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Capitolo 11L’evoluzione delle perturbazioni nel modellostandard del Big Bang

11.1 Cosa vogliono fare i cosmologi e perche questo

e fattibile?

I cosmologi cercano di spiegare l’origine delle strutture su grande scala dell’universo inespansione, ovvero come ∆ “ ∆ρρ, contrasto di densita, raggiunge valori ∆ „ 1 dacondizioni iniziali rimarchevolmente isotrope. Oltre ∆ „ 1 l’evoluzione diventa non-lineare e si va verso strutture legate che arrivano infine a formare ammassi e galassie incui avvengono processi di formazione stellare. Quest’ultima parte e fatta dagli astrofisici.Gli obiettivi dei cosmologi sono quindi legati a capire

• come evolvono le perturbazioni ∆ρρ in un universo in espansione;

• quali sono e come si sono originate le condizioni iniziali necessarie per la formazionedelle strutture.

L’origine delle fluttuazioni di densita deve essere avvenuta nell’universo primordialein un’epoca in cui non abbiamo accesso diretto con le osservazioni, molto prima dellanucleosintesi. Pertanto questi studi forniscono la possibilita di esplorare le condizionifisiche nell’universo primordiale, non accessibili in laboratorio o con le osservazioni.

Vediamo adesso di capire perche le galassie e gli ammassi di galassie devono essersiformati relativamente tardi nella storia dell’universo.

Come detto, la densita media dell’universo attuale e ρ0 “ Ω0ρc con Ω0 » 0.3. Pero ledensita medie di sistemi legati come galassie, ammassi e superammassi sono dell’ordinedi

• galassie, « 106 ˆ ρ0;

• ammassi, « 103 ˆ ρ0;

• superammassi, « 1´ 10ˆ ρ0;

ovvero i contrasti di densita per t “ t0 sono, rispettivamente,ˆ

∆ρ

ρ

˙

0

« 106, 1000, 1´ 10

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2 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

Dato che sono sistemi legati gravitazionalmente non partecipano all’espansione dell’uni-verso, consideriamo ∆ρ « costante ottenendo

∆ “∆ρ

ρ“

∆ρ

ρ0p1` zq3“

1

p1` zq3

ˆ

∆ρ

ρ

˙

0

Quindi le galassie avevano ∆ „ 1 per z « 100 e non erano oggetti definiti e ben se-parati a redshift piu alto altrimenti adesso avrebbero ∆ maggiore di quanto osservato.Analogamente gli ammassi avevano ∆ „ 1 per z « 10 ed i superammassi ∆ „ 1 perz « 1. In realta questi sono solo generosi limiti superiori ai redshift di formazione diqueste strutture.

In ogni caso, le galassie e le altre strutture hanno raggiunto ∆ „ 1 a z ă 100 ovveroben dopo la ricombinazione ed in un universo matter dominated. Ne consegue che lestrutture si sono formate, ovvero hanno raggiunto ∆ „ 1, in un passato accessibile allaosservazioni.

Le perturbazioni erano certamente in regime lineare (∆ ă 1) per z ą 100 per cui epossibile fare dei calcoli molto precisi.

E’ naturale cominciare con l’evoluzione delle piccole perturbazioni in un universo inespansione. L’analisi completa e estremamente complessa (occorre un’analisi relativistica,con la relativita generale, la teoria dei campi, ecc.) pertanto seguiremo una trattazionenecessariamente semplificata.

11.2 La crescita delle piccole perturbazioni in un uni-

verso in espansione: il caso non relativistico

Consideriamo scale spaziali molto minori della scala dell’orizzonte che, per il momen-to, supponiamo essere l « c ˆ t. Quella che eseguiremo adesso e un’analisi classicadell’astrofisica teorica, modificata per tener conto dell’universo in espansione.

Le equazioni della fluidodinamica per un gas autogravitante, ovvero nel campo gravi-tazionale generato da se stesso sono, nell’ordine, l’equazione di continuita (della massa),l’equazione di Eulero (di moto) e l’equazione di Poisson

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq “ 0 (11.1)

B~v

Bt` p~v ¨∇q~v “ ´

~∇pρ´ ~∇φ (11.2)

∇2φ “ 4πGρ (11.3)

Queste descrivono la dinamica di un fluido di densita ρ e pressione p con distribuzione div velocita ~v. Le derivate descrivono la variazione delle quantita fisiche in un punto fissatodello spazio (sono cioe eseguite a x, y, z costanti) e pertanto quelle equazioni sono scrittenella cosiddetta rappresentazione Euleriana. Se consideriamo una griglia di punti nellospazio, le derivate Euleriane ci dicono come le proprieta del fluido nei punti della grigliacambiano nel tempo.

La rappresentazione Lagrangiana invece richiede derivate temporali “totali”

d

dt“B

Bt` p~v ¨∇q

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11.2 Piccole perturbazioni in universo in espansione: caso non relativistico 3

per cui le equazioni fluide diventano

dt“ ´ρ~∇ ¨ ~v

d~v

dt“ ´

~∇pρ´ ~∇φ

∇2φ “ 4πGρ (11.4)

Queste descrivono il comportamento di un elemento di fluido (identificato dalle sue coor-dinate ad un istante di tempo fissato) seguendolo nella sua evoluzione. E’ il sistema

naturale per esprimere ~F “ m~a.Le equazioni Lagrangiane si possono scrivere in forma comovente ovvero seguendo le

proprieta di un elemento di fluido che si espande nell’universo piuttosto che collocandosiin un punto fissato e vedere l’universo espandersi. Il vantaggio della forma comoventesi puo vedere se si tien conto che in un riferimento non comovente a seguito della solaespansione dell’universo si ha

~v “ H~r

con H “ Hptq costante di Hubble e ~r coordinata comovente ovvero

~∇ ¨ ~v “ H~∇ ¨ ~r “ 3H

tenendo conto del fatto che H varia solo con t e non nello spazio (universo e omogeneo eisotropo). Pertanto l’equazione di continuita diventa

dt“ ´3Hρ

e, dal momento che

H “

ˆ

9a

a

˙

si ha

dρ “ ´3

ˆ

9a

a

˙

ρdt

ρ“ ´3

d

dtpln aqdt

da cui

ln

ˆ

ρ

ρ0

˙

“ ´3 ln

ˆ

a

a0

˙

ρ “ ρ0a´3

come avevamo gia trovato. Ovvero, in un riferimento non comovente si ha una variazionedella densita (e quindi delle altre grandezze) anche in seguito all’espansione dell’universo.Inoltre, c’e un’importante distinzione tra i riferimenti Lagrangiani e quello comovente: inun riferimento non comovente i gradienti in φ e p vengono calcolati rispetto a coordinatespaziali che cambiano con l’espansione dell’universo, solo nel caso isotropo e uniforme ipunti mantengono costanti le loro coordinate.

La procedura standard da seguire e quindi quella di cercare la soluzione per un mezzonon perturbato che viene considerato come lo stato uniforme in cui ρ e p sono gli stessi

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4 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

ovunque e ~v “ 0. Questa soluzione in un mezzo stazionario esiste solo per ρ “ 0 ma noidobbiamo considerare l’universo in espansione, ovvero ~v ‰ 0, e questo elimina il problema.

Le soluzioni non perturbate per velocita ~v0, densita ρ0 e potenziale φ0 soddisfano leequazioni

dρ0

dt“ ´ρ0

~∇ ¨ ~v0

d~v0

dt“ ´

~∇p0

ρ0

´ ~∇φ0

∇2φ0 “ 4πGρ0

si noti che in questo caso “0” indica il mezzo non perturbato non il momento attuale(t “ t0). Consideriamo le perturbazioni al primo ordine di queste soluzioni

~v “ ~v0 ` δ~v

ρ “ ρ0 ` δρ

p “ p0 ` δp

φ “ φ0 ` δφ (11.5)

Si noti come ~v0 costituisca il termine di espansione di Hubble (le particelle del gas sonoa riposo, ovvero seguono l’espansione di Hubble) mentre δ~v altro non e che una velocitapeculiare, ovvero la velocita delle particelle di fluido rispetto al substrato in espansione.e sostituiamo nelle equazioni fluide 11.4:

d

dtpρ0 ` δρq “ ´pρ0 ` δρq~∇ ¨ p~v0 ` δ~vq

d

dtp~v0 ` δ~vq “ ´

1

ρ0 ` δρ~∇pp0 ` δpq ´ ~∇pφ0 ` δφq

∇2pφ0 ` δφq “ 4πGpρ0 ` δρq

sviluppiamo ed eliminiamo i termini di ordine superiore dalla prima e dalla secondaequazione

d

dtpρ0 ` δρq “ ´ρ0

~∇ ¨ ~v0 ´ δρ~∇ ¨ ~v0 ´ ρ0~∇ ¨ δ~v

d

dtp~v0 ` δ~vq “ ´

1

ρ0

ˆ

1´δρ

ρ0

˙

~∇pp0 ` δpq ´ ~∇pφ0 ` δφq

∇2pφ0 ` δφq “ 4πGpρ0 ` δρq

Consideriamo adesso la prima equazione e sottraiamo membro a membro l’equazioneimperturbata, ottenendo

dpδρq

dt“ ´δρ~∇ ¨ ~v0 ´ ρ0

~∇ ¨ δ~v

Tenendo conto ched

dt

ˆ

δρ

ρ0

˙

“1

ρ0

dpδρq

dt´δρ

ρ20

dρ0

dt

posso sostituire la derivata del primo addendo del secondo membro con l’equazione per δρappena trovata e la derivata del secondo addendo con l’equazione imperturbata ottenendo

d

dt

ˆ

δρ

ρ0

˙

“ ´~∇ ¨ δ~v (11.6)

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11.2 Piccole perturbazioni in universo in espansione: caso non relativistico 5

Definendo il contrasto di densita

∆ “δρ

ρ0

si ottiene infined∆

dt“ ´~∇ ¨ δ~v (11.7)

questa equazione descrive l’evoluzione del contrasto di densita in relazione alla velocitapeculiare associata al collasso della perturbazione, ovviamente in fase lineare ovvero taleche ∆ ! 1.

Consideriamo adesso la seconda equazione ed elaboriamo il primo membro tenendoconto che la velocita e ~v “ ~v0 ` δ~v

d

dtp~v0 ` δ~vq “

B

Btp~v0 ` δ~vq ` p~v0 ` δ~vq ¨ ~∇p~v0 ` δ~vq

“B~v0

Bt`Bδ~v

Bt` p~v0 ¨ ~∇q~v0 ` pδ~v ¨ ~∇q~v0 ` p~v0 ¨ ~∇qδ~v

pero dobbiamo considerare che e possibile sostituire i due termini sottolineati con

dpδ~vq

dt“Bpδ~vq

Bt` p~v0 ` δ~vq ¨ ~∇δ~v »

Bpδ~vq

Bt` p~v0 ¨ ~∇qδ~v

Si noti anche comeB~v0

Bt` p~v0 ¨ ~∇q~v0 “

ˆ

d~v0

dt

˙

0

dove il secondo membro non e la derivata lagrangiana di ~v0 ma il primo membro dell’e-quazione fluida non perturbata. Quindi possiamo scrivere

d

dtp~v0 ` δ~vq “

ˆ

d~v0

dt

˙

0

` pδ~v ¨ ~∇q~v0 `dδ~v

dt

Ovviamente, per la linearita dell’operatore di derivata, i primi due addendi corrispondonoa d~v0dt ovvero la derivata lagrangiana di ~v0 nel caso perturbato. Adesso applichiamo

l’ipotesi fatta all’inizio che lo stato iniziale sia omogeneo e isotropo per cui ~∇p0 “ ~∇ρ0 “ 0e sottraiamo l’equazione imperturbata; otteniamo infine

dpδ~vq

dt` pδ~v ¨ ~∇q~v0 “ ´

1

ρ0

~∇δp´ ~∇δφ (11.8)

L’equazione di Poisson, sottraendo l’equazione imperturbata, diventa semplicemente

∇2δφ “ 4πGδρ (11.9)

Queste tre equazioni sono state scritte in coordinate proprie ~x. Introduciamo lecoordinate comoventi ~r

~x “ aptq~r

per cui in generale la velocita e

~v “δ~x

δt“da

dt~r ` aptq

d~r

dt

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6 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

Da questa espressione si puo facilmente riconoscere che il termine dadt ~r altro non e che~v0 ovvero il termine che descrive l’espansione di Hubble

~v0 “da

dt~r

pertanto la perturbazione dal flusso di Hubble e data dal secondo termine della derivataovvero da

δ~v “ aptqd~r

dt“ aptq~u

con ~u velocita perturbata comovente; si noti come la variazione della coordinata comoven-te, per definizione, si ha solo in caso di moto “proprio”, ovvero in presenza di perturbazionedal flusso di Hubble.

A questo punto conviene derivare rispetto alle coordinate comoventi ~r piuttosto cherispetto alle ~x, come fatto fino ad ora, per cui

d

dxi“

1

a

d

dri

~∇ “

ˆ

B

Bx1

,B

Bx2

,B

Bx3

˙

“1

a

ˆ

B

Br1

,B

Br2

,B

Br3

˙

“1

a~∇c

In base a questo l’equazione 11.7 diventa

d∆

dt“ ´~∇ ¨ δ~v “ ´ 1

Za~∇c ¨ pZa~uq “ ´~∇c ¨ ~u (11.10)

L’equazione della velocita delle perturbazioni

dpδ~vq

dt` pδ~v ¨ ~∇q~v0 “ ´

1

ρ0

~∇δp´ ~∇δφ

diventa allora

9a~u` ad~u

dt` pa~u ¨ ~∇qp 9a~rq “ ´ 1

ρ0

~∇δp´ ~∇δφ (11.11)

Si puo notare che

pa~u ¨ ~∇qp 9a~r q “ a 9ap~u ¨ ~∇q~r “ a 9a

~u ¨

ˆ

1

a~∇c

˙

~r

“ 9a

ˆ

u1B

Br1

r1, u2B

Br2

r2, u3B

Br3

r3

˙

“ 9a~u (11.12)

per cui, passando alle derivate “comoventi”, l’equazione 11.11 diventa

d~u

dt` 2

ˆ

9a

a

˙

~u “ ´1

ρ0a2~∇cδp´

1

a2~∇cδφ (11.13)

Consideriamo una perturbazione adiabatica in cui e possibile definire la velocita delsuono

c2s “

ˆ

dp

˙

S

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11.2 Piccole perturbazioni in universo in espansione: caso non relativistico 7

tale cheδp “ c2

sδρ

Adesso combiniamo l’equazione per δρ (11.10) e per ~u (11.13): prendiamo la derivatatemporale della prima, la divergenza comovente della seconda e utilizziamo δp “ c2

sδρ

d

dt

d

dt

ˆ

δρ

ρ0

˙

“d

dt

´~∇c ¨ ~uı

~∇c ¨

d~u

dt` 2

ˆ

9a

a

˙

~u

“ ~∇c ¨

´1

ρ0a2~∇cδp´

1

a2~∇cδφ

ottenendo

d2

dt2

ˆ

δρ

ρ0

˙

“ ´~∇c ¨9~u

~∇c ¨9~u` 2

ˆ

9a

a

˙

~∇c ¨ ~u “ ´1

ρ0a2∇2cpc

2sδρq ´

1

a2∇2cδφ

a cui si deve aggiungere l’equazione di Poisson perturbata (11.9) che, in coordinatecomoventi, e

1

a2∇2cδφ “ 4πGδρ

Infine, sostituendo ~∇c ¨9~u dalla prima nella seconda ed usando l’equazione di Poisson

perturbata in coordinate comoventi, si ottiene l’equazione per il contrasto di densita ∆

d2∆

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

d∆

dt“c2s

a2∇2c∆` 4πGρ0∆ (11.14)

Questa equazione ricorda molto l’equazione delle onde a parte il termine con la derivataprima temporale di ∆. Andiamo a cercare una soluzione tale che la parte spaziale siaesprimibile come onda piana ovvero

∆p~r, tq “ δptq ˆ exp”

i~kc ¨ ~rı

~kc e il vettore d’onda in coordinate comoventi la cui relazione col vettore d’onda incoordinate proprie e

~kc “2π

λck “

2πaptq

λk “ aptq~k

Da questa definizione si nota anche come

~kc ¨ ~r “ a~k ¨ ~r “ ~k ¨ ~x

Data la dipendenza spaziale della ∆p~r, tq si puo scrivere

∇2c∆ “ ´k2

c∆

ovveroc2s

a2∇2c∆ “ ´

k2cc

2s

a2∆ “ ´k2c2

s∆

sfruttando il fatto che, come appena mostrato, kc “ aptqk. Si ottiene infine che la partetemporale δptq deve soddisfare l’equazione

d2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“ δ

`

4πGρ0 ´ k2c2s

˘

(11.15)

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8 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

11.3 L’instabilita di Jeans classica

Prima di tutto rivediamo il caso classico dell’instabilita gravitazionale in un mezzo staticoed omogeneo (Jeans, 1902). Poniamo 9a “ 0 e cerchiamo soluzioni per δptq della forma

δptq “ ∆k ˆ expr´iωts (11.16)

Questo significa che

∆p~r, tq “ ∆k ˆ exp”

ip~k ¨ ~r ´ ωtqı

(11.17)

Questa soluzione prende il nome di “modo normale” e la soluzione piu generale dell’equa-zione 11.14 e una sovrapposizione di infiniti modi normali

∆p~r, tq “ÿ

k

∆k ˆ exp”

ip~k ¨ ~r ´ ωtqı

Come ben noto, l’equazione 11.15 con 9a “ 0

d2δ

dt2“ δ

`

4πGρ´ k2c2s

˘

ha per soluzione la 11.16 se e soddisfatta la relazione di dispersione tra ω e k

ω2“ k2c2

s ´ 4πGρ (11.18)

N.B.: da questo punto in poi riprendiamo ad usare la notazione classica per la densita: ρ0

torna ad essere la densita per t “ t0 e la densita del mezzo imperturbato la indicheremosemplicemente con ρ.

Questa relazione di dispersione descrive oscillazioni o instabilita nel plasma a secondadel segno del secondo membro:

• k2c2s ą 4πGρ implica che ω2 ą 0 pertanto la soluzione 11.17 descrive onde sonore

piane supportate dal gradiente di pressione; con k “ 2πλ, la condizione ω2 ą 0comporta che

λ ă λJ “ cs

ˆ

π

˙12

(11.19)

con λJ lunghezza d’onda di Jeans.

• k2c2s ă 4πGρ implica che ω2 ă 0 pertanto le oscillazioni sono instabili; la soluzione

11.17 diventa∆p~r, tq “ ∆k ˆ exp

Γt` i~k ¨ ~rı

(11.20)

con

Γ “ ˘

#

4πGρ

«

ˆ

λJλ

˙2ff+12

Nel caso in cui Γ ą 0 questi sono modi che crescono esponenzialmente fino a di-ventare non lineari. Per λ " λJ , il tempo scala di crescita della perturbazionee

τ “ Γ´1» p4πGρq´12

Questo caso rappresenta la classica instabilita di Jeans e τ e il tempo tipico dicollasso di una regione di densita ρ (tempo di free fall).

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11.4 L’instabilita di Jeans in un mezzo in espansione 9

11.4 L’instabilita di Jeans in un mezzo in espansione

Se consideriamo l’equazione per δptq per 9a ‰ 0

d2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“ δ

`

4πGρ´ k2c2s

˘

e chiaro come anche in questo caso si applichi un criterio analogo a quello di Jeans mail tasso di crescita della perturbazione e modificato significativamente dalla presenza deltermine con dδdt. Mettiamoci nel regime λ " λJ ovvero k2c2

s ! 4πGρ: la forza dipressione e trascurabile rispetto alla gravita. L’equazione diventa

d2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“ 4πGρδ

che risolveremo in alcuni casi speciali.Consideriamo il caso dell’universo di Einstein-de Sitter con Ω0=1, ΩΛ=0 in cui

aptq “

ˆ

3

2H0 t

˙23

Ω0=1 comporta che ρ0 “ ρc e quindi

ρ “ ρ0a´3“

3H20

8πG

ˆ

3

2H0 t

˙´2

da cui

4πGρ “2

3t2

9a

a“

2

3t

ovverod2δ

dt2`

ˆ

4

3t

˙

dt´

ˆ

2

3t2

˙

δ “ 0

Cerchiamo soluzioni della formaδ “ δ0t

n

ottenendo

npn´ 1qδ0tn´2`

4

3nδ0

tn´2´

2

3δ0tn´2“ 0

con soluzioni per n “ 23 e n “ ´1. Il caso n “ ´1 rappresenta un modo in decadimentopoco interessante mentre il caso n “ 23 e il modo in crescita che cerchiamo. Se neconclude che

δptq9 t239 a “1

1` zovvero

∆ “δρ

ρ9

1

1` z(11.21)

la crescita di una perturbazione nell’universo di Einstein - de Sitter e solo algebrica, enon esponenziale come nel caso dell’instabilita di Jeans classica. E’ questa l’origine del

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10 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

problema della formazione delle galassie con il collasso gravitazionale delle perturbazioniin un universo in espansione.

Consideriamo adesso il caso del modello di Milne, o universo vuoto con Ω0=0, ΩΛ=0.Si ha ρ “ 0 e

9a

a“

1

tovvero

d2δ

dt2`

ˆ

2

t

˙

dt“ 0

la cui soluzione con ∆ “ ∆0tn si ha per n “ 0 e n “ ´1. Quindi esiste un modo smorzato

ed un modo con ampiezza costante.Il caso di Einstein-de Sitter (Ω0=1, ΩΛ=0) descrive l’evoluzione lineare (δρ ! 1) delle

perturbazioni nelle prime fasi dominate dalla materia in cui a9 t23. Si noti come, ancheutilizzando l’espressione modificata di aptq rispetto al caso di Einstein-de Sitter (fattore

Ω130 ), ρ “ ρ0a

´3 e p 9aaq non cambino e quindi il risultato finale per δptq e lo stesso.Il caso di Milne (Ω0=0, ΩΛ=0) descrive invece i casi in cui a " 1 in cui le perturbazioni

crescono molto lentamente o per niente (nel limite in cui Ω0=0).

11.4.1 Collasso delle perturbazioni come perturbazione delle so-luzioni di Friedman

Lo sviluppo temporale di una perturbazione sferica in un universo in espansione puo esseremodellizzato con una regione sferica di densita ρ` δρ in un mezzo di densita uniforme ρ.La regione ρ` δρ si comporta dinamicamente come un universo di densita ρ` δρ rispettoad uno di densita ρ.

Consideriamo una perturbazione corrispondente ad un universo con Ω0 Á 1 in ununiverso con Ω0=1, ΩΛ=0. Come abbiamo visto, le soluzioni per Ω0 ą 1, ΩΛ=0 sono

"

a “ Ap1´ cos θqt “ Bpθ ´ sin θq

con$

&

%

A “Ω0

2pΩ0 ´ 1q

B “Ω0

2H0pΩ0 ´ 1q32

Le soluzioni per θ ! 1, ovvero a ! 1, Ω0z " 1 (queste in generale sono le prime fasidominate dalla materia anche per ΩΛ ‰ 0), si possono trovare ponendo

cos θ “ 1´θ2

2` . . .

sin θ “ θ ´θ3

6` . . .

(11.22)

da cui

aptq “ Ω130

ˆ

3

2H0t

˙23

come avevamo gia trovato: la dinamica e quella di un Einstein-de Sitter ma con ampiezzaΩ

130 . Adesso espandiamo al 5˝ ordine

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11.4 L’instabilita di Jeans in un mezzo in espansione 11

11.4 The Jeans’ Instability in an Expanding Medium 323

Fig. 11.2. Illustrating the growth of a spherical perturbation in the expanding Universe as thedivergence between two Friedman models with slightly different densities

Fig. 11.3. Illustrating a falling pole

conservation of energy, the loss of gravitational potential energy (gml/2)(1 − cos θ)

must equal the increase in rotational energy (1/2)Iω2 about the bottom end of thepole O, where I is moment of inertia of the pole about O

gml2

(1 − cos θ) = 12 Iω2 . (11.49)

Since I = 13 ml2 and ω = θ, it follows that

θ2 = 3gl(1 − cos θ) . (11.50)

There is an exact non-linear solution for this equation, but let us deal only with thesmall angle approximation in which cos θ = (1 − θ2/2 + . . . ). Then, we obtain

Figura 11.1: Schema della crescita di una perturbazione sferica in un universo inespansione come differenza tra due modelli di Friedman a diverse densita.

cos θ “ 1´θ2

2`θ4

24. . .

sin θ “ θ ´θ3

6`

θ5

120. . .

(11.23)

da cui si ottiene

apptq “ Ω130

ˆ

3

2H0t

˙23«

1´1

20

ˆ

6t

B

˙23ff

“ Ω130

ˆ

3

2H0t

˙23«

1´1

5

Ω0 ´ 1

Ω0

Ω130

ˆ

3

2H0t

˙23ff

“ Ω130 aptq

1´1

5

Ω0 ´ 1

Ω0

Ω130 aptq

(11.24)

apptq e il fattore di scala dell’universo piu denso che rappresenta la perturbazione mentreaptq e il fattore di scala dell’universo in cui la perturbazione cresce, ovvero quello diEinstein – de Sitter. Per la conservazione della massa, la densita della perturbazioneevolve come

ρppapq “ ρp,0 a´3p “ ρp,0Ω´1

0 aptq´3

1´1

5

Ω0 ´ 1

Ω0

Ω130 aptq

´3

“ ρp,0Ω´10 aptq´3

1`3

5

Ω0 ´ 1

Ω0

Ω130 aptq

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12 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

con ρp,0 densita della perturbazione per t “ t0. Se consideriamo ρpaq “ ρcaptq´3 come la

densita del mezzo imperturbato che corrisponde all’universo di Einstein - de Sitter Ω0 “ 1,ΩΛ=0 (ρc densita critica), e poniamo ρp,0 “ Ω0ρc il contrasto di densita cresce come

∆ “δρ

ρ“ρppapq ´ ρpaq

ρpaq“

3

5

ˆ

Ω0 ´ 1

Ω0

˙

Ω130 aptq

ovvero ∆ cresce linearmente con il fattore di scala come avevamo gia trovato dall’analisidelle piccole oscillazioni nel caso Einstein - de Sitter. Si noti come questa rappresenti lacrescita di una perturbazione nel caso piu generale del modello di Einstein - de Sitter incui ΩΛ “ 0, Ω0 ą 1 e Ω0z " 1.

La crescita di una perturbazione in un universo in espansione e schematizzata in figura11.1 e puo essere compresa tornando all’equazione

d2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“ 4πGρδ

il secondo membro e il termine di forza gravitazionale che guida l’instabilita. Nell’universoin espansione ρ9 a´3 e per il modello critico a9 t23 per cui la forza gravitazionale sullaperturbazione va come Gρ9 t´2; quindi la forza gravitazionale diminuisce con l’espansionedell’universo per la decrescita di ρ e si ha solo una crescita algebrica di δ.

11.4.2 La soluzione generale per δptq

Consideriamo nuovamented2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“ 4πGρδ

e poniamo

ρ “ ρcΩ0a´3“

3H20

8πGΩ0a

´3

ottenendod2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“

3

2Ω0H

20a´3δ

sapendo che

9a “ H0

Ω0

ˆ

1

a´ 1

˙

` ΩΛpa2´ 1q ` 1

12

si puo dimostrare che la soluzione generale e

δpaq “5Ω0

2

ˆ

9a

a

˙ż a

0

da1

p 9a1q3

La costante moltiplicativa e stata scelta in modo da avere δ “ 10´3 per a “ 10´3. Pera “ 1 e Ω0 “ 1, ΩΛ “ 0, poiche δ9 a si ha anche δ “ 1 per a “ 1

In figura 11.2 si riporta l’evoluzione di δ da a “ 10´3 a a “ 1 per modelli con ΩΛ=0e Ω0=0.01, 0.1, 0.3, 1. Avevamo trovato che per Ω0z " 1 si ha δ9 a come si vede infigura. Ricordiamo che a « 10´3 corrisponde all’epoca della ricombinazione ovvero allalast scattering surface della CMB. Come si vede, δ e cresciuta di poco nel periodo che vada t „ 300, 000 yr fino a t „ 1010 yr dopo il big bang:

• per Ω0=1, δ e cresciuto di un fattore 103 come in δ9 a;

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11.4 L’instabilita di Jeans in un mezzo in espansione 13

11.4 The Jeans’ Instability in an Expanding Medium 325

The solution for the growing mode can be written as follows:

∆(a) = 5Ω0

2

!1a

dadt

"# a

0

da′!

da′

dt

"3 , (11.56)

where the constants have been chosen so that the density contrast for the criticalworld model, Ω0 = 1 ΩΛ = 0, has unit amplitude at the present epoch, a = 1. Withthis scaling, the density contrasts for all the examples considered below correspondto ∆ = 10−3 at a = 10−3. Solutions of this integral can be found in terms ofelliptic functions, but it is simplest to carry out the calculations numerically fora representative sample of world models.

In Fig. 11.4, the development of density fluctuations from a scale factor a =1/1000 to a = 1 is shown for a range of world models with ΩΛ = 0. These resultsare consistent with the calculations carried out in Sect. 11.4.1, in which it was arguedthat the amplitudes of the density perturbations vary as ∆ ∝ a so long as Ω0z ≫ 1,but the growth tends to zero at smaller redshifts.

Since the scale factor a = 1/1000 corresponds to the epoch of recombination,or the last scattering surface of the Cosmic Microwave Background Radiation, thedensity perturbations developed by relatively modest factors over an interval ofcosmic time from about 300,000 to 1010 years after the origin of the Big Bang. Forexample, if Ω0 = 1, the increase is a factor of 103, as expected from (11.37). In thecase Ω0 = 0.1, the amplitudes of the fluctuations grow as ∆ ∝ a over the range of

Fig. 11.4. The growth of density perturbations over the range of scale factors a = 10−3 to 1for world models with ΩΛ = 0 and density parameters Ω0 = 0.01, 0.1, 0.3 and 1

Figura 11.2: Crescita del contrasto di densita da a “ 10´3 a a “ 1 per modelli conΩΛ=0 e Ω0=0.01, 0.1, 0.3 e 1.

• per Ω0=0.1, δ cresce come δ9 a fino a a « 10´1 poi rallenta ed in totale cresce solodi un fattore ˆ190;

• per Ω0=0.01, δ cresce solo di un fattore ˆ24 e per a “grandi” tende al modello diMilne ovvero δ costante.

Adesso vediamo il caso per ΩΛ ‰ 0 con, in particolare, Ω0 ` ΩΛ “ 1; in figura 11.3 siconsidera la crescita di δ da a “ 130 fino a “ 1 con ancora la condizione δ “ 10´3 pera “ 10´3. La crescita delle perturbazioni e molto maggiore che per Ω0 ă 1 e ΩΛ “ 0. Adesempio, per Ω0=0.1, δ cresce di ˆ610 mentre prima cresceva solo di ˆ190.

Per capire questi comportamenti consideriamo l’equazione di Friedman ed esplicitiamola curvatura k

9a2“

Ω0H20

a` ΩΛH

20a

c2

R2

9a2“

Ω0H20

a` ΩΛH

20a

2´ kc2

9a2“

Ω0H20

a` ΩΛH

20a

2´H2

0 pΩ0 ` ΩΛ ´ 1q

nelle prime fasi dominate dalla materia a ! 1, Ω0z " 1, si ha

9a2“

Ω0H20

a

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14 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

326 11 The Evolution of Perturbations in the Standard Big Bang

scale factors from a = 10−3 to 10−1, but grow only modestly from a = 10−1 to 1. Inthis case, the growth of the density contrast is only by a factor of 190 from the epochof recombination to the present epoch. If Ω0 were 0.01, the growth of the densitycontrast would be even smaller, a factor of only 24.

Similar calculations can be carried out for the cases in which ΩΛ = 0. Those ofthe greatest interest are the flat models for which (Ω0 +ΩΛ) = 1. Figure 11.5 showsthe development of the fluctuations over the range of scale factors from a = 1/30 tothe present epoch a = 1, in all cases, the fluctuations having amplitude ∆ = 10−3 ata = 10−3. The growth of the density contrast is much greater in the cases Ω0 = 0.1and 0.3 as compared with the corresponding cases with ΩΛ = 0. For example, in thecase Ω0 = 0.1, the growth of the fluctuation from a = 1/1000 to 1 is 610. Inspectionof Fig. 11.5 shows that the fluctuations continue to grow to greater values of thescale factor a, corresponding to smaller redshifts, as compared with the models withΩΛ = 0.

The reason for the enhanced growth of the perturbations can be understood fromthe same line of reasoning presented in the discussion at the end of Sect. 11.4.1Writing Friedman’s equation with the curvature term shown explicitly, we find

a2 = Ω0 H20

a+ ΩΛa2 H2

0 − c2

ℜ2= Ω0 H2

0

a+ ΩΛa2 H2

0 − κc2 . (11.57)

Fig. 11.5. The growth of density perturbations over the range of scale factors a = 1/30 to 1for world models with Ω0 + ΩΛ = 1 and density parameters Ω0 = 0.1, 0.3 and 1

Figura 11.3: Crescita del contrasto di densita da a “ 130 a a “ 1 per modelli conΩ0+ΩΛ=1 e Ω0=0.1, 0.3 e 1.

indipendentemente dal fatto che ΩΛ “ 0 o ΩΛ ‰ 0. Come abbiamo visto piu volte,questo non e altro che il modello di Einstein - de Sitter modificato per Ω0 ‰ 1 per cui leperturbazioni crescono come δ9 a finche Ω0z " 1.

Se Ω0 ă 1 e ΩΛ “ 0 si ha

9a2“

Ω0H20

a´H2

0 pΩ0 ´ 1q

ma, al crescere di a, si raggiungera il regime in cui Ω0H20a ! ´H

20 pΩ0 ´ 1q e quindi

9a2“ ´H2

0 pΩ0 ´ 1q

9a “ H0p1´ Ω0q12

analogo al modello vuoto di Milne in cui 9a “ H0; l’andamento di aptq e lo stesso di prima,a meno di una costante moltiplicativa, e le perturbazioni δ non crescono. In conclusione,nel caso Ω0 ă 1, ΩΛ=0, le perturbazioni prima crescono come a per a ! 1 (Ω0a " 1) epoi diventano costanti per a " 1 (Ω0a ! 1), come si intuisce dalla figura 11.2.

Per Ω0 ` ΩΛ “ 1, ΩΛ ‰ 0 il termine costante e nullo, quindi l’abbandono del regimeδ9 a avverra per a piu grandi rispetto al caso ΩΛ=0, come si evince anche dalla figura11.3. Quando a " 1 si avra

9a2“ ΩΛH

20a

2 (11.25)

ovvero9a “ Ω

12Λ H0a

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11.5 L’evoluzione delle velocita peculiari 15

La soluzione generale la possiamo scrivere come

δpaq “5Ω0

2

ˆ

9a

a

˙ż a

0

da1

p 9a1q3“ δpaΛq `

5Ω0

2

ˆ

9a

a

˙ż a

da1

p 9a1q3

con aΛ fattore di scala per cui comincia a dominare totalmente l’energia oscura ovveroquando vale la 11.25. Sostituendo la 11.25 e sviluppando i calcoli si ottiene

δpaq “ δpaΛq `5

4

Ω0

ΩΛH20

a´2λ ´ a´2

e quindi δ tende ad essere costante per a " 1, come nel caso precedente. In conclusione,per ΩΛ ‰ 0 e Ω0 ` ΩΛ “ 1 le perturbazioni continuano a crescere sempre grazie a ΩΛ

che assicura la geometria euclidea e non quella iperbolica; come conseguenza, la soluzionetende a quella analoga al modello di Milne (δ „ cost.) piu tardi e le perturbazioni cresconodi piu.

11.5 L’evoluzione delle velocita peculiari

Durante il procedimento per determinare l’evoluzione delle perturbazioni ∆ avevamotrovato l’equazione 11.13 per le velocita peculiari ~u:

d~u

dt` 2

ˆ

9a

a

˙

~u “ ´1

ρ0a2~∇cδp´

1

a2~∇cδφ

con ~u “ d~rdt e ~x “ aptq~r; ~u e la velocita comovente delle perturbazioni (velocita

peculiare) e ~∇c e il gradiente in coordinate comoventi.Consideriamo il caso in cui possiamo trascurare i gradienti di pressione e in cui le

perturbazioni sono guidate solo dal potenziale φ

d~u

dt` 2

ˆ

9a

a

˙

~u “ ´1

a2~∇cδφ (11.26)

e decomponiamo la velocita ~u rispetto alle direzioni parallele e perpendicolari al gradientedella perturbazione di potenziale ~∇cδφ

~u “ ~u‖ ` ~uK

~u‖ e il moto “potenziale” perche e guidato da δφ, ~uK e invece il moto “rotazionale”.

11.5.1 Moti rotazionali

Per la componente rotazionale l’equazione 11.26 diventa

d~uKdt

` 2

ˆ

9a

a

˙

~uK “ 0

la cui soluzione e ~uK9 a´2. Poiche ~u e una velocita comovente, la velocita propria e

δ~vK “ a~uK9 a´2ˆ a “ a´1

ovveroδ~vK9 a

´1

la velocita rotazione diminuisce con l’espansione dell’universo come conseguenza dellaconservazione del momento angolare. Questo risultato mette in evidenze il problema dicome spiegare le velocita rotazionali osservate e di quale sia la loro origine.

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16 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

11.5.2 Moti potenziali

Ricordiamo che avevamo trovato anche l’equazione 11.7 per ∆

d∆

dt“ ´~∇ ¨ δ~v

Poiche la soluzione e della forma

∆ “ δptq exp”

ip~k ¨ ~xqı

“ δptq exp”

ip~kc ¨ ~rqı

si deve anche avereδ~v9 exp

ip~kc ¨ ~rqı

Inoltre, poiche vale l’equazione di Poisson

1

a2∇2cδφ “ 4πGδρ “ 4πGρ∆

se ne deduce anche cheδφ9 exp

ip~kc ¨ ~rqı

da cuiδ~v‖ ‖ ~∇cδφ9 i~kc exp

ip~kc ¨ ~rqı

ovvero δ~v‖ ‖ ~kc, cioe δ~v‖ deve essere parallelo al vettore d’onda della perturbazione percui

~kc ¨ ~u “ kc|~u‖| “ kc

ˇ

ˇδ~v‖ˇ

ˇ

a“ k

ˇ

ˇδ~v‖ˇ

ˇ

ricordando che k “ kca. Quindi, ricordando che δ~v “ a~u e δ~v9 exprip~kc ¨ ~rqs si ha

d∆

dt“ ´~∇ ¨ δ~v “ ´1

a~∇c ¨ pa~uq “ ´i~kc ¨ ~u

ovvero, dal momento che δ~v‖ e parallelo al vettore d’onda della perturbazione, si ottieneinfine per l’evoluzione della parte temporale

δ~v‖ 9 δV‖ptq ˆ exp”

ip~kc ¨ ~r qı

ˆ ~kc

δV‖ptq “a

kc

dt“

1

k

dt

questa espressione e scritta in termini di kc vettore d’onda comovente (o k vettore d’on-da proprio) e quindi descrive come le velocita peculiari associate ad una particolareperturbazione cambiano con l’epoca cosmica.

Consideriamo il caso Ω0 “ 1, ΩΛ “ 0: come visto δ9 t23, a “ p3H0t2q23, pertanto

δ “ δ0

ˆ

t

t0

˙23

“ δ0

ˆ

3

2H0t

˙23

Utilizzando l’equazione appena trovata si ha

δV‖ptq “a

kc

dt“

1

kc

2δ0

3t0

ˆ

t

t0

˙´13 ˆt

t0

˙23

“δ0

t0kc

2

3

ˆ

3

2H0t

˙13

“δ0H0

kc

ˆ

t

t0

˙13

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11.5 L’evoluzione delle velocita peculiari 17

data l’espressione per aptq, p3H0t2q13 “ a12. Si ottiene quindi

δV‖ptq “H0

kc

ˆ

δρ

ρ

˙

0

ˆ

t

t0

˙13

con ptt0q13 “ a12 questa e esprimibile anche come

δV‖ptq “H0

kc

ˆ

δρ

ρ

˙

0

a12

in questa espressione la velocita potenziale e espressa tutta in grandezze relative a t “ t0,in particolare e evidenziato il contrasto di densita all’epoca attuale.

Le velocita peculiari crescono come t13 e sono determinate sia dall’ampiezza dellaperturbazione pδρρq0 ma anche dalla scala spaziale λc “ 2πkc delle perturbazioni chele generano. Questa espressione mostra anche che, se pδρρq0 fosse la stessa su tutte lescale, allora il contributo maggiore alla velocita peculiare verrebbe dai

ˇ

ˇδ~v‖ˇ

ˇ generati dalleperturbazioni sulle scale λc “ 2πkc piu grandi. Quindi le velocita peculiari locali possonoessere indotte da perturbazioni di densita sulle scale piu grandi, e questo e importanteper capire l’origine del moto della nostra galassia nel sistema di riferimento della CMB.

Consideriamo adesso il caso per Ω0=0, ΩΛ=0. In questo caso e piu semplice partireda

d~u‖dt` 2

ˆ

9a

a

˙

~u‖ “ 0

dove la soluzione e la stessa di quella che avevamo trovato per ~uK, ovvero

~u‖9 a´1

cioe le velocita peculiari decadono col tempo.Consideriamo adesso il caso generale: per ricavare dδdt si puo usare l’espressione

trovata per δ

δpaq “5Ω0

2

ˆ

9a

a

˙ż a

0

da1

p 9a1q´3

con

9a2“

Ω0H20

a` ΩΛH

20a

2´H2

0 pΩ0 ` ΩΛ ´ 1q

E’ possibile trovare un’approssimazione utile scrivendo

δptq “ δ0fptq

con δ0 contrasto di densita all’epoca attuale (t “ t0). Allora

δV‖ptq “a

kc

dt“

a

kcδ0df

dt“

a

kcδ0df

da

da

dt(11.27)

Poiche all’epoca attuale t “ t0, a “ 1, dadt “ H0, si puo scrivere

δV‖ptq‰

0“δ0H0

kc

ˆ

df

da

˙

0

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18 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang330 11 The Evolution of Perturbations in the Standard Big Bang

Fig. 11.6a,b. The growth of the peculiar velocities over the range of scale factors a = 10−3

to 1 for: a world models with ΩΛ = 0 and density parameters Ω0 = 0.1, 0.3 and 1 and b forworld models with Ω0 + ΩΛ = 1 and density parameters Ω0 = 0.1, 0.3 and 1. In both cases,the behaviour at small values of the scale factor is given by (11.67) in the limit a ≪ 1 with∆0 H0/kc = 1, |δv∥| ∝ (aΩ0)

1/2

Figura 11.4: Crescita della velocita peculiari |δ~v‖| da a “ 10´3 fino a a “ 1 per modellidi universo con ΩΛ=0 e Ω0=1, 0.3, 0.1. Nel limite a ! 1 le soluzioni in figura sono datedalla 11.27 con ∆0H0kc “ 1 e |δ~v‖| 9 paΩ0q

12.

per Ω0=1, ΩΛ=0, 9a2 “ H20a per cui

δpaq “5

2

1

aH0

a12

ż a

0

a132

HA320

da1 “5

2

1

H20 2

5

aZZ52

a32“

a

H20

ovvero fpaq “ a ritrovando quanto gia visto con la 11.21 (ricordiamo che l’espressioneappena trovata implica una normalizzazione particolare per δ). Quindi,

δV‖ptq “H0δ0

kca12

ovvero la velocita peculiare cresce con a12 come nel caso di Einstein - de Sitter.In conclusione, analogamente al caso della crescita di δ, si ha una prima fase in cui

ˇ

ˇδ~v‖ˇ

ˇ cresce come nel caso di Einstein - de Sitter (a ! 1) e poi una fase finale in cuidecresce come nel modello di Milne (a " 1).

Si puo facilmente dimostrare che al primo ordine dfda „ Ω0.60 ovvero otteniamo

δV‖ptq‰

0„H0

kΩ0.6

0

ˆ

δρ

ρ

˙

0

questo e il teorema del viriale cosmico, che abbiamo utilizzato per ricavare Ω0 quandoabbiamo parlato della misura dei parametri cosmologici.

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11.5 L’evoluzione delle velocita peculiari 19

330 11 The Evolution of Perturbations in the Standard Big Bang

Fig. 11.6a,b. The growth of the peculiar velocities over the range of scale factors a = 10−3

to 1 for: a world models with ΩΛ = 0 and density parameters Ω0 = 0.1, 0.3 and 1 and b forworld models with Ω0 + ΩΛ = 1 and density parameters Ω0 = 0.1, 0.3 and 1. In both cases,the behaviour at small values of the scale factor is given by (11.67) in the limit a ≪ 1 with∆0 H0/kc = 1, |δv∥| ∝ (aΩ0)

1/2

Figura 11.5: Crescita della velocita peculiari per modelli di universo con Ω0 `ΩΛ “ 1 eΩ0=1, 0.3, 0.1. La notazione e come in figura 11.5.

Un’approssimazione al secondo ordine per dfda permette di ottenere nel caso ΩΛ=0,

∆v

v“ ´

1

470

ˆ

δρ

ρ

˙

0

`4

63Ω

13210

ˆ

δρ

ρ

˙2

0

che fornisce un’espressione piu accurata del teorema del viriale cosmico utilizzato perstimare Ω0 dai moti peculiari su grande scala.

Per quanto riguarda la soluzione generale, e immediato integrare numericamente 11.27usando le espressioni generali per ∆paq e 9a2.

In figura 11.4 si riporta la crescita delle velocita peculiari per modelli di universo conΩΛ=0. Nel caso in cui Ω0z " 1 le δV‖ptq crescono come t13 (ovvero come a12), comegia visto. Quando Ω0z ! 1 ci avviciniamo al caso limite Ω0 “ ΩΛ “ 0 e δV‖ptq decrescecome a. Si noti come esiste uno z massimo per Ω0 ă 1 a cui tutte le velocita peculiariselezionate a caso raggiungono un massimo.

Quando Ω0 ` ΩΛ “ 1 il comportamento e analogo a prima col massimo a z minoripoiche, come visto prima, le perturbazioni crescono fino a z piu bassi.

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20 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang

11.6 La crescita delle piccole perturbazioni in un uni-

verso in espansione: il caso relativistico

Il caso relativistico si ha per i fotoni o quando le particelle hanno E " mc2 ovvero quandol’universo e dominato dalla radiazione. Non e semplice ottenere le equazioni idrodinamichee di Poisson adatte a descrivere l’evoluzione delle perturbazioni nel caso relativistico e,partendo dal tensore energia-impulso per un gas relativistico, e stato dimostrato che leequazioni appropriate sono

Bt“ ´~∇ ¨

´

ρ`p

c2

¯

~v

´

ρ`p

c2

¯

B~v

Bt` p~v ¨ ~∇q~v

“ ´~∇p´´

ρ`p

c2

¯

~∇φ

∇2φ “ 4πG´

ρ` 3p

c2

¯

Inoltre, l’equazione di stato nel caso relativistico e

p “1

3ρc2

“1

Passando alle derivate Lagrangiane si ha quindi

dt“ ´

4

3~∇ ¨ ~v

d~v

dt“ ´

3

4ρ~∇p´ ~∇φ

∇2φ “ 8πGρ

Il risultato e che le equazioni per l’evoluzione di ∆ nel caso relativistico sono simili alcaso non relativistico a parte diversi coefficienti numerici. Pertanto si puo seguire unprocedimento del tutto analogo a quello seguito nel caso relativistico, considerare uncontrasto di densita

∆p~r, tq “ δptq exp”

i~kc ¨ ~rı

e giungere all’equazione relativistica per δptq

d2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“ δ

ˆ

32

3πGρ´ k2c2

s

˙

dove l’unica differenza rispetto al caso non-relativistico e il fattore 32πG3 invece di 4πG.Analogamente a prima si puo fare l’analisi nel caso stazionario, 9aptq=0, ed ottenere ondesonore per lunghezze d’onda inferiori alla lunghezza d’onda di Jeans relativistica che vale

λJ “2π

kJ“ cs

ˆ

8Gρ

˙12

“ c

ˆ

π

8Gρ

˙12

dal momento che

cs “

ˆ

Bp

˙12

S

B

ˆ

1

3c2ρ

˙12

S

“c?

3

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velocita del suono nel caso relativistico. Per λ ą λJ si ha il collasso esponenziale dellaperturbazione.

Nel caso di universo in espansione, aptq ‰ 0, con λ " λJ si puo trascurare il gradientedi pressione ottenendo

d2δ

dt2` 2

ˆ

9a

a

˙

dt“

32

3πGρδ

ovvero la stessa equazione del caso non-relativistico ma con diversa costante moltiplicativaper δ.

Consideriamo il caso radiation-dominated (appropriato quando la materia e relativi-stica); dato che a9 t12 e ρ9 a´4, si ottiene

δ “ Atn con n “ ˘1

e quindi per λ " λJ si ha

∆9 t9 a29p1` zq´2

cioe nuovamente una crescita algebrica.

11.7 Il problema di base

Nel caso del nostro modello di universo di riferimento, Ω0=0.3, ΩΛ=0.7, la crescita di ∆va piu o meno come

∆9δρ

ρ9 a “

1

1` z

nell’epoca post-ricombinazione. Se ΩΛ=0 la crescita e molto inferiore: per z ! 1Ω0 leperturbazioni crescono piu lentamente e per Ω0 Ñ 0 non crescono affatto.

Poiche adesso le galassie esistono inequivocabilmente, si deve avere ∆ ě 1 per a “ 1,z “ 0. Questo significa che sulla superficie di ultimo scattering a z « 1000 le perturbazionidovevano essere almeno

∆ “δρ

ρě 10´3

ovvero, di sicuro non infinitesime.Possiamo vedere questi risultati sotto due aspetti diversi. Da un lato, ∆ cresce len-

tamente, non in modo esponenziale ma algebrico al contrario della formazione stellare edall’istante in cui le perturbazioni diventano piu piccole dell’orizzonte crescono solo di unpiccolo fattore; ne consegue che deve esserci stato un meccanismo per generare perturba-zioni di ampiezza finita e su grande scala nell’universo primordiale (questo in pratica eil motivo per cui prima si riteneva che non si potessero formare le galassie dalla crescitadelle perturbazioni). Dall’altro lato, proprio grazie alla crescita lenta delle perturbazionipossiamo imparare molte cose sull’universo primordiale che ci sarebbero state precluse.Possiamo studiare le fluttuazioni a z „ 1000 e possiamo avere informazioni sullo spettrodelle fluttuazioni nell’universo primordiale, ovvero sulla fisica dell’universo primordiale.

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Indice

11 L’evoluzione delle perturbazioni nel modello standard del Big Bang 111.1 Cosa vogliono fare i cosmologi e perche questo e fattibile? . . . . . . . . . . 111.2 La crescita delle piccole perturbazioni in un universo in espansione: il caso

non relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 L’instabilita di Jeans classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.4 L’instabilita di Jeans in un mezzo in espansione . . . . . . . . . . . . . . . 9

11.4.1 Collasso delle perturbazioni come perturbazione delle soluzioni diFriedman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

11.4.2 La soluzione generale per δptq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.5 L’evoluzione delle velocita peculiari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11.5.1 Moti rotazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.5.2 Moti potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11.6 La crescita delle piccole perturbazioni in un universo in espansione: il casorelativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

11.7 Il problema di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21