Kertaus: Sinin ja Kosinin määrittely
kaikille kulmille välillä -∞ …∞
Arvioi yksikköympyrän avulla:
a) sin(30o)
b) Cos(30o)
Ratkaise ilman laskinta
a) sin(x) = 0.5 (terävä ja tylppä
kulma)
b) cos(x) = 0
c) cos(x) = -0.5
sin(α ) on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti
cos(α ) on x- koordinaatti
Yhtälölle sin(x) = 0.5
Kone antaa x1 = sin-1(0.5) =
30o
Toinen ratkaisu on aina
x2= 180o – x1
(tässä siis 150o)
Vektorilaskentaa osa1
• Peruslaskutoimitukset
• Komponenttiesitys
• Vektorin pituus
• Jana vektorimuodossa
• Koordinaatistopisteen paikkavektori
2D - vektorit
Vektorit• Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita,
joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v.
Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla.
• Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien
suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma
esim. Lentokoneen nopeus
v = (200m/s, 100 m/s)
tai ts. v = 223.6 m/s suuntaan 26.6o
eli lyh. 223.6 <26.6o
Miten vektorin merkintä poikkeaa tavallisista luvuista eli skalaareista?
Suositeltava tapa: Jos alkupiste on A ja loppupiste B, käytetään
Huom: Koneella kirjoitetussa tekstissä (esim. Office) yläviivojen käyttäminen on hidasta. Tällöin
vektori erotetaan skalaarista pelkästä lihavoinnilla.
Esim. symbolijonossa (t , k , a, b, v, F, c) on 4 skalaaria ja kolme vektoria (a, v, F)
Peruslaskutoimitukset
b
a
a + b
a + b
-b
-b
a
a – b
= a + (-b)
a
b
suunnikassääntö
3b
Summa
a + b
erotus
vakio*vektori, esim. 3b
vastavektori
suunnikassääntö
a - ba
b
Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan
sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä.
a) a + b
b) b – a (myös –a + b)
c) ½ b + a
d) b + ½ a
e) -½ a – ½ b
f) ½ b + a – ¼ b = ¼ b + a
Vektorit koordinaatistossa
a = (2,4)
b = (-3,2)
c = (-1,-4)
Kun vektorin alkupiste asetetaan origoon, vektori voidaan
yksikäsitteisesti esittää sen loppupisteen koordinaattien avulla.
(Tällä kurssilla käytetään pääasiassa tätä esitysmuotoa)
(lue komponentit kuvasta)
Vektorien peruslaskutoimitukset
komponenttimuodossaAlgebrallisesti:
(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1, a2 + b2,)
(a1,a2) - (b1,b2) = (a1 - b1, a2 - b2)
t (a1, a2) = (t a1, t a2)
Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2) . Laske
a) a + b = (1+3, 2 -2) = (4, 0)
b) a – b = (1-3, 2 – (-2)) = (-2, 4)
c) -2 b = (-2*3 , -2*(-2)) = (-6, 4)
d) 3 a – 4 b = (3,6) – (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14)
Monet laskimet osaavat laskea vektoreilla: esim. WolframAlphassa kohdat a) … d) syötetään
(1,2) + (3, -2) (1,2) - (3, -2) -2*(3, -2) 3*(1,2) - 4*(3, -2)
Huom! Joissain laskimissa kaarisulkujen tilalla pitää käyttää hakasulkuja tai aaltosulkuja
a)
b)
Esim.
√(22+42) = √20 = 4.5
√(32+22) = √13 = 3.6
√(12+42) = √17 = 4.1
Summavektori ja sen pituus
s = (2-3-1,4+2-4) =(-2, 2)
|s| = √(22+22) = √8 = 2.8
(2,4)(-3,2)
(-1,-4)norm (2,4) antaa 4.5
norm (-3,2) antaa 3.6
norm (-1,-4) antaa 4.1
Vektorin pituus laskimissa
Vektorin pituus lasketaan funktiolla norm()
Esim. laske vektorin (2,-5) pituus
TI- cas norm((2,-5))
WolframAlpha norm (2,-5)
funktiolaskin √(22+52)
Miten lasketaan sen vektorin komponentit, jonka lähtö-piste
on koordinaattipiste A(a1,a2) ja päätepiste on B(b1,b2)?
Kuvion perusteella OB saadaan
lisäämällä OA:han vektori AB , ts.
OB = OA + AB , josta ratkaistuna
Kaavan mukaan vektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä
loppupisteen B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori
Pisteiden koordinaatteja käyttäen vektori AB on siten
𝐴𝐵 =(b1,b2)- (a1,a2) = (b1–a1, b2 - a2)
Jana pisteestä A pisteeseen B
vektorimuodossa ABHUOMAA! Pisteen ja pisteeseen liittyvän paikkavektorin ero
Piste, esim. A(2,5) ei ole vektori, sillä ei ole suuntaa eikä pituutta.
Pisteeseen A liittyy origosta O pisteeseen A piirretty paikkavektori OA = (2,5)
Miten lasketaan sen vektorin komponentit, joka lähtee koordinaattipisteestä
A ja päättyy koordinaattipisteeseen B?
Kuvion perusteella OB saadaan
lisäämällä OA:han vektori AB , ts.
OB = OA + AB , josta ratkaistuna
=> siirtymävektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä loppupisteen
B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori
Esim. 1 Kuinka pitkä matka on Rovaniemen linja-autoasemalta linnuntietä hotelli
Pohjanhoviin
- määritä matkaa kuvaavan vektorin AB komponentit
- laske vektorin pituus
Jana vektorina : AB = (1030,550) – (150, 140) = (880,410)
Kysytty välimatka on janan pituus
|AB| = 971 m (√(8802 + 4102) = 971)
Esim. 2: Turisti lähtee Pohjanhovista B ja tulee paikkaan C, joka sijaitsee 400 m länteen
ja 50 m etelään lähtöpaikasta
- määritä matkaa kuvaavan vektorin BC komponentit : (-400,-50)
- laske loppupisteen C koordinaatit vast: C(630,500)
OC = OB + BC =
(1030,550) +(-400,-50)
= (1030-400, 550-50)
= (630, 500)
Janan päätepisteen B laskeminen, kun
alkupiste A ja siirtymävektori AB tunnetaan
A(100,150)
Sähkölinjan lähtöpiste on A(100, 150).
Linjan pituus on 700m suuntaan 60o.
Laske linjan toisen päätepisteen B koordinaatit.
B
1. Lasketaan siirtymävektorin AB komponentit:
Vaakasuunnassa : 700*cos(60o) = 350 m
Pystysuunnassa : 700*sin(60o) = 606 m
2. Lasketaan vektorin pisteen B koordinaatit:
𝑶𝑩 = 𝑶𝑨 +𝑨𝑩 = (100,150) + (350, 606) = (450, 756)
60o
Huom: Piste ja sen paikkavektori merkitään eri tavalla: A(100,150) on piste, jolla ei voi laskea.
Pisteen koordinaatteja voi käyttää paikkavektorina, jolloin merkintätapa on
𝑂𝐴 = (100,150) tai tällä kurssilla ҧ𝐴 = (100,150) .
Paikkavektoriin voi lisätä toisen vektorin, jolloin saadaan uusi koordinaatistopiste.
Esim. 3 Henkilö siirtyy Pohjanhovista 600 m suuntaan, joka on 20 astetta
länsisuunnasta Etelään. Mihin pisteeseen C hän tulee ?
Lasketaan siirtymävektori BC komponentit:
BC = ( 600*cos200o, 600*sin200o) = (-564, -205)
Vektorin komponentit
laskettuna napakoordi-
naateista r, φ
x= r cos φ , y = r sin φ
Suuntakulma φ luetaan
positiivisesta x- akselista
r = vektorin pituus
Loppupiste : OC =
(1030,550) + (-564,-205) = (466,345)
A(0,0)
B(60,20)
C(-10,30)
D (?, ?)
Esim 3. Suorakulmaisen tontin kolme kärkipistettä sijaitsevat kohdissa A(0,0), B(60,20) ja
C(-10, 30). Mitkä ovat pisteen D koordinaatit?
Siirtymävektori B:stä D:hen:
BD = AB = (-10,30)-(0,0) =(-10,30)
Joten
D:n paikka saadaan lisäämällä
B:n paikkavektoriin siirtymä
(60,20) + (-10,30)
=(60-10, 20+30)
= (50, 50)
Janan AB vektorimuoto AB
Vektori AB saadaan vähentämällä
janan loppupisteen koordinaateista
janan alkupisteen koordinaatit
b) Laske myös janan pituus
a) Esitä jana AB vektorina, kun
päätepisteiden koordinaatit ovat
A(-2,3) ja B(3,7)
(3,7) – (-2,3) = (5,4)
𝟓𝟐 + 𝟒𝟐= 𝟒𝟏 = 6.4
WolframAlpha
norm (5,4)
6.4
LapinAMK:n rakennus
sijaitsee pisteessä
A(475, 265)
LUC:n kirjasto sijaitsee
pisteessä B(90, 790)
Laske välimatka LapinAMK:n
ja LUC- kirjaston välillä
seuraavasti:
a) Määritä vektorin AB
komponentit
b) Määritä vektorin AB
pituus |AB|
(kokeile laskimen tai WA:n
norm() funktiota)
Esimerkki:
Ratkaisu: Lasketaan vektori kampus => kirjasto
AB = (90, 790) – (475, 265)= (-385, 525)
Etäisyys on tämän vektorin pituus
|AB|= √(3852+5252) = 651 m
Napakoordinaatit r,φ
sinry
Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti
napakoordinaattien avulla (merk. r < φ) , missä r = vektorin pituus ja φ on
vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x – akselin kanssa)
cosrx
Vektorin komponentit (x,y)
saadaan napakoordinaateista
muunnoskaavoilla
Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus.
Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän tehtävän voisi ratkaista erittäin helposti:
[12<60] + [7<155] + [9<270] Enter
antaa suoraan summavektorin pituuden ja suunnan
[4.53 < 104.4] (ei toimi enää Ti CAS:ssa)
Muunnoskaavat molempiin suuntiin
(x,y) = (r cosφ, r sinφ)
φ
r
r = √(x2+y2)
φ = tan-1(y/x) (+ 180o, jos x<0)
Komponenttimuoto ja napakoordinaattiesitys
Esim. laske ao. kuvan vektorien summavektori ja sen pituus
(x,y)
12 cos60o 12 sin60o
+ 7 cos155o 7 sin 155o
+ 9 cos265o 9 sin265o
= - 1.129 = 4,385
Summavektori s = (-1.13 , 4.39)
pituus |s| = √(1.132 + 4.392) = 4.53
suunta tan-1(4.39/-1.13) + 180o = 104.4o
Esim. Suunnistaja juoksee ensin itään 500 m , ja sitten koilliseen
300 m. Kuinka kaukana hän on lopussa lähtöpisteestään?
Lasketaan väli AB vektorimuodossa kahden vektorin summana:
AB = (500, 0 ) + (300 cos45o, 300 sin45o) = (712.1 , 212.1)
Välimatka = vektorin pituus |AB| = √(712.12+212.12) m= 743 m
Esim. Maanmittari määrittää pisteiden A ja B välimatkan. Välissä on este, joka
täytyy kiertää, joten mittaus tehdään kuvan mukaisesti pätkissä. Laske vektoreita
käyttäen väli AB. (Tehtävä tehtiin syksyllä ”vaikealla tavalla” kosinilauseella)
Ratkaisu: jaetaan vektorit komponentteihin ja lasketaan yhteen.
AB = (150, 0 ) + (130 cos40o, 130 sin40o)+(180 cos85o, 180 sin85o)
= (265.3 , 262.9)
Vektorin pituus |AB| = √(265.32+262.92) m= 373.5 m
Napakoordinaattilaskimella (mm. vanha HP) tehtävä olisi helppo:[150<0] + [130<45] + [ 180<85] [Enter]
antaa [373.5 < 44.7]
x = r cos φ
y = r sin φ
a
b
c
Laske komponentit kuvan vektoreille:
25
30
16
60o
10o
8o
a = (25 cos60, 25 sin60) = (12.5, 21.7)
b = (30 cos170, 30 sin170) = (-29.5, 5.2)
c = (16 cos278, 16 sin278) = (2.2, -15.8)
Vektorien skalaaritulo eli pistetulo
Vektoreille on määritelty ns. skalaaritulo eli pistetulo a.b
a
bφ
Määr.
2D -vektorien a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) pistetulo laskettuna
komponenteista
3D –vektoreille
Esim2. Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun
a) a = (2,4) ja b = (3,1)
b) a = (1,4,2) ja b = (3,1, -1)
a) a.b = a1b1+a2b2 = 2*3 + 4*1 = 10
b) a.b = a1b1+a2b2 +a3b3 = 1*3 + 4*1 + 2*(-1) = 5
Esim1.
Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun
a) |a| = 5, | b |= 2 ja vektorit ovat samansuuntaiset
b) |a| = 5, | b | = 2 ja vektorit ovat vastakkaissuuntaiset
c) |a| = 5, | b | = 2 ja vektoreiden välinen kulma = 90o
a) 2*5*cos0o = 10
b) 2*5*cos180o = -10
c) 2*5*cos90o = 0
Pistetulon määritelmästä nähdään, että a.b on luku,
joka on suurimmillaan |a||b| ja pienimmillään - |a||b|
Perustelu: cosφ on yksikköympyrän kehäpisteen x-
koordinaatti jonka suurin arvo on 1 ja pienin - 1
Pistetulon sovelluksia:
1. Vektorien välinen kulma
Esim. Laske vektorien ( 3, 1) ja ( 1, 2) välinen kulma.
=> γ = 45o
2. Vektorien kohtisuoruus
Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan a.b = 0
Esim. Määrää jokin vektoria ( 2, 3) vastaan kohtisuora vektori.
Ratkaisu: esim. (3, - 2) käy, koska (2,3).(3,-2) = 2*3 + 3* -2 = 0
a.b = |a||b|cosγ =>
cosγ = ഥ𝒂.ഥ𝒃
ഥ𝒂 |ഥ𝒃|
a.b = |a||b|cos90o =0
Harj. Kartassa näkyvä kolmiopuisto sijaitsee Helsingissä.
Kolmion kärkipisteiden koordinaatit ovat
A(200,100), B(190, 230), C(140,180).
a) Laske kolmion sivujen pituudet
b) Laske puiston pinta-ala.
Ala lasketaan ns. alalauseella A = ½ |AB| |AC| sinα
Tähän tarvitaan vielä kulma α:
cosα = 𝒂.𝒃
𝒂 |𝒃|=
(−𝟏𝟎,𝟏𝟑𝟎).(−𝟔𝟎,𝟖𝟎)
𝟏𝟑𝟎.𝟒∗𝟏𝟎𝟎=
𝟔𝟎𝟎+𝟏𝟎𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟎.𝟒∗𝟏𝟎𝟎=0.844 => α = 32.5o
Ala A = ½ 130.4*100* sin(32.5o) = 3503 m2
3. Kolmion ratkaiseminen
Kolmion kärkipisteet ovat A(3,4) , B(1,1) ja C(5,2) . Määritä
kolmion ABC a) sivujen pituudet b) kulmat c) ala
a) Sivut esitetään vektoreina. Lasketaan pituudet
AB = (1,1) – (3,4) = (-2,-3) |AB| = √13
AC = (5,2) – (3,4) = (2,-2) |AC| = √ 8
BC = (5,2) – (1,1) = (4,1) |BC| = √ 17
b) kulmat o
ACAB
ACAB7.78)
813
)2,2).(3,2((cos)
||||(cos 11
o
BCBA
BCBA3.42)
1713
)1,4).(3,2((cos)
||||(cos 11
α = 180o – 78.7o – 42.3o = 59.0o
c) Alalause: A = ½ a b sin γ = ½ √ 13 √ 8 sin78.7o = 5.0
A B
C
α
(”ala = ½*kahden sivun tulo*niiden välisen kulman sini” )
Huom!
Kulmaa β lasket-
taessa pitää
kääntää vektori
AB BA:ksi
BA=-(-2,-3)
=(2,3)
Vektorien pistetulon
ഥ𝒂. ഥ𝒃 sovelluksia
PROJEKTIOLASKUT
- Skalaariprojektio
- Vektoriprojektio
Aiheeseen liittyvät tehtävät : 19, 20 , 21
Projektiotehtävät
Pisteet A, B ja C on annettu. Pisteestä C piirretään suora, joka
tulee suorassa kulmassa janalle AB pisteeseen P (jota voidaan
kutsua C:n projektiopisteeksi janalla AB
Tehtäviä:
1. Ratkaise janan AP pituus
2. Ratkaise vektorin AP komponentit
3. Ratkaise pisteen P koordinaatit
4. Ratkaise janan PC pituus
ESIMERKKI: kaapelin veto kohtisuoraan tielinjalle.
Muuntajalta M(800,500) vedetään kohtisuora kaapeli tielinjalle
A(100,100) B(1100,150). Määritä
a) välin AC pituus (kuvan x)
b) kaapelin CM pituus (kuvan y)
c) pisteen C koordinaatit
Tapa1:
α
AM=(800,500) – (100,100) = (700,400) , pituus |AM| = √(7002+4002)= 806.2 (=a)
AB=(1100,150) – (100,100) = (1000,50) , pituus |AB| = √(10002+502)= 1001.2 (=AB)
Pistetulo AM.AB = (700,400).(1000,50) = 700000+20000 = 720000
𝑐𝑜𝑠α =𝐴𝑀.𝐴𝐵
𝐴𝑀 |𝐴𝐵|=
720000
806.2∗1001.2= 0.892 => α= cos-1(0.892) = 26.9o
a) Välin AC pituus (kuvan x) = |AM| cosα=> x= 806.2*cos26.9o = 719.0 metriä
b) Kaapelin pituus (kuvan y) = |AM| sinα => y= 806.2*sin26.9o = 364.8 metriä
c) Tien AB suuntakulma φ = tan-1(50/1000)= 2.86o
Vektori AC = (r cos φ, r sin φ) = (719 cos2.86o, 719 sin2.86o) =(718.1, 35.9)
Pisteen C koordinaatit saadaan lisäämällä A:n paikkavektoriin AC
OC = ÒA + AC = (100,100) + (718.1, 35.9) = (818.1, 135.9)
806.2
26.9o
Vektorin ത𝑎 suuntainen yksikkövektori ഥ𝑎0
Määritelmä: Kun vektori ഥ𝒂 jaetaan omalla pituudellaan,
saadaan vektori, jonka suunta on sama kuin ത𝑎:lla ja pituus = 1
Tätä vektoria sanotaan ത𝑎:n suuntaiseksi yksikkövektoriksi
Esim. Laske vektorin a = ( 1, 3) suuntainen yksikkövektori
ഥ𝑎0 = ത𝑎
|𝑎|=
(r𝑐𝑜𝑠φ, r𝑠𝑖𝑛φ)𝑟
= (𝒄𝒐𝒔𝝋, 𝒔𝒊𝒏𝝋)yksikkövektori
Tapa1: Vektorin a pituus |a| = √(12+32) = √10 = 3.16
ഥ𝑎0 = ത𝑎
|𝑎|= (
1
3.16,
3
3.16)= (0.316,0.949)
Tapa2: Vektorin a suuntakulma φ = tan-1(y/x)=tan-1(3/1) =71.57o
ഥ𝑎0 = (𝑐𝑜𝑠φ, 𝑠𝑖𝑛φ)=((cos 71.57o, 𝑠𝑖𝑛71.57𝑜) =(0.316,0.949)
x = r 𝑐𝑜𝑠φy = r 𝑠𝑖𝑛φ
yks.vektorille r = 1
Suorat kaavat projektioille (Maol)
𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|
Vektorin ഥ𝒂 skalaariprojektio vektorin ഥ𝒃 suuntaan:
Skalaariprojektio ab = kuvassa
punaisen janan pituus
Vektoriprojektio = kyseinen
jana vektorimuodossa
Vektorin ഥ𝒂 vektoriprojektio vektorin ഥ𝒃 suuntaan:
ത𝑎𝑏=𝑎𝑏 ഥ𝑏𝑜 =
ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|2ത𝑏
Tehdään edellä esitetty kaapeliesimerkki käyttäen näitä kaavoja =>
ESIMERKKI: kaapelin veto kohtisuoraan tielinjalle.
Muuntajalta M(800,500) vedetään kohtisuora kaapeli tielinjalle
A(100,100) B(1100,150). Määritä
a) välin AC pituus (kuvan x)
b) kaapelin CM pituus (kuvan y)
c) pisteen C koordinaatit
Tapa2:
AM=(800,500) – (100,100) = (700,400) , pituus |AM| = √(7002+4002)= 806.2
AB=(1100,150) – (100,100) = (1000,50) , pituus |AB| = √(10002+502)= 1001.2
Pistetulo AM.AB = (700,400).(1000,50) = 700000+20000 = 720000
𝑎) 𝑥 =𝐴𝑀.𝐴𝐵
|𝐴𝐵|=720000
1001.2= 719.1 m
b) Kaapelin pituus y = √(806.22-719.12) = 364.5 metriä
c) Tien suuntakulma: φ = tan-1(50/1000)=2.86o
Vektori AC = (719.1cos2.86o,719.1sin2.86o) = (718.2, 35.9)
Pisteen C koordinaatit saadaan lisäämällä A:n paikkavektoriin AC
OC = ÒA + AC = (100,100) + (718.2, 35.9) = (818.2, 135.9)
𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|
ത𝑎𝑏=𝑎𝑏 ഥ𝑏𝑜
806.2
719.1
Esim. Määritä vektorin ( 1,5) a) skalaariprojektio
b) vektoriprojektio vektorin (6,4) suuntaan.
𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|=
1,5 .(6,4)
62+42=26
52=3.6
skalaariprojektio
vektoriprojektio
ത𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|2ത𝑏=
1,5 . 6,4
62+42(6,4)
=26
52(6,4)= (
26
526,
26
524)=(3,2)
Vektoriprojektion voi laskea myös kertomalla skalaariprojektiolla
yksikkövektori b0 =(cosφ, sin φ)
ത𝑎𝑏 = 3.6(𝑐𝑜𝑠33.69𝑜, 𝑠𝑖𝑛33.69𝑜)=(3,2)
b:n suuntakulma φ = tan-1(y/x) = tan-1(4/6) =33.69o
3.6
Helpompi tapa
𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|
Skaalaariproj.
ത𝑎𝑏=𝑎𝑏 ഥ𝑏𝑜 =
ത𝑎. ത𝑏
|𝑏|2ത𝑏
Vektoriproj. laskukaavat
1*6+5*4 = 26
Vektoriyhtälön ratkaiseminenmekaniikan tasapainotehtävissä
* Meillä on n kpl voimia, joiden suunnat tunnetaan ja joiden summa = 0
* Kaksi voimista on tuntemattomia, muiden suuruudet tunnetaan
Voimakolmiomenetelmä
60
F2F1
90o
25o
65o
𝐹1
𝑠𝑖𝑛90=
𝐹2
𝑠𝑖𝑛25=
60
𝑠𝑖𝑛65
Em. Tehtävä voidaan tehdä ilman vektorilaskennan menetelmiä: Kolmen vektorin summa = 0 , kun vektorit muodostavat peräkkäin asetettuna kolmion.
Kolmion kulmien päätteleminen on vaikein kohta tässä menetelmässä.
Jos kulmat ovat oikein, kolmion kaksi sivua voidaan ratkaista helposti sinilauseella.
Aiheeseen liittyy tehtävämonisteen teht. 25
Huom! Jos vektoreita on enemmän kuin kolme, tämä geometrinen menetelmä menee hankalaksi. Vektorimenetelmä sen sijaan on yleispätevä, eikä työmäärä juuri lisäänny vektorien määrän kasvaessa.
”Kompassi suuntakulmien Lukemista varten”
Ratkaise voimien F1 ja F2 suuruudet, kun ao. kuvan kolmen vektorin summa = 0
F1 cos(135o) + F2 cos(250o) + 60 cos(340o) = 0
x = r cosϕy = r sinϕ
Vektorin komponentit x ja y saadaan ao. kaavoilla
r = vektorin pituusϕ = vektorin ja positiivisen x- akselin välinen kulma (ns. suuntakulma)
pituudet ja suunnat [r< ϕ] : [F1<135o] , [F2<250o] , [60 <340o]
Tasapainoehdot vaaka- ja pystykomponenteille
F1 sin(135o) + F2 sin(250o) + 60 sin(340o) = 0
Ratkaisu WolframAlpha.com – online laskimella:
solve F1 cos(135 deg)+F2 cos(250 deg)+60 cos(340 deg)=0 , F1 sin(135 deg)+F2 sin(250 deg)+60 sin(340 deg)=0 [enter]
Aiheeseen liittyy tehtävämonisteen teht. 25
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmiä
- Poiketaan hieman laskumonisteen esitysjärjestyksestä, koska mekaniikassa tarvitaan nyt yhtälöryhmäaihetta
Aiheeseen liittyvät tehtävät:
42 a) ja 42 b) 44) 45 a) 45 b)
Lineaarinen yhtälöryhmä: 2 yht. , 2 tuntematonta
𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2
WolframAlpha:
Tuloksena on ratkaisukaavat x:lle ja y:lle
Tässä muodossa kaavat eivät esiinny taulukkokirjassa
Maol:n taulukoiden vastaavat kaavat on esitetty eri muodossa, käyttäen determinantin käsitettä
Taulukkokirja esittää kaavat determinanttien avulla
𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2
Matriisi ja determinanttiMatriisit ovat lukutaulukkoja B=
2 1 14 3 1
on 2x3 matriisi
2x2 neliömatriisi A=3 14 5
2x2 neliömatriisiin liittyy luku, jota sanotaan determinantiksi
Det(A)=𝟑 𝟏𝟒 𝟓
= 𝟑 ∗ 𝟓 − 𝟒 ∗ 𝟏 = 𝟏𝟏
D = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
Esim.
Laskimiin matriisin voi syöttää JOKO matriisieditorilla taulukkomuodossa, tai vaihtoehtoisesti yhdelle riville kahden vektorin parina. Esimerkin determinantin voi laskea komennolla det ((3,1), (4,5))
Yhtälöryhmän ratkaisu determinanttimuodossa
x = 𝐷𝑥
𝐷
y = 𝐷𝑦
𝐷
D = 𝒂𝟏 𝒃𝟏𝒂𝟐 𝒃𝟐
= x:n ja y:n kerroindeterminantti
Dx = 𝒄𝟏 𝒃𝟏𝒄𝟐 𝒃𝟐
= saadaan kerroindeterminantista
korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2
Dy = 𝒂𝟏 𝒄𝟏𝒂𝟐 𝒄𝟐
saadaan kerroindeterminantista
korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2
𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2
Tarvitaan yhtälöryhmän vasemman puolen kertoimista laskettava kerroindeterminantti D ja kaksi sen variaatiota
Yhtälöryhmä on vietävä ns. normaalimuotoonennen determinanttien laskemista
3 𝒙 = 7 − 5𝑦𝑦 = 2𝑥 + 1
3 𝒙 + 5𝒚 = 7−2𝒙 + 𝒚 = 1
D = 𝟑 𝟓−𝟐 𝟏
= 3 + 10 = 13
Dx = 𝟕 𝟓𝟏 𝟏
= 7 - 5 = 2
Dy = 𝟑 𝟕−𝟐 𝟏
= 3 + 14 = 17
X = Dx/D = 2/13
y = Dy/D = 17/13
Normaalimuoto: x:t , y:t omissa sarakkeissaan vasemmalla, vakiot oikealla puolen yhtälöä
𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2
Esim. Aiemmin esitetty tasapainotehtävä, jossa voimien summa = 0 antoi viereisen yhtälöryhmän, joka ratkaistiin solvella. Ratkaistaan se nyt determinanteilla.
Aloitetaan muuttamalla yhtälöryhmä normaalimuotoon
x = 𝐷𝑥
𝐷=
60
0.906= 66.2
y = 𝐷𝑦
𝐷=
25.36
0.906= 28.0
D = −𝟎. 𝟕𝟎𝟕 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟎. 𝟕𝟎𝟕 −𝟎. 𝟗𝟒
= 0.906
−0.707𝑭𝟏 + 0.342 𝑭𝟐 = −56.380.707𝑭𝟏 − 0.940 𝑭𝟐 = 20.52
Dx = −𝟓𝟔. 𝟑𝟖 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟐𝟎. 𝟓𝟐 −𝟎. 𝟗𝟒
= 60.0
Dy = −𝟎. 𝟕𝟎𝟕 −𝟓𝟔. 𝟑𝟖𝟎. 𝟕𝟎𝟕 𝟐𝟎. 𝟓𝟐
= 25.36
𝑭𝟏𝑐𝑜𝑠135 + 𝑭𝟐𝑐𝑜𝑠250 = −60 𝑐𝑜𝑠340𝑭𝟏𝑠𝑖𝑛135 + 𝑭𝟐𝑠𝑖𝑛250 = −60 𝑠𝑖𝑛340
Kertoimet kannattaa ehkä muuttaa desimaaliluvuiksi
F1 cos(135o) + F2 cos(250o) + 60 cos(340o) = 0F1 sin(135o) + F2 sin(250o) + 60 sin(340o) = 0
Graafinen ratkaisu 5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3
Molemmat yhtälöt edustavat suoria.
Yhtälöt ovat yhtaikaa voimassa suorien Leikkauspisteessä
Yhtälöryhmän ratkaisu on suorien leikkauspiste
Kuvan perusteella x = 1.4 , y = 2.0
WolframAlpha:
Yhtälöryhmän ratkaisumenetelmien vertailua
Seuraavassa esitetään 4 menetelmää, joista 3 ensimmäistä voi käyttää, jos laskimessa ei ole yhtälön ratkaisuun soveltuvaa solve - käskyä tai jos tehtävä on määrätty ratkaisemaan manuaalisesti.
A. Eliminoimismenetelmä:
5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3
Kerrotaan yhtälöt selliaislla luvuilla, että jommankumman muuttujan kertoimiksi tulee vastaluvut. Tämän jälkeen yhtälöt lasketaan puolittain yhteen, jolloin saadaan yhtälö jossa on vain yksi muuttuja
Kerrotaan yhtälö1 luvulla 3
Kerrotaan yhtälö2 luvulla -2
15 𝒙 + 6𝒚 = 334 𝒙 − 6 𝒚 = −6 Lasketaan yhtälöt yhteen
19 x = 27
x = 27/19 ≈ 1.42
Ratkaistaan x
Ratkaistaan y sijoittamalla saatu x esim. yhtälöön 1
5*27/19 + 2y = 112y = 11- 135/19 = 74/19= y = 37/19
Käytännön sovelluksissa x ja y ovat useimmiten desimaalilukuja, joten viimeinen vaihe yksinkertaistuu muotoon 7.1 + 2y = 11 => y = 1.95
B. Sijoitusmenetelmä:
5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3
Ratkaistaan esim. y yhtälöstä 1.Sijoitetaan saatu lauseke yhtälöön 2 y:n tilalle.Saadusta ens. asteen yhtälöstä ratkaistaan xLopuksi ratkaistaan y sijoittamalla saatu x:n arvo vaiheen 1 tuloksena saatuun yhtälöön
<= Ratkaistaan y yhtälöstä 1
Sijoitetaan saatu lauseke y:n tilalle yhtälössä 2
2y = 11 – 5 x=> y = 11/2 – 5/2 x = 5.5 – 2.5 x
−2 𝒙 + 3 𝟓. 𝟓 − 𝟐. 𝟓𝒙 = 3 => −2 𝒙 + 16.5 − 7.5𝑥 = 3=> -9.5𝑥 = −13.5 => x = -13.5/(-9.5)-=> x = 1.42
y = 5.5 – 2.5 x = 5.5 – 2.5*1.42 = 1.95
C. Determinanttikaavat x = Dx/D , y= Dy/D
5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3
D = 𝟓 𝟐−𝟐 𝟑
= 15 + 4 = 19
Dx = 𝟏𝟏 𝟐𝟑 𝟑
= 33 -6 = 27
Dy = 𝟓 𝟏𝟏−𝟐 𝟑
= 15 + 22 = 37
X = 27/19 ≈ 1.42
Y = 37/19 ≈ 1.95
D. Solven käyttö 5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3
Esim. mekaniikan tasapainotehtävissä kaikkein tehokkain tapa, mikäli laskimessa on tämä toiminto.
Mitä menetelmiä voi käyttää, kun tuntemattomia ja yhtälöitä
on paljon?
Esim. Ratkaise x, y , z , u ja v yhtälöryhmästä
2 x + 5 y – 3 z -7 u + v = 11- x + 3 y + 2 z + u – 11 v = 27 x - y + 8 x + 5 v = 19-5 x + 13 y – 4 z + 6 u – v = 143 x – 2 y + 5 z - 6 u + 4 v = 21
Solve toimii myös suurille yhtälöryhmille
solve 2 x + 5 y – 3 z -7 u + v = 11, - x + 3 y + 2 z + u – 11 v = 2, 7 x - y + 8 z + 5 v = 19,
-5 x + 13 y – 4 z + 6 u – v = 14 , 3 x – 2 y + 5 z - 6 u + 4 v = 21
42
Ratkaise determinanttikaavoilla x = Dx/D ja y = Dy/D
44
Seuraavassa tehtävässä ei saa käyttää determinantteja eikä solvea
Ristitulon ഥ𝒂xഥ𝒃 määritelmä
Ominaisuuksia:ഥ𝒃xഥ𝒂 = - ഥ𝒂xഥ𝒃 kun järjestys tulossa vaihdetaan, suunta vaihtuu päinvastaiseksi
Osittelulait pitävät paikkansaഥ𝒂x(ഥ𝒃+ത𝒄) =ഥ𝒂xഥ𝒃 + ത𝐚xത𝒄 j.n.e
Ristitulo = (0,0,0), kun vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset. (koska suunnikkaan ala = 0)
Pituus : Ristitulovektorin pituus |ഥ𝒂xഥ𝒃|= |ഥ𝒂||ഥ𝒃|sinγ
Suunta: ഥ𝒂xഥ𝒃 on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan siten. Oikean käden sääntö: a = etusormi, b = keskisormi => axb = peukalon suuntainen
=> Ristitulovektorin pituus antaa vektoreiden a ja b määräämään suunnikkaan alan.
Ristitulon laskeminen manuaalisesti (ver 1)
Tapa1: Merkitään koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreja i =(1,0,0), j =(0,1,0) ja k=(0,0,1)
Ristitulo lasketaan tavallisimmin determinanttina
ത𝑎𝑥ത𝑏 =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3
Kun determinantti on laskettu, yksikkövektorien i , j ja kkertoimet ovat ristitulovektorin x,y ja z komponentit.
Esimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)
ത𝑎𝑥ത𝑏 =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘1 2 34 1 1
= ҧ𝒊2 31 1
- ҧ𝒋1 34 1
+ ഥ𝒌1 24 1
= - ҧ𝒊 + 11 ҧ𝒋 - 7 ഥ𝒌 = ( - 1, 11, -7)
Harj. Laske yo.tavalla (5, 2, 3) x ( 1 , 3, 2)
Kertaus: 3x3 – neliömatriisin determinantin laskeminen
𝐵 =2 5 13 1 74 1 2
Esim. Laske det(B)
Ylärivin alkiot kerrotaan niitä vastaavilla 2x2 alideterminanteilla, jotka saadaan peittämällä alkion rivi ja sarake. Tulot lasketaan yhteen siten, että keskimmäisen tulon etumerkki vaihdetaan negatiiviseksi
Det(𝑩) =2* 𝟏 𝟕𝟏 𝟐
- 5*𝟑 𝟕𝟒 𝟐
+ 1*𝟑 𝟏𝟒 𝟏
= 2*(-5) – 5*(-22) + 1*(-1) = 99
Ristitulon laskeminen manuaalisesti (ver 2)
Tapa2: Kirjoitetaan a:n ja b:n komponentit alekkain taulukoksi ja laajennetaan taulukkoa oikealle kopioimalla sinne 2 ensimmäistä saraketta. Ristitulovektorin komponentit saadaan kolmesta perättäisestä 2x2 determinantista sarakkeesta 2 alkaen.
Esimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)
X =
Y =
Z =
= 2*1-1*3 = -1
= 3*4-1*1 = 11
= 1*1- 4*2 = -7
det
det
det
Tulos: a x b = (-1, 11, -7)
Alla on laskettu ristitulovektorin komponentit determinantteina
Harj. Laske yo.tavalla (5, 2, 3) x ( 1 , 3, 2)
3D vektorin esitys koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien avulla
Merkitään x, y ja z – akselien suuntaisia yksikkövektoreja symboleilla
i = (1,0,0) , j = (0, 1, 0) , k = ( 0,0,1)
Tällöin jokainen 3D vektori voidaan esittää niiden avulla, esimVektori ( 2, 4, 1) = 2 i + 4 j + k
Tätä merkintätapaa käyttäen voi myös laskea vektoreja yhteen:Esim ( 2, 1, - 5) + ( 4, 2, 7 ) = ( 2 + 4, 1 + 2, -5 + 7) = (6, 3, 2)voidaan laskea myös seuraavasti:2 i + j -5 k + 4 i + 2j + 7 k = (2 +4) i + (1+2) j + (-5+7) k = 6 i +3 j + 2kmikä muistuttaa paljon polynomilausekkeiden sieventämistä
Laskimet eivät tunne yksikkövektoriesitystä
Vektorin esitysmuoto (x 𝑖 + y ҧ𝑗 + z ത𝑘)
Ristitulovektorin laskeminen W.A:llaEsimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)
Ristitulon komento on cross , jota seuraa vektorit pilkulla erotettuna
Ristitulon voi laskea myös käyttämällä tähteä (*) kertomerkkinä
Ristitulovektorin laskeminen TI- laskimellaEsimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)
crossP([1,2,3],[4,1,1])
Funktion nimi on lyhenneRistitulon englanninkielisestä muodosta cross product
Sovellus: Kolmion alan laskeminen
Laske kolmion A(1,2,1) B(7,3,1) C(2,9,3) ala.
Ratkaisu: Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: a =AB= (6,1,0) ja b = AC = (1,7,2)Lasketaan ala kaavalla A = ½ *|axb|
Kaava: Ristitulovektorin pituus |ഥ𝒂xഥ𝒃|= |ഥ𝒂||ഥ𝒃|sinγ
* suunnikkaan ala A = | a x b |
TI ja Casio : ½* norm(crossP( [6,1,0],[1,7,2] ))
Kolmion muotoisen maa (vesialueen) alahuom! ei korkeuseroja
a = (500,100)
A=?
b = (200,450)
Koska ristitulo on vain 3D vektoreille, lisätään 3. komponentti 0.
= n. 10 ha
Suora kaava jota maanmittarit käyttävät, kun ei ole korkeuseroja
Kolmiotontin ala :
𝐴 =1
2𝑎1 𝑎2𝑏1 𝑏2
Missä a ja b ovat kolmion samasta kärjestä lähtevät vektorit
Maanmittareiden kaava kolmion alalle
Yleisesti : Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat (x1,y2) ja (x2, y2). Laske kolmion ala .
ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘𝑥1 𝑦1 0𝑥2 𝑦2 0
= k𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
= ( 0, 0, 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
)
Kolmion ala A = ½ |𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2
|
Kun lisätään vektoreihin z- komponentti 0, ja lasketaan vektorien ristitulo, saadaan
(x1,y2,0) x (x2, y2, ,0) =
Esim. Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektori ovat (2,4) ja (5,1)
Kolmion ala A = ½ |2 45 1
| = ½*|-18| = 9
Esimerkki laskutehtäviin
Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektorit a = (1,4,3) ja b=(3,1,1)Laske kolmion ala: A = ½ | a x b |
x= 4*1-1*5 = -1y = 5*3-1*1 = 14z = 1*1-3*4 = -11a x b = (-1,14,-11)Sen pituus
|a x b|= 12+ 142+ 112= 17.8 (suunn. Ala)Kolmion ala = ½*17.8 = 8.9
Vektorien ristituloengl. cross product
ba Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille
Vektorilaskennan koe hiihtoloman jälkeen ke 14.3
Ristitulon ഥ𝒂xഥ𝒃 määritelmä
Pituus : Ristitulovektorin pituus |ഥ𝒂xഥ𝒃|= |ഥ𝒂||ഥ𝒃|sinγ
Suunta: ഥ𝒂xഥ𝒃 on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan siten. Oikean käden sääntö: a = etusormi, b = keskisormi => axb = peukalon suuntainen
=> Ristitulovektorin pituus antaa vektoreiden a ja b määräämään suunnikkaan alan.
Vektorien ristitulon ഥ𝒂 × ഥ𝒃laskeminen käsin
1 5 2 1 5
2 3 1 2 3
Ristitulovektorin komponentit voidaan laskea helpoimmin seuraavan esimerkin mukaisesti: Lasketaan vektorin a = (1,5,2) ja b = (2,3,1) ristitulovektori
a x b = ( 5 23 1
, 2 11 2
, 1 52 3
) = (-1 , 3, -7)
1. Tehdään taulukko, jossa a ja b ovat alekkain2. Laajennetaan taukukkoa kopiomalla sarakkeet 1 ja 2 oikealle3. Ristitulovektorin komponentit ovat 3 oikeanpuolimmaista taulukosta saatavaa determinanttia.
Vektorien ristitulon ഥ𝒂 × ഥ𝒃laskeminen koneella
Esim. vektorin a = (1,5,2) ja b = (2,3,1) ristitulovektori
WA:
TI: crossP( [1,2,5] , [2,3,1] )
Esim1. Kolmion yhdestä kärjestä lähtevät vektorit ovat a = (4,2,1) ja b = (1,2,7). Laske kolmion ala
||2
1baA
= 15.1 WA:
Kolmion ala on
Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (5,2,1) – (1,1,1) = (4,1,0) AC = (2,7,3) - (1,1,1) = (1,6,2)
ESIM2: Laske kuvan kolmion ala:
Kolmion ala on
=
||2
1baA
2D kolmion ala (”maanmittareiden kaava”) a = (a1, a2)b = (b1, b2)
Ala A = ½ | (a1,a2,0) x (b1,b2,0) |
Ristituloa varten lisätään molempiin z-koordinaatti 0
a1 a2 0 a1 a2
b1 b2 0 b1 b2Ristitulovektori = ( 0 , 0 ,
𝑎1 𝑎2𝑏1 𝑏2
)
Kolmion ala A = ½ 𝑎1 𝑎2𝑏1 𝑏2
Huom! Vektorien järjestyksen determinantissa pitää olla sellainen, että oikeanpuolimmainen vektoreista on ylärivillä, muuten alasta tulee negatiivinen
Lasketaan ristitulovektori
Koska vain z- komponentti ≠ 0, se on samalla vektorin pituus
Esim. Kolmion muotoisen tontin samasta kärjestä lähtevät vektorit ovat a = (700, 100) ja b=(200, 400). Laske tontin ala.
A = ½ 700 100200 400
= 130000 m2 = 13 ha
Tehtävän voi laskea myös ristitulon avulla, kunhan pisteisiin lisätään z –koordinaateiksi 0 .
Esim. Lammen pinta-alan laskeminen
Ala voidaan laskea neljän kolmion alan summana.Ensin pitää laskea vektorit jotka lähtevät pisteestä A:AF = (280, -10) AE = (260,450) AD = (10, 470) AC=(-260, 270) AB=(-310, -20)
Kierretään lampi ja mitataan pisteiden A- F koordinaatit GPS:llä:A = (810, 80) B = (500, 60) C = (550, 350) D =(820, 550) E =(1070, 530) F = (1090, 70)
2230050|)20310
270260||
270260
47010||
47010
450260||
450260
10280(|
2
1mA
Lasketaan ala neljän kolmion alan summana käyttäen kaavaa A = ½ 𝒂𝟏 𝒂𝟐𝒃𝟏 𝒃𝟐
Skalaarikolmitulo ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄
On tulo, jossa on kolme vektoria, joiden välillä on sekä ristitulo, että pistetulo.
Kolmitulon ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄 laskeminen tapa1:Kolmitulon laskeminen koneella:
Jos laskin osaa laskea molemmat tulot suht. helposti, voidaan kolmitulo laskea helposti niitä käyttäen
Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3) .(5,4,2)
dotP( crossP([3,2,1],[1,2,3]),[5,4,2])
WA: = - 4
TI-laskinja Casio:
Lauseke laskimella on sen verran monimutkainen, että näin ei kolmituloa kannata laskea laskimella. Seuraavalla kalvolla on helpompi tapa
Kolmitulon ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄 laskeminen tapa2:Kolmitulo voidaan laskea 3x3 - determinanttina, jonka rivit muodostavat vektorit a, b ja c :
Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3) .(5,4,2)
4)6()13(2)8(345
211
25
312
24
323
245
321
123
WA, TI- laskin ja Casio: det( (3,2,1) , (1,2,3) , (5,4,2)) antaa -4
1. Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen Olkoot suuntaissärmiön samasta kärjestä lähtevät kolme vektoriaa = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3) ja c = (c1,c2,c3)
Särmiön tilavuus V = skalaarikolmitulon axb.c itseisarvo
|| cbaV
Perustelu: hAcbacba suunn cos||||||
ϕ
Huom. Skalaarikolmitulon arvo on reaaliluku, joka voi olla myös negatiivinen. Luvun itseisarvo on kuitenkin aina vektoreiden a, b ja c virittämän suuntaissärmiön tilavuus
axb
Esim. Suuntaissärmiön kärkipisteen A(1,1,1) viereiset kärkipisteet ovatB(5,1,2) , C(3,7,4) ja D(2,2,9). Laske suuntaissärmiön tilavuus
Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (4,0,1)AC = (2, 6, 3)AD = (1, 1, 8)
det( (4,0,1), (1,6,3), (1,1,8)) = 176
Tilavuus saadaan determinantin avulla
V = 176
2. Pisteen D kohtisuora etäisyys kolmion ABC tasosta
Kysytty etäisyys h = sellaisen suuntaissärmiön korkeus, jonka AB,AC ja AD määräävät
Suuntaissärmiön korkeus on sen tilavuus V jaettuna pohjauunnikkaan alalla A
||
||
ba
cba
A
Vh
ഥ𝒂, ഥ𝒃 ja ത𝒄 ovat pisteestä A lähtevät vektorit AB, AC ja AD
Esim. Laske pisteen D(3,7,2) etäisyys kolmion A(1,2,1)B(7,2,1)C(1,4,3) tasosta
83.297.16
48
||
||
ba
cba
A
Vh
Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (6,0,0)AC = (0, 2, 2)AD = (2, 5, 1)
Kysytty etäisyys (kuvan h) = suuntaissärmiön tilavuus V jaettuna sen pohjasuunnikkaan alalla A
det( (6,0,0), (0,2,2), (2,5,1)) = -48 => V = 48
norm( (6,0,0)*(0,2,2) ) = 16.97 => A = 17.0
||
||
ba
cba
A
Vh
norm() vektorin pituus
3. Tutki, ovatko pisteet A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1) samassa tasossa.
Pisteet ovat samassa tasossa jos vektorien AB, AC ja AD virittämänsuuntaissärmiön tilavuus V = 0
Lasketaan A:sta lähtevät vektorit:AB = (1,2,3)AC = (6,1,0)AD=(4,1,0)
Vastaus: Pisteet eivät ole samassa tasossa, koska determinantti ≠ 0
Suuntaissärmiön tilavuus (laskimella)1 2 36 1 04 1 0
= det( (1,2,3) , (6,1,0) , (4,1,0) ) = 34
Lin. Algebra osa 2
1. Matriisilaskentaa ja sovelluksia
2. Eksponenttifunktio, eksponenttiyhtälö
3. Logaritmit, logaritmiset asteikot
Jäljellä olevat tunnit:
• 20.3 ja 21.3 matriisilaskentaa
• 26.3 laskutunti , 29.3 vektorikokeen uusinta
• 4.4 ja 5.4 eksponenttifunktio, eksponenttimalli
• 9.4 ja 10.4 logaritmifunktio, logaritmiasteikot
• 16.4 ja 18.4 laskutunteja, kertausta
• 23.4 koe osasta 2, 24.4 kokeen palautus
• 3.5 uusintakoe
Matriisit
Peruslaskutoimitukset:
• Yhteenlasku
• Vähennyslasku
• Vakiolla kertominen
• Kertolasku
• Determinantti
• Käänteismatriisi
• Käänteismatriisin käyttö yhtälöryhmien ratkaisussa
Mitä matriisit ovat?
2 -ulotteisia lukutaulukoita sanotaan matriiseiksi. (matrix). Matriiseja
merkitään isoilla kirjaimilla. Matriisin ympärillä käytetään hakasulkuja
Esim.
B on 2x3 – matriisi (2 riviä, 3 saraketta)
A on 2x2 -neliömatriisi
C on 3x1 matriisi, joita kutsutaan myös
pystyvektoreiksi
Sovelluksissa käytetään useimmin neliömatriiseja.
Mihin matriiseja käytetään?
• Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun
• Kiertomatriisit ovat tärkeitä 3D grafiikassa
(CAD) Niillä voidaan pyörittää objekteja
näytöllä tai muuttaa katsojan paikkaa
• Determinantit liittyvät myös
matriisilaskentaan
Matriisien peruslaskutoimitukset
Samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen ja vähentää toisistaan
ja kertoa vakiolla. Summa saadaan laskemalla vastinalkiot yhteen,
erotus vähentämällä vastinalkiot toisistaan. Matriisi kerrotaan vakiolla
kertomalla kaikki alkiot ko. vakiolla
Summa
Erotus
Vakio x
matriisi
Matriisien tuloMatriisien A ja B tulo A.B voidaan määritellä, jos matriisilla A on sama määrä sarakkeita
kuin matriisilla B on rivejä. Tulomatriisin alkiot ovat matriisin A rivien ja matriisin B
sarakkeiden pistetuloja. Käsin tulo lasketaan seuraavasti:
Huom! Esimerkin matriiseille tuloa B.A ei ole edes määritelty, koska koot eivät täsmää.
Silloinkin kun tulot A.B ja B.A ovat olemassa, ne ovat pääsääntöisesti erisuuret:
Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen.
Kertolaskutaulukko:
Tulo A.B =
Matriisien tulo TI-Cas laskimella
Seuravaksi syötetään matriisi koko.
Matriisien kertolaskussa käytetään tavallista kertomerkkiä *.
Matriisien tulo wolframalphalla
((2,3,1),(4,1,0),(-1,2,5)) . ((5,1),(-2,3),(4,-1))
WolframAlphassa kertomerkkinä käytetään pistettä.
Matriisien tulo Excelissä
http://easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php
Osaako laskimesi matriisien kertolaskun?
Online kalkulaattoreita matriisien kertolaskuun löytyy runsaasti, mm.:
Neliömatriisien ominaisuuksiaMatriisilaskennassa käytetään useimmin 2x2 tai 3x3 neliömatriiseja.
Niillä on peruslaskutoimitusten +,-, . lisäksi muita ominaisuuksia, jotka
muistuttavat reaalilukujen vastaavia ominaisuuksia
Reaalilukujen joukossa erityisiä lukuja ovat 0 ja 1
0 on luku, jonka lisääminen ei muuta lukua; ts. a + 0 = 0 + a = a
1 on luku, jolla kertominen ei muuta lukua; ts. a*1 = 1*a = a
3x3 neliömatriiseilla näitä vastaavat nollamatriisi ja yksikkömatriisi I.
Neliömatriisin A determinantti |A|
Reaaliluvuilla on itseisarvo, vektoreilla on pituus. Neliömatriiseihinkin
liitetään reaaliluku, jota sanotaan matriisin determinantiksi ja merkitään |A|
tai joskus Det(A) tai pelkällä D-kirjaimella.
Determinantti 2x2 – matriisille on siis
lävistäjien tulojen erotus
Esim. Laske matriisin determinantti
Ratk. D = 4*2 -3*1 = 5
3x3 – neliömatriisin determinantti
3x3- determinantti lasketaan menetelmällä, jota sanotaan determinantin
”kehittämiseksi” jonkin rivin tai sarakkeen suhteen. Menetelmässä
muodostetaan summa, jossa esim. kukin ylimmän rivin alkio vuoronperään
kerrotaan sitä vastaavalla alideterminantilla, joka saadaan luvuista jotka
näkyvät kun alkiota vastaava sarake ja rivi peitetään matriisista. Saadut
tulot lasketaan yhteen etumerkkiä vuorotellen : + , - , +
= 1*(5*2-6*6) – 2*(4*2-7*6) + 3*(4*6-7*5) = 9
Determinantti voidaan yhtä hyvin kehittää jonkin muun rivin tai
sarakkeen suhteen vastaavalla tavalla. Jos jollain rivillä tai sarakkeessa
on useita nollia, kannattaa kehittää sen suhteen, jotta termejä olisi
vähemmän. Termien etumerkit saadaan oheisesta kaaviosta.
Determinantit ExcelilläKäytännössä, kun determinantteja lasketaan, se tehdään esim. Excelin
funktiolla MDETERM, tai laskimella
Valitse MDETERM – funktio, ja
maalaa argumentiksi matriisin solut.
det ((1,2,3), (4,5,6), (7,6,2))
Determinantit Wolfram A:lla
Determinantit Ti CAS :lla
Vinkki: Käytä nollarivejä/-sarakkeita
Laske oheisen matriisin determinantti.
Koska 2. sarakkeessa on kaksi nollaa, kannattaa determinantti
kehittään nimenomaan sen sarakkeen suhteen:merkit
|A| = - 4*(4*7-3*(-1))
= -4*31 = - 124
Saman sarakkeen muut alkiot ovat
nollia, joten niistä ei tule mitään lisää
determinanttiin
Determinantin ominaisuuksia
Vektoreista muistamme, että determinantin
itseisarvo = sen rivejä edustavien vektorien
virittämän suuntaissärmiön tilavuus.
Tästä seuraa, että determinantti = 0, jos
a) Determinantissa on sama rivi kahdesti
b) Determinantissa jokin rivi on toisen rivin monikerta
c) Determinantissa jokin riveistä on kahden muun rivin
lineaarikombinaatio , esim. c = t a + u b
a) ja b) Kaksi särmiön
virittäjävektoreista samoja
tai samansuuntaisia =>
litistynyt särmiö.
c) särmiön kolmas
virittäjävektori on kahden
muun tasossa => särmiöllä
ei ole ”korkeutta”Säännöt a) b) ja c) pätevät myös sarakkeille
Determinantin arvo ei muutu, jos jokin rivi/sarake lisätään
toiseen riviin jollakin vakiolla kerrottuna
Tämä ominaisuus ei ole niin ilmeinen kuin kohdat a),b) ja c). Sitä voisi kuitenkin perustella seuraavasti.
Jos esim. vektoriin c lisättäisiin a kerrottuna jollakin vakiolla, tämä siirtäisi vain vektorin c kärkipistettä sivun
a suunnassa, jolloin särmiöstä tulisi vinompi, mutta sen pohjan ala ja korkeus säilyisivät muuttumattomina.
Tällöin särmiön tilavuus jota determinantti edustaa ei muuttuisi.
Lineaarinen yhtälöryhmä
ja matriisimenetelmät
B) Determinanttien käyttö (ns. Cramerin kaavat)
A) Käänteismatriisimenetelmä
Matriisilaskennan menetelmistä saadaan hyötyä (ajansäästöä),
mutta tämä edellyttää hyvää laskinta tai Wolfram Alphaa
Lineaarisen yhtälöryhmän
ratkaisukaava
A11 x + A12y + A13z = B1
A21 x + A22y + A23z = B2
A31 x + A32y + A33z = B3
A11 , A12 ,A13
A21 , A22, A23
A31 , A32, A33
-1
*
B1
B2
B3
X
Y
Z
=
Ratkaisu saadaan laskemalla koneella kerroinmatriisin
käänteismatriisin ja oikean puolen tulo
Kaavan tarkempi perustelu ja käyttöohjeet
ovat seuraavilla kalvoilla.
Yksikkömatriisi I on ”neliömatriisien luku 1”
Reaalilukujen joukossa on luku 1, jolla kertominen säilyttää luvun sellaisenaan: ts. 1*a = a*1 = a
Neliömatriisien joukossa on vastaavasti yksikkömatriisi, jolla kertominen ei muuta tulon toista matriisia.
2x2 yksikkömatriisi on
3x3 yksikkömatriisi on
Matriisin A käänteismatriisi A-1
Reaaliluvuilla a, (paitsi luvulla 0 ) on käänteisluku 1/a, jolle a*(1/a) = 1
Neliömatriiseilla A, joiden determinantti |A| ≠ 0 , on käänteismatriisi A-1, jolle
IAAAA 11
31
52A
21
531AEsimerkki: ja
ovat toistensa käänteismatriiseja, koska niiden tulo on yksikkömatriisi I. =>
Huom! Käänteismatriisin laskeminen käsin on työlästä, eikä kuulu tähän
kurssiin. Koneella käänteismatriisi on helppo laskea (potenssi -1)
Yhtälöryhmän voi kirjoittaa matriisimuodossa A.X=B
Yhtälöryhmän vasen puoli ja oikea puoli voidaan ajatella 3x1 matriiseina eli pystyvektoreina
Vasen puoli voidaan esittää kertoimista muodostuvan matriisin A ja muuttujista x,y,z muodostuvan pystyvektorin X tulona. ( Tämän voi helposti tarkistaa suorittamalla kertolasku A.X )
Tämä matriisiyhtälö on muotoa A X = B
Missä A on kerroinmatriisi, X = pystyvektori, jonka alkioina ovat muuttujat x,y, zB = oikean puolen vakioista muodostuva pystyvektori.
Perustelu esimerkkinä seuraava yhtälöryhmä:
Ratkaisu käänteismatriisilla A-1
Reaalilukumatematiikassa yhtälön a x = b molemmat puolet jaetaan a:lla ja ratkaisu x = b/a. Tämän voi myös ilmaista niin, että molemmat puolet kerrotaan a:n käänteisluvulla 1/a
a
bxb
axa
abxa
11
Sama menetelmä toimii myös matriisiyhtälöön A X = B. Yhtälön molemmat puolet kerrotaan käänteismatriisilla A-1 , jolloin saadaan
BAXBAxAABXA 111
Käänteismatriisi A-1 on käsin monimutkainen laskea, joten kaavasta ei ole hyötyä, jos ratkaisee yhtälöryhmiä käsin. Algebralaskimella taas tämä on nopea tapa ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä.
BAX 1
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu saadaan siten kaavalla:
Wolfram AlphaKäänteismatriisimenetelmän käyttö onnistuu vain 2x2 ja 3x3 tapauksissa, ei
suuremmissa yhtälöryhmissä . Alla esimerkki:
Ratkaisukaavan A-1.B kirjoitetaan Wolfram Alphalla seuraavasti:
*
TI Inspire CAS toimii hyvin kaikissa kokoluokissa
ja laskutoimitus on helppo syöttää
antaa ratkaisuksi
1) Kerroinmatriin käänteismatriisi lasketaan
MINVERSE:llä
2) Käänteismatriisi ja oikean puolen vakiot kerrotaan
MMULT:lla
Excelistä löytyy käänteismatriisin laskeva funktio
MINVERSE ja matriisien kertolasku MMULT
Laskeminen Excelillä vaatii kuitenkin
Excelin käytön hyvää tuntemusta
Kiertomatriisit (2D-tapaus)Kun pistettä (x, y) halutaan kiertää vastapäivään origon ympäri α astetta, saadaan pisteen uudet koordinaatit kertomalla vanhat koordinaatit kiertomatriisilla :
cossin
sincosT
Esim. Vektoria (2, 1) kierretään vastapäivään 45 astetta. Mitkä ovat vektorin uudet koordinaatit?
12.2
71.0
1
2.
45cos45sin
45sin45cos
Jos kierto tehtäisiin myötäpäivään, kulmana käytettäisiin -45o
Matriisilaskentaa tarvitaan CAD –ohjelmistoissa ja
esim. tietokonepeleissä.
B. Determinanttikaavat yhtälöryhmän ratkaisemiseksi
x = 𝐷𝑥
𝐷
y = 𝐷𝑦
𝐷
D = 𝒂𝟏 𝒃𝟏𝒂𝟐 𝒃𝟐
= x:n ja y:n kerroindeterminantti
Dx = 𝒄𝟏 𝒃𝟏𝒄𝟐 𝒃𝟐
= saadaan kerroindeterminantista
korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2
Dy = 𝒂𝟏 𝒄𝟏𝒂𝟐 𝒄𝟐
saadaan kerroindeterminantista
korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2
𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2
Tarvitaan yhtälöryhmän vasemman puolen
kertoimista laskettava kerroindeterminantti D
ja kaksi sen variaatiota
Lineaarinen
yhtälöryhmä
normaalimuodossa
Yhtälöryhmä on vietävä ns. normaalimuotoon
ennen determinanttien laskemista
3 𝒙 = 7 − 5𝑦𝑦 = 2𝑥 + 1
3 𝒙 + 5𝒚 = 7−2𝒙 + 𝒚 = 1
D = 𝟑 𝟓−𝟐 𝟏
= 3 + 10 = 13
Dx = 𝟕 𝟓𝟏 𝟏
= 7 - 5 = 2
Dy = 𝟑 𝟕−𝟐 𝟏
= 3 + 14 = 17
x = Dx/D = 2/13
y = Dy/D = 17/13
Normaalimuoto: x:t , y:t omissa sarakkeissaan
vasemmalla, vakiot oikealla puolen yhtälöä
𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2
ns. ”Cramerin kaavat”
Eksponenttifunktio
eksponenttimalli
ja eksponenttiyhtälö*logaritmin määritelmä
Tehtävät eksponenttiyhtälöstä: 47 - 50
4.4 – 5.4
Esim. Kiinteistön arvo v.2010 alussa oli 125 000 Euroa. Oletetaan, että
kiinteistöjen arvot nousevat tasaisesti 2.5 % vuodessa. Laske
a) esimerkin kiinteistön arvo 2016 alussa
b) arvo v.1990, jolloin kiinteistö rakennettiin
c) milloin arvo ylittää 160 000 Euron rajan?
a) 125000*1.0256 = 144962 Euroa
b) 125000*1.025-20 = 76 284 Euroa
tai näin 125000 / 1.02520 = 76284 Euroa
Eksponenttimalli y = y0 at
c) 125000*1.025 t = 160 000 | jaetaan 125000 :lla
1.025 t = 1.28 ( 160000/ 125000 = 1.28 )
t = log(1.28)/log(1.025) = 10.0
(W.A tai TI) log1.025(1.28) = 10.0 Vastaus. 2020 alussa
Periaate: Seuraavan vuoden arvo saadaan aina kertomalla edellisen vuoden arvo 1.025:llä,
joka saadaan yhteenlaskulla 1 + 2.5/100 = 1.025.
Vastaavasti laskettaessa arvoa ajassa taaksepäin jaetaan nykyarvo vuosittain 1.025:lla.
Yhtälöä a x = b sanotaan
eksponenttiyhtälöksi
Sen ratkaisu x saadaan
logaritmifunktiolla:
x = loga(b) ”a-kantainen logaritmi b”
x = log(b)/log(a) ”muunnoskaava, jos
laskimessa ei ole kuin 1 tai 2 logaritmifunktiota”
Eksponenttiyhtälö ax=bEsim. Ratkaise x yhtälöstä 2x = 10
Haarukoidaan ratkaisua: 23 = 8 ja 24 = 16 => x on välillä 3 … 4
Haarukoidaan ratkaisua edelleen laskimella:
23.1 = 8.57 23.2 = 9.19 23.3 = 9.85 23.4 =10.13
=> 3.4 < x < 3.4
Solve ratkaisee myös eksponenttiyhtälön
Eksponenttiyhtälön ratkaisuun on täsmäfunktio: logaritmi
Yhtälön a x = b ratkaisu on x=loga(b)
Esim. Ratkaise 2x = 10 => W.A
Huom! Funktiolaskimissa on logaritmifunktiot vain kun kantaluku on 10 [log] tai Neperin luku e = 2.7128… [ln]
Näillä laskimilla voidaan loga(b) laskea muunnoskaavalla loga(b) = 𝐥𝐨𝐠(𝒃)
𝐥𝐨𝐠(𝒂)
2x = 10 => x = 𝐥𝐨𝐠(𝟏𝟎)
𝐥𝐨𝐠(𝟐)=3.32funktiolaskimella
Nouseva ja laskeva
exponenttifunktio y = ax
a > 1 0<a <1
Määritysjoukko: Mj = R (kaikki reaaliluvut)
Arvojoukko : Aj = R+ (funktio saa vain positiivisia arvoja)
aidosti kasvava funktio vähenevä funktio
Esim vm. 2007 Fiat Punto maksoi v. 2011 alussa 4900 Euroa. Oletetaan arvo
alenee 15 % vuodessa.
a) Paljonko Punto maksoi uutena (2007 alussa)
b) Paljonko siitä saa 2015 puolivälissä?
c) Milloin arvo on enää 1000 Euroa ?
a) 4900 * 0.85-4 = 9387 Euroa
b) 4900 * 0.854.5 = 2368 Euroa
c) 4900 * 0.85 t = 1000 | jaetaan 4900 :lla
0.85 t = 1000/4900 = 0.204
t = log(0.204) / log(0.85) = 9. 8
(vuosiluku 2020 loppupuolella)
Seuraavan vuoden arvo saadaan edellisestä kertomalla luvulla 0.85
( koska 1 – 15/100 = 0.85)
Eksponenttiyhtälö:
a x = b
Ratkaisu:
x = log(b)/log(a)
tai jos laskin tukee
kaikkia kantalukuja:
x = loga(b)
Esim . Ydinonnettomuudessa syntyy radioaktiivista jodia, jonka määrä
puoliintuu 8 päivässä.
a) Kuinka paljon 1000 000 atomista jodia on jäljellä 30 vrk kuluttua.
b) Minkä ajan kuluttua jodia on vain 1 atomi jäljellä?
Jodiatomien määrä alussa N0 = 1 000 000
Kantaluku = ½ = 0.5
a) Jodin määrä 30 vrk kuluttua
N = 1000 000 *0.5 30/8 = 74325 atomia ≈ 74 000 atomia
Kaava N = N0.0.5 t / 8 N0 = alkuperäinen atomimäärä
N = määrä ajan t kuluttua
t /8
Eksponenttiyhtälö:
a x = b
Ratkaisu:
x = log(b)/log(a)
tai suoremmin
x = loga(b)
Luku e ja eksponenttifunktio ex
Luku e on ns. Neperin luku, Sen likiarvon voi laskea esim kaavalla
( 1 + 1/ n) n antamalla n:lle suuria arvoja , esim . n = 50000 antaa e = 2.71825
Euler on myös osoittanut, että Neperin luku saadaan äärettömänä summana
e = 1 + 1 + 1/ 2! + 1/ 3! + 1/ 4! + …
Ottamalla 10 ensimmäistä termiä saadaan e = 2.71828
Fysiikassa ja tekniikassa tärkeä eksponenttifunktio on
y = e x
3 2 1 1 2 3
5
10
15
20 Ohjelmointikielissä tämä
funktio kirjoitetaan
exp(x)
laskimissa näppäin ex
Logaritmin määritelmä
Kun x ratkaistaan yhtälöstä y = a x , saadaan x = loga(y)
=> Funktio y = loga(x) on exponenttifunktion y = a x käänteisfunktio.
yxya a
x log
FUNKTIOLASKIMIEN LOGARITMIFUNKTIOT
ln(x) Kantalukuna Neperin luku e = 2.713
log(x) tai lg(x) Kantalukuna 10
Lue: ”a-kantainen logaritmi y”
)log(
)log()(log
a
xxa Yksikin logaritmifunktio laskimessa riittää,
sillä muut voidaan laskea muunnoskaavalla:
Algebralaskimet ja WolframAlpha
Laskettava arvo Wolfram A TI-CAS funktiolaskin
log(27.0) 10-kant. log10(27.0) log(27.0) log(27.0)
ln(12.5) log(12.5) ln(12.5) ln(12.5)
log3(5.5) log3(5.5) log3(5.5) log(5.5)/log(3)
)log(
)log()(log
a
xxa
Laske seuraavat logaritmit
Osan logaritmeista voi laskea päässälaskuna
perustuen logaritmin määritelmään: Laske
a) log28
yxya a
x log
b) log100
c) log 0.001
Muutoin logaritmeja lasketaan laskimella:
2x = 8 , x=? Vast: 3 koska 23 = 8
10x =100 x=? Vast: 2 koska 102 = 100
10x =0.001 x=? Vast: -3 koska 10-3 = 0.001
3x =1/9 x=? Vast: -2 koska 3-2 = 1/9
ex =e5 x=? Vast: 5 koska e5 = e5
)log(
)log()(log
a
xxa
a) log27.3
b) log1.051.6
Funktiolaskimella käytä
muunnoskaavaa:
Vast: 2.87
Vast: 9.63
tai ln(x)/ln(a)
Tavallisimmat eksponenttimallit
”arvo kasvaa 5% vuodessa” y = y0 1.05 t
”arvo laskee 12% vuodessa ” y = y0 0.88t
” arvo kasvaa 30% 7 vuodessa” y = y0 1.30 t / 7
”arvo kaksinkertaistuu 25 vuodessa” y = y0 2.0 t / 25
”arvo puoliintuu 3.5 vrk:ssa” y = y0 (½) t / 3.5
Exponenttiyhtälöt
ty 02.1120000
Kiinteistön arvo 2012 on 120 000 Euroa, Arvo kasvaa 2.0 % vuodessa.
a) Esitä arvo ajan funktiona ( ajan yksikkönä on vuosi ja origo v.2012
b) Minkä ajan kuluttua arvo ylittää 140 000 rajan ?
𝑎𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) =log(𝑏)
log(𝑎)
120000 ∗ 1.02𝑡 = 140000
1.02𝑡 =140000
120000= 1.167
𝑡 = 𝑙𝑜𝑔1.02(1.167) =log(1.167)
log(1.02)=7.8 vuotta
a)
b)
ty 87.06500
Käytetyn Renault Clion arvo laskee 13 % vuodessa. Auto ostettiin 2010
alussa käytettynä hinnalla 6500 Euroa
Milloin autosta saa enää 1500 Euroa?
100%-13%=87%
6500 ∗ 0.87𝑡 = 1500
0.87𝑡 =1500
6500= 0.231
𝑡 = 𝑙𝑜𝑔0.87(0.231) =log(0.231)
log(0.87)=10.5 v
a)
b)
Vuosi on 2021
Logaritmin ominaisuudet
1) log(x y) = log(x) + log(y)
2) log(x/y) = log(x) - log(y)
3) log(xr) = r log(x)
Muita ominaisuuksia
logaa = 1
loga1 = 0
kaikilla kantaluvuilla a
Esim. Oletetaan, että
Log(2) = 0.69
Log(3) = 1.10
Laske päässä:
a) Log(6) = Log(2*3)= 0.69+1.10=1.79
b) Log(27)=log(33) =3*log(3)=3*1.1=3.3
Tulon logaritmi on sen
tekijöiden logaritmien summa.
Osamäärän logaritmi on
osoittaja ja nimittäjän
logaritmien erotus
Potenssin logaritmia
laskettaessa eksponentti
voidaan siirtää kertoimeksi
ax= a
x=1
ax= 1
x=0
Lineaarinen asteikko
Logaritminen asteikko
Luvun 64 logaritmi on 6 kertaa luvun 2 logaritmi, koska log64 = log 26 = 6 log 2
Logaritmisia asteikkoja käytetään tilanteissa, jossa suureen absoluuttisten arvojen
erot ovat erittäin suuria: esim. melu , maanjäristykset
Laskutikku
Ennen funktiolaskimia (1970 -luvun alkuun asti) insinöörit laskivat
numerolaskut laskutikulla, jossa logaritmisella asteikolla varustettuja
viivottimia liikuteltiin toisiinsa nähden.
Kertolaskut tyyppiä 1,62 * 7,23 onnistuivat nopeasti ja tehokkaasti kahden
merkitsevän numeron tarkkuudella.
Log(x y) = Log (x) + Log(y)
Kuvassa laskettu laskutikulla kertolasku
2 x 4 = 8
Kertolasku muuttuu janojen yhteenlaskuksi logaritmiasteikolla
Kuvassa laskettu laskutikulla jakolasku
10 : 5 = 2
Log(x/y) = Log (x) - Log(y)
Jakolasku muuttuu janojen vähennyslaskuksi logaritmiasteikolla
Logaritmiset asteikotfysiikassa ja tekniikassa
Magnitudi- eli Richterin asteikko
Desibeliasteikko
Käytetään ilmiöissä, joissa absoluuttisten arvojen vaihtelu on erittäin
suurta. Logaritminen asteikko tasaa äärimmäisiä vaihteluita
Exponenttifunktio ja logaritmifunktio
ovat käänteisfunktioita
Yhtälön a x = b ratkaisu on x = logab (=logb/loga)
Yhtälön loga(x) = b ratkaisu on x =ab
Logartmisissa asteikoissa (melu, maanjäristys, pH) käytetään
logartmia, jonka kantaluku on 10 : laskimen log(x)
Esim. Log(x) = 4.5 => x = 104.5 = 31623
Yhtälön log(x) = b ratkaisu on x =10b
10
Magnitudiasteikko
magnitudi Absoluuttinen (* A0)
kohtalainen
järistys5.8 105.8 = 0.63*106
Voimakas
järistys7.3 107.3 = 20*106
Maanjäristyksien amplitudien suhde on 20/0.63 = 32
M = log(A/A0)
Esim. Mikä on 7.3 magnitudin ja 5.8 magnitudin maanjäristysten
voimakkuuden suhde absoluuttisella asteikolla, jossa mittana on amplitudit?
A = maan värähtelyn laajuus: A0 = nollaa Magnitudia vastaava perustaso
Esim. Kun Magnitudi nousee 1:llä, kuinka
monikertaiseksi nousee absoluuttinen arvo?
magnitudi Absoluuttinen (* A0)
M 10M
M+1 10M+1 = 10M*101=10*10M
Kaavaa:
xnxm=xm+n
=> Yksi magnitudi lisää tarkoittaa maanjäristyksen
voimakkuuden 10 –kertaistumista.
Magnitudi voi olla < 0 (A<A0), esim. kaivoksissa maan värähtelyä mitataan
jatkuvasti ja siellä usein taso voi olla esim. - 0.1 M
Ratk. Olkoon ensimmäinen järistys voimakkuudeltaan M ja
toinen M +1 . Muutetaan arvot absoluuttisiksi
Yhtälön log(x) = b ratkaisu on x =10b
dB - asteikko
dB Absoluuttinen (*p0)melu luokassa 83 108.3 = 200*106
melu metroasemalla 107 1010.7 = 50120*106
Ilmanpainearvojen suhde on 50120 / 200 = 250
dB = 10*log(p/p0)
Esim. Mikä on metroaseman 107 dB:n ja luokkamelun 83 dB suhde, kun
käytetään absoluuttista asteikkoa (ilmanpainearvoja)
Kun absoluuttinen painetaso 10- kertaistuu, dB kasvaa 10:llä
p = melun aiheuttama paine Pascaleina, p0 = paine, jonka määritellään vastaavan 0 dB
Esim. : Jos yksi katsomossa huutava katsoja aiheuttaa urheiluhallissa 85 dB
melun, mikä on melutaso kun katsojia on kaksi?
Kuinka monta katsojaa saa aikaan 100 dB?
desibelit Abs. Painetaso (p/p0)
1 katsoja 85 dB => 108.5 = 316*106
2 katsojaa dB=10*log(632000000) =88dB<= 2*316*106= 632*106
100 dB 1010.0 = 10000*106=
x*316*106 ratkaise x
dB/10 = log(p/p0)
x= 1010/316000000 = 32 katsojaa
Esim.: Kuinka monikertainen on 5 koneen aiheuttama melu dB
asteikolla verrattuna 1. koneen aiheuttamaan meluun
desibelit Abs. Painetaso (p/p0)
1 kone x dB vastaa absol.arvona p/p0
5 konetta y = ?
dB=10*log(5 * p/p0)
=10*(log5 + log(p/p0))
= 10*log5 + dBalkup
Lisää tulee 10*log5 = 6.99 dB =7.0 dB
5* p/p0
dB = 10*log(p/p0)
Log(x y) = Log (x) + Log(y)
Jatkokysymys: montako konetta salissa aiheuttaisi 15 dB lisämelua
yhteen koneeseen verrattuna ?
N konetta aiheuttaa lisämelun 10*log(N) . Mikä on N?
10*log(N) = 15 => log(N) = 1.5 => N = 101.5 = 32 konetta
W.A
Symbolimuodossa:
10*log(N* p/p0) = 10*log(N) + 10*log( p/p0) = >lisäys = 10 log(N)
pH asteikkoAbsoluuttinen happamuus mitataan vetyionien pitoisuutena
ja merkitään [H+] (esim. tislatussa vedessä 10-7 mol/l)
pH = - log[H+]
a) Suolahappoliuoksen pH = 1.0. Mikä on absoluuttinen arvo [H+] ?
b) Hiilihappojuoman pH = 3.5. Kuinka moninkertainen on vetyionipitoisuus
suolahapossa verrattuna Coca Colaan?
a) [H+] = 10-pH = 10-1.0 = 0.1 mol/l
b) Colajuomassa [H+] = 10-pH = 10-3.5 = 0.00032 mol/l
Suohapossa pitoisuus on 0.1/0.00032 – kertainen eli
312 kertainen => ts. suolahappo on 312 kertaa happamampi
pH:n määritelmä=> -pH=log[H+]
[H+]= 10-pH
Top Related