MOMENTUM LINEAR

danTUMBUKANTUMBUKAN

Momentum Linear :

vp m≡(9-1)

xx mvp =

yy mvp = (9-2)

zz mvp =

dLaju perubahan momentum

Hukum Newton II : dtdpF = (9-3)

Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak adag y g , ygaya yang bekerja pada benda tersebut ?

dtd Fp =(9 4) dtd Fp =(9-4)Impuls

∫=−=Δ f

i

t

tif dtFppp(9-5)

Impuls :

pFI Δ=≡ ∫f

i

t

tdt(9-6)

Impuls suatu gaya F sama denganperubahan momentum benda.

Teorema Impuls-MomentumTeorema Impuls MomentumF

Gaya rata-rata :

t∫Δ

≡ f

i

t

tdt

tFF 1 (9-7)

y

tti tf

tΔ=Δ= FpI (9-8)

Untuk F konstan :tΔ=Δ= FpI (9-9)

KEKEKALAN MOMENTUM LINIERUNTUK SISTEM DUA PARTIKEL

p1 = m1v1 d 1pF d 2p FFHukum Newton III

m1

dt1

12pF =

dtd 2

21pF =

02112 =+ FF

2112 FF −=

021 dd pp 0)(d

F21

F12 021 =+dtdtpp 0)( 21 =+ pp

dt

konstan21 =+= ppP (9-10)

PP PP PPm2 p2 = m2v2

p1

fxix PP = fyiy PP = fziz PP =

Momentum partikel di dalam suatu sistem tertutup selalu tetap

p2

21 ppP += Hukum kekekalan momentum

ffii mmmm 22112211 vvvv +=+ (9-11)

(9-12)ffii 2121 pppp +=+

TUMBUKANInteraksi antar partikel yang berlangsung

F F

nte aksi anta pa tikel yang be langsungdalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv

Diasumsikan jauh lebih besar

dari gaya luar yang adaKontak langsung

F12p

F12 F21m1 m2

dari gaya luar yang ada

dtdpF = (9-3)

2112 FF −=Hukum Newton III

+

++

p

H 4

Proses hamburan

∫=Δ 2

1 212tt dtFp

∫=Δ 2

1 121tt dtFp

21 pp Δ−=Δ

0ΔΔF21He4

F

F

021 =Δ+Δ pp

0)( 21 =+Δ pp konstan21 =+= ppP

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem

t

F12

F

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan

F21

Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan

Klasifikasi Tumbukan

Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum dan kekekalan energi

Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)

Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu

Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi

v1iv2im1m2

Sebelum tumbukan

vf

m + m

Setelah tumbukan

2 m1 + m2

Hukum kekekalan momentum : fii vmmvmvm )( 212211 +=+ (9-13)

vmvm +

21

2211

mmvmvmv ii

f ++

= (9-14)

Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi

v1iv2im1m2

Sebelum tumbukan

v1f

Setelah tumbukan

v2f12 m1m2

Hukum kekekalan momentum :

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

= 21

211

2mvmmv if (9-20)ffii vmvmvmvm 22112211 +=+

(9-15)2222

12112

12222

12112

1ffii vmvmvmvm +=+ (9-16)

)()( 2222 vvmvvm = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=21

121

21

12

2mmmmv

mmmv if (9-21)

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ +

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ + 21

121

1 mmv

mmv if (9 20)

)()( 222111 iffi vvmvvm −=−

))(())(( 2222211111 ififfifi vvvvmvvvvm +−=+− (9-17))()( 222111 iffi vvmvvm −=− (9 18)

⎠⎝ +⎠⎝ + 2121 mmmm

)()( 222111 iffi (9-18)

iffi vvvv 2211 +=+

)( 2121 ffii vvvv −−=− (9-19)(9 19)

TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI

v1fv1f sin θ

v cos θ

v1i

Sebelum tumbukan Setelah tumbukanm1

θφ

v1f cos θ

m1

m2

v f

m2

φ

v2f cos φ

i φ v2f-v2f sin φ

Komponen ke arah x : φθ coscos 221111 ffi vmvmvm += (9-24a)φθ sinsin0 vmvm (9 24b)φθ sinsin0 2211 ff vmvm −= (9-24b)

Jika tumbukan lenting sempurna : 2222

12112

12112

1ffi vmvmvm += (9-24a)

Y

m2

y2⊗

21

2211mm

ymymyc ++

≡

m1y1 X

yc

21

Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?

n

nnc mmm

ymymymy+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

≡21

2211

∑

∑= =

n

n

iii

m

ym1

M

ymn

iii∑

= =1

Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?

∑=i

im1

ymn∑

M

ymy i

ii

c

∑= =1

n∑

M

xmx i

ii

c

∑= =1

n

kjir ˆˆˆcccc zyx ++=

zmymxm kji ˆˆˆ ∑+∑+∑

M

zmz

n

iii

c

∑= =1 M

zmymxm iiiiiic

kjir ∑+∑+∑=

zyxm iiii )ˆˆˆ( kjir ++∑=Mcr =

Mm ii

c∑=

rr kjir ˆˆˆiiii zyx ++=

Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?

Z

Δmi

Mmii

c∑ Δ

≈rr

mii∑ Δ=

rr limi

ri

⊗

rc

PM Mmc

i

=→Δ

r0

lim

∫= dmMc rr 1

Y

X M

∫= xdmM

xc1

∫= ydmM

yc1

∫= zdmz 1∫= zdm

Mzc

Gerak Sistem PartikelGerak Sistem Partikel

∑=dtdm

Mi

ir1

Mm ii∑=

vdtd c

crv =Kecepatan :

dtM Mdt

∑= p = P∑= iic mM vvMomentum :

Percepatan :dt

d cc

va = ∑=dt

dmM

ii

v1∑= iim

Ma1

∑= iimM aa ∑= F dP=∑= iic mM aa ∑= iF

dt=

0=∑ iF 0=dtdP konstan== cMvP

+Δv v+Δv

)()()( emMmM vvvvv −Δ+Δ+=Δ+

mM eΔ=Δ vv

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

M+Δm M

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

dmvMdv e=

dMdm −=

Massa bahan bakaryang terbakar

P

vp )( mMi Δ+=ve

Pengurangan massa roketdMMd evv −=

∫ ∫f fM dMv

ΔmKecepatan bahan bakar relatip terhadap roket

v - ve ∫ ∫−=f

i

f

iMe MdMd

v

vvv

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=− ieif

Mlnvvv ⎟⎠

⎜⎝ f

eif M

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

• Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.

• Dalam proses rotasi pergeseran sudut:Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:

12 θθθ −=Δ

• Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)

°=°= 3,572

360rad 1π

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

θθθ Δ− 12• kecepatan sudut rata-rata:tθ

ttθθ

ΔΔ

=−

=12

12ω

• kecepatan sudut sesaat:dθθωω =

Δ== limlim

dttttωω

Δ→Δ→Δ 00limlim

Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)radian per detik (rad/s)

Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Δ− ωωω 12• Percepatan sudut rata-rata:ttt Δ

Δ=

−=

ωωωα12

12

• Percepatan sudut sesaat:dtd

tωωα =

ΔΔ

=Δ 0lim

dttt Δ→Δ 0

Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s2)radian per detik (rad/s2)

Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.

Persamaan Kinematika Rotasi

Perumusan Gerak RotasiPerumusan Gerak Rotasi

• KecepatanKecepatan tangensial:

{ {kecepatankecepatan

ωrv = ( )rad/sdalamωtangensialkecepatan

linearkecepatan

• Percepatan tangensial:

{ {percepatanpercepatan

αra = ( )2rad/s dalam α

Percepatan tangensial:

tangensialpercepatan

linearpercepatan

Perumusan Gerak RotasiPerumusan Gerak Rotasi

• Percepatan sentripetal (dng arah radial ke

2

• Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):

rrvar

22

ω==r

Torsi – Momen gaya

• Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan

Torsi – Momen gaya

• Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.

• Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)( )

Vektor Momentum Sudut

• Momentum sudut L dari sebuah bendaMomentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:

)(Lrrrrr)vrm(prLrrrr

×=×=

il φsinl mvr

rp rmv

φ

⊥ ⊥

=

= =

r p r mv⊥ ⊥= =

••Satuan SI adalah Kg.mSatuan SI adalah Kg.m22/s./s.

Vektor Momentum Sudut

P b h t d t t h d• Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

d dL ( )ddt

ddt

L r p= ×

d d dr p⎛ ⎞ ⎛ ⎞( )ddt

ddt

ddt

r p r p r p× = ×⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )= ×

=

v vm0

d dLJadi ddt

ddt

L r p= × l ingat F p

EXTddt

=

Vektor Momentum Sudut

P b h t d t t h d• Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

dLddt

ddt

L r p= × EXTF

dtd

×= rL

Akhirnya kita peroleh:τEXT

ddt

=L

dt

Analog dengan !! F pEXT

ddt

=EXT dt

Hukum Kekekalan Momentum S dSudut

• dimana dandL dimana danτEXT

ddt

=L τEXT EXT= ×r FL r p= ×

dLτEXT

ddt

= =L 0Jika torsi resultan = nol, maka Jika torsi resultan = nol, maka

Hukum kekekalan momentum sudutHukum kekekalan momentum sudut

21 ωω 21 II =

Hukum Kekekalan MomentumHukum Kekekalan Momentum

• LinearLinearo Jika ΣF = 0, maka p konstan.

• Rotasio Jika Στ = 0, maka L konstan.

Momentum Sudut:p = mv

Defenisi & Penurunan• Untuk gerak linear sistem partikel berlakuUntuk gerak linear sistem partikel berlaku

Momentum kekal jikad Momentum kekal jika

B i d G k R t i?

F pEXT

ddt

= FEXT = 0• Bagaimana dng Gerak Rotasi?

τ = ×r FUntuk Rotasi Analog gaya FF adalah Torsi

L r p= ×

τ = ×r FUntuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi

Analog momentum pp adalah pmomentum sudut

Sistem Partikel

• Untuk sistem partikel benda tegar setiap• Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:maka momentum sudut total:

1 2 3

n

n iL l l l l l= + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∑r r r r rr

1i=

,

n ni

net i netdL dldt dt

τ τ= = =∑ ∑rr

r r,

1 1i idt dt= =∑ ∑

Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh torsi gaya luar saja.torsi gaya luar saja.

Sistem Partikel

• Perhatikan sistem partikel benda tegar yg• Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah

k̂vrmmi

iiii

iiiii

i ∑=∑ ×=×∑= vrprLTotal momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:

vv1

(krn ri dan vi tegak lurus)

i

j

rr1rr2

m2

m1

Arah LL sejajar sumbu z

Gunakan vi = ω ri , diperoleh i rr1

rr3

rr2 m1

m3

ωvv2

vv3

i i , p

rkrmL

i

2ii

ˆ∑= ω

ωrr

I=L Analog dng p = mv !!

Vektor Momentum Sudut• DEFINISI

Momentum sudut dari sebuah bendaMomentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut.

• Demikan juga dengan torsi (Hk II ωrr

I=Lj g g (

Newton untuk gerak rotasi):rrr

dIdLd )( αωωτrr I

dtdI

dtId

dtLd

====)(

Vektor Momentum Sudut

L Iω=

e to o e tu Sudut

• Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan ω kekal

L Iω=bahwa hasil perkalian antara I dan ω kekal

2i iI m r= ∑

L I L IL Iω= L Iω=

Momen Inersia

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegarMomen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai

222∑I ...222

211

2 ++== ∑ rmrmrmIi

ii

I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnyaterhadap sumbu putarnya

Momen Inersia

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

∫z

dmrIrmI ii

i ∫∑ =⇒= 22

∫ ∫== dVρrdmrI 22dmy

z

x

y

dldrdrdV ⋅⋅= θDimana Elemen Volume

dldrdrdV ⋅⋅= θ

Momen Inersia

dldrdrdV ⋅⋅= θ

• dimana rdr : perubahan radius, • dθ : perubahan sudutdθ : perubahan sudut, • dl : perubahan ketebalan.

Momen Inersia

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

( )∫ ( )dldrdrrI ⋅⋅= ∫ θρ2

As msi rapat massa ρ konstanAsumsi rapat massa ρ konstan

• Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:

( ) ( ) ( )∫∫∫LR

dlddI22 π

θρ ( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅⋅= dldrdrrI000

θρ

Momen Inersia

R⎤⎡ 4

Hasilnya adalah [ ] [ ]lrI L⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= θρ π

4 020

0

4

LRI ⋅⋅=

⎦⎣

πρ 24

0

Massa dari lempengan LI πρ 24

LRM ⋅⋅⋅= 2πρtersebut

LRM πρ

21 MRI =M I i b d2

MRI =Momen Inersia benda

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui) momenyang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil SumbuDalil Sumbu Sejajar

2h2MhII cm +=

Dinamika Benda Tegar

• Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:

21

22

112 2 ωωωωθτθ ω

IIdIdW −=== ∫ ∫ 12221 1θ ω∫ ∫

Energi Kinetik Rotasig

• Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

( ) ( ) 222

21

21 ωω ∑∑ == iiii rmrmK

2221 ωIK =

∑= 2iirmI

2• Dimana I adalah momen inersia, ∑

Energi Kinetik RotasiEnergi Kinetik Rotasi

• Linear • RotasiLinear Rotasi

11 2

21 ωIK =2

21 MvK =

Massa MomenMassa

Kecepatan Linear

Momen Inersia

KecepatanLinear Kecepatan Sudut

Prinsip Kerja-Energi

• Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:

21

22

2

1

2

12

1

2

1

ωωωωθτθ

θ

ω

ωIIdIdW −=== ∫ ∫ 221 1

21 ωIKrotasi =KW Δ= dimana 2rotasirotasiKW Δ dimana

Bila ,maka sehingga0=τr 0=WBila ,maka sehingga0τ 0W0=Δ rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi

Menggelinding

• Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi

Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi

s Rθ B b k d l j s Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dt

dv Rθ ω⇒ = =comv Rdt

ω⇒ = =

Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi

The kinetic energy of rolling

2 212 P P comK I I I MRω= = +

2 2 21 12 2

2 21 1

comK I MR

K I M K K

ω ω= +

2 21 12 2com com r tK I Mv K Kω= + = +

Menggelinding

• Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. 22 11 ωImvK + 00

22ωImvK +=

V0

ω

Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak RotasiTotal Dengan Gerak Rotasi

Kesetimbangan Benda T

• Suatu benda tegar dikatakan setimbang

TegarSuatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut g p psama dengan nol.

• Dalam keadaan setimbang, seluruh g,resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:

ΣFx = 0 dan ΣFy = 0yΣτ = 0

Hubungan Besaran G k Li R t iGerak Linear - Rotasi

Li R t iLinear Rotasix (m) θ (rad)

v (m/s) ω (rad/s)a (m/s2) α (rad/s2)

m (kg) I (kg·m2)m (kg) I (kg m )F (N) τ (N·m)

(N ) L (N )p (N·s) L (N·m·s)

Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi

linear angular

Gerak Linear Rotasi

linear angularperpindahan

kecepatanxΔ θΔ

dtdxv / dtd /θω =kecepatanpercepatan

dtdxv /= dtd /θω =dtdva /= dtd /ωα =

m ∑ 2massagaya

m ∑= 2iirmI

Fr

IFFrrrr

×=τHk. Newton’senergi kinetik

ατ I=maF =2)2/1( mvK = 2)2/1( ωIK =

Kerja ∫= FdxW ∫= θτdW

GERAK HARMONIK SEDERHANA

12.1 Gaya Pemulih pada Gerak Harmonik Sederhana• Gaya Pemulih pada Pegas• Gaya Pemulih pada Pegas

k = konstanta pegas (N/m)skalar) (notasi kyFv

=

y = simpangan (m)vektor)(notasi ykF v−=

• Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Sederhana

θi m = massa benda (kg)g = percepatan gravitasi (m/s2)

θsin mgF =

12.2 Peride dan Frekuensi• Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali• Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali

gerak bolak-balik.• Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam

kt 1 d tikwaktu 1 detik.

fT

Tf 1atau 1

==

• Untuk pegas yg memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena d b b b i d t d l h

fT

adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah

kmT π2=

• Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali adalah l maka periodenya adalah

k

adalah l, maka periodenya adalah

glT π2=

12.2 Simpangan, Kecepatan, Percepatan• Simpangan Gerak Harmonik Sederhana• Simpangan Gerak Harmonik Sederhana

y = simpangan (m)A = amplitudo (m)πftAωtAy 2sinsin ==ω = kecepatan sudut (rad/s)f = frekuensi (Hz)t = waktu tempuh (s)

πftAωtAy 2sin sin ==

t = waktu tempuh (s)Jika pada saat awal benda pada posisi θ0, maka

)2(sin)(sin 00 θθ +=+= πftAωtAy

Besar sudut (ωt+θ0) disebut sudut fase (θ), sehingga

)2(sin )(sin 00 θθ ++ πftAωtAy

00 2 θθθ +=+=Ttπωt

t

ππT

tπ

0

0 22

2

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

θϕ

ϕθθ

φ disebut fase getaran dan ∆φ disebut beda fase. T

ttπT

1212

2−

=−=Δ

+=

ϕϕϕ

ϕ

• Kecepatan Gerak Harmonik SederhanaUntuk benda yg pada saat awal θ = 0 maka kecepatannyaUntuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka kecepatannya

adalah

dd ωtAωtAdtd

dtdyv cos )sin ( ω===

Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga kecepatan maksimumnya adalah

Avm ω=

Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah

22 yAv = ω yAvy −= ω

• Percepatan Gerak Harmonik SederhanaUntuk benda yg pada saat awal θ = 0 maka percepatannyaUntuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka percepatannya

adalah

yωtAωtAddva 22 sin)cos( ωω −=−=== yωtAωtAdtdt

a sin ) cos ( ωω ====

Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga percepatan maksimumnya adalah

Aam2ω=

Arah percepatan a selalu sama dengan arah gaya pemulihnya.

12.4 Energi pada Gerak Harmonik SederhanaEnergi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhanaEnergi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana,

misalnya pegas, adalahωtAmmvEk cos 222

212

21 ω==

Karena k = mω2, diperoleh

tkAE 221

Energi potensial elastis yg tersimpan di dalam pegas untuk

ωtkAEk cos2221=

setiap perpanjangan y adalah

ωtAmωtkAkyEp sin sin 2222122

212

21 ω===

Jika gesekan diabaikan, energi total atau energi mekanik pada getaran pegas adalah

2221 )cossin( ωtωtkAEEE +=+=2

212

212

21

2 )cossin(

kAmvkyEEE

ωtωtkAEEE

kpM

kpM

=+=+=

+=+=

FluidaFluida• Pada temperatur normal, zat dapat berwujud:

P d t /S lid– Padatan/Solid – Cair/Liquid

GasFluida

– Gas

“Fluida”? • “Zat yang dapat mengalir dan memiliki bentuk seperti

wadah yang menampungnya”• Atom-atom dan molekul-molekul bebas bergerakAtom atom dan molekul molekul bebas bergerak

Fluida• Besaran penting untuk mendeskripsikan fluida?

– Rapat massa (densitas)

VΔΔ

=mρ satuan:

kg/m3 = 10-3 g/cm3VΔ kg/m 10 g/cm

( i ) 1 000 103 k / 3 1 000 / 3ρ(air) = 1.000 x103 kg/m3 = 1.000 g/cm3

ρ(es) = 0.917 x103 kg/m3 = 0.917 g/cm3

ρ(udara) = 1.29 kg/m3 = 1.29 x10-3 g/cm3

ρ(Hg) = 13.6 x103 kg/m3 = 13.6 g/cm3

Fluida

satuan :

• Besaran penting untuk mendeskripsikan fluida?– Tekanan

AFp

ΔΔ

=1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)1 bar = 105 Pa1 mbar = 102 Pa1 t 133 3 P1 torr = 133.3 Pa

1atm = 1.013 x105 Pa= 1013 mbar

• Tekanan adalah ukuran penjalaran gaya oleh fluida yang

= 760 Torr= 14.7 lb/ in2 (=PSI)

n

• Tekanan adalah ukuran penjalaran gaya oleh fluida, yang didefinisikan sebagai gaya yang bekerja tegak lurus pada suatu permukaan persatuan luas permukaan

nF ˆpA= A

n

Hubungan tekanan dengan kedalaman fluida

A fl id t k

Hubungan tekanan dengan kedalaman fluida

0p

• Anggapan: fluida tak termampatkan (incompressible) y1 y2

Ap1

F1

• Rapat massa konstan p2

F2mg

• Bayangkan volume fluida khayal (kubus, luas penampang A)– Resultan semua gaya pada volume tersebut harus NOL

keadaan setimbang: F2 - F1 - mg = 0keadaan setimbang: F2 F1 mg 0

ApApFF 1212 −=−A)(

)yy(gpp 1212 −ρ+=Ag)yy(mg 12 −ρ=

)yy(gpp 1212 ρ

Fl id d l k d diFluida dalam keadaan diam

setimbang

y

tak ada perubahan tekanan pada kedalaman yang sama

p(y)

Prinsip PascalPrinsip Pascal• Dengan Hk. Newton:

– Tekanan merupakan fungsi kedalaman: Δp = ρgΔy• Prinsip Pascal membahas bagaimana perubahan

tekanan diteruskan melalui fluida

Perubahan tekanan fluida pada suatu bejana tertutup akan diteruskan pada setiap bagian fluida dan juga pada dinding bejana tersebutbejana tersebut.

• Prinsip Pascal tuas/pengungkit hidrolikg g– Penerapan gaya yang cukup kecil di tempat tertentu dapat

menghasilkan gaya yang sangat besar di tempat yang lain.– Bagaimana dengan kekekalan energi?Bagaimana dengan kekekalan energi?

• Perhatikan sistem fluida di samping:Perhatikan sistem fluida di samping:– Gaya ke bawah F1 bekerja pada

piston dengan luas A1.Gaya diteruskan melalui fluida

F F21

– Gaya diteruskan melalui fluida sehingga menghasilkan gaya ke atas F2.

– Prinsip Pascal: perubahan tekanan1d

2d

– Prinsip Pascal: perubahan tekanan akibat F1 yaitu F1/A1 diteruskan pada fluida. A A 21

2

2

1

1

AF

AF =

1

212 A

AFF =

• F2 > F1 : pelanggaran hukum kekekalan energi??g

• Misalkan F1 bekerja sepanjang F F211 j p j gjarak d1.– Berapa besar volume fluida

di i d hk ?

F2

2d

1

yang dipindahkan?1d

2

A A111 dV A=ΔA A 21

volume ini menentukan seberapa jauh piston di sisi yang lain bergerak

111

12 VV Δ=Δ2

112 A

Add =

AA

Usaha yang dilakukan F sama dengan usaha

12

11

1

21222 W

AAd

AAFdFW ===

• Usaha yang dilakukan F1 sama dengan usaha yang dilakukan F2 kekekalan energi

Prinsip ArchimedesPrinsip Archimedes• Mengukur berat suatu benda di udara (W1) ternyata g ( 1) y

berbeda dengan berat benda tersebut di air (W2)

W > WW2?W1

W1 > W2

– Mengapa?K k d b i• Karena tekanan pada bagian bawah benda lebih besar daripada bagian atasnya, air p g y ,memberikan gaya resultan ke atas, gaya apung, pada benda.

• Gaya apung sama dengan selisih tekanan dikalikan luas.uas

)Ay-g(y)( 12ρ=⋅−= AppF 12B

WgmVgF ρ

Archimedes:

fluidapindah_fluidafluida_dlm_bendafluidaB WgmVgF =⋅=⋅⋅= ρ

Archimedes:Gaya apung sama dengan berat volume fluida yang

y1y2

F1

berat volume fluida yang dipindahkan oleh benda.

2

Ap1

p2

F• Besar gaya apung menentukan apakah benda akan terapung atau tenggelam dalam fluida

F2

Terapung atau tenggelam?e apu g atau te gge a

y

• Kita dapat menghitung bagian benda terapung yang berada di bawah

k fl idF mgB

permukaan fluida:

– Benda dalam keadaan setimbang

mgFB =

bendabendabffluida VgVg ⋅⋅=⋅⋅ ρρ

fl id

benda

b d

bf

VV

ρρ

=fluidabendaV ρ

Fluida DinamikFluida DinamikStatik: rapat massa & tekanan

Fluida dinamik/b kkecepatan alir bergerak

Beberapa anggapan (model) yang digunakan:•Tak kompressibel (incompressible)•Temperaturnya tidak bervariasi•Alirannya tunak, sehingga kecepatan dan tekanan fluida tidak bergantung terhadap waktuAlirannya laminer•Alirannya laminer

•Alirannya tidak berrotasi (irrotational)•Tidak kental

Persamaan KontinuitasKekalan massa pada aliran fluida ideal

A1, v1A2, v2

l1

l2

Volume fluida yang melewati permukaan A1 dalam waktu t sama dengan volume melewati permukaanA2:

2211

2211

)()( tvAtvAAA

=

= ll

Dalam besaran debit konstan== AvQ

2211

2211 )()(vAvA

tvAtvA=

Q

Persamaan BernoulliPersamaan Bernoulli• Menyatakan kekekalan energi pada aliran fluida

A

B

AAA,p

AlA

• Fluida pada titik B mengalir sejauh lBdan mengakibatkan fluida di A mengalir

j hB lBhA

sejauh lA.

• Usaha yang dilakukan pada fluida di B:

ll AFWhB • Usaha yang dilakukan pada fluida di A:

BBBBBB ll ApFW ==

ll AFW AAAAAA ll ApFW −=−=

Usaha oleh gaya gravitasi adalah )( hhmW• Usaha oleh gaya gravitasi adalah )( BAgrav hhmgW −−=

Usaha total:

BAAAABBBgravABtotal mghmghApApWWWW +−−=++= ll

Usaha total:

BAAAABBB2

B2

A 21

21 mghmghApApmvmvK +−−=−= llΔ

B2

BBA2

AA 21

21 ghvpghvp ρρρρ ++=++

22(Persamaan Bernoulli)

GETARAN & GETARAN &

GELOMBANGGELOMBANGGELOMBANGGELOMBANG

GetaranGetaran

G k b l k b lik di kit titikGerak bolak balik di sekitar titik setimbang yang periodik disebabkan d lihadanya gaya pemulih

GELOMBANG

Gelombang adalah bentuk dari getaran yang merambat pada suatu medium. p

Gelombangg

Mekanik Elektromagnetik

Gelombang SuaraGempa Bumi

Gelombang pada dawai

CahayaSinar X

Gelombang RadioGelombang pada dawai

dll

Gelombang Radio

dll.

Gelombang Mekanikg

Gelombang Mekanik Timbul :

Perlu usikan sebagai sumber

Perlu medium yang dapat diusik

Perlu adanya mekanisme penjalaran usikan

Karakter Fisik yang menjadi ciri gelombang :y g j g g

Panjang Gelombang (λ)

F k i (f )Frekwensi (f )Cepatrambat Gelombang (v)

Panjang Gelombang : Jarak minimum antara dua titik pada gelombang yang berperilaku identik.

Frekwensi Gelombang : Jumlah pengulangan usikan persatuan waktu.

Cepatrambat Gelombang : Jarak penjalaran usikan yang ditempuh dalam satu satuan waktu.

Tipe Gelombang

Transversal Longitudinal

Gerak partikel yang terusik Gerak partikel yang terusikGerak partikel yang terusiktegak lurus arah penjalaran

Gerak partikel yang terusiksejajar arah penjalaran

Penjalaran GelombangSdalam Satu Dimensi

Fungsi Gelombang :)( vtxfy Menjalar ke kanan)( vtxfy −=

)( vtxfy +=

Menjalar ke kanan

Menjalar ke kiri

C t b t G l b (K t F ) dxCepat-rambat Gelombang (Kecepatan Fasa) : dtv =

Cepat-rambat Gelombang di dalam DawaiDawai

μFv =

Tegangan dawai

Massa dawai persatuan panjang[ ] 2MLT −=F[ ] 1ML−=μ

[ ] 1LT −=v

p p j g [ ] ML=μ

Refleksi dan Transmisi Gelombang

Rambatan gelombang dari medium kurang rapatRambatan gelombang dari medium kurang rapat ke medium yang lebih rapat

Rambatan gelombang dari medium lebih rapat ke medium yang kurang rapatke medium yang kurang rapat

Harmoni Gelombangg

λ

AA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xAy

λπ2sin

⎠⎝ λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= vtxAy

λπ2sin Untuk Gelombang yang

Menjalar ke kanan⎠⎝ λ Menjalar ke kanan

Tv λ= atau vT=λ

⎞⎛ ⎞⎛ txπ2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

TtxAy

λλπ2sin

λπ2≡k

T2

( )tkxAy ω−= sin

Tπω 2≡

⎟⎞

⎜⎛ −= vtxAy π2sin ⎟

⎠⎜⎝

−= vtxAyλ

sin

Tv λ

=T

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

TtxAy

λπ2sin

Efek DopplerEfek Doppler

bila sumber bunyi dan pengamat saling bergerak relative satu terhadap lainnya (mendekati ataurelative satu terhadap lainnya (mendekati atau menjauhi) maka frekuensi yang diterima pengamat tidak sama dengan frekuensi yang dipacarkan oleh sumber.