Download - Magazine I

Transcript

ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ: μαθηματική ΕΚΦΡΑΣΗ Έκδοση Καθηγητών Μαθηματικών του Νομού Τρικάλων

ΤΕΥΧΟΣ 4o MAΡΤΙΟΣ 2002

Επιμέλεια–Υπεύθυνος της έκδοσης: Ντρίζος ∆ημήτρης Εκδότης: Βαφειάδης Χάρης Γι’ αυτό το τεύχος έγραψαν από το Νομό Τρικάλων οι Μαθηματικοί: ∆ήμος Γιώργος Κοντοκώστας ∆ημήτρης Μπάκος Νίκος Ντρίζος ∆ημήτρης Πατήλας Χρήστος

και συνεργάστηκαν οι: Βισκαδουράκης Βασίλης Ζανταρίδης Νίκος Μπουνάκης ∆ημήτρης Πινάτσης Παναγιώτης Ρίζος Γιώργος Σκοτίδας Σωτήρης

∆ιεύθυνση επικοινωνίας με το περιοδικό: Κρίτωνος 1, 42 100, Τρίκαλα Τηλ. (0431) 022988 Ηλεκτρονική στοιχειοθεσία, σχήματα, σελιδοποίηση: Ρίζος Γιώργος Παλαιολόγου 73, 49 100, Κέρκυρα Τηλ. (0661) 033243 Κεντρική διάθεση : Βιβλιοπωλείο "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ" Χάρης Βαφειάδης ∆ιαλέττη 27 (Συντριβάνι) 54621, Θεσσαλονίκη Τηλ. 0310 263163, FAX 0310 240595

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

5 Προλογικό Σημείωμα

7 ∆ημήτρης Ντρίζος, Η Γεωμετρική εποπτεία στην παρουσίαση της Απόλυτης τιμής.

32 Βασίλης Βισκαδουράκης, Η “Αναπαράσταση”, ο ρόλος της στα Μαθηματικά και την κατανόησή τους.

39 ∆ημήτρης Κοντοκώστας, Γεώργιος ∆ήμος, Μία πραγματικά απλή απόδειξη ενός θεωρήματος του Thébault.

44 Σωτήρης Σκοτίδας, Θεώρημα του Πτολεμαίου.

50 Σωτήρης Σκοτίδας, Θέματα Μαθηματικών Ολυμπιάδων.

57 Χρήστος Πατήλας, Ακρότατα ειδικών πεπλεγμένων συναρτήσεων με χρήση ολο-κληρωμάτων.

63 Νίκος Μπάκος, Ακρότατα πολυωνυμικής συνάρτησης 3ου βαθμού.

67 Νίκος Ζανταρίδης, Εφαρμογές της συνάρτησης που ορίζεται με ολοκλήρωμα.

77 ∆ημήτρης Ντρίζος, Μία ενδιαφέρουσα ιδιότητα της υπερβολής y = 1/x.

81 ∆ημήτρης Μπουνάκης, Ημεροσυνάρτηση–∆ισεκτοσυνάρτηση.

89 Παναγιώτης Πινάτσης, Παράλληλες ευθείες, παρουσίαση ενός μαθήματος Γεω-μετρίας Α΄ Λυκείου.

111 ∆ημήτρης Ντρίζος, Γεωμετρική έρευνα πάνω στη Θεωρία των Παραλλήλων του N. Lobachevsky.

122 Γιώργος Ρίζος, Τρεις παρατηρήσεις στη Στατιστική Γ ΄ Ενιαίου Λυκείου.

Σημείωμα της Συντακτικής Επιτροπής

Φίλε αναγνώστη,

μετά από ένα διάστημα "ώριμης αναμονής" η "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑ-ΣΗ" βρίσκεται πάλι κοντά σου, ως αποτέλεσμα της κοινής μας επιθυμίας για συνέχιση της επικοινωνίας που ανοίξαμε μεταξύ μας, με λόγο ουσια-στικό γύρω από θέματα των Μαθηματικών.

Σημειώνουμε εκ νέου ότι μέσα από τις στήλες αυτού του περιοδικού ε-πιδιώκουμε με ανιδιοτέλεια τη δημιουργία ενός βήματος για όλους τους μαθηματικούς που θα έχουν να καταθέσουν κάθε φορά μία εργασία τους, μία καινούρια άποψη, έναν προβληματισμό τους, μια ενδιαφέρουσα παρα-τήρηση. Η ανάλυση μαθηματικών εννοιών, οι διδακτικές προσεγγίσεις κά-ποιων ενοτήτων, οι εφαρμογές των Μαθηματικών στις άλλες επιστήμες και θέματα ερευνητικού χαρακτήρα από την ∆ιδακτική και την Ιστορία των Μαθηματικών, επιθυμούμε να είναι στο επίκεντρο του περιοδικού.

Τέλος από αυτή τη θέση αισθανόμαστε την ανάγκη να ευχαριστήσουμε θερμά:

Τις εκδόσεις "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ" του συνάδελφου μαθημα-τικού Χάρη Βαφειάδη, που ανέλαβαν την έκδοση του περιοδικού μας, και τον συνάδελφο Γιώργο Ρίζο, που με ιδιαίτερο ζήλο συνέβαλλε στην άρτια εμφάνιση και αυτού του τεύχους, επιμελήθηκε τη στοιχειοθεσία, τα σχήμα-τα και την τελική μορφοποίηση όλων των κειμένων του περιοδικού μας.

Φίλε αναγνώστη, η οποιαδήποτε καλόπιστη κριτική σου, όσο αυστηρή κι αν είναι, σε σχέση με το περιεχόμενο και την ποιότητα του περιοδικού μας, είναι ευπρόσδεκτη και πιστεύουμε ότι μπορεί να συμβάλλει θετικά στην καλυτέρευσή του.

Ο υπεύθυνος της έκδοσης

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΤΗΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

∆ημήτρης Ντρίζος

ΠΕΡΙΛΗΨΗ * Με την εργασία μας αυτή θέλουμε να αναδείξουμε τα πλεονεκτήματα της γεωμετρικής εποπτείας, ως ενός ισχυρού διδακτικού μέσου, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων με απόλυτες τιμές. Για το λόγο αυ-τό παρουσιάζουμε πρώτα, με αναλυτικό τρόπο, μία πειραματική διδα-σκαλία που πραγματοποιήσαμε σε δύο τμήματα της Α΄ Λυκείου. Η παρουσίαση της μεθόδου που προτείνουμε έγινε μέσα σ’ ένα διδακτικό περιβάλλον "πρακτικό–ανακαλυπτικό", όπου οι μαθητές έδιναν λύσεις στηριζόμενοι σε απλές και οικείες τους γεωμετρικές παραστάσεις, χω-ρίς τη βοήθεια τυποποιημένων αλγεβρικών διαδικασιών. Ασχολούμαστε έπειτα με μία εμπειρική έρευνα που πραγματοποιήσαμε· και στη συνέ-χεια αναλύουμε και σχολιάζουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

* Ένα τμήμα της εργασίας έχει δημοσιευτεί στο περιοδικό της Ε.Μ.Ε. ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ Γ΄, τεύχος 53-54, Ιανουάριος-∆εκέμβριος 2000, τόμος 17.

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της εργασίας μας αυτής είναι να αναδείξουμε τα πλεονεκτήμα-τα της διδακτικής παρουσίασης της έννοιας της απόλυτης τιμής, θεω-ρούμενης ως απόστασης, έναντι της φορμαλιστικής αντιμετώπισής της – ως ένα σύνολο από τυπικές αλγοριθμικές διαδικασίες.

Θα επικεντρωθούμε κυρίως στη γεωμετρική, αλλά συγχρόνως και στη διαισθητική αντιμετώπιση ορισμένων τυπικών εξισώσεων και ανι-σώσεων με απόλυτες τιμές που παρουσιάζονται στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου.

Πριν εισέλθουμε στο κυρίως θέμα μας, όπου θα προβάλλουμε και θα στηρίξουμε την αναγκαιότητα της γεωμετρικής εποπτείας, ως ενός ισχυρού διδακτικού μέσου, κρίνουμε σκόπιμο να κάνουμε κάποιες επι-σημάνσεις:

Στα βιβλία των μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου και της Α΄ Λυκεί-ου, η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x ορίζεται ως η από-σταση του x από το 0 (μηδέν) του άξονα των τετμημένων x΄x. Στο βι-βλίο δε της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου ορίζεται επίσης και η απόσταση δύο πραγματικών αριθμών α και β του άξονα x΄x, ως η απόλυτη τιμή της διαφοράς α – β ή της διαφοράς β – α.

Η οριοθέτηση αυτή: α) εμπεριέχει τις προϋποθέσεις ώστε η παρουσίαση εξισώσεων και

ανισώσεων με απόλυτες τιμές να μπορεί να γίνει μέσα σε ένα κατάλλη-λο γεωμετρικό περιβάλλον, όπου ο μαθητής να αισθητοποιεί πλήρως την απόλυτη τιμή ως μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος που έχει τα άκρα του πάνω σε έναν άξονα συντεταγμένων, και,

β) ξεπερνά τις αντιλήψεις για τη διδασκαλία της απόλυτης τιμής που διατυπώθηκαν τα τελευταία 30 χρόνια και στις οποίες κυριαρχού-σε η πρακτική "της απομάκρυνσης του συμβόλου της απόλυτης τιμής", διακρίνοντας περιπτώσεις για το πρόσημο της παράστασης που βρί-σκεται μέσα στο σύμβολο της απόλυτης τιμής.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 9

Τα τελευταία χρόνια η διδακτική αντιμετώπιση κάποιων τυποποιημέ-νων εξισώσεων και ανισώσεων (μορφές του τύπου: x= θ, x< θ, x> θ, όπου θ θετικός αριθμός) γίνεται από την πλειονότητα των κα-θηγητών των Λυκείων, όχι με τη μέθοδο της απομάκρυνσης του συμ-βόλου της απόλυτης τιμής, αλλά σύμφωνα με τους αλγόριθμους:

x= θ ⇔ x = θ ή x = –θ

x< θ ⇔ –θ < x < θ

x> θ ⇔ x < –θ ή x > θ, θ: θετικός αριθμός,

οι οποίοι εμφανίστηκαν το 1990 στη σχολική βιβλιογραφία (Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, κ.ά.) υπό μορφή θεω-ρίας. Ιστορικά πρόκειται σαφώς για μία θετική διδακτική μετατόπιση της έννοιας της απόλυτης τιμής. Επισημαίνουμε όμως ότι και σήμερα από τη διαδικασία λύσης θεμάτων, στα οποία παραπάνω αναφερθήκα-με, λείπει σε ουσιαστικό βαθμό η γεωμετρική εποπτεία· δεν γίνεται ιδιαίτερος λόγος για την ισχυρή, λόγω του ορισμού, σύνδεση της από-στασης δύο σημείων του άξονα με την απόλυτη τιμή. Ο μαθητής και σήμερα για να λύσει μια εξίσωση ή ανίσωση με απόλυτες τιμές ενεργεί τελείως μηχανικά, σχεδόν χωρίς να ενδιαφέρεται για το μαθηματικό πε-ριεχόμενο αυτών που γράφει. Ακολουθεί πιστά μια σειρά από συγκεκρι-μένα "αλγεβρικά" βήματα χωρίς στην πραγματικότητα να αισθητοποιεί την αναγκαιότητα αυτής της πορείας που ακολουθεί και όχι, ίσως, κά-ποιας άλλης. Ως αποτέλεσμα αυτής της αντιμετώπισης είναι ένα σημα-ντικό ποσοστό μαθητών να κάνει τα γνωστά "κλασσικά λάθη" – όπως για παράδειγμα: από την x2 < 4 να βρίσκουν τελικά x < 2 ή x < ±2 (η αναφορά μας αυτή είναι τελείως ενδεικτική). Αξίζει στο σημείο τούτο να πούμε ότι η "εικόνα" που έχει σχηματιστεί στο μυαλό του κάθε μαθητή για την έννοια της απόλυτης τιμής – απαλλαγμένης από τη γεωμετρική εποπτεία, είναι το αποτέλεσμα της εμπειρίας που έχει αποκτήσει ο μα-θητής μέσα από παραδείγματα που του έχουν αναλυθεί κατά την "πρώ-τη" πρόσκτηση της γνώσης στο σχολείο και όχι μόνον.

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑΣ – ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Όπως διαφάνηκε στην εισαγωγική αναφορά μας, ο κύριος στόχος μιας "άλλης" διδασκαλίας για την αντιμετώπιση εξισώσεων και ανισώσεων με απόλυτες τιμές, είναι η αντικατάσταση, σε ένα πρώτο στάδιο, των τυπικών αλγοριθμικών διαδικασιών με μια άλλη μέθοδο, όπου θα απο-δίδεται στην έννοια της απόλυτης τιμής η γεωμετρική της διάσταση, που δεν είναι άλλη από αυτήν του μήκους ενός ευθυγράμμου τμήματος. Με τον τρόπο αυτόν πιστεύουμε ότι ο μαθητής μπορεί να αισθητο-ποιήσει σε βάθος, και όχι επιφανειακά, τη λειτουργία της έννοιας της απόλυτης τιμής ως απόστασης. Η παρουσίαση της έννοιας γίνεται σε ένα γεωμετρικό περιβάλλον, "πρακτικό – ανακαλυπτικό"1, με πολύ λίγα προαπαιτούμενα. Αυτά είναι: α) Η γνώση του άξονα των πραγματικών αριθμών.

β) Η ιδιότητα που έχουν τα σημεία ενός κύκλου να ισαπέχουν από το κέντρο του κύκλου.

γ) Ο ορισμός του συμβόλου α – β ή β – α να εκφράζει την απόσταση των αριθμών α και β του άξονα. Για την πειραματική εφαρμογή της πρότασής μας, σχεδιάσαμε μια διδασκαλία, την οποία στη συνέχεια πραγματοποιήσαμε, το σχολικό έτος 1999-2000, σε μαθητές δύο τμημάτων της Α΄ Λυκείου, σε δύο διαφορε-

1 Επειδή ο όρος γεωμετρικό περιβάλλον «πρακτικό-ανακαλυπτικό» είναι αδόκιμος στη ∆ιδακτική των Μαθηματικών, επιθυμούμε με τον όρο αυτό να προσδιορίσουμε μια διδασκαλία όπου οι (καινούριες) προτάσεις και έννοιες «γεννιούνται» και εξε-λίσσονται με φυσιολογικό τρόπο, χωρίς φορμαλιστικές παρεμβάσεις από τον διδά-σκοντα. Στην πορεία ανακάλυψης της καινούριας (για τους μαθητές) έννοιας κυρι-αρχούν οι εικασίες και οι δοκιμές, που στηρίζονται σε γεωμετρικές αναπαραστάσεις ορισμών, εννοιών και προτάσεων που ήδη γνωρίζουν οι μαθητές. Σε μια τέτοια δι-δασκαλία ο ρόλος του διδάσκοντα είναι αυτός του καλού συντονιστή που υποβάλλει, στην κατάλληλη στιγμή, ερωτήσεις οι οποίες έχουν ως στόχο να προωθούν τις δια-δικασίες της έρευνας στην τάξη.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 11

τικά Λύκεια της πόλης των Τρικάλων. Σε καθένα από τα τμήματα αυτά χρησιμοποιήθηκαν δύο διδακτικές ώρες. Στη συνέχεια της εργασίας μας θα αναφερθούμε με συντομία, στο μέτρο του δυνατού βεβαίως, στην πορεία που ακολουθήσαμε κατά την παρουσίαση αυτού του δίωρου μαθήματος. Ξεκινήσαμε τη διδασκαλία μας παρουσιάζοντας στα παιδιά τον άξο-να των πραγματικών αριθμών, πάνω στον οποίο βάλαμε τα σημεία Α, Ο και Β. Στα σημεία αυτά αντιστοιχίζονται οι πραγματικοί αριθμοί α, 0 (μηδέν) και β.

x΄ xΑ Ο Β

α 0 β

Τονίσαμε ότι όταν θα λέμε απόσταση των αριθμών α και β, θα εν-νοούμε το μήκος του τμήματος ΑΒ. Το μήκος αυτό, που είναι ένας θε-τικός αριθμός, μπορούμε να το δηλώσουμε με το σύμβολο α – β.

Έτσι στην ερώτηση: "πως θα πρέπει να συμβολίζουμε το μήκος του τμήματος ΑΟ;", προέκυψε αμέσως η απάντηση: α – 0δηλαδή α.

Τι εκφράζει το σύμβολο β; Απάντηση: Το μήκος του τμήματος ΒΟ, αφού β = β – 0. Στο πλαίσιο της εισαγωγής μας στο μάθημα, τους παρουσιάσαμε και το επόμενο σχήμα.

Με τη βοήθεια αυτού του σχήματος, αναλύσαμε διεξοδικά τη σχέση των συμβόλωνα – β, β – α μεταξύ τους και με τους αριθμούς: α – β και β – α. Αξίζει να σημειώσουμε εδώ τη συμβολή του σχήματος στην αισθητοποίηση της ισότητας α – β=β – α.

x΄ x

ρ =β – α

ρ =α – β

α – β 0 β – α

ρ: η ακτίνα του κύκλου Α Β

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Ο πρώτος στόχος που θέσαμε, πριν προχωρήσουμε στη συζήτηση – ανάλυση των παραδειγμάτων μας, ήταν να μπορούν οι μαθητές να δια-τυπώνουν λεκτικά τι ακριβώς ζητάμε, στην περίπτωση που τους δοθεί η τυπική μορφή μιας εξίσωσης ή ανίσωσης. Για το λόγο αυτό τους δώσαμε τις εξής τυπικές μορφές:

x – 2 = 3, x + 1 < 4, 2x – 3 ≥ 5,

x – 3 + x + 4 = 10, 5x – 6 < –7

και τους ζητήσαμε να "διαβάσουν" αυτές τις σχέσεις χρησιμοποιώντας τον όρο απόσταση αντί του όρου απόλυτη τιμή.

Τις σωστές απαντήσεις των παιδιών, που προέκυψαν μετά από έναν σύντομο σχετικά διάλογο, τις παρουσιάζουμε στον πίνακα που ακολουθεί.

Τυπική μορφή Εξίσωσης, ανίσωσης

Το ζητούμενο διατυπωμένο λεκτικά

x – 2 = 3 Ζητάμε τις τιμές του x, ώστε η απόστασή τους από το 2 να είναι ίση με 3 μονάδες μή-κους.

x + 1 < 4

Αφού x + 1 = x – (–1), ζητάμε τις τι-μές του x, ώστε η απόστασή τους από τον αριθμό –1 να είναι μικρότερη από 4 μονάδες μήκους.

2x – 3 ≥ 5

Ζητάμε τις τιμές του x, ώστε η απόστασή του 2x από τον αριθμό 3 να είναι μεγαλύτερη ή ίση από 5 μονάδες μήκους.

x – 3 + x + 4 = 10

Ζητάμε τις τιμές του x, ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του x από τους αριθμούς 3 και –4 να είναι ίση με 10 μονάδες μήκους.

5x – 6 < –7

Ζητάμε τις τιμές του x, ώστε η απόσταση του 5x από το 6 να είναι μικρότερη από –7 μονάδες μήκους. Τέτοιες τιμές του x δεν υ-πάρχουν.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 13

Κρίνουμε σκόπιμο να αναφέρουμε εδώ δύο σημεία, στα οποία τα παιδιά προβληματίστηκαν:

α) στην περίπτωση της ανίσωσης x + 1 < 4, η οποία έπρεπε να μετασχηματιστεί στην x – (–1) < 4 και,

β) στην τελευταία ανίσωση: 5x – 6 < –7. Στην περίπτωση αυτή, εκτός από τη λεκτική διατύπωση, ζητήσαμε να μας πούνε αν υπάρχουν τιμές του x που την επαληθεύουν. Στο σημείο τούτο χρειάστηκε να υ-πενθυμίσουμε σε κάποια παιδιά ότι το σύμβολο 5x – 6 εκφράζει μή-κος ευθυγράμμου τμήματος. Αυτή η παρέμβασή μας διευκόλυνε την κατάσταση.2

Στη συνέχεια της πειραματικής μας διδασκαλίας προχωρήσαμε στη συζήτηση κάποιων παραδειγμάτων, τα οποία παρουσιάζουμε λυμένα για τις ανάγκες της εργασίας μας. Στην παρουσίασή τους αφήνουμε κάποιες διατυπώσεις που προέκυψαν κατά τη συζήτηση στην τάξη.

α) Να λυθεί η εξίσωση x – 2 = 3

Απάντηση:

Το x – 2, δηλαδή το πρώτο μέλος της εξίσωσης, εκφράζει την από-σταση του x από τον αριθμό 2. Έτσι η έκφραση: "Λύστε την εξίσωση

2 Σχετική άποψη του ∆ρ. Μαθηματικών του Παν. Αθηνών Στράτου Μάκρα, που δια-τύπωσε σε διάλεξη που διοργανώθηκε από το παράρτημα Τρικάλων της Ε.Μ.Ε. στις 29/4/1997, με θέμα "Η Γεωμετρική εποπτεία στη διδασκαλία της Ανάλυσης": «Πολ-λές φορές μιλώντας για την "ανακάλυψη" διαφόρων πραγμάτων από τους μαθητές μας, εννοούμε συνήθως τη διατύπωση μιας απάντησης που εμείς θα περιμέναμε. Κάτι τέ-τοιο όμως δεν συμβαίνει πάντα· και αυτό το ξέρουμε αρκετά καλά. Αν οι μαθητές μας αφεθούν μόνοι τους, χωρίς τις δικές μας διδακτικές παρεμβάσεις, δεν πρόκειται να ανακαλύψουν και πολλά πράγματα. Η δημιουργία από τη μεριά των καθηγητών, με τις κατάλληλες κάθε φορά παρεμβάσεις τους, ενός κλίματος που να κεντρίζει την περιέρ-γεια των παιδιών και να τα ωθεί σε διαδικασίες ανακαλυπτικές, είναι βασική προϋπό-θεση μιας αποτελεσματικής διδασκαλίας».

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

x – 2 = 3" διαβάζεται ισοδύναμα: "Βρείτε τις τιμές του x, ώστε η απόστασή του από τον αριθμό 2 να είναι 3 μον. μήκους".

Γράφουμε τον κύκλο3 με κέντρο το σημείο Κ, στο οποίο αντιστοιχίζε-ται το 2, και ακτίνα ίση με 3 μον. μήκους. Ο κύκλος αυτός τέμνει τον άξονα των πραγματικών αριθμών στα ση-μεία Α και Β. Οι αριθμοί –1 και 5, που αντιστοιχίζονται στα σημεία αυτά, είναι οι λύσεις της εξίσωσης x – 2 = 3.

β) Να λυθεί η ανίσωση x + 1 < 4

Απάντηση:

Το x + 1 γράφεται x – (–1). Έτσι εδώ ζητάμε τις τιμές του x, που η απόστασή τους από το –1 να είναι μικρότερη από 4 μον. μήκους.

3 Ο κύκλος σχεδιάστηκε, στα θέματα που αναλύσαμε, για τη γεωμετρική αισθητο-ποίηση της εύρεσης των δύο αριθμών του άξονα που ισαπέχουν από ένα γνωστό αριθμό. Και αυτό γιατί, έχουμε τη γνώμη, ότι όλοι οι μαθητές γνωρίζουν, έστω και εμπειρικά, την ιδιότητα των σημείων ενός κύκλου να ισαπέχουν από το κέντρο του.

–∞ +∞

3 μον.

x = –1 2 x = 5

Τετμ. του Α: 2 – 3 = –1 Τετμ. του Β: 2 + 3 = 5

Α Β

–∞ +∞

4 μον.

–5 x –1 x 3

Τετμ. του Α: –1 – 4 = –5 Τετμ. του Β: –1 + 4 = 3

Α Β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 15

Γράφουμε τον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ, στο οποίο αντιστοιχίζεται το –1, και ακτίνα ίση με 4 μον. μήκους. Ο κύκλος αυτός τέμνει τον άξονα στα σημεία Α και Β, στα οποία αντι-στοιχίζονται οι αριθμοί –5 και 3. Είναι φανερό ότι οι τιμές του x που ζητάμε είναι οι αριθμοί του άξονα, που αντιστοιχίζονται σε σημεία εσωτερικά του κύκλου. Οπότε οι τιμές του x που επαληθεύουν την ανίσωση είναι εκείνες για τις οποίες: –5 < x < 3.

Μετά από την παραπάνω λύση, δώσαμε και μία άλλη ισοδύναμη λύση. Το x + 1 γίνεται (x + 1) – 0. Έτσι η ανίσωση x + 1 < 4 γίνεται (x + 1) – 0 < 4. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται εποπτικά η δεύτερη λύση:

Θέλουμε τα x για τα οποία –4 < x + 1 < 4, οπότε –5 < x < 3.

γ) Να λυθεί η ανίσωση 2x – 3 ≥ 5

Απάντηση:

–∞ +∞

5 μον.

2x –2 3 8 2x

Τετμ. του Α: 3 – 5 = –2 Τετμ. του Β: 3 + 5 = 8

Α Β

–∞ +∞

4 μον.

–4 x + 1 0 x + 1 4Α Β

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Eίναι φανερό ότι ζητάμε τις τιμές του x, για τις οποίες οι αριθμοί 2x αντιστοιχίζονται σε σημεία του άξονα που βρίσκονται στο εξωτερικό του κύκλου, μαζί με τους αριθμούς 2x, που αντιστοιχίζονται στα Α και Β. ∆ηλαδή θέλουμε: 2x ≤ –2 ή 2x ≥ 8 ή ισοδύναμα: x ≤ –1 ή x ≥ 4.

δ) i. Αν Α και Β είναι δύο διακεκριμένα σημεία του άξονα των πραγ-ματικών αριθμών με τετμημένες α, β αντίστοιχα και M είναι το μέ-σο του τμήματος ΑΒ, τότε για την τετμημένη x του Μ να αποδει-

χτεί ότι: α βx2+

= .

ii. Να λυθεί η εξίσωση: x + 4 = x – 2 iii. Να λυθεί η ανίσωση: x + 4 < x – 2

Απάντηση:

–∞ +∞ Α M Β

α x β

i. Επειδή το Μ είναι μέσο του τμήματος ΑΒ, θα ισχύει ΜΑ = ΜΒ και ισοδύναμα:

x – α = β – x ή 2x = α + β ή α βx2+

= .

ii. Η εξίσωση γίνεται: x – (–4) = x – 2.

–∞ +∞ Α M Β

–4 x 2

Θέλουμε το x να ισαπέχει από τους αριθμούς –4 και 2. Αυτό ση-μαίνει ότι το x είναι η τετμημένη του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ, οπότε, σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα (i), θα είναι:

x = 4 22

− + , δηλαδή x = –1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 17

iii. Η ανίσωση γίνεται x – (–4) < x – 2.

–∞ +∞

Α M Β

–4 x 2 x –1

Γεωμετρικά θέλουμε τα σημεία του άξονα που βρίσκονται πιο κο-ντά στο Α από ότι στο Β. Είναι φανερό λοιπόν ότι εδώ ζητάμε τις τετμημένες x των σημείων της ημιευθείας ΜΑ, από την οποία ε-ξαιρείται η αρχή της Μ (Μ: μέσο του τμήματος ΑΒ). Επομένως η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x < –1.

ε) Να λυθεί η εξίσωση x – 3 + x + 4 = 10

Απάντηση:

Εδώ τα πράγματα περιπλέκονται. Είναι απαραίτητο να φτιάξουμε πρώτα κάποια γενικότερη υποδομή. Να δημιουργήσουμε ένα κατάλλη-λο μαθηματικό μοντέλο, ανάλογο προς την πρότασή μας, που απαιτεί στη διαδικασία επίλυσης να κυριαρχεί η γεωμετρική εποπτεία. Το γενικό πρόβλημα που έχουμε να επιλύσουμε είναι προφανώς το ε-ξής: Αν δοθούν δύο πραγματικοί α και β, να λυθεί η εξίσωση :

x – α + x – β = λ, λ > 0.

Την απόδειξη του θέματος αυτού παρουσιάσαμε αναλυτικά με αρκετή "ενδιάμεση" συζήτηση. Για προφανείς όμως λόγους, την παρουσιάζου-με εδώ με κάποια συντομία. Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής, ως μήκους ενός ευθυ-γράμμου τμήματος, η εξίσωση x – α + x – β = λ θα μπορούσε ισοδύναμα να πάρει τη μορφή ΓΑ + ΓΒ = λ, όπου Α, Β είναι δύο ση-μεία του άξονα των πραγματικών αριθμών με τετμημένες α, β αντί-στοιχα και Γ ένα άλλο σημείο του άξονα με (άγνωστη) τετμημένη x.

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Παίρνουμε επίσης το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ.

Η ισότητα ΓΑ + ΓΒ = λ μετασχηματίζεται ισοδύναμα:

ΓΑ + (ΓΜ + ΜΒ) = λ

ΓΑ + (ΓΜ + ΑΜ) = λ

(ΓΑ + ΑΜ) + ΓΜ = λ

ΓΜ + ΓΜ = λ

2ΓΜ = λ

ΓΜ =

λ2

α β λx

2 2+

− =

Αποδείξαμε τελικά ότι:

x – α + x – β= λ (4) α β λx

2 2+

⇔ − = , λ > 0

Η ισοδυναμία4 στην οποία καταλήξαμε, πιστεύουμε ότι αποτελεί το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο, που μας ήταν απαραίτητο για να λύ-σουμε την εξίσωση: x – 3 + x + 4 = 10

Τα πράγματα τώρα είναι αρκετά απλά. Είναι πλέον αρκετό να λύσουμε την ισοδύναμη εξίσωση:

3 ( 4) 10 1x , δηλαδή την x 52 2 2

+ − ⎛ ⎞− = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

4 Απαραίτητη προϋπόθεση για να ισχύει η ισοδυναμία είναι η συνθήκη: ⎜ΓΑ – ΓΒ⎜< ΑΒ < ΓΑ + ΓΒ, λόγω της τριγωνικής ανισότητας για τα σημεία Α, Β, Γ. ∆ηλαδή πρέπει να ισχύει: ⎜ΓΑ – ΓΒ⎜< ⎜α – β⎜< λ.

–∞ +∞

x α 2

βα + β

Γ Μ Β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 19

Άσκηση

Πάνω στον άξονα x΄x σημειώστε τα σημεία Α(2, 0) και Β(4, 0). ∆ιερευνείστε αν υπάρχουν θέσεις (και πόσες;) του άξονα x΄x, στις οποίες θα μπορούσατε να τοποθετήσετε το σημείο Μ(x, 0), ώστε:

(i) MA + MB = 2 (ii) MA + MB = 1

∆ιατυπώστε έπειτα τις "γεωμετρικές" ισότητες (i) και (ii), χρησι-μοποιώντας το σύμβολο της απόλυτης τιμής. Ποιες είναι οι λύσεις αυτών των εξισώσεων;

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Μετά την πειραματική διδασκαλία μας στα δύο τμήματα5 της Α΄ Λυ-κείου και έπειτα από συζητήσεις με συναδέλφους μαθηματικούς, που διδάσκουν στο Λύκειο, έχουμε κάθε λόγο να πιστεύουμε στη αποτελε-σματικότητα της μεθόδου "άξονας-κύκλος", που παρουσιάσαμε. Ο ι- 5 Τα δύο τμήματα χρησιμοποιήθηκαν ως τμήματα ελέγχου και πειραματισμού συγ-χρόνως – μια ασυνήθης πρακτική. Επιλέξαμε τη συγκεκριμένη διαδικασία γιατί θέλαμε οι ίδιοι μαθητές, αφού διδαχτούν τη μέθοδο του άξονα-κύκλου που προτεί-νουμε με αυτή μας την εργασία· και εκείνη των συνήθων αλγεβρικών διαδικασιών, να επιλέξουν τελικά οι ίδιοι, με δικά τους κριτήρια, τη μέθοδο που επιθυμούν να ακολουθούν για την επίλυση σχετικών θεμάτων.

–∞ +∞

5 μον.

–2

11 –

Τετμ. του Α: 2

115

1−=−−

Τετμ. του Β: 2

1=+−

Α Β K

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

σχυρισμός μας αυτός ενισχύεται και από μια εμπειρική έρευνα που κά-ναμε στους μαθητές που παρακολούθησαν τη διδασκαλία μας. Συγκε-κριμένα, ένα μήνα μετά την πειραματική διδασκαλία μας, σχεδιάσαμε και ακολούθως πραγματοποιήσαμε ένα test με θέματα αντίστοιχα αυτών που τους είχαμε παρουσιάσει. Ζητήσαμε από τους μαθητές, αν ακο-λουθήσουν τη γεωμετρική μέθοδο, να χρησιμοποιήσουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών και τον κύκλο, χωρίς κατ’ ανάγκη να κάνουν και τη λεκτική περιγραφή της σχετικής κατασκευής τους. Τους εξηγήσαμε επίσης ότι μπορούν, αν θέλουν, να απαντήσουν στα θέματα του test και με το συνήθη τρόπο που υποδεικνύεται στο σχολικό τους βιβλίο. Και αυ-τό γιατί στα παιδιά παρουσιάστηκε και η μεθοδολογία του βιβλίου τους.

Ζητήσαμε από τους μαθητές να απαντήσουν στις εξής ερωτήσεις:

Ερώτηση 1η

Να γράψετε τις εξισώσεις ή ανισώσεις που αντιστοιχούν στις παρακά-τω διατυπώσεις: α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού x, ώστε η από-σταση του 4x από τον αριθμό 3 να είναι μεγαλύτερη από 5 μονάδες μή-κους. β) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού x, ώστε η από-στασή του από τον αριθμό 4 να είναι ίση με 6 μονάδες μήκους. γ) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού x, ώστε η από-στασή του από τον αριθμό 2 να είναι μικρότερη ή ίση από 6 μονάδες μήκους. δ) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού x, ώστε η πρό-σθεση των αποστάσεων του x από τους αριθμούς 4 και 2 να είναι ίση με 12 μονάδες μήκους.

Ερώτηση 2η

α) Να λυθεί η ανίσωση –4x + 3 > 5. Ποια είναι η σχέση των λύσεων αυτής της ανίσωσης με τις λύσεις της

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 21

ανίσωσης που γράψατε στο (α) της πρώτης ερώτησης; Μήπως μπορεί-τε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας;

β) Να λύσετε τις εξισώσεις και ανισώσεις που γράψατε στα (β) και (γ) της πρώτης ερώτησης.

γ) Πάνω στον άξονα x΄x κινείται ένα σημείο Μ, που έχει τετμημένη x, έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: "η απόστασή του από τον α-ριθμό –1000 να είναι μικρότερη από την απόστασή του από τον αριθμό 5008". Να προσδιορίσετε τις θέσεις του Μ που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη.

δ) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x ισχύει: x – 1999< –2000;

Μια πρώτη επεξεργασία των αποτελεσμάτων του test, που πραγμα-τοποιήθηκε σε σύνολο 55 μαθητών, φαίνεται στους επόμενους πίνακες:

Ερώτηση πρώτη Σωστές απαντήσεις % α 48 87,3 β 48 87,3 γ 45 81,8 δ 41 74,5

Ερώτηση δεύτερη

Σωστές απαντήσεις

% Μαθητές που χρησι-μοποίησαν τη μέθοδο

"άξονα-κύκλου" α 41 74,5 31 β 42 76,4 32 γ 39 71,0 34 δ 44 80,0

Εν προκειμένω, η μελέτη των αποτελεσμάτων του test: α) Μας έδωσε πληροφορίες που έχουν σχέση με το βαθμό αποτελε-

σματικότητας της διδασκαλίας, που νωρίτερα είχαμε πραγματοποιήσει. β) Μας επέτρεψε να αξιολογήσουμε, ως θετική καταρχήν, τη μέθο-

δο "άξονας-κύκλος" και να εντοπίσουμε τα σημεία εκείνα στα οποία απαιτείται κάποια διαφοροποίηση, όσον αφορά την παρουσίασή της.

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Σε ότι έχει σχέση τώρα με τα είδη των λαθών που αντιμετωπίσαμε: α) Ορισμένοι μαθητές που ακολούθησαν τη μέθοδο "άξονας-κύκλος"

έκαναν λάθη αλγεβρικού λογισμού κατά τον προσδιορισμό των τετμη-μένων των σημείων τομής του κύκλου με τον άξονα των πραγματικών αριθμών.

β) Τα λάθη των μαθητών, που ακολούθησαν την πορεία των συνή-θων αλγεβρικών διαδικασιών (χωρίς σχήματα), εντοπίστηκαν κυρίως στην εσφαλμένη τοποθέτηση του ανισωτικού συμβόλου (< ή >) στην πορεία επίλυσης των ανισώσεων του test.

Επειδή ο κύριος στόχος αυτής της εργασίας είναι η παρουσίαση της διδακτικής μας πρότασης – κάτι που αναφέρουμε και στον τίτλο, δεν προ-χωρούμε σε μια διεξοδική και πιο αναλυτική επεξεργασία των στοιχείων που προέκυψαν από την εμπειρική έρευνα που πραγματοποιήσαμε.

Στο σημείο τούτο πρέπει να επισημάνουμε βεβαίως ότι τα όποια συμπεράσματα προκύπτουν περί της αποτελεσματικότητας της μεθό-δου μας, αναφέρονται σε ένα δείγμα μικρού μεγέθους (ν = 55 μαθητές Α΄ Λυκείου). Είναι απαραίτητη για το λόγο αυτό και μια άλλη έρευνα με αντιπροσωπευτικό δείγμα μεγάλου μεγέθους. Μια έρευνα μέσα σε σχολικές τάξεις, όπου η ομοιογένεια του γνωστικού επιπέδου των μα-θητών δεν είναι δεδομένη. Έχουμε την αίσθηση ότι η διδακτική πρόταση που αναλύσαμε α-νοίγει έναν άλλο δρόμο για μια πιο αποτελεσματική παρουσίαση της έννοιας της απόλυτης τιμής στο Λύκειο. Η επέκταση της μεθόδου της «γεωμετρικοποίησης» και σε άλλες μορφές εξισώσεων και ανισώσεων με απόλυτες τιμές αφήνεται στην ευρηματικότητα των συναδέλφων. Η καταρχήν ιδέα αναλύθηκε· ο δρόμος της περαιτέρω αναζήτησης και διερεύνησης, εκ των πραγμάτων, είναι πλέον ανοιχτός. Κρίνουμε, τέλος, σκόπιμο να τονίσουμε εδώ ότι η «γεωμετρικο-ποίηση» των απόλυτων τιμών δεν πρέπει να αποτελεί αυτοσκοπό – γιατί τότε η μέθοδος που παρουσιάσαμε κινδυνεύει να εγκλωβιστεί στον εαυτό της. Η «αρμονική συνεργασία» της με τις αλγεβρικές διαδικασίες, που εκ των πραγμάτων έπονται, είναι αυτό που τελικά επιδιώκουμε.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 23

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΩΣ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΡΟΥ Αν σε κάθε πραγματικό x αντιστοιχίσουμε την απόσταση του x από τον αριθμό 0 του άξονα των πραγματικών αριθμών, τότε κατασκευά-ζουμε τη συνάρτηση μέτρου ƒ: x → x.

Συμβολικά μπορούμε να γράφουμε και ƒ: R → [0, +∞), με ƒ(x) = x. Σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν στην εργασία μας, σχετικά με την έννοια της απόλυτης τιμής –θεωρούμενης ως απόστασης δύο σημείων του άξονα των πραγματικών αριθμών–, προκύπτουν οι άμεσες συνέπειες:

•

x, αν x 0x x, αν x 0

0, αν x 0

>⎧⎪= − <⎨⎪ =⎩

• x ≥ 0 • x2= x2

• x≥ x και x≥ –x • x= –x • x< θ ⇔ –θ < x < θ, για κάθε x∈R και θ > 0

• x> θ ⇔ x < –θ ή x > θ, για κάθε x∈R και θ > 0

Ιδιότητες των απόλυτων τιμών

Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει:

• α⋅β=α⋅β • αα

β β= , β ≠ 0 • α + β ≤ α + β

Στην τελευταία ιδιότητα ισχύει μόνο το (<) όταν α, β ετερόσημοι, ενώ ισχύει μόνο το (=) όταν α, β ομόσημοι ή ένας από τους α, β είναι 0.

ΕΜΠΟ∆ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Τα εμπόδια στα οποία θα αναφερθούμε εντοπίζονται κυρίως στη διττή αναφορική ερμηνεία της έννοιας της απόλυτης τιμής: α) ως απόστασης

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

και β) ως μιας συνάρτησης μέτρου, που έχει ένα συγκεκριμένο αναλυ-τικό τύπο. Ας γίνουμε πιο συγκεκριμένοι:

Στο Γυμνάσιο η απόλυτη τιμή έχει έναν υπολογιστικό χαρακτήρα. Ζητάμε για παράδειγμα από τα παιδιά να υπολογίσουν την τιμή της παράστασης –2 + 8 – –7. Στα πλαίσια τέτοιων υπολογισμών εύκολα δημιουργείται ο "παρακανόνας": απόλυτη τιμή ενός αριθμού εί-ναι ο αριθμός χωρίς το πρόσημό του. Βεβαίως, ο παρακανόνας αυτός δεν δημιουργεί προβλήματα στον υπολογισμό της απόλυτης τιμής τέ-τοιων παραστάσεων. Μάλιστα δε, αποτελεί ένα ιδιαίτερα βολικό εργα-λείο στους μαθητές εκείνους, που τους χαρακτηρίζουμε μαθησιακά α-δύνατους στα Μαθηματικά. Ο παρακανόνας όμως αυτός δημιουργεί τεράστια προβλήματα όταν για παράδειγμα από τον υπολογισμό του –5 θελήσουμε να μεταπηδήσουμε στον υπολογισμό του x, όπου x ένας πραγματικός αριθμός.

Ας θυμηθούμε την αντίδραση των παιδιών της Α΄ Λυκείου, όταν τους λέμε ότι: x= –x, όταν x αρνητικός. Η μετάβαση, από την από-λυτη τιμή ενός συγκεκριμένου αριθμού στην απόλυτη τιμή του x, απο-τελεί ένα πολύ μεγάλο διδακτικό εμπόδιο. Η γεωμετρική εποπτεία και η μέθοδος του "άξονα-κύκλου", που προτείναμε με την εργασία μας, είναι ο καλύτερος τρόπος για να ξεπεράσει κανείς με ευκολία το συ-γκεκριμένο διδακτικό εμπόδιο.

Κρίνουμε σκόπιμο να προσθέσουμε εδώ ότι, ως αποτέλεσμα του συγκεκριμένου παρακανόνα, αρκετοί μαθητές γράφουν –x= x, χωρίς να ενδιαφέρονται για το πρόσημο του x.

Τα πράγματα αρχίζουν να μπαίνουν στη θέση τους και ο παρακανό-νας αρχίζει να τίθεται υπό αμφισβήτηση, όταν ζητήσεις από τους μα-θητές να βρούν έναν πραγματικό αριθμό χωρίς πρόσημο. Απαντούν, για παράδειγμα, 5, όμως πρόκειται για τον +5. Η κατάληξη: δεν υ-πάρχουν πραγματικοί αριθμοί χωρίς πρόσημο. Ακόμα και όταν γρά-φουμε 5, υποννούμε τον +5.

Ας έλθουμε τώρα σε μια άλλη κατηγορία λαθών, που οφείλονται στη φορμαλιστική παρουσίαση των ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής –

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 25

θεωρούμενης ως συνάρτησης και μάλιστα απαλλαγμένης από τη γεωμε-τρική εποπτεία.

Η πλειονότητα των μαθητών επιχειρεί να βρει τις λύσεις εξισώσεων και ανισώσεων σαν τις:

x + 5= –2, x 1 2 3− + = − , x – 8< –2, x + 9> –5, χρησιμοποιώντας τους γνωστούς αλγόριθμους:

x= θ ⇔ x = θ ή x = –θ x< θ ⇔ –θ < x < θ, x> θ ⇔ x < –θ ή x > θ

Εκείνο βεβαίως που αγνοούν, ή δεν παίρνουν υπόψη τους, είναι ότι οι αλγόριθμοι αυτοί ισχύουν μόνον όταν ο αριθμός θ είναι θετικός. Τα συγκεκριμένα λάθη θα τα απέφευγαν οι μαθητές, αν είχαν εξαρ-χής αισθητοποιήσει την απόλυτη τιμή ως απόσταση δύο σημείων του άξονα· δηλαδή την απόλυτη τιμή ως μήκος ενός ευθυγράμμου τμήμα-τος, που δεν μπορεί ποτέ να εκφράζεται με έναν αρνητικό αριθμό. Όλα τα λάθη, στα οποία αναφερθήκαμε, υποδηλώνουν την ύπαρξη ισχυρών αντιλήψεων για την έννοια της απόλυτης τιμής, που βεβαίως δεν συ-μπίπτουν με την αντίστοιχη "λόγια γνώση". Ένα άλλο μεγάλο πρόβλημα που δημιουργείται, οφείλεται στην α-ντίληψη, που καλλιεργείται από ορισμένους καθηγητές των μαθηματι-κών, ότι η απόλυτη τιμή είναι απλά "ένα σύμβολο που πρέπει να το διώχνουμε όπου το συναντάμε". Η άποψη αυτή αποστερεί από την α-πόλυτη τιμή κάθε ενδογενές της μαθηματικό περιεχόμενο. Χάνεται με τον τρόπο αυτό κάθε αναφορική σημασία της απόλυτης τιμής, αφού δεν αντιμετωπίζεται με καθαρό τρόπο, ούτε ως συνάρτηση, πολύ πε-ρισσότερο δε, ούτε ως απόσταση. Αντιμετωπίζεται ως ένα ουδέτερο καί ξένο σώμα που πρέπει το γρηγορότερο να "φύγει" από τις παρα-στάσεις στις οποίες συμμετέχει. Για να αποφύγουμε κάθε παρανόηση: Βεβαίως, αν επιθμούμε να κάνουμε τη μελέτη μιας συνάρτησης με απόλυτες τιμές, πρέπει ο τύπος της να γραφτεί με τη μορφή μιας νέας αναλυτικής "κλαδικής" συνάρ-

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

τησης. Να εξηγήσουμε όμως πρώτα στους μαθητές την αναγκαιότητα της νέας ισοδύναμης γραφής. Να τονίζουμε και να διατηρούμε με τις εξηγήσεις μας αυτές το αναφορικό νόημα της έννοιας της απόλυτης τιμής, η οποία στην περίπτωσή μας παρουσιάζεται με τη μορφή συ-νάρτησης μέτρου. Αυτή η εντελώς τεχνική και καθαρά φορμαλιστική αντίληψη για τις απόλυτες τιμές δεν εμφανίζεται βεβαίως "ουρανοκατέβατα" από τους καθηγητές των μαθηματικών. Τα αναλυτικά προγράμματα και η υλο-ποίησή τους μέσα από τα αντίστοιχα σχολικά βιβλία είναι αυτά που κάθε φορά προωθούν μια συγκεκριμένη φιλοσοφία για τα μαθηματικά. Η φιλοσοφία αυτή είναι φυσικό να διαχέεται σε όλους τους εμπλεκόμε-νους, καθηγητές και μαθητές, και να δημιουργεί με τη σειρά της ένα πρότυπο "στυλ" γραφής και παρουσίασης των μαθηματικών εννοιών για μια ορισμένη (και συνήθως όχι μικρή) χρονική περίοδο. Για να τεκμηριώσουμε την αναφορά μας αυτή, θα αναφερθούμε σε κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα: Στις αρχές της δεκαετίας του '70 διδάσκεται στα σχολεία το βιβλίο: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, τ. 1ος, Ηλία Β. Ντζιώρα, Ο.Ε.∆.Β., Αθήνα 1971". Στο βιβλίο αυτό αφιερώνεται ένα ολόκληρο κεφάλαιο με 31 σελίδες ειδικά για τις απόλυτες τιμές. Η όλη τοποθέτηση και η δι-απραγμάτευση του θέματος αποτελεί μία μνημειώδη παρουσίαση της απόλυτης τιμής, όπου ο φορμαλισμός και η παντελής έλλειψη της γε-ωμετρικής εποπτείας βρίσκονται στο σημείο της τέλειας αποθέωσής τους. Η απόλυτη τιμή στην κυριολεξία αντιμετωπίζεται ως ένα σύμ-βολο, x, που ισούται με το x, όταν x θετικός, ενώ με –x, όταν x αρ-νητικός· πρέπει να "φεύγει" όπου το συναντάμε, κάνοντας διάκριση πε-ριπτώσεων για το πρόσημο της παράστασης που εμπεριέχεται στο σύμβολο . Το κεφάλαιο ξεκινά με τον τυπικό – φορμαλιστικό ορισμό του συμ-βόλου . Ακολουθούν οι ιδιότητες του συμβόλου με τις αποδείξεις τους, όπου κυριαρχεί η περιπτωσιολογία και στη συνέχεια ακολουθεί η διερεύνηση πολύπλοκων παραμετρικών εξισώσεων και ανισώσεων με

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 27

την κατασκευή πινάκων διερεύνησης· στο τέλος η "επίλυση εντός του R συστημάτων ειδικών μορφών με απόλυτες τιμές".

Το βιβλίο αυτό δεν γράφτηκε "εν αιθρία". Ήταν αποτέλεσμα των κυρίαρχων φιλοσοφικών αντιλήψεων για τα μαθηματικά, που επικρα-τούσαν πολύ νωρίτερα από την εποχή εκείνη στην Ευρώπη. Και όπως ήταν φυσικό, οι απόψεις αυτές πέρασαν με κάποια χρονική υστέρηση και στην Ελλάδα. Οι αντιλήψεις της εποχής αυτής οδήγησαν στην α-ναγωγή της "αυστηρότητας" σε πεμπτουσία των μαθηματικών. Οι α-ντιεποπτικές απόψεις, που βρισκόταν στο επίκεντρο, οδήγησαν στην ουσιαστική "απαγόρευση" της χρήσης της γεωμετρικής εποπτείας ως μέσο για την κατανόηση των διαφόρων εννοιών και προτάσεων. Οι ρί-ζες αυτής της παιδαγωγικής παρέκκλισης έρχονται χρονικά από μα-κριά.

Ξεκινούν μάλλον από τον Karl Weiertrass (1815-1897), έναν από τους θεμελιωτές της Μαθηματικής Ανάλυσης, ως μιας αξιωματικής μαθηματικής θεωρίας. Στον ίδιο οφείλεται το σύμβολο α και η ονο-μασία του. Η "αντιγεωμετρική" στάση του, που ήταν δικαιολογημένη μέσα στο κλίμα της εποχής, ερμηνεύτηκε από ορισμένους "επίγονους" σαν διδακτικό σύνθημα, κάτι το οποίο είναι αδικαολόγητο.

Το μέγεθος της "παιδαγωγικής – διδακτικής στρέβλωσης", που προέκυψε ως αποτέλεσμα αυτού του διδακτικού συνθήματος, το βλέπει κανείς ξεκάθαρα στα σχολικά βιβλία που εκδόθηκαν στη χώρα μας ως τα τέλη της δεκαετίας του '70. Το 1979-80 εκδίδεται από τον Ο.Ε.∆.Β. καινούριο βιβλίο για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, με συγγραφείς τους: Ν. Βαρουχάκη, Λ. Αδαμόπουλο, Ν. Αλεξανδρή, ∆.Α. Παπακων-σταντίνου και Α. Παπαμικρούλη. Στο βιβλίο αυτό, που αποτελεί το σχολικό εγχειρίδιο μέχρι το τέλος της δεκαετίας του '80, βλέπει κανείς μία "γραφή" επηρεασμένη από τις τάσεις των λεγομένων "Νέων (Μο-ντέρνων) Μαθηματικών".

Σε ότι έχει σχέση τώρα με την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθ-μού, αφιερώνονται 4 σελίδες, με 2 παραγράφους και 6 προτεινόμενες για λύση ασκήσεις. Ο ορισμός που τίθεται στο ξεκίνημα της σχετικής

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ενότητας είναι, και πάλι, ο συνήθης: Αν x είναι ένας πραγματικός αριθ-μός, η απόλυτη τιμή του συμβολίζεται με x και ορίζεται ως εξής:

x, αν x 0x

x, αν x 0≥⎧

= ⎨− ≤⎩

Ακολουθούν οι γνωστές ιδιότητες, –που αποκαλούνται θεωρήματα–, μαζί με τις αποδείξεις τους, που δίνονται σύντομα με τυπικές αλγεβρι-κές διαδικασίες. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των αλγεβρικών δια-δικασιών, με τις οποίες παρουσιάζονται εδώ οι αποδείξεις, είναι η ορι-οθέτηση του συμβόλου x ως το μεγαλύτερο από τα στοιχεία του συνόλου x, –x.

Το στοιχείο που μπορεί να αξιολογηθεί ως μια θετική διδακτική μετατόπιση είναι, σε σχέση με προηγούμενα σχολικά εγχειρίδια, η πρωτοπαρουσίαση (σε σχολικό βιβλίο της χώρας μας) του θεωρήματος: Για τους πραγματικούς αριθμούς x και θ, με θ > 0, ισχύουν οι ισοδυ-ναμίες:

x≤ θ ⇔ –θ ≤ x ≤ θ και x≥ θ ⇔ x ≤ –θ ή x ≥ θ

Βεβαίως, αν η απόλυτη τιμή είχε οριστεί ως απόσταση, τότε οι προηγούμενες ισοδυναμίες δεν θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν ως θεωρήματα, αλλά ως άμεσες συνέπειες του ορισμού της απόλυτης τι-μής, ως απόστασης δύο σημείων της ευθείας των πραγματικών αριθμών.

Στη συνέχεια, οι εξισώσεις x = α και x=α, α∈R, αντιμε-τωπίζονται με ύψωση των μελών τους στο τετράγωνο.

Σε γενικές γραμμές η θεωρία παρουσιάζεται με κωδικοποιημένη μορφή και σταματά η γνωστή, ως την εποχή εκείνη, εμμονή στη συ-στηματική μελέτη της "περιπτωσιολογίας". Τέλος, σε όλη την ενότητα δεν γίνεται η παραμικρή νύξη για τη σύνδεση της απόλυτης τιμής με την έννοια της απόστασης.

Μια δεκαετία μετά, το 1990, εκδίδεται από τον Ο.Ε.∆.Β. άλλο βι-βλίο για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου. Η νέα συγγραφική ομάδα απο-τελείται από τους: Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρί-δη, Γ. Πολύζο και Α. Σβέρκο. Το βιβλίο αυτό διατηρείται ως σχολικό

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 29

εγχειρίδιο μέχρι τις μέρες μας με διαρκείς επανεκδόσεις και μικρές βελτιώσεις κατά διαστήματα.

Η τοποθέτησή μας ως προς το τελευταίο αυτό βιβλίο παρουσιά-στηκε στην εισαγωγή της εργασίας μας.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση της πρώτης ερώτησης:

Η μέθοδος του άξονα – κύκλου πώς θα μπορούσε να αντιμετωπίσει μια ανίσωση με απόλυτες τιμές, όταν μέσα στο σύμβολο υπήρχε παράσταση της μορφής αx2 + βx + γ, α ≠ 0, αντί της μορφής αx + β; Να ληφθεί υπ' όψη ότι τη χρονική περίοδο, που οι μαθητές της Α΄ Λυκείου διδάσκονται την έννοια της απόλυτης τιμής, δεν γνωρίζουν να λύνουν ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Ας πάρουμε ένα σχετικό παράδειγμα:

Να λυθεί η ανίσωση: x2 – 3x – 1 > 3

Απάντηση

Κατ' αρχήν η ανίσωση γράφεται: (x2 – 3x) – 1 > 3. Είναι φανερό ότι ζητάμε τις τιμές του x, για τις οποίες οι αριθμοί x2 – 3x του άξονα απέχουν από τον αριθμό 1 απόσταση μεγαλύτερη από 3 μον. μήκους.

−∞ +∞

Κ1 4–2

Α Βx –3x2 x –3x2

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

x2 – 3x < –2 x2 – 3x > 4 ή x2 – 3x + 2 < 0 ή x2 – 3x –4 > 0

Οι ρίζες των τριωνύμων είναι: x = 1 ή x = 2 x = –1 ή x = 4

Η επίλυση των ανισώσεων γίνεται εποπτικά με τα σχήματα (α) και (β).

−∞ +∞

x –3x+22y

1 232

Σχήμα α

Ερμηνεύοντας το σχήμα (α), βρίσκουμε ότι η ανίσωση:

x2 – 3x + 2 < 0 αληθεύει για όλα τα x,

για τα οποία ισχύει: 1 < x < 2.

−∞ +∞

x –3x–42y

–1 432

Σχήμα β

Ερμηνεύοντας το σχήμα (β), βρίσκουμε ότι η ανίσωση:

x2 – 3x – 4 > 0 αληθεύει για όλα τα x,

για τα οποία ισχύει: x < –1 ή x > 4.

Επομένως η ανίσωση x2 – 3x – 1> 3 αληθεύει για όλα τα x, για τα οποία ισχύει: x < –1 ή 1 < x < 2 ή x > 4.

∆ίνουμε στη συνέχεια ακόμη ένα παράδειγμα εξίσωσης με απόλυ-τες τιμές παραστάσεων της μορφής αx2 + βx + γ, α ≠ 0.

Να βρεθούν οι τιμές του x, ώστε x2 – 3x + 5=x2 – 3x – 1.

Απάντηση

H εξίσωση γράφεται: (x2 – 3x) – (–5)=(x2 – 3x) – 1, οπότε θέ-λουμε το x2 – 3x να ισαπέχει από τους αριθμούς –5 και 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 31

−∞ +∞

M1–5

Α Βx –3x2

Άρα το x2 – 3x θα είναι η τετμημένη του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ,

οπότε θα είναι x2 – 3x = 5 12

− + δηλαδή x2 – 3x + 2 = 0, που έχει ρί-

ζες τις: x = 1, x = 2.

Θα ασχοληθούμε τώρα με μία άλλη ερώτηση:

Αν πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών πάρουμε δύο αριθ-μούς α και β, τότε ποια είναι η θέση των αριθμών α – β και β – α πάνω στον άξονα;

Απάντηση

Ας πάρουμε, καταρχήν, τους αριθμούς α και β σε μία τυχαία τοποθέτηση πά-νω στον άξονα των πραγ-ματικών αριθμών. Με κέ-ντρο την αρχή του άξονα και ακτίνα ρ =α – β, γράφουμε τον κύκλο, που τέμνει τον άξονα στα σημεία Γ και ∆. Οι αριθμοί που αντιστοιχίζονται στα σημεία αυτά είναι οι α – β και β – α.

Είναι φανερό ότι: (ΑΒ) = (ΚΓ) = (Κ∆).

Συγκεκριμένα: αν β > α, τότε ο αριθμός β – α αντιστοιχίζεται στο ∆, ενώ ο α – β στο Γ. Στην περίπτωση που ήταν β < α, τότε ο αριθμός α – β θα αντιστοιχιζόταν στο ∆ και ο β – α στο Γ.

Η σκέψη, που μας οδηγεί στην απάντηση που δώσαμε, στηρίζεται στην ισότητα: α – β = (α – β) – 0 και στο γεωμετρικό νόημα που δίνουμε σε κάθε μέλος αυτής της ισότητας.

−∞ +∞

Κ0 βα

Α ΒΓ Δ

ρ= α–β

α–β

ρ= α–β

Η "ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ " Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ

ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥΣ

Β.Ε. Βισκαδουράκης

Η μαθησιακή διαδικασία είναι κατά ένα μεγάλο μέρος πράξη επι-κοινωνίας. Το γνωστικό υποκείμενο δεν λειτουργεί μαθησιακά μόνο αναστοχαζόμενο, αλλά λειτουργεί και συλλογικά, επικοινωνώντας με το περιβάλλον του. Έτσι η μαθησιακή προσπάθεια, πολλές φορές, είναι ανάγκη, για να είναι πιο αποτελεσματική, να χρησιμοποιήσει, εκτός από τον λεκτικό κώδικα, και άλλα στοιχεία, που γενικά αναφέρονται ως αναπαραστάσεις (εσωτερικές και εξωτερικές).

ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ είναι η έκφραση μαθηματικών σχέσεων εικονικά, γραφικά ή συμβολικά. Εικονικές αναπαραστάσεις περιέχουν ισομετρικά σχέδια, σχηματικά διαγράμματα, σχέδια υπό κλίμακα, χρονοδιαγράμματα και χάρτες.

Οι γραφικές αναπαραστάσεις περιλαμβάνουν ραβδογράμματα, ι-στογράμματα, κυκλικά διαγράμματα, καθώς και εικονογράμματα, δεν-δροδιαγράμματα κ.λπ. Οι συμβολικές αναπαραστάσεις περιλαμβάνουν πίνακες, τύπους, συναρτήσεις κ.λπ.

Η ικανότητα αναπαραστάσεων έχει πολλές συνιστώσες: α) Την ερμηνεία μαθηματικών σχέσεων, που παρουσιάζονται με

τους παραπάνω τρόπους. β) Τη σύγκριση διαφορετικών αναπαραστάσεων της ίδιας μαθημα-

τικής σχέσης. γ) Τη δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων της ίδιας σχέσης. δ) Την αναγνώριση τού πώς μια μεταβολή σε μια αναπαράσταση

επηρεάζει μία μεταβολή σε μια διαφορετική αναπαράσταση της ίδιας σχέσης? όπως, για παράδειγμα, πώς η αλλαγή ενός συντελεστή μιας μεταβλητής σε μια εξίσωση αλλάζει το γράφημα αυτής της εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 33

(Sierpinska, 1992), ([6] σελ. 128-129). Ο Brunner (1996) κάνει διάκριση των αναπαραστάσεων της αν-

θρώπινης γνώσης σε τρεις τύπους: έμπρακτη (enactive), εικονική (ico-nic), συμβολική (symbolic).

Οι Tall και Gray διακρίνουν τη συμβολική αναπαράσταση σε λε-κτική (περιγραφή), τυπική (ορισμός), διαδικασιοεννοιοποιητική (proseptual) (διαδικασιο-αντικειμενική δυικότητα), ([9] σελ. 7).

Η οπτική μεσολάβηση είναι κρίσιμη για την επιτυχία της επικοι-νωνίας και, αντίθετα με την κοινή πεποίθηση, ο μαθηματικός λόγος δεν είναι εξαίρεση. Στον εικονικής πραγματικότητας λόγο, όπως στην πε-ρίπτωση του μαθηματικού λόγου, στον οποίον δεν υπάρχουν οικεία ο-ρατά αντικείμενα, όπου θα εστιαστεί η συζήτηση, οι άνθρωποι εξυπη-ρετούνται με τεχνικά σύμβολα ως υποκατάστατα. Ως επικοινωνιακοί διαμεσολαβητές, εντούτοις, τα συμβολικά υποκατάστατα δεν είναι τό-σο αποτελεσματικά, όσο τα οικεία αντικείμενα, που κατασκευάζονται και χρησιμοποιούνται ευρέως στον καθημερινό λόγο, ([8] σελ. 324).

Στην προσπάθειά μας να μεταβιβάσουμε μια μαθηματική ιδέα (κά-τι που συνήθως επιχειρούμε με λεκτικές περιγραφές), η μεγάλη ακρί-βεια μπορεί να έχει ανασταλτικό αποτέλεσμα στην αρχή και γι' αυτό μπορεί να χρειάζεται μια πιο ασαφής και περιγραφική μορφή επικοι-νωνίας. Σημασία έχει να πιάσει ο άλλος την ουσία της ιδέας και στη συνέχεια να μπορεί να εξετάσει τις λεπτομέρειές της, ([7] σελ. 300). Για τον σκοπό αυτό μια επιτυχής αναπαράσταση της ιδέας, της έννοι-ας, ή και της διαδικασίας ίσως είναι το προσφορότερο μέσον.

Οι αναπαραστάσεις όμως δεν παίζουν μόνο επικοινωνιακό ρόλο. Η συμβολή τους στον αναστοχασμό και την κατανόηση εννοιών και δια-δικασιών στα μαθηματικά (και όχι μόνο), κυρίως ως ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ Α-

ΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ, είναι σημαντική. Η γνώση αναπαριστάνεται (από τον μαθητή) εσωτερικά και αυτές οι αναπαραστάσεις είναι δομημέ-νες, ([3] σελ. 66).

Για να συλλογιστούμε πάνω σε μαθηματικές ιδέες, χρειαζόμαστε να τις αναπαραστήσουμε εσωτερικά κατά τρόπο που να επιτρέπεται στο νου να εργάζεται πάνω σ' αυτές, ([3] σελ. 66). Είναι μάλλον προ-

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

φανές ότι οι εσωτερικές αναπαραστάσεις έχουν έντονα προσωπικό χα-ρακτήρα και εξαρτώνται αποφασιστικά από την όλη γνωσιακή υποδο-μή και συγκρότηση του υποκειμένου.

Ο Sir Frederick Barlett, ψυχολόγος στο Καίμπριτζ τη δεκαετία του '30, υποστήριξε με εκπληκτική οξυδέρκεια, ότι οι άνθρωποι δεν θυμούνται απλώς σκόρπια, αλλά ακριβή θραύσματα των αρχικών τους εμπειριών. Οικοδομούν ενεργητικά μιαν αφηρημένη αναπαράσταση, ένα νοητικό σχήμα, που παραμορφώνει την αρχική πληροφορία, σύμφωνα με τις πεποιθήσεις, τις γνώσεις και τα συναισθήματά τους, ([1] σελ. 293).

Η ικανότητα σύλληψης πετυχημένων και λειτουργικών εσωτερικών (αλλά και εξωτερικών) αναπαραστάσεων δεν είναι κάτι το συνηθισμένο. Ίσως αυτό που διακρίνει έναν Αϊνστάιν ή Νεύτωνα από τους υπόλοι-πους ανθρώπους, είναι η πραγματικά σπάνια ικανότητα να μετατρέ-πουν τις πιο αφηρημένες ιδέες –τη βαρύτητα, το χρόνο, το άπειρο– σε μοντέλο που μπορεί να το διαχειριστεί ο νους, ([1] σελ. 296).

Η ικανότητα αυτή ίσως μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνιστώσα της μαθηματικής ικανότητας γενικά, και, ως εκ τούτου, η αναλογία συμ-βολής του γενετικού και του περιβαλλοντικού παράγοντα στη διαμόρ-φωση και στην ανάπτυξή της θα πρέπει να είναι ίδια, όπως και στη γενική μαθηματική ικανότητα. Έτσι ίσως εξηγείται ο ισχυρισμός του Colin Blakemore, ότι "η οικοδόμηση των μοντέλων στον εγκέφαλο συ-ντελείται σε υποσεινήδειτα διανοητικά εργαστήρια, πολύ κάτω από τον εύτακτο κόσμο της συνειδητής εμπειρίας", ([1] σελ. 298).

Σε αναφορά σε εργασίες του Bishop (1980b, 1983), επισημαίνεται η εστίασή του στη διαδικασία της μάθησης, όπου συνιστά τη θεώρηση δύο διαφορετικών ικανοτήτων: "την ικανότητα της ερμηνείας-αποκωδι-κοποίησης εικονικά δοσμένων πληροφοριών" και την "ικανότητα εικο-νικής-παραστατικής επεξεργασίας".

Ο Bishop αναφέρεται στην ικανότητα "εικονικής επεξεργασίας" στο μαθηματικό πλαίσιο στην ευρύτερή του έννοια και, ως εκ τούτου, σε ένα πλαίσιο, όπου η οπτικοποίηση δεν είναι πάντα απαραίτητη. Έτσι μπορεί κανείς να διακρίνει δύο διαφορετικές εκδοχές της ικανότητας εικονικής παραστατικής επεξεργασίας. Αρχικά στο ευρύτερο πλαίσιο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 35

των μαθηματικών, όπου αφηρημένες σχέσεις δεν έχουν απαραίτητα μια εικονική αφετηρία, ως "ικανότητα εικονικής-παραστατικής επεξεργα-σίας", μπορεί να θεωρηθεί η οπτικοποίηση και ο μετασχηματισμός μή παραστατικών δεδομένων σε εικονική μορφή. Κατά δεύτερο, όταν ανα-φερόμαστε στη γεωμετρία, μπορεί κανείς να περιορίσει την "ικανότητα εικονικής-παραστατικής επεξεργασίας" ως την ικανότητα νοητικής διαχείρησης και μετασχηματισμού οπτικών αναπαραστάσεων και εικο-νικών σχημάτων λόγου, ([4] σελ. 20).

Η θεώρηση συσχέτισης μεταξύ εξωτερικών και εσωτερικών ανα-παραστάσεων έχει να κάνει με το μεγαλύτερο μέρος του έργου της Γνωσιακής Επιστήμης, αλλά είναι μια υπόθεση όχι καθολικά αποδε-κτή. Υπάρχει ένας εν εξελίξει αντίλογος, για παράδειγμα γύρω από το αν ο σχηματισμός μιας νοητικής αναπαράστασης μιμείται κατά κάποιον τρόπο το εσωτερικό αντικείμενο ή γεγονότα που έχουν ήδη αναπαρασταθεί (Shepard 1982, Shepard & Metlzer 1971), ή κατά πόσον υπάρχει μια κοινή φόρμα που χρησιμοποιείται για την αναπα-ράσταση όλων των πληροφοριών (Newell 1982, Pylyshyn 1980). Αν και η διένεξη δεν έχει ακόμα επιλυθεί, πιστεύουμε ότι είναι δικαιολο-γημένο να υποθέσουμε ότι η φύση της εσωτερικής αναπαράστασης επηρεάζεται και περιορίζεται από τις εξωτερικές καταστάσεις που αναπαριστώνται (Kosslyn & Hatfield 19...). Εφαρμόζουμε αυτήν την υπόθεση σε μαθηματικές καταστάσεις, υποθέτοντας ότι η φύση των εξωτερικών μαθηματικών αναπαραστάσεων επηρεάζει τη φύση των εσωτερικών μαθηματικών αναπαραστάσεων (Greeno 1988a, Kaput 19....). Ευρήματα πολλών ερευνών συνιστούν ότι αυτή η υπόθεση είναι δικαιολογημένη (Gonzalez & Kolers 1982, Stigler 1984). Το κρίσιμο και σημαντικό σημείο εδώ είναι ότι, όταν τίθενται ζητήματα αναπαρα-στάσεων στα μαθηματικά, πρέπει να εξετάζουμε από κοινού τις εξω-τερικές και εσωτερικές αναπαραστάσεις. Αυτό σημαίνει ότι η μορφή, ο τύπος μιας εξωτερικής αναπαράστασης (φυσικών υλικών, εικόνων, συμβόλων κ.λπ.) με την οποία ο μαθητής αλληλοδρά, προκαλεί διαφο-ροποίηση στον τρόπο με τον οποίον ο μαθητής αναπαριστά εσωτερικά αυτό το μέγεθος ή τη σχέση. Αντίστροφα, ο τρόπος με τον οποίον ο

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

μαθητής πραγματεύεται η παράγει μιαν εσωτερική αναπαράσταση α-ποκαλύπτει κάτι από το πώς ο μαθητής έχει αναπαραστήσει εσωτερι-κά αυτήν την πληροφορία, ([3] σελ. 66).

Μ' αυτήν την έννοια είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε τις γνώσεις των μαθητών στα μαθηματικά ως εσωτερικά δίκτυα αναπαραστάσεων. Η κατανόηση λαμβάνει χώρα ως αναπαραστάσεις περισσότερο συνδεδε-μένες και σε αυξανόμενα δομημένα συνεκτικά δίκτυα, ([3] σελ. 69).

Τα ευρήματα της γνωστικής ψυχολογίας έχουν δείξει ότι η διαδι-κασία ενός μαθηματικού προβλήματος αρχίζει με μία αναπαράσταση του προβλήματος, δηλαδή μια εσωτερική απεικόνιση της κρίσιμης πληροφορίας που περιέχεται στο πρόβλημα. Η αναπαράσταση αυτή θέτει τις βάσεις πάνω στις οποίες ο μαθητής εφαρμόζει τις αποδεκτές μαθηματικές πράξεις για να λύσει το πρόβλημα. Τα λάθη που κάνουν οι μαθητές είναι συχνά λάθη αναπαράστασης, ([2] σελ. 22-23).

Η προκύπτουσα αναπαράσταση του προβλήματος θεωρείται το α-ποτέλεσμα μιας σύνθετης αλληλεπίδρασης πληροφοριών που προκύ-πτουν από το κείμενο, με τις προϋπάρχουσες γνώσεις του μαθητή, ([2] σελ. 72).

Έτσι το γνωστικό αντικείμενο μαζί με το πλαίσιο αναφοράς του πρέπει να θεωρηθεί ως αποφασιστικός παράγοντας για την πρόκληση αναπαραστάσεων. Οι καταστάσεις προβλήματος επηρεάζουν τον τρόπο με τον οποίο οι εσωτερικές αναπαραστάσεις σχηματίζονται και δομού-νται. Και αντίστροφα, η δομή των εσωτερικών δικτύων γνώσης καθο-ρίζει τη δυνατότητα μεταφοράς, ([3] σελ. 77).

Οι Lean & Clements (1981) επισημαίνουν ότι η έρευνα δεν έχει ρί-ξει αρκετό φως στο ερώτημα, γιατί άτομα που προτιμούν να χρησιμο-ποιούν εικονικά σχήματα λόγου με λίγο λεκτικό κώδικα, όταν επεξερ-γάζονται μαθηματικές πληροφορίες, είναι συνήθως καλύτεροι σε συ-γκεκριμμένα μαθηματικά θέματα απ' ότι άτομα που προτιμούν λεκτι-κό-λογικούς τρόπους επεξεργασίας, ([4] σελ. 211).

Βέβαια οι νοητικές εικόνες και οι λεκτικές επεξεργασίες δεν λει-τουργούν ανεξάρτητα μεταξύ τους. Απεναντίας, όχι μονο αλληλοεπη-ρεάζονται, αλλά έχουν και υποβοηθητικές λειτουργίες (Fischbein

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 37

1993, Lean & Clement 1981, Lohman 1979b, Marriotti 1996, Païvio 1971), ([4] σελ. 212).

Από πολλούς ερευνητές της εκπαίδευσης συχνά η μικρή ικανότητα (αλλά και αδυναμία πολλές φορές), για την επίλυση προβλημάτων, α-ποδίδεται στη δυσχέρεια που συναντούν οι μαθητές στην κατασκευή αναπαραστάσεων και τη μεταφορά γνώσης. Η ικανότητα των μαθητών να κατασκευάζουν περιορισμένες αναπαραστάσεις επιδεινώνεται από το γεγονός ότι στο σχολείο οι καταστάσεις προβλήματος συνήθως είναι τυπωμένα σύμβολα στις σελίδες του βιβλίου ή κάποιου φύλλου εργασίας. Αυτά όμως τα προβλήματα ενθαρρύνουν τους μαθητές να σκέφτονται κυρίως γύρω από τα σύμβολα. Οι εσωτερικές αναπαρα-στάσεις σχηματίζονται για γραπτά σύμβολα και διαχείρηση συμβό-λων. Αν τα προβλήματα δεν προωθούν συσχετίσεις με άλλες αναπα-ραστάσεις, τα εσωτερικά δίκτυα συμβόλων, τα οποία σχηματίζονται, παραμένουν αρκετά περιορισμένα και ασύνδετα με την υπόλοιπη γνώση, ([3] σελ. 76-77).

Έτσι, ένα αναγκαίο συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι: το δι-δακτικό περιβάλλον θα πρέπει να σχεδιάζεται ώστε να βοηθάει τους μαθητές να οικοδομούν εσωτερικές αναπαραστάσεις των διαδικασιών, οι οποίες θα αποτελούν μέρος ευρύτερων εννοιολογικών δικτύων, προ-τού ενθαρρυνθούν οι μαθητές στην επαναλαμβανόμενη πρακτική εξά-σκηση πάνω σ' αυτές τις διαδικασίες, ([3] σελ. 79).

Όσον αφορά την ενθάρρυνση για κατασκευή εξωτερικών (κυρίως εικονικών αναπαραστάσεων), θα πρέπει να δίνεται έμφαση στην επε-ξεργασία του προβλήματος, η οποία προηγείται της εικονικής αναπα-ράστασης, καθώς και στην επεξεργασία και ερμηνεία συμπερασμάτων που φαντάζουν προφανή εξαιτίας της εικονικής αναπαραστάσεως.

Πιθανόν οι εικονικές αναπαραστάσεις στέκονται τόσο καλά από μό-νες τους, που δεν δημιουργούν την ανάγκη στον μαθητή για περαιτέρω θεωρητική διερεύνηση και επεξεργασία. Κι αυτό σίγουρα δεν πρέπει να αγνοείται ή έστω να υποτιμάται από τον διδάσκοντα. ([5] σελ. 111).

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Colin Blakemore, "Η ΜΗΧΑΝΗ ΤΟΥ ΝΟΥ", Πανεπιστημιακές Εκδό-

σεις Κρήτης, 1996.

[2] Στέλλα Βοσνιάδου, "ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ", Gutenberg, Αθήνα, 1998.

[3] James Hiebert & Thomas P. Carpenter, "LEARNING AND TEACHING

WITH UNDERSTANDING", από το: Grouws D.A. «Handbook of research on mathematics teaching and learning», 1992(ed), N.C.T.M.

[4 Nuria Gorgorio, "EXPLORING THE FUNCTIONALITY OF VISUAL AND NON-VISUAL STRATEGIES IN SOLVING ROTATION PROBLEMS", Educational Studies in Mathematics 35: σελ. 207-231, 1998.

[5] Koeno Gravemeizer and Michiel Doorman, "CONTEX PROBLEMS IN REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION: A CALCULUS COURSE AS AN EXAM-

PLE", Educational Studies in Mathematics 39: σελ. 111-129, 1999.

[6] Carole Greenes and Carol Findell, "DEVELOPING STUDENTS' ALGE-

BRAIC REASONING ABILITIES", 1999 Year Book of N.C.T.M.

[7] Roger Penrose, "Ο ΝΕΟΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΑΣ", Εκδόσεις Γκοβόστη, Αθήνα.

[8] David Tall, "COGNITIVE GROWTH IN ELEMENTARY AND ADVANCED MA-THEMATICAL THINKING", Εισήγηση στο ∆ιεθνές Συνέδριο της "∆ιε-θνούς Ομάδας για την Ψυχολογία της Μάθησης των Μαθηματικών", Recife Brazil, July 1995.

[9] Anna Sfard, "STEERING (DIS)COURSE BETWEEN METAFORS AND RIGOR: USING FOCAL ANALYSIS TO INVESTIGATE AN EMERGENCE OF MATHEMATI-

CAL OBJECTS", Jornal of Research in Mathematics Education, 2000, Vol 31, No 3, σελ. 296-327.

ΜΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΠΛΗ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΕΝΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ THEBAULT

∆ημήτριος Κοντοκώστας , Γεώργιος ∆ήμος

Εισαγωγή Σκοπός του παρόντος άρθρου είναι να δώσουμε μια αληθινά απλή από-δειξη του ακολούθου Θεωρήματος μέσα στο φυσικό του περιβάλλον, δηλαδή εντός των πλαισίων της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω Ρ σημείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓΔ

Έστω Ι το έγκεντρο του ΑΒΓΔ

και Ο1, Ο2 τα κέντρα των κύκλων

C1, C2, οι οποίοι εφάπτονται στις πλευρές των ΒΡΑ και ΓΡΑ∧ ∧

α-ντιστοίχως και οι οποίοι επίσης εφάπτονται εσωτερικώς στον περι-

γεγραμμένο κύκλο C του ΑΒΓΔ

. Τότε το Ι ανήκει στην ευθεία Ο1Ο2.

Στο [1] (δες πρώτη αναφορά στο τέλος του παρόντος άρθρου) ανα-

φέρεται και η ιστορία του Θεωρήματος που συνοπτικά έχει ως εξής: Προτάθηκε ως εικασία το 1938 ([2]) (δεύτερη αναφορά στο τέλος του άρθρου) από τον Γάλλο Γεωμέτρη Victor Thébault. Η πρώτη απόδειξη δόθηκε το 1983 ([3]) από τον K.B. Taylor σε ένα χειρόγραφο 24 σελί-δων μακροσκελών υπολογισμών κάποιων αποστάσεων μεταξύ σημείων και δημοσιεύτηκε μονάχα μια περίληψη των υπολογισμών αυτών. Κα-τόπιν ο Chou ([4]), καθώς και άλλοι, εφαρμόζοντας μηχανικές μεθό-δους απόδειξης θεωρημάτων, απέδειξαν το θεώρημα με εξηζητημένους τρόπους όπως π.χ. μέσω υπολογισμών πολυωνύμων μέχρι και 674.927 όρων! Οι μέθοδοι αυτές βασίζονται στη Θεωρία ψευτοϋπολοίπων και βάσεων Groebner. Η υλοποίηση των μεθόδων αυτών πραγματοποιείται

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

με βαριά χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Το θεώρημα αυτό καθε-αυτό, αποτελεί ένα είδος προβλήματος σταθμού για τη Θεωρία Groebner. Σε ελαφρά χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή βασίζεται και η απόδειξη στο [1], όπου η χρήση του προγράμματος Maple είναι απα-ραίτητη για ορισμένες αλγεβρικές λεπτομέρειες.

Απόδειξη του Θεωρήματος

Ας ασχοληθούμε πρώτα με τον κύκλο C1 (σχ. 1). Έστω Ν1, Κ1 τα κοι-νά σημεία του C1 με τον C και τη ΒΓ αντιστοίχως, και ας ονομάσουμε Μ το μέσο του τοξΒΓ του C, στο οποίο δεν ανήκει το Α.

Τότε: τα σημεία Μ, Κ1, Ν1 είναι συγγραμικά.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ: Ως γνωστόν τα σημεία Ο, Ο1, Ν1 είναι συνευθειακά, και

τα τρίγωνα 1 1 1 1Κ Ο Ν , ΜΟΝΔ Δ

είναι ισοσκελή, οπότε:

1 1 1 11 1 1 1

180 N O K 180 N OΜO N K και ON Μ2 2

° − ° −= = (1)

Όμως Ο1Κ1 // ΟΜ (αφού και οι δύο τους είναι κάθετες στη ΒΓ). Συνεπώς 1 1 1 1Ν O Κ Ν OΜ= (2)

Από (1), (2) ⇒ 1 1 1ΟΝ Κ ΟΝ Μ= και καθώς οι ημιευθείες Ν1Κ1, Ν1Μ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την Ν1Ο, πρέπει να ταυτίζο-νται, ο.ε.δ. (ὅπερ ἔδει δεῖξε: όπως έπρεπε να δειχτεί).

Ας ονομάσουμε Λ1 το δεύτερο κοινό σημείο της ευθείας Κ1Ι με τον C1. Θα δείξουμε πως: τα σημεία Ν1, Α, Ι, Λ1 είναι ομοκυκλικά.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ: Σημειώστε πως υπάρχει κοινή εφαπτομένη x΄Ν1x των C1, C στο Ν1 (και έστω πως τα Β, x΄ βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ΟΟ1). Φυσικά το Ι ανήκει στην AM. Έχουμε: 1 1 1 1 1 1 1 1Ν ΑΙ Ν ΑΜ x΄Ν Μ x΄Ν Κ Ν Λ Κ= = = = ⇒ Ν1, Α, Ι, Λ1 ομοκυκλικά, ο.ε.δ.

Θα δείξουμε τώρα πως: Η ευθεία ΑΛ1 είναι εφαπτόμενη του C1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 41

ΑΠO∆ΕΙΞΗ: Ν1, Α, Ι, Λ1, ομοκυκλικά ⇒

1 1 1 1 1 1Ν Λ Α Ν ΙΑ 180 Ν ΙΚ Κ ΙΜ= = ° − − (3) Ας παρατηρήσουμε πως η ευθεία MB εφάπτεται της περιγεγραμμένης

περιφέρειας του τριγώνου 1 1 1 1 1 1

ΑΒΝ Κ διότι ΜΒΚ ΒΝ Μ ΒΝ Κ2

= = = .

Συνεπώς MB2 = ΜΚ1⋅ΜΝ1.

Όμως μια κλασσική ιδιότητα του έγκεντρου Ι του τριγώνου ΑΒΓΔ

, εί-ναι πως ΜΙ = MB, οπότε τότε: ΜΙ2 = ΜΚ1⋅ΜΝ1. Άρα λοιπόν η ΜΙ εφάπτεται στην περιγεγγραμμένη περιφέρεια του

τριγώνου 1 1Κ Ν ΙΔ

, οπότε: 1 1 1Κ ΙΜ Κ Ν Ι= (4)

Από (3), (4) ⇒ 1 1 1 1 1 1Ν Λ Α 180 Ν ΙΚ Κ Ν Ι= ° − − και από το τρίγωνο

1 1Κ Ν ΙΔ

η τελευταία σχέση μπορεί να γραφτεί: 1 1 1 1 1Ν Λ Α Ν Κ Λ= ⇒

η ΑΛ1 είναι εφαπτόμενη στον C1, ο.ε.δ.

B ΓΟ

Ο1

Ο2

C1 C2

N2Λ2

Λ1

K1 P

x΄

Σχήμα 1

42 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Άρα λοιπόν το Λ1 είναι το σημείο επαφής της ΑΡ με τον C1. Ασχολούμενοι τώρα με τον C2, χωρίς καμία απόκλιση από τους προη-γούμενους συλλογισμούς, βρίσκουμε πως αν Κ2 είναι το σημείο επαφής του C2 με τη ΒΓ και Λ2 το δεύτερο κοινό σημείο της K2I με τον C2, τότε το Λ2 είναι το σημείο επαφής της ΑΡ με τον C2.

Τέλος θα δείξουμε πως Ο1, Ι, Ο2 συνευθειακά. Καθώς οι Κ1Λ1, Κ2Λ2 είναι οι χορδές επαφής των C1, C2 με τις πλευ-ρές των ΒΡΑ,ΓΡΑ αντιστοίχως, έχουμε πως: Ο1Ρ⊥Κ1Λ1, Ο2Ρ⊥Κ2Λ2 και Ο1Ρ⊥Ο2Ρ. Θέτοντας Τ1 = Ο1Ρ∩Κ1Λ1 και Τ2 = Ο2Ρ∩K2Λ2, (σχ. 2), προκύπτει τότε πως το ΙΤ2ΡΤ1 είναι (ορθογώνιο) παραλληλόγραμμο, οπότε IT2 = Τ1Ρ (5)

Επίσης, τα ορθογώνια τρίγωνα 1 1 2 2Ο Κ Ρ, Ο Κ ΡΔ Δ

έχουν ίσες τις γωνίες

τους 1 1 2 2Ο ΡΚ , ΡΟ Κ , οπότε είναι όμοια. Καθώς τα Τ1, Τ2 είναι τα ί-χνη των υψών των τριγώνων αυτών στις υποτείνουσές τους, η ομοιό-

τητά τους δίνει: 1 2

1 2 2

Ο Ρ Ο ΡΤΡ Τ Ο

= και τότε η (5) δίνει: 1 2

2 2 2

Ο Ρ Ο ΡΙΤ Τ Ο

= (6)

Όμως Ο1Ρ // IT2, οπότε, σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή, η (6) συνεπάγεται πως τα Ο1, Ι, Ο2 είναι συνευθειακά, ό-πως ζητούσαμε.

Ï1

Ï2

Ë2

Ë1

Σχήμα 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 43

Μερικές παρατηρήσεις

1. Στο σχήμα 1, η Α είναι αμβλεία, αλλά τίποτε δεν αλλάζει όταν η Α είναι ορθή ή οξεία.

Επίσης τίποτε δεν αλλάζει όταν ΒΚ1 ≥ ΒΓ2

ή ΓΚ2 ≥ ΒΓ2

(οπότε οι

C1, C2 συμπιέζονται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά του σχήματος). 2. Το Θεώρημα και η προηγούμενη παρατήρηση φανερώνουν πως ό-

ταν οι C1, C2 εφάπτονται, τα σημεία Λ1, Λ2 και Ι ταυτίζονται. Το αποτέλεσμα αυτό έχει και άλλες αποδείξεις (καθαρά γεωμετρικές) ανεξάρτητες από την ισχύ του Θεωρήματος.

3. Τέλος, ας αναφέρουμε πως η σημαντικότερη ιδέα για την απόδειξη του Θεωρήματος που δώσαμε στο παρόν άρθρο, προήλθε από την προ-τεινόμενη προς λύση Άσκηση 555 του [5] η οποία είναι η ακόλουθη: Έστω ε1, ε2 μια εσωτερική και μια εξωτερική εφαπτόμενη δύο κύ-κλων C1, C2. Τότε οι ευθείες των χορδών επαφής των C1, C2 με τις ευθείες ε1, ε2 τέμνονται πάνω στη διάκεντρο των C1, C2. Οπότε η προσπάθειά μας επικεντρώθηκε στην απόδειξη της (πρώην) εικασίας, πως για κύκλους C1, C2 όπως στην εκφώνηση του Θεωρήμα-

τος, το έγκεντρο Ι του τριγώνουΑΒΓΔ

κείται επί των ευθειών των χορ-δών επαφής των C1, C2 με τις πλευρές των ΒΡΑ, ΓΡΑ αντιστοίχως.

Αναφορές

[1] R. Shail, A Proof of Thébault's Theorem, American Mathematical Monthly, 108 (2001) 319-325.

[2] V. Thébault, Problem 3887, American Mathematical Monthly, 45 (1938) 482-483.

[3] K.B. Taylor, Solution to Problem 3887, American Mathematical Monthly, 90 (1983) 486-487.

[4] S.C. Chou, Mechanical Geometry Theorem Proving, D. Reidel Publishing Company, Amstredam, l988.

[5] ∆.Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικές Ολυμπιάδες, Γεωμετρία, Αθήνα, 1987.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ, ΕΝΑ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ

ΠΟΥ ΣΥΜΜΕΤΕΧΟΥΝ ΣΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

Σκοτίδας Σωτήρης

το κείμενο που ακολουθεί δίνεται η απόδειξη του Θεωρήματος του Πτολεμαίου με τη βοήθεια της ευθείας Simpson, αποφεύγοντας

τη χρήση ομοίων τριγώνων· (μέθοδος που υπάρχει σε όλα σχεδόν τα βι-βλία Γεωμετρίας, παλιά και νέα). Ο αναγνώστης θα διαπιστώσει ότι αρκετά θέματα ∆ιαγωνισμών επιλύονται με τη χρήση του συγκεκριμένου Θεωρήματος.

ΘΕΩΡΗΜΑ: Οι προβολές τυχόντος σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου πάνω στις πλευρές του είναι συνευθειακά ση-μεία. (Ευθεία Simpson).

Απόδειξη:

Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο ΑΒ1∆Γ1 είναι εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε:

1 1 1Γ Α∆ Γ Β ∆= . Επίσης το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ εγγράψιμο σε κύκλο, άρα 1Γ Α∆ ∆ΓΒ= . Τέλος, το τετράπλευρο Β1Α1Γ∆ εγγράψιμο σε κύκλο, άρα:

1 1 1∆Β Α ∆ΓΑ 180+ = ° ⇒

1 1 1 1∆Β Α Γ Β ∆ 180+ = ° ⇒ τα σημεία Α1, Β1, Γ1 είναι συνευθειακά.

Παρατηρούμε τώρα ότι στο εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒ1∆Γ1

ÄÁ

Ã1

Â1

ÃÁ1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 45

1 1 1 11 1

είναι : Β Γ Α∆ ημΓ ΑΒ α Α∆Β Γ2Rενώ : α 2R ημΒΑΓ

= ⋅ ⋅⇒ =

= ⋅.

Ανάλογα, ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

β ∆Β γ ∆ΓA Γ ΒΓ ∆Α , Β Α Β ∆ΓΑ2R 2R⋅ ⋅

= = .

Αλλά, Β1Γ1 + Β1Α1 = Α1Γ1 ⇒ ΒΓ⋅Α∆ + ΑΒ⋅Γ∆ = ΑΓ⋅Β∆.

Ώστε, αν ΑΒΓ∆ εγγράψιμο σε κύκλο, τότε το άθροισμα των γινομέ-νων των απέναντι πλευρών ισούται με το γινόμενο των διαγωνίων του. Είναι εύκολο να δούμε ότι αν ∆ τυχαίο σημείο του επιπέδου του ΑΒΓ και Α1Β1Γ1 συνευθειακά σημεία, τότε το ∆ βρίσκεται στον περιγε-γραμμένο κύκλο του ΑΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιμο σε κύ-κλο.

(Πράγματι: 1 1 1 1 1 1∆Β Α ∆Β Γ 180 , ∆Β Α ∆ΓΒ 180+ = ° + = °

1 1 1 1και ∆Β Γ Γ Α∆ οπότε Γ Α∆ ∆ΓΒ= = ).

Ώστε, αν ΑΒΓ∆ όχι εγγράψιμο (∆ δεν βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓ), τότε Α1, Β1, Γ1 μη συνευθειακά, οπότε (λόγω τριγω-νικής ανισότητας), Α1Β1 + Β1Γ1 > Α1Γ1 ⇒ ΒΓ⋅Α∆ + ΑΒ⋅Γ∆ > ΑΓ⋅Β∆. Ώστε:

Αν το γινόμενο των διαγωνίων τετραπλεύρου είναι ίσο προς το ά-θροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών, τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Βιβλιογραφία

[1] Coxeter, Greitzer, Geometr y Revisited. [2] Λιβέρη, Γεωμετρία. [3] Liang–Shin Hahn, Complex Numbers and Geometr y. [4] ∆.Γ. Κοντογιάννη, Μαθηματικές Ολυμπιάδες, Γεωμετρία.

46 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Προτεινόμενες Ασκήσεις

1. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆, εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R. Σημείο Μ κινείται στο τόξο ΑΒ, που δεν περιέχει τα Γ, ∆. ∆είξ-

τε ότι ο λόγος ΜΑ ΜΒΜΓ Μ∆

είναι σταθερός.

[Μαθηματικός ∆ιαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ 1999]

Λύση:

Από Θεώρημα Πτολεμαίου στα τετράπλευρα ΑΜΒ∆, ΑΜΒΓ έχουμε: ΑΜ α 2 ΜΒ α Μ∆ α ΑΜ α ΜΒ α 2 ΜΓ α⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ Προσθέτοντας, έχουμε:

( ) ( ) ( )

( ) ( )ΑΜ α 2 1 ΜΒ α 2 1 Μ∆ ΜΓ α

ΑΜ ΜΒ 2 1 Μ∆ ΜΓ

ΜΑ ΜΒ 1 2 1ΜΓ Μ∆ 2 1

⋅ + + ⋅ + = + ⋅

+ + = +

+= = −

+ +

2. Ενός κανονικού επταγώνου ABCDEFG η πλευρά του είναι 1.

∆είξτε ότι: 1 1 1AC AD

+ = . [Μαθηματική Ολυμπιάδα, Γερμανία 1990]

Λύση:

Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Πτολεμαί-ου στο τετράπλευρο ACFG: AC⋅FG + AG⋅FC = AF⋅CG ⇔

AC⋅1 + 1⋅FC = AC⋅AD ⇔ 1 1 1AC AD

+ = ,

διότι FC = CG = AD, (π.χ. λόγω της ισό-

τητας των τριγώνων FDC, ADC ).

Á Â

ÃÄ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 47

3. Ένα κύκλος που διέρχεται από την κορυφή Α ενός παραλληλο-γράμμου ABCD τέμνει στα σημεία P, Q, R τα τμήματα AB, AC, AD (εσωτερικά). ∆είξτε ότι ΑP⋅AB + AR⋅AD = AQ⋅AC (1).

Λύση:

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο AΡQR έχουμε: AP⋅RQ + AR⋅PQ = AQ⋅PR (2) Αλλά 1 1 1 2 2P A C , R A= = = . Έτσι PQR ∼ ABC ⇒ PQ PQ PR λAB BC AC

= = = .

Από (2) ⇒ AP⋅λAB + AR⋅λBC = AQ⋅λAC ⇒ (1).

4. Έστω ΑΒ χορδή κύκλου. Από το Α σχεδιάζουμε τις χορδές ΑΓ, Α∆, ώστε ΑΒ διχοτόμος της ΓΑ∆ < 90°. Από ένα δεύτερο ση-μείο Α΄ της περιφέρειας σχεδιάζουμε τρεις παράλληλες χορδές προς τις προηγούμενες (Α΄Γ΄ // ΑΓ, Α΄∆΄ // Α∆, Α΄Β΄ // ΑΒ). ∆είξτε

ότι: ΑΓ Α∆ ΑΒΑ΄Γ΄ Α΄∆΄ Α΄Β΄

+. [Θεώρημα Maclaurin]

Λύση:

Προφανώς οι ΓΑ∆ και Γ΄Α΄∆΄ είναι ίσες, γιατί έχουν παράλληλες πλευρές, είναι και οξείες, οπότε και 1 2 3 4Α Α Α΄ Α΄= = = . Από Θεώρημα Πτολεμαίου στο ΑΓΒ∆: Γ∆⋅ΑΒ = ΑΓ⋅Β∆ + Α∆⋅ΒΓ ⇔ Γ∆⋅ΑΒ = (ΑΓ + Α∆)⋅x και στο Α΄Γ΄Β΄∆΄: Γ΄∆΄⋅Α΄Β΄ = (Α΄Γ΄ + Α΄∆΄)⋅x

Α Β

D CR

43Α΄

Αx

Γ ΄

Β ΄

Δ΄

48 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Όμως, αφού ΓΑ∆ Γ΄Α΄∆΄= , είναι Γ∆ = Γ΄∆΄,

άρα ΑΓ Α∆ ΑΒΑ΄Γ΄ Α΄∆΄ Α΄Β΄

5. Έστω ABCD τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν Μ σημείο

του τόξου ΑΒ, δείξτε ότι: MC MD 3 3 MA MB⋅ > ⋅ ⋅ (1).

[Μεσογειακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1998]

Λύση:

Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Πτολεμαίου στα τετράπλευρα AMCD, AMBC, έχουμε: MA⋅CD + MC⋅AD = MD⋅AC ⇒ MA⋅α + MC⋅α = MD⋅α 2 ⇒ MA + MC = 2 MD. Ανάλογα, MB + MD = 2 MC. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, παίρνουμε: MC⋅MD = MA⋅MB + MA⋅MD + MB⋅MC.

Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι: ΜΑ⋅ΜD + ΜΒ⋅ΜC > ( )3 3 1− MA⋅MB (2)

Αλλά AMD CMD 45 , AMB 135= = ° = ° .

Από νόμο συνημιτόνων: 2 2 2

2 2 2

α MA MD 2MA MD συν45

α MB MC 2MB MC συν45

= + − ⋅ ⋅ °⎫⎪ ⇒⎬= + − ⋅ ⋅ ° ⎪⎭

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22α MA MC MB MD 2 MA MD MB MC= + + + − ⋅ + ⋅ ⇒ 2MA MD MB MC 2α⋅ + ⋅ = .

Ακόμα ΜΑ⋅ΜΒ = 4R2⋅ημφ⋅ημ(45° – φ) = 2α2⋅ημφ⋅ημ(45° – φ). Έτσι (2) ⇒ ( )2 22α 3 3 1 2α ημφ ημ(45 φ)> − ⋅ ⋅ ° − ⇔

ημφ⋅ημ(45° – φ) < ( )

22 3 3 1−

(3)

45°-ö

áá

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 49

Αλλά, ημφ⋅ημ(45° – φ) = ημφ⋅(ημ45°⋅συνφ – συν45°⋅ημφ) = 2

2ημφ⋅(συνφ – ημφ) = 22 1 ημ2φ ημ φ

2 2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 πημ2φ συν2φ 1 2ημ 2φ 14 4 4

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠.

Οπότε, (3): ( )

2 π 22ημ 2φ 14 4 2 3 3 1⎛ ⎞⎛ ⎞+ − <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠

⇔

( )π 2 π 1 3 32ημ 2φ 1 ημ 2φ4 43 3 1 2 3 3 1

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − < ⇔ + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − ⇔

( )21 3 3πημ 2φ

4 2 26

+⎛ ⎞+ <⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠, που ισχύει, αφού

( )21 3 3

12 26

⋅.

6. Έστω Μ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ.

Από το Μ φέρνουμε ΜΑ1 κάθετη στη ΒΓ, που τέμνει τον κύκλο στο Ν. ∆είξτε ότι η ευθεία Simson που αντιστοιχεί στο Μ είναι παράλληλη στην ΑΝ.

Λύση: Το Β1ΜΓΑ1 είναι εγγράψιμο (η ΜΓ φαίνεται υπό ίσες ορθές γωνίες από τα Β1, Α1), άρα 1 1Β Α Μ Γ= .

Αλλά ( )Γ Ν βαίνουν στο AΜ= ,

άρα ΑΝ // Γ1Α1.

ÌÁ

Ã1

Â1

ÃÁ1

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑ∆ΕΣ

Σκοτίδας Σωτήρης

1. Αν a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, αποδείξτε ότι:

2 2 2

a b c 1a 8bc b 8ac c 8ab

+ + ≥+ + +

[∆ιεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2001]

Λύση:

Έστω η συνάρτηση ƒ(x) =2

x 18abc 8abcx 1

x x

=+ +

, x∈(0, m], όπου

m = maxa, b, c. Αρκεί να δείξω ότι ƒ(a) + ƒ(b) + ƒ(c) ≥ 1.

Παρατηρούμε ότι ƒ΄΄(x) > 0 ∀ x∈(0, m) ⇒ ƒ κυρτή στο στο (0, m).

Από ανισότητα Jensen, έχουμε:

( )3 3

a b cS ƒ(a) ƒ(b) ƒ(c) 33

1 33 1,8abc 27 8abc1 1

a b ca b c3

ƒ + +⎛ ⎞= + + ≥ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ = ≥⋅+ +

+ ++ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

καθώς:

( )

( ) ( )( )

3 3

a b c 3 abc a b c 27abc8 27 abc 8 27 abc 38 9 1 1 .

8 27 abca b c a b c 1a b c

+ + ≥ ⇒ + + ≥ ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≥ ⇒ ≥ + ⇒ ≤⋅ ⋅+ + + + ++ +

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 51

ΣΧΟΛΙA: • Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν a = b = c. • Αν ƒ κυρτή στο διάστημα ∆ και α1, α2, ..., αn∈∆ και λ1, λ2, ..., λn > 0 τότε

ισχύει: λ1⋅ƒ(α1) + λ2⋅ƒ(α2) + ... + λn⋅ƒ(αn) ≥

≥ (λ1 + λ2 + ... + λn)⋅ 1 1 2 2 n n

1 2 n

λ α λ α ... λ αƒ

λ λ ... λ+ + ++ + +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

[Γενικευμένες ανισότητες Jensen]

2η Λύση:

Πρώτα αποδεικνύουμε ότι:

4 4 423 3 3

a a (1)a 8bc a b c

≥+ + +

⇔

⇔ ( )24 4 4 2

23 3 3 3a b c a a 8bc⎛ ⎞+ + ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Πράγματι: 2 24 4 4 4 4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3a b c a b c a a b c⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≥

≥ 2 2 2 1 1 23 3 3 3 3 32b b cc 4a 8a bc⋅ = , αφού x2 + y2 ≥ 2xy.

Οπότε, ( )24 4 4 4 2 2

23 3 3 3 3 3a b c a 8a bc a a bc+ +⎛ ⎞≥ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμοια αποδεικνύουμε ότι:

4 43 3

4 4 4 4 4 42 23 3 3 3 3 3

b b c c(2) και (3)b 8ac c 8aba b c a b c

≥ ≥+ ++ + + +

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) και (3), προκύπτει το ζητούμενο.

ΣΧΟΛΙΟ: Αν a, b, c > 0 και λ ≥ 8, τότε:

2 2 2

a b c 31 λa λbc b λac c λab

+ + ≥++ + +

[Arkadii Slinko, Νέα Ζηλανδία]

52 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

2. Έστω a, b, c μήκη πλευρών τριγώνου. ∆είξτε ότι:

a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≤ + + .

Πότε ισχύει το ίσον; [Asian Pasific Mathematical Olympiad 1996]

Λύση:

Θέτουμε: 2 2 2 2 2 2

a b c xx ω x y ω yb c a x a , b , c

2 2 2c a b ω

⎫+ − =⎪ + + +⎪+ − = ⇒ = = =⎬⎪+ − = ⎪⎭

άρα η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:

2 2 2 2 2 2x ω x y ω yx y ω2 2 2+ + +

+ + ≤ + + (1)

( ) ( )22 2

22 2 2 2

2 2 2 2

Αλλά, 2 x y x y ( x y)

x y x y x y x y .2 2 2 2

x ω x ω ω y ω yΑνάλογα : , .2 2 2 2

+ ≥ + = ⇔

+ + + +⎛ ⎞≥ ⇔ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + +≥ ≥

το ίσον αν και μόνο αν

Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει η (1).

Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν x = y = ω ⇔ a = b = c (ισοπλ. τρίγωνο).

3. Αν a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a + b + c = 1, δείξτε ότι:

2 2 2a b c 2 3abc 1+ + + ≤ .

[Μαθηματική Ολυμπιάδα Πολωνίας 1999]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 53

Λύση:

( )22 2 2a b c 2 3abc a b c

3abc ab bc ca

+ + + ≤ + + ⇔

≤ + + ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

3abc ab bc ca 2 ab bc ab ac bc ac

3abc ab bc ca 2abc b a c

abc ab bc ca , που ισχύει,

≤ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇔

≤ + + + + + ⇔

≤ + +

αφού, (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≥ ab⋅bc + ab⋅ca + bc⋅ca = abc(a + b + c)

= abc.

ΣΧΟΛΙΟ: Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν ab = bc = ca ⇔ a = b = c = 13

4. Αν a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, δείξτε ότι: 2

3 1 1 1 1 1 14ab bc ac a b a c b c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + ≥ + ++ + +

[Μαθηματική Ολυμπιάδα Αιγύπτου 1986]

Λύση:

Λόγω της γνωστής ανισότητας Gauchy,

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a ... a b b ... b a b a b ... a b+ + + + + + ≥ + + + ,

έχουμε:

( )2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 11 1 1ab bc ac ab bc ac

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + ≥ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

αλλά, ( )2 1 2a b 0 a b 2 aba bab

− ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥+

Ώστε: 2 2

21 1 1 1 1 12a b b c a cab bc ac

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠.

54 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

5. Για τυχαίους πραγματικούς a, b, c, d, αποδείξτε ότι:

(1 + ab)2 + (1 + cd)2 + (ac)2 + (bd)2 ≥ 1.

[Μαθηματική Ολυμπιάδα Ν. Αφρικής 1999]

Λύση:

(1 + ab)2 + (1 + cd)2 + (ac)2 + (bd)2 =

1 + 1 + a2b2 + a2c2 + c2d2 + b2d2 + 2ab + 2cd =

1 + 1 + a2(b2 + c2) + d2(c2 + b2) + 2(ab + cd) =

1 + 1 + (c2 + b2)(a2+ d2) + 2(ab + cd) ≥

1 + 1 + (ab + cd)2 + 2(ab + cd)2 =

( )[ ]21 1 ab cd 1+ + + ≥ .

ΣΧΟΛΙΟ: Χρησιμοποιήσαμε την ανίσωση:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2a d b c ab cd ac bd 0+ + ≥ + ⇔ − ≥

6. Αν a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, δείξτε ότι:

a b c a b c1 1 1 2 1b c a abc

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

[10th Asian Pasific Mathematical Olympiad 1998]

Λύση:

Θέτουμε: a + b + c = k. Τότε, ισοδύναμα έχουμε:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2

k c k a k b k2 1abc abc

k a b c k ab bc ac k abc k2 2abc abc

− − − ⎛ ⎞≥ + ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

− + + + + + −≥ + ⇔

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 55

ab bc ac 2 k 3, (1).abc abc+ +⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )23 3Αλλά, ab bc ac 3 ab bc ac 3 abc+ + ≥ ⋅ ⋅ = ⇔

3 3 3

ab bc ac 3 ab bc ac 2 1abc abcabc abc abc+ + + +

≥ ⇔ − ≥ ⇔

( )3 3

ab bc ac 2 a b ca b c 3 (1),abc abc abc+ + + +⎛ ⎞− + + ≥ ≥ ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

αφού a + b + c ≥ 33 abc , (ανισότητα Gauchy).

ΣΧΟΛΙΟ: Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν a = b = c.

7. Αν a, b, c, d, e πραγματικοί αριθμοί, δείξτε ότι:

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e).

[Μαθηματικός ∆ιαγωνισμός Abel, Νορβηγία 1999]

Λύση:

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με 4, παίρνουμε:

a2 + 4b2

– 4ab + a2 + 4c2

– 4ac + a2 + 4d2

– 4ad + a2 + 4e2

– 4ae ≥ 0 ⇔

(a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 + (a – 2e)2 ≥ 0, που ισχύει.

ΣΧΟΛΙΟ: Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν b = c = d = e = a2

8. Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς x1, x2, ..., xn, που ικανο-ποιούν τις ακόλουθες ισότητες:

2 2 2 21 2 2 3 1998 1999 1999 11 x 1 x 1 x 1 x2x , 2x , ..., 2x , 2x+ + + += = = =

[Μαθηματική Ολυμπιάδα Μολδαβίας 1999]

56 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Λύση:

22 1 1 2 1

23 2 2 3 2

21999 1998 1998 1999 1998

21 1999 1999 1 1999

1 x 2x x x

= + ≥ ⇒ ≥

Ώστε: x1 = x2 = ... = x1999 = 1.

9. Αν a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί, αποδείξτε ότι:

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b ca ab b b bc c c ac a 3

+ ++ + ≥

+ + + + + +.

[∆ιαγωνισμός Μαθηματικού Περιοδικού Kömal, Ουγγαρία]

Λύση:

Παρατηρούμε ότι: 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a a b b ba ba ab b a ab b a ab b

− += = − +

+ + + + + +.

Ανάλογα:

3 3

2 2 2 2

3 3

2 2 2 2

b cb cb bc c b bc c

c ac ac ac a c ac a

= − ++ + + +

Έτσι, αν ( )3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b ca, b, ca ab b b bc c c ac a

ƒ = + ++ + + + + +

έχουμε ( )3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b b c c aa, b, ca ab b b bc c c ac a

2ƒ + + += + +

+ + + + + +.

Όμως 3 3

2 2

a b a ba ab b 3

+ +≥ ⇔

+ + 2(a + b)(a – b)2 ≥ 0.

Ώστε:

( ) ( )a b b c c a a b c2 a b c a b c3 3 3 3

ƒ ƒ+ + + + ++ + ≥ + + ⇔ + + ≥ .

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΕΙ∆ΙΚΩΝ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

Χρήστος Πατήλας

Έστω μία πραγματική συνάρτηση ƒ η οποία είναι συνεχής στο διά-στημα ∆. Αν η γραφική παράσταση C της ƒ σχηματίζει με τον άξονα x΄x ένα κλειστό και συνεκτικό χωρίο Α, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα, τότε το ολοκλήρωμα

αƒ(x)dx∫ με α < β, α, β∈∆, μεγιστο-

ποιείται ή ελαχιστοποιείται (βλέπε σχήματα (1) και (2) αντίστοιχα), όταν τα α και β πάρουν κατάλληλες τιμές, οι οποίες είναι οι κ, λ αντί-στοιχα.

O x

κ λ

Ακ λ

Τούτο συμβαίνει διότι σε οποιαδήποτε άλλη θέση οι ευθείες x = α και x =

β, εκτός των x = κ και x = λ αντίστοιχα, δημιουργούν με την Cƒ και τον x΄x χωρία με αλγεβρικό άθροισμα εμβαδών μικρότερο ή μεγαλύτε-ρο αντίστοιχα του εμβαδού του χωρίου Α.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αλγεβρικό εμβαδόν σημαίνει εμβαδόν με πρόσημο. ∆ηλα-δή τα εμβαδά για τα χωρία που βρίσκονται πάνω από τον x΄x θεωρού-νται με πρόσημο (+), ενώ τα εμβαδά για τα χωρία που βρίσκονται κάτω από τον x΄x θεωρούνται με πρόσημο (–).

58 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Έτσι συναρτήσεις δύο μεταβλητών (πεπλεγμένες), αν είναι δυνατόν να έρθουν σε μορφή ολοκληρώματος

αƒ(x)dx∫ , όπου η Cƒ έχει την προα-

ναφερθείσα ιδιότητα μεγιστοποιούνται ή ελαχιστοποιούνται για α = κ και β = λ. Ακολουθούν λυμένα προβλήματα που βασίζονται στην παραπάνω ιδέα.

1. ∆ίνεται η παράσταση Α = β3 – α3 + 6α2 – 6β2 με α < β, α, β∈R.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της Α και να βρεθούν οι τιμές των α, β για τις οποίες επιτυγχάνεται αυτή.

Λύση:

( )

3 33 3 2 2 2 2

3 3β2 2 2

β αΑ β α 6α 6β 3 2β 2α3 3

β α3 2β 2α 3 x 4x dx3 3

⎛ ⎞= − + − = − − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − − = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ Απ' τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = x2 – 4x βλέπουμε ότι η παράσταση Α ελαχιστοποιείται

όταν α = 0 και β = 4 με:

Αmin = 43 – 03 + 6⋅42 – 6⋅02 = 64 – 96 = –32.

2. Έστω α, β∈R με α < β ≤ 10.

α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης Α = β

βln α βα

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

και οι τιμές των α και β για τις οποίες συμβαίνει αυτό.

β) Έχει ελάχιστο η παράσταση Α;

4 x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 59

Λύση:

( ) ( ) [ ]

ββ α

ββ

α α

βα) Α ln α β lnβ lnα α β β lnβ α lnα α βα

β lnβ β α lnα α x ln x x ln xdx

⎛ ⎞= + − = − + − = − + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − − − = − = ∫

Το ολοκλήρωμα β

αln xdx∫ μεγιστο-

ποιείται όταν α = 1 και β = 10, όπως φαίνεται απ' την παρακάτω γραφική παράσταση της ƒ(x) = lnx, με:

1010

max 1

10A ln 1 10 ln10 91

= + − = −

β) Για β = 1 και α →0+, το Ε1 ελλατώ-νεται απεριόριστα και, ως εκ τούτου, δεν έχουμε Amin.

3. ∆ίνεται η συνάρτηση ƒ(x) = –x3 + αx2 + γ με α > 0 και γ∈R.

Ν.δ.ο. για κάθε διάστημα [κ, λ] ισχύει: 34αƒ(λ) ƒ(κ)

27≤ + .

Λύση:

3 3 3λ

3λ 2

4α 4α 4αƒ(λ) ƒ(κ) ƒ(λ) ƒ(κ) ƒ΄(x)dx27 27 27

4α( 3x 2αx)dx .27

≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔

− + ≤

∫

Αρκεί να δείξουμε ότι το μέγιστο

του 3

λ 2

4α( 3x 2αx)dx είναι το .27

− +∫

Απ' τη γραφική παράσταση της: g(x) = –3x2 + 2αx, έχουμε ότι το προ-

ηγούμενο ολοκλήρωμα μεγιστοποιεί-

2α3

10 x1

Clnx

60 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ται όταν κ = 0 και 2αλ3

= .

Είναι:3 2 32α 2α

2 3 23 300

8α 4α 4α( 3x 2αx)dx x αx α .27 9 27

− + = ⎡− + ⎤ = − + =⎣ ⎦∫

4. α) Να εκφραστεί η παράσταση Α = eβ – eα + α – β σε μορφή

αƒ(x)dx∫ , όπου ƒ κατάλληλη συνεχής συνάρτηση.

β) Ν.δ.ο. ex ≥ x + 1 για κάθε x∈R.

Λύση: α) ( ) ( )ββ α t

αA e β e α e 1 dt= − − − = −∫ με ƒ(x) = ex – 1.

β) Για α = 0 και β = x ≥ 0 είναι:

( )x t

1 0

xt x x

Ε 0 e 1 dt 0

e t 0 e x 1 e x 1

≥ ⇔ − ≥ ⇔

⎡ − ⎤ ≥ ⇔ − − ⇔ ≥ +⎣ ⎦

∫

Για α = 0 και β = x ≤ 0 είναι:

( )x t

2 0

xt x

Ε 0 e 1 dt 0

e t 0 e x 1

≤ ⇔ − − ≤ ⇔

⎡ − ⎤ ≥ ⇔ ≥ +⎣ ⎦

∫

Άρα για κάθε x∈R είναι ex ≤ x + 1.

5. Ν.δ.ο. για κάθε α,β∈R με α < β ισχύει: 3β5 – 5β3

– 3α5 + 5α3

+ 4 ≥ 0.

Λύση: y

x1–1

Η παράσταση Α = 3β5 – 5β3 – 3α5 + 5α3 γράφεται: Α = 3β5 – 5β3 – (3α5 – 5α3) = = ( )β 4 2

α15 x x dx−∫ .

Από τη γραφική παράσταση της συνάρ-τησης ƒ(x) = x4 – x2 έχουμε ότι το

Ce –1xCex

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 61

ολοκλήρωμα γίνεται ελάχιστο όταν α = –1 και β = 1.

Τότε: Α = 3⋅15 – 5⋅13 – 3⋅(–1)5 + 5⋅(–1)3 = 3 – 5 + 3 – 5 = –4.

∆ηλαδή: Α ≥ – 4 ⇔ 3β5 – 5β3 – 3α5 + 5α3 ≥ –4, άρα και 3β5 – 5β3 – 3α5 + 5α3 + 4 ≥ 0, για κάθε α, β∈R, με α < β.

6. Αν α < 0 < β < γ, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α = –2α3 – 3α2 + 2γ3 – 9γ2 + 12γ – 2β3 + 9β2 – 12β.

Λύση:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2 3 2

0 γ2 2

α β

Α 0 2α 3α 2γ 9γ 12γ 2β 9β 12β

α α γ γ β β6 0 6 3 2γ 3 2β3 2 3 2 3 2

6 x x dx 6 x 3x 2 dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − + − − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + + − + − − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + − +∫ ∫

Το παραπάνω άθροισμα ολοκληρω-μάτων γίνεται ελάχιστο, όταν γίνει ελάχιστος ο κάθε όρος του αθροίσμα-τος. Απ' το διπλανό σχήμα βλέπουμε αυτό να συμβαίνει όταν α = –1, β = 1 και γ = 2. Οπότε:

Αmin = 2 – 3 + 16 – 36 + 24 – 2 + 9 – 12 = –2.

7. ∆ίνονται δύο κλειστά κυβικά δοχεία Α και Β με πλευρές α και β αντίστοιχα, με α < β. Να βρεθούν οι πλευρές των παραπάνω κυβι-κών δοχείων, όταν η 15-πλάσια διαφορά των εμβαδών της επιφα-νείας τους ελλατωμένη κατά τη διπλάσια διαφορά των όγκων τους και την 36-πλάσια διαφορά των διαστάσεών τους γίνεται μέγιστη.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις παραπάνω διαφορές θεωρούμε ως πρώτο όρο τη διά-σταση του κυβικού δοχείου Β.

2 x1–1

62 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Λύση:

Ζητάμε το μέγιστο της παράστασης:

Κ = 15(β2 – α2) – 2(β3 – α3) – 36(β – α) =

( ) ( ) ( )

( )

3 3 2 2

β 2

1 56 β α β α 6 β α3 2

6 x 5x 6 dx

⎡ ⎤= − − + − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + −∫

α β

Από τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ(x) = –x2 + 5x – 6, έχουμε ότι το Κmax προκύπτει για α = 2 και β = 3.

3 x2

ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx3 + βx2 + γx + δ με α, β, γ, δ∈R, α ≠ 0

Νίκος Μπάκος

νας τύπος συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής που συναντάται συχνά στο θέμα "μελέτη των ακρότατων συνάρτησης" είναι ο τύ-

πος της συνάρτησης ƒ(x) = αx3 + βx2 + γχ + δ.

Η συνάρτηση ƒ είναι πολυωνυμική και επομένως είναι συνεχής και πα-ραγωγίσιμη στο R, με παράγωγο ƒ΄(x) = 3αx2 + 2βx + γ. Η ύπαρξη

και το είδος των ακροτάτων της εξαρτάται από το μηδενισμό και το πρόσημο της ƒ΄ (κριτήριο της 1ης παραγώγου). Το τριώνυμο 3αx2 + 2βx + γ έχει διακρίνουσα: ∆ = 4β2 – 12αγ = 4(β2 – 3αγ). Ας δούμε λοιπόν τι μπορεί να συμβεί:

• Αν ∆ > 0 δηλαδή αν β2 – 3αγ > 0, τότε η εξίσωση ƒ΄(x) = 0 έχει δύο άνισες ρίζες, έστω τις x1, x2 (με x1 < x2) και ο πίνακας πρόσημου της ƒ, καθώς και η μονοτονία της ƒ είναι όπως παρακάτω:

Αν α > 0 (Πίνακας Ι)

f ΄

−∞ +∞x1 x2

+ – +0 0

Επειδή η ƒ είναι γν. αύξουσα στο διάστημα (–∞, x1] και γν. φθίνουσα στο [x1, x2], η ƒ έχει τοπικό μέγι-στο το ƒ(x1) και αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο το ƒ(x2), επειδή η ƒ είναι γν. φθίνουσα στο διάστημα [x1, x2] και γν. αύξουσα στο [x2,+∞).

Παράδειγμα 1 Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση:

ƒ(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 2.

64 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Λύση:

Η ƒ είναι παραγωγίσιμη στο R με ƒ΄(x) = 6x2 – 10x + 4.

Επειδή α = 2, β = –5, γ = 4 και δ = –2, θα είναι β2 – 3αγ = 1 > 0, και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄ και μονοτονίας της ƒ θα είναι ακριβώς όπως

στον πίνακα Ι, όπου x1 = 23

και x2 = 1 οι ρίζες της εξίσωσης ƒ΄(x) = 0.

Η ƒ έχει τοπικό μέγιστο ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 26ƒ3 27

και τοπικό ελάχιστο ƒ(l) = –l.

Αν α < 0 (Πίνακας ΙΙ)

f ΄

−∞ +∞x1 x2

+– 0 0 –

Επειδή η ƒ είναι γν. φθίνουσα στο διάστημα (–∞, x1] και γν. αύξουσα στο [x1, x2], η ƒ έχει τοπικό ελάχι-στο το ƒ(x1)· αντίστοιχα έχει τοπικό μέγιστο το ƒ(x2), επειδή η ƒ είναι γν. αύξουσα στο διάστημα [x1, x2] και γν. φθίνουσα στο [x2,+∞).

Παράδειγμα 2 Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση:

ƒ(x) = –x3 – 32

x2 + 6x + 10.

Λύση: Η ƒ είναι παραγωγίσιμη στο R με ƒ΄(x) = –3x2 – 3x + 6.

Επειδή α = –1, β = – 32

, γ = 6 και δ = 10, θα είναι β2 – 3αγ = 814

> 0,

και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄ και μονοτονίας της ƒ θα είναι ακριβώς όπως στον πίνακα ΙΙ, όπου x1 = –2 και x2 = 1 οι ρίζες της εξίσωσης

ƒ΄(x) = 0. Η ƒ έχει τοπ. ελάχιστο ƒ(–2) = 0 και τοπ. μέγιστο ƒ(l) = 272

• Αν ∆ = 0 δηλαδή αν β2 – 3αγ = 0, τότε η εξίσωση ƒ(x) = 0 έχει διπλή ρίζα, έστω την xο και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄, καθώς και η μονοτονία της ƒ είναι όπως παρακάτω:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 65

Αν α > 0 (Πίνακας ΙΙΙ)

f ΄

−∞ +∞x0

++ 0

Επειδή η ƒ είναι γν. αύξουσα στα διαστήματα (–∞, xο] και [xο,+∞), η ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο R

και επομένως δεν έχει ακρότατα.

Παράδειγμα 3 Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση:

ƒ(x) = x3 – 15x2 + 75x + 8.

Λύση: Η ƒ είναι παραγωγίσιμη στο R με ƒ΄(x) = 3x2 – 30x + 75.

Επειδή α = 1, β = –15, γ = 75 και δ = 8, θα είναι β2 – 3αγ = 0 και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄ και η μονοτονία της ƒ θα είναι ακριβώς όπως στον πίνακα III, όπου xο = 5 η ρίζα της εξίσωσης ƒ΄(x) = 0. Η ƒ δεν έχει ακρότατα.

Αν α < 0 (Πίνακας ΙV)

f ΄

−∞ +∞x0

–– 0

Επειδή η ƒ είναι γν. φθίνουσα στα διαστήματα (–∞, xο] και [xο,+∞), η ƒ είναι γνησίως φθίνουσα στο R

και επομένως δεν έχει ακρότατα.

Παράδειγμα 4 Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση: ƒ(x) = –x3 + 3x2 – 3x –1.

Λύση: Η ƒ είναι παραγωγίσιμη στο R με ƒ΄(x) = –3x2 + 6x – 3.

Επειδή α = –1, β = 3, γ = –3 και δ = –1, θα είναι β2 – 3αγ = 0 και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄ και η μονοτονία της ƒ θα είναι ακριβώς όπως στον πίνακα IV, όπου xο = 1 η ρίζα της εξίσωσης ƒ΄(x) = 0. Η ƒ δεν θα έχει ακρότατα.

66 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

• Αν ∆ < 0, δηλαδή αν β2 – 3αγ < 0, τότε η εξίσωση ƒ΄(x) = 0 είναι αδύνατη και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄, καθώς και η μονοτονία της ƒ είναι όπως παρακάτω:

Αν α > 0 (Πίνακας V)

f ΄

−∞ +∞

Επειδή η ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο R δεν θα έχει ακρότατα.

Παράδειγμα 5 Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση: ƒ(x) = 2x3 + 4x2 + 3x – 6.

Λύση: Η ƒ είναι παραγωγίσιμη στο R με ƒ΄(x) = 6x2 + 8x + 3.

Επειδή α = 2, β = 4, γ = 3 και δ = –6, θα είναι β2 – 3αγ = –8 < 0 και ο πί-νακας πρόσημου της ƒ΄ και η μονοτονία της ƒ θα είναι ακριβώς όπως στον πίνακα V (η εξίσωση ƒ΄(x) = 0 δεν έχει ρίζες). Η ƒ δεν έχει ακρότατα.

Αν α < 0 (Πίνακας VI)

f ΄

−∞ +∞

–

Επειδή η ƒ είναι γνησίως φθίνου-σα στο R δεν θα έχει ακρότατα.

Παράδειγμα 6 Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα η συνάρτηση: ƒ(x) = –4x3 – x + 12.

Λύση: Η ƒ είναι παραγωγίσιμη στο R με ƒ΄(x) = –12x2 – 1.

Επειδή α = –4, β = 0, γ = –1 και δ = 12, θα είναι β2 – 3αγ = –12 < 0 και ο πίνακας πρόσημου της ƒ΄ και η μονοτονία της ƒ θα είναι ακριβώς όπως στον πίνακα VI (η εξίσωση ƒ΄(x) = 0 δεν έχει ρίζες). Η ƒ δεν θα έχει ακρότατα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Νίκος Ζανταρίδης

Α. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

1. Για τη συνεχή συνάρτηση ƒ: R →R ισχύει: x 1 x 2

0 02 ƒ(t)dt ƒ(t)dt 3x 2x α

−+ = − +∫ ∫ , για κάθε x∈R,

όπου α∈R, σταθερά.

α. Να βρεθεί η σταθερά α∈R. β. Να βρεθεί ο τύπος της ƒ.

Λύση:

α. ... x 1 x 2

0 02 ƒ(t)dt ƒ(t)dt 3x 2x α

−+ = − +∫ ∫ (1)

Από την (1) για x = 0 έχουμε:

0 1 12

0 0 02 ƒ(t)dt ƒ(t)dt 3 0 2 0 α ƒ(t)dt α+ = ⋅ − ⋅ + ⇔ =∫ ∫ ∫ (2)

Από την (1) για x = 1 έχουμε:

(2)1 1 1 12

0 0 02 ƒ(t)dt ƒ(t)dt 3 1 2 1 α 2 ƒ(t)dt 1 α

−+ = ⋅ − ⋅ + ⇔ = + ⇔∫ ∫ ∫

2⋅α = 1 + α ⇔ α = 1.

β. Από την (1) παραγωγίζοντας τα μέλη της ως προς x έχουμε:

( ) ( )x 1 x 2

0 02 ƒ(t)dt ƒ(t)dt 3x 2x α

− ′ ′+ = − +∫ ∫ ⇔

2ƒ(x) + ƒ(1 – x)(1 – x)΄ = 6x – 2 ⇔ 2ƒ(x) – ƒ(1 – x) = 6x – 2 (3)

Από την (3), θέτοντας όπου x το 1 – x έχουμε ότι για κάθε x∈R ισχύει:

2ƒ(1 – x) – ƒ(1 – (1 – x)) = 6(1 – x) – 2 ⇔ 2ƒ(1 – x) – ƒ(x) = 4 – 6x

68 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

⇔ ƒ(x) – 2ƒ(1 – x) = 6x – 4 (4) Από την (3) έχουμε: ƒ(1 – x) = 2ƒ(x) – 6x + 2, οπότε η (4) γίνεται: ƒ(x) – 2(2ƒ(x) – 6x + 2) = 6x – 4 ⇔ –3ƒ(x) + 12x – 4 = 6x – 4 ⇔ 3ƒ(x) = 6x ⇔ ƒ(x) = 2x.

(Η ƒ(x) = 2x, x∈R, είναι συνεχής και επαληθεύει την (1) για α = 1).

2. Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συναρτήσεως ƒ: [0, 1] → R, για

την οποία ισχύει: 1

πƒ(tημx)dt ημx, για κάθε x 0,2

⎡ ⎤= ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

Λύση:

... 1

0ƒ(tημx)dt ημx=∫ , (1)

Από την (1) προκύπτει ότι για κάθε x∈ π0,2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ισχύει:

1 12 2

0 0ημx ƒ(tημx)dt ημ x ƒ(tημx)ημxdt ημ x= ⇔ =∫ ∫ (2)

Για το ολοκλήρωμα ∫1

0ƒ(tημx)ημxdt θέτουμε u = tημx, οπότε είναι:

du = ημxdt. Για t = 0 είναι u = 0 και για t = 1 είναι u = ημx, οπότε έχουμε:

1 ημx

0 0ƒ(tημx)ημxdt ƒ(u)du=∫ ∫

Έτσι η (2) γίνεται: ημx 2

0ƒ(u)du ημ x=∫ (3)

Η (3) για x = 0 δίνει ημ0 2

0ƒ(u)du ημ 0=∫ (προφανής ισότητα).

Από την (3) παραγωγίζοντας τα μέλη της ως προς x, έχουμε:

( ) ( )ημx 2 2

0ƒ(u)du ημ x ημ x

′ ′= =∫ ⇔ ƒ(ημx)(ημx)΄ = 2ημx(ημx)΄

⇔ ƒ(ημx)συνx = 2ημxσυνx (4)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 69

Από την (4) για κάθε x∈ π0,2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

έχουμε ότι ισχύει ƒ(ημx) = 2ημx (5)

Έστω y0∈[0, 1), τυχαίος.

Επειδή y0∈[0, 1), υπάρχει x0∈π0,2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

, τέτοιο ώστε ημx0 = y0.

Έτσι έχουμε ƒ(y0) = ƒ(ημx0) (5)

= 2ημx0 = 2y0.

∆ηλαδή για οποιοδήποτε y0∈[0, 1) ισχύει ƒ(y0) = 2y0, οπότε για κάθε x∈[0, 1) είναι ƒ(x) = 2x.

Aκόμη, επειδή η ƒ είναι συνεχής στο x0 = 1, είναι: ( )

x 1 x 1ƒ(1) lim ƒ(x) lim 2x 2

− −→ →= = = .

Άρα [ )2x, x 0,1

ƒ(x)2, x 1

∈⎧= ⎨ =⎩

, δηλαδή είναι: ƒ(x) = 2x, x∈[0, 1].

(Η ƒ(x) = 2x, x∈[0,1], είναι συνεχής και επαληθεύει την (1)).

3. Για τη συνεχή συνάρτηση ƒ: R →R ισχύει: x y x y

0 0 0ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt 2xy

+= + +∫ ∫ ∫ , για κάθε x, y∈R.

Να βρεθεί ο τύπος της ƒ.

Λύση:

... x y x y

0 0 0ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt 2xy

+= + +∫ ∫ ∫ (1)

Από την (1), παραγωγίζοντας τα μέλη της ως προς y, έχουμε:

( ) ( )x y x y

0 0 0ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt 2xy

+ ′ ′= + +∫ ∫ ∫ ⇔

ƒ(x + y)(x + y)΄ = 0 + ƒ(y) + 2x ⇔ ƒ(x + y) = ƒ(y) + 2x, x, y∈R, (2)

Από την (2) για y = 0 έχουμε ότι για κάθε x∈R ισχύει:

ƒ(x + 0) = ƒ(0) + 2x ⇔ ƒ(x) = 2x + α, όπου α = ƒ(0).

70 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Η ƒ(x) = 2x + α, x∈R, για οποιοδήποτε α∈R, είναι συνεχής και

επαληθεύει την (1) για κάθε x,y∈R.

Επομένως ο τύπος της ƒ είναι της μορφής ƒ(x) = 2x + α, x∈R, όπου α οποιαδήποτε πραγματική σταθερά.

4. Για τη συνεχή συνάρτηση ƒ: R →R ισχύει: x y y

0 0ƒ(t)dt x ƒ(t)dt

+≤ +∫ ∫ , για κάθε x, y∈R.

Να βρεθεί ο τύπος της ƒ.

Λύση:

... x y y

0 0ƒ(t)dt x ƒ(t)dt

+≤ +∫ ∫ (1)

Από την (1) για y = 0 προκύπτει ότι για κάθε x∈R ισχύει:

x 0 0 x

0 0 0ƒ(t)dt x ƒ(t)dt ƒ(t)dt x

+≤ + ⇔ ≤∫ ∫ ∫ (2)

Λόγω της (1) έχουμε ότι για κάθε x∈R ισχύει:

x x x

0 0ƒ(t)dt x ƒ(t)dt

− +≤ − +∫ ∫ .

(Θέσαμε στην (1) όπου x το –x και όπου y το x).

⇔ 0 x x

0 0 0ƒ(t)dt x ƒ(t)dt ƒ(t)dt x≤ − + ⇔ ≥∫ ∫ ∫ (3)

Από (2) και (3) προκύπτει ότι για κάθε x∈R ισχύει: x

0ƒ(t)dt x=∫ (4)

Από την (4) παραγωγίζοντας τα μέλη της ως προς x έχουμε:

( ) ( )x

0ƒ(t)dt x

′ ′=∫ ⇔ ƒ(x) = 1.

Η ƒ(x) = 1 είναι συνεχής στο R και επαληθεύει την (1) (ως ισότητα) για κάθε x, y∈R. Επομένως ο ζητούμενος τύπος είναι ƒ(x) = 1, x∈R.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 71

Β. Εφαρμογές της συνάρτησης που ορίζεται με ολοκλήρωμα στα: Θ. Bolzano, Θ.Ε.Τ., Θ. Fermat, Θ. Rolle, Θ.Μ.Τ., Θ.Μ.Τ. Ολ. Λογ.

1. Αν η συνάρτηση ƒ είναι συνεχής στο [α, β] και είναι

αƒ(t)dt β α= −∫ , να δειχτεί ότι:

i. Υπάρχει x0∈(α, β), τέτοιο ώστε 0x

0αƒ(t)dt β x= −∫

ii. Υπάρχουν ξ1, ξ2∈(α, β), τέτοια ώστε ƒ(ξ1)⋅ƒ(ξ2) = 1 (Θ. Bolzano, Θ.Μ.Τ. Ολ. Λογ.)

Λύση:

i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = x

αƒ(t)dt x β+ −∫ , x∈[α, β].

Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α, β],

(ως παραγωγίσιμη στο [α, β], με g ΄(x) = ƒ(x) + 1).

Ακόμη είναι:

αg(α) ƒ(t)dt α β= + −∫ = α–β<0 και

αg(β) ƒ(t)dt β β= + −∫ =β–α>0,

οπότε είναι g(α)⋅g(β) < 0. Άρα η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [α, β], οπότε

υπάρχει x0∈(α, β), τέτοιο ώστε g(x0) = 0 ⇔ 0 0x x

0 0α αƒ(t)dt x β 0 ƒ(t)dt β x+ − = ⇔ = −∫ ∫

ii. Επειδή η ƒ είναι συνεχής στο [α, β], έπεται ότι η ƒ είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα [α, x0], [x0, β], οπότε, σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. Ο.Λ., υπάρχουν ξ1∈(α, x0) και ξ2∈(x0, β),

τέτοια ώστε:

( ) ( )

0 1α

0 2x

ƒ(t)dt x α ƒ ξ : (1)

και

ƒ(t)dt β x ƒ ξ : (2)

= −

∫

72 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Από τις (1) και (2) και επειδή είναι:

( ) ( )

0α

β β x

0 0x α α

ƒ(t)dt β x

και

ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt β α β x x α

= −

= − = − − − = −

∫

∫ ∫ ∫

έχουμε : ( ) ( )( ) ( )

( )

0 0 1 0

00 0 22

β xƒ ξβ x x α ƒ ξ x α

x αx α β x ƒ ξ ƒ ξβ x

−=

− = − −⇔

−− = − =−

οπότε: ƒ(ξ1)⋅ƒ(ξ2) = 0 0

0 0

β x x αx α β x− −

⋅− −

= 1.

Άρα υπάρχουν ξ1, ξ2∈(α, β), τέτοιοι ώστε ƒ(ξ1)⋅ƒ(ξ2) = 1. 2. Για τη συνεχή συνάρτηση ƒ: (0, +∞)→R, ισχύει:

xy x y

1 1 1ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt≥ +∫ ∫ ∫ , για κάθε x, y∈R*+.

Να βρεθεί ο τύπος της ƒ. (Θ. Fermat)

Λύση:

Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε x, y∈(0, +∞) ισχύει:

xy x y

1 1 1ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt 0− − ≥∫ ∫ ∫ (1)

Θεωρούμε τη συνάρτηση: xy x y

1 1 1g(y) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt, x 0, y 0.= − − > >∫ ∫ ∫

Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) με:

( )xy x y

1 1 1g (y) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt

′′ = − −∫ ∫ ∫ =

= ƒ(xy)(xy)΄ – 0 – ƒ(y) = xƒ(xy) – ƒ(y).

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 73

Παρατηρούμε ότι: x 1 x 1

1 1 1g(1) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt 0

⋅= − − =∫ ∫ ∫ .

Έτσι από την (1) προκύπτει ότι για κάθε y > 0 ισχύει: g(y) ≥ g(1), οπότε η g παρουσιάζει στο y0 = 1 ελάχιστο.

Επειδή η g είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (0, +∞) και πα-ρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο y0 = 1 του (0, +∞) τοπικό ακρότα-το, έπεται, σύμφωνα με το θ. Fermat, ότι ισχύει:

g΄(1) = 0 ⇔ xƒ(x⋅1) – ƒ(1) = 0 ⇔ xƒ(x) = ƒ(1) ⇔ ƒ(x) = αx

όπου α = ƒ(1)∈R.

Η ƒ(x) = αx

, x ≥ 0, για οποιοδήποτε α∈R, είναι συνεχής στο (0, +∞)

και επαληθεύει την (1) για κάθε x, y∈R*+.

Επομένως ο ζητούμενος τύπος της ƒ είναι της μορφής ƒ(x) = αx

x > 0, όπου α οποιαδήποτε πραγματική σταθερά.

3. Έστω μια συνάρτηση ƒ συνεχής στο [α, β] με ƒ(x) ≠ 0, για κάθε x∈(α, β). i. Να δειχτεί ότι

x β

α xƒ(t)dt ƒ(t)dt 0⋅ ≠∫ ∫ για κάθε x∈(α, β).

ii. Να δειχτεί ότι υπάρχει x0∈(α, β), τέτοιο ώστε:

( )0

x β0

α x

1 1 1ƒ xƒ(t)dt ƒ(t)dt

− =∫ ∫

(Θ.Μ.Τ.Ο.Λ.– Θ. Rolle)

ΥΠΟ∆ΕΙΞΗ: Χρησιμοποιείστε τη συνάρτηση x x x

α βg(x) ƒ(t)dt ƒ(t)dt e−= ⋅ ⋅∫ ∫

Λύση:

i. Επειδή η ƒ είναι συνεχής στο [α, β], έπεται ότι για οποιοδήποτε x∈(α, β) η ƒ είναι συνεχής στα διαστήματα [α, x] και [x, β], οπότε, σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.Ο.Λ. υπάρχουν ξ1∈(α, x) και ξ2∈(x, β),

74 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

τέτοια ώστε: ( )

( )

1α

ƒ(t)dt x α ƒ(ξ ) (1)

ƒ(t)dt β x ƒ(ξ ) (2)

= −

∫∫

Από τις (1) και (2) και επειδή είναι x – α ≠ 0, β – x ≠ 0, ƒ(ξ1) ≠ 0 και ƒ(ξ2) ≠ 0, προκύπτει ότι:

x β

α xƒ(t)dt 0 και ƒ(t)dt 0≠ ≠∫ ∫ , οπό-

τε είναι: x β

α xƒ(t)dt ƒ(t)dt 0⋅ ≠∫ ∫ , για κάθε x∈(α, β).

ii. Θεωρούμε τη συνάρτηση x x x

α βg(x) ƒ(t)dt ƒ(t)dt e−= ⋅ ⋅∫ ∫ , x∈[α, β].

Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με:

( )

x x x xx x x

β α α β

x x x x x

β α α β

g (x) ...

ƒ(x) ƒ(t)dt e ƒ(x) ƒ(t)dt e ƒ(t)dt ƒ(t)dt e

ƒ(x) ƒ(t)dt ƒ(x) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt e ,

− − −

−

′ = =

= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

= + − ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

για κάθε x∈[α, β].

Οπότε η g είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Ακόμα είναι:

α α β βα β

α β α βg(α) ƒ(t)dt ƒ(t)dt e 0και g(β) ƒ(t)dt ƒ(t)dt e 0,− −= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

οπότε ισχύει: g(α) = g(β) (= 0). Άρα η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle, οπότε υπάρχει x0∈(α, β), τέτοιο ώστε g΄(x0) = 0 ⇔

⇔ ( )0 0 0 00

x x x x x0 0β α α β

ƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt e 0−+ − ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

0 0

0 β x x β

0 0x α α x

eƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt 0

−≠

⇔ − + + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

⇔ 0 0

0 0

β x x β

0 0x α α xƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt− = ⋅∫ ∫ ∫ ∫

( )

0 0

β xi 0 0x α 0 0

x β x β

α x α x

ƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(x ) ƒ(t)dt ƒ(x ) ƒ(x )1 1ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt

−⇔ = ⇔ − =

⋅

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 75

ƒ(x ) 0

x β0

α x

1 1 1ƒ(x )ƒ(t)dt ƒ(t)dt

≠

⇔ − =∫ ∫

4. Έστω μία συνάρτηση ƒ συνεχής στο [0, 4] με ƒ(x) > 0 για κάθε x∈[0, 4]. i. Να μελετηθεί η g(x) =

0ƒ(t)dt∫ , x∈[0, 4] ως προς τη μονοτονία.

ii. Να δειχθεί ότι υπάρχει x0∈(0, 4), τέτοιο ώστε: 0x 1 2 3

α 0 1 2

2 1ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt3 3

= + +∫ ∫ ∫ ∫ (Θ.Ε.Τ.)

Λύση:

i. Είναι g΄(x) = ( )x

0ƒ(t)dt

′∫ = ƒ(x) > 0, για κάθε x∈[0, 4], οπότε η g

είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 4].

0 < 1 < 4 ⇒ g(0) < g(1) < g(4), αφού g στο [0, 4].

ii. Έχουμε: 0 < 2 < 4 ⇒ g(0) < g(2) < g(4), αφού g στο [0, 4].

0 < 3 < 4 ⇒ g(0) < g(3) < g(4), αφού g στο [0, 4].

Οπότε: 3g(0) < g(1) + g(2) + g(3) < 3g(4)

⇒ g(1) g(2) g(3)g(0) g(4)3

+ +< < (1)

Από την (1) και επειδή η g είναι συνεχής στο [0, 4], έπεται, σύμ-φωνα με το Θ.Ε.Τ., ότι υπάρχει x0∈(0, 4),

τέτοιο ώστε: 0

g(1) g(2) g(3)g(x )3

+ +=

0x 1 2 3

0 0 0 03 ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt⇔ = + +∫ ∫ ∫ ∫

0x 1 1 2

0 0 0 13 ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt⇔ = + + +∫ ∫ ∫ ∫

1 2 3

0 1 2ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt+ + +∫ ∫ ∫

76 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

0x 1 2 3

0 0 1 2

2 1ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt ƒ(t)dt3 3

⇔ = + +∫ ∫ ∫ ∫

Προτεινόμενες

1. Για τη συνάρτηση ƒ: R →R ισχύει ƒ(x) – ƒ(y)≤ x – y, για

κάθε x, y∈R και ƒ(0) = 0.

i. Να δειχθεί ότι η ƒ είναι συνεχής στο R.

ii. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ƒ(x) + 3x – 1 = 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.

iii. Να βρεθούν τα όρια: 2

2 2x x

ƒ(x) 2x 3ƒ(x)L lim , M limx x ƒ(x)→+∞ →+∞

+= =

2. Θεωρούμε τις συναρτήσεις ƒ, g:[0, +∞]→R,

με ƒ(x) = xα και g(x) = x2α, όπου α∈ 1 , 12

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cƒ και Cg.

ii. Να βρείτε για ποια τιμή του α το Ε(α) γίνεται μέγιστο.

3. ∆ίνεται η συνάρτηση ƒ(x) = 1

0t x dt−∫ , x∈R.

i. Να βρεθεί η παράγωγος της ƒ. ii. Να μελετηθεί η ƒ ως προς τη μονοτονία.

4. ∆ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση ƒ: R*+→R, για την οποία ισχύει:

ƒ(x) > 0 για κάθε x > 0, ƒ(ƒ(x)) = ƒ(x)ƒ΄(x) για κάθε x > 0 και ƒ(1) = 1. i. Να εξεταστεί αν είναι "1–1" η συνάρτηση:

1g(x) dtƒ(t)

= ∫ , x∈R.

ii. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση h(x) = g(ƒ(x)) – g(x), x > 0 είναι σταθερή. iii. Να βρεθεί ο τύπος της ƒ.

ΜΙΑ ΕΝ∆ΙΑΦΕΡΟΥΣΑ Ι∆ΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1

y =x

∆ημήτρης Ντρίζος

y = , x > 01

á â

Ó×ÇÌÁ 1

tá tâ

Éó÷ýåé Å =Å ;á,â tá,tâ

Óôï ó÷Þìá åßíáé: 1 á < â < tá < tâ

Στα πλαίσια μιας διδακτικής προσέγγισης του θέματος, σκοπεύουμε να εξετάσουμε, αν τα εμβαδά Εα,β και Εtα,tβ των γραμμοσκιασμένων χωρίων του σχήματος (1), θα μπορούσαν να είναι ίσα μεταξύ τους.1 Έχουμε τη γνώμη ότι μια πρώτη συζήτηση στην τάξη θα έπρεπε να περιστραφεί γύρω από τη "μορφή" και τη "διάταξη" των δύο χωρίων. Πριν την έναρξη οποιασδήποτε φορμαλιστικής διαδικασίας, επιχειρεί-ται η διαισθητική διερεύνηση της δυνατότητας να ισχύει: Εα,β = Εtα,tβ.

1 Σχετική με το θέμα αυτό είναι η εργασία που έχει δημοσιευτεί στο τεύχος 1 της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ, και ανάλογη στον ΕΥΚΛΕΙ∆Η Β΄, τ. 16/1995 (4ο Απρ.-–Μάιος–Ιούνιος)

78 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Στη συνέχεια, και ενώ έχει προηγηθεί σχετική διδασκαλία, δίνεται

στους μαθητές ο ορισμός του x

1ln x dt, x 0t

= >∫ , και ακολουθεί μια

συζήτηση με σκοπό να εμπλακεί ο ορισμός αυτός με τα εμβαδά των γραμμοσκιασμένων χωρίων του σχήματος (1).

y = , x > 01

1 x

Ó×ÇÌÁ 2

y = , x > 01

y = – , x > 01

Ó×ÇÌÁ 3

Ο ορισμός του lnx ως

1ln x dtt

= ∫ αναλύεται στις περιπτώσεις: x > 1

και 0 < x < 1. Αν x > 1, τότε το lnx εκφράζει το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χω-ρίου του σχήματος (2), ενώ αν 0 < x < 1, εκφράζει το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του σχήματος (3). Η συζήτηση αυτή μάς οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η σχέση του x ως προς το 1 είναι αυτή που τελικά προσδιορίζει τον προσανατολισμό των εν λόγω εμβαδών ως προς τον οριζόντιο άξονα x΄x.

Επανερχόμαστε πάλι στο κεντρικό θέμα αυτής της ενότητας: Ισχύει Εα,β = Εtα,tβ;

β 1 β β α

α,β α α 1 1 1

1 1 1 1 1Έχουμε, Ε dx dx dx dx dxx x x x x

= = + = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

β tβlnβ lnα ln ln , ( )α tα

= − = = όπου t, α, β θετικοί αριθμοί

( ) ( )tβ

tα,tβtα

1ln tβ ln tα dx Ε .x

= − = =∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 79

Στην προηγούμενη διαδικασία πήραμε υπόψη ότι οι συναρτήσεις x, 1t

tα, tβ είναι συνεχείς στο διάστημα (0, +∞).

∆ιατύπωση προβληματισμού – Επέκταση Η ενότητα αυτή μπορεί να θεωρηθεί στο πλαίσο του ερωτήματος:

Ποιες είναι οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις ƒ: (0, +∞) για τις οποίες ισχύει: ƒ ƒ∫ ∫

tβ β

tα α(x)dx = (x)dx (1)

(Το ερώτημα της γενίκευσης διατυπώθηκε από τον Π. Στράντζαλο, καθηγητή του Πανε-πιστημίου Αθηνών, σε μια παρουσίαση από τον συντάκτη του άρθρου, στα πλαίσια του μαθήματος: "Ειδικά Θέματα Διδακτικής" του Μ.Π.Σ. του Τομέα της "Διδακτικής και Μεθο-δολογίας των Μαθηματικών" του Πανεπιστημίου Αθηνών).

tx α tx tx tα

tα tα α α α

tα

Αν θέσουμε : F(x) ƒ(y)dy, οπότε F (x) ƒ(x), τότε

ƒ(y)dy ƒ(y)dy ƒ(y)dy ƒ(y)dy ƒ(y)dy

F(tx) F(tα) ƒ(y)dy F(tx) F(tα) (2)

′= =

= + = − =

= − ⇒ = −

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

Η υπόθεση (1) γράφεται: tβ β

tα αƒ(y)dy ƒ(y)dy=∫ ∫ , οπότε με β = x προ-

κύπτει:tx x tx

tα α tαƒ(y)dy ƒ(y)dy ƒ(y)dy F(x) (3)= ⇒ =∫ ∫ ∫

Από τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουμε: F(tx) – F(x) = F(tα) (4)

Επομένως: ( )

(4)

t 1 t 1

F(tx) F(x) F(tx) F(x)ƒ(x) F (x) lim limtx x t 1 x→ →

− −′= = = =− −

= ( ) ( )

tα

t 1 t 1

ƒ(y)dyF(tα)lim lim .t 1 x t 1 x→ →

=− −

∫

80 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Αφού το τελευταίο όριο από την υπόθεση υπάρχει και ο παρανομαστής

τείνει στο 0, ενώ ο αριθμητής επίσης τείνει στο 0 ( )α

αƒ(y)dy 0=∫ ,

σύμφωνα με το θεώρημα de l' Hospital, παίρνουμε:

( ) ( )

tα

t 1 t 1 t 1 t 1

ƒ(y)dy ƒ(tα) (tα)΄ α ƒ(tα) α αlim lim lim lim ƒ(tα) ƒ(α)t 1 x tx x ΄ x x x→ → → →

⋅ ⋅= = = =

− −∫ ,

αφού ƒ συνεχής.

Βρήκαμε τελικά ότι: α ƒ(α)ƒ(x) , x 0x⋅

= > .

Επομένως θα ισχύει: tβ β

tα αƒ(x)dx ƒ(x)dx=∫ ∫ , x > 0 για τις συναρτήσεις

της μορφής kƒ(x)x

= , x > 0 και k = α⋅ƒ(α), σταθερός πραγματικός α-

ριθμός. Οι συναρτήσεις αυτές και μόνο αυτές ικανοποιούν τις συνθήκες της ερώτησης.

ΗΜΕΡΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ – ∆ΙΣΕΚΤΟΣΥΝΘΗΚΗ ∆ΥΟ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΗΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ

∆ημήτρης Ι. Μπουνάκης

Εισαγωγή

Από την Ευκλείδεια διαίρεση μας είναι γνωστό ότι, αν α, β∈Z, β>0,

τότε υπάρχουν (μοναδικοί) ακέραιοι λ, υ ώστε α = β⋅λ + υ, 0 ≤ υ < β. Ο αριθμός λ λέγεται πηλίκο και ο αριθμός υ υπόλοιπο της διαίρεσης α:β. Τους αριθμούς αυτούς θα συμβολίζουμε στο άρθρο αυτό αντίστοιχα με:

αλβ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, υ = αβ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ή υ =(α/β), οπότε ισχύει α = β αβ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+(α/β), 0 ≤ (α/β) < β.

Παραδείγματα:

14 34

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦, 14 2

4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 22−⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

, 32−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=1, 4 05⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4/5)=4,

1 01 ν⎡ ⎤ =⎢ ⎥+⎣ ⎦

, 1 11 ν⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

αν ν∈N*, 3 01 μ⎡ ⎤

=⎢ ⎥+⎣ ⎦ αν μ=3, 4, 5, … κλπ

Με την βοήθεια των αριθμών αυτών (πηλίκου-υπολοίπου) μπορούμε να εκφράσουμε διάφορα ακέραια μεγέθη και εδώ θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε σε δυο ενδιαφέροντα προβλήματα. Αναφέρουμε πρώτα δυο βασικές ιδιότητες του πηλίκου, τις οποίες αφήνουμε ως ασκήσεις στον αναγνώστη, από τις οποίες την δεύτερη θα χρησιμοποιήσουμε πολλές φορές.

82 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

1. Το πηλίκον αβ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

της διαίρεσης α:β (α, β∈Z, β>0) είναι ο μεγα-

λύτερος ακέραιος από αυτούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι του ρη-

τού αβ

, δηλαδή ισχύει: α α α1β β β⎡ ⎤ ⎡ ⎤

≤ < +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Αν α, β, κ ακέραιοι, β > 0 τότε ισχύει: κβ α α ακ κ

β β β+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Να βρεθεί μια συνάρτηση Η(μ) που για κάθε μήνα μ να δίνει τον α-ριθμό των ημερών του μήνα μ, μ=1,2, …,12.

Λύση:

Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού θα θεωρήσουμε κατ' αρχήν το έτος απλό (όχι δίσεκτο) και θα εργαστούμε σε δυο βή-ματα: (α) Θα αναζητήσουμε μια συνάρτηση Α(μ) που για ένα μήνα μ θα δίνει το άθροισμα των επί πλέον των 28 ημερών, όλων των προηγουμένων μέχρι και τον μήνα μ, μηνών. Η συνάρτηση αυτή θα' χει βέβαια τις παρακάτω τιμές:

μ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Α(μ) 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29

(β) Για την ζητούμενη συνάρτηση Η(μ) θα έχουμε τότε:

Η(μ) = 28 + Α(μ) – Α(μ – 1), μ – 1 ≥ 1 ή μ ≥ 2.

Εφ' όσον η συνάρτηση Α(μ) έχει ακέραιες τιμές, μια πιθανή έκφρασή

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 83

της μπορεί να είναι η αμ βA(μ)5+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, μ ≥ 2, α, β∈Z (1)

(επιλέχθηκε η πιο απλή εκφραση του μ, αμ+β, ενώ η επιλογή του 5 προέκυψε μετά την αποτυχία των 1,2,3,4)

Αντικαθιστώντας στην (1), μ = 2, …, 12 έχουμε:

2α β 3α βμ 2 3 (2), μ 3 6 (3)5 5+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → = = → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4α β 5α β βμ 4 8 (4), μ 5 11 α 11 (5)5 5 5+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → = = → = ⇒ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6α β α βμ 6 13 α 13 (6)5 5+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → = → + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

7α β 2α βμ 7 16 α 16 α 13, ( )5 5+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → = → + = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

λόγω της 2

Οι υπόλοιπες σχέσεις που προκύπτουν από την (1) για μ = 8, 9, …, 12 επαληθεύονται, λόγω των παραπάνω σχέσεων, άρα δεν δίνουν άλλες (ανεξάρτητες) σχέσεις. Για παράδειγμα, με μ = 11 προκύπτει:

11α β 265+⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

ή α β2α 265+⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦

ή α β 05+⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

που είναι η (6).

Με α=13 στις παραπάνω σχέσεις έχουμε:

Η (2) γράφεται 26 β 1 β 1 β3 5 3 2 (7)5 5 5+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ + = ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Η (3) γράφεται 39 β 4 β 4 β6 7 6 1 (8)5 5 5+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ + = ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Η (4) γράφεται 52 β 2 β 2 β8 10 8 2 (9)5 5 5+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ + = ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Από την (5) προκύπτει β 25⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

ή β = –10 + υ, υ = 0, 1, 2, 3, 4, ενώ από

84 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

την (6) έχουμε α β 05+⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

, οπότε:

0 ≤ α + β < 5 ⇒ β < –8 ή –10 + υ < –8 ή υ = 0, 1.

Η τιμή υ = 0 ή β = –10 δεν επαληθεύει την (8), αφού 6 25−⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

, άρα

υ = 1 οπότε β = –9. Η τιμή αυτή αληθεύει και τις (7), (8), (9).

Επομένως α = 13, β = –9, οπότε:

13μ 9 10μ 3μ 1 10 3μ 1A(μ) 2μ 25 5 5− + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, μ≥2

Ετσι έχουμε:

Η(μ) = 28 + Α(μ) – Α(μ – 1) = 30 +

3μ 1 3μ 25 5− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, μ – 1 ≥ 2 ή μ ≥ 3.

Ο τύπος αυτός για μ =1, 2 δίνει αντίστοιχα Η(1) = 30, Η(2) = 31, ενώ πρέπει Η(1) = 31 (Ιανουάριος), Η(2) = 28 (Φεβρουάριος για μη δίσε-κτο). Για να επεκτείνουμε λοιπόν τον τύπο αυτό και για μ = 1, 2 αναζη-τούμε ένα προσθετέο (για τον προηγούμενο τύπο):

Ρ(μ) =(x + yμ) 3μ 1⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦

, ο οποίος γίνεται μηδέν για μ = 3, 4, …, 12, και

θέλουμε Ρ(1) = 1, Ρ(2) = –3 ή x + y = 1 και x + 2y = –3, οπότε y = –4, x = 5.

Άρα τελικά έχουμε την ζητούμενη ημεροσυνάρτηση:

3μ 1 3μ 2 3Η(μ) 30 (5 4μ)5 5 μ 1

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

μ = 1, 2, 3, …, 12 (10) ∆ΙΜ – συνάρτηση

Για την περίπτωση δίσεκτου έτους (μόνη διαφορά: Φεβρουάριος 29 μέρες, Η(2)=29) προκύπτει με ανάλογη αναζήτηση ότι:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 85

3μ 1 3μ 2 3Η (μ) 30 (4 3μ)5 5 μ 1

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦, μ=1,2,3,….12

π.χ. για τον Φεβρουάριο έχουμε Ηδ(2) = 30 + 1 – 0 – 2 = 29 ημέρες, για τον Ιούνιο Η(6) = 30 + 3 – 3 + 0 = 30 ημέρες, ενώ για τον Οκτώβριο Η(10) = 30 + 6 – 5 + 0 = 31 ημέρες κ.λπ.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το παραπάνω πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπισθεί με γνώσεις Ανωτέρων Μαθηματικών (τύπος παρεμβολής Lagrange), αλλά η συνάρτηση που προκύπτει αν και πολυωνυμική (11ου βαθμού) είναι αρκετά πολύπλοκη.

Έκφραση της Η(μ) με το υπόλοιπο

Ο παραπάνω τύπος (10) δίνει την Η(μ) συναρτήσει του μ με την βοή-θεια του πηλίκου. Μπορούμε όμως να εκφράσουμε την Η(μ) και με την βοήθεια του υπολοίπου:

Επειδή α = β⋅ αβ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ (α/β) ή α α (α /β)β β⎡ ⎤ −

=⎢ ⎥⎣ ⎦

προκύπτουν:

3μ 13μ 13μ 1 5

5 5

+⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟+⎡ ⎤ ⎝ ⎠=⎢ ⎥⎣ ⎦ ,

3μ 23μ 23μ 2 5

5 5

−⎛ ⎞− − ⎜ ⎟−⎡ ⎤ ⎝ ⎠=⎢ ⎥⎣ ⎦

331 μ3

1 μ μ 1

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎡ ⎤ ⎝ ⎠=⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

, οπότε ο παραπάνω τύπος (10) γίνεται:

33μ 2 3μ 1 33 1 μ5 5H(μ) 30 (5 4μ)5 1 μ

⎛ ⎞− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + − ⋅+

μ = 1, 2, 3, …, 12

π.χ. για τον Μάρτιο, Η(3) =

3 2 0 3 330 (5 12) 315 4

+ − −+ + − = μέρες.

86 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα έτος Ε να είναι δίσεκτο.

Λύση:

Ως γνωστό ένα έτος (με το νέο ημερολόγιο) είναι δίσεκτο σε δυο περι-πτώσεις: (α) όταν δεν είναι πολλαπλάσιο του 100 και διαιρείται με το 4, ή (β) όταν είναι πολλαπλάσιο του 100 και διαιρείται με το 400.

Ισοδύναμα, όταν:

(Ε/100) > 0 και (Ε/4) = 0 ή όταν (Ε/100) = 0 και (Ε/400) = 0.

Αυτές τις συνθήκες θα προσπαθήσουμε να συμπτήξουμε, ισοδύναμα, σε μια συνθήκη – εξίσωση.

• Αν (Ε/100) > 0 και (Ε/4) = 0, τότε 11 (E /100)⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

=1, οπότε:

1– 11 (E /100)⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

=0, άρα (Ε/4)+1– 11 (E /100)⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

• Αν (Ε/400) = 0 τότε και (Ε/100) = 0. Άρα, αν ένα έτος Ε είναι δίσεκτο, τότε ισχύει:

1(E /400) (E /4) 11 (E /100)

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ + −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠=0 (11)

∆ισεκτοσυνθήκη – ∆ΙΜ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ: Έστω ότι ισχύει η (11). Θα δείξουμε ότι το έτος Ε είναι δίσεκτο. ∆ιακρίνουμε 2 περιπτώσεις:

(i) Αν (Ε/100) > 0, δηλαδή το Ε δεν είναι πολλαπλάσιο του 100, τότε

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 87

ασφαλώς δεν είναι πολλαπλάσιο και του 400, άρα (Ε/400) > 0 οπότε από την (11) έχουμε:

1(E/4) 1 01 (E/100)⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟+⎝ ⎠ ή (Ε/4)+1 – 1=0 ή (Ε/4) = 0, άρα Ε δίσεκτο.

(ii) Αν (Ε/100) = 0, τότε 11 (E /100)⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

= 11⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=0, οπότε (λόγω και

(Ε/4)=0), θα είναι: (Ε/4) + 1 –

11 (E /100)⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

=(Ε/4) + 1 – 0 = 0 + 1 > 0.

Έτσι από την (11) προκύπτει (Ε/400)=0, οπότε το έτος Ε είναι δίσε-κτο. Άρα η (11) είναι η ζητούμενη ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα έτος Ε δίσεκτο. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ας σημειωθεί ότι με το παλαιό ημερολόγιο ένα έτος Ε εί-ναι δίσεκτο αν και μόνο διαιρείται με το 4, οπότε η ικανή και αναγκαία

συνθήκη γι' αυτό είναι (Ε/4)=0 ή E E4 4

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Ασκήσεις 1. Να επαληθεύσετε ότι και η επόμενη συνάρτηση δίνει τις ημέρες

κάθε μήνα (απλού έτους).

4μ 3 4μ 1 3Η(μ) 30 2(1 μ)7 7 μ 1

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦, μ=1,2,3,….12.

(για τον Φεβρουάριο δίσεκτου αντί 2(1–μ) θέτουμε 1–μ).

2. Αφού πρώτα δειχθεί ότι 1 111 ν 1 ν⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠

, ν∈N, στην συνέχεια

88 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

να δειχθεί ότι η δισεκτοσυνθήκη είναι ισοδύναμη με την:

(Ε/400) ⋅1(Ε / 4) 0

1 (Ε / 100)⎛ ⎞⎡ ⎤+ =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦⎝ ⎠

3. Έστω α οι αιώνες και ε τα (εκτός αιώνων) έτη ενός έτους Ε. Να αποδειχθεί ότι το έτος Ε είναι δίσεκτο αν και μόνο ισχύει:

1 ε αε 4 ε α 4 01 ε 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ⋅ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

4. Αν (Ε/400)=α, (α/100)=β, (β/4)=γ, να δείξετε ότι ένα έτος Ε είναι δίσεκτο αν και μόνο ισχύει:

1α γ 1 01 β

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

(ισοδύναμα 1α γ 01 β

⎛ ⎞⎡ ⎤⋅ + =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦⎝ ⎠

ΧΡΗΣΙΜΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ, ΦΟΙΤΗΤΕΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

∆ΗΜ. Ι. ΜΠΟΥΝΑΚΗ

Y ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Y ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝ∆ΥΑΣΤΙΚΗΣ & ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

∆ΩΡΟ ΕΝΑ ΒΙΒΛΙΟ ∆ΕΣΜΗΣ

Τηλ. (0810)–252140, 0973404536

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Πινάτσης Παναγιώτης Μαθηματικός *

Χαλκογραφία στα "Κωνικά" του Απολλώνιου, όπου α-πεικονίζεται η πληροφορία του Βιτρούβιου (Αρχιτεκτο-νική VI), κατά την οποία ο Σωκρατικός φιλόσοφος Αρί-στιππος, ανακαλύπτοντας γεωμετρικά σχήματα στην άμμο, καθησυχάζει τους συντρόφους του λέγοντάς τους ότι οι κάτοικοι του νησιού, στο οποίο είχαν ναυαγήσει, ήταν πολιτισμένοι.

* Υπότροφος του Ι.Κ.Υ. στις μεταπτυχιακές σπουδές ∆ιδακτικής των Μαθηματικών

90 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Σχέδιο Μαθήματος

Α. ∆ιδακτική ενότητα § 4.1–4.2

Παράλληλες ευθείες με το ιστορικό σχόλιο του βιβλίου.

Β. Ειδικοί στόχοι

1. Να μπορεί ο μαθητής να διατυπώνει των ορισμό των παράλλη-λων ευθειών.

2. Να μπορεί να ονομάζει τις γωνίες που σχηματίζονται από την τομή δύο ευθειών από μια τρίτη ευθεία.

3. Να μπορεί να διατυπώνει και να αποδεικνύει το θεώρημα ύπαρ-ξης παράλληλων ευθειών και τα απορρέοντα απ' αυτό πορίσματα.

4. Να διατυπώνει το 5ο αίτημα του Ευκλείδη και το αίτημα πα-ραλληλίας (ή αξίωμα παραλληλίας) και να αποδεικνύει την ισο-δυναμία τους.

5. Να αποβάλει την άποψη που δημιουργείται απ' την εμπειρία, ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μοναδική γεωμετρία που ται-ριάζει καλύτερα στο φυσικό κόσμο και να αποκτήσει μια ιστο-ρική παιδεία σχετικά με τις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες και την άρση ενός επιστημολογικού εμποδίου 2000 ετών.

6. Ανακεφαλαίωση. 7. Μελέτη φυλλαδίου σχετικού με τις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες,

που θα δοθεί στους μαθητές στο τέλος του μαθήματος.

Γ. Προϋπάρχουσες γνώσεις

1. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη καθεμιάς των απέναντι εσωτερικών γωνιών.

2. Παραπληρωματικές γωνίες. 3. Ισότητα τριγώνων.

∆. Μέθοδος

1. Μαιευτική (ερωτηματική μέθοδος διδασκαλίας).

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 91

Με ερωτήσεις επιτυγχάνεται η αύξηση του ενδιαφέροντος και της περιέργειας των μαθητών με σκοπό την ενεργό συμμετοχή τους.

2. ∆ιάλεξη που περιέχει και στοιχεία ερωτήσεων κρίσεως για τόνωση της περιέργειας σχετικά με το "νέο" που έρχεται αντιμέ-τωπο με τις μέχρι τώρα εμπειρίες των μαθητών (ιστορικό κομμά-τι του μαθήματος).

Ε. Περιεχόμενο διδασκαλίας

Βήμα 1. Ζητώ εμπειρικό ορισμό των παράλληλων ευθειών απ' τους μαθητές.

Βήμα 2. Τους δείχνω ένα κουτί σπίρτα και ζητώ να μου βρουν τις παράλληλες ακμές. Μέσα από συζήτηση αναδύεται η διαφορά παράλληλων και ασύμβατων ευθειών.

Βήμα 3. Εμπειρική εκμάθηση, ώστε τελικά να μπορεί ο μαθητής να ονομάζει τις γωνίες που σχηματίζονται από την τομή δύο ευθειών από μια τρίτη ευθεία.

Βήμα 4. Ζητώ με χρήση της μεθόδου της "εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς" να προσπαθήσουν οι μαθητές να μου δώσουν ιδέες για απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης παράλληλων ευθειών: "Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ί-σες, τότε είναι παράλληλες".

• Με τη μαιευτική διαδικασία φτάνουμε στην απόδειξη του θεωρή-ματος.

• Ζητώ ιδέες και προσπάθεια να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος ως εργασία στο σπίτι.

• ∆ίνω υπόδειξη για δεύτερο τρόπο απόδειξης του θεωρήματος ύ-παρξης παράλληλων ευθειών και ζητώ να γίνει η γραπτή ολοκλή-ρωση στο σπίτι.

Βήμα 5. Απόδειξη των πορισμάτων Ι και ΙΙ από τους μαθητές. Βήμα 6. Γεωμετρική κατασκευή μιας τουλάχιστο παράλληλης από

σημείο Α εκτός ευθείας ε προς την ε, φέρνοντας την ΑΒ κάθετη

92 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

στην ε. Αν το ΑΒ ήταν πλάγιο τμήμα προς την ε; Μήπως υ-πάρχει και δεύτερος τρόπος κατασκευής, βασισμένος σε γνωστή κατασκευή; Παραπέμπω στο επόμενο μάθημα (§4.3), δίνοντας όμως το ερέθισμα στους περίεργους για να ψάξουν.

Βήμα 7. Αίτημα Ευκλείδη – Αίτημα παραλληλίας. Ζητώ από τους μαθητές να διαβάσουν την απόδειξη της ισοδυναμίας τους στο φυλλάδιο που θα τους δοθεί.

Βήμα 8. Μη Ευκλείδειες γεωμετρίες (Μια περιληπτική ιστορική ανα-φορά).

ΣΤ. Αξιολόγηση

Ζητείται απ' τους μαθητές να απα-ντήσουν στις ερωτήσεις:

1. Ποιες γωνίες του σχήματος (1) λέγονται εντός εναλλάξ, ποιες ε-ντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη και ποιες εντός και επί τα αυτά μέρη.

B Γ

Σχήμα 1

2. Ποιο είναι και αν μπορεί να αποδειχθεί το 5ο αίτημα του Ευ-κλείδη.

3. Ποιο το αξίωμα παραλληλίας, αν είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτη-μα του Ευκλείδη και γιατί προτιμήθηκε αυτό σε σχέση με άλλες προτάσεις.

4. Πώς γίνεται η διάκριση και πόσες μη Ευκλείδειες γεωμετρίες υπάρχουν.

5. Ποια γεωμετρία ταιριάζει καλύτερα στο χώρο που μας περι-βάλλει.

Ζ. Ανακεφαλαίωση και εργασία για το σπίτι

1. Πάρτε ένα φύλλο χαρτί και σχηματίστε πάνω σ' αυτό ένα τρί-γωνο ΑΒΓ. Έπειτα διπλώστε το, ώστε να σχηματιστεί καμπύλη απ' τα αριστερά προς τα δεξιά (κυλινδρική επιφάνεια). Σαν α-ποτέλεσμα της αλλαγής από επίπεδο σε κυλινδρική επιφάνεια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 93

πολλές από τις ευθείες γραμμές του επιπέδου γίνονται καμπύ-λες. Έτσι η ΑΓ είναι τόξο καμπύλης που, αν η επιφάνεια γινό-ταν πάλι επίπεδη, θα γινόταν τμήμα ευθείας γραμμής. Άρα το τρίγωνο στο επίπεδο, μετά το δίπλωμα, αντιστοιχεί σε τρίγωνο που σχηματίζεται από τόξα καμπυλών στην επιφάνεια.

Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

α. Η καμπυλοποίηση του επιπέδου αλλάζει τα μήκη των πλευ-ρών ή τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ;

β. Ισχύουν τα Ευκλείδεια αξιώματα στην κυλινδρική επιφάνει-α; Τα Ευκλείδεια θεωρήματα;

γ. Κατά πόσο πιστεύετε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λέξη "γραμμή" των Ευκλείδειων αξιωμάτων για τις καμπύλες της κυλινδρικής επιφάνειας που δεν είναι ευθείες γραμμές;

δ. Πιστεύετε ότι συνολικά η Ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται στα σημεία, γραμμές, τρίγωνα, πολύγωνα, κύκλους και άλλα σχήματα της κυλινδρικής επιφάνειας ή όχι;

2. ∆ίνεται στους μαθητές ένα φυλλάδιο γραμμένο σε απλή γλώσ-σα, με περισσότερα ιστορικά στοιχεία πάνω στις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, για μελέτη στο σπίτι και συζήτηση την επόμενη φορά .

Ως περιεχόμενο του φυλλαδίου προτείνεται το παρακάτω:

Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

πιχειρήθηκε η συνένωση τριών ιστορικών σημειωμάτων του σχο-λικού βιβλίου (§1.2, ιστορικό σημείωμα 4ου κεφαλαίου και παράρ-

τημα Α΄, σελ. 325-328), έτσι ώστε και με αυτό το φυλλάδιο οι μαθη-τές να αποκτήσουν μια σφαιρική ιδέα για τη μεγαλύτερη ίσως επιστημο-

94 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

νική επανάσταση στην ανθρώπινη ιστορία. Η όλη προσπάθεια αποσκο-πεί από τη μια μεριά να αποβάλει την άποψη που δημιουργείται στους μαθητές, ότι η Ευκλείδεια είναι η μοναδική Γεωμετρία, και άρα να βο-ηθήσει στη διεύρυνση της σκέψης τους, και απ' την άλλη, να δώσει την ευκαιρία στον καθηγητή να ανεβάσει ποιοτικά τη διδασκαλία της Γε-ωμετρίας.

Η Γεωμετρία, όπως φανερώνει και η λέξη, γεννήθηκε από μετρή-σεις στην επιφάνεια της γης, που έκαναν από την αρχαιότητα οι άν-θρωποι, προκειμένου ν' αντιμετωπίσουν διάφορες ανάγκες της ζωής, όπως προσδιορισμό συνόρων, κατασκευές κ.λ.π. και εξελίχθηκε σε ένα από τα πιο δυνατά διανοητικά παιχνίδια για την άσκηση της λογικής σκέψης. Ως επιστήμη δεν παραμένει στάσιμη, αλλά διευρύνεται συνε-χώς ως προς τις μεθόδους και το εννοιολογικό της περιεχόμενο π.χ. ο Descartes ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε μια καθιερωμένη πρακτική από τη Γεωγραφία και Χαρτογραφία στη λύση γεωμετρικών προ-βλημάτων και δημιούργησε την Καρτεσιανή γεωμετρία με την εισα-γωγή ενός συστήματος αναφοράς. Στα πρώτα της βήματα, τη στηρί-ζουν και την προωθούν γνωστοί μαθηματικοί και φιλόσοφοι, όπως ο Θαλής ο Μιλήσιος, ο Πυθαγόρας, ο Πλάτωνας, ο Εύδοξος και ο Ευ-κλείδης. Τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη αποτελούν το πρώτο ολοκληρω-μένο ιστορικό παράδειγμα θεωρητικής συγκρότησης μαθηματικών εν-νοιών, σύμφωνα με τη παραγωγική μέθοδο. Αποτελεί, το έργο αυτό, σταθμό στην Ιστορία της Μαθηματικής Επιστήμης και της Επιστήμης γενικότερα. Και αυτό όχι μόνο γιατί συγκεντρώνει τη μαθηματική γνώση των προηγούμενων χρόνων αλλά, κυρίως, γιατί εγκαινιάζει μια νέα εποχή για τα Μαθηματικά, θεμελιώνοντάς τα πάνω σ' έναν περιο-ρισμένο αριθμό ορισμών, αιτημάτων και κοινών εννοιών. Το περίφημο αυτό έργο αποτελείται από 13 βιβλία· στα 6 πρώτα εξετάζεται η επι-πεδομετρία, στο 7ο, 8ο, 9ο η θεωρία των αριθμών, στο 10ο η θεωρία των ασύμμετρων λόγων και στα 3 τελευταία η στερεομετρία.

Η θεμελίωση της Γεωμετρίας γίνεται από τον Ευκλείδη στο 1ο βι-βλίο, με αφετηρία 23 ορισμούς γεωμετρικών εννοιών και 10 αξιώματα ( 5 αιτήματα και 5 κοινές έννοιες). Οι κοινές έννοιες είναι αλήθειες που

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 95

ισχύουν σε κάθε αποδεικτική επιστήμη, ενώ τα αιτήματα είναι αλήθει-ες που ισχύουν ειδικά στη Γεωμετρία και μπορούν να επιδέχονται από-δειξης (σήμερα, δεν υπάρχει μια ανάλογη διάκριση μεταξύ των θεμε-λιωδών προτάσεων μιας σύγχρονης θεωρίας). Στα 3 πρώτα ζητείται απλά να γίνει δεκτή η δυνατότητα κατασκευής (δηλαδή ύπαρξης), τριών θεμελιωδών γεωμετρικών σχημάτων: του ευθύγραμμου τμήμα-τος, της ευθείας και του κύκλου. Τα 2 επόμενα όμως αιτήματα προ-χωρούν περισσότερο και ζητούν να δεχτούμε όχι μόνο την ύπαρξη αλλά και ιδιότητες κάποιων σχημάτων. Ιδιαίτερα το 5ο αίτημα απαιτεί να δεχτούμε ότι, κάτω από ορισμένες συνθήκες, δύο ευθείες τέμνονται. Η διατύπωσή του είναι: Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες και αν οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται, έχουν άθροισμα μικρότερο των 2 ορθών, τότε οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν απεριόρι-στα, θα τμηθούν στο μέρος εκείνο του επιπέδου ως προς την αρχική ευθεία, όπου σχηματίζονται οι γωνίες με άθροισμα μικρότερο των 2 ορθών. Σχηματικά έχουμε :

Σχήμα 2

Έχει δηλαδή τη μορφή μιας πρότασης με υπόθεση και ένα συμπέ-ρασμα καθόλου προφανές, αφού η πραγματοποίησή του ξεφεύγει από το χώρο της άμεσης εποπτείας μας. Ο Ευκλείδης είχε μια ευκαιρία να χρησιμοποιήσει το 5ο αίτημα αμέσως μετά την πρόταση 17 του 1ου βιβλίου και με τον τρόπο αυτό να συντομεύσει αλλά και να κάνει πιο αυστηρές τις αποδείξεις μερικών από τις επόμενες προτάσεις, όμως

96 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

προτιμά να αποδείξει όσες προτάσεις περισσότερες μπορεί χωρίς τη βοήθεια του (σύνολο 28 ανάμεσα στις οποίες και το αντίστροφο του αιτήματος). Απ' τα παραπάνω φαίνεται ότι και ο ίδιος είχε κάποιους ενδοιασμούς για τη θέση του μέσα στη Γεωμετρία. Το 5ο αίτημα έγινε από την αρχαιότητα αντικείμενο έντονης κριτικής και χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα του Πρόκλου, που έζησε τον 5ο αιώνα μ.Χ. και έγραψε σχόλια για το 1ο βιβλίο των "Στοιχείων", που αρνείται να συ-μπεριλάβει το 5ο αίτημα, ανάμεσα στα αξιώματα, θεωρώντας αδύνατο να μην δέχεται απόδειξη μια πρόταση, της οποίας η αντίστροφη μπο-ρεί να αποδειχτεί και δηλώνει την αμφιβολία του σχετικά με τη συνά-ντηση των ευθειών του 5ου αξιώματος του σ' ένα πεπερασμένο σημείο αναφέροντας το παράδειγμα των ασύμπτωτων ευθειών που πλησιάζουν η μια την άλλη συνεχώς, χωρίς όμως να τέμνονται ποτέ (π.χ. μια υπερ-βολή προσεγγίζει αλλά δεν τέμνει ποτέ την ασύμπτωτή της).

∆ημιουργούνται έτσι αυτόματα, δύο ερωτήματα: 1. Μήπως μπορεί να αποδειχθεί το 5ο αίτημα από τα υπόλοιπα 9

αξιώματα; Αν κάτι τέτοιο είναι δυνατό, τότε αποτελεί θεώρημα και δεν έχει θέση ανάμεσα στα αξιώματα. Η ίδια αντιμετώπιση υποστηρίχθη-κε και από τον Αριστοτέλη. Από την εποχή του μάλιστα και για 2.000 περίπου χρόνια οι μαθηματικοί (π.χ. ο Πέρσης Chaiam, ο Άγγλος Wal-lis, ο Ιησουίτης Saccheri, ο Γερμανός Lambert, ο Γάλλος Legendre κ.ά) προσπάθησαν να το αποδείξουν στηριζόμενοι στα υπόλοιπα αξιώ-ματα – αιτήματα.

2. Αν πάλι δεν μπορεί να αποδειχθεί, μήπως είναι δυνατή η αντι-κατάστασή του από κάποια άλλη, περισσότερο φανερή πρόταση;

Όλες όμως οι προσπάθειες για να αποδείξουν το 5ο αίτημα απέβη-σαν άκαρπες και σε ορισμένες μόνο περιπτώσεις κατάφεραν να το α-ντικαταστήσουν με κάποιο λογικά ισοδύναμο, το οποίο βέβαια δεν είχε αποδειχθεί, οπότε το πρόβλημα παρέμενε. Μερικές από τις ισοδύναμες μορφές που προτάθηκαν, είναι:

1. Από σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε μόνο μια πα-ράλληλη προς αυτήν (Playfair). Αξίωμα παραλληλίας.

2. Υπάρχουν όμοια τρίγωνα, δηλαδή τρίγωνα με ίσες γωνίες και

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 97

άνισες πλευρές (Wallis). 3. Υπάρχει τρίγωνο με άθροισμα γωνιών 2 ορθές (Legendre). 4. Αν δοθούν 3 μη συνευθειακά σημεία, υπάρχει ένας κύκλος που

διέρχεται από αυτά (Legendre). 5. Από ένα σημείο στο εσωτερικό γωνίας μικρότερης των 60°,

μπορούμε πάντοτε να φέρουμε μια ευθεία που τέμνει και τις δύο πλευ-ρές της γωνίας (Legendre).

6. Υπάρχει τρίγωνο με οσοδήποτε μεγάλο εμβαδό (Gauss). Η αποτυχία των προσπαθειών για μια απευθείας απόδειξη του 5ου αι-τήματος από τα υπόλοιπα 9 αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (κάθε υποκατάστατο εμπεριείχε άμεσα ή έμμεσα μια υπόθεση σχετικά με τι συνέβαινε πολύ μακριά στο χώρο, δηλαδή πήγαιναν πιο μακριά απ' την εμπειρία), έστρεψε από νωρίς την προσοχή των μαθηματικών προς τη δυνατότητα μιας έμμεσης απόδειξής του, με τη μέθοδο της απαγω-γής σε άτοπο. Τα αξιώματα του Ευκλείδη ήταν 10, αν κάποιος μπο-ρούσε να αποδείξει μια υπόθεση σχετικά με τις παράλληλες ευθείες με χρήση των άλλων 9 αξιωμάτων, θα λυνόταν το πρόβλημα. Μια σημα-ντική προσπάθεια αυτού του είδους έγινε από τον Ιησουίτη μοναχό Saccheri, που ήταν καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Παβίας και μελετητής της Λογικής. Αυτός ξεκίνησε από υποθέ-σεις αντίθετες προς το Ευκλείδειο αίτημα και ανέπτυξε τις συνέπειές τους, με την ελπίδα να φτάσει σε κάποια αντίφαση η οποία, φυσικά, θα σήμαινε ότι το αίτημα είναι αληθινό. Η προσπάθεια του Saccheri ήταν να εφαρμόσει τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, διακρίνοντας δύο πε-ριπτώσεις στην ισοδύναμη προς το 5ο αξίωμα πρόταση του Playfair που λέει ότι: από σημείο Ρ εκτός ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μόνο μια παράλληλη προς αυτήν. Έτσι, απ' το Ρ είτε δεν θα περνά καμιά ευθεία παράλληλη προς την ε, είτε θα περνούν περισσότερες από μία. Όμως, παρά τις εκτεταμένες προσπάθειες του και παρά το γεγονός ότι μερικά από τα αποτελέσματα στα οποία οδηγήθηκε ήταν παράξενα, σε σύγκριση με τα αντίστοιχα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αντίφαση λο-γική δε βρισκόταν. Η πίστη του Saccheri στην Ευκλείδεια Γεωμετρία,

98 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

σαν τη μόνη δυνατή γεωμετρία του φυσικού χώρου, ήταν τόσο ισχυρή, ώστε απέτυχε να συλλάβει τις τεράστιες συνέπειες της προσπάθειάς του· ότι δηλαδή η ανυπαρξία λογικής αντίφασης μετά την άρνηση τον Ευκλείδειου αιτήματος σημαίνει ότι μπορεί να υπάρξει και άλλη γεω-μετρία, εξίσου έγκυρη με του Ευκλείδη. Αντίθετα, ο Saccheri έκρινε ότι τα περίεργα θεωρήματα στα οποία είχε οδηγηθεί ήταν ασυμβίβα-στα προς την κοινή διαίσθηση και θεώρησε αυτό το γεγονός ικανοποιη-τική απόδειξη της αλήθειας του 5ου αιτήματος, δηλαδή υπήρξε θύμα της εποχής του. Τα συμπεράσματά του τα δημοσίευσε το 1733 σ' ένα βιβλίο με τον χαρακτηριστικό τίτλο "Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από κάθε ατέλεια". Έχει γραφτεί ότι ο Saccheri βρέθηκε στο κατώφλι μιας ανακάλυψης που θα άφηνε εποχή, αλλά αρνήθηκε να το περάσει. Η ε-ποχή του δεν ήταν ακόμη ώριμη να απορρίψει μια συνήθεια της σκέ-ψης, που διαιωνιζόταν για 2000 χρόνια. Οι σύγχρονοι επιστημολόγοι επισημαίνουν εδώ την παρουσία ενός επιστημολογικού εμποδίου που για ένα μεγάλο διάστημα περιορίζει τη γνώση μας σ' ένα συγκεκριμένο πλαίσιο.

Οι λόγοι για τους οποίους οι μαθηματικοί ασχολήθηκαν για 20 αιώνες με το 5ο αίτημα του Ευκλείδη είναι απ' τη μια μεριά ότι η Ευ-κλείδεια Γεωμετρία ήταν σ' όλο αυτό το χρονικό διάστημα ο μοναδικός κλάδος των Μαθηματικών που είχε λογική θεμελίωση, οπότε οι μαθη-ματικοί για να είναι σίγουροι ότι στηρίζονται σε γερά θεμέλια, κα-τέφευγαν σ' αυτήν, και απ' την άλλη ότι η απόλυτη εμπιστοσύνη στην αλήθεια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είχε επεκταθεί και πέρα από τα Μαθηματικά και την έκανε υπόδειγμα θεμελίωσης για τις άλλες επι-στήμες π.χ. ο Νεύτωνας για τη θεωρία της παγκόσμιας έλξης φρόντι-σε να δώσει στο έργο του τη μορφή της κλασικής Ελληνικής Γεωμε-τρίας. Έτσι καλλιεργήθηκε η αντίληψη ότι οι αρχές της Γεωμετρίας είναι απόλυτες αλήθειες, ανεξάρτητες από οποιαδήποτε εμπειρία ή πεί-ραμα. Στα τέλη του 18ου αιώνα οι μαθηματικοί και οι άλλοι επιστή-μονες αποδέχονταν σαν ακλόνητη αλήθεια ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι η γεωμετρία του σύμπαντος και ότι τα θεωρήματά της εκφράζουν απόλυτα τις ιδιότητες του φυσικού χώρου.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 99

Η πιο ριζοσπαστική εξέλιξη, που άλλαξε τη διαλεκτική ανάπτυξη απ' τον 19ο αιώνα, ήταν οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, δηλαδή η ανα-κάλυψη ότι το μοντέλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας δεν είναι αυτό που ερμηνεύει με τον καλύτερο τρόπο τις ιδιότητες του χώρου που μας πε-ριβάλλει. Η δυνατότητα της ύπαρξης άλλων Γεωμετριών (μη Ευ-κλείδειων) που δίνουν πιο αποτελεσματικές ερμηνείες του φυσικού χώ-ρου, αποτέλεσε μια επιστημονική επανάσταση που ανέτρεψε βαθιά ριζωμένες αντιλήψεις (επιστημολογικό εμπόδιο).Η ιστορία των μη Ευ-κλείδειων Γεωμετριών έχει τις ρίζες της στον ίδιο τον Ευκλείδη με όσα είπαμε παραπάνω, όμως η αμφισβήτηση της Ευκλείδειας Γεωμε-τρίας άρχισε να εμφανίζεται στις αρχές του 19ου αιώνα με την αμφι-σβήτηση της βαθιά εδραιωμένης αντίληψης ότι οι μαθηματικές προτά-σεις εκφράζουν απόλυτες αλήθειες. Ο πρώτος που κατανόησε το γεγο-νός ότι η γεωμετρία της φύσης μπορεί να είναι διαφορετική από την Ευκλείδεια ήταν ο Gauss που έφτασε στο συμπέρασμα ότι η άρνηση του 5ου αιτήματος μπορεί να οδηγήσει σε μια λογικά συνεπή θεωρία που ονόμασε μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ο Gauss, πέρα από τα απο-σπάσματα των επιστολών του, δεν άφησε δυστυχώς κάποιο συστημα-τικό έργο πάνω στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία που είχε συλλάβει. Έ-νας λόγος γι αυτό είναι ότι δεν ήθελε ίσως να διακινδυνεύσει το μεγάλο κύρος του στην αναπόφευκτη αντιπαράθεση με την Καντιανή φιλοσο-φία (το κατεστημένο της εποχής του), που είχε βασική αρχή της την Ευκλείδεια δομή και αντίληψη του χώρου.

Έτσι, στις αρχές της δεκαετίας του 1830 δημοσιεύτηκαν σχεδόν ταυτόχρονα, αλλά ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τα δύο πρώτα ολο-κληρωμένα έργα μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Οι συγγραφείς τους, ο Ρώσος Lobatchevsky, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Καζάν, και ο Ούγγρος στρατιωτικός Bolyai, που αναγνωρίζονται γενικά σαν οι δη-μιουργοί της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ξεκίνησαν όπως και οι προ-ηγούμενοι γεωμέτρες, με σκοπό να αποδείξουν το 5ο αίτημα του Ευ-κλείδη. Αναγνωρίζοντας όμως ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει με τα υπό-λοιπα 9 αξιώματα της Γεωμετρίας, πήραν σαν υπόθεση την άρνηση του Ευκλείδειου αιτήματος και προσπάθησαν, όπως έκανε ο Saccheri

100 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

100 χρόνια πριν απ' αυτούς, να φτάσουν σε κάποια αντίφαση. Βασική ιδέα: η υιοθέτηση ενός άλλου αξιώματος παραλληλίας και η δόμηση μιας νέας γεωμετρίας, διαφορετικής από του Ευκλείδη που να περι-γράφει καλά τον χώρο.

δ1

δ2

δ3

Σχήμα 3

Οι Lobachevsky, Bolyai (και ο Gauss) θεώρησαν ότι υπάρχουν δύο

γραμμές δ1,δ2 που περνούν απ' το Ρ και δεν συναντούν την ε. Τότε κά-θε δ3 δεν συναντά την ε. Οι δ1,δ2 λέγονται παράλληλες, ενώ οι δ3 λέγο-νται μη τεμνόμενες ευθείες.

Απ' τη νέα γεωμετρία προέκυψαν πολλά νέα θεωρήματα που απο-δεικνύονταν με τις ίδιες ,όπως και στην Ευκλείδεια, μεθόδους απόδει-ξης κάνοντας χρήση νέων αξιωμάτων. Επίσης πολλά θεωρήματα της νέας και της παλιάς γεωμετρίας ήταν ίδια (ουδέτερη γεωμετρία: όσα θεωρήματα εξαρτώνται απ' τα 9 αξιώματα και μόνο)

Μερικά διαφορετικά θεωρήματα:

1. Στο διπλανό σχήμα η 1Ρ∧

ο-ξεία (μη ορθή), παρ' όλο που δ2//ε.

2. Η 1Ρ∧

εξαρτάται απ' το μήκος

d (d→0, τότε: 1Ρ 90∧= ° ).

3. Το άθροισμα των γωνιών τρι-γώνου είναι μικρότερο από 180° (το

δ2

δ1

Σχήμα 4

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 101

άθροισμα των γωνιών τριγώνου μεταβάλλεται σε σχέση με το εμβαδόν: όσο το άθροισμα πλησιάζει τις 180°, τόσο το εμβαδόν γίνεται μικρότε-ρο).

4. Τρεις γωνίες τριγώνου αντίστοιχα ίσες με τις τρεις γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Τα συμπεράσματα στα οποία οδηγήθηκαν, βρισκόταν πράγματι σε α-συμφωνία με τη διαίσθηση, αλλά ο Lobatchevsky και ο Bolyai είχαν συνειδητοποιήσει μια μεγάλη αλήθεια: αυτό που βρίσκεται σε αντίθεση με το καθιερωμένο για το χώρο δεν είναι κατ' ανάγκη λογικά αντιφατι-κό και επομένως μπορούμε να το επεξεργαστούμε θεωρητικά. Το έργο των Gauss - Lohatchevsky - Bolyai οδήγησε στα εξής συμπεράσματα:

α) Το Ευκλείδειο αίτημα είναι αδύνατο να αποδειχτεί, αφού η άρ-νηση του δεν οδηγεί σε κάποια λογική αντίφαση.

β) Με την προσθήκη της αντίθετης πρότασης στα αξιώματα της Γεωμετρίας είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια λογικά άψογη και κατα-νοητή Γεωμετρία, διαφορετική από την Ευκλείδεια.

γ) Η αλήθεια των αποτελεσμάτων μιας τέτοιας Γεωμετρίας μπορεί να διαπιστωθεί μόνο πειραματικά.

Αποτέλεσμα της εμφάνισης της νέας γεωμετρίας, ήταν η προώθηση ιδεών που οδήγησαν σε μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές δημι-ουργίες του 19ου αιώνα, τη Γεωμετρία του Riemann. Ο Γερμανός μα-θηματικός Riemann ήρθε να στηρίξει, αλλά και να επεκτείνει τις νέες ιδέες, απ' τη μια μεριά με τις μελέτες του για την Ελλειπτική Γεωμε-τρία, και απ' την άλλη με τη γενίκευση των Μη Ευκλείδειων Γεωμε-τριών (σύγχρονη θεωρία των διαφορικών πολλαπλοτήτων). Η μη Ευ-κλείδεια γεωμετρία του Riemann είναι περισσότερο μαθηματική δημι-ουργία. Το αξίωμα του Ευκλείδη μάς λέει τι πρέπει να συμβαίνει στο φυσικό χώρο πολύ μακρύτερα απ' την ανθρώπινη εμπειρία. Ο Riemann βρήκε και άλλο αξίωμα με το ίδιο πρόβλημα: Μια ευθεία γραμμή ε-κτείνεται άπειρα μακριά κατά τη διεύθυνσή της.

Αντικατάσταση: Η γραμμή δεν έχει όρια (σε σχέση με το ότι ε-κτείνεται άπειρα μακριά) και επειδή δε μας λέει η εμπειρία για την

102 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

ύπαρξη παράλληλων, πρότεινε ότι συναντιούνται όλες οι γραμμές. Μερικά διαφορετικά θεωρήματα της νέας γεωμετρίας: 1. Κάθε ευθεία έχει το ίδιο πεπερασμένο μήκος. 2. Όλες οι κάθετες προς μια γραμμή συναντώνται σ' ένα σημείο. 3. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180°

(το άθροισμα των γωνιών τριγώνου μεταβάλλεται σε σχέση με το εμ-βαδόν: όσο το άθροισμα πλησιάζει τις 180°, τόσο το εμβαδόν γίνεται μικρότερο).

4. ∆ύο όμοια τρίγωνα (κατά Ευκλείδεια) πάντα ίσα.

Ας δούμε, όμως, τώρα τη γη στο σύνολό της και όχι μια περιορισμένη έκτασή της. Αν η γη ήταν επίπεδη, όπως πιστευόταν παλιά, η γνωστή έννοια της ευθείας (Ευκλείδεια ευθεία) θα κυριαρχούσε στη Γεωμετρία της, όμως κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Ένα σχήμα που προσεγγίζει καλύτε-ρα τη πραγματική της μορφή είναι η σφαίρα. Υποθέτοντας όμως ότι η γη είναι σφαιρική, παρατηρούμε ότι η Ευκλείδεια ευθεία δε μπορεί να προσαρμοστεί στην επιφάνειά της. Υπάρχει άραγε σ' αυτή μια «γραμ-μή» που να λειτουργεί όπως η γνωστή μας ευθεία; ∆ηλαδή, υπάρχει τμήμα «γραμμής» που να ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία της και να ταυτίζεται με τον ελάχιστο δυνατό δρόμο μεταξύ αυτών;

Έστω ότι η παρακάτω σφαίρα απεικονί-ζει τη γη. Έχει κέντρο Ο και ακτίνα R. Αν Α, Β στην επιφάνεια της σφαίρας, χαράζοντας την ευκλείδεια ευθεία ΑΒ, θα τρυπήσουμε τη σφαίρα διαγράφοντας υπόγεια πορεία κάτω απ' τη σφαιρική επιφάνεια. Υπάρχουν πολλές γραμμές όμως πάνω σ' αυτή που περνούν απ' τα Α, Β. Ποια απ' αυτές είναι η σφαιρική "ευθεία"; (δηλαδή, να υπάρχει τμήμα αυτής πάνω στη σφαίρα που να ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία της και να ταυτίζεται με τον ελάχιστο δυνατό δρόμο μεταξύ αυτών). Αποδεικνύεται ότι στην επιφάνεια της

Α Β

Σχήμα 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 103

σφαίρας (Ο,R), μεταξύ των κυκλικών τόξων με άκρα Α και Β, το ελά-χιστο μήκος έχει το μικρότερο από τα δύο τόξα του μέγιστου κύκλου της σφαίρας με άκρα τα σημεία αυτά.

Μέχρι την εποχή του Gauss, οι μαθηματικοί θεωρούσαν κάθε γεω-μετρική επιφάνεια, όπως π.χ. τη σφαίρα, σαν ένα αντικείμενο του τρισ-διάστατου Ευκλείδειου χώρου και χρησιμοποιούσαν για τη μελέτη της τις βασικές αρχές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (π.χ. η συντομότερη απόσταση ανάμεσα σε 2 σημεία μιας σφαιρικής επιφάνειας είναι το ευ-θύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία αυτά και το οποίο δεν ανήκει στην επιφάνεια της σφαίρας). Ο Gauss ξεκινώντας από προβλήματα Γεωδαισίας και Χαρτογραφίας ανέπτυξε την ιδέα της εσωτερικής γε-ωμετρίας μιας επιφάνειας, όπου κάθε επιφάνεια του τρισδιάστατου χώρου αποτελεί η ίδια ένα χώρο με τη δική του γεωμετρία. Έτσι, για παράδειγμα, το ευθύγραμμο τμήμα χάνει τη θεμελιώδη ιδιότητά του να είναι η συντομότερη απόσταση ανάμεσα σε 2 σημεία της επιφάνειας (όπως συμβαίνει στο επίπεδο)· η γραμμή αυτή που έχει αυτήν την ιδιό-τητα διαφέρει τώρα από επιφάνεια σε επιφάνεια και ονομάζεται γεω-δαισιακή. Στην επιφάνεια της σφαίρας, όπως είπαμε, η συντομότερη απόσταση ανάμεσα σε δυο σημεία της είναι ένα τόξο του μέγιστου κύ-κλου που διέρχεται από τα σημεία αυτά. Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας οι "ευθείες" είναι τόξα μέγιστων κύ-κλων, τότε το Ευκλείδειο αίτημα χάνει την ισχύ του αφού 2 μέγιστοι κύκλοι τέμνονται πάντοτε και άρα δεν υπάρχουν παράλληλες.

Ακόμη, η σφαιρική επιφάνεια, θεωρού-μενη σαν ένας χώρος με τη δική του γε-ωμετρία, διαφέρει από το Ευκλείδειο ε-πίπεδο στο γεγονός ότι είναι απεριόριστη (δηλαδή μη φραγμένη) αλλά όχι άπειρη (αφού καταλαμβάνει μια πεπερασμένη έκταση).

Οι προηγούμενες ιδέες, με βάση τις οποίες ο Gauss δημιούργησε τη ∆ιαφορι-

Σχήμα 6

104 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

κή Γεωμετρία των επιφανειών του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, γενικεύτηκαν από τον Riemann, ο οποίος θεώρησε τον τρισδιάστατο χώρο σαν ειδική περίπτωση μιας γενικότερης έννοιας, της πολλα-πλότητας. Επανεξετάζοντας το πρόβλημα της δομής του χώρου στην πιο γενική του μορφή, ο Riemann έδειξε ότι για τη μελέτη του είναι απαραίτητες περισσότερες από μια γεωμετρίες, κατέρριψε οριστικά το μύθο της μοναδικότητας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και έστρεψε την προσοχή των μαθηματικών προς τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Για την κατανόηση των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών: Ας θεωρή-σουμε μια ευθεία ε και ένα σημείο Ο που δεν ανήκει σ' αυτήν. Ενώνου-με το Ο με ένα σημείο Ρ της ε και έστω ότι το Ρ κινείται κατά μήκος της ε, παίρνοντας διαδοχικά τις θέσεις Ρ΄, Ρ΄΄,... Καθώς το Ρ κινείται προς το άπειρο, η ημιευθεία ΟΡ τείνει προς μια οριακή ευθεία, την ο-ποία ονομάζουμε παράλληλη προς την ε από το σημείο Ο.

εΡ

Ρ΄΄Ρ΄

Σχήμα 7

Φυσικά δεν είναι καθόλου απαραίτητο να τείνει η ΟΡ προς την ίδια οριακή θέση καθώς το Ρ τείνει προς το άπειρο και από τις δύο κατευ-θύνσεις πάνω στην ε. ∆ηλαδή υπάρχει η θεωρητική δυνατότητα της ύπαρξης 2 διαφορετικών παράλληλων από το σημείο Ο προς την ευ-θεία ε. Αν τώρα, σύμφωνα με την κοινή αντίληψη, δεχτούμε ότι οι 2 οριακές θέσεις πρέπει να συμπίπτουν, δηλαδή ότι από το Ο υπάρχει μία μόνο παράλληλη προς την ε, τότε έχουμε την περίπτωση της Ευ-κλείδειας Γεωμετρίας. Αν όμως δεχτούμε ότι οι 2 οριακές θέσεις είναι διαφορετικές, δηλαδή ότι από το Ο υπάρχουν 2 παράλληλες προς την ε, τότε έχουμε τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία των Gauss – Bolyai – Lo-batchevsky, η οποία εξετάζει τις λογικές συνέπειες αυτής της παραδοχής.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 105

Στον απεριόριστο αλλά όχι άπειρο χώρο του Riemann, οι "ευθείες" είναι κλειστές καμπύλες (όπως οι μέγιστοι κύκλοι στην επιφάνεια της σφαίρας) και επομένως, αν ένα σημείο Ρ κινείται πάνω σε μια τέτοια ευθεία ε προς μια ορισμένη κατεύθυνση, τελικά θα επιστρέψει στην αρ-χική του θέση. Έτσι, η ημιευθεία ΟΡ δεν θα έχει κάποια οριακή θέση, δηλαδή δε θα υπάρχει καμιά παράλληλη από το Ο προς την ε. Εμφανί-ζεται λοιπόν με τον Riemann ένα δεύτερο είδος μη Ευκλείδειας Γεω-μετρίας.

Ο Klein υποδείχνει ένα τρόπο για την κατανόηση του ζητήματος σε στοιχειώδες επίπεδο, επισημαίνοντας μια αναλογία με τη θεωρία των εξισώσεων 2ου βαθμού. Όπως είναι γνωστό, μια δευτεροβάθμια εξί-σωση με πραγματικούς συντελεστές έχει ή 2 διαφορετικές πραγματι-κές ρίζες ή καμία ή μια ρίζα που θεωρείται διπλή. Αυτό αντιστοιχεί με τις 2 διαφορετικές παράλληλες του Lobatchevsky, την έλλειψη παράλ-ληλων του Riemann και τη μοναδική παράλληλη της Ευκλείδειας Γε-ωμετρίας, όπου οι 2 οριακές θέσεις συμπίπτουν.

∆ίπλα στο οικοδόμημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αρχίζει να χτί-ζεται ένα νέο οικοδόμημα, προκειμένου να στεγάσει τις νέες ιδέες. Στην προσπάθεια θεμελίωσής του ξεχωρίζει ο Γερμανός μαθηματικός Hilbert με το έργο του «Τα θεμέλια της γεωμετρίας». Παίρνοντας υ-πόψη τις μέχρι τότε έρευνες και μελέτες, θεμελιώνει αξιωματικά την Ευκλείδεια Γεωμετρία σύμφωνα με τα νέα δεδομένα και αντιλήψεις, και μάλιστα κατά δύο ουσιαστικά διάφορους τρόπους: ο πρώτος (1899) α-ντιστοιχεί στο «πνεύμα του Ευκλείδη», αλλά δεν έχει τα αξιωματικά κενά του Ευκλείδη, ενώ ο δεύτερος (1902) βασίζεται στην «άποψη του Klein», δηλαδή διατυπώνεται μέσω «ομάδων μετασχηματισμών».

Ο Hilbert, λοιπόν, ακολουθώντας τα βήματα του Ευκλείδη και γεμί-ζοντας τα κενά της θεωρίας του τελευταίου, τα οποία συνειδητοποιήθη-καν κατά την πορεία των 20 αιώνων που μεσολάβησαν, θεμελιώνει τη Γεωμετρία σε 5 ομάδες αξιωμάτων, που αναφέρονται σε έννοιες οριζό-μενες ή μη οριζόμενες, οι περισσότερες οικείες από την Ευκλείδεια Γεω-μετρία. Στον Hilbert όλες οι έννοιες αυτές έχουν «μη οντολογικό» χαρα-κτήρα, ακριβώς για να μην αποκλείσουν αναίτια δυνατές περιπτώσεις.

106 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Μη οριζόμενες έννοιες:

Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο.

Μη οριζόμενες σχέσεις:

Κείται, Μεταξύ, Συμφωνία.

Οριζόμενες έννοιες:

Ευθύγραμμο τμήμα, Κύκλος, Ημιευθεία, Γωνία, Ημιεπίπεδο, Τρίγωνο κ.λπ.

Ομάδες αξιωμάτων:

Αξιώματα Σύμπτωσης, Αξιώματα ∆ιάταξης, Αξιώματα Συμφωνίας, Αξιώματα Συνέχειας

I. Αξιώματα Σύμπτωσης. (Υποθέτουμε την ύπαρξη μιας σχέσης

ανάμεσα σ' ένα σημείο και μια ευθεία, που δεν την ορίζουμε και την καλούμε «σύμπτωση». Αν Α είναι σημείο και x ευθεία που πληρούν μια τέτοια σχέση, λέμε ότι «Α κείται στη x» ή «x διέρχεται από το Α» κ.λ.π.).

II. Αξιώματα ∆ιάταξης. (Υποθέτουμε την ύπαρξη μιας σχέσης για κάποιες τριάδες σημείων, που την καλούμε «διάταξη». Συμβολίζουμε Α–Β–Γ, εννοώντας ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά, συνευθει-ακά και τέτοια, ώστε το Β να βρίσκεται «μεταξύ» των Α και Γ).

III. Αξιώματα Συμφωνίας. (Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια σχέση «συμφωνίας» (ισότητας) μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων και μια σχέ-ση «συμφωνίας» μεταξύ γωνιών. Και στις δύο περιπτώσεις χρησιμο-ποιούμε το σύμβολο «=»).

IV. Αξιώματα Συνέχειας. (Ο Ευκλείδης θεώρησε, σιωπηλά, προ-φανείς κάποιες αρχές όπως αυτές γίνονταν αποδεκτές εποπτικά από τα σχήματα. Η σχετική ατέλεια συνειδητοποιήθηκε στην πορεία του χρό-νου και έτσι διατυπώθηκαν αξιώματα, προκειμένου να γεμίσουν τα α-ντίστοιχα κενά της θεωρίας των «Στοιχείων»). Π.χ. η εσωτερική διχο-τόμος γωνίας τριγώνου τέμνει την απέναντι πλευρά.

Αν σταματούσε εδώ η διατύπωση των αξιωμάτων, θα μιλούσαμε για τη Γεωμετρία που ονομάστηκε «Απόλυτη» ή «Ουδέτερη», επειδή στα πλαίσια αυτής της Γεωμετρίας παραμένουμε ουδέτεροι ως προς το αξίωμα παραλληλίας (5° αίτημα) του Ευκλείδη. ∆ηλαδή στην τομή της Ευκλείδειας και της Υπερβολικής Γεωμετρίας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 107

Βασικές προτάσεις της Ουδέτερης Γεωμετρίας

Πρόταση: Αν δύο ευθείες τέμνονται από μια τρίτη ευθεία, έτσι ώστε δύο εντός εναλλάξ γωνίες να είναι ίσες, τότε οι αρχικές ευθείες είναι παράλληλες. Βήματα απόδειξης:

Έστω ότι x και x΄ τέμνονται στο ∆ και A΄B΄B B΄B∆∧ ∧

= Υπάρχει σημείο Ε στην ημιευθεία Β΄A΄ ώστε Β΄E= Β∆.

Επειδή B΄Β∆ Β΄ΒΕ= , ισχύει ΒΒ΄∆ Β΄ΒΕ∧ ∧

= .

Αλλά ΒΒ΄∆ Β΄ΒA∧ ∧

= (υποτίθεται ότι έχει αποδειχθεί η ισότητα των παραπληρωμάτων ίσων

γωνιών). Άρα Β΄ΒE Β΄ΒA∧ ∧

= Επομένως, το Ε είναι σημείο της x (Αξίωμα). Οπότε οι ευθείες x, x΄ έχουν 2 διαφορετικά κοινά σημεία (άτο-πο). Άρα x//x΄.

Πρόταση: ∆ύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες. Επομένως, από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετη ως

προς την ευθεία. Πρόταση: Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται τουλάχιστο μια πα-

ράλληλη ως προς την αρχική.

Αξίωμα παραλληλίας και 5° αίτημα του Ευκλείδη

Το 5° αίτημα του Ευκλείδη είναι η πρόταση: Αν δύο ευθείες που

τέμνονται από μια άλλη σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, έτσι ώστε το άθροισμα των μέτρων τους να είναι μικρότερο από

A΄

A x

x΄

B΄

Β ∆

Σχήμα 8

108 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

180°, τότε οι δύο ευθείες τέμνονται στο μέρος του επιπέδου που σχη-ματίζονται οι γωνίες αυτές.

Το αξίωμα παραλληλίας του Playfair, που προτίμησε ο Hilbert. διατυπώνεται ως εξής: Από σημείο εκτός ευ-θείας διέρχεται το πολύ μία παράλληλη ως προς αυτή. Όμως από σημείο εκτός ευ-θείας, διέρχεται τουλάχιστο μια παράλληλη ως προς αυτή. Άρα τελικά, προκύπτει η πρόταση: Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική παράλληλη ως προς αυτή. Στα παλιά σχολικά βιβλία, η πρόταση αυτή αναφέρεται όχι σαν αξίω-μα παραλληλίας, αλλά σαν Ευκλείδειο αίτημα. Αυτό δικαιολογείται από την παρακάτω πρόταση:

To 5° αίτημα του Ευκλείδη είναι ισοδύναμο με το αξίωμα παραλληλί-ας.

Έστω ότι ισχύει το αξίωμα παραλληλίας και 1 1A B 180∧ ∧+ < ° .

∆ Γ

Σχήμα 10

Επειδή 1 2A A 180∧ ∧+ = ° θα έχουμε 1 2B A

∧ ∧< , οπότε υπάρχει μονα-

δική ημιευθεία ΒΓ , ώστε 2ABΓ A∧ ∧

= , άρα 2BΓ//x . Από το αξίωμα παραλληλίας η x1 τέμνει τη x2 και έστω ∆ το ση-

Σχήμα 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 109

μείο τομής, τότε 1 2B A∧ ∧> , άτοπο, άρα ισχύει το 5ο αίτημα του Ευκλείδη

Υποθέτουμε τώρα, ότι ισχύει το 5° αίτημα του Ευκλείδη.

Αν το σημείο Α βρίσκεται εκτός της ευθείας x, θεωρούμε την κάθε-τη z από το Α προς τη x και την y κάθετη προς τη z στο Α, οπότε y//χ.

y΄

BΓ

Σχήμα 11

Έστω y΄ οποιαδήποτε άλλη ευθεία από το Α, τότε μπορούμε να υ-

ποθέσουμε 1 1A B 180∧ ∧+ < ° , όπως στο σχήμα, οπότε από την υπόθεση

οι ευθείες x, y΄ τέμνονται. Άρα, το αξίωμα παραλληλίας έχει αποδειχθεί.

Συνοψίζοντας:

α) Οι προτάσεις της απόλυτης Γεωμετρίας, μαζί με το αξίωμα των παράλληλων αποτελούν την Ευκλείδεια Γεωμετρία.

β) Οι προτάσεις της απόλυτης Γεωμετρίας, μαζί με το αξίωμα: Από σημείο εκτός ευθείας δεν υπάρχει παράλληλη σ' αυτήν, αποτελούν την ελλειπτική Γεωμετρία που η θεμελίωση της έγινε από τον Rieman.

γ) Οι προτάσεις της απόλυτης Γεωμετρίας, μαζί με το αξίωμα: Από σημείο εκτός ευθείας υπάρχουν τουλάχιστο δύο παράλληλες σ' αυτήν, αποτελούν την υπερβολική Γεωμετρία ή γεωμετρία του Λο-μπατσέφσκι. Τις γεωμετρίες β), γ) τις λέμε μη Ευκλείδειες.

Η απάντηση στο ερώτημα "ποια γεωμετρία ταιριάζει καλύτερα στο

110 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

χώρο του σύμπαντος;" δόθηκε από τη γενική θεωρία της σχετικότητας του Α. Αϊνστάιν στις αρχές του 20ου αιώνα.

Όπως είναι γνωστό, η γενική θεωρία της σχετικότητας ερμηνεύει την παγκόσμια έλξη όχι σαν ιδιότητα φυσική (όπως τη θεωρούσε ο Νεύτωνας, δηλαδή σαν μια ιδιότητα των σωμάτων που έλκονται ή α-πωθούνται αμοιβαία), αλλά σαν μια ιδιότητα γεωμετρική, που ανήκει στο χώρο. Σύμφωνα με τον Αϊνστάιν, ο χώρος κοντά σε πολύ μεγάλες μάζες, όπως π.χ. η μάζα του Ήλιου, καμπυλώνεται και η καμπύλωση αυτή (παρά η αμοιβαία έλξη των σωμάτων) προκαλεί τα αποτελέσμα-τα της βαρύτητας. Φανταστείτε μια μπίλια του μπιλιάρδου πάνω σ' ένα τεντωμένο λαστιχένιο φύλλο. Η μπίλια αντιπροσωπεύει την ύλη και το λαστιχένιο φύλλο το χώρο. Με βάση τη γενική θεωρία της σχε-τικότητας η ύλη παραμορφώνει το χώρο ακριβώς όπως η μπίλια κάνει το κοίλωμα στο λαστιχένιο φύλλο. Το αποτέλεσμα είναι ότι η κοντινό-τερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι συχνά μια καμπύλη γραμμή και όχι μια ευθεία γραμμή.

Μία άμεση συνέπεια της μορφής αυτής του χώρου γύρω από τον Ήλιο είναι οι καμπύλες τροχιές των πλα-νητών.

Η πειραματική επαλήθευση προβλέψεων της θεωρίας της σχετικό-τητας (όπως η καμπύλωση των φωτεινών ακτίνων στο διάστημα), που δεν μπορούσε να εξηγήσει η κλασική Ευκλείδεια Φυσική, αποτέλεσε τη μεγάλη δικαίωση της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Βιβλιογραφία

1. Kline Morris, Mathematics: A Cultural Approach. 2. Θωμαΐδης Γιάννης, Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, Ε.Μ.Ε. Ευκλείδης Γ΄, τ. 32. 3. Λαϊνά, Σαραντούλα, Μη Ευκλείδειες γεωμετρίες στο Λύκειο, διπλ. εργ.

Μάρτης 1998.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΤΟΥ N. LOBACHEVSKY

∆ημήτρης Ντρίζος

Ιστορικό Σημείωμα Η θεωρία περί των παραλλήλων ευθειών, που μελετάμε, αρχίζει ιστο-ρικά με τον Ευκλείδη (~325 π.Χ) – με τη διατύπωση του 5ου αιτήμα-τος των Στοιχείων του. Το γεγονός ότι ο ίδιος ο Ευκλείδης χρησιμο-ποιεί το 5ο αίτημα για να αποδείξει την πρόταση Ι.29 των Στοιχείων του, ενώ δεν το χρησιμοποιεί σε καμιά άλλη προηγούμενη πρότασή του, μας βεβαιώνει κατά κάποιο τρόπο ότι το αξίωμα αυτό μάλλον δεν τέθηκε με σκοπό να καθορίσει το νόημα ή να βεβαιώσει την ύπαρξη κάποιων γεωμετρικών εννοιών. Η ιδιαιτερότητα του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη απασχόλησε τους ερευνητές για περισσότερο από δύο χιλιετίες, και είναι ακριβώς το αίτημα εκείνο που έδωσε το έναυσμα για τη δόμηση «Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών». Η κύρια προσπάθεια των ερευνών εστιάζεται στην αμφισβήτηση του 5ου αιτήματος: δηλαδή στο αν αυτό, ή η άρνησή του, μπορούν να προκύψουν από τα υπόλοιπα αιτήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ο κατάλογος των ερευνητών με αυτόν τον προβληματισμό είναι μακρύς. Μια εντελώς ενδεικτική αναφορά μέχρι τους πρώτους, που τόλμησαν να θεωρήσουν ανοιχτό το

112 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

5ο αίτημα ως ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας: Πρόκλος (5ος αιώνας μ.Χ), G. Saccheri (1667-1733), J.H. Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1823), Gauss (1777-1855), N. Lobachevsky (1793-1856), J. Bolyai (1802-1860).

Ανάμεσα στον κατάλογο των σχετικών ερευνών είναι απαραίτητο να επισημάνουμε μια ποιοτική διαφορά: Ορισμένοι ερευνητές στην προ-σπάθειά τους να αποδείξουν το 5ο αίτημα του Ευκλείδη, στηρίχτηκαν άμεσα ή έμμεσα σε άλλες ισοδύναμες προτάσεις του, και γι’ αυτό πα-ρασύρθηκαν να πιστέψουν ότι πέτυχαν λύση του προβλήματος. Μετά από αυτούς ακολουθούν οι ερευνητές στους οποίους αρχίζει να διαφαί-νεται, πέραν της κριτικής τους στο 5ο αίτημα, η σύλληψη και διαμόρ-φωση μιας άλλης ιδέας που θα μπορούσε να βγάλει την έρευνα από το αδιέξοδο.

Η λύση στο κύριο πρόβλημα, όπως αυτό καταρχήν τέθηκε, φαίνε-ται να μην υπάρχει. Ήδη όμως οι έρευνες οδήγησαν σε μια σειρά με-στών συμπερασμάτων και «υποθέσεων» πέρα από τους περιορισμούς που έθετε το 5ο αίτημα. Οι έρευνες του Saccheri, για παράδειγμα, θα μπορούσαν να είχαν οδηγήσει στην ανακάλυψη της λεγόμενης σήμερα Υπερβολικής Γεωμετρίας, αν η προσκόλλησή του στην ισχύ του 5ου αιτήματος δεν ήταν τόσο έμμονη.

Στη συνέχεια ο Lambert εμπλουτίζει ουσιαστικά τα συμπεράσματα του Saccheri, ενώ ο Gauss αποδέχεται – στην αρχή με αμφιβολίες και ταλαντεύσεις – πριν το τέλος του 18ου αιώνα, την ύπαρξη μη Ευκλεί-δειων Γεωμετριών. ∆εν προβαίνει όμως σε καμία δημοσίευση των συ-μπερασμάτων του, φοβούμενος τις αντιδράσεις που θα προκαλούσε το πνεύμα της εποχής. Τελικά η «λύση» έρχεται από τους N. Lo-bachevsky και J. Bolyai, οι οποίοι θεώρησαν ανοιχτό το 5ο αίτημα και εργαζόμενοι ανεξάρτητα, διακηρύσσουν ότι η Υπερβολική Γεωμετρία υπάρχει και είναι το ίδιο «σύννομη» στα πλαίσια των μαθηματικών, με την Ευκλείδεια. Πρώτος, το 1829 ο N. Lobachevsky καθηγητής ήδη στο πανεπιστήμιο του Καζάν, δημοσιεύει αποτελέσματα των ερευνών του στο περιοδικό του πανεπιστημίου του.

Ο Ν. Lobachevsky από το 1826 συμπεριέλαβε στα μαθήματά του

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 113

στοιχεία της Υπερβολικής Γεωμετρίας. Ακολουθεί, το 1832, η δημο-σίευση ερευνών του J. Bolyai (Ούγγρος, αξιωματικός του Αυστριακού στρατού, γιος του μαθηματικού F. Bolyai). Λόγω της μικρής διαφοράς στο χρόνο δημοσίευσης των εργασιών τους, τη δόξα της ανακάλυψης καρπούται ο Ν. Lobachevsky. Τη νέα γεωμετρική επιστήμη ο Ν. Lo-bachevsky στα κείμενά του την ονομάζει, με προσοχή, Φανταστική. Πρόκειται γι’ αυτήν που σήμερα ονομάζουμε Υπερβολική Γεωμετρία. Σ’ αυτήν, στη θέση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη, έχει τοποθετηθεί το Αξίωμα: Από σημείο εκτός ευθείας περνούν δύο τουλάχιστον ευθείες που δεν την τέμνουν.

Η εργασία του Ν. Lobachevsky «Γεωμετρική έρευνα πάνω στη Θεωρία των Παραλλήλων» αποτελείται από 37 παραγράφους. Οι πα-ράγραφοι 1-15 περιέχουν προτάσεις που είναι υποβοηθητικές για όσα αναλύονται διεξοδικά στις επόμενες παραγράφους. Τα όσα αναφέρονται σ’ αυτές τις πρώτες παραγράφους βασίζονται στα αξιώματα της Ευκλεί-δειας Γεωμετρίας εκτός του 5ου αιτήματος ή κάποιας άρνησής του.

Είναι αξιοσημείωτο ότι στη Γεωμετρία του Ν. Lobachevsky τα διάφορα μεγέθη, όπως για παράδειγμα οι γωνίες, δημιουργούνται μέ-σω της συνεχούς κίνησης και των επαναληπτικών διαδικασιών. Όσον αφορά δε τα διάφορα σχήματα που θα χρησιμοποιήσουμε, οφείλουμε να διευκρινίσουμε ότι μικρή σχέση έχουν με την πραγματικότητα στην οποία αναφέρεται η Γεωμετρία του Ν. Lobachevsky. Απλά τα χρησι-μοποιούμε για να υποβοηθήσουμε τη φαντασία μας, αν και κάποιες φορές η χρήση των σχημάτων στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, μπορεί να κατευθύνει τη σκέψη μας και σε λανθασμένες εκτιμήσεις.

Στη συνέχεια της εργασίας μας θα ασχοληθούμε ενδεικτικά με τη διαπραγμάτευση κάποιων χαρακτηριστικών θεωρημάτων από την ερ-γασία του Ν. Lobachevsky: «Γεωμετρική έρευνα πάνω στη Θεωρία των Παραλλήλων».

Ως βασική πηγή χρησιμοποιήσαμε το έργο του R. Bonola: Non – Euclidean Geometry – A Critical and Historical study of its Develo-ment – Dover.

114 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Μέρος 1ο

Θεώρημα 161

Η «εισαγωγή» του Υπερβολικού Αξιώματος στη θεωρία των παραλλήλων. Η έννοια της παραλληλίας και η γωνία παραλληλίας κατά τον Ν. Lobachev-sky.

D F CB

E΄

Η΄ D΄ Κ΄

pΚΠ(p)

Έστω σημείο Α εκτός ευθείας BC. Φέρνουμε το τμήμα ΑD κάθετο στην ΒC και την ημιευθεία ΑΕ κάθετη στο ΑD στο σημείο Α. Στην ορθή γωνία EAD , όλες οι ημιευθείες που διέρχονται από το Α, είτε τέμνουν την DC, όπως για παράδειγμα η AF, είτε μερικές από αυτές όπως η ΑΕ, δεν τέμνουν την DC. Στην αβεβαιότητα αν η ημιευθεία ΑΕ είναι μοναδική που δεν τέμνει την DC, υποθέτουμε ότι υπάρχουν και άλλες, όπως για παράδειγμα η ΑG, η οποία δεν τέμνει την DC, όσο και αν προεκταθεί. Στο σημείο τούτο εισάγεται η έννοια του Υπερβολικού Αξιώματος. 1 ∆ιατηρήσαμε την αρίθμηση των θεωρημάτων, όπως σημειώνονται στο έργο του R. Bonola, ώστε κατά τη διαδικασία των αποδείξεων οι παραπομπές στα διάφορα Θε-ωρήματα να δηλώνονται με την αντίστοιχη αρίθμησή τους, χωρίς να απαιτείται κά-θε φορά η πλήρης λεκτική διατύπωσή τους.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 115

Οριοθέτηση της ΑH: Θεωρoύμε την ημιευθεία AF να στρέφεται περί το Α κινούμενη προς την ημιευθεία AΕ. Κατά την συνεχή αυτή κίνηση θα υπάρξει μια πρώτη θέση της, έστω η ημιευθεία ΑΗ, τέτοια ώστε: Όλες οι ημιευθείες με αρχή το Α μέσα στη γωνία DAH τέμνουν την DC ενώ όλες οι ημιευθείες μέσα στην HAE δεν τέμνουν την DC. Η ημιευθεία ΑΗ είναι μια οριακή και συγχρόνως μοναδική μέσα στην ορθή γωνία EAD , με την ιδιότητα που περιγράψαμε. Αυτήν την ημι-ευθεία την ονομάζουμε παράλληλη προς την ευθεία BC κατά την διεύ-θυνση της ημιευθείας DC.

Η γωνία HAD λέγεται γωνία παραλληλίας της ημιευθείας ΑΗ προς την δοθείσα ημιευθεία DC και θα συμβολίζεται με Π(p), όπου p = AD.

Σε κάθε περίπτωση είναι Π(p) ≤ 12

• Αν Π(p) < 12

π, τότε η συμμετρία ως προς άξονα την ΑD επιβάλει την

ύπαρξη της ημιευθείας ΑΚ, όπως στο σχήμα ώστε γωνία DAK =

Π(p). Οδηγούμαστε έτσι ευθέως στην οριοθέτηση της έννοιας «παραλληλία ημιευθειών»: Από το Α διέρχονται οι οριακά παράλληλες ημιευθείες ΑΗ και ΑΚ προς την ευθεία ΒC, η πρώτη κατά τη διεύθυνση της ημι-ευθείας DC και η δεύτερη κατά τη διεύθυνση της ημιευθείας DB.

Χαρακτηρισμός όλων των ημιευθειών που διέρχονται από το δοθέν ση-μείο Α σε τέμνουσες και μη τέμνουσες την BC: • Οι ΑΗ, ΑΚ και οι προεκτάσεις τους ΑH΄ και ΑΚ΄ δεν τέμνουν την

BC. • Οι ημιευθείες που βρίσκονται μέσα στη γωνία HAK = 2Π(p), που

βλέπει την BC, καθώς και οι ημιευθείες που βρίσκονται μέσα στη γωνία K΄ΑH΄ , που δεν βλέπει την BC, τέμνουν την BC.

• Οι ημιευθείες που βρίσκονται μέσα στις γωνίες ΗΑΚ΄ και KΑH΄ δεν τέμνουν την BC.

116 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Τονίζουμε εδώ με ιδιαίτερο τρόπο ότι η παραμικρή παρέκκλιση της ΑΗ προς το μέρος της AF, μας οδηγεί σε μια νέα θέση της ΑΗ η ο-ποία θα τέμνει πλέον την ημιευθεία DC

Επισημαίνουμε επίσης την αντίληψη του Ν. Lobachevsky περί της γω-νίας ως ενός συνεχώς μεταβαλλομένου μεγέθους.

• Αν Π(p) = 12

π, τότε οδηγούμαστε στην Ευκλείδεια άποψη περί

μοναδικής παράλληλης από το Α προς την BC.

Θεώρημα 19 Σε ένα ευθύγραμμο τρίγωνο, το άθροισμα των τριών γωνιών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές γωνίες.

Α C

Υποθέτουμε ότι στο τρίγωνο ΑBC το άθροισμα των τριών γωνιών είναι π + α και ότι η BC είναι η μικρότερη πλευρά του. Προεκτείνουμε την AD (D: το μέσο της BC) κατά τμήμα DE = AD, όπως στο σχήμα.

Στα «σύμφωνα» τρίγωνα ADB και CDE είναι: ΑBD DCE και BAD DEC= = .

Λόγω αυτών των ισοτήτων προκύπτει ότι:

1. το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ACE θα είναι π + α, όπως στο τρίγωνο ABC. Και αυτό γιατί, για τις γωνίες του τριγώνου ACE είναι:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 117

( )EAC ACE ΑEC EAC ACB BCE BAE

EAC BAE ΑCB ΑBC

+ + = + + + =

= + + + =

= π + α (π + α: άθροισμα γωνιών στο τρίγωνο ABC). 2. η μικρότερη γωνία BAC του τριγώνου ABC έχει χωριστεί από την

ΑΕ σε δυο γωνίες, όπως στο σχήμα, τις: ( )EAC και AEC, ΑEC BAD= , (αναφερόμαστε στα μέτρα των γωνιών).

Η προηγούμενη διαδικασία μας οδήγησε στο τρίγωνο ACE, χωρίζο-ντας τη μικρότερη γωνία του τριγώνου ABC, με τον τρόπο που περι-γράψαμε. Αν συνεχίσουμε τη διαδικασία αυτή φτάνουμε σε ένα τρίγωνο, που θα έχει πάλι άθροισμα των τριών γωνιών του ίσο με π + α και δυο γωνίες

κάθε μια από τις οποίες θα έχει (απόλυτο) μέτρο μικρότερο από 12

α.

Επειδή όμως η τρίτη γωνία δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από π, θα πρέπει το α να είναι είτε ίσο με το μηδέν είτε αρνητικό. Επομένως σε ένα ευθύγραμμο τρίγωνο το άθροισμα των τριών γωνιών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές γωνίες.

Θεώρημα 22

Αν δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία γραμμή είναι παράλληλες μεταξύ τους τότε το άθροισμα των τριών γωνιών σε ένα ευθύγραμμο τρίγωνο ισούται με δυο ορθές γωνίες.

Α B

π–α

π–β

F→+∞

118 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Θεωρούμε τα σημεία Ε, F της CD με CF > CE και τις ευθείες ΑB, CD παράλληλες μεταξύ τους και κάθετες στην AC. Επίσης τις γωνίες a και b, όπως στο σχήμα. Υποθέτουμε τώρα ότι το άθροισμα των τριών γωνιών των ορθογωνίων τριγώνων ACE και AEF είναι π – α και π – β αντίστοιχα, όπου α και β μη αρνητικοί. Τότε το άθροισμα των τριών γωνιών του ορθογω-νίου τριγώνου ACF θα είναι π – α – β.

Στο τρίγωνο ACF είναι: π – α – β = CAF ACF AFC+ + π ππ α β a b2 2

α β a b

⎛ ⎞⇒ − − = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ + = −

Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε το σημείο F οσοδήποτε μακριά από το C, έτσι ώστε το μήκος CF να τείνει στο +∞. Υπό την έννοια αυτή το μέτρο της b τείνει στο 0. Το ίδιο θα ισχύει στην περίπτωση αυτή και για το μέτρο της a. Σημειώνουμε ότι η παραπάνω θεώρηση του F δίνει κάθε φορά το μή-κος του CF μέσα από μια διαδικασία ορίου. Αν πάρουμε υπόψη τη σχέση α + β = a – b, που αποδείξαμε παραπά-νω, τότε για τις α και β δεν μπορούμε να έχουμε άλλα μέτρα παρά α = 0 και β = 0 και έτσι οδηγούμαστε τελικά στην απόδειξη του θεωρήματος 22.

Οριοθέτηση της Ευκλείδειας και της Υπερβολικής Γεωμετρίας, στη βάση του αθροίσματος των γωνιών τριγώνου.

Σε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τρίγωνο προκύπτει ότι το άθροισμα των

τριών γωνιών θα είναι είτε π και ταυτόχρονα Π(p) = 12

π για κάθε p,

είτε μικρότερο του π και ταυτόχρονα Π(p) < 12

π. (Τα Π(p) και p όπως

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 119

ορίστηκαν στο θεώρημα 16).

Η πρώτη από τις δυο «υποθέσεις» αποτελεί τη βάση από την οποία απορρέει η συνήθης (Ευκλείδεια) Γεωμετρία και Τριγωνομετρία, η δε δεύτερη μπορεί να γίνει εξίσου αποδεκτή χωρίς να δημιουργεί αντιφά-σεις ως προς τα αποτελέσματά της. Αυτή, η δεύτερη, οδηγεί στη δημι-ουργία μιας νέας Γεωμετρικής επιστήμης που ο N. Lobachevsky ονομά-ζει Φανταστική Γεωμετρία, (πρόκειται για την ονομαζόμενη σήμερα Υπερβολική Γεωμετρία).

Θεώρημα 23

Για κάθε δεδομένη οξεία γωνία B AC = α, υπάρχει ένα σημείο F στην πλευρά AC ώστε η γωνία παραλληλίας Π(p) στο Α ως προς την ημιευθεία FG, την κάθετη προς την AC στο F, γίνεται ίση με την α.

Αα

Α΄ Α΄΄

Β΄

Β΄΄

Κ C

MB G D

Fρ

Σχήμα 1

Έστω τυχόν σημείο Β΄ της ημιευθείας ΑΒ, σχήμα 1. Φέρνουμε την Β΄Α΄ κάθετη στην AC και παίρνουμε στην AC το Α΄Α΄΄ = ΑΑ΄ Ακολούθως φέρνουμε την Α΄΄Β΄΄ κάθετη προς την AC στο Α΄΄ και συ-νεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο ώσπου να πάρουμε την CD, όπως στο σχήμα 1, που δεν τέμνει την ΑΒ.

120 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Η ύπαρξη της CD με την ιδιότητά της να μην τέμνει την ΑΒ αιτιολο-γείται ως εξής: έστω ότι το άθροισμα των τριών γωνιών στο ΑΑ΄Β΄ είναι π – a, τότε στο τρίγωνο ΑΒ΄Α΄΄ είναι π – 2a και στο ΑΑ΄΄Β΄΄ είναι λιγότερο από π – 2a. Συνεχίζοντας τη διαδικασία αυτή, κάποια στιγμή το άθροισμα περνά, για πρώτη φορά, από το 0 σε αρνητικό μέ-τρο. Από το σημείο αυτό και μετά δεν μπορούμε πλέον να σχηματί-σουμε τρίγωνο. Σύμφωνα με το θεώρημα 16, η προηγούμενη διαδικασία θα μας οδη-γήσει στην FG, καθώς για πρώτη φορά θα περνάμε από τις κάθετες προς την AC που τέμνουν την ΑΒ, σε αυτές που δεν τέμνουν την ΑΒ.

Αποδεικνύουμε ακολούθως ότι η ημιευθεία FG είναι πράγματι πα-ράλληλη προς την AB κατά την έννοια του N. Lobachevsky οπότε AF = p. Η κατ’ ελάχιστον παρέκκλιση της ημιευθείας FG περί το F προς το μέρος του Α, μας οδηγεί στη νέα της θέση FH. Φέρνουμε την ΗΚ κά-θετη στην AC. Σύμφωνα με το θεώρημα του Pasch αφού η FH τέμνει την πλευρά ΚΒ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΚ στο εσωτερικό της σημείο Η, θα τέ-μνει και την υποτείνουσα ΑΒ. Συνεπώς η FG είναι, σύμφωνα με το θεώρημα 16, παράλληλη στην ΑΒ, οπότε AF = p. Ερχόμαστε τώρα στο επίκεντρο του θεωρήματος 23 ∆εδομένης της γωνίας BAC = α θα αποδείξουμε ότι υπάρχει πάνω στην AC θέση του σημείου F (F: όπως ορίστηκε παραπάνω), ώστε για τη γωνία παραλληλίας Π(p) στο Α, προς την ημιευθεία FG, ισχύει Π(p)=α.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 121

Εύκολα βλέπει κανείς ότι όταν το F κινείται απο-μακρυνόμενο διαρκώς από το Ο επί της AC, τότε το μήκος AF = p μπορεί να γίνει οσοδήπο-τε μεγάλο θέλουμε. Στην περίπτωση αυτή περνάμε σε θέσεις του F για τις οποίες είναι Π(p)< α, σχήμα 2.

( →∞)pα

Π(p)

Σχήμα 2

Αντίστοιχα όταν το F κινείται επί της AC πλη-σιάζοντας το Ο, τότε το μήκος AF = p, μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρό θέλουμε. Στην περίπτω-ση αυτή περνάμε σε θέ-σεις του F για τις οποίες είναι Π(p) > α, σχήμα 3.

( →0)pα

Π(p)

Σχήμα 3 Λόγω τώρα της συνέχειας στη μεταβολή των γωνιών, θα υπάρχει μια θέση του σημείου F για την οποία θα είναι Π(p) = α.

Βιβλιογραφία

[1] R. Bonola, Non–Euclidean Geometry – A Critical and Historical stud y of its Develoment, Dover.

[2] Π. Στράντζαλος, Στοιχεία από τη νεότερη Ιστορία των Μαθηματι-κών: Η εξέλιξη της Θεωρίας των Ευκλείδιων και των μη Ευκλεί-διων Γεωμετριών μετά το 1750.

[3] Περιοδικό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ, τεύχος 3, 1976.

ΤΡΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γιώργος Ρίζος

1. ΑΚΡΙΒΗΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΜΕΣΟΥ

ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Στο βιβλίο του ΟΕ∆Β Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Ενιαί-ου Λυκείου, εκδ. 2001, στο κεφάλαιο της Στατιστικής, όλα σχεδόν τα μέτρα θέσης κατανομής υπολογίζονται με ακρίβεια, με τη βοήθεια τύ-πων, εκτός από την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο ομαδοποιημένης κατανομής, των οποίων οι τιμές υπολογίζονται προσεγγιστικά με τη βοήθεια των ιστογραμμάτων των κατανομών, με αποτέλεσμα η ακρί-βεια του υπολογισμού να εξαρτάται από την λεπτομέρεια και ορθότητα της γραφικής παράστασης.

Αυτό είναι, νομίζω, συνηθισμένο στα εκπαιδευτικά προγράμματα χωρών της ∆υτικής Ευρώπης, όπου πολλοί υπολογισμοί γίνονται προ-σεγγιστικά ή με τη βοήθεια τετραγωνισμένου χαρτιού και σχημάτων. Είναι όμως πολύ απλός (και εύκολα κατανοητός από τους μαθητές) ο ακριβής υπολογισμός των τιμών αυτών, με τη βοήθεια της Ευκλείδιας Γεωμετρίας και νομίζω αξίζει τον κόπο να παρουσιαστεί στην τάξη, αν και η ένταξή του στο βιβλίο, θα παρέκλινε από τους στόχους του. Πι-στεύω όμως, ότι η πλειοψηφία των διδασκόντων παρουσιάζει τη μέθο-δο αυτή ή κάποια αντίστοιχη στις τάξεις.

Παρουσιάζουμε τον υπολογισμό με τη βοήθεια ενός αριθμητικού πα-ραδείγματος στα ιστογράμματα των σχημάτων 1 και 2.

Η επικρατούσα τιμή προσδιορίζε-ται στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 91

1012

5 10 15 20 25 30 35

B Γ

ΔΗΕ

Μ0

Σχήμα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 123

(κατά προσέγγιση) ως τετμημένη του σημείου τομής Ζ των ΑΓ και Β∆. Για τον υπολογισμό της με ακρίβεια, μπορούμε να χρησιμοποιή-

σουμε τις αναλογίες που προκύπτουν από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων ΑΖΒ και ΓΖ∆. Το μήκος ΑΒ είναι η διαφορά της συχνότη-τας της μεγαλύτερης κλάσης μείον τη συχνότητα της προηγούμενής της (στο παράδειγμα το ΑΒ είναι ίσο με 18 – 10 = 8) και το Γ∆ είναι η διαφορά της συχνότητας της μεγαλύτερης κλάσης μείον τη συχνότη-τα της επόμενής της (είναι Γ∆ = 18 – 12 = 6). Ονομάζουμε x το ΕΖ, οπότε το ΖΗ είναι ίσο με το εύρος της κλάσης μείον το x (εδώ είναι Γ∆ = 5 – x).

Ο λόγος των υψών (είναι γνωστό ότι) είναι ίσος με το λόγο των βάσε-

ων, οπότε ισχύει: EZ ΖH x 5 xήΑΒ Γ∆ 8 6

−= = ή 6x = 40 – 8x άρα x = 20

Οπότε Μ0 = 15 + x = 20 125157 7

+ = . Λέμε επίσης ότι Μ0 ≅ 17,857,

(προσεγγιστική τιμή μεν, αλλά ακριβέστερη από την γραφική παράσταση).

Η διάμεσος προσδιορίζεται στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 88 ως τετμημένη του σημείου Β, στο ο-ποίο τέμνει το πολύγωνο αθροιστι-κών συχνοτήτων η οριζόντια ευθεία που άγεται από το σημείο Α του άξονα y΄y, το οποίο αντιστοιχεί στο 50% των παρατηρήσεων (στην πε-ρίπτωσή μας 30).

Και πάλι εδώ το μήκος ∆Γ είναι η συχνότητα της κλάσης εντός της οποίας είναι το Β (εδώ της κλάσης [15, 20) και είναι ∆Γ = 18). Το ∆Ε είναι το εύρος της κλάσης (∆Ε = 5). Το ΓΖ είναι η διαφορά του μισού της συνολικής συχνότητας μείον την προσθετική συχνότητα της προη-γούμενης κλάσης (ΓΖ = 30 – 15 = 15). Ονομάζουμε x το ΖΒ.

5 10 15 20 25 30 35

Ζ B

Δ Ε

30 Α

Σχήμα 2

124 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Τα τρίγωνα ΓΖB και Γ∆Ε είναι όμοια, οπότε:

ZB ΓΖ x 15 25ή ή x∆Ε Γ∆ 5 18 6

= = = . Τότε 25 115δ 156 6

= + = ≅ 19,167.

ΣΧΟΛΙA: • Αν το Β ταυτιστεί με την κορυφή Β του ορθογωνίου, τότε προφανώς δ = 20. • Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια τα τεταρτημόρια ή

ποια τιμή αντιστοιχεί π.χ. το 82% των παρατηρήσεων ή οι 38 πρώτες παρατηρήσεις ή ακόμα η τιμή 26 σε ποια συχνότητα αντιστοιχεί.

• Μπορούμε ακόμα να κάνουμε τους υπολογισμούς της διαμέσου, των τε-ταρτημορίων κ.ο.κ. και με την παρακάτω μέθοδο: Με τη βοήθεια των συ-ντεταγμένων των σημείων Γ και Ε, βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας των Γ, Ε και στη συνέχεια την τετμημένη του σημείου τομής Β με την οριζόντια ευθεία y = 30. Να παρατηρήσουμε ότι συνήθως οι άξονες δεν σχηματίζουν "κανονικό" σύστημα συντεταγμένων, επειδή βαθμολογούνται διαφορετικά. Αυτό όμως δεν έχει σημασία, επειδή διατηρούνται οι αναλο-γίες των τιμών στον κάθε έναν τους.

2. ΤΟ ΕΜΒΑ∆Ο ΤΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥΓΩΝΟ

ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ x΄x. Ένα ακόμα σημείο που χρειάζεται μια λεπτομερέστερη παρουσίαση, είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζει το πολύγωνο συχνοτήτων ομα-δοποιημένης κατανομής με τον άξονα x΄x.

Σχεδιάζουμε, αναφέρει το βιβλίο στη σελ. 73, τα ιστογράμματα σημειώνοντας στον οριζόντιο άξονα με κατάλληλη κλίμακα τα όρια των κλάσεων. Τα ορθογώνια (ιστοί) έχουν τότε βάση το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του καθενός να αντιστοιχεί στη συχνότητα της κλάσης.

Όταν μάλιστα οι κλάσεις έχουν ίσο πλάτος, τότε θεωρούμε ως μο-νάδα μέτρησης το πλάτος c κάθε κλάσης. Οπότε το εμβαδόν κάθε ορ-θογωνίου παραλληλογράμμου (ιστού) θα έχει εμβαδόν: βάση (δηλαδή 1 μον. μήκους)× ύψος (δηλαδή τη συχνότητα νi της κλάσης). Τότε το ά-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 125

θροισμα των εμβαδών όλων των ιστών ισούται με ν

ii 1

ν ν=

=∑ .

Κατασκευάζοντας τώρα το πολύγωνο συχνοτήτων, παρατηρούμε ότι το σημείο Α (βλέπε σχ. 3) είναι το κέντρο της μηδενικής κλάσης που προσθέσαμε, άρα ΑΒ = ∆Ε. Από την παραλληλία ∆Ε //

ΑΒ προκύπτει ότι και οι γωνί-ες ΓΑΒ και ΓΕ∆ είναι ίσες,

καθώς και οι ορθές ∆ και Β ,

οπότε τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ∆ΕΓ είναι ίσα, άρα και ισοεμ-βαδικά. ∆ιαδοχικά, σε όλους τους ιστούς τα τρίγωνα που σχηματίζει μ' αυτούς το πολύγωνο είναι μεταξύ τους ίσα, οπότε τελικά το εμβαδόν που ορίζει το πολύγωνο συχνοτήτων ομαδοποιημένης κα-τανομής με τον άξονα x΄x ισούται με το άθροισμα των εμβαδών όλων των ιστών, άρα με τη συχνότητα ν της κατανομής. Αντίστοιχα σε πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων θα ισούται με 1. Με αυτήν την απλή εξήγηση λύ-νονται νομίζω οι όποιες απορίες των μαθητών στο σχετικό κείμενο της σελίδας 74 (§2η) του σχολικού βιβλίου, όπου βέβαια οποιαδήποτε τέτοια επέκταση θα ξέφευγε από τα όρια και τους σκοπούς του.

3. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ ∆ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.

Η ομαδοποίηση παρατηρήσεων είναι χρήσιμη και απαραίτητη σε πε-ριπτώσεις μεγάλου πλήθους παρατηρήσεων και βεβαίως όταν η μετα-βλητή είναι συνεχής. Αν και προβλέπεται και ομαδοποίηση διακριτών παρατηρήσεων (όπως και το σχ. βιβλίο αναφέρει στη σελ. 71), είναι σημαντικό να μην γίνεται κατάχρηση και να μην εκφυλίζεται η διαδι-κασία αυτή.

Π.χ. η άσκηση 12 στη σελίδα 101 δίνει σε πίνακα, (όπως ακριβώς φαίνεται παρακάτω) τον αριθμό των επισκέψεων 40 μαθητών σε μουσεία.

c cc cA B

Σχήμα 3

126 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Επισκέψεις Συχνότητα [0–2) 8 2–4 12 4–6 10 6–8 6 8–10 4

Ζητείται: η μέση τιμή, η επικρατούσα τιμή, η διάμεσος κ.ά.

Ο αριθμός επισκέψεων σε μουσεία είναι σαφώς διακριτή μεταβλητή με τιμές 0, 1, 2, κ.ο.κ. ∆εν έχει ασφαλώς νόημα να μιλήσουμε για μι-σή επίσκεψη ή για 3,27 επισκέψεις...

Είναι, νομίζω, ατυχές παράδειγμα ομαδοποίησης. Είναι παράδοξο να ομαδοποιήσεις διακριτές μεταβλητές σε κλάσεις των δύο. Έτσι στην πρώτη κλάση [0–2) περιέχονται οι 0 ή 1 επισκέψεις· δίνεται όμως κέ-ντρο κλάσης το 1! Στην κλάση [2–4) θα περιέχονται οι 2 ή 3 επισκέ-ψεις με κέντρο κλάσης το 3 κ.ο.κ. Τα συμπεράσματα που θα προκύ-ψουν είναι ασφαλώς λανθασμένα.

Η άσκηση θα έπρεπε να λυθεί ως κατανομή 10 διακριτών μετα-βλητών, αντί 5 ομαδοποιημένων. Από περιέργεια και μόνο μετατρέπω την κατανομή σε διακριτή μοιράζοντας "δίκαια" τους μαθητές κάθε κλάσης από μισούς σε κάθε παρατήρηση, εκτός της τελευταίας 8–10, όπου αυθαίρετα τους μοιράζω: 2 μαθητές με 8 επισκέψεις, 1 μαθητής με 9 επισκέψεις και 1 με 10 επισκέψεις.

Επισκέψεις xi Συχνότητα νi Αθρ. συχν. Νi xi⋅νi 0 4 4 0 1 4 8 4 2 6 14 12 3 6 20 18 4 5 25 20 5 5 30 25 6 3 33 18 7 3 36 21

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 127

8 2 38 16 9 1 39 9 10 1 40 10

ΣΥΝΟΛΟ 40 Σxi⋅νi =153

Οπότε, i iΣx ν 153x

ν 40= = = 3,825, Μ0 = 2 και 3,

δ = η η20 21 3 4 3,52 2+ +

= =

Οι απαντήσεις που δίνονται (στις λύσεις) είναι: i iΣx ν 172

xν 40

= = = 4,3 M0 ≅ 3,3 δ = 4 κ.λπ.

Βλέπουμε ότι τα αποτέλεσματα διαφέρουν αισθητά, ειδικά στην μέση τιμή, ακριβώς επειδή τέθηκαν λανθασμένα τα κέντρα των κλάσεων.

ΣΧΟΛΙΟ: Αν στην άσκηση 1 της Β΄ ομάδας, σελ 102, θεωρούσαμε ότι οι βαθμολογί-ες των μαθητών είναι ακέραιοι αριθμοί, τότε η ομαδοποίηση [10, 12), [12, 14) κ.ο.κ. θα δημιουργούσε το ίδιο πρόβλημα. Εδώ όμως μπορούμε ασφαλώς να θεωρήσουμε ότι οι βαθμοί παίρνουν οποιανδήποτε τιμή στο διάστημα [10, 12), οπότε είναι λογικό και σωστό να θεωρήσουμε ως κέ-ντρο της κλάσης τον βαθμό 11. Το ίδιο ισχύει και για την άσκηση 5 της βάσης δεδομένων της Ε.Μ.Ε. (δες www.hms.gr, στη συλλογή ασκήσεων Γ΄ Λυκείου, ενημέρωση του κόμβου Ιανουάριος 2002) και στο σύνολο σχεδόν των βοηθητικών βιβλίων.

! "#$!%&!"% !

#&%#! !" #!#$!"

Top Related

Patrinorama Magazine No24

Soul Magazine article about Sowar Magazine

ITravel Magazine

Nostalgia Magazine