Download - Matematicka statistika

Transcript

Matemati~ka statistika2.1 NEKOI RASPREDELBI ZNA^AJNI ZA MATEMATI^KATA STATISTIKA a) n -raspredelba2

Ako X e slu~ajna promenliva od neprekinat tip so gustina na raspredelbax n 1 2 x2 e , x>0 n ( x) = 2 n 2 2 0 , x0

toga{ velime deka X ima n raspredelba so n stepeni na sloboda.2

Matemati~koto o~ekuvawe na ovaa raspredelba e: n 2 + 1 x e 2 2 t E( X ) = x n dx = t e dt = n = n , n n 0 0 2 2 2 2 2 n x 1 2 2 n 2

dodeka disperzijata na ovaa raspredelba e: n 4 + 1 x e 2 D( X ) = E ( X 2 ) E 2 ( X ) = x 2 n dx n 2 = n 2 = 2n . n n 0 2 2 2 2 Karakteristi~nata funkcija }e bide: n +1 2 n 2

X (t ) = 0

x e dx = dx = n n 0 m =0 m! n 2 2 2 2 2 n x m (it ) x m+ 2 1e 2 dx = 1 (it )m 2 m+ n v m + n 1e v dv = 1 = n 0 m! 0 m! 2 2 n n m= n m= 0 0 2 2 2 2 2 2 n 2

n

e itx x 2 e

1

x 2

1

(itx )m

n x 1 2 2

1

n n n n m + 1 L m + m m m + (2it ) 2 = (2it ) 2 2 2 = = m! m! n n m =0 m =0 2 2 (2it )m n n + 1 L n + m 1 ( 2it )m n n 1L n m + 1 2 2 2 = 2 2 2 = = 0 m! m! m =0 m= m

n 1 m = 2 ( 2it ) = . n m =0 (1 2it ) 2 m

Teorema 2.1.a. Ako se X i Y nezavisni slu~ajni promenlivi taka {to X 2 2 2 ima n - raspredelba, a Y ima r - raspredelba, toga{ X + Y ima n+ r raspredelba. 1 1 Dokaz. Bidej}i X (t ) = i Y (t ) = , od nezavisnosta na n r 2 2 (1 2it ) (1 2it ) slu~ajnite promenlivi X i Y sleduva deka 1 X +Y (t ) = X (t )Y (t ) = , n+r (1 2it ) 2 a toa e karakteristi~nata funkcija na n+ r - raspredelbata.2

Teorema 2.1.b. Ako se X 1 , X 2 ,K , X n nezavisni slu~ajni promenlivi taka {to site imaat standardizirana normalna raspredelba2

N (0,1) , toga{

2 slu~ajnata promenliva Y = X 12 + X 22 + L X n ima n - raspredelba.

Dokaz. Bidej}i site slu~ajni promenlivi X m , m = 1,2,K , n imaat N (0,1)x 2 1

2 raspredelba, sleduva deka X m , m = 1,2, K , n , }e imaat gustina

X (x ) =2 m

2 {to zna~i deka X m

, x > 0, 1 2 2 2 ima 1 - raspredelba. Vrz osnova na prethodnata x 2 e1 22

1

=

x2 e

1

x 2

teorema, zbir od n nezavisni slu~ajni promenlivi od koi site imaat 1 raspredelba ima n - raspredelba.2

Teorema 2.1.v. Ako X n - raspredelb, x , 2

X n 1 P < x 2 2n

e

x

t2 2

dt n .

2

b) Studentova t n - raspredelba Ako T e slu~ajna promenliva od neprekinat tip so gustina na raspredelba: n +1 2 (t ) = , t R, n N n +1 2 2 n t n 1 + n 2 toga{ velime deka T ima Studentova t n -raspredelba so n stepeni na sloboda. Od parnosta na funkcijata sledi deka E (T ) = 0 . Teorema 2.1.g. Ako se X i Y nezavisni slu~ajni promenlivi taka {to Y 2 ima n - raspredelba, a X ima N (0,1) raspredelba, toga{ X T= Y n ima Studentova t n - raspredelba. Dokaz. ]e ja najdeme zaedni~kata gustina za T i Y , y y y y = X t Y ( y ) TY (t , y ) = XY t , y t = n n n n t

y > 0. n 2 2 Od zaedni~kata gustina }e ja najdeme marginalnata gustina T : 2 en 2

=

1

t2y 2n

n

y2 e

1

y 2

y , t R, n

n y e n 2 2 2 n 0 2 t2 1 So voveduvawe na smenata y 2n + 2 = v dobivame

T (t ) =

1

n 1 2 2

t2 1 y + 2n 2

dy.

T (t ) =

n +1 2 n t n 1 + n 2 2

n +1

, t R,2

3

{to treba{e da se doka`e.

2.2 OSNOVNI POIMI NA MATEMATI^KATA STATISTIKA Sevkupnosta od elementite koi gi ispituvame ili elementite za koi sakame da dobieme odredena informacija se narekuva populacija. Na populacijata ispituvame odredena karakteristika koja ja narekuvame obele`je. Ako gi sporedime ovie termini so terminite od teorija na verojatnost toga{ populacija pretstavuva mno`estvo na site elementarni nastani (mno`estvo ), a obele`je e slu~ajna promenliva koja ja ozna~uvame so X , Y , Z ,.... . Bidej}i obele`jeto X e slu~ajna promenliva, toa se karakterizira so svoja funkcija na raspredelba F (x ) . Pri ispituvawe na brojnite karakteristiki na populacijata e nevozmo`no ili mnogu te{ko da se ispita celata populacija. Poradi toa se odbira del od populacijata, nare~en primerok, komu mu se odreduvaat brojnite karakteristiki i se donesuva zaklu~ok za celata populacija. Slu~ajnite promenlivi X 1 , X 2 ,..., X n koi imaat zaedni~ka funkcija na raspredelba FX 1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x 2 ,..., x n ) = F ( x1 ) F ( x 2 )...F ( x n ) , kade {to F (x ) e funkcija na raspredelba na obele`jeto X , go ~inat prostiot slu~aen primerok so obem n od populacijata so obele`je X . Prostiot slu~aen primerok pretstavuva n -dimenzionalna slu~ajna promenliva ~ii komponenti X i , i = 1,2,..., n , se nezavisni i ednakvo raspredeleni. Vo matemati~kata statistika }e rabotime samo so prost slu~aen primerok koj }e go narekuvame nakratko primerok. Slu~ajnata promenliva X i pretstavuva numeri~ka karakteristika za i -tiot opit. Posle izborot na primerok, dobivame konkretni vrednosti na slu~ajnite promenlivi X i , i = 1,2,..., n , koi gi obele`uvame so xi , i = 1,2,..., n . Pritoa velime deka ( x1 , x 2 ,..., x n ) e realiziran primerok. Statistika e funkcija od primerokot, Y = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) vo koja ne figuriraat nepoznati parametri na raspredelbata na obele`jeto X . Naj~esto koristeni statistiki se: Aritmeti~ka sredina na primerok: X n =1 n Xi i n i =1 1 n 1 n 2 2 Disperzija na primerok: S n2 = (X i X n ) = X i2 X n . n i =1 n i =1

4

Ako ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok od populacijata na obele`jeto X , toga{ statistikata 1 n k M n = X ik n i =1 pretstavuva moment od k -ti red na primerokot. Moment od prv red na primerokot pretstavuva aritmeti~kata sredina na primerokot. Centralen moment od k -ti red na primerokot e definiran kako:k Sn =

1 n k (X i X n ) . n i =1

Za k = 2 ovaa statistika pretstavuva disperzija na primerokot.1 n Xi n i =1 Ako ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok od populacijata na obele`jeto X , ~ija 1 funkcija na raspredelba e F (x ) , toga{ E (X n ) = E ( X ) i D ( X n ) = D ( X ). n Navistina, nE ( X ) 1 n 1 n E (X n ) = E X i = E ( X i ) = = E ( X ), n n i =1 n i =1 i nD( X ) 1 1 n 1 n D ( X n ) = D X i = 2 D ( X i ) = = D( X ). n n2 n i =1 n i =1 Ako obele`jeto X ima normalna raspredelba N (m, ) , }e poka`eme

2.2.1 Aritmeti~ka sredina na primerokot, X n =

deka X n ima normalna raspredelba N m, . Karakteristi~nata funkcija n na slu~ajnata promenliva X n ima oblikn t 2 2 i t m t 2 t t e n e 2 n = e itm e 2 n , X n (t ) = 1 n (t ) = n = X = i =1 X i n n Xi n i =1 {to pretstavuva karakteristi~na funkcija na slu~ajna promenliva so raspredelba N m, . n Vrz osnova na centralnata grani~na teorema imame deka prethodnoto tvrdewe aproksimativno va`i za sekoja raspredelba, odnosno za dovolno2 2

n

5

golem

primerok

mo`eme

da

smetame

deka

Xn

ima

raspredelba

D( X ) . N E ( X ), n 2.2.2 Disperzija na primerokot, S n2 =1 n 2 (X i X n ) n i =1

Disperzijata na primerokot ~estopati se presmetuva so pomo{ na 1 n 2 formulata X i2 X n . Navistina, n i =1 1 n 1 n 2 2 S n2 = ( X i X n ) = (X i2 2 X i X n + X n ) = n i =1 n i =1 1 n 1 n 1 n 2 2 = X i2 2 X i + X n = X i2 X n . n i =1 n i =1 n i =1 Ako e ( X 1 , X 2 ,..., X n ) primerok od populacijata na obele`jeto X , so obem n }e poka`eme deka n 1 E (S n2 ) = DX . n ]e go najdeme matemati~koto o~ekuvawe za S n2 :2 1 n 1 n 2 1 n 2 2 E (S ) = E X i X n = E ( X i ) E X i = n n n i =1 i =1 i =1 2 n

n nE ( X 2 ) 1 n 2 = 2 E X i + X i X j = n n i =1 i , j =1 i j n n 1 1 = E ( X 2 ) 2 E ( X i2 ) 2 E ( X i )E X j = n i =1 n i , j =1

( )

1 n 1 n(n 1) 2 (E (X 2 ) E 2 ( X )) = n n 1 D( X ). E (X ) = = 1 E (X 2 ) 2 n n n

i j

Statistikata S n2 ja ima slednata osobina: Ako raspredelba N (m, ) , toga{ Statistikata teoremata 2.1.a.

X

ima normalna

nS

2 n 2

2 ima n 1 raspredelba.

nS

2 n 2

}e ja transformirame taka {to da mo`e da se primeni

6

nS n2

2

=

n 1 n 1 2 (X i X n ) = 2 2 n i =1n 2

(( Xi =1

n

i

m ) ( X n m )) =2

X m n n 2 X m = i 2 n 2 X i m + 2 (X n m) = i =1 i =1 Xn m 1 n n 2 Xi m n X i nm + 2 ( X n m ) = = 2 n 2 i =1 i =1 n 2

2n n X m 2 = i 2 (X n m) + 2 (X n m) = i =1 n 2

2 n Xi m Xn m . = i =1 n

2

Bidej}i slu~ajnite promenlivi S n2 i X se nezavisni, sleduva deka X m i n n 2 ravenstvo dobivame

nS n2

2

se nezavisni slu~ajni promenlivi. Od poslednoto2

2 2 n nS n X n m Xi m + = . 2 i =1 n Xi m Slu~ajnite promenlivi imaat N (0,1) raspredelba za sekoe

X m 2 i = 1,2, K , n , pa vrz osnova na teorema 2.1.b sleduva deka i ima n i =1 Xn m raspredelba i bidej}i n ima N (0,1) raspredelba sleduva dekan 2

Xn m n ima 12 raspredelba. Vrz osnova na teorema 2.1.a sleduva deka 2 nS n 2 ima n 1 raspredelba, {to treba{e da se doka`e. 2

2

2.2.3 Statistikata

Xn m n 1 Sn

7

X koe ima raspredelba N (m, ) , toga{ statistikata

Ako e ( X 1 , X 2 ,..., X n ) primerok so obem n od populacijata na obele`jeto

Xn m n 1 , ima studentova t n 1 raspredelba, Snkade {to S n = S n2 . Navistina, so ednostavni transformacii na po~etnata statistika dobivame (X n m) n X n m n Xn m = n 1 = , 2 Sn nS n2 Sn n n 1 2 (n 1) pa bidej}i

Xn m

n ima N (0,1) raspredelba, a

nS n2

2

2 ima n 1 raspredelba,

vrz osnova na teorema 2.1.g sleduva deka raspredelba. 2.3 HISTOGRAM, POLIGON RASPREDELBA I

Xn m n 1 , ima studentova t n 1 Sn

EMPIRISKA

FUNKCIJA

NA

Primerokot naj~esto sodr`i golem broj na elementi. Zaradi pogolema preglednost realiziraniot primerok go pretstavuvame na razli~ni na~ini. Vo ovoj del }e gi navedeme onie koi {to naj~esto se sre}avaat - histogramot, poligonot i empiriskata funkcija na raspredelba na realiziraniot primerok. Neka ( x1 , x 2 ,..., x n ) e realiziran primerok na obele`jeto X . Ako n e golemo, ne e prakti~no da se naveduvaat site poedine~ni vrednosti. Popregledno e ako site dobieni vrednosti se grupiraat, sistematiziraat i pretstavat ili vo tabela ili so histogram. Histogramot se formira na sledniot na~in: neka [a, b] e interval koj gi sodr`i site vrednosti na obele`jeto X . Toj interval go podeluvame na k podintervali (obi~no no ne zadol`itelno so ednakva dol`ina) i1 = [a, m1 ), i2 = [m1 , m2 ),K, ik = [mk 1 , b] . Nad sekoj od intervalite iscrtuvame pravoagolnik so visina

to~ka na x - oskata koja e pomala od a za tolku kolku {to e 1 pogolemo od a

nr , kade {to nr e n brojot na elementi od realiziraniot primerok koi mu pripa|aat na ir . Taka dobieniot grafik se vika histogram na realiziraniot primerok ( x1 , x 2 ,..., x n ) . 1 Ja ozna~uvame so r sredinata na intervalot ir , r { ,2, K, k } . Neka 0 e

8

i neka e k +1 to~ka na x - oskata koja e pogolema od b za tolku kolku {to e k pomalo od b . Iskr{enata linija koja poa|a vo to~kata ( 0 ,0) , gi spojuva

n to~kite r , r i zavr{uva vo to~kata ( k +1 ,0) se vika poligon na n realiziraniot primerok. Bidej}i vo primerokot ( X 1 , X 2 ,..., X n ) site slu~ajni promenlivi se nezavisni i so ista raspredelba kako obele`jeto X , primerokot mo`e da go interpretirame kako n pati povtoren eksperiment, taka {to ishodite se nezavisni slu~ajni promenlivi so ista raspredelba F (x ) . Empiriska funkcija na raspredelba Fn* ( x ) na obele`jeto X e funkcija definirana za sekoe x R na sledniot na~in: N Fn* ( x ) = x , n kade {to N x e brojot na onie X i od primerokot koi se pomali od x , a n e

obemot na primerokot. Za fiksirano x R , Fn* (x ) e funkcija od primerokot ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , {to zna~i deka e statistika, odnosno nova slu~ajna promenliva. Vrz osnova na Bernulievata teorema za golemite broevi, ako n e dovolno golemo, vrednostite na Fn* (x ) i F ( x ) = P( X < x ) se bliski. Vaka definiranata empiriska funkcija na raspredelba Fn* ~esto pati se koristi kako ocenka na funkcijata na raspredelba F . Ako ( x1 , x 2 ,..., x n ) e realiziran primerok, a broevite n x realizirani vrednosti na slu~ajnata promenliva

N x , toga{ f n* e realizirana funkcija na raspredelba, zadadena so n f n* ( x ) = x . n2.4 TO^KASTA OCENA NA PARAMETRITE Neka X e obele`je so raspredelba F ( x, ) , kade {to e nepoznat parametar vo raspredelbata F , i neka ( x1 , x 2 ,..., x n ) se realizirani vrednosti na primerokot X 1 , X 2 ,..., X n . So pomo{ na realiziraniot primerok mo`e da

se oceni nepoznatiot parametar ili nekoja funkcija ( ) od nepoznatiot parametar . Statistikata U = u ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , takva {to u ( x1 , x 2 ,..., x n ) e vrednost {to e bliska do vrednosta na funkcijata na parametarot, ( ) , se vika to~kasta ocena za ( ) , a brojot u ( x1 , x 2 ,..., x n ) e to~kasta ocena za ( ) vrz osnova na realiziraniot primerok ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Ima nekolku kriteriumi vrz osnova na koi se procenuva kolku dobro e odbrana to~kastata ocena.

9

Velime deka U = u ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e postojana ocena na nepoznatata vrednost na funkcijata od parametarot ( ) akon

lim P( ( ) u ( X 1 ,..., X n ) ) = 0 ,

za sekoe . Ocenata e centrirana ako

E (u ( X 1 , X 2 ,..., X n )) = ( ) ,a asimptotski centrirana akolim E (u ( X 1 , X 2 ,..., X n )) = ( ) .n

Aritmeti~kata sredina X n e centrirana i postojana ocena na parametarot koj e ednakov na matemati~koto o~ekuvawe, bez razlika za koja raspredelba se raboti. Statistikata S n2 e asimptotski centrirana ocena na disperzijata, odnosno n 1 lim E (S n2 ) = lim D( X ) = D( X ). n n n n 2 Statistikata S n = S n2 e centrirana ocena na disperzijata na n 1 obele`jeto X . Edna od najva`nite karakteristiki na to~kastata ocena e stepenot na rasejuvawe okolu nepoznatata vrednost na funkcijata na parametarot ( ) . Ako U = u ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e to~kasta ocena na funkcijata na parametarot ( ) , toga{ srednata kvadratna gre{ka se definira kako: 2 2 SKG = E (u ( X 1 ,..., X n ) ( )) = E (U ( ) ) . Bidej}i 2 E (U ( ) ) = E U 2 2U ( ) + 2 ( ) =

[

] [

]

= E (U 2 ) 2 E (U ) ( ) + 2 ( ) E 2 (U ) + E 2 (U ) = = D(U ) + E 2 ( ) 2 E (U ) ( ) + E 2 (U ) = = D(U ) + E ( ( ) E (U ) ) =2

[

] [

]

[

= D(U ) + [ ( ) E (U )] ,2

[

]

]

ako U e centrirana ocena za ( ) , toga{ ( ) E (U ) = 0 i srednata kvadratna gre{ka e ednakva na disperzijata na statistikata U . Ako imame dve centrirani oceni za ( ) , toga{ onaa ocena koja ima pomala disperzija e poefikasna ocena.

10

Neka ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok na obele`jeto X ~ija gustina na raspredelba e ( x, ) , kade {to e nepoznat parametar. Bidej}i slu~ajnite promenlivi X i se nezavisni, toga{ nivnata zaedni~kata gustina e

L( x1 ,..., x n , ) = ( x1 , ) L ( x n , ).Ako obele`jeto X e od diskreten tip toga{

L( x1 ,..., x n , ) = p ( x1 , ) L p( x n , ).Funkcijata L = L( x1 ,..., x n , ) ja narekuvame funkcija na verodostojnost. Neka e U = u ( X 1 , X 2 ,..., X n ) centrirana ocena za ( ) , , kade {to e mno`estvo vrednosti za parametarot . Toga{ [ ( )]2 (U ) D , 2 ln p( x k , ) n p(xk , ) k koga X e diskretna slu~ajna promenliva i [ ( )]2 D(U ) , 2 ln ( x, ) n ( x, )dx koga X e neprekinata slu~ajna promenliva, pri {to ravenstvo i vo dvata slu~ai va`i samo toga{ koga ln L = a ( )(u ( x1 ,..., x n ) ( )) so verojatnost 1 za nekoja funkcija a ( ) , . Ocenata U = u ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ja vikame najefikasna ocena ako nejzinata disperzija e ednakva na infimumot od site centrirani oceni. Vo toj slu~aj va`i ( ) . D(U ) = a( ) 2.4.1 Metod na momenti

Metodot na momenti e eden od najednostavnite metodi na to~kasto ocenuvawe na nepoznatiot parametar. Se sostoi vo toa {to momentite na primerokot ili nekoi funkcii od niv se zemaat kako oceni na momentite ili nivnite funkcii i od tie ravenstva se izrazuvaat nepoznatite parametri. Ako ima pove}e nepoznati parametri 1 , 2 ,... vo raspredelbata

11

F ( x, 1 , 2 ,...) na obele`jeto X , toga{ se koristi tolkav broj na ravenstva kolku {to e brojot na nepoznatite parametri.

2.4.2

Metod na maksimalna verodostojnost

Neka e L = L( x1 ,..., x n , ), , funkcija na verodostojnost. To~kasta ocena na maksimalna verodostojnost e statistikata U = u ( X 1 , X 2 ,..., X n ) koja go zadovoluva uslovot L( x1 ,..., x n , u ) = max L( x1 ,..., x n , )

dokolku takva statistika postoi. Maksimumot na funkcijata L go nao|ame kako vrednost za kojaL = 0. Poradi prirodata na funkcijata L ~estopati polesno se re{ava ravenstvoto ln L = 0. Bidej}i ln e monotono rasate~ka, neprekinata funkcija, o~igledno e deka L i ln L }e go dostignat svojot maksimum vo ista to~ka. Ako vo raspredelbata na obele`jeto X figuriraat pove}e nepoznati parametri, postapkata e analogna. Imeno, se bara maksimum na funkcijata L = L( x1 ,K, x n ,1 ,K, k ). Obi~no toa se sveduva na re{avawe sistem ravenki

ln L( x1 ,K, x n ,1 ,K, k ) = 0, i = 1,2, K , k . i

2.4 INTERVALI NA DOVERBA I STATISTI^KI HIPOTEZI Neka ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok na obele`jeto X ~ija raspredelba e F ( x, ) i neka U 1 = u1 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) i U 2 = u 2 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) se dve statistiki takvi {to U 1 U 2 i P(U 1 < < U 2 ) = kade {to e odnapred zadadena verojatnost (obi~no e pogolemo od 0.90). Toga{ slu~ajniot interval (U 1 ,U 2 ) se vika 100 * procenten interval na doverba za . Verojatnosta se vika nivo na doverba. 2.4.1 Interval na doverba za nepoznata verojatnost p

12

0 1 Neka obele`jeto X ima Bernulieva raspredelba, X : q p , kade {to p e nepoznat parametar, 0 < p < 1, q = 1 p , i neka ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok od toa obele`je. So K }e ja ozna~ime slu~ajnata promenliva (statistikata) koja go pretstavuva brojot na edinici vo primerokot. K ima binomna raspredelba B ( n, p ) . Vrz osnova na teoremata na Moavr-Laplas K np sleduva deka raspredelbata na te`i kon normalna raspredelba npq N (0,1) , pa za dovolno golemo n od tablicata za normalna raspredelba mo`eme da ja najdeme vrednosta na brojot a taka {to za odnapred zadadena verojatnost }e va`i K np P < a = . npq Posledniot izraz mo`eme da go transformirame na sledniot na~in: K np 2 < a 2 = P p 2 n 2 + a 2 n + p 2 Kn a 2 n + K 2 = P np(1 p ) = P(U 1 < p < U 2 ) = . Statistikite U 1 i U 2 se dobieni so re{avawe po p na kvadratnata ravenka

( (

) (

)

)

p 2 (n 2 + a 2 n ) + p ( 2 Kn a 2 n ) + K 2 = 0.

2.4.2 Interval na doverba za matemati~koto o~ekuvawe m na obele`jeto X so normalna raspredelba N (m, ) kade {to e poznato Neka obele`jeto X ima normalna raspredelba N (m, ) , kade {to m e nepoznat, a poznat parametar. Za da go najdeme intervalot na doverba za X m m }e pojdeme od statistikata Z = n n . Poznato e (del 2.2.1) deka

statistikata X n na primerokot ( X 1 , X 2 ,..., X n ) na obele`jeto X koe ima

normalna raspredelba N (m, ) , ima raspredelba N m, . Toa zna~i deka n Z ima N (0,1) raspredelba. Ako e nivo na doverba, od tablicata za normalna raspredelba ja nao|ame vrednosta na a taka {to X m P n n < a = . Od poslednoto ravenstvo, so ednostavni transformacii go dobivame intervalot na doverba za m

13

X m P n n < a =

X m P a < n n < a =

a a = . = P X n < m < Xn + n n a Vo ovoj slu~aj statistikata U 1 e ednakva na X n , a statistikata n a U 2 e ednakva na X n + . n2.4.3 Interval na doverba za matemati~koto o~ekuvawe m na obele`jeto X so normalna raspredelba N (m, ) kade {to e nepoznato

Ako obele`jeto X ima normalna raspredelba N (m, ) , kade {to m i se nepoznati parametri, za nao|awe na intervalot na doverba za m }e X m pojdeme od statistikata Z = n n 1 . Poka`avme (del 2.2.3) deka Sn statistikata Z ima studentova t n 1 raspredelba, pa za nivo na doverba od tablicata za ovaa raspredelba mo`e da se najde a taka {to X m P n n 1 < a = . S n Sli~no kako i vo prethodniot slu~aj, ja transformirame poslednata ravenkata i dobivame interval na doverba za m X m X m P n n 1 < a = P a < n n 1 < a = S Sn n

aS n aS n = . = P X n < m < Xn + n 1 n 1

2.4.4 Interval na doverba za nepoznata disperzija 2 na obele`je X so normalna raspredelba N (m, )

Ako obele`jeto X ima normalna raspredelba N (m, ) , kade {to 2 e nepoznato, za nao|awe na intervalot na doverba za nepoznatata disperzija }e nS n2 pojdeme od statistikata Z = 2 . Poka`avme (del 2.2.2) deka statistikata

Z ima raspredelba, pa za nivo na doverba od tablicata za ovaa raspredelba mo`e da se najdat a i b takvi {to2 n 1

14

nS n2 1 P 2 < b = + , 2 nS n2 1 P a < 2 = + , 2 odnosno deka

nS n2 P a < 2 < b = . Ja transformirame poslednata ravenkata i dobivame interval na doverba za 2 1 2 1 > = P > a nS 2 b n odnosno

nS n2 nS n2 2 = , > > P a b

nS n2 nS n2 2 = . 0 . Za odnapred zadaden prag na zna~ajnost ja nao|ame vrednosta za koja Q( ) = 1 . Neka e d n realizirana vrednost na statistikata Dn pod pretpostavka deka F = F0 , odnosnod n = sup f n* ( x ) F0 ( x ) .x( , )

(

)

Toga{ ako e

nd n > , hipotezata H (F = F0 ) ja otfrlame.

-testot mo`e da se primeni i pri testirawe na hipoteza H (FX = FY )za ednakvost na raspredelbite na dve obele`ja X i Y . Neka se ( x1 , x 2 ,..., x n ) i ( y1 , y 2 ,..., y k ) realizirani primeroci na obele`jata X i Y . Toga{: dnk n+k

= sup f n* ( x ) f k* ( x )x( , )

realizirana vrednost na statistikata D nk = sup Fn* ( x ) Fk* ( x )n+k x( , )

kade {to Fn* i Fk* se empiriskite raspredelbi na obele`jata X i Y , a f n* if k* se nivnite realizirani vrednosti. Testiraweto, ponatamu se izveduva kako i prethodno.

20