Αθήνα 1980

[3] Ι Αραχωβιτης ndash Ε Βασιλειου Σηmicroειώσεις Γραmicromicroικής Γεωmicroετρίας Πανεπιστήmicroιο

Αθηνών Αθήνα 1985

[4] ∆ Βαρσος κα (συγγραφική οmicroάδα) Εισαγωγή στη Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Τόmicroος

Α Εκδόσεις Σοφία Θεσσαλονίκη 2003

[5] Ε Βασιλειου Στοιχεία Προβολικής Γεωmicroετρίας Εκδόσεις Συmicromicroετρία Αθήνα

2009

[6] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας I Πα-

νεπιστήmicroιο Αθηνών 2009 httpLecture Notes on Curves and Surfaces

[7] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Καmicro-

πυλών και Επιφανειών Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 20010

[8] E T Bell The Development of Mathematics Dover New York 1992

[9] J W Blattner Projective plane geometry HoldenshyDay San Francisco 1968

[10] J N Cederberg A Course in Modern Geometries Springer New York 1989

[11] D D Davis Η Φύση και η ∆ύναmicroη των Μαθηmicroατικών Πανεπιστηmicroιακές Εκ-

δόσεις Κρήτης Ηράκλειο 2005

129

130 Βιβλιογραφία

[12] M P Do Carmo Differential geometry of Curves and Surfaces PrenticeshyHall

Englegood Cliffs New Jersey 1976

[13] P Dombrowski 150 Years after Gaussrsquo disquisitiones generales circa supershy

ficies curvas Asterisque 62 Soc Math de France Paris 1979

[14] N V Efimov ndash E R Rozendorn Linear Algebra and Multidimensional Geoshy

metry MIR Publishers Moscow 1975

[15] R L Faber Foundations of Euclidean and nonshyEuclidean Geometry Marcel

Dekker New York 1983

[16] G H Hardy A Mathematicianrsquos Apology Cambridge Univ Press Canto edishy

tion Cambridge 2002

[17] M Henle Modern Geometry The Analytic Approach Prentice Hall New Jershy

sey 1997

[18] D Hilbert Foundations of Geometry (Grunlangen der Geometrie) Open

Court Illinois 1971 Ελληνική microετάφραση Θεmicroέλια της Γεωmicroετρίας Τροχα-

λια Αθήνα 1995

[19] S Hollingdale Makers of Mathematics Penguin London 1991

[20] M Kline Mathematics in Western Culture Oxford Univ Press 1953 Ελλη-

νική microετάφραση Τα Μαθηmicroατικά στο ∆υτικό Πολιτισmicroό (τόmicroοι Α-Β) Κώδικας

Αθήνα 2002

[21] W Klingenberg A Course in Differential Geometry Springer New York

1978

[22] ∆ Κουτρουφιωτη Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Leader Books Αθήνα

2006

[23] M Lipschutz Differential Geometry Schaumrsquos Outline Series McGraw Hill

New York 1974 Ελληνική microετάφραση ∆ιαφορική Γεωmicroετρία ΕΣΠΙ Ε Περ-

σίδης Αθήνα 1981

[24] J McCleary Geometry from a Differential Point of View Cambridge Univ

Press Cambridge 1994

[25] R J Mihalek Projective Geometry and Algebraic Structures Academic

Press New York 1972

[26] L Mlodinov Euclidrsquos Window The Story of Geometry from Parallel Lines to

Hyperspace Allen Lane The Penguin Press London 2002 Ελληνική microετά-

ϕραση Το Παράθυρο του Ευκλείδη Τραυλός Αθήνα 2007

Βιβλιογραφία 131

[27] S NegrepontisndashD Lamprinidis The Platonic Anthyphairetic Interpretation of

Pappusrsquo account of analysis and synthesis History and Epistemology in Mashy

thematics Education Proceedings of the 5th European Summer University

Prague 2007 pp 501ndash511

[28] Μ Μπρικας Μαθήmicroατα Προβολικής Γεωmicroετρίας Αθήνα 1964

[29] B OrsquoNeill SemishyRiemannian Geometry With Applications to Relativity Acashy

demic Press New York 1983

[30] B OrsquoNeill Elementary Differential Geometry Academic Press New York

1997 Ελληνική microετάφραση Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Πανεπιστη-

microιακές Εκδόσεις Κρήτης 2002

[31] J Oprea Differential Geometry and its Applications Prentice Hall Upper

Saddle River New Jersey 1997

[32] R Osserman Poetry of the Universe Anchor Books Doubleday New York

1995 Ελληνική microετάφραση Η Ποίηση του Σύmicroπαντος Τραυλός Αθήνα 1998

[33] Β Παπαντωνιου ∆ιαφορική Γεωmicroετρία I Θεωρία Καmicroπυλών Πάτρα 1996

[34] A Pressley Elementary Differential Geometry Springer London 2001

[35] J Pierpont The history of mathematics in the nineteenth century Bull

Amer Math Soc 37 (2000) 3ndash8 [reprinted from Bull Amer Math Soc 11

(1905) 238ndash246]

[36] H Poincare Dernieres Pensees Flammarion Paris 1913

[37] C Reid Ο προκλητικός Κος Χίλmicroπερτ Εκδοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

[38] M Spivak Differential Geometry Vol II Publish or Perish Wilmington 1979

[39] Ε Σταmicroατης Εὐκλείδου Γεωmicroετρία Τόmicroος Ι (Στοιχείων Βιβλία IndashIV) Εκδόσεις

Ν Σάκκουλα Αθήνα 1952

[40] F W Stevenson Projetive Planes W H Freeman San Francisco 1972

[41] Χ Στραντζαλος Η εξέλιξη των Ευκλειδείων και microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

(Μέρος Α) Εκδόσεις Καρδαmicroίτσα Αθήνα 1987

[42] D J Struik Συνοπτική Ιστορία των Μαθηmicroατικών Εκδόσεις Ι Ζαχαρόπουλος

Αθήνα 1982

[43] M B W Tent Καρλ Φρίντριχ Γκάους Ο Πρίγκηπας των Μαθηmicroατικών Εκ-

δοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

132 Βιβλιογραφία

[44] LW Tu An Introductiion to Manifolds (2nd edition) Springer New York

2011

[45] I M Yaglom Felix Klein and Sophus Lie Birkhauser Boston 1988

Πίνακας εννοιών

Αίτηmicroα 8

ακτίνα καmicroπυλότητας 89

αmicroφιδιαφόριση 114

αναπαραmicroέτρηση

ndash καmicroπύλης 85

ndash microέσω microήκους τόξου 87

ανοιχτό σύνολο πολλαπλότητας 122

αντίθετη καmicroπύλη 152

αξίωmicroα 8

ndash 2prime 26

ndash Αρχιmicroήδη 17

ndash ελλειπτικό 26

ndash παραλλήλων 10

ndash πληρότητας (γραmicromicroικής) 17

ndash υπερβολικό 21

ndash Dedekind 17

ndash Pasch 15

ndash Playfair 11

αξιωmicroατικό σύστηmicroα

ndash ανεξάρτητο 19

ndash πλήρες 19

ndash συνεπές 19

άξονας σηmicroειοσειράς 51

αποδεικτική microέθοδος

ndash αναλυτική 9

ndash εις άτοπον απαγωγή 9

ndash συνθετική 9

Απόλυτη Γεωmicroετρία 11

αποπλήρωση 60

απροσδιόριστες έννοιες 14

αρχή του δυισmicroού 49 50

άτλαντας

ndash επιφάνειας 114

ndash microέγιστος 121

ndash πολλαπλότητας 120

άτοπος απαγωγή 9

Γεωδαισιακή γραmicromicroή 24

Γεωmicroετρία

ndash Απόλυτη 11

ndash Ελλειπτική 11 25

ndash Ουδέτερη 11

ndash Klein 71

ndash Υπερβολική 11 21

∆έσmicroη

ndash ευθειών 51

ndash σηmicroείων 51

διάνυσmicroα

ndash Darboux 105

ndash δεύτερο κάθετο 89

ndash εφαπτόmicroενο 83 88

ndash πρωτεύον κάθετο 89

133

134 Πίνακας εννοιών

ndash πρώτο κάθετο 89

ndash ταχύτητας 83 88

διάσταση χάρτη 113

διαφορίσιmicroη απεικόνιση πολλαπλότητας

122

διατήρηση

ndash συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων 71

ndash σύmicroπτωσης 65

δίσκος

ndash KleinshyBeltrami 24

ndash Poincare 25

δυική πρόταση 49

Ελαχίστη ισχύς

ndash προβολικού επιπέδου 54

ndash συσχετισmicroένου επιπέδου 42

έλικα (κυκλική) 104

έλκουσα 23

Ελλειπτική Γεωmicroετρία 11

ndash απλή 26

ndash διπλή 26

ένωση σηmicroείων 40 43

επίπεδο

ndash εγγύτατο 90

ndash ευθειοποιούν 90

ndash κάθετο 90

ndash προβολικό 43

ndash κλασικό 62

ndash συσχετισmicroένο 39

επιφάνεια (κανονική) 113

επιτάχυνση 83

εσωτερική γεωmicroετρία 118

εφαπτοmicroένη ευθεία 82

εφαπτόmicroενο

ndash διάνυσmicroα καmicroπύλης 83

ndash επίπεδο 115

εφαπτόmicroενος χωρος επιφάνειας 116

ευθεία 38 42

ndash εφαπτοmicroένη 82

ndash ιδεατή 57

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash πραγmicroατική 57

ευθείες παράλληλες 39

Θεώρηmicroα 9

ndash Θεmicroελιώδες των Καmicroπυλών 102

ndash Egregium 118

Ισόmicroορφα

ndash προβολικά επίπεδα 65

ndash σύνολα 64

ισοmicroορφισmicroός

ndash δοmicroής 64

ndash προβολικών επιπέδων 65

ισχύς

ndash δέσmicroης ευθειών 53

ndash σηmicroειοσειράς 53

Κάθετο διάνυσmicroα

ndashεπιφάνειας 115

ndashκαmicroπύλης

ndash δεύτερο 89

ndash πρωτεύον 89

ndash πρώτο 89

κάθετος

ndash δεύτερη (καmicroπύλης) 104 151 156

ndash πρώτη (καmicroπύλης) 105 156

καmicroπύλη 81

ndash αντίθετη 152

ndash απλή 83

ndash επίπεδη 81

ndash κανονική 83

ndash microοναδιαίας ταχύτητας 87

ndash οmicroαλή 83

ndash παράλληλη 106

ndash παραmicroετρηmicroένη 81

ndash στο χώρο 81

καmicroπυλότητα 88 98

καmicroπυλότητα Gauss 116

κέντρο δέσmicroης ευθειών 51

κοινή έννοια 9

κυκλοειδής 105

Μεταφορά 102

microέτρο ταχύτητας 83

microήκος καmicroπύλης 83

microοντέλο 19

microορφισmicroός 63

Πίνακας εννοιών 135

ndash προβολικών επιπέδων 65

ndash 1ndash1 65

ndash επί 65

Οϱος 8

Ουδέτερη Γεωmicroετρία 11

Παράλληλες ευθείες 39

παραmicroέτρηση 113

παράmicroετρος

ndash microήκος τόξου 87

ndash ϕυσική 87

πλήρωση 58

πολλαπλότητα

ndash διαφορική 120

ndash Lorentz 126

πρόταση 9

προβολικό επίπεδο 43

ndash δυικό 49

ndash πεπερασmicroένο 53

ndash πραγmicroατικό διάστασης 2 45

ndash των επτά σηmicroείων 43

προβολικός χώρος 121

Σηmicroεία συγγραmicromicroικά 39

σύστηmicroα συντεταγmicroένων 113

σηmicroείο 38 42

ndash ανωmicroαλίας 83

ndash ιδεατό 57

ndash ιδιάζον 88

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash κοινό 40

ndash πραγmicroατικό 57

σηmicroειοσειρά 51

στερεά κίνηση 102

στοιχειώδης απεικόνιση 52

στρέψη 91 98

στροφή 102

συγγραmicromicroικότητα 71

σύmicroπτωση ϐλέπε σχέση σύmicroπτωσης

σφαιρική δείκτρια 106

σχέση σύmicroπτωσης 38 42

Τάξη προβολικού επιπέδου 55

τοmicroή ευθειών 41 43

τοπική παράσταση 122

τρίεδρο

ndash Frenet 90 98 100

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

ndash συνοδεύον 90

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

τύποι FrenetshySerret 93

ndash γενικευmicroένοι 101

Υπερβολική Γεωmicroετρία 11

Χάρτης

ndash επιφάνειας 113

ndash πολλαπλότητας 119

χώρος Minkowski 126

χωρόχρονος

ndash της ΕΘΣ 125

ndash της ΓΘΣ 126

Ψευδόσφαιρα 20 22

Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις επιλεγmicroένων ασκήσεων)

2111 (2) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία ενός συσχετισmicroένου επιπέδου Σύmicroφωνα microε το

Θεώρηmicroα 219 υπάρχουν 4 διαφορετικά σηmicroεία AB C D που είναι ανά 3 microη

συγγραmicromicroικά Στην ακραία περίπτωση που δύο (το πολύ) από τα AB C D ανήκουν

στην ℓ έχουmicroε αmicroέσως το αποτέλεσmicroα

∆ιακρίνουmicroε τις εξής δύο microη τετριmicromicroένες περιπτώσεις

i) Κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν ανήκει στην ℓ

Τότε ορίζονται οι ευθείες AorB AorC και AorD που είναι διαφορετικές microεταξύ τους

καθώς και προς την ℓ (ϐλ και την απόδειξη της Πρότασης 226) Απ᾿ αυτές microία το

πολύ microπορεί να είναι παράλληλη προς την ℓ ας πούmicroε η AorD Εποmicroένως οι AorB

A or C ϑα τέmicroνουν την ℓ στα αντίστοιχα σηmicroεία X και Y Παρατηρούmicroε ότι X Y

γιατί διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι A or B = A or X = A or Y = A or C (άτοπο)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

138 Υποδείξεις λύσεων

ii) ΄Ενα από τα AB C D ϐρίσκεται επί της ℓ ας πούmicroε το A Τότε προσδιορίζουmicroε

ένα δεύτερο σηmicroείο Z A ακολουθώντας παρόmicroοια microε την προηγουmicroένη διαδικασία

όπως συνοπτικά απεικονίζεται και το επόmicroενο σχήmicroα

2111 (3) Α΄ Τρόπος ΄Εστω P τυχόν σηmicroείο ενός ΣΕ Πρώτα παρατηρούmicroε ότι υπάρ-

χει microία ευθεία ℓ η οποία δεν περιέχει το P Πραγmicroατικά από το (ΣΕ 3) εξασφαλίζεται

η ύπαρξη 3 διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών σηmicroείων A B C Αν το P συmicroπίπτει

microε ένα απο τα προηγούmicroενα σηmicroεία τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε ως ℓ την ευθεία που

ορίζουν τα άλλα δύο Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα απο τα σηmicroεία αυτά τότε ϑα

ανήκει το πολύ σε microία από τις 3 ευθείες που ορίζουν ανά 2 τα AB C άρα microπορούmicroε

να επιλέξουmicroε τη microια από τις υπόλοιπες

Σύmicroφωνα microε την προηγουmicroένη διαπίστωση microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε τώρα microια

ευθεία ℓ που δεν περιέχει το P Κατά την παραπάνω ΄Ασκηση 2111 (2) η ℓ περιέχει

δύο διαφορετικά σηmicroεία ας τα καλέσουmicroε X και Y

Επειδή X P Y ορίζονται οι P or X και P or Y Επίσης κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microία microοναδική ευθεία k που είναι παράλληλη προς την ℓ και διέρχεται από το P

∆ιαπιστώνουmicroε εύκολα ότι οι k PorX PorY είναι 3 διαφορετικές διαφορετικές ευθείες

που διέρχονται από το P

Β΄ Τρόπος Θεωρούmicroε τα 4 σηmicroεία AB C D του Θεωρήmicroατος 219 και διακρίνουmicroε

διάφορες δυνατές περιπτώσεις σε σχέση microε τη ϑέση του P ως προς τα A B C D

i) Το P συmicroπίπτει microε ένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία πχ το A Τότε οι ευθείες

PorB PorC και PorD αποδεικνύουν τον ισχυρισmicroό της άσκησης επειδή είναι microεταξύ

τους διαφορετικές [αν ήταν για παράδειγmicroα P or B = P or C τότε τα P = A και BC

ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)]

ii) Το P ϐρίσκεται στην τοmicroή δύο ευθειών από αυτές που ορίζουν ανά 2 τα

Υποδείξεις λύσεων 139

AB C D όπως στην οmicroάδα των παρακάτω τεσσάρων σχηmicroάτων

Στην περίπτωση που για παράδειγmicroα P = (A or C) and (B or D) ϕέρνουmicroε από το

C την kB or D και από το D την ℓA or C Παρατηρούmicroε ότι k ℓ [διαφορετικά η

k = ℓ ϑα συνεπάγονταν ότι το C ϑα ήταν σηmicroείο της ℓ (άτοπο)] Επίσης k mdashℓ [στην

αντίθετη περίπτωση ϑα ήταν και B or Dℓ (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζεται το E = k and ℓΕπειδή E P ορίζεται και η P or E Οι ευθείες P or E A or C και B orD επαληθεύουν

τον ισχυρισmicroό αφού είναι microεταξύ τους διάφορες [αν πχ ήταν P or E = A or C τότε

το E ϑα ανήκε στην A or C (άτοπο)]

140 Υποδείξεις λύσεων

iii) Το P ϐρίσκεται σε microία από τις ευθείες που ορίζουν 2 από τα προηγούmicroενα

σηmicroεία ας πούmicroε την A or B (ϐλ το προηγούmicroενο σχήmicroα) Οι P or C και P or Dείναι διαφορετικές microεταξύ τους καθώς και προς την A or B Πραγmicroατικά αν ήταν

P or C = P or D τότε ϑα είχαmicroε ότι

C = (P or C) and (C or D) = (P or D) and (C or D) = D

που είναι άτοπο Επίσης η A or B = P or C για παράδειγmicroα ϑα συνεπάγονταν ότι

τα AB C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά που είναι επίσης άτοπο Οι A or B P or C P or Dαποτελούν τις Ϲητούmicroενες ευθείες

iv) Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα από τα A B C D τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε

τις ευθείες P or A P or B P or C οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους

2111 (4) Αν S = k andm και υποθέσουmicroε ότι η m δεν τέmicroνει την ℓ τότε από το

S ϑα είχαmicroε δύο παράλληλες προς την ℓ πράγmicroα που αντιβαίνει στο (ΣΕ 2)

229 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι άmicroεση συνέπεια του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) [αντιστοίχως

του (ΣΕ 3)]

229 (3) Αν ℓ είναι οποιαδήποτε ευθεία τότε από τα 4 σηmicroεία του (ΠΕ 3) τουλάχι-

στον 2 ϐρίσκονται εκτός της ℓ Αν τώρα δίνεται ένα σηmicroείο P τουλάχιστον 2 από τις

ευθείες που ορίζονται από τα ίδια 4 προηγούmicroενα σηmicroεία δεν περιέχουν το P

229 (4) Αν S = k and ℓ τότε υπάρχει σηmicroείο A της k microε A S και σηmicroείο B

της ℓ microε B S Επειδή A B ορίζεται η A or B Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 226

Υποδείξεις λύσεων 141

η A or B διαθέτει ακόmicroη ένα σηmicroείο C διαφορετικό από τα A και B Το C είναι το

Ϲητούmicroενο επειδή δεν ανήκει σε καmicroιά από τις δύο ευθείες Πραγmicroατικά αν για

παράδειγmicroα (C k) isin I τότε k = A or C = A or B άρα (B k) isin I (άτοπο)

Στην περίπτωση ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διακρίνουmicroε δύο περιπτώσεις

i) Αν οι k και ℓ τέmicroνονται ϑέτουmicroε S = k and ℓ

Επειδή η k διαθέτει τουλάχιστον ένα σηmicroείοA S [ϐλ ΄Ασκηση 2111 (2)] microπορούmicroε

να ϕέρουmicroε από το A microία (microοναδική) ευθεία ℓprimeℓ Η ℓprime διαθέτει και ένα σηmicroείο O A

∆ιαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι το O είναι ένα σηmicroείο όπως το Ϲητούmicroενο

ii) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι οι k και ℓ είναι παράλληλες Η k διαθέτει τουλάχιστον

δύο διαφορετικά σηmicroεία A B και η ℓ άλλα δύο Aprime Bprime Αν το επίπεδο έχει microόνον 4

σηmicroεία τότε δεν υπάρχει σηmicroείο microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Αν υπάρχουν περισσότερα

από 4 τότε υπάρχει ένα X διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Στην περίπτωση που το

X δεν ϐρίσκεται σε καmicroιά από τις k ℓ τότε αυτό είναι το Ϲητούmicroενο Αν το X ανήκει

ας πούmicroε στην k τότε ορίζονται οι ευθείες A or Aprime και B orAprime από τις οποίες το πολύ

microία είναι παράλληλη προς την X or Bprime

Η τοmicroή της τελευταίας microε την microη παράλληλη από τις προηγούmicroενες δίνει ένα σηmicroείο

O microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Παρόmicroοια εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποίαν το

142 Υποδείξεις λύσεων

σηmicroείο X ανήκει στην ευθεία ℓ

229 (5) Η επαλήθευση των αξιωmicroάτων του προβολικού επιπέδου είναι άmicroεση Το

επίπεδο αυτό ϐρίσκεται σε 1 ndash 1 και επί αντιστοιχία microε το P2 Πραγmicroατικά κάθε

ευθεία του R3 που περνάει από την αρχή των αξόνων 0 τέmicroνει τη microοναδιαία σφαίρα

σε δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία Αντιστρόφως δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία ορίζουν microια

διάmicroετρο άρα ευθεία που περνάει από το 0 Επίσης κάθε microέγιστος κύκλος ορίζει

ένα επίπεδο που περνάει από το 0 και αντιστρόφως

234 (1) Το ίδιο το επίπεδο των 7 σηmicroείων

234 (2) Αυτό διαπιστώνεται microε πολλούς τρόπους Για παράδειγα

ndash Από το δυϊκό του (ΣΕ 1) που δεν αληθεύει πάντοτε λόγω της ύπαρξης παραλλήλων

ευθειών

ndash Από τη δυϊκή διατύπωση του αξιώmicroατος (ΣΕ 2) που οδηγεί στη microη οριζοmicroένη έννοια

παραλληλίας σηmicroείων [παραλληλία δύο διαφορετικών σηmicroείων δυΐκώς προς αυτήν

των ευθειών ϑα σήmicroαινε ανυπαρξία laquoκοινήςraquo ευθείας (που περιέχει τα σηmicroεία αυτά)

σε αντίφαση microε το (ΣΕ 1)]

ndash Το δυΐκό συmicroπέρασmicroα της ΄Ασκησης 2111 (3) συνεπάγεται ότι κάθε ευθεία διαθέτει

τουλάχιστον 3 διαφορετικά σηmicroεία πράγmicroα που δεν είναι γενικώς αληθές ( στο συ-

σχετισένο επίπεδο των τεσσάρων σηmicroείων οι ευθείες έχουν ακριβώς δύο διαφορετικά

σηmicroεία)

234 (3) ΄Οχι αφού το δυϊκό του (ΠΕ 3) δεν περιέχεται στο σύστηmicroα των αξιωmicroάτων

(ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3) Θα πρέπει να προστεθούν οι Προτάσεις 224 και 227

2410 (1) Η απόδειξη γίνεται microε συλλογισmicroούς δυϊκούς προς αυτούς της Προτα-

σης 244

2410 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι δυϊκό του Πορίσmicroατος 247

2410 (3) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο O εκτός της ℓ Τότε σύmicroφωνα microε την προηγου-

microένη άσκηση και το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε ότι |J(A)| = |J(O)| = |J(ℓ)| Εποmicroένως το

Πόρισmicroα 246 ισχύει είτε το O ϐρίσκεται επί της m είτε όχι

2410 (4) Σε ένα τέτοιο προβολικό επίπεδο όλες οι ευθείες ϑα περιέχουν τουλά-

χιστον 4 διαφορετικά σηmicroεία (αλλιώς ϑα αναγόmicroαστε στο επίπεδο των 7 σηmicroείων)

Εποmicroένως το πλήθος των σηmicroείων ϑα είναι τουλάχιστον 32+ 3 + 1 = 13

2410 (6) Επειδή από το O διέρχεται microία ευθεία παράλληλη προς την m στην πε-

ϱίπτωση που το συσχετισmicroένο επίπεδο περιέχει άπειρο πλήθος σηmicroείων δεν ισχύει

η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246 και 247 Αν όmicroως το επίπεδο έχει πε-

περασmicroένο πλήθος σηmicroείων τότε το ανάλογο του Πορίσmicroατος 246 είναι |J(m)| =|J(O)| minus 1 Με τις ίδιες προϋποθέσεις [και χρησιmicroοποιώντας την ΄Ασκηση229 (4) για

το συσχετισmicroένο επίπεδο] η παραπάνω σχέση οδηγεί στην |J(k)| = |J(ℓ)| που δίνει

το συσχετισmicroένο ανάλογο του Πορίσmicroατος 247

2410 (7) Ακολουθούmicroε τη συλλογιστική της Πρότασης248 Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο

O εκτός της ℓ Ορίζονται οι n διαφορετικές ευθείες O or Ai όπου Ai (i = 1 n) τα

Υποδείξεις λύσεων 143

σηmicroεία της ℓ Επίσης από το O διέρχεται και microία m παράλληλη προς την ℓ Κάθε microία

από τις προηγούmicroενες ευθείες διαθέτει nminus1 διαφορετικά σηmicroεία από τοO Εποmicroένως

microαζί microε το O έχουmicroε (n + 1)(n minus 1) + 1 = n2 διαφορετικά σηmicroεία Αποδεικνύουmicroε

ότι αυτά είναι ακριβώς τα σηmicroεία του επιπέδου αν υπάρχει ακόmicroη ένα σηmicroείο Q

διαφορετικό από τα προηγούmicroενα τότε ορίζεται η O or Q η οποία αναγκαστικά ϑα

συmicroπίπτει είτε microε την m είτε microε microία από τις O or Ai Εποmicroένως το Q είναι ένα από τα

προηγούmicroενα n2 σηmicroεία

2410 (8) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία και Ai (i = 1 n) τα σηmicroεία της Αν P τυχόν

σηmicroείον του επιπέδου που δεν ανήκει στην ℓ τότε [ϐλ τη λύση της παραπάνω

΄Ασκησης 2410 (6) για πεπερασmicroένα συσχετισmicroένα επίπεδα] είναι |J(P)| = |J(ℓ)|+1 =

n + 1

Αν το P ανήκει στην ℓ τότε αυτό συmicroπίπτει microε κάποιο απο τα Ai Χωρίς ϐλάβη της

γενικότητας ας υποθέσουmicroε ότι P = A1 Θεωρούmicroε και ένα O εκτός της ℓ Εποmicroένως

από το P διέρχονται οι ευθείες ℓ PorO και kj OorAj (j = 2 n) δηλαδή συνολικά

n + 1 ευθείες (ϐλ και το παραπάνω σχήmicroα) Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι όλες είναι

διαφορετικές microεταξύ τους

258 (3) Οι ευθείες AB και CD είναι παράλληλες άρα ορίζουν το ιδεατό σηmicroείο

kmiddot = ABmiddot = CDmiddot

Παρόmicroοια οι παράλληλες AD και BC ορίζουν το

lmiddot = ADmiddot = BCmiddot

ενώ οι παράλληλες AC BD ορίζουν το

mmiddot = ACmiddot = BDmiddot

Συνεπώς η πλήρωση αποτελείται από τα πραγmicroατικά σηmicroεία AB C D και τα ιδεατά

kmiddot lmiddot mmiddot δηλαδή καταλήγουmicroε στο προβολικό επίπεδο των 7 σηmicroείων Οι ευθείες της

πλήρωσης είναι προφανώς οι

AB kmiddot CD kmiddot AD lmiddot BC lmiddot ACmmiddot BDmmiddot εinfin = kmiddot lmiddot mmiddot

144 Υποδείξεις λύσεων

Το παρακάτω σχήmicroα αποτελεί microια απεικόνιση της προηγούmicroενης διαδικασίας

258 (4) Αν αφαιρέσουmicroε microιαν ευθεία για παράδειγmicroα την A1 A5 A7 τότε παίρ-

νουmicroε το συσχετισmicroένο επίπεδο των 4 σηmicroείων όπως ϕαίνεται και στο επόmicroενο ϐοη-

ϑητικό σχήmicroα

2610 (1) Ας υποθέσουmicroε ότι φ(P) isin ψ(ℓ) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο X isin ℓ οπότε

φ(X ) isin ψ(ℓ) Επειδή X P ορίζεται η X or P άρα ψ(X or P) = φ(X ) or φ(P) = ψ(ℓ)Εποmicroένως το 1 ndash 1 του microορφισmicroού συνεπάγεται ότι X or P = ℓ (άτοπο)

Αν υποθέσουmicroε ότι ο microορφισmicroός δεν είναι 1 ndash 1 ισχυριζόmicroαστε ότι δεν ισχύει το

προηγούmicroενο συmicroπέρασmicroα δηλαδή microπορούmicroε να ϐρούmicroε Q isin P και k isin L έτσι ώστε

Q lt k και φ(Q) isin ψ(k) Πραγmicroατικά αφού η ψ δεν είναι 1 ndash 1 υπάρχουν τουλαχιστον

δύο ευθείες k m τέτοιες ώστε k m και ψ(k) = ψ(m) Θέτουmicroε S = kandm και επί της

m επιλέγουmicroε και ένα σηmicroείο Q S Προφανώς Q lt k Επιπλέον αφού (φψ) είναι

microορφισmicroός η Q isin m συνεπάγεται ότι φ(Q) isin ψ(m) = ψ(k) εποmicroένως καταλήγουmicroε

στον ισχυρισmicroό

2610 (2) Πρόκειται για την αντιθετοαντιστροφή της προηγουmicroένης άσκησης

[ αν ήταν P lt ℓ τότε αναγκαίως ϑα είχαmicroε ότι φ(P) lt ψ(ℓ) (άτοπο)]

2610 (3) ΄Εστω τυχόν (P prime ℓprime) isin Pprime times Lprime microε P prime isin ℓprime Λόγω της υπόθεσης υπάρχουν

P isin P και ℓ isin L τέτοια ώστε φ(P) = P prime και ψ(ℓ) = ℓprime Εποmicroένως φ(P) isin ψ(ℓ) Εφαρ-

microόζοντας τώρα την ΄Ασκηση 2610 (2) από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι P isin ℓκαι ισοδύναmicroα φminus1(P prime) isin ψminus1(ℓprime) microε την οποίαν καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

2610 (4) Εκφράζουmicroε πρώτα την ψ microέσω της φ αν ℓ είναι microία ευθεία του πρώτου

επιπέδου ϑεωρούmicroε δύο τυχόντα σηmicroεία της A B Τότεψ(ℓ) = ψ(AorB) = φ(A)orφ(B)Προφανώς αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της ℓ ας πούmicroε τα C D (ή τα A C αν

Υποδείξεις λύσεων 145

έχουmicroε το επίπεδο των 7 σηmicroείων οπότε οι ευθείες έχουν ακριβώς 3 σηmicroεία) ϑα

έχουmicroε ότι ℓ = A or B = C or D άρα ψ(ℓ) = φ(C) or φ(D) = φ(A) or φ(B)Αναλόγως εκφράζεται η φ microέσω της ψ

2610 (5) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία του πρώτου επιπέδου Σύmicroφωνα microε την προη-

γουmicroένη άσκηση ϑα είναι ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) = ψprime(ℓ) για οποιαδήποτε σηmicroεία A B

της ℓ Επειδή η τελευταία ισχύει για κάθε ℓ isin L συνάγεται ότι ψ = ψprime

2610 (7) Για οποιοδήποτε (P ℓ) isin P1 times L1 microε P isin ℓ ο ορισmicroός του microορφισmicroού

συνεπάγεται το επόmicroενο microεταθετικό διάγραmicromicroα που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

(P ℓ) isin I1

(φ1 ψ1) - (φ1(P) ψ1(ℓ)

) isin I2

(φ2(φ1(P)) ψ2(ψ1(ℓ))

) isin I3

(φ2 ψ2)

(φ2 φ1 ψ2 ψ1)

-

2610 (8) Για τυχούσα ευθεία ℓ ϑέτουmicroε ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) όπου A B είναι δύ-

ο οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία της ℓ Η ψ είναι καλά ορισmicroένη πραγmicroατικά

αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της C και D διαφορετικά microεταξύ τους καθώς και

προς τα προηγούmicroενα (ή τα AC αν η ευθεία διαθέτει microόνον 3 σηmicroεία) τότε η συγ-

γραmicromicroικότητα των A B C D και η υπόθεση συνεπάγονται τη συγγραmicromicroικότητα των

φ(A) φ(B) φ(C) φ(D) Εποmicroένως ψ(ℓ) = φ(A)orφ(B) = φ(C)orφ(D) που αποδεικνύει

ότι ο ορισmicroός της ψ(ℓ) είναι ανεξάρτητος της επιλογής των σηmicroείων της ℓ

Κατόπιν διαπιστώνουmicroε ότι το Ϲεύγος (φψ) ορίζει microορφισmicroό προβολικών επιπέ-

δων για τυχόν (P ℓ) microε P isin ℓ microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι ℓ = A or B οπότε όπως

προηγουmicroένως φ(P) isin φ(A) or φ(B) = ψ(ℓ)Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και επί το (φψ) είναι ισοmicroορφισός (ϐλ Πόρισmicroα 266)

Τέλος το microονοσήmicroαντο της ψ είναι συνέπεια της ΄Ασκησης 2610 (5)

2610 (9) Η σύνθεση δύο συγγραmicromicroικοτήτων είναι προφανώς συγγραmicromicroικότητα

σύmicroφωνα microε την ΄Ασκηση 2610 (7) Το ουδέτερο στοιχείο είναι η συγγραmicromicroικότητα

(1P 1L) Οποιαδήποτε συγγραmicromicroικότητα (φ ψ) isin Aut(P) διαθέτει αντίστροφη την

(φψ)minus1 = (φminus1 ψminus1)

[ϐλ και την ΄Ασκηση 2610 (3)] Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει ως αποτέλεσmicroα

της αντίστοιχης ιδιότητας που έχει η σύνθεση των συνήθων απεικονίσεων

273 (3) α) [2 13] or [10minus1] =lt1minus5 1gt

ϐ) ∆εν ορίζεται ευθεία αφού [minus20 4] = [minus2(10minus2)] = [10minus2] δηλαδή τα δεδο-

microένα σηmicroεία συmicroπίπτουν

273 (4) α) ∆εν υπάρχει τοmicroή ϐ) lt100gt and lt1minus21gt= [012]

273 (5) Είναι τα [t 10] για κάθε t isin R

146 Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

36 (1) (i) Αν p q είναι τα αντίστοιχα διανύσmicroατα ϑέσης των P Q το ευθύγραmicromicroο

τmicroήmicroα PQ είναι εικόνα της παραmicroετρηmicroένης καmicroπύλης

α [0 1] minusrarr R3 t 7rarr α(t) = p + t(q minus p)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = q minus p 0

δηλαδή η καmicroπύλη είναι κανονική και το microήκος της δίνεται από την σχέση

L(α) =int 1

0

αprime(u)du =int 1

0

q minus pdu = q minus p

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή αprimeprime(t) = 0 το Θεώρηmicroα 342 συνεπάγεται ότι kα(t) = 0

για κάθε t isin [0 1]

(iii) Επειδή το microήκος τόξου της α είναι

s(t) =int t

0

αprime(u)du =int t

0

q minus pdu = q minus pt

ϐλέπουmicroε ότι η απεικόνιση

s [01] minusrarr [0 q minus p] t 7rarr q minus pt

είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 q minus p] minusrarr [01] s 7rarr s

q minus p

οπότε η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [0 q minus p] rarr R3 microε

(s) = (α h)(s) = α

(s

q minus p

)= p +

q minus pq minus ps

(iv) Επειδή prime(s) = q minus pq minus p το microήκος της είναι επίσης

L() =int qminusp

0

prime(u)du =int qminusp

0

du = q minus p

Τέλος για την καmicroπυλότητα k της έχουmicroε ότι T (s) = prime(s) = q minus pq minus p άρα T prime(s) = 0

και [από την (332)] k(s) = 0

36 (2) (i) Από την

αprime(t) = (minusr sint r cost)

Υποδείξεις λύσεων 147

προκύπτει ότι ||αprime(t)|| = r 0 άρα αprime(t) = r 0 δηλαδή η α είναι παραmicroέτρηση

κανονικής καmicroπύλης

(ii) Κάθε χρονική στιγmicroή t η ακτίνα συmicroπίπτει microε την ϑέση του κινητού δηλαδή microε

το σηmicroείο α(t) και η ταχύτητα είναι αprime(t) Εποmicroένως

lt α(t) αprime(t) gt= minusr2 cost sint + r2 cost sint = 0

που σηmicroαίνει ότι α(t) perp αprime(t)(iii) αprimeprime(t) = (minusr costminusr sint) = minusα(t)

(iv) Για το microήκος της α έχουmicroε αprime(t) = r άρα

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

rdt = 2πr

(v) Είναι αprime(t) = r 0 Ορίζουmicroε την συνάρτηση microήκους τόξου

s [02π] minusrarr R t 7rarr s(t) =int t

0

αprime(u)du = rt

΄Αρα η s [02π] rarr [0 2πr] είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 2πr] minusrarr [02π] s 7rarr s

r

και η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [02πr] rarr R2 microε

(s) = (α h)(s) = α(s

r

)=

(r cos

s

r r sin

s

r

)

Για την καmicroπυλότητα της τελευταίας έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) =(minus sin

s

r cos

s

r

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

T prime(s) =(minus1

rcos

s

rminus1

rsin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

rmiddot

36 (3) Προφανώς η

α(t) = (t t2) t isin R

είναι microία παραmicroέτρηση της αναφερόmicroενης παραβολής Είναι κανονική αφού

αprime(t) = (1 2t) 0 forall t isin R

148 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή η α δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας η καmicroπυλότητα υπολογίζεται από τη

Θεώρηmicroα 342 Επειδή

αprime(t) = (12t) equiv (12t 0)

αprimeprime(t) = (0 2) equiv (020)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (020)

ϐρίσκουmicroε ότι

k(t) = 2(1 + 4t2

)minus32

Η είναι microία καmicroπύλη της οποίας η εικόνα είναι η ίδια παραβολή όmicroως δεν

είναι κανονικη αφού prime(t) = (3t26t5) άρα το t = 0 είναι σηmicroείο ανωmicroαλίας

36 (4) Η καmicroπύλη α(t) = (t f (t)) t isin R έχει εικόνα ακριβώς το γράφηmicroα της f

Για την α έχουmicroε ότι

αprime(t) = (1 f prime(t)) equiv (1 f prime(t) 0)

αprimeprime(t) = (0 f primeprime(t)) equiv (0 f primeprime(t) 0)

αprimeprimeprime(t) = (0 f primeprimeprime(t)) equiv (0 f primeprimeprime(t) 0)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (0 0 f primeprime(t))

Επειδή

αprime(t) =(1 + f prime(t)2

)12

0 forall t isin Rέχουmicroε κανονική καmicroπύλη που εν γένει δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας Οπότε

σύmicroφωνα microε Θεώρηmicroα 351 είναι

T (t) =1

(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t) 0

) equiv 1(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t)

)

N(t) =f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1 0)

equiv f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1)

B(t) =

(00

f primeprime

|f primeprime|

)= (0 0plusmn1) = plusmne3

Η καmicroπυλότητα ϐάσει του Θεωρήmicroατος 342 είναι

k(t) =|f primeprime(t)|

(1 + f prime(t)2

)32

Είδαmicroε ότι B(t) = plusmne3 (σταθερά) Αυτό συmicroβαίνει σε όλες τις επίπεδες καmicroπύλες

Για λέπτοmicroέρειες παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις [7] Προφανώς αφού η α(t) είναι

επίπεδη καmicroπύλη τ = 0 (ϐλ Θεώρηmicroα 335)

Υποδείξεις λύσεων 149

36 (5) Είναι

T (t) = αprime(t) =

(minus 1radic

2sint costminus 1

radic2

sint

)

άρα

αprime(t) =(1

2sin2 t + cos2 t +

1

2sin2 t

)12

= 1

δηλαδή η α είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

1dt = 2π

Για την καmicroπυλότητα έχουmicroε

T prime(t) = αprimeprime(t) =

(minus 1radic

2costminus sintminus 1

radic2

cost

)

οπότε

k(t) = T prime(t) =(1

2cos2 t + sin2 t +

1

2cos2 t

)12

= 1

Παρατηρούmicroε ότι

B(t) = T (t) times N(t) = αprime(t) times αprimeprime(t) = 1radic

2(minuse1 + e3) = c

άρα Bprime(t) = 0 και

τ(t) = minus lt N(t) Bprime(t) gt= 0

δηλαδή τελικά η α είναι επίπεδη καmicroπύλη

36 (6) Θέτοντας x = a cost και y = b sint έχουmicroε ότι

x2

a2+y2

b2= 1

άρα πρόκειται για έλλειψη

Βρίσκουmicroε

αprime(t) = (minusa sint b cost) equiv (minusa sint b cost 0)

άρα

αprime(t) =(a2 sin2 t + b2 cos2 t

)12

Επίσης

αprimeprime(t) = (minusa costminusb sint) equiv (minusa costminusb sint 0)

και

αprime(t) times αprimeprime(t) = abe3

150 Υποδείξεις λύσεων

απ᾿ όπου

αprime(t) times αprimeprime(t) = ab

και τελικά

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

ab

(a2 sin2 t + b2 cos2 t)32

36 (7) (i) Είναι

αprime(t) = (minusr sint r cost b)

εποmicroένως

αprime(t) = (r2+ b2)12

= c gt 0

Θεωρούmicroε την

s [02π] minusrarr R t 7rarrint t

0

αprime(u)du = tc

και την αντίστροφή της

h [02πc] minusrarr [02π] s 7rarr s

c

Αρα η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η

[0 2πc] minusrarr R3 s 7rarr (s) = (α h)(s) =(r cos

s

c r sin

s

cb

cs)

(ii) Για την καmicroπυλότητα της έχουmicroε

T (s) = prime(s) =(minus rc

sins

cr

ccos

s

cb

c

)

άρα

T prime(s) =(minus rc2

coss

c minus r

c2sin

s

c 0

)

και

k(s) = T prime(s) = r

c2 0

Σχετικά microε την στρέψη είναι

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

(minus cos

s

c minus sin

s

c 0

)

B(s) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

T1 T2 T3

N1 N2 N3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(b

csin

s

c minus b

ccos

s

cr

c

)

απ΄ όπου προκύπτει ότι

Bprime(s) =(b

c2cos

s

cb

c2sin

s

c 0

)

Υποδείξεις λύσεων 151

και

τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=b

c2

(iii) Για τη γωνία φ έχουmicroε ότι

cosφ =lt αprime(t) e3 gt

αprime(t) middot e3=b

c

Παρατηρούmicroε ότι η φ δίνεται και από τη σχέση

cosφ =lt T (s) e3 gt

T (s) middot e3= lt T (s) e3 gt =

b

c

(iv) Η δεύτερη κάθετος της στο σηmicroείο (s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = (s) + tB(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το (s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο κάθετο

διάνυσmicroα B(s) Εποmicroένως για την γωνία ω του τελευταίου ερωτήmicroατος έχουmicroε ότι

cosω =lt B(s) e3 gt

B(s) middot e3= lt B(s) e3 gt =

r

c

36 (8) Είναι

αprime(t) = (1 t) equiv (1 t 0)

αprime(t) = (1 + t2)12 gt 0

αprimeprime(t) = (01) equiv (010)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 t 0

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= e3

αprime(t) times αprimeprime(t) = 1

Εποmicroένως

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

1

(1 + t2)32

36 (9) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = (2t3t2)

152 Υποδείξεις λύσεων

άρα αprime(0) = (0 0) και η α δεν είναι κανονική σε όλο το R Είναι όmicroως κανονική στα

διαστήmicroατα (minusinfin 0) και (0+infin) Για t 0 έχουmicroε

αprime(t) = (4t2 + 9t4)12

αprimeprime(t) = (26t)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

2t 3t2 0

2 6t 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 6t2e3 = (006t2)

αprime(t) times αprimeprime(t) = 6t2

οπότε

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

6t2

(4t2 + 9t4)32

36 (10) Η γ(t) = (cost sint) διαγράφει τον κύκλο microε ϕορά αντίθετη των δεικτών του

ωρολογίου και έχει γ(0) = (1 0)Η (t) = (cos(t + π2) sin(t + π2)) διαγράφει τον κύκλο microε την ίδια ϕορά microε

(0) = (01)Η αντίθετη καmicroπύλη της δηλαδή η

α(t) = (minust) = (cos(π2 minus t) sin(π2 minus t))

διαγράφει τον κύκλο microε την αντίθετη ϕορά και έχει α(0) = (0) = (01)

36 (11) Αφού lt α(0) v gt= 0 αρκεί να δείξουmicroε ότι lt α(t) v gt είναι σταθερό ή

ισοδύναmicroα ότι lt α(t) v gtprime= 0 Πράγmicroατι

lt α(t) v gtprime equivlt α v gtprime (t) = lt αprime(t) v gt + lt α(t) vprime gt= 0+ lt α(t) 0 gt= 0

36 (12) Η εφαπτοmicroένη της α στο τυχόν σηmicroείο α(t) είναι η ευθεία

ϸt(s) = α(t) + sαprime(t) t isin R

που είναι παράλληλη προς το διάνυσmicroα αprime(t) = (36t6t2) (να σηmicroειωθεί εδώ ότι το s

δεν είναι κατ᾿ ανάγκην microήκος τόξου) Η ευθεία που ορίζεται από τις συνθήκες y = 0

και x = z περιέχει το διάνυσmicroα v = (1 01) Επειδή η Ϲητούmicroενη γωνία θ είναι η

γωνία των ανωτέρω διανυσmicroάτων ϐρίσκουmicroε ότι

cosθ =lt αprime(t) v gtαprime(t) middot v =

3 + 6t2radic

9 + 36t2 + 36t4 middotradic

2=

radic2

2= cos

4

)

36 (13) (i) ΄Εστω ότι το A από την αρχική του ϑέση στο (00) microετακινείται στη ϑέση

A = (x y) οπότε το κέντρο K = (0 r) του κύκλου ϑα microετακινηθεί κατά ένα microήκος a

Υποδείξεις λύσεων 153

και ϑα έρθει στο σηmicroείο K prime = (a r)

x

y

K centK

r

Acentcent

AcentA

B

q

rp 2 rpO

Τότε στον άξονα x primeOx ακουmicroπά το σηmicroείο B και το τόξο AB έχει microήκος a Αν θ είναι

η γωνία AKB τότε a = rθ Συmicroβολίζουmicroε microε Aprime και Aprimeprime τις προβολές του A στις ευθείες

K primeB και KK prime Τότε έχουmicroε

x = OB minus AAprime = rθ minus r sinθ = r(θ minus sinθ)

y = OK minus AAprimeprime = r minus r cosθ = r(1 minus cosθ)

άρα η κυκλοειδής περιγράφεται από την παραmicroέτρηση

α(θ) =(r(θ minus sinθ) r(1 minus cosθ)

)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(θ) =(r(1 minus cosθ) r sinθ

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

αprime(0) = (00) αprime(π) = (2r0) αprime(2π) = (00)

΄Αρα για θ = 0 και θ = 2π η εφαπτοmicroένη δεν ορίζεται ενώ για θ = π είναι

ϸπ(s) = α(π) + sαprime(π)

=(r(π minus sinπ) r(1 minus cosπ)) + s(r(1 minus cosπ) r sinπ

)

= (rπ2r) + s(2r0) = (rπ + 2rs 2r)

(iii) Χρησιmicroοποιώντας τους γνωστούς τριγωνοmicroετρικούς τύπους του διπλασίου τόξου

ϐρίσκουmicroε ότι

αprime(θ)2 = r2(1 + cos2 θ minus 2 cosθ + sin2 θ)

= 2r2(1 minus cosθ) = 2r2

(1 minus cos2

θ

2+ sin2 θ

2

)

= 4r2 sin2 θ

2

154 Υποδείξεις λύσεων

οπότε

αprime(θ) = 2r∣∣∣∣ sin

θ

2

∣∣∣∣ = 2r sinθ

2 0 le θ le 2π

Εποmicroένως

L(α) =int 2π

0

αprime(θ)dθ = 2r

int 2π

0

sinθ

2dθ

= 2r

int π

0

2 sinφdφ = 4r(minus cosφ

∣∣∣π0

)

= 4r(minus cosπ + cos0) = 8r

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε ότι ανάλογα συmicroπεράσmicroατα ισχύουν για όλα τα δια-

στήmicroατα της microορφής (2kπ2(k + 1)π) k isin Z Η καmicroπύλη είναι κανονική microόνο σε

αυτά

36 (14) (i) Θέτουmicroε ω = xT + yN + zB και ϑα προσδιορίσουmicroε τους συντελεστές

x y z Τότε

ω times T = xT times T + yN times T + zB times T= x0 minus yB + zN = minusyB + zN

οπότε ϐάσει της υπόθεσης T prime = ω times T

minus yB + zN = T prime = kN

απ᾿ την οποίαν προκύπτει ότι y = 0 και z = k Αναλόγως

ω times N = xT times N + yN times N + zB times N= xB + y0 + minuszT = xB minus zT

άρα λόγω της υπόθεσης N prime = ω times N

xB minus zT = N prime = minuskT + τB

οπότε x = τ και z = k ∆ηλαδή αν υπάρχει τέτοιο διάνυσmicroα ϑα είναι το

ω = τT + kB

Αποδεικνύουmicroε ότι το ω ικανοποιεί και την τρίτη ισότητα

ω times B = (τT + kB) times B = (τT times B) + kB times B = minusτN + 0 = Bprime

΄Αρα αποδείχθηκε η ύπαρξη (και το microονοσήmicroαντο) του ω

Υποδείξεις λύσεων 155

(ii) Από τη σχέση T prime = kN παίρνουmicroε ότι

T primeprime = kprimeN + kN prime = kprimeN + k(minuskT + τB) = minusk2T + kprimeN + τkB

Εποmicroένως

T prime times T primeprime = kN times (minusk2T + kprimeN + τkB)

= minusk3(N times T ) + kkprime(N times N) + τk2(N times B)

= k3B + 0 + τk2T = k2(kB + τT ) = k2ω

36 (15) Η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της στο (s) είναι ϸs(t) = (s) + tprime(s) t isin R

Λόγω της υπόθεσης ϑα υπάρχει ts isin R έτσι ώστε ϸs(ts) = p όπου p isin R3 είναι το

διάνυσmicroα ϑέσης του P δηλαδή

(s) + tsprime(s) = p

Αν πάρουmicroε ένα άλλο σηmicroείο της καmicroπύλης πχ (s) τότε για την εφαπτοmicroένη

ϸs(t) = (s) + tprime(s) ϑα υπάρχει ts έτσι ώστε

(s) + tsprime(s) = p

και παρόmicroοια και για τα άλλα s isin J Εποmicroένως για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin Rέτσι ώστε

( lowast ) (s) + λ(s)prime(s) = p

που εκφράζει ακριβώς την συνθήκη της εκφώνησης

Η απεικόνιση s 7rarr λ(s) είναι διαφορίσιmicroη αφού

(lowast ) rArr λ(s)prime(s) = p minus (s)

rArr lt λ(s)prime(s) prime(s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) lt T (s) T (s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) =lt p minus (s) prime(s) gt

Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε για κάθε s isin J

(lowast )rArr prime(s) + λprime(s)prime(s) + λ(s)primeprime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr (1 + λprime(s))T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr 1 + λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

rArr λprime(s) = minus1 και λ(s)k(s) = 0

rArr λ(s) = c minus s και (c minus s)k(s) = 0

rArr k(s) = 0

156 Υποδείξεις λύσεων

που ισοδυναmicroεί microε το ότι η είναι ευθεία Προφανώς c minus s 0 διαφορετικά ϑα

είχαmicroε ότι λprime(s) = 0 (άτοπο) ΄Αλλωστε και η λ(s) = 0 συνεπάγεται ότι (s) = p

forall s isin J δηλαδή η ϑα εκφυλιζόταν σε σηmicroείο (επίσης άτοπο)

36 (16) Η πρώτη κάθετος της α στο α(s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = α(s) + t N(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το πρώτο κάθετο

διάνυσmicroα N(s) Ακολουθώντας το σκεπτικό της προηγούmicroενης άσκησης η υπόθεση

συνεπάγεται ότι για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε την ιδιότητα

( ) α(s) + λ(s)N(s) = p

( p το διάνυσmicroα ϑέσης του P) Η λ είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση από την (lowast ) προ-

κύπτει ότι

λ(s) =lt λ(s)N(s) N(s) gt=lt p minus α(s) N(s) gt

Παραγωγίζοντας τώρα την (lowast ) έχουmicroε

(lowast)rArr αprime(s) + λprime(s)N(s) + λ(s)N prime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)(minusk(s)T (s) + τ(s)B(s)) = 0

rArr (1 minus λ(s)k(s))T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)τ(s)B(s) = 0

rArr 1 minus λ(s)k(s) = λprime(s) = λ(s)τ(s) = 0

rArr λ = c (σταθερά) λk(s) = 1 και λτ(s) = 0

Η δεύτερη ισότητα δίνει λ 0 η τελευταία δίνει τ = 0 δηλαδή η α είναι επίπεδη

καmicroπύλη και από την k(s) = 1λ = σταθερά έχουmicroε ότι η α είναι τmicroήmicroα κύκλου

Το αντίστροφο είναι άmicroεσο το P είναι το κέντρο του κύκλου

36 (17) Υπενθυmicroίζεται ότι η δεύτερη κάθετος της α στο α(s) [ϐλ λύση της ΄Ασκη-

σης 36(7)] είναι η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο

κάθετο διάνυσmicroα B(s) δηλαδή η

ϸs(t) = α(s) + tB(s) t isin R

Με τους συλλογισmicroούς των δύο προηγουmicroένων ασκήσεων ας υποθέσουmicroε ότι για

κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε

( lowast ) α(s) + λ(s)B(s) = p

Η λ είναι διαφορίσιmicroη επειδή

λ(s) =lt λ(s)B(s) B(s) gt=lt P minus α(s) B(s) gt

Υποδείξεις λύσεων 157

άρα παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε ότι

αprime(s) + λ(s)Bprime(s) + λprime(s)B(s) = 0

ή ισοδύναmicroα

T (s) minus λ(s)τ(s)N(s) + λprime(s)B(s) = 0

η οποία ισχύει microόνο όταν

1 = minusλ(s)τ(s) = λprime(s) = 0

που είναι άτοπο

36 (18) (lArr) Προφανές

(rArr) Από την υπόθεση για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R ώστε

( lowast ) λ(s)T (s) = u = σταθ

Παρατηρούmicroε ότι

λ(s) =lt λ(s)T (s) T (s) gt=lt u T (s) gt

δηλαδή η λ(s) είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε

(lowast ) rArr λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr λprime(s)T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

Από την ισότητα λprime(s) = 0 προκύπτει ότι λ(s) = c Αν c = 0 τότε u = c T = 0 που

είναι άτοπο ΄Αρα c 0 και η ισότητα c k(s) = 0 δίνει ότι k = 0 που ισοδυναmicroεί microε

το ότι η α είναι ευθεία (Θεώρηmicroα 335)

36 (19) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του κάθετου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z)minus(so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα N(so) και B(so) δηλαδή είναι

κάθετη στο T (so) = prime(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) T (so) gt= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus (so) prime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ΄ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast)lt (x y z) minus α(to) T (to) gt= 0

158 Υποδείξεις λύσεων

Μέσω της (351) η προηγούmicroενη microετασχηmicroατίζεται στην

lang(x y z) minus α(to)

αprime(to)α(to)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε αυτά που είπαmicroε προηγουmicroένως το σηmicroείο (000) ανήκει

στο κάθετο επίπεδο σε κάθε σηmicroείο (t) αν

lt (00 0) minus (t) prime(t) gt=lt (t) prime(t) gt= 0 forall t isin R

Παρατηρούmicroε ότι

prime(t) =(2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint

)

Συνεπώς

lt (t) prime(t) gt=

lt (a sin2 t a sint cost a cost) (2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint) gt=

2a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sin3 t cost minus a2 sint cost =

a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sint cost =

a2 sint cost(sin2 t + cos2 t) minus a2 sint cost = 0

36 (20) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του εγγύτατου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και N(so) δηλαδή

είναι κάθετη στο B(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του εγγύτατου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) B(so) gt= 0

Επειδή

B(so) = T (so) times N(so) = prime(so) times

T prime(so)k(so)

= prime(so) timesprimeprime(so)k(so)

η (lowast ) ισοδυναmicroεί microε την

lt (x y z) minus (so) prime(so) times primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του εγγυτάτου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) B(to) gt= 0

Υποδείξεις λύσεων 159

Χρησιmicroοποιώντας την ισότητα [ϐλ (353)]

B(to) =αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

παίρνουmicroε την συνθήκηlang(x y z) minus α(to)

αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) times αprimeprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου εγγύτατου επίπεδου ικανοποιούν την συνθή-

κη

lt (x y z) minus α(π2

) αprime

(π2

)times αprimeprime

(π2

)gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(π

2

)=

(cos

π

2 sin

π

2

)=

(01

π

2

)

αprime(t) = (minus sint cost 1)

αprime(π

2

)=

(minus sin

π

2 cos

π

2 1

)= (minus1 01)

αprimeprime(t) = (minus costminus sint 0)

αprimeprime(π

2

)=

(minus cos

π

2minus sin

π

2 0

)= (0minus1 0)

΄Αρα η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου γίνεταιlang(x y z) minus

(01

π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

lang(x y minus 1 z minus π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y minus 1 z minus π2

minus1 0 1

0 minus1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 hArr

x + z =π

2

36 (21) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του ευθειοποιούντος επιπέδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η

διαφορά (x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και B(so)δηλαδή είναι κάθετη στο N(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου

στο (so) ικανοποιούν την συνθήκη

(lowast ) lt (x y z) minus (so) N(so) gt= 0

160 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή

N(so) =T prime(so)k(so)

=primeprime(so)k(so)

η (lowast ) microετασχηmicroατίζεται στηνlang(x y z) minus (so)

primeprime(so)k(so)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα στην

lt (x y z) minus (so) primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου στο α(to) ικανοποιούν

την αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) N(to) gt= 0

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι [ϐλ (352)]

N(to) =

(αprime(to) times αprimeprime(to)

) times αprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

ϐρίσκουmicroε ότιlang(x y z) minus α(to)

(αprime(to) times αprimeprime(to)

)αprime(to)

αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

(lowastlowast ) lt (x y z) minus α(to) (αprime(to) times αprimeprime(to)) times αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε την (lowastlowast ) τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου ευθειοποιούντος επι-

πέδου ικανοποιούν την συνθήκη

lt (x y z) minus α(1)(αprime(1) times αprimeprime(1)

) times αprime(1) gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(1) =(1

1

21

3

)

(x y z) minus α(1) =(x minus 1 y minus 1

2 z minus 1

3

)

αprime(t) =(1 t t2

)

αprime(1) = (1 11)

αprimeprime(t) = (012t)

αprimeprime(1) = (0 12)

αprime(1) times αprimeprime(1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1minus2 1)

Υποδείξεις λύσεων 161

΄Αρα η Ϲητούmicroενη συνθήκη είναι

lt (x minus 1 y minus 12 z minus 13) (1minus2 1) times (111) gt=

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 minus2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

που ισοδυναmicroεί microε την

x minus z = 2

3

36 (22) (i) Παρατηρούmicroε ότι prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) Εποmicroένως prime(s) = k(s) 0

δηλαδή η είναι κανονική καmicroπύλη

(ii) Εφ᾿ όσον η συνάρτηση microήκους τόξου δίνεται από την σχέση

σ(s) =int s

so

prime(u)du

έχουmicroε ότι

σprime(s) = prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) = k(s)

(iii) Επειδή η δεν είναι απαραίτητα microοναδιαίας ταχύτητας (κάτι τέτοιο ϑα συνέβαινε

αν k = 1 πράγmicroα που δεν δηλώνεται εδώ) ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους της

καmicroπυλότης και στρέψης που δίνονται από τα Θεωρήmicroατα 342 και 343 αντιστοί-

χως

Για το σκοπό αυτό ϐρίσκουmicroε (παραλείποντας τη microεταβλητή s)

prime = T prime = kN

primeprime = kprimeN + kN prime

= kprimeN + k(minuskT + τB)

= minusk2T + kprimeN + kτB

οπότε

prime times primeprime = kN times (minusk2+ kprimeN + kτB)

= minusk3N times T + kkprimeN times N + k2τN times B= k2τT + 0 + k3B = k2τT + 0N + k3B

και

prime times primeprime2 = k6+ k4τ2 = k4(k2

+ τ2)

Εποmicroένως

k =prime times primeprimeprime3 =

k2(k2+ τ2

)12

k3=

(k2+ τ2

)12

k

162 Υποδείξεις λύσεων

Για τον προσδιορισmicroό της στρέψης χρειαζόmicroαστε και την primeprimeprime Παραγωγίζοντας την

primeprime που ϐρήκαmicroε πιό πάνω έχουmicroε

primeprimeprime = minus2kkprimeT minus k2T prime + kprimeprimeN + kprimeN prime + kprimeτB + kτprimeB + kτBprime

= minus2kkprimeT minus k3N + kprimeprimeN + kprime(minuskT + τB) + (kprimeτ + kτprime)B + kτ(minusτN)

= minus3kkprimeT + (minusk3+ kprimeprime minus kτ2)N + (2kprimeτ + kτprime)B

Εποmicroένως

τ =lt prime times primeprime primeprimeprime gtprime times primeprime2 =

k3(kτprime minus kprimeτ)k4(k2 + τ2)

=kτprime minus kprimeτk(k2 + τ2)

36 (23) (α) Η είναι κανονική

prime(s) = αprime(s) + N prime(s) = T (s) minus k(s) middot T (s) = (1 minus k(s)) middot T (s) 0

(ϐ) Η δεν είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας άρα υπολογίζουmicroε την καmicro-

πυλότητά της από τον τύπο του Θεωρήmicroατα 342 Παραλείποντας την microεταβλητή s

έχουmicroε

prime = (1 minus k)T = |1 minus k| = 1 minus k

primeprime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)T prime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

prime times primeprime = (1 minus k)T times ((1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

= (1 minus k)(1 minus k)primeT times T + (1 minus k)2kT times N= k(1 minus k)B

prime times primeprime = k(1 minus k)2

k =k(1 minus k)2

(1 minus k)3=

k

1 minus k

36 (24) Από τον τύπο των FrenetshySerret για την παράγωγο του B παίρνουmicroε ότι

N(s) = minusBprime(s)τ(s)

οπότε από τον ορισmicroό της καmicroπυλότητας έχουmicroε διαδοχικά

k(s) = T prime(s) = (N(s) times B(s))prime

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

times B(s)

)prime∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

)primetimes B(s) +

(minusB

prime(s)τ(s)

)times Bprime(s)

∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥minusBprimeprime(s)τ(s) + Bprime(s)τprime(s)

τ(s)2times B(s) + 0

∥∥∥∥∥

=1

τ(s)2

∥∥∥(τprime(s)Bprime(s) minus τ(s)Bprimeprime(s)) times B(s)∥∥∥

Υποδείξεις λύσεων 163

36 (25) Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι η γ είναι microο-

ναδιαίας ταχύτητας Ακολουθώντας την microεθοδολογία των Ασκήσεων 36 15ndash3618

microπορούmicroε να γράψουmicroε την συνθήκη της άσκησης microε την microορφή

() p = γ(s) + λ(s)(N(s) + B(s))

όπου p το διάνυσmicroα ϑέσης του δοσmicroένου σταθερού σηmicroείου και λ(s) διαφορίσιmicroη

συνάρτηση Παραγωγίζουmicroε την () και παραλείποντας το s ϐρίσκουmicroε

T + λprime(N + B) + λ(minuskT + τB minus τN) = 0

ή ισοδύναmicroα

(1 minus λk)T + (λprime minus λτ)N + (λprime + λτ)B = 0

οπότε

1 minus λk = 0 λprime minus λτ = 0 λprime + λτ = 0

Αθροίζοντας τις δύο τελευταίες ϐρίσκουmicroε λprime = 0 άρα λ = c = σταθερό και το

σύστηmicroα των παραπάνω ισοτήτων γίνεται

1 minus ck = 0 cτ = 0

Από την πρώτη προκύπτει c 0 και k = 1c σταθερό και από την δεύτερη τ = 0

Αρα η γ είναι κύκλος ακτίνας c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

417 (1) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο P = (x y z) της σφαίρας και τη στερεογραφική

προβολή του από το Βόρειο Πόλο PN = (xN yN ) equiv (xN yN 0) Το ευθύγραmicroο τmicroήmicroα

microε άκρα N = (0 01) και PN δίνεται από την παραmicroετρηmicroένη microορφή [ϐλ και τη λύση

της ΄Ασκησης 36 (1) σελ 146]

ϸ(t) = (001) + t[(xN yN 0) minus (0 01)] = (txN tyN 1 minus t) t isin [01]

Εποmicroένως υπάρχει 0 lt to lt 1 τέτοιο ώστε ϸ(to) = (x y z) δηλαδή (toxN toyN 1minusto) =(x y z) Από την τελευταία προκύπτει ότι to = 1 minus z άρα

xN =x

1 minus z yN =y

1 minus z

οπότε καταλήγουmicroε στην (411)

S2 minus N minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PN =

(x

1 minus z y

1 minus z

)

164 Υποδείξεις λύσεων

όπως Ϲητούσαmicroε

Για να ϐρούmicroε την αντίστροφη της προηγούmicroενης απεικόνισης εργαζόmicroαστε ως

εξής ΄Εστω τυχόν (u v) isin R2 Ζητούmicroε να ϐρούmicroε ένα (x y z) isin S2 minus N τέτοιο ώστε

(xN yN ) = (u v) Εποmicroένως πρέπει

(x

1 minus z y

1 minus z

)= (u v) ή x = u(1 minus z) y = v(1 minus z)

Αντικαθιστώντας τα τετράγωνα των δύο τελευταίων στη σχέση x2+ y2

+ z2= 1 ϐρί-

σκουmicroε ότι (1minusz)(u2+v2) = 1+z Επιλύοντας την προηγούmicroενη ως προς z ϐρίσκουmicroε

ότι

z =minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

Αντικαθιστώντας τώρα το z στις παραπάνω εκφράσεις των x και y ϐρίσκουmicroε τελικά

ότι

x =2u

1 + u2 + v2 y =

2v

1 + u2 + v2

οπότε προκύπτει η έκφραση της αντίστροφης απεικόνισης (412)

R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Εργαζόmicroενοι microε τον ίδιο τρόπο για τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο πόλο

S = (00minus1) και σηmicroειώνοντας microε PS = (xS yS0) την προβολή του P = (x y z)ϐρίσκουmicroε την απεικόνιση

S2 minus S minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PS =

(x

1 + zy

1 + z

)

της οποίας η αντίστροφη είναι η απεικόνιση

R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

417 (2) Ας συmicroβολίσουmicroε microε (UN rN ) το τυπικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων που ορίζει

η στερεογραφική προβολή από το Βόρειο Πόλο Τότε σύmicroφωνα microε τους τύπους αυτής

της προβολής και τον Ορισmicroό 411 ϑα είναι UN = R2 και

rN R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Το UN = R2 είναι ανοιχτό σύνολο (στο R2) Η rN είναι συνεχής microε συνεχή αντίστροφο

την απεικόνιση

rminus1N S2 minus N minusrarr UN (x y z) 7rarr

(x

1 minus z y

1 minus z

)

Υποδείξεις λύσεων 165

Εποmicroένως η rN είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επιπλέον είναι διαφορίmicroη και ο αντίστοιχος

πίνακας Jacobi στο τυχόν σηmicroείο (u v) isin R2 είναι ο

J(uv)rN =2

1 + u2 + v2

1 minus u2+ v2 minus2uv

minus2uv 1 + u2+ v2

2u 2v

Οι ορίζουσες των τριών 2 times 2 υποπινάκων είναι

2v(1 + u2+ v2) minus2u(1 + u2

+ v2) (1 minus u2 minus v2)(1 + u2+ v2)

Μία εξ αυτών είναι αναγκαία microη microηδενική αφού ο ταυτόχρονος microηδενισmicroός και των

τριών οδηγεί σε άτοπο (ποιό )

Αναλογα έχουmicroε και τον χάρτη (US rS) όπου (ϐλ και τους τύπους της προη-

γούmicroενης άσκησης για τη στερεογραφική προβολή απο τον Νότιο Πόλο) US = R2

και

rS R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

Απ᾿ το άλλο microέρος microέσω ηmicroισφαιρίων έχουmicroε τα έξι συστήmicroατα συντεταγmicroένων

(Ui r

αi

) i = x y z α = +minus

όπου Ui = Di(01) είναι οι microοναδιαίοι δίσκοι microε κέντρο το 0 κάθετοι στους τρείς

άξονες ενώ rαi =

(φα

i

)minus1[ϐλ (413)] Προφανώς rα

i

(D(0 1)

)= Sα

i

Για παράδειγmicroα στο σύστηmicroα συντεταγmicroένων (Uz = Dz(0 1) r+z ) το (Dz(0 1) είναι

ο microοναδιαίος δίσκος κάθετος στον άξονα των z ενώ

r+z (u v) =(φ+z

)minus1(u v) =(u v

radic1 minus u2 minus v2

) (u v) isin Uz

Στο (Ux = Dx(0 1) rminusx ) είναι

rminusx (u v) =(φminusx

)minus1(u v) =(minusradic

1 minus u2 minus v2 u v)) (u v) isin Ux

Ας δείξουmicroε πχ ότι το (Ux = Dx(01) rminusx ) ικανοποιεί τις συνθήκες του Ορι-

σmicroού 411 Προφανώς Ux = Dx(01) είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2 Η rminusx είναι

συνεχής microε συνεχή αντίστροφο την απεικόνιση

Sminusx ni (x y z) 7minusrarr (y z) isin Dx(01)

άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επίσης είναι διαφορίσιmicroη microε πίνακα Jacobi

J(uv)rminusx =

minus uradic minus vradic

1 0

0 1

166 Υποδείξεις λύσεων

που έχει προφανώς τάξη 2

417 (3) Θεωρούmicroε το Ϲεύγος (U r) όπου U = R2 και η r R2 rarr Γf sub R3 δίνεται από

τη σχέση r(u v) = (u v f (u v)) isin Γf Η r είναι συνεχής microε αντίστροφη την επίσης

συνεχή απεικόνιση Γf ni (u v f (u v) 7rarr (u v) isin R2 άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

Επίσης είναι και διαφορίσιmicroη microε αντίστοιχο πίνακα Jacobi στο τυχόν (u v) isin U

J(uv)r =

1 0

0 1partf

partu

∣∣∣∣(uv)

partf

partv

∣∣∣∣(uv)

Ο τελευταίος έχει προφανώς τάξη 2 για κάθε (u v) Εποmicroένως το γράφηmicroα είναι

microία κανονική επιφάνεια microε ένα microοναδικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων (χάρτη)

426 (1) Μέσω στερογραφικών προβολών έχουmicroε τους χάρτες (UN φN ) και (US φS)όπου τώρα είναι UN = S

2 minus N US = S2 minus S και

φN S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

φS S2 minus S minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 + zy

1 + z

)

[ϐλ (411) και τόν τύπο της στερεογραφικής προβολής από τον Νότιο Πόλο στη λύση

της ΄Ασκησης 417 (1)]

Οι χάρτες που ορίζουν τα ηmicroισφαίρια είναι ακριβώς τα Ϲεύγη

(Sαi φ

αi ) i = x y z α = +minus

microε [ϐλ και τις σχέσεις (413)ndash(417)]

φ+x (x y z) = (y z) (x y z) isin S+x φminusx (x y z) = (y z) (x y z) isin Sminusx φ+y (x y z) = (x z) (x y z) isin S+y φminusy (x y z) = (x z) (x y z) isin Sminusy φ+z (x y z) = (x y) (x y z) isin S+z φminusz (x y z) = (x y) (x y z) isin Sminusz

Για τη συmicroβιβαστότητα των S+x και Sminusy πρώτα παρατηρούmicroε ότι

S+x cap Sminusy =(x y z) isin S2 x gt 0 y lt 0

άρα

S+x cap Sminusy ni (x y z) 7minusrarr φ+x (x y z) = (y z) isin Dx microε y lt 0

δηλαδή

φ+x(S+x cap Sminusy

)= Dx cap (y z) isin R2 y lt 0 = (y z) isin R2 y2

+ z2 lt 1 και y lt 0

Υποδείξεις λύσεων 167

Εποmicroένως το φ+x(S+x capSminusy

)είναι το εσωτερικό του microισού δίσκου Dx που είναι ανοιχτό

υποσύνολο του R2 Παρόmicroοια και το

φminusy(S+x cap Sminusy

)= Dy cap (x z) isin R2 x lt 0

είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2

΄Εχοντας εξασφαλίσει ότι τα πεδία ορισmicroού και τιmicroών των συναρτήσεων που εκ-

ϕράζουν την αλλαγή των συντεταγmicroένων (χαρτών) microπορούmicroε να ελέγξουmicroε τη διαφο-

ϱισιmicroότητα τους ως εξής Για κάθε (y z) isin φ+x(S+x cap Sminusy

) είναι

(φminusy

(φ+x

)minus1)(x z) = φminusy

( radic1 minus y2 minus z2 y z

)=

( radic1 minus y2 minus z2 z

)

που αποδεικνύει ότι η

φminusy (φ+x

)minus1 φ+x(S+x cap Sminusy

) minusrarr φminusy(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση

Παρόmicroοια και η (αντίστροφη της προηγουmicroένης)

φ+x (φminusy

)minus1 φminusy(S+x cap Sminusy

) minusrarr φ+x(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση επειδή για κάθε (x z) isin φminusy(S+x cap Sminusy

) είναι

(φ+x

(φminusy

)minus1)(x z) = φ+x

(xminusradic

1 minus x2 minus z2 y z)=

(minusradic

1 minus x2 minus z2 z)

Εποmicroένως η αλλαγή των αναφεροmicroένων συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

426 (2) Το Ϲεύγος (U1 φ1) είναι χάρτης Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι η φ1 είναι απει-

κόνιση 1ndash1 αφού

φ1([x y z]) = φ1([x prime yprime zprime]) rArr(y

xz

x

)=

(yprime

x primezprime

x prime

)

οπότε ϑέτοντας λ = x primex ϐρίσκουmicroε ότι (x prime yprime zprime) = λ(x y z) δηλαδή [x y z] =[x prime yprime zprime] Κατόπιν ϐλέπουmicroε ότι η φ1(U1) = R2 αφού για οποιοδήποτε (u v) isin R2

είναι [1 u v] isin U1 και φ1([1 u v]) = (u v) ΄Αρα η φ1 είναι microια 1ndash1 απεικόνιση

του U1 επί του ανοικτού συνόλου φ1(U1) = R2 συνεπώς το (U1 φ1) είναι χάρτης

Ανάλογα ισχύουν και για τα υπόλοιπα Ϲεύγη

Είναι ϕανερόν ότι οι προηγούmicroενοι χάρτες καλύπτουν τον προβολικό χώρο δηλ

P2(R) =3⋃

i=1

Ui

αφού τυχούσα κλαση [x y z] έχει τουλάχιστον microία συντεταγmicroένη της microη microηδενική

άρα ανήκει τουλάχιστον σε ένα από τα Ui

168 Υποδείξεις λύσεων

Τέλος ας αποδείξουmicroε για παράδειγmicroα τη συmicroβιβαστότητα των χαρτών U1 και

U2 Πρώτα παρατηρούmicroε ότι

U1 cap U2 =[x y z] x 0 y 0

οπότε για ένα [x y z] isin U1 cap U2 είναι

φ1([x y z]) =(y

xz

x

)isin (R minus 0) times R

Επειδή και για τυχόν (u v) isin (R minus 0) times R είναι [1 u v] isin U1 cap U2 καταλήγουmicroε

στο συmicroπέρασmicroα ότι φ1(U1 cap U2) = (R minus 0) times R που είναι ανοιχτό υποσύνολο του

RtimesR equiv R2 Παρόmicroοια έχουmicroε ότι και φ2(U1capU2) = (Rminus0)timesR εποmicroένως microπορούmicroε

να ελέγξουmicroε τη διαφορισιmicroότητα των

φ2 φminus11 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

φ1 φminus12 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

Η πρώτη έχει τη microορφή

(φ2 φminus1

1

)(u v) = φ2([1 u v]) =

(1

uv

u

)

που είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση Την ίδια ακριβώς microορφή έχει και η φ1 φminus12

Εποmicroένως η αλλαγή συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση οπότε πραγmicroατικά η οι-

κογένεια A είναι (διδιάστατος) άτλαντας (πολλαπλότητας) επί του P2(R)

  • Prologoc
  • Eukleideia kai mh Eukleideia Gewmetria
    • H gewmetria prin ton Eukleidh
    • O Eukleidhc kai ta ((Stoiqeia)) tou
    • Ta axiwmata thc Eukleideiac Gewmetriac
    • Kritikh twn ((Stoiqeiwn)) kai o Hilbert
    • Ta sugqrona gewmetrika susthmata
    • H Uperbolikh Gewmetria
    • H Elleiptikh Gewmetria
    • Askhseic
      • Susqetismena kai probolika epipeda
        • Eisagwgh
        • To susqetismeno epipedo
        • To proboliko epipedo
        • H arqh tou dusmou
        • Stoiqeiwdeic apeikoniseic
        • Sqesh probolikwn kai susqetismenwn epipedwn
        • Morfismoi probolikwn epipedwn
        • Algebrikh meleth tou P2
          • Diaforisimec Kampulec
            • Eisagwgh
            • Diaforisimec kampulec
            • Anaparametrhsh kampulhc
            • Kampulothta kai streyh - Triedro Frenet
            • Kampulothta kai streyh tuqaiac kampulhc
            • To triedro Frenet miac tuqaiac kampulhc
            • Askhseic
              • Apo touc qartec stic Pollaplothtec
                • H Jewria twn Epifaneiwn kai o Gauss
                • Diaforikec Pollaplothtec
                • Duo logia gia th Jewria thc Sqetikothtac
                  • Qwroqronoc kai Diaforikh Gewmetria
                  • Merikec teqnikec leptomereiec
                      • Bibliografia
                      • Pinakac ennoiwn
                      • Upodeixeic lusewn
Page 3: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Σηmicroειώσεις για το ΠΜΣ ∆ιδακτικής

TOPICS IN GEOMETRY

Lecture Notes for Didactics

AMS (2000) Subject Classification

01A20 01A55 01A60

51A05 51A10 51E15

53A04 53A05 58A05

83shy99

COPYRIGHT copy 2015 by Efstathios E Vassiliou

All rights reserved

email address evassilmathuoagrurl httpusersuoagr evassil

Πρόλογος

The Greeks were the first mathematicians who are still lsquorealrsquo to

us toshyday Oriental mathematics may be an interesting curiosity

but Greek mathematics is the real thing The greeks first spoke a

a language which modern mathematicians can understand So

greek mathematics is lsquopermanentrsquo more permanent even than Greshy

ek literature Archimedes will be remembered when Aeschylus is

forgotten because languages die and mathematical ideas do not

G H Hardy [16 σελ 80ndash81]

Ο ι σηmicroειωσεις αυτες αποτελούν microία σειρά εισαγωγικών microαθηmicroάτων σε microερικούς

κλάδους της γεωmicroετρίας ΄Εχουν σκοπό να αποτελέσουν οδηγό για τη microελέτη

ϑεmicroατικών ενοτήτων ϑεωρητικού ενδιαφέροντος για ϕοιτητέςτριες του Μεταπτυχια-

κού Προγράmicromicroατος της ∆ιδακτικής του ΕΚΠΑ Αποτελούν ϐελτιωmicroένη έκδοση των

προηγουmicroένων σηmicroειώσεων microας microε τίτλο laquoΓεωmicroετρία για τη ∆ιδακτικήraquo όπως είχαν

διαmicroορφωθεί microέχρι το 2012

Βασικός στόχος των ενοτήτων που αναφέρονται εδώ είναι να ϕέρουν τοντην α-

ναγνώστηστρια σε επαφή microε διάφορες απόψεις και microεθόδους της γεωmicroετρίας Οι

τελευταίες microπορούν να παίξουν ένα χρήσιmicroο ϱόλο κυρίως από τη σκοπιά της διεύ-

ϱυνσης microερικών ϑεmicroελιωδών εννοιών οι οποίες εκτείνονται πιο πέρα από αυτές που

διδάσκονται στη δευτεροβάθmicroια εκπαίδευση Είναι κοινώς αποδεκτό ότι οη διδά-

σκωνουσα microε ευρεία (και όσο το δυνατόν ϐαθύτερη) γνώση microπορεί να είναι πηγή

έmicroπνευσης για τους microαθητές Μέσα από microικρές παρεmicroβάσεις (ακόmicroη και ιστορικού

v

vi Πρόλογος

περιεχοmicroένου) microπορεί να διεγείρει τη ϕαντασία και το ενδιαφέρον τους microπορεί να

τους ϐοηθήσει να προσεγγίσουν microε περισσότερη αγάπη τον ανεξάντλητο κόσmicroο της

γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα

Στο πρώτο κεφάλαιο microετά από microια συνοπτική αναδροmicroή στη γεωmicroετρία πριν

τον Ευκλείδη αναλύεται η δοmicroή των laquoΣτοιχείωνraquo του γίνεται κριτική των ατελειών

τους αναφέρονται οι αρχές της σύγχρονης αξιωmicroατικής microεθόδου και η χρήση των

laquomicroοντέλωνraquo στον έλεγχο των σχετικών απαιτήσεών της Τέλος γίνεται microια σύντοmicroη

αναφορά στις microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες και παρουσιάζονται microερικά ϐασικά microοντέλα

της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας

Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωmicroένο σε microια στοιχειώδη εισαγωγή στην Προ-

ϐολική Γεωmicroετρία Αυτό γίνεται προκειmicroένου να δοθεί (σε πληρέστερη microορφή) ένα

παράδειγmicroα αξιωmicroατικού συστήmicroατος για microια πολύ γενική microορφή microη Ευκλείδειας

Γεωmicroετρίας ϑεmicroελιωmicroένο σύmicroφωνα microε την άποψη του Hilbert Τα ϐασικά συmicroπε-

ϱάσmicroατα του κεφαλαίου παρουσιάζονται εδώ σε αντιπαράθεση microε τα αντίστοιχα της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και microπορούν να ϱίξουν ϕως στην τελευταία από microιαν άλλη ο-

πτική γωνία Ανάmicroεσα στ᾿ άλλα εξετάζεται και η περίπτωση πεπερασmicroένων επιπέδων

κάτι που συνήθως αγνοείται και τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες Επίσης α-

ναφερόmicroαστε στη σύγχρονη έννοια του laquomicroορφισmicroούraquo που επεκτείνει τη συνήθη έννοια

της απεικόνισης όπως αυτή εφαρmicroόζεται στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου

Τέλος η σύντοmicroη αναφορά στην αναλυτική πλευρά του πραγmicroατικού προβολικού

επιπέδου ϕέρνει τοντην αναγνώστηστρια σε επαφή microε τις οmicroογενείς συντεταγmicroένες

και δίνει microια πρώτη γεύση της αλγεβροποίησης του (τυχόντος) προβολικού επιπέδου

Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή στη ϑεωρία των διαφορισίmicroων καmicroπυλών

microε σκοπό να αναδειχθεί και από άλλη πλευρά η συmicroβολή του ∆ιαφορικού Λογισmicroού

στη microελέτη της γεωmicroετρίας ΄Ηδη οι διδάσκοντεςουσες γνωρίζουν τη σηmicroασία των

παραγώγων στη γεωmicroετρική microελέτη του γραφήmicroατος των (πραγmicroατικών) συναρτή-

σεων microιας (πραγmicroατικής) microεταβλητής Εδώ επιχειρείται η διευρύνση του ϱόλου των

παραγώγων στη microελέτη των καmicroπυλών του τριδιάστατου χώρου (ειδική περίπτωση

των οποίων αποτελεί το γράφηmicroα microιας συνάρτησης όπως προηγουmicroένως) Η laquoστρέ-

ψηraquo και η laquoκαmicroπυλότηταraquo είναι τα δύο ϑεmicroελιώδη microεγέθη που χαρακτηρίζουν τις

καmicroπύλες και microαζί microε το laquoσυνοδεύον τρίεδροraquo των FrenetshySerret καθορίζουν ένα

είδος laquoεσωτερικήςraquo γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

Το τέταρτο κεφάλαιο που αποτελεί και τη σηmicroαντικότερη αλλαγή είναι microία περι-

γραφική περιήγηση στη Θεωρία των Επιφανειών και την εξ αυτών (ϐάσει του Θεωρή-

microατος Egregium του Gauss) απορρέουσα Θεωρία των ∆ιαφορικών Πολλαπλοτήτων

Στόχος της αναφοράς στις τελευταίες είναι να επισηmicroανθεί ο ϱόλος τους στη δια-

τύπωση του χωροχρόνου όπως εmicroφανίζεται στην (Ειδική και Γενική) Θεωρία της

Σχετικότητας του Einstein και σε άλλους τοmicroείς της σύγχρονης Φυσικής

΄Οπως προαναφέρθηκε το κείmicroενο αποτελεί ένα σύντοmicroο ϐοήθηmicroα που έχει στό-

χο να καθοδηγήσει τοντην αναγνώστηστρια στη microελέτη και άλλων πηγών οι οποίες

συνδέονται microε τους σκοπούς αυτών των microεταπτυχιακών microαθηmicroάτων και σε καmicroιά πε-

ϱίπτωση δεν microπορούν να τις υποκαταστήσουν Πιστεύουmicroε ότι microε αυτό το υπόβαθρο

οι ενδιαφερόmicroενοιες microπορούν να προχωρήσουν στη microελέτη και άλλων πιο εξειδικευ-

Πρόλογος vii

κένων ϑεmicroάτων τα οποία έχουν παραλειφθεί εδώ σύmicroφωνα microε τις κατευθυντήριες

γραmicromicroές και τους περιορισmicroούς του παρόντος ϐοηθήmicroατος

΄Ενα χρήσιmicroο εργαλείο για την κατανόηση των σχετικών εννοιών και microεθόδων α-

ποτελούν και οι προτεινόmicroενες ασκήσεις Για διευκόλυνση των αναγνωστώνστριών

στο τέλος των σηmicroειώσεων παρατίθενται οι λύσεις των περισσοτέρων από αυτές microε-

ϱικές από τις οποίες είναι υποδειγmicroατικά λυmicroένες microε αρκετές λεπτοmicroέρειες Οι α-

ναγνώστεςστριες καλούνται να επιχειρήσουν να επεξεργαστούν τις ασκήσεις πριν

καταφύγουν στις λύσεις

Στην παρούσα έκδοση εκτός από την προσθήκη του τετάρτου κεφαλαίου γίνεται

χρήση (υπερ)συνδέσmicroων εντός του κειmicroένου αλλά και σε τοποθεσίες του διαδικτύου

που διευκολύνουν την ηλεκτρονική ανάγνωση των σηmicroειώσεων (microέσω υπολογιστή ή

tablet) Επίσης έχουν γίνει microερικές microικρές ϐελτιώσεις και διορθώνονται διάφορες

αβλεψίες προηγουmicroένων εκδόσεων που ευγενώς επισηmicroάνθηκαν από τους αναγνώ-

στες Ο συγγραφέας ϑα είναι ιδιαίτερα υποχρεωmicroένος σε όσους ϑα ϑελήσουν να του

γνωστοποιήσουν lowast λάθη και ατέλειες που ϑα επισηmicroάνουν και σ᾿ αυτήν τη νέα έκδοση

ΕΒ Αθήνα Ιούλιος 2015

lowast Ηλεκτρονική διεύθυνση evassilmathuoagr

Περιεχόmicroενα

Πρόλογος v

1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία 1

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 2

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 6

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 10

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 12

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 20

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

18 Ασκήσεις 29

2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα 31

20 Εισαγωγή 32

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

22 Το προβολικό επίπεδο 42

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 48

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 56

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες 79

30 Εισαγωγή 80

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 80

ix

x Πρόλογος

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

36 Ασκήσεις 103

4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες 109

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 110

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 124

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία 125

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες 126

Βιβλιογραφία 129

Πίνακας εννοιών 133

Υποδείξεις λύσεων 137

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1

Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία

Η υπόθεση ότι το άθροισmicroα των γωνιών [ενός τριγώνου]

είναι microικρότερο από 180o οδηγεί σε microια παράξενη Γεωmicroε-

τρία αρκετά διαφορετική από τη δική microας [την Ευκλείδεια]

αλλά τελείως συνεπή την οποία έχω αναπτύξει microε όλη microου

την ευχαρίστηση Τα ϑεωρήmicroατα αυτής της Γεωmicroετρίας

ϕαίνονται παράδοξα και για τον αmicroύητο παράλογα όmicroως

ο ήρεmicroος επίmicroονος στοχασmicroός αποκαλύπτει ότι δεν περιέ-

χουν τίποτε το απίθανο

Απο γραmicromicroα του K F Gauss (1824) [11 σελ 109]

Στο κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη αναδροmicroή σε microερικούς σταθmicroούς που

σηmicroατοδότησαν την εξέλιξη της γεωmicroετρίας Αρχίζουmicroε microε την αρχαία περίοδο

και αναλύουmicroε την αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση του Ευκλείδη η οποία έπαιξε ιδιαίτερο

ϱόλο στην εξέλιξη της γεωmicroετρίας (sectsect11ndash13)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

2 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Η κριτική του Ευκλειδείου συστήmicroατος (sect14) microας οδηγεί στις νεώτερες αντιλή-

ψεις περί (γεωmicroετρικών) αξιωmicroατικών συστηmicroάτων τη σηmicroασία των microοντέλων στον

έλεγχο των σχετικών ιδιοτήτων τους καθώς και την κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroελί-

ωση της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (sect15)

Οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες (Υπερβολική και Ελλειπτική) δηmicroιουργήmicroατα microό-

λις του 19ου αιώνα εξετάζονται στις sectsect16 και 17 αντιστοίχως όπου και παρουσιά-

Ϲονται σχετικά microοντέλα τους

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη

Στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία παρατηρούmicroε microια πληθώρα microορφών που εδώ και

αιώνες τις αποκαλούmicroε γεωmicroετρικές και αντιλαmicroβανόmicroαστε ένα είδος γεωmicroετρικής

δοmicroής microέσα στη ϕύση που microας περιβάλλει Η αντίληψη αυτή ενισχύεται σήmicroερα και

από την επιστήmicroη η οποία microας αποκαλύπτει ότι παντού microέσα στη ϕύση υπάρχει

microία laquoΓεωmicroετρίαraquo η τάξη της οποίας υπόκειται της δοmicroής όλων των πραγmicroάτων από

τα microόρια και τους κρυστάλλους microέχρι τους γαλαξίες δηλαδή από τον microικρόκοσmicroο lowast

microέχρι τον microακροκόσmicroο

Στους αρχαιότατους χρόνους όταν η επιστήmicroη ήταν ένα microε τη ϑρησκεία και τη

microαγεία η ϐασική γνώση ήταν συγκεντρωmicroένη στα χέρια των ιερέων Τα microαθηmicroατι-

κά (αριθmicroητική και γεωmicroετρία) της εποχής αυτής αποτελούσαν microέρος της microυστικής

γνώσης και συχνά συνδέονταν microε τον microυστικισmicroό Αργότερα η αρmicroονία η οποία

ενυπάρχει στις γεωmicroετρικές δοmicroές ϑεωρήθηκε έκφραση ενός laquoϑεϊκού σχεδίουraquo που

διέπει τον κόσmicroο (εξού και η γνωστή ϱήση των Πυθαγορείων laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας

γεωmicroετρείraquo)

΄Οmicroως για να microπορέσει ο άνθρωπος να χειριστεί και να microελετήσει αυτές τις microορ-

ϕές είναι απαραίτητη η ιδεατή αναπαράστασή τους ΄Ετσι ο κύκλος (ένα από τα

αρχαιότερα σύmicroβολα που χάραξε ο άνθρωπος) microπορεί να ϑεωρηθεί ως η ιδεατή απο-

τύπωση του ηλιακού δίσκου και των περάτων του ϕυσικού ορίζοντα Η (microαθηmicroατική)

σφαίρα παραπέmicroπει στον ουράνιο ϑόλο Το επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

είναι η ιδεατή εικόνα της στάθmicroης του νερού που ηρεmicroεί κοκ

Η αφαίρεση της καθηmicroερινής εmicroπειρίας και η microεταφορά των απλών παρατη-

ϱήσεων στο επίπεδο microιας νοητικής διεργασίας αρχικά εξυπηρέτησε πρακτικές και

τεχνικές ανάγκες (όπως άλλωστε συνέβη και στο ξεκίνηmicroα κάθε επιστήmicroης) ΄Ετσι

στην αρχαία Αίγυπτο η γεωmicroετρία χρησιmicroοποιήθηκε στην οριοθέτηση και τη microέτρηση

των γαιών απ᾿ όπου και ο όρος laquoγεωmicroετρίαraquo Αυτό ήταν απαραίτητο microετά τις ετήσιες

πληmicromicroύρες του ποταmicroού Νείλου προκειmicroένου να αποδοθούν και πάλι οι ιδιοκτη-

σίες στους κατόχους τους και να επιmicroετρηθούν οι ϕορολογικές τους υποχρεώσεις

στους Φαραώ Αργότερα πιο προχωρηmicroένοι υπολογισmicroοί (πάντοτε εmicroπειρικοί και

lowast Για την περιοχή της κβαντικής ϕυσικής υπάρχουν σοβαρά προβλήmicroατα στην περιγραφή γεωmicroε-

τρικών εννοιών όπως αυτή του χώρουλόγω των εξαιρετικά microικρών αποστάσεων που υπεισέρχονται

στη microελέτη της

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 3

πρακτικοί) χρησιmicroοποιήθηκαν στην οικοδόmicroηση των πυραmicroίδων Ανάλογες πρακτι-

κές ανάγκες εκάλυπτε η γεωmicroετρία και σε άλλους λαούς (Βαβυλωνίους Κινέζους)

όπως microαρτυρούν σύγχρονες αρχαιολογικές ανακαλύψεις

Σε κάθε περίπτωση η κατασκευή των πυραmicroίδων και άλλων τεχνικών έργων ση-

microατοδοτεί microιαν αναmicroφισβήτητη πρόοδο ΄Οmicroως αυτή παρέmicroεινε καθαρά εmicroπειρική

Για παράδειγmicroα διάφορα εmicroβαδά υπολογίζονταν κατά περίπτωση πρακτικά χωρίς

να υπάρχει ένας συγκεκριmicroένος τύπος ή αλγόριθmicroος για το κάθε είδος Οmicroοίως και

διάφοροι αριθmicroητικοί υπολογισmicroοί και πράξεις πραγmicroατοποιούνταν κατά περίπτωση

χωρίς να ακολουθείται κάποιος κανόνας Εποmicroένως οι πολιτισmicroοί της Αιγύπτου και

της Βαβυλωνίας (στους οποίους εmicroφανίζονται οι παραπάνω χρήσεις της γεωmicroετρίας

και της αριθmicroητικής) δεν έδωσαν στους ΄Ελληνες microε τους οποίους ήρθαν σε επα-

ϕή τίποτε το ϑεωρητικό αλλά microια τεράστια συλλογή συγκεκριmicroένων microαθηmicroατικών

δεδοmicroένων microε τη microορφή υπολογισmicroών ή απλών καταγραφών (ϐλ τους microαθηmicroατι-

κούς πίνακες από τις ανασκαφές της Νινευή τον πάπυρο Rhind και τον πάπυρο της

Μόσχας) ΄Οπως πολύ επιτυχηmicroένα σχολιάζει ο L Mlodinow (ϐλ [26 σελ 9]lowast) ϑα

λέγαmicroε ότι οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι microοιάζουν microε τους κλασικούς ϐιολόγους

και ϕυσιοδίφες που microε microεγάλη υποmicroονή και σχολαστικότητα καταλογογράφησαν τα

είδη και όχι microε τους σύγχρονους γενετιστές που προσπαθούν να κατανοήσουν πώς

αναπτύσσονται και λειτουργούν οι οργανισmicroοί

Αντιθέτως η microελέτη της γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα πέρα από

τις πρακτικές ανάγκες ως πνευmicroατική αναζήτηση ως ϑεωρητικό πρόβληmicroα είναι

κατάκτηση του αρχαίου ελληνικού πνεύmicroατος Είναι το αποτέλεσmicroα του ελληνικού

ορθολογισmicroού που προσπαθεί να ϐάλει τάξη στον περιβάλλοντα κόσmicroο και να τον

ερmicroηνεύσει αναζητώντας το laquoγιατίraquo και το laquoπώςraquo των ϕαινοmicroένων

Εδώ πρέπει να αναφερθεί πρώτα το όνοmicroα του γεωmicroέτρη και ϕιλοσόφου Θαλή

Εικονα 1 Θαλής

lowast Οι αριθmicroοί σε αγκύλες παραπέmicroπουν στη ϐιβλιογραφία

4 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ενός εκ των επτά Σοφών της αρχαίας Ελλάδας Ο Θαλής στο πλαίσιο του παραπάνω

ορθολογισmicroού αναζήτησε τη ϑεωρητική επεξήγηση των εmicroπειρικών δεδοmicroένων των

Αιγυπτίων Θεωρείται ότι είναι ο πρώτος που συνέλαβε (και εφάρmicroοσε) την ιδέα της

απόδειξης Η χρήση των οmicroοίων τριγώνων τού επέτρεψε τον ακριβή υπολογισmicroό του

ύψους των πυραmicroίδων (που όπως προείπαmicroε γινόταν microόνον εmicroπειρικά προηγου-

microένως) Η πρόβλεψη της έκλειψης του Ηλίου το 585 πΧ τον κατέστησε πρόσωπο

microυθικό ∆ίκαια τοποθετείται στο ϐάθρο του πρώτου επιστήmicroονα και microαθηmicroατικού

Ο Θαλής αναmicroφίβολα προετοίmicroασε τους Πυθαγορείους και απέδειξε πολλά ϑεω-

ϱήmicroατα που περιέλαβε ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo του Στον ίδιο αποδίδεται η έννοια

της laquoισότηταςraquo ή laquoσύmicroπτωσηςraquo των σχηmicroάτων (όπως εννοείται σήmicroερα microε τους ξενό-

γλωσσους όρους Kongruenz congruence) σύmicroφωνα microε την οποία δύο σχήmicroατα είναι

ίσα αν microε κατάλληλη κίνηση (microεταφορά και στροφή) το ένα microπορεί να συmicroπέσει microε

το άλλο Προφανώς οι microαθηmicroατικές απόψεις και επιδόσεις του Θαλή δεν είναι α-

ποκοmicromicroένες από τη ϕιλοσοφική του άποψη ότι η ϕύση έχει νόmicroους τους οποίους

microπορούmicroε να ανακαλύψουmicroε ενώ microπορούmicroε να εξηγήσουmicroε τα ϕαινόmicroενα microέσω της

παρατήρησης και της λογικής

Μετά τον Θαλή σταθmicroό στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής και ϕιλοσοφικής σκέψης

αποτελεί το έργο του Πυθαγόρα και της Σχολής του Εmicroπνευστής του πρώτου υπήρξε

ο Θαλής

Εικονα 2 Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τους νόmicroους της αρmicroονίας και έδωσε στην αριθmicroητι-

κή τη microορφή ϑεωρητικής επιστήmicroης επί της οποίας στηρίχτηκε και η ϕιλοσοφική

του διδασκαλία Οι αριθmicroοί microπορούν να χωριστούν σε τριγωνικούς και τετραγωνι-

κούς συνδυασmicroοί των οποίων παράγουν ενδιαφέροντα αποτλέσmicroατα Αν ϕανταστού-

microε τους αριθmicroούς σαν τελείες ή πετραδάκια και τους τοποθετήσουmicroε σε κατάλληλους

σχηmicroατισmicroούς microπορούmicroε να πάρουmicroε microερικές microορφές της ταξινόmicroησης αυτής που

εmicroφανίζεται στην Εικόνα 3

Στην ίδια Σχολή microαζί microε τη ϕιλοσοφία τη microουσική και την αριθmicroητική καλ-

λιεργείται και η γεωmicroετρία η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήmicroατος η microελέτη των

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 5

κανονικών σχηmicroάτων και στερεών είναι microερικές microόνον από τις laquoγεωmicroετρικέςraquo ενα-

σχολήσεις της Το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα microε τη διττή του ερmicroηνεία γεωmicroετρική και

αριθmicroητική εκφράζει microιαν ενότητα microεταξύ γεωmicroετρίας και αριθmicroητικής Πρίν από

τους Πυθαγορείους οι Βαβυλώνιοι είχαν καταγράψει τριάδες αριθmicroών (α γ) που

ικανοποιούν τη σχέση α2= 2+γ2 αλλά η γεωmicroετρική ερmicroηνεία και απόδειξη του ϑε-

ωρήmicroατος στη γενική του microορφή δόθηκε για πρώτη ϕορά από τους Πυθαγόρειους

Γενικά ϐλέπουmicroε ότι στο (microαθηmicroατικό) πυθαγόρειο έργο υπάρχει microία σύζευξη της

γεωmicroετρίας microε την αριθmicroητική κάτι που ϑα επαναληφθεί αργότερα ndashσε άλλη microορφή

και microε άλλο στόχοndash από τον Rene Descartes [Καρτέσιο] (1596ndash1650) και τον ϕί-

λο του Pierre de Fermat (1601ndash1665) Φυσικά αυτός ο συσχετισmicroός οδήγησε στην

ανακάλυψη των ασυmicromicroέτρων αριθmicroών που ανέτρεψε τις ϕιλοσοφικές δοξασίες των

Πυθαγορείων και οδήγησε στην παρακmicroή της Σχολής τους

Εικονα 3 Πυθαγόρειοι αριθmicroοί

Τα Μαθηmicroατικά όρος που οφείλεται στους Πυθαγορείους προφανώς σχετίζον-

ται microε τις ϕιλοσοφικές τους δοξασίες Οι ίδιοι αναζητώντας τη συmicromicroετρία και την

αρmicroονία του κόσmicroου (άλλος πυθαγορικός όρος κι αυτός) αναγνωρίζουν ουσιαστικά

την ύπαρξη microιας γεωmicroετρικής δοmicroής σ᾿ αυτόν ΄Οmicroως η δοmicroή αυτή συνδέεται microε το

άρρητο σχέδιο της δηmicroιουργίας που δεν microπορεί να γίνει αντιληπτό από τον άνθρωπο

(πρβλ laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας γεωmicroετρείraquo) ΄Ετσι η κοσmicroογονία και η οντολογία των

πυθαγορείων παραmicroένει laquoαριθmicroολογικήraquo ΄Αλλωστε αιώνες αργότερα ο L Kronecker

υποστήριξε ότι (παραφράζοντάς τον) laquoαεί ο Θεός γεωmicroετρεί και ο ανθρωπος κάνει

αριθmicroητικήraquo

Η γεωmicroετρία (και τα microαθηmicroατικά γενικότερα) εξελίσσονται σηmicroαντικά και στην

Πλατωνική Ακαδηmicroία Τη σηmicroασία που είχε η γεωmicroετρία για τον Πλάτωνα και τους

6 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microαθητές του περιγράφει microε τον πιο εναργή τρόπο η επιγραφή η οποία κοσmicroούσε

την είσοδο της Ακαδηmicroίας το περίφηmicroο laquoΜηδείς αγεωmicroέτρητος εισίτωraquo

Εικονα 4 Πλάτων

Τα κανονικά πολύεδρα γνωστά και ως πλατωνικά στερεά κατέχουν ιδιαίτερη ϑέ-

ση στην πλατωνική ϕιλοσοφία και κοσmicroολογία Στην Ακαδηmicroία έδρασαν διάσηmicroοι

microαθηmicroατικοί όπως ο Εύδοξος ο Κνίδιος οι αδελφοί Μέναιχmicroος και ∆εινόστρατος ο

Θεαίτητος ο Αθηναίος ο Ερmicroότιmicroος ο Κολοφώνιος και πολλοί άλλοι ενώ δεν ϕαίνεται

να είχε κάποια ιδιαίτερη συmicroβολή στην ίδια τη γεωmicroετρία ο Πλάτων

Φυσικά δεν πρέπει να παραλείψουmicroε και τους εκτός της Πλατωνικής Ακαδηmicroίας

Θεόδωρο τον Κυρηναίο (διδάσκαλο του Πλάτωνος) τον Αρχύτα τον Ταραντίνο (ϕίλο

του Πλάτωνος) τον Φιλόλαο και τον Ιπποκράτη τον Χίο

Για τις ϕιλοσοφικές ϑεωρήσεις της Σχολής των Πυθαγορείων και της Πλατωνικής

Ακαδηmicroίας όπως και τη σχέση τους microε τη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε στο [1]

Επειδή σκοπός αυτής της αναδροmicroής δεν είναι η παρουσίαση ούτε της ιστορίας

της γεωmicroετρίας στην αρχαιότητα ούτε των microεγάλων γεωmicroετρών και του έργου τους

αλλά microια απλή αναφορά σε microερικούς σταθmicroούς της προ-Ευκλείδειας περιόδου ϑα

έρθουmicroε αmicroέσως σ᾿ αυτόν που σφράγισε την εξέλιξη της γεωmicroετρίας των microαθηmicroατικών

γενικότερα καθώς και πολλών άλλων επιστηmicroών δηλαδή στον Ευκλείδη

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του

Ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια και η ακmicroή του τοποθετείται περί το 300 πΧ Οι

ηmicroεροmicroηνίες γέννησης και ϑανάτου του παραmicroένουν άγνωστες Στο περίφηmicroο έργο

του laquoΣτοιχείαraquo περιέλαβε το microεγαλύτερο microέρος της microέχρι τότε microαθηmicroατικής γνώσης

και οργάνωσε τη γεωmicroετρία κατά τρόπον αυστηρό όπως απαιτούσε το πνεύmicroα της

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 7

λογικής και της ενότητας το οποίον του κληροδότησαν οι προηγούmicroενες γενιές των

microαθηmicroατικών και ϕιλοσόφων

Εικονα 5 Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης microπορεί να χαρακτηριστεί ως ο διαmicroορφωτής της microελέτης του 2-

διάστατου χώρου microέσω της καθαρής σκέψης χωρίς αναφορά στον ϕυσικό κόσmicroο

Το όνοmicroά του ταυτίζεται microε τη γεωmicroετρία Σε πολλές προτάσεις έδωσε δικές του

αποδείξεις ενώ απλοποίησε άλλες προγενέστερες Η ταξινόmicroηση της ύλης είναι υπο-

δειγmicroατική Η λιτότητα και η όλη παρουσίαση δικαίως έκαναν τα laquoΣτοιχείαraquo πρότυπο

γραφής επιστηmicroονικού συγγράmicroατος

Τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη είναι το δεύτερο έργο που τυπώθηκε microετά την Αγία

Γραφή και το δεύτερο παγκοσmicroίως σε πλήθος εκδόσεων έργο (και πάλι microετά την

Αγ Γραφή) Καθόρισε ουσιαστικά την εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης microέχρι

τον 19ο αιώνα χωρίς ϕυσικά να έχει καταργηθεί microέχρι σήmicroερα Η ανακάλυψη του

έργου αυτού στους Μεσαίους χρόνους εσήmicroανε την αφετηρία της αναγέννησης των

επιστηmicroών και του πνεύmicroατος γενικότερα

Τον τρόπο διατύπωσης των laquoΣτοιχείωνraquo microιmicroήθηκε στο ϕιλοσοφικό του έργο ο Bashy

ruch Spinoza (1632ndash1677) Ο Immanuel Kant (1724ndash1804) στο γνωστό ϕιλοσοφικό

του έργο laquoΚριτική του Καθαρού Λόγουraquo ϑεωρεί ότι η Ευκλειδεια Γεωmicroετρία είναι η

microόνη γεωmicroετρία την οποίαν microπορεί να αντιληφθεί ο ανθρώπινος νούς εξαιτίας της

δοmicroής του εγκεφάλου του Αποτέλεσmicroα αυτού είναι ότι η γνώση του χώρου δεν είναι

εmicroπειρική αλλά υπάρχει a priori Με τις διαδεδοmicroένες αυτές απόψεις του διάση-

microου ϕιλοσόφου ϕοβόταν να αντιπαρατεθεί ο microεγάλος microαθηmicroατικός Karl Friedrich

Gauss (1775ndash1855) όταν ανακάλυψε (αρκετά microετα τον ϑάνατο του πρώτου) τη microη

Ευκλείδεια Γεωmicroετρία για τούτο ndashmicroαζί και microε άλλους λόγουςndash δεν δηmicroοσίευσε τίποτε

σχετικό

Πριν αναφερθούmicroε πιο διεξοδικά στη διάρθρωση των laquoΣτοιχείωνraquo ας κάνουmicroε α-

κόmicroη λίγα γενικά σχόλια Η γεωmicroετρία αναφέρεται στην έννοια του χώρου συστατικά

8 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

του οποίου είναι τα σηmicroεία οι ευθείες και τα επίπεδα Πρόκειται για έννοιες που ενώ

τις αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία δεν microπορούmicroε να τις ορίσου-

microε microε ακρίβεια Εποmicroένως δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα πώς είναι δυνατόν να

οικοδοmicroηθεί αυστηρά η γεωmicroετρία όταν τα ίδια τα δοmicroικά στοιχεία της παραmicroένουν

άγνωστα

Εδώ η συmicroβολή του Ευκλείδη υπήρξε καταλυτική Παρ᾿ όλο που προσπάθησε (α-

νεπιτυχώς) να ορίσει τις παραπάνω έννοιες η προσέγγισή του έκανε ϕανερό ότι στα

microαθηmicroατικά δεν microας ενδιαφέρει η ουσία των αντικειmicroένων που microας απασχολούν αλ-

λά οι σχέσεις microεταξύ αυτών (των αντικειmicroένων) ΄Ετσι αδιαφορώντας για την οντολογία

των σηmicroείων και των ευθειών microπορούmicroε να ξεκινήσουmicroε microε ένα σύστηmicroα σχέσεων

δηλαδή microε τα αξιώmicroατα των οποίων την αλήθεια δεχόmicroαστε εκ των προτέρων και κα-

τόπιν microε τη ϐοήθεια της λογικής (συν)επαγωγής να προχωρήσουmicroε στην απόδειξη

της ισχύος ή όχι κάθε άλλης γεωmicroετρικής σχέσης που microπορεί να διατυπωθεί

Αυτή είναι η ϐασική ιδέα της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη Τα αξιώ-

microατα ϐρίσκονται στην αφετηρία και είναι απαραίτητα για να microην περιπέσουν οι

συλλογισmicroοί microας σε ϕαύλο κύκλο Το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων πρέπει να καλύπτει

προφανώς κάποιες ουσιαστικές απαιτήσεις Θα πούmicroε περισσότερα για τη σύγχρονη

αξιωmicroατική microέθοδο στην sect14

Ας ξαναγυρίσουmicroε τώρα στα laquoΣτοιχείαraquo Το περιεχόmicroενό τους κατανέmicroεται σε

bull 13 ϐιβλία (κάτι σαν 13 κεφάλαια)

και αποτελείται από

bull 23 όρους

bull 5 αιτήmicroατα

bull 7 (ή 9) κοινές έννοιες

και microέσω αυτών αποδεικνύονται

bull 465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σηmicroερινά ϑεωρήmicroατα προτάσεις λήmicro-

microατα και πορίσmicroατα)

Τα ϐιβλία 1ndash4 περιέχουν τη ϐασική γεωmicroετρία του επιπέδου Τα ϐιβλία 5ndash6 πραγ-

microατεύονται τη ϑεωρία των λόγων ήτοι των συmicromicroέτρων microεγεθών και εισάγονται κα-

τόπιν τα ασύmicromicroετρα microεγέθη Τα ϐιβλία 7ndash9 αναφέρονται στην αριθmicroητική Στο 10ο

ϐιβλίο ταξινοmicroούνται γεωmicroετρικά οι ασύmicromicroετροι αριθmicroοί Στα ϐιβλία 11ndash12 εκτίθενται

τα ϐασικά ϑεωρήmicroατα της στερεοmicroετρίας Το 13ο και τελευταίο ϐιβλίο περιέχει την

κατασκευή πέντε κανονικών πολυέδρων και την απόδειξη της microη ύπαρξης άλλων

Σηmicroειώνουmicroε ότι microεταγενέστερα προστέθηκαν και άλλα δύο ϐιβλία όmicroως αυτά δεν

γράφτηκαν από τον Ευκλείδη

Οι όροι αποτελούν ουσιαστικά τους ορισmicroούς εννοιών όπως σηmicroείο ευθεία γραmicro-

microή γωνία ορθή γωνία κύκλος κλπ Μερικοί απ᾿ αυτούς (όπως ο κύκλος οι παράλ-

ληλες ευθείες κλπ) είναι ακριβείς ενώ άλλοι (όπως το σηmicroείο η ευθεία κλπ) είναι

ασαφείς και χωρίς ιδιαίτερη αξία

΄Οπως αναφέρθηκε και πιο πάνω τα αιτήmicroατα (ή αξιώmicroατα) αναφέρονται σε

γεωmicroετρικές προτάσεις ή ιδιότητες που συνδέουν απροσδιόριστους όρους και των

οποίων η αλήθεια γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη Συνήθως απορρέουν από την απλή

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 9

παρατήρηση (microέσα στα στενά όρια της ανθρώπινης κλίmicroακας) ή από τη microελέτη ενος

συγκεκριmicroένου παραδείγmicroατος ΄Ετσι η πρακτική διαπίστωση ότι ανάmicroεσα σε δύο

σηmicroεία ενός κοινού επιπέδου ή ενός ϕύλλου χαρτιού χαράσσεται microία microόνον ευθεία

οδηγεί στη διατύπωση του πρώτου αξιώmicroατος της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (που ϑα

αναφέρουmicroε microαζί microε τα άλλα πιο κάτω)

Οι κοινές έννοιες είναι προτάσεις των οποίων δεχόmicroαστε την αλήθεια (όπως

και των αξιωmicroάτων) δεν αναφέρονται σε γεωmicroετρικές ιδιότητες ή σχέσεις αλλά είναι

κυρίως προτάσεις της Λογικής (για παράδειγmicroα laquoΤὰ τω αὐτωι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστίν

ἴσαraquo laquoΚαὶ τὸ ὅλον του microέρους microειϹὸν [ἐστιν]raquo κλπ)

Σήmicroερα χρησιmicroοποιούmicroε κυρίως τον (microεταγενέστερο) αριστοτελικό όρο αξίωmicroα

για τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

Οι προτάσεις (όπως και τα ϑεωρήmicroατα κλπ) είναι πλέον αποφάνσεις των οποίων

η αλήθεια συνάγεται microε λογική διαδικασία από τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

καθώς και από άλλα ήδη αποδειχθέντα ϑεωρήmicroατα

Στα laquoΣτοιχείαraquo εφαρmicroόζονται οι ακόλουθες τρείς αποδεικτικές microέθοδοι

Η συνθετική Κατ᾿ αυτήν προκειmicroένου να αποδείξουmicroε microια πρόταση χρησιmicroο-

ποιούmicroε τους ορισmicroούς τα αξιώmicroατα και άλλες ήδη γνωστές προτάσεις (που κι αυτές

microε τη σειρά τους απορρέουν από τα αξιώmicroατα και τους ορισmicroούς) και microε λογικούς

συλλογισmicroούς καταλήγουmicroε στην πρός απόδειξη

Η εις άτοπον απαγωγή Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν αρχικά δεχόmicroαστε ότι αληθεύει κά-

ποια πρόταση αντίθετη προς αυτήν που Ϲητούmicroε να αποδείξουmicroε Χρησιmicroοποιώντας

όπως πριν τα αξιώmicroατα και άλλες γνωστές προτάσεις καταλήγουmicroε σε microία πρόταση

η οποία αντιφάσκει είτε microε κάποιο αξίωmicroα είτε microε κάποιαν άλλη πρόταση που ήδη

έχει αποδειχθεί ότι αληθεύει Η αντίφαση προκύπτει προφανώς επειδή ξεκινήσαmicroε

από microια λαθεmicroένη υπόθεση και αίρεται αν δεχτούmicroε ότι αληθεύει η προς απόδειξη

πρόταση Η microέθοδος αυτή χρησιmicroοποιείται ευρύτατα στα laquoΣτοιχείαraquo

Η αναλυτική που ϐασίζεται στην εξής microεθοδολογία ∆εχόmicroαστε προς στιγmicroήν ότι

η προς απόδειξη πρόταση P είναι αληθής Απ᾿ αυτήν συνάγουmicroε την αλήθεια microιας

πρότασης ή microιας αλυσίδας προτάσεων Εφ᾿ όσον οι τελευταίες είναι αληθείς τότε

προφανώς είναι αληθής και η αρχική πρόταση P καθ᾿ όσον microπορούmicroε συνθετικά

πλέον να αναχθούmicroε σ᾿ αυτήν από τις προηγούmicroενες

Μιλώντας κυριολεκτικά πρέπει να κατατάξουmicroε την αναλυτική microέθοδο στις ευρε-

τικές microεθόδους ∆εν χρησιmicroοποιείται εmicroφανώς από τον Ευκλείδη αλλά είναι ϐέβαιον

ότι ορισmicroένες (πολύπλοκες) αποδείξεις έχουν προκύψει από την εφαρmicroογή της του-

λάχιστον από προγενέστερους γεωmicroέτρες Παρ᾿ όλο που η microέθοδος ανάγεται στους

Πυθαγορείους συστηmicroατικός περί αυτής λόγος γίνεται στη laquoΣυναγωγήraquo του Πάππου

και έχει δηmicroιουργήσει σηmicroαντικά προβλήmicroατα ερmicroηνείας Σχετικώς παραπέmicroπουmicroε

και στο άρθρο [27]

10 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Θα διατυπώσουmicroε τα αξιώmicroατα (αιτήmicroατα) των laquoΣτοιχείωνraquo για να κάνουmicroε κατόπιν

microια σύντοmicroη κριτική που ϑα δικαιολογήσει τις νεώτερες αναθεωρήσεις της ϑεmicroελίω-

σης του Ευκλείδη Για διευκόλυνση ϑα τα διατυπώσουmicroε σε microία microορφή απλούστερη

από αυτήν που προκύπτει από την ακριβή microετάφραση της πρωτότυπης διατύπωσής

τους Για την αρχαιοελληνική microορφή τους και την ακριβή microετάφραση παραπέmicroπουmicroε

στο [39]

Αξίωmicroα 1 Από ένα σηmicroείο άγεται σε ένα άλλο microία ευθεία γραmicromicroή

Αξίωmicroα 2 Κάθε πεπερασmicroένη ευθεία microπορεί να επεκτείνεται συνεχώς και

ευθυγράmicromicroως

Αξίωmicroα 3 Μπορούmicroε να γράψουmicroε κύκλο microε οποιοδήποτε κέντρο και ο-

ποιαδήποτε ακτίνα

Αξίωmicroα 4 ΄Ολες οι ορθές γωνίες είναι ίσες

Αξίωmicroα 5 Αν microία ευθεία που τέmicroνει δύο άλλες σχηmicroατίζει τις εντός και

επί τα αυτά γωνίες microε άθροισmicroα microικρότερο των δύο ορθών τότε

οι δύο ευθείες προεκτεινόmicroενες επ᾿ άπειρον ϑα τmicroηθούν (συmicro-

πέσουν) και microάλιστα προς το microέρος όπου ϐρίσκοται οι γωνίες microε

το microιικρότερο των δύο ορθών άθροισmicroα

Τα δύο πρώτα αξώmicroατα ϕαίνονται απλά και συmicroφωνούν microε τη συνήθη εmicroπειρία

Το 3ο είναι πιο λεπτό και σηmicroαίνει ότι δεχόmicroαστε πως το microήκος παραmicroένει αναλλοί-

ωτο καθώς κινούmicroαστε από σηmicroείο σε σηmicroείο κατά τη χάραξη του κύκλου ∆ηλαδή

δεχόmicroαστε ότι η απόσταση ορίζεται microε τέτοιον τρόπο στο χώρο ώστε να εξασφαλίζε-

ται το αναλλοίωτό της Το 4ο αξίωmicroα κι αυτό ϕαίνεται απλό και προφανές Αλλά αν

microπορεί να διαπιστωθεί laquoπειραmicroατικάraquo στο χαρτί microας αυτό δεν σηmicroαίνει ότι αληθεύει

και σε κάποιο άλλο σηmicroείο του σύmicroπαντος (όπως microπορεί να συmicroβεί άλλωστε και microε

κάθε άλλο αξίωmicroα) Στην πραγmicroατικότητα το 4ο αξίωmicroα αποδέχεται την οmicroοιογένεια

του χώρου Τέλος το 5ο αξίωmicroα που είναι γνωστό και ως αξίωmicroα των παραλλή-

λων δεν ϕαίνεται ούτε τόσο απλό ούτε τόσο άmicroεσο όπως τα άλλα Οφείλεται microάλλον

αποκλειστικά στον Ευκλείδη και δεν πρέπει να περιείχετο στην προγενέστερη γεωmicroε-

τρική γνώση που κατέγραψε αυτός παρ᾿ όλο που υποστήριζε ότι ήταν γνωστό στους

Πυθαγορείους

Η ιστορία του 5ου αξιώmicroατος είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα Ο ιδιος ο Ευκλεί-

δης δεν το χρησιmicroοποίησε παρά microετά την 28η πρόταση Λόγω της πολυπλοκότητας

της αρχικής του διατύπωσης οι microεταγενέστεροι microαθηmicroατικοί το αντιmicroετώπισαν microε

κάποια αmicroηχανία γι᾿ αυτό πολλοί ϑεώρησαν ότι είναι απόρροια των προηγουmicroένων

αξιωmicroάτων συνεπώς είναι ένα ϑεώρηmicroα Αυτή η προσπάθεια της αναγωγής του 5ου

αξιώmicroατος στα άλλα άρχισε πολύ νωρίς microετά την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo και συνε-

χίστηκε microέχρι τον 19ο αιώνα οπότε τελικά αποδείχτηκε η ανεξαρτησία του [το 1868

από τον Eugenio Beltrami (1835ndash1900 )]

Σηmicroειώνουmicroε ότι όλες οι προτάσεις (microεταξύ αυτών και οι πρώτες 28 των laquoΣτοιχεί-

ωνraquo που microπορούν να αποδειχθούν χωρίς τη χρήση του αξιώmicroατος των παραλλήλων

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 11

συνιστούν τη λεγόmicroενη Απόλυτη ή Ουδέτερη Γεωmicroετρία

Γνωρίζουmicroε σήmicroερα περί τις 28 απόπειρες απόδειξης του αξιώmicroατος των παραλ-

λήλων Στην πραγmicroατικότητα οδηγούν σε ισοδύναmicroες διατυπώσεις του αφού όλες

ξεκινούσαν microε microια ϕαινοmicroενικά προφανή υπόθεση που στην ουσία της συνιστού-

σε ένα άλλο αξίωmicroα Ας δούmicroε microερικές απ᾿ αυτές τις ισοδύναmicroες microορφές του 5ου

αξιώmicroατος

1 Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας κείmicroενο άγεται προς αυτήν microία και

microοναδική παράλληλη

2 Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές

3 Υπάρχουν Ϲεύγη οmicroοίων τριγώνων

4 Υπάρχει Ϲεύγος ευθειών που ισαπέχουν η microια της άλλης

5 ∆οθέντων τριών (διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών) σηmicroείων υπάρ-

χει κύκλος που διέρχεται δι᾿ αυτών

6 Αν τρείς γωνίες ενός τετραπλέυρου είναι ορθές τότε και η τέταρη

γωνία είναι ορθή

7 Αν microία ευθεία τέmicroνει microία από δύο δοθείσες παράλληλες ευθείες τότε

ϑα τέmicroνει και την άλλη

Η microορφή 1 είναι γνωστή ως αξίωmicroα του John Playfair (1748ndash1819) Μ᾿ αυτήν

αντικαθιστούmicroε σήmicroερα το 5ο αξίωmicroα αφού έτσι είναι προφανώς πιο εύχρηστο Η

microορφή 3 οφείλεται στον John Wallis (1616ndash1703) ΄Αλλοι γνωστοί microαθηmicroατικοί που

προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο αξίωmicroα είναι ο νεοπλατωνικός Πρόκλος ο Λύκιος

ή ∆ιάδοχος (410ndash485 microΧ) ο Giovanni Gerolamo Saccheri (1667ndash1733) (που ό-

πως ϑα δούmicroε στη συνέχεια micro᾿ αυτήν του την προσπάθεια ουσιαστικά έφτασε στην

Υπερβολική Γεωmicroετρία) και ο AdrienshyMarie Legendre (1752ndash1833)

Η άρνηση του 5ου αξιώmicroατος microπορεί να γίνει microε δύο τρόπους

α) ∆εχόmicroαστε ότι από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται δύο ή και περισσό-

τερες ευθείες παράλληλες προς τη δοθείσα

ϐ) Αρνούmicroαστε εξ ολοκλήρου την ύπαρξη της παραλληλίας ευθειών

Η άρνηση αυτή οδηγεί στη δηmicroιουργία των λεγοmicroένων microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

Ακριβέστερα η περίπτωση α) οδηγεί στην Υπερβολική Γεωmicroετρία ενώ η ϐ) στην

Ελλειπτική Γεωmicroετρία Και οι δύο δηmicroιουργήθηκαν microόλις τον 19ο αιώνα και α-

ποτελούν microια απο τις συναρπαστικότερες εξελίξεις στην ιστορία της γεωmicroετρίας Θα

επανέλθουmicroε σ᾿ αυτές σε επόmicroενες παραγράφους

Πριν ασχοληθούmicroε microε την κριτική της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη

ας αναφέρουmicroε συmicroπληρωmicroατικά ότι παράλληλα microε την ανάπτυξη της γεωmicroετρίας

που ακολουθεί την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo έχουmicroε microιαν εντυπωσιακή ανάπτυξη

της αστρονοmicroίας και της microηχανικής αφού και οι δύο συνδέονται στενά microε την πρώτη

Εδώ ϑα πρέπει να αναφέρουmicroε κυρίως τον Αρίσταρχο το Σάmicroιο (περίπου 310-250

πΧ) πρόδροmicroο του ηλιοκεντρικού συστήmicroατος ο οποίος για πρώτη ϕορά υπολόγισε

(έστω και χωρίς microεγάλη ακρίβεια) τη σχέση των αποστάσεων Ηλίου και Σελήνης απο

12 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

τη Γη τη σχέση των διαmicroέτρων τους κλπ ϐασιζόmicroενος σε γεωmicroετρικές microεθόδους και

microια microορφή πρωτόγονης τριγωνοmicroετρίας τον Ερατοσθένη (περίπου 275 ndash195 πΧ)

που microέτρησε τη διάmicroετρο της Γης microε εκπληκτική ακρίβεια για την εποχή του χρη-

σιmicroοποιώντας microιαν ευφυή microέθοδο τον ΄Ιππαρχο (2ος αιώνας πΧ) που υπολόγισε

την απόσταση και το microέγεθος του Ηλίου και της Σελήνης και έβαλε τις ϐάσεις της

τριγωνοmicroετρίας τον Πτολεmicroαίο Κλαύδιο (138ndash180 microΧ) που microεταξύ των άλλων στο

έργο του laquo΄Απλωσις Επιφανείαςraquo εναφέρεται στη microελέτη προβολών για την κατασκευή

χαρτών

Ιδιαιτέρως επίσης πρέπει να microνηmicroονευθεί και ο Αρχιmicroήδης (287ndash212 πΧ)

microεγαλοφυής microαθηmicroατικός ϕυσικός και microηχανικός Με την έξοχη laquomicroέθοδο της εξ-

αντλήσεωςraquo υπολόγισε το εmicroβαδόν ποικίλων χωρίων και τον όγκο διαφόρων σωmicroάτων

κάνοντας κατάλληλες προσεγγίσεις microέσω εmicroβαδών απλών σχηmicroάτων ϑέτοντας έτσι τις

ϐάσεις του Ολοκληρωτικού Λογισmicroού Ο Αρχιmicroήδης ϑεωρείται η microεγαλύτερη microαθη-

microατική και επιστηmicroονική microορφή της αρχαιότητας και ένας από τους microεγαλύτερους

microαθηmicroατικούς όλων των εποχών

Η ανάπτυξη της γεωmicroετρίας συνεχίστηκε microετά το Ευκλείδη και τον Αρχιmicroήδη από

τον Απολλώνιο (περίπου 260ndash200 πΧ) που ϑεωρείται ως ο τελευταίος microεγάλος γε-

ωmicroέτρης της ελληνιστικής περιόδου Στο οκτάτοmicroο έργο του laquoΚώνου Τοmicroαίraquo microελέτησε

την έλλειψη την παραβολή και την υπερβολή τις οποίες ϑεώρησε τοmicroές του κώνου

microε ένα επίπεδο κατάλληλης κλίσης Η ιδέα αυτή microπορεί να ϑεωρηθεί και ως απαρ-

χή της Προβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ Κεφάλαιο 2) αφού οι προηγούmicroενες καmicroπύλες

είναι προβολές (από την κορυφή του κώνου) της κυκλικής ϐάσης του στα διάφορα

τέmicroνοντα επίπεδα

Παρά την microετέπειτα σχετική κάmicroψη του ελληνικού πνεύmicroατος η microεγάλη γεωmicroε-

τρική παράδοση συνεχίστηκε από σπουδαίους microαθηmicroατικούς όπως ο Νικοmicroήδης ο

∆ιοκλής ο ∆ιόφαντος ο Μενέλαος και ο Πάππος (microε το έργο του laquoΣυναγωγήraquo )

Μετά από αυτούς και πολύ αργότερα microετά τον τραγικό ϑάνατο της Υπατίας

(5ος microΧ αιώνας) που ϑεωρείται και η τελευταία microαθηmicroατικός της αρχαίας εποχής

επήλθε η πλήρης στασιmicroότητα Η αναγέννηση της γεωmicroετρίας άρχισε τον 16ο αιώνα

microε την Αναλυτική Γεωmicroετρία του Καρτέσιου (Descartes) Αργότερα η εφαρmicroογή του

∆ιαφορικού Λογισmicroού οδήγησε στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία η ανάπτυξη της οποίας

υπήρξε ϱαγδαία και microαζί microε τη σύγχρονη ϕυσική έχει αλλάξει την αντίληψή microας για

τον κόσmicroο

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και η αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του D Hilbert

Η προσεκτική microελέτη των laquoΣτοιχείωνraquo σε microεταγενέστερες εποχές απεκάλυψε ότι

ορισmicroένες αποδείξεις έχουν σηmicroαντικές ατέλειες ή κενά καθ᾿ όσον ϐασίζονται σε

διάφορες γεωmicroετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης ϑεώρησε αυτονόητες χωρίς

όmicroως αυτές να microπορούν να δικαιολογηθουν ούτε από τους ορισmicroούς και τα αξιώmicroατα

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 13

ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις

Σχηmicroα 11 Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

΄Ετσι ας πάρουmicroε για παράδειγmicroα την απόδειξη της Πρότασης 1 των laquoΣτοιχείωνraquo

στην οποία κατασκευάζεται ισόπλευρο τρίγωνο microε δεδοmicroένη ϐάση AB Η κορυφή

του τριγώνου ϑα είναι microία από τις τοmicroές του κύκλου που γράφεται microε κέντρο το

A και ακτίνα AB microε τον κύκλο ίδιας ακτίνας και κέντρου B όπως στο παραπάνω

σχήmicroα Πώς όmicroως εξασφαλίζεται αυτή η τοmicroή Προφανώς η εmicroπειρική κατασκευή

δεν αρκεί Κανένα αξίωmicroα δεν απαγορεύει οι κύκλοι να έχουν πολύ microικρές οπές

όπως ϑα microπορούσε να συmicroβεί στην περίπτωση της γεωmicroετρίας που αναφέρεται σε

σηmicroεία microε ϱητές συντεταγmicroένες

΄Εντονη κριτική δέχονται ακόmicroη η microέθοδος της laquoυπέρθεσηςraquo ή laquoεπί-ϑεσηςraquo δηλ

της microετακίνησης και τοποθέτησης ενός σχήmicroατος επί ενός άλλου microε την οποίαν

αποδεικνύεται η ισότητα δύο τριγώνων (ϐλ πχ Πρόταση 4) η συχνή χρήση της

έννοιας laquomicroεταξύraquo που δεν ορίζεται πουθενά η laquoεπ᾿ άπειρον και χωρίς όριαraquo επέκταση

microιας γραmicromicroής οι ιδιότητες διαχωρισmicroού των σηmicroείων και των γραmicromicroών (δηλαδή η

παραδοχή ότι ένα σηmicroείο διαχωρίζει microια γραmicromicroή σε δύο διακεκριmicroένα τmicroήmicroατα ενώ

microία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο διακεκριmicroένα σύνολα κλπ)

Είναι αξιοσηmicroείωτο ότι παρά τις παραπάνω αδυναmicroίες καmicroιά από τις προτάσεις

των laquoΣτοιχείωνraquo δεν είναι λάθος (ως προς το τελικό συmicroπέρασmicroα) ΄Οmicroως χωρίς να

microειώνεται στο ελάχιστο η αξία της ευκλείδειας προσέγγισης έπρεπε να διορθωθούν

οι ατέλειές της σύmicroφωνα microε τις απαιτήσεις της αυστηρότητας που χαρακτηρίζει (και)

τα σύγχρονα microαθηmicroατικά Αυτό υπήρξε περισσότερο από ποτέ αναγκαίο microετά την

ανακάλυψη των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών οπότε και έγινε εmicroφανέστερη η ση-

microασία της τακτοποίησης του αξιωmicroατικού συστήmicroατος κάθε γεωmicroετρίας Προς την

κατεύθυνση αυτή εργάστηκαν διακεκριmicroένοι microαθηmicroατικοί όπως ο Julius Wilhelm

Richard Dedekind (1831ndash1916) ο Giuseppe Peano (1858ndash1932) ο David Hilbert

(1862ndash1943) και ο George David Birkhoff (1884ndash1944)

Εδώ ϑα αναφερθούmicroε microόνον στην αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρία από τον Hilbert (ϐλ [18]) επειδή το σύστηmicroά του είναι (παρά τον microεγάλο αριθmicroό

14 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αξιωmicroάτων) σχετικώς απλό και κοντά στο πνεύmicroα του Ευκλείδη

Εικονα 6 David Hilbert

Εξ αρχής ο Hilbert ϑεωρεί ως πρωταρχικές έννοιες του συστήmicroατος τις ακόλουθες

απροσδιόριστες έννοιες

σηmicroείο ευθεία (γραmicromicroή) επίπεδο κείται (ϐρίσκεται) επί

microεταξύ σύmicroπτωσηισότητα (Kongruenz congruence)

Τα αξιώmicroατά του χωρίζονται ανάλογα microε το ϱόλο τους στις εξής κατηγορίες

Κατηγορία I Αξιώmicroατα σύνδεσης (ή συνοχής)

Κατηγορία II Αξιώmicroατα διάταξης

Κατηγορία III Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Κατηγορία IV Αξίωmicroα της παραλληλίας

Κατηγορία V Αξιώmicroατα συνεχείας

Στη συνέχεια αναφέρουmicroε σε ελεύθερη microετάφραση τα αξιώmicroατα του Hilbert (ϐλ

επίση και τις σχετικες αποδόσεις των [11] [18] [39]) Ενδιαmicroέσως παρεmicroβάλλονται

και microερικοί απαραίτητοι ορισmicroοί και συmicroβολισmicroοί

Ι Αξιώmicroατα σύνδεσης

Τα αξιώmicroατα της κατηγορίας αυτής συνδέουν τις απροσδιόριστες έννοιες σηmicroείο

ευθεία και επίπεδο δηλαδή καθορίζουν τις microεταξύ των σχέσεις

Ι1 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει πάντοτε microία ευθεία ℓ που τα

περιέχει (Ισοδύναmicroη έκφραση Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται microία ευθεία)

Ι2 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει microόνον microία ευθεία που τα περιέχει

Η microοναδική ευθεία που περιέχει τα A B κατά τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα

συmicroβολίζεται microε ℓ = AB = BA

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 15

Ι3 Κάθε ευθεία περιέχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά σηmicroεία Υπάρχουν τουλάχι-

στον τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται (κείνται) στην ίδια ευθεία

Ι4 Τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C τα οποία δεν ϐρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία

ορίζουν ένα microοναδικό επίπεδο που τα περιέχει

Ι5 Αν δύο σηmicroεία A B microιας ευθείας ℓ ϐρίσκονται σε ένα επίπεδο Π τότε και κάθε

άλλο σηmicroείο της ℓ ϐρίσκεται σο Π

Ι6 Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σηmicroείο τότε έχουν ακόmicroη τουλάχιστον άλλο ένα

κοινό σηmicroείο

Ι7 Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία που δεν κείνται στο ίδιο

επίπεδο

ΙΙ Αξιώmicroατα διάταξης

Τα αξιώmicroατα αυτής της κατηγορίας καθορίζουν την έννοια του microεταξύ microέσω της

οποίας microπορεί να εισαχθεί microια έννοια διάταξης ανάmicroεσα στα σηmicroεία microιας ευθείας

ενός επιπέδου ή του χώρου

ΙΙ1 Αν ένα σηmicroείο B κείται microεταξύ των σηmicroείων A και C τότε τα A B C είναι

διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας και το B ϐρίσκεται επίσης microεταξύ των C και A

ΙΙ2 Για οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία A C υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένα

σηmicroείο B που ϐρίσκεται microεταξύ των A και C

ΙΙ3 Αν A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας τότε microόνον ένα από

αυτά ϐρίσκεται microεταξύ των δύο άλλων

ΙΙ4 ΄Εστω ότι A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται στην ίδια

ευθεία και ℓ είναι microία ευθεία που δεν περιέχει κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία

Αν η ℓ διέρχεται από ένα σηmicroείο του (ευθυγράmicromicroου) τmicroήmicroατος AB τότε αυτή διέρχεται

επίσης είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος AC είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος BC

Το προηγούmicroενο αξίωmicroα είναι γνωστό και ως αξίωmicroα του Pasch [καθώς οφεί-

λεται στον γερmicroανό γεωmicroέτρη Moritz Pasch (1843ndash1931)] Για τη διατύπωσή

του απαιτείται ο επόmicroενος ορισmicroός Κάλούmicroε ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB το σύνολο

των σηmicroείων microεταξύ των A και B Το τmicroήmicroα AB είναι το ίδιο microε το BA

ΙΙΙ Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Η κατηγορία αυτών των αξιωmicroάτων ορίζει την έννοια της ισότητας και κατ᾿ επέκτασιν

την έννοια της κίνησης οπότε αξιωmicroατικοποιείται η διαδικασία της microετακίνησης και

υπέρθεσης που χρησιmicroοποιείται στα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη

ΙΙΙ1 Αν A και B είναι διαφορετικά σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime ένα σηmicroείο microιας

ευθείας ℓ όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικής της k τότε σε microία καθορισmicroένη πλευρά της

ℓ από το Aprime υπάρχει πάντοτε ένα microοναδικό σηmicroείο Bprime έτσι ώστε το τmicroήmicroα AB είναι

ίσο microε το AprimeBprime

16 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Το συmicroπέρασmicroα του προηγουmicroένου αξιώmicroατος συmicroβολικά γράφεται AB equiv AprimeBprime

(ή AB ≃ AprimeBprime ακόmicroη και AB = AprimeBprime) Χρείαζόmicroαστε εδώ τους εξής ορισmicroούς

Μία ηmicroιευθεία (ή ακτίνα) από το σηmicroείο A προς το B αποτελείται από όλα τα

σηmicroεία C της ευθείας AB έτσι ώστε το A να microην είναι microεταξύ των B και C

Εποmicroένως κάθε σηmicroείο A microιας ευθείας ℓ ορίζει δύο ηmicroιευθείες (της ℓ από το

A) microε microοναδικό κοινό σηmicroείο το A Μία πλευρά της ℓ από το A αποτελείται από

όλα τα σηmicroεία που ϐρίσκονται στην ίδια ηmicroιευθεία της ℓ και είναι διαφορετικά

από το A

ΙΙΙ2 Αν AprimeBprime equiv AB και AprimeprimeBprimeprime equiv AB τότε και AprimeBprime equiv AprimeprimeBprimeprime

Από τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα προκύπτει ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz conshy

gruence) είναι σχέση ισοδυναmicroίας

ΙΙΙ3 Υποθέτουmicroε ότι A B είναι σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime Bprime σηmicroεία microιας ευθείας

ℓ (microε k = ℓ ή k ℓ) Αν C είναι σηmicroείο microεταξύ των A B και το Cprime σηmicroείο microεταξύ των

Aprime Bprime έτσι ώστε AC equiv AprimeCprime και CB equiv CprimeBprime τοτε είναι και AB equiv AprimeBprime

Πριν τη διατύπωση των δύο εποmicroένων αξιωmicroάτων δίνονται οι εξής ορισmicroοί ∆ύο

ηmicroιευθείες h και k microε κοινή αρχή (άκρο) το σηmicroείο O οι οποίες ανήκουν σε

διαφορετικές ευθείες λέmicroε ότι σχηmicroατίζουν microία γωνία microε πλευρές τις h k και

κορυφή το O Η γωνία αυτή συmicroβολίζεται microε ang (h k) Αν επί της h ϑεωρήσουmicroε

ένα σηmicroείο P και επί της k ένα σηmicroείο Q (οπότε h = OP και k = OQ) τότε την

ang (h k) συmicroβολίζουmicroε και microε ang POQ

Από σχετική πρόταση (microέσω των οmicroάδων αξιωmicroάτων Ι και ΙΙ) προκύπτει ότι κά-

ϑε ευθεία χωρίζει τα σηmicroεία του επιπέδου στο οποίο ϐρίσκεται σε δύο microέρη

ή πλευρές ως προς αυτήν Χωρίς να καταφύγουmicroε στις τεχνικές λεπτοέρειες

(που είναι αναγκαίες για την αυστηρή διατύπωση της πρότασης) είναι ϕανερόν

ότι εδώ δικαιολογούνται πλήρως οι έννοιες του διαχωρισmicroού του επιπέδου σε

δύο microέρη των πλευρών microιας ευθείας στο επίπεδο κα που χρησιmicroοποιούνται

στα laquoΣτοιχείαraquo ΄Ετσι microία γωνία χωρίζει το επίπεδο σε εσωτερικά και εξωτερι-

κά σηmicroεία όπως τα αντιλαmicroβανόmicroαστε διαισθητικά (αλλά ορίζονται microε κάθε

αυστηρότητα στο προτεινόmicroενο αξιωmicroατικό σύστηmicroα)

Τέλος ένα τρίγωνο ορίζεται από τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C και τα ευθύ-

γραmicromicroα τmicroήmicroατα AB BC AC Το συmicroβολίζουmicroε microε ABC

ΙΙΙ4 Υποθέτουmicroε ότι ang (h k) είναι microία γωνία ενός επιπέδου Π (microε κορυφή O) και ℓprime

ευθεία ενός επιπέδου Πprime (όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικού του Π) Θεωρούmicroε επίσης

και microία καθορισmicroένη πλευρά του Πprime ως προς την ℓprime Αν hprime είναι microία ηmicroιευθεία της ℓprime

microε αρχή ένα σηmicroείο Oprime τότε υπάρχει στο Πprime microια microοναδική ηmicroιευθεία kprime (εκ του Oprime)

τέτοια ώστε η ang (hprime kprime) να είναι ίση microε την ang (h k) (συmicroβολικά ang (hprime kprime) equiv ang (h k))και όλα τα εσωτρικά σηmicroεία της ang (hprime kprime) να ϐρίσκονται στην ίδια πλευρά του Πprime ως

προς την ℓprime

ΙΙΙ5 Αν σε δύο τρίγωνα ABC και AprimeBprimeCprime ισχύουν οι ισότητες AB equiv AprimeBprime AC equiv AprimeCprime

και angBAC equiv angBprimeAprimeCprime τότε ισχύει επίσης και η ισότητα angABC equiv angAprimeBprimeCprime

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 17

IV Αξίωmicroα των παραλλήλων

IV1 (Αξίωmicroα του Ευκλείδη microε την ισοδύναmicroη διατύπωση του Playfair) Από ένα

σηmicroείο P εκτός ευθείας ℓ άγεται (στο επίπεδο που ορίζεται από το P και την ℓ) microία

microοναδική ευθεία k παράλληλη προς την ℓ

V Αξιώmicroατα συνεχείας

V1 (Αξίωmicroα του Αρχιmicroήδη ή αξίωmicroα της microέτρησης) Αν AB και CD είναι δύο ευθύγραmicro-

microα τmicroήmicroατα τότε επί της ευθείας AB υπάρχει ένα πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων A1

A2 Aν έτσι ώστε AA1 equiv A1A2 equiv A2A3 equiv middot middot middot equiv Aνminus1Aν equiv CD και το B να ϐρίσκεται

microεταξύ των Aνminus1 και Aν

V2 (Αξίωmicroα της γραmicromicroικής πληρότητας) Το σύστηmicroα των σηmicroείων microιας ευθείας microε

τις σχέσεις της διάταξης και της ισότητας δεν microπορεί να επεκταθεί (δηλ να του επι-

συνάψουmicroε και άλλα σηmicroεία) εις τρόπον ώστε να παραmicroένουν αληθείς οι σχέσεις που

υφίστανται microεταξύ των στοιχείων του καθώς και οι ϐασικές ιδιότητες που απορρέουν

από τα αξιώmicroατα IndashIII και V1

Το αξίωmicroα V1 (του Αρχιmicroήδη) και αξίωmicroα V2 (της γραmicromicroικής πληρότητας) ισο-

δυναmicroούν microε το αξίωmicroα (συνεχείας) του Dedekind που έχει ως εξής

Για κάθε διαmicroέριση των σηmicroείων microιας ευθείας σε δύο microη κενά σύνολα τέτοια ώστε

κανένα σηmicroείο του ενός να microην ϐρίσκεται microεταξύ δύο σηmicroείων του άλλου υπάρχει

ένα σηmicroείο του ενός συνόλου που ϐρίσκεται microεταξύ οποιουδήποτε σηmicroείου αυτού

του συνόλου και οποιουδήποτε σηmicroείου του άλλου συνόλου

Για διάφορες προτάσεις που προκύπτουν από την εφαρmicroογή των παραπάνω α-

ξιωmicroάτων και σχετικά σχόλια παραπέmicroπουmicroε επίσης και στην ελληνική microετάφραση

του [18]

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα του Hilbert είναι διατυπωmicroένο microε τέτοιο τρόπο ώστε να

microην αναφέρεται κατ᾿ ανάγκην στον κόσmicroο της συνήθους εmicroπειρίας προς την οποίαν

ήταν περισσότερο προσανατολισmicroένο το σύστηmicroα του Ευκλείδη ΄Ετσι τα σηmicroεία microπο-

ϱούν να αναφέρονται στα σηmicroεία της εmicroπειρίας όπως microας τα διδάσκει η Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία αλλά και στα στοιχεία ενός συνόλου τα οποία αυθαιρέτως καλούmicroε έτσι

Το ίδιο και για τις ευθείες ενώ η σύmicroπτωση ενός σηmicroείου και microιας ευθείας (δηλαδή

το να κείται ένα σηmicroείο επί microιας ευθείας ή όχι) περιγράφεται από microιαν αφηρηmicroένη

microαθηmicroατική σχέση Θα τα δούmicroε όλα αυτά microε περισσότερες λεπτοmicroέρεις στο Κεφά-

λαιο 2

Την άποψη αυτή για τη ϑεmicroελίωση της γεωmicroετρίας κατά τρόπο γενικό και α-

ϕηρηmicroένο δηλαδή χωρίς άmicroεση αναφορά στην εmicroπειρία υποστηρίζει και ο Henri

Poincare (1854-1912) λέγοντας ότι (ϐλ [36 σελ 161])

18 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 7 Henri Poincare

Οι εκφράσεις laquoκείται επί διέρχεται απόraquo κλπ δεν προορίζονται να

ανακαλέσουν εικόνες είναι απλώς συνώνυmicroα της λέξης προσδιορίζω Οι

λέξεις laquoσηmicroείο ευθεία και επιπέδοraquo αυτές καθ᾿ εαυτές δεν πρέπει να προκα-

λούν στο πνεύmicroα καmicroία αισθητή παράσταση Θα microπορούσαν αδιαφόρως να

αποδίδουν αντικείmicroενα οποιασδήποτε ϕύσης αρκεί να microπορούmicroε να εγκα-

ϑιδρύσουmicroε microεταξύ αυτών των αντικειmicroένων microιάν αντιστοιχία τέτοια ώστε

σε κάθε σύστηmicroα δύο αντικειmicroένων που καλούνται σηmicroεία να αντιστοιχεί

ένα από τα αντικείmicroενα που καλούνται ευθείες και ένα microόνον

Τοιουτοτρόπως ο Κος Hilbert για να το πούmicroε έτσι προσπάθησε να

ϑέσει τα αξιώmicroατα σε microία τέτοια microορφή που να microπορούν να εφαρmicroοστούν

από οποιονδήποτε που δεν ϑα αντιλαmicroβανόταν το νόηmicroά τους γιατί δεν ϑα

είχε δεί ποτέ ούτε σηmicroεία ούτε ευθεία ούτε επίπεδο

Θα microπορούmicroε έτσι να κατασκευάσουmicroε όλη τη γεωmicroετρία δεν ϑα έλεγα

ακριβώς χωρίς να καταλαβαίνουmicroε τίποτε αφού ϑα συλλάβουmicroε τη λογική

αλληλουχία των προτάσεων αλλά το λιγότερο χωρίς να ϐλέπουmicroε τίποτε

σ᾿ αυτήν Θα microπορούσαmicroε να εmicroπιστευθούmicroε τα αξιώmicroατα σε microία λογική

microηχανή για παράδειγmicroα στο laquoλογικό πιάνοraquo του Stanley Jevons και ϑα

ϐλέπαmicroε να ϐγαίνει απ᾿ αυτό όλη η γεωmicroετρία

Το ακριβές κείmicroενο στα γαλλικά έχει ως εξής

Les expressions etre situe sur passer par etc ne sont pas deshy

stinees a evoquer des images elles sont simplement des synonymes du

mot determiner Les mots point droite et plan euxshymemes ne doivent

provoquer dans lrsquo esprit aucune representation sensible Ils pourraient

indifferemment designer des objets drsquo une nature quelconque pourvu

qursquo on put etablir entre ces objets une correspondance telle qursquo a tout

systeme de deux objets appeles points correspondit un des objets apshy

peles droites et un seul

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

Ainsi M Hilbert a pour ainsi dire cherche a mettre les axiomes sous

une forme telle qursquo ils puissent etre appliquees par quelqursquo un qui nrsquo en

comprendrait pas le sens parce qursquo il nrsquo aurait jamais vu ni points ni

droite ni plan

On pourra ainsi construire toute la geometrie je ne dirais pas preciseshy

ment sans y rien comprendre puisqursquo on saisira lrsquo enchainement logique

des propositions mais tout au moins sans y rien voir On pourrait confier

les axiomes a une machine a raisoner par example au piano raisoneur

de Stanley Jevons et on en verrair sortir toute la geometrie

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα

΄Οπως προκύπτει απ᾿ όσα αναφέραmicroε microέχρις εδώ ένα σύγχρονο αξιωmicroατικό σύστηmicroα

για τη ϑεmicroελίωση microιας γεωmicroετρίας περιέχει τα εξής στοιχεία

bull Απροσδιόριστους όρους (δηλαδή microη οριζόmicroενες αρχικές έννοιες ό-

πως σηmicroείο ευθεία κλπ)

bull Ορισmicroούς (όπως παραλληλία ευθειών κύκλος τρίγωνο κλπ)

bull Αξιώmicroατα (όπως τα αξιώmicroατα του Ευκλείδη του Hilbert)

bull ΄Ενα λογικό σύστηmicroα (όπως αυτό της Αριστοτέλειας Λογικής)

bull Θεωρήmicroατα Προτάσεις κλπ (που συνάγονται από τα τρία πρώτα

στοιχεία microεσω του λογικού συστήmicroατος)

Ταυτόχρονα πρέπει το σύστηmicroα να ικανοποιεί και τις ακόλουθες απαιτήσεις

1 Να είναι συνεπές (consistent) δηλαδή να microην υπάρχουν αξιώmicroατα ή ϑεω-

ϱήmicroατα που αντιφάσκουν microεταξύ τους Η σηmicroασία της συνέπειας είναι προφανής

Ποιά αξία ϑα είχε ένα σύστηmicroα στο οποίο ϑα microπορούσαν να ισχύουν ταυτόχρονα ένα

συmicroπέρασmicroα και η άρνησή του

2 Να είναι ανεξάρτητο (independent) δηλαδή κανένα αξίωmicroα να microην προκύπτει

(αποδεικνύεται) από άλλα αξιώmicroατα Τέτοια αξιώmicroατα καλούνται επίσης ανεξάρτητα

3 Να είναι πλήρες (complete) δηλαδή για κάθε πρόταση που microπορεί να δια-

τυπωθεί microε τους όρους και τα αξιώmicroατα του συστήmicroατος ϑα πρέπει να microπορούmicroε να

αποφανθούmicroε για την ισχύ ή όχι της πρότασης Αυτό ισοδύναmicroα σηmicroαίνει ότι δεν

είναι δυνατόν να προσθέσουmicroε στο σύστηmicroα κι ένα άλλο ανεξάρτητο αξίωmicroα

Ο άmicroεσος έλεγχος των παραπάνω απαιτήσεων είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο αν ό-

χι αδύνατο Ιδιαιτέρως η δυνατότητα της πληρότητας τίθεται υπό αmicroφισβήτηση πλέον

microετά την απόδειξη [από τον Kurt Godel(1906ndash1978)] της microη πληρότητας της Αριθ-

microητικής αλλά και κάθε άλλου αξιωmicroατικού συστήmicroατος που περιέχει αποτελέσmicroατα

της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθmicroών

Για τον έλεγχο της συνέπειας και ανεξαρτησίας ενός συστήmicroατος καταφεύγουmicroε

στα (γεωmicroετρικά) microοντέλα Ακριβέστερα ένα microοντέλο για ένα (γεωmicroετρικό) αξιωmicroατι-

κό σύστηmicroα προκύπτει όταν στους απροσδιόριστους όρους του συστήmicroατος δώσουmicroε

20 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microια συγκεκριmicroένη ερmicroηνεία έτσι ώστε τα αξιώmicroατα να είναι τώρα αληθείς προτά-

σεις για τα αντικείmicroενα της ερmicroηνείας Τα microοντέλα microπορεί να αναφερονται είτε στον

ϕυσικό κόσmicroο είτε σε άλλα αξιωmicroατικά συστήmicroατα

Η ύπαρξη microοντέλου για ένα αξιωmicroατικό σύστηmicroα συνεπάγεται τη συνέπεια του

τελευταίου Αυτό είναι προφανές αρκεί να σκεφτούmicroε ότι η ασυνέπεια microεταξύ α-

ξιωmicroάτων ϑα οδηγούσε σε αντίφαση αληθών (στο microοντέλο) προτάσεων Οmicroοίως και

οποιαδήποτε αντίφαση αξιωmicroάτων microε ϑεωρήmicroατα ή αντίφαση microεταξύ ϑεωρηmicroάτων

Φυσικά αν microια πρόταση αληθεύει σε ένα microοντέλο δεν σηmicroαίνει ότι είναι και ϑεώρη-

microα του αντίστοιχου αξιωmicroατικού συστήmicroατος

Απ᾿ το άλλο microέρος η ανεξαρτησία ενός συστήmicroατος οδηγεί προφανώς στην ε-

πιλογή του ελαχίστου αριθmicroού αξιωmicroάτων που είναι απαραίτητα Βέβαια όσο πιο

λίγα είναι τα αξιώmicroατα τόσο δυσκολότερες είναι οι αποδειξεις (τουλάχιστον ενός αρ-

χικού αριθmicroού ϐασικών προτάσεων) και τόσο microεγαλύτερος είναι ο αριθmicroός των προς

απόδειξη προτάσεων

Μια συνήθης διαδικασία ελέγχου της ανεξαρτησίας ενός αξιωmicroατικού συστήmicroατος

(microέσω microοντέλων) είναι η εξής ΄Εστω ότι ϑέλουmicroε να ελέγξουmicroε την ανεξαρτησία του

αξιώmicroατος X στο αξιωmicroατικό σύστηmicroα S Θεωρούmicroε το αύστηmicroα Sprime που προκύπτει

από το S όταν στη ϑέση του X ϐάλουmicroε την άρνησή του και προσπαθούmicroε να

κατασκευάσουmicroε ένα microοντέλο Mprime για το Sprime Αν κατασκευάζεται ένα Mprime τότε το

X είναι ανεξάρτητο επειδή τα αξιώmicroατα του Sprime είναι αληθείς προτάσεις στο Mprime

Πράγmicroατι αν το X ήταν εξηρτηmicroένο ϑα ήταν ένα ϑεώρηmicroα που ϑα προέκυπτε από

τα υπόλοιπα αξιώmicroατα του S συνεπώς ϑα ήταν και microία αληθής πρόταση στο Mprime

πράγmicroα που δεν microπορεί να συmicroβεί αφού στο ίδιο το Mprime αληθεύει η άρνηση του X

Προφανώς microια τέτοια διαδικασία είναι επίπονη και ϑα πρέπει να κατασκευαστούν

τόσα microοντέλα όσος είναι ο αριθmicroός των αξιωmicroάτων του συστήmicroατος

Στη συνέχεια ϑα δούmicroε microερικά microοντέλα microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ενώ στο

Κεφάλαιο 2 ϑα δούmicroε microοντέλα του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία

Είπαmicroε πιο πάνω ότι οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες στις οποίες ανήκει η Υπερβολική

Γεωmicroετρία που ϑα εξετάσουmicroε microε συντοmicroία εδώ είναι δηmicroιούργηmicroα του 19ου αιώ-

να Προέκυψαν από τη συστηmicroατική microελέτη της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας ιδιαιτέρως

από τις προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώmicroατος του Ευκλείδη (αξίωmicroα των πα-

ϱαλλήλων) Επειδή πολλά συmicroπεράσmicroα τους ήσαν παράξενα σε σχέση microε αυτά της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας συνάντησαν την άρνηση Παρά το γεγονός ότι ο ϕιλόσοφος

I Kant είχε πεθάνει από το 1808 οι απόψεις του επί της γεωmicroετρίας εξακολουθού-

σαν να επηρεάζουν πολλούς εξού και η πολεmicroική τους κατά της νέας γεωmicroετρίας

που εmicroφανίστηκε σχεδόν microια εικοσαετία αργότερα

΄Οπως επίσης αναφέραmicroε στην Παράγραφο 13 το ερώτηmicroα της ανεξαρτησίας του

5ου αξιώmicroατος επιλύθηκε οριστικά το 1868 από τον E Beltrami οποίος κατεσκεύ-

ασε ένα microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ πιο κάτω τα περί ψευδόσφαιρας)

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 21

Η σχετική διαδικασία γίνεται όπως περιγράφεται στην προηγούmicroενη παράγραφο

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα Sprime της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας προκύπτει από το σύστηmicroα

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας S microε την αντίστοιχη άρνηση του 5ου αξιώmicroατος Για

το Sprime κατασκευάζεται ένα microοντέλο (ψευδόσφαιρα) στο οποίον αληθεύουν ως ϑεω-

ϱήmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα του Sprime εποmicroένως όπως εξηγήσαmicroε το 5ο αξίωmicroα είναι

ανεξάρτητο

Η κατανόηση των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών (ιδιαίτερα της Ελλειπτικής) ήταν

αρκετά δύσκολη microέχρι την ανακάλυψη microερικών απλών microοντέλων τα οποία ϑα περι-

γράψουmicroε στη συνέχεια

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι (ϐλ σελίδα 11) η Υπερβολική Γεωmicroετρία προκύπτει όταν στη

ϑέση του 5ου αξιώmicroατος δεχτούmicroε ότι ισχύει το

Υπερβολικό αξίωmicroα Από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται προς αυτήν δύο

ή περισσότερες παράλληλες

Εικονα 8 Janos Bolyai

ενώ διατηρούνται τα υπόλοιπα τέσσερα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Η

αλλαγή αυτή δεν επηρεάζει ολόκληρο το οικοδόmicroηmicroα της τελευταίας Πολλές προ-

τάσεις της εξακολουθούν να ισχύουν (εφ᾿ όσον δεν ϐασίζονται στο 5ο αξίωmicroα άρα

αποτελούν microέρος της Απόλυτης Γεωmicroετρίας) Τα περισσότερα όmicroως συmicroπεράσmicroατα

της Ευκλειδειας Γεωmicroετρίας ανατρέπονται και οδηγούν σε περίεργα (για την ανθρώ-

πινη εmicroπειρία) συmicroπεράσmicroατα όπως ότι laquoτο άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των δύο ορθώνraquo laquoδύο τρίγωνα microε ίσες γωνίες είναι ίσαraquo και πολλά άλλα

Θεωρούmicroε δηmicroιουργούς της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας τον Ούγγρο Janos W Bolshy

yai (1802ndash1860) και τον Ρώσο Nikolai I Lobachewsky (1793ndash1856) οι οποίοι δηmicroο-

σίευσαν τα αποτελέσmicroατά τους (ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον) το 1829 και 1832

22 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αντίστοιχα

Εικονα 9 Nikolai I Lobachewsky

Επίσης και ο microεγάλος microαθηmicroατικός K F Gauss (1775ndash1855) είχε ανακαλύψει

αυτή τη γεωmicroετρία πριν τις δηmicroοσιεύσεις των άλλων όπως microαρτυρούν διάφορες επι-

στολές του καθώς και τα ηmicroερολόγιά του που είδαν το ϕώς της δηmicroοσιότητας περί-

που σαράντα χρόνια microετά τον ϑάνατό του ΄Οmicroως ο Gauss δεν δηmicroοσίευσε τίποτε αφ᾿

ενός microεν ϕοβούmicroενος τις laquoϕωνές των Βοιωτώνraquo δηλαδή τις αντιδράσεις αυτών που δεν

ϑα microπορούσαν να κατανοήσουν τη νέα γεωmicroετρία αφ᾿ ετέρου δε λόγω της επιθυmicroίας

του οι εργασίες του να είναι άψογες από κάθε άποψη γι᾿ αυτό και οι δηmicroοσιεύσεις

του είναι λίγες σε σχέση microε την πληθώρα των αποτελεσmicroάτων που περιέγραφε στα

ηmicroερολόγιά του Για λεπτοmicroέρειες σχετικές microε τη Ϲωή και τις δραστηριότητες των

προηγουmicroένων παραπέmicroπουmicroε πχ στους [8] [11] [15] και [20]

Εδώ πρέπει να αναφέρουmicroε ότι ένας σηmicroαντικός αριθmicroός αποτελεσmicroάτων της Υ-

περβολικής Γεωmicroετρίας είχαν ανακαλυφθεί και από τον Ιταλό Gerolamo Saccheri

(1667ndash1773) σχεδόν εκατό χρόνια πριν την επίσηmicroη εmicroφάνισή της Αυτά προέκυ-

ψαν από την προσπάθειά του να αποδείξει ότι το 5ο αξίωmicroα του Ευκλείδη δεν ήταν

ανεξάρτητο Υποθέτοντας λοιπόν το αντίθετο κατέληξε (microέσω διαφόρων σκέψεων για

το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου που στο πλαίσιο της Απόλυτης Γεωmicroετρίας

δεν microπορεί να υπερβαίνει τις δύο ορθές) σε συmicroπεράσmicroατα ϱιζικά αντίθετα από αυτά

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Επειδή αυτό συνιστούσε κατά την άποψή του αντί-

ϕαση (αφού microέχρι τότε ήταν εδραιωmicroένη η πεποίθηση ότι η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ήταν η microόνη δυνατή) ϑα έπρεπε να δεχθεί την εξάρτηση του αξιώmicroατος και κατά

συνέπεια την ισχύ της Απόλυτης Γεωmicroετρίας Κατ᾿ αυτόν τον τρόπο ο Saccheri όχι

microόνον υπέπεσε σε λογικό λάθος αλλά έχασε και την ευκαιρία να ϑεωρηθεί ο πατέ-

ϱας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού τα συmicroπεράσmicroατά της στα οποία έφτασε τα

απέρριψε ως laquoαπεχθήraquo

Επίσης ο Γερmicroανός Μαθηmicroατικός Johann Lambert (1728ndash1777) είχε πλησιάσει

πολύ στην ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού διεπίστωσε ότι η άρνηση

του αξιώmicroατος των παραλλήλων οδηγεί σε τρίγωνα microε άθροισmicroα γωνιών διαφορετι-

κό από τις 180 καθώς και στην ανυπαρξία οmicroοίων τριγώνων Απέρριψε όmicroως τα

συmicroπεράσmicroατα αυτά ϑεωρώντας ότι οδηγούν σε αντιφάσεις Σχετικές λεπτοmicroέρειες

αναφέρονται στο [32]

Το πρώτο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί η ψευδόσφαιρα (pseudoshy

sphere) που πρότεινε ο E Beltrami το 1868 Πρόκειται για την επιφάνεια που απο-

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 23

τελείται από microία ή δύο χοάνες όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 12 ΄Οψεις της ψευδόσφαιρας (από το ϐιβλίο [11])

Η ψευδόσφαιρα παράγεται από την περιστροφή (εδώ) περί τον άξονα των x της

καmicroπύλης που καλείται έλκουσα (tractrix) και απεικονίζεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 13 Η έλκουσα (από το httpTractrix)

Πολύ περιγραφικά η έλκουσα παράγεται ως εξής Υποθέτουmicroε ότι στο σηmicroείο

(0 1) τοποθετείται ένα αντικείmicroενο ενώ στην αρχή των αξόνων στέκεται ένας πα-

ϱατηρητής που συνδέεται microε το αντικείmicroενο microε microία αλυσίδα microήκους 1 Καθώς ο

παρατηρητής κινείται στον άξονα των x κατά τη ϑετική ϕορά το αντικείmicroενο (κι-

νούmicroενο εκτός του άξονος των y) διαγράφει το δεξιό τmicroήmicroα της καmicroπύλη Ανάλογα

σχηmicroατίζεται και το αριστερό τmicroήmicroα Χαρακτηριστικό της έλκουσας είναι το ότι το

microήκος της εφαπτοmicroένης από το σηmicroείο επαφής microέχρι το σηmicroείο τοmicroής της microε τον

άξονα των x είναι σταθερά 1

24 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία των Επιφανειών αποδεικνύεται ότι η ψευδόσφαιρα έχει

σταθερή αρνητική καmicroπυλότητα Gauss αντίθετα από τη συνήθη σφαίρα του τριδιά-

στατου χώρου που έχει σταθερή ϑετική καmicroπυλότητα (για την έννοια της καmicroπυλό-

τητας παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις microας [7])

Στην περίπτωση αυτού του microοντέλου ϑεωρούmicroε ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας τα σηmicroεία της επιφάνειας της ψευδόσφαιρας ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε τις

λεγόmicroενες γεωδαισιακές γραmicromicroές της ίδιας επιφάνειας Οι τελευταίες είναι το ανά-

λογο των ευθειών του (Ευκλειδείου) επιπέδου για microια επιφάνεια Ακριβέστερα microία

γεωδαισιακή είναι η καmicroπύλη η οποία έχει το microικρότερο microήκος από όλες τις καmicro-

πύλες που συνδέουν δύο σηmicroεία συνεπώς microετρά την απόσταση microεταξύ σηmicroείων της

επιφάνειας Οι γεωδαισιακές της ψευδόσφαιρας είναι καmicroπύλες όπως η ℓ και οι δύο

καmicroπύλες που περνούν από το P (ϐλ το δεύτερο σχήmicroα) Στο ίδιο σχήmicroα ϕαίνεται

ότι από το σηmicroείο P που ϐρίσκεται εκτός της ℓ διέρχονται περισσότερες της microιας

ευθείες που δεν τέmicroνουν την ℓ

΄Οmicroως το microοντέλο αυτό δεν είναι ένα πλήρες microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας

microε την έννοια οτι δεν ισχύουν όλα τα αξιώmicroατα της Πράγmicroατι δεν ίσχύει το αξίωmicroα

2 καθ᾿ όσον microια γεωδαισιακή όπως η ℓ δεν microπορεί να επεκταθεί laquoοmicroαλάraquo πάνω από

τα σηmicroεία επαφής των δύο χοανών Με τον όρο οmicroαλά εννοούmicroε ότι η καmicroπύλη έχει

εφαπτόmicroενες σε όλα τα σηmicroεία της πράγmicroα που δεν συmicroβαίνει στα σηmicroεία επαφής των

χοανών Στα ίδια σηmicroεία η επιφάνεια δεν διαθέτει εφαπτόmicroενα επίπεδα (ϐλ και [7])

Επίσης πρέπει να τονιστεί ότι κύκλοι όπως ο C του σχήmicroατος δεν είναι γεωδαισιακές

όπως microπορεί να ϕανεί εκ πρώτης όψεως

Εποmicroένως η ψευδόσφαιρα δεν αποδεικνύει τη συνέπεια της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας Αργότερα ο Hilbert απέδειξε ότι οι επιφάνειες αρνητικής καmicroπυλότητας δεν

microπορούν να δηmicroιουργήσουν microοντέλα της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Σε κάθε περίπτω-

ση όmicroως το microοντέλο του Beltrami ϐοήθησε τη διάδοση της γεωmicroετρίας αυτής και την

αναζήτηση ακριβέστερων microοντέλων

Σχηmicroα 14 Ο δίσκος των KleinshyBeltrami (από το ϐιβλίο [5])

Τα πράγmicroατα έγιναν απλούστερα microε τον δίσκο των KleinshyBeltrami που εmicroφα-

νίζεται στο προηγούmicroενο σχήmicroα Πρόκειται για το πρώτο πραγmicroατικό microοντέλο της

Υπερβολικής Γεωmicroετρίας που πρότειναν οι δύο αναφερόmicroενοι microαθηmicroατικοί (ανεξάρ-

τητα ο ένας από τον άλλον) το 1871

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

Εδώ ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερι-

κού του δίσκου και ως ευθείες τις (ανοιχτές) χορδές δηλαδή τις χορδές χωρίς τα

επί της περιφερείας άκρα τους Προφανώς από το σηmicroείο P του σχήmicroατος άγονται

άπειρες παράλληλες προς τη χορδή AB (χωρίς τα σηmicroεία A B) Το microοντέλο αυτό

χρησιmicroοποιείται επίσης για να αποδειχθεί ότι η Υπερβολική Γεωmicroετρία είναι υποσύ-

στηmicroα (Υπογεωmicroετρία) της Προβολικής Γεωmicroετρίας για την οποίαν γίνεται λόγος στο

επόmicroενο κεφάλαιο

Για την επαλήθευση του δευτέρου αξιώmicroατοςεισάγεται ένας κατάλληλος τύπος για

το microήκος ευθείας ϐάσει του οποίου αποδεικνύεται ότι καθώς προχωρούmicroε προς τα

άκρα microιας χορδής το microήκος της απειρίζεται Οmicroοίως ορίζονται microε κατάλληλο τρόπο

και οι γωνίες (οπότε αποδεικνύεται ότι το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των 180o)

΄Ενα άλλο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί ο δίσκος του Poincare

Σχηmicroα 15 Ο δίσκος του Poincare (από το ϐιβλίο [11])

Στην περίπτωση αυτή ως σηmicroεία ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερικού του δίσκου

(όπως και στην προηγούmicroενη περίπτωση) ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε του κύκλους

που είναι κάθετοι στον κύκλο του δίσκου καθώς και τις διαmicroέτρους του πρώτου ∆υο

κύκλοι λέγονται κάθετοι αν έχουν κάθετες εφαπτόmicroενες στα σηmicroεία τοmicroής τους Η

αξία του microοντέλου αυτού είναι ιστορικά σηmicroαντική γιατί χρησιmicroοποιήθηκε για την

απόδειξη της συνέπειας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Για microια λεπτοmicroερή παρουσία-

ση του microοντέλου του Poincare και τη επαλήθευση των αξιωmicroάτων της Υπερβολικής

Γεωmicroετρίας σ᾿ αυτό παραπέmicroπουmicroε στο [11 σελ 164ndash170]

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία είναι πιο πολύπλοκη στη ϑεmicroελίωσή της και οφείλεται στον

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως αναφέρεται στη σελιδα

11 το είδος αυτής της γεωmicroετρίας προκύπτει όταν αρνούmicroαστε καθ᾿ ολοκληρίαν

την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών ΄Οmicroως αν κρατήσουmicroε τα αξιώmicroατα 1 2 3 4 της

26 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 9 Bernhard Riemann

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και αντικαταστήσουmicroε απλώς το 5ο αξίωmicroα της microε το

Ελλειπτικό αξίωmicroα ∆ύο ευθείες (γραmicromicromicroές) τέmicroνονται πάντοτε

τότε microέσω του 2ου αξιώmicroατος και microερικών προτάσεων που συνάγονται απ᾿ αυτό

καταλήγουmicroε στην απόδειξη της ύπαρξης παραλλήλων Εποmicroένως για να ϑεmicroελιωθεί

microία γεωmicroετρία χωρίς παράλληλες ϑα πρέπει να διατηρηθούν τα αξιώmicroατα 1 3 4 της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας να αντικατασταθεί το 5ο αξίωmicroα microε το ελλειπτικό αξίωmicroα

και να αντικατασταθεί το 2ο αξίωmicroα microε το

Αξίωmicroα 2prime ΄Ενα πεπερασmicroένο ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microπορεί να επεκταθεί σε

ευθεία Η ευθεία αυτή microπορεί να είναι χωρίς όρια όχι όmicroως απαραιτήτως

και απείρου microήκους

Αλλά και micro᾿ αυτήν την αλλαγή microετά από αρκετά ϐήmicroατα διαπιστώνεται και πάλι

ότι υπάρχουν παράλληλες ΄Οπως δείχνει η προσεκτική έρευνα του πράγmicroατος για

την επίτευξη του σκοπού microας ϑα πρέπει να καταργήσουmicroε τη microία από τις δύο επόmicroε-

νες προτάσεις S1 και S2 αφού η ταυτόχρονη ισχύς τους microοιραία οδηγεί στην ύπαρξη

παραλλήλων

S1 Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

S2 ∆ύο (διαφορετικά) σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία

΄Ετσι

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S1 microε ταυ-

τόχρονη διατήρηση της S2 οδηγούν στην απλή ελλειπτική γεωmicroετρία

ενώ

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S2lowast microε

ταυτόχρονη διατήρηση της S1 οδηγούν στην διπλή ελλειπτική γεωmicroε-

τρία

Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουmicroε microια γεωmicroετρία εντελώς διαφορετική από την

Ευκλείδεια στην οποίαν δεν ισχύει κανένα από τα συmicroπεράσmicroατα της τελευταίας (σε

αντίθεση microε την Υπερβολική Γεωmicroετρία που διασώζει microερικά από αυτά)

lowast δηλαδή η άρνηση της microοναδικότητας αφού ορίζεται ευθεία κατά το αξίωmicroα 1

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 27

Η ακριβής διατύπωση ενός συνεπούς συστήmicroατος αξιωmicroάτων της Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας είναι πιο πολύπλοκη από την παράπανω (για χάρη της απλούστευσης)

ϐασική περιγραφή Για την πληρότητα περιγράφουmicroε δύο microοντέλα Το πρώτο (Σχήmicroα

16) αναφέρεται στην απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Σχηmicroα 16 Μοντέλο απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Ως σηmicroεία της απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας παίρνουmicroε όλα τα σηmicroεία της επιφά-

νειας ενός ηmicroισφαιρίου (στον Ευκλειδειο χώρο R3) εφ᾿ οσον αυτά δεν ϐρίσκονται επί

της γραmicromicroής του ισηmicroερινού καθώς και όλα τα Ϲεύγη αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του

ισηmicroερινού ∆ηλαδή ένα Ϲεύγος αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του ισηmicroερινού ϑεωρεί-

ται ένα σηmicroείο της γεωmicroετρίας αυτής Ως ευθείες ϑεωρούmicroε τους microισούς microέγιστους

κύκλους και τον ισηmicroερινό Το microήκος είναι το microήκος microε την Ευκλείδεια έννοια

λαmicroβάνοντας όmicroως υπόψη τις προηγούmicroενες απαιτήσεις Τέλος ως microέτρον γωνίας

παίρνουmicroε αυτό της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Αντίθετα στο microοντέλο της διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας που απεικονίζεται

στο Σχήmicroα 17 ϑεωρούmicroε όλα τα σηmicroεία ολόκληρης της σφαιρικής επιφάνειας και

(όλους) τους ολόκληρους microέγιστους κύκλους Να σηmicroειωθεί ότι οι microέγιστοι κύκλου

της σφαίρας αποτελούν τις γεωδαισιακές της (ϐλ σχετικώς τα αναφερόmicroενα στην

ψευδόσφαιρα) συνεπώς υλοποιούν την απόσταση microεταξύ δύο σηmicroείων

Σχηmicroα 17 Μοντέλο διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Μέσω των προηγουmicroένων microοντέλων microπορούmicroε να διαπιστώσουmicroε εύκολα microερικές

28 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ιδιότητες της αντίστοιχης Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας Για παράδειγmicroα έχουmicroε

Απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία ∆ιπλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

bull Μία ευθεία δεν χωρίζει το επίπεδο bull Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται microία microοναδική ευθεία

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται τουλάχιστον microία ευθεία

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε ένα σηmicroείο

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε δύο σηmicroεία

bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

Τα δύο τελευταία microοντέλα επειδή ανήκουν στη Σφαιρική Γεωmicroετρία microας κάνουν

πολλές ϕορές να χρησιmicroοποιούmicroε τον τελευταίο όρο στη ϑέση της Ελλειπτικής Γεω-

microετρίας Πολλές ιδιότητες των τριγώνων της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ήσαν γνωστές και

πριν την ανάπτυξη της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας και είχαν χρησιmicroοποιηθεί στην κατα-

σκευή (γεωγραφικών) χαρτών ΄Οmicroως η ερmicroηνεία της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ως ενός

διδιάστατου ελλειπτικού χώρου έγινε από τον Riemann στην περίφηmicroη επί Υφηγεσίᾳ

διάλεξή του (στο Πανεπιστήmicroιο του Gttingen το 1854) microε τίτλο Uber die Hypothesen

welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται

στα ϑεmicroέλια της γεωmicroετρίας)

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα microοντέλων της Υπερβολικής και Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας γίνεται τώρα εντελώς κατανοητή η συνηγορεία του Poincare (σελ 18)

που microε τόση ϑέρmicroη υποστηρίζει την άποψη του Hilbert ότι απροσδιόριστοι όροι

σηmicroείο και ευθεία microπορούν να έχουν οποιαδήποτε ερmicroηνεία (συγκρίνατε πχ τα

σηmicroεία της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας microε τα σηmicroεία της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας τις

ευθείες τις πρώτης microε τις ευθείες του δίσκου του Poincare ή τους microέγιστους κύκλους

της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας κλπ)

Κλείνοντας τα περί microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ϑα πρέπει να προσθέσουmicroε ότι οι

πιο ϱιζοσπαστικές αντιλήψεις για τη Γεωmicroετρία και την έννοια του χώρου ϐρίσκονται

στην προαναφερόmicroενη διάλεξη επί Υφηγεσίᾳ του Riemann ο οποίος ϕαντάστηκε ένα

χώρο καmicroπυλωmicroένο microε αυθαίρετη διάσταση ο οποίος microόνον τοπικά (δηλ στην πε-

ϱιοχή του κάθε σηmicroείου του) είναι ευκλείδειος ΄Ετσι ο Riemann συνέλαβε την έννοια

της Πολλαπλότητας (manifold) η οποία είχε τεράστια σηmicroασία για τη σύγχρονη ε-

ξέλιξη των microαθηmicroατικών και της ϕυσικής Η Θεωρία της Σχετικότητας του Albert

Einstein (1878ndash1955) ϐρήκε στη γεωmicroετρία του Riemann το αναγκαίο microαθηmicroατικό

υπόβαθρο για τη διατύπωση και την παραπέρα microελέτη της Στη ϑεωρία αυτή microέσω

της ταύτισης της καmicroπυλότητας (που είναι ιδιότητα και microέγεθος γεωmicroετρικό) microε τη

ϐαρύτητα (που είναι εκδήλωση της ύλης και microέγεθος ϕυσικό) καταλήγουmicroε σε microία

γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου Περισσοτερα ϑα αναπτυχθούν στην sect 43

18 Ασκήσεις 29

΄Οπως είναι ϕυσικό η προηγουmicroένη σύντοmicroη περιήγηση σε microερικές από τις ιδέ-

ες της γεωmicroετρίας δεν microπορεί να εξαντλήσει τις πολυάριθmicroες λεπτοmicroέρειες από τις

συναρπαστικές κατακτήσεις που πραγmicroατοποιήθηκαν στη microακραίωνη πορεία της

Συmicroπληρωmicroατικά ο αναγνώστης microπορεί να συmicroβουλευτεί ανάmicroεσα σε microια πλού-

σια ϐιβλιογραφία και τις εξής πηγές J N Cederberg [10] R L Faber [15] Χ

Στράντζαλος [41] (για την αξιωmicroατική microέθοδο και τη ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας και

microη Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας) M Spivak [38] [για microια microετάφραση στα Αγγλικά της

διάλεξης του Riemann ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια της

γεωmicroετρίας) στην οποίαν περιέχονται οι αντιλήψεις του τελευταίου για τον χώρο και

τη γεωmicroετρία] H Poincare [36] (για ποικίλλες σκέψεις του γύρω από τη γεωmicroετρία

τα microαθηmicroατικά και τη ϕυσική) Επίσης για διάφορα ιστορικά στοιχεία σχετικά microε

την εξέλιξη της γεωmicroετρίας τη Ϲωή και το έργο διαφόρων microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε και στους E T Bell [8] S Hollingdale [19] L Mlodinov [26] Μ Μπρίκα

[28] R Osserman [32] J Pierpont [35] D J Struik [42] και I M Yaglom [45]

Σηmicroείωση Για τη συγγραφή του κεφαλαίου αυτού χρησιmicroοποιήθηκαν κυρίως οι πη-

γές [8] [10] [11] [32] και [39] όπου παραπέmicroπουmicroε για περισσότερες λεπτοmicroέρειες

και συmicroπληρώσεις

18 Ασκήσεις

1 Να microελετηθεί η προσέγγιση του Saccheri (ϐλ [11 σελ 104ndash107])

2 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της επαλήθευσης των αξιωmicroάτων της Υπερβολική

Γεωmicroετρίας στο microοντέλο του Poincare (ϐλ [11 σελ 164ndash170])

3 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας (ϐλ [11 σελ 138ndash139

και 143ndash162])

4 Να αναζητηθεί η ιστορία της έλκουσας (σελ 23) και η παραmicroετρική microορφή της

5 Να αποδειχθεί ισχυρισmicroός της σελ 16 ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz congruence)

που ορίζεται από τα αξιώmicroατα της οmicroάδας ΙΙΙ του Hilbert είναι σχέση ισοδυναmicroίας

6 Να περιγραφεί ένα (αριθmicroητικό) microοντέλο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2

Συσχετισmicroένα και

προβολικά επίπεδα

Η αιφνιδία άνοδος της συνθετικής Προβολικής Γεωmicroετρί-

ας κατά τον 17ο αιώνα εmicroφανίζεται τώϱα σαν microία καθυστε-

ϱηmicroένη αναβίωση του ελληνικού πνεύmicroατος ΄Οmicroως ή-

ταν microόνον microε το εκκεντρικό laquoΠρόχειρο Σχέδιοraquo (συντετmicroη-

microένος τίτλος) του Desargues στα 1639 που η συνθετική

Προβολική Γεωmicroετρία αναπτύχθηκε σε νέο και ανεξάρτη-

το κλάδο της γεωmicroετρίας

E T Bell [8 σελ 158]

Μετα απο microια συντοmicroη εισαγωγή στη δηmicroιουργία της Προβολικής Γεωmicroετρίας

στις sectsect21ndash22 του κεφαλαίου παρουσιάζεται η κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου αντιστοίχως Επισηmicroαίνονται

οι ϐασικές διαφορές τους και συνάγονται τα πρώτα απαραίτητα για την συνέχεια

συmicroπεράσmicroατα

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

31

32 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Η sect23 αναφέρεται στην αρχή του δυϊσmicroού Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν για κάθε συmicroπέρα-

σmicroα που ισχύει στο προβολικό επίπεδο ισχύει και το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

να γίνει η απόδειξη του τελευταίου

Οι στοιχειώδεις απεικονίσεις (sect24) είναι αmicroφιmicroονοσήmicroαντες απεικονίσεις microεταξύ

απλών σχηmicroατισmicroών (όπως σηmicroειοσειρών δεσmicroών ευθειών) και επιτρέπουν τη σύγ-

κριση του πλήθους των στοιχείων των προηγουmicroένων σχηmicroατισmicroών

Στην sect25 συνδέονται τα συσχετισmicroένα microε τα προβολικά επίπεδα Από ένα συ-

σχετισmicroένο επίπεδο microε την προσθήκη των ιδεατών (ή κατ᾿ εκδοχήν) σηmicroείων και της

ιδεατής ευθείας οδηγούmicroαστε σε ένα προβολικό επίπεδο Αντιστρόφως η αφαίρεση

microιας ευθείας του προβολικού επιπέδου οδηγεί σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

Τέλος η sect26 αφιερώνεται στην έννοια του microορφισmicroού microεταξύ προβολικών επιπέ-

δων ΄Ενας microορφισmicroός αποτελείται από ένα Ϲεύγος απεικονίσεων που αντανακλούν

microε κατάλληλο τρόπο τη δοmicroή του προβολικού επιπέδου

20 Εισαγωγή

Η Προβολική Γεωmicroετρία είναι microία microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία αφού σ᾿ αυτήν δεχόmicroα-

στε ότι δεν ορίζεται η έννοια της παραλληλίας

΄Οπως και η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία έτσι και η Προβολική προέκυψε από microιαν

ανάγκη Ανάγκη όχι πρακτική αλλά αισθητική Πρόκειται για την προσπάθεια να

αποτυπωθούν τα αντικείmicroενα του τριδιάστατου χώρου στο διδιάστατο Ϲωγραφικό πί-

νακα microε τρόπο που να δηmicroιουργείται η αίσθηση του ϐάθους (προοπτική)

Παρ᾿ όλο που η επίλυση του προηγουmicroένου αισθητικού προβλήmicroατος είχε απα-

σχολήσει τους αρχαίους ΄Ελληνες Ϲωγράφους και αργότερα τους Βυζαντινούς ϑα

λέγαmicroε ότι οι κανόνες της προοπτικής συστηmicroατοποιήθηκαν κυρίως στην περίοδο

της Αναγέννησης από καλλιτέχνες όπως οι Filippo Brunelleschi (1377ndash1446) Paolo

Uccello (1379ndash1475) Leone Battista Alberti (1404ndash1472) Pierro de la Francesca

(1416ndash1492) Sandro Botticelli (1445ndash1510) Leonardo da Vinci (1452ndash1519) Alshy

brecht Durer (1471ndash1528) Michelangelo Buonarroti (1475ndash1564) Raffaello Santi

Sanzio (1483ndash1520) κα Αξίζει σχετικώς να αναφέρουmicroε ότι πολλοί από τους microε-

γάλους Ϲωγράφους και γλύπτες της περιόδου αυτής είχαν σοβαρές γνώσεις microαθηmicroα-

τικών και microηχανικής για τούτο και οι κανόνες της προοπτικής είχαν microαθηmicroατικό

υπόβαθρο και απετέλεσαν τη ϐάση για τη microεταγενέστερη ανάπτυξη της Προβολικής

Γεωmicroετρίας σε αυτοτελή κλάδο των microαθηmicroατικών

Ας δούmicroε microε συντοmicroία τη διαδικασία αποτύπωσης των εικόνων στο Ϲωγραφικό

πίνακα Για ευκολία υποθέτουmicroε ότι ο τελευταίος [που συmicroβολίζεται microε (Π ) στο

επόmicroενο σχήmicroα] είναι διαφανής (γυάλινος) και κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο (E)επάνω στο οποίο στέκεται ο Ϲωγράφος Η εικόνα ενός σηmicroείου P του επιπέδου (E)είναι το σηmicroείο P prime τοmicroή της οπτικής ακτίνας OP (αν O συmicroβολίζει τον οφθαλmicroό του

Ϲωγράφου) microε το επίπεδο του πίνακα (Π ) Παρόmicroοια προσδιορίζεται στον πίνακα και

20 Εισαγωγή 33

η εικόνα Rprime οποιουδήποτε σηmicroείου R του χώρου

Σχηmicroα 21

Εξάλλου από την εmicroπειρία microας γνωρίζουmicroε ότι καθώς τα σηmicroεία P του χώρου

ή του επιπέδου (E) αποmicroακρύνονται από το επίπεδο (Π ) οι αντίστοιχες εικόνες P prime

πλησιάζουν προς την ευθεία AB (ϐλ Σχήmicroα 22) που είναι η τοmicroή του (Π ) microε ένα

νοητό επίπεδο το οποίο διέρχεται από το O και είναι παράλληλο προς το επίπεδο

(E) Η ευθεία AB αποτυπώνει στον πίνακα του Ϲωγράφου τον οπτικό ορίζοντα τα

σηmicroεία του οποίου ϕαίνονται να ϐρίσκονται σε laquoάπειρηraquo απόσταση από τον Ϲωγράφο

(laquoεπ᾿ άπειρονraquo σηmicroεία)

Σχηmicroα 22

Παρόmicroοια δύο ευθείες α και [του (E) ή του χώρου] οι οποίες είναι παράλληλες

34 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

microεταξύ τους αποτυπώνονται στον πίνακα σε δύο ευθείες αprime και prime τεmicroνόmicroενες σε ένα

σηmicroείο της γραmicromicroής του ορίζοντα AB (ϐλτο επόmicroενο σχήmicroα)

Σχηmicroα 23

Εποmicroένως στο Ϲωγραφικό πίνακα εmicroφανίζεται ένα άλλο είδος γεωmicroετρίας στο

οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες (εκτός από αυτές που απεικονίζουν τις

ευθείες τις παράλληλες προς την CD άρα και την AB αλλά κι αυτές ϑεωρούmicroε ότι

τέmicroνονται στο άπειρο πραγmicroα που ϕαινοmicroενικά ϑα συmicroβεί αν κάνουmicroε microια microικρή

στροφή του πίνακα)

Επίσης όπως ϕαίνεται πάλι στο Σχήmicroα 23 ανατρέπονται και οι microετρικές ιδιό-

τητες της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας η απόσταση των παραλλήλων α και ϕυσικά

δεν διατηρείται στις τεmicroνόmicroενες πλέον εικόνες αprime και prime ΄Οσο προχωρούmicroε προς τη

γραmicromicroή του ορίζοντα η απόσταση αυτή microικραίνει για να microηδενιστεί επί της AB

Στην επόmicroενη σελίδα εmicroφανίζονται δύο Ϲωγραφικοί πίνακες Ο πρώτος του Gioshy

vanni Antonio Canal γνωστού και ως Canaletto (1697ndash1768) απεικονίζει το κανάλι

της Βενετίας Είναι ένα τυπικό παράδειγmicroα Ϲωγραφικού πίνακα στον οποίον ακολου-

ϑούνται οι κανόνες της προοπτικής Το ύψος των κτιρίων microειώνεται καθώς η microατιά

κινείται προς τη γραmicromicroή του ορίζοντα ενώ οι πλευρές του καναλιού πλησιάζουν

΄Ετσι δηmicroιουργείται η εντύπωση του ϐάθους και η αίσθηση ότι έχουmicroε να κάνουmicroε

microε ένα τριδιάστατο αντικείmicroενο

Στο δεύτερο πίνακα που οφείλεται στον Andrea Mantegna (1431ndash1506) απει-

κονίζεται ο νεκρός Χριστός Εδώ ο Ϲωγράφος για να προσδώσει microεγαλύτερη δραmicroατι-

κότητα καταργεί (ή αντιστρέφει) την προοπτικότητα ΄Ετσι αντίθετα από τον συνήθη

κανόνα της προοπτικής τα microεγέθη αυξάνουν καθώς κινούmicroεθα προς την κεφαλή

του Ιησού όπου και εστιάζεται ο Θείος πόνος και οι γραmicromicroές συγκλινουν προς τον

ϑεατή

20 Εισαγωγή 35

Εικονα 10 Canaetto Το κανάλι της Βενετίας

Εικονα 11 Mantegna Ο Θρήνος του Χριστού

36 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

΄Ενα άλλο παράδειγmicroα κατασκευής προοπτικών σχηmicroάτων microας παρέχουν οι κω-

νικές τοmicroές που microελετήθηκαν από τον microεγάλο γεωmicroέτρη Απολλώνιο (ϐλ σχετικά

σχόλια και στη σελ 12)

Εικονα 12 Απολλώνιος

Αν στην κορυφή O ενός κώνου ϐρίσκεται ο οφθαλmicroός του Ϲωγράφου ο κύκλος της ϐά-

σης ϑα αποτυπώνεται στον πίνακα (Π ) σαν κύκλος έλλειψη παραβολή ή υπερβολή

ανάλογα microε την κλίση του (Π ) ως προς το επίπεδο της ϐάσης (E) Κι εδώ διαπιστώ-

νεται η microη διατήρησης των αποστάσεων κατά τη διαδικασία της προβολής [δηλαδή

κατά τη διαδικασία της αποτύπωσης της εικόνας των σηmicroείων του κύκλου επί του

(Π )] Στο Σχήmicroα 24 απεικονίζεται για παράδειγmicroα η περίπτωση της έλλειψης

Σχηmicroα 24

Στην sect25 ϑα δούmicroε microε αυστηρό τρόπο πώς από το σύνηθες επίπεδο της Ευκλεί-

δειας Γεωmicroετρίας microε την επισύναψη των laquoεπ᾿ άπειρονraquo (ή laquoκατ᾿ εκδοχήνraquo) σηmicroείων

αναγόmicroαστε στο επίπεδο της Προβολικής Γεωmicroετρίας δηλαδή στο επίπεδο που microα-

ϑηmicroατικοποιεί το Ϲωγραφικό πίνακα

Η πλήρης microαθηmicroατικοποίηση των κανόνων της προοπτικής έγινε microόλις τον 17ο

αιώνα Μετά την κυριαρχία της Ανάλυσης κατά τον 18ο αιώνα άρχισε η αναγέννηση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

της γεωmicroετρίας microέσα στην οποίαν πρωτεύουσα ϑέση κατέχει η Προβολική Γεωmicroε-

τρία Η συστηmicroατική ανάπτυξή της είναι ένα από τα πιο σηmicroαντικά microαθηmicroατικά

επιτεύγmicroατα του 19ου αιώνα

Μετά τις πρόδροmicroες εργασίες των Girard Desargues (1591ndash1661) Blaise Pascal

(1623ndash1662) Philippe de la Hire (1640 ndash1718) κα αποφασιστική για την εξέλιξη

της Προβολικής Γεωmicroετρίας ήταν η συmicroβολή των Gaspar Monge (1746ndash1818) Jeanshy

Victor Poncelet (1788ndash1867) Charles Brianchon (1785ndash1864) August Ferdinand

Mobius (1790ndash1868) Jacob Steiner (1796ndash1863) Julius Plucker (1801ndash1868) και

Karl Georg Christian von Staudt (1798ndash1867)

Εικονα 13 G Monge JV Poncelet J Steiner

Στην πορεία περίπου δύο αιώνων κυριάρχησαν δύο ϐασικές απόψεις η συνθετική

και η αναλυτική Η πρώτη ϐασίζεται σε καθαρά γεωmicroετρικές microεθόδους microε σηmicroείον

εκκίνησης τα αξιώmicroατα Η δεύτερη στηρίζεται κυρίως σε αλγεβρικές microεθόδους Μετα-

ξύ των εκπροσώπων των δύο microεθοδολογικών απόψεων σηmicroειώθηκαν πολλές ϕοϱές

σηmicroαντικές αντιδικίες για το κατά πόσον η microία υπερτερεί της άλλης ή κατά πόσον η

γεωmicroετρία ϑα πρέπει να είναι απαλλαγmicroένη από την άλγεβρα

Σε microεταγενέστερη περίοδο ϑεmicroελιώδης υπήρξεν η ιδέα να χαρακτηριστεί microία Γεω-

microετρία από την αντίστοιχη οmicroάδα των microετασχηmicroατισmicroών που διατηρούν αναλλοίωτες

της ϐασικές ιδιότητές της Η συmicroβολή των Sophus Lie (1842ndash1899) Henrie Poishy

ncare (1854ndash1912) και ιδιαιτέρως του Christian Felix Klein (1849ndash1925) κατέχει

πρωτεύουσα ϑέση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο

Στην παράγραφο αυτή έχοντας ως laquoυπόδειγmicroαraquo τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ορίζουmicroε microέσω τριών ϐασικών αξιωmicroάτων το λεγόmicroενο συσχετισmicroένο επίπεδο

Με τη συmicroπλήρωση των αξιωmicroάτων του συσχετισmicroένου επιπέδου έτσι ώστε να εί-

ναι δυνατή η σύγκριση η διάταξη και η microέτρηση οδηγούmicroαστε στη ϑεmicroελίωση ενός

επιπέδου του οποίου παράδειγmicroα είναι το (σύνηθες) επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ΄Οmicroως δεν ϑα προχωρήσουmicroε προς την κατεύθυνση αυτή αφού κύριος στόχος

38 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

του κεφαλαίου είναι το προβολικό επίπεδο Η σύντοmicroη microελέτη του συσχετισmicroένου ε-

πίπεδου γίνεται προκειmicroένου να αποσαφηνιστούν οι ϐασικές διαφορές ανάmicroεσα στην

(προ)Ευκλείδεια και την Προβολική Γεωmicroετρία

Ακολουθώντας τις ιδέες του D Hilbert [18] ϑεωρούmicroε

bull Ενα σύνολο P empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε σηmicroεία (points) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε κεφαλαία γράmicromicroατα

A B C P Q Γ∆ X Y

bull Ενα σύνολο L empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε ευθείες (lines) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε microικρά γράmicromicroατα

a b c k ℓ α x y

bull Μία σχέση I microεταξύ των P και L δηλαδή I sub P times L την οποίαν καλούmicroε

σχέση σύmicroπτωσης ή απλώς σύmicroπτωση (incidence)

Από τα προηγούmicroενα προκύπτει ότι τα σηmicroεία και οι ευθείες είναι έννοιες που δεν

ορίζονται Απλώς αποτελούν την αυθαίρετη ονοmicroασία των στοιχείων δύο αντιστοίχων

συνόλων

΄Οπως στη στοιχειώδη γεωmicroετρία τα σηmicroεία και οι ευθείες διαφέρουν κατά τη

ϕύση τους Αυτό το εκφράζουmicroε αυστηρά microε τη σχέση

P cap L = empty

Η σχέση της σύmicroπτωσης microας επιτρέπει για ένα Ϲεύγος (P k) isin P times L να απο-

ϕανθούmicroε ότι (P k) isin I ή (P k) lt I

Ο συmicroβολισmicroός

(P k) isin Iαποδίδεται λεκτικά microε τις (ισοδύναmicroες) εκφράσεις

mdash το σηmicroείο P ανήκει (ή περιέχεται) στην ευθεία k

mdash το P είναι σηmicroείο της k

mdash η ευθεία k διέρχεται από το P

Οι εκφράσεις αυτές προέρχονται από την αντίστοιχη σύmicroπτωση σηmicroείου και ευθείας

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και ανταποκρίνονται στη συνήθη εmicroπειρία Φυσικά οι

προηγούmicroενες εκφράσεις ϑα αποδίδονταν καλλίτερα microε τον συmicroβολισmicroό P isin k Αυτό

όmicroως ϑα σήmicroαινε ότι microία ευθεία είναι σύνολο σηmicroείων (σηmicroειοσειρά) γεγονός που δεν

προκύπτει από τους πιο πάνω αφηρηmicroένους ορισmicroούς της ευθείας και του σηmicroείου

Κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται microέσω κατάλληλης ισοmicroορφίας όπως ϑα δείξουmicroε πολύ

αργότερα (ϐλ Θεώρηmicroα 268 για την περίπτωση του προβολικού επιπέδου που

microας ενδιαφέρει εδώ)

Θα χρειαστούmicroε ακόmicroη και την ορολογία του επόmicroενου ορισmicroού

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 39

211 Ορισmicroός Υποθέτουmicroε ότι (PLI) είναι microία τριάδα όπως προηγουmicroένως Τρία

ή και περισσότερα σηmicroεία Pi isin P λέγονται συγγραmicromicroικά (collinear) αν υπάρχει

ευθεία k isin L τέτοια ώστε

(Pi k) isin I i = 1 2 3

Αναλόγως τρείς ή περισσότερες ευθείες ki isin L διέρχονται από το (ή τέmicroνονται ή

συγκλίνουν στο) ίδιο σηmicroείο (concurrent lines) αν υπάρχει P isin P τέτοιο ώστε

(P ki) isin I i = 1 2 3

Τέλος δύο ευθείες k ℓ isin L λέγονται παράλληλες (parallel) οπότε συmicroβολικά γρά-

ϕουmicroε ότι kℓ αν συmicroβαίνει ένα από τα επόmicroενα

mdash είτε k = ℓ

mdash είτε k ℓ και δεν υπάρχει P isin P (P k) isin I ni (P ℓ)

212 Ορισmicroός ΄Ενα συσχετισmicroένο επίπεδο (affine plane) είναι microια τριάδα της

microορφής (PLI) η οποία ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΣΕ 1) Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται ακριβώς microία ευθεία (ή δύο διαφορετικά

σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία) Συmicroβολικά το αξίωmicroα διατυπώνεται και microε τη

microορφή

[ forall (P Q) isin P times P P Q ] rArr [ exist k isin L (P k) isin I ni (Q k) ]

(ΣΕ 2) (Ευκλείδειον αίτηmicroα) Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας διέρχεται microία microοναδική

ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα Συmicroβολικά

[ forall (P k) isin P times L (P k) lt I ] rArr [ exist ℓ isin L (P ℓ) isin I kℓ ]

(ΣΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σηmicroεία τα οποία είναι διαφορετικά microεταξύ τους και

microη συγγραmicromicroικά

Το αξίωmicroα (ΣΕ 2) όπως ήδη γνωρίζουmicroε οφείλεται στον J Playfair και αποτελεί

ισοδύναmicroη διατύπωση του 5ου αιτήmicroατος (αξιώmicroατος) του Ευκλείδη Η διατύπωση

του τελευταίου σε αρχαία ελληνικά ϐρίσκεται για παράδειγmicroα στο [39]

213 Παραδείγmicroατα 1) Το επίπεδο της Στοιχειώδους (Ευκλείδειας) Γεωmicroετρίας εί-

ναι συσχετισmicroένο επίπεδο Αποτελείται από τα σηmicroεία και τις ευθείες όπως ορίζονται

στην Ευκλείδεια Γεωmicroετρία και αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινη εmicroπειρία microας

ενώ η I είναι η συνήθης σύmicroπτωση που εδώ εκφράζεται microε τη συνολοθεωρητική

σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo (ανήκει) ∆ηλαδή

(P ℓ) isin I hArr P isin ℓ

2) Αν ϑεωρήσουmicroε τα σύνολα

P = A B C DL =

A B A C A D B C B D C D

40 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και ως I τη σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo τότε ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι η τριάδα (PLI) είναι συσχετι-

σmicroένο επίπεδο

Το παράδειγmicroα αυτό δείχνει ότι υπάρχουν συσχετισmicroένα επίπεδα microε πεπερασmicroένο

πλήθος σηmicroείων και ευθειών σε αντίθεση microε το επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

3) (Αντιπαράδειγmicroα) Ο δίσκος των KleinshyBeltrami που αναφέραmicroε στη σελιδα 24

214 Ορισmicroός Η microονοσήmicroαντα ορισmicroένη ευθεία k του αξιώmicroατος (ΣΕ 1) λέγεται

ένωση (join) των σηmicroείων P Q και συmicroβολίζεται microε

k = P or Q = Q or P

Η δεύτερη ισότητα είναι προφανής συνέπεια του (ΣΕ 1)

bull Στο υπόλοιπο της παραγράφου ϑεωρούmicroε ότι δίνεται ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

(PLI)

215 Πρόταση Αν A B C είναι τρία διαφορετικά συγγραmicromicroικά σηmicroεία και ℓ η κοινή

τους ευθεία τότε

ℓ = A or B = A or C = B or C

Απόδειξη Από τον Ορισmicroό 211 έχουmicroε τις σχέσεις

(A ℓ) isin I και (B ℓ) isin I

Επειδή A B από το (ΣΕ 1) ορίζεται και η ευθεία A or B και ισχύουν οι σχέσεις

(A A or B) isin I και (B A or B) isin I

Εποmicroένως από το microονοσήmicroαντο του (ΣΕ 1) προκύπτει ότι ℓ = A or B Με τον ίδιο

τρόπο αποδεικνύονται και οι άλλες ισότητες

216 Πρόταση ∆ύο διαφορετικές ευθείες k ℓ έχουν το πολύ ένα κοινό σηmicroείο

δηλαδή ένα σηmicroείο P που ικανοποιεί τις σχέσεις (P k) isin I και (P ℓ) isin I

Απόδειξη Αν οι ευθείες k l είναι παράλληλες (kℓ) τότε (αφού k ℓ) δεν υπάρχει

κανένα κοινό σηmicroείο P άρα αληθεύει το συmicroπέρασmicroα

Αν k mdashℓ τότε οπωσδήποτε υπάρχει κοινό σηmicroείο P (γιατί αλλιώς οι ευθείες ϑα

ήσαν παράλληλες) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι υπάρχει κι ένα άλλο κοινό σηmicroείο Q

δηλαδή (Q k) isin I ni (Q ℓ) Θα δείξουmicroε ότι P = Q Πραγmicroατικά αν ήταν P Q τότε

κατά το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία P or Q Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή τα P Q είναι και

σηmicroεία των k και ℓ πάλι από το (ΣΕ 1) και το microονοσήmicroαντό του προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

πράγmicroα που αντίκειται στην υπόθεση k ℓ Εποmicroένως κατ᾿ ανάγκην καταλήγουmicroε

στη σχέση P = Q

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 41

217 Ορισmicroός Αν k και ℓ είναι δύο microη παράλληλες διαφορετικές ευθείες τότε το

microονοσήmicroαντα ορισmicroένο κοινό σηmicroείο τους (Πρόταση 216) λέγεται τοmicroή (intersectshy

ion) των k ℓ και συmicroβολίζεται microε

P = k and ℓ = ℓ and k

218 Πρόταση Στο συσχετισmicroένο επίπεδο η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυνα-

microίας

Απόδειξη Η αυτοπαθής και η συmicromicroετρική ιδιότητα είναι άmicroεσες συνέπειες του ο-

ϱισmicroού Για την απόδειξη της microεταβατικής ιδιότητας υποθέτουmicroε ότι kℓ και ℓm

Αν k = m τότε έχουmicroε το συmicroπέρασmicroα Αν k m τότε αναγκαίως km γιατί αν

υπήρχε κοινό σηmicroείο P (δηλ P = k andm) ϑα είχαmicroε ότι

(P k) isin I όπου kℓ

(P m) isin I όπου mℓ

΄Οmicroως (P ℓ) lt I (επειδή ℓk και ℓm) Εποmicroένως από το σηmicroείο P που δεν ϐρί-

σκεται στην ℓ διέρχονται δύο ευθείες παράλληλες προς αυτήν (οι k και m) Το

συmicroπέρασmicroα αυτό αντιβαίνει στο (ΣΕ 2) άρα km

219 Θεώρηmicroα Σε κάθε συσχετισmicroένο επίπεδο υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα δια-

ϕορετικά σηmicroεία τα οποία ανά τρία είναι microη συγγραmicromicroικά

Απόδειξη Το (ΣΕ 3) εξασφαλίζει ότι υπάρχουν τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C που

δεν είναι συγγραmicromicroικά άρα ορίζονται οι ευθείες A orB και B orC Επειδή τα σηmicroεία

είναι microη συγγραmicromicroικά ισχύει ότι (C AorB) lt I Εποmicroένως κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microοναδική ευθεία ℓ isin L microε (C ℓ) isin I και ℓA or B Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και microιά

m isin L microε (A m) isin I και mB or C

Σχηmicroα 25

Παρατηρούmicroε ότι ℓ m Πραγmicroατικά αν ήταν ℓ = m τότε το A (ως σηmicroείο της

m) ϑα ανήκε και στην ℓ πράγmicroα που είναι άτοπο αφού ℓA or B Επίσης ℓ mdashm

Πραγmicroατικά αν ήταν ℓm επειδή και ℓA or B ϑα είχαmicroε ότι mA or B λόγω της

συmicromicroετρικής και microεταβατικής ιδιότητας της παραλληλίας Αυτό είναι άτοπο επειδή

το A είναι κοινό σηmicroείο των m και A or B Συνεπώς αφού οι ℓ και m είναι διάφορες

42 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και microη παράλληλες ορίζεται το microοναδικό σηmicroείο D = ℓ and m (ϐλ Πρόταση 216

και Ορισmicroό 217) Στο επόmicroενο Σχήmicroα 25 απεικονίζεται για ευκολία η παραπάνω

διαδικασία στο (συσχετισmicroένο) επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

Για να ολοκληρώσουmicroε την απόδειξη ϑα πρέπει να δείξουmicroε ότι το D είναι διαφο-

ϱετικό από τα A B C και δεν είναι συγγραmicromicroικό microε οποιαδήποτε δύο από αυτά Για

το πρώτο συmicroπέρασmicroα αρκεί να δείξουmicroε ότι D A (παρόmicroοια εργαζόmicroαστε και για

τα B C) Αυτό αληθεύει γιατί αν ήταν D = A τότε οι παράλληλες και διαφορετικές

ευθείες A or B και ℓ ϑα είχαν κοινό το σηmicroείο A = D (άτοπο)

Τέλος ας υποθέσουmicroε ότι το D είναι συγγραmicromicroικό microε δύο άλλα σηmicroεία ας πούmicroε

τα A και B Τότε από την Πρόταση 215 έχουmicroε ότι η κοινή ευθεία των A B D

είναι ακριβώς η A or B ΄Αρα το D ϑα ήταν κοινό σηmicroείο των ℓ και A or B (άτοπο

όπως προηγουmicroένως) Παρόmicroοια δείχνουmicroε ότι το D δεν είναι συγγραmicromicroικό και microε

οποιαδήποτε άλλα δύο σηmicroεία οπότε η απόδειξη είναι πλήρης

2110 Παρατηρήσεις 1) Από το Θεώρηmicroα 219 προκύπτει ότι το microικρότερο πλή-

ϑος σηmicroείων ενός συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4 Αυτό σηmicroαίνει ότι

η ελαχίστη ισχύς του συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4

και δικαιολογεί την επιλογή των τεσσάρων σηmicroείων στο Παράδειγmicroα 213 (2)

2) Μία άλλη ϑεmicroελίωση του συσχετισmicroένου επιπέδου microε αλγεβρική γλώσσα γί-

νεται στη Γραmicromicroική (ή Συσχετισmicroένη) Γεωmicroετρία (ϐλ [3]) Εκεί ξεκινώντας από άλλα

αξιώmicroατα (αλγεβρικής υφής) αποδεικνύονται ως συmicroπεράσmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα

της προηγούmicroενης ϑεmicroελίωσης

2111 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθούν οι ισχυρισmicroοί των Παραδειγmicroάτων 213 (1) και 213 (2)

2 Κάθε ευθεία του συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει τουλάχιστον δύο διαφορετικά

σηmicroεία

3 Από κάθε σηmicroείο του συσχετισmicroένου επιπέδου διέρχονται τουλάχιστον τρεις δια-

ϕορετικές ευθείες

4 ∆ίνονται οι διαφορετικές ευθείες k ℓ m ενός συσχετισmicroένου επιπέδου microε kℓ Αν

η m τέmicroνει τη microία από τις δύο παράλληλες ευθείες τότε ϑα τέmicroνει και την άλλη

22 Το προβολικό επίπεδο

΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο ϑεωρούmicroε microία τριάδα (PLI) όπου P και Lείναι σύνολα διάφορα του κενού τέτοια ώστε P cap L = empty και I sub P times L είναι microία

σχέση σύmicroπτωσης Τα στοιχεία των P και L ονοmicroάζουmicroε όπως πριν σηmicroεία και

ευθείες αντιστοίχως Η έννοια της συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων και της σύγκλισης

ευθειών είναι όπως στον Ορισmicroό 211

22 Το προβολικό επίπεδο 43

221 Ορισmicroός ΄Ενα προβολικό επίπεδο (projective plane) είναι microία τριάδα

(PLI) που ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) Για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q υπάρχει ακριβώς microία ευθεία ℓ isin L

τέτοια ώστε (P ℓ) isin I ni (Q ℓ)

(ΠΕ 2) Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ υπάρχει σηmicroείο P isin P τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (P ℓ)

(ΠΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σηmicroεία διαφορετικά microεταξύ τους τα οποία είναι

ανά τρία microη συγγραmicromicroικά

222 Παρατηρήσεις 1) Από το (ΠΕ 1) ϐλέπουmicroε ότι υπάρχει microία microοναδική ευθεία

η οποία διέρχεται (ή περιέχει ή ορίζεται) από δύο διαφορετικά σηmicroεία Εποmicroένως

το (ΠΕ 1) συmicroπίπτει microε το (ΣΕ 1) Αντιθέτως από το (ΠΕ 2) προκύπτει ότι δύο

οποιεσδήποτε διαφορετικές ευθείες έχουν πάντοτε κοινό σηmicroείο Εποmicroένως

Στο προβολικό επίπεδο δεν υπάρχει έννοια παραλληλίας

2) ΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο τη microονοσήmicroατα ορισmicroένη ευθεία ℓ του (ΠΕ

1) ονοmicroάζουmicroε ένωση των P Q και τη συmicroβολίζουmicroε microε

ℓ = P or Q = Q or P

3) Επίσης όπως ϑα δείξουmicroε στην παρακάτω Πρόταση 224 και το κοινό σηmicroείο P

του (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο Το καλούmicroε τοmicroή των k ℓ και το συmicroβολί-

Ϲουmicroε microε

P = k and ℓ = ℓ and k

223 Παραδείγmicroατα 1) Θεωρούmicroε τα σύνολα

P = Ai |i = 1 7L =

ℓ1 = A1 A2 A3 ℓ2 = A1 A4 A6 ℓ3 = A1 A5 A7

ℓ4 = A2 A4 A7 ℓ5 = A2 A5 A6 ℓ6 = A3 A4 A5 ℓ7 = A3 A6 A7

και τη σύmicroπτωση I που ορίζει η συνολοθεωρητική σχέση lsquolsquoisinrsquorsquoΕίναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η τριάδα (PL isin) είναι προβολικό ε-

πίπεδο Το επίπεδο αυτό λέγεται και προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων και

αποτελεί παράδειγmicroα προβολικού επιπέδου microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων (και

ευθειών)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε αρκετά πιο κάτω [ϐλ Παρατήρηση 249 (2)] η ελαχίστη ισχύς

του προβολικού επιπέδου είναι 7 Αυτό δικαιολογεί και την επιλογή των 7 σηmicroείων

του προηγουmicroένου παραδείγmicroατος

44 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Μερικούς τρόπους απεικόνισης (στο ευκλείδειο επίπεδο ) των σηmicroείων και των

ευθειών του παραδείγmicroατος παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήmicroατα

Σχηmicroα 26

Ας σηmicroειωθεί ότι οι ευθείες των σχηmicroάτων (συνεχείς και διακεκοmicromicroένες) δεν έχουν

καmicroιά σχέση microε τις συνήθεις ευθείες του ευκλειδείου επιπέδου αλλά σχεδιάζονται

για να υποδηλώσουν τις αντίστοιχες τριάδες σηmicroείων οι οποίες ορίζουν τις ευθείες

του παραπάνω προβολικού επιπέδου

Η σύmicroπτωση των σηmicroείων και ευθειών του ιδίου παραδείγmicroατος περιγράφεται

και στον εποmicroενο πίνακα του οποίου η ερmicroηνεία είναι προφανής Τέτοιοι πίνακες

είναι ιδιαιτέρως χρήσιmicroοι όταν ϑέλουmicroε να περιγράψουmicroε τη σχέση της σύmicroπτωσης

προβολικών επιπέδων microε σχετικώς microεγάλο (αλλά πεπερασmicroένο) πλήθος σηmicroείων και

ευθειών

ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ℓ5 ℓ6 ℓ7

A1 bull bull bullA2 bull bull bullA3 bull bull bullA4 bull bull bullA5 bull bull bullA6 bull bull bullA7 bull bull bull

2) Στο διανυσmicroατικό (γραmicromicroικό) χώρο R3 ορίζουmicroε τα σύνολα

P =P equiv U le R3 dimU = 1

L =ℓ equiv V le R3 dimV = 2

όπου U le R3 σηmicroαίνει ότι ο U είναι γραmicromicroικός υπόχωρος του R3 (παρόmicroοια και για

τον V le R3) Επίσης ορίζουmicroε τη σχέση σύmicroπτωσης I sub P times L microε

(P ℓ) isin I hArr U le V αν P = U και ℓ = V

22 Το προβολικό επίπεδο 45

Είναι ϕανερόν ότι τα σηmicroεία του P2 είναι ακριβώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρ-

χονται από το 0 equiv (0 0 0) ενώ οι ευθείες του P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3

που διέρχονται επίσης από το 0

Σχηmicroα 27

Ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι το (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο που ονοmicroάζεται

πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο διάστασης 2 και συmicroβολίζεται microε P2

bull Τα δύο προηγούmicroενα παραδείγmicroατα αποτελούν microοντέλα προβολικών επιπέδων (το

πρώτο microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων και ευθειών το δεύτερο microε άπειρο πλήθος)

Εδώ οι απροσδιόριστοι όροι (σηmicroεία και ευθείες) αποκτούν συγκεκριmicroένη υπόστα-

ση (δυάδεςτριάδες στοιχείων γραmicromicroικοί υπόχωροι του R3 κλπ) microέσω της οποίας

επαληθεύουmicroε την ισχύ των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3)

Ας δούmicroε τώρα microερικές άmicroεσες συνέπειες των αξιωmicroάτων ενός προβολικού επιπέ-

δου (PLI)

224 Πρόταση Το σηmicroείο P του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο

Απόδειξη Ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει κι ένα άλλο σηmicroείο τέτοιο ώστε Q P microε

(Q k) isin I ni (Q ℓ) Τότε επειδή τα P Q είναι σηmicroεία των k και ℓ από το (ΠΕ 1)

προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

που είναι άτοπο επειδή έχουmicroε υποθέσει ότι k ℓ

225 Πρόταση Αν A B C είναι συγγραmicroικά σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου

διαφορετικά microεταξύ τους και ℓ η κοινή ευθεία που τα περιέχει τότε

ℓ = A or B = B or C = A or C

Απόδειξη Η ίδια microε την απόδειξη της Πρότασης 215

226 Πρόταση Κάθε ευθεία ενός προβολικού επιπέδου περιέχει τουλάχιστον τρία

διαφορετικά σηmicroεία

46 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη ΄Εστω ℓ microία οποιαδήποτε ευθεία του προβολικού επιπέδου Σύmicroφωνα microε

το (ΠΕ 3) υπάρχουν τέσσερα σηmicroεία που είναι microεταξύ τους διαφορετικά και ανά τρία

microη συγγραmicromicroικά Ας τα καλέσουmicroε A B C D και ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι κανένα

απ᾿ αυτά δεν ανήκει στην ℓ Ορίζουmicroε τις ευθείες A or B A or C και A or D οι οποίες

είναι microεταξύ τους διαφορετικές [ αν δύο απ᾿ αυτές συνέπιπταν ϑα είχαmicroε ότι τρία

από τα παραπάνω σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)] Επίσης οι ίδιες ευθείες

είναι διαφορετικές από την ℓ [ αν ήταν πχ A or B = ℓ τότε (A ℓ) isin I (άτοπο)]

Σχηmicroα 28

Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα τα σηmicroεία (της ℓ )

X = ℓ and (A or B) Y = ℓ and (A or C) Z = ℓ and (A or D)

Παρατηρούmicroε ότι X Y Z X Πραγmicroατικά αν ήταν πχ X = Y τότε

A or B = A or X = A or Y = A or C

(ϐλ Πρόταση 225) που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι A or B A or C

Αν υποθέσουmicroε ότι ένα ή δύο σηmicroεία από τα A B C D ανήκουν στην ℓ τότε αρκεί

να εξασφαλίσουmicroε αντιστοίχως την ύπαρξη ακόmicroη δύο ή ενός σηmicroείων ακολουθώντας

παρόmicroοια διαδικασία

227 Πρόταση Κάθε προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον τέσσερις διαφορετικές

ευθείες οι οποίες ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο

Απόδειξη Θεωρούmicroε τα τέσσερα σηmicroεία A B C D του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) Ορίζουmicroε

τις ευθείες A or B B or C C or D και D or A Βλέπουmicroε αmicroέσως ότι είναι διαφορετικές

microεταξύ τους [ αλλιώς ϑα ϐρίσκαmicroε τριάδες συγγραmicromicroικών σηmicroείων από τα A B C

D (άτοπο)]

Οι προηγούmicroενες ευθείες δεν διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σηmicroείο Πραγ-

microατικά ας υποθέσουmicroε για παράδειγmicroα ότι υπάρχει σηmicroείο O isin P από το οποίο

διέρχονται οι A or B B or C και C or D Τότε λόγω του microονοσήmicroαντου της τοmicroής των

διαφορετικών ευθειών A or B και B or C ϑα ήταν B = O Αναλόγως από τις B or C

και C or D ϑα ήταν και C = O οπότε ϑα καταλήγαmicroε στο άτοπο συmicroπέρασmicroα ότι

B = O = C

22 Το προβολικό επίπεδο 47

228 Πρόταση Από κάθε σηmicroείο O ενός προβολικού επιπέδου διέρχονται τουλάχι-

στον τρεις διαφορετικές ευθείες

Απόδειξη Σύmicroφωνα microε την προηγούmicroενη πρόταση υπάρχουν τέσσερις ευθείες k ℓ

m n οι οποίες είναι διάφορες microεταξύ τους και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο

σηmicroείο

Σχηmicroα 29

Ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι καmicroία απ᾿ αυτές δεν διέρχεται από το O Τότε ορίζονται

τα σηmicroεία P = kand ℓ Q = kandm και R = kandn (ϐλ Σχήmicroα 29) που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους [ αν δύο απ᾿ αυτά συνέπιπταν τότε τρεις από τις παραπάνω ευθείες ϑα

διέρχονταν από το ίδιο σηmicroείο (άτοπο)]

Επίσης τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν συmicroπίπτουν microε το O [ αν για παράδειγmicroα

O = P τότε το O ϑα ανήκε στην k (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα οι

ευθείες

x = O or P y = O or Q z = O or R

Παρατηρούmicroε ότι x y z x αν πχ ήταν x = y τότε

P = k and x = k and y = Q

που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι P Q

Αν τώρα υποθέσουmicroε ότι από το O διέρχονται microία ή δύο από τις ευθείες k ℓ m

n τότε αρκεί να εξασφαλίσουmicroε ότι διέρχονται ακόmicroη δύο ή microία ευθείες αντιστοίχως

εφαρmicroόζοντας ακριβώς την προηγούmicroενη διαδικασία

229 Ασκήσεις

1 ΄Εστω ότι microία τριάδα (PLI) ικανοποιεί τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1prime) Αν P Q isin P microε P Q τότε υπάρχει ευθεία k isin L τέτοια ώστε (P k) isin I ni(Q k)

48 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

(ΠΕ 2prime) Αν k ℓ isin L microε k ℓ τότε υπάρχει ακριβώς ένα σηmicroείο P isin I τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (Q k)(ΠΕ 3prime) = (ΠΕ 3)

α) Να αποδειχθεί ότι η k του (ΠΕ 1prime) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη

ϐ) Τί συmicroπέρασmicroα προκύπτει για την τριάδα (PLI)

2 Σε κάθε προβολικό επίπεδο υπάρχει ευθεία ℓ και σηmicroείο P microε την ιδιότητα

(P ℓ) lt I Ισχύει το ίδιο συmicroπέρασmicroα και σ᾿ ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

3 ∆ίνεται microία ευθεία ℓ ενός προβολικού επιπέδου Τότε υπάρχει σηmicroείο P microε (P ℓ) ltI Αναλόγως αν δίνεται το P υπάρχει ευθεία ℓ microε την ίδια ιδιότητα όπως προηγου-

microένως

4 Αν k και ℓ είναι δύο διαφορετικές ευθείες ενός προβολικού επιπέδου τότε υπάρ-

χει ένα σηmicroείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε καmicroία από τις ευθείες αυτές Να

αποδειχθεί το ανάλογο του συσχετισmicroένου επιπέδου

5 ΄Εστω S2=

(x y z) isin R3 x2

+y2+z2= 1

η microοναδιαία σφαίρα του R3 microε κέντρο

το 0 equiv (0 0 0) Για κάθε a = (x y z) isin S2 συmicroβολίζουmicroε microε minusa = (minusxminusyminusz) το

αντιδιαmicroετρικό του σηmicroείο Θεωρούmicroε τα σύνολα

P =P = (aminusa)

∣∣∣ a isin S2

L =S1

∣∣∣ S1 microέγιστος κύκλος της S2

Αν I είναι η σχέση σύmicroπτωσης που ορίζεται microε την ισοδυναmicroία

(P S1) isin I hArr (aminusa) isin S1 αν P = (aminusa)

τότε η τριάδα (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο Πώς συνδέεται το τελευταίο microε

το P2

23 Η αρχή του δυϊσmicroού

Συγκρίνοντας τις Προτάσεις 226 και 228 ϐλέπουmicroε ότι η microία προκύπτει από την

άλλη αν εναλλάξουmicroε τις έννοιες σηmicroείο ευθεία ανήκει (περιέχεται) αντιστοίχως microε

τις έννοιες ευθεία σηmicroείο διέρχεται

Σηmicroείο Ευθεία ανήκει (περιέχεται)

Ευθεία

6

Σηmicroείο

6

διέρχεται

6

Σχηmicroα 210

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 49

Το ίδιο διαπιστώνουmicroε συγκρίνοντας και τις αποδείξεις των ιδίων προτάσεων καθώς

επίσης και το αξίωmicroα (ΠΕ 3) microε την Πρόταση 227

Στις περιπτώσεις αυτές λέmicroε ότι η Πρόταση 228 είναι δυϊκή (dual) της 226

και αντιστρόφως Οmicroοίως και η Πρόταση 227 είναι ένα συmicroπέρασmicroα δυϊκό του

αξιώmicroατος (ΠΕ 3)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε στη συνέχεια στην Προβολική Γεωmicroετρία ισχύει η αρχή του

δυϊσmicroού (principle of duality) σύmicroφωνα microε την οποία για κάθε συmicroπέρασmicroα που ι-

σχύει (αληθεύει) στο προβολικό επίπεδο ισχύει ταυτόχρονα και το δυϊκό του δηλαδή

αυτό που προκύπτει microε την παραπάνω εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Την πατρότητα της αρχής αυτής διεκδίκησαν οι γεωmicroέτρες J V Poncelet (1788ndash

1867) και J D Gergonne (1771ndash1859) πράγmicroα που τους οδήγησε σε microία microα-

κροχρόνια και ϑλιβερή διαmicroάχη ίσως χειρότερη από αυτήν microεταξύ των I Newton

(1642ndash1727) και G W Leibniz (1646ndash11716) για την πατρότητα του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού

Για την απόδειξη της αρχής του δυϊσmicroού ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PL

I) και την τριάδα

(PlowastLlowastIlowast) όπου Plowast = L Llowast = P

και η Ilowast ορίζεται ως εξής για ένα (Plowast ℓlowast) isin Plowast times Llowast ϑα είναι

(Plowast ℓlowast) isin Ilowast hArr (Q k) isin I

αν Plowast = k και ℓlowast = Q microε (Q k) isin P times L

∆ηλαδή η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) έχει προκύψει από το αρχικό προβολικό επίπεδο

microε την εναλλαγή που περιγράψαmicroε πιο πάνω

231 Πρόταση Η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) αποτελεί προβολικό επίπεδο το οποίον καλεί-

ται δυϊκό του (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ισχύουν τα αξιώmicroατα (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Για την απόδειξη

του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε τα Plowast Qlowast isin Plowast microε Plowast Qlowast Εποmicroένως ϑα υπάρχουν ευθείες

k m isin L microε k m και τέτοιες ώστε Plowast = k και Qlowast = m ΄Αρα κατά το (ΠΕ 2) και την

Πρόταση 224 [για το (PL I)] ορίζεται microονοσήmicroαντα το σηmicroείο k and m Θέτοντας

ℓlowast = k andm παρατηρούmicroε ότι

(k andm k) isin I hArr (Plowast ℓlowast) isin Ilowast(k andm m) isin I hArr (Qlowast ℓlowast) isin Ilowast

Εποmicroένως η ℓlowast είναι ευθεία του Llowast που περιέχει τα Plowast και Qlowast Η ℓlowast είναι και η

microοναδική microε αυτήν την ιδιότητα γιατί αν υπήρχε και microια xlowast = X isin Llowast microε την ίδια

ιδιότητα τότε

(Plowast xlowast) isin Ilowast hArr (X k) isin I

(Qlowast xlowast) isin Ilowast hArr (X m) isin I

50 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

οπότε ϑα είχαmicroε ότι X = k andm (εφ᾿ όσον k m) δηλαδή xlowast = ℓlowast

Για το (ΠΕ 2) αναλόγως προς τα προηγούmicroενα ϑεωρούmicroε τις διαφορετικές ευ-

ϑείες klowast ℓlowast isin Llowast Μπορούmicroε να ϑέσουmicroε klowast = Q και ℓlowast = R (microε Q R) Εποmicroένως

κατά το (ΠΕ 1) για το επίπεδο (PLI) ορίζεται η Q or R isin L οπότε το Plowast = Q or R

είναι το (microοναδικό) κοινό σηmicroείο των klowast ℓlowast

Τέλος για το (ΠΕ 3) παρατηρούmicroε τα εξής Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 227

υπάρχουν ευθείες ki isin L (i = 1 4) οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους και

ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο Εποmicroένως ϑέτοντας Plowasti = ki ϐρίσκουmicroε

τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία του Plowast Τα σηmicroεία αυτά δεν ϐρίσκονται ανά τρία σε

κοινή ευθεία Πραγmicroατικά αν υπήρχε ευθεία ℓlowast isin Llowast που να περιείχε τρία εξ αυτών

τότε οι αντίστοιχες ευθείες ki ϑα διέρχονταν από ένα κοινό σηmicroείο του P αυτό που

ορίζει η ℓlowast (άτοπο) ΄Αρα ισχύει και το (ΠΕ 3)

Από την προηγούmicroενη απόδειξη γίνεται ϕανερόν ότι τα αξιώmicroατα του προβολι-

κού επιπέδου (PlowastLlowastIlowast) είναι δυϊκές εκφράσεις αξιωmicroάτων του αρχικού επιπέδου

(PLI) Ακριβέστερα αν (ΠΕlowast N) (N = 1 2 3) συmicroβολίζει άξίωmicroα του δυϊκού προβο-

λικού επιπέδου και (ΠΕ N)lowast το δυϊκό του αξιώmicroατος (ΠΕ N) τότε έχουmicroε την επόmicroενη

αντιστοιχία

(ΠΕlowast 1) = (ΠΕ 2)lowast (ΠΕlowast 2) = (ΠΕ 1)lowast (ΠΕlowast 3) = ΠΡΟΤΑΣΗ 227 = (ΠΕ 3)lowast

232 Λήmicromicroα Υποθέτουmicroε ότι S είναι microία πρόταση που ισχύει σε ένα προβολικό επί-

πεδο (PLI) Τότε η δυϊκή πρόταση Slowast ισχύει στο δυϊκό επίπεδο (PlowastLlowastIlowast)

Απόδειξη Αφού η S ισχύει στο (PLI) σηmicroαίνει ότι προκύπτει από τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Η απόδειξη της δυϊκής πρότασης Slowast γίνεται αν εφαρmicroόσουmicroε την

εναλλαγή του Σχήmicroατος 210 στην απόδειξη της S άρα προκύπτει από τα δυϊκά των

αξιωmicroάτων του (PLI) Εποmicroένως η απόδειξη της Slowast τελικά προκύπτει από τα

αξιώmicroατα του (PlowastLlowastIlowast) άρα η Slowast αληθεύει στο (PlowastLlowastIlowast)

Μπορούmicroε τώρα να δείξουmicroε το επόmicroενο ϐασικό

233 Θεώρηmicroα (Αρχή του δυϊσmicroού) Στην κατηγορία των προβολικών επιπέδων

ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού ∆ηλαδή αν S είναι microία πρόταση η οποία αληθεύει σε

κάθε προβολικό επίπεδο τότε αληθεύει και δυϊκή της πρόταση Slowast επίσης σε κάθε

προβολικό επίπεδο

Απόδειξη Αφού η S αληθεύει σε κάθε προβολικό επίπεδο (PLI) (δηλαδή είναι

microια γενική ιδιότητα των προβολικών επιπέδων) ϑα αληθεύει και σε κάθε δυϊκό επί-

πεδο (PlowastLlowastIlowast) Εποmicroένως κατά το Λήmicromicroα 232 η Slowast αληθεύει και στο δυϊκό του

τελευταίου επιπέδου δηλαδή στο((Plowast)lowast (Llowast)lowast (Ilowast)lowast) Επειδή (Plowast)lowast = P (Llowast)lowast = L

και η (Ilowast)lowast ταυτίζεται microε την I καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

΄Οπως προκύπτει από τα προηγούmicroενα η αρχή του δυϊσmicroού παρέχει microία σηmicroαν-

τική διευκόλυνση στη microελέτη της Προβολικής Γεωmicroετρίας αφού microαζί microε κάθε συmicro-

πέρασmicroα (που αποδεικνύουmicroε) ισχύει και ένα νέο το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

να το αποδείξουmicroε ΄Αλλωστε και η διαδικασία της απόδειξης του δυϊκού συmicroπερά-

σmicroατος είναι δυϊκή της απόδειξης του αρχικού συmicroπεράσmicroατος δηλαδή προκύπτει

από την αρχική απόδειξη microε τη γνωστή εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Επίσης η ίδια αρχή δείχνει ότι οι (microη οριζόmicroενες) έννοιες της ευθείας και του

σηmicroείου έχουν ανάλογες (συmicromicroετρικές) ιδιότητες ενώ επιβεβαιώνεται ndashακόmicroη microια

ϕοράndash η αυθαιρεσία της ονοmicroατολογίας ΄Ετσι κάποια στοιχεία που αποτελούν τα

σηmicroεία ενός επιπέδου microπορούν να είναι ευθείες ενός άλλου κοκ

234 Ασκήσεις

1 Ποιο είναι το δυϊκό του προβολικού επιπέδου των 7 σηmicroείων

2 Να δικαιολογηθεί γιατί δεν ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού στην κατηγορία των συ-

σχετισmicroένων επιπέδων

3 Είναι το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) αυτοδυϊκό ∆ηλαδή αν πά-

ϱουmicroε τα δυϊκά τους τότε παραmicroένουmicroε εντός του συστήmicroατος Με ποια προσθήκη

microπορούmicroε να δηmicroιουργήσουmicroε ένα αυτοδυϊκό σύνολο αξιωmicroάτων και προτάσεων

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις

Στην παράγραφο αυτή ϑα εξετάσουmicroε microερικές απλές απεικονίσεις microε τις οποίες

συγκρίνουmicroε το πλήθος των σηmicroείων που ανήκουν σε διάφορες ευθείες το πλήθος

των ευθειών που διέρχονται από διάφορα σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου και άλλα

σχετικά ερωτήmicroατα

bull Θεωρούmicroε πάντοτε ένα προβολικό επίπεδο (PLI)

241 Ορισmicroός Αν m είναι ευθεία του προβολικού επιπέδου καλούmicroε σηmicroειοσειρά

ή δέσmicroη σηmicroείων (pencil of points) της m το σύνολο

J(m) = P isin P (P m) isin I

Η ευθεία m καλείται επίσης άξονας (axis) της σηmicroειοσειράς

Αντιστοίχως αν O είναι σηmicroείο του προβολικού επιπέδου καλούmicroε δέσmicroη ευ-

ϑειών (pencil of lines) του O (ή από το O) το σύνολο

J(O) = ℓ isin L (O ℓ) isin I

Το O καλείται και κέντρο (center) της δέσmicroης

Προφανώς οι δύο έννοιες είναι δυϊκές microεταξύ τους Στην περίπτωση της Στοι-

χειώδους Γεωmicroετρίας η σηmicroειοσειρά της m αποτελείται από όλα τα σηmicroεία της ενώ

τη δέσmicroη του O αποτελούν όλες οι ευθείες που διέρχονται από το O Ο Ορισmicroός

241 γενικεύει την κατάσταση της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας στο δικό microας πλαίσιο

στο οποίον οι έννοιες laquoανήκειraquo laquoδιέρχεταιraquo κλπ ορίζονται microέσω της σύmicroπτωσης I και

οι ευθείες δεν είναι κατ᾿ ανάγκην σηmicroειοσειρές

52 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

242 Πρόταση Αν k ℓ isin L τότε ισχύει η ισοδυναmicroία

[ k = ℓ ] hArr [ J(k) = J(ℓ) ]

Απόδειξη Αν k = ℓ τότε η ισότητα των δύο σηmicroειοσειρών είναι προφανής Αντι-

στρόφως ας υποθέσουmicroε ότι J(k) = J(ℓ) Λόγω της Πρότασης 226 η k διαθέτει

τουλάχιστον τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C οπότε k = A or B Επίσης από τον

Ορισmicroό 241 προκύπτει ότι A B C isin J(k) = J(ℓ) άρα και ℓ = A or B Εποmicroένως

k = A or B = ℓ

Για να συγκρίνουmicroε τις σηmicroειοσειρές και τις δέσmicroες ευθειών χρειαζόmicroαστε και τον

επόmicroενο ορισmicroό

243 Ορισmicroός ΄Εστω O isin P και m isin L microε (O m) lt I (ισοδύναmicroα O lt J(m))Ονοmicroάζουmicroε στοιχειώδη απεικόνιση (elementary correpondence) από τη δέσmicroη

J(O) στη σηmicroειοσειρά J(m) την απεικόνιση

δ J(O) minusrarr J(m) ℓ 7rarr ℓ andm

Σχηmicroα 211

Αν έχουmicroε πολλές στοιχειώδεις απεικονίσεις γράφουmicroε και

(241) δ = δOm

προκειmicroένου να διευκρινίσουmicroε ότι η δ απεικονίζει τη δέσmicroη του σηmicroείου O στη

σηmicroειοσειρά της ευθείας m

244 Πρόταση Η απεικόνιση δ = δOm είναι καλά ορισmicroένη 1 ndash1 και επί

Απόδειξη Για κάθε ℓ isin J(O) ϑα είναι ℓ m σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 ΄Αρα

(ϐλ και Πρόταση 224 το σηmicroείο ℓ and m είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο και η δ είναι

καλά ορισmicroένη

Για να δείξουmicroε ότι η δ είναι 1 minus 1 ας υποθέσουmicroε ότι δ(ℓ) = δ(ℓprime) δηλαδή

ℓandm = ℓprime andm Επειδή O lt J(m) ϑα είναι ℓandm O ℓprime andm οπότε (ϐλ και Σχήmicroα

211)

ℓ = O or (ℓ andm) = O or (ℓprime andm) = ℓprime

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 53

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

Τέλος η δ είναι επί πραγmicroατικά για τυχόν P isin J(m) ϑα είναι P O Συνεπώς

ορίζεται η k = P or O Παρατηρούmicroε ότι k isin J(O) και

δ(k) = (P or O) andm = P

όπως Ϲητούσαmicroε

245 Συmicroβολισmicroός Την ισχύ (cardinality) δηλαδή το πλήθος των στοιχείων της δέ-

σmicroης J(O) [αντίστ της σηmicroειοσειράς J(m)] συmicroβολίζουmicroε microε | J(O) | (αντίστ | J(m) |)΄Ενας άλλος συmicroβολισmicroός για την ισχύ πεπερασmicroένης δέσmicroης (αντίστ σηmicroειοσειράς)

που δεν ακολουθείται εδώ είναι και J(O) [αντίστ J(m)]

΄Αmicroεση συνέπεια της Πρότασης 244 είναι τώρα τα επόmicroενα συmicroπεράσmicroατα

246 Πόρισmicroα Για οποιοδήποτε Ϲεύγος (O m) isin PtimesL microε (O m) lt I ισχύει η σχέση

| J(O) | = | J(m) |

247 Πόρισmicroα Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L ισχύει η σχέση

| J(k) | = | J(ℓ) |

Απόδειξη Αν k = ℓ η σχέση είναι προφανής Αν k ℓ τότε [ϐλ ΄Ασκηση 229 (4)]

υπάρχει O isin P microε (O k) lt I και (O ℓ) lt I Εφαρmicroόζοντας το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε

ότι

| J(k) | = | J(O) | = | J(ℓ) |

΄Ενας συσχετισmicroός microεταξύ του πλήθους των σηmicroείων microιας ευθείας (που είναι το

ίδιο για όλες τις ευθείες κατά το Πόρισmicroα 247) και του πλήθους των σηmicroείων

ενός πεπερασmicroένου προβολικού επιπέδου (δηλ microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων)

δίνεται στην επόmicroενη

248 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι ℓ είναι microία ευθεία του προβολικού επιπέδου microε n +1

(n ge 2) το πλήθος διαφορετικά σηmicroεία Τότε το προβολικό επίπεδο διαθέτει ακριβώς

n2+ n + 1 σηmicroεία

Απόδειξη Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο O isin P microε (O ℓ) lt I [ϐλ ΄Ασκηση 229 (3)] και

καλούmicroε Pi (i = 1 n + 1) τα σηmicroεία της ℓ (ϐλ και το Σχήmicroα 212 στην επόmicroενη

σελίδα)

Επειδή O Pi [αφού O lt J(ℓ)] ορίζονται οι ευθείες O or Pi (i = 1 n + 1)που είναι όλες διαφορετικές από την ℓ σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 Επίσης

O or Pi O or Pj (για όλους τους δείκτες i j microε i j ) γιατί αν ήταν O or Pi = O or Pj (για

κάποιους δείκτες i j ) τότε ϑα είχαmicroε ότι

Pi = ℓ and (O or Pi) = ℓ and (O or Pj) = Pj

που είναι άτοπο Εποmicroένως από το O διέρχονται οι n + 1 διαφορετικές ευθείες

54 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Σχηmicroα 212

OorPi και κάθε microία απ᾿ αυτές έχει n+1 το πλήθος σηmicroεία διαφορετικά (αφού |J(ℓ)| =|J(O or Pi)| κατά το Πόρισmicroα 247) ΄Αρα η κάθε microία έχει n το πλήθος διαφορετικά

microεταξύ τους σηmicroεία και διαφορετικά από το O Κατά συνέπειαν ϑεωρώντας όλα τα

σηmicroεία τους εκτός του O από τις ευθείες αυτές λαmicroβάνουmicroε (n + 1) middot n = n2+ n

σηmicroεία Υπολογίζοντας τώρα και το O λαmicroβάνουmicroε τελικώς n2+ n + 1 διαφορετικά

σηmicroεία του προβολικού επιπέδου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχουν άλλα σηmicroεία στο επίπεδο εκτός απ᾿ αυτά που

πήραmicroε microε την προηγούmicroενη διαδικασία Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

κι ένα σηmicroείο Q διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Τότε ϑα ορίζεται και η ευθεία

O or Q η οποία ϑα είναι διαφορετική από όλες τις O or Pi αφού το Q δεν ανήκει σε

καmicroιά τους [αλλιώς η OorPi που ϑα περιείχε το Q ϑα είχε n +2 διαφορετικά σηmicroεία

(άτοπο)] ΄Αρα από το O ϑα διέρχονται n+2 διαφορετικές ευθείες (οι OorPi και η OorQ)

∆ηλαδή ϑα είναι | J(O) | = n+2 που είναι επίσης άτοπο γιατί | J(O) | = | J(ℓ) | = n+1

(ϐλ Πόρισmicroα 246) Εποmicroένως αληθεύει ο παραπάνω ισχυρισmicroός και αποδεικνύεται

η πρόταση

249 Παρατηρήσεις 1) Ο περιορισmicroός n ge 2 στην εκφώνηση της Πρότασης 248

είναι (προφανώς) συνέπεια της Πρότασης 226

2) Για n = 2 το πλήθος των σηmicroείων του προβολικού επιπέδου είναι 7 άρα κάθε

προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον 7 διαφορετικά σηmicroεία [συγκρίνατε microε το (ΠΕ

3)] Εποmicroένως

η ελαχίστη ισχύς του προβολικού επιπέδου ειναι 7

και αυτό δικαιολογεί το Παράδειγmicroα 223 (1)

3) Μπορούmicroε να δείξουmicroε το συmicroπέρασmicroα της προηγούmicroενης παρατήρησης αmicroέ-

σως από το (ΠΕ 3) χωρίς τη χρήση της Πρότασης 248 ως εξής ας ξεκινήσουmicroε microε

τα τέσσερα σηmicroεία A B C D τα οποία ορίζονται κατά το (ΠΕ 3) Σύmicroφωνα microε το

(ΠΕ 1) ορίζονται οι ευθείες

(242) A or B A or C A or D B or C B or D C or D

οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους άρα τέmicroνονται κατά Ϲεύγη Εποmicroένως εκτός

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 55

των A B C D ορίζονται και τα σηmicroεία

E = (A or C) and (B or D) G = (A or D) and (B or C) H = (A or B) and (D or C)

Σχηmicroα 213

δηλαδή τελικώς έχουmicroε 7 διαφορετικά σηmicroεία Για την πληρότητα ας παρατηρήσουmicroε

ότι εκτός από τις ευθείες (242) υπάρχει και άλλη microία η ευθεία που περιέχει τα

σηmicroεία G E H και σηmicroειώνεται στο Σχήmicroα 213 microε διάστικτη microορφή

Εδώ διευκρινίζουmicroε ότι όπως σχολιάσαmicroε και microετά το Παράδειγmicroα 223 (1)

οι ευθείες που προκύπτουν τελικώς είναι τριάδες της microορφής A B H A D GG E H κλπ και δεν έχουν καmicroία σχέση microε τις συνήθεις γραmicromicroές (που περιέχουν

τα αντίστοιχα σηmicroεία) του Σχήmicroατος 213 Το τελευταίο σχήmicroα γίνεται στο σύνηθες

επίπεδο για διευκόλυνση και δεν αποδίδει ακριβώς την αντίστοιχη κατάσταση στο

(αφηρηmicroένο) προβολικό επίπεδο Αυτό ϕαίνεται ακόmicroη περισσότερο στην απεικόνιση

της ευθείας G E H4) Αν οι ευθείες ενός (πεπερασmicroένου) προβολικού επιπέδου περιέχουν n + 1

(διαφορετικά) σηmicroεία λέmicroε ότι το επίπεδο έχει τάξη (order) n ΄Ετσι το επίπεδο των

7 σηmicroείων έχει τάξη 2 ενώ το επίπεδο τάξης 3 είναι αυτό των 13 σηmicroείων κοκ

΄Ενα δύσκολο πρόβληmicroα είναι να αποφανθούmicroε αν υπάρχει ή όχι προβολικό επί-

πεδο microε δεδοmicroένη τάξη Είναι γνωστόν ότι υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης n για

όλα τα n = pk όπου p είναι πρώτος αριθmicroός αλλά αγνοούmicroε αν είναι και οι microόνες

δυνατές τάξεις πεπερασmicroένων προβολικών επιπέδων Για παράδειγmicroα γνωρίζουmicroε

ότι δεν υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης 6 10 14 21 22 κα ενώ παραmicroένει

ανοιχτό το πρόβληmicroα για n = 12 15 18 κα Για περισσότερες λεπτοmicroέρειες ϐλ [10

σελ 12] και [25 σελ 105]

2410 Ασκήσεις

1 Αναλόγως προς τη δOm ορίζεται η απεικόνιση

δprime = δmO J(m) minusrarr J(O) P 7rarr P or O

Να αποδειχθούν τα εξής

56 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

α) Η δprime είναι microία καλά ορισmicroένη απεικόνιση 1 minus 1 και επί

ϐ) Η δprime είναι αντίστροφη της δ

2 Να αποδειχθεί ότι για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q είναι

| J(P) | = | J(Q) |

3 Αν (A ℓ) isin P times L και (A ℓ) isin I να εξεταστεί αν ισχύει η σχέση

| J(A) | = | J(ℓ) |

Να συσχετιστεί το αποτέλεσmicroα microε το Πόρισmicroα246

4 Γιατί ένα επίπεδο που έχει περισσότερα από 7 σηmicroεία ϑα έχει αναγκαστικά του-

λάχιστον 13 διαφορετικά σηmicroεία Τι συmicroβαίνει microε τις ευθείες ενός τέτοιου επιπέδου

5 Να οριστεί η έννοια της σηmicroειοσειράς και της δέσmicroης ευθειών σε ένα συσχετισmicroένο

επίπεδο και να αποδειχθεί το ανάλογο της Πρότασης 242

6 Ισχύουν σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246

247 Ποιά είναι τα ανάλογα συmicroπεράσmicroατα στην περίπτωση αυτή

7 Αν microια ευθεία ℓ ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει n (n ge 2) το πλήθος διαφο-

ϱετικά σηmicroεία τότε το επίπεδο έχει ακριβώς n2 διαφορετικά σηmicroεία

8 Με τις υποθέσεις της προηγούmicroενης άσκησης να αποδειχθεί ότι από κάθε σηmicroείο

του επιπέδου διέρχονται n + 1 διαφορετικές ευθείες [Υπόδειξη Να εξεταστούν δύο

περιπτώσεις το σηmicroείο να ϐρίσκεται α) επί της ℓ και ϐ) εκτός αυτής]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων

Στην παράγραφο αυτή ϑα δείξουmicroε ότι microέσω της διαδικασίας της πλήρωσης από

ένα συσχετισmicroένο επίπεδο κατασκευάζεται ένα προβολικό και αντιστρόφως microέσω της

αποπλήρωσης από ένα προβολικό επίπεδο κατασκευάζεται ένα συσχετισmicroένο

Θεωρούmicroε πρώτα δεδοmicroένο ένα συσχετισmicroένο επίπεδο (PLI) Υπενθυmicroίζου-

microε ότι σύmicroφωνα microε τους ορισmicroούς της Παραγράφου 24 [ϐλ ιδιαιτέρως την Πρό-

ταση 242 και την ΄Ασκηση 2410 (5)] για ένα συσχετισmicroένοπροβολικό επίπεδο

(PLI) ισχύει η ισοδυναmicroία

(P ℓ) isin I hArr P isin J(ℓ) forall (P l) isin P times L

΄Οπως είδαmicroε στην Πρόταση 218 η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυναmicroίας

Αν ℓmiddot = [ ℓ ] συmicroβολίζει την κλάση ισοδυναmicroίας microιας ευθείας ℓ του συσχετισmicroένου

επιπέδου ϑέτουmicroε

εinfin =ℓmiddot | ℓ isin L

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 57

δηλαδή το εinfin είναι το σύνολο-πηλίκο Lsim του L ως προς τη σχέση ισοδυναmicroίας που

εισάγει η παραλληλία

Ορίζουmicroε και το σύνολο (σηmicroείων)

P+ = P cup εinfin = P cup ℓmiddot | ℓ isin L

Αν συmicroβολίσουmicroε γενικά microε P+ τα σηmicroεία του P+ τότε εισάγουmicroε την επόmicroενη

ορολογία

251 Ορισmicroός ΄Ενα σηmicroείο P+ isin P+ ϑα λέγεται πραγmicroατικό (αντιστ ιδεατό ή κατ᾿

εκδοχήν) αν υπάρχει P isin P (αντιστ ℓ isin L ) έτσι ώστε P+ = P (αντιστ P+ = ℓmiddot)

Παρατηρούmicroε ότι στο P+ έχει έννοια η ένωση

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot

αφού J(ℓ) sub P sub P+ και ℓmiddot isin εinfin sub P+ Εποmicroένως microπορούmicroε να ορίσουmicroε και το

σύνολο (ευθειών)

L+ = ℓlowast | ℓ isin L cup εinfinΣυmicroβολίζοντας τις ευθείες του L+ γενικά microε ℓ+ ϑα είναι είτε ℓ+ = ℓlowast για κάποια

ℓ isin L είτε ℓ+ = εinfin οπότε έχουmicroε την ακόλουθη ορολογία

252 Ορισmicroός Κάθε ευθεία της microορφής ℓlowast ϑα λέγεται πραγmicroατική ενώ η εinfinλέγεται ιδεατή (ή κατ᾿ εκδοχήν)

Συνοψίζοντας ϐλέπουmicroε ότι το P+ προκύπτει αν στα σηmicroεία του P επισυνάψου-

microε (προσθέσουmicroε) τα ιδεατά σηmicroεία του επιπέδου Επίσης κάθε πραγmicroατική

ευθεία ℓlowast αποτελείται από τη σηmicroειοσειρά της ℓ isin L και το αντίστοιχο ιδεατό

σηmicroείο ℓmiddot ενώ η ιδεατή ευθεία εinfin αποτελείται από τα ιδεατά σηmicroεία και microόνον

αυτά Η τελευταία ευθεία στον κόσmicroο της εmicroπειρίας microας ή στον Ϲωγραφικό

πίνακα αντιστοιχεί στη γραmicromicroή του ορίζοντα

Ορίζουmicroε ακόmicroη microία σχέση σύmicroπτωσης I+ sub P+ timesL+ microε τον εξής τρόπο για ένα

Ϲεύγος (P+ ℓ+) isin P+ times L+ ϑα είναι (P+ ℓ+) isin I+ τότε και microόνον τότε αν ισχύει microία

από τις επόmicroενες συνθήκες

i) P+ = kmiddot (k isin L ) και ℓ+ = εinfin [ οπότε kmiddot isin εinfin ]

ii) P+ = P isin P ℓ+ = ℓlowast και P isin J(ℓ) [ ισοδύναmicroα (P ℓ) isin I ]

iii) P+ = kmiddot ℓ+ = ℓlowast και kℓ [ οπότε kmiddot = ℓmiddot ]

Από τον προηγούmicroενο ορισmicroό προκύπτει ότι

bull Κάθε ιδεατό σηmicroείο ανήκει (microε την έννοια της I+) στην ιδεατή ευθεία

bull ΄Ενα πραγmicroατικό σηmicroείο ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν είναι σηmicroείο της

αρχικής ευθείας ℓ από την οποίαν προέρχεται η ℓlowast

58 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

bull ΄Ενα ιδεατό σηmicroείο kmiddot ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν οι αντίστοιχες ευθείες

k και ℓ (από τις οποίες προέρχονται το σηmicroείο και η ευθεία) είναι παράλληλες

bull ∆εν ορίζεται σύmicroπτωση microεταξύ πραγmicroατικών σηmicroείων και της ιδεατής ευθείας δη-

λαδή

(P+ ℓ+) lt I+ αν P+ = P isin P και ℓ+ = εinfin

Με τους προηγούmicroενους συmicroβολισmicroούς αποδεικνύεται τώρα το

253 Θεώρηmicroα Η τριάδα (P+L+I+) αποτελεί ένα προβολικό επίπεδο το οποίον

καλείται πλήρωση (completion) του συσχετισmicroένου επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα επαληθεύσουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικά σηmicroεία P+ και Q+ Αναλόγως microε το είδος των

σηmicroείων (πραγmicroατικά ή ιδεατά) εmicroφανίζονται οι επόmicroενες περιπτώσεις

α) Τα P+ και Q+ είναι και τα δύο πραγmicroατικά σηmicroεία δηλαδή P+ = P και Q+ = Q

Τότε σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία ℓ = PorQ (του συσχετισmicroένου επιπέδου)

οπότε η ℓ+ = ℓlowast isin L+ είναι microια ευθεία που περιέχει τα P+ και Q+

Η ευθεία αυτή είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι υ-

πάρχει και microία άλλη ευθεία m+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία τότε ϑα είναι αναγκαίως

m+ = mlowast = J(m) cup mmiddot (η περίπτωση m+ = εinfin αποκλείεται αφού τα P+ Q+ είναι

πραγmicroατικά σηmicroεία) Συνεπώς επειδή P Q isin J(m) πάλι από το (ΣΕ 1) προκύπτει

ότι m = ℓ και m+ = ℓ+

ϐ) Τα P+ και Q+ είναι ιδεατά δηλαδή P+ = kmiddot και Q+ = ℓmiddot για κάποιες ευθείες

k ℓ isin L Επειδή kmiddot ℓmiddot isin εinfin προφανώς η εinfin είναι και η microοναδική ευθεία που

περιέχει τα P+ και Q+ (ϐλ τον ορισmicroό της I+ και τα σχετικά σχόλια)

γ) Το ένα σηmicroείο είναι πραγmicroατικό και το άλλο ιδεατό Για παράδειγmicroα αν υπο-

ϑέσουmicroε ότι P+ = P και Q+ = kmiddot τότε διακρίνουmicroε δύο υποπεριπτώσεις

γ1) P isin J(k) και γ2) P lt J(k)

Στη γ1) παρατηρούmicroε ότι η ευθεία k+ = klowast = J(k) cup kmiddot περιέχει τα P+ Q+

Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και

microία άλλη ευθεία m+ k+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία Τότε επειδή το P+ είναι

πραγmicroατικό σηmicroείο η m+ αποκλείεται να είναι η εinfin άρα ϑα έχει τη microορφή m+ =

mlowast = J(m) cup mmiddot Επίσης επειδή η m+ περιέχει το kmiddot αναγκαστικά ϑα είναι και

kmiddot = mmiddot (αφού υπάρχει microόνον ένα κατ᾿ εκδοχήν σηmicroείο επί της mlowast) οπότε km

Το τελευταίο συmicroπέρασmicroα όmicroως είναι άτοπο επειδή k m έχουν το P κοινό σηmicroείο

(προφανώς k m διαφορετικά ϑα ήταν k+ = m+)

Στη γ2) σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 2) υπάρχει microία microοναδική ℓ isin L microε ℓk και (P ℓ) isin I

Εποmicroένως ϑέτοντας ℓ+ = ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot έχουmicroε ότι (P+ ℓ+) isin I+ Επίσης λόγω

της προηγουmicroένης παραλληλίας ϑα είναι Q+ = kmiddot = ℓmiddot άρα (Q+ ℓ+) isin I+ και η

Ϲητουmicroένη ευθεία είναι η ℓ+ Για το microονοσήmicroαντο της ℓ+ παρατηρούmicroε ότι αν υπάρχει

και microία m+ ℓ+ που περιέχει τα P+ και Q+ τότε [εργαζόmicroενοι αναλόγως προς την

γ1)] έχουmicroε ότι mmiddot = kmiddot = ℓmiddot άρα mkℓ ΄Οmicroως το P ανήκει στις m και ℓ (m ℓ)΄Αρα από το P διέρχονται δύο παράλληλες προς την k (άτοπο)

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 59

Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση υπάρχει microία microοναδική ευθεία τουL+ που περιέχει

τα P+ και Q+ οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

(ΠΕ 2) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες k+ ℓ+ και ϑα δείξουmicroε ότι διαθέτουν

κοινό σηmicroείο Προφανώς εmicroφανίζονται δύο περιπτώσεις

α) και οι δύο ευθείες είναι πραγmicroατικές

ϐ) microία απ᾿ αυτές είναι η ιδεατή ευθεία

Στην περίπτωση α) ϑα είναι k+ = klowast και ℓ+ = ℓlowast Παρατηρούmicroε ότι αναγκαίως

k ℓ [αν ήταν k = ℓ τότε ϑα ήταν και klowast = ℓlowast (άτοπο)] Εποmicroένως προκύπτουν δύο

υποπεριπτώσεις

α1) kℓ και α2) k mdashℓ

Στην πρώτη υποπερίπτωση το P+ = kmiddot = ℓmiddot είναι κοινό σηmicroείο των k+ και ℓ+

Στη δεύτερη οι k και ℓ διαθέτουν ένα (microοναδικό) κοινό σηmicroείο P = k and ℓ Επειδή

P isin J(k) και P isin J(ℓ) τελικώς το P+ = P είναι κοινό σηmicroείο και των ευθειών k+ ℓ+

Στην περίπτωση ϐ) ας υποθέσουmicroε ότι k+ = εinfin και ℓ+ = ℓlowast Προφανώς εinfin ℓ+

(αφού τα πραγmicroατικά σηmicroεία δεν ανήκουν στην ιδεατή ευθεία) Τότε το P+ = ℓmiddot είναι

το Ϲητούmicroενο κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Κατά το Θεώρηmicroα 219 στο P υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D τα οποία είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά Τα ίδια σηmicroεία είναι

και (πραγmicroατικά) σηmicroεία του P+ άρα κανένα τους δεν ανήκει στην εinfin Ας δούmicroε

αν τρία από αυτά πχ τα A B C microπορούν να ανήκουν σε microία πραγmicroατική ευθεία

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot Αν συνέβαινε κάτι τέτοιο ϑα είχαmicroε ότι A B C isin J(ℓ) πράγmicroα που

είναι άτοπο Εποmicroένως τα σηmicroεία A+ = A B+ = B και C+ = C ικανοποιούν το (ΠΕ

3) στο P+ Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη

Η αντίστροφη διαδικασία της πλήρωσης (αποπλήρωση) συνίσταται στην αφαίρεση

microιας ευθείας (ακριβέστερα σηmicroειοσειράς) από ένα προβολικό επίπεδο οπότε οδηγού-

microαστε στην κατασκευή ενός συσχετισmicroένου επιπέδου

΄Ετσι ϑεωρώντας δεδοmicroένο ένα προβολικό επίπεδο (PLI) σταθεροποιούmicroε

microιαν ευθεία ℓo isin L και ορίζουmicroε το σύνολο (σηmicroείων)

Pminus = P minus J(ℓo) = P isin P (P ℓo) lt I equiv P isin P P lt J(ℓo)

∆ηλαδή τα σηmicroεία του Pminus είναι όλα τα σηmicroεία του P εκτός των σηmicroείων της σηmicroειο-

σειράς J(ℓo)Επίσης ϑεωρούmicroε και το σύνολο (ευθειών)

Lminus =kminus = J(k) minus k and ℓo

∣∣∣k isin L k ℓo

Εποmicroένως το Lminus δεν περιέχει την J(ℓo) ενώ κάθε άλλο στοιχείο του είναι microία ση-

microειοσειρά που αντιστοιχεί σε ευθεία του L από την οποίαν έχει αφαιρεθεί το σηmicroείο

60 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

τοmicroής της microε την ℓo Προφανώς κάθε kminus είναι σηmicroειοσειρά άρα microπορούmicroε να γρά-

ψουmicroε ότι kminus equiv J(kminus)

Σχηmicroα 214

Τέλος ορίζουmicroε και microία σχέση σύmicroπτωσης Iminus sub Pminus times Lminus microε τον εξής τρόπο για

ένα (P kminus) isin Pminus times Lminus ϑα είναι

(P kminus) isin Iminus hArr P isin kminus = J(k) minus k and ℓo

δηλ το P είναι σηmicroείο της kminus τότε και microόνον τότε αν (P k) isin I και P k and ℓo

Επειδή σκοπός microας είναι να δείξουmicroε ότι η τριάδα (PminusLminusIminus) είναι συσχετισmicroένο

επίπεδο ϑα πρέπει να εξασφαλίσουmicroε πρώτα την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών

254 Λήmicromicroα Στο σύνολο Lminus υπάρχουν παράλληλες ευθείες

Απόδειξη Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο A της ευθείας ℓo Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 228

microπορούmicroε να ϐρούmicroε δύο ευθείες k και m του L τέτοιες ώστε k m isin J(A) και

k ℓo m k Τότε οι kminus και mminus είναι παράλληλες [αν υπήρχε κοινό σηmicroείο P

ϑα είχαmicroε ότι k = P or A = m (άτοπο)] Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και άλλες παράλληλες

χρησιmicroοποιώντας ευθείες που διέρχονται από τα διάφορα σηmicroεία της ℓo

255 Θεώρηmicroα Η τριάδα (PminusLminusIminus) αποτελεί συσχετισmicroένο επίπεδο το οποίον

καλείται αποπλήρωση (deletion) του προβολικού επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ικανοποιούνται τα αξιώmicroατα του συσχετισmicroένου επιπέδου

(ΣΕ 1) Θεωρούmicroε δύο σηmicroεία P Q isin Pminus microε P Q Τα P Q (ως διαφορετικά σηmicroεία

και του P) ορίζουν την ευθεία k = P or Q isin L Προφανώς k ℓo αφού τα P Q δεν

ανήκουν στην ℓo Εποmicroένως η kminus = J(k) minus k and ℓo είναι ευθεία του Lminus που περιέχει

τα P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

και microία άλλη ευθεία mminus isin Lminus που περιέχει τα δύο προηγούmicroενα σηmicroεία Τότε από

τον ορισmicroό της mminus προκύπτει ότι τα P Q είναι και σηmicroεία της m Εποmicroένως κατά

το (ΠΕ 1) m = k και mminus = kminus που αποδεικνύει το (ΣΕ 1)

(ΣΕ 2) Υποθέτουmicroε ότι (P kminus) isin Pminus times Lminus microε P lt J(k) Αν ϑέσουmicroε (για ευκολία)

A = k and ℓo isin P παρατηρούmicroε ότι P A [διαφορετικά ϑα ήταν P isin J(ℓo) (άτοπο)]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 61

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία m = P orA isin L και η αντίστοιχη mminus = J(m)minusm and lo =J(m) minus A (ϕυσικά m ℓo αφού το P είναι σηmicroείο της m αλλά όχι και της ℓo) Αυτά

δείχνουν ότι (P mminus) isin Iminus και mminuskminus (ϐλ τη σχετική κατασκευή παραλλήλων στην

απόδειξη του Λήmicromicroατος 254) δηλαδή η mminus είναι ευθεία (του Lminus) που διέρχεται

από το P και είναι παράλληλη προς την kminus

Σχηmicroα 215

Η mminus είναι η microοναδική ευθεία microε τις προηγούmicroενες ιδιότητες Πραγmicroατικά ας

υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και microία άλλη ευθεία xminus = J(x) minus x and ℓo isin Lminus η οποία

διέρχεται από το P και είναι παράλληλη προς την kminus microε xminus mminus Τότε σύmicroφωνα

microε τον ορισmicroό της παραλληλίας είναι είτε xminus = kminus είτε xminus kminus και xminus cap kminus = emptyΗ πρώτη περίπτωση αποκλείεται επειδή το P δεν είναι σηmicroείο της kminus Στη δεύτερη

περίπτωση ϑα είναι υποχρεωτικά x k [ διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι x and ℓo = k and ℓo

οπότε xminus = kminus (άτοπο)] ΄Αρα ορίζεται το σηmicroείο Z = x and k (ϐλ το παραπάνω Σχήmicroα

215) και εmicroφανίζονται δύο νέες περιπτώσεις

i) Το Z είναι διαφορετικό από τα σηmicroεία A = k and ℓo και B = x and ℓo

ii) Το Z συmicroπίπτει microε ένα από τα A B

Στην i) έχουmicroε κατ᾿ ανάγκην ότι (Z kminus) isin Iminus ni (Z xminus) το οποίον είναι άτοπο

αφού kminusxminus

Στη ii) ας πάρουmicroε πρώτα ότι Z = A Τότε ϑα είναι και Z P [αλλιώς ϑα ήταν

P = Z isin J(k) (άτοπο)] Εποmicroένως

x = P or Z = P or A = m

άρα xminus = mminus που είναι άτοπο γιατί δεχτήκαmicroε από την αρχή ότι xminus mminus Αν Z = B

τότε k = Aor Z = AorB = ℓo που είναι επισης άτοπο Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση

η υπόθεση ότι υπάρχει και η xminus (microε τις αναφερόmicroενες ιδιότητες) οδηγεί σε άτοπο

΄Αρα τελικώς η mminus είναι η microοναδική παράλληλη προς την kminus που διέρχεται από το

P πράγmicroα που αποδεικνύει πλήρως το (ΣΕ 2)

(ΣΕ 3) Στο αρχικό προβολικό επίπεδο υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D που είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά ΄Αρα δύο τουλάχιστον

62 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

από αυτά ας πούmicroε τα A και B δεν ανήκουν στην ℓo Ας υποθέσουmicroε ακόmicroη ότι τα

C D ανήκουν και τα δύο στην ℓo Θεωρούmicroε την ευθεία

Σχηmicroα 216

A or C οπότε (λόγω της Πρότασης 226 υπάρχει ένα τουλάχιστον σηmicroείο της X

διαφορετικό από τα A C Προφανώς X lt J(ℓo) Εποmicroένως τα A B X είναι τρία

διαφορετικά microεταξύ τους (γιατί) σηmicroεία που ανήκουν στο Pminus επειδή κανένα τους

δεν ανήκει στην ℓo

Τα A B X δεν είναι συγγραmicromicroικά στο Pminus Πραγmicroατικά αν ανήκαν και τα τρία

σε microια ευθεία kminus = J(k) minus k and ℓo isin Lminus τότε ϑα ήταν A B X isin J(k) και

k = A or B = A or X = A or C

δηλαδή τα A B C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο προβολικό επίπεδο P που είναι άτοπο

Αν υποθέσουmicroε ότι C lt J(ℓo) [microε D isin J(ℓo) ή D lt J(ℓo)] εργαζόmicroενοι όπως στην

προηγούmicroενη περίπτωση δείχνουmicroε ότι τα σηmicroεία A B C είναι διαφορετικά και microη

συγγραmicromicroικά στο PminusΣυνεπώς microπορούmicroε πάντοτε να ϐρούmicroε τρία διαφορετικά σηmicroεία του Pminus που

ικανοποιούν το (ΣΕ 3) Με αυτό ολοκληρώνεται και η απόδειξη

΄Ενα ενδιαφέρον ερώτηmicroα είναι τώρα το εξής αν ξεκινήσουmicroε από ένα προβολικό

επίπεδο και εφαρmicroόσουmicroε πρώτα τη διαδικασία της αποπλήρωσης και κατόπιν αυτή

της πλήρωσης ποιά είναι η σχέση του αρχικού προβολικού επιπέδου microε το τελευταίο

Αποδεικνύεται ότι τα επίπεδα αυτά είναι ισόmicroορφα (ϐλ [5 Θεώρηmicroα 234]) Η έννοια

του ισοmicroορφισmicroού προβολικών επιπέδων ορίζεται στην επόmicroενη παράγραφο

256 Το κλασικό προβολικό επίπεδο

΄Οπως αναφέραmicroε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου (sect20) το προβολικό επίπεδο

εmicroφανίζεται ιστορικά ως αφαίρεση (microαθηmicroατικοποίηση) του επιπέδου του Ϲωγραφι-

κού πίνακα όπου ϑεωρούmicroε ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες ή ισοδύναmicroα

υποθέτουmicroε ότι όλες οι ευθείες που είναι microεταξύ τους παράλληλες τέmicroνονται στο

άπειρο επάνω στη γραmicromicroή του ορίζοντα Σε πιο αυστηρή γλώσσα χρησιmicroοποιώντας

την ορολογία αυτής της παραγράφου [ϐλ και Παράδειγmicroα 213 (1)]

το κλασικό προβολικό επίπεδο δηλαδή το επίπεδο της κλασικής Προβολικής

Γεωmicroετρίας είναι η πλήρωση του συνήθους (συσχετισmicroένου) επιπέδου E ( R2)της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

257 Σχόλιο ΄Οπως ήδη έχει αντιληφθεί ο αναγνώστης πολύ συχνά χρησιmicroοποι-

ήσαmicroε την εις άτοπον απαγωγή ΄Οπως αναφέρθηκε και στην sect12 αυτή είναι microία

ϐασική microέθοδος απόδειξης της συνθετικής γεωmicroετρίας και χρησιmicroοποιήθηκε συ-

στηmicroατικά από τον Ευκλείδη στα laquoΣτοιχείαraquo του Σχετικά ο G H Hardy [16 sect12]

παρατηρεί ότι

laquoη εις άτοπον απαγωγή (reductio ad absurdum) την οποίαν ο Ευκλείδης αγα-

πούσε τόσο πολύ είναι ένα από τα πιο έξοχα όπλα ενός microαθηmicroατικούraquo

258 Ασκήσεις

1 Αναφορικά microε την απόδειξη του (ΣΕ 3) στο Θεώρηmicroα 255 να δικαιολογηθεί

το σηmicroειούmicroενο γιατί και να ολοκληρωθεί η διερεύνηση για τα σηmicroεία C και D

(σχετικώς microε τη ϑέση τους ως προς την ευθεία ℓo)

2 Να εξηγηθεί γιατί είναι

P+ cap L+ = empty και Pminus cap Lminus = empty

3 Να αποδειχθεί ότι η πλήρωση του συσχετισmicroένου επιπέδου των τεσσάρων σηmicroείων

[Παράδειγmicroα 213 (2)] είναι το προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων [Παράδειγ-

microα 223 (1)]

4 Αντιστρόφως προς την προηγουmicroένη άσκηση να δειχθεί ότι η αποπλήρωση του

προβολικού επιπέδου των επτά σηmicroείων είναι το συσχετισmicroένο επίπεδο των τεσσάρων

σηmicroείων

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων

Στη Θεωρία Συνόλων ορίζεται η έννοια της απεικόνισης h S rarr Sprime microεταξύ δύο συνό-

λων S και Sprime Αν υποθέσουmicroε επιπλέον ότι τα σύνολα S και Sprime έχουν microιαν ιδιαίτερη

δοmicroή (πχ δοmicroή γραmicromicroικού χώρου οmicroάδας κλπ) το ενδιαφέρον microας εστιάζεται ό-

χι στις οποιεσδήποτε απεικονίσεις microεταξύ των συνόλων αυτών αλλά minusκυρίωςminus στις

απεικονίσεις εκείνες που αντανακλούν την προηγούmicroενη δοmicroή ΄Ετσι στους γραmicro-

microικούς χώρους ενδιαφερόmicroαστε ιδιαιτέρως για τις laquoγραmicromicroικές απεικονίσειςraquo στις

οmicroάδες για τους laquoοmicroοmicroορφισmicroούςraquo κοκ

Τις απεικονίσεις που συνδέονται microε την ιδιαίτερη δοmicroή των (microαθηmicroατικών) αν-

τικειmicroένων microιας κατηγορίας (όπως πχ των γραmicromicroικών χώρων των οmicroάδων των

προβολικών επιπέδων κλπ) τις καλούmicroε microορφισmicroούς (Εδώ χρησιmicroοποιούmicroε την

ορολογία της Θεωρίας Κατηγοριών για την οποία δεν microπορούmicroε να πούmicroε τίποτε

περισσότερο στο πλαίσιο αυτών των microαθηmicroάτων) Σε microερικές περιπτώσεις οι microορφι-

σmicroοί έχουν ένα συγκεκριmicroένο όνοmicroα όπως γραmicromicroικές απεικονίσεις οmicroοmicroορφισmicroοί

κλπ

64 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Για παράδειγmicroα ας ϑυmicroίσουmicroε την περίπτωση των οmicroοmicroορφισmicroών οmicroάδων Αν

(G middot) και (H lowast) είναι δύο οmicroάδες τότε microία απεικόνιση φ G rarr H καλείται microορφισmicroός

( οmicroοmicroορφισmicroός) οmicroάδων αν

(261) φ(g middotgprime) = φ(g) lowast φ(gprime) (g gprime) isin G times GΗ σχέση (261) σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός φ διατηρεί τη δοmicroή της οmicroάδας

Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί Τότε υπάρχει η αντί-

στροφη απεικόνιση φminus1 H rarr G Αποδεικνύεται εύκολα ότι και αυτή η απεικόνιση

είναι επίσης microορφισmicroός οmicroάδων δηλαδή ισχύει η

(262) φminus1(h lowast hprime) = φminus1(h) middot φminus1(hprime) (h hprime) isin H times HΣτην περίπτωση αυτή λέmicroε ότι η φ είναι ισοmicroορφισmicroός οmicroάδων

Γενικότερα microπορούmicroε να ορίσουmicroε την έννοια του ισοmicroορφισmicroού και για οποια-

δήποτε άλλη δοmicroή ΄Ετσι microία απεικόνιση f S rarr Sprime microεταξύ δύο συνόλων εφοδια-

σmicroένων microε microία συγκεκριmicroένη δοmicroή είναι ισοmicroορφισmicroός (ως προς την εξεταζοmicroένη

δοmicroή) αν η f είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί και minusεπιπλέονminus η απεικόνιση f minus1 είναι

επίσης microορφισmicroός

Εδώ πρέπει να διευκρινήσουmicroε ότι στον προηγούmicroενο ορισmicroό απαιτήσαmicroε να είναι

microορφισmicroός και η f minus1 Αυτό είναι απαραίτητο γιατί υπάρχουν περιπτώσεις όπου microπο-

ϱούmicroε να ϐρούmicroε microορφισmicroούς f οι οποίοι είναι 1 ndash 1 και επί χωρίς να είναι και οι

f minus1 microορφισmicroοί Μια τέτοια περίπτωση αποτελούνοι τοπολογικοί χώροι Οι microορφισmicroοί

εδώ είναι οι συνεχείς απεικονίσεις ΄Οmicroως υπάρχουν παραδείγmicroατα συνεχών απει-

κονίσεων που είναι 1 ndash 1 και επί microε αντίστροφη όχι κατ᾿ ανάγκην συνεχή ΄Αρα στην

περίπτωση αυτή ένας microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί δεν ορίζει πάντοτε έναν ισοmicroορφισmicroό

Αντιθέτως στην περίπτωση των οmicroάδων κάθε οmicroοmicroορφισmicroός 1 ndash 1 και επί είναι

ισοmicroορφισmicroός Παρόmicroοια στους γραmicromicroικούς χώρους για να είναι microια απεικόνιση

ισοmicroορφισmicroός γραmicromicroικών χώρων αρκεί να είναι γραmicromicroική 1 ndash 1 και επί Γενικότερα

το ίδιο ισχύει στις laquoαλγεβρικές δοmicroέςraquo αλλά όχι σε πολυπλοκότερες δοmicroές όπως οι

τοπολογικοί χώροι οι διαφορικές πολλαπλότητες κλπ

Ποια όmicroως είναι η σηmicroασία ενός ισοmicroορφισmicroού Απ᾿ όσα είπαmicroε microέχρις εδώ

γίνεται ϕανερό πως δύο σύνολα S και Sprime microε την ίδια δοmicroή τα οποία συνδέονται

microεταξύ τους microε έναν ισοmicroορφισmicroό f S rarr Sprime δεν διαφέρουν ουσιαστικά microεταξύ τους

Πραγmicroατικά η απεικόνιση f όχι microόνον αντιστοιχεί κατά τρόπον αmicroφιmicroονοσήmicroαντο

τα στοιχεία των S και Sprime microεταξύ τους αλλά microεταφέρει και όλες τις ιδιότητες του S σε

αντίστοιχες ιδιότητες του Sprime και αντιστρόφως Εποmicroένως κάτι που ισχύει στο S ϑα

ισχύει και σε κάθε άλλο Sprime ισόmicroορφο (δηλ που συνδέεται microε έναν ισοmicroορφισmicroό)

microε το S Με άλλα λόγια microπορούmicroε να πούmicroε ότι υπάρχει microια (microαθηmicroατική) ταύτιση

microεταξύ των S και Sprime Συνεπώς microέσω των ισοmicroορφισmicroών microπορούmicroε να διακρίνουmicroε αν

δύο αντικείmicroενα είναι laquoίδιαraquo (ταυτίζονται) ή όχι δηλαδή έχουmicroε ένα τρόπο σύγκρισης

Συνοψίζοντας microπορούmicroε να πούmicroε ότι ανάmicroεσα στις απεικονίσεις microεταξύ των

αντικειmicroένων microιας κατηγορίας (δηλ συνόλων microε microια συγκεκριmicroένη δοmicroή) microας

ενδιαφέρουν minusκυρίωςminus εκείνες που διατηρούν τη δοmicroή αυτή Ιδιαιτέρως microας

ενδιαφέρουν οι ισοmicroορφισmicroοί που επιτρέπουν να συγκρίνουmicroε τα αντικείmicroενα

της κατηγορίας και να τα ταξινοmicroήσουmicroε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 65

Τη λέξη laquoταξινόmicroησηraquo την παίρνουmicroε εδώ microε την κυριολεκτική σηmicroασία της και όχι

microε το ειδικό περιεχόmicroενο που έχει συχνά στα microαθηmicroατικά

Μετά τα παραπάνω διευκρινιστικά ας δούmicroε τα πράγmicroατα στο πλαίσιο της Προ-

ϐολικής Γεωmicroετρίας Οι microορφισmicroοί κι εδώ ϑα πρέπει να αντανακλούν τη δοmicroή του

προβολικού επιπέδου Εποmicroένως πρέπει να απεικονίζουν τα σηmicroεία σε σηmicroεία και

τις ευθείες σε ευθείες Αλλά υπάρχει και microια σχέση σύmicroπτωσης Θα πρέπει όπως στις

περιπτώσεις που συζητήσαmicroε αυτή η σύmicroπτωση να διατηρείται ΄Ολα αυτά οδηγούν

στον επόmicroενο ϕυσιολογικό ορισmicroό

261 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (morphism) microεταξύ των προβολικών επιπέδων

(PLI) και (PprimeLprimeIprime) είναι ένα Ϲεύγος απεικονίσεων (φψ) όπου

φ P minusrarr Pprime και ψ L minusrarr Lprime

έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη

(P ℓ) isin I rArr (φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime

Περιφραστικά η τελευταία συνθήκη σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός διατηρεί τη σύmicro-

πτωση Συmicroβολικά επίσης γράφουmicroε ότι

(φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime)

262 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime) καλείται 1 ndash1

(αντιστ επί ) αν και οι δυο απεικονίσεις φ και ψ είναι 1 ndash 1 (αντίστ επί) Ιδιαιτέρως

ένας microορφισmicroός (φψ) καλείται ισοmicroορφισmicroός (isomorphism) αν οι απεικονίσεις

φ και ψ είναι 1 ndash 1 και επί Στην περίπτωση αυτή τα προβολικά επίπεδα λέγονται

ισόmicroορφα

263 Παρατήρηση Στην εισαγωγή αυτής της παραγράφου είπαmicroε ότι για να είναι

ένας microορφισmicroός f και ισοmicroορφισmicroός ϑα πρέπει να υπάρχει η f minus1 και να είναι επίσης

microορφισmicroός Στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου ϐεβαιώνεται κανείς εύκολα ότι

ένας ισοmicroορφισmicroός (όπως στον Ορισmicroό 262 είναι ισοmicroορφισmicroός microε την κατηγορι-

κή έννοια δηλαδή ότι και το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι επίσης microορφισmicroός προβολικών

επιπέδων [ϐλ ΄Ασκηση 2610 (3) στο τέλος αυτής της παραγράφου]

Μερικές άmicroεσες συνέπειες του Ορισmicroού 261 περιέχονται στην εποmicroένη

264 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι (φ ψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) είναι microορφισmicroός

προβολικών επιπέδων Τότε ισχύουν τα εξής συmicroπεράσmicroατα

i) Αν η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q)

για οποιαδήποτε σηmicroεία PQ isin P microε P Q

ii) Αν η ψ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

φ(k and ℓ) = ψ(k) and ψ(ℓ)

για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

66 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη i) Οι ευθείες P or Q και ψ(P or Q) ορίζονται επειδή P Q Από τον Ορι-

σmicroό 261 έχουmicroε ότι

(P P or Q) isin I rArr (φ(P) ψ(P or Q)) isin Iprime(Q P or Q) isin I rArr (φ(Q) ψ(P or Q)) isin Iprime

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 ϑα είναι και φ(P) φ(Q) οπότε ορίζεται η φ(P)orφ(Q) Το (ΠΕ

1) και οι σχέσεις της δεύτερης στήλης των παραπάνω συνεπαγωγών αποδεικνύουν

ακριβώς το πρώτο συmicroπέρασmicroα

Για το ii) προχωρούmicroε αναλόγως

(k and ℓ k) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(k)) isin Iprime(k and ℓ ℓ) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(ℓ)) isin Iprime

Το συmicroπέρασmicroα τώρα προκύπτει από τις προηγούmicroενες σχέσεις και το (ΠΕ 2) σε

συνδυασmicroό microε την Πρόταση 224

Φυσικά η απόδειξη του συmicroπεράσmicroατος ii) περιττεύει επειδή είναι δυϊκό του i)

Εδώ έγινε microόνον για την εξοικείωση του αναγνώστη microε το microηχανισmicroό των microορφισmicroών

Για να διαπιστώσουmicroε πότε ένας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων είναι και ισο-

microορφισmicroός (Ορισmicroός 262) αρκεί να ελέγξουmicroε τη microία από τις δύο απεικονίσεις του

microορφισmicroού όπως προκύπτει από το επόmicroενο ϐασικό συmicroπέρασmicroα

265 Θεώρηmicroα ΄Εστω (φψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) microορφισmicroός προβολικών επι-

πέδων Η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί τότε και microόνον τότε αν η ψ είναι απεικόνιση

1 ndash 1 και επί

Απόδειξη Υποθέτουmicroε πρώτα ότι η φ είναι 1 ndash 1 και επί οπότε ϑα δείξουmicroε ότι τις

ίδιες ιδιότητες έχει και η ψ

Η ψ είναι επί ΄Εστω ℓprime isin Lprime τυχούσα ευθεία Αν P prime και Qprime είναι δυο οποιαδήποτε

διαφορετικά σηmicroεία της δηλαδή (P prime ℓprime) isin Iprime ni (Qprime ℓprime) τότε το επί της φ εξασφαλίζει

την ύπαρξη δύο σηmicroείων P Q isin P microε φ(P) = P prime και φ(Q) = Qprime Αναγκαίως ϑα είναι

και P Q [αλλιώς η σχέση P = Q συνεπάγεται ότι P prime = φ(P) = φ(Q) = Qprime (άτοπο)]

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία ℓ = P or Q isin L και ισχύουν οι σχέσεις

(P ℓ) isin I rArr (P prime = φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime(Q ℓ) isin I rArr (Qprime = φ(Q) ψ(ℓ)) isin Iprime

Από τις σχέσεις αυτές και το (ΠΕ 1) προκύπτει ότι

ψ(ℓ) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

Η ψ είναι 1 ndash 1 Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής δεν είναι τόσο άmicroεση όπως πριν

αλλά ϐασίζεται σ᾿ ένα τέχνασmicroα Αν υποθέσουmicroε ότι δεν ισχύει το συmicroπέρασmicroα τότε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 67

αυτό σηmicroαίνει ότι microπορούmicroε να ϐρούmicroε (τουλάχιστον δύο) ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

και τέτοιες ώστε ψ(k) = ψ(ℓ) Θα δείξουmicroε ότι ισχύει ο εξής ισχυρισmicroός

(lowast) forall P isin P rArr (φ(P) ψ(k)) isin Iprime

δηλαδή κάθε σηmicroείο του προβολικού επιπέδου (PLI) απεικονίζεται microέσω της φ

επί της ευθείας ψ(k) = ψ(ℓ)Πρώτα παρατηρούmicroε από τον ορισmicroό του microορφισmicroού ότι όλα τα σηmicroεία των k και

ℓ απεικονίζονται στην ψ(k) = ψ(ℓ) οπότε πρέπει να δείξουmicroε ότι το ίδιο συmicroβαίνει

και για οποιοδήποτε X isin P που δεν ανήκει στις k ℓ Πραγmicroατικά αν ϑέσουmicroε

A = k and ℓ στην ℓ υπάρχει κι ένα σηmicroείο B A Επίσης B X διαφορετικά ϑα

ήταν (X = B ℓ) isin I που είναι άτοπο ΄Αρα ορίζεται η ευθεία B or X (ϐλ και Σχήmicroα

217) Προφανώς B or X k αφού η πρώτη έχει σηmicroεία που δεν ανήκουν στην άλλη

(ϐλ Πρόταση 242) άρα ορίζεται και το σηmicroείο C = (B or X )and k Εφαρmicroόζοντας τον

Ορισmicroό 261 έχουmicroε διαδοχικά

(263)(B ℓ) isin I rArr (φ(B) ψ(ℓ)) isin Iprime(C k) isin I rArr (φ(C) ψ(k)) isin Iprime

Σχηmicroα 217

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και B C ϑα είναι φ(B) φ(C) οπότε ορίζεται η φ(B)orφ(C)Εποmicroένως από την Πρόταση 224 τις σχέσεις (263) και την υπόθεση ψ(k) = ψ(ℓ)προκύπτει ότι

(264) ψ(B or C) = φ(B) or φ(C) = ψ(k) = ψ(ℓ)

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή το X είναι σηmicroείο της B or C δηλαδή (X B or C) isin I

ϑα είναι και

(265)(φ(X ) ψ(B or C)

) isin Iprime

Εποmicroένως από τις (264) και (265) έχουmicroε ότι

(φ(X ) ψ(k)) isin Iprime

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό (lowast)Ας δούmicroε τώρα τη συνέπεια του (lowast) Επειδή η φ είναι απεικόνιση επί για τυχόν

P prime isin Pprime υπάρχει P isin P microε φ(P) = P prime ΄Αρα λόγω του (lowast) ϑα είναι (P prime ψ(k)) isin Iprime Αυτό

68 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

ισχύει για κάθε σηmicroείο του Pprime δηλαδή ϐρίσκουmicroε ότι όλα τα σηmicroεία του Pprime είναι

συγγραmicromicroικά που είναι άτοπο [λόγω του (ΠΕ 3)] Το άτοπο αίρεται αν δεχθούmicroε ότι

η ψ είναι 1 ndash 1 (οπότε παύει να ισχύει και ο (lowast) ο οποίος είναι συνέπεια της άρνησης

του 1 ndash 1)

Για να κλείσει η απόδειξη πρέπει να δείξουmicroε ότι αν η ψ είναι 1 ndash 1 και επί

τότε και η φ έχει τις ίδιες ιδιότητες Αυτό όmicroως προκύπτει από το προηγούmicroενο

συmicroπέρασmicroα ϐάσει της αρχής του δυϊσmicroού

Προφανής συνέπεια του προηγουmicroένου ϑεωρήmicroατος και του Ορισmicroού 262 είναι

το επόmicroενο

266 Πόρισmicroα ΄Ενας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων (φ ψ) είναι ισοmicroορφισmicroός

αν και microόνον αν microία από τις απεικονίσεις φ ψ είναι 1 ndash 1 και επί

267 Παρατηρήσεις 1) ΄Οπως ϕάνηκε στην απόδειξη του Θεωρήmicroατος 265 για

την απόδειξη του επί της ψ αρκεί microόνον το επί της φ Αρα microπορούmicroε να πούmicroε ότι

η ψ είναι επί τότε και microόνον τότε αν η φ είναι επί

Κάνοντας όmicroως χρήση και του 1 ndash 1 της φ microπορούmicroε να δείξουmicroε το επί της ψ και

ως εξής για τα P prime Qprime (όπως στην αρχική απόδειξη του ϑεωρήmicroατος) υπάρχουν

microονοσήmicroαντα ορισmicroένα (και ϕυσικά διαφορετικά microεταξύ τους) σηmicroεία P και Q που

ορίζουν την ℓ = P or Q Εφαρmicroόζοντας την Πρόταση 264 ϐρίσκουmicroε ότι

ψ(ℓ) = ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

2) Αντιθέτως για το 1 ndash 1 της ψ χρησιmicroοποιείται και το 1 ndash 1 και το επί της φ

Μέχρι τώρα έχουmicroε ορίσει το προβολικό επίπεδο (όπως και το συσχετισmicroένο ε-

πίπεδο) microε τη ϐοήθεια microιας αφηρηmicroένης σύmicroπτωσης I ΄Οmicroως στη Στοιχειώδη (Ευ-

κλείδεια) Γεωmicroετρία και στην κλασική Προβολική Γεωmicroετρία (για την οποίαν έγινε

λόγος στο εδάφιο 256 σελ 62) η σύmicroπτωση αυτή είναι η συνήθης σύmicroπτωση της

εmicroπειρίας η οποία έχει την ίδια σηmicroασία microε το συνολοθεωρητικό lsquolsquoisinrsquorsquoΜε τη χρήση των ισοmicroορφισmicroών προβολικών επιπέδων ϑα δείξουmicroε ότι και η αφη-

ϱηmicroένη σύmicroπτωση I που έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει microέχρι τώρα microπορεί να ταυτιστεί

(microέσω κατάλληλου ισοmicroορφισmicroού) microε τη συνήθη σύmicroπτωση που ορίζει το lsquolsquoisinrsquorsquo Αυτό

επιτυγχάνεται αν ταυτίσουmicroε κάθε ευθεία microε την αντίστοιχη σηmicroειοσειρά της ΄Ετσι

και πιο κοντά στην εmicroπειρία ϐρισκόmicroαστε και τους συmicroβολισmicroούς microας απλοποιούmicroε

σηmicroαντικά

Για την ακρίβεια ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PLI) και το δυναmicroοσύ-

νολο P(P) του P Επίσης ορίζουmicroε την απεικόνιση

J L minusrarr P(P)

η οποία σε κάθε ευθεία ℓ αντιστοιχεί τη σηmicroειοσειρά της (ϐλ Ορισmicroό 241)

(266) J(ℓ) =P isin P (P ℓ) isin I

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 69

Η J είναι καλά ορισmicroένη (ϐλ Πρόταση 242) Θέτουmicroε

L = J(L)

οπότε σχηmicroατίζεται η τριάδα (P L isin) Παρατηρούmicroε ότι P cap L = empty και το lsquolsquoisinrsquorsquo ορίζει

microια σχέση σύmicroπτωσης στο P times L

Αν συmicroβολίσουmicroε microε 1P την ταυτοτική απεικόνιση του P τότε έχουmicroε το

268 Θεώρηmicroα Με τους προηγουmicroένους συmicroβολισmicroούς ισχύουν τα εξής συmicroπερά-

σmicroατα

i) Η τριάδα (P L isin) είναι προβολικό επίπεδο

ii) Το Ϲεύγος (1P J) είναι ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των προβολικών επιπέδων (PLI)και (P L isin)

Απόδειξη Για το i) επαληθεύουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Αν P Q είναι δύο οποιαδήποτε σηmicroεία της δεύτερης τριάδας microε P Q τότε

ως σηmicroεία του πρώτου προβολικού επιπέδου ορίζουν microονοσήmicroαντα την ευθεία PorQ

Συνεπώς ορίζεται και η J(P or Q) isin L Επειδή (P P or Q) isin I ϑα είναι P isin J(P or Q)και παρόmicroοια Q isin J(P or Q) ΄Αρα η J(P or Q) είναι microια ευθεία του L που περιέχει

(ή ορίζεται από) τα σηmicroεία P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά αν

υπήρχε και κάποια άλλη ευθεία από το L που να περιέχει τα P Q τότε αυτή ϑα

είχε τη microορφή J(k) για κάποια k isin L Επειδή PQ isin J(k) λόγω της (266) ϑα ήταν

(P k) isin I ni (Q k) Αλλά P Q οπότε το (ΠΕ 1) στο προβολικό επίπεδο (PLI)συνεπάγεται ότι k = P or Q άρα και J(k) = J(P or Q) απ᾿ όπου προκύπτει και το

microονοσήmicroαντο της ευθείας (του L ) η οποία περιέχει τα P και Q

(ΠΕ 2) Αν J(k) και J(ℓ) είναι στοιχεία του L microε J(k) J(ℓ) τότε και k ℓ (ϐλ

Πρόταση 242 Συνεπώς από το (ΠΕ 2) για το (PLI) ορίζεται το σηmicroείο P = kand ℓΕπειδή (P k) isin I ni (P ℓ) οι τελευταίες σχέσεις και η (266) συνεπάγονται ότι

P isin J(k) cap J(ℓ) δηλαδή οι J(k) και J(ℓ) έχουν κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Επειδή το P είναι το ίδιο και στις δύο τριάδες και η πρώτη είναι προβολικό

επίπεδο microπορούmicroε να ϐρούmicroε τέσσερα σηmicroεία Pi (i = 1 4) διαφορετικά και ανά

τρία microη συγγραmicromicroικά (ως προς τις ευθείες του L ) Τα σηmicroεία αυτά δεν είναι ανά

τρία συγγραmicromicroικά και ως προς τις ευθείες του L Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι

υπάρχει κάποια ευθεία J(k) που περιέχει ας πούmicroε τα P1 P2 P3 τότε ϑα ήταν και

(Pj k) isin I ( j = 1 23) δηλαδή τα σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο πρώτο επίπεδο

(άτοπο)

Για το συmicroπέρασmicroα ii) παρατηρούmicroε ότι σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό της J

[ forall (P k) isin P times L (P k) isin I ] rArr [ 1P(P) = P isin J(k) ]

΄Αρα το Ϲεύγος (1P J) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Επειδή η 1P είναι 1 ndash 1

και επί το Πόρισmicroα 266 ολοκληρώνει την απόδειξη

70 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

269 Παρατηρήσεις Με τη ϐοήθεια του προηγουmicroένου ισοmicroορφισmicroού (1P J) το

προβολικό επίπεδο (PLI) ταυτίζεται microε το προβολικό επίπεδο (P L isin) του οποίου

οι ευθείες είναι σηmicroειοσύνολα δηλαδή υποσύνολα τουP ΄Ετσι ταυτίζοντας (microέσω της

J ) microια ευθεία k isin L microε τη σηmicroειοσειρά της J(k) κάθε σηmicroείο P της k [microε την έννοια

(P k) isin I] microπορεί να ϑεωρηθεί και σηmicroείο της ευθείας (σηmicroειοσειράς) J(k) isin L [microε

τη συνήθη συνολοθεωρητική έννοια δηλ P isin J(k)]΄Οπως εξηγήσαmicroε και στη συζήτηση πριν το Θεώρηmicroα 268 τα προηγούmicroενα

ϐρίσκονται σε συmicroφωνία microε τη Στοιχειώδη Γεωmicroετρία (όπου οι ευθείες είναι σύνολα

σηmicroείων) και δικαιολογεί τις εκφράσεις laquoένα σηmicroείο ανήκει σε microία ευθείαraquo laquoδύο

ευθείες τέmicroνονται σ᾿ ένα σηmicroείοraquo κλπ τις οποίες έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει ήδη από

τους πρώτους ορισmicroούς

2610 Ασκήσεις

1 Αν (φψ) (PL isin) rarr (PprimeLprime isin) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων 1 ndash 1 τότε

ισχύει η συνεπαγωγή

[ forall (P ℓ) isin P times L P lt ℓ] rArr [φ(P) lt ψ(ℓ)]

Τι συmicroβαίνει αν παραλειφθεί η υπόθεση ότι ο microορφισmicroός (φψ) είναι 1 ndash 1

2 Με τις υποθέσεις της προηγουmicroένης άσκησης έχουmicroε ότι

[ forall (P ℓ) isin P times L φ(P) isin ψ(ℓ)] rArr [P isin ℓ ]

3 Αν (φψ) είναι ισοmicroορφισmicroός τότε το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι microορφισmicroός προβο-

λικών επιπέδων (Να συνδυαστεί η άσκηση microε την Παρατήρηση 263) Συmicroβολικά

γράφουmicroε ότι

(φminus1 ψminus1) = (φψ)minus1

4 ΄Εστω ότι (φ ψ) είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 microεταξύ προβολικών επιπέδων Τότε κάθε microία

από τις απεικονίσεις του Ϲεύγους εκφράζεται microέσω της άλλης

5 Αν (φψ) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων και η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1

τότε για οποιονδήποτε άλλο microορφισmicroό (φψprime) ϑα είναι ψ = ψprime

6 Να αποδειχθεί ότι το P2 όπως ορίστηκε στο Παράδειγmicroα 223 (2) είναι ισόmicroορφο

microε το προβολικό επίπεδο της ΄Ασκησης 229 (5)

7 Αν (φ1 ψ1) είναι microορφισmicroός του προβολικού επιπέδου (P1L1I1) στο (P2L2I2)και (φ2 ψ2) microορφισmicroός του (P2L2I2) στο (P3L3I3) τότε και το Ϲεύγος (φ2 φ1 ψ2 ψ1) είναι microορφισmicroός του (P1L1I1) στο (P3L3I3) Συmicroβολικά γράφουmicroε

ότι

(φ2 φ1 ψ2 ψ1) = (φ2 ψ2) (φ1 ψ1)

8 ∆ίνονται τα προβολικά επίπεδα (PL isin) (PprimeLprime isin) και υποθέτουmicroε ότι φ P rarr Pprimeείναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί η οποία διατηρεί τη συγγραmicromicroικότητα σηmicroείων

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

δηλ απεικονίζει συγγραmicromicroικά σηmicroεία του πρώτου επιπέδου σε συγγραmicromicroικά σηmicroεία

του δευτέρου Τότε υπάρχει microία microοναδική ψ L rarr Lprime τέτοια ώστε το (φψ) να είναι

ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των δύο προβολικών επιπέδων

9 Αν (PL isin) είναι ένα προβολικό επίπεδο συmicroβολίζουmicroε microε Aut(P) το σύνολο

των αυτοmicroορφισmicroών του (δηλ των ισοmicroορφισmicroών του επιπέδου στον εαυτό του) Να

αποδειχθεί ότι το Aut(P) αποτελεί οmicroάδα (microε πράξη τη σύνθεση των microορφισmicroών

όπως αναφέρεται στην παραπάνω ΄Ασκηση 7

Τα στοιχεία του Aut(P) καλούνται ιδιαιτέρως συγγραmicromicroικότητες του προ-

ϐολικού επιπέδου (PLI) ενώ το Ϲεύγος (PAut(P)) αποτελεί τη Γεωmicroετρία

Klein αυτού Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός προβολικού επιπέδου προκύ-

πτουν από αντίστοιχες ιδιότητες της οmicroάδαςAut(P) και ορισmicroένων υποοmicroάδων

της Η ορολογία αυτή χρησιmicroοποιείται προς τιmicroήν του Felix Klein (1849ndash1925)

ο οποίος είχε την ιδέα να microελετήσει τη γεωmicroετρία ενός συνόλου S εφοδιασmicroέ-

νου microε microία δοmicroή microέσω της αντίστοιχης οmicroάδας Aut(S) ΄Ετσι η Γεωmicroετρία

Klein του S είναι το ξεύγος (SAut(S)) Την ιδέα αυτή ανέπτυξε ο Klein το

1872 στο περίφηmicroο Erlanger Programm (Πρόγραmicromicroα του Erlangen) που είχε

πολύ microεγάλη επίδραση στην εξέλιξη της Γεωmicroετρίας

Εικονα 14 Felix Klein

27 Αλγεβρική microελέτη του P2

Στο Παράδειγmicroα 223 (2) ορίσαmicroε το πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο P2 Επειδή το

επίπεδο αυτό προκύπτει από τον χώρο R3 στον οποίον υπάρχει η δυνατότητα να

χρησιmicroοποιηθεί ο microηχανισmicroός της Γραmicromicroικής ΄Αλγεβρας το P2 είναι ένα πρώτο (και

σηmicroαντικό) παράδειγmicroα συσχετισmicroού της Προβολικής Γεωmicroετρίας microε την ΄Αλγεβρα

που οδηγεί στη γενικότερη ιδέα της αλγεβροποίηση του τυχόντος προβολικού επιπέ-

δου

΄Οπως εξηγήσαmicroε στο προαναφερόmicroενο παράδειγmicroα τα σηmicroεία του P2 είναι ακρι-

ϐώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρχονται από το 0 equiv (000) ενώ οι ευθείες του

P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3 τα οποία επίσης διέρχονται από το 0

72 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Ας ϑυmicroηθούmicroε από την ΑναλυτικήΓραmicromicroική Γεωmicroετρία ότι αν ε είναι microια ευ-

ϑεία του R3 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε η ε ορίζεται πλήρως από

το 0 και τυχόν άλλο σηmicroείο της (ao bo co) (000) Ακριβέστερα

ε = t(ao bo co) | t isin R(271)

Προφανώς για δύο τυχόντα σηmicroεία (a b c) (aprime bprime cprime) της ε που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους καθώς και προς το 0 υπάρχει κάποιο λ isin Rlowast = R minus 0 έτσι ώστε

(aprime bprime cprime) = λ(a b c)Απ᾿ το άλλο microέρος ένα επίπεδο του R3 που διέρχεται από το 0 ορίζεται από microία

εξίσωση της microορφής

αx + y + γz = 0(272)

όπου οι συντελεστές α γ είναι στοιχεία του R3 microε (α γ) (0 00) Οι τριάδες

(x y z) που είναι λύσεις της (272) αποτελούν τα σηmicroεία του επιπέδου Επειδή

ένα τέτοιο επίπεδο καθορίζεται πλήρως από την τριάδα (α γ) το συmicroβολίζουmicroε microε

Π(α γ)Αν ϑεωρήσουmicroε δύο επίπεδα Π(α γ) και Π(αprime prime γprime) τότε διαπιστώνουmicroε ότι

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime) hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Πραγmicroατικά η σχέση (272) συνεπάγεται ότι

(α γ) perp (x y z)

για κάθε (x y z) isin Π(α γ) άρα

(α γ) perp Π(α γ)

και παρόmicroοια

(αprime prime γprime) perp Π(αprime prime γprime)

Εποmicroένως

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime)hArr (αprime prime γprime) (α γ)

hArr (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Οι προηγούmicroενες υπενθυmicroίσεις ϑα microας επιτρέψουν να κατασκευάσουmicroε microε αλγε-

ϐρικό τρόπο ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο microε το P2 Λόγω της ισοmicroορφίας αυτής

ϑα ταυτίζουmicroε τα δύο επίπεδα οπότε ϑα έχουmicroε την δυνατότητα να microελετήσουmicroε το

P2 microε αλγεβρικές microεθόδους Για το σκοπό αυτό στο χώρο

R3lowast = R3 minus (000)

ορίζουmicroε την εποmicroένη σχέση ισοδυναmicroίας

(a b c) sim (aprime bprime cprime) hArr exist λ isin Rlowast (aprime bprime cprime) = λ(a b c)(273)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 73

Την κλάση ισοδυναmicroίας του σηmicroείου (a b c) συmicroβολίζουmicroε microε [a b c] (αντί του πο-

λυπλοκοτέρου [(a b c)]) Προφανώς

[a b c] =λ(a b c) | λ isin Rlowast

Ο αντίστοιχος χώρος-πηλίκον R3lowast sim δηλαδή το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυνα-

microίας οι οποίες προκύπτουν microε τον προηγούmicroενο τρόπο συmicroβολίζεται microε Pα ΄Αρα

Pα = R3lowast sim =

[a b c] | (a b c) isin R3

lowast(274)

Πιο κάτω τις κλάσεις του Pα ϑα τις αντιστοιχίσουmicroε στα σηmicroεία του P2 (δηλαδή τις

ευθείες του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Στη συνέχεια για microια τριάδα (α γ) isin R3lowast (που microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι

αντιστοιχεί στους συντελεστές ενός επιπέδου από το 0) ορίζουmicroε και την ισοδυναmicroία

(επίσης στο R3lowast )

(α γ) sim (αprime prime γprime)hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)(275)

Την κλάση ισοδυναmicroίας της τριάδας (α γ) συmicroβολίζουmicroε microε ltα γ gt και ϑέτουmicroε

(276) Lα=

ltα γ gt | (α γ) isin R3

lowast

Θα δούmicroε πιο κάτω ότι τα στοιχεία (κλάσεις) του Lα αντιστοιχούν στις ευθείες του P2

(δηλαδή στα επίπεδα του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Μεταξύ των Pα και Lα υπάρχει microια προφανής σχέση σύmicroπτωσης (λόγω του συ-

σχετισmicroού τους microε τις ευθείες και τα επίπεδα του R3) που δίνεται απο την

(277) [p q r] isin ltα γ gt hArr αp + q + γr

Επίσης Pα cap Lα= empty Εποmicroένως σχηmicroατίζεται η τριάδα (PαLα isin) όπου ο εκθέτης

laquoαraquo χρησιmicroοποιείται για να υποδηλώσει ότι η κατασκευή της έγινε microε τον laquoαλγεβρικόraquo

τρόπο που περιγράψαmicroε

Πριν αποδείξουmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) αποτελεί προβολικό επίπεδο ας πα-

ϱατηρήσουmicroε ότι οι ισοδυναmicroίες (273) και (275) δεν διαφέρουν microεταξύ τους από

συνολοθεωρητική άποψη ΄Οmicroως όπως προαναφέραmicroε οι κλάσεις της πρώτης ϑα

αντιστοιχούν σε σηmicroεία του P2 ενώ οι κλάσεις της δεύτερης στις ευθείες του Λόγω

αυτής της διαφοροποίησης χρησιmicroοποιούmicroε τα σύmicroβολα [ ] και lt gt για να διακρί-

νουmicroε microεταξύ τους τις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναmicroίας ΄Ετσι για παράδειγmicroα αν

(x y z) isin R3lowast τότε τα στοιχεία [x y z] και ltx y zgt συmicroβολίζουν εντελώς διαφορετι-

κά αντικείmicroενα στο υπό κατασκευήν προβολικό επίπεδο (PαLα isin) το [x y z] είναι

ένα σηmicroείο του ενώ το ltx y zgt είναι microια ευθεία του ιδίου επιπέδου

271 Θεώρηmicroα Η τριάδα Pα2 = (PαLα isin) ορίζει ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο

προς το P2

74 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη Για την απόδειξη του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία [a1 b1 c1]και [a2 b2 c2] του Pα microε [a1 b1 c1] [a2 b2 c2] (εποmicroένως δεν υπάρχει λ isin Rlowastτέτοιο ώστε (a2 b2 c2) = λ(a1 b1 c1)) Θα δείξουmicroε ότι τα δύο σηmicroεία ορίζουν microία

(microοναδική) ευθεία Αν καλέσουmicroε ltx y z gt την ευθεία αυτή τότε ϑα ικανοποιείται

το οmicroογενές σύστηmicroα των εξισώσεων

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0(278)

Το τελευταίο σύmicroφωνα microε τη γενική ϑεωρία των (οmicroογενών) γραmicromicroικών συστηmicroάτων

διαθέτει microη microηδενικές λύσεις και το σύνολο όλων των λύσεών του αποτελεί γραmicromicroικό

χώρο διάστασης 1 (ϐλ σχετικώς [2 σελ 135] [4 σελ 249] [14 σελ 84]) Εποmicroένως

αν (x y z) είναι microια οποιαδήποτε microη microηδενική λύση τότε κάθε άλλη λύση επίσης

microη microηδενική ϑα είναι της microορφής (x prime yprime zprime) = λ(x y z) microε λ isin Rlowast ∆ηλαδή όλες οι

microη microηδενικές λύσεις του συστήmicroατος (278) ορίζουν ακριβώς microιαν ευθεία ltx y zgt

οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

Για την απόδειξη του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) ϑεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες

ltα1 1 γ1gt και ltα2 2 γ2gt του Lα οπότε αναζητούmicroε ένα κοινό σηmicroείο [x y z]Τότε ϑα πρέπει να επιλύσουmicroε το σύστηmicroα

α1x + 1y + γ1z = 0

α2x + 2y + γ2z = 0

που είναι ακριβώς του τύπου (278) ΄Αρα microε την ίδια microέθοδο αποδεικνύουmicroε την

ύπαρξη ενός (microοναδικού) [x y z] microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα

Τέλος ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία [100] [010] [001] και [111] ∆ιαπιστώνουmicroε

στοιχειωδώς ότι είναι διαφορετικά microεταξύ τους Επίσης δεν είναι συγγραmicromicroικά ανά

τρία Για παράδειγmicroα αν τα [100] [010] και [111] ήσαν συγγραmicromicroικά και

ltx y zgt η κοινή τους ευθεία τότε από την (277) ϑα είχαmicroε ότι (x y z) = (0 00)που δεν έχει έννοια [ϐλεπίσης και την Εφαρmicroογή 272 (4) στη συνέχεια] Εποmicroένως

ικανοποιείται και το αξίωmicroα (ΠΕ 3)

Αφού δείξαmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) είναι προβολικό επίπεδο για να το συγκρί-

νουmicroε microε το (γεωmicroετρικό) P2 = (PLsub) όπως το έχουmicroε ορίσει microέσω ευθειών και

επιπέδων του R3 ορίζουmicroε τις απεικονίσεις Φα P rarr Pα και Ψα L rarr Lα microε

P ni t(a b c) | t isin R ⊢ Φαminusminusminusrarr [a b c] isin Pα(279)

L ni Π(α γ) ⊢ Ψαminusminusminusrarr ltα γ gt isin Lα(2710)

Οι Φα και Ψα είναι καλά ορισmicroένες Θα δείξουmicroε ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι

microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Πραγmicroατικά αν P και ℓ είναι σηmicroείο και ευθεία

αντιστοίχως του P2 microε P isin ℓ τότε microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι

P = t(a b c) | t isin R και ℓ = Π(α γ)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 75

για κάποιες τριάδες (a b c) και (α γ) του R3lowast Επειδή

P isin ℓ hArr t(a b c) | t isin R sub Π(α γ)

προκύπτει ότι κάθε σηmicroείο t(a b c) microε t 0 ικανοποιεί την (277) δηλαδή

α(ta) + (tb) + γ(tc) = 0 ή αa + b + γc = 0

πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι [a b c] isin ltα γ gt Εποmicroένως σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό

των Φα και Ψα είναι

Φα(P) = [a b c] isin ltα γ gt = Ψα(Π(α γ))

που αποδεικνύει ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι πράγmicroατι microορφισmicroός

Τέλος διαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι οι απεικονίσεις ΦαΨα είναι 1 ndash 1 και επί (αρκεί

ο έλεγχος της microιας) άρα το (ΦαΨα) ορίζει έναν ισοmicroορφισmicroό microεταξύ των προβολικών

επιπέδων P2 και Pα

Σχόλιο Εξαιτίας της ισοmicroορφίας του Θεωρήmicroατος 271 ταυτίζουmicroε τα επίπεδα P2

και Pα2 οπότε χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιο σύmicroβολο P2 και για τα δύο ΄Ετσι το P2

microπορεί να ερmicroηνευθεί και να microελετηθεί κατά δύο (ισοδύναmicroους) τρόπους είτε

όπως στο Παράδειγmicroα 223 (2) [microε ευθείες και επίπεδα του R3] είτε microε κλάσεις

ισοδυναmicroίας όπως πιο πάνω Η προτίmicroηση για τον έναν ή τον άλλον τρόπο υ-

παγορεύεται από το συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα που αντιmicroετωπίζουmicroε κάθε ϕορά

272 Μερικές εφαρmicroογές στο P2

(1) Να ϐρεθεί το σηmicroείο τοmicroής των ευθειών lt012gt και lt101gt

Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι οι δύο ευθείες είναι διαφορετικές αφού δεν υπάρχει λ isinRlowast τέτοιο ώστε (101) = λ(012) Εποmicroένως αν [x y z] είναι η Ϲητουmicroένη τοmicroή

τότε ϑα επαληθεύεται το σύστηmicroα των εξισώσεων

0x + 1y + 2z = 0

1x + 0y + 1z = 0

απ᾿ όπου προκύπτει ότι x = minusz και y = minus2z Εποmicroένως

[x y z] = [minuszminus2z z] = [minusz(12minus1)]

Επειδή z 0 [αλλιώς ϑα ήταν (x y z) = (0 00) άτοπο] έχουmicroε τελικώς ότι

lt012gt and lt10 1gt = [12minus1]

(2) Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας ℓ = lt012gt

Αν συmicroβολίσουmicroε microε [x y z] το τυχόν σηmicroείο της ℓ τότε

[x y z] isin ℓ hArr 0x + 1y + 2z = 0 hArr y = minus2z

76 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

δηλαδή τα σηmicroεία της ℓ έχουν τη microορφή [x y z] = [xminus2z z]Επειδή (x y z) (000) ϑα είναι είτε x 0 είτε z 0 Για x 0 ϑα έχουmicroε

ότι

[x y z] = [xminus2z z] =[x(1minus2

z

xz

x

)]=

[1minus2

z

xz

x

]

οπότε ϑέτοντας λ =z

x καταλήγουmicroε στην

[x y z] = [1minus2λ λ] forall λ isin R(2711)

Στην περίπτωση που είναι z 0 ϑα έχουmicroε ότι

[x y z] = [1minus2z z] =[z(x

z minus 21

)]=

[x

z minus 21

]

άρα για micro = xz προκύπτει ότι

[x y z] = [microminus2 1] forall micro isin R(2712)

Τις (2711) και (2712) microπορούmicroε να ενοποιήσουmicroε ως εξής για λ = 0 παίρ-

νουmicroε το σηmicroείο [1 00] ενώ για λ 0 είναι

[x y z] =[λ middot

(1

λminus2 1

)]=

[1

λminus2 1

]

το οποίο (προφανώς) αποτελεί σηmicroείο της microορφής (2712)

Εποmicroένως τα σηmicroεία της ευθείας lt 012gt είναι το [1 00] και όλα τα σηmicroεία

της microορφής [microminus21] microε micro isin R

(3) Να ϐρεθεί η ευθεία την οποίαν ορίζουν τα σηmicroεία [001] και [1 11]

∆ιαπιστώνουmicroε ότι [001] [111] άρα ορίζεται η ευθεία [00 1] or [1 11] Αν

την καλέσουmicroε ltx y zgt τότε ϑα επαληθεύονται οι εξισώσεις

z = 0 x + y + z = 0

από τις οποίες προκύπτει ότι

ltx y zgt = ltxminusx 0gt = lt1minus10gt

(επειδή αναγκαίως είναι x 0) Εποmicroένως

[001] or [1 11] = lt1minus1 0gt

(4) Να ϐρεθεί η συνθήκη συγγραmicromicroικότητας τριών σηmicroείων

Ας υποθέσουmicroε ότι Ϲητούmicroε να ϐρούmicroε microία ευθεία lt x y z gt η οποία να περιέχει

τρία δεδοmicroένα σηmicroεία [ai bi ci] i = 1 2 3 Τότε ϑα πρέπει το οmicroογενές σύστηmicroα

aix + biy + ciz = 0 i = 1 2 3(2713)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 77

να διαθέτει microία λύση διάφορη της microηδενικής Αυτό συmicroβαίνει τότε και microόνον τότε αν η

ορίζουσα των συντελεστών του (2713) microηδενίζεται Εποmicroένως η Ϲητουmicroένη συνθήκη

είναι η

(2714)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

273 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις (273) (276) ορίζουν πράγmicroατι σχέσεις ισοδυνα-

microίας Επίσης να αποδειχθεί ότι η σχέση σύmicroπτωσης (277) δεν εξαρτάται από την

επιλογή των αντιπροσώπων των κλάσεων

2 Στο Θεώρηmicroα 271 να συmicroπληρωθεί η απόδειξη του (ΠΕ 3) και να αποδειχθεί

ότι οι Φα Ψα είναι καλά ορισmicroένες απεικόνίσεις 1ndash1 και επί

3 Να ϐρεθεί η ευθεία που ορίζουν τα σηmicroεία

α) [213] και [10minus1]ϐ) [10minus2] και [minus204]

4 Να ϐρεθεί η τοmicroή των ευθειών

α) lt2minus10gt και ltminus11

2 0gt

ϐ) lt100gt και lt1minus21gt

5 Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας lt001gt

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται στο ϐιβλίο του παρόντος συγγραφέα [5]

όπου και παραπέmicroπουmicroε τους ενδιαφεροmicroένους για παραπέρα microελέτη Πολύ κοντά

στην παραπάνω έκθεση ϐρίσκονται και τα ϐιβλια [9] [25] στα οποία microπορεί κανείς

να ϐρεί και άλλα πιό εξειδικευmicroένα ϑέmicroατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3

∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Το πρόβληmicroα της κατασκευής επιπέδων χαρτών της επιφάνειας

της Γης υπήρξε microία από τις απαρχές της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας η

οποία microπορεί χονδρικά να περιγραφεί ως η έρευνα των ιδιοτήτων

των καmicroπυλών και επιφανειών Μια άλλη απαρχή αυτής της

laquoτοπικήςraquo γεωmicroετρίας ήταν η microελέτη στον 17ο και 18ο αιώνα των

εφαπτοmicroένων των πρώτων καθέτων και της καmicroπυλότητας microε τον

[∆ιαφορικό] Λογισmicroό να έχει δώσει ικανά εργαλεία για τη γενική

επίθεση

E T Bell [8 σελ 353]

Μ ετα απο microια συντοmicroη ιστορική αναδροmicroή στην sect31 δίνονται οι ϐασικοί ορι-

σmicroοί που αφορούν τις διαφορίσιmicroες παραmicroετρηmicroένες καmicroπύλες Η έννοια της

αναπαραmicroέτρησης εισάγεται στην sect32 όπου αποδεικνύεται ότι κάθε κανονική καmicro-

πύλη δέχεται αναπαραmicroέτρηση microοναδιαίας ταχύτητας Για τις τελευταίες ορίζονται οι

ϑεmicroελιώδεις έννοιες της καmicroπυλότητας και στρέψης καθώς επίσης και το τρίεδρο

FrenetshySerret (sect33) Τα ίδια στοιχεία για καmicroπύλες τυχαίας ταχύτητας εξετάζονται

στις τελευταίες sectsect34ndash35

79

80 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

30 Εισαγωγή

Καmicroπύλες όπως ο κύκλος οι κωνικές τοmicroές οι έλικες και οι σπείρες είχαν απασχολή-

σει τους αρχαίους ΄Ελληνες Με σχετικά προβλήmicroατα είχαν ασχοληθεί ο Πλάτωνας

ο Μέναιχmicroος ο Απολλώνιος ο Αρχιmicroήδης κα Επίσης για την αντιmicroετώπιση των

περίφηmicroων άλυτων (microε κανόνα και διαβήτη) προβληmicroάτων είχαν ανακαλυφθεί και

microελετηθεί η κισσοειδής (καmicroπύλη) του ∆ιοκλέους η κογχοειδής του Νικοmicroήδους και

η τετραγωνίζουσα του ∆εινοστράτου

Ενα σηmicroαντικό πρόβληmicroα που απασχόλησε τους microαθηmicroατικούς από την εποχή

της αρχαιότητας ήταν η χάραξη της εφαπτοmicroένης σε ένα σηmicroείο microιας καmicroπύλης Το

πρόβληmicroα αντιmicroετωπίστηκε ϕυσικά στο πλαίσιο της γνωστής τότε (συνθετικής) Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήσαν microόνον microερικές και αφορού-

σαν συγκεκριmicroένες καmicroπύλες Μια καλλίτερη προσέγγιση έγινε δυνατή στο πλαίσιο

της Αναλυτικής Γεωmicroετρίας Παρά τις σηmicroαντικές προόδους που σηmicroειώθηκαν στην

κατεύθυνση αυτή από τους R Descartes (Καρτέσιο) P Fermat και C Huygens

και πάλι η γενική microέϑοδος επίλυσης του προβλήmicroατος σταmicroατούσε όταν επρόκειτονα

αντιmicroετωπιστούν εξισώσεις ϐαθmicroού ανωτέρου του 3

Το πρόβληmicroα του προσδιορισmicroού της εφαπτοmicroένης επιλύθηκε στη γενικότητά του

microε την χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού που microαζί microε τον Ολοκληρωτικό Λογισmicroό

άσκησαν τεράστια επίδραση στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης

Η χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού στη microελέτη της Γεωmicroετρίας οδήγησε στην δη-

microιουργία ενός νέου κλάδου της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Στην ανάπτυξη της ∆ιαφορι-

κής Γεωmicroετρίας των καmicroπυλών είχαν ϑεmicroελιώδη συmicroβολή οι I Newton G W Leibniz

L Euler G Monge J Bernoulli A C Clairaut F Frenet J A Serret Ch Dupin

J Bertrand και πολλοί άλλοι

Η microελέτη των καmicroπυλών εκτός από το καθ᾿ αυτό microαθηmicroατικό ενδιαφέρον της

έχει σηmicroαντικές εφαρmicroογές στη microηχανική στη ναυσιπλοΐα στον προσδιορισmicroό των

τροχιών ουρανίων σωmicroάτων ή συστηmicroάτων δορυφόρων κα

Εδώ ϑα γνωρίσουmicroε microερικές ϐασικές έννοιες και συmicroπεράσmicroατα της λεγόmicroενης

τοπικής ϑεωρίας των καmicroπυλών

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες

Στην Αναλυτική Γεωmicroετρία λέγοντας καmicroπύλη εννοούmicroε ένα σύνολο σηmicroείων X (του

χώρου ή του επιπέδου) που ικανοποιούν ορισmicroένες συνθήκες Για παράδειγmicroα microπο-

ϱεί να είναι ο γεωmicroετρικός τόπος σηmicroείων που ικανοποιούν microια συγκεκριmicroένη ιδιό-

τητα (κύκλος έλλειψη κλπ) το γράφηmicroα microιας συνάρτησης f R rarr R η τροχιά

ενός κινητού κοκ Σκοπός microας είναι να εφαρmicroόσουmicroε microεθόδους του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού στην microελέτη του X και για να γίνει αυτό ϑα πρέπει να δούmicroε τις καmicroπύλες

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 81

ως εικόνες κατάλληλων συναρτήσεων δηλαδή να τις παραmicroετρήσουmicroε Ετσι δίνουmicroε

τον επόmicroενο ορισmicroό

311 Ορισmicroός Μια παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη στο χώρο (parametrized curve) ή

απλώς καmicroπύλη στο χώρο (space curve) είναι microια συνεχής απεικόνιση α I rarr R3

όπου I sube R είναι ένα διάστηmicroα

Εποmicroέmicroως ο όρος laquoπαραmicroετρηmicroένηraquo (που συνήθως ϑα παραλείπεται στη συνέ-

χεια) σηmicroαίνει ότι η καmicroπύλη περιγράφεται microε την ϐοήθεια microιας microεταβλητής (παρα-

microέτρου) t isin I Σε προβλήmicroατα ϕυσικής η τελευταία microπορεί να παριστά τον χρόνο

Επειδή για κάθε t isin I είναι α(t) isin R3 η α είναι microία τριάδα της microορφής

(311) α = (α1 α2 α3)

Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγmicroένη)

αi = ui α i = 123

όπου η ui R3 rarr R συmicroβολίζει την κανονική προβολή στην i-συντεταγmicroένη είναι microια

πραγmicroατική συνάρτηση microιας πραγmicroατικής microεταβλητής Η συνέχεια της α ισοδυναmicroεί

microε την συνέχεια κάθε microιας από τις αi

Αν η εικόνα α(I) microιας καmicroπύλης περιέχεται σε ένα επίπεδο του R3 λέmicroε ότι η α

είναι επίπεδη καmicroπύλη (plane curve) Σ᾿ αυτήν την περίπτωση microε microια αλλαγή του

συστήmicroατος συντεταγmicroένων microπορούmicroε να ϑεωρούmicroε ότι α(I) sub R2

Ενδιαφερόmicroαστε όχι για την απεικόνιση α (παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη) αλλά για

τις γεωmicroετρικές ιδιότητες της εικόνας δηλαδή του συνόλου X = α(I) Η απεικό-

νιση α είναι απλώς το εργαλείο για τη microελέτη του α(I)

Εδώ πρέπει να παρατηρήσουmicroε ότι οι καmicroπύλες

α R minusrarr R2 t 7rarrradic

2

2t

radic2

2t

R minusrarr R2 t 7rarr (t t)

γ R minusrarr R2 t 7rarr (t3 t3)

δ R minusrarr R2 t 7rarr(t t) t le 0

(t2 t2) t gt 0

έχουν την ίδια εικόνα α(R) = (R) = γ(R) = δ(R) = ∆R δηλαδή την διαγώνιο του R2

(ϐλ και Σχήmicroα 31 στην επόmicroενη σελίδα)

Απ᾿ αυτές

ndash η α είναι διαφορίσιmicroη microε αprime(t) = 1 για κάθε t isin R

ndash η είναι διαφορίσιmicroη microε prime(t) 0 για κάθε t isin R

ndash η γ είναι διαφορίσιmicroη και υπάρχει ένα σηmicroείο το 0 όπου γprime(0) = (00)ndash ενώ η δ δεν είναι διαφορίσιmicroη (εννοείται παντού αφού δεν υπάρχει διαφορισι-

microότητα στο σηmicroείο 0)

82 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

x

Diexcl

y

Σχηmicroα 31

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα προκύπτει ότι (1) η ίδια καmicroπύλη ∆R microπο-

ϱεί να περιγραφεί ως εικόνα διαφορετικών (παραmicroετρηmicroένων) καmicroπυλών και (2) η

ανυπαρξία παραγώγου ή ο microηδενισmicroός της (για microια παραmicroέτρηση) δεν συνδέονται

κατ᾿ ανάγκην microε κάποια ανωmicroαλία στο σχήmicroα της εικόνας ∆R ∆ηmicroιουργούν όmicroως

τεχνικές δυσκολίες γι᾿ αυτό ϑα ϑεωρήσουmicroε καmicroπύλες που διαγράφουν την εικό-

να microε τον καλλίτερο δυνατό τρόπο έτσι ώστε να δίνουν αmicroεσώτερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα

΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και έστω ότι σε ένα σηmicroείο to εί-

ναι αprime(to) 0 Τότε υπάρχει η εφαπτοmicroένη ευθεία (tangent line) της α στο σηmicroείο

x

y

( )ota

( )otacent εφαπτομένη

Σχηmicroα 32

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 83

α(to) που δίνεται από την εξίσωση

(312) ϸ(s) = α(to) + sαprime(to) s isin R

Η ανυπαρξία ή ο microηδενισmicroός της παραγώγου αprime(to) στο σηmicroείο to δεν επιτρέπουν

την προηγούmicroενη έκφραση της εφαπτοmicroένης Γι᾿ αυτό στα επόmicroενα ϑεωρούmicroε microό-

νο διαφορίσιmicroες καmicroπύλες των οποίων η παράγωγος δεν microηδενίζεται πουθενά Μια

καmicroπύλη micro᾿ αυτήν την ιδιότητα ονοmicroάζεται κανονική ή οmicroαλή (regular) ενώ σε microια

καmicroπύλη α που δεν είναι οmicroαλή κάθε σηmicroείο όπου microηδενίζεται η παράγωγος λέγεται

σηmicroείο ανωmicroαλίας (της α)

Στη συνέχεια υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας έχουν τάξη διαφορισιmicroότητας αρ-

κετά microεγάλη (συνήθως ge 3) ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη όσων παραγώγων χρειά-

Ϲονται Επίσης υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας είναι και απλές δηλαδή είναι α-

πεικονίσεις 1ndash1 Εποmicroένως για να αποφύγουmicroε τις περιττές επαναλήψεις microε τον

όρο laquoκανονική καmicroπύληraquo ϑα εννοούmicroε microια απλή κανονική καmicroπύλη Cr-διαφορίσιmicroη

microε r ge 3

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α η παράγωγος

(313) αprime(t) = (αprime1(t) αprime2(t) αprime3(t))

ονοmicroάζεται εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα (tangent vector) ή διάνυσmicroα ταχύτητας (velocity)

της α στο α(t) ενώ το microήκος του ανωτέρω διανύσmicroατος

v(t) = αprime(t) =(αprime1(t)2

+ αprime2(t)2+ αprime3(t)2

)12

ονοmicroάζεται microέτρο της ταχύτητας (speed) της α στο t

Αν και η αprime είναι διαφορίσιmicroη τότε η δεύτερη παράγωγος

(314) αprimeprime(t) =(αprimeprime1 (t) αprimeprime2 (t) αprimeprime3 (t)

)

ονοmicroάζεται επιτάχυνση (acceleration) της α στο t

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α I rarr R3 ονοmicroάζουmicroε microήκος (length) της α το

ολοκλήρωmicroα

(315) L(α) =int

I

αprime(t)dt

Για δύο καmicroπύλες α I rarr R3 συmicroβολίζουmicroε microε lt α gt την διαφορίσιmicroη

συνάρτηση

(316) ltα gt I minusrarr R t 7rarrltα(t) (t) gt

και microε α times την διαφορίσιmicroη καmicroπύλη

(317) α times I minusrarr R3 t 7rarr α(t) times (t)

84 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα γινόmicroενα στην εικόνα των (316) και (317) είναι αντιστοίχως το σύνηθες εσω-

τερικό και εξωτερικό γινόmicroενο του R3 Από τη διγραmicromicroικότητα τους προκύπτουν οι

παρακάτω κανόνες παραγώγισης

lt α gtprime (t) =lt αprime(t) (t) gt + lt α(t) prime(t) gt(318)

(α times )prime(t) = (αprime(t) times (t)) + (α(t) times prime(t))(319)

Η απόδειξη των τύπων αυτών προκύπτει επίσης στοιχειωδώς αν γράψουmicroε τις καmicro-

πύλες microε τις συνιστώσες τους [ϐλ σχέση (311)] και εφαρmicroόσουmicroε τον ορισmicroό του

εσωτερικού και εξωτερικού γινοmicroένου έχουmicroε τις αντίστοιχες σχέσεις

lt α(t) (t) gt= α1(t)1(t) + α2(t)2(t) + α3(t)3(t)

α(t) times (t) =(α2(t)3(t) minus α3(t)2(t) α3(t)1(t) minus α1(t)3(t) α1(t)2(t) minus α2(t)1(t)

)

οπότε παραγωγίζουmicroε τις τελευταίες microε το συνήθη τρόπο

Οι παράγωγοι και το microήκος της α microας δίνουν πολλές πληροφορίες για την α(I)όπως γίνεται ϕανερό από τα επόmicroενα

312 Παραδείγmicroατα (1) ΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη Αν αprimeprime(t) = 0

για κάθε t isin I η α είναι ευθεία

Πράγmicroατι

αprimeprime(t) = 0rArr αprime(t) = α rArr α(t) = λt + micro

Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο

(2) ΄Εστω α microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη που δεν περνά από το 0 Αν α(to) είναι το

σηmicroείο της εικόνας το πλησιέστερο στο 0 και αprime(to) 0 τότε το διανυσmicroα α(to) είναι

κάθετο στο αprime(to)

Πράγmicroατι ας ϑεωρήσουmicroε την συνάρτηση που σε κάθε t isin I αντιστοιχεί το τετρά-

γωνο της απόστασης του α(t) από το 0 δηλαδή την

δ I minusrarr R t 7rarr α(t)2 = α1(t)2+ α2(t)2

+ α3(t)2=lt α(t) α(t) gt

Αφού η δ παρουσιάζει ελάχιστο στο to ϑα είναι δprime(to) = 0 άρα ϐάσει της (318)

έχουmicroε ότι

0 = δprime(to) =lt α(to) αprime(to) gt + lt α

prime(to) α(to) gt= 2 lt α(to) αprime(to) gt

απ᾿ όπου συνάγεται ότι α(to) perp αprime(to)(3) ΄Εστω α I rarr R2 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε αprime(t) 0 για κάθε t isin I Τότε η

εικόνα α(I) είναι τόξο ενός κύκλου microε κέντρο 0 εάν και microόνον εάν το α(t) είναι κάθετο

στο αprime(t) για κάθε t isin I

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

΄Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε το τετράγωνο της απόστασης του α(t) από το 0

δ I minusrarr R t 7rarrlt α(t) α(t) gt

Η δ είναι σταθερή εάν και microόνον εάν δprime = 0 Αλλά

δprime(t) = lt α α gtprime (t) =lt αprime(t) α(t) gt + lt α(t) αprime(t) gt= 2 lt αprime(t) α(t) gt

Εποmicroένως δprime = 0 ισοδυναmicroεί microε α(t) perp αprime(t) για κάθε t isin I οπότε έχουmicroε το

αποτέλεσmicroα

(4) Η καmicroπύλη ελάχιστου microήκους που ενώνει δύο σηmicroεία P και Q είναι το ευθύ-

γραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα τα P Q

Αν p και q είναι τα διανύσmicroατα ϑέσης των σηmicroείων P και Q αντιστοίχως το

ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα P Q είναι η καmicroπύλη

ϸ [01] minusrarr R3 t 7rarr ϸ(t) = p + t(q minus p)

και έχει microήκος [ϐλ σχέση (315)]

L(ϸ) =int 1

0

ϸprime(t)dt =int 1

0

q minus pdt = q minus p

΄Εστω α [x y] rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε α(x) = p και α(y) = q Για ένα

τυχόν σταθερό u isin R3 microε u = 1 είναι

lt a u gtprime (t) = lt αprime(t) u gt + lt α(t) uprime gt = lt αprime(t) u gt

le αprime(t)u = αprime(t)

εποmicroένως

L(α) =int y

x

αprime(t)dt geint y

x

lt α(t) u gtprime dt = lt α(t) u gt |yx

= lt q u gt minus lt p u gt = lt q minus p u gt

για κάθε u isin R3 microε u = 1 Παίρνοντας τώρα u = (q minus p)q minus p καταλήγουmicroε στη

σχέση

L(α) geltq minus p q minus pgt q minus p = q minus p = L(ϸ)

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης

321 Ορισmicroός Αν α I rarr R3 είναι microια καmicroπύλη τότε microια καmicroπύλη J rarr R3 λέ-

γεται αναπαραmicroέτρηση (reparametrization) της α αν υπάρχει microια αmicroφιδιαφόριση

h J rarr I microε = α h (ϐλ και το επόmicroενο σχετικό διάγραmicromicroα)

86 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

΄Αρα αν η παράmicroετρος της α είναι t και της είναι s έχουmicroε ότι t = h(s)

Iα - X sube R3

J

h

6

-

∆ιάγραmicromicroα 31

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι η έκφραση laquoη h είναι αmicroφιδιαφόρισηraquo σηmicroαίνει ότι η h είναι

διαφορίσιmicroη απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε διαφορίσιmicroη αντίστροφη Κατά το Θεώρηmicroα

της Αντίστροφης Συνάρτησης η h είναι αmicroφιδιαφόριση τότε και microόνον τότε αν είναι

1 ndash 1 και επί microε hprime(s) 0 για κάθε s isin J

Είναι ϕανερό ότι κάθε αναπαραmicroέτρηση της α έχει την ίδια εικόνα microε την α Είναι

επίσης ϕανερό ότι αν η α είναι κανονική τότε και κάθε αναπαραmicroέτρησή της είναι

κανονική

Θα αναζητήσουmicroε εκείνες τις ιδιότητες της εικόνας X = α(I) = (J) που δεν

εξαρτώνται από την καmicroπύλη microε την οποία διατρέχουmicroε το X Μια τέτοια ιδιότητα

microας δίνει το επόmicroενο

322 Θεώρηmicroα Αν είναι microια αναπαραmicroέτρηση της α τότε L() = L(α)

Απόδειξη ΄Εστω α [a b] rarr R3 και [aprime bprime] rarr R3 αναπαραmicroέτρησή της α microε

= α h όπου h [aprime bprime] rarr [a b] αmicroφιδιαφόριση Είναι

L() =int bprime

aprimeprime(s)ds =

int bprime

aprime(α h)prime(s)ds

=

int bprime

aprimeαprime(h(s)) middot |hprime(s)|ds

Για hprime gt 0 δηλαδή για h γνησίως αύξουσα έχουmicroε

L() =int bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds =

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

=

int b

a

αprime(t)dt = L(α)

Για hprime lt 0 δηλαδή για h γνησίως ϕθίνουσα έχουmicroε

L() = minusint bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds = minus

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

= minusint a

b

αprime(t)dt = L(α)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι η αprimeprime microας δείχνει πώς αλλάζει η αprime Η αλλαγή

αυτή microπορεί να αφορά σε αλλαγή του microέτρου της αprime ή σε αλλαγή της διεύθυνσης

Σταθεροποιώντας το microέτρο παίρνουmicroε επιτάχυνση που δείχνει microόνο την αλλαγή της

διεύθυνσης άρα την καmicroπύλωση του χώρου X = α(I) Ετσι ανάmicroεσα σε όλες τις

καmicroπύλες που έχουν την ίδια εικόνα αυτή που microας δίνει ευκολότερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα για την κοινή εικόνα είναι η καmicroπύλη που έχει ταχύτητα microε σταθερό

microέτρο ίσο microε 1

Ισχύει το επόmicroενο ϐασικό

323 Θεώρηmicroα Κάθε κανονική καmicroπύλη α I rarr R3 δέχεται αναπαραmicroέτρηση

J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J

Απόδειξη ΄Εστω I = [a b] Θεωρούmicroε την απεικόνιση (microήκος τόξου)

s [a b] minusrarr [0 L(α)] t 7rarrint t

a

αprime(u)du

Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και διαφορίσιmicroη microε

(321) sprime(t) = αprime(t) = v(t) gt 0

άρα (ϐλ Θεώρηmicroα Αντίστροφης Απεικόνισης) έχει διαφορίσιmicroη αντίστροφη

h [0 L(α)] minusrarr [a b]

της οποίας η παράγωγος δίνεται από την σχέση

(322) hprime(s) = 1sprime(h(s)) forall s isin [0 L(α)]

Θέτοντας = α h έχουmicroε ότι

prime(s) = αprime(h(s)) middot |hprime(s)| = αprime(h(s))|sprime(h(s))| = 1

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

324 Ορισmicroός Μια καmicroπύλη J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J ονοmicroάζεται

καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν α είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη λέmicroε

ότι η αναπαραmicroέτρηση που κατασκευάστηκε στο προηγούmicroενο ϑεώρηmicroα είναι

η αναπαραmicroέτρηση microέσω (του) microήκους τόξου ή ότι έχει παράmicroετρο το microήκος

τόξου Επίσης το microήκος τόξου λέγεται και ϕυσική παράmicroετρος

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet

Σκοπός microας είναι να ορίσουmicroε κάποια αριθmicroητικά microεγέθη που χαρακτηρίζουν γεω-

microετρικά το σύνολο X = α(I) όπου α είναι microια κανονική καmicroπύλη Οπως σηmicroειώσαmicroε

και νωρίτερα τα Ϲητούmicroενα συmicroπεράσmicroατα για το X τα παίρνουmicroε ευκολότερα αν η

88 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

καmicroπύλη έχει microοναδιαία ταχύτητα Γι΄ αυτό αν η αρχική α δεν έχει microοναδιαία ταχύ-

τητα ϑεωρούmicroε την αντίστοιχη αναπαραmicroέτρηση microέσω του microήκους τόξου

΄Εστω λοιπόν (s) s isin J microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Θέτουmicroε

(331) T (s) = prime(s) forall s isin J

Εποmicroένως το T (s) είναι το εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα ή διάνυσmicroα ταχύτητας της

στο σηmicroείο (s) Εφ᾿ όσον T (s) = 1 για κάθε s isin J τα εφαπτόmicroενα διανύσmicroατα

T (s) είναι στοιχεία της microοναδιαίας σφαίρας του R3

Μεταβάλλοντας το s στο J παίρνουmicroε microία διαφορίmicroη συνάρτηση

(331prime) T J ni s 7minusrarr T (s) = prime(s) isin R3

Ισχύει το επόmicroενο

331 Λήmicromicroα Αν (s) s isin J είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε

T prime perp T

δηλαδή

T prime(s) perp T (s) forall s isin J

Απόδειξη Το microήκος του διανύσmicroατος T (s) είναι σταθερό άρα και η συνάρτηση

T (s)2 =lt T (s) T (s) gt είναι σταθερή δηλαδή έχει microηδενική παράγωγο

lt T T gtprime (s) = 2 lt T prime(s) T (s) gt= 0 forall s isin J

απ᾿ όπου προκύπτει το Ϲητούmicroενο

Επειδή το microήκος του T (s) = prime(s) (ταχύτητα) είναι σταθερά 1 η παράγωγος T prime(s) =primeprime(s) (επιτάχυνση) δείχνει την αλλαγή της διεύθυνσης του διανύσmicroατος T (s)

Το microήκος του διανύσmicroατος T prime(s) συmicroβολίζεται microε

(332) k(s) = T prime(s)

και ονοmicroάζεται καmicroπυλότητα της στο (s) Η k(s) είναι ένας microη αρνητικός πραγ-

microατικός αριθmicroός Αν k(s) = 0 λέmicroε ότι το σηmicroείο s είναι ιδιάζον σηmicroείο τάξης 1

Προφανώς ορίζεται και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση (καmicroπυλότητας)

(332prime) k J ni s 7minusrarr k(s) isin [0 infin)

΄Οπως ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 334 η καmicroπυλότητα microετράει το κατά πόσον η καmicro-

πύλη διαφέρει από την ευθεία

Για τα επόmicroενα χρειάζεται η να microην έχει ιδιάζοντα σηmicroεία τάξης 1 άρα έχει

παντού microη microηδενική καmicroπυλότητα Για k(s) 0 το αντίστροφο της καmicroπυλότητας

δηλαδή ο αριθmicroός

(333) ρ(s) =1

k(s)

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 89

καλείται ακτίνα καmicroπυλότητας Μέσω της τελευταίας για κάθε s isin J ορίζουmicroε το

διάνυσmicroα

(334) N(s) =1

k(s)T prime(s)

που ονοmicroάζεται πρώτο κάθετο ή πρωτεύον κάθετο διάνυσmicroα (normal vector) της

στο (s) Το διάνυσmicroα αυτό είναι microοναδιαίο και (σύmicroφωνα microε το Λήmicromicroα 331)

κάθετο στο εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα Ορίζεται επίσης και η αντίστοιχη διαφορίσιmicroη

απεικόνιση

(334prime) N J ni s 7minusrarr N(s) isin R3

Τέλος για κάθε s isin J ορίζουmicroε και το διάνυσmicroα

(335) B(s) = T (s) times N(s)

και την αντίστοιχη διαφορίσιmicroη απεικόνιση

(335prime) B J ni s 7minusrarr B(s) isin R3

Το B(s) καλείται δεύτερο κάθετο διάνυσmicroα (binormal vector) της στο (s) Προ-

ϕανώς είναι κάθετο στα T (s) N(s) και microοναδιαίο

Από τα προηγούmicroενα συνάγεται ότι γιά κάθε s isin J η τριάδα

T (s) N(s) B(s)

x

y

z

( )T s

( )B s

( )N s

( )T s

( )B s

( )N s

( )sb

Σχηmicroα 33

90 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R3 που ονοmicroάζεται συνοδεύον τρίεδρο (moving

frame) ή τρίεδρο Frenet (Frenet frame) στο σηmicroείο (s) της Αντιστοίχως η

τριάδα των συναρτήσεων

T N B

καλείται συνοδεύον τρίεδρο ή τρίεδρο Frenet κατά microήκος της

Πολλές ϕορές για διευκόλυνση αλλά και για την παραστατικότερη απεικόνιση

των πραγmicroάτων ϑεωρούmicroε ότι τα τρία προηγούmicroενα διανύσmicroατα έχουν microεταφερ-

ϑεί παραλλήλως κατά το διάνυσmicroα (s) οπότε έχουν ως αρχήν το σηmicroείο (s) της

καmicroπύλης ΄Ετσι σχηmicroατίζεται η εικόνα ενός τριέδρου που συνοδεύει τα σηmicroεία της

καmicroπύλης Αυτό δικαιολογεί και την παραπάνω ορολογία Σχετικώς παραθέτουmicroε το

Σχήmicroα 33

Μέσω των παραπάνω ϐασικών διανυσmicroάτων ορίζουmicroε τρία χαρακτηριστικά επί-

πεδα που επίσης συνοδεύουν την καmicroπύλη Ακριβέστερα για κάθε σηmicroείο s isin J τα

κάθετα microεταξύ τους διανύσmicroατα T (s) και N(s) ορίζουν ένα επίπεδο E Το (microοναδικό)

επίπεδο που περνά από το σηmicroείο (s) και είναι παράλληλο προς το E (άρα και

προς τα διάνύσmicroατα T (s) N(s)) ονοmicroάζεται εγγύτατο επίπεδο (osculating plane)

της στο (s) Το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς

το επίπεδο των N(s) και B(s) καλείται κάθετο επίπεδο (normal plane) της στο

σηmicroείο (s) ενώ το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς το

επίπεδο των T (s) και B(s) καλείται ευθειοποιούν επίπεδο (rectifying plane) της

στο σηmicroείο (s)

( )T s

( )B s

( )N s

Κάθετοεπίπεδο

Εγγύτατοεπίπεδο

Ευθειοποιούνεπίπεδο

Σχηmicroα 34

Προφανώς το εγγύτατο επίπεδο (στο (s)) είναι κάθετο στο διάνυσmicroα B(s) το

κάθετο επίπεδο είναι κάθετο στο T (s) και το ευθειοποιούν επίπεδο είναι κάθετο

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 91

στο N(s) Οι τελευταίες ιδιότητες χρησιmicroοποιούνται για τον προσδιορισmicroό των αντι-

στοίχων εξισώσεων των επιπέδων αυτών όπως εξηγούmicroε στις ασκήσεις του παρόντος

κεφαλαίου

Στα Σχήmicroατα 33 και 34 απεικονίζονται τα προηγούmicroενα επίπεδα Σηmicroειώνουmicroε

ότι και στα δύο έχουmicroε microεταθέσει τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) στο σηmicroείο (s)οπότε το εγγύτατο επίπεδο ταυτίζεται microε το επίπεδο των T (s) N(s)) κοκ

Στη συνέχεια ϑα ορίσουmicroε και ένα άλλο ϐασικό για την microελέτη microιας καmicroπύλης

microέγεθος Επειδή lt N(s) B(s) gt= 0 για κάθε s isin J παραγωγίζοντας τη συνάρτηση

lt NB gt= 0 [ϐλ και τις ανάλογες σχέσεις (316) (318)] ϐρίσκουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt + lt N(s) Bprime(s) gt= 0

Τον πραγmicroατικό αριθmicroό

(336) τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=lt N prime(s) B(s) gt

ονοmicroάζουmicroε στρέψη (torsion) της καmicroπύλης στο σηmicroείο (s) Προφανώς ορίζεται

και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση

(336prime) τ J ni s 7minusrarr τ(s) isin R

Από την (336) προκύπτει ότι η στρέψη αφού περιέχει την παράγωγοBprime(s) microετρά

κατά κάποιον τρόπο την microεταβολή του δευτέρου καθέτου διανύσmicroατος άρα και τη

microεταβολή του εγγυτάτου επιπέδου Η microεταβολή του τελευταίου ουσιαστικά καθορίζει

τη ϑέση της καmicroπύλης στο χώρο δηλαδή το κατά πόσον η καmicroπύλη αποmicroακρίνεται

από το επίπεδο άρα διαφέρει από microια επίπεδη καmicroπύλη Την ακριβή σηmicroασία της

στρέψης (όπως και της καmicroπυλότητας) ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 335

Πριν συνδέσουmicroε τα διανύσmicroατα του τριέδρου Frenet και τις παραγώγους τους

microε την καmicroπυλότητα και την στρέψη αποδεικνύουmicroε το επόmicroενο ϐοηθητικό συmicroπέ-

ϱασmicroα

332 Λήmicromicroα Αν u v isin R3 microε u = 1 και u perp v τοτε

(u times v) times u = v

Απόδειξη ΄Εστω u = (a b c) και v = (x y z) Τότε

u times v =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a b c

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= (bz minus cy)e1 minus (az minus cx)e2 + (ay minus bx)e3

= (bz minus cy cx minus az ay minus bx)

92 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Εποmicroένως

(u times v) times u =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

bz minus cy cx minus az ay minus bxa b c

∣∣∣∣∣∣∣∣= [c(cx minus az) minus b(ay minus bx)]e1 minus [c(bz minus cy) minus a(ay minus bx)]e2+

+ [b(bz minus cy) minus a(cx minus az)]= (c2x minus acz minus aby + b2x)e1 minus (cbz minus c2y minus a2y + abx)e2+

+ (b2z minus bcy minus acx + a2z)e3 =

= ((1 minus a2)x minus acz minus aby (1 minus b2)y minus abx minus cbz(1 minus c2)z minus bcy minus acx)

= (x minus a(ax + by + cz) y minus b(ax + by + cz)

z minus c(ax + by + cz))= (x minus a lt u v gt y minus b lt u v gt z minus c lt u v gt)

= (x y z) = v

που είναι η Ϲητούmicroενη ισότητα

333 Πόρισmicroα Ισχύουν οι σχέσεις

T (s) times N(s) = B(s)

N(s) times B(s) = T (s)

B(s) times T (s) = N(s)

Απόδειξη Η πρώτη σχέση είναι ακριβώς η (335) δηλαδή ο ορισmicroός του B(s) Για

την τρίτη παρατηρούmicroε ότι το Λήmicromicroα 332 συνεπάγεται ότι

B(s) times T (S) = (T (s) times N(s)) times T (s) = N(s)

Παρόmicroοια για την δεύτερη σχέση εχουmicroε

N(s) times B(s) = N(s) times (T (S) times N(s)) =

= minus(T (S) times N(s)) times N(s) = (N(S) times T (s)) times N(s) = T (s)

Ερχόmicroαστε τώρα στην απόδειξη των τύπων (εξισώσεων) FrenetshySerret οι οποί-

οι εκφράζουν τις παραγώγους T prime(s) N prime(s) Bprime(s) ως γραmicromicroικούς συνδυασmicroούς των

ϐασικών διανυσmicroάτων του τριέδρου Frenet microε συντελεστές την καmicroπυλότητα και τη

στρέψη Αποδείχτηκαν (ανεξαρτητα) από τους Jean Frederic Frenet (1816ndash1900) και

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 93

Joseph Alfred Serret (1819ndash1885)

Εικονα 15 F Frenet και J Serret

334 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε k gt 0 και

T N B το αντίστοιχο τρίεδρο του Frenet κατά microήκος της Τότε ισχύουν οι σχέσεις

(τύποι FrenetshySerret)

(F 1) T prime = kN

(F 2) N prime = minuskT + τB(F 3) Bprime = minusτN

Απόδειξη Η (F 1) προκύπτει από τον ορισmicroό του N(s) [ϐλ σχέση (334)]

Για την (F 2) προχωρούmicroε ως εξής Επειδή για κάθε s isin J τα διανύσmicroατα

T (s) N(s) και B(s) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση υπάρχουν microονοσήmicroαντα ορισmicroέ-

νες συναρτήσεις a b c J rarr R έτσι ώστε

(337) N prime(s) = a(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Για να προσδιορίσουmicroε τις συναρτήσεις a b c ϑα σχηmicroατίσουmicroε το εσωτερικό γινό-

microενο της (337) διαδοχικά microε τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) Στην πρώτη περίπτωση

έχουmicroε ότι

lt N prime(s) T (s) gt = a(s)lt T (s) T (s) gt + b(s)lt N(s) T (s) gt

+ c(s)lt B(s) T (s) gt

= a(s)1 + b(s)0 + c(s)0 = a(s)

Απ᾿ το άλλο microέρος η παραγώγιση της σχέσης lt T N gt= 0 δίνει ότι

lt T N gtprime =lt T prime N gt + lt TN prime gt= 0

94 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

άρα microαζί microε την (F 1)

lt TN prime gt= minus lt T prime N gt= minus lt kNN gt= minusk middot 1 = minusk

Εποmicroένως καταλήγουmicroε στη σχέση

a(s) = minusk(s)

οπότε η (337) παίρνει την microορφή

(338) N prime(s) = minusk(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία εσωτερικά microε N(s) έχουmicroε

lt N prime(s) N(s) gt = minusk(s)lt T (s) N(s) gt + b(s)lt N(s) N(s) gt

+ c(s)lt B(s) N(s) gt

= minusk(s)0 + b(s)1 + c(s)0 = b(s)

Η σχέση lt NN gt= 1 οδηγεί στην

lt N N gtprime = 2 lt NN prime gt= 0

άρα

b(s) = 0

microέσω της οποίας η (338) microετασχηmicroατίζεται στην

(339) N prime(s) = minusk(s)T (s) + 0N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Τέλος από την προηγούmicroενη σχέση έχουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt = minusk(s)lt T (s) B(s) gt + 0lt N(s) B(s) gt

+ c(s)lt B(s) B(s) gt

= minusk(s)0 + 0 + c(s)1 = c(s)

Αλλά η lt BN gt= 0 δίνει ότι

lt B N gtprime =lt Bprime N gt + lt BN prime gt= 0

άρα σύmicroφωνα microε την (336)

lt B(s) N prime(s) gt= minus lt Bprime(s) N(s) gt= τ(s)

οπότε

c(s) = τ(s)

και η (339) microετασχηmicroατίζεται στην

N prime(s) = minusk(s)T (s) + τ(s)B(s) forall s isin J

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 95

δηλαδή καταλήγουmicroε στην (F 2)

Για την (F 3) αρκεί να παραγωγίσουmicroε την B = T times N λαmicroβάνοντας υπόψιν τις

(F 1) (F 2) και τις σχέσεις του Πορίσmicroατος 333 Πράγmicroατι

Bprime = T prime times N + T times N prime

= kN times N + T times (minuskT + τB)

= k middot 0 + (minuskT times T + τT times B)

= minusk middot 0 + τT times B= minusτN

Οι τύποι FrenetshySerret συνοψίζονται και στην επόmicroενη microορφή

(3310)

T prime

N prime

Bprime

=

0 k 0

minusk 0 τ

0 minusτ 0

T

N

B

Απο εδώ ϕαίνεται και ο microνηmicroονοτεχνικός κανόνας microέσω του οποίου ϐρίσκουmicroε α-

microέσως τους συντελεστές των (F 1) ndash (F 3) εmicroφανίζονται microόνον η καmicroπυλότητα και

η στρέψη (κατά σειράν) στην 2η γραmicromicroή και την 2η στήλη microε την σηmicroειούmicroενη

εναλλαγή προσήmicroων

Το επόmicroενα αποτελέσmicroατα διαφωτίζουν το ϱόλο της καmicroπυλότητας και της στρέ-

ψης microιας καmicroπύλης

335 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε ισχύουν

οι επόmicroενοι χαρακτηρισmicroοί

(i) k = 0 εάν και microόνον εάν η είναι ευθεία

(ii) Αν k gt 0 τότε τ = 0 εάν και microόνον εάν η είναι επίπεδη

Απόδειξη (i) k = 0 hArr T prime = primeprime = 0 hArr prime(s) = λ hArr (s) = λs + micro [ϐλ και

Παράδειγmicroα 312 (1)] Προφανώς για να είναι η καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας

ϑα πρέπει λ = 1

(ii) Από τις σχέσεις Bprime = minusτN και τ = minus lt NBprime gt συνάγεται ότι τ = 0 εάν και

microόνον εάν Bprime = 0 που microε τη σειρά του ισοδυναmicroεί microε το ότι η απεικόνιση B = T times Nείναι σταθερή δηλαδή για ένα so isin J

B(s) = B(so) forall s isin JΕτσι έχουmicroε

τ = 0 rArr B(s) = B(so) forall s isin JrArr T (s) perp B(so) forall s isin JrArr lt T (s) B(so) gt=lt

prime(s) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt

prime= 0 forall s isin J

rArr lt (s) B(so) gt= σταθερό forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt=lt (so) B(so) gt forall s isin JrArr lt (s) minus (so) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr (s) minus (so) perp B(so) forall s isin J

96 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Η τελευταία σχέση σηmicroαίνει ότι (s) minus (so) ανήκει στο επίπεδο Eo των T (so) και

N(so) δηλαδή το (s) ανήκει στο εγγύτατο επίπεδο Eo + (so) για κάθε s isin J

Αντιστρόφως έστω ότι (s) isin E για κάποιο επίπεδο E και έστω Eo το επίπεδο

(υπόχωρος του R2 διάστασης 2) που είναι παράλληλο microε το E και περιέχει το 0

Τότε

E = (s) + Eo forall s isin JΣταθεροποιώντας ένα so isin J παίρνουmicroε ότι

(s) isin (so) + Eo forall s isin J

Αν το Eo παράγεται από microία ορθοκανονική ϐάση u v τότε

(3311) (s) = (so) + λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

όπου λ micro J rarr R είναι διαφορίσιmicroες συναρτήσεις Πραγmicroατικά η διαφορισιmicroότητα

της λ ελέγχεται ως εξής Από την (3311) έχουmicroε ότι

(s) minus (so) = λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

οπότε παίρνοντας το εσωτερικό γινόmicroενο και των δύο microελών της τελευταίας microε το u

ϐρίσκουmicroε την

lt (s) minus (so) u gt = lt λ(s)u u gt + lt micro(s)v u gt

= λ(s)1 + micro(s)0 = λ(s)

δηλαδή λ =lt minus (so) u gt που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό Παρόmicroοια αποδεικνύ-

εται και η διαφορισιmicroότητα της micro

Παραγωγίζοντας τώρα την σχέση (3311) έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) = λprime(s)u + microprime(s)v isin Eo forall s isin J

η παραγώγιση επίσης της οποίας οδηγεί στην

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

1

k(s)(λprimeprime(s)u + microprimeprime(s)v) isin Eo forall s isin J

΄Αρα το επίπεδο των T (s) και N(s) είναι σταθερά το Eo και το διάνυσmicroα B(s) είναι στα-

ϑερά το ένα από τα δύο microοναδιαία διανύσmicroατα που είναι κάθετα στο Eo Εποmicroένως

λόγω της σταθερότητας του B(s) και της (336) προκύπτει ότι τ = 0

336 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε

η είναι τmicroήmicroα κύκλου εάν και microόνον εάν έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0

Απόδειξη Αν η είναι τmicroήmicroα κύκλου κέντρου (xo yo) και ακτίνας r τότε δίνεται από

τον τύπο

(s) = r(cos

s

r sin

s

r

)+ (xo yo) s isin J sube [02π]

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

απ᾿ όπου παίρνουmicroε τις σχέσεις

T (s) = prime(s) =( minus sin

s

r cos

s

r

)

T prime(s) = primeprime(s) =1

r

( minus coss

r minus sin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

r

Αντιστρόφως έστω ότι η έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0 και microηδενική στρέψη

Θεωρούmicroε την απεικόνιση

γ(s) = (s) +1

kN(s)

Η γ είναι προφανώς διαφορίσιmicroη και

γprime(s) = prime(s) +1

kN prime(s)

= T (s) +1

k(minuskT (s) + τB(s))

= T (s) minus T (s) + 0 = 0

δηλαδή η γ είναι σταθερή Αν a = γ(s) isin R3 είναι η σταθερή τιmicroή της γ τότε

(s) minus a = 1

kN(s) = 1

k= r

δηλ τα σηmicroεία (s) ανήκουν στην σφαίρα microε κέντρο a και ακτίνα r Επειδή η είναι

επίπεδη ολοκληρώνεται η απόδειξη

337 Παρατηρήσεις 1) Από την προηγούmicroενη απόδειξη ϕαίνεται ότι η ακτίνα του

κύκλου είναι ακριβώς η ακτίνα καmicroπυλότητας της [ ϐλ σχέση (333)] ενώ το κέντρο

είναι το σηmicroείο (s) + 1

kN(s)

2) Από τα Θεωρηmicroατα 335 και 336 συνάγεται ότι η καmicroπυλότητα microετρά το πόσο

αποκλίνει η καmicroπύλη από το να είναι ευθεία ενώ η στρέψη microετρά την απόκλιση από

το να είναι η καmicroπύλη επίπεδη

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης

Το τρίεδρο Frenet η καmicroπυλότητα και η στρέψη microιας καmicroπύλης ορίστηκαν προη-

γουmicroένως microε την προϋπόθεση ότι η είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν

α I rarr R3 είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα

πώς microπορούmicroε να εκφράσουmicroε τα προηγούmicroενα στοιχεία της καmicroπύλης χωρίς ανα-

παραmicroέτρηση microε το microήκος τόξου Αυτό είναι απαραίτητο πχ στην περίπτωση που

ενώ κατά το Θεώρηmicroα 323 υπάρχει πάντοτε τέτοια αναπαραmicroέτρηση εντούτοις οι

υπολογισmicroοί microας καταλήγουν σε microη υπολογίσιmicroο ολοκλήρωmicroα

Σύmicroφωνα microε όσα είπαmicroε στην προηγούmicroενη παράγραφο τα παραπάνω στοιχεία

αναφέρονται σε ιδιότητες του συνόλου X = α(I) και όχι της παραmicroέτρησης (απεικό-

νισης) α Εποmicroένως ο επόmicroενος ορισmicroός είναι εντελώς ϕυσιολογικός

98 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

341 Ορισmicroός ΄Εστω α microια τυχαία κανονική καmicroπύλη και α η παραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου (ϐλ Θεώρηmicroα 323) Αν T N B k τ είναι το τρίεδρο Frenet

η καmicroπυλότητα και η στρέψη της α τότε ορίζουmicroε τα αντίστοιχα microεγέθη T N B k τ

της α microέσω των τύπων

T (t) = T (s(t))( i )

N(t) = N(s(t))( ii )

B(t) = B(s(t))( iii )

k(t) = k(s(t))( iv )

τ(t) = τ(s(t))( v )

342 Θεώρηmicroα Αν α I rarr R3 είναι microια (τυχαία) κανονική καmicroπύλη τότε

k =αprime times αprimeprimeαprime3

Απόδειξη ΄Εστω α microια κανονική καmicroπύλη και α = α h η αναπαραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε α = α s οπότε

για κάθε t isin I έχουmicroε τις σχέσεις

αprime(t) = (α s)prime(t) = sprime(t)αprime(s(t)) = sprime(t)T (s(t))(341)

αprimeprime(t) = sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2(T prime(s(t))

= sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))(342)

οπότε

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)T (s(t)) times [sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))]

ή ϐάσει των ιδιοτήτων του εξωτερικού γινοmicroένου

(343)

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)sprimeprime(t)[T (s(t)) times T (s(t))]+

+ sprime(t)3k(s(t))[T (s(t)) times N(s(t))]

= 0 + sprime(t)3k(s(t))B(s(t))

= αprime(t)3k(s(t))B(s(t))

΄Αρα

αprime(t) times αprimeprime(t) = αprime(t)3k(s(t))

απ᾿ όπου προκύπτει η

k(t) = k(s(t)) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3

δηλαδή η Ϲητούmicroενη σχέση

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

343 Θεώρηmicroα Αν η α είναι microια κανονική καmicroπύλη microε k gt 0 τότε

τ =lt αprime times αprimeprime αprimeprimeprime gtαprime times αprimeprime2 =

[αprimeαprimeprimeαprimeprimeprime]αprime times αprimeprime2

Απόδειξη Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α της α microέσω του

microήκους τόξου Από την σχέση (342) ϐρίσκουmicroε ότι

αprimeprimeprime(t) = sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)T prime(s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) + sprime(t)3k(s(t))N prime(s(t))

= sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t))N (s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) minus sprime(t)3k(s(t))2T (s(t)) +

+sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))B(s(t))

= X (t)T (s(t)) + Y (t)N (s(t)) + Z (t)B(s(t))

όπου ϑέσαmicroε

X (t) = sprimeprimeprime(t) minus sprime(t)3k(s(t))2

Y (t) = sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t)) + [sprime(t)2k(s(t))]prime

Z (t) = sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν την (343) και ότι το B(s(t)) είναι κάθετο προς τα T (s(t)) και

N(s(t)) έχουmicroε

lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gt = sprime(t)3k(s(t)) lt B(s(t)) αprimeprimeprime(t) gt

= sprime(t)3k(s(t))X (t) lt B(s(t)) T (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Y (t) lt B(s(t)) N (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Z (t) lt B(s(t)) B(s(t)) gt

= 0 + 0 + sprime(t)6k(s(t))2 τ(s(t))

= αprime(t) times αprimeprime(t)2 τ(s(t))

απ᾿ όπου παίρνουmicroε την

τ(t) = τ(s(t)) =lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gtαprime(t) times αprimeprime(t)2

microε την οποίαν ολοκληρώνεται η απόδειξη

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης

Θα υπολογίσουmicroε τώρα τα διανύσmicroατα T (t) N(t) και B(t) (ϐλ Ορισmicroό 341) για

microία τυχαία κανονική καmicroπύλη α microε microη microηδενική καmicroπυλότητα

100 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

351 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T (t) N(t) B(t) το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet Τότε

T (t) =αprime(t)αprime(t)

(351)

N(t) =(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

(352)

B(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

(353)

Απόδειξη ΄Εστω α = α h η αντίστοιχη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (ϐλ Θεώ-

ϱηmicroα 322) όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε

T (t) = T (s(t)) = αprime(s(t)) = (α h)prime(s(t))

= αprime(h(s(t)))hprime(s(t)) = αprime(t) middot 1

sprime(t)

=αprime(t)αprime(t)

[ϐλ σχέση (321)]

Ανάλογα από την σχέση T = T s παίρνουmicroε την T = T h εποmicroένως

N(t) = N(s(t)) =T prime(s(t))

k(s(t))=

(T h)prime(s(t))k(t)

=T prime(h(s(t)))hprime(s(t))

k(t)=

T prime(t)k(t)sprime(t)

=T prime(t)sprime(t)

middot αprime(t)3αprime(t) times αprimeprime(t)[Θεώρηmicroα 342]

= T prime(t)αprime(t)2

αprime(t) times αprimeprime(t)

Από την παραπάνω ισότητα έχουmicroε ότι T prime(t) και N(t) είναι συγγραmicromicroικά Επειδή

T (t) perp N(t) είναι και T (t) perp T prime(t) Επίσης προφανώς T (t) = 1 ΄Αρα εφαρmicroόζοντας

το Λήmicromicroα 332 για u = T (t) και v = T prime(t) παίρνουmicroε

T prime(t) = (T (t) times T prime(t)) times T (t)

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι T (t) =αprime(t)sprime(t)

[ϐλ σχέση (351)] και

T prime(t) =αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 101

ϐρίσκουmicroε ότι

T prime(t) =

(αprime(t)sprime(t)

times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

)times α

prime(t)sprime(t)

=1

sprime(t)4[(αprime(t) times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t) times αprime(t)sprimeprime(t)] times αprime(t)

=1

sprime(t)3[(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)]

απ᾿ όπου προκύπτει η

N(t) =

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

Τέλος

B(t) = B(s(t)) = T (s(t)) times N(s(t)) = T (t) times N(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) middot αprime(t) times αprimeprime(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) times

αprime(t)αprime(t)

)

=αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

όπου στην τελευταία ισότητα έχει πάλι χρησιmicroοποιηθεί το Λήmicromicroα 332 για

u =αprime(t)αprime(t) και v =

αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

352 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ΄ ανάγκη microονα-

διαίας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T N B το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet (κατά microήκος της α) Τότε ισχύουν οι (γενικευmicroένοι) τύποι FrenetshySerret

(F prime 1) T prime = kvN

(F prime 2) N prime = minuskvT + τvB

(F prime 3) Bprime = minusτvN

όπου v(t) = αprime(t) το microέτρο της ταχύτητας της α στο t isin IΑπόδειξη Θεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α J rarr R3 της α microέσω του microήκους τόξου

και το τρίεδρο Frenet T N B κατά microήκος της α Για κάθε t isin I είναι

T prime(t) = (T s)prime(t) = T prime(s(t))sprime(t) = k(s(t))N (s(t))sprime(t) = k(t)v(t)N(t)

N prime(t) = (N s)prime(t) = N prime(s(t))sprime(t)= minusk(s(t))sprime(t)T (s(t)) + τ(s(t))sprime(t)B(s(t))

= minusk(t)v(t)T (t) + τ(t)v(t)B(t)

Bprime(t) = (B s)prime(t) = Bprime(s(t))sprime(t) = minusτ(s(t))N (s(t))sprime(t) = minusτ(t)v(t)N(t)

οπότε η απόδειξη των τύπων είναι πλήρης

102 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα δύο αριθmicroητικά microεγέθη η καmicroπυλότητα και η στρέψη που αντιστοιχίσαmicroε

σε microια κανονική καmicroπύλη καθορίζουν ουσιαστικά microονοσήmicroαντα την καmicroπύλη Πιό

συγκεκριmicromicroένα δύο καmicroπύλες microε την ίδια καmicroπυλότητα και την ίδια στρέψη διαφέ-

ϱουν microόνο ως προς την ϑέση τους στο χώρο και αντιστρόφως

Για την ακριβή διατύπωση του σχετικού ϑεωρήmicroατος υπενθυmicroίζουmicroε ότι Μετα-

ϕορά (translation) κατά (το διάνυσmicroα) h isin R3 ονοmicroάζεται η απεικόνιση

microh R3 minusrarr R3 u 7rarr microh(u) = u + h

Στροφή (rotation) ονοmicroάζεται κάθε οϱθογώνιος microετασχηmicroατισmicroός του R3 microε ϑετική

ορίζουσα micro᾿ άλλα λόγια κάθε γραmicromicroική απεικόνιση f R3 rarr R3 που διατηρεί τα

εσωτερικά γινόmicroενα δηλαδή

lt f (u) f (v) gt=lt u v gt forall u v isin R3

και ο πίνακας της έχει ϑετική ορίζουσα Εποmicroένως η f διατηρεί τις αποστάσεις και

αντιστρέφεται (δηλαδή είναι γραmicromicroικός ισοmicroορφισmicroός)

Παρατηρούmicroε ότι οι microεταφορές και οι στροφές είναι αντιστρέψιmicroες απεικονίσεις

της ίδιας microορφής η αντίστροφη της microh είναι η microminush δηλαδή είναι επίσης microία microετα-

ϕορά ενώ η αντίστροφη microιάς στροφής είναι άmicroεσον ότι αποτελεί κι αυτή στροφή

∆ιαπιστώνεται εύκολα ότι

f microc = microf (c) fΗ σύνθεση microια microεταφοράς και microια στροφής ονοmicroάζεται στερεά κίνηση (rigid moshy

tion)

Τα προηγούmicroενα microας επιτρέπουν να διατυπώσουmicroε το επόmicroενο Θεmicroελιώδες Θε-

ώρηmicroα των Καmicroπυλών microε το οποίον και κλείνουmicroε το κεφάλαιο αυτό

353 Θεώρηmicroα ΄Εστω k(s) gt 0 και τ(s) s isin J = [0 c] δύο διαφορίσιmicroες πραγmicroα-

τικές συναρτήσεις Τότε υπάρχει microια καmicroπύλη α J rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα k και στρέψη τ Επιπλέον microια άλλη κανονική καmicroπύλη έχει τις ίδιες

ιδιότητες τότε και microόνον τότε αν διαφέρει από την α κατά microία στερεά κίνηση

Για microια λεπτοmicroερή απόδειξη του ϑεωρήmicroατος η οποία είναι αρκετά τεχνική και

ϐρίσκεται εκτός του σκοπού αυτών των σηmicroειώσεων παραπέmicroπουmicroε στο [7] Εδώ

περιοριζόmicroαστε στην παράθεση του Σχήmicroατος 35 στην επόmicroενη σελίδα

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται κυρίως στις σηmicroειώσεις [7] Από την πολλή

εκτεταmicroένη ϐιβλιογραφία της στοιχειώδους διαφορικής γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

επιλέγουmicroε να παραπέmicroψουmicroε τον ενδιαφερόmicroενο αναγνώστη στα πολύ κατανοητά

ϐιβλία [24] [30] και [34]

36 Ασκήσεις 103

x

y

z

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )sa

1e

2e0

3e

a

b

Σχηmicroα 35

36 Ασκήσεις

1 Να ϐρεθούν (i) Μία παραmicroέτρηση α του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος που ενώνει δύο

(διαφορετικά) σηmicroεία P και Q του R3 (ii) Το microήκος και η καmicroπυλότητα της α (iii) Μία

αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (iv) Το microήκος και η καmicroπυλότητα

της

2 Ο κύκλος microε κέντρο (00) και ακτίνα r είναι εικόνα της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R2 t 7rarr (r cost r sint)

Να δείξετε ότι (i) Η α ορίζει microία κανονική παραmicroέτρηση (ii) Το διάνυσmicroα της τα-

χύτητας είναι κάθετο στην ακτίνα (iii) Το διάνυσmicroα της επιτάχυνσης κατευθύνεται

προς το κέντρο (iv) Να υπολογίσετε το microήκος της α (v) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση

της α microε microοναδιαία ταχύτητα και να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα k της

3 Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέτρηση της παραβολής y = x2 και η αντίστοιχη

καmicroπυλότητα Ποιόν γεωmicroετρικό τόπο παριστάνει η (t) = (t3 t6) microε t isin R

4 ∆ίνεται microία διαφορίσιmicroη συνάρτηση f R rarr R Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέ-

τρηση α του γραφήmicroατος της και να προσδιοριστούν τα διανύσmicroατα T N B και η

καmicroπυλότητα της α

104 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

5 Να ϐρεθούν το microήκος η καmicroπυλότητα και η στρέψη της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr(

1radic

2cost sint

1radic

2cost

)

6 Να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) = (a cost b sint) t isin [02π] a b gt 0

Ποιά είναι η εικόνα της

7 Η (διαφορίσιmicroη) καmicroπύλη

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr (r cost r sint bt) r gt 0 b isin Rlowast

περιγράφει microία κυκλική έλικα (circular helix) η οποία απεικονίζεται στο Σχήmicroα

36

(i) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (ii) Να ϐρεθούν

καmicroπυλότητα και η στρέψη της (iii) Να αποδειχθεί ότι η γωνία φ microεταξύ της

εφαπτοmicroένης σε κάθε σηmicroείο της έλικας και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή (iv) Να

αποδειχθεί ότι η γωνία ω microεταξύ της δεύτερης καθέτου lowast σε κάθε σηmicroείο της έλικας

και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή

2 bp

z

x

t

y

Σχηmicroα 36

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 151

36 Ασκήσεις 105

8 Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) =

(tt2

2

) 0 le t le 1

9 Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

α Rrarr R2 t 7rarr (t2 t3)

Είναι κανονική Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητά της

10 Να ϐρεθεί διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α microε a(0) = (01) η οποία διαγράφει τον

κύκλο microε την ϕορά των δεικτών του ωρολογίου

11 ΄Εστω α I rarr R3 διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και διάνυσmicroα v isin R3 τέτοιο ώστε

α(0) perp v και αprime(t) perp v forall t isin I

Να δείξετε ότι α(t) perp v για κάθε t isin I

12 Να δείξετε ότι οι εφαπτόmicroενες της καmicroπύλης

α R minusrarr R3 t 7rarr (3t 3t2 2t3)

σχηmicroατίζουν σταθερή γωνία θ microε την ευθεία y = 0 x = z

13 ΄Ενας κύκλος ακτίνας r στέκεται στο σηmicroείο (00) του άξονα x primeOx και αρχίζει

να κυλά προς τα δεξιά (i) Να ϐρεθεί η καmicroπύλη α που διαγράφει το σηmicroείο A το

οποίον αρχικά ακουmicroπά στο (00) (ii) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της α τις

χρονικές στιγmicroές t = 0 t = π και t = 2π (iii) Να υπολογιστεί το microήκος του τmicroήmicroατος

της α όταν t isin [0 2π]Η καmicroπύλη α είναι γνωστή microε το όνοmicroα κυκλοειδής (η microορφή της εmicroφανίζεται

στο σχήmicroα της λύσης σελ 153)

14 ΄Εστω (s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (i) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει διάνυ-

σmicroα w ( διάνυσmicroα Darboux) τέτοιο ώστε T prime = ωtimesT N prime = ωtimesN και Bprime = ωtimesB (ii)

Να αποδειχθεί η σχέση T prime timesT primeprime = k2ω [Στις παραπάνω σχέσεις για ευκολία έχουmicroε

παραλείψει την microεταβλητή s]

15 ΄Εστω J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε την ιδιότητα η εφαπτοmicroένη

σε κάθε σηmicroείο (s) περνά από ένα σταθερό σηmicroείο P Να αποδειχθεί ότι η είναι

ευθεία

16 ΄Εστω a J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η α είναι τmicroήmicroα

κύκλου εάν και microόνον εάν όλες οι πρώτες κάθετοιlowast της α περνούν από σταθερό

σηmicroείο P

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 156

106 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

17 Αν a J rarr R3 είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε οι δεύτερες κάθετοι

της a δεν microπορούν να περνούν από σταθερό σηmicroείο

18 ΄Εστω α J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η ταχύτητα της

α είναι συνεχώς παράλληλη microε ένα σταθερό διάνυσmicroα 0 u isin R3 εάν και microόνον εάν

η α είναι ευθεία

19 Να ϐρεθεί η εξίσωση του κάθετου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κανονι-

κής καmicroπύλης Ως εφαρmicroογή να δείξετε ότι όλα τα κάθετα επίπεδα της καmicroπύλης

(t) = (a sin2 t a sint cost a cost)

διέρχονται από το σηmicroείο (000)

20 Να ϐρεθεί η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κα-

νονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) = (cost sint t) t isin R Να

ϐρεθεί η (καρτεσιανή) εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου της α(t) στο σηmicroείο α(to)

όπου to =π

2

21 Να ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια

κανονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) =

(tt2

2t3

3

) t isin R Να

ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου της α(t) στο σηmicroείο που αντιστοιχεί

στο to = 1

22 ∆ίνεται microία καmicroπύλη α I rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε καmicroπυλότητα k(s) gt 0

για κάθε s isin I και στρέψη τ(s) Θέτουmicroε (s) = T (s) όπου T (s) το εφαπτόmicroενο

διάνυσmicroα της α (i) Να αποδειχθεί ότι η είναι κανονική καmicroπύλη (ii) Αν σ είναι η

συναρτηση microήκους τόξου της (microε αρχή το so) να αποδειχθεί ότι σprime(s) = k(s) για

κάθε s isin I (iii) Να υπολογιστεί καmicroπυλότητα k και η στρέψη τ της

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η καmicroπύλη καλείται σφαιρική δείκτρια (spherical indicatrix)

της (συνάρτησης) T Ανάλογα ορίζονται και οι σφαιρικές δείκτριες των N και B Η

ορολογία οφείλεται στο γεγονός ότι οι δείκτριες παίρνουν τιmicroές στη microοναδιαία σφαίρα

του R3 microε κέντρο το 0

23 Υποθέτουmicroε ότι α I rarr R2 είναι επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα 0 lt k(s) lt 1 foralls isin I Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

(s) = α(s) + N(s) s isin I

(παράλληλη της α) όπου N(s) το πρώτο κάθετο διάνυσmicroα της α Να αποδειχθεί ότι

η είναι κανονική και ότι η καmicroπυλότητά της k δίνεται από την σχέση

k =k

1 minus k

24 Εστω α(s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε στρέψη τ(s) 0 Να εκφραστεί η

καmicroπυλότητα k της α συναρτήσει της τ και των δεύτερων κάθετων διανυσmicroάτων B(s)

36 Ασκήσεις 107

25 Αν γ είναι κανονική καmicroπύλη microε την ιδιότητα οι διχοτόmicroοι της γωνίας που

σχηmicroατίζουν τα πρώτα κάθετα διανύσmicroατα microε τα αντίστοιχα δεύτερα να διέρχονται

από σταθερό σηmicroείο τότε η γ είναι κύκλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

4

Από τους χάρτες στις

Πολλαπλότητες

΄Οπως αποδείχτηκε στον Riemann έλειπε ακόmicroη ένα

στοιχείο κλειδί γαι microια πλήρη εικόνα του σύmicroπαντος Γι

αυτήν ο κόσmicroος ϑα έπρεπε να περιmicroένει ακόmicroη microισόν αιώ-

να microέχρι τη γέννηση του Albert Einstein

R Osserman [32 σελ 92]

Σ το Κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη περιγραφή της έννοιας της (διαφορικής)

πολλαπλότητας αφού προηγουmicroένως ορίσουmicroε την έννοια ενός χάρτη και microιας

επιφάνειας στον χώρο R3

Η πολλαπλότητα που αναφέρεται για πρώτη ϕορά από τον Riemann το 1848 γε-

νικεύει την έννοια της επιφάνειας στον R3 Αφορmicroή για τις ιδέες του Riemann υπήρξε

το Θεώρηmicroα Egregium του Gauss και η συνακόλουθη ανακάλυψη της εσωτερικής

γεωmicroετρίας της επιφάνειας

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

109

110 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Η γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων αποτελεί τη σηmicroαντικότερη εξέλιξη της γεωmicroε-

τρίας στον 20ο αιώνα και είναι ϑεmicroελιώδης για τα σύγχρονα microαθηmicroατικά (∆ιαφορική

Γεωmicroετρία και Τοπολογία Συmicroπλεκτική Γεωmicroετρία κλπ) και τη ϕυσική (Θεωρία

Σχετικότητας Θεωρίες Βαθmicroίδας κα)

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss

Παραλλάσοντας την εναρκτήρια ϕράση laquoεν αρχή ην τα microπαχαρικάraquo από τον laquoΜαγγε-

λάνοraquo του Stefan Zweig ϑα microπορούσαmicroε χωρίς υπερβολή να πούmicroε για τη νεώτερη

εξέλιξη της γεωmicroετρίας ότι

εν αρχή ην ο χάρτης

Η κατασκευή χαρτών απασχόλησε τους γεωγράφους από την αρχαιότητα για

την εξυπηρέτηση της ναυσιπλοΐας και έγινε επιτακτική ανάγκη microετά τις microεγάλες

εξερευνήσεις (ανακάλυψη της Αmicroερικής κλπ) Η ακριβής αποτύπωση του σχήmicroατος

της Γης και η κατασκευή χαρτών οδήγησαν αργότερα στη συστηmicroατική microελέτη και

(της διαφορικής γεωmicroετρίας) των επιφανειών

Τι είναι όmicroως χάρτης Είναι microία προβολή δηλ απεικόνιση (microέρους) της Γης στο

επίπεδο Παράδειγmicroα τέτοιας απεικόνισης είναι η στερεογραφική προβολή που

οφείλεται στον ΄Ιππαρχο (190ndash125 πΧ) και χρησιmicroοποιήθηκε για την κατασκευή

αστρονοmicroικών χαρτών Ο όρος στερεογραφική προβολή οφείλεται στον F Drsquo Aiguillon

(1566ndash1617)

Η ιδέα της στερεογραφικής προβολής από τον Βόρειο Πόλο N εmicroφανίζεται στο

επόmicroενο σχήmicroα

N

S

x

y

z

P

NP

E

0

Σχηmicroα 41 Στερεογραφική προβολή από τον Βόρειο Πόλο

Αν ϑεωρήσουmicroε ότι microια σφαίρα microε κέντρο 0 και ακτίνα 1 αναπαριστά ιδεατά τη

γήινη σφαίρα N είναι ο Βόρειος Πόλος και E το επίπεδο του Ισηmicroερινού τότε η

(στερεογραφική) προβολή PN του σηmicroείου P της σφαίρας είναι η τοmicroή της ευθείας

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 111

NP microε το E Με την προηγούmicroενη διαδικασία ορίζεται η 1ndash1 και επί (διαφορίσιmicroη)

απεικόνιση

(411) S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

microε αντίστροφη την (επίσης διαφορίσιmicroη)

(412) R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Οι προηγούmicroενες εκφράσεις των απεικονίσεων προκύπτουν microε εφαρmicroογή στοιχειώ-

δους Αναλυτικής Γεωmicroετρίας

΄Ετσι αν ϕανταστούmicroε ότι στο επίπεδο του Ισηmicroερινού έχει απλωθεί ένα τεράστιο

ϕύλλο χαρτιού ϑα έχουν απεικονιστεί όλα τα σηmicroεία της σφαίρας σ΄ αυτό εκτός από

τον Βόρειο Πόλο άρα ϑα έχουmicroε κατασκευάσει (ϑεωρητικά) ένα χάρτη Επειδή ο

προηγούmicroενος χάρτης δεν απεικονίζει τον Βόρειο Πόλο για να καλύψουmicroε όλη τη

Γη χρειαζόmicroαστε και τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο Πόλο microε αντίστοιχες

εκφράσεις (ποιές )

Οι δυο προηγούmicroενοι χάρτες microαζί αποτελούν όπως microαθαίνουmicroε στη γεωγραφία

έναν άτλαντα Φυσικά οι χαρτες αυτοί δεν έχουν καmicroιά πρακτική αξία λόγω προ-

ϕανών microειονεκτηmicroάτων (περιοχές κοντά στους πόλους ϑα απεικονίζονται τερατωδώς

παραmicroορφωmicroένες σε εξαιρετικά αποmicroακρυσmicroένες περιοχές του χάρτη) ΄Οmicroως αυτή

η ϑεωρητική κατασκευή εmicroπεριέχει microια ϐασική ιδέα απεικόνισης από microια επιφάνεια

στο επίπεδο

΄Εναν καλλίτερο χαρτη του ϐορείου ηmicroισφαιρίου δίνει η προβολή του στο επίπεδο

του Ισηmicroερινού όπως στο επόmicroενο σχήmicroα

( )u v

2 21( )u vu v - -

(01)D

S z

+

Σχηmicroα 42 Προβολή του ϐορείου ηmicroισφαιρίου στο επίπεδο (του Ισηmicroερινού)

Ακριβέστερα έχουmicroε την 1ndash1 και επι (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(413) φ+z S+z ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (0 1)

όπου S+z = (x y z) isin S2 z gt 0 (ϐόρειο ηmicroισφαίριο χωρίς την περιφέρεια του

Ισηmicroερινού) και DZ (01) = (u v) isin R2 u2+ v2 lt 1 (ο microοναδιαίος δίσκος microε

112 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

κέντρο το 0 που είναι κάθετος στον άξονα των z) Η αντίστροφη της προηγούmicroενης

είναι προφανώς η (επίσης διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(414) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u v

radic1 minus u2 + v2

)isin S+z

Ανάλογα ϑεωρούmicroε το (νότιο ηmicroισφαίριο) Sminusz = (x y z) isin S2 z lt 0 που

προβάλεται στον ίδιο δίσκο DZ (01) microέσω της απεικόνισης

(415) φminusz Sminusz ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (01)

microε αντίστροφη την

(416) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u vminus

radic1 minus u2 + v2

)isin Sminusz

Με αυτή τη διαδικασία έχουmicroε τα έξι ηmicroισφαίρια (δύο ως προς κάθε άξονα)

(417) Sαi microε i = x y z και α = +minus

τα οποία προβάλονται στους δίσκους Di microέσω των αντιστοίχων απεικονίσεων φαi Με

τον τρόπο αυτόν προκύπτει ένας άτλαντας microε έξι χάρτες

S+

z

S-

z

S+

x

S-

x

S+

y

S-

y

z

x y

Σχηmicroα 43 Τα έξι ηmicroισφαίρια

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 113

Για άλλα είδη προβολών προβλήmicroατα σχετικά microε τη δηmicroιουργία χαρτών και τις

συνακόλουθες ατέλειές τους καθώς και την αδυναmicroία της κατασκευής ενός laquoιδεώ-

δουςraquo χάρτη (Θεώρηmicroα Euler) παραπέmicroπουmicroε στα ϐιβλία [24] και (το πιό περιγρα-

ϕικό) [32]

Κάθε χάρτης εισάγει ένα (τοπικό) σύστηmicroα συντεταγmicroένων και παραmicroετρηκοποιεί

ένα τmicroήmicroα της επιφάνειας δηλ την περιγράφει microέσω microιας κατάλληλης απεικόνισης

στην οποίαν εφαρmicroόζεται ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός (ϐλ και τα σχετικά σχόλια για την

παραmicroέτρηση καmicroπύλης στην αρχή της sect31)

Τα προηγούmicroενα microας οδηγούν στους εξής τυπικούς ορισmicroούς

411 Ορισmicroός Μία παραmicroέτρηση (parametrization) ή σύστηmicroα συντεταγmicroένων

(coordinate system) ή χάρτης (chart) [microιας επιφάνειας S sube R3] είναι ένα Ϲεύγος

(U r) όπου U sube R2 είναι ανοιχτό σύνολο και r U rarr R3 διαφορίσιmicroη απεικόνιση

έτσι ώστε να ισχύουν οι συνθήκες

bull Η r U rarr W = r(U ) είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

bull Για κάθε σηmicroείο q = (u v) isin U το διαφορικό της r στο q Dr(q) R2 rarr R3 είναι

απεικόνιση 1ndash1 Ισοδύναmicroα rank(Jqr

)= 2 όπου Jqr συmicroβολίζει τον πίνακα

Jacobi της r στο σηmicroείο q

Επειδή το πεδίον ορισmicroού της r είναι στο R2 λέmicroε ότι ο χάρτης έχει διάσταση 2

(διδιάστατος χάρτης)

Το επόmicroενο σχήmicroα εικονίζει ένα χάρτη επιφάνειας

urvr

ou

ou

UWr

q

x

y

z

u

v

Σχηmicroα 44 Χάρτης επιφάνειας

412 Ορισmicroός Μια (κανονική) επιφάνεια (regular surface) είναι ένα σύνολο

S sube R3 microε τις εξής ιδιότητες

bull Υπάρχει microία οικογένεια χαρτών (Ui ri)iisinI τέτοια ώστε κάθε Wi = ri(Ui) sube S να

είναι ανοιχτό υποσύνολο του S

114 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull S =⋃

iisinI Wi

Ισοδύναmicroα Για κάθε σηmicroείο p isin S υπάρχει (2-διάστατος) χάρτης (Up rp) microε p isinWp = ri(Ui) και Wp sube S ανοιχτό

Το σύνολο των χαρτών (Ui ri)iisinI του S αποτελεί έναν (2-διάστατο) άτλαντα (atlas)

Περιγραφικά ϑα microπορούσαmicroε να πούmicroε ότι η επιφάνεια καλύπτεται από τις

εικόνες των χαρτών της

413 Παραδείγmicroατα bull Κάθε επίπεδο του χώρου R3

bull Η σφαίρα S2 microε τις δύο δοmicroές που ορίστηκαν στην αρχή αυτής της παραγράφου

[ϐλ ΄Ασκηση 417 (2)]

bull Το γράφηmicroα

Γf =(u v f (u v)) | (u v) isin R2

microιας διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3 [ϐλ ΄Ασκηση 417 (3)]

bull Επιφάνειες όπως στα επόmicroενα σχήmicroατα 45 και 46

x

y

z

Σχηmicroα 45 Η επιφάνεια του ελλειψοειδούς

και πλήθος άλλες εκ των οποίων πολλές ιδιαίτερα περίπλοκες

Ισχύει το επόmicroενο ϑεmicroελιώδες συmicroπέρασmicroα

414 Θεώρηmicroα Η αλλαγή των συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

Θυmicroίζουmicroε ότι αmicroφιδιαφόριση είναι microία απεικόνιση 1ndash1 και επί η οποία είναι

διαφορίσιmicroη microε διαφορίσιmicroη αντίστροφο

Περιγραφικά (ϐλ και το Σχήmicroα 47) το ϑεώρηmicroα σηmicroαίνει ότι αν έχουmicroε δύο

συστήmicroατα συντεταγmicroένων (U1 r1) και (U2 r2) τέτοια ώστε W = r1(U1) cap r2(U2) emptyτότε οι συναρτήσεις rminus1

2 r1 και rminus12 r1 (που είναι η microία αντίστροφος της άλλης) είναι

διαφορίσιmicroες Εποmicroένως οι συντεταγmicroένες των σηmicroείων του W ανάγονται η microία στην

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 115

x

y

z

Σχηmicroα 46 Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς

2iexcl

2iexcl

W

1 1( )r U 2 2( )r U

1U 2U

1r 11r-

12r-

2r

11 2r r-

o

12 1r r-

o

S

Σχηmicroα 47 Η αλλαγή συντεταγmicroένων επιφάνειας

άλλη microε διαφορίσιmicroο τρόπο Για την απόδειξη του ϑεωρήmicroατος παραπέmicroπουmicroε στο

[7 Θεώρηmicroα 233]

Σε κάθε σηmicroείο P microιας επιφάνειας S ορίζονται δύο αντικείmicroενα τα οποία παίζουν

ουσιώδη ϱόλο στη γεωmicroετρική microελέτη της επιφάνειας Αυτά είναι

bull το εφαπτόmicroενο επίπεδο (tangent plane) Ep και

bull το microοναδιαίο κάθετο διάνυσmicroα (unit normal vector) N equiv N(p)

όπως ϕαίνονται στο παρακάτω Σχήmicroα 48

116 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

N

P

vr

ur

p pE T Sordm

Σχηmicroα 48 Εφαπτόmicroενο επίπεδο και πρώτο κάθετο διάνυσmicroα

Λεπτοmicroερέστερα το Ep είναι η microεταφορά κατά το διάνυσmicroα ϑέσης p του σηmicroείου

P του εφαπτοmicroένου χώρου (tangent space)

TpS = Drq(R2) = αprime(0)

για όλες τις διαφορίσιmicroες καmicroπύλες α R supe Iα rarr R3 microε α(Iα) sub S και α(0) = p Η

πρώτη ισότητα στον παραπάνω ορισmicroό σε συνδυασmicroό microε τη δεύτερη συνθήκη του

Ορισmicroού 411 συνεπάγεται ότι ο εφαπτόmicroενος χώρος είναι ένας γραmicromicroικός υπόχωρος

του R3 διάστασης δύο δηλ ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξονων

Εποmicroένως

Ep = p + TpS

Απ΄ το άλλο microέρος είναι προφανές ότι

το N υπάρχει γιατί η S ϐρίσκεται εντός του R3

και η microεταβολή του αντανακλά το laquoσχήmicroαraquo της επιφάνειας το οποίον ουσιαστικά

προσδιορίζεται από ένα ϑεmicroελιώδες microέγεθος την καmicroπυλότητα που σήmicroερα είναι

γνωστή ως καmicroπυλότητα Gauss (Gauss curvature) για να τιmicroηθεί η ϑεmicroελιώδης

συmicroβολή του microεγάλου microαθηmicroατικού στη ϑεωρία των επιφανειών

Σχήmicroα 49 Καmicroπυλότητα σφαιρικών επιφανειών

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 117

Χωρίς να microπούmicroε εδώ σε τεχνικές λεπτοmicroέρειες microπορούmicroε να πούmicroε ότι η καmicroπυ-

λότητα του Gauss microετράει σε κάθε σηmicroείο την laquoαπόκλισηraquo της επιφάνειας από το

να είναι το επίπεδο Το προηγούmicroενο σχήmicroα παρουσιάζει σε τοmicroη δύο σφαιρικές

επιφάνειες που εφάπτονται σε ένα επίπεδο στο σηmicroείο P Τα σηmicroεία της microεγάλης

σφαίρας που ϐρίσκονται κοντά στο P απέχουν από το επίπεδο λιγότερο απ΄ ότι τα

σηmicroεία της microικρής σφαίρας επίσης κοντά στο P ∆ιαισθητικά αντιλαmicroβανόmicroαστε ότι

η σφαίρα microε τη microεγαλύτερη ακτίνα έχει microικρότερη καmicroπυλότητα

Ο Leonhard Euler (1707ndash1783) υπολόγισε την καmicroπυλότητα microε τον παρακάτω

τρόπο ο οποίος στηρίζεται στην ύπαρξη του καθέτου διανύσmicroατος

Εικονα 15 Leonhard Euler

Θεωρούmicroε όλα τα επίπεδα Π που περιέχουν το κάθετο διάνυσmicroα N στο σηmicroείο P

της επιφάνειας S και είναι κάθετα στο εφαπτόmicroενο επίπεδο της S στο P (ϐλ Σχήmicroα

410) Κάθε τέτοιο επίπεδο τέmicroνει την S κατά microήκος microιας καmicroπύλης γ microε αντίστοιχη

καmicroπυλότητα στο P κγ (ϐλ sectsect 33 34)

Σχήmicroα 410 Υπολογισmicroός της καmicroπυλότητας από τον Euler

Στο σύνολο των καmicroπυλοτήτων όλων των καmicroπυλών που λαmicroβάνονται micro΄ αυτόν

118 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

τον τρόπο υπάρχει microία ελάχιστη τιmicroή κ1 και microία microέγιστη κ2 Τότε η καmicroπυλότητα

Gauss K της S στο P δίνεται από τη σχέση

Kp = κ1 middot κ2

Αργότερα όmicroως Ο Carl Friedrich Gauss παρακινούmicroενος από γεωδαιτικές microε-

λέτες (ως ∆ιευθυντής του Γαιωδαιτικού Ινστιτούτου του Gottingen) microε σκοπό τη σύν-

ταξη τοπογραφικών χαρτών microεγάλης κλίmicroακας στο (τότε) Βασίλειο του Ανοβέρου

κατέληξε στον υπολογισmicroό της καmicroπυλότητας microιας επιφάνειας S αποκλειστικά microε

microετρήσεις επί της S δηλαδή χωρίς προσφυγή στον περιβάλλοντα χώρο και την ύ-

παρξη του καθέτου διανύσmicroατος Επιστέγασmicroα της προσέγγισης αυτής ήταν και η

απόδειξη του εποmicroένου διασήmicroου αποτελέσmicroατος

415 Θεώρηmicroα (Egregium) Η καmicroπυλότητα Gauss είναι ισοmicroετρική αναλλοίωτη

Εικονα 16 Carl Friedrich Gauss

Συνέπεια του ϑεωρήmicroατος αυτού του Gauss είναι και το

416 Πόρισmicroα Κάθε επιφάνεια S διαθέτει microια εσωτερική γεωmicroετρία ∆ηλαδή η

γεωmicroετρία της S δεν εξαρτάται από την εmicroβάπτισή της στον R3

Η ανάλυση των προηγουmicroένων οδηγεί και στο εξής συmicroπέρασmicroα

Αν στη Γη κατοικούσαν 2-διάστατα όντα (χωρίς την αίσθηση της τρίτης διάστα-

σης) και είχαν τις γνώσεις και την ευφυία του Gauss τότε αυτά ϑα microπορούσαν

να ανακαλύψουν το σχήmicroα της microε microετρήσεις στην ίδια την επιφάνεια της Γης

΄Ενας σύγχρονος (και σχετικά εύκολος) τρόπος υπολογισmicroού της καmicroπυλότητας

προκύπτει microε laquoκατάλληληraquo διαφόριση του N από την οποίαν προκύπτει ένας αυτο-

συζυγής (συmicromicroετρικός) τελεστής του TpS ΄Ενας τέτοιος τελεστής έχει δύο ιδιοτιmicroές

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

(κύριες καmicroπυλότητες) κ1 κ2 οπότε όπως και microε τη microέθοδο του Euler Kp = κ1 middot κ2

Κι εδώ η καmicroπυλότητα υπολογίζεται microε τη ϐοήθεια του καθέτου διανύσmicroατος άρα

τελικά λαmicroβάνοντας υπόψη ότι η επιφάνεια είναι εmicroβαπτισmicroένη στο χώρο R3

417 Ασκήσεις

1 Να αποδειχτούν οι τύποι της στερεογραφικής προβολής από το Βόρειο Πόλο (411)

(412) και να ϐρεθούν οι αντιστοιχες εκφράσεις για τη στερεογραφική προβολή από

το Νότιο Πόλο

2 Να οριστούν τα συστήmicroατα συντεταγmicroένων (χάρτες) της S2 ως επιφάνειας microε την

αυστηρή έννοια του Ορισmicroού 411 για τις στερεογραφικές προβολές και τα ηmicroι-

σφαίρια

3 Να δικαιολογηθεί γιατί το γράφηmicroα microιάς διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3

(ϐλ Παραδείγmicroατα 413) είναι κανονική επιφάνεια

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες

Η έννοια της (διαφορικής) πολλαπλότητας αναπτύχθηκε από τον Bernhard Riemann

(1826ndash1866) στη διάλεξή του laquoΕπί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια

της γεωmicroετρίαςraquolowast (ϐλ και σχετικά σχόλια στη σελ 28) Στη διάλεξη αυτή ο Riemann

ανέπτυξε ϱιζοσπαστικές ιδέες για τον χώρο ο οποίος δεν πρέπει να ϑεωρείται κατ΄

ανάγκην Ευκλείδειος αλλά ότι είναι laquoκαmicroπυλωmicroένοςraquo και η καmicroπυλότητά του microπο-

ϱεί να υπολογιστεί (όπως και στις επιφάνειες) microε εσωτερικές microετρήσεις ΄Ετσι ο χώρος

είναι microία laquoπολλαπλότηταraquo δηλαδή ένα γεωmicroετρικό αντικείmicroενο που δεν είναι απα-

ϱαίτητα εmicroβαπτισmicroένο σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο και microπορεί να έχει διάσταση

microεγαλύτερη του 3 ακόmicroη και άπειρη Η ύπαρξη microιας microετρικής στην πολλαπλότητα

που σήmicroερα είναι γνωστή ως microετρική Riemann οδηγεί στην εύρεση της αντίστοιχης

καmicroπυλότητας άλλα και άλλων σχετικών microεγεθών που αποκαλύπτουν τις γεωmicroετρι-

κές ιδιότητες του αντικειmicroένουχώρου

Είναι προφανές ότι οι ιδέες αυτές είχαν ως αφορmicroή την εσωτερική γεωmicroετρία του

Gauss Θυmicroίζουmicroε ότι ο Riemann υπήρξε microαθητής του Gauss και ο τελευταίος ήταν

ίσως και ο microοναδικός καθηγητής του Gottingen που microπορούσε να κατανοήσει τις

ϱιζοσπαστικές ιδέες του microαθητή του όπως αυτός (δηλ ο Riemann) τις διατύπωσε

στην παραπάνω διάλεξη

Στα επόmicroενα ϑα ϑεωρήσουmicroε ένα σύνολο M empty Με σύγχρονη ορολογία και

συmicroβολισmicroούς (που καθιερώθηκαν microετά τα microέσα της δεκαετίας του 1930) έχουmicroε

πρώτα τον επόmicroενο τυπικό ορισmicroό (συγκρίνατε microε τον Ορισmicroό 411)

421 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος χάρτης (chart) του M είναι ένα Ϲεύγος (Uφ)όπου

lowast Για τη microετάφραση της διάλεξης στα Αγγλικά και εκτενή επεξηγηmicroατικά σχόλια ϐλ M Spivak

[38] σελίδες 132ndash178

120 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull U sube M

bull φ U≃minusminusrarr φ(U ) sube Rn είναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε φ(U ) sube Rn ανοιχτό

Σχηmicroα 411 Χάρτης πολλαπλότητας

Οι χάρτες κι εδώ ορίζουν τοπικά συστήmicroατα συντεταγmicroένων Το Σχήmicroα 411 πα-

ϱουσιάζει ένα χάρτη του M και συγκρινόmicroενο microε το αντίστοιχο Σχήmicroα 44 της σε-

λίδας 113 δείχνει τη σχέση των χαρτών microιας πολλαπλότητας microε αυτούς microιας επι-

ϕάνειας Συνολοθεωρητικά προσδιορίζονται από το ίδιο είδος απεικονίσεων (1ndash1 και

επί) microε εναλλαγή των πεδίων ορισmicroού και τιmicroών Οι τοπολογικές απαιτήσεις και οι

συνθήκες διαφορισιmicroότητας επί των χαρτών της επιφάνειας δεν έχουν έννοια εδώ

αφού το M είναι ένα σύνολο χωρίς καmicroιά δοmicroή (προς το παρόν)

422 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος άτλαντας (atlas) του M είναι microία οικογένεια

χαρτών A = (Ui φi) | i isin I τέτοια ώστε

bull M =⋃

iisinIUi δηλαδή ο A καλύπτει το M

bull Η αλλαγή των χαρτώνσυντεταγmicroένων

φj φminus1i φi(Ui cap Uj) minusrarr φj(Ui cap Uj)

είναι αmicroφιδιαφόρίση όπου υποθέτουmicroε ότι τα σύνολα

φi(Ui cap Uj) και φj(Ui cap Uj)

είναι ανοιχτά υποσύνολα του Rn

Βασική παρατήρηση Η δεύτερη ιδιότητα του Ορισmicroού 422 (αmicroφιδιαφόριση αλ-

λαγής χαρτώνσυντεταγmicroένων) εδώ λαmicroβάνεται ως αξίωmicroα ενω στις επιφάνειες είναι

ιδιότητα που αποδεικνύεται όπως αναφέρεται στο Θεώρηmicroα 414 Η αλλαγή των

χαρτών microιας πολλαπλότητας απεικονίζεται στο Σχήmicroα 412 της επόmicroενης σελίδας

και είναι το ανάλογο του Σχήmicroατος 47 (σελ 115)

423 Ορισmicroός ΄Ενα σύνολοM εφοδιασmicroένο microε ένα microέγιστο άτλαντα αποτελεί microία (n-

διάστατη) διαφορική πολλαπλότητα οπότε λέmicroε ισοδύναmicroα ότι το M εφοδιάζεται

microε microία διαφορική δοmicroή

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 121

Μέγιστος είναι ένας άτλαντας που περιέχει κάθε χάρτη για τον οποίον οι αλ-

λαγές των συντεταγmicroένων microε όλους τους χάρτες του άτλαντα είναι αmicroφιδιαφορίσεις

Αποδεικνύεται ότι για κάθε άτλαντα υπάρχει ένας microοναδικός microέγιστος που τον πε-

ϱιέχει

Συνοπτικά microπορούmicroε να πούmicroε ότι microέσω των χαρτών

Μία n-διάστατη πολλαπλότητα τοπικά microοιάζει microε τον Ευκλείδειο χώρο Rn

Σχηmicroα 412 Αλλαγή συντεταγmicroένων πολλαπλότητας

424 Παραδείγmicroατα

bull Ολες οι επιφάνειες (προφανώς)

bull ΄Ενα πιό laquoαφηρηmicroένοraquo πράδειγmicroα είναι ο (διδιάστατος) προβολικός χώρος

(projective space) P2(R) Γεωmicroετρικά αποτελείται από το σύνολο όλων των ευθειών

του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΄Οmicroως κάθε τέτοια ευθεία καθορί-

Ϲεται πλήρως από ένα οποιοδήποτε σηmicroείο της Ακριβέστερα αν ℓ είναι ευθεία διερ-

χόmicroενη από το 0 και (x y z) ένα τυχόν σηmicroείο της τοτε κάθε άλλο σηmicroείο (x prime yprime zprime)της ℓ δίνεται από τη σχέση (x prime yprime zprime) = λ (x y z) για ένα πραγmicroατικό αριθmicroό λ 0

Εποmicroένως ισοδύναmicroα ο προβολικός χώρος περιγράφεται και αλγεβρικά ως εξής

P2(R) equiv[x y z]

∣∣∣ (x y z) isin R3lowast

όπου έχουmicroε ϑέσει

[x y z] =λ (x y z) |λ isin Rlowast

122 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Μπορούmicroε να ορίσουmicroε τον άτλαντα A = (Ui φi) | i = 123

U1 =[x y z] x 0

ni [x y z]φ1minusminusminusminusminusminusrarr

(y

xz

x

)isin R2

U2 =[x y z] y 0

ni [x y z]φ2minusminusminusminusminusminusrarr

(x

yz

y

)isin R2

U3 =[x y z] z 0

ni [x y z]φ3minusminusminusminusminusminusrarr

(x

zy

z

)isin R2

Προφανώς ο P2(R) δεν είναι εmicroβαπτισmicroένος σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο (ούτε

και microπορεί να παρασταθεί) παρ΄ όλο που κατασκευάζεται από στοιχεία του R3 Με

ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται από τον Rn+1 ο n-διάστατος προβολικός χώρος Pn(R)

Φυσικά υπάρχει πληθώρα microαθηmicroατικών χώρων που είναι πολλαπλότητες αλλά

δεν microπορούν να εκτεθούν σ΄ αυτές τις σηmicroειώσεις

Μια πολλαπλότητα M αποκτά αρχικά microία τοπολογική δοmicroή ορίζοντας ότι ένα

A sube M είναι ανοιχτό (open) αν κάθε σύνολο

φ(A cap U ) sube Rn

είναι ανοιχτό (microε τη συνήθη έννοια των Ευκλειδείων χώρων) για όλους τους χάρτες

(Uφ) της διαφορικής δοmicroής

425 Πρόταση Με την προηγούmicroενη τοπολογία τα πεδία ορισmicroού U των χαρτών

(Uφ) είναι ανοιχτά σύνολα στο M και οι απεικονίσεις φ U rarr φ(U ) είναι οmicroοιοmicroορ-

ϕισmicroοί

Κατόπιν microπορούmicroε να ορίσουmicroε microίαν έννοια διαφορισιmicroότητας που επεκτείνει τη

συνήθη διαφορισιmicroότητα των Ευκλειδείων χώρων και εισάγει ένα ∆ιαφορικό Λογισmicroό

σε πολλαπλότητες Ακριβέστερα microία απεικόνιση microεταξύ πολλαπλοτήτων f M rarr N

είναι διαφορίσιmicroη στο p isin M (differentiable at p) αν υπάρχουν χάρτες (U φ) και

(V ψ) τωνM καιN αντίστιχα microε p isin U και f (U ) sube V έτσι ώστε η τοπική παράσταση

(local representation) της f

F = ψ f φminus1 Rm supe φ(U ) minusrarr ψ(V ) sube Rn

να είναι διαφορίσιmicroη στο φ(p) (microε τη συνήθη έννοια πλέον των Ευκλειδείων χώρων)

Το Σχήmicroα 413 στην επόmicroενη σελίδα διαφωτίζει τον ορισmicroό της διαφορισιmicroότητας

Ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός που προκύπτει microε αυτόν τον τρόπο έχει όλες τις καλές

ιδιότητες που ξέρουmicroε και ικανοποιεί τα περισσότερα γνωστά ϑεωρήmicroατα όπως το

Θεώρηmicroα της Αλυσίδας της Αντίστροφης Συνάρτησης κλπ

΄Οπως και στις επιφάνειες σε κάθε σηmicroείο microιας πολλαπλότητας microπορούmicroε να αν-

τιστοιχίσουmicroε ένα γραmicromicroικό χώρο που καλούmicroε εφαπτόmicroενο χώρο και προσεγγίζει

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 123

γραmicromicroικά την πολλαπλότητα Η περιγραφή του είναι πιό πολύπλοκη απ΄ αυτήν του

εφαπτοmicroένου χώρου και του εφαπτοmicroένου επιπέδου microιας επιφάνειας

Σχηmicroα 413 Τοπική παράσταση διαφορίσιmicroης απεικόνισης

Ο χώρος αυτός λόγω της γραmicromicroικής δοmicroής του επιτρέπει να ορίσουmicroε

bull Το διαφορικό (παράγωγο) microιας διαφορίσιmicroης απεικόνισης microεταξύ πολλαπλο-

τήτων Ουσιωδώς αυτό ανάγεται στο αντίστοιχο διαφορικό της τοπικής παρά-

στασης που υπολογίζεται τώρα microε τις συνήθεις microεθόδους διαφόρισης σε Ευ-

κλείδειους χώρους (πεπερασmicroένης διάστασης)

bull Εσωτερικό γινόmicroενο microετρική Minkowski κλπ που προκύπτουν και πάλι

από αντίστοιχα αντικείmicroενα σε Ευκλείδειους χώρους

Συγκολλώντας τα εσωτερικά γινόmicroενα ή τις microετρικές των εφαπτοmicroένων χώρων καθι-

στούmicroε την πολλαπλότητα microετρικό χώρο και ορίζουmicroε δοmicroή πολλαπλότητας Rieshy

mann πολλαπλότητας Lorentz κλπ

Απο την προηγούmicroενη σύντοmicroη αναφορά στις πολλαπλότητες microπορεί να κατα-

νοήσει κανείς ότι microε τη ϐοήθεια των χαρτών microπορούmicroε να microεταφέρουmicroε (σχεδόν)

όλο το microαθηmicroατικό οπλοστάσιο των Ευκλειδείων χώρων και σ᾿ αυτές Πρέπει να πού-

microε εδώ ότι οι πολλαπλότητες ndash σε πρώτη ανάγνωσηndash ϕαντάζουν ως ένα microαθηmicroατικό

αντικείmicroενο πολύ δύσκολο Για τον κοινό άνθρωπο αυτό είναι αλήθεια Για τον microέ-

σο microαθηmicroατικό η microελέτη των πολλαπλοτήτων δεν είναι δυσκολότερη απ΄ αυτήν των

επιφανειών που διδάσκονται στα microαθήmicroατα γεωmicroετρίας των πανεπιστηmicroίων

426 Ασκήσεις

1 Να αναφέρετε τη microορφή των χαρτών της σφαίρας ως διαφορικής πολλαπλότητας

microέσω των στερεογραφικών προβολών και των ηmicroισφαιρίων Κατόπιν να επαληθεύσετε

ότι η αλλαγή των συντεταγmicroένων που αντιστοιχούν στα ηmicroισφαίρια S+x και Sminusy είναι

αmicroφιδιαφόριση

124 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

2 Να αποδειχθεί ότι η συλλογή A = (Ui φi) | i = 12 3 που αναφέρεται στο

δεύτερο από τα Παραδείγmicroατα 424 πραγmicroατικά αποτελεί άτλαντα του προβολικού

χώρου P2(R)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας

Στόχος microας εδώ είναι να περιγράψουmicroε microόνο τον χωρόχρονο ως πολλαπλότητα για

να δούmicroε από τη microια microεριά το microαθηmicroατικό υπόβαθρο της Θεωρίας της Σχετικότητας

(Ειδικής και Γενικής) και από την άλλη το λόγο για τον οποίον είναι δύσκολο να

εξηγήσουmicroε το υπόβαθρο αυτό σε microη microαθηmicroατικό κοινό Πριν απ᾿ αυτό ας αναφερ-

ϑούmicroε σε microερικά διάσηmicroα ονόmicroατα τα οποία σχετίζονται ϑετικά ή αρνητικά microε την

παραπάνω ϑεωρία

Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως ήδη εξηγήσαmicroε και αλλού γεωmicroετρία του

υπήρξε ϑεmicroελιώδης για τη microαθηmicroατική διατύπωση της ΓΘΣ Ο Einstein έτρεφε

microεγάλοθαυmicroασmicroό γι΄ αυτόν (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 26)

Hermann Minkowski (1864ndash1909) Από τους πρώτους ένθερmicroους υποστηρικτές

της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΕΘΣ) στην οποίαν εισήγαγε την έννοια του

χωροχρόνου και microελέτησε τη γεωmicroετρία του

Hermann Minkowski

Το 1908 δήλωσε

Από εδώ και στο εξής ο χώρος microόνος του και ο χρόνος microόνος του είναι καταδι-

κασmicroένοι να εξασθενίσουν σε απλές σκιές και microόνον ένα είδος ένωσης και των

δυο ϑα αποτελέσει microιαν ανεξάρτητη πραγmicroατικότητα

Henri Poincare (1854ndash1912) Ασχολήθηκε (microεταξύ των άλλων) και microε προβλήmicroατα

σχετικά microε το ϕώς και είχε διερωτηθεί αν η ταχύτητα του πρέπει να ϑεωρηθεί σταθερή

Εντούτοις παρέmicroεινε πολέmicroιος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ) (Βλ

ϕωτογραφία του στη σελ 18)

Hendrik Antoon Lorentz (1853ndash1928) Είχε αντιληφθεί το 1905 κάποια παράδοξα

ϕυσικά ϕαινόmicroενα χωρίς να microπορεί να κατανοήσει τη σηmicroασία τους (όπως έγινε από

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 125

τον Einstein microε την ΕΘΣ)

Hendrik Lorentz

Οι microετασχηmicroατισmicroοί του (σήmicroερα γνωστοί ως microετασχηmicroατισmicroοί Lorentz χρησιmicroοποι-

ήθηκαν στην ΓΘΣ

David Hilbert (1862ndash1943) Είχε καταλήξει σε microερικά microαθηmicroατικά αποτελέσmicroατα

της ΓΘΣ χωρίς να microπορεί να εκτιmicroήσει ή να ερmicroηνεύσει τη ϕυσική τους σηmicroασία

Λόγω σχετικής παρεξήγησης που δηmicroιουργήθηκε ανεγνώρισε δηmicroόσια ότι η ΓΘΣ

είναι δηmicroιούργηmicroα του Einstein (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 14)

Albert Einstein (1879ndash1955)

Για τον δηmicroιουργό της Ειδικής και της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας τον ϕυσικό

που ανέτρεψε την εικόνα του κόσmicroου που επικρατούσε πριν απ΄ αυτόν δεν ϑα πούmicroε

τίποτε εδώ Είναι τεράστιο το πλήθος των ϐιβλίων και άρθρων που αναφέρονται στον

άνθρωπο και επιστήmicroονα Einstein απο τα οποία microπορεί κανείς να αντλήσει κάθε

είδους πληροφορία επιστηmicroονική ιστορική ακόmicroη και ανεκδοτολογική

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία

Α Ο χωρόχρονος της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι ισοmicroετρική microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

126 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

∆ιευκρινίζουmicroε ότι ο χώρος Minkowski είναι το R4 microε την ψευδοmicroετρική που

εισάγεται από τα laquoγινόmicroεναraquo της microορφής

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusx1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4 ή

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusc2 x1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4

όπου c η ταχύτητα του ϕωτός (η δεύτερη microορφή χρησιmicroοποιείται συχνά στη ϕυσική)

Μία πολλαπλότητα Lorentz είναι microία πολλαπλότητα εφοδιασmicroένη microε τη microετρική

Lorentz Η τελευταία είναι microία (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση που σε κάθε σηmicroείο p

του χωρόχρονου M αντιστοιχεί microία microετρική Minkowski στον αντίστοιχο εφαπτόmicroενο

χώρο TpM Μερικές άλλες τεχνικές λεπτοmicroέρειες δίνονται στην τελευταία υποπαρά-

γραφο

Στην ΕΘΣ δεν υπεισέρχεται η ϐαρύτητα και υπάρχουν πολλά παράδοξα (όπως

των διδύmicroων της αλλοίωσης των διαστάσεων κλπ) ας άmicroεση συνέπεια της γεωmicroετρίας

του χωροχρόνου

Β Ο χωρόχρονος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι τοπικώς ισόmicroορφη microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση του Einstein

G = 8πT

όπου G είναι ο τανυστής της ϐαρύτητας και T ο τανυστής stressshyenergy που κα-

ϑορίζεται από την καmicroπυλότητα (Ricci) της πολλαπλότητας οδηγεί στο συmicroπέρασmicroα

ότι

ϐαρύτητα equiv καmicroπυλότητα

εποmicroένως η ΓΘΣ αποτελεί γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου

Ο microεγάλος στόχος της σύγχρονης έρευνας είναι η ενοποίηση της Θεωρίας της

Σχετικότητας (που περιγράφει τον microακρόκοσmicroο) microε την Κβαντική Θεωρία (που περι-

γράφει τον microικρόκοσmicroο) Κυρίαρχο εργαλείο ϕαίνεται να είναι κι εδώ η γεωmicroετρία

όπως χρησιmicroοποιείται στη Θεωρία Βαθmicroίδος (gauge theory) στη Θεωρία των Υπερ-

χορδών (string theory) κλπ Φυσικά είναι έξω από τα όρια αυτών των σηmicroειώσεων

να περιγράψουmicroε τι ακριβώς εννοούmicroε σήmicroερα πια τον όρο γεωmicroετρία τα εξαιρετικά

προηγmicroένα microαθηmicroατικά εργαλεία που χρησιmicroοποιεί καιτη σύmicroπλεξή της microε τους

άλλους κλαδους των microαθηmicroατικών

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες

bull Η (τοπολογική) υπόθεση της συνεκτικότητας σηmicroαίνει (από ϕυσική άποψη) ότι δεν

υπάρχουν περιοχές του χωρόχρονου ανάmicroεσα στις οποίες δεν υπάρχει laquoεπικοινωνίαraquo

(microετάδοση σήmicroατος)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 127

bull Η microετρική Minkowski διαχωρίζει τα διανύσmicroατα u (του R4 ή τουTpM ) σε

χωρικά αν u middot u gt 0 ή u = 0

microηδενικά αν u middot u = 0 και u 0

χρονικά αν u middot u lt 0

οπότε σχηmicroατίζονται δύο διπλοί κώνοι όπως στο Σχήmicroα 414 Ο άνω και κάτω κώνος

αποτελούνται από τα χρονικά διανύσmicroατα ο δεξιά και αριστερά από τα χωρικά ενώ

στην επιφάνεια ανήκουν τα microηδενικά (ή ϕωτεινά) διανύσmicroατα

Σχηmicroα 414 Ο κώνος ϕωτός

bull Χρονικός προσανατολισmicroός σηmicroαίνει ότι επιλέγουmicroε τον έναν από τους κώνους των

χρονικών διανυσmicroάτων όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα που δανειζόmicroαστε από το

ϐιβλίο [30]

Σχηmicroα 415 Χρονικός προσανατολισmicroός

Σηmicroείωση Για τη στοιχειώδη γεωmicroετρία των επιφανειών παραπέmicroπουmicroε κυρίως στα

ϐιβλία [24] [30] [34] και τις σηmicroειώσεις [7] Για microια πρώτη γνωριmicroία microε τη διαφορική

γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων προτεινουmicroε το [44] και τις χειρόγραφες σηmicroειώσεις

[6] Η σχετική ϐιβλιογραφία είναι πολλή microεγάλη Μια πλήρης microαθηmicroατική έκθε-

ση της ΕΘΣ και της ΓΘΣ microαζί microε τα απαραίτητα στοιχεία της γεωmicroετρίας των

πολλαπλοτήτων Riemann και άλλων ϐασικών ϑεmicroάτων περιέχεται στο [29]

Πολλά ιστορικά στοιχεία και πληροφορίες για τα ϑέmicroατα που ϑίξαmicroε σ᾿ αυτό το

σύντοmicroο κεφάλαιο όπως και απλοποιηmicroένες παρουσιάσεις των ϑεωριών του Einstein

και των συνεπειών τους περιέχονται στα ϐιβλία [11] [26] [32]

Βιβλιογραφία

[1] ∆ Αναπολιτανος Εισαγωγή στη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών Εκδόσεις Νεφέλη

Αθήνα 1985

[2] Σ Ανδρεαδακης Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Αθήνα 1980

[3] Ι Αραχωβιτης ndash Ε Βασιλειου Σηmicroειώσεις Γραmicromicroικής Γεωmicroετρίας Πανεπιστήmicroιο

Αθηνών Αθήνα 1985

[4] ∆ Βαρσος κα (συγγραφική οmicroάδα) Εισαγωγή στη Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Τόmicroος

Α Εκδόσεις Σοφία Θεσσαλονίκη 2003

[5] Ε Βασιλειου Στοιχεία Προβολικής Γεωmicroετρίας Εκδόσεις Συmicromicroετρία Αθήνα

2009

[6] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας I Πα-

νεπιστήmicroιο Αθηνών 2009 httpLecture Notes on Curves and Surfaces

[7] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Καmicro-

πυλών και Επιφανειών Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 20010

[8] E T Bell The Development of Mathematics Dover New York 1992

[9] J W Blattner Projective plane geometry HoldenshyDay San Francisco 1968

[10] J N Cederberg A Course in Modern Geometries Springer New York 1989

[11] D D Davis Η Φύση και η ∆ύναmicroη των Μαθηmicroατικών Πανεπιστηmicroιακές Εκ-

δόσεις Κρήτης Ηράκλειο 2005

129

130 Βιβλιογραφία

[12] M P Do Carmo Differential geometry of Curves and Surfaces PrenticeshyHall

Englegood Cliffs New Jersey 1976

[13] P Dombrowski 150 Years after Gaussrsquo disquisitiones generales circa supershy

ficies curvas Asterisque 62 Soc Math de France Paris 1979

[14] N V Efimov ndash E R Rozendorn Linear Algebra and Multidimensional Geoshy

metry MIR Publishers Moscow 1975

[15] R L Faber Foundations of Euclidean and nonshyEuclidean Geometry Marcel

Dekker New York 1983

[16] G H Hardy A Mathematicianrsquos Apology Cambridge Univ Press Canto edishy

tion Cambridge 2002

[17] M Henle Modern Geometry The Analytic Approach Prentice Hall New Jershy

sey 1997

[18] D Hilbert Foundations of Geometry (Grunlangen der Geometrie) Open

Court Illinois 1971 Ελληνική microετάφραση Θεmicroέλια της Γεωmicroετρίας Τροχα-

λια Αθήνα 1995

[19] S Hollingdale Makers of Mathematics Penguin London 1991

[20] M Kline Mathematics in Western Culture Oxford Univ Press 1953 Ελλη-

νική microετάφραση Τα Μαθηmicroατικά στο ∆υτικό Πολιτισmicroό (τόmicroοι Α-Β) Κώδικας

Αθήνα 2002

[21] W Klingenberg A Course in Differential Geometry Springer New York

1978

[22] ∆ Κουτρουφιωτη Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Leader Books Αθήνα

2006

[23] M Lipschutz Differential Geometry Schaumrsquos Outline Series McGraw Hill

New York 1974 Ελληνική microετάφραση ∆ιαφορική Γεωmicroετρία ΕΣΠΙ Ε Περ-

σίδης Αθήνα 1981

[24] J McCleary Geometry from a Differential Point of View Cambridge Univ

Press Cambridge 1994

[25] R J Mihalek Projective Geometry and Algebraic Structures Academic

Press New York 1972

[26] L Mlodinov Euclidrsquos Window The Story of Geometry from Parallel Lines to

Hyperspace Allen Lane The Penguin Press London 2002 Ελληνική microετά-

ϕραση Το Παράθυρο του Ευκλείδη Τραυλός Αθήνα 2007

Βιβλιογραφία 131

[27] S NegrepontisndashD Lamprinidis The Platonic Anthyphairetic Interpretation of

Pappusrsquo account of analysis and synthesis History and Epistemology in Mashy

thematics Education Proceedings of the 5th European Summer University

Prague 2007 pp 501ndash511

[28] Μ Μπρικας Μαθήmicroατα Προβολικής Γεωmicroετρίας Αθήνα 1964

[29] B OrsquoNeill SemishyRiemannian Geometry With Applications to Relativity Acashy

demic Press New York 1983

[30] B OrsquoNeill Elementary Differential Geometry Academic Press New York

1997 Ελληνική microετάφραση Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Πανεπιστη-

microιακές Εκδόσεις Κρήτης 2002

[31] J Oprea Differential Geometry and its Applications Prentice Hall Upper

Saddle River New Jersey 1997

[32] R Osserman Poetry of the Universe Anchor Books Doubleday New York

1995 Ελληνική microετάφραση Η Ποίηση του Σύmicroπαντος Τραυλός Αθήνα 1998

[33] Β Παπαντωνιου ∆ιαφορική Γεωmicroετρία I Θεωρία Καmicroπυλών Πάτρα 1996

[34] A Pressley Elementary Differential Geometry Springer London 2001

[35] J Pierpont The history of mathematics in the nineteenth century Bull

Amer Math Soc 37 (2000) 3ndash8 [reprinted from Bull Amer Math Soc 11

(1905) 238ndash246]

[36] H Poincare Dernieres Pensees Flammarion Paris 1913

[37] C Reid Ο προκλητικός Κος Χίλmicroπερτ Εκδοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

[38] M Spivak Differential Geometry Vol II Publish or Perish Wilmington 1979

[39] Ε Σταmicroατης Εὐκλείδου Γεωmicroετρία Τόmicroος Ι (Στοιχείων Βιβλία IndashIV) Εκδόσεις

Ν Σάκκουλα Αθήνα 1952

[40] F W Stevenson Projetive Planes W H Freeman San Francisco 1972

[41] Χ Στραντζαλος Η εξέλιξη των Ευκλειδείων και microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

(Μέρος Α) Εκδόσεις Καρδαmicroίτσα Αθήνα 1987

[42] D J Struik Συνοπτική Ιστορία των Μαθηmicroατικών Εκδόσεις Ι Ζαχαρόπουλος

Αθήνα 1982

[43] M B W Tent Καρλ Φρίντριχ Γκάους Ο Πρίγκηπας των Μαθηmicroατικών Εκ-

δοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

132 Βιβλιογραφία

[44] LW Tu An Introductiion to Manifolds (2nd edition) Springer New York

2011

[45] I M Yaglom Felix Klein and Sophus Lie Birkhauser Boston 1988

Πίνακας εννοιών

Αίτηmicroα 8

ακτίνα καmicroπυλότητας 89

αmicroφιδιαφόριση 114

αναπαραmicroέτρηση

ndash καmicroπύλης 85

ndash microέσω microήκους τόξου 87

ανοιχτό σύνολο πολλαπλότητας 122

αντίθετη καmicroπύλη 152

αξίωmicroα 8

ndash 2prime 26

ndash Αρχιmicroήδη 17

ndash ελλειπτικό 26

ndash παραλλήλων 10

ndash πληρότητας (γραmicromicroικής) 17

ndash υπερβολικό 21

ndash Dedekind 17

ndash Pasch 15

ndash Playfair 11

αξιωmicroατικό σύστηmicroα

ndash ανεξάρτητο 19

ndash πλήρες 19

ndash συνεπές 19

άξονας σηmicroειοσειράς 51

αποδεικτική microέθοδος

ndash αναλυτική 9

ndash εις άτοπον απαγωγή 9

ndash συνθετική 9

Απόλυτη Γεωmicroετρία 11

αποπλήρωση 60

απροσδιόριστες έννοιες 14

αρχή του δυισmicroού 49 50

άτλαντας

ndash επιφάνειας 114

ndash microέγιστος 121

ndash πολλαπλότητας 120

άτοπος απαγωγή 9

Γεωδαισιακή γραmicromicroή 24

Γεωmicroετρία

ndash Απόλυτη 11

ndash Ελλειπτική 11 25

ndash Ουδέτερη 11

ndash Klein 71

ndash Υπερβολική 11 21

∆έσmicroη

ndash ευθειών 51

ndash σηmicroείων 51

διάνυσmicroα

ndash Darboux 105

ndash δεύτερο κάθετο 89

ndash εφαπτόmicroενο 83 88

ndash πρωτεύον κάθετο 89

133

134 Πίνακας εννοιών

ndash πρώτο κάθετο 89

ndash ταχύτητας 83 88

διάσταση χάρτη 113

διαφορίσιmicroη απεικόνιση πολλαπλότητας

122

διατήρηση

ndash συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων 71

ndash σύmicroπτωσης 65

δίσκος

ndash KleinshyBeltrami 24

ndash Poincare 25

δυική πρόταση 49

Ελαχίστη ισχύς

ndash προβολικού επιπέδου 54

ndash συσχετισmicroένου επιπέδου 42

έλικα (κυκλική) 104

έλκουσα 23

Ελλειπτική Γεωmicroετρία 11

ndash απλή 26

ndash διπλή 26

ένωση σηmicroείων 40 43

επίπεδο

ndash εγγύτατο 90

ndash ευθειοποιούν 90

ndash κάθετο 90

ndash προβολικό 43

ndash κλασικό 62

ndash συσχετισmicroένο 39

επιφάνεια (κανονική) 113

επιτάχυνση 83

εσωτερική γεωmicroετρία 118

εφαπτοmicroένη ευθεία 82

εφαπτόmicroενο

ndash διάνυσmicroα καmicroπύλης 83

ndash επίπεδο 115

εφαπτόmicroενος χωρος επιφάνειας 116

ευθεία 38 42

ndash εφαπτοmicroένη 82

ndash ιδεατή 57

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash πραγmicroατική 57

ευθείες παράλληλες 39

Θεώρηmicroα 9

ndash Θεmicroελιώδες των Καmicroπυλών 102

ndash Egregium 118

Ισόmicroορφα

ndash προβολικά επίπεδα 65

ndash σύνολα 64

ισοmicroορφισmicroός

ndash δοmicroής 64

ndash προβολικών επιπέδων 65

ισχύς

ndash δέσmicroης ευθειών 53

ndash σηmicroειοσειράς 53

Κάθετο διάνυσmicroα

ndashεπιφάνειας 115

ndashκαmicroπύλης

ndash δεύτερο 89

ndash πρωτεύον 89

ndash πρώτο 89

κάθετος

ndash δεύτερη (καmicroπύλης) 104 151 156

ndash πρώτη (καmicroπύλης) 105 156

καmicroπύλη 81

ndash αντίθετη 152

ndash απλή 83

ndash επίπεδη 81

ndash κανονική 83

ndash microοναδιαίας ταχύτητας 87

ndash οmicroαλή 83

ndash παράλληλη 106

ndash παραmicroετρηmicroένη 81

ndash στο χώρο 81

καmicroπυλότητα 88 98

καmicroπυλότητα Gauss 116

κέντρο δέσmicroης ευθειών 51

κοινή έννοια 9

κυκλοειδής 105

Μεταφορά 102

microέτρο ταχύτητας 83

microήκος καmicroπύλης 83

microοντέλο 19

microορφισmicroός 63

Πίνακας εννοιών 135

ndash προβολικών επιπέδων 65

ndash 1ndash1 65

ndash επί 65

Οϱος 8

Ουδέτερη Γεωmicroετρία 11

Παράλληλες ευθείες 39

παραmicroέτρηση 113

παράmicroετρος

ndash microήκος τόξου 87

ndash ϕυσική 87

πλήρωση 58

πολλαπλότητα

ndash διαφορική 120

ndash Lorentz 126

πρόταση 9

προβολικό επίπεδο 43

ndash δυικό 49

ndash πεπερασmicroένο 53

ndash πραγmicroατικό διάστασης 2 45

ndash των επτά σηmicroείων 43

προβολικός χώρος 121

Σηmicroεία συγγραmicromicroικά 39

σύστηmicroα συντεταγmicroένων 113

σηmicroείο 38 42

ndash ανωmicroαλίας 83

ndash ιδεατό 57

ndash ιδιάζον 88

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash κοινό 40

ndash πραγmicroατικό 57

σηmicroειοσειρά 51

στερεά κίνηση 102

στοιχειώδης απεικόνιση 52

στρέψη 91 98

στροφή 102

συγγραmicromicroικότητα 71

σύmicroπτωση ϐλέπε σχέση σύmicroπτωσης

σφαιρική δείκτρια 106

σχέση σύmicroπτωσης 38 42

Τάξη προβολικού επιπέδου 55

τοmicroή ευθειών 41 43

τοπική παράσταση 122

τρίεδρο

ndash Frenet 90 98 100

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

ndash συνοδεύον 90

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

τύποι FrenetshySerret 93

ndash γενικευmicroένοι 101

Υπερβολική Γεωmicroετρία 11

Χάρτης

ndash επιφάνειας 113

ndash πολλαπλότητας 119

χώρος Minkowski 126

χωρόχρονος

ndash της ΕΘΣ 125

ndash της ΓΘΣ 126

Ψευδόσφαιρα 20 22

Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις επιλεγmicroένων ασκήσεων)

2111 (2) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία ενός συσχετισmicroένου επιπέδου Σύmicroφωνα microε το

Θεώρηmicroα 219 υπάρχουν 4 διαφορετικά σηmicroεία AB C D που είναι ανά 3 microη

συγγραmicromicroικά Στην ακραία περίπτωση που δύο (το πολύ) από τα AB C D ανήκουν

στην ℓ έχουmicroε αmicroέσως το αποτέλεσmicroα

∆ιακρίνουmicroε τις εξής δύο microη τετριmicromicroένες περιπτώσεις

i) Κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν ανήκει στην ℓ

Τότε ορίζονται οι ευθείες AorB AorC και AorD που είναι διαφορετικές microεταξύ τους

καθώς και προς την ℓ (ϐλ και την απόδειξη της Πρότασης 226) Απ᾿ αυτές microία το

πολύ microπορεί να είναι παράλληλη προς την ℓ ας πούmicroε η AorD Εποmicroένως οι AorB

A or C ϑα τέmicroνουν την ℓ στα αντίστοιχα σηmicroεία X και Y Παρατηρούmicroε ότι X Y

γιατί διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι A or B = A or X = A or Y = A or C (άτοπο)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

138 Υποδείξεις λύσεων

ii) ΄Ενα από τα AB C D ϐρίσκεται επί της ℓ ας πούmicroε το A Τότε προσδιορίζουmicroε

ένα δεύτερο σηmicroείο Z A ακολουθώντας παρόmicroοια microε την προηγουmicroένη διαδικασία

όπως συνοπτικά απεικονίζεται και το επόmicroενο σχήmicroα

2111 (3) Α΄ Τρόπος ΄Εστω P τυχόν σηmicroείο ενός ΣΕ Πρώτα παρατηρούmicroε ότι υπάρ-

χει microία ευθεία ℓ η οποία δεν περιέχει το P Πραγmicroατικά από το (ΣΕ 3) εξασφαλίζεται

η ύπαρξη 3 διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών σηmicroείων A B C Αν το P συmicroπίπτει

microε ένα απο τα προηγούmicroενα σηmicroεία τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε ως ℓ την ευθεία που

ορίζουν τα άλλα δύο Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα απο τα σηmicroεία αυτά τότε ϑα

ανήκει το πολύ σε microία από τις 3 ευθείες που ορίζουν ανά 2 τα AB C άρα microπορούmicroε

να επιλέξουmicroε τη microια από τις υπόλοιπες

Σύmicroφωνα microε την προηγουmicroένη διαπίστωση microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε τώρα microια

ευθεία ℓ που δεν περιέχει το P Κατά την παραπάνω ΄Ασκηση 2111 (2) η ℓ περιέχει

δύο διαφορετικά σηmicroεία ας τα καλέσουmicroε X και Y

Επειδή X P Y ορίζονται οι P or X και P or Y Επίσης κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microία microοναδική ευθεία k που είναι παράλληλη προς την ℓ και διέρχεται από το P

∆ιαπιστώνουmicroε εύκολα ότι οι k PorX PorY είναι 3 διαφορετικές διαφορετικές ευθείες

που διέρχονται από το P

Β΄ Τρόπος Θεωρούmicroε τα 4 σηmicroεία AB C D του Θεωρήmicroατος 219 και διακρίνουmicroε

διάφορες δυνατές περιπτώσεις σε σχέση microε τη ϑέση του P ως προς τα A B C D

i) Το P συmicroπίπτει microε ένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία πχ το A Τότε οι ευθείες

PorB PorC και PorD αποδεικνύουν τον ισχυρισmicroό της άσκησης επειδή είναι microεταξύ

τους διαφορετικές [αν ήταν για παράδειγmicroα P or B = P or C τότε τα P = A και BC

ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)]

ii) Το P ϐρίσκεται στην τοmicroή δύο ευθειών από αυτές που ορίζουν ανά 2 τα

Υποδείξεις λύσεων 139

AB C D όπως στην οmicroάδα των παρακάτω τεσσάρων σχηmicroάτων

Στην περίπτωση που για παράδειγmicroα P = (A or C) and (B or D) ϕέρνουmicroε από το

C την kB or D και από το D την ℓA or C Παρατηρούmicroε ότι k ℓ [διαφορετικά η

k = ℓ ϑα συνεπάγονταν ότι το C ϑα ήταν σηmicroείο της ℓ (άτοπο)] Επίσης k mdashℓ [στην

αντίθετη περίπτωση ϑα ήταν και B or Dℓ (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζεται το E = k and ℓΕπειδή E P ορίζεται και η P or E Οι ευθείες P or E A or C και B orD επαληθεύουν

τον ισχυρισmicroό αφού είναι microεταξύ τους διάφορες [αν πχ ήταν P or E = A or C τότε

το E ϑα ανήκε στην A or C (άτοπο)]

140 Υποδείξεις λύσεων

iii) Το P ϐρίσκεται σε microία από τις ευθείες που ορίζουν 2 από τα προηγούmicroενα

σηmicroεία ας πούmicroε την A or B (ϐλ το προηγούmicroενο σχήmicroα) Οι P or C και P or Dείναι διαφορετικές microεταξύ τους καθώς και προς την A or B Πραγmicroατικά αν ήταν

P or C = P or D τότε ϑα είχαmicroε ότι

C = (P or C) and (C or D) = (P or D) and (C or D) = D

που είναι άτοπο Επίσης η A or B = P or C για παράδειγmicroα ϑα συνεπάγονταν ότι

τα AB C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά που είναι επίσης άτοπο Οι A or B P or C P or Dαποτελούν τις Ϲητούmicroενες ευθείες

iv) Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα από τα A B C D τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε

τις ευθείες P or A P or B P or C οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους

2111 (4) Αν S = k andm και υποθέσουmicroε ότι η m δεν τέmicroνει την ℓ τότε από το

S ϑα είχαmicroε δύο παράλληλες προς την ℓ πράγmicroα που αντιβαίνει στο (ΣΕ 2)

229 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι άmicroεση συνέπεια του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) [αντιστοίχως

του (ΣΕ 3)]

229 (3) Αν ℓ είναι οποιαδήποτε ευθεία τότε από τα 4 σηmicroεία του (ΠΕ 3) τουλάχι-

στον 2 ϐρίσκονται εκτός της ℓ Αν τώρα δίνεται ένα σηmicroείο P τουλάχιστον 2 από τις

ευθείες που ορίζονται από τα ίδια 4 προηγούmicroενα σηmicroεία δεν περιέχουν το P

229 (4) Αν S = k and ℓ τότε υπάρχει σηmicroείο A της k microε A S και σηmicroείο B

της ℓ microε B S Επειδή A B ορίζεται η A or B Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 226

Υποδείξεις λύσεων 141

η A or B διαθέτει ακόmicroη ένα σηmicroείο C διαφορετικό από τα A και B Το C είναι το

Ϲητούmicroενο επειδή δεν ανήκει σε καmicroιά από τις δύο ευθείες Πραγmicroατικά αν για

παράδειγmicroα (C k) isin I τότε k = A or C = A or B άρα (B k) isin I (άτοπο)

Στην περίπτωση ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διακρίνουmicroε δύο περιπτώσεις

i) Αν οι k και ℓ τέmicroνονται ϑέτουmicroε S = k and ℓ

Επειδή η k διαθέτει τουλάχιστον ένα σηmicroείοA S [ϐλ ΄Ασκηση 2111 (2)] microπορούmicroε

να ϕέρουmicroε από το A microία (microοναδική) ευθεία ℓprimeℓ Η ℓprime διαθέτει και ένα σηmicroείο O A

∆ιαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι το O είναι ένα σηmicroείο όπως το Ϲητούmicroενο

ii) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι οι k και ℓ είναι παράλληλες Η k διαθέτει τουλάχιστον

δύο διαφορετικά σηmicroεία A B και η ℓ άλλα δύο Aprime Bprime Αν το επίπεδο έχει microόνον 4

σηmicroεία τότε δεν υπάρχει σηmicroείο microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Αν υπάρχουν περισσότερα

από 4 τότε υπάρχει ένα X διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Στην περίπτωση που το

X δεν ϐρίσκεται σε καmicroιά από τις k ℓ τότε αυτό είναι το Ϲητούmicroενο Αν το X ανήκει

ας πούmicroε στην k τότε ορίζονται οι ευθείες A or Aprime και B orAprime από τις οποίες το πολύ

microία είναι παράλληλη προς την X or Bprime

Η τοmicroή της τελευταίας microε την microη παράλληλη από τις προηγούmicroενες δίνει ένα σηmicroείο

O microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Παρόmicroοια εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποίαν το

142 Υποδείξεις λύσεων

σηmicroείο X ανήκει στην ευθεία ℓ

229 (5) Η επαλήθευση των αξιωmicroάτων του προβολικού επιπέδου είναι άmicroεση Το

επίπεδο αυτό ϐρίσκεται σε 1 ndash 1 και επί αντιστοιχία microε το P2 Πραγmicroατικά κάθε

ευθεία του R3 που περνάει από την αρχή των αξόνων 0 τέmicroνει τη microοναδιαία σφαίρα

σε δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία Αντιστρόφως δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία ορίζουν microια

διάmicroετρο άρα ευθεία που περνάει από το 0 Επίσης κάθε microέγιστος κύκλος ορίζει

ένα επίπεδο που περνάει από το 0 και αντιστρόφως

234 (1) Το ίδιο το επίπεδο των 7 σηmicroείων

234 (2) Αυτό διαπιστώνεται microε πολλούς τρόπους Για παράδειγα

ndash Από το δυϊκό του (ΣΕ 1) που δεν αληθεύει πάντοτε λόγω της ύπαρξης παραλλήλων

ευθειών

ndash Από τη δυϊκή διατύπωση του αξιώmicroατος (ΣΕ 2) που οδηγεί στη microη οριζοmicroένη έννοια

παραλληλίας σηmicroείων [παραλληλία δύο διαφορετικών σηmicroείων δυΐκώς προς αυτήν

των ευθειών ϑα σήmicroαινε ανυπαρξία laquoκοινήςraquo ευθείας (που περιέχει τα σηmicroεία αυτά)

σε αντίφαση microε το (ΣΕ 1)]

ndash Το δυΐκό συmicroπέρασmicroα της ΄Ασκησης 2111 (3) συνεπάγεται ότι κάθε ευθεία διαθέτει

τουλάχιστον 3 διαφορετικά σηmicroεία πράγmicroα που δεν είναι γενικώς αληθές ( στο συ-

σχετισένο επίπεδο των τεσσάρων σηmicroείων οι ευθείες έχουν ακριβώς δύο διαφορετικά

σηmicroεία)

234 (3) ΄Οχι αφού το δυϊκό του (ΠΕ 3) δεν περιέχεται στο σύστηmicroα των αξιωmicroάτων

(ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3) Θα πρέπει να προστεθούν οι Προτάσεις 224 και 227

2410 (1) Η απόδειξη γίνεται microε συλλογισmicroούς δυϊκούς προς αυτούς της Προτα-

σης 244

2410 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι δυϊκό του Πορίσmicroατος 247

2410 (3) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο O εκτός της ℓ Τότε σύmicroφωνα microε την προηγου-

microένη άσκηση και το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε ότι |J(A)| = |J(O)| = |J(ℓ)| Εποmicroένως το

Πόρισmicroα 246 ισχύει είτε το O ϐρίσκεται επί της m είτε όχι

2410 (4) Σε ένα τέτοιο προβολικό επίπεδο όλες οι ευθείες ϑα περιέχουν τουλά-

χιστον 4 διαφορετικά σηmicroεία (αλλιώς ϑα αναγόmicroαστε στο επίπεδο των 7 σηmicroείων)

Εποmicroένως το πλήθος των σηmicroείων ϑα είναι τουλάχιστον 32+ 3 + 1 = 13

2410 (6) Επειδή από το O διέρχεται microία ευθεία παράλληλη προς την m στην πε-

ϱίπτωση που το συσχετισmicroένο επίπεδο περιέχει άπειρο πλήθος σηmicroείων δεν ισχύει

η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246 και 247 Αν όmicroως το επίπεδο έχει πε-

περασmicroένο πλήθος σηmicroείων τότε το ανάλογο του Πορίσmicroατος 246 είναι |J(m)| =|J(O)| minus 1 Με τις ίδιες προϋποθέσεις [και χρησιmicroοποιώντας την ΄Ασκηση229 (4) για

το συσχετισmicroένο επίπεδο] η παραπάνω σχέση οδηγεί στην |J(k)| = |J(ℓ)| που δίνει

το συσχετισmicroένο ανάλογο του Πορίσmicroατος 247

2410 (7) Ακολουθούmicroε τη συλλογιστική της Πρότασης248 Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο

O εκτός της ℓ Ορίζονται οι n διαφορετικές ευθείες O or Ai όπου Ai (i = 1 n) τα

Υποδείξεις λύσεων 143

σηmicroεία της ℓ Επίσης από το O διέρχεται και microία m παράλληλη προς την ℓ Κάθε microία

από τις προηγούmicroενες ευθείες διαθέτει nminus1 διαφορετικά σηmicroεία από τοO Εποmicroένως

microαζί microε το O έχουmicroε (n + 1)(n minus 1) + 1 = n2 διαφορετικά σηmicroεία Αποδεικνύουmicroε

ότι αυτά είναι ακριβώς τα σηmicroεία του επιπέδου αν υπάρχει ακόmicroη ένα σηmicroείο Q

διαφορετικό από τα προηγούmicroενα τότε ορίζεται η O or Q η οποία αναγκαστικά ϑα

συmicroπίπτει είτε microε την m είτε microε microία από τις O or Ai Εποmicroένως το Q είναι ένα από τα

προηγούmicroενα n2 σηmicroεία

2410 (8) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία και Ai (i = 1 n) τα σηmicroεία της Αν P τυχόν

σηmicroείον του επιπέδου που δεν ανήκει στην ℓ τότε [ϐλ τη λύση της παραπάνω

΄Ασκησης 2410 (6) για πεπερασmicroένα συσχετισmicroένα επίπεδα] είναι |J(P)| = |J(ℓ)|+1 =

n + 1

Αν το P ανήκει στην ℓ τότε αυτό συmicroπίπτει microε κάποιο απο τα Ai Χωρίς ϐλάβη της

γενικότητας ας υποθέσουmicroε ότι P = A1 Θεωρούmicroε και ένα O εκτός της ℓ Εποmicroένως

από το P διέρχονται οι ευθείες ℓ PorO και kj OorAj (j = 2 n) δηλαδή συνολικά

n + 1 ευθείες (ϐλ και το παραπάνω σχήmicroα) Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι όλες είναι

διαφορετικές microεταξύ τους

258 (3) Οι ευθείες AB και CD είναι παράλληλες άρα ορίζουν το ιδεατό σηmicroείο

kmiddot = ABmiddot = CDmiddot

Παρόmicroοια οι παράλληλες AD και BC ορίζουν το

lmiddot = ADmiddot = BCmiddot

ενώ οι παράλληλες AC BD ορίζουν το

mmiddot = ACmiddot = BDmiddot

Συνεπώς η πλήρωση αποτελείται από τα πραγmicroατικά σηmicroεία AB C D και τα ιδεατά

kmiddot lmiddot mmiddot δηλαδή καταλήγουmicroε στο προβολικό επίπεδο των 7 σηmicroείων Οι ευθείες της

πλήρωσης είναι προφανώς οι

AB kmiddot CD kmiddot AD lmiddot BC lmiddot ACmmiddot BDmmiddot εinfin = kmiddot lmiddot mmiddot

144 Υποδείξεις λύσεων

Το παρακάτω σχήmicroα αποτελεί microια απεικόνιση της προηγούmicroενης διαδικασίας

258 (4) Αν αφαιρέσουmicroε microιαν ευθεία για παράδειγmicroα την A1 A5 A7 τότε παίρ-

νουmicroε το συσχετισmicroένο επίπεδο των 4 σηmicroείων όπως ϕαίνεται και στο επόmicroενο ϐοη-

ϑητικό σχήmicroα

2610 (1) Ας υποθέσουmicroε ότι φ(P) isin ψ(ℓ) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο X isin ℓ οπότε

φ(X ) isin ψ(ℓ) Επειδή X P ορίζεται η X or P άρα ψ(X or P) = φ(X ) or φ(P) = ψ(ℓ)Εποmicroένως το 1 ndash 1 του microορφισmicroού συνεπάγεται ότι X or P = ℓ (άτοπο)

Αν υποθέσουmicroε ότι ο microορφισmicroός δεν είναι 1 ndash 1 ισχυριζόmicroαστε ότι δεν ισχύει το

προηγούmicroενο συmicroπέρασmicroα δηλαδή microπορούmicroε να ϐρούmicroε Q isin P και k isin L έτσι ώστε

Q lt k και φ(Q) isin ψ(k) Πραγmicroατικά αφού η ψ δεν είναι 1 ndash 1 υπάρχουν τουλαχιστον

δύο ευθείες k m τέτοιες ώστε k m και ψ(k) = ψ(m) Θέτουmicroε S = kandm και επί της

m επιλέγουmicroε και ένα σηmicroείο Q S Προφανώς Q lt k Επιπλέον αφού (φψ) είναι

microορφισmicroός η Q isin m συνεπάγεται ότι φ(Q) isin ψ(m) = ψ(k) εποmicroένως καταλήγουmicroε

στον ισχυρισmicroό

2610 (2) Πρόκειται για την αντιθετοαντιστροφή της προηγουmicroένης άσκησης

[ αν ήταν P lt ℓ τότε αναγκαίως ϑα είχαmicroε ότι φ(P) lt ψ(ℓ) (άτοπο)]

2610 (3) ΄Εστω τυχόν (P prime ℓprime) isin Pprime times Lprime microε P prime isin ℓprime Λόγω της υπόθεσης υπάρχουν

P isin P και ℓ isin L τέτοια ώστε φ(P) = P prime και ψ(ℓ) = ℓprime Εποmicroένως φ(P) isin ψ(ℓ) Εφαρ-

microόζοντας τώρα την ΄Ασκηση 2610 (2) από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι P isin ℓκαι ισοδύναmicroα φminus1(P prime) isin ψminus1(ℓprime) microε την οποίαν καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

2610 (4) Εκφράζουmicroε πρώτα την ψ microέσω της φ αν ℓ είναι microία ευθεία του πρώτου

επιπέδου ϑεωρούmicroε δύο τυχόντα σηmicroεία της A B Τότεψ(ℓ) = ψ(AorB) = φ(A)orφ(B)Προφανώς αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της ℓ ας πούmicroε τα C D (ή τα A C αν

Υποδείξεις λύσεων 145

έχουmicroε το επίπεδο των 7 σηmicroείων οπότε οι ευθείες έχουν ακριβώς 3 σηmicroεία) ϑα

έχουmicroε ότι ℓ = A or B = C or D άρα ψ(ℓ) = φ(C) or φ(D) = φ(A) or φ(B)Αναλόγως εκφράζεται η φ microέσω της ψ

2610 (5) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία του πρώτου επιπέδου Σύmicroφωνα microε την προη-

γουmicroένη άσκηση ϑα είναι ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) = ψprime(ℓ) για οποιαδήποτε σηmicroεία A B

της ℓ Επειδή η τελευταία ισχύει για κάθε ℓ isin L συνάγεται ότι ψ = ψprime

2610 (7) Για οποιοδήποτε (P ℓ) isin P1 times L1 microε P isin ℓ ο ορισmicroός του microορφισmicroού

συνεπάγεται το επόmicroενο microεταθετικό διάγραmicromicroα που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

(P ℓ) isin I1

(φ1 ψ1) - (φ1(P) ψ1(ℓ)

) isin I2

(φ2(φ1(P)) ψ2(ψ1(ℓ))

) isin I3

(φ2 ψ2)

(φ2 φ1 ψ2 ψ1)

-

2610 (8) Για τυχούσα ευθεία ℓ ϑέτουmicroε ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) όπου A B είναι δύ-

ο οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία της ℓ Η ψ είναι καλά ορισmicroένη πραγmicroατικά

αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της C και D διαφορετικά microεταξύ τους καθώς και

προς τα προηγούmicroενα (ή τα AC αν η ευθεία διαθέτει microόνον 3 σηmicroεία) τότε η συγ-

γραmicromicroικότητα των A B C D και η υπόθεση συνεπάγονται τη συγγραmicromicroικότητα των

φ(A) φ(B) φ(C) φ(D) Εποmicroένως ψ(ℓ) = φ(A)orφ(B) = φ(C)orφ(D) που αποδεικνύει

ότι ο ορισmicroός της ψ(ℓ) είναι ανεξάρτητος της επιλογής των σηmicroείων της ℓ

Κατόπιν διαπιστώνουmicroε ότι το Ϲεύγος (φψ) ορίζει microορφισmicroό προβολικών επιπέ-

δων για τυχόν (P ℓ) microε P isin ℓ microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι ℓ = A or B οπότε όπως

προηγουmicroένως φ(P) isin φ(A) or φ(B) = ψ(ℓ)Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και επί το (φψ) είναι ισοmicroορφισός (ϐλ Πόρισmicroα 266)

Τέλος το microονοσήmicroαντο της ψ είναι συνέπεια της ΄Ασκησης 2610 (5)

2610 (9) Η σύνθεση δύο συγγραmicromicroικοτήτων είναι προφανώς συγγραmicromicroικότητα

σύmicroφωνα microε την ΄Ασκηση 2610 (7) Το ουδέτερο στοιχείο είναι η συγγραmicromicroικότητα

(1P 1L) Οποιαδήποτε συγγραmicromicroικότητα (φ ψ) isin Aut(P) διαθέτει αντίστροφη την

(φψ)minus1 = (φminus1 ψminus1)

[ϐλ και την ΄Ασκηση 2610 (3)] Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει ως αποτέλεσmicroα

της αντίστοιχης ιδιότητας που έχει η σύνθεση των συνήθων απεικονίσεων

273 (3) α) [2 13] or [10minus1] =lt1minus5 1gt

ϐ) ∆εν ορίζεται ευθεία αφού [minus20 4] = [minus2(10minus2)] = [10minus2] δηλαδή τα δεδο-

microένα σηmicroεία συmicroπίπτουν

273 (4) α) ∆εν υπάρχει τοmicroή ϐ) lt100gt and lt1minus21gt= [012]

273 (5) Είναι τα [t 10] για κάθε t isin R

146 Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

36 (1) (i) Αν p q είναι τα αντίστοιχα διανύσmicroατα ϑέσης των P Q το ευθύγραmicromicroο

τmicroήmicroα PQ είναι εικόνα της παραmicroετρηmicroένης καmicroπύλης

α [0 1] minusrarr R3 t 7rarr α(t) = p + t(q minus p)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = q minus p 0

δηλαδή η καmicroπύλη είναι κανονική και το microήκος της δίνεται από την σχέση

L(α) =int 1

0

αprime(u)du =int 1

0

q minus pdu = q minus p

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή αprimeprime(t) = 0 το Θεώρηmicroα 342 συνεπάγεται ότι kα(t) = 0

για κάθε t isin [0 1]

(iii) Επειδή το microήκος τόξου της α είναι

s(t) =int t

0

αprime(u)du =int t

0

q minus pdu = q minus pt

ϐλέπουmicroε ότι η απεικόνιση

s [01] minusrarr [0 q minus p] t 7rarr q minus pt

είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 q minus p] minusrarr [01] s 7rarr s

q minus p

οπότε η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [0 q minus p] rarr R3 microε

(s) = (α h)(s) = α

(s

q minus p

)= p +

q minus pq minus ps

(iv) Επειδή prime(s) = q minus pq minus p το microήκος της είναι επίσης

L() =int qminusp

0

prime(u)du =int qminusp

0

du = q minus p

Τέλος για την καmicroπυλότητα k της έχουmicroε ότι T (s) = prime(s) = q minus pq minus p άρα T prime(s) = 0

και [από την (332)] k(s) = 0

36 (2) (i) Από την

αprime(t) = (minusr sint r cost)

Υποδείξεις λύσεων 147

προκύπτει ότι ||αprime(t)|| = r 0 άρα αprime(t) = r 0 δηλαδή η α είναι παραmicroέτρηση

κανονικής καmicroπύλης

(ii) Κάθε χρονική στιγmicroή t η ακτίνα συmicroπίπτει microε την ϑέση του κινητού δηλαδή microε

το σηmicroείο α(t) και η ταχύτητα είναι αprime(t) Εποmicroένως

lt α(t) αprime(t) gt= minusr2 cost sint + r2 cost sint = 0

που σηmicroαίνει ότι α(t) perp αprime(t)(iii) αprimeprime(t) = (minusr costminusr sint) = minusα(t)

(iv) Για το microήκος της α έχουmicroε αprime(t) = r άρα

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

rdt = 2πr

(v) Είναι αprime(t) = r 0 Ορίζουmicroε την συνάρτηση microήκους τόξου

s [02π] minusrarr R t 7rarr s(t) =int t

0

αprime(u)du = rt

΄Αρα η s [02π] rarr [0 2πr] είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 2πr] minusrarr [02π] s 7rarr s

r

και η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [02πr] rarr R2 microε

(s) = (α h)(s) = α(s

r

)=

(r cos

s

r r sin

s

r

)

Για την καmicroπυλότητα της τελευταίας έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) =(minus sin

s

r cos

s

r

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

T prime(s) =(minus1

rcos

s

rminus1

rsin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

rmiddot

36 (3) Προφανώς η

α(t) = (t t2) t isin R

είναι microία παραmicroέτρηση της αναφερόmicroενης παραβολής Είναι κανονική αφού

αprime(t) = (1 2t) 0 forall t isin R

148 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή η α δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας η καmicroπυλότητα υπολογίζεται από τη

Θεώρηmicroα 342 Επειδή

αprime(t) = (12t) equiv (12t 0)

αprimeprime(t) = (0 2) equiv (020)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (020)

ϐρίσκουmicroε ότι

k(t) = 2(1 + 4t2

)minus32

Η είναι microία καmicroπύλη της οποίας η εικόνα είναι η ίδια παραβολή όmicroως δεν

είναι κανονικη αφού prime(t) = (3t26t5) άρα το t = 0 είναι σηmicroείο ανωmicroαλίας

36 (4) Η καmicroπύλη α(t) = (t f (t)) t isin R έχει εικόνα ακριβώς το γράφηmicroα της f

Για την α έχουmicroε ότι

αprime(t) = (1 f prime(t)) equiv (1 f prime(t) 0)

αprimeprime(t) = (0 f primeprime(t)) equiv (0 f primeprime(t) 0)

αprimeprimeprime(t) = (0 f primeprimeprime(t)) equiv (0 f primeprimeprime(t) 0)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (0 0 f primeprime(t))

Επειδή

αprime(t) =(1 + f prime(t)2

)12

0 forall t isin Rέχουmicroε κανονική καmicroπύλη που εν γένει δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας Οπότε

σύmicroφωνα microε Θεώρηmicroα 351 είναι

T (t) =1

(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t) 0

) equiv 1(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t)

)

N(t) =f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1 0)

equiv f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1)

B(t) =

(00

f primeprime

|f primeprime|

)= (0 0plusmn1) = plusmne3

Η καmicroπυλότητα ϐάσει του Θεωρήmicroατος 342 είναι

k(t) =|f primeprime(t)|

(1 + f prime(t)2

)32

Είδαmicroε ότι B(t) = plusmne3 (σταθερά) Αυτό συmicroβαίνει σε όλες τις επίπεδες καmicroπύλες

Για λέπτοmicroέρειες παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις [7] Προφανώς αφού η α(t) είναι

επίπεδη καmicroπύλη τ = 0 (ϐλ Θεώρηmicroα 335)

Υποδείξεις λύσεων 149

36 (5) Είναι

T (t) = αprime(t) =

(minus 1radic

2sint costminus 1

radic2

sint

)

άρα

αprime(t) =(1

2sin2 t + cos2 t +

1

2sin2 t

)12

= 1

δηλαδή η α είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

1dt = 2π

Για την καmicroπυλότητα έχουmicroε

T prime(t) = αprimeprime(t) =

(minus 1radic

2costminus sintminus 1

radic2

cost

)

οπότε

k(t) = T prime(t) =(1

2cos2 t + sin2 t +

1

2cos2 t

)12

= 1

Παρατηρούmicroε ότι

B(t) = T (t) times N(t) = αprime(t) times αprimeprime(t) = 1radic

2(minuse1 + e3) = c

άρα Bprime(t) = 0 και

τ(t) = minus lt N(t) Bprime(t) gt= 0

δηλαδή τελικά η α είναι επίπεδη καmicroπύλη

36 (6) Θέτοντας x = a cost και y = b sint έχουmicroε ότι

x2

a2+y2

b2= 1

άρα πρόκειται για έλλειψη

Βρίσκουmicroε

αprime(t) = (minusa sint b cost) equiv (minusa sint b cost 0)

άρα

αprime(t) =(a2 sin2 t + b2 cos2 t

)12

Επίσης

αprimeprime(t) = (minusa costminusb sint) equiv (minusa costminusb sint 0)

και

αprime(t) times αprimeprime(t) = abe3

150 Υποδείξεις λύσεων

απ᾿ όπου

αprime(t) times αprimeprime(t) = ab

και τελικά

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

ab

(a2 sin2 t + b2 cos2 t)32

36 (7) (i) Είναι

αprime(t) = (minusr sint r cost b)

εποmicroένως

αprime(t) = (r2+ b2)12

= c gt 0

Θεωρούmicroε την

s [02π] minusrarr R t 7rarrint t

0

αprime(u)du = tc

και την αντίστροφή της

h [02πc] minusrarr [02π] s 7rarr s

c

Αρα η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η

[0 2πc] minusrarr R3 s 7rarr (s) = (α h)(s) =(r cos

s

c r sin

s

cb

cs)

(ii) Για την καmicroπυλότητα της έχουmicroε

T (s) = prime(s) =(minus rc

sins

cr

ccos

s

cb

c

)

άρα

T prime(s) =(minus rc2

coss

c minus r

c2sin

s

c 0

)

και

k(s) = T prime(s) = r

c2 0

Σχετικά microε την στρέψη είναι

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

(minus cos

s

c minus sin

s

c 0

)

B(s) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

T1 T2 T3

N1 N2 N3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(b

csin

s

c minus b

ccos

s

cr

c

)

απ΄ όπου προκύπτει ότι

Bprime(s) =(b

c2cos

s

cb

c2sin

s

c 0

)

Υποδείξεις λύσεων 151

και

τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=b

c2

(iii) Για τη γωνία φ έχουmicroε ότι

cosφ =lt αprime(t) e3 gt

αprime(t) middot e3=b

c

Παρατηρούmicroε ότι η φ δίνεται και από τη σχέση

cosφ =lt T (s) e3 gt

T (s) middot e3= lt T (s) e3 gt =

b

c

(iv) Η δεύτερη κάθετος της στο σηmicroείο (s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = (s) + tB(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το (s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο κάθετο

διάνυσmicroα B(s) Εποmicroένως για την γωνία ω του τελευταίου ερωτήmicroατος έχουmicroε ότι

cosω =lt B(s) e3 gt

B(s) middot e3= lt B(s) e3 gt =

r

c

36 (8) Είναι

αprime(t) = (1 t) equiv (1 t 0)

αprime(t) = (1 + t2)12 gt 0

αprimeprime(t) = (01) equiv (010)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 t 0

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= e3

αprime(t) times αprimeprime(t) = 1

Εποmicroένως

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

1

(1 + t2)32

36 (9) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = (2t3t2)

152 Υποδείξεις λύσεων

άρα αprime(0) = (0 0) και η α δεν είναι κανονική σε όλο το R Είναι όmicroως κανονική στα

διαστήmicroατα (minusinfin 0) και (0+infin) Για t 0 έχουmicroε

αprime(t) = (4t2 + 9t4)12

αprimeprime(t) = (26t)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

2t 3t2 0

2 6t 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 6t2e3 = (006t2)

αprime(t) times αprimeprime(t) = 6t2

οπότε

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

6t2

(4t2 + 9t4)32

36 (10) Η γ(t) = (cost sint) διαγράφει τον κύκλο microε ϕορά αντίθετη των δεικτών του

ωρολογίου και έχει γ(0) = (1 0)Η (t) = (cos(t + π2) sin(t + π2)) διαγράφει τον κύκλο microε την ίδια ϕορά microε

(0) = (01)Η αντίθετη καmicroπύλη της δηλαδή η

α(t) = (minust) = (cos(π2 minus t) sin(π2 minus t))

διαγράφει τον κύκλο microε την αντίθετη ϕορά και έχει α(0) = (0) = (01)

36 (11) Αφού lt α(0) v gt= 0 αρκεί να δείξουmicroε ότι lt α(t) v gt είναι σταθερό ή

ισοδύναmicroα ότι lt α(t) v gtprime= 0 Πράγmicroατι

lt α(t) v gtprime equivlt α v gtprime (t) = lt αprime(t) v gt + lt α(t) vprime gt= 0+ lt α(t) 0 gt= 0

36 (12) Η εφαπτοmicroένη της α στο τυχόν σηmicroείο α(t) είναι η ευθεία

ϸt(s) = α(t) + sαprime(t) t isin R

που είναι παράλληλη προς το διάνυσmicroα αprime(t) = (36t6t2) (να σηmicroειωθεί εδώ ότι το s

δεν είναι κατ᾿ ανάγκην microήκος τόξου) Η ευθεία που ορίζεται από τις συνθήκες y = 0

και x = z περιέχει το διάνυσmicroα v = (1 01) Επειδή η Ϲητούmicroενη γωνία θ είναι η

γωνία των ανωτέρω διανυσmicroάτων ϐρίσκουmicroε ότι

cosθ =lt αprime(t) v gtαprime(t) middot v =

3 + 6t2radic

9 + 36t2 + 36t4 middotradic

2=

radic2

2= cos

4

)

36 (13) (i) ΄Εστω ότι το A από την αρχική του ϑέση στο (00) microετακινείται στη ϑέση

A = (x y) οπότε το κέντρο K = (0 r) του κύκλου ϑα microετακινηθεί κατά ένα microήκος a

Υποδείξεις λύσεων 153

και ϑα έρθει στο σηmicroείο K prime = (a r)

x

y

K centK

r

Acentcent

AcentA

B

q

rp 2 rpO

Τότε στον άξονα x primeOx ακουmicroπά το σηmicroείο B και το τόξο AB έχει microήκος a Αν θ είναι

η γωνία AKB τότε a = rθ Συmicroβολίζουmicroε microε Aprime και Aprimeprime τις προβολές του A στις ευθείες

K primeB και KK prime Τότε έχουmicroε

x = OB minus AAprime = rθ minus r sinθ = r(θ minus sinθ)

y = OK minus AAprimeprime = r minus r cosθ = r(1 minus cosθ)

άρα η κυκλοειδής περιγράφεται από την παραmicroέτρηση

α(θ) =(r(θ minus sinθ) r(1 minus cosθ)

)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(θ) =(r(1 minus cosθ) r sinθ

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

αprime(0) = (00) αprime(π) = (2r0) αprime(2π) = (00)

΄Αρα για θ = 0 και θ = 2π η εφαπτοmicroένη δεν ορίζεται ενώ για θ = π είναι

ϸπ(s) = α(π) + sαprime(π)

=(r(π minus sinπ) r(1 minus cosπ)) + s(r(1 minus cosπ) r sinπ

)

= (rπ2r) + s(2r0) = (rπ + 2rs 2r)

(iii) Χρησιmicroοποιώντας τους γνωστούς τριγωνοmicroετρικούς τύπους του διπλασίου τόξου

ϐρίσκουmicroε ότι

αprime(θ)2 = r2(1 + cos2 θ minus 2 cosθ + sin2 θ)

= 2r2(1 minus cosθ) = 2r2

(1 minus cos2

θ

2+ sin2 θ

2

)

= 4r2 sin2 θ

2

154 Υποδείξεις λύσεων

οπότε

αprime(θ) = 2r∣∣∣∣ sin

θ

2

∣∣∣∣ = 2r sinθ

2 0 le θ le 2π

Εποmicroένως

L(α) =int 2π

0

αprime(θ)dθ = 2r

int 2π

0

sinθ

2dθ

= 2r

int π

0

2 sinφdφ = 4r(minus cosφ

∣∣∣π0

)

= 4r(minus cosπ + cos0) = 8r

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε ότι ανάλογα συmicroπεράσmicroατα ισχύουν για όλα τα δια-

στήmicroατα της microορφής (2kπ2(k + 1)π) k isin Z Η καmicroπύλη είναι κανονική microόνο σε

αυτά

36 (14) (i) Θέτουmicroε ω = xT + yN + zB και ϑα προσδιορίσουmicroε τους συντελεστές

x y z Τότε

ω times T = xT times T + yN times T + zB times T= x0 minus yB + zN = minusyB + zN

οπότε ϐάσει της υπόθεσης T prime = ω times T

minus yB + zN = T prime = kN

απ᾿ την οποίαν προκύπτει ότι y = 0 και z = k Αναλόγως

ω times N = xT times N + yN times N + zB times N= xB + y0 + minuszT = xB minus zT

άρα λόγω της υπόθεσης N prime = ω times N

xB minus zT = N prime = minuskT + τB

οπότε x = τ και z = k ∆ηλαδή αν υπάρχει τέτοιο διάνυσmicroα ϑα είναι το

ω = τT + kB

Αποδεικνύουmicroε ότι το ω ικανοποιεί και την τρίτη ισότητα

ω times B = (τT + kB) times B = (τT times B) + kB times B = minusτN + 0 = Bprime

΄Αρα αποδείχθηκε η ύπαρξη (και το microονοσήmicroαντο) του ω

Υποδείξεις λύσεων 155

(ii) Από τη σχέση T prime = kN παίρνουmicroε ότι

T primeprime = kprimeN + kN prime = kprimeN + k(minuskT + τB) = minusk2T + kprimeN + τkB

Εποmicroένως

T prime times T primeprime = kN times (minusk2T + kprimeN + τkB)

= minusk3(N times T ) + kkprime(N times N) + τk2(N times B)

= k3B + 0 + τk2T = k2(kB + τT ) = k2ω

36 (15) Η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της στο (s) είναι ϸs(t) = (s) + tprime(s) t isin R

Λόγω της υπόθεσης ϑα υπάρχει ts isin R έτσι ώστε ϸs(ts) = p όπου p isin R3 είναι το

διάνυσmicroα ϑέσης του P δηλαδή

(s) + tsprime(s) = p

Αν πάρουmicroε ένα άλλο σηmicroείο της καmicroπύλης πχ (s) τότε για την εφαπτοmicroένη

ϸs(t) = (s) + tprime(s) ϑα υπάρχει ts έτσι ώστε

(s) + tsprime(s) = p

και παρόmicroοια και για τα άλλα s isin J Εποmicroένως για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin Rέτσι ώστε

( lowast ) (s) + λ(s)prime(s) = p

που εκφράζει ακριβώς την συνθήκη της εκφώνησης

Η απεικόνιση s 7rarr λ(s) είναι διαφορίσιmicroη αφού

(lowast ) rArr λ(s)prime(s) = p minus (s)

rArr lt λ(s)prime(s) prime(s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) lt T (s) T (s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) =lt p minus (s) prime(s) gt

Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε για κάθε s isin J

(lowast )rArr prime(s) + λprime(s)prime(s) + λ(s)primeprime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr (1 + λprime(s))T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr 1 + λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

rArr λprime(s) = minus1 και λ(s)k(s) = 0

rArr λ(s) = c minus s και (c minus s)k(s) = 0

rArr k(s) = 0

156 Υποδείξεις λύσεων

που ισοδυναmicroεί microε το ότι η είναι ευθεία Προφανώς c minus s 0 διαφορετικά ϑα

είχαmicroε ότι λprime(s) = 0 (άτοπο) ΄Αλλωστε και η λ(s) = 0 συνεπάγεται ότι (s) = p

forall s isin J δηλαδή η ϑα εκφυλιζόταν σε σηmicroείο (επίσης άτοπο)

36 (16) Η πρώτη κάθετος της α στο α(s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = α(s) + t N(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το πρώτο κάθετο

διάνυσmicroα N(s) Ακολουθώντας το σκεπτικό της προηγούmicroενης άσκησης η υπόθεση

συνεπάγεται ότι για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε την ιδιότητα

( ) α(s) + λ(s)N(s) = p

( p το διάνυσmicroα ϑέσης του P) Η λ είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση από την (lowast ) προ-

κύπτει ότι

λ(s) =lt λ(s)N(s) N(s) gt=lt p minus α(s) N(s) gt

Παραγωγίζοντας τώρα την (lowast ) έχουmicroε

(lowast)rArr αprime(s) + λprime(s)N(s) + λ(s)N prime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)(minusk(s)T (s) + τ(s)B(s)) = 0

rArr (1 minus λ(s)k(s))T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)τ(s)B(s) = 0

rArr 1 minus λ(s)k(s) = λprime(s) = λ(s)τ(s) = 0

rArr λ = c (σταθερά) λk(s) = 1 και λτ(s) = 0

Η δεύτερη ισότητα δίνει λ 0 η τελευταία δίνει τ = 0 δηλαδή η α είναι επίπεδη

καmicroπύλη και από την k(s) = 1λ = σταθερά έχουmicroε ότι η α είναι τmicroήmicroα κύκλου

Το αντίστροφο είναι άmicroεσο το P είναι το κέντρο του κύκλου

36 (17) Υπενθυmicroίζεται ότι η δεύτερη κάθετος της α στο α(s) [ϐλ λύση της ΄Ασκη-

σης 36(7)] είναι η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο

κάθετο διάνυσmicroα B(s) δηλαδή η

ϸs(t) = α(s) + tB(s) t isin R

Με τους συλλογισmicroούς των δύο προηγουmicroένων ασκήσεων ας υποθέσουmicroε ότι για

κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε

( lowast ) α(s) + λ(s)B(s) = p

Η λ είναι διαφορίσιmicroη επειδή

λ(s) =lt λ(s)B(s) B(s) gt=lt P minus α(s) B(s) gt

Υποδείξεις λύσεων 157

άρα παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε ότι

αprime(s) + λ(s)Bprime(s) + λprime(s)B(s) = 0

ή ισοδύναmicroα

T (s) minus λ(s)τ(s)N(s) + λprime(s)B(s) = 0

η οποία ισχύει microόνο όταν

1 = minusλ(s)τ(s) = λprime(s) = 0

που είναι άτοπο

36 (18) (lArr) Προφανές

(rArr) Από την υπόθεση για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R ώστε

( lowast ) λ(s)T (s) = u = σταθ

Παρατηρούmicroε ότι

λ(s) =lt λ(s)T (s) T (s) gt=lt u T (s) gt

δηλαδή η λ(s) είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε

(lowast ) rArr λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr λprime(s)T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

Από την ισότητα λprime(s) = 0 προκύπτει ότι λ(s) = c Αν c = 0 τότε u = c T = 0 που

είναι άτοπο ΄Αρα c 0 και η ισότητα c k(s) = 0 δίνει ότι k = 0 που ισοδυναmicroεί microε

το ότι η α είναι ευθεία (Θεώρηmicroα 335)

36 (19) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του κάθετου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z)minus(so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα N(so) και B(so) δηλαδή είναι

κάθετη στο T (so) = prime(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) T (so) gt= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus (so) prime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ΄ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast)lt (x y z) minus α(to) T (to) gt= 0

158 Υποδείξεις λύσεων

Μέσω της (351) η προηγούmicroενη microετασχηmicroατίζεται στην

lang(x y z) minus α(to)

αprime(to)α(to)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε αυτά που είπαmicroε προηγουmicroένως το σηmicroείο (000) ανήκει

στο κάθετο επίπεδο σε κάθε σηmicroείο (t) αν

lt (00 0) minus (t) prime(t) gt=lt (t) prime(t) gt= 0 forall t isin R

Παρατηρούmicroε ότι

prime(t) =(2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint

)

Συνεπώς

lt (t) prime(t) gt=

lt (a sin2 t a sint cost a cost) (2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint) gt=

2a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sin3 t cost minus a2 sint cost =

a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sint cost =

a2 sint cost(sin2 t + cos2 t) minus a2 sint cost = 0

36 (20) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του εγγύτατου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και N(so) δηλαδή

είναι κάθετη στο B(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του εγγύτατου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) B(so) gt= 0

Επειδή

B(so) = T (so) times N(so) = prime(so) times

T prime(so)k(so)

= prime(so) timesprimeprime(so)k(so)

η (lowast ) ισοδυναmicroεί microε την

lt (x y z) minus (so) prime(so) times primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του εγγυτάτου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) B(to) gt= 0

Υποδείξεις λύσεων 159

Χρησιmicroοποιώντας την ισότητα [ϐλ (353)]

B(to) =αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

παίρνουmicroε την συνθήκηlang(x y z) minus α(to)

αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) times αprimeprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου εγγύτατου επίπεδου ικανοποιούν την συνθή-

κη

lt (x y z) minus α(π2

) αprime

(π2

)times αprimeprime

(π2

)gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(π

2

)=

(cos

π

2 sin

π

2

)=

(01

π

2

)

αprime(t) = (minus sint cost 1)

αprime(π

2

)=

(minus sin

π

2 cos

π

2 1

)= (minus1 01)

αprimeprime(t) = (minus costminus sint 0)

αprimeprime(π

2

)=

(minus cos

π

2minus sin

π

2 0

)= (0minus1 0)

΄Αρα η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου γίνεταιlang(x y z) minus

(01

π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

lang(x y minus 1 z minus π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y minus 1 z minus π2

minus1 0 1

0 minus1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 hArr

x + z =π

2

36 (21) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του ευθειοποιούντος επιπέδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η

διαφορά (x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και B(so)δηλαδή είναι κάθετη στο N(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου

στο (so) ικανοποιούν την συνθήκη

(lowast ) lt (x y z) minus (so) N(so) gt= 0

160 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή

N(so) =T prime(so)k(so)

=primeprime(so)k(so)

η (lowast ) microετασχηmicroατίζεται στηνlang(x y z) minus (so)

primeprime(so)k(so)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα στην

lt (x y z) minus (so) primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου στο α(to) ικανοποιούν

την αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) N(to) gt= 0

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι [ϐλ (352)]

N(to) =

(αprime(to) times αprimeprime(to)

) times αprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

ϐρίσκουmicroε ότιlang(x y z) minus α(to)

(αprime(to) times αprimeprime(to)

)αprime(to)

αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

(lowastlowast ) lt (x y z) minus α(to) (αprime(to) times αprimeprime(to)) times αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε την (lowastlowast ) τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου ευθειοποιούντος επι-

πέδου ικανοποιούν την συνθήκη

lt (x y z) minus α(1)(αprime(1) times αprimeprime(1)

) times αprime(1) gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(1) =(1

1

21

3

)

(x y z) minus α(1) =(x minus 1 y minus 1

2 z minus 1

3

)

αprime(t) =(1 t t2

)

αprime(1) = (1 11)

αprimeprime(t) = (012t)

αprimeprime(1) = (0 12)

αprime(1) times αprimeprime(1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1minus2 1)

Υποδείξεις λύσεων 161

΄Αρα η Ϲητούmicroενη συνθήκη είναι

lt (x minus 1 y minus 12 z minus 13) (1minus2 1) times (111) gt=

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 minus2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

που ισοδυναmicroεί microε την

x minus z = 2

3

36 (22) (i) Παρατηρούmicroε ότι prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) Εποmicroένως prime(s) = k(s) 0

δηλαδή η είναι κανονική καmicroπύλη

(ii) Εφ᾿ όσον η συνάρτηση microήκους τόξου δίνεται από την σχέση

σ(s) =int s

so

prime(u)du

έχουmicroε ότι

σprime(s) = prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) = k(s)

(iii) Επειδή η δεν είναι απαραίτητα microοναδιαίας ταχύτητας (κάτι τέτοιο ϑα συνέβαινε

αν k = 1 πράγmicroα που δεν δηλώνεται εδώ) ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους της

καmicroπυλότης και στρέψης που δίνονται από τα Θεωρήmicroατα 342 και 343 αντιστοί-

χως

Για το σκοπό αυτό ϐρίσκουmicroε (παραλείποντας τη microεταβλητή s)

prime = T prime = kN

primeprime = kprimeN + kN prime

= kprimeN + k(minuskT + τB)

= minusk2T + kprimeN + kτB

οπότε

prime times primeprime = kN times (minusk2+ kprimeN + kτB)

= minusk3N times T + kkprimeN times N + k2τN times B= k2τT + 0 + k3B = k2τT + 0N + k3B

και

prime times primeprime2 = k6+ k4τ2 = k4(k2

+ τ2)

Εποmicroένως

k =prime times primeprimeprime3 =

k2(k2+ τ2

)12

k3=

(k2+ τ2

)12

k

162 Υποδείξεις λύσεων

Για τον προσδιορισmicroό της στρέψης χρειαζόmicroαστε και την primeprimeprime Παραγωγίζοντας την

primeprime που ϐρήκαmicroε πιό πάνω έχουmicroε

primeprimeprime = minus2kkprimeT minus k2T prime + kprimeprimeN + kprimeN prime + kprimeτB + kτprimeB + kτBprime

= minus2kkprimeT minus k3N + kprimeprimeN + kprime(minuskT + τB) + (kprimeτ + kτprime)B + kτ(minusτN)

= minus3kkprimeT + (minusk3+ kprimeprime minus kτ2)N + (2kprimeτ + kτprime)B

Εποmicroένως

τ =lt prime times primeprime primeprimeprime gtprime times primeprime2 =

k3(kτprime minus kprimeτ)k4(k2 + τ2)

=kτprime minus kprimeτk(k2 + τ2)

36 (23) (α) Η είναι κανονική

prime(s) = αprime(s) + N prime(s) = T (s) minus k(s) middot T (s) = (1 minus k(s)) middot T (s) 0

(ϐ) Η δεν είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας άρα υπολογίζουmicroε την καmicro-

πυλότητά της από τον τύπο του Θεωρήmicroατα 342 Παραλείποντας την microεταβλητή s

έχουmicroε

prime = (1 minus k)T = |1 minus k| = 1 minus k

primeprime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)T prime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

prime times primeprime = (1 minus k)T times ((1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

= (1 minus k)(1 minus k)primeT times T + (1 minus k)2kT times N= k(1 minus k)B

prime times primeprime = k(1 minus k)2

k =k(1 minus k)2

(1 minus k)3=

k

1 minus k

36 (24) Από τον τύπο των FrenetshySerret για την παράγωγο του B παίρνουmicroε ότι

N(s) = minusBprime(s)τ(s)

οπότε από τον ορισmicroό της καmicroπυλότητας έχουmicroε διαδοχικά

k(s) = T prime(s) = (N(s) times B(s))prime

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

times B(s)

)prime∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

)primetimes B(s) +

(minusB

prime(s)τ(s)

)times Bprime(s)

∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥minusBprimeprime(s)τ(s) + Bprime(s)τprime(s)

τ(s)2times B(s) + 0

∥∥∥∥∥

=1

τ(s)2

∥∥∥(τprime(s)Bprime(s) minus τ(s)Bprimeprime(s)) times B(s)∥∥∥

Υποδείξεις λύσεων 163

36 (25) Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι η γ είναι microο-

ναδιαίας ταχύτητας Ακολουθώντας την microεθοδολογία των Ασκήσεων 36 15ndash3618

microπορούmicroε να γράψουmicroε την συνθήκη της άσκησης microε την microορφή

() p = γ(s) + λ(s)(N(s) + B(s))

όπου p το διάνυσmicroα ϑέσης του δοσmicroένου σταθερού σηmicroείου και λ(s) διαφορίσιmicroη

συνάρτηση Παραγωγίζουmicroε την () και παραλείποντας το s ϐρίσκουmicroε

T + λprime(N + B) + λ(minuskT + τB minus τN) = 0

ή ισοδύναmicroα

(1 minus λk)T + (λprime minus λτ)N + (λprime + λτ)B = 0

οπότε

1 minus λk = 0 λprime minus λτ = 0 λprime + λτ = 0

Αθροίζοντας τις δύο τελευταίες ϐρίσκουmicroε λprime = 0 άρα λ = c = σταθερό και το

σύστηmicroα των παραπάνω ισοτήτων γίνεται

1 minus ck = 0 cτ = 0

Από την πρώτη προκύπτει c 0 και k = 1c σταθερό και από την δεύτερη τ = 0

Αρα η γ είναι κύκλος ακτίνας c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

417 (1) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο P = (x y z) της σφαίρας και τη στερεογραφική

προβολή του από το Βόρειο Πόλο PN = (xN yN ) equiv (xN yN 0) Το ευθύγραmicroο τmicroήmicroα

microε άκρα N = (0 01) και PN δίνεται από την παραmicroετρηmicroένη microορφή [ϐλ και τη λύση

της ΄Ασκησης 36 (1) σελ 146]

ϸ(t) = (001) + t[(xN yN 0) minus (0 01)] = (txN tyN 1 minus t) t isin [01]

Εποmicroένως υπάρχει 0 lt to lt 1 τέτοιο ώστε ϸ(to) = (x y z) δηλαδή (toxN toyN 1minusto) =(x y z) Από την τελευταία προκύπτει ότι to = 1 minus z άρα

xN =x

1 minus z yN =y

1 minus z

οπότε καταλήγουmicroε στην (411)

S2 minus N minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PN =

(x

1 minus z y

1 minus z

)

164 Υποδείξεις λύσεων

όπως Ϲητούσαmicroε

Για να ϐρούmicroε την αντίστροφη της προηγούmicroενης απεικόνισης εργαζόmicroαστε ως

εξής ΄Εστω τυχόν (u v) isin R2 Ζητούmicroε να ϐρούmicroε ένα (x y z) isin S2 minus N τέτοιο ώστε

(xN yN ) = (u v) Εποmicroένως πρέπει

(x

1 minus z y

1 minus z

)= (u v) ή x = u(1 minus z) y = v(1 minus z)

Αντικαθιστώντας τα τετράγωνα των δύο τελευταίων στη σχέση x2+ y2

+ z2= 1 ϐρί-

σκουmicroε ότι (1minusz)(u2+v2) = 1+z Επιλύοντας την προηγούmicroενη ως προς z ϐρίσκουmicroε

ότι

z =minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

Αντικαθιστώντας τώρα το z στις παραπάνω εκφράσεις των x και y ϐρίσκουmicroε τελικά

ότι

x =2u

1 + u2 + v2 y =

2v

1 + u2 + v2

οπότε προκύπτει η έκφραση της αντίστροφης απεικόνισης (412)

R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Εργαζόmicroενοι microε τον ίδιο τρόπο για τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο πόλο

S = (00minus1) και σηmicroειώνοντας microε PS = (xS yS0) την προβολή του P = (x y z)ϐρίσκουmicroε την απεικόνιση

S2 minus S minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PS =

(x

1 + zy

1 + z

)

της οποίας η αντίστροφη είναι η απεικόνιση

R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

417 (2) Ας συmicroβολίσουmicroε microε (UN rN ) το τυπικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων που ορίζει

η στερεογραφική προβολή από το Βόρειο Πόλο Τότε σύmicroφωνα microε τους τύπους αυτής

της προβολής και τον Ορισmicroό 411 ϑα είναι UN = R2 και

rN R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Το UN = R2 είναι ανοιχτό σύνολο (στο R2) Η rN είναι συνεχής microε συνεχή αντίστροφο

την απεικόνιση

rminus1N S2 minus N minusrarr UN (x y z) 7rarr

(x

1 minus z y

1 minus z

)

Υποδείξεις λύσεων 165

Εποmicroένως η rN είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επιπλέον είναι διαφορίmicroη και ο αντίστοιχος

πίνακας Jacobi στο τυχόν σηmicroείο (u v) isin R2 είναι ο

J(uv)rN =2

1 + u2 + v2

1 minus u2+ v2 minus2uv

minus2uv 1 + u2+ v2

2u 2v

Οι ορίζουσες των τριών 2 times 2 υποπινάκων είναι

2v(1 + u2+ v2) minus2u(1 + u2

+ v2) (1 minus u2 minus v2)(1 + u2+ v2)

Μία εξ αυτών είναι αναγκαία microη microηδενική αφού ο ταυτόχρονος microηδενισmicroός και των

τριών οδηγεί σε άτοπο (ποιό )

Αναλογα έχουmicroε και τον χάρτη (US rS) όπου (ϐλ και τους τύπους της προη-

γούmicroενης άσκησης για τη στερεογραφική προβολή απο τον Νότιο Πόλο) US = R2

και

rS R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

Απ᾿ το άλλο microέρος microέσω ηmicroισφαιρίων έχουmicroε τα έξι συστήmicroατα συντεταγmicroένων

(Ui r

αi

) i = x y z α = +minus

όπου Ui = Di(01) είναι οι microοναδιαίοι δίσκοι microε κέντρο το 0 κάθετοι στους τρείς

άξονες ενώ rαi =

(φα

i

)minus1[ϐλ (413)] Προφανώς rα

i

(D(0 1)

)= Sα

i

Για παράδειγmicroα στο σύστηmicroα συντεταγmicroένων (Uz = Dz(0 1) r+z ) το (Dz(0 1) είναι

ο microοναδιαίος δίσκος κάθετος στον άξονα των z ενώ

r+z (u v) =(φ+z

)minus1(u v) =(u v

radic1 minus u2 minus v2

) (u v) isin Uz

Στο (Ux = Dx(0 1) rminusx ) είναι

rminusx (u v) =(φminusx

)minus1(u v) =(minusradic

1 minus u2 minus v2 u v)) (u v) isin Ux

Ας δείξουmicroε πχ ότι το (Ux = Dx(01) rminusx ) ικανοποιεί τις συνθήκες του Ορι-

σmicroού 411 Προφανώς Ux = Dx(01) είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2 Η rminusx είναι

συνεχής microε συνεχή αντίστροφο την απεικόνιση

Sminusx ni (x y z) 7minusrarr (y z) isin Dx(01)

άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επίσης είναι διαφορίσιmicroη microε πίνακα Jacobi

J(uv)rminusx =

minus uradic minus vradic

1 0

0 1

166 Υποδείξεις λύσεων

που έχει προφανώς τάξη 2

417 (3) Θεωρούmicroε το Ϲεύγος (U r) όπου U = R2 και η r R2 rarr Γf sub R3 δίνεται από

τη σχέση r(u v) = (u v f (u v)) isin Γf Η r είναι συνεχής microε αντίστροφη την επίσης

συνεχή απεικόνιση Γf ni (u v f (u v) 7rarr (u v) isin R2 άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

Επίσης είναι και διαφορίσιmicroη microε αντίστοιχο πίνακα Jacobi στο τυχόν (u v) isin U

J(uv)r =

1 0

0 1partf

partu

∣∣∣∣(uv)

partf

partv

∣∣∣∣(uv)

Ο τελευταίος έχει προφανώς τάξη 2 για κάθε (u v) Εποmicroένως το γράφηmicroα είναι

microία κανονική επιφάνεια microε ένα microοναδικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων (χάρτη)

426 (1) Μέσω στερογραφικών προβολών έχουmicroε τους χάρτες (UN φN ) και (US φS)όπου τώρα είναι UN = S

2 minus N US = S2 minus S και

φN S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

φS S2 minus S minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 + zy

1 + z

)

[ϐλ (411) και τόν τύπο της στερεογραφικής προβολής από τον Νότιο Πόλο στη λύση

της ΄Ασκησης 417 (1)]

Οι χάρτες που ορίζουν τα ηmicroισφαίρια είναι ακριβώς τα Ϲεύγη

(Sαi φ

αi ) i = x y z α = +minus

microε [ϐλ και τις σχέσεις (413)ndash(417)]

φ+x (x y z) = (y z) (x y z) isin S+x φminusx (x y z) = (y z) (x y z) isin Sminusx φ+y (x y z) = (x z) (x y z) isin S+y φminusy (x y z) = (x z) (x y z) isin Sminusy φ+z (x y z) = (x y) (x y z) isin S+z φminusz (x y z) = (x y) (x y z) isin Sminusz

Για τη συmicroβιβαστότητα των S+x και Sminusy πρώτα παρατηρούmicroε ότι

S+x cap Sminusy =(x y z) isin S2 x gt 0 y lt 0

άρα

S+x cap Sminusy ni (x y z) 7minusrarr φ+x (x y z) = (y z) isin Dx microε y lt 0

δηλαδή

φ+x(S+x cap Sminusy

)= Dx cap (y z) isin R2 y lt 0 = (y z) isin R2 y2

+ z2 lt 1 και y lt 0

Υποδείξεις λύσεων 167

Εποmicroένως το φ+x(S+x capSminusy

)είναι το εσωτερικό του microισού δίσκου Dx που είναι ανοιχτό

υποσύνολο του R2 Παρόmicroοια και το

φminusy(S+x cap Sminusy

)= Dy cap (x z) isin R2 x lt 0

είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2

΄Εχοντας εξασφαλίσει ότι τα πεδία ορισmicroού και τιmicroών των συναρτήσεων που εκ-

ϕράζουν την αλλαγή των συντεταγmicroένων (χαρτών) microπορούmicroε να ελέγξουmicroε τη διαφο-

ϱισιmicroότητα τους ως εξής Για κάθε (y z) isin φ+x(S+x cap Sminusy

) είναι

(φminusy

(φ+x

)minus1)(x z) = φminusy

( radic1 minus y2 minus z2 y z

)=

( radic1 minus y2 minus z2 z

)

που αποδεικνύει ότι η

φminusy (φ+x

)minus1 φ+x(S+x cap Sminusy

) minusrarr φminusy(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση

Παρόmicroοια και η (αντίστροφη της προηγουmicroένης)

φ+x (φminusy

)minus1 φminusy(S+x cap Sminusy

) minusrarr φ+x(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση επειδή για κάθε (x z) isin φminusy(S+x cap Sminusy

) είναι

(φ+x

(φminusy

)minus1)(x z) = φ+x

(xminusradic

1 minus x2 minus z2 y z)=

(minusradic

1 minus x2 minus z2 z)

Εποmicroένως η αλλαγή των αναφεροmicroένων συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

426 (2) Το Ϲεύγος (U1 φ1) είναι χάρτης Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι η φ1 είναι απει-

κόνιση 1ndash1 αφού

φ1([x y z]) = φ1([x prime yprime zprime]) rArr(y

xz

x

)=

(yprime

x primezprime

x prime

)

οπότε ϑέτοντας λ = x primex ϐρίσκουmicroε ότι (x prime yprime zprime) = λ(x y z) δηλαδή [x y z] =[x prime yprime zprime] Κατόπιν ϐλέπουmicroε ότι η φ1(U1) = R2 αφού για οποιοδήποτε (u v) isin R2

είναι [1 u v] isin U1 και φ1([1 u v]) = (u v) ΄Αρα η φ1 είναι microια 1ndash1 απεικόνιση

του U1 επί του ανοικτού συνόλου φ1(U1) = R2 συνεπώς το (U1 φ1) είναι χάρτης

Ανάλογα ισχύουν και για τα υπόλοιπα Ϲεύγη

Είναι ϕανερόν ότι οι προηγούmicroενοι χάρτες καλύπτουν τον προβολικό χώρο δηλ

P2(R) =3⋃

i=1

Ui

αφού τυχούσα κλαση [x y z] έχει τουλάχιστον microία συντεταγmicroένη της microη microηδενική

άρα ανήκει τουλάχιστον σε ένα από τα Ui

168 Υποδείξεις λύσεων

Τέλος ας αποδείξουmicroε για παράδειγmicroα τη συmicroβιβαστότητα των χαρτών U1 και

U2 Πρώτα παρατηρούmicroε ότι

U1 cap U2 =[x y z] x 0 y 0

οπότε για ένα [x y z] isin U1 cap U2 είναι

φ1([x y z]) =(y

xz

x

)isin (R minus 0) times R

Επειδή και για τυχόν (u v) isin (R minus 0) times R είναι [1 u v] isin U1 cap U2 καταλήγουmicroε

στο συmicroπέρασmicroα ότι φ1(U1 cap U2) = (R minus 0) times R που είναι ανοιχτό υποσύνολο του

RtimesR equiv R2 Παρόmicroοια έχουmicroε ότι και φ2(U1capU2) = (Rminus0)timesR εποmicroένως microπορούmicroε

να ελέγξουmicroε τη διαφορισιmicroότητα των

φ2 φminus11 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

φ1 φminus12 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

Η πρώτη έχει τη microορφή

(φ2 φminus1

1

)(u v) = φ2([1 u v]) =

(1

uv

u

)

που είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση Την ίδια ακριβώς microορφή έχει και η φ1 φminus12

Εποmicroένως η αλλαγή συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση οπότε πραγmicroατικά η οι-

κογένεια A είναι (διδιάστατος) άτλαντας (πολλαπλότητας) επί του P2(R)

  • Prologoc
  • Eukleideia kai mh Eukleideia Gewmetria
    • H gewmetria prin ton Eukleidh
    • O Eukleidhc kai ta ((Stoiqeia)) tou
    • Ta axiwmata thc Eukleideiac Gewmetriac
    • Kritikh twn ((Stoiqeiwn)) kai o Hilbert
    • Ta sugqrona gewmetrika susthmata
    • H Uperbolikh Gewmetria
    • H Elleiptikh Gewmetria
    • Askhseic
      • Susqetismena kai probolika epipeda
        • Eisagwgh
        • To susqetismeno epipedo
        • To proboliko epipedo
        • H arqh tou dusmou
        • Stoiqeiwdeic apeikoniseic
        • Sqesh probolikwn kai susqetismenwn epipedwn
        • Morfismoi probolikwn epipedwn
        • Algebrikh meleth tou P2
          • Diaforisimec Kampulec
            • Eisagwgh
            • Diaforisimec kampulec
            • Anaparametrhsh kampulhc
            • Kampulothta kai streyh - Triedro Frenet
            • Kampulothta kai streyh tuqaiac kampulhc
            • To triedro Frenet miac tuqaiac kampulhc
            • Askhseic
              • Apo touc qartec stic Pollaplothtec
                • H Jewria twn Epifaneiwn kai o Gauss
                • Diaforikec Pollaplothtec
                • Duo logia gia th Jewria thc Sqetikothtac
                  • Qwroqronoc kai Diaforikh Gewmetria
                  • Merikec teqnikec leptomereiec
                      • Bibliografia
                      • Pinakac ennoiwn
                      • Upodeixeic lusewn
Page 4: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Πρόλογος

The Greeks were the first mathematicians who are still lsquorealrsquo to

us toshyday Oriental mathematics may be an interesting curiosity

but Greek mathematics is the real thing The greeks first spoke a

a language which modern mathematicians can understand So

greek mathematics is lsquopermanentrsquo more permanent even than Greshy

ek literature Archimedes will be remembered when Aeschylus is

forgotten because languages die and mathematical ideas do not

G H Hardy [16 σελ 80ndash81]

Ο ι σηmicroειωσεις αυτες αποτελούν microία σειρά εισαγωγικών microαθηmicroάτων σε microερικούς

κλάδους της γεωmicroετρίας ΄Εχουν σκοπό να αποτελέσουν οδηγό για τη microελέτη

ϑεmicroατικών ενοτήτων ϑεωρητικού ενδιαφέροντος για ϕοιτητέςτριες του Μεταπτυχια-

κού Προγράmicromicroατος της ∆ιδακτικής του ΕΚΠΑ Αποτελούν ϐελτιωmicroένη έκδοση των

προηγουmicroένων σηmicroειώσεων microας microε τίτλο laquoΓεωmicroετρία για τη ∆ιδακτικήraquo όπως είχαν

διαmicroορφωθεί microέχρι το 2012

Βασικός στόχος των ενοτήτων που αναφέρονται εδώ είναι να ϕέρουν τοντην α-

ναγνώστηστρια σε επαφή microε διάφορες απόψεις και microεθόδους της γεωmicroετρίας Οι

τελευταίες microπορούν να παίξουν ένα χρήσιmicroο ϱόλο κυρίως από τη σκοπιά της διεύ-

ϱυνσης microερικών ϑεmicroελιωδών εννοιών οι οποίες εκτείνονται πιο πέρα από αυτές που

διδάσκονται στη δευτεροβάθmicroια εκπαίδευση Είναι κοινώς αποδεκτό ότι οη διδά-

σκωνουσα microε ευρεία (και όσο το δυνατόν ϐαθύτερη) γνώση microπορεί να είναι πηγή

έmicroπνευσης για τους microαθητές Μέσα από microικρές παρεmicroβάσεις (ακόmicroη και ιστορικού

v

vi Πρόλογος

περιεχοmicroένου) microπορεί να διεγείρει τη ϕαντασία και το ενδιαφέρον τους microπορεί να

τους ϐοηθήσει να προσεγγίσουν microε περισσότερη αγάπη τον ανεξάντλητο κόσmicroο της

γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα

Στο πρώτο κεφάλαιο microετά από microια συνοπτική αναδροmicroή στη γεωmicroετρία πριν

τον Ευκλείδη αναλύεται η δοmicroή των laquoΣτοιχείωνraquo του γίνεται κριτική των ατελειών

τους αναφέρονται οι αρχές της σύγχρονης αξιωmicroατικής microεθόδου και η χρήση των

laquomicroοντέλωνraquo στον έλεγχο των σχετικών απαιτήσεών της Τέλος γίνεται microια σύντοmicroη

αναφορά στις microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες και παρουσιάζονται microερικά ϐασικά microοντέλα

της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας

Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωmicroένο σε microια στοιχειώδη εισαγωγή στην Προ-

ϐολική Γεωmicroετρία Αυτό γίνεται προκειmicroένου να δοθεί (σε πληρέστερη microορφή) ένα

παράδειγmicroα αξιωmicroατικού συστήmicroατος για microια πολύ γενική microορφή microη Ευκλείδειας

Γεωmicroετρίας ϑεmicroελιωmicroένο σύmicroφωνα microε την άποψη του Hilbert Τα ϐασικά συmicroπε-

ϱάσmicroατα του κεφαλαίου παρουσιάζονται εδώ σε αντιπαράθεση microε τα αντίστοιχα της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και microπορούν να ϱίξουν ϕως στην τελευταία από microιαν άλλη ο-

πτική γωνία Ανάmicroεσα στ᾿ άλλα εξετάζεται και η περίπτωση πεπερασmicroένων επιπέδων

κάτι που συνήθως αγνοείται και τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες Επίσης α-

ναφερόmicroαστε στη σύγχρονη έννοια του laquomicroορφισmicroούraquo που επεκτείνει τη συνήθη έννοια

της απεικόνισης όπως αυτή εφαρmicroόζεται στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου

Τέλος η σύντοmicroη αναφορά στην αναλυτική πλευρά του πραγmicroατικού προβολικού

επιπέδου ϕέρνει τοντην αναγνώστηστρια σε επαφή microε τις οmicroογενείς συντεταγmicroένες

και δίνει microια πρώτη γεύση της αλγεβροποίησης του (τυχόντος) προβολικού επιπέδου

Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή στη ϑεωρία των διαφορισίmicroων καmicroπυλών

microε σκοπό να αναδειχθεί και από άλλη πλευρά η συmicroβολή του ∆ιαφορικού Λογισmicroού

στη microελέτη της γεωmicroετρίας ΄Ηδη οι διδάσκοντεςουσες γνωρίζουν τη σηmicroασία των

παραγώγων στη γεωmicroετρική microελέτη του γραφήmicroατος των (πραγmicroατικών) συναρτή-

σεων microιας (πραγmicroατικής) microεταβλητής Εδώ επιχειρείται η διευρύνση του ϱόλου των

παραγώγων στη microελέτη των καmicroπυλών του τριδιάστατου χώρου (ειδική περίπτωση

των οποίων αποτελεί το γράφηmicroα microιας συνάρτησης όπως προηγουmicroένως) Η laquoστρέ-

ψηraquo και η laquoκαmicroπυλότηταraquo είναι τα δύο ϑεmicroελιώδη microεγέθη που χαρακτηρίζουν τις

καmicroπύλες και microαζί microε το laquoσυνοδεύον τρίεδροraquo των FrenetshySerret καθορίζουν ένα

είδος laquoεσωτερικήςraquo γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

Το τέταρτο κεφάλαιο που αποτελεί και τη σηmicroαντικότερη αλλαγή είναι microία περι-

γραφική περιήγηση στη Θεωρία των Επιφανειών και την εξ αυτών (ϐάσει του Θεωρή-

microατος Egregium του Gauss) απορρέουσα Θεωρία των ∆ιαφορικών Πολλαπλοτήτων

Στόχος της αναφοράς στις τελευταίες είναι να επισηmicroανθεί ο ϱόλος τους στη δια-

τύπωση του χωροχρόνου όπως εmicroφανίζεται στην (Ειδική και Γενική) Θεωρία της

Σχετικότητας του Einstein και σε άλλους τοmicroείς της σύγχρονης Φυσικής

΄Οπως προαναφέρθηκε το κείmicroενο αποτελεί ένα σύντοmicroο ϐοήθηmicroα που έχει στό-

χο να καθοδηγήσει τοντην αναγνώστηστρια στη microελέτη και άλλων πηγών οι οποίες

συνδέονται microε τους σκοπούς αυτών των microεταπτυχιακών microαθηmicroάτων και σε καmicroιά πε-

ϱίπτωση δεν microπορούν να τις υποκαταστήσουν Πιστεύουmicroε ότι microε αυτό το υπόβαθρο

οι ενδιαφερόmicroενοιες microπορούν να προχωρήσουν στη microελέτη και άλλων πιο εξειδικευ-

Πρόλογος vii

κένων ϑεmicroάτων τα οποία έχουν παραλειφθεί εδώ σύmicroφωνα microε τις κατευθυντήριες

γραmicromicroές και τους περιορισmicroούς του παρόντος ϐοηθήmicroατος

΄Ενα χρήσιmicroο εργαλείο για την κατανόηση των σχετικών εννοιών και microεθόδων α-

ποτελούν και οι προτεινόmicroενες ασκήσεις Για διευκόλυνση των αναγνωστώνστριών

στο τέλος των σηmicroειώσεων παρατίθενται οι λύσεις των περισσοτέρων από αυτές microε-

ϱικές από τις οποίες είναι υποδειγmicroατικά λυmicroένες microε αρκετές λεπτοmicroέρειες Οι α-

ναγνώστεςστριες καλούνται να επιχειρήσουν να επεξεργαστούν τις ασκήσεις πριν

καταφύγουν στις λύσεις

Στην παρούσα έκδοση εκτός από την προσθήκη του τετάρτου κεφαλαίου γίνεται

χρήση (υπερ)συνδέσmicroων εντός του κειmicroένου αλλά και σε τοποθεσίες του διαδικτύου

που διευκολύνουν την ηλεκτρονική ανάγνωση των σηmicroειώσεων (microέσω υπολογιστή ή

tablet) Επίσης έχουν γίνει microερικές microικρές ϐελτιώσεις και διορθώνονται διάφορες

αβλεψίες προηγουmicroένων εκδόσεων που ευγενώς επισηmicroάνθηκαν από τους αναγνώ-

στες Ο συγγραφέας ϑα είναι ιδιαίτερα υποχρεωmicroένος σε όσους ϑα ϑελήσουν να του

γνωστοποιήσουν lowast λάθη και ατέλειες που ϑα επισηmicroάνουν και σ᾿ αυτήν τη νέα έκδοση

ΕΒ Αθήνα Ιούλιος 2015

lowast Ηλεκτρονική διεύθυνση evassilmathuoagr

Περιεχόmicroενα

Πρόλογος v

1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία 1

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 2

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 6

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 10

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 12

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 20

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

18 Ασκήσεις 29

2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα 31

20 Εισαγωγή 32

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

22 Το προβολικό επίπεδο 42

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 48

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 56

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες 79

30 Εισαγωγή 80

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 80

ix

x Πρόλογος

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

36 Ασκήσεις 103

4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες 109

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 110

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 124

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία 125

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες 126

Βιβλιογραφία 129

Πίνακας εννοιών 133

Υποδείξεις λύσεων 137

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1

Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία

Η υπόθεση ότι το άθροισmicroα των γωνιών [ενός τριγώνου]

είναι microικρότερο από 180o οδηγεί σε microια παράξενη Γεωmicroε-

τρία αρκετά διαφορετική από τη δική microας [την Ευκλείδεια]

αλλά τελείως συνεπή την οποία έχω αναπτύξει microε όλη microου

την ευχαρίστηση Τα ϑεωρήmicroατα αυτής της Γεωmicroετρίας

ϕαίνονται παράδοξα και για τον αmicroύητο παράλογα όmicroως

ο ήρεmicroος επίmicroονος στοχασmicroός αποκαλύπτει ότι δεν περιέ-

χουν τίποτε το απίθανο

Απο γραmicromicroα του K F Gauss (1824) [11 σελ 109]

Στο κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη αναδροmicroή σε microερικούς σταθmicroούς που

σηmicroατοδότησαν την εξέλιξη της γεωmicroετρίας Αρχίζουmicroε microε την αρχαία περίοδο

και αναλύουmicroε την αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση του Ευκλείδη η οποία έπαιξε ιδιαίτερο

ϱόλο στην εξέλιξη της γεωmicroετρίας (sectsect11ndash13)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

2 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Η κριτική του Ευκλειδείου συστήmicroατος (sect14) microας οδηγεί στις νεώτερες αντιλή-

ψεις περί (γεωmicroετρικών) αξιωmicroατικών συστηmicroάτων τη σηmicroασία των microοντέλων στον

έλεγχο των σχετικών ιδιοτήτων τους καθώς και την κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroελί-

ωση της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (sect15)

Οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες (Υπερβολική και Ελλειπτική) δηmicroιουργήmicroατα microό-

λις του 19ου αιώνα εξετάζονται στις sectsect16 και 17 αντιστοίχως όπου και παρουσιά-

Ϲονται σχετικά microοντέλα τους

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη

Στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία παρατηρούmicroε microια πληθώρα microορφών που εδώ και

αιώνες τις αποκαλούmicroε γεωmicroετρικές και αντιλαmicroβανόmicroαστε ένα είδος γεωmicroετρικής

δοmicroής microέσα στη ϕύση που microας περιβάλλει Η αντίληψη αυτή ενισχύεται σήmicroερα και

από την επιστήmicroη η οποία microας αποκαλύπτει ότι παντού microέσα στη ϕύση υπάρχει

microία laquoΓεωmicroετρίαraquo η τάξη της οποίας υπόκειται της δοmicroής όλων των πραγmicroάτων από

τα microόρια και τους κρυστάλλους microέχρι τους γαλαξίες δηλαδή από τον microικρόκοσmicroο lowast

microέχρι τον microακροκόσmicroο

Στους αρχαιότατους χρόνους όταν η επιστήmicroη ήταν ένα microε τη ϑρησκεία και τη

microαγεία η ϐασική γνώση ήταν συγκεντρωmicroένη στα χέρια των ιερέων Τα microαθηmicroατι-

κά (αριθmicroητική και γεωmicroετρία) της εποχής αυτής αποτελούσαν microέρος της microυστικής

γνώσης και συχνά συνδέονταν microε τον microυστικισmicroό Αργότερα η αρmicroονία η οποία

ενυπάρχει στις γεωmicroετρικές δοmicroές ϑεωρήθηκε έκφραση ενός laquoϑεϊκού σχεδίουraquo που

διέπει τον κόσmicroο (εξού και η γνωστή ϱήση των Πυθαγορείων laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας

γεωmicroετρείraquo)

΄Οmicroως για να microπορέσει ο άνθρωπος να χειριστεί και να microελετήσει αυτές τις microορ-

ϕές είναι απαραίτητη η ιδεατή αναπαράστασή τους ΄Ετσι ο κύκλος (ένα από τα

αρχαιότερα σύmicroβολα που χάραξε ο άνθρωπος) microπορεί να ϑεωρηθεί ως η ιδεατή απο-

τύπωση του ηλιακού δίσκου και των περάτων του ϕυσικού ορίζοντα Η (microαθηmicroατική)

σφαίρα παραπέmicroπει στον ουράνιο ϑόλο Το επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

είναι η ιδεατή εικόνα της στάθmicroης του νερού που ηρεmicroεί κοκ

Η αφαίρεση της καθηmicroερινής εmicroπειρίας και η microεταφορά των απλών παρατη-

ϱήσεων στο επίπεδο microιας νοητικής διεργασίας αρχικά εξυπηρέτησε πρακτικές και

τεχνικές ανάγκες (όπως άλλωστε συνέβη και στο ξεκίνηmicroα κάθε επιστήmicroης) ΄Ετσι

στην αρχαία Αίγυπτο η γεωmicroετρία χρησιmicroοποιήθηκε στην οριοθέτηση και τη microέτρηση

των γαιών απ᾿ όπου και ο όρος laquoγεωmicroετρίαraquo Αυτό ήταν απαραίτητο microετά τις ετήσιες

πληmicromicroύρες του ποταmicroού Νείλου προκειmicroένου να αποδοθούν και πάλι οι ιδιοκτη-

σίες στους κατόχους τους και να επιmicroετρηθούν οι ϕορολογικές τους υποχρεώσεις

στους Φαραώ Αργότερα πιο προχωρηmicroένοι υπολογισmicroοί (πάντοτε εmicroπειρικοί και

lowast Για την περιοχή της κβαντικής ϕυσικής υπάρχουν σοβαρά προβλήmicroατα στην περιγραφή γεωmicroε-

τρικών εννοιών όπως αυτή του χώρουλόγω των εξαιρετικά microικρών αποστάσεων που υπεισέρχονται

στη microελέτη της

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 3

πρακτικοί) χρησιmicroοποιήθηκαν στην οικοδόmicroηση των πυραmicroίδων Ανάλογες πρακτι-

κές ανάγκες εκάλυπτε η γεωmicroετρία και σε άλλους λαούς (Βαβυλωνίους Κινέζους)

όπως microαρτυρούν σύγχρονες αρχαιολογικές ανακαλύψεις

Σε κάθε περίπτωση η κατασκευή των πυραmicroίδων και άλλων τεχνικών έργων ση-

microατοδοτεί microιαν αναmicroφισβήτητη πρόοδο ΄Οmicroως αυτή παρέmicroεινε καθαρά εmicroπειρική

Για παράδειγmicroα διάφορα εmicroβαδά υπολογίζονταν κατά περίπτωση πρακτικά χωρίς

να υπάρχει ένας συγκεκριmicroένος τύπος ή αλγόριθmicroος για το κάθε είδος Οmicroοίως και

διάφοροι αριθmicroητικοί υπολογισmicroοί και πράξεις πραγmicroατοποιούνταν κατά περίπτωση

χωρίς να ακολουθείται κάποιος κανόνας Εποmicroένως οι πολιτισmicroοί της Αιγύπτου και

της Βαβυλωνίας (στους οποίους εmicroφανίζονται οι παραπάνω χρήσεις της γεωmicroετρίας

και της αριθmicroητικής) δεν έδωσαν στους ΄Ελληνες microε τους οποίους ήρθαν σε επα-

ϕή τίποτε το ϑεωρητικό αλλά microια τεράστια συλλογή συγκεκριmicroένων microαθηmicroατικών

δεδοmicroένων microε τη microορφή υπολογισmicroών ή απλών καταγραφών (ϐλ τους microαθηmicroατι-

κούς πίνακες από τις ανασκαφές της Νινευή τον πάπυρο Rhind και τον πάπυρο της

Μόσχας) ΄Οπως πολύ επιτυχηmicroένα σχολιάζει ο L Mlodinow (ϐλ [26 σελ 9]lowast) ϑα

λέγαmicroε ότι οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι microοιάζουν microε τους κλασικούς ϐιολόγους

και ϕυσιοδίφες που microε microεγάλη υποmicroονή και σχολαστικότητα καταλογογράφησαν τα

είδη και όχι microε τους σύγχρονους γενετιστές που προσπαθούν να κατανοήσουν πώς

αναπτύσσονται και λειτουργούν οι οργανισmicroοί

Αντιθέτως η microελέτη της γεωmicroετρίας και των microαθηmicroατικών γενικότερα πέρα από

τις πρακτικές ανάγκες ως πνευmicroατική αναζήτηση ως ϑεωρητικό πρόβληmicroα είναι

κατάκτηση του αρχαίου ελληνικού πνεύmicroατος Είναι το αποτέλεσmicroα του ελληνικού

ορθολογισmicroού που προσπαθεί να ϐάλει τάξη στον περιβάλλοντα κόσmicroο και να τον

ερmicroηνεύσει αναζητώντας το laquoγιατίraquo και το laquoπώςraquo των ϕαινοmicroένων

Εδώ πρέπει να αναφερθεί πρώτα το όνοmicroα του γεωmicroέτρη και ϕιλοσόφου Θαλή

Εικονα 1 Θαλής

lowast Οι αριθmicroοί σε αγκύλες παραπέmicroπουν στη ϐιβλιογραφία

4 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ενός εκ των επτά Σοφών της αρχαίας Ελλάδας Ο Θαλής στο πλαίσιο του παραπάνω

ορθολογισmicroού αναζήτησε τη ϑεωρητική επεξήγηση των εmicroπειρικών δεδοmicroένων των

Αιγυπτίων Θεωρείται ότι είναι ο πρώτος που συνέλαβε (και εφάρmicroοσε) την ιδέα της

απόδειξης Η χρήση των οmicroοίων τριγώνων τού επέτρεψε τον ακριβή υπολογισmicroό του

ύψους των πυραmicroίδων (που όπως προείπαmicroε γινόταν microόνον εmicroπειρικά προηγου-

microένως) Η πρόβλεψη της έκλειψης του Ηλίου το 585 πΧ τον κατέστησε πρόσωπο

microυθικό ∆ίκαια τοποθετείται στο ϐάθρο του πρώτου επιστήmicroονα και microαθηmicroατικού

Ο Θαλής αναmicroφίβολα προετοίmicroασε τους Πυθαγορείους και απέδειξε πολλά ϑεω-

ϱήmicroατα που περιέλαβε ο Ευκλείδης στα laquoΣτοιχείαraquo του Στον ίδιο αποδίδεται η έννοια

της laquoισότηταςraquo ή laquoσύmicroπτωσηςraquo των σχηmicroάτων (όπως εννοείται σήmicroερα microε τους ξενό-

γλωσσους όρους Kongruenz congruence) σύmicroφωνα microε την οποία δύο σχήmicroατα είναι

ίσα αν microε κατάλληλη κίνηση (microεταφορά και στροφή) το ένα microπορεί να συmicroπέσει microε

το άλλο Προφανώς οι microαθηmicroατικές απόψεις και επιδόσεις του Θαλή δεν είναι α-

ποκοmicromicroένες από τη ϕιλοσοφική του άποψη ότι η ϕύση έχει νόmicroους τους οποίους

microπορούmicroε να ανακαλύψουmicroε ενώ microπορούmicroε να εξηγήσουmicroε τα ϕαινόmicroενα microέσω της

παρατήρησης και της λογικής

Μετά τον Θαλή σταθmicroό στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής και ϕιλοσοφικής σκέψης

αποτελεί το έργο του Πυθαγόρα και της Σχολής του Εmicroπνευστής του πρώτου υπήρξε

ο Θαλής

Εικονα 2 Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τους νόmicroους της αρmicroονίας και έδωσε στην αριθmicroητι-

κή τη microορφή ϑεωρητικής επιστήmicroης επί της οποίας στηρίχτηκε και η ϕιλοσοφική

του διδασκαλία Οι αριθmicroοί microπορούν να χωριστούν σε τριγωνικούς και τετραγωνι-

κούς συνδυασmicroοί των οποίων παράγουν ενδιαφέροντα αποτλέσmicroατα Αν ϕανταστού-

microε τους αριθmicroούς σαν τελείες ή πετραδάκια και τους τοποθετήσουmicroε σε κατάλληλους

σχηmicroατισmicroούς microπορούmicroε να πάρουmicroε microερικές microορφές της ταξινόmicroησης αυτής που

εmicroφανίζεται στην Εικόνα 3

Στην ίδια Σχολή microαζί microε τη ϕιλοσοφία τη microουσική και την αριθmicroητική καλ-

λιεργείται και η γεωmicroετρία η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήmicroατος η microελέτη των

11 Η γεωmicroετρία πριν τον Ευκλείδη 5

κανονικών σχηmicroάτων και στερεών είναι microερικές microόνον από τις laquoγεωmicroετρικέςraquo ενα-

σχολήσεις της Το Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα microε τη διττή του ερmicroηνεία γεωmicroετρική και

αριθmicroητική εκφράζει microιαν ενότητα microεταξύ γεωmicroετρίας και αριθmicroητικής Πρίν από

τους Πυθαγορείους οι Βαβυλώνιοι είχαν καταγράψει τριάδες αριθmicroών (α γ) που

ικανοποιούν τη σχέση α2= 2+γ2 αλλά η γεωmicroετρική ερmicroηνεία και απόδειξη του ϑε-

ωρήmicroατος στη γενική του microορφή δόθηκε για πρώτη ϕορά από τους Πυθαγόρειους

Γενικά ϐλέπουmicroε ότι στο (microαθηmicroατικό) πυθαγόρειο έργο υπάρχει microία σύζευξη της

γεωmicroετρίας microε την αριθmicroητική κάτι που ϑα επαναληφθεί αργότερα ndashσε άλλη microορφή

και microε άλλο στόχοndash από τον Rene Descartes [Καρτέσιο] (1596ndash1650) και τον ϕί-

λο του Pierre de Fermat (1601ndash1665) Φυσικά αυτός ο συσχετισmicroός οδήγησε στην

ανακάλυψη των ασυmicromicroέτρων αριθmicroών που ανέτρεψε τις ϕιλοσοφικές δοξασίες των

Πυθαγορείων και οδήγησε στην παρακmicroή της Σχολής τους

Εικονα 3 Πυθαγόρειοι αριθmicroοί

Τα Μαθηmicroατικά όρος που οφείλεται στους Πυθαγορείους προφανώς σχετίζον-

ται microε τις ϕιλοσοφικές τους δοξασίες Οι ίδιοι αναζητώντας τη συmicromicroετρία και την

αρmicroονία του κόσmicroου (άλλος πυθαγορικός όρος κι αυτός) αναγνωρίζουν ουσιαστικά

την ύπαρξη microιας γεωmicroετρικής δοmicroής σ᾿ αυτόν ΄Οmicroως η δοmicroή αυτή συνδέεται microε το

άρρητο σχέδιο της δηmicroιουργίας που δεν microπορεί να γίνει αντιληπτό από τον άνθρωπο

(πρβλ laquoΑεί ο Θεός ο Μέγας γεωmicroετρείraquo) ΄Ετσι η κοσmicroογονία και η οντολογία των

πυθαγορείων παραmicroένει laquoαριθmicroολογικήraquo ΄Αλλωστε αιώνες αργότερα ο L Kronecker

υποστήριξε ότι (παραφράζοντάς τον) laquoαεί ο Θεός γεωmicroετρεί και ο ανθρωπος κάνει

αριθmicroητικήraquo

Η γεωmicroετρία (και τα microαθηmicroατικά γενικότερα) εξελίσσονται σηmicroαντικά και στην

Πλατωνική Ακαδηmicroία Τη σηmicroασία που είχε η γεωmicroετρία για τον Πλάτωνα και τους

6 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microαθητές του περιγράφει microε τον πιο εναργή τρόπο η επιγραφή η οποία κοσmicroούσε

την είσοδο της Ακαδηmicroίας το περίφηmicroο laquoΜηδείς αγεωmicroέτρητος εισίτωraquo

Εικονα 4 Πλάτων

Τα κανονικά πολύεδρα γνωστά και ως πλατωνικά στερεά κατέχουν ιδιαίτερη ϑέ-

ση στην πλατωνική ϕιλοσοφία και κοσmicroολογία Στην Ακαδηmicroία έδρασαν διάσηmicroοι

microαθηmicroατικοί όπως ο Εύδοξος ο Κνίδιος οι αδελφοί Μέναιχmicroος και ∆εινόστρατος ο

Θεαίτητος ο Αθηναίος ο Ερmicroότιmicroος ο Κολοφώνιος και πολλοί άλλοι ενώ δεν ϕαίνεται

να είχε κάποια ιδιαίτερη συmicroβολή στην ίδια τη γεωmicroετρία ο Πλάτων

Φυσικά δεν πρέπει να παραλείψουmicroε και τους εκτός της Πλατωνικής Ακαδηmicroίας

Θεόδωρο τον Κυρηναίο (διδάσκαλο του Πλάτωνος) τον Αρχύτα τον Ταραντίνο (ϕίλο

του Πλάτωνος) τον Φιλόλαο και τον Ιπποκράτη τον Χίο

Για τις ϕιλοσοφικές ϑεωρήσεις της Σχολής των Πυθαγορείων και της Πλατωνικής

Ακαδηmicroίας όπως και τη σχέση τους microε τη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε στο [1]

Επειδή σκοπός αυτής της αναδροmicroής δεν είναι η παρουσίαση ούτε της ιστορίας

της γεωmicroετρίας στην αρχαιότητα ούτε των microεγάλων γεωmicroετρών και του έργου τους

αλλά microια απλή αναφορά σε microερικούς σταθmicroούς της προ-Ευκλείδειας περιόδου ϑα

έρθουmicroε αmicroέσως σ᾿ αυτόν που σφράγισε την εξέλιξη της γεωmicroετρίας των microαθηmicroατικών

γενικότερα καθώς και πολλών άλλων επιστηmicroών δηλαδή στον Ευκλείδη

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του

Ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια και η ακmicroή του τοποθετείται περί το 300 πΧ Οι

ηmicroεροmicroηνίες γέννησης και ϑανάτου του παραmicroένουν άγνωστες Στο περίφηmicroο έργο

του laquoΣτοιχείαraquo περιέλαβε το microεγαλύτερο microέρος της microέχρι τότε microαθηmicroατικής γνώσης

και οργάνωσε τη γεωmicroετρία κατά τρόπον αυστηρό όπως απαιτούσε το πνεύmicroα της

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 7

λογικής και της ενότητας το οποίον του κληροδότησαν οι προηγούmicroενες γενιές των

microαθηmicroατικών και ϕιλοσόφων

Εικονα 5 Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης microπορεί να χαρακτηριστεί ως ο διαmicroορφωτής της microελέτης του 2-

διάστατου χώρου microέσω της καθαρής σκέψης χωρίς αναφορά στον ϕυσικό κόσmicroο

Το όνοmicroά του ταυτίζεται microε τη γεωmicroετρία Σε πολλές προτάσεις έδωσε δικές του

αποδείξεις ενώ απλοποίησε άλλες προγενέστερες Η ταξινόmicroηση της ύλης είναι υπο-

δειγmicroατική Η λιτότητα και η όλη παρουσίαση δικαίως έκαναν τα laquoΣτοιχείαraquo πρότυπο

γραφής επιστηmicroονικού συγγράmicroατος

Τα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη είναι το δεύτερο έργο που τυπώθηκε microετά την Αγία

Γραφή και το δεύτερο παγκοσmicroίως σε πλήθος εκδόσεων έργο (και πάλι microετά την

Αγ Γραφή) Καθόρισε ουσιαστικά την εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης microέχρι

τον 19ο αιώνα χωρίς ϕυσικά να έχει καταργηθεί microέχρι σήmicroερα Η ανακάλυψη του

έργου αυτού στους Μεσαίους χρόνους εσήmicroανε την αφετηρία της αναγέννησης των

επιστηmicroών και του πνεύmicroατος γενικότερα

Τον τρόπο διατύπωσης των laquoΣτοιχείωνraquo microιmicroήθηκε στο ϕιλοσοφικό του έργο ο Bashy

ruch Spinoza (1632ndash1677) Ο Immanuel Kant (1724ndash1804) στο γνωστό ϕιλοσοφικό

του έργο laquoΚριτική του Καθαρού Λόγουraquo ϑεωρεί ότι η Ευκλειδεια Γεωmicroετρία είναι η

microόνη γεωmicroετρία την οποίαν microπορεί να αντιληφθεί ο ανθρώπινος νούς εξαιτίας της

δοmicroής του εγκεφάλου του Αποτέλεσmicroα αυτού είναι ότι η γνώση του χώρου δεν είναι

εmicroπειρική αλλά υπάρχει a priori Με τις διαδεδοmicroένες αυτές απόψεις του διάση-

microου ϕιλοσόφου ϕοβόταν να αντιπαρατεθεί ο microεγάλος microαθηmicroατικός Karl Friedrich

Gauss (1775ndash1855) όταν ανακάλυψε (αρκετά microετα τον ϑάνατο του πρώτου) τη microη

Ευκλείδεια Γεωmicroετρία για τούτο ndashmicroαζί και microε άλλους λόγουςndash δεν δηmicroοσίευσε τίποτε

σχετικό

Πριν αναφερθούmicroε πιο διεξοδικά στη διάρθρωση των laquoΣτοιχείωνraquo ας κάνουmicroε α-

κόmicroη λίγα γενικά σχόλια Η γεωmicroετρία αναφέρεται στην έννοια του χώρου συστατικά

8 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

του οποίου είναι τα σηmicroεία οι ευθείες και τα επίπεδα Πρόκειται για έννοιες που ενώ

τις αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινή microας εmicroπειρία δεν microπορούmicroε να τις ορίσου-

microε microε ακρίβεια Εποmicroένως δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα πώς είναι δυνατόν να

οικοδοmicroηθεί αυστηρά η γεωmicroετρία όταν τα ίδια τα δοmicroικά στοιχεία της παραmicroένουν

άγνωστα

Εδώ η συmicroβολή του Ευκλείδη υπήρξε καταλυτική Παρ᾿ όλο που προσπάθησε (α-

νεπιτυχώς) να ορίσει τις παραπάνω έννοιες η προσέγγισή του έκανε ϕανερό ότι στα

microαθηmicroατικά δεν microας ενδιαφέρει η ουσία των αντικειmicroένων που microας απασχολούν αλ-

λά οι σχέσεις microεταξύ αυτών (των αντικειmicroένων) ΄Ετσι αδιαφορώντας για την οντολογία

των σηmicroείων και των ευθειών microπορούmicroε να ξεκινήσουmicroε microε ένα σύστηmicroα σχέσεων

δηλαδή microε τα αξιώmicroατα των οποίων την αλήθεια δεχόmicroαστε εκ των προτέρων και κα-

τόπιν microε τη ϐοήθεια της λογικής (συν)επαγωγής να προχωρήσουmicroε στην απόδειξη

της ισχύος ή όχι κάθε άλλης γεωmicroετρικής σχέσης που microπορεί να διατυπωθεί

Αυτή είναι η ϐασική ιδέα της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη Τα αξιώ-

microατα ϐρίσκονται στην αφετηρία και είναι απαραίτητα για να microην περιπέσουν οι

συλλογισmicroοί microας σε ϕαύλο κύκλο Το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων πρέπει να καλύπτει

προφανώς κάποιες ουσιαστικές απαιτήσεις Θα πούmicroε περισσότερα για τη σύγχρονη

αξιωmicroατική microέθοδο στην sect14

Ας ξαναγυρίσουmicroε τώρα στα laquoΣτοιχείαraquo Το περιεχόmicroενό τους κατανέmicroεται σε

bull 13 ϐιβλία (κάτι σαν 13 κεφάλαια)

και αποτελείται από

bull 23 όρους

bull 5 αιτήmicroατα

bull 7 (ή 9) κοινές έννοιες

και microέσω αυτών αποδεικνύονται

bull 465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σηmicroερινά ϑεωρήmicroατα προτάσεις λήmicro-

microατα και πορίσmicroατα)

Τα ϐιβλία 1ndash4 περιέχουν τη ϐασική γεωmicroετρία του επιπέδου Τα ϐιβλία 5ndash6 πραγ-

microατεύονται τη ϑεωρία των λόγων ήτοι των συmicromicroέτρων microεγεθών και εισάγονται κα-

τόπιν τα ασύmicromicroετρα microεγέθη Τα ϐιβλία 7ndash9 αναφέρονται στην αριθmicroητική Στο 10ο

ϐιβλίο ταξινοmicroούνται γεωmicroετρικά οι ασύmicromicroετροι αριθmicroοί Στα ϐιβλία 11ndash12 εκτίθενται

τα ϐασικά ϑεωρήmicroατα της στερεοmicroετρίας Το 13ο και τελευταίο ϐιβλίο περιέχει την

κατασκευή πέντε κανονικών πολυέδρων και την απόδειξη της microη ύπαρξης άλλων

Σηmicroειώνουmicroε ότι microεταγενέστερα προστέθηκαν και άλλα δύο ϐιβλία όmicroως αυτά δεν

γράφτηκαν από τον Ευκλείδη

Οι όροι αποτελούν ουσιαστικά τους ορισmicroούς εννοιών όπως σηmicroείο ευθεία γραmicro-

microή γωνία ορθή γωνία κύκλος κλπ Μερικοί απ᾿ αυτούς (όπως ο κύκλος οι παράλ-

ληλες ευθείες κλπ) είναι ακριβείς ενώ άλλοι (όπως το σηmicroείο η ευθεία κλπ) είναι

ασαφείς και χωρίς ιδιαίτερη αξία

΄Οπως αναφέρθηκε και πιο πάνω τα αιτήmicroατα (ή αξιώmicroατα) αναφέρονται σε

γεωmicroετρικές προτάσεις ή ιδιότητες που συνδέουν απροσδιόριστους όρους και των

οποίων η αλήθεια γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη Συνήθως απορρέουν από την απλή

12 Ο Ευκλείδης και τα laquoΣτοιχείαraquo του 9

παρατήρηση (microέσα στα στενά όρια της ανθρώπινης κλίmicroακας) ή από τη microελέτη ενος

συγκεκριmicroένου παραδείγmicroατος ΄Ετσι η πρακτική διαπίστωση ότι ανάmicroεσα σε δύο

σηmicroεία ενός κοινού επιπέδου ή ενός ϕύλλου χαρτιού χαράσσεται microία microόνον ευθεία

οδηγεί στη διατύπωση του πρώτου αξιώmicroατος της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας (που ϑα

αναφέρουmicroε microαζί microε τα άλλα πιο κάτω)

Οι κοινές έννοιες είναι προτάσεις των οποίων δεχόmicroαστε την αλήθεια (όπως

και των αξιωmicroάτων) δεν αναφέρονται σε γεωmicroετρικές ιδιότητες ή σχέσεις αλλά είναι

κυρίως προτάσεις της Λογικής (για παράδειγmicroα laquoΤὰ τω αὐτωι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστίν

ἴσαraquo laquoΚαὶ τὸ ὅλον του microέρους microειϹὸν [ἐστιν]raquo κλπ)

Σήmicroερα χρησιmicroοποιούmicroε κυρίως τον (microεταγενέστερο) αριστοτελικό όρο αξίωmicroα

για τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

Οι προτάσεις (όπως και τα ϑεωρήmicroατα κλπ) είναι πλέον αποφάνσεις των οποίων

η αλήθεια συνάγεται microε λογική διαδικασία από τα αιτήmicroατα και τις κοινές έννοιες

καθώς και από άλλα ήδη αποδειχθέντα ϑεωρήmicroατα

Στα laquoΣτοιχείαraquo εφαρmicroόζονται οι ακόλουθες τρείς αποδεικτικές microέθοδοι

Η συνθετική Κατ᾿ αυτήν προκειmicroένου να αποδείξουmicroε microια πρόταση χρησιmicroο-

ποιούmicroε τους ορισmicroούς τα αξιώmicroατα και άλλες ήδη γνωστές προτάσεις (που κι αυτές

microε τη σειρά τους απορρέουν από τα αξιώmicroατα και τους ορισmicroούς) και microε λογικούς

συλλογισmicroούς καταλήγουmicroε στην πρός απόδειξη

Η εις άτοπον απαγωγή Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν αρχικά δεχόmicroαστε ότι αληθεύει κά-

ποια πρόταση αντίθετη προς αυτήν που Ϲητούmicroε να αποδείξουmicroε Χρησιmicroοποιώντας

όπως πριν τα αξιώmicroατα και άλλες γνωστές προτάσεις καταλήγουmicroε σε microία πρόταση

η οποία αντιφάσκει είτε microε κάποιο αξίωmicroα είτε microε κάποιαν άλλη πρόταση που ήδη

έχει αποδειχθεί ότι αληθεύει Η αντίφαση προκύπτει προφανώς επειδή ξεκινήσαmicroε

από microια λαθεmicroένη υπόθεση και αίρεται αν δεχτούmicroε ότι αληθεύει η προς απόδειξη

πρόταση Η microέθοδος αυτή χρησιmicroοποιείται ευρύτατα στα laquoΣτοιχείαraquo

Η αναλυτική που ϐασίζεται στην εξής microεθοδολογία ∆εχόmicroαστε προς στιγmicroήν ότι

η προς απόδειξη πρόταση P είναι αληθής Απ᾿ αυτήν συνάγουmicroε την αλήθεια microιας

πρότασης ή microιας αλυσίδας προτάσεων Εφ᾿ όσον οι τελευταίες είναι αληθείς τότε

προφανώς είναι αληθής και η αρχική πρόταση P καθ᾿ όσον microπορούmicroε συνθετικά

πλέον να αναχθούmicroε σ᾿ αυτήν από τις προηγούmicroενες

Μιλώντας κυριολεκτικά πρέπει να κατατάξουmicroε την αναλυτική microέθοδο στις ευρε-

τικές microεθόδους ∆εν χρησιmicroοποιείται εmicroφανώς από τον Ευκλείδη αλλά είναι ϐέβαιον

ότι ορισmicroένες (πολύπλοκες) αποδείξεις έχουν προκύψει από την εφαρmicroογή της του-

λάχιστον από προγενέστερους γεωmicroέτρες Παρ᾿ όλο που η microέθοδος ανάγεται στους

Πυθαγορείους συστηmicroατικός περί αυτής λόγος γίνεται στη laquoΣυναγωγήraquo του Πάππου

και έχει δηmicroιουργήσει σηmicroαντικά προβλήmicroατα ερmicroηνείας Σχετικώς παραπέmicroπουmicroε

και στο άρθρο [27]

10 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Θα διατυπώσουmicroε τα αξιώmicroατα (αιτήmicroατα) των laquoΣτοιχείωνraquo για να κάνουmicroε κατόπιν

microια σύντοmicroη κριτική που ϑα δικαιολογήσει τις νεώτερες αναθεωρήσεις της ϑεmicroελίω-

σης του Ευκλείδη Για διευκόλυνση ϑα τα διατυπώσουmicroε σε microία microορφή απλούστερη

από αυτήν που προκύπτει από την ακριβή microετάφραση της πρωτότυπης διατύπωσής

τους Για την αρχαιοελληνική microορφή τους και την ακριβή microετάφραση παραπέmicroπουmicroε

στο [39]

Αξίωmicroα 1 Από ένα σηmicroείο άγεται σε ένα άλλο microία ευθεία γραmicromicroή

Αξίωmicroα 2 Κάθε πεπερασmicroένη ευθεία microπορεί να επεκτείνεται συνεχώς και

ευθυγράmicromicroως

Αξίωmicroα 3 Μπορούmicroε να γράψουmicroε κύκλο microε οποιοδήποτε κέντρο και ο-

ποιαδήποτε ακτίνα

Αξίωmicroα 4 ΄Ολες οι ορθές γωνίες είναι ίσες

Αξίωmicroα 5 Αν microία ευθεία που τέmicroνει δύο άλλες σχηmicroατίζει τις εντός και

επί τα αυτά γωνίες microε άθροισmicroα microικρότερο των δύο ορθών τότε

οι δύο ευθείες προεκτεινόmicroενες επ᾿ άπειρον ϑα τmicroηθούν (συmicro-

πέσουν) και microάλιστα προς το microέρος όπου ϐρίσκοται οι γωνίες microε

το microιικρότερο των δύο ορθών άθροισmicroα

Τα δύο πρώτα αξώmicroατα ϕαίνονται απλά και συmicroφωνούν microε τη συνήθη εmicroπειρία

Το 3ο είναι πιο λεπτό και σηmicroαίνει ότι δεχόmicroαστε πως το microήκος παραmicroένει αναλλοί-

ωτο καθώς κινούmicroαστε από σηmicroείο σε σηmicroείο κατά τη χάραξη του κύκλου ∆ηλαδή

δεχόmicroαστε ότι η απόσταση ορίζεται microε τέτοιον τρόπο στο χώρο ώστε να εξασφαλίζε-

ται το αναλλοίωτό της Το 4ο αξίωmicroα κι αυτό ϕαίνεται απλό και προφανές Αλλά αν

microπορεί να διαπιστωθεί laquoπειραmicroατικάraquo στο χαρτί microας αυτό δεν σηmicroαίνει ότι αληθεύει

και σε κάποιο άλλο σηmicroείο του σύmicroπαντος (όπως microπορεί να συmicroβεί άλλωστε και microε

κάθε άλλο αξίωmicroα) Στην πραγmicroατικότητα το 4ο αξίωmicroα αποδέχεται την οmicroοιογένεια

του χώρου Τέλος το 5ο αξίωmicroα που είναι γνωστό και ως αξίωmicroα των παραλλή-

λων δεν ϕαίνεται ούτε τόσο απλό ούτε τόσο άmicroεσο όπως τα άλλα Οφείλεται microάλλον

αποκλειστικά στον Ευκλείδη και δεν πρέπει να περιείχετο στην προγενέστερη γεωmicroε-

τρική γνώση που κατέγραψε αυτός παρ᾿ όλο που υποστήριζε ότι ήταν γνωστό στους

Πυθαγορείους

Η ιστορία του 5ου αξιώmicroατος είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα Ο ιδιος ο Ευκλεί-

δης δεν το χρησιmicroοποίησε παρά microετά την 28η πρόταση Λόγω της πολυπλοκότητας

της αρχικής του διατύπωσης οι microεταγενέστεροι microαθηmicroατικοί το αντιmicroετώπισαν microε

κάποια αmicroηχανία γι᾿ αυτό πολλοί ϑεώρησαν ότι είναι απόρροια των προηγουmicroένων

αξιωmicroάτων συνεπώς είναι ένα ϑεώρηmicroα Αυτή η προσπάθεια της αναγωγής του 5ου

αξιώmicroατος στα άλλα άρχισε πολύ νωρίς microετά την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo και συνε-

χίστηκε microέχρι τον 19ο αιώνα οπότε τελικά αποδείχτηκε η ανεξαρτησία του [το 1868

από τον Eugenio Beltrami (1835ndash1900 )]

Σηmicroειώνουmicroε ότι όλες οι προτάσεις (microεταξύ αυτών και οι πρώτες 28 των laquoΣτοιχεί-

ωνraquo που microπορούν να αποδειχθούν χωρίς τη χρήση του αξιώmicroατος των παραλλήλων

13 Τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας 11

συνιστούν τη λεγόmicroενη Απόλυτη ή Ουδέτερη Γεωmicroετρία

Γνωρίζουmicroε σήmicroερα περί τις 28 απόπειρες απόδειξης του αξιώmicroατος των παραλ-

λήλων Στην πραγmicroατικότητα οδηγούν σε ισοδύναmicroες διατυπώσεις του αφού όλες

ξεκινούσαν microε microια ϕαινοmicroενικά προφανή υπόθεση που στην ουσία της συνιστού-

σε ένα άλλο αξίωmicroα Ας δούmicroε microερικές απ᾿ αυτές τις ισοδύναmicroες microορφές του 5ου

αξιώmicroατος

1 Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας κείmicroενο άγεται προς αυτήν microία και

microοναδική παράλληλη

2 Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές

3 Υπάρχουν Ϲεύγη οmicroοίων τριγώνων

4 Υπάρχει Ϲεύγος ευθειών που ισαπέχουν η microια της άλλης

5 ∆οθέντων τριών (διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών) σηmicroείων υπάρ-

χει κύκλος που διέρχεται δι᾿ αυτών

6 Αν τρείς γωνίες ενός τετραπλέυρου είναι ορθές τότε και η τέταρη

γωνία είναι ορθή

7 Αν microία ευθεία τέmicroνει microία από δύο δοθείσες παράλληλες ευθείες τότε

ϑα τέmicroνει και την άλλη

Η microορφή 1 είναι γνωστή ως αξίωmicroα του John Playfair (1748ndash1819) Μ᾿ αυτήν

αντικαθιστούmicroε σήmicroερα το 5ο αξίωmicroα αφού έτσι είναι προφανώς πιο εύχρηστο Η

microορφή 3 οφείλεται στον John Wallis (1616ndash1703) ΄Αλλοι γνωστοί microαθηmicroατικοί που

προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο αξίωmicroα είναι ο νεοπλατωνικός Πρόκλος ο Λύκιος

ή ∆ιάδοχος (410ndash485 microΧ) ο Giovanni Gerolamo Saccheri (1667ndash1733) (που ό-

πως ϑα δούmicroε στη συνέχεια micro᾿ αυτήν του την προσπάθεια ουσιαστικά έφτασε στην

Υπερβολική Γεωmicroετρία) και ο AdrienshyMarie Legendre (1752ndash1833)

Η άρνηση του 5ου αξιώmicroατος microπορεί να γίνει microε δύο τρόπους

α) ∆εχόmicroαστε ότι από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται δύο ή και περισσό-

τερες ευθείες παράλληλες προς τη δοθείσα

ϐ) Αρνούmicroαστε εξ ολοκλήρου την ύπαρξη της παραλληλίας ευθειών

Η άρνηση αυτή οδηγεί στη δηmicroιουργία των λεγοmicroένων microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

Ακριβέστερα η περίπτωση α) οδηγεί στην Υπερβολική Γεωmicroετρία ενώ η ϐ) στην

Ελλειπτική Γεωmicroετρία Και οι δύο δηmicroιουργήθηκαν microόλις τον 19ο αιώνα και α-

ποτελούν microια απο τις συναρπαστικότερες εξελίξεις στην ιστορία της γεωmicroετρίας Θα

επανέλθουmicroε σ᾿ αυτές σε επόmicroενες παραγράφους

Πριν ασχοληθούmicroε microε την κριτική της αξιωmicroατικής ϑεmicroελίωσης του Ευκλείδη

ας αναφέρουmicroε συmicroπληρωmicroατικά ότι παράλληλα microε την ανάπτυξη της γεωmicroετρίας

που ακολουθεί την εmicroφάνιση των laquoΣτοιχείωνraquo έχουmicroε microιαν εντυπωσιακή ανάπτυξη

της αστρονοmicroίας και της microηχανικής αφού και οι δύο συνδέονται στενά microε την πρώτη

Εδώ ϑα πρέπει να αναφέρουmicroε κυρίως τον Αρίσταρχο το Σάmicroιο (περίπου 310-250

πΧ) πρόδροmicroο του ηλιοκεντρικού συστήmicroατος ο οποίος για πρώτη ϕορά υπολόγισε

(έστω και χωρίς microεγάλη ακρίβεια) τη σχέση των αποστάσεων Ηλίου και Σελήνης απο

12 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

τη Γη τη σχέση των διαmicroέτρων τους κλπ ϐασιζόmicroενος σε γεωmicroετρικές microεθόδους και

microια microορφή πρωτόγονης τριγωνοmicroετρίας τον Ερατοσθένη (περίπου 275 ndash195 πΧ)

που microέτρησε τη διάmicroετρο της Γης microε εκπληκτική ακρίβεια για την εποχή του χρη-

σιmicroοποιώντας microιαν ευφυή microέθοδο τον ΄Ιππαρχο (2ος αιώνας πΧ) που υπολόγισε

την απόσταση και το microέγεθος του Ηλίου και της Σελήνης και έβαλε τις ϐάσεις της

τριγωνοmicroετρίας τον Πτολεmicroαίο Κλαύδιο (138ndash180 microΧ) που microεταξύ των άλλων στο

έργο του laquo΄Απλωσις Επιφανείαςraquo εναφέρεται στη microελέτη προβολών για την κατασκευή

χαρτών

Ιδιαιτέρως επίσης πρέπει να microνηmicroονευθεί και ο Αρχιmicroήδης (287ndash212 πΧ)

microεγαλοφυής microαθηmicroατικός ϕυσικός και microηχανικός Με την έξοχη laquomicroέθοδο της εξ-

αντλήσεωςraquo υπολόγισε το εmicroβαδόν ποικίλων χωρίων και τον όγκο διαφόρων σωmicroάτων

κάνοντας κατάλληλες προσεγγίσεις microέσω εmicroβαδών απλών σχηmicroάτων ϑέτοντας έτσι τις

ϐάσεις του Ολοκληρωτικού Λογισmicroού Ο Αρχιmicroήδης ϑεωρείται η microεγαλύτερη microαθη-

microατική και επιστηmicroονική microορφή της αρχαιότητας και ένας από τους microεγαλύτερους

microαθηmicroατικούς όλων των εποχών

Η ανάπτυξη της γεωmicroετρίας συνεχίστηκε microετά το Ευκλείδη και τον Αρχιmicroήδη από

τον Απολλώνιο (περίπου 260ndash200 πΧ) που ϑεωρείται ως ο τελευταίος microεγάλος γε-

ωmicroέτρης της ελληνιστικής περιόδου Στο οκτάτοmicroο έργο του laquoΚώνου Τοmicroαίraquo microελέτησε

την έλλειψη την παραβολή και την υπερβολή τις οποίες ϑεώρησε τοmicroές του κώνου

microε ένα επίπεδο κατάλληλης κλίσης Η ιδέα αυτή microπορεί να ϑεωρηθεί και ως απαρ-

χή της Προβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ Κεφάλαιο 2) αφού οι προηγούmicroενες καmicroπύλες

είναι προβολές (από την κορυφή του κώνου) της κυκλικής ϐάσης του στα διάφορα

τέmicroνοντα επίπεδα

Παρά την microετέπειτα σχετική κάmicroψη του ελληνικού πνεύmicroατος η microεγάλη γεωmicroε-

τρική παράδοση συνεχίστηκε από σπουδαίους microαθηmicroατικούς όπως ο Νικοmicroήδης ο

∆ιοκλής ο ∆ιόφαντος ο Μενέλαος και ο Πάππος (microε το έργο του laquoΣυναγωγήraquo )

Μετά από αυτούς και πολύ αργότερα microετά τον τραγικό ϑάνατο της Υπατίας

(5ος microΧ αιώνας) που ϑεωρείται και η τελευταία microαθηmicroατικός της αρχαίας εποχής

επήλθε η πλήρης στασιmicroότητα Η αναγέννηση της γεωmicroετρίας άρχισε τον 16ο αιώνα

microε την Αναλυτική Γεωmicroετρία του Καρτέσιου (Descartes) Αργότερα η εφαρmicroογή του

∆ιαφορικού Λογισmicroού οδήγησε στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία η ανάπτυξη της οποίας

υπήρξε ϱαγδαία και microαζί microε τη σύγχρονη ϕυσική έχει αλλάξει την αντίληψή microας για

τον κόσmicroο

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και η αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του D Hilbert

Η προσεκτική microελέτη των laquoΣτοιχείωνraquo σε microεταγενέστερες εποχές απεκάλυψε ότι

ορισmicroένες αποδείξεις έχουν σηmicroαντικές ατέλειες ή κενά καθ᾿ όσον ϐασίζονται σε

διάφορες γεωmicroετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης ϑεώρησε αυτονόητες χωρίς

όmicroως αυτές να microπορούν να δικαιολογηθουν ούτε από τους ορισmicroούς και τα αξιώmicroατα

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 13

ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις

Σχηmicroα 11 Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

΄Ετσι ας πάρουmicroε για παράδειγmicroα την απόδειξη της Πρότασης 1 των laquoΣτοιχείωνraquo

στην οποία κατασκευάζεται ισόπλευρο τρίγωνο microε δεδοmicroένη ϐάση AB Η κορυφή

του τριγώνου ϑα είναι microία από τις τοmicroές του κύκλου που γράφεται microε κέντρο το

A και ακτίνα AB microε τον κύκλο ίδιας ακτίνας και κέντρου B όπως στο παραπάνω

σχήmicroα Πώς όmicroως εξασφαλίζεται αυτή η τοmicroή Προφανώς η εmicroπειρική κατασκευή

δεν αρκεί Κανένα αξίωmicroα δεν απαγορεύει οι κύκλοι να έχουν πολύ microικρές οπές

όπως ϑα microπορούσε να συmicroβεί στην περίπτωση της γεωmicroετρίας που αναφέρεται σε

σηmicroεία microε ϱητές συντεταγmicroένες

΄Εντονη κριτική δέχονται ακόmicroη η microέθοδος της laquoυπέρθεσηςraquo ή laquoεπί-ϑεσηςraquo δηλ

της microετακίνησης και τοποθέτησης ενός σχήmicroατος επί ενός άλλου microε την οποίαν

αποδεικνύεται η ισότητα δύο τριγώνων (ϐλ πχ Πρόταση 4) η συχνή χρήση της

έννοιας laquomicroεταξύraquo που δεν ορίζεται πουθενά η laquoεπ᾿ άπειρον και χωρίς όριαraquo επέκταση

microιας γραmicromicroής οι ιδιότητες διαχωρισmicroού των σηmicroείων και των γραmicromicroών (δηλαδή η

παραδοχή ότι ένα σηmicroείο διαχωρίζει microια γραmicromicroή σε δύο διακεκριmicroένα τmicroήmicroατα ενώ

microία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο διακεκριmicroένα σύνολα κλπ)

Είναι αξιοσηmicroείωτο ότι παρά τις παραπάνω αδυναmicroίες καmicroιά από τις προτάσεις

των laquoΣτοιχείωνraquo δεν είναι λάθος (ως προς το τελικό συmicroπέρασmicroα) ΄Οmicroως χωρίς να

microειώνεται στο ελάχιστο η αξία της ευκλείδειας προσέγγισης έπρεπε να διορθωθούν

οι ατέλειές της σύmicroφωνα microε τις απαιτήσεις της αυστηρότητας που χαρακτηρίζει (και)

τα σύγχρονα microαθηmicroατικά Αυτό υπήρξε περισσότερο από ποτέ αναγκαίο microετά την

ανακάλυψη των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών οπότε και έγινε εmicroφανέστερη η ση-

microασία της τακτοποίησης του αξιωmicroατικού συστήmicroατος κάθε γεωmicroετρίας Προς την

κατεύθυνση αυτή εργάστηκαν διακεκριmicroένοι microαθηmicroατικοί όπως ο Julius Wilhelm

Richard Dedekind (1831ndash1916) ο Giuseppe Peano (1858ndash1932) ο David Hilbert

(1862ndash1943) και ο George David Birkhoff (1884ndash1944)

Εδώ ϑα αναφερθούmicroε microόνον στην αξιωmicroατική ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρία από τον Hilbert (ϐλ [18]) επειδή το σύστηmicroά του είναι (παρά τον microεγάλο αριθmicroό

14 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αξιωmicroάτων) σχετικώς απλό και κοντά στο πνεύmicroα του Ευκλείδη

Εικονα 6 David Hilbert

Εξ αρχής ο Hilbert ϑεωρεί ως πρωταρχικές έννοιες του συστήmicroατος τις ακόλουθες

απροσδιόριστες έννοιες

σηmicroείο ευθεία (γραmicromicroή) επίπεδο κείται (ϐρίσκεται) επί

microεταξύ σύmicroπτωσηισότητα (Kongruenz congruence)

Τα αξιώmicroατά του χωρίζονται ανάλογα microε το ϱόλο τους στις εξής κατηγορίες

Κατηγορία I Αξιώmicroατα σύνδεσης (ή συνοχής)

Κατηγορία II Αξιώmicroατα διάταξης

Κατηγορία III Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Κατηγορία IV Αξίωmicroα της παραλληλίας

Κατηγορία V Αξιώmicroατα συνεχείας

Στη συνέχεια αναφέρουmicroε σε ελεύθερη microετάφραση τα αξιώmicroατα του Hilbert (ϐλ

επίση και τις σχετικες αποδόσεις των [11] [18] [39]) Ενδιαmicroέσως παρεmicroβάλλονται

και microερικοί απαραίτητοι ορισmicroοί και συmicroβολισmicroοί

Ι Αξιώmicroατα σύνδεσης

Τα αξιώmicroατα της κατηγορίας αυτής συνδέουν τις απροσδιόριστες έννοιες σηmicroείο

ευθεία και επίπεδο δηλαδή καθορίζουν τις microεταξύ των σχέσεις

Ι1 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει πάντοτε microία ευθεία ℓ που τα

περιέχει (Ισοδύναmicroη έκφραση Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται microία ευθεία)

Ι2 Για κάθε δύο διαφορετικά σηmicroεία A B υπάρχει microόνον microία ευθεία που τα περιέχει

Η microοναδική ευθεία που περιέχει τα A B κατά τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα

συmicroβολίζεται microε ℓ = AB = BA

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 15

Ι3 Κάθε ευθεία περιέχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά σηmicroεία Υπάρχουν τουλάχι-

στον τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται (κείνται) στην ίδια ευθεία

Ι4 Τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C τα οποία δεν ϐρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία

ορίζουν ένα microοναδικό επίπεδο που τα περιέχει

Ι5 Αν δύο σηmicroεία A B microιας ευθείας ℓ ϐρίσκονται σε ένα επίπεδο Π τότε και κάθε

άλλο σηmicroείο της ℓ ϐρίσκεται σο Π

Ι6 Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σηmicroείο τότε έχουν ακόmicroη τουλάχιστον άλλο ένα

κοινό σηmicroείο

Ι7 Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία που δεν κείνται στο ίδιο

επίπεδο

ΙΙ Αξιώmicroατα διάταξης

Τα αξιώmicroατα αυτής της κατηγορίας καθορίζουν την έννοια του microεταξύ microέσω της

οποίας microπορεί να εισαχθεί microια έννοια διάταξης ανάmicroεσα στα σηmicroεία microιας ευθείας

ενός επιπέδου ή του χώρου

ΙΙ1 Αν ένα σηmicroείο B κείται microεταξύ των σηmicroείων A και C τότε τα A B C είναι

διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας και το B ϐρίσκεται επίσης microεταξύ των C και A

ΙΙ2 Για οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία A C υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένα

σηmicroείο B που ϐρίσκεται microεταξύ των A και C

ΙΙ3 Αν A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία της ίδιας ευθείας τότε microόνον ένα από

αυτά ϐρίσκεται microεταξύ των δύο άλλων

ΙΙ4 ΄Εστω ότι A B C είναι τρία διαφορετικά σηmicroεία που δεν ϐρίσκονται στην ίδια

ευθεία και ℓ είναι microία ευθεία που δεν περιέχει κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία

Αν η ℓ διέρχεται από ένα σηmicroείο του (ευθυγράmicromicroου) τmicroήmicroατος AB τότε αυτή διέρχεται

επίσης είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος AC είτε από ένα σηmicroείο του τmicroήmicroατος BC

Το προηγούmicroενο αξίωmicroα είναι γνωστό και ως αξίωmicroα του Pasch [καθώς οφεί-

λεται στον γερmicroανό γεωmicroέτρη Moritz Pasch (1843ndash1931)] Για τη διατύπωσή

του απαιτείται ο επόmicroενος ορισmicroός Κάλούmicroε ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα AB το σύνολο

των σηmicroείων microεταξύ των A και B Το τmicroήmicroα AB είναι το ίδιο microε το BA

ΙΙΙ Αξιώmicroατα σύmicroπτωσηςισότητας (Kongruenz congruence)

Η κατηγορία αυτών των αξιωmicroάτων ορίζει την έννοια της ισότητας και κατ᾿ επέκτασιν

την έννοια της κίνησης οπότε αξιωmicroατικοποιείται η διαδικασία της microετακίνησης και

υπέρθεσης που χρησιmicroοποιείται στα laquoΣτοιχείαraquo του Ευκλείδη

ΙΙΙ1 Αν A και B είναι διαφορετικά σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime ένα σηmicroείο microιας

ευθείας ℓ όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικής της k τότε σε microία καθορισmicroένη πλευρά της

ℓ από το Aprime υπάρχει πάντοτε ένα microοναδικό σηmicroείο Bprime έτσι ώστε το τmicroήmicroα AB είναι

ίσο microε το AprimeBprime

16 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Το συmicroπέρασmicroα του προηγουmicroένου αξιώmicroατος συmicroβολικά γράφεται AB equiv AprimeBprime

(ή AB ≃ AprimeBprime ακόmicroη και AB = AprimeBprime) Χρείαζόmicroαστε εδώ τους εξής ορισmicroούς

Μία ηmicroιευθεία (ή ακτίνα) από το σηmicroείο A προς το B αποτελείται από όλα τα

σηmicroεία C της ευθείας AB έτσι ώστε το A να microην είναι microεταξύ των B και C

Εποmicroένως κάθε σηmicroείο A microιας ευθείας ℓ ορίζει δύο ηmicroιευθείες (της ℓ από το

A) microε microοναδικό κοινό σηmicroείο το A Μία πλευρά της ℓ από το A αποτελείται από

όλα τα σηmicroεία που ϐρίσκονται στην ίδια ηmicroιευθεία της ℓ και είναι διαφορετικά

από το A

ΙΙΙ2 Αν AprimeBprime equiv AB και AprimeprimeBprimeprime equiv AB τότε και AprimeBprime equiv AprimeprimeBprimeprime

Από τα προηγούmicroενα αξιώmicroατα προκύπτει ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz conshy

gruence) είναι σχέση ισοδυναmicroίας

ΙΙΙ3 Υποθέτουmicroε ότι A B είναι σηmicroεία microιας ευθείας k και Aprime Bprime σηmicroεία microιας ευθείας

ℓ (microε k = ℓ ή k ℓ) Αν C είναι σηmicroείο microεταξύ των A B και το Cprime σηmicroείο microεταξύ των

Aprime Bprime έτσι ώστε AC equiv AprimeCprime και CB equiv CprimeBprime τοτε είναι και AB equiv AprimeBprime

Πριν τη διατύπωση των δύο εποmicroένων αξιωmicroάτων δίνονται οι εξής ορισmicroοί ∆ύο

ηmicroιευθείες h και k microε κοινή αρχή (άκρο) το σηmicroείο O οι οποίες ανήκουν σε

διαφορετικές ευθείες λέmicroε ότι σχηmicroατίζουν microία γωνία microε πλευρές τις h k και

κορυφή το O Η γωνία αυτή συmicroβολίζεται microε ang (h k) Αν επί της h ϑεωρήσουmicroε

ένα σηmicroείο P και επί της k ένα σηmicroείο Q (οπότε h = OP και k = OQ) τότε την

ang (h k) συmicroβολίζουmicroε και microε ang POQ

Από σχετική πρόταση (microέσω των οmicroάδων αξιωmicroάτων Ι και ΙΙ) προκύπτει ότι κά-

ϑε ευθεία χωρίζει τα σηmicroεία του επιπέδου στο οποίο ϐρίσκεται σε δύο microέρη

ή πλευρές ως προς αυτήν Χωρίς να καταφύγουmicroε στις τεχνικές λεπτοέρειες

(που είναι αναγκαίες για την αυστηρή διατύπωση της πρότασης) είναι ϕανερόν

ότι εδώ δικαιολογούνται πλήρως οι έννοιες του διαχωρισmicroού του επιπέδου σε

δύο microέρη των πλευρών microιας ευθείας στο επίπεδο κα που χρησιmicroοποιούνται

στα laquoΣτοιχείαraquo ΄Ετσι microία γωνία χωρίζει το επίπεδο σε εσωτερικά και εξωτερι-

κά σηmicroεία όπως τα αντιλαmicroβανόmicroαστε διαισθητικά (αλλά ορίζονται microε κάθε

αυστηρότητα στο προτεινόmicroενο αξιωmicroατικό σύστηmicroα)

Τέλος ένα τρίγωνο ορίζεται από τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C και τα ευθύ-

γραmicromicroα τmicroήmicroατα AB BC AC Το συmicroβολίζουmicroε microε ABC

ΙΙΙ4 Υποθέτουmicroε ότι ang (h k) είναι microία γωνία ενός επιπέδου Π (microε κορυφή O) και ℓprime

ευθεία ενός επιπέδου Πprime (όχι κατ᾿ ανάγκην διαφορετικού του Π) Θεωρούmicroε επίσης

και microία καθορισmicroένη πλευρά του Πprime ως προς την ℓprime Αν hprime είναι microία ηmicroιευθεία της ℓprime

microε αρχή ένα σηmicroείο Oprime τότε υπάρχει στο Πprime microια microοναδική ηmicroιευθεία kprime (εκ του Oprime)

τέτοια ώστε η ang (hprime kprime) να είναι ίση microε την ang (h k) (συmicroβολικά ang (hprime kprime) equiv ang (h k))και όλα τα εσωτρικά σηmicroεία της ang (hprime kprime) να ϐρίσκονται στην ίδια πλευρά του Πprime ως

προς την ℓprime

ΙΙΙ5 Αν σε δύο τρίγωνα ABC και AprimeBprimeCprime ισχύουν οι ισότητες AB equiv AprimeBprime AC equiv AprimeCprime

και angBAC equiv angBprimeAprimeCprime τότε ισχύει επίσης και η ισότητα angABC equiv angAprimeBprimeCprime

14 Κριτική των laquoΣτοιχείωνraquo και ο Hilbert 17

IV Αξίωmicroα των παραλλήλων

IV1 (Αξίωmicroα του Ευκλείδη microε την ισοδύναmicroη διατύπωση του Playfair) Από ένα

σηmicroείο P εκτός ευθείας ℓ άγεται (στο επίπεδο που ορίζεται από το P και την ℓ) microία

microοναδική ευθεία k παράλληλη προς την ℓ

V Αξιώmicroατα συνεχείας

V1 (Αξίωmicroα του Αρχιmicroήδη ή αξίωmicroα της microέτρησης) Αν AB και CD είναι δύο ευθύγραmicro-

microα τmicroήmicroατα τότε επί της ευθείας AB υπάρχει ένα πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων A1

A2 Aν έτσι ώστε AA1 equiv A1A2 equiv A2A3 equiv middot middot middot equiv Aνminus1Aν equiv CD και το B να ϐρίσκεται

microεταξύ των Aνminus1 και Aν

V2 (Αξίωmicroα της γραmicromicroικής πληρότητας) Το σύστηmicroα των σηmicroείων microιας ευθείας microε

τις σχέσεις της διάταξης και της ισότητας δεν microπορεί να επεκταθεί (δηλ να του επι-

συνάψουmicroε και άλλα σηmicroεία) εις τρόπον ώστε να παραmicroένουν αληθείς οι σχέσεις που

υφίστανται microεταξύ των στοιχείων του καθώς και οι ϐασικές ιδιότητες που απορρέουν

από τα αξιώmicroατα IndashIII και V1

Το αξίωmicroα V1 (του Αρχιmicroήδη) και αξίωmicroα V2 (της γραmicromicroικής πληρότητας) ισο-

δυναmicroούν microε το αξίωmicroα (συνεχείας) του Dedekind που έχει ως εξής

Για κάθε διαmicroέριση των σηmicroείων microιας ευθείας σε δύο microη κενά σύνολα τέτοια ώστε

κανένα σηmicroείο του ενός να microην ϐρίσκεται microεταξύ δύο σηmicroείων του άλλου υπάρχει

ένα σηmicroείο του ενός συνόλου που ϐρίσκεται microεταξύ οποιουδήποτε σηmicroείου αυτού

του συνόλου και οποιουδήποτε σηmicroείου του άλλου συνόλου

Για διάφορες προτάσεις που προκύπτουν από την εφαρmicroογή των παραπάνω α-

ξιωmicroάτων και σχετικά σχόλια παραπέmicroπουmicroε επίσης και στην ελληνική microετάφραση

του [18]

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα του Hilbert είναι διατυπωmicroένο microε τέτοιο τρόπο ώστε να

microην αναφέρεται κατ᾿ ανάγκην στον κόσmicroο της συνήθους εmicroπειρίας προς την οποίαν

ήταν περισσότερο προσανατολισmicroένο το σύστηmicroα του Ευκλείδη ΄Ετσι τα σηmicroεία microπο-

ϱούν να αναφέρονται στα σηmicroεία της εmicroπειρίας όπως microας τα διδάσκει η Ευκλείδεια

Γεωmicroετρία αλλά και στα στοιχεία ενός συνόλου τα οποία αυθαιρέτως καλούmicroε έτσι

Το ίδιο και για τις ευθείες ενώ η σύmicroπτωση ενός σηmicroείου και microιας ευθείας (δηλαδή

το να κείται ένα σηmicroείο επί microιας ευθείας ή όχι) περιγράφεται από microιαν αφηρηmicroένη

microαθηmicroατική σχέση Θα τα δούmicroε όλα αυτά microε περισσότερες λεπτοmicroέρεις στο Κεφά-

λαιο 2

Την άποψη αυτή για τη ϑεmicroελίωση της γεωmicroετρίας κατά τρόπο γενικό και α-

ϕηρηmicroένο δηλαδή χωρίς άmicroεση αναφορά στην εmicroπειρία υποστηρίζει και ο Henri

Poincare (1854-1912) λέγοντας ότι (ϐλ [36 σελ 161])

18 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 7 Henri Poincare

Οι εκφράσεις laquoκείται επί διέρχεται απόraquo κλπ δεν προορίζονται να

ανακαλέσουν εικόνες είναι απλώς συνώνυmicroα της λέξης προσδιορίζω Οι

λέξεις laquoσηmicroείο ευθεία και επιπέδοraquo αυτές καθ᾿ εαυτές δεν πρέπει να προκα-

λούν στο πνεύmicroα καmicroία αισθητή παράσταση Θα microπορούσαν αδιαφόρως να

αποδίδουν αντικείmicroενα οποιασδήποτε ϕύσης αρκεί να microπορούmicroε να εγκα-

ϑιδρύσουmicroε microεταξύ αυτών των αντικειmicroένων microιάν αντιστοιχία τέτοια ώστε

σε κάθε σύστηmicroα δύο αντικειmicroένων που καλούνται σηmicroεία να αντιστοιχεί

ένα από τα αντικείmicroενα που καλούνται ευθείες και ένα microόνον

Τοιουτοτρόπως ο Κος Hilbert για να το πούmicroε έτσι προσπάθησε να

ϑέσει τα αξιώmicroατα σε microία τέτοια microορφή που να microπορούν να εφαρmicroοστούν

από οποιονδήποτε που δεν ϑα αντιλαmicroβανόταν το νόηmicroά τους γιατί δεν ϑα

είχε δεί ποτέ ούτε σηmicroεία ούτε ευθεία ούτε επίπεδο

Θα microπορούmicroε έτσι να κατασκευάσουmicroε όλη τη γεωmicroετρία δεν ϑα έλεγα

ακριβώς χωρίς να καταλαβαίνουmicroε τίποτε αφού ϑα συλλάβουmicroε τη λογική

αλληλουχία των προτάσεων αλλά το λιγότερο χωρίς να ϐλέπουmicroε τίποτε

σ᾿ αυτήν Θα microπορούσαmicroε να εmicroπιστευθούmicroε τα αξιώmicroατα σε microία λογική

microηχανή για παράδειγmicroα στο laquoλογικό πιάνοraquo του Stanley Jevons και ϑα

ϐλέπαmicroε να ϐγαίνει απ᾿ αυτό όλη η γεωmicroετρία

Το ακριβές κείmicroενο στα γαλλικά έχει ως εξής

Les expressions etre situe sur passer par etc ne sont pas deshy

stinees a evoquer des images elles sont simplement des synonymes du

mot determiner Les mots point droite et plan euxshymemes ne doivent

provoquer dans lrsquo esprit aucune representation sensible Ils pourraient

indifferemment designer des objets drsquo une nature quelconque pourvu

qursquo on put etablir entre ces objets une correspondance telle qursquo a tout

systeme de deux objets appeles points correspondit un des objets apshy

peles droites et un seul

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα 19

Ainsi M Hilbert a pour ainsi dire cherche a mettre les axiomes sous

une forme telle qursquo ils puissent etre appliquees par quelqursquo un qui nrsquo en

comprendrait pas le sens parce qursquo il nrsquo aurait jamais vu ni points ni

droite ni plan

On pourra ainsi construire toute la geometrie je ne dirais pas preciseshy

ment sans y rien comprendre puisqursquo on saisira lrsquo enchainement logique

des propositions mais tout au moins sans y rien voir On pourrait confier

les axiomes a une machine a raisoner par example au piano raisoneur

de Stanley Jevons et on en verrair sortir toute la geometrie

15 Τα σύγχρονα γεωmicroετρικά συστήmicroατα

΄Οπως προκύπτει απ᾿ όσα αναφέραmicroε microέχρις εδώ ένα σύγχρονο αξιωmicroατικό σύστηmicroα

για τη ϑεmicroελίωση microιας γεωmicroετρίας περιέχει τα εξής στοιχεία

bull Απροσδιόριστους όρους (δηλαδή microη οριζόmicroενες αρχικές έννοιες ό-

πως σηmicroείο ευθεία κλπ)

bull Ορισmicroούς (όπως παραλληλία ευθειών κύκλος τρίγωνο κλπ)

bull Αξιώmicroατα (όπως τα αξιώmicroατα του Ευκλείδη του Hilbert)

bull ΄Ενα λογικό σύστηmicroα (όπως αυτό της Αριστοτέλειας Λογικής)

bull Θεωρήmicroατα Προτάσεις κλπ (που συνάγονται από τα τρία πρώτα

στοιχεία microεσω του λογικού συστήmicroατος)

Ταυτόχρονα πρέπει το σύστηmicroα να ικανοποιεί και τις ακόλουθες απαιτήσεις

1 Να είναι συνεπές (consistent) δηλαδή να microην υπάρχουν αξιώmicroατα ή ϑεω-

ϱήmicroατα που αντιφάσκουν microεταξύ τους Η σηmicroασία της συνέπειας είναι προφανής

Ποιά αξία ϑα είχε ένα σύστηmicroα στο οποίο ϑα microπορούσαν να ισχύουν ταυτόχρονα ένα

συmicroπέρασmicroα και η άρνησή του

2 Να είναι ανεξάρτητο (independent) δηλαδή κανένα αξίωmicroα να microην προκύπτει

(αποδεικνύεται) από άλλα αξιώmicroατα Τέτοια αξιώmicroατα καλούνται επίσης ανεξάρτητα

3 Να είναι πλήρες (complete) δηλαδή για κάθε πρόταση που microπορεί να δια-

τυπωθεί microε τους όρους και τα αξιώmicroατα του συστήmicroατος ϑα πρέπει να microπορούmicroε να

αποφανθούmicroε για την ισχύ ή όχι της πρότασης Αυτό ισοδύναmicroα σηmicroαίνει ότι δεν

είναι δυνατόν να προσθέσουmicroε στο σύστηmicroα κι ένα άλλο ανεξάρτητο αξίωmicroα

Ο άmicroεσος έλεγχος των παραπάνω απαιτήσεων είναι κάτι εξαιρετικά δύσκολο αν ό-

χι αδύνατο Ιδιαιτέρως η δυνατότητα της πληρότητας τίθεται υπό αmicroφισβήτηση πλέον

microετά την απόδειξη [από τον Kurt Godel(1906ndash1978)] της microη πληρότητας της Αριθ-

microητικής αλλά και κάθε άλλου αξιωmicroατικού συστήmicroατος που περιέχει αποτελέσmicroατα

της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθmicroών

Για τον έλεγχο της συνέπειας και ανεξαρτησίας ενός συστήmicroατος καταφεύγουmicroε

στα (γεωmicroετρικά) microοντέλα Ακριβέστερα ένα microοντέλο για ένα (γεωmicroετρικό) αξιωmicroατι-

κό σύστηmicroα προκύπτει όταν στους απροσδιόριστους όρους του συστήmicroατος δώσουmicroε

20 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

microια συγκεκριmicroένη ερmicroηνεία έτσι ώστε τα αξιώmicroατα να είναι τώρα αληθείς προτά-

σεις για τα αντικείmicroενα της ερmicroηνείας Τα microοντέλα microπορεί να αναφερονται είτε στον

ϕυσικό κόσmicroο είτε σε άλλα αξιωmicroατικά συστήmicroατα

Η ύπαρξη microοντέλου για ένα αξιωmicroατικό σύστηmicroα συνεπάγεται τη συνέπεια του

τελευταίου Αυτό είναι προφανές αρκεί να σκεφτούmicroε ότι η ασυνέπεια microεταξύ α-

ξιωmicroάτων ϑα οδηγούσε σε αντίφαση αληθών (στο microοντέλο) προτάσεων Οmicroοίως και

οποιαδήποτε αντίφαση αξιωmicroάτων microε ϑεωρήmicroατα ή αντίφαση microεταξύ ϑεωρηmicroάτων

Φυσικά αν microια πρόταση αληθεύει σε ένα microοντέλο δεν σηmicroαίνει ότι είναι και ϑεώρη-

microα του αντίστοιχου αξιωmicroατικού συστήmicroατος

Απ᾿ το άλλο microέρος η ανεξαρτησία ενός συστήmicroατος οδηγεί προφανώς στην ε-

πιλογή του ελαχίστου αριθmicroού αξιωmicroάτων που είναι απαραίτητα Βέβαια όσο πιο

λίγα είναι τα αξιώmicroατα τόσο δυσκολότερες είναι οι αποδειξεις (τουλάχιστον ενός αρ-

χικού αριθmicroού ϐασικών προτάσεων) και τόσο microεγαλύτερος είναι ο αριθmicroός των προς

απόδειξη προτάσεων

Μια συνήθης διαδικασία ελέγχου της ανεξαρτησίας ενός αξιωmicroατικού συστήmicroατος

(microέσω microοντέλων) είναι η εξής ΄Εστω ότι ϑέλουmicroε να ελέγξουmicroε την ανεξαρτησία του

αξιώmicroατος X στο αξιωmicroατικό σύστηmicroα S Θεωρούmicroε το αύστηmicroα Sprime που προκύπτει

από το S όταν στη ϑέση του X ϐάλουmicroε την άρνησή του και προσπαθούmicroε να

κατασκευάσουmicroε ένα microοντέλο Mprime για το Sprime Αν κατασκευάζεται ένα Mprime τότε το

X είναι ανεξάρτητο επειδή τα αξιώmicroατα του Sprime είναι αληθείς προτάσεις στο Mprime

Πράγmicroατι αν το X ήταν εξηρτηmicroένο ϑα ήταν ένα ϑεώρηmicroα που ϑα προέκυπτε από

τα υπόλοιπα αξιώmicroατα του S συνεπώς ϑα ήταν και microία αληθής πρόταση στο Mprime

πράγmicroα που δεν microπορεί να συmicroβεί αφού στο ίδιο το Mprime αληθεύει η άρνηση του X

Προφανώς microια τέτοια διαδικασία είναι επίπονη και ϑα πρέπει να κατασκευαστούν

τόσα microοντέλα όσος είναι ο αριθmicroός των αξιωmicroάτων του συστήmicroατος

Στη συνέχεια ϑα δούmicroε microερικά microοντέλα microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ενώ στο

Κεφάλαιο 2 ϑα δούmicroε microοντέλα του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία

Είπαmicroε πιο πάνω ότι οι microη Ευκλείδειες Γεωmicroετρίες στις οποίες ανήκει η Υπερβολική

Γεωmicroετρία που ϑα εξετάσουmicroε microε συντοmicroία εδώ είναι δηmicroιούργηmicroα του 19ου αιώ-

να Προέκυψαν από τη συστηmicroατική microελέτη της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας ιδιαιτέρως

από τις προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώmicroατος του Ευκλείδη (αξίωmicroα των πα-

ϱαλλήλων) Επειδή πολλά συmicroπεράσmicroα τους ήσαν παράξενα σε σχέση microε αυτά της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας συνάντησαν την άρνηση Παρά το γεγονός ότι ο ϕιλόσοφος

I Kant είχε πεθάνει από το 1808 οι απόψεις του επί της γεωmicroετρίας εξακολουθού-

σαν να επηρεάζουν πολλούς εξού και η πολεmicroική τους κατά της νέας γεωmicroετρίας

που εmicroφανίστηκε σχεδόν microια εικοσαετία αργότερα

΄Οπως επίσης αναφέραmicroε στην Παράγραφο 13 το ερώτηmicroα της ανεξαρτησίας του

5ου αξιώmicroατος επιλύθηκε οριστικά το 1868 από τον E Beltrami οποίος κατεσκεύ-

ασε ένα microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας (ϐλ πιο κάτω τα περί ψευδόσφαιρας)

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 21

Η σχετική διαδικασία γίνεται όπως περιγράφεται στην προηγούmicroενη παράγραφο

Το αξιωmicroατικό σύστηmicroα Sprime της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας προκύπτει από το σύστηmicroα

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας S microε την αντίστοιχη άρνηση του 5ου αξιώmicroατος Για

το Sprime κατασκευάζεται ένα microοντέλο (ψευδόσφαιρα) στο οποίον αληθεύουν ως ϑεω-

ϱήmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα του Sprime εποmicroένως όπως εξηγήσαmicroε το 5ο αξίωmicroα είναι

ανεξάρτητο

Η κατανόηση των microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών (ιδιαίτερα της Ελλειπτικής) ήταν

αρκετά δύσκολη microέχρι την ανακάλυψη microερικών απλών microοντέλων τα οποία ϑα περι-

γράψουmicroε στη συνέχεια

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι (ϐλ σελίδα 11) η Υπερβολική Γεωmicroετρία προκύπτει όταν στη

ϑέση του 5ου αξιώmicroατος δεχτούmicroε ότι ισχύει το

Υπερβολικό αξίωmicroα Από σηmicroείο εκτός ευθείας άγονται προς αυτήν δύο

ή περισσότερες παράλληλες

Εικονα 8 Janos Bolyai

ενώ διατηρούνται τα υπόλοιπα τέσσερα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Η

αλλαγή αυτή δεν επηρεάζει ολόκληρο το οικοδόmicroηmicroα της τελευταίας Πολλές προ-

τάσεις της εξακολουθούν να ισχύουν (εφ᾿ όσον δεν ϐασίζονται στο 5ο αξίωmicroα άρα

αποτελούν microέρος της Απόλυτης Γεωmicroετρίας) Τα περισσότερα όmicroως συmicroπεράσmicroατα

της Ευκλειδειας Γεωmicroετρίας ανατρέπονται και οδηγούν σε περίεργα (για την ανθρώ-

πινη εmicroπειρία) συmicroπεράσmicroατα όπως ότι laquoτο άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των δύο ορθώνraquo laquoδύο τρίγωνα microε ίσες γωνίες είναι ίσαraquo και πολλά άλλα

Θεωρούmicroε δηmicroιουργούς της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας τον Ούγγρο Janos W Bolshy

yai (1802ndash1860) και τον Ρώσο Nikolai I Lobachewsky (1793ndash1856) οι οποίοι δηmicroο-

σίευσαν τα αποτελέσmicroατά τους (ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον) το 1829 και 1832

22 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

αντίστοιχα

Εικονα 9 Nikolai I Lobachewsky

Επίσης και ο microεγάλος microαθηmicroατικός K F Gauss (1775ndash1855) είχε ανακαλύψει

αυτή τη γεωmicroετρία πριν τις δηmicroοσιεύσεις των άλλων όπως microαρτυρούν διάφορες επι-

στολές του καθώς και τα ηmicroερολόγιά του που είδαν το ϕώς της δηmicroοσιότητας περί-

που σαράντα χρόνια microετά τον ϑάνατό του ΄Οmicroως ο Gauss δεν δηmicroοσίευσε τίποτε αφ᾿

ενός microεν ϕοβούmicroενος τις laquoϕωνές των Βοιωτώνraquo δηλαδή τις αντιδράσεις αυτών που δεν

ϑα microπορούσαν να κατανοήσουν τη νέα γεωmicroετρία αφ᾿ ετέρου δε λόγω της επιθυmicroίας

του οι εργασίες του να είναι άψογες από κάθε άποψη γι᾿ αυτό και οι δηmicroοσιεύσεις

του είναι λίγες σε σχέση microε την πληθώρα των αποτελεσmicroάτων που περιέγραφε στα

ηmicroερολόγιά του Για λεπτοmicroέρειες σχετικές microε τη Ϲωή και τις δραστηριότητες των

προηγουmicroένων παραπέmicroπουmicroε πχ στους [8] [11] [15] και [20]

Εδώ πρέπει να αναφέρουmicroε ότι ένας σηmicroαντικός αριθmicroός αποτελεσmicroάτων της Υ-

περβολικής Γεωmicroετρίας είχαν ανακαλυφθεί και από τον Ιταλό Gerolamo Saccheri

(1667ndash1773) σχεδόν εκατό χρόνια πριν την επίσηmicroη εmicroφάνισή της Αυτά προέκυ-

ψαν από την προσπάθειά του να αποδείξει ότι το 5ο αξίωmicroα του Ευκλείδη δεν ήταν

ανεξάρτητο Υποθέτοντας λοιπόν το αντίθετο κατέληξε (microέσω διαφόρων σκέψεων για

το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου που στο πλαίσιο της Απόλυτης Γεωmicroετρίας

δεν microπορεί να υπερβαίνει τις δύο ορθές) σε συmicroπεράσmicroατα ϱιζικά αντίθετα από αυτά

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας Επειδή αυτό συνιστούσε κατά την άποψή του αντί-

ϕαση (αφού microέχρι τότε ήταν εδραιωmicroένη η πεποίθηση ότι η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ήταν η microόνη δυνατή) ϑα έπρεπε να δεχθεί την εξάρτηση του αξιώmicroατος και κατά

συνέπεια την ισχύ της Απόλυτης Γεωmicroετρίας Κατ᾿ αυτόν τον τρόπο ο Saccheri όχι

microόνον υπέπεσε σε λογικό λάθος αλλά έχασε και την ευκαιρία να ϑεωρηθεί ο πατέ-

ϱας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού τα συmicroπεράσmicroατά της στα οποία έφτασε τα

απέρριψε ως laquoαπεχθήraquo

Επίσης ο Γερmicroανός Μαθηmicroατικός Johann Lambert (1728ndash1777) είχε πλησιάσει

πολύ στην ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αφού διεπίστωσε ότι η άρνηση

του αξιώmicroατος των παραλλήλων οδηγεί σε τρίγωνα microε άθροισmicroα γωνιών διαφορετι-

κό από τις 180 καθώς και στην ανυπαρξία οmicroοίων τριγώνων Απέρριψε όmicroως τα

συmicroπεράσmicroατα αυτά ϑεωρώντας ότι οδηγούν σε αντιφάσεις Σχετικές λεπτοmicroέρειες

αναφέρονται στο [32]

Το πρώτο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί η ψευδόσφαιρα (pseudoshy

sphere) που πρότεινε ο E Beltrami το 1868 Πρόκειται για την επιφάνεια που απο-

16 Η Υπερβολική Γεωmicroετρία 23

τελείται από microία ή δύο χοάνες όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 12 ΄Οψεις της ψευδόσφαιρας (από το ϐιβλίο [11])

Η ψευδόσφαιρα παράγεται από την περιστροφή (εδώ) περί τον άξονα των x της

καmicroπύλης που καλείται έλκουσα (tractrix) και απεικονίζεται στο επόmicroενο σχήmicroα

Σχηmicroα 13 Η έλκουσα (από το httpTractrix)

Πολύ περιγραφικά η έλκουσα παράγεται ως εξής Υποθέτουmicroε ότι στο σηmicroείο

(0 1) τοποθετείται ένα αντικείmicroενο ενώ στην αρχή των αξόνων στέκεται ένας πα-

ϱατηρητής που συνδέεται microε το αντικείmicroενο microε microία αλυσίδα microήκους 1 Καθώς ο

παρατηρητής κινείται στον άξονα των x κατά τη ϑετική ϕορά το αντικείmicroενο (κι-

νούmicroενο εκτός του άξονος των y) διαγράφει το δεξιό τmicroήmicroα της καmicroπύλη Ανάλογα

σχηmicroατίζεται και το αριστερό τmicroήmicroα Χαρακτηριστικό της έλκουσας είναι το ότι το

microήκος της εφαπτοmicroένης από το σηmicroείο επαφής microέχρι το σηmicroείο τοmicroής της microε τον

άξονα των x είναι σταθερά 1

24 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Στη ∆ιαφορική Γεωmicroετρία των Επιφανειών αποδεικνύεται ότι η ψευδόσφαιρα έχει

σταθερή αρνητική καmicroπυλότητα Gauss αντίθετα από τη συνήθη σφαίρα του τριδιά-

στατου χώρου που έχει σταθερή ϑετική καmicroπυλότητα (για την έννοια της καmicroπυλό-

τητας παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις microας [7])

Στην περίπτωση αυτού του microοντέλου ϑεωρούmicroε ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας τα σηmicroεία της επιφάνειας της ψευδόσφαιρας ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε τις

λεγόmicroενες γεωδαισιακές γραmicromicroές της ίδιας επιφάνειας Οι τελευταίες είναι το ανά-

λογο των ευθειών του (Ευκλειδείου) επιπέδου για microια επιφάνεια Ακριβέστερα microία

γεωδαισιακή είναι η καmicroπύλη η οποία έχει το microικρότερο microήκος από όλες τις καmicro-

πύλες που συνδέουν δύο σηmicroεία συνεπώς microετρά την απόσταση microεταξύ σηmicroείων της

επιφάνειας Οι γεωδαισιακές της ψευδόσφαιρας είναι καmicroπύλες όπως η ℓ και οι δύο

καmicroπύλες που περνούν από το P (ϐλ το δεύτερο σχήmicroα) Στο ίδιο σχήmicroα ϕαίνεται

ότι από το σηmicroείο P που ϐρίσκεται εκτός της ℓ διέρχονται περισσότερες της microιας

ευθείες που δεν τέmicroνουν την ℓ

΄Οmicroως το microοντέλο αυτό δεν είναι ένα πλήρες microοντέλο της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας

microε την έννοια οτι δεν ισχύουν όλα τα αξιώmicroατα της Πράγmicroατι δεν ίσχύει το αξίωmicroα

2 καθ᾿ όσον microια γεωδαισιακή όπως η ℓ δεν microπορεί να επεκταθεί laquoοmicroαλάraquo πάνω από

τα σηmicroεία επαφής των δύο χοανών Με τον όρο οmicroαλά εννοούmicroε ότι η καmicroπύλη έχει

εφαπτόmicroενες σε όλα τα σηmicroεία της πράγmicroα που δεν συmicroβαίνει στα σηmicroεία επαφής των

χοανών Στα ίδια σηmicroεία η επιφάνεια δεν διαθέτει εφαπτόmicroενα επίπεδα (ϐλ και [7])

Επίσης πρέπει να τονιστεί ότι κύκλοι όπως ο C του σχήmicroατος δεν είναι γεωδαισιακές

όπως microπορεί να ϕανεί εκ πρώτης όψεως

Εποmicroένως η ψευδόσφαιρα δεν αποδεικνύει τη συνέπεια της Υπερβολικής Γεω-

microετρίας Αργότερα ο Hilbert απέδειξε ότι οι επιφάνειες αρνητικής καmicroπυλότητας δεν

microπορούν να δηmicroιουργήσουν microοντέλα της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Σε κάθε περίπτω-

ση όmicroως το microοντέλο του Beltrami ϐοήθησε τη διάδοση της γεωmicroετρίας αυτής και την

αναζήτηση ακριβέστερων microοντέλων

Σχηmicroα 14 Ο δίσκος των KleinshyBeltrami (από το ϐιβλίο [5])

Τα πράγmicroατα έγιναν απλούστερα microε τον δίσκο των KleinshyBeltrami που εmicroφα-

νίζεται στο προηγούmicroενο σχήmicroα Πρόκειται για το πρώτο πραγmicroατικό microοντέλο της

Υπερβολικής Γεωmicroετρίας που πρότειναν οι δύο αναφερόmicroενοι microαθηmicroατικοί (ανεξάρ-

τητα ο ένας από τον άλλον) το 1871

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 25

Εδώ ως σηmicroεία της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερι-

κού του δίσκου και ως ευθείες τις (ανοιχτές) χορδές δηλαδή τις χορδές χωρίς τα

επί της περιφερείας άκρα τους Προφανώς από το σηmicroείο P του σχήmicroατος άγονται

άπειρες παράλληλες προς τη χορδή AB (χωρίς τα σηmicroεία A B) Το microοντέλο αυτό

χρησιmicroοποιείται επίσης για να αποδειχθεί ότι η Υπερβολική Γεωmicroετρία είναι υποσύ-

στηmicroα (Υπογεωmicroετρία) της Προβολικής Γεωmicroετρίας για την οποίαν γίνεται λόγος στο

επόmicroενο κεφάλαιο

Για την επαλήθευση του δευτέρου αξιώmicroατοςεισάγεται ένας κατάλληλος τύπος για

το microήκος ευθείας ϐάσει του οποίου αποδεικνύεται ότι καθώς προχωρούmicroε προς τα

άκρα microιας χορδής το microήκος της απειρίζεται Οmicroοίως ορίζονται microε κατάλληλο τρόπο

και οι γωνίες (οπότε αποδεικνύεται ότι το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

microικρότερο των 180o)

΄Ενα άλλο microοντέλο Υπερβολικής Γεωmicroετρίας αποτελεί ο δίσκος του Poincare

Σχηmicroα 15 Ο δίσκος του Poincare (από το ϐιβλίο [11])

Στην περίπτωση αυτή ως σηmicroεία ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία του εσωτερικού του δίσκου

(όπως και στην προηγούmicroενη περίπτωση) ενώ ως ευθείες ϑεωρούmicroε του κύκλους

που είναι κάθετοι στον κύκλο του δίσκου καθώς και τις διαmicroέτρους του πρώτου ∆υο

κύκλοι λέγονται κάθετοι αν έχουν κάθετες εφαπτόmicroενες στα σηmicroεία τοmicroής τους Η

αξία του microοντέλου αυτού είναι ιστορικά σηmicroαντική γιατί χρησιmicroοποιήθηκε για την

απόδειξη της συνέπειας της Υπερβολικής Γεωmicroετρίας Για microια λεπτοmicroερή παρουσία-

ση του microοντέλου του Poincare και τη επαλήθευση των αξιωmicroάτων της Υπερβολικής

Γεωmicroετρίας σ᾿ αυτό παραπέmicroπουmicroε στο [11 σελ 164ndash170]

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία είναι πιο πολύπλοκη στη ϑεmicroελίωσή της και οφείλεται στον

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως αναφέρεται στη σελιδα

11 το είδος αυτής της γεωmicroετρίας προκύπτει όταν αρνούmicroαστε καθ᾿ ολοκληρίαν

την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών ΄Οmicroως αν κρατήσουmicroε τα αξιώmicroατα 1 2 3 4 της

26 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

Εικονα 9 Bernhard Riemann

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και αντικαταστήσουmicroε απλώς το 5ο αξίωmicroα της microε το

Ελλειπτικό αξίωmicroα ∆ύο ευθείες (γραmicromicromicroές) τέmicroνονται πάντοτε

τότε microέσω του 2ου αξιώmicroατος και microερικών προτάσεων που συνάγονται απ᾿ αυτό

καταλήγουmicroε στην απόδειξη της ύπαρξης παραλλήλων Εποmicroένως για να ϑεmicroελιωθεί

microία γεωmicroετρία χωρίς παράλληλες ϑα πρέπει να διατηρηθούν τα αξιώmicroατα 1 3 4 της

Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας να αντικατασταθεί το 5ο αξίωmicroα microε το ελλειπτικό αξίωmicroα

και να αντικατασταθεί το 2ο αξίωmicroα microε το

Αξίωmicroα 2prime ΄Ενα πεπερασmicroένο ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microπορεί να επεκταθεί σε

ευθεία Η ευθεία αυτή microπορεί να είναι χωρίς όρια όχι όmicroως απαραιτήτως

και απείρου microήκους

Αλλά και micro᾿ αυτήν την αλλαγή microετά από αρκετά ϐήmicroατα διαπιστώνεται και πάλι

ότι υπάρχουν παράλληλες ΄Οπως δείχνει η προσεκτική έρευνα του πράγmicroατος για

την επίτευξη του σκοπού microας ϑα πρέπει να καταργήσουmicroε τη microία από τις δύο επόmicroε-

νες προτάσεις S1 και S2 αφού η ταυτόχρονη ισχύς τους microοιραία οδηγεί στην ύπαρξη

παραλλήλων

S1 Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

S2 ∆ύο (διαφορετικά) σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία

΄Ετσι

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S1 microε ταυ-

τόχρονη διατήρηση της S2 οδηγούν στην απλή ελλειπτική γεωmicroετρία

ενώ

τα αξιώmicroατα 1 2prime 3 4 το ελλειπτικό αξίωmicroα και η άρνηση της S2lowast microε

ταυτόχρονη διατήρηση της S1 οδηγούν στην διπλή ελλειπτική γεωmicroε-

τρία

Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουmicroε microια γεωmicroετρία εντελώς διαφορετική από την

Ευκλείδεια στην οποίαν δεν ισχύει κανένα από τα συmicroπεράσmicroατα της τελευταίας (σε

αντίθεση microε την Υπερβολική Γεωmicroετρία που διασώζει microερικά από αυτά)

lowast δηλαδή η άρνηση της microοναδικότητας αφού ορίζεται ευθεία κατά το αξίωmicroα 1

17 Η Ελλειπτική Γεωmicroετρία 27

Η ακριβής διατύπωση ενός συνεπούς συστήmicroατος αξιωmicroάτων της Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας είναι πιο πολύπλοκη από την παράπανω (για χάρη της απλούστευσης)

ϐασική περιγραφή Για την πληρότητα περιγράφουmicroε δύο microοντέλα Το πρώτο (Σχήmicroα

16) αναφέρεται στην απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

Σχηmicroα 16 Μοντέλο απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Ως σηmicroεία της απλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας παίρνουmicroε όλα τα σηmicroεία της επιφά-

νειας ενός ηmicroισφαιρίου (στον Ευκλειδειο χώρο R3) εφ᾿ οσον αυτά δεν ϐρίσκονται επί

της γραmicromicroής του ισηmicroερινού καθώς και όλα τα Ϲεύγη αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του

ισηmicroερινού ∆ηλαδή ένα Ϲεύγος αντιδιαmicroετρικών σηmicroείων του ισηmicroερινού ϑεωρεί-

ται ένα σηmicroείο της γεωmicroετρίας αυτής Ως ευθείες ϑεωρούmicroε τους microισούς microέγιστους

κύκλους και τον ισηmicroερινό Το microήκος είναι το microήκος microε την Ευκλείδεια έννοια

λαmicroβάνοντας όmicroως υπόψη τις προηγούmicroενες απαιτήσεις Τέλος ως microέτρον γωνίας

παίρνουmicroε αυτό της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

Αντίθετα στο microοντέλο της διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας που απεικονίζεται

στο Σχήmicroα 17 ϑεωρούmicroε όλα τα σηmicroεία ολόκληρης της σφαιρικής επιφάνειας και

(όλους) τους ολόκληρους microέγιστους κύκλους Να σηmicroειωθεί ότι οι microέγιστοι κύκλου

της σφαίρας αποτελούν τις γεωδαισιακές της (ϐλ σχετικώς τα αναφερόmicroενα στην

ψευδόσφαιρα) συνεπώς υλοποιούν την απόσταση microεταξύ δύο σηmicroείων

Σχηmicroα 17 Μοντέλο διπλής Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας (από το ϐιβλίο [10])

Μέσω των προηγουmicroένων microοντέλων microπορούmicroε να διαπιστώσουmicroε εύκολα microερικές

28 Κεφάλαιο 1 Ευκλείδεια και microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία

ιδιότητες της αντίστοιχης Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας Για παράδειγmicroα έχουmicroε

Απλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία ∆ιπλή Ελλειπτική Γεωmicroετρία

bull Μία ευθεία δεν χωρίζει το επίπεδο bull Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται microία microοναδική ευθεία

bull Από δύο (διαφορετικά) σηmicroεία διέρ-

χεται τουλάχιστον microία ευθεία

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε ένα σηmicroείο

bull ∆ύο (διαφορετικές) ευθείες τέmicroνονται

ακριβώς σε δύο σηmicroεία

bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος bull ΄Ολες οι ευθείες έχουν το ίδιο microήκος

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

bull Το άθροισmicroα των γωνιών ενός τριγώ-

νου είναι microεγαλύτερο των δύο ορθών

Τα δύο τελευταία microοντέλα επειδή ανήκουν στη Σφαιρική Γεωmicroετρία microας κάνουν

πολλές ϕορές να χρησιmicroοποιούmicroε τον τελευταίο όρο στη ϑέση της Ελλειπτικής Γεω-

microετρίας Πολλές ιδιότητες των τριγώνων της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ήσαν γνωστές και

πριν την ανάπτυξη της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας και είχαν χρησιmicroοποιηθεί στην κατα-

σκευή (γεωγραφικών) χαρτών ΄Οmicroως η ερmicroηνεία της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας ως ενός

διδιάστατου ελλειπτικού χώρου έγινε από τον Riemann στην περίφηmicroη επί Υφηγεσίᾳ

διάλεξή του (στο Πανεπιστήmicroιο του Gttingen το 1854) microε τίτλο Uber die Hypothesen

welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται

στα ϑεmicroέλια της γεωmicroετρίας)

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα microοντέλων της Υπερβολικής και Ελλειπτικής

Γεωmicroετρίας γίνεται τώρα εντελώς κατανοητή η συνηγορεία του Poincare (σελ 18)

που microε τόση ϑέρmicroη υποστηρίζει την άποψη του Hilbert ότι απροσδιόριστοι όροι

σηmicroείο και ευθεία microπορούν να έχουν οποιαδήποτε ερmicroηνεία (συγκρίνατε πχ τα

σηmicroεία της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας microε τα σηmicroεία της Ελλειπτικής Γεωmicroετρίας τις

ευθείες τις πρώτης microε τις ευθείες του δίσκου του Poincare ή τους microέγιστους κύκλους

της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας κλπ)

Κλείνοντας τα περί microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών ϑα πρέπει να προσθέσουmicroε ότι οι

πιο ϱιζοσπαστικές αντιλήψεις για τη Γεωmicroετρία και την έννοια του χώρου ϐρίσκονται

στην προαναφερόmicroενη διάλεξη επί Υφηγεσίᾳ του Riemann ο οποίος ϕαντάστηκε ένα

χώρο καmicroπυλωmicroένο microε αυθαίρετη διάσταση ο οποίος microόνον τοπικά (δηλ στην πε-

ϱιοχή του κάθε σηmicroείου του) είναι ευκλείδειος ΄Ετσι ο Riemann συνέλαβε την έννοια

της Πολλαπλότητας (manifold) η οποία είχε τεράστια σηmicroασία για τη σύγχρονη ε-

ξέλιξη των microαθηmicroατικών και της ϕυσικής Η Θεωρία της Σχετικότητας του Albert

Einstein (1878ndash1955) ϐρήκε στη γεωmicroετρία του Riemann το αναγκαίο microαθηmicroατικό

υπόβαθρο για τη διατύπωση και την παραπέρα microελέτη της Στη ϑεωρία αυτή microέσω

της ταύτισης της καmicroπυλότητας (που είναι ιδιότητα και microέγεθος γεωmicroετρικό) microε τη

ϐαρύτητα (που είναι εκδήλωση της ύλης και microέγεθος ϕυσικό) καταλήγουmicroε σε microία

γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου Περισσοτερα ϑα αναπτυχθούν στην sect 43

18 Ασκήσεις 29

΄Οπως είναι ϕυσικό η προηγουmicroένη σύντοmicroη περιήγηση σε microερικές από τις ιδέ-

ες της γεωmicroετρίας δεν microπορεί να εξαντλήσει τις πολυάριθmicroες λεπτοmicroέρειες από τις

συναρπαστικές κατακτήσεις που πραγmicroατοποιήθηκαν στη microακραίωνη πορεία της

Συmicroπληρωmicroατικά ο αναγνώστης microπορεί να συmicroβουλευτεί ανάmicroεσα σε microια πλού-

σια ϐιβλιογραφία και τις εξής πηγές J N Cederberg [10] R L Faber [15] Χ

Στράντζαλος [41] (για την αξιωmicroατική microέθοδο και τη ϑεmicroελίωση της Ευκλείδειας και

microη Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας) M Spivak [38] [για microια microετάφραση στα Αγγλικά της

διάλεξης του Riemann ( Επί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια της

γεωmicroετρίας) στην οποίαν περιέχονται οι αντιλήψεις του τελευταίου για τον χώρο και

τη γεωmicroετρία] H Poincare [36] (για ποικίλλες σκέψεις του γύρω από τη γεωmicroετρία

τα microαθηmicroατικά και τη ϕυσική) Επίσης για διάφορα ιστορικά στοιχεία σχετικά microε

την εξέλιξη της γεωmicroετρίας τη Ϲωή και το έργο διαφόρων microαθηmicroατικών παραπέmicro-

πουmicroε και στους E T Bell [8] S Hollingdale [19] L Mlodinov [26] Μ Μπρίκα

[28] R Osserman [32] J Pierpont [35] D J Struik [42] και I M Yaglom [45]

Σηmicroείωση Για τη συγγραφή του κεφαλαίου αυτού χρησιmicroοποιήθηκαν κυρίως οι πη-

γές [8] [10] [11] [32] και [39] όπου παραπέmicroπουmicroε για περισσότερες λεπτοmicroέρειες

και συmicroπληρώσεις

18 Ασκήσεις

1 Να microελετηθεί η προσέγγιση του Saccheri (ϐλ [11 σελ 104ndash107])

2 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της επαλήθευσης των αξιωmicroάτων της Υπερβολική

Γεωmicroετρίας στο microοντέλο του Poincare (ϐλ [11 σελ 164ndash170])

3 Να microελετηθούν οι λεπτοmicroέρειες της Σφαιρικής Γεωmicroετρίας (ϐλ [11 σελ 138ndash139

και 143ndash162])

4 Να αναζητηθεί η ιστορία της έλκουσας (σελ 23) και η παραmicroετρική microορφή της

5 Να αποδειχθεί ισχυρισmicroός της σελ 16 ότι η σύmicroπτωση (Kongruenz congruence)

που ορίζεται από τα αξιώmicroατα της οmicroάδας ΙΙΙ του Hilbert είναι σχέση ισοδυναmicroίας

6 Να περιγραφεί ένα (αριθmicroητικό) microοντέλο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2

Συσχετισmicroένα και

προβολικά επίπεδα

Η αιφνιδία άνοδος της συνθετικής Προβολικής Γεωmicroετρί-

ας κατά τον 17ο αιώνα εmicroφανίζεται τώϱα σαν microία καθυστε-

ϱηmicroένη αναβίωση του ελληνικού πνεύmicroατος ΄Οmicroως ή-

ταν microόνον microε το εκκεντρικό laquoΠρόχειρο Σχέδιοraquo (συντετmicroη-

microένος τίτλος) του Desargues στα 1639 που η συνθετική

Προβολική Γεωmicroετρία αναπτύχθηκε σε νέο και ανεξάρτη-

το κλάδο της γεωmicroετρίας

E T Bell [8 σελ 158]

Μετα απο microια συντοmicroη εισαγωγή στη δηmicroιουργία της Προβολικής Γεωmicroετρίας

στις sectsect21ndash22 του κεφαλαίου παρουσιάζεται η κατά Hilbert αξιωmicroατική ϑεmicroε-

λίωση του συσχετισmicroένου και του προβολικού επιπέδου αντιστοίχως Επισηmicroαίνονται

οι ϐασικές διαφορές τους και συνάγονται τα πρώτα απαραίτητα για την συνέχεια

συmicroπεράσmicroατα

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

31

32 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Η sect23 αναφέρεται στην αρχή του δυϊσmicroού Σύmicroφωνα micro᾿ αυτήν για κάθε συmicroπέρα-

σmicroα που ισχύει στο προβολικό επίπεδο ισχύει και το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

να γίνει η απόδειξη του τελευταίου

Οι στοιχειώδεις απεικονίσεις (sect24) είναι αmicroφιmicroονοσήmicroαντες απεικονίσεις microεταξύ

απλών σχηmicroατισmicroών (όπως σηmicroειοσειρών δεσmicroών ευθειών) και επιτρέπουν τη σύγ-

κριση του πλήθους των στοιχείων των προηγουmicroένων σχηmicroατισmicroών

Στην sect25 συνδέονται τα συσχετισmicroένα microε τα προβολικά επίπεδα Από ένα συ-

σχετισmicroένο επίπεδο microε την προσθήκη των ιδεατών (ή κατ᾿ εκδοχήν) σηmicroείων και της

ιδεατής ευθείας οδηγούmicroαστε σε ένα προβολικό επίπεδο Αντιστρόφως η αφαίρεση

microιας ευθείας του προβολικού επιπέδου οδηγεί σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

Τέλος η sect26 αφιερώνεται στην έννοια του microορφισmicroού microεταξύ προβολικών επιπέ-

δων ΄Ενας microορφισmicroός αποτελείται από ένα Ϲεύγος απεικονίσεων που αντανακλούν

microε κατάλληλο τρόπο τη δοmicroή του προβολικού επιπέδου

20 Εισαγωγή

Η Προβολική Γεωmicroετρία είναι microία microη Ευκλείδεια Γεωmicroετρία αφού σ᾿ αυτήν δεχόmicroα-

στε ότι δεν ορίζεται η έννοια της παραλληλίας

΄Οπως και η Ευκλείδεια Γεωmicroετρία έτσι και η Προβολική προέκυψε από microιαν

ανάγκη Ανάγκη όχι πρακτική αλλά αισθητική Πρόκειται για την προσπάθεια να

αποτυπωθούν τα αντικείmicroενα του τριδιάστατου χώρου στο διδιάστατο Ϲωγραφικό πί-

νακα microε τρόπο που να δηmicroιουργείται η αίσθηση του ϐάθους (προοπτική)

Παρ᾿ όλο που η επίλυση του προηγουmicroένου αισθητικού προβλήmicroατος είχε απα-

σχολήσει τους αρχαίους ΄Ελληνες Ϲωγράφους και αργότερα τους Βυζαντινούς ϑα

λέγαmicroε ότι οι κανόνες της προοπτικής συστηmicroατοποιήθηκαν κυρίως στην περίοδο

της Αναγέννησης από καλλιτέχνες όπως οι Filippo Brunelleschi (1377ndash1446) Paolo

Uccello (1379ndash1475) Leone Battista Alberti (1404ndash1472) Pierro de la Francesca

(1416ndash1492) Sandro Botticelli (1445ndash1510) Leonardo da Vinci (1452ndash1519) Alshy

brecht Durer (1471ndash1528) Michelangelo Buonarroti (1475ndash1564) Raffaello Santi

Sanzio (1483ndash1520) κα Αξίζει σχετικώς να αναφέρουmicroε ότι πολλοί από τους microε-

γάλους Ϲωγράφους και γλύπτες της περιόδου αυτής είχαν σοβαρές γνώσεις microαθηmicroα-

τικών και microηχανικής για τούτο και οι κανόνες της προοπτικής είχαν microαθηmicroατικό

υπόβαθρο και απετέλεσαν τη ϐάση για τη microεταγενέστερη ανάπτυξη της Προβολικής

Γεωmicroετρίας σε αυτοτελή κλάδο των microαθηmicroατικών

Ας δούmicroε microε συντοmicroία τη διαδικασία αποτύπωσης των εικόνων στο Ϲωγραφικό

πίνακα Για ευκολία υποθέτουmicroε ότι ο τελευταίος [που συmicroβολίζεται microε (Π ) στο

επόmicroενο σχήmicroα] είναι διαφανής (γυάλινος) και κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο (E)επάνω στο οποίο στέκεται ο Ϲωγράφος Η εικόνα ενός σηmicroείου P του επιπέδου (E)είναι το σηmicroείο P prime τοmicroή της οπτικής ακτίνας OP (αν O συmicroβολίζει τον οφθαλmicroό του

Ϲωγράφου) microε το επίπεδο του πίνακα (Π ) Παρόmicroοια προσδιορίζεται στον πίνακα και

20 Εισαγωγή 33

η εικόνα Rprime οποιουδήποτε σηmicroείου R του χώρου

Σχηmicroα 21

Εξάλλου από την εmicroπειρία microας γνωρίζουmicroε ότι καθώς τα σηmicroεία P του χώρου

ή του επιπέδου (E) αποmicroακρύνονται από το επίπεδο (Π ) οι αντίστοιχες εικόνες P prime

πλησιάζουν προς την ευθεία AB (ϐλ Σχήmicroα 22) που είναι η τοmicroή του (Π ) microε ένα

νοητό επίπεδο το οποίο διέρχεται από το O και είναι παράλληλο προς το επίπεδο

(E) Η ευθεία AB αποτυπώνει στον πίνακα του Ϲωγράφου τον οπτικό ορίζοντα τα

σηmicroεία του οποίου ϕαίνονται να ϐρίσκονται σε laquoάπειρηraquo απόσταση από τον Ϲωγράφο

(laquoεπ᾿ άπειρονraquo σηmicroεία)

Σχηmicroα 22

Παρόmicroοια δύο ευθείες α και [του (E) ή του χώρου] οι οποίες είναι παράλληλες

34 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

microεταξύ τους αποτυπώνονται στον πίνακα σε δύο ευθείες αprime και prime τεmicroνόmicroενες σε ένα

σηmicroείο της γραmicromicroής του ορίζοντα AB (ϐλτο επόmicroενο σχήmicroα)

Σχηmicroα 23

Εποmicroένως στο Ϲωγραφικό πίνακα εmicroφανίζεται ένα άλλο είδος γεωmicroετρίας στο

οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες (εκτός από αυτές που απεικονίζουν τις

ευθείες τις παράλληλες προς την CD άρα και την AB αλλά κι αυτές ϑεωρούmicroε ότι

τέmicroνονται στο άπειρο πραγmicroα που ϕαινοmicroενικά ϑα συmicroβεί αν κάνουmicroε microια microικρή

στροφή του πίνακα)

Επίσης όπως ϕαίνεται πάλι στο Σχήmicroα 23 ανατρέπονται και οι microετρικές ιδιό-

τητες της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας η απόσταση των παραλλήλων α και ϕυσικά

δεν διατηρείται στις τεmicroνόmicroενες πλέον εικόνες αprime και prime ΄Οσο προχωρούmicroε προς τη

γραmicromicroή του ορίζοντα η απόσταση αυτή microικραίνει για να microηδενιστεί επί της AB

Στην επόmicroενη σελίδα εmicroφανίζονται δύο Ϲωγραφικοί πίνακες Ο πρώτος του Gioshy

vanni Antonio Canal γνωστού και ως Canaletto (1697ndash1768) απεικονίζει το κανάλι

της Βενετίας Είναι ένα τυπικό παράδειγmicroα Ϲωγραφικού πίνακα στον οποίον ακολου-

ϑούνται οι κανόνες της προοπτικής Το ύψος των κτιρίων microειώνεται καθώς η microατιά

κινείται προς τη γραmicromicroή του ορίζοντα ενώ οι πλευρές του καναλιού πλησιάζουν

΄Ετσι δηmicroιουργείται η εντύπωση του ϐάθους και η αίσθηση ότι έχουmicroε να κάνουmicroε

microε ένα τριδιάστατο αντικείmicroενο

Στο δεύτερο πίνακα που οφείλεται στον Andrea Mantegna (1431ndash1506) απει-

κονίζεται ο νεκρός Χριστός Εδώ ο Ϲωγράφος για να προσδώσει microεγαλύτερη δραmicroατι-

κότητα καταργεί (ή αντιστρέφει) την προοπτικότητα ΄Ετσι αντίθετα από τον συνήθη

κανόνα της προοπτικής τα microεγέθη αυξάνουν καθώς κινούmicroεθα προς την κεφαλή

του Ιησού όπου και εστιάζεται ο Θείος πόνος και οι γραmicromicroές συγκλινουν προς τον

ϑεατή

20 Εισαγωγή 35

Εικονα 10 Canaetto Το κανάλι της Βενετίας

Εικονα 11 Mantegna Ο Θρήνος του Χριστού

36 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

΄Ενα άλλο παράδειγmicroα κατασκευής προοπτικών σχηmicroάτων microας παρέχουν οι κω-

νικές τοmicroές που microελετήθηκαν από τον microεγάλο γεωmicroέτρη Απολλώνιο (ϐλ σχετικά

σχόλια και στη σελ 12)

Εικονα 12 Απολλώνιος

Αν στην κορυφή O ενός κώνου ϐρίσκεται ο οφθαλmicroός του Ϲωγράφου ο κύκλος της ϐά-

σης ϑα αποτυπώνεται στον πίνακα (Π ) σαν κύκλος έλλειψη παραβολή ή υπερβολή

ανάλογα microε την κλίση του (Π ) ως προς το επίπεδο της ϐάσης (E) Κι εδώ διαπιστώ-

νεται η microη διατήρησης των αποστάσεων κατά τη διαδικασία της προβολής [δηλαδή

κατά τη διαδικασία της αποτύπωσης της εικόνας των σηmicroείων του κύκλου επί του

(Π )] Στο Σχήmicroα 24 απεικονίζεται για παράδειγmicroα η περίπτωση της έλλειψης

Σχηmicroα 24

Στην sect25 ϑα δούmicroε microε αυστηρό τρόπο πώς από το σύνηθες επίπεδο της Ευκλεί-

δειας Γεωmicroετρίας microε την επισύναψη των laquoεπ᾿ άπειρονraquo (ή laquoκατ᾿ εκδοχήνraquo) σηmicroείων

αναγόmicroαστε στο επίπεδο της Προβολικής Γεωmicroετρίας δηλαδή στο επίπεδο που microα-

ϑηmicroατικοποιεί το Ϲωγραφικό πίνακα

Η πλήρης microαθηmicroατικοποίηση των κανόνων της προοπτικής έγινε microόλις τον 17ο

αιώνα Μετά την κυριαρχία της Ανάλυσης κατά τον 18ο αιώνα άρχισε η αναγέννηση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 37

της γεωmicroετρίας microέσα στην οποίαν πρωτεύουσα ϑέση κατέχει η Προβολική Γεωmicroε-

τρία Η συστηmicroατική ανάπτυξή της είναι ένα από τα πιο σηmicroαντικά microαθηmicroατικά

επιτεύγmicroατα του 19ου αιώνα

Μετά τις πρόδροmicroες εργασίες των Girard Desargues (1591ndash1661) Blaise Pascal

(1623ndash1662) Philippe de la Hire (1640 ndash1718) κα αποφασιστική για την εξέλιξη

της Προβολικής Γεωmicroετρίας ήταν η συmicroβολή των Gaspar Monge (1746ndash1818) Jeanshy

Victor Poncelet (1788ndash1867) Charles Brianchon (1785ndash1864) August Ferdinand

Mobius (1790ndash1868) Jacob Steiner (1796ndash1863) Julius Plucker (1801ndash1868) και

Karl Georg Christian von Staudt (1798ndash1867)

Εικονα 13 G Monge JV Poncelet J Steiner

Στην πορεία περίπου δύο αιώνων κυριάρχησαν δύο ϐασικές απόψεις η συνθετική

και η αναλυτική Η πρώτη ϐασίζεται σε καθαρά γεωmicroετρικές microεθόδους microε σηmicroείον

εκκίνησης τα αξιώmicroατα Η δεύτερη στηρίζεται κυρίως σε αλγεβρικές microεθόδους Μετα-

ξύ των εκπροσώπων των δύο microεθοδολογικών απόψεων σηmicroειώθηκαν πολλές ϕοϱές

σηmicroαντικές αντιδικίες για το κατά πόσον η microία υπερτερεί της άλλης ή κατά πόσον η

γεωmicroετρία ϑα πρέπει να είναι απαλλαγmicroένη από την άλγεβρα

Σε microεταγενέστερη περίοδο ϑεmicroελιώδης υπήρξεν η ιδέα να χαρακτηριστεί microία Γεω-

microετρία από την αντίστοιχη οmicroάδα των microετασχηmicroατισmicroών που διατηρούν αναλλοίωτες

της ϐασικές ιδιότητές της Η συmicroβολή των Sophus Lie (1842ndash1899) Henrie Poishy

ncare (1854ndash1912) και ιδιαιτέρως του Christian Felix Klein (1849ndash1925) κατέχει

πρωτεύουσα ϑέση

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο

Στην παράγραφο αυτή έχοντας ως laquoυπόδειγmicroαraquo τα αξιώmicroατα της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ορίζουmicroε microέσω τριών ϐασικών αξιωmicroάτων το λεγόmicroενο συσχετισmicroένο επίπεδο

Με τη συmicroπλήρωση των αξιωmicroάτων του συσχετισmicroένου επιπέδου έτσι ώστε να εί-

ναι δυνατή η σύγκριση η διάταξη και η microέτρηση οδηγούmicroαστε στη ϑεmicroελίωση ενός

επιπέδου του οποίου παράδειγmicroα είναι το (σύνηθες) επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroε-

τρίας ΄Οmicroως δεν ϑα προχωρήσουmicroε προς την κατεύθυνση αυτή αφού κύριος στόχος

38 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

του κεφαλαίου είναι το προβολικό επίπεδο Η σύντοmicroη microελέτη του συσχετισmicroένου ε-

πίπεδου γίνεται προκειmicroένου να αποσαφηνιστούν οι ϐασικές διαφορές ανάmicroεσα στην

(προ)Ευκλείδεια και την Προβολική Γεωmicroετρία

Ακολουθώντας τις ιδέες του D Hilbert [18] ϑεωρούmicroε

bull Ενα σύνολο P empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε σηmicroεία (points) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε κεφαλαία γράmicromicroατα

A B C P Q Γ∆ X Y

bull Ενα σύνολο L empty του οποίου τα στοιχεία καλούmicroε ευθείες (lines) και τα

συmicroβολίζουmicroε microε microικρά γράmicromicroατα

a b c k ℓ α x y

bull Μία σχέση I microεταξύ των P και L δηλαδή I sub P times L την οποίαν καλούmicroε

σχέση σύmicroπτωσης ή απλώς σύmicroπτωση (incidence)

Από τα προηγούmicroενα προκύπτει ότι τα σηmicroεία και οι ευθείες είναι έννοιες που δεν

ορίζονται Απλώς αποτελούν την αυθαίρετη ονοmicroασία των στοιχείων δύο αντιστοίχων

συνόλων

΄Οπως στη στοιχειώδη γεωmicroετρία τα σηmicroεία και οι ευθείες διαφέρουν κατά τη

ϕύση τους Αυτό το εκφράζουmicroε αυστηρά microε τη σχέση

P cap L = empty

Η σχέση της σύmicroπτωσης microας επιτρέπει για ένα Ϲεύγος (P k) isin P times L να απο-

ϕανθούmicroε ότι (P k) isin I ή (P k) lt I

Ο συmicroβολισmicroός

(P k) isin Iαποδίδεται λεκτικά microε τις (ισοδύναmicroες) εκφράσεις

mdash το σηmicroείο P ανήκει (ή περιέχεται) στην ευθεία k

mdash το P είναι σηmicroείο της k

mdash η ευθεία k διέρχεται από το P

Οι εκφράσεις αυτές προέρχονται από την αντίστοιχη σύmicroπτωση σηmicroείου και ευθείας

της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας και ανταποκρίνονται στη συνήθη εmicroπειρία Φυσικά οι

προηγούmicroενες εκφράσεις ϑα αποδίδονταν καλλίτερα microε τον συmicroβολισmicroό P isin k Αυτό

όmicroως ϑα σήmicroαινε ότι microία ευθεία είναι σύνολο σηmicroείων (σηmicroειοσειρά) γεγονός που δεν

προκύπτει από τους πιο πάνω αφηρηmicroένους ορισmicroούς της ευθείας και του σηmicroείου

Κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται microέσω κατάλληλης ισοmicroορφίας όπως ϑα δείξουmicroε πολύ

αργότερα (ϐλ Θεώρηmicroα 268 για την περίπτωση του προβολικού επιπέδου που

microας ενδιαφέρει εδώ)

Θα χρειαστούmicroε ακόmicroη και την ορολογία του επόmicroενου ορισmicroού

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 39

211 Ορισmicroός Υποθέτουmicroε ότι (PLI) είναι microία τριάδα όπως προηγουmicroένως Τρία

ή και περισσότερα σηmicroεία Pi isin P λέγονται συγγραmicromicroικά (collinear) αν υπάρχει

ευθεία k isin L τέτοια ώστε

(Pi k) isin I i = 1 2 3

Αναλόγως τρείς ή περισσότερες ευθείες ki isin L διέρχονται από το (ή τέmicroνονται ή

συγκλίνουν στο) ίδιο σηmicroείο (concurrent lines) αν υπάρχει P isin P τέτοιο ώστε

(P ki) isin I i = 1 2 3

Τέλος δύο ευθείες k ℓ isin L λέγονται παράλληλες (parallel) οπότε συmicroβολικά γρά-

ϕουmicroε ότι kℓ αν συmicroβαίνει ένα από τα επόmicroενα

mdash είτε k = ℓ

mdash είτε k ℓ και δεν υπάρχει P isin P (P k) isin I ni (P ℓ)

212 Ορισmicroός ΄Ενα συσχετισmicroένο επίπεδο (affine plane) είναι microια τριάδα της

microορφής (PLI) η οποία ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΣΕ 1) Από δύο διαφορετικά σηmicroεία διέρχεται ακριβώς microία ευθεία (ή δύο διαφορετικά

σηmicroεία ορίζουν microία microοναδική ευθεία) Συmicroβολικά το αξίωmicroα διατυπώνεται και microε τη

microορφή

[ forall (P Q) isin P times P P Q ] rArr [ exist k isin L (P k) isin I ni (Q k) ]

(ΣΕ 2) (Ευκλείδειον αίτηmicroα) Από ένα σηmicroείο εκτός ευθείας διέρχεται microία microοναδική

ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα Συmicroβολικά

[ forall (P k) isin P times L (P k) lt I ] rArr [ exist ℓ isin L (P ℓ) isin I kℓ ]

(ΣΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σηmicroεία τα οποία είναι διαφορετικά microεταξύ τους και

microη συγγραmicromicroικά

Το αξίωmicroα (ΣΕ 2) όπως ήδη γνωρίζουmicroε οφείλεται στον J Playfair και αποτελεί

ισοδύναmicroη διατύπωση του 5ου αιτήmicroατος (αξιώmicroατος) του Ευκλείδη Η διατύπωση

του τελευταίου σε αρχαία ελληνικά ϐρίσκεται για παράδειγmicroα στο [39]

213 Παραδείγmicroατα 1) Το επίπεδο της Στοιχειώδους (Ευκλείδειας) Γεωmicroετρίας εί-

ναι συσχετισmicroένο επίπεδο Αποτελείται από τα σηmicroεία και τις ευθείες όπως ορίζονται

στην Ευκλείδεια Γεωmicroετρία και αντιλαmicroβανόmicroαστε στην καθηmicroερινη εmicroπειρία microας

ενώ η I είναι η συνήθης σύmicroπτωση που εδώ εκφράζεται microε τη συνολοθεωρητική

σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo (ανήκει) ∆ηλαδή

(P ℓ) isin I hArr P isin ℓ

2) Αν ϑεωρήσουmicroε τα σύνολα

P = A B C DL =

A B A C A D B C B D C D

40 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και ως I τη σχέση lsquolsquoisinrsquorsquo τότε ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι η τριάδα (PLI) είναι συσχετι-

σmicroένο επίπεδο

Το παράδειγmicroα αυτό δείχνει ότι υπάρχουν συσχετισmicroένα επίπεδα microε πεπερασmicroένο

πλήθος σηmicroείων και ευθειών σε αντίθεση microε το επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωmicroετρίας

3) (Αντιπαράδειγmicroα) Ο δίσκος των KleinshyBeltrami που αναφέραmicroε στη σελιδα 24

214 Ορισmicroός Η microονοσήmicroαντα ορισmicroένη ευθεία k του αξιώmicroατος (ΣΕ 1) λέγεται

ένωση (join) των σηmicroείων P Q και συmicroβολίζεται microε

k = P or Q = Q or P

Η δεύτερη ισότητα είναι προφανής συνέπεια του (ΣΕ 1)

bull Στο υπόλοιπο της παραγράφου ϑεωρούmicroε ότι δίνεται ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

(PLI)

215 Πρόταση Αν A B C είναι τρία διαφορετικά συγγραmicromicroικά σηmicroεία και ℓ η κοινή

τους ευθεία τότε

ℓ = A or B = A or C = B or C

Απόδειξη Από τον Ορισmicroό 211 έχουmicroε τις σχέσεις

(A ℓ) isin I και (B ℓ) isin I

Επειδή A B από το (ΣΕ 1) ορίζεται και η ευθεία A or B και ισχύουν οι σχέσεις

(A A or B) isin I και (B A or B) isin I

Εποmicroένως από το microονοσήmicroαντο του (ΣΕ 1) προκύπτει ότι ℓ = A or B Με τον ίδιο

τρόπο αποδεικνύονται και οι άλλες ισότητες

216 Πρόταση ∆ύο διαφορετικές ευθείες k ℓ έχουν το πολύ ένα κοινό σηmicroείο

δηλαδή ένα σηmicroείο P που ικανοποιεί τις σχέσεις (P k) isin I και (P ℓ) isin I

Απόδειξη Αν οι ευθείες k l είναι παράλληλες (kℓ) τότε (αφού k ℓ) δεν υπάρχει

κανένα κοινό σηmicroείο P άρα αληθεύει το συmicroπέρασmicroα

Αν k mdashℓ τότε οπωσδήποτε υπάρχει κοινό σηmicroείο P (γιατί αλλιώς οι ευθείες ϑα

ήσαν παράλληλες) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι υπάρχει κι ένα άλλο κοινό σηmicroείο Q

δηλαδή (Q k) isin I ni (Q ℓ) Θα δείξουmicroε ότι P = Q Πραγmicroατικά αν ήταν P Q τότε

κατά το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία P or Q Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή τα P Q είναι και

σηmicroεία των k και ℓ πάλι από το (ΣΕ 1) και το microονοσήmicroαντό του προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

πράγmicroα που αντίκειται στην υπόθεση k ℓ Εποmicroένως κατ᾿ ανάγκην καταλήγουmicroε

στη σχέση P = Q

21 Το συσχετισmicroένο επίπεδο 41

217 Ορισmicroός Αν k και ℓ είναι δύο microη παράλληλες διαφορετικές ευθείες τότε το

microονοσήmicroαντα ορισmicroένο κοινό σηmicroείο τους (Πρόταση 216) λέγεται τοmicroή (intersectshy

ion) των k ℓ και συmicroβολίζεται microε

P = k and ℓ = ℓ and k

218 Πρόταση Στο συσχετισmicroένο επίπεδο η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυνα-

microίας

Απόδειξη Η αυτοπαθής και η συmicromicroετρική ιδιότητα είναι άmicroεσες συνέπειες του ο-

ϱισmicroού Για την απόδειξη της microεταβατικής ιδιότητας υποθέτουmicroε ότι kℓ και ℓm

Αν k = m τότε έχουmicroε το συmicroπέρασmicroα Αν k m τότε αναγκαίως km γιατί αν

υπήρχε κοινό σηmicroείο P (δηλ P = k andm) ϑα είχαmicroε ότι

(P k) isin I όπου kℓ

(P m) isin I όπου mℓ

΄Οmicroως (P ℓ) lt I (επειδή ℓk και ℓm) Εποmicroένως από το σηmicroείο P που δεν ϐρί-

σκεται στην ℓ διέρχονται δύο ευθείες παράλληλες προς αυτήν (οι k και m) Το

συmicroπέρασmicroα αυτό αντιβαίνει στο (ΣΕ 2) άρα km

219 Θεώρηmicroα Σε κάθε συσχετισmicroένο επίπεδο υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα δια-

ϕορετικά σηmicroεία τα οποία ανά τρία είναι microη συγγραmicromicroικά

Απόδειξη Το (ΣΕ 3) εξασφαλίζει ότι υπάρχουν τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C που

δεν είναι συγγραmicromicroικά άρα ορίζονται οι ευθείες A orB και B orC Επειδή τα σηmicroεία

είναι microη συγγραmicromicroικά ισχύει ότι (C AorB) lt I Εποmicroένως κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microοναδική ευθεία ℓ isin L microε (C ℓ) isin I και ℓA or B Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και microιά

m isin L microε (A m) isin I και mB or C

Σχηmicroα 25

Παρατηρούmicroε ότι ℓ m Πραγmicroατικά αν ήταν ℓ = m τότε το A (ως σηmicroείο της

m) ϑα ανήκε και στην ℓ πράγmicroα που είναι άτοπο αφού ℓA or B Επίσης ℓ mdashm

Πραγmicroατικά αν ήταν ℓm επειδή και ℓA or B ϑα είχαmicroε ότι mA or B λόγω της

συmicromicroετρικής και microεταβατικής ιδιότητας της παραλληλίας Αυτό είναι άτοπο επειδή

το A είναι κοινό σηmicroείο των m και A or B Συνεπώς αφού οι ℓ και m είναι διάφορες

42 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

και microη παράλληλες ορίζεται το microοναδικό σηmicroείο D = ℓ and m (ϐλ Πρόταση 216

και Ορισmicroό 217) Στο επόmicroενο Σχήmicroα 25 απεικονίζεται για ευκολία η παραπάνω

διαδικασία στο (συσχετισmicroένο) επίπεδο της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

Για να ολοκληρώσουmicroε την απόδειξη ϑα πρέπει να δείξουmicroε ότι το D είναι διαφο-

ϱετικό από τα A B C και δεν είναι συγγραmicromicroικό microε οποιαδήποτε δύο από αυτά Για

το πρώτο συmicroπέρασmicroα αρκεί να δείξουmicroε ότι D A (παρόmicroοια εργαζόmicroαστε και για

τα B C) Αυτό αληθεύει γιατί αν ήταν D = A τότε οι παράλληλες και διαφορετικές

ευθείες A or B και ℓ ϑα είχαν κοινό το σηmicroείο A = D (άτοπο)

Τέλος ας υποθέσουmicroε ότι το D είναι συγγραmicromicroικό microε δύο άλλα σηmicroεία ας πούmicroε

τα A και B Τότε από την Πρόταση 215 έχουmicroε ότι η κοινή ευθεία των A B D

είναι ακριβώς η A or B ΄Αρα το D ϑα ήταν κοινό σηmicroείο των ℓ και A or B (άτοπο

όπως προηγουmicroένως) Παρόmicroοια δείχνουmicroε ότι το D δεν είναι συγγραmicromicroικό και microε

οποιαδήποτε άλλα δύο σηmicroεία οπότε η απόδειξη είναι πλήρης

2110 Παρατηρήσεις 1) Από το Θεώρηmicroα 219 προκύπτει ότι το microικρότερο πλή-

ϑος σηmicroείων ενός συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4 Αυτό σηmicroαίνει ότι

η ελαχίστη ισχύς του συσχετισmicroένου επιπέδου είναι 4

και δικαιολογεί την επιλογή των τεσσάρων σηmicroείων στο Παράδειγmicroα 213 (2)

2) Μία άλλη ϑεmicroελίωση του συσχετισmicroένου επιπέδου microε αλγεβρική γλώσσα γί-

νεται στη Γραmicromicroική (ή Συσχετισmicroένη) Γεωmicroετρία (ϐλ [3]) Εκεί ξεκινώντας από άλλα

αξιώmicroατα (αλγεβρικής υφής) αποδεικνύονται ως συmicroπεράσmicroατα πλέον τα αξιώmicroατα

της προηγούmicroενης ϑεmicroελίωσης

2111 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθούν οι ισχυρισmicroοί των Παραδειγmicroάτων 213 (1) και 213 (2)

2 Κάθε ευθεία του συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει τουλάχιστον δύο διαφορετικά

σηmicroεία

3 Από κάθε σηmicroείο του συσχετισmicroένου επιπέδου διέρχονται τουλάχιστον τρεις δια-

ϕορετικές ευθείες

4 ∆ίνονται οι διαφορετικές ευθείες k ℓ m ενός συσχετισmicroένου επιπέδου microε kℓ Αν

η m τέmicroνει τη microία από τις δύο παράλληλες ευθείες τότε ϑα τέmicroνει και την άλλη

22 Το προβολικό επίπεδο

΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο ϑεωρούmicroε microία τριάδα (PLI) όπου P και Lείναι σύνολα διάφορα του κενού τέτοια ώστε P cap L = empty και I sub P times L είναι microία

σχέση σύmicroπτωσης Τα στοιχεία των P και L ονοmicroάζουmicroε όπως πριν σηmicroεία και

ευθείες αντιστοίχως Η έννοια της συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων και της σύγκλισης

ευθειών είναι όπως στον Ορισmicroό 211

22 Το προβολικό επίπεδο 43

221 Ορισmicroός ΄Ενα προβολικό επίπεδο (projective plane) είναι microία τριάδα

(PLI) που ικανοποιεί τα επόmicroενα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) Για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q υπάρχει ακριβώς microία ευθεία ℓ isin L

τέτοια ώστε (P ℓ) isin I ni (Q ℓ)

(ΠΕ 2) Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ υπάρχει σηmicroείο P isin P τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (P ℓ)

(ΠΕ 3) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σηmicroεία διαφορετικά microεταξύ τους τα οποία είναι

ανά τρία microη συγγραmicromicroικά

222 Παρατηρήσεις 1) Από το (ΠΕ 1) ϐλέπουmicroε ότι υπάρχει microία microοναδική ευθεία

η οποία διέρχεται (ή περιέχει ή ορίζεται) από δύο διαφορετικά σηmicroεία Εποmicroένως

το (ΠΕ 1) συmicroπίπτει microε το (ΣΕ 1) Αντιθέτως από το (ΠΕ 2) προκύπτει ότι δύο

οποιεσδήποτε διαφορετικές ευθείες έχουν πάντοτε κοινό σηmicroείο Εποmicroένως

Στο προβολικό επίπεδο δεν υπάρχει έννοια παραλληλίας

2) ΄Οπως και στο συσχετισmicroένο επίπεδο τη microονοσήmicroατα ορισmicroένη ευθεία ℓ του (ΠΕ

1) ονοmicroάζουmicroε ένωση των P Q και τη συmicroβολίζουmicroε microε

ℓ = P or Q = Q or P

3) Επίσης όπως ϑα δείξουmicroε στην παρακάτω Πρόταση 224 και το κοινό σηmicroείο P

του (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο Το καλούmicroε τοmicroή των k ℓ και το συmicroβολί-

Ϲουmicroε microε

P = k and ℓ = ℓ and k

223 Παραδείγmicroατα 1) Θεωρούmicroε τα σύνολα

P = Ai |i = 1 7L =

ℓ1 = A1 A2 A3 ℓ2 = A1 A4 A6 ℓ3 = A1 A5 A7

ℓ4 = A2 A4 A7 ℓ5 = A2 A5 A6 ℓ6 = A3 A4 A5 ℓ7 = A3 A6 A7

και τη σύmicroπτωση I που ορίζει η συνολοθεωρητική σχέση lsquolsquoisinrsquorsquoΕίναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η τριάδα (PL isin) είναι προβολικό ε-

πίπεδο Το επίπεδο αυτό λέγεται και προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων και

αποτελεί παράδειγmicroα προβολικού επιπέδου microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων (και

ευθειών)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε αρκετά πιο κάτω [ϐλ Παρατήρηση 249 (2)] η ελαχίστη ισχύς

του προβολικού επιπέδου είναι 7 Αυτό δικαιολογεί και την επιλογή των 7 σηmicroείων

του προηγουmicroένου παραδείγmicroατος

44 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Μερικούς τρόπους απεικόνισης (στο ευκλείδειο επίπεδο ) των σηmicroείων και των

ευθειών του παραδείγmicroατος παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήmicroατα

Σχηmicroα 26

Ας σηmicroειωθεί ότι οι ευθείες των σχηmicroάτων (συνεχείς και διακεκοmicromicroένες) δεν έχουν

καmicroιά σχέση microε τις συνήθεις ευθείες του ευκλειδείου επιπέδου αλλά σχεδιάζονται

για να υποδηλώσουν τις αντίστοιχες τριάδες σηmicroείων οι οποίες ορίζουν τις ευθείες

του παραπάνω προβολικού επιπέδου

Η σύmicroπτωση των σηmicroείων και ευθειών του ιδίου παραδείγmicroατος περιγράφεται

και στον εποmicroενο πίνακα του οποίου η ερmicroηνεία είναι προφανής Τέτοιοι πίνακες

είναι ιδιαιτέρως χρήσιmicroοι όταν ϑέλουmicroε να περιγράψουmicroε τη σχέση της σύmicroπτωσης

προβολικών επιπέδων microε σχετικώς microεγάλο (αλλά πεπερασmicroένο) πλήθος σηmicroείων και

ευθειών

ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ℓ5 ℓ6 ℓ7

A1 bull bull bullA2 bull bull bullA3 bull bull bullA4 bull bull bullA5 bull bull bullA6 bull bull bullA7 bull bull bull

2) Στο διανυσmicroατικό (γραmicromicroικό) χώρο R3 ορίζουmicroε τα σύνολα

P =P equiv U le R3 dimU = 1

L =ℓ equiv V le R3 dimV = 2

όπου U le R3 σηmicroαίνει ότι ο U είναι γραmicromicroικός υπόχωρος του R3 (παρόmicroοια και για

τον V le R3) Επίσης ορίζουmicroε τη σχέση σύmicroπτωσης I sub P times L microε

(P ℓ) isin I hArr U le V αν P = U και ℓ = V

22 Το προβολικό επίπεδο 45

Είναι ϕανερόν ότι τα σηmicroεία του P2 είναι ακριβώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρ-

χονται από το 0 equiv (0 0 0) ενώ οι ευθείες του P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3

που διέρχονται επίσης από το 0

Σχηmicroα 27

Ελέγχουmicroε αmicroέσως ότι το (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο που ονοmicroάζεται

πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο διάστασης 2 και συmicroβολίζεται microε P2

bull Τα δύο προηγούmicroενα παραδείγmicroατα αποτελούν microοντέλα προβολικών επιπέδων (το

πρώτο microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων και ευθειών το δεύτερο microε άπειρο πλήθος)

Εδώ οι απροσδιόριστοι όροι (σηmicroεία και ευθείες) αποκτούν συγκεκριmicroένη υπόστα-

ση (δυάδεςτριάδες στοιχείων γραmicromicroικοί υπόχωροι του R3 κλπ) microέσω της οποίας

επαληθεύουmicroε την ισχύ των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3)

Ας δούmicroε τώρα microερικές άmicroεσες συνέπειες των αξιωmicroάτων ενός προβολικού επιπέ-

δου (PLI)

224 Πρόταση Το σηmicroείο P του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο

Απόδειξη Ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει κι ένα άλλο σηmicroείο τέτοιο ώστε Q P microε

(Q k) isin I ni (Q ℓ) Τότε επειδή τα P Q είναι σηmicroεία των k και ℓ από το (ΠΕ 1)

προκύπτει ότι

k = P or Q = ℓ

που είναι άτοπο επειδή έχουmicroε υποθέσει ότι k ℓ

225 Πρόταση Αν A B C είναι συγγραmicroικά σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου

διαφορετικά microεταξύ τους και ℓ η κοινή ευθεία που τα περιέχει τότε

ℓ = A or B = B or C = A or C

Απόδειξη Η ίδια microε την απόδειξη της Πρότασης 215

226 Πρόταση Κάθε ευθεία ενός προβολικού επιπέδου περιέχει τουλάχιστον τρία

διαφορετικά σηmicroεία

46 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη ΄Εστω ℓ microία οποιαδήποτε ευθεία του προβολικού επιπέδου Σύmicroφωνα microε

το (ΠΕ 3) υπάρχουν τέσσερα σηmicroεία που είναι microεταξύ τους διαφορετικά και ανά τρία

microη συγγραmicromicroικά Ας τα καλέσουmicroε A B C D και ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι κανένα

απ᾿ αυτά δεν ανήκει στην ℓ Ορίζουmicroε τις ευθείες A or B A or C και A or D οι οποίες

είναι microεταξύ τους διαφορετικές [ αν δύο απ᾿ αυτές συνέπιπταν ϑα είχαmicroε ότι τρία

από τα παραπάνω σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)] Επίσης οι ίδιες ευθείες

είναι διαφορετικές από την ℓ [ αν ήταν πχ A or B = ℓ τότε (A ℓ) isin I (άτοπο)]

Σχηmicroα 28

Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα τα σηmicroεία (της ℓ )

X = ℓ and (A or B) Y = ℓ and (A or C) Z = ℓ and (A or D)

Παρατηρούmicroε ότι X Y Z X Πραγmicroατικά αν ήταν πχ X = Y τότε

A or B = A or X = A or Y = A or C

(ϐλ Πρόταση 225) που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι A or B A or C

Αν υποθέσουmicroε ότι ένα ή δύο σηmicroεία από τα A B C D ανήκουν στην ℓ τότε αρκεί

να εξασφαλίσουmicroε αντιστοίχως την ύπαρξη ακόmicroη δύο ή ενός σηmicroείων ακολουθώντας

παρόmicroοια διαδικασία

227 Πρόταση Κάθε προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον τέσσερις διαφορετικές

ευθείες οι οποίες ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο

Απόδειξη Θεωρούmicroε τα τέσσερα σηmicroεία A B C D του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) Ορίζουmicroε

τις ευθείες A or B B or C C or D και D or A Βλέπουmicroε αmicroέσως ότι είναι διαφορετικές

microεταξύ τους [ αλλιώς ϑα ϐρίσκαmicroε τριάδες συγγραmicromicroικών σηmicroείων από τα A B C

D (άτοπο)]

Οι προηγούmicroενες ευθείες δεν διέρχονται ανά τρεις από το ίδιο σηmicroείο Πραγ-

microατικά ας υποθέσουmicroε για παράδειγmicroα ότι υπάρχει σηmicroείο O isin P από το οποίο

διέρχονται οι A or B B or C και C or D Τότε λόγω του microονοσήmicroαντου της τοmicroής των

διαφορετικών ευθειών A or B και B or C ϑα ήταν B = O Αναλόγως από τις B or C

και C or D ϑα ήταν και C = O οπότε ϑα καταλήγαmicroε στο άτοπο συmicroπέρασmicroα ότι

B = O = C

22 Το προβολικό επίπεδο 47

228 Πρόταση Από κάθε σηmicroείο O ενός προβολικού επιπέδου διέρχονται τουλάχι-

στον τρεις διαφορετικές ευθείες

Απόδειξη Σύmicroφωνα microε την προηγούmicroενη πρόταση υπάρχουν τέσσερις ευθείες k ℓ

m n οι οποίες είναι διάφορες microεταξύ τους και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο

σηmicroείο

Σχηmicroα 29

Ας υποθέσουmicroε πρώτα ότι καmicroία απ᾿ αυτές δεν διέρχεται από το O Τότε ορίζονται

τα σηmicroεία P = kand ℓ Q = kandm και R = kandn (ϐλ Σχήmicroα 29) που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους [ αν δύο απ᾿ αυτά συνέπιπταν τότε τρεις από τις παραπάνω ευθείες ϑα

διέρχονταν από το ίδιο σηmicroείο (άτοπο)]

Επίσης τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν συmicroπίπτουν microε το O [ αν για παράδειγmicroα

O = P τότε το O ϑα ανήκε στην k (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζονται microονοσήmicroαντα οι

ευθείες

x = O or P y = O or Q z = O or R

Παρατηρούmicroε ότι x y z x αν πχ ήταν x = y τότε

P = k and x = k and y = Q

που είναι άτοπο αφού δείξαmicroε ότι P Q

Αν τώρα υποθέσουmicroε ότι από το O διέρχονται microία ή δύο από τις ευθείες k ℓ m

n τότε αρκεί να εξασφαλίσουmicroε ότι διέρχονται ακόmicroη δύο ή microία ευθείες αντιστοίχως

εφαρmicroόζοντας ακριβώς την προηγούmicroενη διαδικασία

229 Ασκήσεις

1 ΄Εστω ότι microία τριάδα (PLI) ικανοποιεί τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1prime) Αν P Q isin P microε P Q τότε υπάρχει ευθεία k isin L τέτοια ώστε (P k) isin I ni(Q k)

48 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

(ΠΕ 2prime) Αν k ℓ isin L microε k ℓ τότε υπάρχει ακριβώς ένα σηmicroείο P isin I τέτοιο ώστε

(P k) isin I ni (Q k)(ΠΕ 3prime) = (ΠΕ 3)

α) Να αποδειχθεί ότι η k του (ΠΕ 1prime) είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη

ϐ) Τί συmicroπέρασmicroα προκύπτει για την τριάδα (PLI)

2 Σε κάθε προβολικό επίπεδο υπάρχει ευθεία ℓ και σηmicroείο P microε την ιδιότητα

(P ℓ) lt I Ισχύει το ίδιο συmicroπέρασmicroα και σ᾿ ένα συσχετισmicroένο επίπεδο

3 ∆ίνεται microία ευθεία ℓ ενός προβολικού επιπέδου Τότε υπάρχει σηmicroείο P microε (P ℓ) ltI Αναλόγως αν δίνεται το P υπάρχει ευθεία ℓ microε την ίδια ιδιότητα όπως προηγου-

microένως

4 Αν k και ℓ είναι δύο διαφορετικές ευθείες ενός προβολικού επιπέδου τότε υπάρ-

χει ένα σηmicroείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε καmicroία από τις ευθείες αυτές Να

αποδειχθεί το ανάλογο του συσχετισmicroένου επιπέδου

5 ΄Εστω S2=

(x y z) isin R3 x2

+y2+z2= 1

η microοναδιαία σφαίρα του R3 microε κέντρο

το 0 equiv (0 0 0) Για κάθε a = (x y z) isin S2 συmicroβολίζουmicroε microε minusa = (minusxminusyminusz) το

αντιδιαmicroετρικό του σηmicroείο Θεωρούmicroε τα σύνολα

P =P = (aminusa)

∣∣∣ a isin S2

L =S1

∣∣∣ S1 microέγιστος κύκλος της S2

Αν I είναι η σχέση σύmicroπτωσης που ορίζεται microε την ισοδυναmicroία

(P S1) isin I hArr (aminusa) isin S1 αν P = (aminusa)

τότε η τριάδα (PLI) αποτελεί προβολικό επίπεδο Πώς συνδέεται το τελευταίο microε

το P2

23 Η αρχή του δυϊσmicroού

Συγκρίνοντας τις Προτάσεις 226 και 228 ϐλέπουmicroε ότι η microία προκύπτει από την

άλλη αν εναλλάξουmicroε τις έννοιες σηmicroείο ευθεία ανήκει (περιέχεται) αντιστοίχως microε

τις έννοιες ευθεία σηmicroείο διέρχεται

Σηmicroείο Ευθεία ανήκει (περιέχεται)

Ευθεία

6

Σηmicroείο

6

διέρχεται

6

Σχηmicroα 210

23 Η αρχή του δυϊσmicroού 49

Το ίδιο διαπιστώνουmicroε συγκρίνοντας και τις αποδείξεις των ιδίων προτάσεων καθώς

επίσης και το αξίωmicroα (ΠΕ 3) microε την Πρόταση 227

Στις περιπτώσεις αυτές λέmicroε ότι η Πρόταση 228 είναι δυϊκή (dual) της 226

και αντιστρόφως Οmicroοίως και η Πρόταση 227 είναι ένα συmicroπέρασmicroα δυϊκό του

αξιώmicroατος (ΠΕ 3)

΄Οπως ϑα δείξουmicroε στη συνέχεια στην Προβολική Γεωmicroετρία ισχύει η αρχή του

δυϊσmicroού (principle of duality) σύmicroφωνα microε την οποία για κάθε συmicroπέρασmicroα που ι-

σχύει (αληθεύει) στο προβολικό επίπεδο ισχύει ταυτόχρονα και το δυϊκό του δηλαδή

αυτό που προκύπτει microε την παραπάνω εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Την πατρότητα της αρχής αυτής διεκδίκησαν οι γεωmicroέτρες J V Poncelet (1788ndash

1867) και J D Gergonne (1771ndash1859) πράγmicroα που τους οδήγησε σε microία microα-

κροχρόνια και ϑλιβερή διαmicroάχη ίσως χειρότερη από αυτήν microεταξύ των I Newton

(1642ndash1727) και G W Leibniz (1646ndash11716) για την πατρότητα του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού

Για την απόδειξη της αρχής του δυϊσmicroού ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PL

I) και την τριάδα

(PlowastLlowastIlowast) όπου Plowast = L Llowast = P

και η Ilowast ορίζεται ως εξής για ένα (Plowast ℓlowast) isin Plowast times Llowast ϑα είναι

(Plowast ℓlowast) isin Ilowast hArr (Q k) isin I

αν Plowast = k και ℓlowast = Q microε (Q k) isin P times L

∆ηλαδή η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) έχει προκύψει από το αρχικό προβολικό επίπεδο

microε την εναλλαγή που περιγράψαmicroε πιο πάνω

231 Πρόταση Η τριάδα (PlowastLlowastIlowast) αποτελεί προβολικό επίπεδο το οποίον καλεί-

ται δυϊκό του (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ισχύουν τα αξιώmicroατα (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Για την απόδειξη

του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε τα Plowast Qlowast isin Plowast microε Plowast Qlowast Εποmicroένως ϑα υπάρχουν ευθείες

k m isin L microε k m και τέτοιες ώστε Plowast = k και Qlowast = m ΄Αρα κατά το (ΠΕ 2) και την

Πρόταση 224 [για το (PL I)] ορίζεται microονοσήmicroαντα το σηmicroείο k and m Θέτοντας

ℓlowast = k andm παρατηρούmicroε ότι

(k andm k) isin I hArr (Plowast ℓlowast) isin Ilowast(k andm m) isin I hArr (Qlowast ℓlowast) isin Ilowast

Εποmicroένως η ℓlowast είναι ευθεία του Llowast που περιέχει τα Plowast και Qlowast Η ℓlowast είναι και η

microοναδική microε αυτήν την ιδιότητα γιατί αν υπήρχε και microια xlowast = X isin Llowast microε την ίδια

ιδιότητα τότε

(Plowast xlowast) isin Ilowast hArr (X k) isin I

(Qlowast xlowast) isin Ilowast hArr (X m) isin I

50 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

οπότε ϑα είχαmicroε ότι X = k andm (εφ᾿ όσον k m) δηλαδή xlowast = ℓlowast

Για το (ΠΕ 2) αναλόγως προς τα προηγούmicroενα ϑεωρούmicroε τις διαφορετικές ευ-

ϑείες klowast ℓlowast isin Llowast Μπορούmicroε να ϑέσουmicroε klowast = Q και ℓlowast = R (microε Q R) Εποmicroένως

κατά το (ΠΕ 1) για το επίπεδο (PLI) ορίζεται η Q or R isin L οπότε το Plowast = Q or R

είναι το (microοναδικό) κοινό σηmicroείο των klowast ℓlowast

Τέλος για το (ΠΕ 3) παρατηρούmicroε τα εξής Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 227

υπάρχουν ευθείες ki isin L (i = 1 4) οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους και

ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο Εποmicroένως ϑέτοντας Plowasti = ki ϐρίσκουmicroε

τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία του Plowast Τα σηmicroεία αυτά δεν ϐρίσκονται ανά τρία σε

κοινή ευθεία Πραγmicroατικά αν υπήρχε ευθεία ℓlowast isin Llowast που να περιείχε τρία εξ αυτών

τότε οι αντίστοιχες ευθείες ki ϑα διέρχονταν από ένα κοινό σηmicroείο του P αυτό που

ορίζει η ℓlowast (άτοπο) ΄Αρα ισχύει και το (ΠΕ 3)

Από την προηγούmicroενη απόδειξη γίνεται ϕανερόν ότι τα αξιώmicroατα του προβολι-

κού επιπέδου (PlowastLlowastIlowast) είναι δυϊκές εκφράσεις αξιωmicroάτων του αρχικού επιπέδου

(PLI) Ακριβέστερα αν (ΠΕlowast N) (N = 1 2 3) συmicroβολίζει άξίωmicroα του δυϊκού προβο-

λικού επιπέδου και (ΠΕ N)lowast το δυϊκό του αξιώmicroατος (ΠΕ N) τότε έχουmicroε την επόmicroενη

αντιστοιχία

(ΠΕlowast 1) = (ΠΕ 2)lowast (ΠΕlowast 2) = (ΠΕ 1)lowast (ΠΕlowast 3) = ΠΡΟΤΑΣΗ 227 = (ΠΕ 3)lowast

232 Λήmicromicroα Υποθέτουmicroε ότι S είναι microία πρόταση που ισχύει σε ένα προβολικό επί-

πεδο (PLI) Τότε η δυϊκή πρόταση Slowast ισχύει στο δυϊκό επίπεδο (PlowastLlowastIlowast)

Απόδειξη Αφού η S ισχύει στο (PLI) σηmicroαίνει ότι προκύπτει από τα αξιώmicroατα

(ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) Η απόδειξη της δυϊκής πρότασης Slowast γίνεται αν εφαρmicroόσουmicroε την

εναλλαγή του Σχήmicroατος 210 στην απόδειξη της S άρα προκύπτει από τα δυϊκά των

αξιωmicroάτων του (PLI) Εποmicroένως η απόδειξη της Slowast τελικά προκύπτει από τα

αξιώmicroατα του (PlowastLlowastIlowast) άρα η Slowast αληθεύει στο (PlowastLlowastIlowast)

Μπορούmicroε τώρα να δείξουmicroε το επόmicroενο ϐασικό

233 Θεώρηmicroα (Αρχή του δυϊσmicroού) Στην κατηγορία των προβολικών επιπέδων

ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού ∆ηλαδή αν S είναι microία πρόταση η οποία αληθεύει σε

κάθε προβολικό επίπεδο τότε αληθεύει και δυϊκή της πρόταση Slowast επίσης σε κάθε

προβολικό επίπεδο

Απόδειξη Αφού η S αληθεύει σε κάθε προβολικό επίπεδο (PLI) (δηλαδή είναι

microια γενική ιδιότητα των προβολικών επιπέδων) ϑα αληθεύει και σε κάθε δυϊκό επί-

πεδο (PlowastLlowastIlowast) Εποmicroένως κατά το Λήmicromicroα 232 η Slowast αληθεύει και στο δυϊκό του

τελευταίου επιπέδου δηλαδή στο((Plowast)lowast (Llowast)lowast (Ilowast)lowast) Επειδή (Plowast)lowast = P (Llowast)lowast = L

και η (Ilowast)lowast ταυτίζεται microε την I καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

΄Οπως προκύπτει από τα προηγούmicroενα η αρχή του δυϊσmicroού παρέχει microία σηmicroαν-

τική διευκόλυνση στη microελέτη της Προβολικής Γεωmicroετρίας αφού microαζί microε κάθε συmicro-

πέρασmicroα (που αποδεικνύουmicroε) ισχύει και ένα νέο το δυϊκό του χωρίς να χρειάζεται

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 51

να το αποδείξουmicroε ΄Αλλωστε και η διαδικασία της απόδειξης του δυϊκού συmicroπερά-

σmicroατος είναι δυϊκή της απόδειξης του αρχικού συmicroπεράσmicroατος δηλαδή προκύπτει

από την αρχική απόδειξη microε τη γνωστή εναλλαγή του Σχήmicroατος 210

Επίσης η ίδια αρχή δείχνει ότι οι (microη οριζόmicroενες) έννοιες της ευθείας και του

σηmicroείου έχουν ανάλογες (συmicromicroετρικές) ιδιότητες ενώ επιβεβαιώνεται ndashακόmicroη microια

ϕοράndash η αυθαιρεσία της ονοmicroατολογίας ΄Ετσι κάποια στοιχεία που αποτελούν τα

σηmicroεία ενός επιπέδου microπορούν να είναι ευθείες ενός άλλου κοκ

234 Ασκήσεις

1 Ποιο είναι το δυϊκό του προβολικού επιπέδου των 7 σηmicroείων

2 Να δικαιολογηθεί γιατί δεν ισχύει η αρχή του δυϊσmicroού στην κατηγορία των συ-

σχετισmicroένων επιπέδων

3 Είναι το σύστηmicroα των αξιωmicroάτων (ΠΕ 1) minus (ΠΕ 3) αυτοδυϊκό ∆ηλαδή αν πά-

ϱουmicroε τα δυϊκά τους τότε παραmicroένουmicroε εντός του συστήmicroατος Με ποια προσθήκη

microπορούmicroε να δηmicroιουργήσουmicroε ένα αυτοδυϊκό σύνολο αξιωmicroάτων και προτάσεων

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις

Στην παράγραφο αυτή ϑα εξετάσουmicroε microερικές απλές απεικονίσεις microε τις οποίες

συγκρίνουmicroε το πλήθος των σηmicroείων που ανήκουν σε διάφορες ευθείες το πλήθος

των ευθειών που διέρχονται από διάφορα σηmicroεία ενός προβολικού επιπέδου και άλλα

σχετικά ερωτήmicroατα

bull Θεωρούmicroε πάντοτε ένα προβολικό επίπεδο (PLI)

241 Ορισmicroός Αν m είναι ευθεία του προβολικού επιπέδου καλούmicroε σηmicroειοσειρά

ή δέσmicroη σηmicroείων (pencil of points) της m το σύνολο

J(m) = P isin P (P m) isin I

Η ευθεία m καλείται επίσης άξονας (axis) της σηmicroειοσειράς

Αντιστοίχως αν O είναι σηmicroείο του προβολικού επιπέδου καλούmicroε δέσmicroη ευ-

ϑειών (pencil of lines) του O (ή από το O) το σύνολο

J(O) = ℓ isin L (O ℓ) isin I

Το O καλείται και κέντρο (center) της δέσmicroης

Προφανώς οι δύο έννοιες είναι δυϊκές microεταξύ τους Στην περίπτωση της Στοι-

χειώδους Γεωmicroετρίας η σηmicroειοσειρά της m αποτελείται από όλα τα σηmicroεία της ενώ

τη δέσmicroη του O αποτελούν όλες οι ευθείες που διέρχονται από το O Ο Ορισmicroός

241 γενικεύει την κατάσταση της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας στο δικό microας πλαίσιο

στο οποίον οι έννοιες laquoανήκειraquo laquoδιέρχεταιraquo κλπ ορίζονται microέσω της σύmicroπτωσης I και

οι ευθείες δεν είναι κατ᾿ ανάγκην σηmicroειοσειρές

52 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

242 Πρόταση Αν k ℓ isin L τότε ισχύει η ισοδυναmicroία

[ k = ℓ ] hArr [ J(k) = J(ℓ) ]

Απόδειξη Αν k = ℓ τότε η ισότητα των δύο σηmicroειοσειρών είναι προφανής Αντι-

στρόφως ας υποθέσουmicroε ότι J(k) = J(ℓ) Λόγω της Πρότασης 226 η k διαθέτει

τουλάχιστον τρία διαφορετικά σηmicroεία A B C οπότε k = A or B Επίσης από τον

Ορισmicroό 241 προκύπτει ότι A B C isin J(k) = J(ℓ) άρα και ℓ = A or B Εποmicroένως

k = A or B = ℓ

Για να συγκρίνουmicroε τις σηmicroειοσειρές και τις δέσmicroες ευθειών χρειαζόmicroαστε και τον

επόmicroενο ορισmicroό

243 Ορισmicroός ΄Εστω O isin P και m isin L microε (O m) lt I (ισοδύναmicroα O lt J(m))Ονοmicroάζουmicroε στοιχειώδη απεικόνιση (elementary correpondence) από τη δέσmicroη

J(O) στη σηmicroειοσειρά J(m) την απεικόνιση

δ J(O) minusrarr J(m) ℓ 7rarr ℓ andm

Σχηmicroα 211

Αν έχουmicroε πολλές στοιχειώδεις απεικονίσεις γράφουmicroε και

(241) δ = δOm

προκειmicroένου να διευκρινίσουmicroε ότι η δ απεικονίζει τη δέσmicroη του σηmicroείου O στη

σηmicroειοσειρά της ευθείας m

244 Πρόταση Η απεικόνιση δ = δOm είναι καλά ορισmicroένη 1 ndash1 και επί

Απόδειξη Για κάθε ℓ isin J(O) ϑα είναι ℓ m σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 ΄Αρα

(ϐλ και Πρόταση 224 το σηmicroείο ℓ and m είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένο και η δ είναι

καλά ορισmicroένη

Για να δείξουmicroε ότι η δ είναι 1 minus 1 ας υποθέσουmicroε ότι δ(ℓ) = δ(ℓprime) δηλαδή

ℓandm = ℓprime andm Επειδή O lt J(m) ϑα είναι ℓandm O ℓprime andm οπότε (ϐλ και Σχήmicroα

211)

ℓ = O or (ℓ andm) = O or (ℓprime andm) = ℓprime

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 53

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

Τέλος η δ είναι επί πραγmicroατικά για τυχόν P isin J(m) ϑα είναι P O Συνεπώς

ορίζεται η k = P or O Παρατηρούmicroε ότι k isin J(O) και

δ(k) = (P or O) andm = P

όπως Ϲητούσαmicroε

245 Συmicroβολισmicroός Την ισχύ (cardinality) δηλαδή το πλήθος των στοιχείων της δέ-

σmicroης J(O) [αντίστ της σηmicroειοσειράς J(m)] συmicroβολίζουmicroε microε | J(O) | (αντίστ | J(m) |)΄Ενας άλλος συmicroβολισmicroός για την ισχύ πεπερασmicroένης δέσmicroης (αντίστ σηmicroειοσειράς)

που δεν ακολουθείται εδώ είναι και J(O) [αντίστ J(m)]

΄Αmicroεση συνέπεια της Πρότασης 244 είναι τώρα τα επόmicroενα συmicroπεράσmicroατα

246 Πόρισmicroα Για οποιοδήποτε Ϲεύγος (O m) isin PtimesL microε (O m) lt I ισχύει η σχέση

| J(O) | = | J(m) |

247 Πόρισmicroα Για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L ισχύει η σχέση

| J(k) | = | J(ℓ) |

Απόδειξη Αν k = ℓ η σχέση είναι προφανής Αν k ℓ τότε [ϐλ ΄Ασκηση 229 (4)]

υπάρχει O isin P microε (O k) lt I και (O ℓ) lt I Εφαρmicroόζοντας το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε

ότι

| J(k) | = | J(O) | = | J(ℓ) |

΄Ενας συσχετισmicroός microεταξύ του πλήθους των σηmicroείων microιας ευθείας (που είναι το

ίδιο για όλες τις ευθείες κατά το Πόρισmicroα 247) και του πλήθους των σηmicroείων

ενός πεπερασmicroένου προβολικού επιπέδου (δηλ microε πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων)

δίνεται στην επόmicroενη

248 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι ℓ είναι microία ευθεία του προβολικού επιπέδου microε n +1

(n ge 2) το πλήθος διαφορετικά σηmicroεία Τότε το προβολικό επίπεδο διαθέτει ακριβώς

n2+ n + 1 σηmicroεία

Απόδειξη Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο O isin P microε (O ℓ) lt I [ϐλ ΄Ασκηση 229 (3)] και

καλούmicroε Pi (i = 1 n + 1) τα σηmicroεία της ℓ (ϐλ και το Σχήmicroα 212 στην επόmicroενη

σελίδα)

Επειδή O Pi [αφού O lt J(ℓ)] ορίζονται οι ευθείες O or Pi (i = 1 n + 1)που είναι όλες διαφορετικές από την ℓ σύmicroφωνα microε την Πρόταση 242 Επίσης

O or Pi O or Pj (για όλους τους δείκτες i j microε i j ) γιατί αν ήταν O or Pi = O or Pj (για

κάποιους δείκτες i j ) τότε ϑα είχαmicroε ότι

Pi = ℓ and (O or Pi) = ℓ and (O or Pj) = Pj

που είναι άτοπο Εποmicroένως από το O διέρχονται οι n + 1 διαφορετικές ευθείες

54 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Σχηmicroα 212

OorPi και κάθε microία απ᾿ αυτές έχει n+1 το πλήθος σηmicroεία διαφορετικά (αφού |J(ℓ)| =|J(O or Pi)| κατά το Πόρισmicroα 247) ΄Αρα η κάθε microία έχει n το πλήθος διαφορετικά

microεταξύ τους σηmicroεία και διαφορετικά από το O Κατά συνέπειαν ϑεωρώντας όλα τα

σηmicroεία τους εκτός του O από τις ευθείες αυτές λαmicroβάνουmicroε (n + 1) middot n = n2+ n

σηmicroεία Υπολογίζοντας τώρα και το O λαmicroβάνουmicroε τελικώς n2+ n + 1 διαφορετικά

σηmicroεία του προβολικού επιπέδου

Ισχυριζόmicroαστε ότι δεν υπάρχουν άλλα σηmicroεία στο επίπεδο εκτός απ᾿ αυτά που

πήραmicroε microε την προηγούmicroενη διαδικασία Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

κι ένα σηmicroείο Q διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Τότε ϑα ορίζεται και η ευθεία

O or Q η οποία ϑα είναι διαφορετική από όλες τις O or Pi αφού το Q δεν ανήκει σε

καmicroιά τους [αλλιώς η OorPi που ϑα περιείχε το Q ϑα είχε n +2 διαφορετικά σηmicroεία

(άτοπο)] ΄Αρα από το O ϑα διέρχονται n+2 διαφορετικές ευθείες (οι OorPi και η OorQ)

∆ηλαδή ϑα είναι | J(O) | = n+2 που είναι επίσης άτοπο γιατί | J(O) | = | J(ℓ) | = n+1

(ϐλ Πόρισmicroα 246) Εποmicroένως αληθεύει ο παραπάνω ισχυρισmicroός και αποδεικνύεται

η πρόταση

249 Παρατηρήσεις 1) Ο περιορισmicroός n ge 2 στην εκφώνηση της Πρότασης 248

είναι (προφανώς) συνέπεια της Πρότασης 226

2) Για n = 2 το πλήθος των σηmicroείων του προβολικού επιπέδου είναι 7 άρα κάθε

προβολικό επίπεδο έχει τουλάχιστον 7 διαφορετικά σηmicroεία [συγκρίνατε microε το (ΠΕ

3)] Εποmicroένως

η ελαχίστη ισχύς του προβολικού επιπέδου ειναι 7

και αυτό δικαιολογεί το Παράδειγmicroα 223 (1)

3) Μπορούmicroε να δείξουmicroε το συmicroπέρασmicroα της προηγούmicroενης παρατήρησης αmicroέ-

σως από το (ΠΕ 3) χωρίς τη χρήση της Πρότασης 248 ως εξής ας ξεκινήσουmicroε microε

τα τέσσερα σηmicroεία A B C D τα οποία ορίζονται κατά το (ΠΕ 3) Σύmicroφωνα microε το

(ΠΕ 1) ορίζονται οι ευθείες

(242) A or B A or C A or D B or C B or D C or D

οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους άρα τέmicroνονται κατά Ϲεύγη Εποmicroένως εκτός

24 Στοιχειώδεις απεικονίσεις 55

των A B C D ορίζονται και τα σηmicroεία

E = (A or C) and (B or D) G = (A or D) and (B or C) H = (A or B) and (D or C)

Σχηmicroα 213

δηλαδή τελικώς έχουmicroε 7 διαφορετικά σηmicroεία Για την πληρότητα ας παρατηρήσουmicroε

ότι εκτός από τις ευθείες (242) υπάρχει και άλλη microία η ευθεία που περιέχει τα

σηmicroεία G E H και σηmicroειώνεται στο Σχήmicroα 213 microε διάστικτη microορφή

Εδώ διευκρινίζουmicroε ότι όπως σχολιάσαmicroε και microετά το Παράδειγmicroα 223 (1)

οι ευθείες που προκύπτουν τελικώς είναι τριάδες της microορφής A B H A D GG E H κλπ και δεν έχουν καmicroία σχέση microε τις συνήθεις γραmicromicroές (που περιέχουν

τα αντίστοιχα σηmicroεία) του Σχήmicroατος 213 Το τελευταίο σχήmicroα γίνεται στο σύνηθες

επίπεδο για διευκόλυνση και δεν αποδίδει ακριβώς την αντίστοιχη κατάσταση στο

(αφηρηmicroένο) προβολικό επίπεδο Αυτό ϕαίνεται ακόmicroη περισσότερο στην απεικόνιση

της ευθείας G E H4) Αν οι ευθείες ενός (πεπερασmicroένου) προβολικού επιπέδου περιέχουν n + 1

(διαφορετικά) σηmicroεία λέmicroε ότι το επίπεδο έχει τάξη (order) n ΄Ετσι το επίπεδο των

7 σηmicroείων έχει τάξη 2 ενώ το επίπεδο τάξης 3 είναι αυτό των 13 σηmicroείων κοκ

΄Ενα δύσκολο πρόβληmicroα είναι να αποφανθούmicroε αν υπάρχει ή όχι προβολικό επί-

πεδο microε δεδοmicroένη τάξη Είναι γνωστόν ότι υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης n για

όλα τα n = pk όπου p είναι πρώτος αριθmicroός αλλά αγνοούmicroε αν είναι και οι microόνες

δυνατές τάξεις πεπερασmicroένων προβολικών επιπέδων Για παράδειγmicroα γνωρίζουmicroε

ότι δεν υπάρχουν προβολικά επίπεδα τάξης 6 10 14 21 22 κα ενώ παραmicroένει

ανοιχτό το πρόβληmicroα για n = 12 15 18 κα Για περισσότερες λεπτοmicroέρειες ϐλ [10

σελ 12] και [25 σελ 105]

2410 Ασκήσεις

1 Αναλόγως προς τη δOm ορίζεται η απεικόνιση

δprime = δmO J(m) minusrarr J(O) P 7rarr P or O

Να αποδειχθούν τα εξής

56 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

α) Η δprime είναι microία καλά ορισmicroένη απεικόνιση 1 minus 1 και επί

ϐ) Η δprime είναι αντίστροφη της δ

2 Να αποδειχθεί ότι για οποιαδήποτε σηmicroεία P Q isin P microε P Q είναι

| J(P) | = | J(Q) |

3 Αν (A ℓ) isin P times L και (A ℓ) isin I να εξεταστεί αν ισχύει η σχέση

| J(A) | = | J(ℓ) |

Να συσχετιστεί το αποτέλεσmicroα microε το Πόρισmicroα246

4 Γιατί ένα επίπεδο που έχει περισσότερα από 7 σηmicroεία ϑα έχει αναγκαστικά του-

λάχιστον 13 διαφορετικά σηmicroεία Τι συmicroβαίνει microε τις ευθείες ενός τέτοιου επιπέδου

5 Να οριστεί η έννοια της σηmicroειοσειράς και της δέσmicroης ευθειών σε ένα συσχετισmicroένο

επίπεδο και να αποδειχθεί το ανάλογο της Πρότασης 242

6 Ισχύουν σε ένα συσχετισmicroένο επίπεδο η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246

247 Ποιά είναι τα ανάλογα συmicroπεράσmicroατα στην περίπτωση αυτή

7 Αν microια ευθεία ℓ ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διαθέτει n (n ge 2) το πλήθος διαφο-

ϱετικά σηmicroεία τότε το επίπεδο έχει ακριβώς n2 διαφορετικά σηmicroεία

8 Με τις υποθέσεις της προηγούmicroενης άσκησης να αποδειχθεί ότι από κάθε σηmicroείο

του επιπέδου διέρχονται n + 1 διαφορετικές ευθείες [Υπόδειξη Να εξεταστούν δύο

περιπτώσεις το σηmicroείο να ϐρίσκεται α) επί της ℓ και ϐ) εκτός αυτής]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων

Στην παράγραφο αυτή ϑα δείξουmicroε ότι microέσω της διαδικασίας της πλήρωσης από

ένα συσχετισmicroένο επίπεδο κατασκευάζεται ένα προβολικό και αντιστρόφως microέσω της

αποπλήρωσης από ένα προβολικό επίπεδο κατασκευάζεται ένα συσχετισmicroένο

Θεωρούmicroε πρώτα δεδοmicroένο ένα συσχετισmicroένο επίπεδο (PLI) Υπενθυmicroίζου-

microε ότι σύmicroφωνα microε τους ορισmicroούς της Παραγράφου 24 [ϐλ ιδιαιτέρως την Πρό-

ταση 242 και την ΄Ασκηση 2410 (5)] για ένα συσχετισmicroένοπροβολικό επίπεδο

(PLI) ισχύει η ισοδυναmicroία

(P ℓ) isin I hArr P isin J(ℓ) forall (P l) isin P times L

΄Οπως είδαmicroε στην Πρόταση 218 η παραλληλία ορίζει microία σχέση ισοδυναmicroίας

Αν ℓmiddot = [ ℓ ] συmicroβολίζει την κλάση ισοδυναmicroίας microιας ευθείας ℓ του συσχετισmicroένου

επιπέδου ϑέτουmicroε

εinfin =ℓmiddot | ℓ isin L

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 57

δηλαδή το εinfin είναι το σύνολο-πηλίκο Lsim του L ως προς τη σχέση ισοδυναmicroίας που

εισάγει η παραλληλία

Ορίζουmicroε και το σύνολο (σηmicroείων)

P+ = P cup εinfin = P cup ℓmiddot | ℓ isin L

Αν συmicroβολίσουmicroε γενικά microε P+ τα σηmicroεία του P+ τότε εισάγουmicroε την επόmicroενη

ορολογία

251 Ορισmicroός ΄Ενα σηmicroείο P+ isin P+ ϑα λέγεται πραγmicroατικό (αντιστ ιδεατό ή κατ᾿

εκδοχήν) αν υπάρχει P isin P (αντιστ ℓ isin L ) έτσι ώστε P+ = P (αντιστ P+ = ℓmiddot)

Παρατηρούmicroε ότι στο P+ έχει έννοια η ένωση

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot

αφού J(ℓ) sub P sub P+ και ℓmiddot isin εinfin sub P+ Εποmicroένως microπορούmicroε να ορίσουmicroε και το

σύνολο (ευθειών)

L+ = ℓlowast | ℓ isin L cup εinfinΣυmicroβολίζοντας τις ευθείες του L+ γενικά microε ℓ+ ϑα είναι είτε ℓ+ = ℓlowast για κάποια

ℓ isin L είτε ℓ+ = εinfin οπότε έχουmicroε την ακόλουθη ορολογία

252 Ορισmicroός Κάθε ευθεία της microορφής ℓlowast ϑα λέγεται πραγmicroατική ενώ η εinfinλέγεται ιδεατή (ή κατ᾿ εκδοχήν)

Συνοψίζοντας ϐλέπουmicroε ότι το P+ προκύπτει αν στα σηmicroεία του P επισυνάψου-

microε (προσθέσουmicroε) τα ιδεατά σηmicroεία του επιπέδου Επίσης κάθε πραγmicroατική

ευθεία ℓlowast αποτελείται από τη σηmicroειοσειρά της ℓ isin L και το αντίστοιχο ιδεατό

σηmicroείο ℓmiddot ενώ η ιδεατή ευθεία εinfin αποτελείται από τα ιδεατά σηmicroεία και microόνον

αυτά Η τελευταία ευθεία στον κόσmicroο της εmicroπειρίας microας ή στον Ϲωγραφικό

πίνακα αντιστοιχεί στη γραmicromicroή του ορίζοντα

Ορίζουmicroε ακόmicroη microία σχέση σύmicroπτωσης I+ sub P+ timesL+ microε τον εξής τρόπο για ένα

Ϲεύγος (P+ ℓ+) isin P+ times L+ ϑα είναι (P+ ℓ+) isin I+ τότε και microόνον τότε αν ισχύει microία

από τις επόmicroενες συνθήκες

i) P+ = kmiddot (k isin L ) και ℓ+ = εinfin [ οπότε kmiddot isin εinfin ]

ii) P+ = P isin P ℓ+ = ℓlowast και P isin J(ℓ) [ ισοδύναmicroα (P ℓ) isin I ]

iii) P+ = kmiddot ℓ+ = ℓlowast και kℓ [ οπότε kmiddot = ℓmiddot ]

Από τον προηγούmicroενο ορισmicroό προκύπτει ότι

bull Κάθε ιδεατό σηmicroείο ανήκει (microε την έννοια της I+) στην ιδεατή ευθεία

bull ΄Ενα πραγmicroατικό σηmicroείο ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν είναι σηmicroείο της

αρχικής ευθείας ℓ από την οποίαν προέρχεται η ℓlowast

58 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

bull ΄Ενα ιδεατό σηmicroείο kmiddot ανήκει σε microία πραγmicroατική ευθεία ℓlowast αν οι αντίστοιχες ευθείες

k και ℓ (από τις οποίες προέρχονται το σηmicroείο και η ευθεία) είναι παράλληλες

bull ∆εν ορίζεται σύmicroπτωση microεταξύ πραγmicroατικών σηmicroείων και της ιδεατής ευθείας δη-

λαδή

(P+ ℓ+) lt I+ αν P+ = P isin P και ℓ+ = εinfin

Με τους προηγούmicroενους συmicroβολισmicroούς αποδεικνύεται τώρα το

253 Θεώρηmicroα Η τριάδα (P+L+I+) αποτελεί ένα προβολικό επίπεδο το οποίον

καλείται πλήρωση (completion) του συσχετισmicroένου επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα επαληθεύσουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικά σηmicroεία P+ και Q+ Αναλόγως microε το είδος των

σηmicroείων (πραγmicroατικά ή ιδεατά) εmicroφανίζονται οι επόmicroενες περιπτώσεις

α) Τα P+ και Q+ είναι και τα δύο πραγmicroατικά σηmicroεία δηλαδή P+ = P και Q+ = Q

Τότε σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 1) ορίζεται η ευθεία ℓ = PorQ (του συσχετισmicroένου επιπέδου)

οπότε η ℓ+ = ℓlowast isin L+ είναι microια ευθεία που περιέχει τα P+ και Q+

Η ευθεία αυτή είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι υ-

πάρχει και microία άλλη ευθεία m+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία τότε ϑα είναι αναγκαίως

m+ = mlowast = J(m) cup mmiddot (η περίπτωση m+ = εinfin αποκλείεται αφού τα P+ Q+ είναι

πραγmicroατικά σηmicroεία) Συνεπώς επειδή P Q isin J(m) πάλι από το (ΣΕ 1) προκύπτει

ότι m = ℓ και m+ = ℓ+

ϐ) Τα P+ και Q+ είναι ιδεατά δηλαδή P+ = kmiddot και Q+ = ℓmiddot για κάποιες ευθείες

k ℓ isin L Επειδή kmiddot ℓmiddot isin εinfin προφανώς η εinfin είναι και η microοναδική ευθεία που

περιέχει τα P+ και Q+ (ϐλ τον ορισmicroό της I+ και τα σχετικά σχόλια)

γ) Το ένα σηmicroείο είναι πραγmicroατικό και το άλλο ιδεατό Για παράδειγmicroα αν υπο-

ϑέσουmicroε ότι P+ = P και Q+ = kmiddot τότε διακρίνουmicroε δύο υποπεριπτώσεις

γ1) P isin J(k) και γ2) P lt J(k)

Στη γ1) παρατηρούmicroε ότι η ευθεία k+ = klowast = J(k) cup kmiddot περιέχει τα P+ Q+

Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και

microία άλλη ευθεία m+ k+ που περιέχει τα ίδια σηmicroεία Τότε επειδή το P+ είναι

πραγmicroατικό σηmicroείο η m+ αποκλείεται να είναι η εinfin άρα ϑα έχει τη microορφή m+ =

mlowast = J(m) cup mmiddot Επίσης επειδή η m+ περιέχει το kmiddot αναγκαστικά ϑα είναι και

kmiddot = mmiddot (αφού υπάρχει microόνον ένα κατ᾿ εκδοχήν σηmicroείο επί της mlowast) οπότε km

Το τελευταίο συmicroπέρασmicroα όmicroως είναι άτοπο επειδή k m έχουν το P κοινό σηmicroείο

(προφανώς k m διαφορετικά ϑα ήταν k+ = m+)

Στη γ2) σύmicroφωνα microε το (ΣΕ 2) υπάρχει microία microοναδική ℓ isin L microε ℓk και (P ℓ) isin I

Εποmicroένως ϑέτοντας ℓ+ = ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot έχουmicroε ότι (P+ ℓ+) isin I+ Επίσης λόγω

της προηγουmicroένης παραλληλίας ϑα είναι Q+ = kmiddot = ℓmiddot άρα (Q+ ℓ+) isin I+ και η

Ϲητουmicroένη ευθεία είναι η ℓ+ Για το microονοσήmicroαντο της ℓ+ παρατηρούmicroε ότι αν υπάρχει

και microία m+ ℓ+ που περιέχει τα P+ και Q+ τότε [εργαζόmicroενοι αναλόγως προς την

γ1)] έχουmicroε ότι mmiddot = kmiddot = ℓmiddot άρα mkℓ ΄Οmicroως το P ανήκει στις m και ℓ (m ℓ)΄Αρα από το P διέρχονται δύο παράλληλες προς την k (άτοπο)

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 59

Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση υπάρχει microία microοναδική ευθεία τουL+ που περιέχει

τα P+ και Q+ οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

(ΠΕ 2) Θεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες k+ ℓ+ και ϑα δείξουmicroε ότι διαθέτουν

κοινό σηmicroείο Προφανώς εmicroφανίζονται δύο περιπτώσεις

α) και οι δύο ευθείες είναι πραγmicroατικές

ϐ) microία απ᾿ αυτές είναι η ιδεατή ευθεία

Στην περίπτωση α) ϑα είναι k+ = klowast και ℓ+ = ℓlowast Παρατηρούmicroε ότι αναγκαίως

k ℓ [αν ήταν k = ℓ τότε ϑα ήταν και klowast = ℓlowast (άτοπο)] Εποmicroένως προκύπτουν δύο

υποπεριπτώσεις

α1) kℓ και α2) k mdashℓ

Στην πρώτη υποπερίπτωση το P+ = kmiddot = ℓmiddot είναι κοινό σηmicroείο των k+ και ℓ+

Στη δεύτερη οι k και ℓ διαθέτουν ένα (microοναδικό) κοινό σηmicroείο P = k and ℓ Επειδή

P isin J(k) και P isin J(ℓ) τελικώς το P+ = P είναι κοινό σηmicroείο και των ευθειών k+ ℓ+

Στην περίπτωση ϐ) ας υποθέσουmicroε ότι k+ = εinfin και ℓ+ = ℓlowast Προφανώς εinfin ℓ+

(αφού τα πραγmicroατικά σηmicroεία δεν ανήκουν στην ιδεατή ευθεία) Τότε το P+ = ℓmiddot είναι

το Ϲητούmicroενο κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Κατά το Θεώρηmicroα 219 στο P υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D τα οποία είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά Τα ίδια σηmicroεία είναι

και (πραγmicroατικά) σηmicroεία του P+ άρα κανένα τους δεν ανήκει στην εinfin Ας δούmicroε

αν τρία από αυτά πχ τα A B C microπορούν να ανήκουν σε microία πραγmicroατική ευθεία

ℓlowast = J(ℓ) cup ℓmiddot Αν συνέβαινε κάτι τέτοιο ϑα είχαmicroε ότι A B C isin J(ℓ) πράγmicroα που

είναι άτοπο Εποmicroένως τα σηmicroεία A+ = A B+ = B και C+ = C ικανοποιούν το (ΠΕ

3) στο P+ Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη

Η αντίστροφη διαδικασία της πλήρωσης (αποπλήρωση) συνίσταται στην αφαίρεση

microιας ευθείας (ακριβέστερα σηmicroειοσειράς) από ένα προβολικό επίπεδο οπότε οδηγού-

microαστε στην κατασκευή ενός συσχετισmicroένου επιπέδου

΄Ετσι ϑεωρώντας δεδοmicroένο ένα προβολικό επίπεδο (PLI) σταθεροποιούmicroε

microιαν ευθεία ℓo isin L και ορίζουmicroε το σύνολο (σηmicroείων)

Pminus = P minus J(ℓo) = P isin P (P ℓo) lt I equiv P isin P P lt J(ℓo)

∆ηλαδή τα σηmicroεία του Pminus είναι όλα τα σηmicroεία του P εκτός των σηmicroείων της σηmicroειο-

σειράς J(ℓo)Επίσης ϑεωρούmicroε και το σύνολο (ευθειών)

Lminus =kminus = J(k) minus k and ℓo

∣∣∣k isin L k ℓo

Εποmicroένως το Lminus δεν περιέχει την J(ℓo) ενώ κάθε άλλο στοιχείο του είναι microία ση-

microειοσειρά που αντιστοιχεί σε ευθεία του L από την οποίαν έχει αφαιρεθεί το σηmicroείο

60 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

τοmicroής της microε την ℓo Προφανώς κάθε kminus είναι σηmicroειοσειρά άρα microπορούmicroε να γρά-

ψουmicroε ότι kminus equiv J(kminus)

Σχηmicroα 214

Τέλος ορίζουmicroε και microία σχέση σύmicroπτωσης Iminus sub Pminus times Lminus microε τον εξής τρόπο για

ένα (P kminus) isin Pminus times Lminus ϑα είναι

(P kminus) isin Iminus hArr P isin kminus = J(k) minus k and ℓo

δηλ το P είναι σηmicroείο της kminus τότε και microόνον τότε αν (P k) isin I και P k and ℓo

Επειδή σκοπός microας είναι να δείξουmicroε ότι η τριάδα (PminusLminusIminus) είναι συσχετισmicroένο

επίπεδο ϑα πρέπει να εξασφαλίσουmicroε πρώτα την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών

254 Λήmicromicroα Στο σύνολο Lminus υπάρχουν παράλληλες ευθείες

Απόδειξη Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο A της ευθείας ℓo Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 228

microπορούmicroε να ϐρούmicroε δύο ευθείες k και m του L τέτοιες ώστε k m isin J(A) και

k ℓo m k Τότε οι kminus και mminus είναι παράλληλες [αν υπήρχε κοινό σηmicroείο P

ϑα είχαmicroε ότι k = P or A = m (άτοπο)] Παρόmicroοια ϐρίσκουmicroε και άλλες παράλληλες

χρησιmicroοποιώντας ευθείες που διέρχονται από τα διάφορα σηmicroεία της ℓo

255 Θεώρηmicroα Η τριάδα (PminusLminusIminus) αποτελεί συσχετισmicroένο επίπεδο το οποίον

καλείται αποπλήρωση (deletion) του προβολικού επιπέδου (PLI)

Απόδειξη Θα δείξουmicroε ότι ικανοποιούνται τα αξιώmicroατα του συσχετισmicroένου επιπέδου

(ΣΕ 1) Θεωρούmicroε δύο σηmicroεία P Q isin Pminus microε P Q Τα P Q (ως διαφορετικά σηmicroεία

και του P) ορίζουν την ευθεία k = P or Q isin L Προφανώς k ℓo αφού τα P Q δεν

ανήκουν στην ℓo Εποmicroένως η kminus = J(k) minus k and ℓo είναι ευθεία του Lminus που περιέχει

τα P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά ας υποθέσουmicroε ότι υπάρχει

και microία άλλη ευθεία mminus isin Lminus που περιέχει τα δύο προηγούmicroενα σηmicroεία Τότε από

τον ορισmicroό της mminus προκύπτει ότι τα P Q είναι και σηmicroεία της m Εποmicroένως κατά

το (ΠΕ 1) m = k και mminus = kminus που αποδεικνύει το (ΣΕ 1)

(ΣΕ 2) Υποθέτουmicroε ότι (P kminus) isin Pminus times Lminus microε P lt J(k) Αν ϑέσουmicroε (για ευκολία)

A = k and ℓo isin P παρατηρούmicroε ότι P A [διαφορετικά ϑα ήταν P isin J(ℓo) (άτοπο)]

25 Σχέση προβολικών και συσχετισmicroένων επιπέδων 61

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία m = P orA isin L και η αντίστοιχη mminus = J(m)minusm and lo =J(m) minus A (ϕυσικά m ℓo αφού το P είναι σηmicroείο της m αλλά όχι και της ℓo) Αυτά

δείχνουν ότι (P mminus) isin Iminus και mminuskminus (ϐλ τη σχετική κατασκευή παραλλήλων στην

απόδειξη του Λήmicromicroατος 254) δηλαδή η mminus είναι ευθεία (του Lminus) που διέρχεται

από το P και είναι παράλληλη προς την kminus

Σχηmicroα 215

Η mminus είναι η microοναδική ευθεία microε τις προηγούmicroενες ιδιότητες Πραγmicroατικά ας

υποθέσουmicroε ότι υπάρχει και microία άλλη ευθεία xminus = J(x) minus x and ℓo isin Lminus η οποία

διέρχεται από το P και είναι παράλληλη προς την kminus microε xminus mminus Τότε σύmicroφωνα

microε τον ορισmicroό της παραλληλίας είναι είτε xminus = kminus είτε xminus kminus και xminus cap kminus = emptyΗ πρώτη περίπτωση αποκλείεται επειδή το P δεν είναι σηmicroείο της kminus Στη δεύτερη

περίπτωση ϑα είναι υποχρεωτικά x k [ διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι x and ℓo = k and ℓo

οπότε xminus = kminus (άτοπο)] ΄Αρα ορίζεται το σηmicroείο Z = x and k (ϐλ το παραπάνω Σχήmicroα

215) και εmicroφανίζονται δύο νέες περιπτώσεις

i) Το Z είναι διαφορετικό από τα σηmicroεία A = k and ℓo και B = x and ℓo

ii) Το Z συmicroπίπτει microε ένα από τα A B

Στην i) έχουmicroε κατ᾿ ανάγκην ότι (Z kminus) isin Iminus ni (Z xminus) το οποίον είναι άτοπο

αφού kminusxminus

Στη ii) ας πάρουmicroε πρώτα ότι Z = A Τότε ϑα είναι και Z P [αλλιώς ϑα ήταν

P = Z isin J(k) (άτοπο)] Εποmicroένως

x = P or Z = P or A = m

άρα xminus = mminus που είναι άτοπο γιατί δεχτήκαmicroε από την αρχή ότι xminus mminus Αν Z = B

τότε k = Aor Z = AorB = ℓo που είναι επισης άτοπο Εποmicroένως σε κάθε περίπτωση

η υπόθεση ότι υπάρχει και η xminus (microε τις αναφερόmicroενες ιδιότητες) οδηγεί σε άτοπο

΄Αρα τελικώς η mminus είναι η microοναδική παράλληλη προς την kminus που διέρχεται από το

P πράγmicroα που αποδεικνύει πλήρως το (ΣΕ 2)

(ΣΕ 3) Στο αρχικό προβολικό επίπεδο υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σηmicroεία ας τα

καλέσουmicroε A B C D που είναι ανά τρία microη συγγραmicromicroικά ΄Αρα δύο τουλάχιστον

62 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

από αυτά ας πούmicroε τα A και B δεν ανήκουν στην ℓo Ας υποθέσουmicroε ακόmicroη ότι τα

C D ανήκουν και τα δύο στην ℓo Θεωρούmicroε την ευθεία

Σχηmicroα 216

A or C οπότε (λόγω της Πρότασης 226 υπάρχει ένα τουλάχιστον σηmicroείο της X

διαφορετικό από τα A C Προφανώς X lt J(ℓo) Εποmicroένως τα A B X είναι τρία

διαφορετικά microεταξύ τους (γιατί) σηmicroεία που ανήκουν στο Pminus επειδή κανένα τους

δεν ανήκει στην ℓo

Τα A B X δεν είναι συγγραmicromicroικά στο Pminus Πραγmicroατικά αν ανήκαν και τα τρία

σε microια ευθεία kminus = J(k) minus k and ℓo isin Lminus τότε ϑα ήταν A B X isin J(k) και

k = A or B = A or X = A or C

δηλαδή τα A B C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο προβολικό επίπεδο P που είναι άτοπο

Αν υποθέσουmicroε ότι C lt J(ℓo) [microε D isin J(ℓo) ή D lt J(ℓo)] εργαζόmicroενοι όπως στην

προηγούmicroενη περίπτωση δείχνουmicroε ότι τα σηmicroεία A B C είναι διαφορετικά και microη

συγγραmicromicroικά στο PminusΣυνεπώς microπορούmicroε πάντοτε να ϐρούmicroε τρία διαφορετικά σηmicroεία του Pminus που

ικανοποιούν το (ΣΕ 3) Με αυτό ολοκληρώνεται και η απόδειξη

΄Ενα ενδιαφέρον ερώτηmicroα είναι τώρα το εξής αν ξεκινήσουmicroε από ένα προβολικό

επίπεδο και εφαρmicroόσουmicroε πρώτα τη διαδικασία της αποπλήρωσης και κατόπιν αυτή

της πλήρωσης ποιά είναι η σχέση του αρχικού προβολικού επιπέδου microε το τελευταίο

Αποδεικνύεται ότι τα επίπεδα αυτά είναι ισόmicroορφα (ϐλ [5 Θεώρηmicroα 234]) Η έννοια

του ισοmicroορφισmicroού προβολικών επιπέδων ορίζεται στην επόmicroενη παράγραφο

256 Το κλασικό προβολικό επίπεδο

΄Οπως αναφέραmicroε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου (sect20) το προβολικό επίπεδο

εmicroφανίζεται ιστορικά ως αφαίρεση (microαθηmicroατικοποίηση) του επιπέδου του Ϲωγραφι-

κού πίνακα όπου ϑεωρούmicroε ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες ή ισοδύναmicroα

υποθέτουmicroε ότι όλες οι ευθείες που είναι microεταξύ τους παράλληλες τέmicroνονται στο

άπειρο επάνω στη γραmicromicroή του ορίζοντα Σε πιο αυστηρή γλώσσα χρησιmicroοποιώντας

την ορολογία αυτής της παραγράφου [ϐλ και Παράδειγmicroα 213 (1)]

το κλασικό προβολικό επίπεδο δηλαδή το επίπεδο της κλασικής Προβολικής

Γεωmicroετρίας είναι η πλήρωση του συνήθους (συσχετισmicroένου) επιπέδου E ( R2)της Στοιχειώδους Γεωmicroετρίας

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 63

257 Σχόλιο ΄Οπως ήδη έχει αντιληφθεί ο αναγνώστης πολύ συχνά χρησιmicroοποι-

ήσαmicroε την εις άτοπον απαγωγή ΄Οπως αναφέρθηκε και στην sect12 αυτή είναι microία

ϐασική microέθοδος απόδειξης της συνθετικής γεωmicroετρίας και χρησιmicroοποιήθηκε συ-

στηmicroατικά από τον Ευκλείδη στα laquoΣτοιχείαraquo του Σχετικά ο G H Hardy [16 sect12]

παρατηρεί ότι

laquoη εις άτοπον απαγωγή (reductio ad absurdum) την οποίαν ο Ευκλείδης αγα-

πούσε τόσο πολύ είναι ένα από τα πιο έξοχα όπλα ενός microαθηmicroατικούraquo

258 Ασκήσεις

1 Αναφορικά microε την απόδειξη του (ΣΕ 3) στο Θεώρηmicroα 255 να δικαιολογηθεί

το σηmicroειούmicroενο γιατί και να ολοκληρωθεί η διερεύνηση για τα σηmicroεία C και D

(σχετικώς microε τη ϑέση τους ως προς την ευθεία ℓo)

2 Να εξηγηθεί γιατί είναι

P+ cap L+ = empty και Pminus cap Lminus = empty

3 Να αποδειχθεί ότι η πλήρωση του συσχετισmicroένου επιπέδου των τεσσάρων σηmicroείων

[Παράδειγmicroα 213 (2)] είναι το προβολικό επίπεδο των επτά σηmicroείων [Παράδειγ-

microα 223 (1)]

4 Αντιστρόφως προς την προηγουmicroένη άσκηση να δειχθεί ότι η αποπλήρωση του

προβολικού επιπέδου των επτά σηmicroείων είναι το συσχετισmicroένο επίπεδο των τεσσάρων

σηmicroείων

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων

Στη Θεωρία Συνόλων ορίζεται η έννοια της απεικόνισης h S rarr Sprime microεταξύ δύο συνό-

λων S και Sprime Αν υποθέσουmicroε επιπλέον ότι τα σύνολα S και Sprime έχουν microιαν ιδιαίτερη

δοmicroή (πχ δοmicroή γραmicromicroικού χώρου οmicroάδας κλπ) το ενδιαφέρον microας εστιάζεται ό-

χι στις οποιεσδήποτε απεικονίσεις microεταξύ των συνόλων αυτών αλλά minusκυρίωςminus στις

απεικονίσεις εκείνες που αντανακλούν την προηγούmicroενη δοmicroή ΄Ετσι στους γραmicro-

microικούς χώρους ενδιαφερόmicroαστε ιδιαιτέρως για τις laquoγραmicromicroικές απεικονίσειςraquo στις

οmicroάδες για τους laquoοmicroοmicroορφισmicroούςraquo κοκ

Τις απεικονίσεις που συνδέονται microε την ιδιαίτερη δοmicroή των (microαθηmicroατικών) αν-

τικειmicroένων microιας κατηγορίας (όπως πχ των γραmicromicroικών χώρων των οmicroάδων των

προβολικών επιπέδων κλπ) τις καλούmicroε microορφισmicroούς (Εδώ χρησιmicroοποιούmicroε την

ορολογία της Θεωρίας Κατηγοριών για την οποία δεν microπορούmicroε να πούmicroε τίποτε

περισσότερο στο πλαίσιο αυτών των microαθηmicroάτων) Σε microερικές περιπτώσεις οι microορφι-

σmicroοί έχουν ένα συγκεκριmicroένο όνοmicroα όπως γραmicromicroικές απεικονίσεις οmicroοmicroορφισmicroοί

κλπ

64 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Για παράδειγmicroα ας ϑυmicroίσουmicroε την περίπτωση των οmicroοmicroορφισmicroών οmicroάδων Αν

(G middot) και (H lowast) είναι δύο οmicroάδες τότε microία απεικόνιση φ G rarr H καλείται microορφισmicroός

( οmicroοmicroορφισmicroός) οmicroάδων αν

(261) φ(g middotgprime) = φ(g) lowast φ(gprime) (g gprime) isin G times GΗ σχέση (261) σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός φ διατηρεί τη δοmicroή της οmicroάδας

Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί Τότε υπάρχει η αντί-

στροφη απεικόνιση φminus1 H rarr G Αποδεικνύεται εύκολα ότι και αυτή η απεικόνιση

είναι επίσης microορφισmicroός οmicroάδων δηλαδή ισχύει η

(262) φminus1(h lowast hprime) = φminus1(h) middot φminus1(hprime) (h hprime) isin H times HΣτην περίπτωση αυτή λέmicroε ότι η φ είναι ισοmicroορφισmicroός οmicroάδων

Γενικότερα microπορούmicroε να ορίσουmicroε την έννοια του ισοmicroορφισmicroού και για οποια-

δήποτε άλλη δοmicroή ΄Ετσι microία απεικόνιση f S rarr Sprime microεταξύ δύο συνόλων εφοδια-

σmicroένων microε microία συγκεκριmicroένη δοmicroή είναι ισοmicroορφισmicroός (ως προς την εξεταζοmicroένη

δοmicroή) αν η f είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί και minusεπιπλέονminus η απεικόνιση f minus1 είναι

επίσης microορφισmicroός

Εδώ πρέπει να διευκρινήσουmicroε ότι στον προηγούmicroενο ορισmicroό απαιτήσαmicroε να είναι

microορφισmicroός και η f minus1 Αυτό είναι απαραίτητο γιατί υπάρχουν περιπτώσεις όπου microπο-

ϱούmicroε να ϐρούmicroε microορφισmicroούς f οι οποίοι είναι 1 ndash 1 και επί χωρίς να είναι και οι

f minus1 microορφισmicroοί Μια τέτοια περίπτωση αποτελούνοι τοπολογικοί χώροι Οι microορφισmicroοί

εδώ είναι οι συνεχείς απεικονίσεις ΄Οmicroως υπάρχουν παραδείγmicroατα συνεχών απει-

κονίσεων που είναι 1 ndash 1 και επί microε αντίστροφη όχι κατ᾿ ανάγκην συνεχή ΄Αρα στην

περίπτωση αυτή ένας microορφισmicroός 1 ndash 1 και επί δεν ορίζει πάντοτε έναν ισοmicroορφισmicroό

Αντιθέτως στην περίπτωση των οmicroάδων κάθε οmicroοmicroορφισmicroός 1 ndash 1 και επί είναι

ισοmicroορφισmicroός Παρόmicroοια στους γραmicromicroικούς χώρους για να είναι microια απεικόνιση

ισοmicroορφισmicroός γραmicromicroικών χώρων αρκεί να είναι γραmicromicroική 1 ndash 1 και επί Γενικότερα

το ίδιο ισχύει στις laquoαλγεβρικές δοmicroέςraquo αλλά όχι σε πολυπλοκότερες δοmicroές όπως οι

τοπολογικοί χώροι οι διαφορικές πολλαπλότητες κλπ

Ποια όmicroως είναι η σηmicroασία ενός ισοmicroορφισmicroού Απ᾿ όσα είπαmicroε microέχρις εδώ

γίνεται ϕανερό πως δύο σύνολα S και Sprime microε την ίδια δοmicroή τα οποία συνδέονται

microεταξύ τους microε έναν ισοmicroορφισmicroό f S rarr Sprime δεν διαφέρουν ουσιαστικά microεταξύ τους

Πραγmicroατικά η απεικόνιση f όχι microόνον αντιστοιχεί κατά τρόπον αmicroφιmicroονοσήmicroαντο

τα στοιχεία των S και Sprime microεταξύ τους αλλά microεταφέρει και όλες τις ιδιότητες του S σε

αντίστοιχες ιδιότητες του Sprime και αντιστρόφως Εποmicroένως κάτι που ισχύει στο S ϑα

ισχύει και σε κάθε άλλο Sprime ισόmicroορφο (δηλ που συνδέεται microε έναν ισοmicroορφισmicroό)

microε το S Με άλλα λόγια microπορούmicroε να πούmicroε ότι υπάρχει microια (microαθηmicroατική) ταύτιση

microεταξύ των S και Sprime Συνεπώς microέσω των ισοmicroορφισmicroών microπορούmicroε να διακρίνουmicroε αν

δύο αντικείmicroενα είναι laquoίδιαraquo (ταυτίζονται) ή όχι δηλαδή έχουmicroε ένα τρόπο σύγκρισης

Συνοψίζοντας microπορούmicroε να πούmicroε ότι ανάmicroεσα στις απεικονίσεις microεταξύ των

αντικειmicroένων microιας κατηγορίας (δηλ συνόλων microε microια συγκεκριmicroένη δοmicroή) microας

ενδιαφέρουν minusκυρίωςminus εκείνες που διατηρούν τη δοmicroή αυτή Ιδιαιτέρως microας

ενδιαφέρουν οι ισοmicroορφισmicroοί που επιτρέπουν να συγκρίνουmicroε τα αντικείmicroενα

της κατηγορίας και να τα ταξινοmicroήσουmicroε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 65

Τη λέξη laquoταξινόmicroησηraquo την παίρνουmicroε εδώ microε την κυριολεκτική σηmicroασία της και όχι

microε το ειδικό περιεχόmicroενο που έχει συχνά στα microαθηmicroατικά

Μετά τα παραπάνω διευκρινιστικά ας δούmicroε τα πράγmicroατα στο πλαίσιο της Προ-

ϐολικής Γεωmicroετρίας Οι microορφισmicroοί κι εδώ ϑα πρέπει να αντανακλούν τη δοmicroή του

προβολικού επιπέδου Εποmicroένως πρέπει να απεικονίζουν τα σηmicroεία σε σηmicroεία και

τις ευθείες σε ευθείες Αλλά υπάρχει και microια σχέση σύmicroπτωσης Θα πρέπει όπως στις

περιπτώσεις που συζητήσαmicroε αυτή η σύmicroπτωση να διατηρείται ΄Ολα αυτά οδηγούν

στον επόmicroενο ϕυσιολογικό ορισmicroό

261 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (morphism) microεταξύ των προβολικών επιπέδων

(PLI) και (PprimeLprimeIprime) είναι ένα Ϲεύγος απεικονίσεων (φψ) όπου

φ P minusrarr Pprime και ψ L minusrarr Lprime

έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη

(P ℓ) isin I rArr (φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime

Περιφραστικά η τελευταία συνθήκη σηmicroαίνει ότι ο microορφισmicroός διατηρεί τη σύmicro-

πτωση Συmicroβολικά επίσης γράφουmicroε ότι

(φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime)

262 Ορισmicroός ΄Ενας microορφισmicroός (φψ) (PLI) minusrarr (PprimeLprimeIprime) καλείται 1 ndash1

(αντιστ επί ) αν και οι δυο απεικονίσεις φ και ψ είναι 1 ndash 1 (αντίστ επί) Ιδιαιτέρως

ένας microορφισmicroός (φψ) καλείται ισοmicroορφισmicroός (isomorphism) αν οι απεικονίσεις

φ και ψ είναι 1 ndash 1 και επί Στην περίπτωση αυτή τα προβολικά επίπεδα λέγονται

ισόmicroορφα

263 Παρατήρηση Στην εισαγωγή αυτής της παραγράφου είπαmicroε ότι για να είναι

ένας microορφισmicroός f και ισοmicroορφισmicroός ϑα πρέπει να υπάρχει η f minus1 και να είναι επίσης

microορφισmicroός Στην περίπτωση του προβολικού επιπέδου ϐεβαιώνεται κανείς εύκολα ότι

ένας ισοmicroορφισmicroός (όπως στον Ορισmicroό 262 είναι ισοmicroορφισmicroός microε την κατηγορι-

κή έννοια δηλαδή ότι και το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι επίσης microορφισmicroός προβολικών

επιπέδων [ϐλ ΄Ασκηση 2610 (3) στο τέλος αυτής της παραγράφου]

Μερικές άmicroεσες συνέπειες του Ορισmicroού 261 περιέχονται στην εποmicroένη

264 Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι (φ ψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) είναι microορφισmicroός

προβολικών επιπέδων Τότε ισχύουν τα εξής συmicroπεράσmicroατα

i) Αν η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q)

για οποιαδήποτε σηmicroεία PQ isin P microε P Q

ii) Αν η ψ είναι απεικόνιση 1 ndash 1 τότε

φ(k and ℓ) = ψ(k) and ψ(ℓ)

για οποιεσδήποτε ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

66 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη i) Οι ευθείες P or Q και ψ(P or Q) ορίζονται επειδή P Q Από τον Ορι-

σmicroό 261 έχουmicroε ότι

(P P or Q) isin I rArr (φ(P) ψ(P or Q)) isin Iprime(Q P or Q) isin I rArr (φ(Q) ψ(P or Q)) isin Iprime

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 ϑα είναι και φ(P) φ(Q) οπότε ορίζεται η φ(P)orφ(Q) Το (ΠΕ

1) και οι σχέσεις της δεύτερης στήλης των παραπάνω συνεπαγωγών αποδεικνύουν

ακριβώς το πρώτο συmicroπέρασmicroα

Για το ii) προχωρούmicroε αναλόγως

(k and ℓ k) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(k)) isin Iprime(k and ℓ ℓ) isin I rArr (φ(k and ℓ) ψ(ℓ)) isin Iprime

Το συmicroπέρασmicroα τώρα προκύπτει από τις προηγούmicroενες σχέσεις και το (ΠΕ 2) σε

συνδυασmicroό microε την Πρόταση 224

Φυσικά η απόδειξη του συmicroπεράσmicroατος ii) περιττεύει επειδή είναι δυϊκό του i)

Εδώ έγινε microόνον για την εξοικείωση του αναγνώστη microε το microηχανισmicroό των microορφισmicroών

Για να διαπιστώσουmicroε πότε ένας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων είναι και ισο-

microορφισmicroός (Ορισmicroός 262) αρκεί να ελέγξουmicroε τη microία από τις δύο απεικονίσεις του

microορφισmicroού όπως προκύπτει από το επόmicroενο ϐασικό συmicroπέρασmicroα

265 Θεώρηmicroα ΄Εστω (φψ) (PLI) rarr (PprimeLprimeIprime) microορφισmicroός προβολικών επι-

πέδων Η απεικόνιση φ είναι 1 ndash 1 και επί τότε και microόνον τότε αν η ψ είναι απεικόνιση

1 ndash 1 και επί

Απόδειξη Υποθέτουmicroε πρώτα ότι η φ είναι 1 ndash 1 και επί οπότε ϑα δείξουmicroε ότι τις

ίδιες ιδιότητες έχει και η ψ

Η ψ είναι επί ΄Εστω ℓprime isin Lprime τυχούσα ευθεία Αν P prime και Qprime είναι δυο οποιαδήποτε

διαφορετικά σηmicroεία της δηλαδή (P prime ℓprime) isin Iprime ni (Qprime ℓprime) τότε το επί της φ εξασφαλίζει

την ύπαρξη δύο σηmicroείων P Q isin P microε φ(P) = P prime και φ(Q) = Qprime Αναγκαίως ϑα είναι

και P Q [αλλιώς η σχέση P = Q συνεπάγεται ότι P prime = φ(P) = φ(Q) = Qprime (άτοπο)]

Εποmicroένως ορίζεται η ευθεία ℓ = P or Q isin L και ισχύουν οι σχέσεις

(P ℓ) isin I rArr (P prime = φ(P) ψ(ℓ)) isin Iprime(Q ℓ) isin I rArr (Qprime = φ(Q) ψ(ℓ)) isin Iprime

Από τις σχέσεις αυτές και το (ΠΕ 1) προκύπτει ότι

ψ(ℓ) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

Η ψ είναι 1 ndash 1 Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής δεν είναι τόσο άmicroεση όπως πριν

αλλά ϐασίζεται σ᾿ ένα τέχνασmicroα Αν υποθέσουmicroε ότι δεν ισχύει το συmicroπέρασmicroα τότε

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 67

αυτό σηmicroαίνει ότι microπορούmicroε να ϐρούmicroε (τουλάχιστον δύο) ευθείες k ℓ isin L microε k ℓ

και τέτοιες ώστε ψ(k) = ψ(ℓ) Θα δείξουmicroε ότι ισχύει ο εξής ισχυρισmicroός

(lowast) forall P isin P rArr (φ(P) ψ(k)) isin Iprime

δηλαδή κάθε σηmicroείο του προβολικού επιπέδου (PLI) απεικονίζεται microέσω της φ

επί της ευθείας ψ(k) = ψ(ℓ)Πρώτα παρατηρούmicroε από τον ορισmicroό του microορφισmicroού ότι όλα τα σηmicroεία των k και

ℓ απεικονίζονται στην ψ(k) = ψ(ℓ) οπότε πρέπει να δείξουmicroε ότι το ίδιο συmicroβαίνει

και για οποιοδήποτε X isin P που δεν ανήκει στις k ℓ Πραγmicroατικά αν ϑέσουmicroε

A = k and ℓ στην ℓ υπάρχει κι ένα σηmicroείο B A Επίσης B X διαφορετικά ϑα

ήταν (X = B ℓ) isin I που είναι άτοπο ΄Αρα ορίζεται η ευθεία B or X (ϐλ και Σχήmicroα

217) Προφανώς B or X k αφού η πρώτη έχει σηmicroεία που δεν ανήκουν στην άλλη

(ϐλ Πρόταση 242) άρα ορίζεται και το σηmicroείο C = (B or X )and k Εφαρmicroόζοντας τον

Ορισmicroό 261 έχουmicroε διαδοχικά

(263)(B ℓ) isin I rArr (φ(B) ψ(ℓ)) isin Iprime(C k) isin I rArr (φ(C) ψ(k)) isin Iprime

Σχηmicroα 217

Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και B C ϑα είναι φ(B) φ(C) οπότε ορίζεται η φ(B)orφ(C)Εποmicroένως από την Πρόταση 224 τις σχέσεις (263) και την υπόθεση ψ(k) = ψ(ℓ)προκύπτει ότι

(264) ψ(B or C) = φ(B) or φ(C) = ψ(k) = ψ(ℓ)

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή το X είναι σηmicroείο της B or C δηλαδή (X B or C) isin I

ϑα είναι και

(265)(φ(X ) ψ(B or C)

) isin Iprime

Εποmicroένως από τις (264) και (265) έχουmicroε ότι

(φ(X ) ψ(k)) isin Iprime

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό (lowast)Ας δούmicroε τώρα τη συνέπεια του (lowast) Επειδή η φ είναι απεικόνιση επί για τυχόν

P prime isin Pprime υπάρχει P isin P microε φ(P) = P prime ΄Αρα λόγω του (lowast) ϑα είναι (P prime ψ(k)) isin Iprime Αυτό

68 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

ισχύει για κάθε σηmicroείο του Pprime δηλαδή ϐρίσκουmicroε ότι όλα τα σηmicroεία του Pprime είναι

συγγραmicromicroικά που είναι άτοπο [λόγω του (ΠΕ 3)] Το άτοπο αίρεται αν δεχθούmicroε ότι

η ψ είναι 1 ndash 1 (οπότε παύει να ισχύει και ο (lowast) ο οποίος είναι συνέπεια της άρνησης

του 1 ndash 1)

Για να κλείσει η απόδειξη πρέπει να δείξουmicroε ότι αν η ψ είναι 1 ndash 1 και επί

τότε και η φ έχει τις ίδιες ιδιότητες Αυτό όmicroως προκύπτει από το προηγούmicroενο

συmicroπέρασmicroα ϐάσει της αρχής του δυϊσmicroού

Προφανής συνέπεια του προηγουmicroένου ϑεωρήmicroατος και του Ορισmicroού 262 είναι

το επόmicroενο

266 Πόρισmicroα ΄Ενας microορφισmicroός προβολικών επιπέδων (φ ψ) είναι ισοmicroορφισmicroός

αν και microόνον αν microία από τις απεικονίσεις φ ψ είναι 1 ndash 1 και επί

267 Παρατηρήσεις 1) ΄Οπως ϕάνηκε στην απόδειξη του Θεωρήmicroατος 265 για

την απόδειξη του επί της ψ αρκεί microόνον το επί της φ Αρα microπορούmicroε να πούmicroε ότι

η ψ είναι επί τότε και microόνον τότε αν η φ είναι επί

Κάνοντας όmicroως χρήση και του 1 ndash 1 της φ microπορούmicroε να δείξουmicroε το επί της ψ και

ως εξής για τα P prime Qprime (όπως στην αρχική απόδειξη του ϑεωρήmicroατος) υπάρχουν

microονοσήmicroαντα ορισmicroένα (και ϕυσικά διαφορετικά microεταξύ τους) σηmicroεία P και Q που

ορίζουν την ℓ = P or Q Εφαρmicroόζοντας την Πρόταση 264 ϐρίσκουmicroε ότι

ψ(ℓ) = ψ(P or Q) = φ(P) or φ(Q) = P prime or Qprime = ℓprime

που αποδεικνύει το επί της ψ

2) Αντιθέτως για το 1 ndash 1 της ψ χρησιmicroοποιείται και το 1 ndash 1 και το επί της φ

Μέχρι τώρα έχουmicroε ορίσει το προβολικό επίπεδο (όπως και το συσχετισmicroένο ε-

πίπεδο) microε τη ϐοήθεια microιας αφηρηmicroένης σύmicroπτωσης I ΄Οmicroως στη Στοιχειώδη (Ευ-

κλείδεια) Γεωmicroετρία και στην κλασική Προβολική Γεωmicroετρία (για την οποίαν έγινε

λόγος στο εδάφιο 256 σελ 62) η σύmicroπτωση αυτή είναι η συνήθης σύmicroπτωση της

εmicroπειρίας η οποία έχει την ίδια σηmicroασία microε το συνολοθεωρητικό lsquolsquoisinrsquorsquoΜε τη χρήση των ισοmicroορφισmicroών προβολικών επιπέδων ϑα δείξουmicroε ότι και η αφη-

ϱηmicroένη σύmicroπτωση I που έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει microέχρι τώρα microπορεί να ταυτιστεί

(microέσω κατάλληλου ισοmicroορφισmicroού) microε τη συνήθη σύmicroπτωση που ορίζει το lsquolsquoisinrsquorsquo Αυτό

επιτυγχάνεται αν ταυτίσουmicroε κάθε ευθεία microε την αντίστοιχη σηmicroειοσειρά της ΄Ετσι

και πιο κοντά στην εmicroπειρία ϐρισκόmicroαστε και τους συmicroβολισmicroούς microας απλοποιούmicroε

σηmicroαντικά

Για την ακρίβεια ϑεωρούmicroε ένα προβολικό επίπεδο (PLI) και το δυναmicroοσύ-

νολο P(P) του P Επίσης ορίζουmicroε την απεικόνιση

J L minusrarr P(P)

η οποία σε κάθε ευθεία ℓ αντιστοιχεί τη σηmicroειοσειρά της (ϐλ Ορισmicroό 241)

(266) J(ℓ) =P isin P (P ℓ) isin I

26 Μορφισmicroοί προβολικών επιπέδων 69

Η J είναι καλά ορισmicroένη (ϐλ Πρόταση 242) Θέτουmicroε

L = J(L)

οπότε σχηmicroατίζεται η τριάδα (P L isin) Παρατηρούmicroε ότι P cap L = empty και το lsquolsquoisinrsquorsquo ορίζει

microια σχέση σύmicroπτωσης στο P times L

Αν συmicroβολίσουmicroε microε 1P την ταυτοτική απεικόνιση του P τότε έχουmicroε το

268 Θεώρηmicroα Με τους προηγουmicroένους συmicroβολισmicroούς ισχύουν τα εξής συmicroπερά-

σmicroατα

i) Η τριάδα (P L isin) είναι προβολικό επίπεδο

ii) Το Ϲεύγος (1P J) είναι ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των προβολικών επιπέδων (PLI)και (P L isin)

Απόδειξη Για το i) επαληθεύουmicroε τα αξιώmicroατα του προβολικού επιπέδου

(ΠΕ 1) Αν P Q είναι δύο οποιαδήποτε σηmicroεία της δεύτερης τριάδας microε P Q τότε

ως σηmicroεία του πρώτου προβολικού επιπέδου ορίζουν microονοσήmicroαντα την ευθεία PorQ

Συνεπώς ορίζεται και η J(P or Q) isin L Επειδή (P P or Q) isin I ϑα είναι P isin J(P or Q)και παρόmicroοια Q isin J(P or Q) ΄Αρα η J(P or Q) είναι microια ευθεία του L που περιέχει

(ή ορίζεται από) τα σηmicroεία P Q Η ευθεία αυτή είναι και microοναδική Πραγmicroατικά αν

υπήρχε και κάποια άλλη ευθεία από το L που να περιέχει τα P Q τότε αυτή ϑα

είχε τη microορφή J(k) για κάποια k isin L Επειδή PQ isin J(k) λόγω της (266) ϑα ήταν

(P k) isin I ni (Q k) Αλλά P Q οπότε το (ΠΕ 1) στο προβολικό επίπεδο (PLI)συνεπάγεται ότι k = P or Q άρα και J(k) = J(P or Q) απ᾿ όπου προκύπτει και το

microονοσήmicroαντο της ευθείας (του L ) η οποία περιέχει τα P και Q

(ΠΕ 2) Αν J(k) και J(ℓ) είναι στοιχεία του L microε J(k) J(ℓ) τότε και k ℓ (ϐλ

Πρόταση 242 Συνεπώς από το (ΠΕ 2) για το (PLI) ορίζεται το σηmicroείο P = kand ℓΕπειδή (P k) isin I ni (P ℓ) οι τελευταίες σχέσεις και η (266) συνεπάγονται ότι

P isin J(k) cap J(ℓ) δηλαδή οι J(k) και J(ℓ) έχουν κοινό σηmicroείο

(ΠΕ 3) Επειδή το P είναι το ίδιο και στις δύο τριάδες και η πρώτη είναι προβολικό

επίπεδο microπορούmicroε να ϐρούmicroε τέσσερα σηmicroεία Pi (i = 1 4) διαφορετικά και ανά

τρία microη συγγραmicromicroικά (ως προς τις ευθείες του L ) Τα σηmicroεία αυτά δεν είναι ανά

τρία συγγραmicromicroικά και ως προς τις ευθείες του L Πραγmicroατικά αν υποθέσουmicroε ότι

υπάρχει κάποια ευθεία J(k) που περιέχει ας πούmicroε τα P1 P2 P3 τότε ϑα ήταν και

(Pj k) isin I ( j = 1 23) δηλαδή τα σηmicroεία ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά στο πρώτο επίπεδο

(άτοπο)

Για το συmicroπέρασmicroα ii) παρατηρούmicroε ότι σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό της J

[ forall (P k) isin P times L (P k) isin I ] rArr [ 1P(P) = P isin J(k) ]

΄Αρα το Ϲεύγος (1P J) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Επειδή η 1P είναι 1 ndash 1

και επί το Πόρισmicroα 266 ολοκληρώνει την απόδειξη

70 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

269 Παρατηρήσεις Με τη ϐοήθεια του προηγουmicroένου ισοmicroορφισmicroού (1P J) το

προβολικό επίπεδο (PLI) ταυτίζεται microε το προβολικό επίπεδο (P L isin) του οποίου

οι ευθείες είναι σηmicroειοσύνολα δηλαδή υποσύνολα τουP ΄Ετσι ταυτίζοντας (microέσω της

J ) microια ευθεία k isin L microε τη σηmicroειοσειρά της J(k) κάθε σηmicroείο P της k [microε την έννοια

(P k) isin I] microπορεί να ϑεωρηθεί και σηmicroείο της ευθείας (σηmicroειοσειράς) J(k) isin L [microε

τη συνήθη συνολοθεωρητική έννοια δηλ P isin J(k)]΄Οπως εξηγήσαmicroε και στη συζήτηση πριν το Θεώρηmicroα 268 τα προηγούmicroενα

ϐρίσκονται σε συmicroφωνία microε τη Στοιχειώδη Γεωmicroετρία (όπου οι ευθείες είναι σύνολα

σηmicroείων) και δικαιολογεί τις εκφράσεις laquoένα σηmicroείο ανήκει σε microία ευθείαraquo laquoδύο

ευθείες τέmicroνονται σ᾿ ένα σηmicroείοraquo κλπ τις οποίες έχουmicroε χρησιmicroοποιήσει ήδη από

τους πρώτους ορισmicroούς

2610 Ασκήσεις

1 Αν (φψ) (PL isin) rarr (PprimeLprime isin) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων 1 ndash 1 τότε

ισχύει η συνεπαγωγή

[ forall (P ℓ) isin P times L P lt ℓ] rArr [φ(P) lt ψ(ℓ)]

Τι συmicroβαίνει αν παραλειφθεί η υπόθεση ότι ο microορφισmicroός (φψ) είναι 1 ndash 1

2 Με τις υποθέσεις της προηγουmicroένης άσκησης έχουmicroε ότι

[ forall (P ℓ) isin P times L φ(P) isin ψ(ℓ)] rArr [P isin ℓ ]

3 Αν (φψ) είναι ισοmicroορφισmicroός τότε το Ϲεύγος (φminus1 ψminus1) είναι microορφισmicroός προβο-

λικών επιπέδων (Να συνδυαστεί η άσκηση microε την Παρατήρηση 263) Συmicroβολικά

γράφουmicroε ότι

(φminus1 ψminus1) = (φψ)minus1

4 ΄Εστω ότι (φ ψ) είναι microορφισmicroός 1 ndash 1 microεταξύ προβολικών επιπέδων Τότε κάθε microία

από τις απεικονίσεις του Ϲεύγους εκφράζεται microέσω της άλλης

5 Αν (φψ) είναι microορφισmicroός προβολικών επιπέδων και η φ είναι απεικόνιση 1 ndash 1

τότε για οποιονδήποτε άλλο microορφισmicroό (φψprime) ϑα είναι ψ = ψprime

6 Να αποδειχθεί ότι το P2 όπως ορίστηκε στο Παράδειγmicroα 223 (2) είναι ισόmicroορφο

microε το προβολικό επίπεδο της ΄Ασκησης 229 (5)

7 Αν (φ1 ψ1) είναι microορφισmicroός του προβολικού επιπέδου (P1L1I1) στο (P2L2I2)και (φ2 ψ2) microορφισmicroός του (P2L2I2) στο (P3L3I3) τότε και το Ϲεύγος (φ2 φ1 ψ2 ψ1) είναι microορφισmicroός του (P1L1I1) στο (P3L3I3) Συmicroβολικά γράφουmicroε

ότι

(φ2 φ1 ψ2 ψ1) = (φ2 ψ2) (φ1 ψ1)

8 ∆ίνονται τα προβολικά επίπεδα (PL isin) (PprimeLprime isin) και υποθέτουmicroε ότι φ P rarr Pprimeείναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί η οποία διατηρεί τη συγγραmicromicroικότητα σηmicroείων

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 71

δηλ απεικονίζει συγγραmicromicroικά σηmicroεία του πρώτου επιπέδου σε συγγραmicromicroικά σηmicroεία

του δευτέρου Τότε υπάρχει microία microοναδική ψ L rarr Lprime τέτοια ώστε το (φψ) να είναι

ισοmicroορφισmicroός microεταξύ των δύο προβολικών επιπέδων

9 Αν (PL isin) είναι ένα προβολικό επίπεδο συmicroβολίζουmicroε microε Aut(P) το σύνολο

των αυτοmicroορφισmicroών του (δηλ των ισοmicroορφισmicroών του επιπέδου στον εαυτό του) Να

αποδειχθεί ότι το Aut(P) αποτελεί οmicroάδα (microε πράξη τη σύνθεση των microορφισmicroών

όπως αναφέρεται στην παραπάνω ΄Ασκηση 7

Τα στοιχεία του Aut(P) καλούνται ιδιαιτέρως συγγραmicromicroικότητες του προ-

ϐολικού επιπέδου (PLI) ενώ το Ϲεύγος (PAut(P)) αποτελεί τη Γεωmicroετρία

Klein αυτού Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός προβολικού επιπέδου προκύ-

πτουν από αντίστοιχες ιδιότητες της οmicroάδαςAut(P) και ορισmicroένων υποοmicroάδων

της Η ορολογία αυτή χρησιmicroοποιείται προς τιmicroήν του Felix Klein (1849ndash1925)

ο οποίος είχε την ιδέα να microελετήσει τη γεωmicroετρία ενός συνόλου S εφοδιασmicroέ-

νου microε microία δοmicroή microέσω της αντίστοιχης οmicroάδας Aut(S) ΄Ετσι η Γεωmicroετρία

Klein του S είναι το ξεύγος (SAut(S)) Την ιδέα αυτή ανέπτυξε ο Klein το

1872 στο περίφηmicroο Erlanger Programm (Πρόγραmicromicroα του Erlangen) που είχε

πολύ microεγάλη επίδραση στην εξέλιξη της Γεωmicroετρίας

Εικονα 14 Felix Klein

27 Αλγεβρική microελέτη του P2

Στο Παράδειγmicroα 223 (2) ορίσαmicroε το πραγmicroατικό προβολικό επίπεδο P2 Επειδή το

επίπεδο αυτό προκύπτει από τον χώρο R3 στον οποίον υπάρχει η δυνατότητα να

χρησιmicroοποιηθεί ο microηχανισmicroός της Γραmicromicroικής ΄Αλγεβρας το P2 είναι ένα πρώτο (και

σηmicroαντικό) παράδειγmicroα συσχετισmicroού της Προβολικής Γεωmicroετρίας microε την ΄Αλγεβρα

που οδηγεί στη γενικότερη ιδέα της αλγεβροποίηση του τυχόντος προβολικού επιπέ-

δου

΄Οπως εξηγήσαmicroε στο προαναφερόmicroενο παράδειγmicroα τα σηmicroεία του P2 είναι ακρι-

ϐώς οι ευθείες του R3 οι οποίες διέρχονται από το 0 equiv (000) ενώ οι ευθείες του

P2 είναι ακριβώς τα επίπεδα του R3 τα οποία επίσης διέρχονται από το 0

72 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Ας ϑυmicroηθούmicroε από την ΑναλυτικήΓραmicromicroική Γεωmicroετρία ότι αν ε είναι microια ευ-

ϑεία του R3 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε η ε ορίζεται πλήρως από

το 0 και τυχόν άλλο σηmicroείο της (ao bo co) (000) Ακριβέστερα

ε = t(ao bo co) | t isin R(271)

Προφανώς για δύο τυχόντα σηmicroεία (a b c) (aprime bprime cprime) της ε που είναι διαφορετικά

microεταξύ τους καθώς και προς το 0 υπάρχει κάποιο λ isin Rlowast = R minus 0 έτσι ώστε

(aprime bprime cprime) = λ(a b c)Απ᾿ το άλλο microέρος ένα επίπεδο του R3 που διέρχεται από το 0 ορίζεται από microία

εξίσωση της microορφής

αx + y + γz = 0(272)

όπου οι συντελεστές α γ είναι στοιχεία του R3 microε (α γ) (0 00) Οι τριάδες

(x y z) που είναι λύσεις της (272) αποτελούν τα σηmicroεία του επιπέδου Επειδή

ένα τέτοιο επίπεδο καθορίζεται πλήρως από την τριάδα (α γ) το συmicroβολίζουmicroε microε

Π(α γ)Αν ϑεωρήσουmicroε δύο επίπεδα Π(α γ) και Π(αprime prime γprime) τότε διαπιστώνουmicroε ότι

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime) hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Πραγmicroατικά η σχέση (272) συνεπάγεται ότι

(α γ) perp (x y z)

για κάθε (x y z) isin Π(α γ) άρα

(α γ) perp Π(α γ)

και παρόmicroοια

(αprime prime γprime) perp Π(αprime prime γprime)

Εποmicroένως

Π(α γ) = Π(αprime prime γprime)hArr (αprime prime γprime) (α γ)

hArr (αprime prime γprime) = λ(α γ)

Οι προηγούmicroενες υπενθυmicroίσεις ϑα microας επιτρέψουν να κατασκευάσουmicroε microε αλγε-

ϐρικό τρόπο ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο microε το P2 Λόγω της ισοmicroορφίας αυτής

ϑα ταυτίζουmicroε τα δύο επίπεδα οπότε ϑα έχουmicroε την δυνατότητα να microελετήσουmicroε το

P2 microε αλγεβρικές microεθόδους Για το σκοπό αυτό στο χώρο

R3lowast = R3 minus (000)

ορίζουmicroε την εποmicroένη σχέση ισοδυναmicroίας

(a b c) sim (aprime bprime cprime) hArr exist λ isin Rlowast (aprime bprime cprime) = λ(a b c)(273)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 73

Την κλάση ισοδυναmicroίας του σηmicroείου (a b c) συmicroβολίζουmicroε microε [a b c] (αντί του πο-

λυπλοκοτέρου [(a b c)]) Προφανώς

[a b c] =λ(a b c) | λ isin Rlowast

Ο αντίστοιχος χώρος-πηλίκον R3lowast sim δηλαδή το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυνα-

microίας οι οποίες προκύπτουν microε τον προηγούmicroενο τρόπο συmicroβολίζεται microε Pα ΄Αρα

Pα = R3lowast sim =

[a b c] | (a b c) isin R3

lowast(274)

Πιο κάτω τις κλάσεις του Pα ϑα τις αντιστοιχίσουmicroε στα σηmicroεία του P2 (δηλαδή τις

ευθείες του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Στη συνέχεια για microια τριάδα (α γ) isin R3lowast (που microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι

αντιστοιχεί στους συντελεστές ενός επιπέδου από το 0) ορίζουmicroε και την ισοδυναmicroία

(επίσης στο R3lowast )

(α γ) sim (αprime prime γprime)hArr exist λ isin Rlowast (αprime prime γprime) = λ(α γ)(275)

Την κλάση ισοδυναmicroίας της τριάδας (α γ) συmicroβολίζουmicroε microε ltα γ gt και ϑέτουmicroε

(276) Lα=

ltα γ gt | (α γ) isin R3

lowast

Θα δούmicroε πιο κάτω ότι τα στοιχεία (κλάσεις) του Lα αντιστοιχούν στις ευθείες του P2

(δηλαδή στα επίπεδα του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων)

Μεταξύ των Pα και Lα υπάρχει microια προφανής σχέση σύmicroπτωσης (λόγω του συ-

σχετισmicroού τους microε τις ευθείες και τα επίπεδα του R3) που δίνεται απο την

(277) [p q r] isin ltα γ gt hArr αp + q + γr

Επίσης Pα cap Lα= empty Εποmicroένως σχηmicroατίζεται η τριάδα (PαLα isin) όπου ο εκθέτης

laquoαraquo χρησιmicroοποιείται για να υποδηλώσει ότι η κατασκευή της έγινε microε τον laquoαλγεβρικόraquo

τρόπο που περιγράψαmicroε

Πριν αποδείξουmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) αποτελεί προβολικό επίπεδο ας πα-

ϱατηρήσουmicroε ότι οι ισοδυναmicroίες (273) και (275) δεν διαφέρουν microεταξύ τους από

συνολοθεωρητική άποψη ΄Οmicroως όπως προαναφέραmicroε οι κλάσεις της πρώτης ϑα

αντιστοιχούν σε σηmicroεία του P2 ενώ οι κλάσεις της δεύτερης στις ευθείες του Λόγω

αυτής της διαφοροποίησης χρησιmicroοποιούmicroε τα σύmicroβολα [ ] και lt gt για να διακρί-

νουmicroε microεταξύ τους τις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναmicroίας ΄Ετσι για παράδειγmicroα αν

(x y z) isin R3lowast τότε τα στοιχεία [x y z] και ltx y zgt συmicroβολίζουν εντελώς διαφορετι-

κά αντικείmicroενα στο υπό κατασκευήν προβολικό επίπεδο (PαLα isin) το [x y z] είναι

ένα σηmicroείο του ενώ το ltx y zgt είναι microια ευθεία του ιδίου επιπέδου

271 Θεώρηmicroα Η τριάδα Pα2 = (PαLα isin) ορίζει ένα προβολικό επίπεδο ισόmicroορφο

προς το P2

74 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

Απόδειξη Για την απόδειξη του (ΠΕ 1) ϑεωρούmicroε δύο οποιαδήποτε σηmicroεία [a1 b1 c1]και [a2 b2 c2] του Pα microε [a1 b1 c1] [a2 b2 c2] (εποmicroένως δεν υπάρχει λ isin Rlowastτέτοιο ώστε (a2 b2 c2) = λ(a1 b1 c1)) Θα δείξουmicroε ότι τα δύο σηmicroεία ορίζουν microία

(microοναδική) ευθεία Αν καλέσουmicroε ltx y z gt την ευθεία αυτή τότε ϑα ικανοποιείται

το οmicroογενές σύστηmicroα των εξισώσεων

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0(278)

Το τελευταίο σύmicroφωνα microε τη γενική ϑεωρία των (οmicroογενών) γραmicromicroικών συστηmicroάτων

διαθέτει microη microηδενικές λύσεις και το σύνολο όλων των λύσεών του αποτελεί γραmicromicroικό

χώρο διάστασης 1 (ϐλ σχετικώς [2 σελ 135] [4 σελ 249] [14 σελ 84]) Εποmicroένως

αν (x y z) είναι microια οποιαδήποτε microη microηδενική λύση τότε κάθε άλλη λύση επίσης

microη microηδενική ϑα είναι της microορφής (x prime yprime zprime) = λ(x y z) microε λ isin Rlowast ∆ηλαδή όλες οι

microη microηδενικές λύσεις του συστήmicroατος (278) ορίζουν ακριβώς microιαν ευθεία ltx y zgt

οπότε αποδεικνύεται το (ΠΕ 1)

Για την απόδειξη του αξιώmicroατος (ΠΕ 2) ϑεωρούmicroε δύο διαφορετικές ευθείες

ltα1 1 γ1gt και ltα2 2 γ2gt του Lα οπότε αναζητούmicroε ένα κοινό σηmicroείο [x y z]Τότε ϑα πρέπει να επιλύσουmicroε το σύστηmicroα

α1x + 1y + γ1z = 0

α2x + 2y + γ2z = 0

που είναι ακριβώς του τύπου (278) ΄Αρα microε την ίδια microέθοδο αποδεικνύουmicroε την

ύπαρξη ενός (microοναδικού) [x y z] microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα

Τέλος ϑεωρούmicroε τα σηmicroεία [100] [010] [001] και [111] ∆ιαπιστώνουmicroε

στοιχειωδώς ότι είναι διαφορετικά microεταξύ τους Επίσης δεν είναι συγγραmicromicroικά ανά

τρία Για παράδειγmicroα αν τα [100] [010] και [111] ήσαν συγγραmicromicroικά και

ltx y zgt η κοινή τους ευθεία τότε από την (277) ϑα είχαmicroε ότι (x y z) = (0 00)που δεν έχει έννοια [ϐλεπίσης και την Εφαρmicroογή 272 (4) στη συνέχεια] Εποmicroένως

ικανοποιείται και το αξίωmicroα (ΠΕ 3)

Αφού δείξαmicroε ότι η τριάδα (PαLα isin) είναι προβολικό επίπεδο για να το συγκρί-

νουmicroε microε το (γεωmicroετρικό) P2 = (PLsub) όπως το έχουmicroε ορίσει microέσω ευθειών και

επιπέδων του R3 ορίζουmicroε τις απεικονίσεις Φα P rarr Pα και Ψα L rarr Lα microε

P ni t(a b c) | t isin R ⊢ Φαminusminusminusrarr [a b c] isin Pα(279)

L ni Π(α γ) ⊢ Ψαminusminusminusrarr ltα γ gt isin Lα(2710)

Οι Φα και Ψα είναι καλά ορισmicroένες Θα δείξουmicroε ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι

microορφισmicroός προβολικών επιπέδων Πραγmicroατικά αν P και ℓ είναι σηmicroείο και ευθεία

αντιστοίχως του P2 microε P isin ℓ τότε microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι

P = t(a b c) | t isin R και ℓ = Π(α γ)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 75

για κάποιες τριάδες (a b c) και (α γ) του R3lowast Επειδή

P isin ℓ hArr t(a b c) | t isin R sub Π(α γ)

προκύπτει ότι κάθε σηmicroείο t(a b c) microε t 0 ικανοποιεί την (277) δηλαδή

α(ta) + (tb) + γ(tc) = 0 ή αa + b + γc = 0

πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι [a b c] isin ltα γ gt Εποmicroένως σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό

των Φα και Ψα είναι

Φα(P) = [a b c] isin ltα γ gt = Ψα(Π(α γ))

που αποδεικνύει ότι το Ϲεύγος (ΦαΨα) είναι πράγmicroατι microορφισmicroός

Τέλος διαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι οι απεικονίσεις ΦαΨα είναι 1 ndash 1 και επί (αρκεί

ο έλεγχος της microιας) άρα το (ΦαΨα) ορίζει έναν ισοmicroορφισmicroό microεταξύ των προβολικών

επιπέδων P2 και Pα

Σχόλιο Εξαιτίας της ισοmicroορφίας του Θεωρήmicroατος 271 ταυτίζουmicroε τα επίπεδα P2

και Pα2 οπότε χρησιmicroοποιούmicroε το ίδιο σύmicroβολο P2 και για τα δύο ΄Ετσι το P2

microπορεί να ερmicroηνευθεί και να microελετηθεί κατά δύο (ισοδύναmicroους) τρόπους είτε

όπως στο Παράδειγmicroα 223 (2) [microε ευθείες και επίπεδα του R3] είτε microε κλάσεις

ισοδυναmicroίας όπως πιο πάνω Η προτίmicroηση για τον έναν ή τον άλλον τρόπο υ-

παγορεύεται από το συγκεκριmicroένο πρόβληmicroα που αντιmicroετωπίζουmicroε κάθε ϕορά

272 Μερικές εφαρmicroογές στο P2

(1) Να ϐρεθεί το σηmicroείο τοmicroής των ευθειών lt012gt και lt101gt

Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι οι δύο ευθείες είναι διαφορετικές αφού δεν υπάρχει λ isinRlowast τέτοιο ώστε (101) = λ(012) Εποmicroένως αν [x y z] είναι η Ϲητουmicroένη τοmicroή

τότε ϑα επαληθεύεται το σύστηmicroα των εξισώσεων

0x + 1y + 2z = 0

1x + 0y + 1z = 0

απ᾿ όπου προκύπτει ότι x = minusz και y = minus2z Εποmicroένως

[x y z] = [minuszminus2z z] = [minusz(12minus1)]

Επειδή z 0 [αλλιώς ϑα ήταν (x y z) = (0 00) άτοπο] έχουmicroε τελικώς ότι

lt012gt and lt10 1gt = [12minus1]

(2) Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας ℓ = lt012gt

Αν συmicroβολίσουmicroε microε [x y z] το τυχόν σηmicroείο της ℓ τότε

[x y z] isin ℓ hArr 0x + 1y + 2z = 0 hArr y = minus2z

76 Κεφάλαιο 2 Συσχετισmicroένα και προβολικά επίπεδα

δηλαδή τα σηmicroεία της ℓ έχουν τη microορφή [x y z] = [xminus2z z]Επειδή (x y z) (000) ϑα είναι είτε x 0 είτε z 0 Για x 0 ϑα έχουmicroε

ότι

[x y z] = [xminus2z z] =[x(1minus2

z

xz

x

)]=

[1minus2

z

xz

x

]

οπότε ϑέτοντας λ =z

x καταλήγουmicroε στην

[x y z] = [1minus2λ λ] forall λ isin R(2711)

Στην περίπτωση που είναι z 0 ϑα έχουmicroε ότι

[x y z] = [1minus2z z] =[z(x

z minus 21

)]=

[x

z minus 21

]

άρα για micro = xz προκύπτει ότι

[x y z] = [microminus2 1] forall micro isin R(2712)

Τις (2711) και (2712) microπορούmicroε να ενοποιήσουmicroε ως εξής για λ = 0 παίρ-

νουmicroε το σηmicroείο [1 00] ενώ για λ 0 είναι

[x y z] =[λ middot

(1

λminus2 1

)]=

[1

λminus2 1

]

το οποίο (προφανώς) αποτελεί σηmicroείο της microορφής (2712)

Εποmicroένως τα σηmicroεία της ευθείας lt 012gt είναι το [1 00] και όλα τα σηmicroεία

της microορφής [microminus21] microε micro isin R

(3) Να ϐρεθεί η ευθεία την οποίαν ορίζουν τα σηmicroεία [001] και [1 11]

∆ιαπιστώνουmicroε ότι [001] [111] άρα ορίζεται η ευθεία [00 1] or [1 11] Αν

την καλέσουmicroε ltx y zgt τότε ϑα επαληθεύονται οι εξισώσεις

z = 0 x + y + z = 0

από τις οποίες προκύπτει ότι

ltx y zgt = ltxminusx 0gt = lt1minus10gt

(επειδή αναγκαίως είναι x 0) Εποmicroένως

[001] or [1 11] = lt1minus1 0gt

(4) Να ϐρεθεί η συνθήκη συγγραmicromicroικότητας τριών σηmicroείων

Ας υποθέσουmicroε ότι Ϲητούmicroε να ϐρούmicroε microία ευθεία lt x y z gt η οποία να περιέχει

τρία δεδοmicroένα σηmicroεία [ai bi ci] i = 1 2 3 Τότε ϑα πρέπει το οmicroογενές σύστηmicroα

aix + biy + ciz = 0 i = 1 2 3(2713)

27 Αλγεβρική microελέτη του P2 77

να διαθέτει microία λύση διάφορη της microηδενικής Αυτό συmicroβαίνει τότε και microόνον τότε αν η

ορίζουσα των συντελεστών του (2713) microηδενίζεται Εποmicroένως η Ϲητουmicroένη συνθήκη

είναι η

(2714)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

273 Ασκήσεις

1 Να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις (273) (276) ορίζουν πράγmicroατι σχέσεις ισοδυνα-

microίας Επίσης να αποδειχθεί ότι η σχέση σύmicroπτωσης (277) δεν εξαρτάται από την

επιλογή των αντιπροσώπων των κλάσεων

2 Στο Θεώρηmicroα 271 να συmicroπληρωθεί η απόδειξη του (ΠΕ 3) και να αποδειχθεί

ότι οι Φα Ψα είναι καλά ορισmicroένες απεικόνίσεις 1ndash1 και επί

3 Να ϐρεθεί η ευθεία που ορίζουν τα σηmicroεία

α) [213] και [10minus1]ϐ) [10minus2] και [minus204]

4 Να ϐρεθεί η τοmicroή των ευθειών

α) lt2minus10gt και ltminus11

2 0gt

ϐ) lt100gt και lt1minus21gt

5 Να ϐρεθεί η microορφή των σηmicroείων της ευθείας lt001gt

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται στο ϐιβλίο του παρόντος συγγραφέα [5]

όπου και παραπέmicroπουmicroε τους ενδιαφεροmicroένους για παραπέρα microελέτη Πολύ κοντά

στην παραπάνω έκθεση ϐρίσκονται και τα ϐιβλια [9] [25] στα οποία microπορεί κανείς

να ϐρεί και άλλα πιό εξειδικευmicroένα ϑέmicroατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

3

∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Το πρόβληmicroα της κατασκευής επιπέδων χαρτών της επιφάνειας

της Γης υπήρξε microία από τις απαρχές της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας η

οποία microπορεί χονδρικά να περιγραφεί ως η έρευνα των ιδιοτήτων

των καmicroπυλών και επιφανειών Μια άλλη απαρχή αυτής της

laquoτοπικήςraquo γεωmicroετρίας ήταν η microελέτη στον 17ο και 18ο αιώνα των

εφαπτοmicroένων των πρώτων καθέτων και της καmicroπυλότητας microε τον

[∆ιαφορικό] Λογισmicroό να έχει δώσει ικανά εργαλεία για τη γενική

επίθεση

E T Bell [8 σελ 353]

Μ ετα απο microια συντοmicroη ιστορική αναδροmicroή στην sect31 δίνονται οι ϐασικοί ορι-

σmicroοί που αφορούν τις διαφορίσιmicroες παραmicroετρηmicroένες καmicroπύλες Η έννοια της

αναπαραmicroέτρησης εισάγεται στην sect32 όπου αποδεικνύεται ότι κάθε κανονική καmicro-

πύλη δέχεται αναπαραmicroέτρηση microοναδιαίας ταχύτητας Για τις τελευταίες ορίζονται οι

ϑεmicroελιώδεις έννοιες της καmicroπυλότητας και στρέψης καθώς επίσης και το τρίεδρο

FrenetshySerret (sect33) Τα ίδια στοιχεία για καmicroπύλες τυχαίας ταχύτητας εξετάζονται

στις τελευταίες sectsect34ndash35

79

80 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

30 Εισαγωγή

Καmicroπύλες όπως ο κύκλος οι κωνικές τοmicroές οι έλικες και οι σπείρες είχαν απασχολή-

σει τους αρχαίους ΄Ελληνες Με σχετικά προβλήmicroατα είχαν ασχοληθεί ο Πλάτωνας

ο Μέναιχmicroος ο Απολλώνιος ο Αρχιmicroήδης κα Επίσης για την αντιmicroετώπιση των

περίφηmicroων άλυτων (microε κανόνα και διαβήτη) προβληmicroάτων είχαν ανακαλυφθεί και

microελετηθεί η κισσοειδής (καmicroπύλη) του ∆ιοκλέους η κογχοειδής του Νικοmicroήδους και

η τετραγωνίζουσα του ∆εινοστράτου

Ενα σηmicroαντικό πρόβληmicroα που απασχόλησε τους microαθηmicroατικούς από την εποχή

της αρχαιότητας ήταν η χάραξη της εφαπτοmicroένης σε ένα σηmicroείο microιας καmicroπύλης Το

πρόβληmicroα αντιmicroετωπίστηκε ϕυσικά στο πλαίσιο της γνωστής τότε (συνθετικής) Ευ-

κλείδειας Γεωmicroετρίας Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήσαν microόνον microερικές και αφορού-

σαν συγκεκριmicroένες καmicroπύλες Μια καλλίτερη προσέγγιση έγινε δυνατή στο πλαίσιο

της Αναλυτικής Γεωmicroετρίας Παρά τις σηmicroαντικές προόδους που σηmicroειώθηκαν στην

κατεύθυνση αυτή από τους R Descartes (Καρτέσιο) P Fermat και C Huygens

και πάλι η γενική microέϑοδος επίλυσης του προβλήmicroατος σταmicroατούσε όταν επρόκειτονα

αντιmicroετωπιστούν εξισώσεις ϐαθmicroού ανωτέρου του 3

Το πρόβληmicroα του προσδιορισmicroού της εφαπτοmicroένης επιλύθηκε στη γενικότητά του

microε την χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού που microαζί microε τον Ολοκληρωτικό Λογισmicroό

άσκησαν τεράστια επίδραση στην εξέλιξη της microαθηmicroατικής επιστήmicroης

Η χρήση του ∆ιαφορικού Λογισmicroού στη microελέτη της Γεωmicroετρίας οδήγησε στην δη-

microιουργία ενός νέου κλάδου της ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Στην ανάπτυξη της ∆ιαφορι-

κής Γεωmicroετρίας των καmicroπυλών είχαν ϑεmicroελιώδη συmicroβολή οι I Newton G W Leibniz

L Euler G Monge J Bernoulli A C Clairaut F Frenet J A Serret Ch Dupin

J Bertrand και πολλοί άλλοι

Η microελέτη των καmicroπυλών εκτός από το καθ᾿ αυτό microαθηmicroατικό ενδιαφέρον της

έχει σηmicroαντικές εφαρmicroογές στη microηχανική στη ναυσιπλοΐα στον προσδιορισmicroό των

τροχιών ουρανίων σωmicroάτων ή συστηmicroάτων δορυφόρων κα

Εδώ ϑα γνωρίσουmicroε microερικές ϐασικές έννοιες και συmicroπεράσmicroατα της λεγόmicroενης

τοπικής ϑεωρίας των καmicroπυλών

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες

Στην Αναλυτική Γεωmicroετρία λέγοντας καmicroπύλη εννοούmicroε ένα σύνολο σηmicroείων X (του

χώρου ή του επιπέδου) που ικανοποιούν ορισmicroένες συνθήκες Για παράδειγmicroα microπο-

ϱεί να είναι ο γεωmicroετρικός τόπος σηmicroείων που ικανοποιούν microια συγκεκριmicroένη ιδιό-

τητα (κύκλος έλλειψη κλπ) το γράφηmicroα microιας συνάρτησης f R rarr R η τροχιά

ενός κινητού κοκ Σκοπός microας είναι να εφαρmicroόσουmicroε microεθόδους του ∆ιαφορικού

Λογισmicroού στην microελέτη του X και για να γίνει αυτό ϑα πρέπει να δούmicroε τις καmicroπύλες

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 81

ως εικόνες κατάλληλων συναρτήσεων δηλαδή να τις παραmicroετρήσουmicroε Ετσι δίνουmicroε

τον επόmicroενο ορισmicroό

311 Ορισmicroός Μια παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη στο χώρο (parametrized curve) ή

απλώς καmicroπύλη στο χώρο (space curve) είναι microια συνεχής απεικόνιση α I rarr R3

όπου I sube R είναι ένα διάστηmicroα

Εποmicroέmicroως ο όρος laquoπαραmicroετρηmicroένηraquo (που συνήθως ϑα παραλείπεται στη συνέ-

χεια) σηmicroαίνει ότι η καmicroπύλη περιγράφεται microε την ϐοήθεια microιας microεταβλητής (παρα-

microέτρου) t isin I Σε προβλήmicroατα ϕυσικής η τελευταία microπορεί να παριστά τον χρόνο

Επειδή για κάθε t isin I είναι α(t) isin R3 η α είναι microία τριάδα της microορφής

(311) α = (α1 α2 α3)

Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγmicroένη)

αi = ui α i = 123

όπου η ui R3 rarr R συmicroβολίζει την κανονική προβολή στην i-συντεταγmicroένη είναι microια

πραγmicroατική συνάρτηση microιας πραγmicroατικής microεταβλητής Η συνέχεια της α ισοδυναmicroεί

microε την συνέχεια κάθε microιας από τις αi

Αν η εικόνα α(I) microιας καmicroπύλης περιέχεται σε ένα επίπεδο του R3 λέmicroε ότι η α

είναι επίπεδη καmicroπύλη (plane curve) Σ᾿ αυτήν την περίπτωση microε microια αλλαγή του

συστήmicroατος συντεταγmicroένων microπορούmicroε να ϑεωρούmicroε ότι α(I) sub R2

Ενδιαφερόmicroαστε όχι για την απεικόνιση α (παραmicroετρηmicroένη καmicroπύλη) αλλά για

τις γεωmicroετρικές ιδιότητες της εικόνας δηλαδή του συνόλου X = α(I) Η απεικό-

νιση α είναι απλώς το εργαλείο για τη microελέτη του α(I)

Εδώ πρέπει να παρατηρήσουmicroε ότι οι καmicroπύλες

α R minusrarr R2 t 7rarrradic

2

2t

radic2

2t

R minusrarr R2 t 7rarr (t t)

γ R minusrarr R2 t 7rarr (t3 t3)

δ R minusrarr R2 t 7rarr(t t) t le 0

(t2 t2) t gt 0

έχουν την ίδια εικόνα α(R) = (R) = γ(R) = δ(R) = ∆R δηλαδή την διαγώνιο του R2

(ϐλ και Σχήmicroα 31 στην επόmicroενη σελίδα)

Απ᾿ αυτές

ndash η α είναι διαφορίσιmicroη microε αprime(t) = 1 για κάθε t isin R

ndash η είναι διαφορίσιmicroη microε prime(t) 0 για κάθε t isin R

ndash η γ είναι διαφορίσιmicroη και υπάρχει ένα σηmicroείο το 0 όπου γprime(0) = (00)ndash ενώ η δ δεν είναι διαφορίσιmicroη (εννοείται παντού αφού δεν υπάρχει διαφορισι-

microότητα στο σηmicroείο 0)

82 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

x

Diexcl

y

Σχηmicroα 31

Από τα προηγούmicroενα παραδείγmicroατα προκύπτει ότι (1) η ίδια καmicroπύλη ∆R microπο-

ϱεί να περιγραφεί ως εικόνα διαφορετικών (παραmicroετρηmicroένων) καmicroπυλών και (2) η

ανυπαρξία παραγώγου ή ο microηδενισmicroός της (για microια παραmicroέτρηση) δεν συνδέονται

κατ᾿ ανάγκην microε κάποια ανωmicroαλία στο σχήmicroα της εικόνας ∆R ∆ηmicroιουργούν όmicroως

τεχνικές δυσκολίες γι᾿ αυτό ϑα ϑεωρήσουmicroε καmicroπύλες που διαγράφουν την εικό-

να microε τον καλλίτερο δυνατό τρόπο έτσι ώστε να δίνουν αmicroεσώτερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα

΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και έστω ότι σε ένα σηmicroείο to εί-

ναι αprime(to) 0 Τότε υπάρχει η εφαπτοmicroένη ευθεία (tangent line) της α στο σηmicroείο

x

y

( )ota

( )otacent εφαπτομένη

Σχηmicroα 32

31 ∆ιαφορίσιmicroες καmicroπύλες 83

α(to) που δίνεται από την εξίσωση

(312) ϸ(s) = α(to) + sαprime(to) s isin R

Η ανυπαρξία ή ο microηδενισmicroός της παραγώγου αprime(to) στο σηmicroείο to δεν επιτρέπουν

την προηγούmicroενη έκφραση της εφαπτοmicroένης Γι᾿ αυτό στα επόmicroενα ϑεωρούmicroε microό-

νο διαφορίσιmicroες καmicroπύλες των οποίων η παράγωγος δεν microηδενίζεται πουθενά Μια

καmicroπύλη micro᾿ αυτήν την ιδιότητα ονοmicroάζεται κανονική ή οmicroαλή (regular) ενώ σε microια

καmicroπύλη α που δεν είναι οmicroαλή κάθε σηmicroείο όπου microηδενίζεται η παράγωγος λέγεται

σηmicroείο ανωmicroαλίας (της α)

Στη συνέχεια υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας έχουν τάξη διαφορισιmicroότητας αρ-

κετά microεγάλη (συνήθως ge 3) ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη όσων παραγώγων χρειά-

Ϲονται Επίσης υποθέτουmicroε ότι οι καmicroπύλες microας είναι και απλές δηλαδή είναι α-

πεικονίσεις 1ndash1 Εποmicroένως για να αποφύγουmicroε τις περιττές επαναλήψεις microε τον

όρο laquoκανονική καmicroπύληraquo ϑα εννοούmicroε microια απλή κανονική καmicroπύλη Cr-διαφορίσιmicroη

microε r ge 3

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α η παράγωγος

(313) αprime(t) = (αprime1(t) αprime2(t) αprime3(t))

ονοmicroάζεται εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα (tangent vector) ή διάνυσmicroα ταχύτητας (velocity)

της α στο α(t) ενώ το microήκος του ανωτέρω διανύσmicroατος

v(t) = αprime(t) =(αprime1(t)2

+ αprime2(t)2+ αprime3(t)2

)12

ονοmicroάζεται microέτρο της ταχύτητας (speed) της α στο t

Αν και η αprime είναι διαφορίσιmicroη τότε η δεύτερη παράγωγος

(314) αprimeprime(t) =(αprimeprime1 (t) αprimeprime2 (t) αprimeprime3 (t)

)

ονοmicroάζεται επιτάχυνση (acceleration) της α στο t

Για microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α I rarr R3 ονοmicroάζουmicroε microήκος (length) της α το

ολοκλήρωmicroα

(315) L(α) =int

I

αprime(t)dt

Για δύο καmicroπύλες α I rarr R3 συmicroβολίζουmicroε microε lt α gt την διαφορίσιmicroη

συνάρτηση

(316) ltα gt I minusrarr R t 7rarrltα(t) (t) gt

και microε α times την διαφορίσιmicroη καmicroπύλη

(317) α times I minusrarr R3 t 7rarr α(t) times (t)

84 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα γινόmicroενα στην εικόνα των (316) και (317) είναι αντιστοίχως το σύνηθες εσω-

τερικό και εξωτερικό γινόmicroενο του R3 Από τη διγραmicromicroικότητα τους προκύπτουν οι

παρακάτω κανόνες παραγώγισης

lt α gtprime (t) =lt αprime(t) (t) gt + lt α(t) prime(t) gt(318)

(α times )prime(t) = (αprime(t) times (t)) + (α(t) times prime(t))(319)

Η απόδειξη των τύπων αυτών προκύπτει επίσης στοιχειωδώς αν γράψουmicroε τις καmicro-

πύλες microε τις συνιστώσες τους [ϐλ σχέση (311)] και εφαρmicroόσουmicroε τον ορισmicroό του

εσωτερικού και εξωτερικού γινοmicroένου έχουmicroε τις αντίστοιχες σχέσεις

lt α(t) (t) gt= α1(t)1(t) + α2(t)2(t) + α3(t)3(t)

α(t) times (t) =(α2(t)3(t) minus α3(t)2(t) α3(t)1(t) minus α1(t)3(t) α1(t)2(t) minus α2(t)1(t)

)

οπότε παραγωγίζουmicroε τις τελευταίες microε το συνήθη τρόπο

Οι παράγωγοι και το microήκος της α microας δίνουν πολλές πληροφορίες για την α(I)όπως γίνεται ϕανερό από τα επόmicroενα

312 Παραδείγmicroατα (1) ΄Εστω α I rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη Αν αprimeprime(t) = 0

για κάθε t isin I η α είναι ευθεία

Πράγmicroατι

αprimeprime(t) = 0rArr αprime(t) = α rArr α(t) = λt + micro

Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο

(2) ΄Εστω α microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη που δεν περνά από το 0 Αν α(to) είναι το

σηmicroείο της εικόνας το πλησιέστερο στο 0 και αprime(to) 0 τότε το διανυσmicroα α(to) είναι

κάθετο στο αprime(to)

Πράγmicroατι ας ϑεωρήσουmicroε την συνάρτηση που σε κάθε t isin I αντιστοιχεί το τετρά-

γωνο της απόστασης του α(t) από το 0 δηλαδή την

δ I minusrarr R t 7rarr α(t)2 = α1(t)2+ α2(t)2

+ α3(t)2=lt α(t) α(t) gt

Αφού η δ παρουσιάζει ελάχιστο στο to ϑα είναι δprime(to) = 0 άρα ϐάσει της (318)

έχουmicroε ότι

0 = δprime(to) =lt α(to) αprime(to) gt + lt α

prime(to) α(to) gt= 2 lt α(to) αprime(to) gt

απ᾿ όπου συνάγεται ότι α(to) perp αprime(to)(3) ΄Εστω α I rarr R2 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε αprime(t) 0 για κάθε t isin I Τότε η

εικόνα α(I) είναι τόξο ενός κύκλου microε κέντρο 0 εάν και microόνον εάν το α(t) είναι κάθετο

στο αprime(t) για κάθε t isin I

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης 85

΄Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε το τετράγωνο της απόστασης του α(t) από το 0

δ I minusrarr R t 7rarrlt α(t) α(t) gt

Η δ είναι σταθερή εάν και microόνον εάν δprime = 0 Αλλά

δprime(t) = lt α α gtprime (t) =lt αprime(t) α(t) gt + lt α(t) αprime(t) gt= 2 lt αprime(t) α(t) gt

Εποmicroένως δprime = 0 ισοδυναmicroεί microε α(t) perp αprime(t) για κάθε t isin I οπότε έχουmicroε το

αποτέλεσmicroα

(4) Η καmicroπύλη ελάχιστου microήκους που ενώνει δύο σηmicroεία P και Q είναι το ευθύ-

γραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα τα P Q

Αν p και q είναι τα διανύσmicroατα ϑέσης των σηmicroείων P και Q αντιστοίχως το

ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα microε άκρα P Q είναι η καmicroπύλη

ϸ [01] minusrarr R3 t 7rarr ϸ(t) = p + t(q minus p)

και έχει microήκος [ϐλ σχέση (315)]

L(ϸ) =int 1

0

ϸprime(t)dt =int 1

0

q minus pdt = q minus p

΄Εστω α [x y] rarr R3 microια διαφορίσιmicroη καmicroπύλη microε α(x) = p και α(y) = q Για ένα

τυχόν σταθερό u isin R3 microε u = 1 είναι

lt a u gtprime (t) = lt αprime(t) u gt + lt α(t) uprime gt = lt αprime(t) u gt

le αprime(t)u = αprime(t)

εποmicroένως

L(α) =int y

x

αprime(t)dt geint y

x

lt α(t) u gtprime dt = lt α(t) u gt |yx

= lt q u gt minus lt p u gt = lt q minus p u gt

για κάθε u isin R3 microε u = 1 Παίρνοντας τώρα u = (q minus p)q minus p καταλήγουmicroε στη

σχέση

L(α) geltq minus p q minus pgt q minus p = q minus p = L(ϸ)

32 Αναπαραmicroέτρηση καmicroπύλης

321 Ορισmicroός Αν α I rarr R3 είναι microια καmicroπύλη τότε microια καmicroπύλη J rarr R3 λέ-

γεται αναπαραmicroέτρηση (reparametrization) της α αν υπάρχει microια αmicroφιδιαφόριση

h J rarr I microε = α h (ϐλ και το επόmicroενο σχετικό διάγραmicromicroα)

86 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

΄Αρα αν η παράmicroετρος της α είναι t και της είναι s έχουmicroε ότι t = h(s)

Iα - X sube R3

J

h

6

-

∆ιάγραmicromicroα 31

Υπενθυmicroίζουmicroε ότι η έκφραση laquoη h είναι αmicroφιδιαφόρισηraquo σηmicroαίνει ότι η h είναι

διαφορίσιmicroη απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε διαφορίσιmicroη αντίστροφη Κατά το Θεώρηmicroα

της Αντίστροφης Συνάρτησης η h είναι αmicroφιδιαφόριση τότε και microόνον τότε αν είναι

1 ndash 1 και επί microε hprime(s) 0 για κάθε s isin J

Είναι ϕανερό ότι κάθε αναπαραmicroέτρηση της α έχει την ίδια εικόνα microε την α Είναι

επίσης ϕανερό ότι αν η α είναι κανονική τότε και κάθε αναπαραmicroέτρησή της είναι

κανονική

Θα αναζητήσουmicroε εκείνες τις ιδιότητες της εικόνας X = α(I) = (J) που δεν

εξαρτώνται από την καmicroπύλη microε την οποία διατρέχουmicroε το X Μια τέτοια ιδιότητα

microας δίνει το επόmicroενο

322 Θεώρηmicroα Αν είναι microια αναπαραmicroέτρηση της α τότε L() = L(α)

Απόδειξη ΄Εστω α [a b] rarr R3 και [aprime bprime] rarr R3 αναπαραmicroέτρησή της α microε

= α h όπου h [aprime bprime] rarr [a b] αmicroφιδιαφόριση Είναι

L() =int bprime

aprimeprime(s)ds =

int bprime

aprime(α h)prime(s)ds

=

int bprime

aprimeαprime(h(s)) middot |hprime(s)|ds

Για hprime gt 0 δηλαδή για h γνησίως αύξουσα έχουmicroε

L() =int bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds =

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

=

int b

a

αprime(t)dt = L(α)

Για hprime lt 0 δηλαδή για h γνησίως ϕθίνουσα έχουmicroε

L() = minusint bprime

aprimeαprime(h(s))hprime(s)ds = minus

int h(bprime)

h(aprime)αprime(h(s))dh(s)

= minusint a

b

αprime(t)dt = L(α)

που ολοκληρώνει την απόδειξη

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 87

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι η αprimeprime microας δείχνει πώς αλλάζει η αprime Η αλλαγή

αυτή microπορεί να αφορά σε αλλαγή του microέτρου της αprime ή σε αλλαγή της διεύθυνσης

Σταθεροποιώντας το microέτρο παίρνουmicroε επιτάχυνση που δείχνει microόνο την αλλαγή της

διεύθυνσης άρα την καmicroπύλωση του χώρου X = α(I) Ετσι ανάmicroεσα σε όλες τις

καmicroπύλες που έχουν την ίδια εικόνα αυτή που microας δίνει ευκολότερα τα Ϲητούmicroενα

συmicroπεράσmicroατα για την κοινή εικόνα είναι η καmicroπύλη που έχει ταχύτητα microε σταθερό

microέτρο ίσο microε 1

Ισχύει το επόmicroενο ϐασικό

323 Θεώρηmicroα Κάθε κανονική καmicroπύλη α I rarr R3 δέχεται αναπαραmicroέτρηση

J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J

Απόδειξη ΄Εστω I = [a b] Θεωρούmicroε την απεικόνιση (microήκος τόξου)

s [a b] minusrarr [0 L(α)] t 7rarrint t

a

αprime(u)du

Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και διαφορίσιmicroη microε

(321) sprime(t) = αprime(t) = v(t) gt 0

άρα (ϐλ Θεώρηmicroα Αντίστροφης Απεικόνισης) έχει διαφορίσιmicroη αντίστροφη

h [0 L(α)] minusrarr [a b]

της οποίας η παράγωγος δίνεται από την σχέση

(322) hprime(s) = 1sprime(h(s)) forall s isin [0 L(α)]

Θέτοντας = α h έχουmicroε ότι

prime(s) = αprime(h(s)) middot |hprime(s)| = αprime(h(s))|sprime(h(s))| = 1

που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

324 Ορισmicroός Μια καmicroπύλη J rarr R3 microε prime(s) = 1 για κάθε s isin J ονοmicroάζεται

καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν α είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη λέmicroε

ότι η αναπαραmicroέτρηση που κατασκευάστηκε στο προηγούmicroενο ϑεώρηmicroα είναι

η αναπαραmicroέτρηση microέσω (του) microήκους τόξου ή ότι έχει παράmicroετρο το microήκος

τόξου Επίσης το microήκος τόξου λέγεται και ϕυσική παράmicroετρος

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet

Σκοπός microας είναι να ορίσουmicroε κάποια αριθmicroητικά microεγέθη που χαρακτηρίζουν γεω-

microετρικά το σύνολο X = α(I) όπου α είναι microια κανονική καmicroπύλη Οπως σηmicroειώσαmicroε

και νωρίτερα τα Ϲητούmicroενα συmicroπεράσmicroατα για το X τα παίρνουmicroε ευκολότερα αν η

88 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

καmicroπύλη έχει microοναδιαία ταχύτητα Γι΄ αυτό αν η αρχική α δεν έχει microοναδιαία ταχύ-

τητα ϑεωρούmicroε την αντίστοιχη αναπαραmicroέτρηση microέσω του microήκους τόξου

΄Εστω λοιπόν (s) s isin J microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Θέτουmicroε

(331) T (s) = prime(s) forall s isin J

Εποmicroένως το T (s) είναι το εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα ή διάνυσmicroα ταχύτητας της

στο σηmicroείο (s) Εφ᾿ όσον T (s) = 1 για κάθε s isin J τα εφαπτόmicroενα διανύσmicroατα

T (s) είναι στοιχεία της microοναδιαίας σφαίρας του R3

Μεταβάλλοντας το s στο J παίρνουmicroε microία διαφορίmicroη συνάρτηση

(331prime) T J ni s 7minusrarr T (s) = prime(s) isin R3

Ισχύει το επόmicroενο

331 Λήmicromicroα Αν (s) s isin J είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε

T prime perp T

δηλαδή

T prime(s) perp T (s) forall s isin J

Απόδειξη Το microήκος του διανύσmicroατος T (s) είναι σταθερό άρα και η συνάρτηση

T (s)2 =lt T (s) T (s) gt είναι σταθερή δηλαδή έχει microηδενική παράγωγο

lt T T gtprime (s) = 2 lt T prime(s) T (s) gt= 0 forall s isin J

απ᾿ όπου προκύπτει το Ϲητούmicroενο

Επειδή το microήκος του T (s) = prime(s) (ταχύτητα) είναι σταθερά 1 η παράγωγος T prime(s) =primeprime(s) (επιτάχυνση) δείχνει την αλλαγή της διεύθυνσης του διανύσmicroατος T (s)

Το microήκος του διανύσmicroατος T prime(s) συmicroβολίζεται microε

(332) k(s) = T prime(s)

και ονοmicroάζεται καmicroπυλότητα της στο (s) Η k(s) είναι ένας microη αρνητικός πραγ-

microατικός αριθmicroός Αν k(s) = 0 λέmicroε ότι το σηmicroείο s είναι ιδιάζον σηmicroείο τάξης 1

Προφανώς ορίζεται και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση (καmicroπυλότητας)

(332prime) k J ni s 7minusrarr k(s) isin [0 infin)

΄Οπως ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 334 η καmicroπυλότητα microετράει το κατά πόσον η καmicro-

πύλη διαφέρει από την ευθεία

Για τα επόmicroενα χρειάζεται η να microην έχει ιδιάζοντα σηmicroεία τάξης 1 άρα έχει

παντού microη microηδενική καmicroπυλότητα Για k(s) 0 το αντίστροφο της καmicroπυλότητας

δηλαδή ο αριθmicroός

(333) ρ(s) =1

k(s)

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 89

καλείται ακτίνα καmicroπυλότητας Μέσω της τελευταίας για κάθε s isin J ορίζουmicroε το

διάνυσmicroα

(334) N(s) =1

k(s)T prime(s)

που ονοmicroάζεται πρώτο κάθετο ή πρωτεύον κάθετο διάνυσmicroα (normal vector) της

στο (s) Το διάνυσmicroα αυτό είναι microοναδιαίο και (σύmicroφωνα microε το Λήmicromicroα 331)

κάθετο στο εφαπτόmicroενο διάνυσmicroα Ορίζεται επίσης και η αντίστοιχη διαφορίσιmicroη

απεικόνιση

(334prime) N J ni s 7minusrarr N(s) isin R3

Τέλος για κάθε s isin J ορίζουmicroε και το διάνυσmicroα

(335) B(s) = T (s) times N(s)

και την αντίστοιχη διαφορίσιmicroη απεικόνιση

(335prime) B J ni s 7minusrarr B(s) isin R3

Το B(s) καλείται δεύτερο κάθετο διάνυσmicroα (binormal vector) της στο (s) Προ-

ϕανώς είναι κάθετο στα T (s) N(s) και microοναδιαίο

Από τα προηγούmicroενα συνάγεται ότι γιά κάθε s isin J η τριάδα

T (s) N(s) B(s)

x

y

z

( )T s

( )B s

( )N s

( )T s

( )B s

( )N s

( )sb

Σχηmicroα 33

90 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R3 που ονοmicroάζεται συνοδεύον τρίεδρο (moving

frame) ή τρίεδρο Frenet (Frenet frame) στο σηmicroείο (s) της Αντιστοίχως η

τριάδα των συναρτήσεων

T N B

καλείται συνοδεύον τρίεδρο ή τρίεδρο Frenet κατά microήκος της

Πολλές ϕορές για διευκόλυνση αλλά και για την παραστατικότερη απεικόνιση

των πραγmicroάτων ϑεωρούmicroε ότι τα τρία προηγούmicroενα διανύσmicroατα έχουν microεταφερ-

ϑεί παραλλήλως κατά το διάνυσmicroα (s) οπότε έχουν ως αρχήν το σηmicroείο (s) της

καmicroπύλης ΄Ετσι σχηmicroατίζεται η εικόνα ενός τριέδρου που συνοδεύει τα σηmicroεία της

καmicroπύλης Αυτό δικαιολογεί και την παραπάνω ορολογία Σχετικώς παραθέτουmicroε το

Σχήmicroα 33

Μέσω των παραπάνω ϐασικών διανυσmicroάτων ορίζουmicroε τρία χαρακτηριστικά επί-

πεδα που επίσης συνοδεύουν την καmicroπύλη Ακριβέστερα για κάθε σηmicroείο s isin J τα

κάθετα microεταξύ τους διανύσmicroατα T (s) και N(s) ορίζουν ένα επίπεδο E Το (microοναδικό)

επίπεδο που περνά από το σηmicroείο (s) και είναι παράλληλο προς το E (άρα και

προς τα διάνύσmicroατα T (s) N(s)) ονοmicroάζεται εγγύτατο επίπεδο (osculating plane)

της στο (s) Το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς

το επίπεδο των N(s) και B(s) καλείται κάθετο επίπεδο (normal plane) της στο

σηmicroείο (s) ενώ το επίπεδο που διέρχεται από το (s) και είναι παράλληλο προς το

επίπεδο των T (s) και B(s) καλείται ευθειοποιούν επίπεδο (rectifying plane) της

στο σηmicroείο (s)

( )T s

( )B s

( )N s

Κάθετοεπίπεδο

Εγγύτατοεπίπεδο

Ευθειοποιούνεπίπεδο

Σχηmicroα 34

Προφανώς το εγγύτατο επίπεδο (στο (s)) είναι κάθετο στο διάνυσmicroα B(s) το

κάθετο επίπεδο είναι κάθετο στο T (s) και το ευθειοποιούν επίπεδο είναι κάθετο

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 91

στο N(s) Οι τελευταίες ιδιότητες χρησιmicroοποιούνται για τον προσδιορισmicroό των αντι-

στοίχων εξισώσεων των επιπέδων αυτών όπως εξηγούmicroε στις ασκήσεις του παρόντος

κεφαλαίου

Στα Σχήmicroατα 33 και 34 απεικονίζονται τα προηγούmicroενα επίπεδα Σηmicroειώνουmicroε

ότι και στα δύο έχουmicroε microεταθέσει τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) στο σηmicroείο (s)οπότε το εγγύτατο επίπεδο ταυτίζεται microε το επίπεδο των T (s) N(s)) κοκ

Στη συνέχεια ϑα ορίσουmicroε και ένα άλλο ϐασικό για την microελέτη microιας καmicroπύλης

microέγεθος Επειδή lt N(s) B(s) gt= 0 για κάθε s isin J παραγωγίζοντας τη συνάρτηση

lt NB gt= 0 [ϐλ και τις ανάλογες σχέσεις (316) (318)] ϐρίσκουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt + lt N(s) Bprime(s) gt= 0

Τον πραγmicroατικό αριθmicroό

(336) τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=lt N prime(s) B(s) gt

ονοmicroάζουmicroε στρέψη (torsion) της καmicroπύλης στο σηmicroείο (s) Προφανώς ορίζεται

και η διαφορίσιmicroη συνάρτηση

(336prime) τ J ni s 7minusrarr τ(s) isin R

Από την (336) προκύπτει ότι η στρέψη αφού περιέχει την παράγωγοBprime(s) microετρά

κατά κάποιον τρόπο την microεταβολή του δευτέρου καθέτου διανύσmicroατος άρα και τη

microεταβολή του εγγυτάτου επιπέδου Η microεταβολή του τελευταίου ουσιαστικά καθορίζει

τη ϑέση της καmicroπύλης στο χώρο δηλαδή το κατά πόσον η καmicroπύλη αποmicroακρίνεται

από το επίπεδο άρα διαφέρει από microια επίπεδη καmicroπύλη Την ακριβή σηmicroασία της

στρέψης (όπως και της καmicroπυλότητας) ϑα δούmicroε στο Θεώρηmicroα 335

Πριν συνδέσουmicroε τα διανύσmicroατα του τριέδρου Frenet και τις παραγώγους τους

microε την καmicroπυλότητα και την στρέψη αποδεικνύουmicroε το επόmicroενο ϐοηθητικό συmicroπέ-

ϱασmicroα

332 Λήmicromicroα Αν u v isin R3 microε u = 1 και u perp v τοτε

(u times v) times u = v

Απόδειξη ΄Εστω u = (a b c) και v = (x y z) Τότε

u times v =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a b c

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= (bz minus cy)e1 minus (az minus cx)e2 + (ay minus bx)e3

= (bz minus cy cx minus az ay minus bx)

92 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Εποmicroένως

(u times v) times u =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

bz minus cy cx minus az ay minus bxa b c

∣∣∣∣∣∣∣∣= [c(cx minus az) minus b(ay minus bx)]e1 minus [c(bz minus cy) minus a(ay minus bx)]e2+

+ [b(bz minus cy) minus a(cx minus az)]= (c2x minus acz minus aby + b2x)e1 minus (cbz minus c2y minus a2y + abx)e2+

+ (b2z minus bcy minus acx + a2z)e3 =

= ((1 minus a2)x minus acz minus aby (1 minus b2)y minus abx minus cbz(1 minus c2)z minus bcy minus acx)

= (x minus a(ax + by + cz) y minus b(ax + by + cz)

z minus c(ax + by + cz))= (x minus a lt u v gt y minus b lt u v gt z minus c lt u v gt)

= (x y z) = v

που είναι η Ϲητούmicroενη ισότητα

333 Πόρισmicroα Ισχύουν οι σχέσεις

T (s) times N(s) = B(s)

N(s) times B(s) = T (s)

B(s) times T (s) = N(s)

Απόδειξη Η πρώτη σχέση είναι ακριβώς η (335) δηλαδή ο ορισmicroός του B(s) Για

την τρίτη παρατηρούmicroε ότι το Λήmicromicroα 332 συνεπάγεται ότι

B(s) times T (S) = (T (s) times N(s)) times T (s) = N(s)

Παρόmicroοια για την δεύτερη σχέση εχουmicroε

N(s) times B(s) = N(s) times (T (S) times N(s)) =

= minus(T (S) times N(s)) times N(s) = (N(S) times T (s)) times N(s) = T (s)

Ερχόmicroαστε τώρα στην απόδειξη των τύπων (εξισώσεων) FrenetshySerret οι οποί-

οι εκφράζουν τις παραγώγους T prime(s) N prime(s) Bprime(s) ως γραmicromicroικούς συνδυασmicroούς των

ϐασικών διανυσmicroάτων του τριέδρου Frenet microε συντελεστές την καmicroπυλότητα και τη

στρέψη Αποδείχτηκαν (ανεξαρτητα) από τους Jean Frederic Frenet (1816ndash1900) και

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 93

Joseph Alfred Serret (1819ndash1885)

Εικονα 15 F Frenet και J Serret

334 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε k gt 0 και

T N B το αντίστοιχο τρίεδρο του Frenet κατά microήκος της Τότε ισχύουν οι σχέσεις

(τύποι FrenetshySerret)

(F 1) T prime = kN

(F 2) N prime = minuskT + τB(F 3) Bprime = minusτN

Απόδειξη Η (F 1) προκύπτει από τον ορισmicroό του N(s) [ϐλ σχέση (334)]

Για την (F 2) προχωρούmicroε ως εξής Επειδή για κάθε s isin J τα διανύσmicroατα

T (s) N(s) και B(s) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση υπάρχουν microονοσήmicroαντα ορισmicroέ-

νες συναρτήσεις a b c J rarr R έτσι ώστε

(337) N prime(s) = a(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Για να προσδιορίσουmicroε τις συναρτήσεις a b c ϑα σχηmicroατίσουmicroε το εσωτερικό γινό-

microενο της (337) διαδοχικά microε τα διανύσmicroατα T (s) N(s) B(s) Στην πρώτη περίπτωση

έχουmicroε ότι

lt N prime(s) T (s) gt = a(s)lt T (s) T (s) gt + b(s)lt N(s) T (s) gt

+ c(s)lt B(s) T (s) gt

= a(s)1 + b(s)0 + c(s)0 = a(s)

Απ᾿ το άλλο microέρος η παραγώγιση της σχέσης lt T N gt= 0 δίνει ότι

lt T N gtprime =lt T prime N gt + lt TN prime gt= 0

94 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

άρα microαζί microε την (F 1)

lt TN prime gt= minus lt T prime N gt= minus lt kNN gt= minusk middot 1 = minusk

Εποmicroένως καταλήγουmicroε στη σχέση

a(s) = minusk(s)

οπότε η (337) παίρνει την microορφή

(338) N prime(s) = minusk(s)T (s) + b(s)N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία εσωτερικά microε N(s) έχουmicroε

lt N prime(s) N(s) gt = minusk(s)lt T (s) N(s) gt + b(s)lt N(s) N(s) gt

+ c(s)lt B(s) N(s) gt

= minusk(s)0 + b(s)1 + c(s)0 = b(s)

Η σχέση lt NN gt= 1 οδηγεί στην

lt N N gtprime = 2 lt NN prime gt= 0

άρα

b(s) = 0

microέσω της οποίας η (338) microετασχηmicroατίζεται στην

(339) N prime(s) = minusk(s)T (s) + 0N(s) + c(s)B(s) forall s isin J

Τέλος από την προηγούmicroενη σχέση έχουmicroε ότι

lt N prime(s) B(s) gt = minusk(s)lt T (s) B(s) gt + 0lt N(s) B(s) gt

+ c(s)lt B(s) B(s) gt

= minusk(s)0 + 0 + c(s)1 = c(s)

Αλλά η lt BN gt= 0 δίνει ότι

lt B N gtprime =lt Bprime N gt + lt BN prime gt= 0

άρα σύmicroφωνα microε την (336)

lt B(s) N prime(s) gt= minus lt Bprime(s) N(s) gt= τ(s)

οπότε

c(s) = τ(s)

και η (339) microετασχηmicroατίζεται στην

N prime(s) = minusk(s)T (s) + τ(s)B(s) forall s isin J

33 Καmicroπυλότητα και στρέψη - Τρίεδρο Frenet 95

δηλαδή καταλήγουmicroε στην (F 2)

Για την (F 3) αρκεί να παραγωγίσουmicroε την B = T times N λαmicroβάνοντας υπόψιν τις

(F 1) (F 2) και τις σχέσεις του Πορίσmicroατος 333 Πράγmicroατι

Bprime = T prime times N + T times N prime

= kN times N + T times (minuskT + τB)

= k middot 0 + (minuskT times T + τT times B)

= minusk middot 0 + τT times B= minusτN

Οι τύποι FrenetshySerret συνοψίζονται και στην επόmicroενη microορφή

(3310)

T prime

N prime

Bprime

=

0 k 0

minusk 0 τ

0 minusτ 0

T

N

B

Απο εδώ ϕαίνεται και ο microνηmicroονοτεχνικός κανόνας microέσω του οποίου ϐρίσκουmicroε α-

microέσως τους συντελεστές των (F 1) ndash (F 3) εmicroφανίζονται microόνον η καmicroπυλότητα και

η στρέψη (κατά σειράν) στην 2η γραmicromicroή και την 2η στήλη microε την σηmicroειούmicroενη

εναλλαγή προσήmicroων

Το επόmicroενα αποτελέσmicroατα διαφωτίζουν το ϱόλο της καmicroπυλότητας και της στρέ-

ψης microιας καmicroπύλης

335 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε ισχύουν

οι επόmicroενοι χαρακτηρισmicroοί

(i) k = 0 εάν και microόνον εάν η είναι ευθεία

(ii) Αν k gt 0 τότε τ = 0 εάν και microόνον εάν η είναι επίπεδη

Απόδειξη (i) k = 0 hArr T prime = primeprime = 0 hArr prime(s) = λ hArr (s) = λs + micro [ϐλ και

Παράδειγmicroα 312 (1)] Προφανώς για να είναι η καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας

ϑα πρέπει λ = 1

(ii) Από τις σχέσεις Bprime = minusτN και τ = minus lt NBprime gt συνάγεται ότι τ = 0 εάν και

microόνον εάν Bprime = 0 που microε τη σειρά του ισοδυναmicroεί microε το ότι η απεικόνιση B = T times Nείναι σταθερή δηλαδή για ένα so isin J

B(s) = B(so) forall s isin JΕτσι έχουmicroε

τ = 0 rArr B(s) = B(so) forall s isin JrArr T (s) perp B(so) forall s isin JrArr lt T (s) B(so) gt=lt

prime(s) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt

prime= 0 forall s isin J

rArr lt (s) B(so) gt= σταθερό forall s isin JrArr lt (s) B(so) gt=lt (so) B(so) gt forall s isin JrArr lt (s) minus (so) B(so) gt= 0 forall s isin JrArr (s) minus (so) perp B(so) forall s isin J

96 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Η τελευταία σχέση σηmicroαίνει ότι (s) minus (so) ανήκει στο επίπεδο Eo των T (so) και

N(so) δηλαδή το (s) ανήκει στο εγγύτατο επίπεδο Eo + (so) για κάθε s isin J

Αντιστρόφως έστω ότι (s) isin E για κάποιο επίπεδο E και έστω Eo το επίπεδο

(υπόχωρος του R2 διάστασης 2) που είναι παράλληλο microε το E και περιέχει το 0

Τότε

E = (s) + Eo forall s isin JΣταθεροποιώντας ένα so isin J παίρνουmicroε ότι

(s) isin (so) + Eo forall s isin J

Αν το Eo παράγεται από microία ορθοκανονική ϐάση u v τότε

(3311) (s) = (so) + λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

όπου λ micro J rarr R είναι διαφορίσιmicroες συναρτήσεις Πραγmicroατικά η διαφορισιmicroότητα

της λ ελέγχεται ως εξής Από την (3311) έχουmicroε ότι

(s) minus (so) = λ(s)u + micro(s)v forall s isin J

οπότε παίρνοντας το εσωτερικό γινόmicroενο και των δύο microελών της τελευταίας microε το u

ϐρίσκουmicroε την

lt (s) minus (so) u gt = lt λ(s)u u gt + lt micro(s)v u gt

= λ(s)1 + micro(s)0 = λ(s)

δηλαδή λ =lt minus (so) u gt που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό Παρόmicroοια αποδεικνύ-

εται και η διαφορισιmicroότητα της micro

Παραγωγίζοντας τώρα την σχέση (3311) έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) = λprime(s)u + microprime(s)v isin Eo forall s isin J

η παραγώγιση επίσης της οποίας οδηγεί στην

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

1

k(s)(λprimeprime(s)u + microprimeprime(s)v) isin Eo forall s isin J

΄Αρα το επίπεδο των T (s) και N(s) είναι σταθερά το Eo και το διάνυσmicroα B(s) είναι στα-

ϑερά το ένα από τα δύο microοναδιαία διανύσmicroατα που είναι κάθετα στο Eo Εποmicroένως

λόγω της σταθερότητας του B(s) και της (336) προκύπτει ότι τ = 0

336 Θεώρηmicroα ΄Εστω J rarr R3 microια επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Τότε

η είναι τmicroήmicroα κύκλου εάν και microόνον εάν έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0

Απόδειξη Αν η είναι τmicroήmicroα κύκλου κέντρου (xo yo) και ακτίνας r τότε δίνεται από

τον τύπο

(s) = r(cos

s

r sin

s

r

)+ (xo yo) s isin J sube [02π]

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης 97

απ᾿ όπου παίρνουmicroε τις σχέσεις

T (s) = prime(s) =( minus sin

s

r cos

s

r

)

T prime(s) = primeprime(s) =1

r

( minus coss

r minus sin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

r

Αντιστρόφως έστω ότι η έχει σταθερή καmicroπυλότητα k gt 0 και microηδενική στρέψη

Θεωρούmicroε την απεικόνιση

γ(s) = (s) +1

kN(s)

Η γ είναι προφανώς διαφορίσιmicroη και

γprime(s) = prime(s) +1

kN prime(s)

= T (s) +1

k(minuskT (s) + τB(s))

= T (s) minus T (s) + 0 = 0

δηλαδή η γ είναι σταθερή Αν a = γ(s) isin R3 είναι η σταθερή τιmicroή της γ τότε

(s) minus a = 1

kN(s) = 1

k= r

δηλ τα σηmicroεία (s) ανήκουν στην σφαίρα microε κέντρο a και ακτίνα r Επειδή η είναι

επίπεδη ολοκληρώνεται η απόδειξη

337 Παρατηρήσεις 1) Από την προηγούmicroενη απόδειξη ϕαίνεται ότι η ακτίνα του

κύκλου είναι ακριβώς η ακτίνα καmicroπυλότητας της [ ϐλ σχέση (333)] ενώ το κέντρο

είναι το σηmicroείο (s) + 1

kN(s)

2) Από τα Θεωρηmicroατα 335 και 336 συνάγεται ότι η καmicroπυλότητα microετρά το πόσο

αποκλίνει η καmicroπύλη από το να είναι ευθεία ενώ η στρέψη microετρά την απόκλιση από

το να είναι η καmicroπύλη επίπεδη

34 Καmicroπυλότητα και στρέψη τυχαίας καmicroπύλης

Το τρίεδρο Frenet η καmicroπυλότητα και η στρέψη microιας καmicroπύλης ορίστηκαν προη-

γουmicroένως microε την προϋπόθεση ότι η είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Αν

α I rarr R3 είναι microια τυχαία κανονική καmicroπύλη δηmicroιουργείται το εύλογο ερώτηmicroα

πώς microπορούmicroε να εκφράσουmicroε τα προηγούmicroενα στοιχεία της καmicroπύλης χωρίς ανα-

παραmicroέτρηση microε το microήκος τόξου Αυτό είναι απαραίτητο πχ στην περίπτωση που

ενώ κατά το Θεώρηmicroα 323 υπάρχει πάντοτε τέτοια αναπαραmicroέτρηση εντούτοις οι

υπολογισmicroοί microας καταλήγουν σε microη υπολογίσιmicroο ολοκλήρωmicroα

Σύmicroφωνα microε όσα είπαmicroε στην προηγούmicroενη παράγραφο τα παραπάνω στοιχεία

αναφέρονται σε ιδιότητες του συνόλου X = α(I) και όχι της παραmicroέτρησης (απεικό-

νισης) α Εποmicroένως ο επόmicroενος ορισmicroός είναι εντελώς ϕυσιολογικός

98 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

341 Ορισmicroός ΄Εστω α microια τυχαία κανονική καmicroπύλη και α η παραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου (ϐλ Θεώρηmicroα 323) Αν T N B k τ είναι το τρίεδρο Frenet

η καmicroπυλότητα και η στρέψη της α τότε ορίζουmicroε τα αντίστοιχα microεγέθη T N B k τ

της α microέσω των τύπων

T (t) = T (s(t))( i )

N(t) = N(s(t))( ii )

B(t) = B(s(t))( iii )

k(t) = k(s(t))( iv )

τ(t) = τ(s(t))( v )

342 Θεώρηmicroα Αν α I rarr R3 είναι microια (τυχαία) κανονική καmicroπύλη τότε

k =αprime times αprimeprimeαprime3

Απόδειξη ΄Εστω α microια κανονική καmicroπύλη και α = α h η αναπαραmicroέτρησή της

microέσω του microήκους τόξου όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε α = α s οπότε

για κάθε t isin I έχουmicroε τις σχέσεις

αprime(t) = (α s)prime(t) = sprime(t)αprime(s(t)) = sprime(t)T (s(t))(341)

αprimeprime(t) = sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2(T prime(s(t))

= sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))(342)

οπότε

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)T (s(t)) times [sprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)2k(s(t))N (s(t))]

ή ϐάσει των ιδιοτήτων του εξωτερικού γινοmicroένου

(343)

αprime(t) times αprimeprime(t) = sprime(t)sprimeprime(t)[T (s(t)) times T (s(t))]+

+ sprime(t)3k(s(t))[T (s(t)) times N(s(t))]

= 0 + sprime(t)3k(s(t))B(s(t))

= αprime(t)3k(s(t))B(s(t))

΄Αρα

αprime(t) times αprimeprime(t) = αprime(t)3k(s(t))

απ᾿ όπου προκύπτει η

k(t) = k(s(t)) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3

δηλαδή η Ϲητούmicroενη σχέση

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 99

343 Θεώρηmicroα Αν η α είναι microια κανονική καmicroπύλη microε k gt 0 τότε

τ =lt αprime times αprimeprime αprimeprimeprime gtαprime times αprimeprime2 =

[αprimeαprimeprimeαprimeprimeprime]αprime times αprimeprime2

Απόδειξη Οπως προηγουmicroένως ϑεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α της α microέσω του

microήκους τόξου Από την σχέση (342) ϐρίσκουmicroε ότι

αprimeprimeprime(t) = sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)T prime(s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) + sprime(t)3k(s(t))N prime(s(t))

= sprimeprimeprime(t)T (s(t)) + sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t))N (s(t)) +

+[sprime(t)2k(s(t))]primeN(s(t)) minus sprime(t)3k(s(t))2T (s(t)) +

+sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))B(s(t))

= X (t)T (s(t)) + Y (t)N (s(t)) + Z (t)B(s(t))

όπου ϑέσαmicroε

X (t) = sprimeprimeprime(t) minus sprime(t)3k(s(t))2

Y (t) = sprime(t)sprimeprime(t)k(s(t)) + [sprime(t)2k(s(t))]prime

Z (t) = sprime(t)3k(s(t))τ(s(t))

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν την (343) και ότι το B(s(t)) είναι κάθετο προς τα T (s(t)) και

N(s(t)) έχουmicroε

lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gt = sprime(t)3k(s(t)) lt B(s(t)) αprimeprimeprime(t) gt

= sprime(t)3k(s(t))X (t) lt B(s(t)) T (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Y (t) lt B(s(t)) N (s(t)) gt +

+ sprime(t)3k(s(t))Z (t) lt B(s(t)) B(s(t)) gt

= 0 + 0 + sprime(t)6k(s(t))2 τ(s(t))

= αprime(t) times αprimeprime(t)2 τ(s(t))

απ᾿ όπου παίρνουmicroε την

τ(t) = τ(s(t)) =lt αprime(t) times αprimeprime(t) αprimeprimeprime(t) gtαprime(t) times αprimeprime(t)2

microε την οποίαν ολοκληρώνεται η απόδειξη

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης

Θα υπολογίσουmicroε τώρα τα διανύσmicroατα T (t) N(t) και B(t) (ϐλ Ορισmicroό 341) για

microία τυχαία κανονική καmicroπύλη α microε microη microηδενική καmicroπυλότητα

100 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

351 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T (t) N(t) B(t) το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet Τότε

T (t) =αprime(t)αprime(t)

(351)

N(t) =(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

(352)

B(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

(353)

Απόδειξη ΄Εστω α = α h η αντίστοιχη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (ϐλ Θεώ-

ϱηmicroα 322) όπου h = sminus1 και s το microήκος τόξου Τότε

T (t) = T (s(t)) = αprime(s(t)) = (α h)prime(s(t))

= αprime(h(s(t)))hprime(s(t)) = αprime(t) middot 1

sprime(t)

=αprime(t)αprime(t)

[ϐλ σχέση (321)]

Ανάλογα από την σχέση T = T s παίρνουmicroε την T = T h εποmicroένως

N(t) = N(s(t)) =T prime(s(t))

k(s(t))=

(T h)prime(s(t))k(t)

=T prime(h(s(t)))hprime(s(t))

k(t)=

T prime(t)k(t)sprime(t)

=T prime(t)sprime(t)

middot αprime(t)3αprime(t) times αprimeprime(t)[Θεώρηmicroα 342]

= T prime(t)αprime(t)2

αprime(t) times αprimeprime(t)

Από την παραπάνω ισότητα έχουmicroε ότι T prime(t) και N(t) είναι συγγραmicromicroικά Επειδή

T (t) perp N(t) είναι και T (t) perp T prime(t) Επίσης προφανώς T (t) = 1 ΄Αρα εφαρmicroόζοντας

το Λήmicromicroα 332 για u = T (t) και v = T prime(t) παίρνουmicroε

T prime(t) = (T (t) times T prime(t)) times T (t)

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι T (t) =αprime(t)sprime(t)

[ϐλ σχέση (351)] και

T prime(t) =αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

35 Το τρίεδρο Frenet microιας τυχαίας καmicroπύλης 101

ϐρίσκουmicroε ότι

T prime(t) =

(αprime(t)sprime(t)

times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t)sprimeprime(t)

sprime(t)2

)times α

prime(t)sprime(t)

=1

sprime(t)4[(αprime(t) times αprimeprime(t)sprime(t) minus αprime(t) times αprime(t)sprimeprime(t)] times αprime(t)

=1

sprime(t)3[(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)]

απ᾿ όπου προκύπτει η

N(t) =

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) middot αprime(t)

Τέλος

B(t) = B(s(t)) = T (s(t)) times N(s(t)) = T (t) times N(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)) times αprime(t)αprime(t) middot αprime(t) times αprimeprime(t)

=αprime(t)αprime(t) times

(αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t) times

αprime(t)αprime(t)

)

=αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

όπου στην τελευταία ισότητα έχει πάλι χρησιmicroοποιηθεί το Λήmicromicroα 332 για

u =αprime(t)αprime(t) και v =

αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t) times αprimeprime(t)

352 Θεώρηmicroα ΄Εστω α I rarr R3 microια κανονική καmicroπύλη όχι κατ΄ ανάγκη microονα-

διαίας ταχύτητας microε microη microηδενική καmicroπυλότητα και T N B το αντίστοιχο τρίεδρο

Frenet (κατά microήκος της α) Τότε ισχύουν οι (γενικευmicroένοι) τύποι FrenetshySerret

(F prime 1) T prime = kvN

(F prime 2) N prime = minuskvT + τvB

(F prime 3) Bprime = minusτvN

όπου v(t) = αprime(t) το microέτρο της ταχύτητας της α στο t isin IΑπόδειξη Θεωρούmicroε την αναπαραmicroέτρηση α J rarr R3 της α microέσω του microήκους τόξου

και το τρίεδρο Frenet T N B κατά microήκος της α Για κάθε t isin I είναι

T prime(t) = (T s)prime(t) = T prime(s(t))sprime(t) = k(s(t))N (s(t))sprime(t) = k(t)v(t)N(t)

N prime(t) = (N s)prime(t) = N prime(s(t))sprime(t)= minusk(s(t))sprime(t)T (s(t)) + τ(s(t))sprime(t)B(s(t))

= minusk(t)v(t)T (t) + τ(t)v(t)B(t)

Bprime(t) = (B s)prime(t) = Bprime(s(t))sprime(t) = minusτ(s(t))N (s(t))sprime(t) = minusτ(t)v(t)N(t)

οπότε η απόδειξη των τύπων είναι πλήρης

102 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

Τα δύο αριθmicroητικά microεγέθη η καmicroπυλότητα και η στρέψη που αντιστοιχίσαmicroε

σε microια κανονική καmicroπύλη καθορίζουν ουσιαστικά microονοσήmicroαντα την καmicroπύλη Πιό

συγκεκριmicromicroένα δύο καmicroπύλες microε την ίδια καmicroπυλότητα και την ίδια στρέψη διαφέ-

ϱουν microόνο ως προς την ϑέση τους στο χώρο και αντιστρόφως

Για την ακριβή διατύπωση του σχετικού ϑεωρήmicroατος υπενθυmicroίζουmicroε ότι Μετα-

ϕορά (translation) κατά (το διάνυσmicroα) h isin R3 ονοmicroάζεται η απεικόνιση

microh R3 minusrarr R3 u 7rarr microh(u) = u + h

Στροφή (rotation) ονοmicroάζεται κάθε οϱθογώνιος microετασχηmicroατισmicroός του R3 microε ϑετική

ορίζουσα micro᾿ άλλα λόγια κάθε γραmicromicroική απεικόνιση f R3 rarr R3 που διατηρεί τα

εσωτερικά γινόmicroενα δηλαδή

lt f (u) f (v) gt=lt u v gt forall u v isin R3

και ο πίνακας της έχει ϑετική ορίζουσα Εποmicroένως η f διατηρεί τις αποστάσεις και

αντιστρέφεται (δηλαδή είναι γραmicromicroικός ισοmicroορφισmicroός)

Παρατηρούmicroε ότι οι microεταφορές και οι στροφές είναι αντιστρέψιmicroες απεικονίσεις

της ίδιας microορφής η αντίστροφη της microh είναι η microminush δηλαδή είναι επίσης microία microετα-

ϕορά ενώ η αντίστροφη microιάς στροφής είναι άmicroεσον ότι αποτελεί κι αυτή στροφή

∆ιαπιστώνεται εύκολα ότι

f microc = microf (c) fΗ σύνθεση microια microεταφοράς και microια στροφής ονοmicroάζεται στερεά κίνηση (rigid moshy

tion)

Τα προηγούmicroενα microας επιτρέπουν να διατυπώσουmicroε το επόmicroενο Θεmicroελιώδες Θε-

ώρηmicroα των Καmicroπυλών microε το οποίον και κλείνουmicroε το κεφάλαιο αυτό

353 Θεώρηmicroα ΄Εστω k(s) gt 0 και τ(s) s isin J = [0 c] δύο διαφορίσιmicroες πραγmicroα-

τικές συναρτήσεις Τότε υπάρχει microια καmicroπύλη α J rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα k και στρέψη τ Επιπλέον microια άλλη κανονική καmicroπύλη έχει τις ίδιες

ιδιότητες τότε και microόνον τότε αν διαφέρει από την α κατά microία στερεά κίνηση

Για microια λεπτοmicroερή απόδειξη του ϑεωρήmicroατος η οποία είναι αρκετά τεχνική και

ϐρίσκεται εκτός του σκοπού αυτών των σηmicroειώσεων παραπέmicroπουmicroε στο [7] Εδώ

περιοριζόmicroαστε στην παράθεση του Σχήmicroατος 35 στην επόmicroενη σελίδα

Σηmicroείωση Το κεφάλαιο αυτό ϐασίζεται κυρίως στις σηmicroειώσεις [7] Από την πολλή

εκτεταmicroένη ϐιβλιογραφία της στοιχειώδους διαφορικής γεωmicroετρίας των καmicroπυλών

επιλέγουmicroε να παραπέmicroψουmicroε τον ενδιαφερόmicroενο αναγνώστη στα πολύ κατανοητά

ϐιβλία [24] [30] και [34]

36 Ασκήσεις 103

x

y

z

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )T s

0( )B s

0( )N s

0( )sa

1e

2e0

3e

a

b

Σχηmicroα 35

36 Ασκήσεις

1 Να ϐρεθούν (i) Μία παραmicroέτρηση α του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος που ενώνει δύο

(διαφορετικά) σηmicroεία P και Q του R3 (ii) Το microήκος και η καmicroπυλότητα της α (iii) Μία

αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (iv) Το microήκος και η καmicroπυλότητα

της

2 Ο κύκλος microε κέντρο (00) και ακτίνα r είναι εικόνα της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R2 t 7rarr (r cost r sint)

Να δείξετε ότι (i) Η α ορίζει microία κανονική παραmicroέτρηση (ii) Το διάνυσmicroα της τα-

χύτητας είναι κάθετο στην ακτίνα (iii) Το διάνυσmicroα της επιτάχυνσης κατευθύνεται

προς το κέντρο (iv) Να υπολογίσετε το microήκος της α (v) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση

της α microε microοναδιαία ταχύτητα και να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα k της

3 Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέτρηση της παραβολής y = x2 και η αντίστοιχη

καmicroπυλότητα Ποιόν γεωmicroετρικό τόπο παριστάνει η (t) = (t3 t6) microε t isin R

4 ∆ίνεται microία διαφορίσιmicroη συνάρτηση f R rarr R Να ϐρεθεί microία κανονική παραmicroέ-

τρηση α του γραφήmicroατος της και να προσδιοριστούν τα διανύσmicroατα T N B και η

καmicroπυλότητα της α

104 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

5 Να ϐρεθούν το microήκος η καmicroπυλότητα και η στρέψη της καmicroπύλης

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr(

1radic

2cost sint

1radic

2cost

)

6 Να υπολογιστεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) = (a cost b sint) t isin [02π] a b gt 0

Ποιά είναι η εικόνα της

7 Η (διαφορίσιmicroη) καmicroπύλη

α [02π] minusrarr R3 t 7rarr (r cost r sint bt) r gt 0 b isin Rlowast

περιγράφει microία κυκλική έλικα (circular helix) η οποία απεικονίζεται στο Σχήmicroα

36

(i) Να ϐρεθεί αναπαραmicroέτρηση της α microοναδιαίας ταχύτητας (ii) Να ϐρεθούν

καmicroπυλότητα και η στρέψη της (iii) Να αποδειχθεί ότι η γωνία φ microεταξύ της

εφαπτοmicroένης σε κάθε σηmicroείο της έλικας και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή (iv) Να

αποδειχθεί ότι η γωνία ω microεταξύ της δεύτερης καθέτου lowast σε κάθε σηmicroείο της έλικας

και του άξονα zprimeOz είναι σταθερή

2 bp

z

x

t

y

Σχηmicroα 36

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 151

36 Ασκήσεις 105

8 Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητα της καmicroπύλης

α(t) =

(tt2

2

) 0 le t le 1

9 Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

α Rrarr R2 t 7rarr (t2 t3)

Είναι κανονική Να ϐρεθεί η καmicroπυλότητά της

10 Να ϐρεθεί διαφορίσιmicroη καmicroπύλη α microε a(0) = (01) η οποία διαγράφει τον

κύκλο microε την ϕορά των δεικτών του ωρολογίου

11 ΄Εστω α I rarr R3 διαφορίσιmicroη καmicroπύλη και διάνυσmicroα v isin R3 τέτοιο ώστε

α(0) perp v και αprime(t) perp v forall t isin I

Να δείξετε ότι α(t) perp v για κάθε t isin I

12 Να δείξετε ότι οι εφαπτόmicroενες της καmicroπύλης

α R minusrarr R3 t 7rarr (3t 3t2 2t3)

σχηmicroατίζουν σταθερή γωνία θ microε την ευθεία y = 0 x = z

13 ΄Ενας κύκλος ακτίνας r στέκεται στο σηmicroείο (00) του άξονα x primeOx και αρχίζει

να κυλά προς τα δεξιά (i) Να ϐρεθεί η καmicroπύλη α που διαγράφει το σηmicroείο A το

οποίον αρχικά ακουmicroπά στο (00) (ii) Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της α τις

χρονικές στιγmicroές t = 0 t = π και t = 2π (iii) Να υπολογιστεί το microήκος του τmicroήmicroατος

της α όταν t isin [0 2π]Η καmicroπύλη α είναι γνωστή microε το όνοmicroα κυκλοειδής (η microορφή της εmicroφανίζεται

στο σχήmicroα της λύσης σελ 153)

14 ΄Εστω (s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας (i) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει διάνυ-

σmicroα w ( διάνυσmicroα Darboux) τέτοιο ώστε T prime = ωtimesT N prime = ωtimesN και Bprime = ωtimesB (ii)

Να αποδειχθεί η σχέση T prime timesT primeprime = k2ω [Στις παραπάνω σχέσεις για ευκολία έχουmicroε

παραλείψει την microεταβλητή s]

15 ΄Εστω J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε την ιδιότητα η εφαπτοmicroένη

σε κάθε σηmicroείο (s) περνά από ένα σταθερό σηmicroείο P Να αποδειχθεί ότι η είναι

ευθεία

16 ΄Εστω a J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η α είναι τmicroήmicroα

κύκλου εάν και microόνον εάν όλες οι πρώτες κάθετοιlowast της α περνούν από σταθερό

σηmicroείο P

lowast Βλ σχετικό ορισmicroό στη λύση σελ 156

106 Κεφάλαιο 3 ∆ιαφορίσιmicroες Καmicroπύλες

17 Αν a J rarr R3 είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας τότε οι δεύτερες κάθετοι

της a δεν microπορούν να περνούν από σταθερό σηmicroείο

18 ΄Εστω α J rarr R3 καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας Να δείξετε ότι η ταχύτητα της

α είναι συνεχώς παράλληλη microε ένα σταθερό διάνυσmicroα 0 u isin R3 εάν και microόνον εάν

η α είναι ευθεία

19 Να ϐρεθεί η εξίσωση του κάθετου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κανονι-

κής καmicroπύλης Ως εφαρmicroογή να δείξετε ότι όλα τα κάθετα επίπεδα της καmicroπύλης

(t) = (a sin2 t a sint cost a cost)

διέρχονται από το σηmicroείο (000)

20 Να ϐρεθεί η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια κα-

νονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) = (cost sint t) t isin R Να

ϐρεθεί η (καρτεσιανή) εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου της α(t) στο σηmicroείο α(to)

όπου to =π

2

21 Να ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου σε ένα δεδοmicroένο σηmicroείο microια

κανονικής καmicroπύλης Εφαρmicroογή ∆ίνεται η καmicroπύλη α(t) =

(tt2

2t3

3

) t isin R Να

ϐρεθεί η εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου της α(t) στο σηmicroείο που αντιστοιχεί

στο to = 1

22 ∆ίνεται microία καmicroπύλη α I rarr R3 microοναδιαίας ταχύτητας microε καmicroπυλότητα k(s) gt 0

για κάθε s isin I και στρέψη τ(s) Θέτουmicroε (s) = T (s) όπου T (s) το εφαπτόmicroενο

διάνυσmicroα της α (i) Να αποδειχθεί ότι η είναι κανονική καmicroπύλη (ii) Αν σ είναι η

συναρτηση microήκους τόξου της (microε αρχή το so) να αποδειχθεί ότι σprime(s) = k(s) για

κάθε s isin I (iii) Να υπολογιστεί καmicroπυλότητα k και η στρέψη τ της

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η καmicroπύλη καλείται σφαιρική δείκτρια (spherical indicatrix)

της (συνάρτησης) T Ανάλογα ορίζονται και οι σφαιρικές δείκτριες των N και B Η

ορολογία οφείλεται στο γεγονός ότι οι δείκτριες παίρνουν τιmicroές στη microοναδιαία σφαίρα

του R3 microε κέντρο το 0

23 Υποθέτουmicroε ότι α I rarr R2 είναι επίπεδη καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

καmicroπυλότητα 0 lt k(s) lt 1 foralls isin I Θεωρούmicroε την καmicroπύλη

(s) = α(s) + N(s) s isin I

(παράλληλη της α) όπου N(s) το πρώτο κάθετο διάνυσmicroα της α Να αποδειχθεί ότι

η είναι κανονική και ότι η καmicroπυλότητά της k δίνεται από την σχέση

k =k

1 minus k

24 Εστω α(s) καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε στρέψη τ(s) 0 Να εκφραστεί η

καmicroπυλότητα k της α συναρτήσει της τ και των δεύτερων κάθετων διανυσmicroάτων B(s)

36 Ασκήσεις 107

25 Αν γ είναι κανονική καmicroπύλη microε την ιδιότητα οι διχοτόmicroοι της γωνίας που

σχηmicroατίζουν τα πρώτα κάθετα διανύσmicroατα microε τα αντίστοιχα δεύτερα να διέρχονται

από σταθερό σηmicroείο τότε η γ είναι κύκλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

4

Από τους χάρτες στις

Πολλαπλότητες

΄Οπως αποδείχτηκε στον Riemann έλειπε ακόmicroη ένα

στοιχείο κλειδί γαι microια πλήρη εικόνα του σύmicroπαντος Γι

αυτήν ο κόσmicroος ϑα έπρεπε να περιmicroένει ακόmicroη microισόν αιώ-

να microέχρι τη γέννηση του Albert Einstein

R Osserman [32 σελ 92]

Σ το Κεφαλαιο αυτο γίνεται microία σύντοmicroη περιγραφή της έννοιας της (διαφορικής)

πολλαπλότητας αφού προηγουmicroένως ορίσουmicroε την έννοια ενός χάρτη και microιας

επιφάνειας στον χώρο R3

Η πολλαπλότητα που αναφέρεται για πρώτη ϕορά από τον Riemann το 1848 γε-

νικεύει την έννοια της επιφάνειας στον R3 Αφορmicroή για τις ιδέες του Riemann υπήρξε

το Θεώρηmicroα Egregium του Gauss και η συνακόλουθη ανακάλυψη της εσωτερικής

γεωmicroετρίας της επιφάνειας

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

109

110 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Η γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων αποτελεί τη σηmicroαντικότερη εξέλιξη της γεωmicroε-

τρίας στον 20ο αιώνα και είναι ϑεmicroελιώδης για τα σύγχρονα microαθηmicroατικά (∆ιαφορική

Γεωmicroετρία και Τοπολογία Συmicroπλεκτική Γεωmicroετρία κλπ) και τη ϕυσική (Θεωρία

Σχετικότητας Θεωρίες Βαθmicroίδας κα)

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss

Παραλλάσοντας την εναρκτήρια ϕράση laquoεν αρχή ην τα microπαχαρικάraquo από τον laquoΜαγγε-

λάνοraquo του Stefan Zweig ϑα microπορούσαmicroε χωρίς υπερβολή να πούmicroε για τη νεώτερη

εξέλιξη της γεωmicroετρίας ότι

εν αρχή ην ο χάρτης

Η κατασκευή χαρτών απασχόλησε τους γεωγράφους από την αρχαιότητα για

την εξυπηρέτηση της ναυσιπλοΐας και έγινε επιτακτική ανάγκη microετά τις microεγάλες

εξερευνήσεις (ανακάλυψη της Αmicroερικής κλπ) Η ακριβής αποτύπωση του σχήmicroατος

της Γης και η κατασκευή χαρτών οδήγησαν αργότερα στη συστηmicroατική microελέτη και

(της διαφορικής γεωmicroετρίας) των επιφανειών

Τι είναι όmicroως χάρτης Είναι microία προβολή δηλ απεικόνιση (microέρους) της Γης στο

επίπεδο Παράδειγmicroα τέτοιας απεικόνισης είναι η στερεογραφική προβολή που

οφείλεται στον ΄Ιππαρχο (190ndash125 πΧ) και χρησιmicroοποιήθηκε για την κατασκευή

αστρονοmicroικών χαρτών Ο όρος στερεογραφική προβολή οφείλεται στον F Drsquo Aiguillon

(1566ndash1617)

Η ιδέα της στερεογραφικής προβολής από τον Βόρειο Πόλο N εmicroφανίζεται στο

επόmicroενο σχήmicroα

N

S

x

y

z

P

NP

E

0

Σχηmicroα 41 Στερεογραφική προβολή από τον Βόρειο Πόλο

Αν ϑεωρήσουmicroε ότι microια σφαίρα microε κέντρο 0 και ακτίνα 1 αναπαριστά ιδεατά τη

γήινη σφαίρα N είναι ο Βόρειος Πόλος και E το επίπεδο του Ισηmicroερινού τότε η

(στερεογραφική) προβολή PN του σηmicroείου P της σφαίρας είναι η τοmicroή της ευθείας

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 111

NP microε το E Με την προηγούmicroενη διαδικασία ορίζεται η 1ndash1 και επί (διαφορίσιmicroη)

απεικόνιση

(411) S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

microε αντίστροφη την (επίσης διαφορίσιmicroη)

(412) R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Οι προηγούmicroενες εκφράσεις των απεικονίσεων προκύπτουν microε εφαρmicroογή στοιχειώ-

δους Αναλυτικής Γεωmicroετρίας

΄Ετσι αν ϕανταστούmicroε ότι στο επίπεδο του Ισηmicroερινού έχει απλωθεί ένα τεράστιο

ϕύλλο χαρτιού ϑα έχουν απεικονιστεί όλα τα σηmicroεία της σφαίρας σ΄ αυτό εκτός από

τον Βόρειο Πόλο άρα ϑα έχουmicroε κατασκευάσει (ϑεωρητικά) ένα χάρτη Επειδή ο

προηγούmicroενος χάρτης δεν απεικονίζει τον Βόρειο Πόλο για να καλύψουmicroε όλη τη

Γη χρειαζόmicroαστε και τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο Πόλο microε αντίστοιχες

εκφράσεις (ποιές )

Οι δυο προηγούmicroενοι χάρτες microαζί αποτελούν όπως microαθαίνουmicroε στη γεωγραφία

έναν άτλαντα Φυσικά οι χαρτες αυτοί δεν έχουν καmicroιά πρακτική αξία λόγω προ-

ϕανών microειονεκτηmicroάτων (περιοχές κοντά στους πόλους ϑα απεικονίζονται τερατωδώς

παραmicroορφωmicroένες σε εξαιρετικά αποmicroακρυσmicroένες περιοχές του χάρτη) ΄Οmicroως αυτή

η ϑεωρητική κατασκευή εmicroπεριέχει microια ϐασική ιδέα απεικόνισης από microια επιφάνεια

στο επίπεδο

΄Εναν καλλίτερο χαρτη του ϐορείου ηmicroισφαιρίου δίνει η προβολή του στο επίπεδο

του Ισηmicroερινού όπως στο επόmicroενο σχήmicroα

( )u v

2 21( )u vu v - -

(01)D

S z

+

Σχηmicroα 42 Προβολή του ϐορείου ηmicroισφαιρίου στο επίπεδο (του Ισηmicroερινού)

Ακριβέστερα έχουmicroε την 1ndash1 και επι (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(413) φ+z S+z ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (0 1)

όπου S+z = (x y z) isin S2 z gt 0 (ϐόρειο ηmicroισφαίριο χωρίς την περιφέρεια του

Ισηmicroερινού) και DZ (01) = (u v) isin R2 u2+ v2 lt 1 (ο microοναδιαίος δίσκος microε

112 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

κέντρο το 0 που είναι κάθετος στον άξονα των z) Η αντίστροφη της προηγούmicroενης

είναι προφανώς η (επίσης διαφορίσιmicroη) απεικόνιση

(414) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u v

radic1 minus u2 + v2

)isin S+z

Ανάλογα ϑεωρούmicroε το (νότιο ηmicroισφαίριο) Sminusz = (x y z) isin S2 z lt 0 που

προβάλεται στον ίδιο δίσκο DZ (01) microέσω της απεικόνισης

(415) φminusz Sminusz ni (x y z) 7minusrarr (x y) isin DZ (01)

microε αντίστροφη την

(416) DZ (01) ni (u v) 7minusrarr(u vminus

radic1 minus u2 + v2

)isin Sminusz

Με αυτή τη διαδικασία έχουmicroε τα έξι ηmicroισφαίρια (δύο ως προς κάθε άξονα)

(417) Sαi microε i = x y z και α = +minus

τα οποία προβάλονται στους δίσκους Di microέσω των αντιστοίχων απεικονίσεων φαi Με

τον τρόπο αυτόν προκύπτει ένας άτλαντας microε έξι χάρτες

S+

z

S-

z

S+

x

S-

x

S+

y

S-

y

z

x y

Σχηmicroα 43 Τα έξι ηmicroισφαίρια

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 113

Για άλλα είδη προβολών προβλήmicroατα σχετικά microε τη δηmicroιουργία χαρτών και τις

συνακόλουθες ατέλειές τους καθώς και την αδυναmicroία της κατασκευής ενός laquoιδεώ-

δουςraquo χάρτη (Θεώρηmicroα Euler) παραπέmicroπουmicroε στα ϐιβλία [24] και (το πιό περιγρα-

ϕικό) [32]

Κάθε χάρτης εισάγει ένα (τοπικό) σύστηmicroα συντεταγmicroένων και παραmicroετρηκοποιεί

ένα τmicroήmicroα της επιφάνειας δηλ την περιγράφει microέσω microιας κατάλληλης απεικόνισης

στην οποίαν εφαρmicroόζεται ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός (ϐλ και τα σχετικά σχόλια για την

παραmicroέτρηση καmicroπύλης στην αρχή της sect31)

Τα προηγούmicroενα microας οδηγούν στους εξής τυπικούς ορισmicroούς

411 Ορισmicroός Μία παραmicroέτρηση (parametrization) ή σύστηmicroα συντεταγmicroένων

(coordinate system) ή χάρτης (chart) [microιας επιφάνειας S sube R3] είναι ένα Ϲεύγος

(U r) όπου U sube R2 είναι ανοιχτό σύνολο και r U rarr R3 διαφορίσιmicroη απεικόνιση

έτσι ώστε να ισχύουν οι συνθήκες

bull Η r U rarr W = r(U ) είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

bull Για κάθε σηmicroείο q = (u v) isin U το διαφορικό της r στο q Dr(q) R2 rarr R3 είναι

απεικόνιση 1ndash1 Ισοδύναmicroα rank(Jqr

)= 2 όπου Jqr συmicroβολίζει τον πίνακα

Jacobi της r στο σηmicroείο q

Επειδή το πεδίον ορισmicroού της r είναι στο R2 λέmicroε ότι ο χάρτης έχει διάσταση 2

(διδιάστατος χάρτης)

Το επόmicroενο σχήmicroα εικονίζει ένα χάρτη επιφάνειας

urvr

ou

ou

UWr

q

x

y

z

u

v

Σχηmicroα 44 Χάρτης επιφάνειας

412 Ορισmicroός Μια (κανονική) επιφάνεια (regular surface) είναι ένα σύνολο

S sube R3 microε τις εξής ιδιότητες

bull Υπάρχει microία οικογένεια χαρτών (Ui ri)iisinI τέτοια ώστε κάθε Wi = ri(Ui) sube S να

είναι ανοιχτό υποσύνολο του S

114 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull S =⋃

iisinI Wi

Ισοδύναmicroα Για κάθε σηmicroείο p isin S υπάρχει (2-διάστατος) χάρτης (Up rp) microε p isinWp = ri(Ui) και Wp sube S ανοιχτό

Το σύνολο των χαρτών (Ui ri)iisinI του S αποτελεί έναν (2-διάστατο) άτλαντα (atlas)

Περιγραφικά ϑα microπορούσαmicroε να πούmicroε ότι η επιφάνεια καλύπτεται από τις

εικόνες των χαρτών της

413 Παραδείγmicroατα bull Κάθε επίπεδο του χώρου R3

bull Η σφαίρα S2 microε τις δύο δοmicroές που ορίστηκαν στην αρχή αυτής της παραγράφου

[ϐλ ΄Ασκηση 417 (2)]

bull Το γράφηmicroα

Γf =(u v f (u v)) | (u v) isin R2

microιας διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3 [ϐλ ΄Ασκηση 417 (3)]

bull Επιφάνειες όπως στα επόmicroενα σχήmicroατα 45 και 46

x

y

z

Σχηmicroα 45 Η επιφάνεια του ελλειψοειδούς

και πλήθος άλλες εκ των οποίων πολλές ιδιαίτερα περίπλοκες

Ισχύει το επόmicroενο ϑεmicroελιώδες συmicroπέρασmicroα

414 Θεώρηmicroα Η αλλαγή των συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

Θυmicroίζουmicroε ότι αmicroφιδιαφόριση είναι microία απεικόνιση 1ndash1 και επί η οποία είναι

διαφορίσιmicroη microε διαφορίσιmicroη αντίστροφο

Περιγραφικά (ϐλ και το Σχήmicroα 47) το ϑεώρηmicroα σηmicroαίνει ότι αν έχουmicroε δύο

συστήmicroατα συντεταγmicroένων (U1 r1) και (U2 r2) τέτοια ώστε W = r1(U1) cap r2(U2) emptyτότε οι συναρτήσεις rminus1

2 r1 και rminus12 r1 (που είναι η microία αντίστροφος της άλλης) είναι

διαφορίσιmicroες Εποmicroένως οι συντεταγmicroένες των σηmicroείων του W ανάγονται η microία στην

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 115

x

y

z

Σχηmicroα 46 Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς

2iexcl

2iexcl

W

1 1( )r U 2 2( )r U

1U 2U

1r 11r-

12r-

2r

11 2r r-

o

12 1r r-

o

S

Σχηmicroα 47 Η αλλαγή συντεταγmicroένων επιφάνειας

άλλη microε διαφορίσιmicroο τρόπο Για την απόδειξη του ϑεωρήmicroατος παραπέmicroπουmicroε στο

[7 Θεώρηmicroα 233]

Σε κάθε σηmicroείο P microιας επιφάνειας S ορίζονται δύο αντικείmicroενα τα οποία παίζουν

ουσιώδη ϱόλο στη γεωmicroετρική microελέτη της επιφάνειας Αυτά είναι

bull το εφαπτόmicroενο επίπεδο (tangent plane) Ep και

bull το microοναδιαίο κάθετο διάνυσmicroα (unit normal vector) N equiv N(p)

όπως ϕαίνονται στο παρακάτω Σχήmicroα 48

116 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

N

P

vr

ur

p pE T Sordm

Σχηmicroα 48 Εφαπτόmicroενο επίπεδο και πρώτο κάθετο διάνυσmicroα

Λεπτοmicroερέστερα το Ep είναι η microεταφορά κατά το διάνυσmicroα ϑέσης p του σηmicroείου

P του εφαπτοmicroένου χώρου (tangent space)

TpS = Drq(R2) = αprime(0)

για όλες τις διαφορίσιmicroες καmicroπύλες α R supe Iα rarr R3 microε α(Iα) sub S και α(0) = p Η

πρώτη ισότητα στον παραπάνω ορισmicroό σε συνδυασmicroό microε τη δεύτερη συνθήκη του

Ορισmicroού 411 συνεπάγεται ότι ο εφαπτόmicroενος χώρος είναι ένας γραmicromicroικός υπόχωρος

του R3 διάστασης δύο δηλ ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξονων

Εποmicroένως

Ep = p + TpS

Απ΄ το άλλο microέρος είναι προφανές ότι

το N υπάρχει γιατί η S ϐρίσκεται εντός του R3

και η microεταβολή του αντανακλά το laquoσχήmicroαraquo της επιφάνειας το οποίον ουσιαστικά

προσδιορίζεται από ένα ϑεmicroελιώδες microέγεθος την καmicroπυλότητα που σήmicroερα είναι

γνωστή ως καmicroπυλότητα Gauss (Gauss curvature) για να τιmicroηθεί η ϑεmicroελιώδης

συmicroβολή του microεγάλου microαθηmicroατικού στη ϑεωρία των επιφανειών

Σχήmicroα 49 Καmicroπυλότητα σφαιρικών επιφανειών

41 Η Θεωρία των Επιφανειών και ο Gauss 117

Χωρίς να microπούmicroε εδώ σε τεχνικές λεπτοmicroέρειες microπορούmicroε να πούmicroε ότι η καmicroπυ-

λότητα του Gauss microετράει σε κάθε σηmicroείο την laquoαπόκλισηraquo της επιφάνειας από το

να είναι το επίπεδο Το προηγούmicroενο σχήmicroα παρουσιάζει σε τοmicroη δύο σφαιρικές

επιφάνειες που εφάπτονται σε ένα επίπεδο στο σηmicroείο P Τα σηmicroεία της microεγάλης

σφαίρας που ϐρίσκονται κοντά στο P απέχουν από το επίπεδο λιγότερο απ΄ ότι τα

σηmicroεία της microικρής σφαίρας επίσης κοντά στο P ∆ιαισθητικά αντιλαmicroβανόmicroαστε ότι

η σφαίρα microε τη microεγαλύτερη ακτίνα έχει microικρότερη καmicroπυλότητα

Ο Leonhard Euler (1707ndash1783) υπολόγισε την καmicroπυλότητα microε τον παρακάτω

τρόπο ο οποίος στηρίζεται στην ύπαρξη του καθέτου διανύσmicroατος

Εικονα 15 Leonhard Euler

Θεωρούmicroε όλα τα επίπεδα Π που περιέχουν το κάθετο διάνυσmicroα N στο σηmicroείο P

της επιφάνειας S και είναι κάθετα στο εφαπτόmicroενο επίπεδο της S στο P (ϐλ Σχήmicroα

410) Κάθε τέτοιο επίπεδο τέmicroνει την S κατά microήκος microιας καmicroπύλης γ microε αντίστοιχη

καmicroπυλότητα στο P κγ (ϐλ sectsect 33 34)

Σχήmicroα 410 Υπολογισmicroός της καmicroπυλότητας από τον Euler

Στο σύνολο των καmicroπυλοτήτων όλων των καmicroπυλών που λαmicroβάνονται micro΄ αυτόν

118 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

τον τρόπο υπάρχει microία ελάχιστη τιmicroή κ1 και microία microέγιστη κ2 Τότε η καmicroπυλότητα

Gauss K της S στο P δίνεται από τη σχέση

Kp = κ1 middot κ2

Αργότερα όmicroως Ο Carl Friedrich Gauss παρακινούmicroενος από γεωδαιτικές microε-

λέτες (ως ∆ιευθυντής του Γαιωδαιτικού Ινστιτούτου του Gottingen) microε σκοπό τη σύν-

ταξη τοπογραφικών χαρτών microεγάλης κλίmicroακας στο (τότε) Βασίλειο του Ανοβέρου

κατέληξε στον υπολογισmicroό της καmicroπυλότητας microιας επιφάνειας S αποκλειστικά microε

microετρήσεις επί της S δηλαδή χωρίς προσφυγή στον περιβάλλοντα χώρο και την ύ-

παρξη του καθέτου διανύσmicroατος Επιστέγασmicroα της προσέγγισης αυτής ήταν και η

απόδειξη του εποmicroένου διασήmicroου αποτελέσmicroατος

415 Θεώρηmicroα (Egregium) Η καmicroπυλότητα Gauss είναι ισοmicroετρική αναλλοίωτη

Εικονα 16 Carl Friedrich Gauss

Συνέπεια του ϑεωρήmicroατος αυτού του Gauss είναι και το

416 Πόρισmicroα Κάθε επιφάνεια S διαθέτει microια εσωτερική γεωmicroετρία ∆ηλαδή η

γεωmicroετρία της S δεν εξαρτάται από την εmicroβάπτισή της στον R3

Η ανάλυση των προηγουmicroένων οδηγεί και στο εξής συmicroπέρασmicroα

Αν στη Γη κατοικούσαν 2-διάστατα όντα (χωρίς την αίσθηση της τρίτης διάστα-

σης) και είχαν τις γνώσεις και την ευφυία του Gauss τότε αυτά ϑα microπορούσαν

να ανακαλύψουν το σχήmicroα της microε microετρήσεις στην ίδια την επιφάνεια της Γης

΄Ενας σύγχρονος (και σχετικά εύκολος) τρόπος υπολογισmicroού της καmicroπυλότητας

προκύπτει microε laquoκατάλληληraquo διαφόριση του N από την οποίαν προκύπτει ένας αυτο-

συζυγής (συmicromicroετρικός) τελεστής του TpS ΄Ενας τέτοιος τελεστής έχει δύο ιδιοτιmicroές

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 119

(κύριες καmicroπυλότητες) κ1 κ2 οπότε όπως και microε τη microέθοδο του Euler Kp = κ1 middot κ2

Κι εδώ η καmicroπυλότητα υπολογίζεται microε τη ϐοήθεια του καθέτου διανύσmicroατος άρα

τελικά λαmicroβάνοντας υπόψη ότι η επιφάνεια είναι εmicroβαπτισmicroένη στο χώρο R3

417 Ασκήσεις

1 Να αποδειχτούν οι τύποι της στερεογραφικής προβολής από το Βόρειο Πόλο (411)

(412) και να ϐρεθούν οι αντιστοιχες εκφράσεις για τη στερεογραφική προβολή από

το Νότιο Πόλο

2 Να οριστούν τα συστήmicroατα συντεταγmicroένων (χάρτες) της S2 ως επιφάνειας microε την

αυστηρή έννοια του Ορισmicroού 411 για τις στερεογραφικές προβολές και τα ηmicroι-

σφαίρια

3 Να δικαιολογηθεί γιατί το γράφηmicroα microιάς διαφορίσιmicroης συνάρτησης f R2 rarr R3

(ϐλ Παραδείγmicroατα 413) είναι κανονική επιφάνεια

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες

Η έννοια της (διαφορικής) πολλαπλότητας αναπτύχθηκε από τον Bernhard Riemann

(1826ndash1866) στη διάλεξή του laquoΕπί των υποθέσεων οι οποίες ϐρίσκονται στα ϑεmicroέλια

της γεωmicroετρίαςraquolowast (ϐλ και σχετικά σχόλια στη σελ 28) Στη διάλεξη αυτή ο Riemann

ανέπτυξε ϱιζοσπαστικές ιδέες για τον χώρο ο οποίος δεν πρέπει να ϑεωρείται κατ΄

ανάγκην Ευκλείδειος αλλά ότι είναι laquoκαmicroπυλωmicroένοςraquo και η καmicroπυλότητά του microπο-

ϱεί να υπολογιστεί (όπως και στις επιφάνειες) microε εσωτερικές microετρήσεις ΄Ετσι ο χώρος

είναι microία laquoπολλαπλότηταraquo δηλαδή ένα γεωmicroετρικό αντικείmicroενο που δεν είναι απα-

ϱαίτητα εmicroβαπτισmicroένο σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο και microπορεί να έχει διάσταση

microεγαλύτερη του 3 ακόmicroη και άπειρη Η ύπαρξη microιας microετρικής στην πολλαπλότητα

που σήmicroερα είναι γνωστή ως microετρική Riemann οδηγεί στην εύρεση της αντίστοιχης

καmicroπυλότητας άλλα και άλλων σχετικών microεγεθών που αποκαλύπτουν τις γεωmicroετρι-

κές ιδιότητες του αντικειmicroένουχώρου

Είναι προφανές ότι οι ιδέες αυτές είχαν ως αφορmicroή την εσωτερική γεωmicroετρία του

Gauss Θυmicroίζουmicroε ότι ο Riemann υπήρξε microαθητής του Gauss και ο τελευταίος ήταν

ίσως και ο microοναδικός καθηγητής του Gottingen που microπορούσε να κατανοήσει τις

ϱιζοσπαστικές ιδέες του microαθητή του όπως αυτός (δηλ ο Riemann) τις διατύπωσε

στην παραπάνω διάλεξη

Στα επόmicroενα ϑα ϑεωρήσουmicroε ένα σύνολο M empty Με σύγχρονη ορολογία και

συmicroβολισmicroούς (που καθιερώθηκαν microετά τα microέσα της δεκαετίας του 1930) έχουmicroε

πρώτα τον επόmicroενο τυπικό ορισmicroό (συγκρίνατε microε τον Ορισmicroό 411)

421 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος χάρτης (chart) του M είναι ένα Ϲεύγος (Uφ)όπου

lowast Για τη microετάφραση της διάλεξης στα Αγγλικά και εκτενή επεξηγηmicroατικά σχόλια ϐλ M Spivak

[38] σελίδες 132ndash178

120 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

bull U sube M

bull φ U≃minusminusrarr φ(U ) sube Rn είναι απεικόνιση 1 ndash 1 και επί microε φ(U ) sube Rn ανοιχτό

Σχηmicroα 411 Χάρτης πολλαπλότητας

Οι χάρτες κι εδώ ορίζουν τοπικά συστήmicroατα συντεταγmicroένων Το Σχήmicroα 411 πα-

ϱουσιάζει ένα χάρτη του M και συγκρινόmicroενο microε το αντίστοιχο Σχήmicroα 44 της σε-

λίδας 113 δείχνει τη σχέση των χαρτών microιας πολλαπλότητας microε αυτούς microιας επι-

ϕάνειας Συνολοθεωρητικά προσδιορίζονται από το ίδιο είδος απεικονίσεων (1ndash1 και

επί) microε εναλλαγή των πεδίων ορισmicroού και τιmicroών Οι τοπολογικές απαιτήσεις και οι

συνθήκες διαφορισιmicroότητας επί των χαρτών της επιφάνειας δεν έχουν έννοια εδώ

αφού το M είναι ένα σύνολο χωρίς καmicroιά δοmicroή (προς το παρόν)

422 Ορισmicroός ΄Ενας n-διάστατος άτλαντας (atlas) του M είναι microία οικογένεια

χαρτών A = (Ui φi) | i isin I τέτοια ώστε

bull M =⋃

iisinIUi δηλαδή ο A καλύπτει το M

bull Η αλλαγή των χαρτώνσυντεταγmicroένων

φj φminus1i φi(Ui cap Uj) minusrarr φj(Ui cap Uj)

είναι αmicroφιδιαφόρίση όπου υποθέτουmicroε ότι τα σύνολα

φi(Ui cap Uj) και φj(Ui cap Uj)

είναι ανοιχτά υποσύνολα του Rn

Βασική παρατήρηση Η δεύτερη ιδιότητα του Ορισmicroού 422 (αmicroφιδιαφόριση αλ-

λαγής χαρτώνσυντεταγmicroένων) εδώ λαmicroβάνεται ως αξίωmicroα ενω στις επιφάνειες είναι

ιδιότητα που αποδεικνύεται όπως αναφέρεται στο Θεώρηmicroα 414 Η αλλαγή των

χαρτών microιας πολλαπλότητας απεικονίζεται στο Σχήmicroα 412 της επόmicroενης σελίδας

και είναι το ανάλογο του Σχήmicroατος 47 (σελ 115)

423 Ορισmicroός ΄Ενα σύνολοM εφοδιασmicroένο microε ένα microέγιστο άτλαντα αποτελεί microία (n-

διάστατη) διαφορική πολλαπλότητα οπότε λέmicroε ισοδύναmicroα ότι το M εφοδιάζεται

microε microία διαφορική δοmicroή

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 121

Μέγιστος είναι ένας άτλαντας που περιέχει κάθε χάρτη για τον οποίον οι αλ-

λαγές των συντεταγmicroένων microε όλους τους χάρτες του άτλαντα είναι αmicroφιδιαφορίσεις

Αποδεικνύεται ότι για κάθε άτλαντα υπάρχει ένας microοναδικός microέγιστος που τον πε-

ϱιέχει

Συνοπτικά microπορούmicroε να πούmicroε ότι microέσω των χαρτών

Μία n-διάστατη πολλαπλότητα τοπικά microοιάζει microε τον Ευκλείδειο χώρο Rn

Σχηmicroα 412 Αλλαγή συντεταγmicroένων πολλαπλότητας

424 Παραδείγmicroατα

bull Ολες οι επιφάνειες (προφανώς)

bull ΄Ενα πιό laquoαφηρηmicroένοraquo πράδειγmicroα είναι ο (διδιάστατος) προβολικός χώρος

(projective space) P2(R) Γεωmicroετρικά αποτελείται από το σύνολο όλων των ευθειών

του R3 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΄Οmicroως κάθε τέτοια ευθεία καθορί-

Ϲεται πλήρως από ένα οποιοδήποτε σηmicroείο της Ακριβέστερα αν ℓ είναι ευθεία διερ-

χόmicroενη από το 0 και (x y z) ένα τυχόν σηmicroείο της τοτε κάθε άλλο σηmicroείο (x prime yprime zprime)της ℓ δίνεται από τη σχέση (x prime yprime zprime) = λ (x y z) για ένα πραγmicroατικό αριθmicroό λ 0

Εποmicroένως ισοδύναmicroα ο προβολικός χώρος περιγράφεται και αλγεβρικά ως εξής

P2(R) equiv[x y z]

∣∣∣ (x y z) isin R3lowast

όπου έχουmicroε ϑέσει

[x y z] =λ (x y z) |λ isin Rlowast

122 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

Μπορούmicroε να ορίσουmicroε τον άτλαντα A = (Ui φi) | i = 123

U1 =[x y z] x 0

ni [x y z]φ1minusminusminusminusminusminusrarr

(y

xz

x

)isin R2

U2 =[x y z] y 0

ni [x y z]φ2minusminusminusminusminusminusrarr

(x

yz

y

)isin R2

U3 =[x y z] z 0

ni [x y z]φ3minusminusminusminusminusminusrarr

(x

zy

z

)isin R2

Προφανώς ο P2(R) δεν είναι εmicroβαπτισmicroένος σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο (ούτε

και microπορεί να παρασταθεί) παρ΄ όλο που κατασκευάζεται από στοιχεία του R3 Με

ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται από τον Rn+1 ο n-διάστατος προβολικός χώρος Pn(R)

Φυσικά υπάρχει πληθώρα microαθηmicroατικών χώρων που είναι πολλαπλότητες αλλά

δεν microπορούν να εκτεθούν σ΄ αυτές τις σηmicroειώσεις

Μια πολλαπλότητα M αποκτά αρχικά microία τοπολογική δοmicroή ορίζοντας ότι ένα

A sube M είναι ανοιχτό (open) αν κάθε σύνολο

φ(A cap U ) sube Rn

είναι ανοιχτό (microε τη συνήθη έννοια των Ευκλειδείων χώρων) για όλους τους χάρτες

(Uφ) της διαφορικής δοmicroής

425 Πρόταση Με την προηγούmicroενη τοπολογία τα πεδία ορισmicroού U των χαρτών

(Uφ) είναι ανοιχτά σύνολα στο M και οι απεικονίσεις φ U rarr φ(U ) είναι οmicroοιοmicroορ-

ϕισmicroοί

Κατόπιν microπορούmicroε να ορίσουmicroε microίαν έννοια διαφορισιmicroότητας που επεκτείνει τη

συνήθη διαφορισιmicroότητα των Ευκλειδείων χώρων και εισάγει ένα ∆ιαφορικό Λογισmicroό

σε πολλαπλότητες Ακριβέστερα microία απεικόνιση microεταξύ πολλαπλοτήτων f M rarr N

είναι διαφορίσιmicroη στο p isin M (differentiable at p) αν υπάρχουν χάρτες (U φ) και

(V ψ) τωνM καιN αντίστιχα microε p isin U και f (U ) sube V έτσι ώστε η τοπική παράσταση

(local representation) της f

F = ψ f φminus1 Rm supe φ(U ) minusrarr ψ(V ) sube Rn

να είναι διαφορίσιmicroη στο φ(p) (microε τη συνήθη έννοια πλέον των Ευκλειδείων χώρων)

Το Σχήmicroα 413 στην επόmicroενη σελίδα διαφωτίζει τον ορισmicroό της διαφορισιmicroότητας

Ο ∆ιαφορικός Λογισmicroός που προκύπτει microε αυτόν τον τρόπο έχει όλες τις καλές

ιδιότητες που ξέρουmicroε και ικανοποιεί τα περισσότερα γνωστά ϑεωρήmicroατα όπως το

Θεώρηmicroα της Αλυσίδας της Αντίστροφης Συνάρτησης κλπ

΄Οπως και στις επιφάνειες σε κάθε σηmicroείο microιας πολλαπλότητας microπορούmicroε να αν-

τιστοιχίσουmicroε ένα γραmicromicroικό χώρο που καλούmicroε εφαπτόmicroενο χώρο και προσεγγίζει

42 ∆ιαφορικές Πολλαπλότητες 123

γραmicromicroικά την πολλαπλότητα Η περιγραφή του είναι πιό πολύπλοκη απ΄ αυτήν του

εφαπτοmicroένου χώρου και του εφαπτοmicroένου επιπέδου microιας επιφάνειας

Σχηmicroα 413 Τοπική παράσταση διαφορίσιmicroης απεικόνισης

Ο χώρος αυτός λόγω της γραmicromicroικής δοmicroής του επιτρέπει να ορίσουmicroε

bull Το διαφορικό (παράγωγο) microιας διαφορίσιmicroης απεικόνισης microεταξύ πολλαπλο-

τήτων Ουσιωδώς αυτό ανάγεται στο αντίστοιχο διαφορικό της τοπικής παρά-

στασης που υπολογίζεται τώρα microε τις συνήθεις microεθόδους διαφόρισης σε Ευ-

κλείδειους χώρους (πεπερασmicroένης διάστασης)

bull Εσωτερικό γινόmicroενο microετρική Minkowski κλπ που προκύπτουν και πάλι

από αντίστοιχα αντικείmicroενα σε Ευκλείδειους χώρους

Συγκολλώντας τα εσωτερικά γινόmicroενα ή τις microετρικές των εφαπτοmicroένων χώρων καθι-

στούmicroε την πολλαπλότητα microετρικό χώρο και ορίζουmicroε δοmicroή πολλαπλότητας Rieshy

mann πολλαπλότητας Lorentz κλπ

Απο την προηγούmicroενη σύντοmicroη αναφορά στις πολλαπλότητες microπορεί να κατα-

νοήσει κανείς ότι microε τη ϐοήθεια των χαρτών microπορούmicroε να microεταφέρουmicroε (σχεδόν)

όλο το microαθηmicroατικό οπλοστάσιο των Ευκλειδείων χώρων και σ᾿ αυτές Πρέπει να πού-

microε εδώ ότι οι πολλαπλότητες ndash σε πρώτη ανάγνωσηndash ϕαντάζουν ως ένα microαθηmicroατικό

αντικείmicroενο πολύ δύσκολο Για τον κοινό άνθρωπο αυτό είναι αλήθεια Για τον microέ-

σο microαθηmicroατικό η microελέτη των πολλαπλοτήτων δεν είναι δυσκολότερη απ΄ αυτήν των

επιφανειών που διδάσκονται στα microαθήmicroατα γεωmicroετρίας των πανεπιστηmicroίων

426 Ασκήσεις

1 Να αναφέρετε τη microορφή των χαρτών της σφαίρας ως διαφορικής πολλαπλότητας

microέσω των στερεογραφικών προβολών και των ηmicroισφαιρίων Κατόπιν να επαληθεύσετε

ότι η αλλαγή των συντεταγmicroένων που αντιστοιχούν στα ηmicroισφαίρια S+x και Sminusy είναι

αmicroφιδιαφόριση

124 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

2 Να αποδειχθεί ότι η συλλογή A = (Ui φi) | i = 12 3 που αναφέρεται στο

δεύτερο από τα Παραδείγmicroατα 424 πραγmicroατικά αποτελεί άτλαντα του προβολικού

χώρου P2(R)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας

Στόχος microας εδώ είναι να περιγράψουmicroε microόνο τον χωρόχρονο ως πολλαπλότητα για

να δούmicroε από τη microια microεριά το microαθηmicroατικό υπόβαθρο της Θεωρίας της Σχετικότητας

(Ειδικής και Γενικής) και από την άλλη το λόγο για τον οποίον είναι δύσκολο να

εξηγήσουmicroε το υπόβαθρο αυτό σε microη microαθηmicroατικό κοινό Πριν απ᾿ αυτό ας αναφερ-

ϑούmicroε σε microερικά διάσηmicroα ονόmicroατα τα οποία σχετίζονται ϑετικά ή αρνητικά microε την

παραπάνω ϑεωρία

Bernhard Riemann (1826ndash1866) ΄Οπως ήδη εξηγήσαmicroε και αλλού γεωmicroετρία του

υπήρξε ϑεmicroελιώδης για τη microαθηmicroατική διατύπωση της ΓΘΣ Ο Einstein έτρεφε

microεγάλοθαυmicroασmicroό γι΄ αυτόν (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 26)

Hermann Minkowski (1864ndash1909) Από τους πρώτους ένθερmicroους υποστηρικτές

της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΕΘΣ) στην οποίαν εισήγαγε την έννοια του

χωροχρόνου και microελέτησε τη γεωmicroετρία του

Hermann Minkowski

Το 1908 δήλωσε

Από εδώ και στο εξής ο χώρος microόνος του και ο χρόνος microόνος του είναι καταδι-

κασmicroένοι να εξασθενίσουν σε απλές σκιές και microόνον ένα είδος ένωσης και των

δυο ϑα αποτελέσει microιαν ανεξάρτητη πραγmicroατικότητα

Henri Poincare (1854ndash1912) Ασχολήθηκε (microεταξύ των άλλων) και microε προβλήmicroατα

σχετικά microε το ϕώς και είχε διερωτηθεί αν η ταχύτητα του πρέπει να ϑεωρηθεί σταθερή

Εντούτοις παρέmicroεινε πολέmicroιος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ) (Βλ

ϕωτογραφία του στη σελ 18)

Hendrik Antoon Lorentz (1853ndash1928) Είχε αντιληφθεί το 1905 κάποια παράδοξα

ϕυσικά ϕαινόmicroενα χωρίς να microπορεί να κατανοήσει τη σηmicroασία τους (όπως έγινε από

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 125

τον Einstein microε την ΕΘΣ)

Hendrik Lorentz

Οι microετασχηmicroατισmicroοί του (σήmicroερα γνωστοί ως microετασχηmicroατισmicroοί Lorentz χρησιmicroοποι-

ήθηκαν στην ΓΘΣ

David Hilbert (1862ndash1943) Είχε καταλήξει σε microερικά microαθηmicroατικά αποτελέσmicroατα

της ΓΘΣ χωρίς να microπορεί να εκτιmicroήσει ή να ερmicroηνεύσει τη ϕυσική τους σηmicroασία

Λόγω σχετικής παρεξήγησης που δηmicroιουργήθηκε ανεγνώρισε δηmicroόσια ότι η ΓΘΣ

είναι δηmicroιούργηmicroα του Einstein (Βλ ϕωτογραφία του στη σελ 14)

Albert Einstein (1879ndash1955)

Για τον δηmicroιουργό της Ειδικής και της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας τον ϕυσικό

που ανέτρεψε την εικόνα του κόσmicroου που επικρατούσε πριν απ΄ αυτόν δεν ϑα πούmicroε

τίποτε εδώ Είναι τεράστιο το πλήθος των ϐιβλίων και άρθρων που αναφέρονται στον

άνθρωπο και επιστήmicroονα Einstein απο τα οποία microπορεί κανείς να αντλήσει κάθε

είδους πληροφορία επιστηmicroονική ιστορική ακόmicroη και ανεκδοτολογική

431 Χωρόχρονος και ∆ιαφορική Γεωmicroετρία

Α Ο χωρόχρονος της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι ισοmicroετρική microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

126 Κεφάλαιο 4 Από τους χάρτες στις Πολλαπλότητες

∆ιευκρινίζουmicroε ότι ο χώρος Minkowski είναι το R4 microε την ψευδοmicroετρική που

εισάγεται από τα laquoγινόmicroεναraquo της microορφής

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusx1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4 ή

(x1 x2 x3 x4) middot (y1 y2 y3 y4) = minusc2 x1 middot y1 + x2 middot y2 + x3 middot y3 + x4 middot y4

όπου c η ταχύτητα του ϕωτός (η δεύτερη microορφή χρησιmicroοποιείται συχνά στη ϕυσική)

Μία πολλαπλότητα Lorentz είναι microία πολλαπλότητα εφοδιασmicroένη microε τη microετρική

Lorentz Η τελευταία είναι microία (διαφορίσιmicroη) απεικόνιση που σε κάθε σηmicroείο p

του χωρόχρονου M αντιστοιχεί microία microετρική Minkowski στον αντίστοιχο εφαπτόmicroενο

χώρο TpM Μερικές άλλες τεχνικές λεπτοmicroέρειες δίνονται στην τελευταία υποπαρά-

γραφο

Στην ΕΘΣ δεν υπεισέρχεται η ϐαρύτητα και υπάρχουν πολλά παράδοξα (όπως

των διδύmicroων της αλλοίωσης των διαστάσεων κλπ) ας άmicroεση συνέπεια της γεωmicroετρίας

του χωροχρόνου

Β Ο χωρόχρονος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι microία

4-διάστατη συνεκτική χρονικώς προσανατολισmicroένη πολλαπλότητα Lorentz

η οποία είναι τοπικώς ισόmicroορφη microε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski

Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση του Einstein

G = 8πT

όπου G είναι ο τανυστής της ϐαρύτητας και T ο τανυστής stressshyenergy που κα-

ϑορίζεται από την καmicroπυλότητα (Ricci) της πολλαπλότητας οδηγεί στο συmicroπέρασmicroα

ότι

ϐαρύτητα equiv καmicroπυλότητα

εποmicroένως η ΓΘΣ αποτελεί γεωmicroετρική ερmicroηνεία του microακροκόσmicroου

Ο microεγάλος στόχος της σύγχρονης έρευνας είναι η ενοποίηση της Θεωρίας της

Σχετικότητας (που περιγράφει τον microακρόκοσmicroο) microε την Κβαντική Θεωρία (που περι-

γράφει τον microικρόκοσmicroο) Κυρίαρχο εργαλείο ϕαίνεται να είναι κι εδώ η γεωmicroετρία

όπως χρησιmicroοποιείται στη Θεωρία Βαθmicroίδος (gauge theory) στη Θεωρία των Υπερ-

χορδών (string theory) κλπ Φυσικά είναι έξω από τα όρια αυτών των σηmicroειώσεων

να περιγράψουmicroε τι ακριβώς εννοούmicroε σήmicroερα πια τον όρο γεωmicroετρία τα εξαιρετικά

προηγmicroένα microαθηmicroατικά εργαλεία που χρησιmicroοποιεί καιτη σύmicroπλεξή της microε τους

άλλους κλαδους των microαθηmicroατικών

432 Μερικές τεχνικές λεπτοmicroέρειες

bull Η (τοπολογική) υπόθεση της συνεκτικότητας σηmicroαίνει (από ϕυσική άποψη) ότι δεν

υπάρχουν περιοχές του χωρόχρονου ανάmicroεσα στις οποίες δεν υπάρχει laquoεπικοινωνίαraquo

(microετάδοση σήmicroατος)

43 ∆υό λόγια για τη Θεωρία της Σχετικότητας 127

bull Η microετρική Minkowski διαχωρίζει τα διανύσmicroατα u (του R4 ή τουTpM ) σε

χωρικά αν u middot u gt 0 ή u = 0

microηδενικά αν u middot u = 0 και u 0

χρονικά αν u middot u lt 0

οπότε σχηmicroατίζονται δύο διπλοί κώνοι όπως στο Σχήmicroα 414 Ο άνω και κάτω κώνος

αποτελούνται από τα χρονικά διανύσmicroατα ο δεξιά και αριστερά από τα χωρικά ενώ

στην επιφάνεια ανήκουν τα microηδενικά (ή ϕωτεινά) διανύσmicroατα

Σχηmicroα 414 Ο κώνος ϕωτός

bull Χρονικός προσανατολισmicroός σηmicroαίνει ότι επιλέγουmicroε τον έναν από τους κώνους των

χρονικών διανυσmicroάτων όπως ϕαίνεται στο επόmicroενο σχήmicroα που δανειζόmicroαστε από το

ϐιβλίο [30]

Σχηmicroα 415 Χρονικός προσανατολισmicroός

Σηmicroείωση Για τη στοιχειώδη γεωmicroετρία των επιφανειών παραπέmicroπουmicroε κυρίως στα

ϐιβλία [24] [30] [34] και τις σηmicroειώσεις [7] Για microια πρώτη γνωριmicroία microε τη διαφορική

γεωmicroετρία των πολλαπλοτήτων προτεινουmicroε το [44] και τις χειρόγραφες σηmicroειώσεις

[6] Η σχετική ϐιβλιογραφία είναι πολλή microεγάλη Μια πλήρης microαθηmicroατική έκθε-

ση της ΕΘΣ και της ΓΘΣ microαζί microε τα απαραίτητα στοιχεία της γεωmicroετρίας των

πολλαπλοτήτων Riemann και άλλων ϐασικών ϑεmicroάτων περιέχεται στο [29]

Πολλά ιστορικά στοιχεία και πληροφορίες για τα ϑέmicroατα που ϑίξαmicroε σ᾿ αυτό το

σύντοmicroο κεφάλαιο όπως και απλοποιηmicroένες παρουσιάσεις των ϑεωριών του Einstein

και των συνεπειών τους περιέχονται στα ϐιβλία [11] [26] [32]

Βιβλιογραφία

[1] ∆ Αναπολιτανος Εισαγωγή στη ϕιλοσοφία των microαθηmicroατικών Εκδόσεις Νεφέλη

Αθήνα 1985

[2] Σ Ανδρεαδακης Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Αθήνα 1980

[3] Ι Αραχωβιτης ndash Ε Βασιλειου Σηmicroειώσεις Γραmicromicroικής Γεωmicroετρίας Πανεπιστήmicroιο

Αθηνών Αθήνα 1985

[4] ∆ Βαρσος κα (συγγραφική οmicroάδα) Εισαγωγή στη Γραmicromicroική ΄Αλγεβρα Τόmicroος

Α Εκδόσεις Σοφία Θεσσαλονίκη 2003

[5] Ε Βασιλειου Στοιχεία Προβολικής Γεωmicroετρίας Εκδόσεις Συmicromicroετρία Αθήνα

2009

[6] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας I Πα-

νεπιστήmicroιο Αθηνών 2009 httpLecture Notes on Curves and Surfaces

[7] Ε ΒασιλειουndashΜ Παπατριανταφυλλου Σηmicroειώσεις ∆ιαφορικής Γεωmicroετρίας Καmicro-

πυλών και Επιφανειών Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 20010

[8] E T Bell The Development of Mathematics Dover New York 1992

[9] J W Blattner Projective plane geometry HoldenshyDay San Francisco 1968

[10] J N Cederberg A Course in Modern Geometries Springer New York 1989

[11] D D Davis Η Φύση και η ∆ύναmicroη των Μαθηmicroατικών Πανεπιστηmicroιακές Εκ-

δόσεις Κρήτης Ηράκλειο 2005

129

130 Βιβλιογραφία

[12] M P Do Carmo Differential geometry of Curves and Surfaces PrenticeshyHall

Englegood Cliffs New Jersey 1976

[13] P Dombrowski 150 Years after Gaussrsquo disquisitiones generales circa supershy

ficies curvas Asterisque 62 Soc Math de France Paris 1979

[14] N V Efimov ndash E R Rozendorn Linear Algebra and Multidimensional Geoshy

metry MIR Publishers Moscow 1975

[15] R L Faber Foundations of Euclidean and nonshyEuclidean Geometry Marcel

Dekker New York 1983

[16] G H Hardy A Mathematicianrsquos Apology Cambridge Univ Press Canto edishy

tion Cambridge 2002

[17] M Henle Modern Geometry The Analytic Approach Prentice Hall New Jershy

sey 1997

[18] D Hilbert Foundations of Geometry (Grunlangen der Geometrie) Open

Court Illinois 1971 Ελληνική microετάφραση Θεmicroέλια της Γεωmicroετρίας Τροχα-

λια Αθήνα 1995

[19] S Hollingdale Makers of Mathematics Penguin London 1991

[20] M Kline Mathematics in Western Culture Oxford Univ Press 1953 Ελλη-

νική microετάφραση Τα Μαθηmicroατικά στο ∆υτικό Πολιτισmicroό (τόmicroοι Α-Β) Κώδικας

Αθήνα 2002

[21] W Klingenberg A Course in Differential Geometry Springer New York

1978

[22] ∆ Κουτρουφιωτη Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Leader Books Αθήνα

2006

[23] M Lipschutz Differential Geometry Schaumrsquos Outline Series McGraw Hill

New York 1974 Ελληνική microετάφραση ∆ιαφορική Γεωmicroετρία ΕΣΠΙ Ε Περ-

σίδης Αθήνα 1981

[24] J McCleary Geometry from a Differential Point of View Cambridge Univ

Press Cambridge 1994

[25] R J Mihalek Projective Geometry and Algebraic Structures Academic

Press New York 1972

[26] L Mlodinov Euclidrsquos Window The Story of Geometry from Parallel Lines to

Hyperspace Allen Lane The Penguin Press London 2002 Ελληνική microετά-

ϕραση Το Παράθυρο του Ευκλείδη Τραυλός Αθήνα 2007

Βιβλιογραφία 131

[27] S NegrepontisndashD Lamprinidis The Platonic Anthyphairetic Interpretation of

Pappusrsquo account of analysis and synthesis History and Epistemology in Mashy

thematics Education Proceedings of the 5th European Summer University

Prague 2007 pp 501ndash511

[28] Μ Μπρικας Μαθήmicroατα Προβολικής Γεωmicroετρίας Αθήνα 1964

[29] B OrsquoNeill SemishyRiemannian Geometry With Applications to Relativity Acashy

demic Press New York 1983

[30] B OrsquoNeill Elementary Differential Geometry Academic Press New York

1997 Ελληνική microετάφραση Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωmicroετρία Πανεπιστη-

microιακές Εκδόσεις Κρήτης 2002

[31] J Oprea Differential Geometry and its Applications Prentice Hall Upper

Saddle River New Jersey 1997

[32] R Osserman Poetry of the Universe Anchor Books Doubleday New York

1995 Ελληνική microετάφραση Η Ποίηση του Σύmicroπαντος Τραυλός Αθήνα 1998

[33] Β Παπαντωνιου ∆ιαφορική Γεωmicroετρία I Θεωρία Καmicroπυλών Πάτρα 1996

[34] A Pressley Elementary Differential Geometry Springer London 2001

[35] J Pierpont The history of mathematics in the nineteenth century Bull

Amer Math Soc 37 (2000) 3ndash8 [reprinted from Bull Amer Math Soc 11

(1905) 238ndash246]

[36] H Poincare Dernieres Pensees Flammarion Paris 1913

[37] C Reid Ο προκλητικός Κος Χίλmicroπερτ Εκδοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

[38] M Spivak Differential Geometry Vol II Publish or Perish Wilmington 1979

[39] Ε Σταmicroατης Εὐκλείδου Γεωmicroετρία Τόmicroος Ι (Στοιχείων Βιβλία IndashIV) Εκδόσεις

Ν Σάκκουλα Αθήνα 1952

[40] F W Stevenson Projetive Planes W H Freeman San Francisco 1972

[41] Χ Στραντζαλος Η εξέλιξη των Ευκλειδείων και microη Ευκλειδείων Γεωmicroετριών

(Μέρος Α) Εκδόσεις Καρδαmicroίτσα Αθήνα 1987

[42] D J Struik Συνοπτική Ιστορία των Μαθηmicroατικών Εκδόσεις Ι Ζαχαρόπουλος

Αθήνα 1982

[43] M B W Tent Καρλ Φρίντριχ Γκάους Ο Πρίγκηπας των Μαθηmicroατικών Εκ-

δοτικός Οικος Τραυλός Αθήνα 2007

132 Βιβλιογραφία

[44] LW Tu An Introductiion to Manifolds (2nd edition) Springer New York

2011

[45] I M Yaglom Felix Klein and Sophus Lie Birkhauser Boston 1988

Πίνακας εννοιών

Αίτηmicroα 8

ακτίνα καmicroπυλότητας 89

αmicroφιδιαφόριση 114

αναπαραmicroέτρηση

ndash καmicroπύλης 85

ndash microέσω microήκους τόξου 87

ανοιχτό σύνολο πολλαπλότητας 122

αντίθετη καmicroπύλη 152

αξίωmicroα 8

ndash 2prime 26

ndash Αρχιmicroήδη 17

ndash ελλειπτικό 26

ndash παραλλήλων 10

ndash πληρότητας (γραmicromicroικής) 17

ndash υπερβολικό 21

ndash Dedekind 17

ndash Pasch 15

ndash Playfair 11

αξιωmicroατικό σύστηmicroα

ndash ανεξάρτητο 19

ndash πλήρες 19

ndash συνεπές 19

άξονας σηmicroειοσειράς 51

αποδεικτική microέθοδος

ndash αναλυτική 9

ndash εις άτοπον απαγωγή 9

ndash συνθετική 9

Απόλυτη Γεωmicroετρία 11

αποπλήρωση 60

απροσδιόριστες έννοιες 14

αρχή του δυισmicroού 49 50

άτλαντας

ndash επιφάνειας 114

ndash microέγιστος 121

ndash πολλαπλότητας 120

άτοπος απαγωγή 9

Γεωδαισιακή γραmicromicroή 24

Γεωmicroετρία

ndash Απόλυτη 11

ndash Ελλειπτική 11 25

ndash Ουδέτερη 11

ndash Klein 71

ndash Υπερβολική 11 21

∆έσmicroη

ndash ευθειών 51

ndash σηmicroείων 51

διάνυσmicroα

ndash Darboux 105

ndash δεύτερο κάθετο 89

ndash εφαπτόmicroενο 83 88

ndash πρωτεύον κάθετο 89

133

134 Πίνακας εννοιών

ndash πρώτο κάθετο 89

ndash ταχύτητας 83 88

διάσταση χάρτη 113

διαφορίσιmicroη απεικόνιση πολλαπλότητας

122

διατήρηση

ndash συγγραmicromicroικότητας σηmicroείων 71

ndash σύmicroπτωσης 65

δίσκος

ndash KleinshyBeltrami 24

ndash Poincare 25

δυική πρόταση 49

Ελαχίστη ισχύς

ndash προβολικού επιπέδου 54

ndash συσχετισmicroένου επιπέδου 42

έλικα (κυκλική) 104

έλκουσα 23

Ελλειπτική Γεωmicroετρία 11

ndash απλή 26

ndash διπλή 26

ένωση σηmicroείων 40 43

επίπεδο

ndash εγγύτατο 90

ndash ευθειοποιούν 90

ndash κάθετο 90

ndash προβολικό 43

ndash κλασικό 62

ndash συσχετισmicroένο 39

επιφάνεια (κανονική) 113

επιτάχυνση 83

εσωτερική γεωmicroετρία 118

εφαπτοmicroένη ευθεία 82

εφαπτόmicroενο

ndash διάνυσmicroα καmicroπύλης 83

ndash επίπεδο 115

εφαπτόmicroενος χωρος επιφάνειας 116

ευθεία 38 42

ndash εφαπτοmicroένη 82

ndash ιδεατή 57

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash πραγmicroατική 57

ευθείες παράλληλες 39

Θεώρηmicroα 9

ndash Θεmicroελιώδες των Καmicroπυλών 102

ndash Egregium 118

Ισόmicroορφα

ndash προβολικά επίπεδα 65

ndash σύνολα 64

ισοmicroορφισmicroός

ndash δοmicroής 64

ndash προβολικών επιπέδων 65

ισχύς

ndash δέσmicroης ευθειών 53

ndash σηmicroειοσειράς 53

Κάθετο διάνυσmicroα

ndashεπιφάνειας 115

ndashκαmicroπύλης

ndash δεύτερο 89

ndash πρωτεύον 89

ndash πρώτο 89

κάθετος

ndash δεύτερη (καmicroπύλης) 104 151 156

ndash πρώτη (καmicroπύλης) 105 156

καmicroπύλη 81

ndash αντίθετη 152

ndash απλή 83

ndash επίπεδη 81

ndash κανονική 83

ndash microοναδιαίας ταχύτητας 87

ndash οmicroαλή 83

ndash παράλληλη 106

ndash παραmicroετρηmicroένη 81

ndash στο χώρο 81

καmicroπυλότητα 88 98

καmicroπυλότητα Gauss 116

κέντρο δέσmicroης ευθειών 51

κοινή έννοια 9

κυκλοειδής 105

Μεταφορά 102

microέτρο ταχύτητας 83

microήκος καmicroπύλης 83

microοντέλο 19

microορφισmicroός 63

Πίνακας εννοιών 135

ndash προβολικών επιπέδων 65

ndash 1ndash1 65

ndash επί 65

Οϱος 8

Ουδέτερη Γεωmicroετρία 11

Παράλληλες ευθείες 39

παραmicroέτρηση 113

παράmicroετρος

ndash microήκος τόξου 87

ndash ϕυσική 87

πλήρωση 58

πολλαπλότητα

ndash διαφορική 120

ndash Lorentz 126

πρόταση 9

προβολικό επίπεδο 43

ndash δυικό 49

ndash πεπερασmicroένο 53

ndash πραγmicroατικό διάστασης 2 45

ndash των επτά σηmicroείων 43

προβολικός χώρος 121

Σηmicroεία συγγραmicromicroικά 39

σύστηmicroα συντεταγmicroένων 113

σηmicroείο 38 42

ndash ανωmicroαλίας 83

ndash ιδεατό 57

ndash ιδιάζον 88

ndash κατ᾿ εκδοχήν 57

ndash κοινό 40

ndash πραγmicroατικό 57

σηmicroειοσειρά 51

στερεά κίνηση 102

στοιχειώδης απεικόνιση 52

στρέψη 91 98

στροφή 102

συγγραmicromicroικότητα 71

σύmicroπτωση ϐλέπε σχέση σύmicroπτωσης

σφαιρική δείκτρια 106

σχέση σύmicroπτωσης 38 42

Τάξη προβολικού επιπέδου 55

τοmicroή ευθειών 41 43

τοπική παράσταση 122

τρίεδρο

ndash Frenet 90 98 100

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

ndash συνοδεύον 90

ndash κατά microήκος καmicroπύλης 90

τύποι FrenetshySerret 93

ndash γενικευmicroένοι 101

Υπερβολική Γεωmicroετρία 11

Χάρτης

ndash επιφάνειας 113

ndash πολλαπλότητας 119

χώρος Minkowski 126

χωρόχρονος

ndash της ΕΘΣ 125

ndash της ΓΘΣ 126

Ψευδόσφαιρα 20 22

Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις επιλεγmicroένων ασκήσεων)

2111 (2) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία ενός συσχετισmicroένου επιπέδου Σύmicroφωνα microε το

Θεώρηmicroα 219 υπάρχουν 4 διαφορετικά σηmicroεία AB C D που είναι ανά 3 microη

συγγραmicromicroικά Στην ακραία περίπτωση που δύο (το πολύ) από τα AB C D ανήκουν

στην ℓ έχουmicroε αmicroέσως το αποτέλεσmicroα

∆ιακρίνουmicroε τις εξής δύο microη τετριmicromicroένες περιπτώσεις

i) Κανένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία δεν ανήκει στην ℓ

Τότε ορίζονται οι ευθείες AorB AorC και AorD που είναι διαφορετικές microεταξύ τους

καθώς και προς την ℓ (ϐλ και την απόδειξη της Πρότασης 226) Απ᾿ αυτές microία το

πολύ microπορεί να είναι παράλληλη προς την ℓ ας πούmicroε η AorD Εποmicroένως οι AorB

A or C ϑα τέmicroνουν την ℓ στα αντίστοιχα σηmicroεία X και Y Παρατηρούmicroε ότι X Y

γιατί διαφορετικά ϑα είχαmicroε ότι A or B = A or X = A or Y = A or C (άτοπο)

c ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πανεπιστήmicroιο Αθηνών 2015

138 Υποδείξεις λύσεων

ii) ΄Ενα από τα AB C D ϐρίσκεται επί της ℓ ας πούmicroε το A Τότε προσδιορίζουmicroε

ένα δεύτερο σηmicroείο Z A ακολουθώντας παρόmicroοια microε την προηγουmicroένη διαδικασία

όπως συνοπτικά απεικονίζεται και το επόmicroενο σχήmicroα

2111 (3) Α΄ Τρόπος ΄Εστω P τυχόν σηmicroείο ενός ΣΕ Πρώτα παρατηρούmicroε ότι υπάρ-

χει microία ευθεία ℓ η οποία δεν περιέχει το P Πραγmicroατικά από το (ΣΕ 3) εξασφαλίζεται

η ύπαρξη 3 διαφορετικών και microη συγγραmicromicroικών σηmicroείων A B C Αν το P συmicroπίπτει

microε ένα απο τα προηγούmicroενα σηmicroεία τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε ως ℓ την ευθεία που

ορίζουν τα άλλα δύο Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα απο τα σηmicroεία αυτά τότε ϑα

ανήκει το πολύ σε microία από τις 3 ευθείες που ορίζουν ανά 2 τα AB C άρα microπορούmicroε

να επιλέξουmicroε τη microια από τις υπόλοιπες

Σύmicroφωνα microε την προηγουmicroένη διαπίστωση microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε τώρα microια

ευθεία ℓ που δεν περιέχει το P Κατά την παραπάνω ΄Ασκηση 2111 (2) η ℓ περιέχει

δύο διαφορετικά σηmicroεία ας τα καλέσουmicroε X και Y

Επειδή X P Y ορίζονται οι P or X και P or Y Επίσης κατά το (ΣΕ 2) υπάρχει

microία microοναδική ευθεία k που είναι παράλληλη προς την ℓ και διέρχεται από το P

∆ιαπιστώνουmicroε εύκολα ότι οι k PorX PorY είναι 3 διαφορετικές διαφορετικές ευθείες

που διέρχονται από το P

Β΄ Τρόπος Θεωρούmicroε τα 4 σηmicroεία AB C D του Θεωρήmicroατος 219 και διακρίνουmicroε

διάφορες δυνατές περιπτώσεις σε σχέση microε τη ϑέση του P ως προς τα A B C D

i) Το P συmicroπίπτει microε ένα από τα προηγούmicroενα σηmicroεία πχ το A Τότε οι ευθείες

PorB PorC και PorD αποδεικνύουν τον ισχυρισmicroό της άσκησης επειδή είναι microεταξύ

τους διαφορετικές [αν ήταν για παράδειγmicroα P or B = P or C τότε τα P = A και BC

ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά (άτοπο)]

ii) Το P ϐρίσκεται στην τοmicroή δύο ευθειών από αυτές που ορίζουν ανά 2 τα

Υποδείξεις λύσεων 139

AB C D όπως στην οmicroάδα των παρακάτω τεσσάρων σχηmicroάτων

Στην περίπτωση που για παράδειγmicroα P = (A or C) and (B or D) ϕέρνουmicroε από το

C την kB or D και από το D την ℓA or C Παρατηρούmicroε ότι k ℓ [διαφορετικά η

k = ℓ ϑα συνεπάγονταν ότι το C ϑα ήταν σηmicroείο της ℓ (άτοπο)] Επίσης k mdashℓ [στην

αντίθετη περίπτωση ϑα ήταν και B or Dℓ (άτοπο)] Εποmicroένως ορίζεται το E = k and ℓΕπειδή E P ορίζεται και η P or E Οι ευθείες P or E A or C και B orD επαληθεύουν

τον ισχυρισmicroό αφού είναι microεταξύ τους διάφορες [αν πχ ήταν P or E = A or C τότε

το E ϑα ανήκε στην A or C (άτοπο)]

140 Υποδείξεις λύσεων

iii) Το P ϐρίσκεται σε microία από τις ευθείες που ορίζουν 2 από τα προηγούmicroενα

σηmicroεία ας πούmicroε την A or B (ϐλ το προηγούmicroενο σχήmicroα) Οι P or C και P or Dείναι διαφορετικές microεταξύ τους καθώς και προς την A or B Πραγmicroατικά αν ήταν

P or C = P or D τότε ϑα είχαmicroε ότι

C = (P or C) and (C or D) = (P or D) and (C or D) = D

που είναι άτοπο Επίσης η A or B = P or C για παράδειγmicroα ϑα συνεπάγονταν ότι

τα AB C ϑα ήσαν συγγραmicromicroικά που είναι επίσης άτοπο Οι A or B P or C P or Dαποτελούν τις Ϲητούmicroενες ευθείες

iv) Αν το P δεν συmicroπίπτει microε κανένα από τα A B C D τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε

τις ευθείες P or A P or B P or C οι οποίες είναι διαφορετικές microεταξύ τους

2111 (4) Αν S = k andm και υποθέσουmicroε ότι η m δεν τέmicroνει την ℓ τότε από το

S ϑα είχαmicroε δύο παράλληλες προς την ℓ πράγmicroα που αντιβαίνει στο (ΣΕ 2)

229 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι άmicroεση συνέπεια του αξιώmicroατος (ΠΕ 3) [αντιστοίχως

του (ΣΕ 3)]

229 (3) Αν ℓ είναι οποιαδήποτε ευθεία τότε από τα 4 σηmicroεία του (ΠΕ 3) τουλάχι-

στον 2 ϐρίσκονται εκτός της ℓ Αν τώρα δίνεται ένα σηmicroείο P τουλάχιστον 2 από τις

ευθείες που ορίζονται από τα ίδια 4 προηγούmicroενα σηmicroεία δεν περιέχουν το P

229 (4) Αν S = k and ℓ τότε υπάρχει σηmicroείο A της k microε A S και σηmicroείο B

της ℓ microε B S Επειδή A B ορίζεται η A or B Σύmicroφωνα microε την Πρόταση 226

Υποδείξεις λύσεων 141

η A or B διαθέτει ακόmicroη ένα σηmicroείο C διαφορετικό από τα A και B Το C είναι το

Ϲητούmicroενο επειδή δεν ανήκει σε καmicroιά από τις δύο ευθείες Πραγmicroατικά αν για

παράδειγmicroα (C k) isin I τότε k = A or C = A or B άρα (B k) isin I (άτοπο)

Στην περίπτωση ενός συσχετισmicroένου επιπέδου διακρίνουmicroε δύο περιπτώσεις

i) Αν οι k και ℓ τέmicroνονται ϑέτουmicroε S = k and ℓ

Επειδή η k διαθέτει τουλάχιστον ένα σηmicroείοA S [ϐλ ΄Ασκηση 2111 (2)] microπορούmicroε

να ϕέρουmicroε από το A microία (microοναδική) ευθεία ℓprimeℓ Η ℓprime διαθέτει και ένα σηmicroείο O A

∆ιαπιστώνουmicroε αmicroέσως ότι το O είναι ένα σηmicroείο όπως το Ϲητούmicroενο

ii) Ας υποθέσουmicroε τώρα ότι οι k και ℓ είναι παράλληλες Η k διαθέτει τουλάχιστον

δύο διαφορετικά σηmicroεία A B και η ℓ άλλα δύο Aprime Bprime Αν το επίπεδο έχει microόνον 4

σηmicroεία τότε δεν υπάρχει σηmicroείο microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Αν υπάρχουν περισσότερα

από 4 τότε υπάρχει ένα X διαφορετικό από τα προηγούmicroενα Στην περίπτωση που το

X δεν ϐρίσκεται σε καmicroιά από τις k ℓ τότε αυτό είναι το Ϲητούmicroενο Αν το X ανήκει

ας πούmicroε στην k τότε ορίζονται οι ευθείες A or Aprime και B orAprime από τις οποίες το πολύ

microία είναι παράλληλη προς την X or Bprime

Η τοmicroή της τελευταίας microε την microη παράλληλη από τις προηγούmicroενες δίνει ένα σηmicroείο

O microε τη Ϲητουmicroένη ιδιότητα Παρόmicroοια εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποίαν το

142 Υποδείξεις λύσεων

σηmicroείο X ανήκει στην ευθεία ℓ

229 (5) Η επαλήθευση των αξιωmicroάτων του προβολικού επιπέδου είναι άmicroεση Το

επίπεδο αυτό ϐρίσκεται σε 1 ndash 1 και επί αντιστοιχία microε το P2 Πραγmicroατικά κάθε

ευθεία του R3 που περνάει από την αρχή των αξόνων 0 τέmicroνει τη microοναδιαία σφαίρα

σε δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία Αντιστρόφως δύο αντιδιαmicroετρικά σηmicroεία ορίζουν microια

διάmicroετρο άρα ευθεία που περνάει από το 0 Επίσης κάθε microέγιστος κύκλος ορίζει

ένα επίπεδο που περνάει από το 0 και αντιστρόφως

234 (1) Το ίδιο το επίπεδο των 7 σηmicroείων

234 (2) Αυτό διαπιστώνεται microε πολλούς τρόπους Για παράδειγα

ndash Από το δυϊκό του (ΣΕ 1) που δεν αληθεύει πάντοτε λόγω της ύπαρξης παραλλήλων

ευθειών

ndash Από τη δυϊκή διατύπωση του αξιώmicroατος (ΣΕ 2) που οδηγεί στη microη οριζοmicroένη έννοια

παραλληλίας σηmicroείων [παραλληλία δύο διαφορετικών σηmicroείων δυΐκώς προς αυτήν

των ευθειών ϑα σήmicroαινε ανυπαρξία laquoκοινήςraquo ευθείας (που περιέχει τα σηmicroεία αυτά)

σε αντίφαση microε το (ΣΕ 1)]

ndash Το δυΐκό συmicroπέρασmicroα της ΄Ασκησης 2111 (3) συνεπάγεται ότι κάθε ευθεία διαθέτει

τουλάχιστον 3 διαφορετικά σηmicroεία πράγmicroα που δεν είναι γενικώς αληθές ( στο συ-

σχετισένο επίπεδο των τεσσάρων σηmicroείων οι ευθείες έχουν ακριβώς δύο διαφορετικά

σηmicroεία)

234 (3) ΄Οχι αφού το δυϊκό του (ΠΕ 3) δεν περιέχεται στο σύστηmicroα των αξιωmicroάτων

(ΠΕ 1) ndash (ΠΕ 3) Θα πρέπει να προστεθούν οι Προτάσεις 224 και 227

2410 (1) Η απόδειξη γίνεται microε συλλογισmicroούς δυϊκούς προς αυτούς της Προτα-

σης 244

2410 (2) Το συmicroπέρασmicroα είναι δυϊκό του Πορίσmicroατος 247

2410 (3) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο O εκτός της ℓ Τότε σύmicroφωνα microε την προηγου-

microένη άσκηση και το Πόρισmicroα 246 έχουmicroε ότι |J(A)| = |J(O)| = |J(ℓ)| Εποmicroένως το

Πόρισmicroα 246 ισχύει είτε το O ϐρίσκεται επί της m είτε όχι

2410 (4) Σε ένα τέτοιο προβολικό επίπεδο όλες οι ευθείες ϑα περιέχουν τουλά-

χιστον 4 διαφορετικά σηmicroεία (αλλιώς ϑα αναγόmicroαστε στο επίπεδο των 7 σηmicroείων)

Εποmicroένως το πλήθος των σηmicroείων ϑα είναι τουλάχιστον 32+ 3 + 1 = 13

2410 (6) Επειδή από το O διέρχεται microία ευθεία παράλληλη προς την m στην πε-

ϱίπτωση που το συσχετισmicroένο επίπεδο περιέχει άπειρο πλήθος σηmicroείων δεν ισχύει

η Πρόταση 244 και τα Πορίσmicroατα 246 και 247 Αν όmicroως το επίπεδο έχει πε-

περασmicroένο πλήθος σηmicroείων τότε το ανάλογο του Πορίσmicroατος 246 είναι |J(m)| =|J(O)| minus 1 Με τις ίδιες προϋποθέσεις [και χρησιmicroοποιώντας την ΄Ασκηση229 (4) για

το συσχετισmicroένο επίπεδο] η παραπάνω σχέση οδηγεί στην |J(k)| = |J(ℓ)| που δίνει

το συσχετισmicroένο ανάλογο του Πορίσmicroατος 247

2410 (7) Ακολουθούmicroε τη συλλογιστική της Πρότασης248 Θεωρούmicroε ένα σηmicroείο

O εκτός της ℓ Ορίζονται οι n διαφορετικές ευθείες O or Ai όπου Ai (i = 1 n) τα

Υποδείξεις λύσεων 143

σηmicroεία της ℓ Επίσης από το O διέρχεται και microία m παράλληλη προς την ℓ Κάθε microία

από τις προηγούmicroενες ευθείες διαθέτει nminus1 διαφορετικά σηmicroεία από τοO Εποmicroένως

microαζί microε το O έχουmicroε (n + 1)(n minus 1) + 1 = n2 διαφορετικά σηmicroεία Αποδεικνύουmicroε

ότι αυτά είναι ακριβώς τα σηmicroεία του επιπέδου αν υπάρχει ακόmicroη ένα σηmicroείο Q

διαφορετικό από τα προηγούmicroενα τότε ορίζεται η O or Q η οποία αναγκαστικά ϑα

συmicroπίπτει είτε microε την m είτε microε microία από τις O or Ai Εποmicroένως το Q είναι ένα από τα

προηγούmicroενα n2 σηmicroεία

2410 (8) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία και Ai (i = 1 n) τα σηmicroεία της Αν P τυχόν

σηmicroείον του επιπέδου που δεν ανήκει στην ℓ τότε [ϐλ τη λύση της παραπάνω

΄Ασκησης 2410 (6) για πεπερασmicroένα συσχετισmicroένα επίπεδα] είναι |J(P)| = |J(ℓ)|+1 =

n + 1

Αν το P ανήκει στην ℓ τότε αυτό συmicroπίπτει microε κάποιο απο τα Ai Χωρίς ϐλάβη της

γενικότητας ας υποθέσουmicroε ότι P = A1 Θεωρούmicroε και ένα O εκτός της ℓ Εποmicroένως

από το P διέρχονται οι ευθείες ℓ PorO και kj OorAj (j = 2 n) δηλαδή συνολικά

n + 1 ευθείες (ϐλ και το παραπάνω σχήmicroα) Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι όλες είναι

διαφορετικές microεταξύ τους

258 (3) Οι ευθείες AB και CD είναι παράλληλες άρα ορίζουν το ιδεατό σηmicroείο

kmiddot = ABmiddot = CDmiddot

Παρόmicroοια οι παράλληλες AD και BC ορίζουν το

lmiddot = ADmiddot = BCmiddot

ενώ οι παράλληλες AC BD ορίζουν το

mmiddot = ACmiddot = BDmiddot

Συνεπώς η πλήρωση αποτελείται από τα πραγmicroατικά σηmicroεία AB C D και τα ιδεατά

kmiddot lmiddot mmiddot δηλαδή καταλήγουmicroε στο προβολικό επίπεδο των 7 σηmicroείων Οι ευθείες της

πλήρωσης είναι προφανώς οι

AB kmiddot CD kmiddot AD lmiddot BC lmiddot ACmmiddot BDmmiddot εinfin = kmiddot lmiddot mmiddot

144 Υποδείξεις λύσεων

Το παρακάτω σχήmicroα αποτελεί microια απεικόνιση της προηγούmicroενης διαδικασίας

258 (4) Αν αφαιρέσουmicroε microιαν ευθεία για παράδειγmicroα την A1 A5 A7 τότε παίρ-

νουmicroε το συσχετισmicroένο επίπεδο των 4 σηmicroείων όπως ϕαίνεται και στο επόmicroενο ϐοη-

ϑητικό σχήmicroα

2610 (1) Ας υποθέσουmicroε ότι φ(P) isin ψ(ℓ) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο X isin ℓ οπότε

φ(X ) isin ψ(ℓ) Επειδή X P ορίζεται η X or P άρα ψ(X or P) = φ(X ) or φ(P) = ψ(ℓ)Εποmicroένως το 1 ndash 1 του microορφισmicroού συνεπάγεται ότι X or P = ℓ (άτοπο)

Αν υποθέσουmicroε ότι ο microορφισmicroός δεν είναι 1 ndash 1 ισχυριζόmicroαστε ότι δεν ισχύει το

προηγούmicroενο συmicroπέρασmicroα δηλαδή microπορούmicroε να ϐρούmicroε Q isin P και k isin L έτσι ώστε

Q lt k και φ(Q) isin ψ(k) Πραγmicroατικά αφού η ψ δεν είναι 1 ndash 1 υπάρχουν τουλαχιστον

δύο ευθείες k m τέτοιες ώστε k m και ψ(k) = ψ(m) Θέτουmicroε S = kandm και επί της

m επιλέγουmicroε και ένα σηmicroείο Q S Προφανώς Q lt k Επιπλέον αφού (φψ) είναι

microορφισmicroός η Q isin m συνεπάγεται ότι φ(Q) isin ψ(m) = ψ(k) εποmicroένως καταλήγουmicroε

στον ισχυρισmicroό

2610 (2) Πρόκειται για την αντιθετοαντιστροφή της προηγουmicroένης άσκησης

[ αν ήταν P lt ℓ τότε αναγκαίως ϑα είχαmicroε ότι φ(P) lt ψ(ℓ) (άτοπο)]

2610 (3) ΄Εστω τυχόν (P prime ℓprime) isin Pprime times Lprime microε P prime isin ℓprime Λόγω της υπόθεσης υπάρχουν

P isin P και ℓ isin L τέτοια ώστε φ(P) = P prime και ψ(ℓ) = ℓprime Εποmicroένως φ(P) isin ψ(ℓ) Εφαρ-

microόζοντας τώρα την ΄Ασκηση 2610 (2) από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι P isin ℓκαι ισοδύναmicroα φminus1(P prime) isin ψminus1(ℓprime) microε την οποίαν καταλήγουmicroε στο συmicroπέρασmicroα

2610 (4) Εκφράζουmicroε πρώτα την ψ microέσω της φ αν ℓ είναι microία ευθεία του πρώτου

επιπέδου ϑεωρούmicroε δύο τυχόντα σηmicroεία της A B Τότεψ(ℓ) = ψ(AorB) = φ(A)orφ(B)Προφανώς αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της ℓ ας πούmicroε τα C D (ή τα A C αν

Υποδείξεις λύσεων 145

έχουmicroε το επίπεδο των 7 σηmicroείων οπότε οι ευθείες έχουν ακριβώς 3 σηmicroεία) ϑα

έχουmicroε ότι ℓ = A or B = C or D άρα ψ(ℓ) = φ(C) or φ(D) = φ(A) or φ(B)Αναλόγως εκφράζεται η φ microέσω της ψ

2610 (5) ΄Εστω ℓ τυχούσα ευθεία του πρώτου επιπέδου Σύmicroφωνα microε την προη-

γουmicroένη άσκηση ϑα είναι ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) = ψprime(ℓ) για οποιαδήποτε σηmicroεία A B

της ℓ Επειδή η τελευταία ισχύει για κάθε ℓ isin L συνάγεται ότι ψ = ψprime

2610 (7) Για οποιοδήποτε (P ℓ) isin P1 times L1 microε P isin ℓ ο ορισmicroός του microορφισmicroού

συνεπάγεται το επόmicroενο microεταθετικό διάγραmicromicroα που αποδεικνύει τον ισχυρισmicroό

(P ℓ) isin I1

(φ1 ψ1) - (φ1(P) ψ1(ℓ)

) isin I2

(φ2(φ1(P)) ψ2(ψ1(ℓ))

) isin I3

(φ2 ψ2)

(φ2 φ1 ψ2 ψ1)

-

2610 (8) Για τυχούσα ευθεία ℓ ϑέτουmicroε ψ(ℓ) = φ(A) or φ(B) όπου A B είναι δύ-

ο οποιαδήποτε διαφορετικά σηmicroεία της ℓ Η ψ είναι καλά ορισmicroένη πραγmicroατικά

αν πάρουmicroε δύο άλλα σηmicroεία της C και D διαφορετικά microεταξύ τους καθώς και

προς τα προηγούmicroενα (ή τα AC αν η ευθεία διαθέτει microόνον 3 σηmicroεία) τότε η συγ-

γραmicromicroικότητα των A B C D και η υπόθεση συνεπάγονται τη συγγραmicromicroικότητα των

φ(A) φ(B) φ(C) φ(D) Εποmicroένως ψ(ℓ) = φ(A)orφ(B) = φ(C)orφ(D) που αποδεικνύει

ότι ο ορισmicroός της ψ(ℓ) είναι ανεξάρτητος της επιλογής των σηmicroείων της ℓ

Κατόπιν διαπιστώνουmicroε ότι το Ϲεύγος (φψ) ορίζει microορφισmicroό προβολικών επιπέ-

δων για τυχόν (P ℓ) microε P isin ℓ microπορούmicroε να γράψουmicroε ότι ℓ = A or B οπότε όπως

προηγουmicroένως φ(P) isin φ(A) or φ(B) = ψ(ℓ)Επειδή η φ είναι 1 ndash 1 και επί το (φψ) είναι ισοmicroορφισός (ϐλ Πόρισmicroα 266)

Τέλος το microονοσήmicroαντο της ψ είναι συνέπεια της ΄Ασκησης 2610 (5)

2610 (9) Η σύνθεση δύο συγγραmicromicroικοτήτων είναι προφανώς συγγραmicromicroικότητα

σύmicroφωνα microε την ΄Ασκηση 2610 (7) Το ουδέτερο στοιχείο είναι η συγγραmicromicroικότητα

(1P 1L) Οποιαδήποτε συγγραmicromicroικότητα (φ ψ) isin Aut(P) διαθέτει αντίστροφη την

(φψ)minus1 = (φminus1 ψminus1)

[ϐλ και την ΄Ασκηση 2610 (3)] Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει ως αποτέλεσmicroα

της αντίστοιχης ιδιότητας που έχει η σύνθεση των συνήθων απεικονίσεων

273 (3) α) [2 13] or [10minus1] =lt1minus5 1gt

ϐ) ∆εν ορίζεται ευθεία αφού [minus20 4] = [minus2(10minus2)] = [10minus2] δηλαδή τα δεδο-

microένα σηmicroεία συmicroπίπτουν

273 (4) α) ∆εν υπάρχει τοmicroή ϐ) lt100gt and lt1minus21gt= [012]

273 (5) Είναι τα [t 10] για κάθε t isin R

146 Υποδείξεις λύσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

36 (1) (i) Αν p q είναι τα αντίστοιχα διανύσmicroατα ϑέσης των P Q το ευθύγραmicromicroο

τmicroήmicroα PQ είναι εικόνα της παραmicroετρηmicroένης καmicroπύλης

α [0 1] minusrarr R3 t 7rarr α(t) = p + t(q minus p)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = q minus p 0

δηλαδή η καmicroπύλη είναι κανονική και το microήκος της δίνεται από την σχέση

L(α) =int 1

0

αprime(u)du =int 1

0

q minus pdu = q minus p

Απ᾿ το άλλο microέρος επειδή αprimeprime(t) = 0 το Θεώρηmicroα 342 συνεπάγεται ότι kα(t) = 0

για κάθε t isin [0 1]

(iii) Επειδή το microήκος τόξου της α είναι

s(t) =int t

0

αprime(u)du =int t

0

q minus pdu = q minus pt

ϐλέπουmicroε ότι η απεικόνιση

s [01] minusrarr [0 q minus p] t 7rarr q minus pt

είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 q minus p] minusrarr [01] s 7rarr s

q minus p

οπότε η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [0 q minus p] rarr R3 microε

(s) = (α h)(s) = α

(s

q minus p

)= p +

q minus pq minus ps

(iv) Επειδή prime(s) = q minus pq minus p το microήκος της είναι επίσης

L() =int qminusp

0

prime(u)du =int qminusp

0

du = q minus p

Τέλος για την καmicroπυλότητα k της έχουmicroε ότι T (s) = prime(s) = q minus pq minus p άρα T prime(s) = 0

και [από την (332)] k(s) = 0

36 (2) (i) Από την

αprime(t) = (minusr sint r cost)

Υποδείξεις λύσεων 147

προκύπτει ότι ||αprime(t)|| = r 0 άρα αprime(t) = r 0 δηλαδή η α είναι παραmicroέτρηση

κανονικής καmicroπύλης

(ii) Κάθε χρονική στιγmicroή t η ακτίνα συmicroπίπτει microε την ϑέση του κινητού δηλαδή microε

το σηmicroείο α(t) και η ταχύτητα είναι αprime(t) Εποmicroένως

lt α(t) αprime(t) gt= minusr2 cost sint + r2 cost sint = 0

που σηmicroαίνει ότι α(t) perp αprime(t)(iii) αprimeprime(t) = (minusr costminusr sint) = minusα(t)

(iv) Για το microήκος της α έχουmicroε αprime(t) = r άρα

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

rdt = 2πr

(v) Είναι αprime(t) = r 0 Ορίζουmicroε την συνάρτηση microήκους τόξου

s [02π] minusrarr R t 7rarr s(t) =int t

0

αprime(u)du = rt

΄Αρα η s [02π] rarr [0 2πr] είναι αmicroφιδιαφόριση microε αντίστροφη την

h = sminus1 [0 2πr] minusrarr [02π] s 7rarr s

r

και η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η [02πr] rarr R2 microε

(s) = (α h)(s) = α(s

r

)=

(r cos

s

r r sin

s

r

)

Για την καmicroπυλότητα της τελευταίας έχουmicroε ότι

T (s) = prime(s) =(minus sin

s

r cos

s

r

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

T prime(s) =(minus1

rcos

s

rminus1

rsin

s

r

)

και

k(s) = T prime(s) = 1

rmiddot

36 (3) Προφανώς η

α(t) = (t t2) t isin R

είναι microία παραmicroέτρηση της αναφερόmicroενης παραβολής Είναι κανονική αφού

αprime(t) = (1 2t) 0 forall t isin R

148 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή η α δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας η καmicroπυλότητα υπολογίζεται από τη

Θεώρηmicroα 342 Επειδή

αprime(t) = (12t) equiv (12t 0)

αprimeprime(t) = (0 2) equiv (020)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (020)

ϐρίσκουmicroε ότι

k(t) = 2(1 + 4t2

)minus32

Η είναι microία καmicroπύλη της οποίας η εικόνα είναι η ίδια παραβολή όmicroως δεν

είναι κανονικη αφού prime(t) = (3t26t5) άρα το t = 0 είναι σηmicroείο ανωmicroαλίας

36 (4) Η καmicroπύλη α(t) = (t f (t)) t isin R έχει εικόνα ακριβώς το γράφηmicroα της f

Για την α έχουmicroε ότι

αprime(t) = (1 f prime(t)) equiv (1 f prime(t) 0)

αprimeprime(t) = (0 f primeprime(t)) equiv (0 f primeprime(t) 0)

αprimeprimeprime(t) = (0 f primeprimeprime(t)) equiv (0 f primeprimeprime(t) 0)

αprime(t) times αprimeprime(t) = (0 0 f primeprime(t))

Επειδή

αprime(t) =(1 + f prime(t)2

)12

0 forall t isin Rέχουmicroε κανονική καmicroπύλη που εν γένει δεν είναι microοναδιαίας ταχύτητας Οπότε

σύmicroφωνα microε Θεώρηmicroα 351 είναι

T (t) =1

(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t) 0

) equiv 1(1 + f prime(t)2

)12(1 f prime(t)

)

N(t) =f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1 0)

equiv f primeprime(t)

|f primeprime(t)| middot (1 + f prime(t)2)12

( minus f prime(t) 1)

B(t) =

(00

f primeprime

|f primeprime|

)= (0 0plusmn1) = plusmne3

Η καmicroπυλότητα ϐάσει του Θεωρήmicroατος 342 είναι

k(t) =|f primeprime(t)|

(1 + f prime(t)2

)32

Είδαmicroε ότι B(t) = plusmne3 (σταθερά) Αυτό συmicroβαίνει σε όλες τις επίπεδες καmicroπύλες

Για λέπτοmicroέρειες παραπέmicroπουmicroε στις Σηmicroειώσεις [7] Προφανώς αφού η α(t) είναι

επίπεδη καmicroπύλη τ = 0 (ϐλ Θεώρηmicroα 335)

Υποδείξεις λύσεων 149

36 (5) Είναι

T (t) = αprime(t) =

(minus 1radic

2sint costminus 1

radic2

sint

)

άρα

αprime(t) =(1

2sin2 t + cos2 t +

1

2sin2 t

)12

= 1

δηλαδή η α είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας microε

L(α) =int 2π

0

αprime(t)dt =int 2π

0

1dt = 2π

Για την καmicroπυλότητα έχουmicroε

T prime(t) = αprimeprime(t) =

(minus 1radic

2costminus sintminus 1

radic2

cost

)

οπότε

k(t) = T prime(t) =(1

2cos2 t + sin2 t +

1

2cos2 t

)12

= 1

Παρατηρούmicroε ότι

B(t) = T (t) times N(t) = αprime(t) times αprimeprime(t) = 1radic

2(minuse1 + e3) = c

άρα Bprime(t) = 0 και

τ(t) = minus lt N(t) Bprime(t) gt= 0

δηλαδή τελικά η α είναι επίπεδη καmicroπύλη

36 (6) Θέτοντας x = a cost και y = b sint έχουmicroε ότι

x2

a2+y2

b2= 1

άρα πρόκειται για έλλειψη

Βρίσκουmicroε

αprime(t) = (minusa sint b cost) equiv (minusa sint b cost 0)

άρα

αprime(t) =(a2 sin2 t + b2 cos2 t

)12

Επίσης

αprimeprime(t) = (minusa costminusb sint) equiv (minusa costminusb sint 0)

και

αprime(t) times αprimeprime(t) = abe3

150 Υποδείξεις λύσεων

απ᾿ όπου

αprime(t) times αprimeprime(t) = ab

και τελικά

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

ab

(a2 sin2 t + b2 cos2 t)32

36 (7) (i) Είναι

αprime(t) = (minusr sint r cost b)

εποmicroένως

αprime(t) = (r2+ b2)12

= c gt 0

Θεωρούmicroε την

s [02π] minusrarr R t 7rarrint t

0

αprime(u)du = tc

και την αντίστροφή της

h [02πc] minusrarr [02π] s 7rarr s

c

Αρα η Ϲητούmicroενη αναπαραmicroέτρηση είναι η

[0 2πc] minusrarr R3 s 7rarr (s) = (α h)(s) =(r cos

s

c r sin

s

cb

cs)

(ii) Για την καmicroπυλότητα της έχουmicroε

T (s) = prime(s) =(minus rc

sins

cr

ccos

s

cb

c

)

άρα

T prime(s) =(minus rc2

coss

c minus r

c2sin

s

c 0

)

και

k(s) = T prime(s) = r

c2 0

Σχετικά microε την στρέψη είναι

N(s) =1

k(s)T prime(s) =

(minus cos

s

c minus sin

s

c 0

)

B(s) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

T1 T2 T3

N1 N2 N3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(b

csin

s

c minus b

ccos

s

cr

c

)

απ΄ όπου προκύπτει ότι

Bprime(s) =(b

c2cos

s

cb

c2sin

s

c 0

)

Υποδείξεις λύσεων 151

και

τ(s) = minus lt N(s) Bprime(s) gt=b

c2

(iii) Για τη γωνία φ έχουmicroε ότι

cosφ =lt αprime(t) e3 gt

αprime(t) middot e3=b

c

Παρατηρούmicroε ότι η φ δίνεται και από τη σχέση

cosφ =lt T (s) e3 gt

T (s) middot e3= lt T (s) e3 gt =

b

c

(iv) Η δεύτερη κάθετος της στο σηmicroείο (s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = (s) + tB(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το (s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο κάθετο

διάνυσmicroα B(s) Εποmicroένως για την γωνία ω του τελευταίου ερωτήmicroατος έχουmicroε ότι

cosω =lt B(s) e3 gt

B(s) middot e3= lt B(s) e3 gt =

r

c

36 (8) Είναι

αprime(t) = (1 t) equiv (1 t 0)

αprime(t) = (1 + t2)12 gt 0

αprimeprime(t) = (01) equiv (010)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 t 0

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= e3

αprime(t) times αprimeprime(t) = 1

Εποmicroένως

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

1

(1 + t2)32

36 (9) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(t) = (2t3t2)

152 Υποδείξεις λύσεων

άρα αprime(0) = (0 0) και η α δεν είναι κανονική σε όλο το R Είναι όmicroως κανονική στα

διαστήmicroατα (minusinfin 0) και (0+infin) Για t 0 έχουmicroε

αprime(t) = (4t2 + 9t4)12

αprimeprime(t) = (26t)

αprime(t) times αprimeprime(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

2t 3t2 0

2 6t 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 6t2e3 = (006t2)

αprime(t) times αprimeprime(t) = 6t2

οπότε

k(t) =αprime(t) times αprimeprime(t)αprime(t)3 =

6t2

(4t2 + 9t4)32

36 (10) Η γ(t) = (cost sint) διαγράφει τον κύκλο microε ϕορά αντίθετη των δεικτών του

ωρολογίου και έχει γ(0) = (1 0)Η (t) = (cos(t + π2) sin(t + π2)) διαγράφει τον κύκλο microε την ίδια ϕορά microε

(0) = (01)Η αντίθετη καmicroπύλη της δηλαδή η

α(t) = (minust) = (cos(π2 minus t) sin(π2 minus t))

διαγράφει τον κύκλο microε την αντίθετη ϕορά και έχει α(0) = (0) = (01)

36 (11) Αφού lt α(0) v gt= 0 αρκεί να δείξουmicroε ότι lt α(t) v gt είναι σταθερό ή

ισοδύναmicroα ότι lt α(t) v gtprime= 0 Πράγmicroατι

lt α(t) v gtprime equivlt α v gtprime (t) = lt αprime(t) v gt + lt α(t) vprime gt= 0+ lt α(t) 0 gt= 0

36 (12) Η εφαπτοmicroένη της α στο τυχόν σηmicroείο α(t) είναι η ευθεία

ϸt(s) = α(t) + sαprime(t) t isin R

που είναι παράλληλη προς το διάνυσmicroα αprime(t) = (36t6t2) (να σηmicroειωθεί εδώ ότι το s

δεν είναι κατ᾿ ανάγκην microήκος τόξου) Η ευθεία που ορίζεται από τις συνθήκες y = 0

και x = z περιέχει το διάνυσmicroα v = (1 01) Επειδή η Ϲητούmicroενη γωνία θ είναι η

γωνία των ανωτέρω διανυσmicroάτων ϐρίσκουmicroε ότι

cosθ =lt αprime(t) v gtαprime(t) middot v =

3 + 6t2radic

9 + 36t2 + 36t4 middotradic

2=

radic2

2= cos

4

)

36 (13) (i) ΄Εστω ότι το A από την αρχική του ϑέση στο (00) microετακινείται στη ϑέση

A = (x y) οπότε το κέντρο K = (0 r) του κύκλου ϑα microετακινηθεί κατά ένα microήκος a

Υποδείξεις λύσεων 153

και ϑα έρθει στο σηmicroείο K prime = (a r)

x

y

K centK

r

Acentcent

AcentA

B

q

rp 2 rpO

Τότε στον άξονα x primeOx ακουmicroπά το σηmicroείο B και το τόξο AB έχει microήκος a Αν θ είναι

η γωνία AKB τότε a = rθ Συmicroβολίζουmicroε microε Aprime και Aprimeprime τις προβολές του A στις ευθείες

K primeB και KK prime Τότε έχουmicroε

x = OB minus AAprime = rθ minus r sinθ = r(θ minus sinθ)

y = OK minus AAprimeprime = r minus r cosθ = r(1 minus cosθ)

άρα η κυκλοειδής περιγράφεται από την παραmicroέτρηση

α(θ) =(r(θ minus sinθ) r(1 minus cosθ)

)

(ii) Παρατηρούmicroε ότι

αprime(θ) =(r(1 minus cosθ) r sinθ

)

απ᾿ όπου παίρνουmicroε

αprime(0) = (00) αprime(π) = (2r0) αprime(2π) = (00)

΄Αρα για θ = 0 και θ = 2π η εφαπτοmicroένη δεν ορίζεται ενώ για θ = π είναι

ϸπ(s) = α(π) + sαprime(π)

=(r(π minus sinπ) r(1 minus cosπ)) + s(r(1 minus cosπ) r sinπ

)

= (rπ2r) + s(2r0) = (rπ + 2rs 2r)

(iii) Χρησιmicroοποιώντας τους γνωστούς τριγωνοmicroετρικούς τύπους του διπλασίου τόξου

ϐρίσκουmicroε ότι

αprime(θ)2 = r2(1 + cos2 θ minus 2 cosθ + sin2 θ)

= 2r2(1 minus cosθ) = 2r2

(1 minus cos2

θ

2+ sin2 θ

2

)

= 4r2 sin2 θ

2

154 Υποδείξεις λύσεων

οπότε

αprime(θ) = 2r∣∣∣∣ sin

θ

2

∣∣∣∣ = 2r sinθ

2 0 le θ le 2π

Εποmicroένως

L(α) =int 2π

0

αprime(θ)dθ = 2r

int 2π

0

sinθ

2dθ

= 2r

int π

0

2 sinφdφ = 4r(minus cosφ

∣∣∣π0

)

= 4r(minus cosπ + cos0) = 8r

Αξίζει να παρατηρήσουmicroε ότι ανάλογα συmicroπεράσmicroατα ισχύουν για όλα τα δια-

στήmicroατα της microορφής (2kπ2(k + 1)π) k isin Z Η καmicroπύλη είναι κανονική microόνο σε

αυτά

36 (14) (i) Θέτουmicroε ω = xT + yN + zB και ϑα προσδιορίσουmicroε τους συντελεστές

x y z Τότε

ω times T = xT times T + yN times T + zB times T= x0 minus yB + zN = minusyB + zN

οπότε ϐάσει της υπόθεσης T prime = ω times T

minus yB + zN = T prime = kN

απ᾿ την οποίαν προκύπτει ότι y = 0 και z = k Αναλόγως

ω times N = xT times N + yN times N + zB times N= xB + y0 + minuszT = xB minus zT

άρα λόγω της υπόθεσης N prime = ω times N

xB minus zT = N prime = minuskT + τB

οπότε x = τ και z = k ∆ηλαδή αν υπάρχει τέτοιο διάνυσmicroα ϑα είναι το

ω = τT + kB

Αποδεικνύουmicroε ότι το ω ικανοποιεί και την τρίτη ισότητα

ω times B = (τT + kB) times B = (τT times B) + kB times B = minusτN + 0 = Bprime

΄Αρα αποδείχθηκε η ύπαρξη (και το microονοσήmicroαντο) του ω

Υποδείξεις λύσεων 155

(ii) Από τη σχέση T prime = kN παίρνουmicroε ότι

T primeprime = kprimeN + kN prime = kprimeN + k(minuskT + τB) = minusk2T + kprimeN + τkB

Εποmicroένως

T prime times T primeprime = kN times (minusk2T + kprimeN + τkB)

= minusk3(N times T ) + kkprime(N times N) + τk2(N times B)

= k3B + 0 + τk2T = k2(kB + τT ) = k2ω

36 (15) Η εξίσωση της εφαπτοmicroένης της στο (s) είναι ϸs(t) = (s) + tprime(s) t isin R

Λόγω της υπόθεσης ϑα υπάρχει ts isin R έτσι ώστε ϸs(ts) = p όπου p isin R3 είναι το

διάνυσmicroα ϑέσης του P δηλαδή

(s) + tsprime(s) = p

Αν πάρουmicroε ένα άλλο σηmicroείο της καmicroπύλης πχ (s) τότε για την εφαπτοmicroένη

ϸs(t) = (s) + tprime(s) ϑα υπάρχει ts έτσι ώστε

(s) + tsprime(s) = p

και παρόmicroοια και για τα άλλα s isin J Εποmicroένως για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin Rέτσι ώστε

( lowast ) (s) + λ(s)prime(s) = p

που εκφράζει ακριβώς την συνθήκη της εκφώνησης

Η απεικόνιση s 7rarr λ(s) είναι διαφορίσιmicroη αφού

(lowast ) rArr λ(s)prime(s) = p minus (s)

rArr lt λ(s)prime(s) prime(s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) lt T (s) T (s) gt=lt p minus (s) prime(s) gt

rArr λ(s) =lt p minus (s) prime(s) gt

Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε για κάθε s isin J

(lowast )rArr prime(s) + λprime(s)prime(s) + λ(s)primeprime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr (1 + λprime(s))T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr 1 + λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

rArr λprime(s) = minus1 και λ(s)k(s) = 0

rArr λ(s) = c minus s και (c minus s)k(s) = 0

rArr k(s) = 0

156 Υποδείξεις λύσεων

που ισοδυναmicroεί microε το ότι η είναι ευθεία Προφανώς c minus s 0 διαφορετικά ϑα

είχαmicroε ότι λprime(s) = 0 (άτοπο) ΄Αλλωστε και η λ(s) = 0 συνεπάγεται ότι (s) = p

forall s isin J δηλαδή η ϑα εκφυλιζόταν σε σηmicroείο (επίσης άτοπο)

36 (16) Η πρώτη κάθετος της α στο α(s) είναι η ευθεία

ϸs(t) = α(s) + t N(s) t isin R

δηλαδή η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το πρώτο κάθετο

διάνυσmicroα N(s) Ακολουθώντας το σκεπτικό της προηγούmicroενης άσκησης η υπόθεση

συνεπάγεται ότι για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε την ιδιότητα

( ) α(s) + λ(s)N(s) = p

( p το διάνυσmicroα ϑέσης του P) Η λ είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση από την (lowast ) προ-

κύπτει ότι

λ(s) =lt λ(s)N(s) N(s) gt=lt p minus α(s) N(s) gt

Παραγωγίζοντας τώρα την (lowast ) έχουmicroε

(lowast)rArr αprime(s) + λprime(s)N(s) + λ(s)N prime(s) = 0

rArr T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)(minusk(s)T (s) + τ(s)B(s)) = 0

rArr (1 minus λ(s)k(s))T (s) + λprime(s)N(s) + λ(s)τ(s)B(s) = 0

rArr 1 minus λ(s)k(s) = λprime(s) = λ(s)τ(s) = 0

rArr λ = c (σταθερά) λk(s) = 1 και λτ(s) = 0

Η δεύτερη ισότητα δίνει λ 0 η τελευταία δίνει τ = 0 δηλαδή η α είναι επίπεδη

καmicroπύλη και από την k(s) = 1λ = σταθερά έχουmicroε ότι η α είναι τmicroήmicroα κύκλου

Το αντίστροφο είναι άmicroεσο το P είναι το κέντρο του κύκλου

36 (17) Υπενθυmicroίζεται ότι η δεύτερη κάθετος της α στο α(s) [ϐλ λύση της ΄Ασκη-

σης 36(7)] είναι η ευθεία που διέρχεται από το α(s) και έχει κατεύθυνση το δεύτερο

κάθετο διάνυσmicroα B(s) δηλαδή η

ϸs(t) = α(s) + tB(s) t isin R

Με τους συλλογισmicroούς των δύο προηγουmicroένων ασκήσεων ας υποθέσουmicroε ότι για

κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R microε

( lowast ) α(s) + λ(s)B(s) = p

Η λ είναι διαφορίσιmicroη επειδή

λ(s) =lt λ(s)B(s) B(s) gt=lt P minus α(s) B(s) gt

Υποδείξεις λύσεων 157

άρα παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε ότι

αprime(s) + λ(s)Bprime(s) + λprime(s)B(s) = 0

ή ισοδύναmicroα

T (s) minus λ(s)τ(s)N(s) + λprime(s)B(s) = 0

η οποία ισχύει microόνο όταν

1 = minusλ(s)τ(s) = λprime(s) = 0

που είναι άτοπο

36 (18) (lArr) Προφανές

(rArr) Από την υπόθεση για κάθε s isin J υπάρχει λ(s) isin R ώστε

( lowast ) λ(s)T (s) = u = σταθ

Παρατηρούmicroε ότι

λ(s) =lt λ(s)T (s) T (s) gt=lt u T (s) gt

δηλαδή η λ(s) είναι διαφορίσιmicroη συνάρτηση Παραγωγίζοντας την (lowast ) έχουmicroε

(lowast ) rArr λprime(s)T (s) + λ(s)T prime(s) = 0

rArr λprime(s)T (s) + λ(s)k(s)N(s) = 0

rArr λprime(s) = λ(s)k(s) = 0

Από την ισότητα λprime(s) = 0 προκύπτει ότι λ(s) = c Αν c = 0 τότε u = c T = 0 που

είναι άτοπο ΄Αρα c 0 και η ισότητα c k(s) = 0 δίνει ότι k = 0 που ισοδυναmicroεί microε

το ότι η α είναι ευθεία (Θεώρηmicroα 335)

36 (19) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του κάθετου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z)minus(so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα N(so) και B(so) δηλαδή είναι

κάθετη στο T (so) = prime(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) T (so) gt= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus (so) prime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ΄ ανάγκη microοναδιαί-

ας ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του κάθετου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast)lt (x y z) minus α(to) T (to) gt= 0

158 Υποδείξεις λύσεων

Μέσω της (351) η προηγούmicroενη microετασχηmicroατίζεται στην

lang(x y z) minus α(to)

αprime(to)α(to)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε αυτά που είπαmicroε προηγουmicroένως το σηmicroείο (000) ανήκει

στο κάθετο επίπεδο σε κάθε σηmicroείο (t) αν

lt (00 0) minus (t) prime(t) gt=lt (t) prime(t) gt= 0 forall t isin R

Παρατηρούmicroε ότι

prime(t) =(2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint

)

Συνεπώς

lt (t) prime(t) gt=

lt (a sin2 t a sint cost a cost) (2a sint cost a(cos2 t minus sin2 t)minusa sint) gt=

2a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sin3 t cost minus a2 sint cost =

a2 sin3 t cost + a2 sint cos3 t minus a2 sint cost =

a2 sint cost(sin2 t + cos2 t) minus a2 sint cost = 0

36 (20) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του εγγύτατου επίπεδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η διαφορά

(x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και N(so) δηλαδή

είναι κάθετη στο B(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του εγγύτατου επίπεδου στο (so)ικανοποιούν την σχέση

(lowast ) lt (x y z) minus (so) B(so) gt= 0

Επειδή

B(so) = T (so) times N(so) = prime(so) times

T prime(so)k(so)

= prime(so) timesprimeprime(so)k(so)

η (lowast ) ισοδυναmicroεί microε την

lt (x y z) minus (so) prime(so) times primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του εγγυτάτου επίπεδου στο α(to) ικανοποιούν την

αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) B(to) gt= 0

Υποδείξεις λύσεων 159

Χρησιmicroοποιώντας την ισότητα [ϐλ (353)]

B(to) =αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

παίρνουmicroε την συνθήκηlang(x y z) minus α(to)

αprime(to) times αprimeprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

lt (x y z) minus α(to) αprime(to) times αprimeprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου εγγύτατου επίπεδου ικανοποιούν την συνθή-

κη

lt (x y z) minus α(π2

) αprime

(π2

)times αprimeprime

(π2

)gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(π

2

)=

(cos

π

2 sin

π

2

)=

(01

π

2

)

αprime(t) = (minus sint cost 1)

αprime(π

2

)=

(minus sin

π

2 cos

π

2 1

)= (minus1 01)

αprimeprime(t) = (minus costminus sint 0)

αprimeprime(π

2

)=

(minus cos

π

2minus sin

π

2 0

)= (0minus1 0)

΄Αρα η εξίσωση του εγγύτατου επίπεδου γίνεταιlang(x y z) minus

(01

π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

lang(x y minus 1 z minus π

2

) (minus101) times (0minus1 0)

rang= 0 hArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y minus 1 z minus π2

minus1 0 1

0 minus1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 hArr

x + z =π

2

36 (21) (i) ΄Εστω ότι έχουmicroε καmicroπύλη (s) microοναδιαίας ταχύτητας Ενα (x y z) isin R3

είναι σηmicroείο του ευθειοποιούντος επιπέδου στο σηmicroείο (so) εάν και microόνο εάν η

διαφορά (x y z) minus (so) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα T (so) και B(so)δηλαδή είναι κάθετη στο N(so) ΄Αρα τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου

στο (so) ικανοποιούν την συνθήκη

(lowast ) lt (x y z) minus (so) N(so) gt= 0

160 Υποδείξεις λύσεων

Επειδή

N(so) =T prime(so)k(so)

=primeprime(so)k(so)

η (lowast ) microετασχηmicroατίζεται στηνlang(x y z) minus (so)

primeprime(so)k(so)

rang= 0

ή ισοδύναmicroα στην

lt (x y z) minus (so) primeprime(so) gt= 0

(ii) ΄Εστω τώρα ότι έχουmicroε microια κανονική καmicroπύλη α(t) όχι κατ᾿ ανάγκη microοναδιαίας

ταχύτητας Τα σηmicroεία (x y z) του ευθειοποιούντος επιπέδου στο α(to) ικανοποιούν

την αντίστοιχη της (lowast )

lt (x y z) minus α(to) N(to) gt= 0

Λαmicroβάνοντας υπ᾿ όψιν ότι [ϐλ (352)]

N(to) =

(αprime(to) times αprimeprime(to)

) times αprime(to)αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

ϐρίσκουmicroε ότιlang(x y z) minus α(to)

(αprime(to) times αprimeprime(to)

)αprime(to)

αprime(to) times αprimeprime(to) middot αprime(to)

rang= 0

και ισοδύναmicroα

(lowastlowast ) lt (x y z) minus α(to) (αprime(to) times αprimeprime(to)) times αprime(to) gt= 0

Εφαρmicroογή Σύmicroφωνα microε την (lowastlowast ) τα σηmicroεία του Ϲητούmicroενου ευθειοποιούντος επι-

πέδου ικανοποιούν την συνθήκη

lt (x y z) minus α(1)(αprime(1) times αprimeprime(1)

) times αprime(1) gt= 0

Υπολογίζουmicroε

α(1) =(1

1

21

3

)

(x y z) minus α(1) =(x minus 1 y minus 1

2 z minus 1

3

)

αprime(t) =(1 t t2

)

αprime(1) = (1 11)

αprimeprime(t) = (012t)

αprimeprime(1) = (0 12)

αprime(1) times αprimeprime(1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1minus2 1)

Υποδείξεις λύσεων 161

΄Αρα η Ϲητούmicroενη συνθήκη είναι

lt (x minus 1 y minus 12 z minus 13) (1minus2 1) times (111) gt=

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 minus2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

που ισοδυναmicroεί microε την

x minus z = 2

3

36 (22) (i) Παρατηρούmicroε ότι prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) Εποmicroένως prime(s) = k(s) 0

δηλαδή η είναι κανονική καmicroπύλη

(ii) Εφ᾿ όσον η συνάρτηση microήκους τόξου δίνεται από την σχέση

σ(s) =int s

so

prime(u)du

έχουmicroε ότι

σprime(s) = prime(s) = T prime(s) = k(s)N(s) = k(s)

(iii) Επειδή η δεν είναι απαραίτητα microοναδιαίας ταχύτητας (κάτι τέτοιο ϑα συνέβαινε

αν k = 1 πράγmicroα που δεν δηλώνεται εδώ) ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους της

καmicroπυλότης και στρέψης που δίνονται από τα Θεωρήmicroατα 342 και 343 αντιστοί-

χως

Για το σκοπό αυτό ϐρίσκουmicroε (παραλείποντας τη microεταβλητή s)

prime = T prime = kN

primeprime = kprimeN + kN prime

= kprimeN + k(minuskT + τB)

= minusk2T + kprimeN + kτB

οπότε

prime times primeprime = kN times (minusk2+ kprimeN + kτB)

= minusk3N times T + kkprimeN times N + k2τN times B= k2τT + 0 + k3B = k2τT + 0N + k3B

και

prime times primeprime2 = k6+ k4τ2 = k4(k2

+ τ2)

Εποmicroένως

k =prime times primeprimeprime3 =

k2(k2+ τ2

)12

k3=

(k2+ τ2

)12

k

162 Υποδείξεις λύσεων

Για τον προσδιορισmicroό της στρέψης χρειαζόmicroαστε και την primeprimeprime Παραγωγίζοντας την

primeprime που ϐρήκαmicroε πιό πάνω έχουmicroε

primeprimeprime = minus2kkprimeT minus k2T prime + kprimeprimeN + kprimeN prime + kprimeτB + kτprimeB + kτBprime

= minus2kkprimeT minus k3N + kprimeprimeN + kprime(minuskT + τB) + (kprimeτ + kτprime)B + kτ(minusτN)

= minus3kkprimeT + (minusk3+ kprimeprime minus kτ2)N + (2kprimeτ + kτprime)B

Εποmicroένως

τ =lt prime times primeprime primeprimeprime gtprime times primeprime2 =

k3(kτprime minus kprimeτ)k4(k2 + τ2)

=kτprime minus kprimeτk(k2 + τ2)

36 (23) (α) Η είναι κανονική

prime(s) = αprime(s) + N prime(s) = T (s) minus k(s) middot T (s) = (1 minus k(s)) middot T (s) 0

(ϐ) Η δεν είναι καmicroπύλη microοναδιαίας ταχύτητας άρα υπολογίζουmicroε την καmicro-

πυλότητά της από τον τύπο του Θεωρήmicroατα 342 Παραλείποντας την microεταβλητή s

έχουmicroε

prime = (1 minus k)T = |1 minus k| = 1 minus k

primeprime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)T prime = (1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

prime times primeprime = (1 minus k)T times ((1 minus k)primeT + (1 minus k)kN

= (1 minus k)(1 minus k)primeT times T + (1 minus k)2kT times N= k(1 minus k)B

prime times primeprime = k(1 minus k)2

k =k(1 minus k)2

(1 minus k)3=

k

1 minus k

36 (24) Από τον τύπο των FrenetshySerret για την παράγωγο του B παίρνουmicroε ότι

N(s) = minusBprime(s)τ(s)

οπότε από τον ορισmicroό της καmicroπυλότητας έχουmicroε διαδοχικά

k(s) = T prime(s) = (N(s) times B(s))prime

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

times B(s)

)prime∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∥

(minusB

prime(s)τ(s)

)primetimes B(s) +

(minusB

prime(s)τ(s)

)times Bprime(s)

∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥minusBprimeprime(s)τ(s) + Bprime(s)τprime(s)

τ(s)2times B(s) + 0

∥∥∥∥∥

=1

τ(s)2

∥∥∥(τprime(s)Bprime(s) minus τ(s)Bprimeprime(s)) times B(s)∥∥∥

Υποδείξεις λύσεων 163

36 (25) Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας microπορούmicroε να ϑεωρήσουmicroε ότι η γ είναι microο-

ναδιαίας ταχύτητας Ακολουθώντας την microεθοδολογία των Ασκήσεων 36 15ndash3618

microπορούmicroε να γράψουmicroε την συνθήκη της άσκησης microε την microορφή

() p = γ(s) + λ(s)(N(s) + B(s))

όπου p το διάνυσmicroα ϑέσης του δοσmicroένου σταθερού σηmicroείου και λ(s) διαφορίσιmicroη

συνάρτηση Παραγωγίζουmicroε την () και παραλείποντας το s ϐρίσκουmicroε

T + λprime(N + B) + λ(minuskT + τB minus τN) = 0

ή ισοδύναmicroα

(1 minus λk)T + (λprime minus λτ)N + (λprime + λτ)B = 0

οπότε

1 minus λk = 0 λprime minus λτ = 0 λprime + λτ = 0

Αθροίζοντας τις δύο τελευταίες ϐρίσκουmicroε λprime = 0 άρα λ = c = σταθερό και το

σύστηmicroα των παραπάνω ισοτήτων γίνεται

1 minus ck = 0 cτ = 0

Από την πρώτη προκύπτει c 0 και k = 1c σταθερό και από την δεύτερη τ = 0

Αρα η γ είναι κύκλος ακτίνας c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

(Περιλαmicroβάνονται οι λύσεις όλων των ασκήσεων)

417 (1) Θεωρούmicroε τυχόν σηmicroείο P = (x y z) της σφαίρας και τη στερεογραφική

προβολή του από το Βόρειο Πόλο PN = (xN yN ) equiv (xN yN 0) Το ευθύγραmicroο τmicroήmicroα

microε άκρα N = (0 01) και PN δίνεται από την παραmicroετρηmicroένη microορφή [ϐλ και τη λύση

της ΄Ασκησης 36 (1) σελ 146]

ϸ(t) = (001) + t[(xN yN 0) minus (0 01)] = (txN tyN 1 minus t) t isin [01]

Εποmicroένως υπάρχει 0 lt to lt 1 τέτοιο ώστε ϸ(to) = (x y z) δηλαδή (toxN toyN 1minusto) =(x y z) Από την τελευταία προκύπτει ότι to = 1 minus z άρα

xN =x

1 minus z yN =y

1 minus z

οπότε καταλήγουmicroε στην (411)

S2 minus N minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PN =

(x

1 minus z y

1 minus z

)

164 Υποδείξεις λύσεων

όπως Ϲητούσαmicroε

Για να ϐρούmicroε την αντίστροφη της προηγούmicroενης απεικόνισης εργαζόmicroαστε ως

εξής ΄Εστω τυχόν (u v) isin R2 Ζητούmicroε να ϐρούmicroε ένα (x y z) isin S2 minus N τέτοιο ώστε

(xN yN ) = (u v) Εποmicroένως πρέπει

(x

1 minus z y

1 minus z

)= (u v) ή x = u(1 minus z) y = v(1 minus z)

Αντικαθιστώντας τα τετράγωνα των δύο τελευταίων στη σχέση x2+ y2

+ z2= 1 ϐρί-

σκουmicroε ότι (1minusz)(u2+v2) = 1+z Επιλύοντας την προηγούmicroενη ως προς z ϐρίσκουmicroε

ότι

z =minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

Αντικαθιστώντας τώρα το z στις παραπάνω εκφράσεις των x και y ϐρίσκουmicroε τελικά

ότι

x =2u

1 + u2 + v2 y =

2v

1 + u2 + v2

οπότε προκύπτει η έκφραση της αντίστροφης απεικόνισης (412)

R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Εργαζόmicroενοι microε τον ίδιο τρόπο για τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο πόλο

S = (00minus1) και σηmicroειώνοντας microε PS = (xS yS0) την προβολή του P = (x y z)ϐρίσκουmicroε την απεικόνιση

S2 minus S minusrarr R2 P = (x y z) 7rarr PS =

(x

1 + zy

1 + z

)

της οποίας η αντίστροφη είναι η απεικόνιση

R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr

(2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

417 (2) Ας συmicroβολίσουmicroε microε (UN rN ) το τυπικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων που ορίζει

η στερεογραφική προβολή από το Βόρειο Πόλο Τότε σύmicroφωνα microε τους τύπους αυτής

της προβολής και τον Ορισmicroό 411 ϑα είναι UN = R2 και

rN R2 minusrarr S2 minus N (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v2minus1 + u2

+ v2

1 + u2 + v2

)

Το UN = R2 είναι ανοιχτό σύνολο (στο R2) Η rN είναι συνεχής microε συνεχή αντίστροφο

την απεικόνιση

rminus1N S2 minus N minusrarr UN (x y z) 7rarr

(x

1 minus z y

1 minus z

)

Υποδείξεις λύσεων 165

Εποmicroένως η rN είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επιπλέον είναι διαφορίmicroη και ο αντίστοιχος

πίνακας Jacobi στο τυχόν σηmicroείο (u v) isin R2 είναι ο

J(uv)rN =2

1 + u2 + v2

1 minus u2+ v2 minus2uv

minus2uv 1 + u2+ v2

2u 2v

Οι ορίζουσες των τριών 2 times 2 υποπινάκων είναι

2v(1 + u2+ v2) minus2u(1 + u2

+ v2) (1 minus u2 minus v2)(1 + u2+ v2)

Μία εξ αυτών είναι αναγκαία microη microηδενική αφού ο ταυτόχρονος microηδενισmicroός και των

τριών οδηγεί σε άτοπο (ποιό )

Αναλογα έχουmicroε και τον χάρτη (US rS) όπου (ϐλ και τους τύπους της προη-

γούmicroενης άσκησης για τη στερεογραφική προβολή απο τον Νότιο Πόλο) US = R2

και

rS R2 minusrarr S2 minus S (u v) 7rarr(

2u

1 + u2 + v2

2v

1 + u2 + v21 minus u2 minus v2

1 + u2 + v2

)

Απ᾿ το άλλο microέρος microέσω ηmicroισφαιρίων έχουmicroε τα έξι συστήmicroατα συντεταγmicroένων

(Ui r

αi

) i = x y z α = +minus

όπου Ui = Di(01) είναι οι microοναδιαίοι δίσκοι microε κέντρο το 0 κάθετοι στους τρείς

άξονες ενώ rαi =

(φα

i

)minus1[ϐλ (413)] Προφανώς rα

i

(D(0 1)

)= Sα

i

Για παράδειγmicroα στο σύστηmicroα συντεταγmicroένων (Uz = Dz(0 1) r+z ) το (Dz(0 1) είναι

ο microοναδιαίος δίσκος κάθετος στον άξονα των z ενώ

r+z (u v) =(φ+z

)minus1(u v) =(u v

radic1 minus u2 minus v2

) (u v) isin Uz

Στο (Ux = Dx(0 1) rminusx ) είναι

rminusx (u v) =(φminusx

)minus1(u v) =(minusradic

1 minus u2 minus v2 u v)) (u v) isin Ux

Ας δείξουmicroε πχ ότι το (Ux = Dx(01) rminusx ) ικανοποιεί τις συνθήκες του Ορι-

σmicroού 411 Προφανώς Ux = Dx(01) είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2 Η rminusx είναι

συνεχής microε συνεχή αντίστροφο την απεικόνιση

Sminusx ni (x y z) 7minusrarr (y z) isin Dx(01)

άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός Επίσης είναι διαφορίσιmicroη microε πίνακα Jacobi

J(uv)rminusx =

minus uradic minus vradic

1 0

0 1

166 Υποδείξεις λύσεων

που έχει προφανώς τάξη 2

417 (3) Θεωρούmicroε το Ϲεύγος (U r) όπου U = R2 και η r R2 rarr Γf sub R3 δίνεται από

τη σχέση r(u v) = (u v f (u v)) isin Γf Η r είναι συνεχής microε αντίστροφη την επίσης

συνεχή απεικόνιση Γf ni (u v f (u v) 7rarr (u v) isin R2 άρα είναι οmicroοιοmicroορφισmicroός

Επίσης είναι και διαφορίσιmicroη microε αντίστοιχο πίνακα Jacobi στο τυχόν (u v) isin U

J(uv)r =

1 0

0 1partf

partu

∣∣∣∣(uv)

partf

partv

∣∣∣∣(uv)

Ο τελευταίος έχει προφανώς τάξη 2 για κάθε (u v) Εποmicroένως το γράφηmicroα είναι

microία κανονική επιφάνεια microε ένα microοναδικό σύστηmicroα συντεταγmicroένων (χάρτη)

426 (1) Μέσω στερογραφικών προβολών έχουmicroε τους χάρτες (UN φN ) και (US φS)όπου τώρα είναι UN = S

2 minus N US = S2 minus S και

φN S2 minus N minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 minus z y

1 minus z

)

φS S2 minus S minusrarr R2 (x y z) 7rarr(x

1 + zy

1 + z

)

[ϐλ (411) και τόν τύπο της στερεογραφικής προβολής από τον Νότιο Πόλο στη λύση

της ΄Ασκησης 417 (1)]

Οι χάρτες που ορίζουν τα ηmicroισφαίρια είναι ακριβώς τα Ϲεύγη

(Sαi φ

αi ) i = x y z α = +minus

microε [ϐλ και τις σχέσεις (413)ndash(417)]

φ+x (x y z) = (y z) (x y z) isin S+x φminusx (x y z) = (y z) (x y z) isin Sminusx φ+y (x y z) = (x z) (x y z) isin S+y φminusy (x y z) = (x z) (x y z) isin Sminusy φ+z (x y z) = (x y) (x y z) isin S+z φminusz (x y z) = (x y) (x y z) isin Sminusz

Για τη συmicroβιβαστότητα των S+x και Sminusy πρώτα παρατηρούmicroε ότι

S+x cap Sminusy =(x y z) isin S2 x gt 0 y lt 0

άρα

S+x cap Sminusy ni (x y z) 7minusrarr φ+x (x y z) = (y z) isin Dx microε y lt 0

δηλαδή

φ+x(S+x cap Sminusy

)= Dx cap (y z) isin R2 y lt 0 = (y z) isin R2 y2

+ z2 lt 1 και y lt 0

Υποδείξεις λύσεων 167

Εποmicroένως το φ+x(S+x capSminusy

)είναι το εσωτερικό του microισού δίσκου Dx που είναι ανοιχτό

υποσύνολο του R2 Παρόmicroοια και το

φminusy(S+x cap Sminusy

)= Dy cap (x z) isin R2 x lt 0

είναι ανοιχτό υποσύνολο του R2

΄Εχοντας εξασφαλίσει ότι τα πεδία ορισmicroού και τιmicroών των συναρτήσεων που εκ-

ϕράζουν την αλλαγή των συντεταγmicroένων (χαρτών) microπορούmicroε να ελέγξουmicroε τη διαφο-

ϱισιmicroότητα τους ως εξής Για κάθε (y z) isin φ+x(S+x cap Sminusy

) είναι

(φminusy

(φ+x

)minus1)(x z) = φminusy

( radic1 minus y2 minus z2 y z

)=

( radic1 minus y2 minus z2 z

)

που αποδεικνύει ότι η

φminusy (φ+x

)minus1 φ+x(S+x cap Sminusy

) minusrarr φminusy(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση

Παρόmicroοια και η (αντίστροφη της προηγουmicroένης)

φ+x (φminusy

)minus1 φminusy(S+x cap Sminusy

) minusrarr φ+x(S+x cap Sminusy

)

είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση επειδή για κάθε (x z) isin φminusy(S+x cap Sminusy

) είναι

(φ+x

(φminusy

)minus1)(x z) = φ+x

(xminusradic

1 minus x2 minus z2 y z)=

(minusradic

1 minus x2 minus z2 z)

Εποmicroένως η αλλαγή των αναφεροmicroένων συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση

426 (2) Το Ϲεύγος (U1 φ1) είναι χάρτης Πρώτα διαπιστώνουmicroε ότι η φ1 είναι απει-

κόνιση 1ndash1 αφού

φ1([x y z]) = φ1([x prime yprime zprime]) rArr(y

xz

x

)=

(yprime

x primezprime

x prime

)

οπότε ϑέτοντας λ = x primex ϐρίσκουmicroε ότι (x prime yprime zprime) = λ(x y z) δηλαδή [x y z] =[x prime yprime zprime] Κατόπιν ϐλέπουmicroε ότι η φ1(U1) = R2 αφού για οποιοδήποτε (u v) isin R2

είναι [1 u v] isin U1 και φ1([1 u v]) = (u v) ΄Αρα η φ1 είναι microια 1ndash1 απεικόνιση

του U1 επί του ανοικτού συνόλου φ1(U1) = R2 συνεπώς το (U1 φ1) είναι χάρτης

Ανάλογα ισχύουν και για τα υπόλοιπα Ϲεύγη

Είναι ϕανερόν ότι οι προηγούmicroενοι χάρτες καλύπτουν τον προβολικό χώρο δηλ

P2(R) =3⋃

i=1

Ui

αφού τυχούσα κλαση [x y z] έχει τουλάχιστον microία συντεταγmicroένη της microη microηδενική

άρα ανήκει τουλάχιστον σε ένα από τα Ui

168 Υποδείξεις λύσεων

Τέλος ας αποδείξουmicroε για παράδειγmicroα τη συmicroβιβαστότητα των χαρτών U1 και

U2 Πρώτα παρατηρούmicroε ότι

U1 cap U2 =[x y z] x 0 y 0

οπότε για ένα [x y z] isin U1 cap U2 είναι

φ1([x y z]) =(y

xz

x

)isin (R minus 0) times R

Επειδή και για τυχόν (u v) isin (R minus 0) times R είναι [1 u v] isin U1 cap U2 καταλήγουmicroε

στο συmicroπέρασmicroα ότι φ1(U1 cap U2) = (R minus 0) times R που είναι ανοιχτό υποσύνολο του

RtimesR equiv R2 Παρόmicroοια έχουmicroε ότι και φ2(U1capU2) = (Rminus0)timesR εποmicroένως microπορούmicroε

να ελέγξουmicroε τη διαφορισιmicroότητα των

φ2 φminus11 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

φ1 φminus12 (R minus 0) times R minusrarr (R minus 0) times R

Η πρώτη έχει τη microορφή

(φ2 φminus1

1

)(u v) = φ2([1 u v]) =

(1

uv

u

)

που είναι διαφορίσιmicroη απεικόνιση Την ίδια ακριβώς microορφή έχει και η φ1 φminus12

Εποmicroένως η αλλαγή συντεταγmicroένων είναι αmicroφιδιαφόριση οπότε πραγmicroατικά η οι-

κογένεια A είναι (διδιάστατος) άτλαντας (πολλαπλότητας) επί του P2(R)

  • Prologoc
  • Eukleideia kai mh Eukleideia Gewmetria
    • H gewmetria prin ton Eukleidh
    • O Eukleidhc kai ta ((Stoiqeia)) tou
    • Ta axiwmata thc Eukleideiac Gewmetriac
    • Kritikh twn ((Stoiqeiwn)) kai o Hilbert
    • Ta sugqrona gewmetrika susthmata
    • H Uperbolikh Gewmetria
    • H Elleiptikh Gewmetria
    • Askhseic
      • Susqetismena kai probolika epipeda
        • Eisagwgh
        • To susqetismeno epipedo
        • To proboliko epipedo
        • H arqh tou dusmou
        • Stoiqeiwdeic apeikoniseic
        • Sqesh probolikwn kai susqetismenwn epipedwn
        • Morfismoi probolikwn epipedwn
        • Algebrikh meleth tou P2
          • Diaforisimec Kampulec
            • Eisagwgh
            • Diaforisimec kampulec
            • Anaparametrhsh kampulhc
            • Kampulothta kai streyh - Triedro Frenet
            • Kampulothta kai streyh tuqaiac kampulhc
            • To triedro Frenet miac tuqaiac kampulhc
            • Askhseic
              • Apo touc qartec stic Pollaplothtec
                • H Jewria twn Epifaneiwn kai o Gauss
                • Diaforikec Pollaplothtec
                • Duo logia gia th Jewria thc Sqetikothtac
                  • Qwroqronoc kai Diaforikh Gewmetria
                  • Merikec teqnikec leptomereiec
                      • Bibliografia
                      • Pinakac ennoiwn
                      • Upodeixeic lusewn
Page 5: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 6: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 7: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 8: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 9: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 10: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 11: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 12: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 13: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 14: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 15: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 16: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 17: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 18: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 19: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 20: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 21: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 22: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 23: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 24: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 25: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 26: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 27: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 28: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 29: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 30: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 31: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 32: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 33: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 34: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 35: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 36: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 37: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 38: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 39: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 40: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 41: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 42: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 43: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 44: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 45: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 46: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 47: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 48: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 49: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 50: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 51: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 52: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 53: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 54: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 55: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 56: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 57: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 58: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 59: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 60: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 61: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 62: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 63: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 64: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 65: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 66: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 67: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 68: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 69: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 70: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 71: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 72: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 73: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 74: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 75: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 76: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 77: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 78: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 79: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 80: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 81: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 82: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 83: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 84: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 85: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 86: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 87: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 88: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 89: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 90: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 91: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 92: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 93: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 94: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 95: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 96: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 97: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 98: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 99: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 100: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 101: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 102: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 103: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 104: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 105: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 106: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 107: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 108: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 109: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 110: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 111: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 112: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 113: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 114: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 115: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 116: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 117: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 118: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 119: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 120: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 121: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 122: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 123: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 124: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 125: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 126: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 127: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 128: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 129: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 130: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 131: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 132: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 133: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 134: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 135: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 136: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 137: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 138: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 139: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 140: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 141: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 142: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 143: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 144: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 145: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 146: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 147: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 148: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 149: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 150: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 151: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 152: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 153: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 154: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 155: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 156: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 157: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 158: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 159: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 160: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 161: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 162: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 163: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 164: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 165: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 166: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 167: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 168: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 169: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 170: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Page 171: ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣusers.uoa.gr/~evassil/LECTURE-NOTES/dida.pdf · 2017. 4. 17. · ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ