ESTIMASI
Salah satu aspek untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran)
Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga
yang dinamakan dengan estimator (penaksir) θ̂
Ciri-ciri estimator / penaksir yang baik1. Tak bias, jika rata-rata semua harga akan
sama dengan θ, E( )= θ2. Efisien, jika memiliki varians yang minimun3. Konsisten, jika θ yang dihitung berdasarkan
sampel acak berukuran n semakin besar n menyebabkan mendekati θθ̂
θ̂θ̂
θ̂
menyebabkan mendekati θθ
θθ̂n
lim=
∞→
Contoh :
1. rata-rata dari distribusi sampling rata-rata maka rata-rata sampel penaksir tak bias
µµx
=x
2. rata-rata dari dist sampling rata-rata, dan juga tetapi
sedemikian hingga dist rata-rata memiliki varians lebih kecil dari dist median sehingga rata-rata sampel sebagai penaksir yang efisien
µµ Med =n
σσ =s
n
σ 1.2533σMed=
µµx
=
sampel sebagai penaksir yang efisien
CARA MENAKSIR
1. Interval Estimations (Interval taksiran)
dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu, harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut (A < θ < B)(A < θ < B)
2. Point Estimations (titik taksiran)
harga parameter hanya ditaksir dengan satu harga yakni harga sitatistik sampelnya θθ̂ =
Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisin kepercayaan dengan 0 < γ < 1
Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan γ maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan
P(A < θ < B) = γ
A θ B
P(A < θ < B) = γ
dengan A dan B fungsi dari statistik, yang berarti peluangnya adalah γ bahwa interval yang sifatnya acak yang terbentang dari A ke B akan berisikan θatau 100 γ % percaya bahwa parameter θakan berada dalam interval A dan B
I. MENAKSIR RATA-RATA, µ
• Titik taksiran untuk µ
populasi dengan parameter rata-rata µ akan ditaksir, diambil sampel yang dihitung nilai statistik . Titik taksiran untuk µ adalah
• Interval taksiran untuk µ
x x
a) Simpangan baku diketahui, populasi normalmaka 100γ % interval kepercayaan untuk µ
adalah
)1.(..........n
σzxµ
n
σzx
γγ21
21 +<<−
b) Simpangan baku tidak diketahui, populasi normal maka 100γ % interval kepercayaan untuk µ adalah
dengan tp = niali t dari daftar dist t, p = ½ (1 + γ)dk = derajat kebebasan = n – 1
Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :
)2.(..........n
stxµ
n
stx pp +<<−
Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :
1N
nN
n
stxµ
1N
nN
n
sx
1N
nN
n
σzxµ
1N
nN
n
σzx
pp
γγ
:menjadi )2(
:menjadi (1)
21
21
−−+<<
−−−
−−+<<
−−−
t
Contoh :1. Ukuran berat dari sebuah sampel acak yang terdiri
dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan rerata sebesar 0.824 kg dan simpangan baku 0.042 kg tentukan batas interval bila 95% bagi berat rata-rata semua bola !
Penyelesaian : Penyelesaian : n = 200 s = 0.042 Berarti simpangan baku σ tidak diketahui, diasumsikan
normal maka dengan 95% interval kepercayaan adalah ……… (silahkan coba dihitung)
824.0=x
2. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari ibu-ibu rumah tangga. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 ibu rumah tangga telah dipilih dari populasi ibu rumah tangga. Dari ke-100 tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp 190.600 dengan simpangan baku Rp 10.600. Hitung 98% interval kepercayaan untuk pengeluaran rata-rata untuk pembelian bahan makanan per minggu dari semua ibu-ibu rumah tangga (silahkan coba, sebagai latihan)
II. MENAKSIR PROPORSI, Ppopulasi binom berukuran N dimaka terdapat
proporsi P untuk peristiwa A � Titik taksiran untuk P
titik taksiran untuk P adalah dg x banyaknya peristiwa A
� Interval taksiran untuk P
n
xp̂ =
� Interval taksiran untuk P 100γ% interval kepercayaan P adalah
dengan q = 1 – p n
xp̂ =
n
pqzp̂P
n
pqzp̂
γγ21
21 +<<−
Contoh : Sebuah sampel acak yang terdiri 100 penggarap
sawah, 60 orang penggarap di atas ternyata juga merupakan pemilik sawah yang bersangkutan. Tentukan 90% interval kepercayaan guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sawah
Penyelesaian :n = 100 dan x = 60 maka = 0.6 dan q = …..
n
xp̂ =
z1/2 γ = z(1/2)0.9 = 1.64n
Sehingga 90% interval kepercayaan adalah
…….< P < ……..
Dengan demikian 90% interval kepercayaan, proporsi populasi berkisar diantara …………….
III. MENAKSIR SELISIH RATA-RATA, µ1 – µ2
Titik taksiran untuk (µ1 – µ2) adalah a) σσσσ1 = σσσσ2 populasi normal dengan σσσσ1 = σσσσ2 = σσσσInterval taksiran :
Jika besarnya σ = σ = σ tidak diketahui
( ) ( )21
γ2121
21γ
21n
1
n
1σzxxµµ
n
1
n
1σzxx
21
21 ++−<−<+−−
( )21 xx −
Jika besarnya σ1 = σ2 = σ tidak diketahui
( ) ( )
2
)1()1(
n
1
n
1stxxµµ
n
1
n
1stxx
21
222
211
21p2121
21p21
−+−+−
=
++−<−<+−−
nn
snsns
p = ½ (1 + γ)
dk = n1 + n2 - 2
b) σσσσ1 ≠ σσσσ2
Dilakukan pendekatan dengan memisalkan s1 = σ1 dan s2 = σ2 , interval taksiran :
( ) ( )21
γ2121
21γ
21n
1
n
1σzxxµµ
n
1
n
1σzxx
21
21 ++−<−<+−−
c) Observasi Berpasangan c) Observasi Berpasangan
Variabel acak X dan variabel acak Y diambil sampel berukuran sama n1 = n2 = n tiap data sampel dari kedua variabel acak saling dipasangkan. Misal x1 dengan y1, x2dengan y2 dan seterusnya sehingga diperoleh beda rata-rata µB = µx – µy dan selisih tiap pasangan B1 = x1 – y1 , B2 = x2 – y2 dan seterusnya
Interval taksiran :
( )BBns
n
BB
:dengan
n
stBµ
n
stB
2
i2i
i
BpB
Bp
−=
=
+<<−
∑ ∑
∑p = ½ (1 + γ)
dk = n + n - 2( )1)n(n
BBns ii
B −−
= ∑ ∑ dk = n1 + n2 - 2
� Contoh :Ada 2 cara pengukuran untuk mengukur kelembaban
suatu zat : Cara I dilakukan 50 kali dengan rata-rata 60.2 dan
varians 24.7Cara II dilakukan 60 kali dengan rata-rata 70.4 dan
varians 37.2varians 37.2Tentukan 95% interval kepercayaan mengenai
perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu
Penyelesaian :
53.3126050
2.37)160(7.24)150(2
)1()1(
21
222
2112
=−+
−+−=
−+−+−
=nn
snsnsgab
p = ½ (1 + γ) =…..
dk = n1 + n2 – 2 =…..1 2
Sehingga tp =……
Batas-batas interval taksiran adalah
( )
( )60
1
50
131.531.9842.604.70
n
1
n
1stxx
21p21
+±−
+±−
Sehingga diperoleh : ….. < µ1 – µ2 < ……Dengan demikian 95% percaya bahwa selisih rata-
rata pengukuran kedua cara itu akan berada pada interval ………………..
2
22
1
11 ˆˆ
n
xp
n
xp ==
IV. MENAKSIR SELISIH PROPORSI, P 1 – P2
Misal
Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100γ% selisih (P1 – P2) adalah
1
11
1
11γ2121
1
11
1
11γ21 n
qp
n
qpz)p̂p̂(PP
n
qp
n
qpz)p̂p̂(
21
21 ++−<−<+−−
Dengan q1 = 1 – p1 q2 = 1 – p2
Contoh Sampel acak dari 100 kendaraan masing-masing
yang telah dipilih dari populasi terdiri dari kendaraan di dua kota A dan kota B. di kota A, 80 buah ternyata sudah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di kota B hanya 66 buah. Buat interval keprcayaan 95% untuk menaksir harga perbedaan proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota
Penyelesaian :n1 = n2 = 100 �γ = 0.95 � z1/2 γ = 1.96interval taksiran untuk interval kerpercayaan 95%
adalah ………. < P1 – P2 < ………
......ˆ......ˆ 21 == pp
V. MENAKSIR SIMPANGAN BAKU, σσσσJika populasi berdistribusi normal dengan varians
σ2 maka interval taksiran 100γ% untuk σ2
adalah
( ) ( )2
γ1
22
2γ1
2
21
21 χ
1)s(nσ
χ
1)s(n
−+
−<<−
Contoh
Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan bakuσ . Dihasilkan harga statistik s2 = 7.8 dengan koefisien kepercayaan 0.95 dan dk = 29 maka diperoleh
14.1495.416
8.729
7.45
8.729
0.167.45
22
2025.0
2975.0
<<⇔•<<•
==
σσ
χχ
Dapat disimpulkan 95% percaya bahwa simpangan baku σ akan berada dalam interval 2.23 dan 3.75
θ̂
VI. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL
Perbedaan antara θ dan , b = | θ - | untuk koefisien kepercayaan γ dan berdistribusi normal dengan simpangan baku σ diketahui, ukuran sampel n ditentukan oleh :
θ̂
2zσ
2
γ
b
zσn 2
1
≥
xMenaksir rata-rata µ oleh dengan b = |µ - |x
Jika yang ditaksir itu proporsi P oleh adalah : |p̂ - P| bdan
n
xp̂ ==
2
γ
b
zP)P(1n 2
1
−≥
Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25
Contoh :
Misal Depdiknas perlu mengetahui ada berapa % kira-kira anak SD yang bercita-cita jadi guru. Koefisien kepercayaan 0.95 dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari 2%. Berapa anak SD yang perlu dIiteliti?
Penyelesaian : Dianggap P(1 – P) = 0.25 (tidak diketahui P)b = 2% = 0.02 z(1/2)0.95 = 1.96
b
zP)P(1n
2
2
γ21
−≥
2401n0.02
1.960.25n
2
≥
≥
Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari 2401 anak SD
Top Related