Download - MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

Transcript
Page 1: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

1

MEKANIKA II2 SKS

Page 2: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

2

ISI

1. Sistem Partikel

2. Benda Tegar

3. Rumusan Lagrange

4. Rumusan Hamilton

Page 3: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

3

1. SISTEM PARTIKEL

Partikel=benda titik, hanya dapat bergerak translasi, tidak rotasi

m1, m2, m3, ……, mN : massa-massa partikel

N321 r,........,r,r,r rrrr: vektor posisi masing-masing partikel

Total massa: N.....3,2,1;mM ==∑ αα

α

M

rmR

∑= α

ααr

r

m1

m2

m3

x y

z

2rr

1rr 3r

r

Vektor posisi pusat massa:

1.1 Pusat massa

Page 4: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

4

Contoh:

m1=10 gram, m2=15 gram dan m3=25 gram

r1=(2, -3, 3) cm; r2=(-3, -5, 4) cm; r3=(5, 4,-5) cm.

Massa total:

M=(10+15+25)gram=50 gram

Posisi pusat massa:

( )

cm)7.0,1.0,2()cm0,5(5,4,-54)cm0,3(-3,-5,cm)3,3,2(2,0

r25r15r10501

M

rmR 321

−−=++−=

++==∑ rrr

rr

ααα

z)y,(x,zkyjxir ≡++=rr

Page 5: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

5

Gaya pada satu partikel ke-α:

- gaya luar atau eksternal

- gaya interaksi antara partikel itudengan partikel-partikel-partikel lain; disebut gaya internal.

iFα

eFα

ie FFF ααα

rrr+=

Hukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α:

N.....3,2,1FFdt

rdm ie2

2

=+= αααα

α

rrr

Jika posisi sistem partikel digeser tanpamengganggu keadaan internalnya, maka total gaya internal pada setiap partikel=0.

0F i =∑α

α

r

12

3

i13F →

r

i12F →

r

i32F →

ri31F→

r

i21F→

ri

23F →

r

i3Fr

i2Fr

i1Fr

∑≠

→=αβ

αβαii FFrr

1.2 Persamaan Gerak Pusat Massa

Page 6: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

6

FF

N.....3,2,1FFdt

rdm

e

ie2

2

rr

rr

==

=+=

∑∑∑

αα

αα

αα

α

αα α

Persamaan gerak pusat masa

=0

Fdt

RdMM

rmR 2

2 rr

rr

=→=∑α

αα

1

2

3

e1Fr

e2Fr e

3Fr

Fr

pm

e2Fr

e3Fr e

1Fr

Fr

Page 7: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

7

FFdtpd

dtPd e

rrvr

=== ∑∑α

αα

α

dtrdmp α

αα

rr

=

1.3 Momentum linier

ie FFdtpd

ααα

rrv+=

Total momentum linier:

2

2

dtrdm

dtpd α

αα

rr

= atau

dtRd M

dtrdmpP

rrrr

=== ∑∑ α

αα

αα

Fdt

RdMdtPd

2

2 rrr

==

Persamaan gerak pusat massa

Teorema:

Jika total gaya internal=0, pusat massa sistem partikel bergerakseperti suatu partikel yang massanya = massa sistem dengansuatu gaya=total gaya luar pada sistem.

Page 8: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

8

1.4 Momentum sudut

Momentum sudut sistem partikelterhadap titik Q:

ααα p)rr(L QQrrrr

×−=

Q

m1

m2

m3

1rr

2rr

3rr

x y

z

Qrr

∑∑ ×−==α

ααα

α p)rr(LL QQQrrrrr

Variasi terhadap waktu:

ααα

αα p

dtrd

dtrd

dtpd)rr(

dtLd Q

QQ r

rrrrr

r

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+×−=

dtrdmp α

αα

rr

=Karena 0pdtrd

=× αα rr

Page 9: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

9

iQ

eQQ F)rr(F)rr(

dtpd)rr( ααααα

α

rrrrrrr

rr×−+×−=×−

αα

αα p

dtrd

dtpd)rr(

dtLd Q

QQ r

rrrr

r

×−×−=

αααααα p

dtrd

F)rr(F)rr(dtLd Qi

Qe

QQ r

rrrrrrr

r

×−×−+×−=

Pdtrd

F)rr(N

pdtrd

F)rr(F)rr(dtLd

QiQQ

QiQ

eQ

Q

rr

rrrr

rr

rrrrrrr

×−×−+=

×−×−+×−=

∑∑∑

ααα

αα

ααα

ααα

∑ ×−=α

ααe

QQ F)rr(Nrrrr

Total momen gaya

Page 10: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

10

0Pdtrd Q =×

rr Jika:

(1) kecepatan titik Q sama dengan kecepatan pusat massa,

(2) titik Q adalah pusat massa, dan

(3) titik Q diam

0F)rr(

F)rr(F)rr(

F)rr(F)rr(

F)rr(F)rr(

1

1

i

1

1

iQ

iQ

1

1

iQ

iQ

iQ

iQ

=×−=

×−−×−=

×−+×−=

×−=×−

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑

=→

=→→

=→→

≠→

α

α

βαββα

α

α

βαββαβα

α

α

ββαβαβα

α αβαβα

ααα

rrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr∑≠

→=αβ

αβαii FFrr

αrr

βrr βα rr

rr−

iF αβ→

r

Page 11: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

11

Jadi, jika titik Q diam atau Q merupakan pusat massa, maka

QQ N

dtLd rr

=

Teorem:

Jika tidak ada gaya luar pada sistem partikel, maka momentum sudut sistem partikel itu konstan.

Terlihat, jika NQ=0, maka LQ adalah besaran yang konstan.

Kuliah ke-1

Page 12: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

12

1.5 Hukum Kekekalan Energi

N,......3,2,1;FFF ie =+= αααα

rrr

Jika gaya eksternal bergantung pada posisi, dan gaya internal bergantung pada posisi partikel-partikel lain, maka dapat dituliskan

......)..........,r,r(FF 21rrrr

αα =

Jika gaya total pada suatu partikel bergantung pada posisi, makafungsi potensial V adalah:

Ini disebut gaya konservatif

αα

αα

αα z

VyV

xV

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−= zyx F;F;F

VF αα ∇−=rr Ingat sifat konservatif:

0VF =∇×∇−=×∇srrr

Page 13: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

13

Vdtvdm

vmdtrdmp

VFdtpd

αα

α

ααα

αα

ααα

∇−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

==

∇−== rr

rr

r

rrv

Kalikan dengan ⋅αvr

( ) 0zVv

yVv

xVvvm

dtd

0Vvdtvdvm

zyx2

21 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+

=∇⋅+⋅

αα

αα

αααα

ααα

αα

rrr

r

Karenadt

dxv xα

α =

Page 14: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

14

( ) 0dt

dzV

dtd

yV

dtd

xVvm

dtd

21 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+ α

α

α

ααα

αα zyx

Untuk sistem partikel:

( ) 0dt

dzV

dtd

yV

dtd

xVvm

dtd 2

21 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∑∑α

α

α

α

α

α

αααα

zyx

Tetapi,

dtdV

dtd

zV

dtd

yV

dtd

xV

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂∑

α

α

α

α

α

α

α

zyxdan

( )dtdKvm

dtd 2

21 =∑

ααα

sehingga konstan)(EVKatau0dtdV

dtdK

=+=+

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

Page 15: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

15

1.6 Persamaan gerak roketM-massa roket pada waktu t

dM/dt-massa bahan bakar terbuang perselang waktu

v -kecepatan roket pada waktu t relatif terhadap bumi

u- kecepatan bahan bakar terbuang relatif terhadap roket

Misalkan gaya luar pada roket F, maka persamaanmomentum linier relatif terhadap bumi:

vr

ur

M

dM/dt

dtdM)uv()v(M

dtdF rrrr

+−=

Momentum roket

Momentum bahan bakarterbuang

Fdt

dMudtvdM

rrr

+=Jadi:

Gaya dorong pada roket

Page 16: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

16

F- gaya gesekan udara dan gravitasi; diruang angkasa F=0

dtdMu

dtvdM rr=

MMlnuvv

MdMuvd o

o

M

M

v

v oo

rrrrr−=−→= ∫∫

Perubahan kecepatan dalam suatu interval waktu hanya bergantung pada kecepatan relatifdan fraksi bahan bakar terbuang.

Kuliah ke-2

Page 17: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

17

1.7 Masalah Tumbukan

Sebelum dan sesudah tumbukan partikel-partikel bergerak dengankecepatan tetap, tanpa gaya.

Selama tumbukan timbul gaya antar partikel yang pada umumnyamemenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku:

1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum sudut

2. Hukum kekalan energi.

Page 18: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

18

1.7.1 Tumbukan sentral

Misalkan sebuah peluru m1 menumbuk sebuah objek m2

m1 m21Ivr 2Ivr m1 1Fvr m2 2Fvr

2F21F12I21I1 vmvmvmvm rrrr+=+

( ) ( )( ) ( )

( ) )e1(vv.p

vmvmvmvm

KKKKQ

2I1I

22F22

121F12

122I22

121I12

1

2F1F2I1I

−−Δ=

+−+=

+−+=

rrr

( )( ) ( )1F2F22I1I1

2I1I1F2F

vvmvvmp1e0vvevv

rrrrr

rrrr

−=−=Δ≤≤→−=−

e disebut koefisien restitusi

e=1→Q=0: tumbukan elastis

0≤e<1→Q>0: tumbukan tak-elastis

Buktikan !

Page 19: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

19

Tumbukan sentral elastik sempurna

m1 m2

diam1Ivr m1 1Fvr m2 2Fvr

2F21F11I1 vmvmvm rrr+=

1I1F2F vvv1e rrr=−→=

1I21

12F v

mm2mv rr

+=

m1<m2: v1F berlawanan arah dengan v2F

m1=m2→v1F=0, v2F=v1I

m1>m2: v2F>v1I, v1F searah v2F

1I21

211F v

mmmmv rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=Buktikan !

K1I=K1F+K2F

Jika m1 tidak diketahui: 11K2K1

K2K

mm

2

2F

1I

2F

1I

2

1 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= Buktikan !

Page 20: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

20

Tumbukan sentral tak-elastik sempurna

m1 m2diam

m1+m2

1Ivr Fvr

Partikel m1 dengan kecepatan v1 menabrak dan melekat pada m2yang diam; misalkan setelah tumbukan keduanya kecepatan v2.

1I21

1FF211I1 v

mmmvv)m(mvm rrrr

+=→+=

Energi yang terbuang saat tumbukan:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+−=−=

21

221I12

1

2F212

121I12

121

mmmvm

)vm(mvmKKQ

Page 21: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

21

2F1F2I1I pppp rrrr+=+

22F11F1I cosθpcosθpp +=

22F11F sinθpsinθp0 −=

22F11F1I

21F

21I pθcospp2pp =−+

m1 1Ipr m2diam

1Fpr

2Fpr

θ1θ2

1.7.2 Tumbukan elastis

Tidak ada energi yang hilang selama tumbukan (Q=0).

I-initial, awal

F-final, akhir

Hukum kekekalan momentum:

Page 22: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

22

21

211

22

21

11

21

1

1I

1F

mmmmθcos

mmmcosθ

mmm

pp

+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

±+

=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

1I

1F

1

2

1I

2F

pp1

mm

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

1I2F

11I1F12 p/p

θ)cos/p(p-1cosθ

2

22F

1

21F

1

21I

2mp

2mp

2mp

+=

2F1F2I1I KKKK +=+

2

22F

1

21F

21I

mp

mpp

=−

Hukum kekekalan energi kinetik:

m2 diam→K2I=0

Buktikan !

Kuliah ke-3

Page 23: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

23

1. m1>m2

•Jika θ1=θm, di mana , harga dalam akar menjadi nol.21

22

m2

mm1θos −=c

• Untuk θ1<θm, ada dua harga p1F/p1I; harga yang lebih besarmenyatakan tumbukan singgung, dan yang lebih kecil tumbukansentral. Misalnya θ1=0:

;mmmm

pp

21

21

1I

1F

+−

=

p1F=p1I →Tidak terjadi tumbukan

Tumbukan sentral

21

21

1I

1F

mmmm

pp

+−

=

• Jika m1>>m2 maka sudut θ1 sangat kecil. Buktikan!

Buktikan !21

2

1I

2F

mmm

pp

+=

1pp

1I

1F ≈

0θ;mm

mpp

221

2

1I

2F =+

=

Page 24: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

24

2. m1=m2

11I

1F θcospp

= 11I

2F sin θpp

= 12 2/θ θπ −= 0 ≤ θ ≤ π/2

θ1=0, p1F=p1I dan p2F=0→ tidak terjadi tumbukan

θ1=π/2, p1F=0 dan p2F=p1I, θ2=0→ tumbukan sentral

3. m1<m2

21

121

22

21

11

21

1

1I

1F

mmmmθcos

mmmcosθ

mmm

pp

+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

±+

=

• Untuk tanda +: p1F/p1I positif bagi semua harga 0≤θ1≤π.

θ1=0→ p1F=p1I; p2F=0→tidak terjadi tumbukan;

• Untuk tanda -: p1F/p1I negatif→tidak berlaku

0θ;mm

2mpp;

mmmm

ppπθ 2

21

2

1I

2F

21

12

1I

1F1 =

+=

+−

=→= → tumbukan sentral

Page 25: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

25

4. m1 tidak diketahui, m2 diketahui

Jika K1I bisa diukur atau ditentukan, hasil pengukuran K2F dapatdigunakan untuk menentukan m1.

Misalnya, untuk tumbukan sentral berlaku:

Rumusan ini yang digunakan oleh J. Chadwick untuk menentukankeberadaan neutron; Nature 129, 312 (1932)

11K2K1

K2K

mm

2

2F

1I

2F

1I

2

1 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= Buktikan !

Page 26: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

26

Partikel m1 bertumbukan dengan partikel m2 yang diam. Setelahbertumbukan, dihamburkan partikelm3 dan m4 masing-masingdengan sudut θ3 dan θ4.

θ3

θ4m1 m2

m3

m4

1pr

3pr

4pr

Misalkan Q=energi yang terserap pada saat tumbukan:

Q>0 untuk tumbukan endoergic, Q=0 untuk tumbukan elastik, danQ<0 untuk tumbukan exoergic

1.7.3 Tumbukan tak-elastikAtom, molekul dan inti mempunyai energi potensial dan kinetik dalamyang terkait dengan gerakan bagian-bagiannya. Mereka bisa menyerapatau melepaskan energi pada saat tumbukan.

Page 27: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

27

33123

21

24 cos θp2pppp −+=Eliminasi θ4:

( ) 3213144

33

4

11

4

33123

21

3

23

1

21

431

cosθKKmmm2

mm1K

mm1K

2mcosθp2ppp

2mp

2mpKKKQ

21

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−+−−=−−=

Persamaan ini dipakai untuk menentukan Q dari reaksi inti, dimanapartikel m1 yang diketahui energinya menumbuk inti m2, menghasilkan partikel m3 dengan energi dan arah yang dapatdiamati.

QKKKsin θpsin θp0cos θpcos θpp

431

4433

44331

++=−=+= p1 diketahui

p3 dan θ3 diukurQ akan dihitung

Dengan hukum kekekalan energi dan momentum:

Kuliah ke 4

Page 28: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

28

1.8 Dua osilator harmonis terkopel

k1 m1 m2 k2k3

x1 x2Dua massa m1 dan m2 terikat padadinding dengan pegas masing-masingberkonstanta k1 dan k2. Kedua massadihubungkan oleh pegas ketiga, k3.

Jika tidak ada pegas k3, kedua massa akan berosilasi secarabebas, masing-masing dengan frekuensi:

2

2o20

1

1o10 m

kω;mkω ==

Dengan pegas k3, misalkan m1 bergeser sejauh x1 dan m2 sejauh x2. persamaan gerak massa-massa adalah:

32'231

'1

132'222231

'111

21322222131111

kkk;kkk

0xkxkxm;0xkxkxm

)x(xkxkxm);x(xkxkxm

+=+=

=++=++

+−−=+−−=

&&&&

&&&&

Page 29: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

29

32'231

'1 kkk;kkk +=+=

0xkxkxm;0xkxkxm 132'222231

'111 =++=++ &&&&

Misalkan:

Kedua persamaan di atas terkopel satu sama lain. Untuk itu misalkan:

pt22

pt11 eCx;eCx ==

( ) ( )

'2

22

3

3

'1

21

1

2

132'2

22231

'1

21

kpmk

kkpm

CC

0CkCkpmdan0CkCkpm

+−=

+−=

=++=++

Page 30: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

30

( ) ( )

( ) ( )

21

32

2

'2

201

'1

10

42220

2104

1220

2102

12

23

'2

'1

2'21

'12

421

mmkκ;

mkω;

mkω

κωωωωp

0kkkpkmkmpmm

===

+−±+−=

=−+++

Terlihat, p2 negatif; untuk itu misalkan:

( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

−−=−=

+−=−=

1)ω(ω

4κ1ωωΔω

Δωωωp

Δωωωp

2220

210

4220

210

2

2212

2022

2

2212

1021

2

κ disebut konstanta kopling

21 iω,iωp ±±=

Page 31: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

31

Jika ( )2

12

2210

21

3

1

1

221

2

mm

2κΔωωω

km

CCωp =−=→−=

( )1

22

2220

22

3

2

2

122

2

mm

2κΔωωω

km

CCωp −=−=→−=

pt22

pt11 eCx;eCx ==Dengan

t2iω'2

1

22

2t2iω

21

22

2t1iω-'

1t1iω

11 eCmm

2κΔωeC

mm

2κΔωeCeCx −−−+=

t2iω'2

t2iω2

t1iω-'1

2

12

2t1iω

12

12

2

2 eCeCeCmm

2κΔωeC

mm

2κΔωx −+++=

Page 32: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

32

Untuk membuat x1 dan x2 ril, misalkan:

22

11

iθ22

12

iθ22

12

iθ12

11

iθ12

11

eA'C,eAC

eA'C,eAC−

==

==

)θtcos(ωAmm

2κΔω)θtcos(ωAx 222

1

22

2

1111 +−+=

)θtcos(ωA)θtcos(ωAmm

2κΔωx 222111

2

12

2

2 +++=

Solusi umum menjadi:

Page 33: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

33

Jika A2=0: )θtcos(ωAx 1111 +=

)θtcos(ωAmm

2κΔωx 111

2

12

2

2 += Getaran modus normal

2212

1021 Δωωω +=

Jika A1=0:

)θtcos(ωAx 2222 +=

)θtcos(ωAmm

2κΔωx 222

1

22

2

1 +−=

2212

2022 Δωωω −=

Frekuensi tunggal ω1

Getaran searah

Frekuensi tunggal ω2

Getaran berlawananarah

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−= 1)ω(ω

4κ1ωωΔω 2220

210

4220

210

2

21

32

mmkκ =

Page 34: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

34

A1=10; A2=10;

A2=0A1=00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-15

-10

-5

0

5

10

15

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t

m1=1; m2=1; k1=50; k2=30; k3=2

x1

x2

Kuliah ke 5

Page 35: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

35

2. BENDA TEGARBenda tegar didefenisikan sebagai sistem partikel dengan jarakantara satu sama lain selalu tetap.

2.1 Pendahuluan

Rapat massa:dVdMρ =

Massa: ∫∫∫∑ ==bendak

k dVρmM

M: massa benda

V: volume benda

Pusat massa: ∫∫∫=benda

dVrρM1R

rr

OO’

pm

Rr 'R

r

ar

terhadap O

a-R'Rrrr

= terhadap O’

Page 36: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

36

Jika benda bebas bergerak, maka gerak pusat memenuhi:

Momentum:

2

2

dtRdMF

dtRdMPr

r

rr

=

=

F resultan gaya pada benda

Momen Inersia terhadap sumbu yang melalui pusat massa(sumbu utama)

X pm

dmr

∫=V

2dmrI

Page 37: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

37

212

1312

1L2

1

L21

33

1

L21

L21

2L2

1

L21

2 MLμLxμdxxμdmxI =====−

−−∫∫

+dm=μdx

x

pm

-L/2 L/2

pm+

drr

( ) 22

122

1242

1R

0

3R

0

2 MRRLρπRπρLRdrrL2πdmrI ===== ∫∫ ρ

ρLdrr2πLdAρdVρdm ===

Batang homogen

Silinder padat homogen

Page 38: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

38

dz

z R

22 zR −dm=ρπ(R2-z2)dz

Bola padat homogen

( ) ( )( ) 2

525

158

R

R

2222

1

2222

1222

1

MRρπRdzzRρπI

dzzRρdmzRdI

==−=

−=−=

∫−

π

Kubus padat homogen

pmx2

x3

bb

b

x1

3212

615

61

b

b3

b

b2

23

22

b

b

b

b

b

b321

23

223

32123

22

23

III;Mbρb

dx)dxx(xρbdxdx)dxx(xρI

dxdx)dxx(xρrdmdI2

1

21

21

21

21

21

21

21

21

21

====

+=+=

+==

∫ ∫∫ ∫ ∫− −− − −

dm=ρdV=ρdx1dx2dx3

dmSumbu-sumbu x1, x2, x3 yang melalui pusat massadisebut sumbu utama.

Page 39: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

39

2.2 Momentum sudut dan momen inersia

Benda tegar mengandung N buah partikelmassa mα dengan α=1,…,N. Misalkan posisiadalah rα dan kecepatannya vα.

Momentum sudut partikel-α

ααααααααα

αα

rωrmLrωv;vmp

prL

rrrrrrrrr

rrr

××=→×==

×=α

ωr

O

αrr

αvr

Karena

Berdasakan aturan perkalian vektor:

( ) ( ) ( ) αααααα rω.r-ωr.rrωr rrrrrrrrr=××

( )[ ]αα2

αα rω.rωrmLrrrrr

−= α

Buktikan!

Page 40: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

40

Momentum sudut benda tegar:

( )[ ]∑∑ −==α

αα

αα2

αα rω.rωrmLLrrrrrr

)ω,ω,(ωω 321=r

Karena

( )321 x,x,xr αααα =r

dan

x1 x2

x3

ω1ω2

ω3

ωr

xα1 xα2

xα3

αrr

Maka komponen ke-i dari momentum sudut,

∑ ∑∑

∑ ∑∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

α

α

δ αjαik

2αkijα

jj

jjαjαi

k

2αkiαi

xxxmω

1,2,3kj,i,;ωxxxωmL

Page 41: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

41

Selanjutnya, dapat dinyatakan

∑ ∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−==

ααjαi

k

2αkijαij

jjiji xxxδmI;ωIL

Secara keseluruhan, momentum sudut:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ωωω

IIIIIIIII

LLL

ωI~Lrr

disebut tensor inersia

I~

⎩⎨⎧

≠=

=ij0;ji1;

δ ij

→= jiij II adalah matriks simetrik. Buktikan !!!

Elemen2 diagonal dari tensor inersia disebut momen2 inersia terhadapsumbu-sumbu, sedangkan elemen2 off-diagonal disebut produk inersia.

Page 42: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

42

Jika benda mempunyai distribusi massa kontinu dengan rapatmassa ρ(r), maka:

∫ ∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

V kji

2kijij dVxxxδρ(r)I

Energi kinetik rotasi benda ( )∑∑ ×==α

αα2

21

α

2αα2

1rot rωmvmK

rr

Berdasar aturan perkalian vektor ( ) ( )2222 r.ωrωrω αααrrrr

−=×

( )[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

−=

∑∑∑

∑∑∑∑∑

αjαik

2αkij

αα

ji,ji2

1

jj

jii

ik

2k

i

2i2

1

2222

1rot

xxxδmωω

r.ωr.ωxωm

r.ωrωmK

αααα

α

αααα

rrrr

rr

ω.I~.ωKωωIK 21

rotji,

jiij21

rotrr

=→= ∑

i,j,k=1, 2, 3

Buktikan !

Page 43: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

43

I11=I22=I33= 2/3Mb2 dan

Iij=-1/4 Mb2 untuk i≠j; Buktikan !!!

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

32

41

41

41

32

41

41

41

32

2

------

MbI~

Contoh:Tentukanlah Iij untuk kubus uniform bersisi b, massa M, dengantitik pusat O di salah satu titik sudut.

[ ] ( )32

325

32

b

0

b

032

23

22

b

0132

V1

21

23

22

2111

ρbM;Mbρb

dxdxxxdxρdxdxdxρI

===

+=−++= ∫ ∫∫∫ xxxx

24

154

1

b

0

b

0

b

0321213212

V112

Mbρb

dxdxdxxxρdxdx)dxxx(I

−=−=

−=−= ∫ ∫ ∫∫ρ

∫ ∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

V kji

2kijij dVxxxδρ(r)I

Kuliah ke 6

Page 44: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

44

Sumbu-simbu utama dari inersia

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

ωωω

IIIIIIIII

LLL

ωI~Lrr

Sumbu-sumbu utama adalah sumbu-sumbu dengan mana tensor inersia mejadi diagonal. Untuk itu misalkan

33323213133

32322212122

31321211111

ωIωIωIIωLωIωIωIIωLωIωIωIIωLωI~L

++==++==++==→=

rr

0ωωω

IIIIIIII

IIII

3

2

1

333232

232221

131211

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

Disebut persamaan sekuler

Page 45: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

45

0IIII

IIII

IIII

333232

232221

131211

=−

Maka, harus berlaku

Disebut determinan sekular

Determinan ini merupakan polinom order-3 dari I; jadi ada tigabuah harga I, yakni I1, I2 dan I3.

ContohTentukanlah sumbu-sumbu utama inersia dari kubus.Dari contoh sebelumnya,

2

32

41

41

41

32

41

41

41

32

Mbβ;--

----

βI~ =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

Page 46: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

46

→= 0I-ββ-β-

β-I-ββ- β-β-I-β

32

41

41

41

32

41

41

41

32

Determinan sekularnya:

( ) ( ) 0IβββIβ 322

1633

6423

32 =−−−−

βIIβaaβIβa

0;β)β)(a(a0βaβaIβa

1211

3241

32

61

121

1

24

12

1332

1216

33

32

==→−===→=

=+−→=−−

−=Misalkan

Page 47: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

47

Teori Sumbu Sejajar

Misalkan sistem koordinat x1, x2, x3 adalah pusat massa benda, dansistem koordinat kedua X1, X2, X3 yang sejajar dengan sistem pertama.

Defenisikan:

iii

321

321321

axX);a,a,(aa;arR

)X,X,(XR);x,x,(xr

+==+=

==rrrr

rr

∑ ∑

∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

αjαjiαi

k

2kαkijα

ααjαi

k

2αkijαij

)a)(xa(x)a(xδm

XXXδmJ

Elemen tensor inersia dalam koordinat kedua X1, X2, X3:

×pm

Rr

rr

av

X1 X2

X3

x1

x2

x3

Page 48: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

48

αiα

αiαjα

αjα

αkαk

ijk

kji

2kij

α αα

kαjαi

2αkijαij

xmaxmaxmδ2a

aaaδmxxxδmJ

∑∑∑∑

∑∑ ∑∑

−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎞⎜⎝

⎛−=

0xmM1x

ααkαk == ∑ Posisi pusat massa dalam koordinat (x1,x2,x3)

∑ ∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

α kαjαi

2αkijαij xxxδmI

Mmα

α =∑ ij2

k

2kij δaaδ =∑

( )jiij2

ijij aaδaMIJ −+=Maka:

∑ ∑

∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

αjαjiαi

k

2kαkijα

ααjαi

k

2αkijαij

)a)(xa(x)a(xδm

XXXδmJ

Page 49: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

49

Contoh:Berdasarkan contoh untuk kubus, tentukanlah elemen tensor inersia dengan sistem koordinat di pusat massa.

Dengan sistem koordinat di suatu titik sudut, tensor inersia adalah:

2

32

41

41

41

32

41

41

41

32

Mbβ;ββ-β-β-ββ-β-β-β

J~ =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

pm

X1

X2

X3

x2

x3

ar

b

b

b

( ) ( )jiij2

ijijjiij2

ijij aaδaMJIaaδaMIJ −−=→−+=

24

322

12

12

1 bab),b,b,(a ==r

( )→−−= 13δMbJI ij2

41

ijij⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

β000β000β

I~

61

61

61

Kuliah ke 7 (UTS)

Page 50: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

50

2.3 Persamaan gerak benda tegar

Laju perubahan suatu vektor

Sistem koordinat inersial I(X1,X2,X3) diluar benda;

Sistem koordinat O(x1,x2,x3) diam di dalam benda.

Maka, perubahan vektor G yang dilihat dari sistemkoordinat I tidak sama dengan perubahan yang dilihatdari sistem koordinat O.

Perbedaan itu timbul karena benda berotasi.

O

Gr

I

→×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛Gω

dtGd

dtGd

OI

rrrr

ωr

×

×

kjijkO

i

I

i Gωεdt

dGdt

dG+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎩⎨⎧

=lainnya1,-

siklisurutanijk,1ijkε

1221O

3

I

3

3113O

2

I

2

2332O

1

I

1

GωGωdt

dGdt

dG

GωGωdt

dGdt

dG

GωGωdt

dGdt

dG

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Page 51: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

51

rωvv OIrrrr

×+=

( ) ( )rωωvω2a

rωvωvωaa

OO

OOOIrrrrrr

rrrrrrrr

××+×+=×+×+×+=

( )( ) ωrωmωv2mFrωωmvω2mFF

rωωmvω2mamamF

OIOIO

OOIIrrrrrvrrrrrv

rrrrrrrr

××+×+=××−×−=

××+×+==

( ) ωrωmrrr

×× : gaya yang tegak lurus ω menuju keluar; jadi gaya inisentrifugal; besarnya mω2r sinθ,.

ωv2m Orr

× : gaya ini muncul jika partikel bergerak; gaya inidisebut Coriolis.

ωr

I

Orr

m

Partikel m bergerak dalam sistem koordinat O yang berotasi.

Misalkan r vektor posisi terhadap sistem koordinat I.

Page 52: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

52

Misalkan sistem koordinat O ditetapkan di bumi, sehingga rotasinyabersama bumi dengan:

15 sec10292.7jam24

2πω −−×==

Jari-jari katulistiwa: r=63560 km;

ω2r=3,4 cm/sec2 sama dengan sekitar 0.35% dari percepatan gravitasi.

Gaya sentripetal ini yang membuat bumi menjadi elips.

×

ωr

××

ωr

Gaya sentripetal karena rotasi bumi

Page 53: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

53

ωr

ωv2m Orr

×

OvrGaya Coriolis

1. Gaya ini menyebabkan lintasan menjadi lengkungdi atas bidang yang tegak lurus pada .ω

r

2. Aliran udara (angin) dari tekanan tinggi ketekanan rendah membentuk lintasan lengkung.

3. Pengaruh rotasi bumi terhadap jatuh bebas dibelahan utara bumi:

Kecepatan jatuh bebas:g2zt gt;vz =−=

sinθt2mgsinθvmω2dtdm ;vω2mF z2

2

C ω=−=×−=xrrr

Tekanan tinggi

Tekanan rendah

angin

Belahan utara bumi

Gaya Coriolis menyebabkan pembelokan ke Timur:

sinθg

8zωsinθωgt3

313

31 ==x

TB x

z

θ=π/2, z=100 m, x=2 cm

Page 54: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

54

Momentum Sudut

LωdtLd

dtLd

OI

rrrr

×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

Perubahan momentum sudut karena momen gaya:

NdtLd

I

rr

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

NLωdtLd rrrr

=×+ ikjijki NLωε

dtdL

=+

iii ωIL =Jika sumbu-sumbu benda diambil sebagai sumbu utama:

ikkjijki

i NIωωεdt

dωI =+

( )

( )

( ) 312213

3

231132

2

123321

1

NIIωωdt

dωI

NIIωωdt

dωI

NIIωωdt

dωI

=−+

=−+

=−+

ijkkji NLωLω

dtdL

=−+

Page 55: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

55

Contoh:Sebuah bola biliar disodok secara horizontal; bola itu meluncurberguling. Buktikan bahwa jarak tempuhnya:

μg4912vx

2o=

dimana pada t=0, x=0, v=vo , kecepatan sudutdφ/dt=0, dan sudut φ=0.

12

2

1f Cμgtdtdxμg

dtxdeμmgF +−=→−=→−=

r mg

FN

Ff

v

Momen gaya yang merotasikan bola biliard

312f eμmga)ee(μmgaFaN −=×−−=×=rrr

fFr

ar x

y

z

N3=μmga dalam arah -z

I3=2/5Ma2

t=0; v=v0 0vμgtdtdx

+−=

Page 56: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

56

225

25

2

2

2

2

333

Cμgtdtdφa

μgdtφdaμmga

dtφdIN

dtdL

+=

=→=→=

μgvt

;vμgtμgtvμgtdtdφa

dtdx

07

21

027

25

0

=

=→=+−→=

t=0; dφ/dt=0 μgtdtdφa 2

5=

Untuk keadaan berguling tanpa tergelincir :

Page 57: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

57

0vμgtdtdx

+−=Dari tvμgt)(x 02

21 +−=t

Pada t1

μgv

μgvvμgx

20

49120

72

0

20

72

21 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

gvμ

075

00

72 vvμg

μgv =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

v

Kuliah 8

Page 58: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

58

2.4 Gasing tanpa momen gaya

Gasing adalah benda yang simetrik terhadap salah satu sumbunya, misalnya sumbu-x3. Karena simetrik maka:

I1=I2≠I3

x1x2

x3

ikkjijki

i NIωωεdt

dωI =+

konstanω0dt

dωI

0)I(Iωωdt

dωI

0)I(Iωωdt

dωI

33

3

31132

2

23321

1

=→=

=−+

=−+

Misalkan momen gaya Ni=0

( )212121

12

1

2332

1

iωωi)ωΩ(iωdt

dωidt

ωdt

dωI

)I(Iω;ωdt

+Ω=−=+

Ω=

−=ΩΩ−=

Page 59: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

59

Misalkan (t)iω(t)ωη(t) 21 +=

konstanωωωt);sin(Ωωt);Ωcos(ω

t)exp(iΩηηidtdη

22

21

2o21 =+===

=→Ω=

oo

o

ωω

ω

- ω1 dan ω2 membentuk lingkaran berjari2 ω0 padabidang x1-x2.

- ω1, ω2 ,ω3 membentuk resultan ω dan berotasimengitari sumbu x3 dengan frekuensi sudut Ωdengan sudut

Dilihat dari sistem koordinat inersial, karenamomen gaya N=0

konstantL0dtLd

I

=→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ rr

Karena pusat massa tetap, energi kinetik hanya bentukrotasi: φωLcosL.ωT 2

12

1rot ==

rr

3

1tanωωφ o−=

Page 60: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

60

Besarnya ω: konstanωωωωωω 23

223

22

21 =+=++= o

konstanI

)I(Iω1

233 =

−=Ω

Page 61: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

61

2.5 Sudut Euler dan Persamaan Euler

Tinjau sistem koordinat (x’1,x’2,x’3); sistem koordinatitu dirotasikan menjadi (x1, x2, x3). Secara umumdapat dinyatakan:

'xλ~x rr=

Matriks ini merupakan produk dari berbagai operasi rotasi, di antaranyarotasi dengan sudut-sudut φ,θ, ψ yang disebut sudut-sudut Euler.

x'''xR~''xR~R~'xR~R~R~'xλ~ ψθψθψrrrrr

==== ϕ

λ disebut matriks rotasi;

Page 62: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

62

= rotasi dengan sudut φ berlawanan jarum jam, sumbu rotasi x’3 sehingga x’’3=x’3; x’1→x’’1; x’2→x’’2

'xR~ rϕ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

1000cossin0sincos

R~ ϕϕϕϕ

ϕ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3

2

1

3

2

1

'''

1000cossin0sincos

"""

xxx

xxx

ϕϕϕϕ

Page 63: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

63

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3

2

1

3

2

1

"""

cossin0sincos0001

'"'""'

xxx

xxx

θθθθ

rotasi dengan sudut θ berlawanan jarum jam, sumbu rotasi x’’1 menjadikan x’’’1=x’’1; x’’2→x’’’2; x’’3→x’’’3.

''xR~ θr

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

θθθθ

cossin0sincos0001

R~ θ

NN’ disebut garis simpul

Page 64: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

64

= rotasi dengan sudut ψ berlawanan jarum jam, sumbu rotasi x’’’3 menjadikan x’’’3=x3; x’’’1→x1; x’’’2→x2.

'''xR~ rψ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3

2

1

3

2

1

"'"''"

1000cossin0sincos

xxx

xxx

ψψψψ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

1000cossin0sincos

R~ ψ ψψψψ

Garis simpul

Page 65: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

65

ϕR~R~R~λ~ θψ=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

1000cossin0sincos

cossin0sincos0001

1000cossin0sincos

~ ϕϕϕϕ

θθθθψψ

ψψλ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+−−−

+−

=

θϕθϕθ

ψϕθψϕθθψϕψϕψ

ψϕθψϕθθψϕψϕψ

λ

coscossinsinsin

sincoscoscossincossinsincossincossin

sincoscossinsincossinsincoscoscoscos

~

Page 66: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

66

Misalkan:

ϕωr

= kecepatan sudut rotasi pada sumbu x’3=x’’3

θωr = kecepatan sudut rotasi pada sumbu x’’1=x’1

ψωr

= kecepatan sudut rotasi pada sumbu x’’’3=x3

θωω

ψθωω

ψθωω

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

cos

cossin

sinsin

3

2

1

=

=

=

ϕωr

θωr

x1x’’’1=x’’1

x”3=x’3x’”3=x3

x2

x’’’2ψ x’’2

θ

x’1

x’2

ϕ

ψωr

xxxx rrrr→→→ "'"'

0sin

cos

3

2

1

=−=

=

θ

θθ

θθ

ωψωω

ψωω

Komponen-komponen kecepatan sudutdapat diturunkan:

ψψ

ψ

ψ

ωω

ω

ω

=

=

=

3

2

1

00

ψϕ

θϕ

θϕ

ωθωω

ψωψθωω

ψωψθωω

+=

−=

+=

cossincossincossinsin

3

2

1

Page 67: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

67

BAB 3 RUMUSAN LAGRANGEHukum Newton sangat penting jika diketahui gaya-gaya yang bekerja pada sistem; gerak dan energi sistem itu dapat ditentukandengan syarat awal.

Jika gaya-gaya tak diketahui, maka hukum Newton tak dapatdipakai untuk menentukan gerak dan energi sistem.

Ada dua metoda yang dapat dipakai untuk menangani masalah itu:

(i) Persamaan Langrange

(ii) Persamaan Hamilton

- Keduanya diturunkan dari hukum Newton II

- Menggunakan koordinat umum qk; q1 mungkin x, q2 mungkin v dsb.

Lagrange: posisi dan kecepatan→pers. diferensial order-2

Hamilton: posisi dan momentum→pers. diferensial order-1

- Bertitik tolak dari energi, sehingga hanya menggunakan skalar.

Page 68: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

68

3.1 Koordinat umum dan batasan (constraint)

Setiap partikel mempunyai vektor posisi, artinya memiliki 3 koordinat(x1,x2,x3). Untuk sistem N partikel, jumlah koordinat 3N atau 3N tingkatkebebasan sistem.

Jika ada batasan, jumlah koordinat itu akan berkurang.

Contoh: konfigurasi suatu benda pejal dapat ditunjukkan dengan 6 koordinat.- Penting untuk mengetahui jumlah minimum

koordinat yang diperlukan untukmenggambarkan suatu sistem N partikel.

- Batasan yang ada harus dapat dirumuskan agar jumlah minimum itu diketahui.

Jika m=jumlah persamaan yang menggambarkanbatasan

Jumlah minimum koordinat: n=3N-m, yakni qk, k=1,2…..,nyang disebut koordinat umum

Page 69: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

69

Misalkan koordinat umum suatu sistem: q1, q2, …….., qn

Jika satu sama lain tidak bergantung: sistem disebut holonomik; jikabergantung sama lain disebut nonholonomik.

Contoh 1: silinder berguling di atas permukaan datar hanya memerlukan 4 koordinat untuk mengungkapkan konfigurasinya, 2 untuk posisi pusatmassa dan 2 untuk orientasinya.

φ

θx

yv

dφadydφθadx

dtdφavθ;v

dtdyθ;v

dtdx

θcossin

cossin

−==

=−==

a

nonholonomik

Page 70: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

70

Tinjau partikel tunggal (N=1), koordinatnya x,y,z, masing-masingfungsi koordinat umum q1, q2, q3 (n=3):

)z(q)q,q,z(qz)y(q)q,q,y(qy)x(q)q,q,x(qx

k321

k321

k321

======

Misalkan terjadi perubahan:

( ) ( )332211321 δqq,δqq,δqqq,q,q +++→

Maka terjadi pula perubahan x→x+δx

∑=

= ∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=3n

1kk

k3

32

21

1

δqqxδq

qxδq

qxδq

qxδx

Hal yang sama pada y dan z.

Page 71: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

71

Secara umum, untuk N partikel dengan n koordinat umum:

n.sd1kN,sd.1i;δqqxδx

n

1kk

k

ii ==

∂∂

= ∑=

Hal yang sama pada y dan z.

Catatan:

k

i

k qxatau

qx

∂∂

∂∂

masih fungsi koordinat umum qk

δx tak sama dengan dx; dx adalah pergeseran benar (nyata) sedangkan δx pergeseran virtual (tidak pada kenyataannya)

Page 72: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

72

3.2 Gaya yang digeneralisasiTinjau gaya F bekerja pada satu partikel bermassa m menyebabkanpergeseran virtual δr. Usaha oleh gaya:

δzFδyFδxFr.δFδW zyx ++==rr

Ganti δx, δy dan δz dengan ungkapan koordinat umum

∑∑==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=n

1kkk

n

1kk

kz

ky

kx δqQδq

qzF

qyF

qxFδW

disebut gaya yang digeneralisasi terkait dengan koordinat umum qk.

Jika qk berdimensi jarak, Qk bermensi gaya.

Jika qk berdimensi sudut, Qk bermensi momen gaya.

kz

ky

kxk q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Page 73: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

73

Untuk sistem N partikel, misalkan gaya F1, F2,…..,FN

Total usaha:

( )

∑∑

∑∑

=

=

= =

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

++==

N

1i k

iiz

k

iiy

k

iixk

k

n

1kk

k

N

1i

n

1k k

iiz

k

iiy

k

iix

N

1iiiziiyiix

N

1iii

qzF

qyF

qxFQ

δqQ

δqqzF

qyF

qxF

δzFδyFδxFr.δFδWrr

Gaya yang digeneralisasi

Page 74: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

74

Sistem Kekekalan (conservative)

Misalkan suatu partikel dalam pengaruh medan gaya konservatifyang digambarkan oleh fungsi potensial V=V(x,y,z). Maka komponengaya konservatif pada partikel

zVF;

yVF;

xVF zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=

Maka gaya yang digeneralisasi adalah:

k

kkk

kz

ky

kxk

qV

qz

zV

qy

yV

qx

xV

qzF

qyF

qxFQ

∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Page 75: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

75

Contoh 2:

Tinjau gerakan partikel bermassa m di atas bidang. Denganmenggunakan koordinat polar (r,θ) sebagai koordinat umum, hitunglah(i) pergeseran δx dan δy, (ii) gaya yang digeneralisasi jika partikel itu mengalami gaya yx FjFiF +=

r

q1=r dan q2= θ→holonomik

m

θr

θθ

θθθ

θθ

θθθ

cos,sin;sin),(

sin,cos;cos),(

ryryrryy

rxrxrrxx

=∂∂

=∂∂

==

−=∂∂

=∂∂

==

x

y

(i) pergeseran δx dan δy

θδθθδδθθ

δδ

θδθθδδθθ

δδ

cossin

sincos

rryrryy

rrxrrxx

+=∂∂

+∂∂

=

−=∂∂

+∂∂

=

Fr

Page 76: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

76

(ii) gaya yang digeneralisasi

θ

θ

θθ

θθθθ

θθ

rFFFr

rFrFyFxFQ

FFFryF

rxFQ

qzF

qyF

qxFQ

yx

yxyx

ryxyxr

kz

ky

kxk

=+−=

+−=∂∂

+∂∂

=

=+=∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

)cossin(

cossin

sincos

Contoh 3:Tinjaulah gerakan partikel bermassa m yang bergerak dalam ruang. Gunakan koordinat umum (r,θ,z), hitunglah(i) pergeseran δx, δy, δz; (ii) gaya yang digeneralisasi jika partikel mengalami gaya

zyx FkFjFiF ++=r

Page 77: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

77

zzryrxzqqrq

======

;sin;cos,, 321

θθθ

z

xyrθ

.1;0;0;),,(

0;cos,sin;sin),,(

0;sin,cos;cos),,(

=∂∂

=∂∂

=∂∂

==

=∂∂

=∂∂

=∂∂

==

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

==

zzz

rzzzrzz

zyry

ryrzryy

zxrx

rxrzrxx

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθθ

zzzzzr

rzz

rrzzyyr

ryy

rrzzxxr

rxx

δδδθθ

δδ

θδθθδδδθθ

δδ

θδθθδδδθθ

δδ

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

cossin

sincos

(i) pergeseran δx, δy, δz

Fr

Page 78: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

78

(ii) gaya yang digeneralisasi

zzyxz

yx

yxzyx

ryxzyxr

FzzF

zyF

zxFQ

rFFFr

rFrFzFyFxFQ

FFFrzF

ryF

rxFQ

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=+−=

+−=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=+=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

θ

θ

θθ

θθθθθ

θθ

)cossin(

cossin

sincos

kz

ky

kxk q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Page 79: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

79

3.3 Persamaan Lagrange Partikel Tunggal

Bertolak dari rumusan energi kinetik dalam koordinat Cartesian (x,y,z):

( ) dstdimana:2222

1

dtdxxzyxmK =++= &&&&

)();();( qzzqyyqxx ===

( )qqxqqx

tq

qx

tq

qx

tq

qx

tq

qxx

n

kk

k

n

k

k

k

n

n

&&&

&

,

..............

1

1

2

2

1

1

=∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

=

=

( ) ( ) ( )qqzzqqyyqqxx &&&&&&&&& ,;,;, ===

Kecepatan:

[ ]),(),(),( 2222

1 qqzqqyqqxmK &&&&&& ++=

Page 80: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

80

Turunan K terhadap :kq& ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

kkkk qzz

qyy

qxxm

qK

&

&&

&

&&

&

&&

&

Tapiqx

qx

k ∂∂

=∂∂&

&⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

kkkk qzz

qyy

qxxm

qK

&&&&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

kk

kkkkk

qz

dtdzm

qzzm

qy

dtdym

qyym

qx

dtdxm

qxxm

qK

dtd

&&&

&&&&&&&

Karenakkk qx

dtdx

qqx

dtd

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ &

( )22

1 xmqq

xxmqx

dtdxm

kkk

&&

&&∂∂

=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Page 81: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

81

Jika gaya bersifat konservatif:k

k qVQ

∂∂

−=

kkk qV

qK

qK

dtd

∂∂

−=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

disebut persamaan gerakkkk

QqK

qK

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∴&

zmFymFxmF zyx &&&&&& === ;;Hukum Newton II:

( )

kk

kkz

ky

kx

k

qKQ

zmymxmqq

zFqyF

qxF

qK

dtd

∂∂

+=

++∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ 2

212

212

21 &&&

&

Page 82: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

82

Fungsi Lagrange:

),(),(),( qqVqqKqq &&& −=L

Catatan: Meskipun V=V(q), tetapi V bukan fungsi

0;)( =∂∂

=kqVqVV&

q&

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

−∂∂

=−∂∂

=∂∂

∂∂

=−∂∂

=∂∂

kkkkk

kkk

qK

dtd

qV

qKVK

qq

qKVK

qq

&

&&&

L

L

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∴kk qqdt

d LL&

Inilah persamaan gerak Lagrange bagipartikel dalam medan gaya konservatif.

Page 83: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

83

Contoh 4:

Tinjaulah suatu partikel bermassa m bergerak di atas bidang danmengalami gaya tarik berbanding terbalik dengan jarak. (i) Tentukanlah persamaan gerak dan(ii) rumusan gaya yang digeneralisasi.

Misalkan koordinat polar (r,θ) sebagai koordinat umum; q1=r ;q2= θ; x=r cos θ; y=r sin θ

m

θr

x

y

22222

222222

222222

sincos2cossincossin

sincos2sincossincos

θ

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

&&&&

&&&&&&&

&&&&&&&

rryxrrrryrry

rrrrxrrx

+=+

++=→+=

−+=→−=

Page 84: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

84

)()( 2222

1222

1 θ&&&& rrmyxmK +=+=

rk

yxkV −=+

−=22

Rumusan energi kinetik K dan energi potensial V:

Fungsi Lagrange:rkrrmVK ++=−= )( 222

21 θ&&L

Persamaan Lagrange:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

0

00

θθLL

LLLL

&

&

&

dtd

rrdtd

qqdtd

kk

(i) Tentukanlah persamaan gerak

Page 85: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

85

rmrdt

drmr

&&&

&&

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

→=∂∂ LL

22

rkmr

r−=

∂∂ θ&L )1(02

2 =+−rkmrrm θ&&&

Tapi: 2rk

rk

rrVFr −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

−=∂∂

−=rFmrrm += 2θ&&&

0

2 22

=∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

→=∂∂

θ

θθθ

θθ

L

LL &&&&&

&&

mrrmrdtdmr

)2(020 2 =+→=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ θθ

θθ&&&&

&mrrmr

dtd LL

konstantsudut momentum

0)(2

2

22

θ

θθθ

&

&&&&&

mrL

mrdtdmrrmr

=

==+m

θ

rF

x

y

θ&

r

Dalam pengaruh medan gaya konservatif, momentum sudut benda adalah konstan.

Page 86: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

86

0)cos(sin)sin(cos

sincos

.0;sin;cos

cos;sin;sin,cos

22

=−−−=

=−=−−=∴

=−=−=

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

θθθθ

θθ

θθ

θθ

θθθ

θ

θ rrkr

rkQ

Frk

rk

rkQ

FrkF

rkF

ryryrx

rx

rr

zyx

kz

ky

kxk q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

(ii) rumusan gaya yang digeneralisasi.

x=r cos θ; y=r sin θ

Qθ=momen gaya, tapi karena gaya menuju pusat maka Qθ=0

m

θx

y

rx=rcosθ

y=rsinθ

Page 87: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

87

Contoh 5:

Sebuah mesin Atwood mempunyai katrol dengan momen inersia Isekitar sumbunya. Panjang kawat ℓ, menghubungkan kedua beban m1dan m2. (i) Tentukanlah percepatan sistem jika ℓ =konstan. (ii) Jika ℓ tidaktetap. Abaikan gesekan.

(i) Misalkan: x= jarak massa m1 ke katrol, L-x= jarak massa m2 ke katrol

Jadi, tingkat kebebasan hanya 1, x saja.

xdtxLdvx

dtdxv && −=

−===

)(; 21

21, vva

=== υυω

2

2

212

2212

121

axIxmxmK&

&& ++=Energi kinetik:

)(21 xLgmgxmV −−−=Energi potensial:

Page 88: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

88

Fungsi Lagrange: L=T-V

gLmxmmgaxIxmxm

xLgmgxmaxIxmxm

2212

2

212

2212

121

212

2

212

2212

121

)(

)(

+−+++=

−++++=

&&&

&&&L

gaImm

mmxmmgxaImm

xaImmxdt

dxaImmx

mmgx

xxdtd

qqdtd

kk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=→=−−++

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

→++=∂∂

−=∂∂

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

→=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

221

2121

221

221

221

21

/0)()/(

)/()/(

)(

00

&&&&

&&&

&&

&&

LL

L

LLLL

Jika m1>m2: m1 turun dengan percepatan tetap, jika m1<m2: m1 naik dengan percepatan tetap

Page 89: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

89

(ii) Jika ℓ tidak tetap, maka ℓ juga suatu koordinat.

222

1212

1

2

2212

121 )()( xmxmx

dtdmxmK &l&&l& −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

( ) ( ) ( )( ) ( ) l

l

δδδδδ

SgmxSgmgmxSgmxSgmW

−+−−=−−+−=

221

21

SgmQSgmgmQQxQW xLx −=−−=+= 221 ;; llδδδ

( )

( )Sgmxm

SgmxmdtdQKK

dtd

gmmmxmm

gmmxmxmdtdQ

xK

xK

dtd

x

−=−

−=−→=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=−+

−=+−+→=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

22

22

21221

2121

)(

)(

)()(

)()(

&&l&&

&l&ll&

l&&&&

&l&&&

l

Persamaan gerak Lagrange: kkk

QqK

qK

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

Page 90: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

90

( ) gmmmmg

mmmmmgmSSgmxm

gmmmmxgmmxmm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+−

+=→−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=→−=+

==

21

21

21

212222

21

212121

2

)()(

0Substiusi

&&

&&&&

l&&l&

Page 91: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

91

3.4 Persamaan Lagrange Sistem Partikel

Energi kinetik N partikel: ( )∑=

++=N

iiiii zyxmK

1

2222

1 &&&

Karena ada 3N derajat kebebasan, penulisan cukup pakai xi dengani=1,2,….,3N

∑=

=N

iii xmK

3

1

22

1 &

Nyatakan: ),,.......,,( 21 tqqqxx nii =

txq

qx

txq

qxq

qxq

qxx

dtdx

in

kk

k

i

in

n

iiii

i

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

==

∑=1

22

11

........

&

&&&&

i=1,2,……..,3N; N=jumlah partikelk=1,2,……,n; n=jumlah koordinat umum (tingkat kebebasan)

Page 92: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

92

),,( tqqxx ii &&& =Karena

Energi kinetik: ),,( tqqKK &=

∑∑== ∂

∂=⎟

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂ N

i k

iii

N

iii

kk qxxmxm

qqK 3

1

3

1

22

1

&

&&&

&&

∑= ∂

∂=

∂∂ N

i k

iii

k qxxm

qK 3

1

&&

∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ N

i k

iii

N

i k

iii

k qx

dtdxm

qxxm

qK

dtd 3

1

3

1

&&&&

( )k

N

iii

k

N

i k

iii q

Kxmqq

xdtdxm

∂∂

=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ∑∑

==

3

1

22

13

1

&&

∑∑== ∂

∂=

∂∂

=N

i k

iii

N

i k

iixk q

xxmqxFQ

3

1

3

1

&&Gaya yang digeneralisasi:

kkk

QqK

qK

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

k=1,2,…….,n

Persamaan gerak:

Page 93: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

93

Jika sistem partikel dalam pengaruh medan gaya konservatif, maka

)(; qVVqVQk

k =∂∂

−= = Energi potensial

Fungsi Lagrange: L =K-V

nkqqdt

d

kk

,......,2,1;0 ==∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL&

Persamaan gerak Lagrange:

Jika diantara Qk ada gaya nonkonservatif, misalnya gesekan

kkk q

VQQ∂∂

−= ' nkQqqdt

dk

kk

,......,2,1;' ==∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL&

Page 94: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

94

An inclined plane of mass M is sliding on a smooth horizontal surface, while a particle of mass m is sliding on a smooth inclined surface, as shown in Fig. Find equations of motion of the particle and the inclined plane.

Contoh 6:

Koordinat umum: x1 dan x2.

Kecepatan m terhadap titik O1: θcos2 2122

212 xxxxv &&&& ++=

Total energi kinetik: ( )θcos2 2122

212

1212

1222

1212

1 xxxxmxMmvxMK &&&&&& +++=+=

Energi potensial: θsin2mgxV =

Fungsi Lagrange: ( ) θθ sincos2 22122

212

1212

1 mgxxxxxmxM −+++= &&&&&L

Page 95: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

95

[ ]( ) )1(0cos0)cos(

)cos()cos(

0

21211

2112111

1

=++→=++

++=++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

θθ

θθ

xmxmMxxmxM

xxmxMxxmxMdtd

xdtd

x

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

L

L

( )

)2(0sincos

coscos

sin

12

12122

2

=++

+=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

θθ

θθ

θ

mgxmxm

xmxmxmxmdtd

xdtd

mgx

&&&&

&&&&&&&

L

L

( ) θθ sincos2 22122

212

1212

1 mgxxxxxmxM −+++= &&&&&L

( ) gmMmMxg

mMmx

)sin(sin;

sincossin

2221 θθ

θθθ

++

=+

−=∴ &&&&

Page 96: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

96

Contoh 7:

Dua massa yang sama terikat pada pegas diatas lantai horizontal licin, sepertidalam gambar. Turunkn persamaan gerak dengan metoda Lagrange.

Koordinat umum: x1 dan x2

Energi Kinetik: 222

1212

1 xmxmK && +=

Energi potensial: 222

12212

1 )( kxxxkV +−=

Fungsi Lagrange: 222

12212

1222

1212

1 )( kxxxkxmxm −−−+= &&L

( )

( ) 02

2

0

212222

212

211111

211

=+−→==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

=−+→==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−=∂∂

kxkxxmxmxmdtd

xdtd

kxkxx

kxkxxmxmxmdtd

xdtd

kxkxx

&&&&&&

&&&&&&

L

L

L

L

Persamaan terkopel

Page 97: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

97

3.5 Momentum yang digeneralisasi

Misalkan Lagrangian untuk sistem dengan n derajat kebebasan, adalah:

),.......,,,.......,,), 2121 tq,qqq,q(qtq(q, nn &&&& LL =

Momentum yang digeneralisasi pk adalah,

kecepatanbergantungtidakVjikak

k

kk

qp

qTp

&

&

∂∂

=

∂∂

=

L

Dari persamaan gerak Lagrange untuk sistem konservatif:

nkqqdt

d

kk

,......,2,1;0 ==∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL&

kk

kk q

pnkq

p∂∂

=→==∂∂

−LL

&& ,......,2,1;0

Page 98: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

98

Jika Langrangian tak bergantung pada qk makaL 0=∂∂

kqL

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=k

k qdtdp

&&

L Konstan=∂∂

=k

k qp

&

L

Jadi, jika Langrangian tak bergantung pada qk maka pk (momentum yang digeneralisasi) adalah suatu konstanta gerak (tak bergantung waktu).

Contoh 8:

Lagrangian gerak partikel dalam medan sentral, bila diungkapkan dalamkoordinat polar adalah:

( ) )(2222

1 rVrrmVK −+=−= θ&&L

Di sini θ&&,, rr adalah koordinat umum. Maka

sentral gaya karenakonstan 2 ==∂∂

= θθθ

&&mrp L

di mana pθ adalah momentum sudut, merupakan konstanta gerak.

Page 99: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

99

4.1 Fungsi Hamilton; Hukum kekekalanSuatu sistem yang tidak berinteraksi dengan sistem luar disebut sistemtertutup. Pertikel-partikel di dalamnya bisa tidakberinteraksi atauberinteraksi. Ada 7 konstanta gerak dalam sistem tertutup: - Momentum linier ( 3 buah komponen) - Momentum sudut ( 3 bah komponen)-Total energi

Konstanta-konstanta gerak ini dapat diturunkan dari persamaan gerakLagrangian.

Kekekalan momentum linierTinjau fungsi Lagrange sistem tertutup dalam kerangka inersial. Sifatkerangka inersial adalah:

Suatu sistem tertutup tidak terpengaruh oleh translasi dari sistemkeseluruhan.

BAB 4 RUMUSAN HAMILTON

Page 100: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

100

Jadi, fungsi Lagrange sistem tertutup dalam kerangka inersial tidakterpengaruh (atau invarian) oleh translasi.

Jadi, tidak ada variasi fungsi Lagrange yang disebabkan variasikoordinat umum.

∑∑==

=∂∂

+∂∂

=n

kk

k

n

kk

k

qq

qq 11

0&&

δδδ LLL

Karena yang dibicarakan pergeseran sistem, maka δqk tidak bergantungwaktu,

( ) 0== kk qdtdq δδ &

∑=

=∂∂

=n

kk

k

qq1

0δδ LLsehingga

Jadi berlakulah: 0=∂∂

kqL

Page 101: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

101

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

kk qqdtd LL

&Pers. Gerak Lagrange:

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

kqdtd

&

L

konstan=∂∂

kq&L

[ ]

konstan

)(

)(

1

22

1

=→=

−∂∂

=

−∂∂

=∂∂

∑=

kk

n

kkk

k

kk

pqm

qVqmq

VKqq

&

&&

&&

L

Hukum kekekalan momentum linier

0=∂∂

kqL

Page 102: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

102

Hukum kekekalan momentum sudut

∑∑==

=∂∂

+∂∂

=n

kk

k

n

kk

k

qq

qq 11

0&&

δδδ LLL

→∂∂

=∂∂

=k

kk

k qp

qp LL

&&

; ∑∑==

=+=n

kkk

n

kkk qpqp

110&& δδδ L

Lihat gambar: rrrrr&

rr&

rrr×=×= θδδθδδ ;

Dalam bentuk vektor: 0.. =+= rprpr&

rrr& δδδL

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

konstan0

0.

0.

0..

=→=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×=

=×+×=

=×+×=

LdtLd

Lrp

rpdtd

rprp

rprp

rr

rrr

rrr

r&

rrr&

r

r&

rrrr&

r

θδδ

θδδ

θδθδδ

L

L

L

Hukum kekekalan momentum sudt

Page 103: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

103

Hukum kekekalan energi

Diferensial dari fungsi Lagrange lengkap dengan waktu

;dtt

qdq

dqq

dk

kk

kk ∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∑ LLLL &

&

kkkk qqdtd

qqdtd

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

→=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LLLL

&&0

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=k k

kk k

kk

k qq

dtd

qq

qdtdq

dtd

&&

&&&

&&

LLLL

konstan0 =−∂∂

→=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂ ∑∑

k kk

k kk q

qq

qdtd

LL

LL

&&

&&

Ini yang didefenisikan sebagai fungsi Hamilton

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∴k

kk

kk

qq

qqdt

d&&

&&

LLL

Karena fungsi Lagrange tidak mengandung eksplisit waktu, 0=∂∂tL

Dari

Page 104: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

104

konstan∑∑ =−=−∂∂

=∴k

kkk k

k qpq

q LLL

H &&

&

Jadi fungsi Hamilton suatu sistem adalah konstan.

kk qp

&∂∂

=LIngat:

Karena V tidak fungsi kecepata, makakkk qKVK

qq &&& ∂∂

=−∂∂

=∂∂ )(L

∑∑ =∂∂

=∂∂

k kk

k kk K

qKq

qq 2

&&

&&L

Berdasakan teorema Euler, karena K adalah fungsi kuadratik yang homogen, maka

konstan2 ==+=−=∴ EVTT LH

Page 105: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

105

4.2 Persamaan gerak Hamilton

;dtt

qdq

dqq

dk

kk

kk ∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∑ LLLL &

&

Variasi fungsi Lagrange:

→∂∂

=∂∂

=k

kk

k qp

qp LL

&&

; ( ) ;dtt

qdpdqpdk

kkkk ∂∂

++=∑ LL &&

( ) dtt

dqpdpqqpd

qdpqdpqpd

kkkkk

kkk

kkkkk

kkk

∂∂

−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+=

∑∑

∑∑L

L &&&

&&&

( ) dtt

dqpdpqdk

kkkk ∂∂

−−=∑ LH &&

Page 106: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

106

Karena dtt

dqq

dpp

dk

kk

kk ∂

∂+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∑ HHHH

;

;

kk

kk

qp

pq

∂∂

=−

∂∂

=

H

H

&

&

maka diperoleh:

Inilah persamaan gerak Hamilton

Karena kesimetriannya, pers. inidisebut persamaan kanonik

Jika waktu tidak eksplisit dalam fungsi Hamiltonian: 0=∂∂tH

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

= ∑∑k kkkkk

kk

kk pqqp

qq

ppdt

d HHHHHHH&&

HJadi, adalah konstanta gerak

tt ∂∂

−=∂∂ LH

Page 107: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

107

Contoh 1:

Sebuah partikel bermassa m mengalami gaya tarik k/r2, dengan k adalah konstanta. Turunkan fungsi Hamilton dan persamaan gerakHamilton.

Gunakan koordinat polar (r,):

rkrrmVK

rkrde

rkrdFV

rrmK

rr

r

++=−=

−=−−=−=

+=

∫∫∞∞

)(

).ˆ(.

)(

2222

1

2

2222

1

θ

θ

&&

rrr

&&

L

2

22

2

22

;

mrp

mpK

mrprmpq

p

r

rk

k

θ

θ θ

+=

==→∂∂

= &&&

L

rk

mrp

mpVK r −+=+= 2

22

22θH

Page 108: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

108

θθ

θ

θθ

θ

θθ

θθ

&&

&&

&

&&

22

23

2

23

2

konsta0

mrpmrp

p

rmpmp

pr

npp

rk

mrpp

rk

mrp

rp

rr

r

rr

=→=∂∂

=

=→=∂∂

=

=→=∂∂

=−

−=→+−=∂∂

=−

H

H

H

H

Persamaan gerak:

konstan2 == θθ&mrp

Page 109: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

109

Contoh 2:

Tunjukkanlah gerak partikel massa m yang bergerak dipermukaansilinder berjari-jari a, ditarik oleh gaya yang sebanding denganjaraknya ke sumbu-z.

Berdasrkan koordinat silinder r,z,θ:

0=→= rar &

22

1222

122

1 zmmarmK &&& ++= θ

)( 222

122

1 zakkrVrkF +==→−=rr

22

1222

1 zmmaK && += θ

)()( 222

12222

1 zakazmVK +−+=−= θ&&L

2

22

2

22

;

map

mpK

mapzmpq

p

z

zk

k

θ

θ θ

+=

==→∂∂

= &&&

LMomentum sudut

Page 110: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

110

)(22

222

12

2

2

zakmp

map z +++= θH

θθ

θ

θθ

θ

θθ

&&

&&

&

&&

22

konstan0

mapmap

p

zmpmpz

p

pp

kzpkzpz

zz

z

zz

=→==∂∂

=→==∂∂

=→=−=∂∂

−=→=−=∂∂

H

H

H

H

)cos(

;0

ϕω

ω

+=

=→=+

tAzmkkzzm &&

konstan2 == θθ&map

;

;

kk

kk

qp

pq

∂∂

=−

∂∂

=

H

H

&

&

Page 111: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

111

4.3 Gasing dengan momen gaya

Tinjau gerak gasing dalam medangravitasi uniform di mana satu titik darisumbu simetrinya tetap, yakni titik O yang tidak berimpit dengan pusatmassa. Jadi, gasing ini tak mempunyaigerak translasi.

Misalkan I3>I1=I2.

Sumbu-x’3 adalah sumbu tegak, sedangkan x3 adalah sumbu simetrigasing. Gaya F tidak menimbulkanmomen gaya, sedangkan gaya berat Mg menimbulkan momen gaya N di titik O.

N

N

konstantcossincossin

cossinsin

3

2

1

=+=−=

+=

ψθϕωψθψθϕω

ψθψθϕω

&&

&&

&&

Page 112: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

112

Energi kinetik:( ) ( )232

122212

1

2332

12222

12112

1

cossin ψθϕθθϕ

ωωω

&&&& +++=

++=

II

IIIK

Energi potensial: θcos. MglRgMV =−=rr

Fungsi Lagrange:

( ) ( ) θψθϕθθϕψϕθθ coscossin 232

122212

1 MglII

VK

−+++=

−=

&&&&&&& ),,,L(

L

( )

)coscos

cos(sin

)coscos(sin

coskonstantcos

3

323

21

23

21

3

3333

θθϕ

θϕθϕ

θψθϕθϕϕ

θϕψψθϕω

ψ

ψ

ϕ

ψψ

IIp

II

IIp

IIp

IIp

&&&

&&&&

&&&&

&

−++=

++==∂∂

−=→=+===

∂∂

L

L

Page 113: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

113

ψψϕψ

ψ

ψϕψϕ

ωθθθ

ω

θϕψ

θθ

ϕθθϕϕ

pIIpp

IpIIp

Ipp

pIp

=→−

−=∴

−=

−=→+==

∂∂

33213

3

3

3

21

21

cossin

cos

cossin

coscossin

&&

&&&

L

Energi total:

( ) ( )

θθϕθθθ

θθϕθ

ω

ωθθϕθ

θψθϕθθϕ

cossin)();(

cossin

'

cossin

coscossin

2212

1212

1

2212

1212

1

2332

1

2332

12212

1212

1

232

122212

1

MglIVVI

MglII

IEE

IMglII

MglIIE

VKE

+=+=

++=

−=

+++=

++++=

+=

&&

&&

&&

&&&&

Page 114: MEKANIKA II - · PDF fileHukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α: ... memenuhi Hukum Newton 3. Dengan demikian maka berlaku: 1. Hukum kekekalan momentum linier dan momentum

114

ψθωθωψωψθω

ψωψθω

ψϕθϕ

θϕ

cossin))(cos)(sincossin(

)cossinsin(

23

1

MglIIdtdI

=−+−+

+

ψθωθωψωψθω

ψωψθω

ψϕθϕ

θϕ

sinsin))(cos)(coscossin(

)sincossin(

31

2

MglIIdtdI

−=−+++

0)cos(3 =+ ψϕ ωθωdtdI

ikkjijki

i NIωωεdt

dωI =+

0Nθsinsin MglNcosθsin MglN

θsin MglNgMrN

3

2

1

=−=

==→×=

ψψ

rrr