Numeri Reali

Itinerario storico concettuale

verso la definizione di nuovi numeri

per la 2°K del Liceo Classico Alexis Carrel

Premessa

Due problemi spinosi

1° ProblemaA Delo (Δῆλος) , isola Greca nel Mar Egeo, verso il 500 a.C. scoppiò una grave epidemia di peste. Gli abitanti, non sapendo cosa fare per contrastarla, decisero di interrogare l’oracolo di Apollo.L’oracolo rispose che la peste sarebbe cessata se loro avessero raddoppiato l’altare cubico del dio.

la peste non cessò.

2° ProblemaI Pitagorici, verso il 300 a.C. dimostrarono il famosissimo teorema ( detto di Pitagora ).

Poi, lo applicarono al quadrato di lato 1 e cercarono di trovare la misura esatta della diagonale.

1

?

Fine della premessa

Crotone

Non ci riuscirono.

1. Cosa significa misurare

A B

u

AB=4u

Cioè 4 è la misura di AB rispetto all’unità scelta u

AB/u = 4

Il problema della misura dei segmenti

A B

u

Non sempre AB contiene un n° esatto di u

Scegliamo allora una unità di misura più piccola; ad esempio u’=1/2u

u’

Misurare significa trovare il rapporto tra una grandezza e un‘altra grandezza, omogenea, scelta come unità di misura.

È sempre possibile ?

AB=4u … e un po’

AB=9u’

Ovvero AB = 9/2 uCioè la misura di AB rispetto a u’ è 9/2 AB/u’= 9/2

2. Cerchiamo la misura della diagonale del quadrato1

?

1 < < 2

1 < 14/10 < < 15/10 < 2

Scegliamo una unità di misura 10 volte più piccola: u’ = 1/10 u

u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Scegliamo una unità di misura 10 volte più piccola: u” = 1/100 u

1 < 14/10< 141/100 < < 142/100 < 15/10 < 2

1 < < 2

1,4 < < 1,5

1,41 < < 1,42

1,414 < < 1,415

1,4142 < < 1,4143

1,41421 < < 1,41422

1,414213 < < 1,414214

ecc. senza mai arrivare al valore esatto

1,4142135 < < 1,4142136

1,41421356 < < 1,41421357

………..

Non esiste alcuna unità di misura, per quanto piccola, che sia contenutaun n° intero di volte in un segmento lungo

E dunque non esiste alcun n° razionale che possa esprimere la misura della diagonale di un quadrato di lato 1.

Poiché il segmento “diagonale del quadrato” esiste, tanto che lo sappiamo disegnare, occorre trovare nuovi numeri (non razionali)che ne possano esprimere la lunghezza.

Segmenti come il lato e la diagonale del quadrato si dicono

INCOMMENSURABILI

A differenza di tutti gli altri (dei quali si può esprimere una misura con un n° razionale) che sono COMMENSURABILI

-300 -200 -100 000

100 200 300 400

500 600 700 800

900 1000 1100 1200

1300 1400 1500 1600

1700 1800

Per 22 secoli nessuno trovò una soluzione soddisfacente a questo problema

= ?

3. Un problema di non semplice soluzione

Poi venne Dedekind, matematico tedesco (1831 – 1916),con la seguente idea.

Raggruppare tutti i numeri razionali minori di in una ‘classe’: la classe dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2.

4. Julius Wilhelm Richard Dedekind

L’unico elemento separatore di queste due classi è inequivocabilmente individuato ed è il numero IRRAZIONALE

In un’altra ‘classe’ tutti gli altri numeri : quelli il cui quadrato è maggiore di 2.

Ecco dunque la nuova concezione di numero concepita da Dedekind:Un numero è una coppia di classi contigue di numeri razionali

(A,B)tali che

- Ogni elemento della prima classe precede ogni elemento della secondaa A < b B

e per questo si dicono SEPARATE

- La distanza tra un elemento della prima classe e uno della seconda può essere piccola quanto si vuole

b-a <con n° piccolo a piacere

e per questo si dicono INDEFINITAMENTE RAVVICINATE

Ad esempio 5=(A,B) dove A è l’insieme di tutti i numeri razionali x ≤5 e B è la classe di tutti i numeri razionali >5; 5 è elemento separatore delle due classi A= …4; 4,9; 4,99; 4,999; 4,9999….

B= …6; 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001….

In questa definizione rientrano anche i numeri già noti, Naturali e Razionali

Analogamente 2/3=(A,B) dove A è l’insieme di tutti i numeri razionali x ≤ 2/3e B è la classe di tutti i numeri razionali > 2/3; 2/3 è elemento separatore delle due classi A= …0; 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666….

B= …1; 0,7; 0,67; 0,667; 5,6667….

Se l’elemento separatore appartiene a una delle due classi (come Max della prima o come min della seconda) esso è un numero RAZIONALE; altrimenti è IRRAZIONALE

Ecco dunque un nuovo insieme numerico, più ampio dei precedentil’insieme dei NUMERI REALI

Numeri Razionali

Numeri Reali

NumeriIrrazionaliNumeri

Irrazionali

Lettura da

Storia della matematica

Di Carl Boyer

5. Un altro punto di vista

Numero intero : 7 nessuna cifra decimale

Numero razionale : a) 21/7= 3 nessuna cifra decimale b) 14/25=0,56 n° finito di cifre decimalic) 17/3=0,66666… n° infinito di cifre decimali periodiche

Numero irrazionale : n° infinito di cifre decimali, non periodiche

Le prime 100.000 cifre decimali di 2

N è insieme discretoQ è insieme denso

6. Il campo Reale è continuo

Infiniti numerabili

R è insieme continuo Infinito non numerabile

Si può perciò (finalmente) stabilire una corrispondenza biunivoca tra numeri – Reali – e i punti della retta.

(dunque non c’è un unico infinito)

(ecco come si dimostra che anche Q è numerabile)

Scelta una qualsiasi unità di misura u, siamo ora in grado di associare al segmento che rappresenta la diagonale del quadrato di lato u la misura di

1

..e sappiamo anche soddisfare le richieste del dio Apollo con un bel cubo avente lo spigolo pari a volte quello del suo vecchio altare.

Nell’insieme dei numeri Reali, dunque, non c’è più alcun problema numerico irrisolto ?

Cioè ogni operazione ha il proprio risultato?Ogni equazione ha tutte le proprie soluzioni ?

Che numero è -1 ?

Quali sono le soluzioni di x2 + 1 = 0 ?

x3 + 1 = 0 ha una sola soluzione ?

… occorrono nuovi numeri ….