Mecânica Fundamental

Conceitos Fundamentais

• espaço.• tempo.

sistema de coordenadas.x, y, z.r, θφ.

z

x

y

rθ

φ

Partícula ou ponto de massa

• tem massa mas não extensão espacial.

Grandezas Físicas e Unidades

A unidade padrão de comprimento é o metro.m

A unidade padrão de massa é o quilograma.kg

A unidade padrão de tempo é o segundo.s

quilograma.

1.000.00segundo.

Grandezas Escalares e Vetoriais

•Escalar.(densidade, volume e temperatura.)

•Vetores.(deslocamento espacial)

Vetores

Se A é o deslocamentode P1(x1, y1, z1)

entãoAx = x2 - x1Ay = y2 - y1Az = z2 - z2

a P2(x2, y2, z2)

Definições Formais e Regras

[Ax, Ay, Az] = [Bx, By, Bz]

Ax = Bx Ay = By Az = Bz

Adição

= [soma 1º, soma 2º, soma 3º]

Multiplicação por um Escalar

Subtração de Vetores

O Vetor Nulo

A Lei Comutativa da Adição

Exemplo:

A Lei Associativa

= [Ax + (Bx + Cx), Ay + (By + Cy), Az + (Bz + Cz)]

= [(Ax + Bx) + Cx, (Ay + By) + Cy, (Az + Bz) + Cz ]

A Lei Distributiva

= c[Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz]

= [c(Ax + Bx), c(Ay + By), c(Az + Bz)]

= [cAx + cBx, cAy + cBy, cAz + cBz]

Módulo de um Vetor

Vetores Unitários

= [Ax, Ay, Az]

= [Ax, 0, 0] + [0, Ay, 0] + [0, 0, Az]

= Ax [1, 0, 0] + Ay [0, 1, 0] + Az [0, 0, 1]

Significado Geométrico das Operações Vetoriais

Igualdade de Vetores

A = BABBy

Ay

Ax

Bx

y

xO

A

B

Ay

Ax

By

Bx

C

A

B

C = A+B = B+A

x

y

O

O negativo de um vetor.

A-A

A

A

A

3A

O Produto Escalar

Assim:

= Ax(Bx + Cx) + Ay(By + Cy) + Az (Bz + Cz)

= AxBx + AyBy + AzBz + AxCx + AyCy + AzCz

Definição alternativa do produto escalar.

Exemplos do Produto Escalar

F

ΔS

θ

Módulo:

Ortonormalidade de uma base:

Trabalho:

Lei dos Cossenos

O Produto Vetorial

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

i j

Ax Ay

Bx By

Pode-se mostrar que:

Pode-se mostrar que:

i

j k

i j k

1 0 0

0 1 0

Interpretação Geométrica do Produto Vetorial

Ortogonalidade do produto vetorial

= AxCx + AyCy + AzCz

= Ax (AyBz - AzBy) + Ay (AzBx - AxBz) + Az (AxBy - AyBx)= AxAyBz - AzBy Ax + AyAzBx - AxBz Ay + AzAxBy - AyBx Az

= 0

= (2)(1) + (1)(−1) + (−1)(2)= 2 − 1 − 2= −1

(2) (1) (−1)

(1) (−1) (2)

Ângulo entre A e B

Torque ou Momento da Força

rF

Pθ

O

Cossenos diretores

Ex: seja n unitario de A

Ex: encontrar o unitário perpendicular aos vetores

Produtos Triplos

Comutando duas linhas

Prove que:

Aula 2

Derivada de vetores

Integral de vetores

Transformações de sistemas de coordenadas

Velocidade relativa

Aceleração normal e tangencial

SS’

x

y

z

x’

y’

z’

45º

45º

Derivada de um Vetor

Vetor Posição de uma Partícula

O x

y

z

ix

jy

kz

r

O Vetor Velocidade

r

r+Δr

Δr

v

OP

P’

P’’

P’’’

P (4)

P(5)

Vetor Aceleração

Exemplo:

Exemplo:

Integração Vetorial

Exemplo:

v2v1

Velocidade Relativa

r2r1

r12

v12

O

y

x

v0

O

v0

P

P

s

s

r

ϕ

C

vrel

vrel

vrel

vrel

v0v0

v0

v0

v0

vrelvrel

vrel

vrel

v0v0

v0

v0

v0

v

v = 2 v0

v

v =0

v

y

x

C

P

v0

vrelvrel v

v0

b

O

y

x

C P

v0

vrelv

v0

t=0

O

Derivadas de Produtos de Vetores

+_

+

+

Componentes Normal e Tangencial da Aceleração

CΔSΔφ

n

n’

τ

P’

P Δτ

τ’

Δτ

Δφ

Δφ Δφ

τ

Esta apresentação foi desenvolvida pelo

Prof. Gustavo de Almeida Magalhães Sáfar

e corrigida, conferida e ampliada pelo

Prof. João Francisco C. Santos Jr.

no Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas

da Universidade Federal de Minas Gerais.