Metodo di separazione di variabili e applicazionedelle serie di Fourier alle soluzioni di alcune EDP

Docente:Alessandra Cutrı

A. Cutrı 29-10-2012 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

abbiamo visto la volta scorsa che succede nel caso diequazione omogenea cioe per f (x , t) = 0:Ricapitoliamo quanto accade per l’equazione omogenea:

utt(x , t) = a2uxx(x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

(1)

Metodo di separazione di variabiliu(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo:

X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′′(t)

T (t)= K

A. Cutrı 29-10-2012 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

abbiamo visto la volta scorsa che succede nel caso diequazione omogenea cioe per f (x , t) = 0:Ricapitoliamo quanto accade per l’equazione omogenea:

utt(x , t) = a2uxx(x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

(1)

Metodo di separazione di variabiliu(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo:

X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′′(t)

T (t)= K

A. Cutrı 29-10-2012 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

abbiamo visto la volta scorsa che succede nel caso diequazione omogenea cioe per f (x , t) = 0:Ricapitoliamo quanto accade per l’equazione omogenea:

utt(x , t) = a2uxx(x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

(1)

Metodo di separazione di variabiliu(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo:

X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′′(t)

T (t)= K

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Riassunto Equazione delle onde unidimensionale omogenea

imponendo poi le condizioni al contorno otteniamo su X :

X (0) = X (L) = 0

Per avere soluzioni X (x) 6≡ 0 l’unica possibilita e che K < 0anzi

K = −n2π2

L2n intero autovalore

X ′′(x) +n2π2

L2X (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

⇒ X (x) = cn sin(nπ

Lx)

T (t) deve soddisfare:

T ′′(t) + a2 n2π2

L2T (t) = 0

quindi

T (t) = An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)

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Riassunto Equazione delle onde unidimensionale omogenea

imponendo poi le condizioni al contorno otteniamo su X :

X (0) = X (L) = 0

Per avere soluzioni X (x) 6≡ 0 l’unica possibilita e che K < 0anzi

K = −n2π2

L2n intero autovalore

X ′′(x) +n2π2

L2X (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

⇒ X (x) = cn sin(nπ

Lx)

T (t) deve soddisfare:

T ′′(t) + a2 n2π2

L2T (t) = 0

quindi

T (t) = An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)

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Quindi abbiamo che

un(x , t) = sin(nπ

Lx) {

cnAn cos(anπ

Lt)

+ cnBn sin(anπ

Lt)}

non necessariamente questa soluzione soddisfa le condizioni diCauchy u(x , 0) = ϕ(x) ; ut(x , 0) = g(x)

Equazione lineare ⇒ somma ( e serie -se converge- ) disoluzioni e soluzione

Cerchiamo soluzioni del problema ?? della forma:

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) {

An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)}

con An := cnAn e Bn := cnBn da determinare imponendo lecondizioni di Cauchy

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Quindi abbiamo che

un(x , t) = sin(nπ

Lx) {

cnAn cos(anπ

Lt)

+ cnBn sin(anπ

Lt)}

non necessariamente questa soluzione soddisfa le condizioni diCauchy u(x , 0) = ϕ(x) ; ut(x , 0) = g(x)

Equazione lineare ⇒ somma ( e serie -se converge- ) disoluzioni e soluzione

Cerchiamo soluzioni del problema ?? della forma:

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) {

An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)}

con An := cnAn e Bn := cnBn da determinare imponendo lecondizioni di Cauchy

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u(x , 0) = ϕ(x) implica

∞∑n=1

An sin(nπ

Lx)

= ϕ(x)

quindi An sono i coefficienti di Fourier bnϕ della funzione ϕprolungata dispari nell’intervallo (−L, L) e poi 2L−periodica:

An =2

L

∫ L

0ϕ(x) sin

(nπ

Lx)

dx

ut(x , 0) = g(x) implica

∞∑n=1

sin(nπ

Lx) {

Bnanπ

L

}= g(x)

quindi BnanπL sono i coefficienti di Fourier bng della funzione g

prolungata dispari nell’intervallo (−L, L) e poi 2L−periodica:

Bnanπ

L= bng =

2

L

∫ L

0g(x) sin

(nπ

Lx)

dx

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Dunque An = bnϕ e Bn = bngL

nπa

Quindi la (vedremo che e unica!) soluzione del problemaomogeneo (??) e

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) {

bnϕ cos(anπ

Lt)

+ bng

L

nπasin

(anπ

Lt)}

Esempio: L = π, g(x) = 0, ϕ(x) = 4 sin(3x)

Abbiamo bnϕ = 0 ∀n 6= 3 e b3ϕ = 4 edovviamente bng ≡ 0 ∀n quindi

u(x , t) = 4 sin(3x) cos(3at)

Esercizio: Considerare L = π, g(x) = 0,

ϕ(x) =

{x x ∈ (0, π

2 )π − x x ∈ (π

2 , π)

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Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

Consideriamo l’equazione non omogenea

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

(2)

La soluzione di (??) e somma della soluzione di (??) e di unasoluzione particolare del problema non omogeneo con dati diCauchy nulli, cioe di

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ut(x , 0) = 0 x ∈ [0, L]

(3)

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Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

supponiamo f (x , t) sviluppabile in serie di Fourier rispetto allavariabile x :

Prolunghiamo f (x , t) in modo dispari in (−L, L)e poi 2L−periodica e indichiamo con fn(t) icoefficienti di Fourier dello sviluppo (rispetto ax) di tale funzione:

fn(t) =2

L

∫ L

0f (x , t) sin

(nπ

Lx)

dx

Quindi:

f (x , t) =∞∑

n=1

fn(t) sin(nπ

Lx)

Cerchiamo se esiste una soluzione di (??) della forma

u(x , t) =∞∑

n=1

un(t) sin(nπ

Lx)

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Sostituendo in (??) troviamo:

utt =∞∑

n=1

u′′n(t) sin(nπ

Lx)

uxx = −∞∑

n=1

un(t) sin(nπ

Lx) n2π2

L2

un soddisfa quindi:

u′′n(t) = −a2 n2π2

L2 un(t) + fn(t)un(0) = u′n(0) = 0

Prob. di Cauchy per un’ Eq. diff. ordinaria lineare del IIordine a coefficienti costanti NON omogenea

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Richiamo soluzioni EDO lineare non omogenea

Dobbiamo risolvere

u′′n(t) = −α2nun(t) + fn(t)

un(0) = u′n(0) = 0

dove αn = anπL .

La soluzione e

un(t) =1

αn

∫ t

0sin(αn(t − τ))fn(τ)dτ

come si prova utilizzando il metodo di variazione dellecostanti:

imponiamo che y(t) = c1(t) cos(αnt) + c2(t) sin(αnt) siasoluzione dell’EDO (cos(αnt) e sin(αnt) sono le sol.indipendenti dell’eq. omogenea) troviamo:{

c ′1(t) cos(αnt) + c ′2(t) sin(αnt) = 0−αnc

′1(t) sin(αnt) + αnc

′2(t) cos(αnt) = fn(t)

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Quindi

c ′1(t) = − 1

αnfn(t) sin(αnt) c ′2(t) =

1

αnfn(t) cos(αnt)

c1(t) =

∫ t

0− 1

αnfn(τ) sin(αnτ)dτ c2(t) =

∫ t

0

1

αnfn(τ) cos(αnτ)dτ

ed otteniamo:

y(t) =(− cos(αnt)

αn

∫ t0 fn(τ) sin(αnτ)dτ + sin(αnt)

αn

∫ t0 fn(τ) cos(αnτ)dτ

)= 1

αn

∫ t0 fn(τ)(sin(αnt) cos(αnτ)− cos(αnt) sin(αnτ))dτ

= 1αn

∫ t0 fn(τ) sin(αn(t − τ))dτ = un(t)

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Soluzione particolare problema non omogeneo

Quindi la soluzione particolare di

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ut(x , 0) = 0 x ∈ [0, L]

(4)

e

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) L

anπ

∫ t

0sin(

anπ

L(t − τ))fn(τ)dτ

dove

fn(t) =2

L

∫ L

0f (x , t) sin

(nπ

Lx)

dx

Sommando u(x , t) alla soluzione del problema omogeneo (conf (x , t) = 0) si ottiene la soluzione del problema diCauchy-Dirichlet completo

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Unicita della soluzione

Dobbiamo provare che e unica la soluzione del problema:

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

(5)

Dim. per ASSURDO

Supponiamo esistano due soluzioni u1(x , t) e u2(x , t) di (??).

Consideriamo V (x , t) := u1(x , t)− u2(x , t) che soddisfa:

Vtt(x , t) = a2Vxx(x , t) x ∈ (0, L) t > 0V (0, t) = V (L, t) = 0 ,∀t > 0 V (x , 0) = Vt(x , 0) = 0 ,∀x ∈ [0, L]

la tesi e provata se dimostriamo che V (x , t) ≡ 0

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Dimostrazione unicita: Stima energia

Consideriamo l’energia associata al problema:

E (t) =

∫ L

0(Vt)

2 + a2(Vx)2dx

E (t) e COSTANTE infatti:

E ′(t) =

∫ L

02VtVtt + a22VxVxtdx

ma ∫ L

0VxVxtdx = VxVt |L0 −

∫ L

0VxxVtdx

ed essendoV (0, t) ≡ 0 ⇒ Vt(0, t) = 0

V (L, t) ≡ 0 ⇒ Vt(L, t) = 0

si ha

E ′(t) = 2

∫ L

0Vt [Vtt − a2Vxx ]dx = 0

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essendo V (x , 0) ≡ 0 ⇒ Vx(x , 0) = 0,

E (t) = E (0) =

∫ L

0(Vt(x , 0))2 + a2(Vx(x , 0))2dx = 0

Si ha Vt(x , t) ≡ 0 e Vx(x , t) ≡ 0 cioe ∇V ≡ 0 e dunqueV (x , t) =costante = V (x , 0) = 0

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Equazione del calore per una sbarra

Equazione del calore unidimensionale che descrive come variala temperatura u(x , t) di una sbarra di lunghezza L isotropa eomogenea

La legge di Fourier(sperimentale) in questo caso modello:

∂Q(x , t)

∂t= −K

∂u

∂x

Q(x , t) descrive il calore nel punto x al tempo t, il − indicache il calore va da punti a temperatura piu alta verso punti atemperatura piu bassa

Se consideriamo un elemento ∆x di sbarra, il flusso di caloreche passa attraverso ∆x nell’intervallo di tempo ∆t e:

∆Q(x , t)−∆Q(x + ∆x , t) = K [ux(x , t)− ux(x + ∆x , t)]∆t= Kuxx(x , t)∆x∆t + o(∆x)∆t

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Questo calore produce variazione di temperatura nell’elemento∆x della sbarra:

∆Q(x , t)−∆Q(x + ∆x , t) = (ut(x , t)∆t + o(∆t))cρ∆x

(ρ e la densita della sbarra e c e il calore specifico )

l’equazione di bilancio diviene dunque:

Kuxx(x , t)∆x∆t + o(∆x)∆t = (ut(x , t)∆t + o(∆t))cρ∆x

dividendo per ∆x∆t e poi mandando ∆x → 0 e ∆t → 0 siottiene:

ut(x , t) = a2uxx(x , t)

(dove a2 := Kcρ e il coefficiente di conduzione termica)

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Equazione del calore con estremi a temperatura fissata

I caso: estremi della sbarra siano mantenuti a temperaturacostante pari a zero gradi Allora

ut(x , t) = a2uxx(x , t) x ∈ (0, L) , t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = g(x) x ∈ (0, L) (temperatura iniziale)

(6)

Soluzione con Metodo separazione variabili:

Cerchiamo u(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo: X (x)T ′(t) = a2X ′′(x)T (t) quindi

X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′(t)

T (t)= K

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Le condizioni X (0) = X (L) = 0 impongono che K < 0 comenel caso dell’equazione delle onde (si ha lo stesso problemaper X (x)!)

anzi

K = −n2π2

L2n intero autovalore

X ′′(x) +n2π2

L2X (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

⇒ X (x) = cn sin(nπ

Lx)

Mentre T ′(t) = −n2π2a2

L2 T (t), implica

T (t) = e−n2π2a2

L2 t

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Per soddisfare u(x , 0) = g(x), a meno che g non sia del tiposin

(nπL x

), e necessario il principio di sovrapposizione di

soluzioni:

u(x , t) =∞∑

n=1

Cne− n2π2a2

L2 t sin(nπ

Lx)

Cn si deteminano sviluppando in serie di Fourier la funzione gprolungata prima dispari in (−L, L) e poi 2Lperiodica:

u(x , 0) =∞∑

n=1

Cn sin(nπ

Lx)

= g(x)

⇒

Cn =2

L

∫ L

0g(x) sin

(nπ

Lx)

dx

dunque Cn coincidono con i coefficienti di Fourier bng di taleprolungamento.

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Problemi piu generali

E’ possibile considerare estremi a temperatura variabile neltempo, oppure mettere una condizione di scanbio di calorecon l’ambiente circostante,condizioni miste, . . .

Equazione di diffusione: diffusione di un gas in un tubo vuotoo riempito con una sostanza porosa: u(x , t) rappresenta laconcentrazione di gas nel punto x al tempo t:

La legge di Nernst (analoga a quella di Fourier)conduce ad un’equazione per u(x , t) uguale aquella del calore dove a2 = D

c dove D :coefficiente di diffusione e c :coefficiente diporosita

Che succede se la sbarra e molto lunga e la temperatura nelpunto x non risente delle temperature agli estremi dellasbarra? Si puo considerare la sbarra di lunghezza infinita, male condizioni al bordo scompaiono e la serie di Fourier non puopiu essere usata!⇒Trasformata di Fourier

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