MOMENTMOMENTBirBir KuvvetinKuvvetin BirBir NoktayaNoktaya GöreGöre MomentiMomenti

F

Mo

θr

FrM o

rr×=

dFFrM

rd

o .sin..

sin.

==

=

θθ

O Ad

θ

A noktasına etki eden herhangi bir F kuvvetinin Onoktasında meydana getireceği momenti Mo; OA’yıtanımlayan r yer vektörü ile F kuvvet vektörünün vektörelçarpımıdır.

Birimi : t.m, t.cm, kg.cm,N.m,…

**pozitif dönüş yönü

**Vektörel çarpımın tanımına göre Mo momenti O ve Fkuvvetinin yer aldığı düzleme dik olur.

**Mo momentinin yönü sağ el kuralı ile bulunur. Sağ elindört parmağı F kuvvetinin O noktasına göre cismeyaptırmak istediği dönüş yönü baş parmak momentinyönünü gösterir.

O

MoF

O

MoF

dFM o .+= dFM o .−=

(Saat akrebinin tersi +) (Saat yönü -)

O(0,0)

OArr

Fr

A(x,y)jFiFF

jyixr

FrM

yx

OA

OAo

rrr

rrr

rrr

+=

+=

×=

kyFxF

FF

yx

kji

FrM xy

yx

OAO

rrr)(

0

0 −==×=

ÖRNEK 1

20 cm

30 cmA(0,0)

C(30,20)

60º

F=10 kg

B

D

10 kg’lık kuvvet 20x30 cm levhaya etki etmektedir. Kuvvetin A’ya göre momentinin hesabı ?

jijFiFF yx

rrrrroo 66,8560sin.1060cos.10 +=+=+=

kk

kji

FrM

jiACACr

ACA

AC

rrrrr

rrrrr

160)100260(

066,85

02030

2030)0,0()20,30(

=−==×=

+=−=−==

Varignon Teoremi

Bir noktada birleşen çok sayıda kuvvetinbileşkesinin bir O noktasına göre momenti, bukuvvetlerin O noktasına göre momentlerinintoplamına eşittir.

Z3Fr

nFr

∑=n

iFRrr

XO

Y

1Fr2Fr

3FnF∑=

=i

iFR1

( )n

no

FrFrFr

FFFrRrMrvrrr

rrrrrrr

×++×+×=

+++×=×=

...

.....

21

21 rr

Üç Boyutlu Halde Moment Hesabı

Y

XO(0,0,0)

Fr

rr

A(x,y,z)

kMjMiMM

FrM

zkyjxir

kFjFiFF

zyxo

o

zyx

++=

×=

++=

++=

rrv

Z

kMjMiMM zyxo ++=

kyFxFjzFxFizFyF

FFF

zyx

kji

M xyxzyz

zyx

o )()()( −+−−−==

8 m3 m

Y

X

TAB=350 kg A

C

D

ÖRNEK 3

E

O

6 mZ

X

2 m

B

Prefabrike beton duvar bölmesi geçici olarak şekildeki kablolarla

tutulmuştur. AB kablosunda 700 kg kuvvet varsa A’da duvara gelen TAB

kuvvetinin O başlangıç noktasına göre momentini hesaplayınız

E

Y

X

Z

ÖRNEK 6

P=75 kg

12 cm9 cm

20 cm

B

A

D

C

Z

Eğik bir piramide şekildeki gibi şiddeti 75 kg olan bir P kuvveti etki etmektedir. P’nin

A) AD kenarına göre

B) AB kenarına göre

C) AC kenarına göre momentini hesaplayınız ?

Kuvvet Çifti

Tesir çizgileri paralel, şiddetleri eşit ancak yönleri zıt iki kuvvetin oluşturduğu sisteme kuvvet çifti adı verilir.

d

θ

θrr

2rr

rr

Fr

Fr

OKuvvet çiftinin O noktasına göre momenti :

1rr

rrrrrr

+= 12

dFFrM

FrFrFrrFrM

rrr

O

O

.sin..

)( 1212

12

==

×−×=×−=×=

−=

θ

rrrrrrrrrr

rrr

*Kuvvet çiftinin momenti, kuvvet çiftinin oluşturduğu düzleme dik olup şiddeti kuvvetlerden birinin şiddeti ile iki kuvvet arasındaki uzaklığın çarpımıdır.

d

-F

F

M=F.d

-F

*Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktaya bağlı değildir. Kuvvetlerkayan vektörle gösterilmesine karşın kuvvet çiftleri serbest vektör ile gösterilir.Dolayısıyla kuvvet çiftleri kendine paralel istenen noktaya taşınabilir.

*Kuvvet çiftleri momentleri sabit kalacak şekilde ötelenebilir, döndürülebilir

veya aralarındaki uzaklık değiştirilebilir.

=

3 m

4 kN

4 kN=

2 m

6 kN6 kN

-12 kNm

M=F.d

-F

F

d

M=F.d

F

d

M=F.d-F

==

-2F

M=2F.d/2-F

2F

d/2

Verilen Bir Kuvveti Herhangi Bir Noktaya Etkiyen

Kuvvet-Kuvvet Çiftine Dönüştürmek

O=

O=A A

OA

OArr

OArr

FrMO

vrv×=F

r

Fr

Fr

Fr

**Herhangi bir F kuvveti, rasgele bir O noktasına götürülebilir yeter ki F’nin O’ya göre momentine eşit momente sahip bir kuvvet çifti eklensin.

**Bir F kuvveti etki ettiği A noktasından bir O noktasına taşıyınca elde edilen kuvvet-kuvvet çifti sistemi F kuvveti ile kuvvet çifti vektöründen ibarettir.

**Tersi olarak birbirine dik bir F kuvveti ile Mo kuvvet çifti vektörü yerine tek bir kuvvet konulabilir.

FrM OAO

vrv×=

Fr

ÖRNEK 85 ton

4 m 2 mA B

B noktasındaki 5 ton’luk kuvveti A noktasına taşıyınız

5 ton5 ton5 ton

A B A B

5 ton5 ton

5 ton

5 ton

10 tm

=

ÖRNEK 98 ton

7 m 7 m

A B

24 tm A noktasına etki eden 8ton-24tm’lik kuvvet-kuvvet çifti yerine AB arasında bir kuvvet tanımlayınız.

8 ton 8 ton 8 ton

A B24 tm

d8 ton

A B

7 m 3 m 4 m

mFM

d

dFM

3824

.

===

=

ÖRNEK 10

8000 kg10 cm 14 cm

CAi

k

jBir kren kolu 8000 kg’lık bir yükü taşımaktadır. Yükü AB boyunca etkiyen bir eksenel kuvvet ile bir kuvvet çiftine indirgeyiniz

)(19200)8000(24

8000

kgcmkjiRCAM

jRrrrvv

rr

−=−×=×=

−=

B

8000 kg24 cm

C

A

B

=

8000 kg

A

B

19200 kgcm8000 kg

8000 kg

ÖRNEK 11

X

Y

Z

10 cm

4 cm

Gik

j

2,5 t

2,5 ton’luk bir kuvvet bir kolona dışmerkez olarak uygulanmıştır. 2,5 t’luk yüke eşdeğer G’deki kuvvet-kuvvet çiftinin bileşenlerini bulunuz ? tcmM

M

tcmM

tR

ikjkiRAGM

kiGAAG

jR

z

y

x

25

0

10

5,2

1025)5,2()410(

410)0,0,0()4,0,10(

5,2

−=

=

−=

−=

−−=−×−=×=

−=−−=−=

−=

rrrrrrr

rrrrr

rr

ÖRNEK 13

AC

B

200 kg

200 kg

400 kg400 kg

200 kg400 kg

400 kg200 kg

3m

6 m

3m 3m 3m 3m 3m 3m

D E

Bir bina çerçevesinin çatısına şekildeki rüzgar yükleri etki etmektedir.

A) D’de etkiyen eşdeğer kuvvet-kuvvet çifti sistemini

B) Yüklerin bileşkesini ve bileşkenin tesir çizgisini bulunuz

1200 kg 1200 kg

7,5 m4,5 m 4,5 m

=

1140 kg 1140 kg

7,5 m4,5 m 4,5 m

384 kg 384 kg

768 kg

D yi

Düşey bileşenler 1140 kg’lik kuvvet çifti oluşturur.Düşey bileşenler 1140 kg’lik kuvvet çifti oluşturur.

kgmM

kgFRRD 45579.1140)384384.(5,7

768384384

=++−=

=+==∑

my

y

yFRy

i

i

i

85,5

9.1140)384384(5,7768

−=

++−=−

=∑ D5,85 m

768 kg

Bir Kuvvetler Sisteminin Bir Kuvvet ve Bir Kuvvet Çiftine İndirgenmesi

O=A

1Fr

2Fr

3Fr

1rr

2rr

C

2Mr

1Fr

2Fr

3Fr

O

=O

RoM

r Rr

3F3rr

B

1Mr

O

3Mr

1- Kuvvetler sistemi ne kadar karmaşık olursa olsun verilen bir O noktasına göre etkiyen eşdeğer bir kuvvet-kuvvet çifti sistemine indirgenebilir.

(a) (b) (c)

2- (b)’de görüldüğü üzere M1, M2, … kuvvet çifti vektörlerinin her biri

kendine karşı gelen kuvvete dik olduğu halde R bileşke kuvvet ile

bileşke kuvvet çifti genel olarak birbirine dik değildir.

Eşdeğer kuvvet-kuvvet çifti sistemi:

RoM

r

∑=

=n

iiFR

1

∑∑=

=

×==n

iiio

Ro

i

FrMM1

1

)(

Bu denklemler şunu ifade etmektedir: R kuvveti sisteme etki eden n adet

kuvveti toplayarak elde edilmekte, buna karşın sistemin moment bileşkesi

denilen kuvvet çiftinin momenti sistemdeki bütün kuvvetlerin O’ya göre

momentlerini toplayarak elde edilmektedir.

RoM

kRjRiRR zyx

rrrr++=

kMjMiMM Rz

Ry

Rx

Ro

rrrr++=

kuvvetlerinin x, y, z bileşenlerinin toplamı sistemin rijit cisme

x,y,z doğrultusunda yaptırmak istediği ötelenme hareketinin eğilimidir.

Rz

Ry

Rx MMM ,,

x,y,z doğrultusunda yaptırmak istediği ötelenme hareketinin eğilimidir.

bileşenleri verilen kuvvetlerin x,y,z eksenlerine göre

momentlerinin toplamı olup sistemin rijit cisme x,y,z eksenleri etrafında

yaptırmak istediği dönme hareketi eğilimidir.

zyx RRR ,,

O

RoM

r Rr

O’ =O

Rr

O’sr

RoM

RoM ′

r

sr RsMM R

oRo

rrrr×+=′

Bir kuvvetler sistemini bir kere O noktasındaki bir kuvvetle bir kuvvet çiftine

indirgenirse artık başka bir O´ noktasındaki bir kuvvetle bir kuvvet çiftine

indirgenmesi kolaydır. R bileşke kuvveti aynı olduğu halde kuvvet çifti

vektörü, kuvvet çifti ile O’daki R kuvvetinin O’ya momentinin toplamıdır.RoM ′

RoM

Eşdeğer Kuvvet Sistemleri

Eğer iki kuvvet sistemi, verilen bir O noktasında aynı kuvvet-kuvvet çifti

sistemini indirgenebiliyorsa birbirine eşdeğerdir.

∑∑ ′= FF ∑ ∑ ′= oo MM

R bileşke kuvveti ve birbirine dik iseler O’daki kuvvet-kuvvet çifti sisteminin

yerine yeni bir tek R kuvveti koymak mümkün olduğu daha önce söylenmişti.yerine yeni bir tek R kuvveti koymak mümkün olduğu daha önce söylenmişti.

Buna göre bir tek kuvvet veya bileşkeye indirgenen kuvvet sistemleri R

kuvveti ile kuvvet çifti birbirine dik olan sistemlerdir.

Bu şart (1) bir noktada bileşen kuvvetler (2) düzlem kuvvetler (3) paralel

kuvvetlerden ibaret sistemlerde sağlanır.

RoM

1-Bir Noktada Kesişen Kuvvetler :

Doğrudan doğruya toplanarak R bileşke bulunur.

2-Aynı Düzlemde Kuvvetler

y

1Fr

2Fr

=

yRr

RoM

r

y

=

Ox

3Fr

=

O

xoM

O

x

Rr

=

d

RM

dRo=

3- Paralel Kuvvetlerin Tesir Çizgileri Paraleledir

Y

XO

Z 1Fr

3Fr

Y

XO

Z

Rr

iM Rx

r

kM Rz

r

RMr

==

Y

XO

Rr

rr

Z 1F

2Fr Z R

oMr