MATEMATICKA FIZIKA II, 30.09.2009.

1. Odrediti svojstvene vrednosti i normirane svojstvene vektore za sledece operatore:

a) Lz = −ı ∂∂φ

; b) L2z = − ∂2

∂φ2 ; c) A = −ı ∂∂φ

+a sin φ; φ je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?20b.

2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu K8.b) Indukcijom sa podgrupe H = 1,−1, ı,−ı naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . 20b.

3. Reprezentacija grupe D4 je definisana sa D(C4)(~ex, ~ey, ~ez) = (~ey,−~ex,−~ez) i D(U)(~ex, ~ey, ~ez) = (−~ey,−~ex,−~ez). Nacisimetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.

4. Pokazati da je grupa transformacija definisanih sa: T (x) = ax+bcx+d

, ad − bc 6= 0 homomorfna sa grupom linearnihtransformacija ravni: x′ = ax + by, y′ = cx + dy; ad − bc 6= 0 Odrediti jezgro ovog homomorfizma. Odrediti njihovuLie-jevu algebru. Razmotriti realan i kompleksan slucaj (a, b, c, d ∈ IR; a, b, c, d ∈ C/ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b.

MATEMATICKA FIZIKA II, 14.09.2009.

1. Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru L2(IR) defnisan na sledeci nacin: Ff(t) = 1√2π

∫

IRe−ıtsf(s)ds,

komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora. (HLHOf(t) = −f ′′(t) + t2f(t).) . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

2. Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama g(x) = 1−x i f(x) = 1/x i S3.Zatim pokazati da je dejstvom permutacije σ ∈ S4 na elemente a, b, c, d u izrazu x = a−c

b−c: a−d

b−d, zadan homomorfizam

grupe S4 na S3. Sta je jezgro ovog homomorfizma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)

3. a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3.b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

4. U prostoru L2(IR4) dejstvo Poincare-ove grupe (P4 )je definisano tzv. ”pasivnom reprezentacijom” na sledeci nacin:D(g)f(x) = f(g−1(x)), g ∈ P4, x ∈ IR4. Odrediti operatore iz L2(IR4) koji reprezentuju generatore grupe P4 20b. (25b.)

MATEMATICKA FIZIKA II, 26.06.2009.

1. Operator A : C[0, 1] → [0, 1] je definisan formulom: (A(x))(t) = x(0) + tx(1). Ispitati osobine operatora A i odreditimu spektar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20b. (25b.)

2. Grupa G je zadana preko dva generatora a i b i generatorskih relacija ab = b−1a; ba = a−1b. Odrediti klase konjugacije,invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti red elemenata a i b . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

3. Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe S3. . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

4. Naci koreni sistem algebre so(1, 3, IR). Nacrtati tezinski dijagram njene ireducibilne reprezentacije sa nomenklaturom[0, 2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

MATEMATICKA FIZIKA II, 08.04.2009.

1. Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije (u(t) = 0, t ≤ 0; 1, t > 0) U(ω) = πδ(ω) + 1ıω

. Hint: izraziti stepfunkciju preko antisimetricne funkcije sgn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

2. Paulijeve matrice σk, definisane su na sledeci nacin: σ1 =

(0 11 0

)

, σ2 =

(0 −ıı 0

)

, σ3 =

(1 00 −1

)

, σkσl =

δklI + ı∑3

d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda generisanih sa ıσ1 i ıσ2 grupa. Odrediti red grupe,klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za regularnu reprezentaciju grupe D3. Regularna reprezentacija grupe G reda nje matricna reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DR

ij(gk) = δ(gig−1j , gk) = δ(g−1

i gkgj , e). . . . . . . 20b. (25b.)

4. Pokazati da je vektorski prostor IR3 sa standardno definisanim vektorskim proizvodom (IR3,×), izomorfan algebriso(3, IR). Eksplicitno odrediti bar jedan izomorfizam V : IR3 → so(3, IR) ( za proizvoljno x ∈ IR3 odrediti a ∈ so(3, IR),tako da vazi: V (x) = a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. (25b.)

MATEMATICKA FIZIKA II, 16.02.2009.

1. Polazeci od generatrise e2st−s2

=∑∞

n=0 Hn(t) sn

n! , odrediti 〈m | x | n〉 =∫ ∞−∞ xe−x2

Hn(x)Hm(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

2. Paulijeve matrice σk, definisane su na sledeci nacin: σ1 =

(0 11 0

)

, σ2 =

(0 −ıı 0

)

, σ3 =

(1 00 −1

)

, σkσl =

δklI + ı∑3

d=1 εklmσm. Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda generisanih sa σ1 i σ2 grupa. Odrediti red grupe,klase konjugacije, invarijantne podrupe i faktor grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25b.

3. Odrediti simetrijski adaptirani bazis za potprostor koji odgovara dvodimenzionalnoj IR-i grupe C4v. Regularnareprezentacija grupe G reda n je matricna reprezentacija DR(G) u prostoru C/ n, definisana sa DR

ij(gk) = δ(gig−1j , gk) =

δ(g−1i gkgj , e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

4. Pokazati da je matricu rotacije za ugao Ω oko orta n, moguce napisati na sledeci nacin: R(n, Ω) = exp(−ıΩn ·T), pricemu je T = (T1, T2, T3), a [Tk]lm = −ıεklm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

MATEMATICKA FIZIKA II, 03.07.2008.

1. Ako je raspodela g(x, n) definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije f(x)): g(x, 1) ≡ f(x) = ||x| − 1|,g(x, n) = f(f(...f

︸ ︷︷ ︸

n

(x))), odrediti g′′(x, 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

2. a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije (IRe) grupe D3.b) Zatim odrediti IRe grupe D3h = C2 ⊗ D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

3. Matrice D(C4) =

(0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

)

i D(Ux) =

(0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

)

definisu permutacionu reprezentaciju grupe D4. Naci vektore

koji pripadaju potprostoru za ireducibilnu reprezentaciju E1,−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

4. Pokazati da su grupe SO(2, IR) =

(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)

)

| ϕ ∈ [0, 2π) i SO(1, 1, IR) =

(cosh(t) sinh(t)sinh(t) cosh(t)

)

| t ∈ IR

razlicite realne forme grupe SO(2, C/ ) =

(cos(z) − sin(z)sin(z) cos(z)

)

| z ∈ C/ . Pokazati da su hiperbole koje pripadaju

familiji x2 − y2 = k | k ∈ IR invarijantne na dejstvo grupe SO(1, 1, IR) (analogno invarijantnosti kruznica iz familijex2 + y2 = k2 | k ∈ IR na dejstvo grupe SO(2, IR)). Skicirati dejstvo grupe SO(1, 1, IR) na pojedine tacke hiperbole.Hint: dejstvo grupe SO(1, 1, IR) razmatrati u koordinatnom sistemu koji je u odnosu na pocetni zarotiran za ugao π

4u kojem je familija hiperbola zadana sa xy = k | k ∈ IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

MATEMATICKA FIZIKA II, 14.02.2008.

1. Izjednacavanjem odgovarajucih Furier-ovih komponenti pokazati da vazi: δ(t) = limσ→01√2πσ

e−t2

2σ2 . . . . . . . . . . . . . .25b.

2. a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu K8. b) Indukcijom sapodgrupe H = 1,−1, j,−j naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe K8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

3. Za grupu K8 odrediti CG serije i CG koeficijente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

4. Pokazati da su bilinearne kombinacije kreacionih i anihilacionih operatora fermionskog tipa za dva stanja, oznacena sap i n (”bilinearne kombinacije” = linearne kombinacije monoma tipa: apan, a†

pan, apa†n, a†

pa†n) zatvorene za operaciju

komutator. Razmatranjem samo elemenata koji ne menjaju broj cestica (jedna kreacija i jedna anihilacija), i koristecismenu t+ = a†

pan, t− = a†nap, t0 = 1

2 (a†pap − a†

nan), b = a†pap + a†

nan, utvrditi Lie-jevu algebru koju ovi elementicine sa komutatorom kao Lie-jevim proizvodom. Kreacioni i anihilacioni operatori fermioskog tipa zadovoljavaju tzv.antikomutacione relacije: [ap, an]+ = [ap, ap]+ = [an, an]+ = [a†

p, an]+ = [ap, a†n]+ = 0; [ap, a

†p]+ = [an, a†

n]+ = 1, pricemu je antikomutator definisan na sledeci nacin: [x, y]+

.= xy + yx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b.

ℝ

ℝ

! " !#!# !!!

$ %&&& '## ! $

" (%& !

!! &)&& #! * ! +(& & #

1

Norma operatora, adjungovani operator, spektar i sv. vektori

1. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora translacije = + na ℝ .

2. Ispitati ogranicenost, naci normu i spektar operatora : ℂ → ℂ , = , = − , neparno + , parno

3. U Hilbertovom prostoru definisan je operator A: = + . Dokazati da je A ogranicen i

naci normu i spektar.

4. Odrediti spektar operatora = − + ciji je domen ℝ .

5. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom: [ + ]

6. Za operator : → , , , , … = ( , + √ , √ + √ , … naci domen, ispitati

ogranicenost, adjungovanost i spektar.

7. * Neka je linearni operator : ℂ → ℂ definisan na sledeci nacin: , , … , − , , … = + , + , … , + + . Odrediti:

a. normu operatora ‖ ‖

b. adjungovani operator † c. spektar i sv. vektore operatora T.

8. * Linearni operator : ℂ → ℂ je definisan na sledeci nacin: , , … , , … = , , … , , … . Odrediti normu i (diskretan) spektar operatora . Pokazati da su sv.

podprostori operatora beskonacno dimenzionalni.

9. , , … = ( , √ , … , da li je ogranicen, odrediti †, odrediti spektre od i †.

10. , , … = ( , , √ , … , da li je ogranicen, odrediti †.

11. ** Operator : → , definisan je na sledeci nacin: ( , , ,… = , , … , − , … .

a. Odrediti normu operatora ‖ ‖,

b. diskretan spektar i odgovarajuce sv. vektore,

c. adjungovani operator † i njegov diskretni spektar ( † .

12. * Fourier-Plancherel-ov operator je u prostoru ℝ definisan na sledeci nacin: =√ ∫ −ⅈ ⅆℝ . Odrediti mu spektar. Hint: proveriti dejstvo operatora na Hermite-ove

funkcije.

13. * Operator : [ , ] → [ , ] je definisan formulom: ( = + . Ispitati

osobine operatora i odrediti mu spektar.

14. * Odrediti sv. vrednosti i normirane sv. vektore za sledece operatore:

a. = −ⅈ

b. = − 22

c. = −ⅈ + sin je azimutalni ugao. Da li su navedeni operatori autoadjungovani?

15. * Odrediti sv. vrednosti i sv. vektore operatora = 22, ako je domen definisan sa:

a. = ∈ [ , ]: = = ;

b. = ∈ [ , ]: ′ = ′ = ;

c. = ∈ [ , ]: = , ′ = ′ .

Integralno jezgro

16. Naci izvod raspodele sa integralnim jezgrom [ + ] 17. * Polazeci od definicije celog dela preko step funkcije, naci izvod raspodele sa integralnim

jezgrom [ − ].

18. * Neka oznacava integralni operator u prostoru [− , ] sa integralnim jezgrom , = + + . Odrediti (diskretni) spektar i sv. vektore operatora . Reprezentovati operator u

bazisu Legendre-ovih polinoma.

19. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = − , ≤ ≤ ≤− , ≤ ≤ ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.

20. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = max , , ≤, ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.

21. * Ispitati autoadjungovanost, pozitivnost i odrediti spektar operatora : [ , ] → [ , ] definisanog na sledeci nacin: = ∫ , ⅆ , pri cemu je , = min , , ≤, ≤ . Hint: diferencirati sv. jednakost.

22. * Neka oznacava integralni operator u prostoru [ , ] sa integralnim jezgrom , = +. Odrediti sv.vrednosti i sv. vektore operatora .

Ostalo

23. * Pokazati da niz funkcija = + 2 2 slabo konvergira ka funk iji. Za „do re“ test funkcije smatrati ogranicene ∞ ℝ funkcije.

24. ** Izjednacavanjem odgovarajucih Fourier-ovih komponenti pokazati da vazi: =ⅈ→ √ − 222.

25. * Polazeci od generatrise − 2 = ∑ !∞= odrediti || =∫ − 2 ⅆ∞−∞ .

26. * Pokazati da Fourier-Plancherel-ov operator, u prostoru ℝ definisan na sledeci nacin: = √ ∫ −ⅈ ⅆℝ , komutira sa Hamiltonijanom linearnog harmonijskog oscilatora.

( = − ′′ + ).

27. * Pokazati da je Fourier-ov transform step funkcije ( = , ≤ ; , > ) = + ⅈ . Hint: izraziti step funkciju preko antisimetricne funkcije .

28. * Ako je raspodela , definisana na sledeci nacin (kao n-ta iteracija funkcije ): , = = ||| − |, , = (… , odrediti ′′ , .

2

Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i centar

1. ** Za grupu ℎ = ⊗ odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe i

centar.

2. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, komutant za grupu , kao i

moguce nacine razlaganja grupe na semidirektni proizvod.

3. * Data je grupa = ∧ . Odrediti klase konjugacije, podgrupe, invarijantne podgrupe i

odgovarajuce faktor grupe.

4. ** Paulijeve matrice , definisane su na sledeci nacin: = , = −ⅈⅈ , =− , = + ⅈ ∑ = . Pokazati da je skup svih mogucih proizvoda

generisanih sa ⅈ i ⅈ grupa. Odrediti red grupe, klase konjugacije, invarijantne podgrupe i

faktor grupe.

5. * Za grupu generisanu matricama: , − odrediti red, klase konjugacije i

invarijantne podgrupe. Na taj nacin je istovremeno definisana i jedna reprezentacija iste grupe.

Da li je tako definisana reprezentacija reducibilna ili ireducibilna?

6. * Za grupu koja se sastoji od svih mogucih kompozicija funkcija generisanih sa = − i = − , odrediti red, klase konjugacije, invarijantne podgrupe, faktor grupe, centar i

komutant.

(a) Klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe i (b) odrediti IRR

7. **** (a) Indukcijom sa ciklicne podgrupe odrediti neekvivalentne IRR grupe

(b) Zatim odrediti IRR grupe ℎ = ⊗ .

8. *** (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu 8.

(b) Indukcijom sa podgrupe = , − , ⅈ, −ⅈ naci neekvivalentne IRR grupe 8.

9. ** Grupa G je zadata preko dva generatora i generatorskih relacija = − , = − .

Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i faktor grupe za grupu G. Hint: najpre odrediti

red elemenata i .

10. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .

Indukcijom sa podgrupe = , , , , odrediti neekvivalentne ireducibilne reprezentacije

grupe .

11. * Data je grupa = , , , ⊗ , . Odrediti sve invarijantne podgrupe, a zatim

indukcijom sa podgrupe , , , naci sve ireducibilne reprezentacije grupe .

12. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .

(b) Indukcijom sa ciklicne podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe .

13. * (a) Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .

(b) Indukcijom sa podgrupe naci neekvivalentne ireducibilne reprezentacije grupe .

14. * Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe, centar, faktor grupe, kao i broj ireducibilnih

reprezentacija za grupu .

15. ** Odrediti klase konjugacije, invarijantne podgrupe i odgovarajuce faktor-grupe za grupu .

Zatim, indukcijom sa podgrupe = , , , naci sve neekvivalentne ireducibilne

reprezentacije za . ~#2.10

16. * Indukcijom sa podgrupe odrediti dvodimenzione ireducibilne reprezentacije grupe .

Ostalo

17. * Pokazati izomorfizam grupe (u odnosu na kompoziciju funkcija) generisane funkcijama =− i = / i . Zatim pokazati da je dejstvom permutacije ∈ na elemente , , , ⅆ

u izrazu = −− : −− zadan homomorfizam grupe na . Sta je jezgro ovog homomorfizma?

3

Standardni bazis (SAB)

1. *** Odrediti st. bazis za reprezentaciju = ⊗ ,− ⊗ ,− grupe

2. ** Metodom grupnih projektora odrediti SAB za representacije grupe u prostoru ℂ

definisanu na sledeci nacin: = √ / /− / −√ / /√ / − / √ / , =−√ / // √ /

3. *** Reprezentacija grupe je definisana sa ( , , = , − , − i =( , , = − , − , − . Naci simetrijski adaptirani bazis za ovu reprezentaciju.

4. * Odrediti st. bazis za regularnu reprezentaciju grupe . Regularna reprezentacija grupe reda

je matricna reprezentacija u prostoru ℂ , definisana sa ⅈ = ( ⅈ − , =( ⅈ− , .

5. * Odrediti st. bazis za podprostor koji odgovara dvodimenzijalnoj IR-i grupe . Regularna

reprezentacija grupe G reda je matricna reprezentacija u prostoru ℂ , definisana sa ⅈ = ( ⅈ − , = ( ⅈ− , .

6. * Odrediti st. bazis za permutacionu reprezentaciju grupe .

7. * Odrediti SAB za subdukciju na ciklicnu podgrupu, tenzorskog kvadrata dvodimenzionalne

ireducibilne reprezentacije grupe .

8. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe .

9. * Naci SAB za tenzorski kvadrat dvodimenzionalne ireducibilne reprezentacije grupe 8 ( ,− ⊗ ,− .

CG

10. * Naci Clebsch-Gordan-ove koeficijente za sve kombinacije ireducibilnih reprezentacija grupe .

11. * Za grupu 8 odrediti CG serije i CG koeficijente.

12. * Odrediti CG koeficijente i CG serije za IR-e grupe .

Ostalo

13. * Matrice = ) i = ) definisu permutacionu

reprezentaciju grupe . Naci vektore koji pripadaju podprostoru za ireducibilnu reprezentaciju ,− .

14. ** Metodom grupnih projektora odrediti skup 2x2 matrica iz ℂ , koje su invarijantne u odnosu

na dejstvo grupe definisano sa: ∀ ∈ ℂ ∀ ∈ = −

gde je dvodimenzionalna ireducibilna reprezentacija grupe .

15. * Reprezentacija grupe u ℂ je definisana sa: ∀ ∈ ℂ = ⅈ −ⅈ −ⅈ ⅈ , = . Naci matrice koje se pripadaju podprostoru − reprezentacije.

16. Reprezentacija grupe je definisana sa = ) i =)