Download - Lezione 3_Le Piastre-Equilibrio

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  • Corso diProgetto di Strutture

    POTENZA, a.a. 2012 2013

    Dott. Marco VONADiSGG, Universit di Basilicata

    [email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

    Le Piastre

    Equazioni di equilibrio e soluzioni

  • ly

    x

    bz

    STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE

    w 0 u , v 0 sulla Superficie Media

    z = 0

    xz

    w(x, y, z) = w(x, y) , lineari sullo spessore

    bz Forza per unit di Area [ ]2 LF

  • EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

    0,,

    =+ xyxyxx QMM EQUILIBRIO X(momenti intorno a x)

    0=+ QMM EQUILIBRIO Y

    In presenza di sole forze ortogonali al piano della sezione

    Procedendo eliminando i termini relativi al taglio

    0,,

    =++ zyyxx bQQ EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE VERTICALE

    0,,

    =+ yyyxxy QMM EQUILIBRIO Y (momenti intorno a y)

  • EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

    Riduciamo il problema dello studio delle piastre ad un problemacon una sola equazione in una sola incognita w

    = fCMPoich vale lequazione di collegamento:

    =

    DMMM

    xy

    y

    x

    1000101

    xy

    yy

    xx

    w

    w

    w

    ( )23

    112

    =

    hED

    Esplicitando tutti i terminiDerivando due volte rispetto a x e y

  • EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

    +

    = 2

    2

    2

    2

    yw

    x

    wDM x

    +

    = 2

    2

    2

    2

    yw

    x

    wDM y

    22 yx

    ( )yx

    wDM xy

    =

    2

    1

    Derivando due volte rispetto a x e y

  • EQUAZIONE DI LAGRANGE

    Db

    yw

    yxw

    x

    w z=

    +

    +

    4

    4

    22

    4

    4

    4

    2

    EQUAZIONE DI LAGRANGE

    Introducendo loperatore di Laplace2

    2

    2

    2

    yx

    +

    =

    Tale equazione detta ancheEQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICAper le piastre a spessore costanteConsente di risolvere il problema in una sola incognita w

  • OPERATORE DI LAPLACE

    Operatore di Laplace

    2

    2

    2

    2

    yx

    +

    =

    Lequazione di Lagrange si semplifica ulteriormente assumendo laLequazione di Lagrange si semplifica ulteriormente assumendo laforma

    ( )Db

    ww z== 2

    Loperatore di Laplace non varia se cambia il sistema diriferimento

  • MOMENTO INVARIANTE

    Consideriamo la quantit:

    +

    +=

    1yx MMM

    Sostituendo le espressioni dei momenti flettenti:

    Ha evidentemente la dimensionedi un momento

    +

    = 2

    2

    2

    2

    yw

    x

    wDM x

    +

    = 2

    2

    2

    2

    yw

    x

    wDM y

    +

    =

    +

    +

    +

    += 2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1 yw

    x

    wDyw

    x

    w

    yw

    x

    wDM

  • MOMENTO INVARIANTE

    Ovvero: wDM =

    Questo significa che il momento M calcolato in un generico puntodi una piastra indipendente dallorientamento del sistema dassidi riferimentoPer tale ragione al valore M si attribuisce il nome diPer tale ragione al valore M si attribuisce il nome diMOMENTO INVARIANTE

    Tale invarianza non una propriet di M ma delloperatorelaplaciano

    Dimostriamo tale propriet delloperatore laplaciano

  • OPERATORE DI LAPLACE

    Per dimostrare che loperatore di Laplace invariante rispetto alsistema di riferimento ovvero rispetto al sistema di assiConsideriamo una funzione w(x,y). Ovviamente sar anche w(u,v)Siano ad esempio le coodinate di un generico punto P

    sincos += yxuy

    cossin += yxv

    =

    cossinsincos

    yx

    v

    u

    x

    y uv

    P

  • cos=x

    u sin=yu

    sin=x

    v cos=yv

    y uv

    P

    OPERATORE DI LAPLACE

    sincosv

    w

    u

    w

    x

    v

    v

    w

    x

    u

    u

    w

    x

    w

    =

    +

    =

    x

    cossinv

    w

    u

    w

    yv

    v

    w

    yu

    u

    w

    yw

    +

    =

    +

    =

  • vux

    =

    sincos

    vuy

    +

    =

    cossin

    Per sintetizzare la trattazione, consideriamo gli operatori:

    OPERATORE DI LAPLACE

    yx

    ;

    Che si trasformano in:

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    sincossin2cossincosvvuuvux

    +

    =

    =

    Di conseguenza :

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    coscossin2sincossinvvuuvuy

    +

    +

    =

    +

    =

  • 222

    2

    22

    2

    22

    2

    22 coscossin2sinsincossin2cos

    vvuuvvuu

    +

    +

    +

    +

    OPERATORE DI LAPLACE

    Di conseguenza sommando:

    =

    +

    2

    2

    2

    2

    yx

    2222 coscossin2sinsincossin2cos vvuuvvuu +

    +

    +

    +

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22 cossinsincos

    vuvu

    +

    +

    +

    2

    2

    2

    2

    vu

    +

    =

  • Infine sommando membro a membro si ha:

    OPERATORE DI LAPLACE

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    vuyx

    +

    =

    +

    Tale relazione rappresenta il concetto diinvarianza delloperatore di Laplace

    Ovvero data una qualunque funzione w(x, y) in suo operatore diLaplace indipendente dal riferimento

  • Relazione di invarianza

    OPERATORE DI LAPLACE

    Poich il momento invariante stato espresso nel seguente modo

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    vuyx

    +

    =

    +

    +

    =

    22 ww

    +

    = 2

    2

    2

    2

    yw

    x

    wDM

    Risulta:

    +

    =

    +

    = 2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    v

    w

    u

    wDyw

    x

    wDM

    M invariante rispetto al sistema di riferimento

  • PSOLUZIONE DELLE PIASTRE INFLESSE

    Nellipotesi di validit della teoria di Kirchhoff Love

    In un qualunque punto P della piastra si ha

    v

    xz

    x

    u xPx

    =

    =

    =

    =

    Pz x

    yy

    zyv yP

    y

    =

    =

    ( ) ( )( ) ( )

    xyxyy

    yxyxx

    zEE

    zEE

    +

    =+

    =

    +

    =+

    =

    22

    22

    11

    11

    Quindi:

  • In termini di sollecitazioni le ipotesi riportate si traducono in:

    y

    x

    xzx

    =

    =

    2

    2

    2

    2h

    h yzy

    h

    h xzx

    dzQ

    dzQ

    SOLUZIONE DELLE PIASTRE INFLESSE

    x

    z

    xxyyz y

    yx

    Qx y

    x

    z

    MxMxyQy

    MxyMy

    =

    =

    =

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    h

    h xyxy

    h

    h yy

    h

    h xx

    dzzM

    dzzM

    dzzM

    2

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    x

    Bordo incastratoBordo rettilineo parallelo allasse y incastrato

    y

    Sono nulli spostamento e rotazione lungo il bordo

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    x

    Bordo incastrato parallelamente a y

    y

    Lungo tale bordo (contorno) risulta00

    0

    =

    =

    =

    y

    x

    w

    Le uniche reazioni vincolari che interessano sono

    xyxx MMQ ;;

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Se il bordo incastrato non parallelo ad uno dei due assi lecondizioni al contorno diventano:

    00

    0

    =

    =

    =

    bordo

    w

    0=bordo

    Le uniche reazioni vincolari che interessano sono taglio, flessionee torsione

    xyxx MMQ ;;

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Bordo appoggiato parallelamente a y

    x

    Le condizioni al contorno devono esprimere lannullarsidellabbassamento in corrispondenza del vincolo di bordo elannullarsi del momento intorno al bordo stesso

    0;0 == xMw

    y

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Dalla teoria di Kirchhoff

    yw

    x

    w

    y

    x

    =

    =

    02

    2

    2

    2

    =

    +

    yw

    x

    w 02

    2

    =

    x

    w

    Se il bordo su cui la piastra appoggiata parallelo a x si ha:

    In entrambi i casi lungo il bordo si ha:022

    =

    yw

    0=w 0=M

    Poich M invariante rispetto al sistema di riferimento dellecoordinate le condizioni

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Questo vuol dire che w invariante rispetto allasse del bordo

    esprimono un vincolo di appoggio comunque sia orientato nelpiano x, y

    0=w 0=M

    Questo vuol dire che w invariante rispetto allasse del bordo(appoggio)Poich anche M invariante (per definizione) qualunque bordocomunque orientato su cui la piastra appoggiata gode dellepropriet suddette ovvero

    022

    2

    2

    ==

    +

    wyw

    x

    w

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Bordo libero

    x

    Differisce dal caso del bordo appoggiato perch diviene nulla lareazione R ma non nullo labbassamento verticale. Le condizionilungo il bordo sono dunque

    0;0 == fMR

    y

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Bordo libero

    Se il bordo libero parallelo allasse y si ha

    +

    = 2

    2

    2

    2

    yw

    x

    wDM x

    yM

    x

    My

    MQR xyxxyx

    +

    =

    += 2

    La reazione vale

    ( )

    +

    +

    =

    xyw

    xyw

    ywDR 2

    3

    2

    3

    3

    3

    12

  • LE CONDIZIONI AL CONTORNO

    Bordo libero

    ( )

    +

    =

    xyw

    ywDR 2

    3

    3

    3

    2

    Le condizioni al contorno diventano quindi:

    ( ) 02 23

    3

    3

    =

    +

    xyw

    yw

    022

    2

    2

    =

    +

    yw

    x

    w

  • LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

    x

    yUna piastra si consideraindefinitamente appoggiata se hauna dimensione longitudinale y ,nella direzione parallela agli appoggi,tanto maggiore della direzionetrasversale x da poter essereconsiderata di lunghezza indefinita

    L

    x

    Soggetta ad un carico esternoortogonale al piano della piastra evidente che la deformata sarcontenuta soltanto nel piano (x, z)ovvero sar una deformazione ditipo cilindrico ed indipendente da y

    considerata di lunghezza indefinita

  • LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

    Possiamo considerare lanalogia conla una trave appoggiata

    In tal caso la deformata dipendesoltanto dalla coordinatalongitudinale x (come per le travi)L

    x

    p0

    ( )33400 224 xLLxxEJp

    w +=

    12

    3hJ =

    Per una trave appoggiata agli estremi, di altezza h e larghezzaunitaria, e soggetta ad un carico uniformemente ripartito p0 ladeformata data da:

  • LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

    Analogia Trave Piastra

    La deformata cilindrica corrisponde al carico p0 uniforme con:

    Mx Pari al momento di una trave appoggiata e caricata con p0

    My Pari a Mx

    La deformazione uguale a quella della trave appoggiatamoltiplicata per (1 )2

    Tali risultati si spieganoconsiderando ilcomportamento di unastriscia isolata, dilarghezza unitaria, di unapiastra generica

    y

    L = 1

    1+y

    1-yx

    ( )20 1 = ww

  • LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

    La deformazione trasversale dovuta alleffetto Poisson ha valore:

    Nella piastra indefinita, invece, la deformazione trasversale nulla

    Ex

    xy

    ==

    0= ( ) 01 == L = 10=y ( ) 01 == xxy E Le tensioni e sollecitazioni valgono quindi

    xy = xy MM =Infine la deformazione vale:

    ( ) xyxx EE

    211

    ==

    y

  • LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

    x

    yPer lanalogia con la trave risultaevidente che considerando delle singolestrisce di larghezza unitaria ciascuna diqueste potr essere trattata come latrave appena descritta. La deformatacilindrica (funzione solo di x) vale:

    L

    x

    ( )3340 224

    )( xLLxxD

    pxw +=

    Si ricava inoltre:

    ( )LxxD

    px

    w=

    20

    2

    2

    20

    2

    2

    2

    =

    =

    xyw

    yw

  • LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

    =

    20L

    xpQx 0=yQ

    Le sollecitazioni taglianti valgono:

    0pp =x

    y

    ( )LxxpM x 22 20 =xy MM =

    0=xyM

    I momenti flettenti

    L

    x

  • Da quanto finora visto risulta evidente che la risoluzione delproblema delle piastre consiste nella determinazione delladeformata w nota la quale possibile tramite le equazioni diequilibrio e di collegamento determinare tutte le caratteristichedella sollecitazione

    METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE

    Equazioni di equilibrioNoti abbassamenti w Equazioni di equilibrioe collegamento

    Noti abbassamenti w

    Sollecitazioni

    La risoluzione del problema in coordinate rettangolari equivalealla risoluzione dellequazione di Lagrange portando in conto lecondizioni al contorno

  • I metodi di risoluzione del problema delle piastre sono moltissimia seconda dei vari casi particolari a cui ci si riferisce

    Tra i pi comuni e che di seguito sono trattati ricordiamo

    METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE: ESEMPI

    Metodo di risoluzione di NAVIER per la piastrarettangolare appoggiatarettangolare appoggiata

    Metodo di risoluzione alle DIFFERENZE FINITE

    Metodo di risoluzione agli ELEMENTI FINITI

  • La soluzione di Navier per la piastra di forma rettangolareappoggiata sul contorno deriva dalla teoria di Kirchhoff

    LA SOLUZIONE DI NAVIER

    necessario innanzi tutto ricordare losviluppo in serie di Fourier dei seni

    ( )

    =

    =

    1sin

    n

    na

    xnaxf pi ax 0

    Data una generica funzione f(x) della variabile x definita in unintervallo 0 a si definisce sviluppo di Fourier in serie di senidella funzione f(x) in un intervallo 0 a convergente in ognipunto dellintervallo ad f(x) la seguente espressione:

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    Sviluppo in serie di Fourier dei seni

    I coefficienti a1 , a2 , ., an si chiamano coefficienti di Fourierdella funzione f(x) nellintervallo 0 aPer determinare i coefficienti di Fourier di un data funzione siprocede nel seguente modo

    ( )

    =

    =

    1sinsinsin

    n

    na

    xr

    a

    xna

    a

    xrxf pipipi

    Moltiplicando entrambi i membri per ( )axrpisin

    Essendo r un qualsiasi intero positivo

  • Integrando in x tra 0 ed a

    LA SOLUZIONE DI NAVIER

    ( )

    =

    =

    1 00

    sinsinsinn

    a

    n

    a

    dxa

    xr

    a

    xnadx

    a

    xrxf pipipi

    Com noto per un sistema di funzioni ORTOGONALI si ha:

    =a

    dxa

    xr

    a

    xn

    0

    sinsin pipinr

    a

    nr

    =

    2

    0

    ( )2

    sin0

    aadx

    a

    xrxf r

    a

    =pi ( ) dx

    a

    xnxf

    aa

    a

    n =0

    sin2 pi

    Per cui la sommatoria si riduce al solo termine n = r

  • Consideriamo la somma parziale:

    LA SOLUZIONE DI NAVIER

    =

    =

    q

    n

    nqa

    xraS

    1sin pi

    Ovvero la serie di Fourier interrotta al suo termine q-esimo

    Si pu dimostrare che Sq approssima la media di f(x)nellintervallo 0 a . Lapprossimazione migliora con laumentodel numero di termini (q) consideratiIn sostanza per

    Lerrore tende ad annullarsi

    q

  • Consideriamo la somma parziale:

    LA SOLUZIONE DI NAVIER

    =

    =

    q

    n

    nqa

    xraS

    1sin pi

  • Sotto ipotesi generalmente verificate lo sviluppo in serie di seniconverge alla f(x) in ogni punto eccettuati eventualmente gliestremi

    Per una funzione simmetrica sono nulli tutti i termini di Fourier diordine PARI mentre per una funzione antisimmetrica sono nulli itermini di ordine DISPARI

    LA SOLUZIONE DI NAVIER

    termini di ordine DISPARI

    Sviluppo in doppia serie di seni per una funzione di due variabili

    ( )

    =

    =

    =

    1 1sinsin,

    m n

    mn byn

    a

    xmayxf pipi

    ( ) =

    =

    =

    =

    =

    ax

    x

    by

    ymn dxdyb

    yna

    xmyxfab

    a0 0

    sinsin,4 pipi

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    ya

    b

    Piastra rettangolare

    xPer quanto visto in relazione allo sviluppo in serie di Fourier sipu affermare che lo sviluppo in doppia serie di seni si annulla sulcontorno insieme con le sue derivate seconde, ovvero:

    22

    22

    ; yx

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata caricatasinusoidalmente. Supponiamo che sia sinusoidale anche ladeformata ovvero che risponda ad una legge del tipo:

    byn

    a

    xmaw mn

    pipisinsin=

    Applicando quanto visto in precedenza sullo sviluppo in serie di

    Sul contorno lecondizioni sono:

    0=w 0;0 22

    2

    2

    =

    =

    yw

    x

    w

    Applicando loperatore di Laplace alla legge della deformata

    wbn

    a

    m

    byn

    a

    xma

    bn

    a

    mw mn

    +=

    += 2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    22 sinsin pipipipi

    Applicando quanto visto in precedenza sullo sviluppo in serie diFourier si ha:

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    byn

    a

    xma

    bn

    a

    mw mn

    pipipi sinsin

    2

    2

    2

    2

    242

    +=

    Quindi:

    Sostituendo nellequazione di Lagrange e risolvendo rispetto alcarico esterno si ha:

    byn

    a

    xmbb mnzpipi

    sinsin=

    Db

    w z=2 22

    2

    2

    24

    +

    =

    bn

    a

    mD

    ba mnmn

    pi

    carico esterno si ha:

    Inversamente dato un carico esterno si pu determinare ladeformata w e risulta

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    ( )

    = sinsin, mnz byn

    a

    xmbyxb pipi

    Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata comunquecaricata

    Basta sviluppare il carico esterno in serie di seni (Fourier)ponendo:

    Noti quindi i coefficienti bmn si pu determinare la deformata

    ( ) = =

    =

    1 1sinsin,

    m n

    mnz babyxb

    ( )

    =

    =

    =

    1 1sinsin,

    m n

    mn byn

    a

    xmayxw pipi

    Il carico e quindi la deformata vengono decomposti in ondesinusoidali

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    Questo procedimento che consiste nel decomporre il carico e ladeformata in onde sinusoidali prende il nome di

    Soluzione di NAVIER

    importante ricordare che lutilizzo di tale procedimento discomposizione i serie di seni per la risoluzione del problema dellapiastra dipendono dal verificarsi delle seguenti condizioni:piastra dipendono dal verificarsi delle seguenti condizioni:

    La funzione incognita sia finita in tutto il suo campo didefinizione

    Si annulli insieme alle sue derivate sul contorno deldominio rettangolare

    Nellequazione compaiano solo derivata di ordine paririspetto alla variabili

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    Applicazione e gradi di approssimazione del metodo diSoluzione di NAVIER

    Nelle applicazioni pratiche non possibile considerare gli infintitermini delle doppie serie relative ai carichi e alla deformata

    Si pone quindi:

    ( ) = =

    =

    q

    m

    q

    n

    mnz byn

    a

    xmbyxb1 1

    sinsin, pipi

    ( ) = =

    =

    q

    m

    q

    n

    mn byn

    a

    xmayxw

    1 1sinsin, pipi

    Si prendono in considerazione soltanto i primi q2 termini della serie

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente

    Dallespressione: ( ) =

    =

    =

    =

    =

    ax

    x

    by

    ymn dxdyb

    yna

    xmyxfab

    a0 0

    sinsin,4 pipi

    Si ottiene:zmn b

    mnb 16= Per n ed m dispari

    mn

    2

    2

    2

    2

    ;yw

    x

    w

    Si possono quindi ricavare i coefficienti di Fourier per

    ( ) 2max 100410.0 abM z +=

    Considerando solo il I termine si ottiene :

    Dabw z

    4

    max 00416.0 =

  • LA SOLUZIONE DI NAVIER

    ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente

    ( ) 2max 100368.0 abM z += I valori esatti sono invece:

    Dabw z

    4

    max 00406.0 =

    Lerrore percentuale che si compie sulla deformata pari a 2.5%.Lerrore percentuale che si compie sulla deformata pari a 2.5%.La convergenza praticamente immediata

    Per il momento M lerrore pari a circa il 10%. La convergenza pi lenta

    Per ottenere pi rapidit di convergenza ci sono ulterioriprocedimenti variabili in funzione degli specifici casi a cui ci siriferisce

  • METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

    Il metodo semplificato di Grashof per la soluzione delproblema della piastra rettangolare appoggiata sul contorno

    y

    bz

    x

    Si immagina che la piastra sia costituita da strisce affiancate nelledue direzioni x e y. Le strisce nella direzione x portano la quotaparte del carico esterno bz,x quelle in direzione y la quota parte delcarico esterno bz,y con:

    yzxzz bbb ,, +=

  • METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

    La congruenza imposta in corrispondenza del centro dellapiastra. Si intuisce che le due strisce centrali, nelle direzioniortogonali x e y, hanno lo stesso abbassamento

    4lp

    Poich gli abbassamenti sono proporzionali al carico ed alledimensioni della piastra secondo lespressione:

    4xxlp4yylp

    Per la striscia parallela a x

    Per la striscia parallela a y

    Deve risultare:44yyxx lplp =

    Da cui:44

    4

    yx

    yx ll

    lpp

    += 44

    4

    yx

    xy ll

    lpp+

    =

  • METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

    I corrispondenti momenti valgono

    44

    2222

    81

    81

    yx

    yxyxxx ll

    llpllpM

    +== 44

    2222

    81

    81

    yx

    yxxyyy ll

    llpllpM

    +==

    da notare che nella direzione del lato minore si ottiene la da notare che nella direzione del lato minore si ottiene lasollecitazione maggiore:

    2

    2

    x

    y

    y

    x

    ll

    MM

    =

    Come daltronde si pu intuire considerando che, a parit diabbassamento in mezzeria, la striscia pi corta deve avere unacurvatura maggiore quindi un momento maggiore

  • METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

    Ne consegue che per piastre di forma allungata la collaborazionetra le strisce di lunghezza maggiore diventa irrilevante

    y

    bz2

    2

    y

    x

    x

    y

    MM

    ll

    x

    0625.04111.0325.0211

    yx Ml

  • METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

    Nella realt al funzionamento a graticcio considerato dal metododi Grashof si sovrappone linterazione torsionale tra strisceparallele

    SP1PQ1Q S

    Consideriamo due strisce adiacenti individuate rispettivamente daipunti PSP1 e QTQ1. Le rotazioni delle strisce in S (S) ed in T (T)considerate indipendenti sono diverse il che implica che le strisceortogonali sono soggette a torsione.

    TT

  • METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

    Il metodo di Grashof condurrebbe invece ai seguenti risultati

    T

    SP1PQ1Q

    T

    S

    b T2z

    yxbpp ==

    %6000651.02384

    5 44max +=== D

    abDab

    w zz

    %700625.028

    1 22max +=== aba

    bM zz

  • Per membrana intendiamo un elemento strutturale superficialeavente rigidezza flessionale nulla

    Consideriamo una membrana di forma qualsiasi che sia tesauniformemente sul suo contorno

    Tale azione esercitata da una forza H per unit di lunghezza

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

  • Tutti gli elementi interni sono tesi della stessa quantit (la forza H)

    1

    H

    H

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    1

    H

    Supponiamo di applicare un carico p ortogonale alla membrana

  • Sia il carico p tale da creare abbassamenti w senza alterare lostato tensionale dovuto ad H, ovvero siano gli abbassamenti w(incogniti) piccoli

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    H

    H

    H

    H

    p

  • Consideriamo nello spessore della membrana un elemento dx, dy

    Esaminiamo lo stato di equilibrio di tale elemento in direzionenormale al suo piano

    Gli spostamenti v sono determinati nellipotesi che sianoabbastanza piccoli da non provocare sensibile variazioni di H

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    dy

    dx

  • Lo stato di equilibrio delle forze in direzione normaleallelemento dx dy analizzato considerando:

    Il carico pLa componente della forza H lungo il lato dy HdyLa componente della forza H lungo il lato dx Hdx

    dxH

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    dy

    dx

    H

    H

    12

    H

    H

  • Il carico esterno vale pdxdyLe componenti di H lungo yvalgono:

    1sin dyH

    2sin+ dyH

    dy

    dx

    H

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    H

    12

    Nellipotesi di piccole deformazioni

    x

    w

    11 tansin dxx

    w

    x

    w2

    2

    2sin

    +

    =

  • xwdyH

    dy

    dx

    H1

    +

    +ww 2

    Le componenti di H lungo ydiventano:

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    H

    12

    +

    + dxx

    w

    x

    wdyH 22

    x

    wdyH

    +

    + dxx

    w

    x

    wdyH 22

    dxdyx

    wH 22

    =

    La somma delle componenti di H lungo y

  • dy

    dx

    H1

    dxdyywH 2

    2

    Analogamente le componentilungo il lato dx delle forze Hvalgono

    Lequilibrio quindi si

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    H

    12

    Lequilibrio quindi sidetermina come

    022

    2

    2

    =

    +

    + dxdyywHdxdy

    x

    wHdxdyp

  • dy

    dx

    H1

    Da cui semplificando

    Hp

    yw

    x

    w=

    +

    2

    2

    2

    2

    LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    H

    12 Equazione delle superficie

    elastica deformata dellamembrana (detta anchesuperficie funicolare)

    Hp

    w =

  • dy

    dxLa trattazione esposta analoga alla curva funicolare definita perun carico p

    H

    ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    H

    H

    12

    H

    H

    Hp

    x

    y=

    2

    2

    Hp

    wyw

    x

    w==

    +

    2

    2

    2

    2

  • ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

    Lanalogia con la piastra comporta inoltre1. Lequazione differenziale del momento invariante di una

    piastra caricata con carico p coincide con quella funicolare diuna membrana caricata dal carico p e soggetta ad unatensione uniforme H = 1.Le ordinate della funicolare, nulle sul contorno, coincidonocon il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sulcon il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sulcontorno

    2. Lequazione differenziale della superficie elastica di unapiastra soggetta al momento invariante M coincide con quelladi una membrana caricata dal carico fittizio p = - M / D esoggetta alla tensione uniforme H = 1Le ordinate delle due superfici coincidono se la piastra vincolata sul contorno dove sar w = 0