LanjutanHakekat Derivatif dan Diferensialdxdyxyxf(x) yxy!((p (! ((0limkurva dari lerengdy/dxterdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x : dx = xDiferensial dari y : dy=(dy/dx) xVariabel terikaty dy/dx lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu.yy/x lereng yang sesungguhnya (the true slope)y Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya(teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas)yFungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun xdy/dx = y/ xx = dxPQRy = dyy = f(x)Perubahan x = xPerubahan y = yDiferensial x = dxDiferensial y = dyKuosien diferensi = y/ xDerivatif = dy/dxdy/dx = y/ xyFungsi y = f(x) yang non-linierx = dxPSRQQS=dxQR=yPQRSx = dxQR=dyQS=x(a)(b)yyx x00dy > yOver-estimateddy < yUnder-estimatedDerivatif dari derifatify Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya).y Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.0 /6 / ' ' '8 6 / ' '5 8 3 / '7 5 4 ) (:4 4 '3 32 222 3! !! ! ! !! ! ! !dx y d ydx y d yx dx y d yx x dx dy yx x x x f ycontohvHubungan antara fungsi dan DerivatifnyayDengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya besarnya turunan pertama dan turunan keduaakan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebutyKita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.konstanta ' ' 'near f ngsi 8 2 / ' 'kua rat fungsi 5 8 / 'kubik fungsi 5 12 431) (3 32 222 3ppppdx y d yx dx y d yx x dx dy yx x x x ycPerhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannyaFungsi Menaik dan Menuruny Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.Lereng positif fungsi menaikLereng negatif fungsi menurunLereng nolLereng noly = f(x)f (a) > 0, y = f(x) menaikf (a) < 0, y = f(x)menurunf (a) > 0, y = f(x) menaikf (a) < 0, y = f(x)menurunUji Tanda y Apabila turunan pertama f(x) = 0, berarti y = f(x)berada di titik ekstrimy Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f(a) = 0.y Jika f(x) > 0 untuk x < a dan f(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.y Jika f(x) < 0 untuk x < a dan f(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Titik ekstrim fungsi paraboliky Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.ySedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.y Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik.y = f(x) = x2- 8x + 12 .fungsi paraboliky = f(x) = dy/dx = 2x 8 .fungsi lineary = f(x) = d2y/dx2= 2 .konstantay Parabola y = f(x) = x2- 8x + 12 , mencapai titik ekstrim dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)y = 0, nilai variabel bebas x = 4.x = 4dimasukkan ke dalam persamaan Paraboladidapat nilai y = -44 2 6-4-8212(4,-4)y = 2xyy= 2x - 8y = x2 8x + 120y Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y = 0yJika y < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum.yJika y > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubiky Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.y Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :y = 1/3x3 3x2+ 8x 3.fungsi kubiky = x2 6x + 8 fungsi kuadratiky = 2x 6..fungsi linearyJika y = 0, x2 6x + 8 = 0(x 2)(x 4) = 0x1= 2, x2= 4yUntuk x1= 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67)titik ekstrim maksimumyUntuk x1= 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y = -2 < 0 (turunan kedua negatif ) yUntuk x2= 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33)titik ekstrim minimumyUntuk x2= 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y = 2 > 0 (turunan kedua positif )yJika y = 02x 6 = 0x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3titik belok (3,3)32 4-4-628(3,-1)y = 2xyy= 2x 6 y = x2 6x + 80-23.67y = 1/3x3 3x2+ 8x + 3(3,3)(2,3.67)(4,2.33)yFungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y = 0yJika y < 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimumyJika y > 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimumyFungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y = 0Relationship between marginal-cost and average-cost functionsy TC = C(Q)total cost y MC = C'(Q)marginal costyAC = C(Q)/Qaverage cost 21QQ C Q Q CQQ CQ

'= ) )

'=QQ CQ CQ1? A 01!! AC MCQCMCACQPenerapan lain :y Elastisitasdengan rumus umum :yxdxdyx xy yx ExEyy !((p (! !//0limL