Halaman - 1

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Sinyal periodik x(t), dengan memilih himpunan eksponensial kompleks sebagai fungsi basis, maka

dapat dinyatakan sebagai :

= = T

tn2jexpc)t(x nm

dimana cn adalah konstanta kompleks, dan diberikan oleh :

dtTnt2jexp)t(x

T1c

T

0n

=

Tiap-tiap suku dari deret tersebut, mempunyai periode T dan frekwensi (radian) fundamental

2/T=0. Jika deret tersebut konvergen, maka jumlahnya juga periodik dengan periode T. Deret yang demikian disebut deret Fourier eksponensial kompleks, dan cn disebut koefisien Fourier.

Perlu diperhatikan bahwa karena sifat periodik, maka interval integrasi pada persamaan diatas dapat

diganti dengan sembarang interval dengan panjang T, sebagai contoh, digunakan interval

Tttt 00 + , dimana t0 sembarang. Integrasi dengan interval T ini selanjutnya ditulis dengan simbol

T

.

DERET FOURIER Deret Fourier Eksponensial Kompleks

Halaman - 2

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Koefisien Cn mendefinisikan fungsi bernilai kompleks pada frekwensi diskrit n0, dimana n = 0, 1, 2,.... Komponen dc dari x(t) adalah sama dengan c0 dan diperoleh dengan mengambil n=0.

Grafik |cn| lawan n0 disebut spektrum amplitudo dari sinyal periodik x(t), sedangkan Grafik sudut cn , cn lawan n0 disebut sebagai spektrum fase dari x(t). Kedua spektrum diatas terdiri dari garis-garis yang menunjukkan magnitudo dan fase pada frekwensi

=n0, sehingga spektrum tersebut disebut sebagai spektrum garis. Untuk sinyal bernilai riil (tidak komplek), kompleks sekawan dari Cn diberikan oleh :

= T

n dtTt)n(2jexp)t(x

T1c = c-n

sehingga :

|c-n| = |cn| dan c-n= - cn

Yang menunjukkan bahwa spektrum amplitudo merupakan fungsi simetri genap, sedangkan

spektrum fase merupakan fungsi simetri ganjil. Sifat ini memungkinkan deret eksponensial dari

sinyal bernilai riil dinyatakan dalam bentuk pasangan kompleks sekawan, kecuali untuk C0.

DERET FOURIER Spektrum Garis

Halaman - 3

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Sinyal periodik x(t) dapat pula dinyatakan sebagai berikut :

++=Tnt2ins b

Tnt2osc ac)t(x nn0

Persamaan ini dikenal sebagai deret fourier trigonometri untuk sinyal periodik x(t). Koefisien an dan

bn diberikan oleh :

==T

00 dt)t(xT1ca

{ } ==T

nn dtTnt2cos)t(x

T2cRe2a

{ } ==T

nn dtTnt2sin)t(x

T2cIm2b

Dalam bentuk magnitudo dan fase dari Cn, sinyal bernilai riil x(t) dapat dinyatakan sebagai berikut :

x(t) = =

++1n

nn0 Tnt2cosAc

Dimana : An = 2{cn}, dan

= nc

DERET FOURIER Deret Fourier Trigonometri

Halaman - 4

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Dapatkan spektrum garis sinyal periodik berikut :

-2 -1 0 1 2 t

DERET FOURIER Contoh : Mendapatkan Spektrum Garis

x(t)

Representasi analitik untuk sinyal tersebut

adalah sebagai berikut :

1 t 0 k,

0 t k,-1- x(t)

Halaman - 5

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

-5 -4 -3 -2 -1 0 532 41

(a)

2k5n

2kn

2k3n

2kn

2k3n 2k

5n

-5 -4 -3 -2 -1 0

53

2 4

1

(b)

n/2 n/2 n/2

-n/2 -n/2 -n/2

Spektrum Garis dari x(t) (a) Spektrum magnitudo (b) Spektrum fase

2k

2k

32k

32k

52k

52k

2

2

2

2

2

2

DERET FOURIER Contoh : Mendapatkan Spektrum Garis

Halaman - 6

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Agar deret fourier konvergen, sinyal x(t) harus memiliki sifat-sifat berikut :

1. x(t) harus absolutly integrable, yaitu +

Halaman - 7

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Sifat-sifat deret fourier berikut ini dapat memberikan pamahaman yang lebih baik tentang spektrum

frekwensi dari sinyal waktu kontinyu.

g Pendekatan Kuadrat Terkecil Misalkan sinyal x(t) dapat didekati dengan deret eksponensial dalam bentuk

xN(t) = =

NNn

0 )tjnexp(dn

ingin dicari koefisien dn sedemikian sehingga galat (error) (t) = x(t) - xN(t) memiliki nilai kuadrat rata-rata terkecil.

T

2 dt)t(T1

Untuk meminimumkan persamaan di atas, nyatanya harus dipilih : dn = cn ,

sehingga : (MSE)min = >N|n|

2n |c|

hal ini menunjukkan bahwa MSE dapat diminimumkan dentgan mengambil koefisien deret

fourier cn sebagai dn. Atau dengan kata lain, ekspansi deret fourier dari sinyal x(t) merupakan

pendekatan yang memberikan MSE lebih kecil dibandingkan deret eksponensial yang lain.

DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier

Halaman - 8

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

g Efek Simetri Jika sinyal periodik x(t) memiliki sifat simetri, maka penentuan koefisien deret fourier, menjadi

lebih sederhana. Beberapa tipe simetri yang penting diantaranya adalah :

1. Simetri genap, x(t) = x(-t) 2. Simetri ganjil, x(t) = -x(-t) 3. Simetri ganjil setengah gelombang, x(t)=-x(t+T/2)

x(t)T=3

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

(a) (b)

t

-3 -2 -1 0 1 2 3

(c)

x(t)

x(t)

t

a. Simetri genap b. Simetri ganjil c. Simetri ganjil setengah gelombang

DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier

Halaman - 9

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Akibat dari sifat simetri dapat ditabelkan :

TABEL EFEK DARI SIMETRI

Simetri a0 an bn Keterangan

Genap a0 0 an 0 bn = 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2 Ganjil a0 = 0 an = 0 bn 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2

Ganjil 1/2 gel. a0 = 0 a2n 0 b2n+1 0 Integral hanya pada T/2, hasilnya dikali 2

DERET FOURIER Sifat-sifat Deret Fourier

Halaman - 10

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

Contoh berikut ini merupakan sinyal simetri genap dan simetri ganjil setengah gelombang.

Sinyal x(t) = TtT/2 ,A3t

TA4

T/2t0 ,tTA4A

Halaman - 11

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 3 Deret Fourier

g Linieritas Misalkan x(t) dan y(t) sinyal periodik dengan periode sama dan deret fouriernya diberikan :

t)exp(jny(t)

t)exp(jnx(t)

n0n

n0n

=

=

==

Dan misalkan z(t)=k1x(t)+k2y(t), dimana k1 dan k2 konstanta sembarang. Maka kita peroleh :

=

+=n

0n2n1 )tjnexp()kk()t(z

g Perkalian dua sinyal Perkalian dua sinyal periodik dengan periode yang sama : z(t) = x(t) y (t)

[ ] )tjlexp( )t)mm(jexp(

)tjmexp()tjnexp(

0n m

mml

n m0mn

n0m

m0n

=+=

=

=

=

=

=

=

=

Jadi koefisien Fourier dari z(t) : = >