MODELLI ANALITICI DI TURBOLENZA:LO SCALARE PASSIVOAnalytical models of turbulence:

from large scales to small scales, and beyond

Marco Martins Afonso

Relatori: Roberto Festa, Andrea Mazzino

Genova, 22\5\2006

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TURBOLENZA

Equazione di Navier–Stokes:

∂tv + v · ∂v = ν∂2v + g − ρ−1∂p

(vettoriale, non lineare, non locale)

Caratteristiche:

I eccitazione su molti gradi di liberta

I presenza di forti gradienti di velocita

Fenomenologia:

I iniezione di energia a grande scala

I frammentazione su scale via via piu piccole con flusso costante

I dissipazione a piccola scala

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un tracciante

o inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un tracciante

o inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un tracciante

o inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un tracciante

o inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ

+ v · ∂θ

= κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ

+ f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile

( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

TRASPORTO DI SCALARE PASSIVO

Campo scalare passivo θ(x, t)

Esempi:

I concentrazione di un traccianteo inquinante (di densita simile al fluido)

I temperatura in assenza di fenomeni di galleggiamento

Equazione evolutiva di avvezione-diffusione forzata:

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

Vantaggi rispetto all’equazione di Navier-Stokes:

I campo incognito scalare

I equazione lineare

I descrizione locale

ma: fenomenologia molto simile ( 〈v2〉 7→ 〈θ2〉 )

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE”

v(x, t),f (x, t):

I campi stocastici gaussiani

I statisticamente stazionari, omogenei, isotropi

I δ-correlati nel tempo (nessuna memoria temporale)

I a media nulla ( 〈v(x, t)〉 = 0 = 〈f (x, t)〉 )

I e momento del second’ordine espresso spazialmente da...

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE〈f (x)f (x′)〉

∝ Θ(L− r)

VELOCITA〈vµ(x)vν(x′)〉

∼ r ξ

(r � Lv )

ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA〈vµ(x)vν(x′)〉

∼ r ξ

(r � Lv )

ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA〈vµ(x)vν(x′)〉

∼ r ξ

(r � Lv )

ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA〈vµ(x)vν(x′)〉

∼ r ξ

(r � Lv )

ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

rugosita ξ

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

rugosita ξ

{ = 0⇔ rumore bianco

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

rugosita ξ

{ = 0⇔ rumore bianco= 2⇔ flusso liscio

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

rugosita ξ

{ = 0⇔ rumore bianco= 2⇔ flusso liscio= 4/3⇔ teoria K41

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ

(r � Lv )

rugosita ξ= 4/3⇔ teoria K41∈ (0; 2)

MODELLO DI KRAICHNAN “ORIGINALE” (2)

FORZANTE (a grande scala)〈f (x)f (x′)〉 ∝ Θ(L− r)

VELOCITA (incomprimibile)〈vµ(x)vν(x′)〉 ∼ r ξ (r � Lv )

rugosita ξ= 4/3⇔ teoria K41∈ (0; 2)

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉

= C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[

∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂2θ(x, t)+f (x, t)

]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉

= C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[

∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂2θ(x, t)+f (x, t)

]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉

= C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[

∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂2θ(x, t)+f (x, t)

]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[

∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂2θ(x, t)+f (x, t)

]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[

∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂2θ(x, t)+f (x, t)

]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨

[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩

+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 +

2κ0∂2C

(θ)2

+ F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 +

2κ0∂2C

(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2 = Vµν∂µ∂νC

(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

DAL CAMPO ALLA CORRELAZIONE

FUNZIONE DI CORRELAZIONEa due punti e tempi uguali

〈θ(x, t)θ(x′, t)〉 = C(θ)2 (x, x′, t)

⟨[∂tθ(x, t)+v(x, t)·∂θ(x, t) = κ0∂

2θ(x, t)+f (x, t)]×θ(x′, t)

⟩+simm.

∂tC(θ)2 = Vµν∂µ∂νC

(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t)

7→ C(θ)2 (r)

θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t)

7→ C(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r)

θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2 = Vµν∂µ∂νC

(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2 + 2κ0∂

2C(θ)2 + F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{

α− βr2−ξ

(r < L)

γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)

γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)

γr2−d−ξ

(r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale

←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ ⇒ ζ2 = 2− ξ

SOLUZIONE STAZIONARIA-OMOGENEA-ISOTROPA

C(θ)2 (x, x′, t) 7→ C

(θ)2 (r) θ x r θx′

θ

x

r

θ

x′

0

∂tC(θ)2

= Vµν∂µ∂νC(θ)2

+ 2κ0∂2C

(θ)2

+ F

C(θ)2 (r) =

{α− βr2−ξ (r < L)γr2−d−ξ (r > L)

Intervallo inerziale ←→ Range non forzato

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ ⇒ ζ2 = 2− ξ

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}

C(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

MODIFICA DEL MODELLO INIZIALE

I velocita sempre omogenea e isotropa

I forzante disomogenea

distanza relativa r ≡ x− x′

baricentro (geometrico) z ≡ (x + x′)/2

}C

(θ)2 (r, z) funzione di 6 variabili

↓ricerca della dipendenza da r

↓sviluppo di C

(θ)2 su basi invarianti:

1. per traslazione

2. per rotazione

↓trattazione parametrica

↓problema di ricostruzione

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 = 0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 = 0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 = Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su m

I analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0

I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖

0← η

←− L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖

0← η

←− L

Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖

0← η

←−

L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η

←−

L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Scale in gioco:

‖ ←− `q −→ ‖0← η

←−

L Lv ∞

‖ ← r → ‖

← r → ‖

1. Trasformata di Fourier z 7→ q:

C(θ)2 (r, z) 7→ C

(θ)2 (r,q)

I effetto disomogeneita: comparsa scala `q ∝ q−2/(2−ξ)

`−(2−ξ)q C

(θ)2 =

0 =

Vµν∂µ∂ν C(θ)2 + F

2. Sviluppo su armoniche sferiche per r:

C(θ)2 (r,q) 7→ Cj ,m(r ,q)

I degenerazione su mI analisi settore isotropo j = 0I ipotesi Fj=0(r ,q) = F (q)Θ(L− r)

⇒ studio di C(θ)2 (r ; `q)

Sorgente puntiforme:

‖ ←−

‖ ←− `q −→ ‖0← η ←− L Lv ∞

‖ ← r →

‖ ← r → ‖

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) =

A(`q)− B(`q)I(r)↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I⇒ assenza di un’unico esponente di scala⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) = A(`q)− B(`q)I(r)

↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I⇒ assenza di un’unico esponente di scala⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) = A(`q)− B(`q)I(r)

↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I⇒ assenza di un’unico esponente di scala⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) = A(`q)− B(`q)I(r)

↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I⇒ assenza di un’unico esponente di scala⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) = A(`q)− B(`q)I(r)

↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I

⇒ assenza di un’unico esponente di scala⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) = A(`q)− B(`q)I(r)

↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I⇒ assenza di un’unico esponente di scala

⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

SOLUZIONE DISOMOGENEA

Intervallo inerziale r < L:

C(θ)2 (r ; `q) = A(`q)− B(`q)I(r)

↓ (`q→∞)

α− βr2−ξ (limite omogeneo)

presenza di funzioni Bessel I⇒ assenza di un’unico esponente di scala⇒ sovrapposizione di diverse leggi a potenza

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10

S(θ)2 (r ; `q)

r/L

`q/L = 102 →

`q/L = 10−2 →

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10

S(θ)2 (r ; `q)

r/L

`q/L = 102 →

`q/L = 10−2 →

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10

S(θ)2 (r ; `q)

r/L

`q/L = 102 →

`q/L = 10−2 →

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q

7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q

7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q

7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q

7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q 7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q 7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

PROBLEMA DI RICOSTRUZIONE

Antitrasformata q 7→ z:

dipendenza dalla forzante

I eccitazione su modi discreti:OK per (almeno) r � min `q 7→ OK anche per piccole `q

⇒ OMOGENEITA BEN RIPRISTINATA A PICCOLA SCALA

I forzante con spettro continuo

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:

{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z)

∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)[1 + O

(r2−ξ

)](s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z)

∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)[1 + O

(r2−ξ

)](s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z)

∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)[1 + O

(r2−ξ

)](s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z)

∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)[1 + O

(r2−ξ

)](s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z)

∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)[1 + O

(r2−ξ

)](s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z)

∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)[1 + O

(r2−ξ

)]

(s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

SORGENTE PUNTIFORME CASUALE

Emissione o assorbimento casuale nell’origine:{〈f (x, t)〉 = 0〈f (x, t)f (x′, t ′)〉 ∝ δ(t − t ′)δ(x)δ(x′)

Equazione non forzata (r > L→ 0):

C(θ)2 (r ; `q) ∼ G (`q)K(r)

(`q→∞)−→ γr2−d−ξ

(d=3)=⇒ C

(θ)2 (r , z) ∼ z−(8−ξ)/(2−ξ)

[1 + O

(r2−ξ

)](s � 1)

s =(z

r

)2(

r

Lv

)ξ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5 10 20 50 100 200

∂rflusso

z/r

(r/Lv )ξ = 10−1 10−2 10−3

↓ ↓ ↓

s = (z/r)2(r/Lv )ξ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5 10 20 50 100 200

∂rflusso

z/r

(r/Lv )ξ = 10−1 10−2 10−3

↓ ↓ ↓

s = (z/r)2(r/Lv )ξ

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5 10 20 50 100 200

∂rflusso

z/r

(r/Lv )ξ = 10−1 10−2 10−3

↓ ↓ ↓

s = (z/r)2(r/Lv )ξ

POSSIBILI SVILUPPI

I Paragone fra emissione casuale e costante

I Velocita disomogenea o anisotropa

I Flusso “reale” (soluzione NS) anziche stocastico (modello K)con approccio numerico

I Limite infrarosso della teoria (gruppo di rinormalizzazione,scale multiple)

POSSIBILI SVILUPPI

I Paragone fra emissione casuale e costante

I Velocita disomogenea o anisotropa

I Flusso “reale” (soluzione NS) anziche stocastico (modello K)con approccio numerico

I Limite infrarosso della teoria (gruppo di rinormalizzazione,scale multiple)

POSSIBILI SVILUPPI

I Paragone fra emissione casuale e costante

I Velocita disomogenea o anisotropa

I Flusso “reale” (soluzione NS) anziche stocastico (modello K)con approccio numerico

I Limite infrarosso della teoria (gruppo di rinormalizzazione,scale multiple)

POSSIBILI SVILUPPI

I Paragone fra emissione casuale e costante

I Velocita disomogenea o anisotropa

I Flusso “reale” (soluzione NS) anziche stocastico (modello K)con approccio numerico

I Limite infrarosso della teoria (gruppo di rinormalizzazione,scale multiple)

POSSIBILI SVILUPPI

I Paragone fra emissione casuale e costante

I Velocita disomogenea o anisotropa

I Flusso “reale” (soluzione NS) anziche stocastico (modello K)con approccio numerico

I Limite infrarosso della teoria (gruppo di rinormalizzazione,scale multiple)

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L

⇓troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completa

di tutte le scale⇓

introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale⇓

solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L

⇓troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completa

di tutte le scale⇓

introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale⇓

solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L

⇓troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completa

di tutte le scale⇓

introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale⇓

solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L

⇓troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completa

di tutte le scale⇓

introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale⇓

solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L⇓

troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completadi tutte le scale

⇓introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale

⇓solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L⇓

troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completadi tutte le scale

⇓introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale

⇓solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: INTRODUZIONE

numero di Peclet Pe =UL

κ0

⇒ # ∼(

L

η

)3

∼ Pe9/4

PROBLEMA:η � L⇓

troppi gradi di liberta attivi per una descrizione completadi tutte le scale

⇓introduzione di una lunghezza di filtraggio l nell’intervallo inerziale

⇓solita descrizione dinamica delle scale r > le parametrizzazione delle piccole scale r < l

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

θx

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

θ

l

x

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

θ

l

x

vx

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t)

∼ f (x, t)

θ

l

x

v

l

x

DESCRIZIONE A GRANDE SCALA: FILTRAGGIO

Filtro a gradino (d = 3):

Pl(s) ∝1

l3Θ(l − s)

θ(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)θ(y, t)

v(x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)v(y, t)

f (x, t) ≡∫

ddy Pl(x− y)f (y, t) ∼ f (x, t)

θ

l

x

v

l

x

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

IL PROBLEMA DELLA CHIUSURA

∂tθ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

↓

∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f − Y

Contributi delle piccole scale:

I Y = v · ∂θ − v · ∂θ

I da parametrizzare in termini di θ, v

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉

7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0

7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare

7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉

7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0

7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare

7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉 7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0

7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare

7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉 7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0

7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare

7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉 7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0 7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare

7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉 7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0 7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare

7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉 7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0 7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare 7→ qui non c’e

ESEMPI DI CHIUSURA ESATTA...

...mediante diffusivita efficace

I studio del valor medio 〈θ〉 7→ C2

I caso puramente diffusivo ξ = 0 7→ ξ 6= 0

I separazione di scala fra velocita e scalare 7→ qui non c’e

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

θ x r θx′

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

θ

l

x r θ

l

x′

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

θ

l

x r θ

l

x′

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

CORRELAZIONE DEL CAMPO FILTRATO

S(θ)2 (r) ∝ r2−ξ

θ

l

x r θ

l

x′

S(θ)esatta2 (r) =

∫d3s

∫d3s′ Pl(s)Pl(s

′)S(θ)2 (|r + s + s′|)

= S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

punto di riferimento per il seguito(quantita da approssimare partendo da un’equazione chiusa)

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 =

c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 =

c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 =

c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 = c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 = c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 = c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 = c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f

NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

BILANCIAMENTO DELL’EQUAZIONE

Y (x) = v · ∂θ(x)− v(x) · ∂θ(x)

〈Y (x)θ(x′)〉 = c

(l

r

)ξ

+ k

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2

I correzione: serie di potenze in l/r (limite inferiore: r ≥ 2l)

I parametrizzazione in termini di campi filtrati

Ipotesi (sbagliata):

Y ' 0 ⇒ ∂t θ + v · ∂θ = κ0∂2θ + f NO!!!

gli effetti delle piccole scale sulle grandi non possono esseretrascurati del tutto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ

� κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ

� κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ

� κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ

� κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ � κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ � κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η

↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ � κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ � κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ � κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto

. . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE COSTANTE

Idea: i contributi delle piccole scale possono essere parametrizzatitramite un coefficiente di diffusione efficace come nei casi esatti

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f

κeff ∝ lξ � κ0 ∝ ηξ

↖pozzo per θ alla scala diffusiva η↗

pozzo per θ alla scala di filtraggio l

Allora

S(θ)DEC

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3 + ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)4]

correzione all’ordine giusto . . . ma con coefficiente sbagliato

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto

. . . e con coefficiente giusto

CHIUSURA CON DIFFUSIVITA EFFICACE DINAMICA

Ulteriore raffinamento: introduzione di un termine aggiuntivo asecondo membro per catturare la correzione al second’ordine

∂t θ + v · ∂θ = κeff∂2θ + f − ξ

15l2∂∂ : (v∂θ)

I termine proporzionale a l escluso per parita

I coefficiente di l2 trovato analiticamente per C2 ma nonuniversale

I forma piu generale che non altera la dissipazione e l’ordineinferiore e preserva la struttura tensoriale simmetrica

I ordini piu elevati trascurati

Allora

S(θ)DED

2 (r) = S(θ)2 (r)

[1 +

1

5(2− ξ)(3− ξ)

(l

r

)2

+ O(

l

r

)ξ+2]

correzione all’ordine giusto . . . e con coefficiente giusto

10−1

100

r

100

101

S2(r

)

esatta DEC

DED

ALTRI ARGOMENTI TRATTATI

I Applicazione numerica della LES per lo scalare passivo allostrato limite atmosferico

I Assenza di correzioni logaritmiche spurie nei modellimultifrattali

I Velocita di caduta di particelle inerziali

I PDF stazionaria e tempo di rilassamento di molecolepolimeriche in flussi di Batchelor–Kraichnan nel modello FENE

ALTRI ARGOMENTI TRATTATI

I Applicazione numerica della LES per lo scalare passivo allostrato limite atmosferico

I Assenza di correzioni logaritmiche spurie nei modellimultifrattali

I Velocita di caduta di particelle inerziali

I PDF stazionaria e tempo di rilassamento di molecolepolimeriche in flussi di Batchelor–Kraichnan nel modello FENE

ALTRI ARGOMENTI TRATTATI

I Applicazione numerica della LES per lo scalare passivo allostrato limite atmosferico

I Assenza di correzioni logaritmiche spurie nei modellimultifrattali

I Velocita di caduta di particelle inerziali

I PDF stazionaria e tempo di rilassamento di molecolepolimeriche in flussi di Batchelor–Kraichnan nel modello FENE

ALTRI ARGOMENTI TRATTATI

I Applicazione numerica della LES per lo scalare passivo allostrato limite atmosferico

I Assenza di correzioni logaritmiche spurie nei modellimultifrattali

I Velocita di caduta di particelle inerziali

I PDF stazionaria e tempo di rilassamento di molecolepolimeriche in flussi di Batchelor–Kraichnan nel modello FENE

ALTRI ARGOMENTI TRATTATI

I Applicazione numerica della LES per lo scalare passivo allostrato limite atmosferico

I Assenza di correzioni logaritmiche spurie nei modellimultifrattali

I Velocita di caduta di particelle inerziali

I PDF stazionaria e tempo di rilassamento di molecolepolimeriche in flussi di Batchelor–Kraichnan nel modello FENE

ELENCO DELLE PUBBLICAZIONI

I M. Martins Afonso & M. Sbragaglia, “Inhomogeneous anisotropicpassive scalars”, J. Turb. 6 (10), 1–13 (2005)

I A. Celani, M. Martins Afonso & A. Mazzino, “Passive scalar turbulencefrom a point source”, in sottomissione a J. Fluid Mech.

I M. Martins Afonso, A. Celani, R. Festa & A. Mazzino,“Large-eddy-simulation closures of passive scalar turbulence: a systematicapproach”, J. Fluid Mech. 496, 355–364 (2003)

I A. Celani, M. Martins Afonso & A. Mazzino, “Coarse-graineddescription of a passive scalar”, in stampa su J. Turb.

I M. Antonelli, M. Martins Afonso, A. Mazzino & U. Rizza, “Structure oftemperature fluctuations in turbulent convective boundary layers”, J.Turb. 6 (35), 1–34 (2005)

I U. Frisch, M. Martins Afonso, A. Mazzino & V. Yakhot, “Doesmultifractal theory of turbulence have logarithms in the scalingrelations?”, J. Fluid Mech. 542, 97–103 (2005)

I A. Celani, M. Martins Afonso & A. Mazzino, “Falling velocity of inertialparticles”, in preparazione

I M. Martins Afonso & D. Vincenzi, “Nonlinear elastic polymers inrandom flows”, J. Fluid Mech. 540, 99–108 (2005)