Penyelesaian :

1

Free Body

a. Bentang A - B

q1 = 3

Q1 = x q1 x L

= x 3 x 6

= 9 KN

7 q L 3

(EI1)

7 * 3 * 6 3

• (2EI) EI EI

8 q L 3

(EI1)

8 * 3 * 6 3

• (2EI) EI

0.5

0.5

KN/m

α A =

α A =

360

360

4536

720=

63

10=

Menentukan Sudut Belahan Karena Muatan (Metode Clapeyron) di Setiap Tumpuan(α)

5184=

360 720

α B1 =360

α B1 = =7.2

EI

P1=7 kN

q1=3kN/m

q2 = 4 kN/m

6 4 3 2 2 2

EI2EI 2EI

P1=7 kN

q1=3kN/m

q2 = 4 kN/m

EI2EI 2EI

MA

MB1

MB2 MC1 MC2

a AaB1 aB2 a C1 a C2

aD

AB C D

6 4 3 2 2 2

6

2EI

MA

MB1

a A aB1

AB

27.27°

27.27°

Q1=9 kN

24

b. Bentang B - C

P = 7

a = 4 m

b = 3 m

L = 7 m

P b (L² - b²)

6

7 • 3 • ( 7 ² - 3 ² )

6 • EI 7

42 EI

20

EI

P a (L² - a²)

6

7 • 4 • ( 7 ² - 4 ² )

6 • EI 7

42 EI

22

EI

C. Bentang C - D

q2 = 4 a1 = 2 m

L = 6 m a2 = 4 m

Q2 = x q1 x Lb b1 = 4 m

= x 4 x 2 b2 = 2 m

= KN

Karena a1 = b2 dan a2 = b1

Maka :

1 1 4 b1

6 (EI3L) 2 4 b2- χ ]

q

8

α C2 = x [ L² χ²

α C1 =

KN/m

α C2 = α D

=

α C1 =924

α B2 =

α C1 =

(EI2L)

α B2 =

α B2 =840

KN

α B2 =

(EI1L)

α C1

P1=7 kN

4 3

EI

MB2 MC1

aB2 a C1

B C

2 2

2EI

MC2

a C2aD

C D

2

1 2 2 1 4

6 (2EI)• 6 2 4

1 2 2 1 4

2 4

72 EI

EI

3 EI

2

a. Sudut Belahan di Titik A

MA • L1 MB • L1

3 (EI1) 6 (EI1)

MA • 6 MB • 6

3 (2EI) 6 (2EI)

6 MA 6 MB

6 EI 12 EI

z δ

L h

dimana:

α = Sudut belahan karena muatan

z = Zetting (penurunan)

L = Panjang Bentang

β = Sudut belahan karena momen

δ = Sudut belahan karena gaya

h =

Sehingga:

6 MA 6 MB

EI 6 EI 12 EI

60 MA 30 MB

EI 60 EI 60 EI

→ MA + 30 MB = …………… Pers. 1378

Karena tidak ada zetting (penurunan) di semua tumpuan, maka

persamaan yang digunkan yaitu:

α = β

63

10= +

378= +

60→ 378 = 60 + 30MA MB

α + = β +

→

60

624

α D

)

72

α C2 =

224 - 68

α C2 =

(

β A = +

= +

]}

4

α C2 = x4

- [ 6 2 - 2

4 - 4 ]α C2 = x {[ 6

Menentukan Besar Sudut Belahan di Setiap Titik Akibat Momen (β)

=26

= +

q1=3kN/m

2EI

MA

MB1

ßAB1

AB

27.27°

27.27°

Q1=9 kN

ß

6

24

b. Sudut Belahan di Titik B

MB • L1 MA • L1

3 (EI1) 6 (EI1)

MB • 6 MA • 6

3 (2EI) 6 (2EI)

6 MB 6 MA

6 EI 12 EI

MB • L2 MC • L2

3 (EI2) 6 (EI2)

MB • 7 MC • 7

3 (EI) 6 (EI)

7 MB 7 MC

3 EI 6 EI

20 6 MB 6 MA 7 MB 7 MC

EI 6 EI 12 EI 3 EI 6 EI

12 MB 6 MA 28 MB 14 MC

12 EI 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI

→ + = 6 MA + 12 MB + 28 MB + 14 MC

→ 6 MA + 40 MB + 14 MC = …………… Pers. 2

c. Sudut Belahan di Titik C

MC • L2 MB • L2

3 (EI2) 6 (EI2)

MC • 7 MB • 7

3 (EI) 6 (EI)

7 MC 7 MB

3 EI 6 EI

+

→ + = + +

86.4 240

326.4

+86.4 240

α + βB1 α B2 B1 + β B2=

β B2 = +

= +

= +

=

β B1 = +

= +

= +

= +

7.2

EI

+

+ = + +

β C1 = +

P1=7 kN

EI

MB2 MC1

B2 C1

B Cß

ß ß

4 3

2EI

MC2

C2D

C Dß ß

2 2 2

MC • L3 MD • L3

3 (EI3) 6 (EI3)

MC • 6 MD • 6

3 (2EI) 6 (2EI)

6 MC MD = 0 Karena dudukan rol

6 EI

22 7 MC 7 MB 6 MC

EI 3 EI 3 EI 6 EI 6 EI

14 MC 7 MB 6 MC

6 EI 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI

→ + = 14 MC + 7 MB + 6 MC + 0

→ 7 MB + 20 MC = …………… Pers. 3

d. Elimunasi persamaan 1 dan persamaan 2

MA + 30 MB = x 1

6 MA + 40 MB + 14 MC = x 10

MA + MB =

MA + MB + 140 MC = -

MB MC =

→ MB + MC = …………… Pers. 4

MB = - MC …………… Pers. 4

e. Elimunasi persamaan 2 dan persamaan 3

MA + 40 MB + 14 MC = x 20

7 MB + 20 MC = x 14

MA + MB + MC =

MB + MC = -

MA MB =

→ MA + MB = …………… Pers. 5

MB = - MA …………… Pers. 5

( - MA )=MB

702 3952 120

3952 120

702

702 3952

120 702 3952

6

280

280

120

-370 -2886

370 140 2886

184

326

→98 2576

120 800 6528

370 2886 140

-140

60 378

326.4

→60 378

326460

30

400

132 52

184

260

+ 0

β C2α C1 + α C2 = β C1 +

+ +

→132

+52

= + +

+

= +

= + 0

+ = +

β C2 =

Subtitusi persamaan 5 ke persamaan 1

→ MA + 30 MB =

→ MA + MB =

( - MA )

→ MA + - MA =

MA = -

MA =

MA = kNm

Subtitusi MA ke persamaan 1

MA + 30 MB =

• + 30 MB =

+ 30 MB =

30 MB =

MB = kNm

Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 3

→ MB + 20 MC =

→ MB + MC =

( - MB )

→ MB + - MB =

MB = -

MB =

MB = kNm

Subtitusi MB ke persamaan 3

MB + 20 MC =

• + 20 MC =

+ 20 MC =

20 MC =

MC = kNm

Sehingga diperoleh :

MA = kNm

MB = kNm

MC = kNm

MD = 0 → Tumpuan rol

7 184

7 4.9782 184

34.847 184

149

7.45763

9.2

9.2

0.35 20.61 2.64 9.2

→ 0.35 MB + (2886 370

) =140

228.65 378

149

4.97819

-2.29 9.2

-2.29 -11.4

4.978

20.61

3.8109

4.9782

7.458

Karena Semua MOMEN bernilai positif maka asumsi awal arah

momen benar

7 184

0.35

1.829 12.6 5.630

1.829 6.970

3.811

60 378

60 3.8109 378

→ = 12.6( )

2 5.630 0.171 12.6

2 MA +3952 120

702

60 378

2 12.6

3

Free Body

a. Bentang A - B

q1 = 3

Q1 = x q1 x L

= x 3 x 6

= 9 KN

∑MB = 0

RA • 6 - Q1 • 2 = 0

RA • 6 - 9 • 2 = 0

6 RA - = 0

6 RA = 18

RA = 3 kN'

∑MA = 0

- RB1 • 6 + Q1 • 4 = 0

RB1 • 6 - 9 • 4 = 0

6 RB1 - = 0

6 RB1 = 36.0

RB1 = 6 kN'

b. Bentang B - C

P = 7 kN'

L = 7 m

∑MC = 0

RB2 • 7 - P • 3 = 0

RB2 • 7 - 7 • 3 = 0

7 RB2 - = 0

7 RB2 = 21

RB2 = 3 kN'

21

KN/m

0.5

0.5

Menghitung Reaksi Perletakan

18

36

P1=7 kN

q1=3kN/m

q2 = 4 kN/m

EI2EI 2EI

MA

MB1

MB2 MC1 MC2

a AaB1 aB2 a C1 a C2

aD

AB C D

6 4 3 2 2 2

q1=3kN/m

2EI

MA

MB1

a A aB1

AB

27.27°

27.27°

Q1=9 kN

RARB1

6

24

P1=7 kN

EI

MB2 MC1

aB2 a C1

B CRB2 RC1

4 3

∑MB = 0

- RC1 • 7 + P • 4 = 0

RC1 • 7 - 7 • 4 = 0

7 RC1 - = 0

7 RC1 = 28

RC1 = 4 kN'

c. Bentang C - D

q2 = 4 Q2 = q1 x Lb

L = 6 m = 4 x 2 = KN

∑MD = 0

RC2 • 6 - Q2 • 3 = 0

RC2 • 6 - 8 • 3 = 0

6 RC2 - = 0

6 RC2 = 24

RC2 = 4 kN'

∑MC = 0

- RD • 6 + Q2 • 3 = 0

RD • 6 - 8 • 3 = 0

6 RD - = 0

6 RD = 24

RD = 4 kN'

- MB

-

= kN'

- MA -

- -

= kN' + kN'

= kN'

- -

- -

= kN' + kN'

= kN'

+ (

L1(

= 6 + (4.978 3.8109

)6

) (

28

RB1

( RC1MC

+MA

L1

+

+3.811

6(

24

24

) + ( RC2

)4.97819

+4.978 7.458

)7

RB2 +MB

)L2

MC

3

+MC MD

)L2 L3

4 +7.458 4.97819

) + 4 +7.458 0.0

)7 6

( (

+

KN/m

8

MB=

9.597

=

RC

8.840

=

=

2.805

RA RA

3

RB = +MB

6.195 2.646

4.354 5.243

q2 = 4 kN/m

2EI

MC2

a C2aD

C DRC2 RD

2 2 2

- MC

-

= kN'

Dari hasil perhitungan reaksi perletakan maka diperoleh nilai lintang disetiap titik tumpuan yaitu:

SFA =

SFB1 =

SFB2 =

SFC1 =

SFC2 =

SFD =

RD = RD +MD

L3

= 4 + (0.0 7.45763

)6

2.757

2.805

-6.195

2.6458

-4.354

5.2429

-2.757

P1=7 kN

q1=3kN/m

q2 = 4 kN/m

EI2EI 2EI

MA

MB1

MB2 MC1 MC2

a AaB1 aB2 a C1 a C2

aD

AB C D

2.085 kN

RB RC RD8.84 kN

9.60 kN2.76 kN

RA

3.811 kN m4.98 kN m

4.98 kN m 7.46 kN m

7.46 kN m

6 4 3 2 2 2

P1=7 kN

q1=3kN/m

q2 = 4 kN/m

EI2EI 2EI

MA

MB1

MB2

MC1 MC2

AB C D

3 kN

RB2 RC2 RD

6 kN 4 kN 4 kN

RA3.811 kN m

4.98 kN m

4.98 kN m

7.46 kN m

7.46 kN m

RB1 RC1

3 kN 4 kN

3.811/6 kN/m

3.811/6 kN/m

4.98/7 kN/m

4.98/7 kN/m

7.46/6 kN/m

7.46/6 kN/m

M

7.46 kN m

C2

7.46 kN m

MA 3.811 kN m MB2 4.98 kN m

MB1

4.98 kN m

4.98/6 kN/m

7.46/7 kN/m4.98/6 kN/m

MC1

7.46 kN m

7.46/7 kN/m

6 4 3 2 2 2

4

a. Bentang A - B

Free Body Untuk Keseluruhan

qx : q1 = x : L1 m

qx : 3 = x : 6 m

6 qx = 3 x

3 x

qx = x

Qx = ½ . qx . x -

= ½ . x . x

=

Mx = ( RA . x ) - ( Qx . x )

Mx = ( . x ) - ( x² . x )

Mx = x - x³

Untuk memperoleh Lintang dari beban segi tiga maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas

SFx = - x²

Catatan: jarak dimulai dari bagian segitiga yang luasnya terkecil 0 m ≤ x ≤ 6m

MA = kN m

SFA = RA = kN'

Mmax = Jika SFx = 0 → Dari Persamaan SFx = - x²

0 = - x²

x² =

x² = -

x = m

Mmax Berada pada Jarak m dari titik A

Sehingga jika disubtitusi ke persamaan

Mx = ( RA . x ) - ( Qx . x )

Mmax = ( . x ) - ( x² . x )

= x - x³

= ( . ) - ( . ( 3 ))

Mmax = kN m

2 3 4Jarak (m)

3.000

0.083

Persamaan Momen pada Beban Merata Setiap Bentangan

0.25 x²

=qx6

0.5

0.5

1/3

1/33.0 0.25

3

3.000

3.000

3.000

3

5 6

0.00 2.917 5.33333 6.75

1/3

3 0.25 1/3

Mx (kN/m)

SFx (kN)

3.46

6.667 4.5833

0.250

0.250

0.250

12

3.464

0.00

3.000 2.75 2 0.75 -1 -3.25 -6

SFx =DMx

dx 0.250

0 1

3.463 3.46

6.928

0.083

0.00

3.0

0.083

q1=3kN/m

2EI

AB

Q1=9 kN

6

24

MB1 = (RA . L1) - ( Q1 . ( . L1))

= ( . 6 ) - ( 9 . ( . 6 ))

= kN m

SFB1 = - RB1 = kN'

b. Bentang B - C

Free Body

P = 7

L = 7 m

MB2 = - (RC1 . L2) + (P1 . 4 )

= ( . 7 ) + ( 7 . 4 )

= kN m

MC1 = (RB2 . L2) - (P1 . 3 )

= ( . 7 ) - ( 7 . 3 )

= kN m

Mmax = RB2 . 4

= . 4

= kN m

SFB2 = RB2 = kN'

SFC1 = - RC1 = kN'

c. Bentang C - D

q2 = 4 kN/m

Qx = . q2 . x 2

Qx = . 4 . x 2

Qx = 2 x 2

Mx = (RC2 . ( 2 + x )) - Qx

Mx = ( 4 . ( 2 + x )) - 2 x 2

Mx = + 4 x - 2 x 2

Untuk memperoleh Lintang dari beban segi empat maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas

SFx = 4 - 4 x

0 m ≤ x ≤ 2m

Catatan: jarak dimulai dari bagian terdekat dari C

KN

1/3

3 1/3

0.00

-6.0

1/2

8

SFx =DMx

dx

3.0

12

4.0

3.0

0

3.0

-4.0

0

1/2

Jarak (m) 0 1 2

Mx (kN/m) 8.00 10.00 8.00

SFx (kN) 4.000 0.000 -4.000

P1=7 kN

EI

B C

4 3

q2 = 4 kN/m

2EI

C DQx = 8kN

2 2 2

Mmax = Jika SFx = 0 → Dari Persamaan SFx = - x

0 = - x

x =

x =

x = m dari titik awal beban

Mmax Berada pada Jarak m dari titik C

Sehingga jika disubtitusi ke persamaan

Mx = (RC2 . ( 2 + x )) - Qx

Mmax = ( 4 . ( 2 + 1 )) - 2 . 1 2

Mmax = kN m

SFC2 = RC2 = kN'

SFD = - RD = kN'

5

4.0 4.0

4.0 4.0

4.000 4.000

1

1.000

3.00

10.0

4.0

4.0

Menentukan Momen Maksimum Secara Keseluruhan

A B C D

3.811 kN m

4.978 kN m

7.458 kN m

0 kN m

BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)

A B C D

3.811 kN m

4.978 kN m

7.458 kN m

0 kN m

346

6.928 kN m

12 kN m

10 kN m

300

BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD) FREE BODY

a. Bentang A - B

+ y + y

+

→ + y + + y =

→ y = -

→ y =

→ y = kN m

Mmax = Mmax Free body - y

= -

= kN m

b. Bentang B - C

+ y + y

+

→ + y + + y =

→ y = -

→ y =

→ y = kN m

3.8109

2)( x 3.464 )( + ( (

4.978) x 2.536 )

2

= ( (3.8109

) x 6.000 )2

4.978

26.4 6.9282 25.25 5.072 105.47

12 105.47 51.65

12 53.818

4.4848

6.928 4.485

2.443

( (4.9782

) x )2 2

= ( (4.9782 7.458

) x 7.0 )2

4.0 ) + ( (7.458

) x 3.0

39.83 8 44.75 6 174.1

14 174.1 84.57

14 89.53

6.395

A B

3.811 kN m

4.978 kN m

y

6

3.464

B C

4.978 kN m

7.458 kN m

y

4

7

3

Mmax = Mmax Free body - y

= -

= kN m

c. Bentang C - D

6 y =

y = kN m

Mmax = Mmax Free body - y

= -

= kN m

22.373

3.7288

→

→

10.0 3.729

6.271

12.0 6.395

5.605

6

7.458=

3

yC D

7.458 kN m

0 kN m

y

6 3

6

600 400 300 200 200 200

AB C D

A B C D

q1=3kN/m

P1=7 kN

q2 = 4 kN/m

2.805 kN

-6.195 kN

2.646 kN

-4.354 kN

5.243 kN

-2.757 kN

A B C D

-3.811 kN m

-4.978 kN m

-7.458 kN m

0 kN m

2.443 kN m

5.605 kN m

6.271 kN m

346

300SHEARING FORCE DIAGRAM (SFD)

BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)

- --

+ ++

+++

---