11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Κεφάλαιο 11.Εφαρμοσμένη

Οικονομετρία στη Θεωρία Παραγωγής

Ας υποθέσουμε ότι mx είναι το διάνυσμα των εισροών μιας επιχείρησης και 0y είναι το μοναδικό της προϊόν.

Το προϊόν παράγεται με βάση τις τεχνολογικές δυνατότητες που περιγράφονται από την αντιστοιχία ( )y f x , όπου f x είναι η λεγόμενη «συνάρτηση παραγωγής». Το σύνολο

, : , 0 ( )mT x y x y f x είναι το σύνολο παραγωγής (production set) της επιχείρησης, που δίνει όλα τα τεχνολογικά εφικτά διανύσματα 1, mx y .

Οι αμοιβές των εισροών, είναι mw . Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης, είναι:

, min : , ,x

C w y w x x y T , ή πιο απλά:

, min :mx

C w y w x

, με ( )y f x .1

Μπορεί να δειχθεί ότι, στην πραγματικότητα, θα έχουμε y f x και επομένως το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη συνάρτηση του Lagrange:

1 Ένα συνηθισμένο ερώτημα είναι αν πρέπει να ορίσουμε L=w’x+λ[y-f(x)] ή L=w’x+λ[f(x)-y]. Η απάντηση είναι ότι δεν έχει καμία σημασία αφού στη βέλτιστη λύση και οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες με f(x).

231

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

w x y f x L .

Οι συνθήκες πρώτης τάξης, είναι:

*

*1 1

λόγος των τιμώνοριακός λόγος υποκατάστασης

( ) /( ) /

j jf x x wf x x w

, για κάθε 2,...,j m

και *f x y .

Η συνάρτηση κόστους έχει ορισμένες θεμελιώδεις ιδιότητες. Καταρχήν είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς τις τιμές, δηλαδή, , ,C w y C w y , για κάθε 0 . Πραγματικά, από τον ορισμό της

συνάρτησης κόστους θα έχουμε:

, min : , με min : , με ,m mx x

C w y w x y f x w x y f x C w y

.

Επίσης η συνάρτηση κόστους πρέπει να είναι κοίλη ως προς τις τιμές,

δηλαδή η μήτρα 2 ,

C w yw w

πρέπει να είναι αρνητικά ορισμένη και

επίσης, η συνάρτηση κόστους πρέπει να είναι μη-φθίνουσα ως προς το

προϊόν, δηλαδή ,0

C w yy

.

Μια συνάρτηση που ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες, είναι συνάρτηση κόστους για κάποια τεχνολογία, y f x και επομένως, υπάρχει μια ισομορφία μεταξύ της συνάρτησης παραγωγής και της συνάρτησης κόστους.

Με δεδομένη τη συνάρτηση παραγωγής, είναι προφανές ότι μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση κόστους, λύνοντας το πρόβλημα αριστοποίησης που την ορίζει.

Αλλά, και το αντίστροφο είναι σωστό: Με δεδομένη μια συνάρτηση κόστους, ,C w y μπορούμε να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση παραγωγής, f x , από την οποία έχει προέλθει. Επομένως, από θεωρητική άποψη, δεν έχει σημασία αν κανείς χρησιμοποιήσει τη συνάρτηση παραγωγής ή τη συνάρτηση κόστους για να περιγράψει την τεχνολογία της επιχείρησης.

232

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό στη μικροοικονομική θεωρία σαν θεωρία δυϊκότητας (duality theory).

Ένα βασικό αποτέλεσμα στη θεωρία του κόστους, είναι το λήμμα του Shephard, σύμφωνα με το οποίο η βέλτιστη λύση δίνεται από

την απλή σχέση: * ,

( , )jj

C w yx w y

w

, για κάθε (πράγμα που

πρέπει να είναι προφανές από τη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης). Επομένως, αν εξειδικεύσουμε την τεχνολογία μέσω της συνάρτησης κόστους, μπορούμε να λάβουμε κατευθείαν τις βέλτιστες ζητήσεις των εισροών, με απλή παραγώγιση της συνάρτησης κόστους ως προς τις τιμές.Ας θεωρήσουμε μια επιχείρηση που είναι ανταγωνιστική στις αγορές των εισροών (δηλαδή μια επιχείρηση που λαμβάνει ως δεδομένες τις τιμές) για την οποία το προϊόν της είναι προκαθορισμένο (δηλαδή πρέπει να ικανοποιήσει τη ζήτηση, πχ μια σιδηροδρομική επιχείρηση).

Η εκτίμηση της συνάρτησης παραγωγής, έχει το πρόβλημα ότι οι εισροές δεν είναι προκαθορισμένες μεταβλητές -αφού οι εισροές x είναι μεταβλητές απόφασης (και άρα ενδογενείς μεταβλητές) στη συνάρτηση κόστους- και επομένως προκύπτει το πρόβλημα ότι, ενδεχόμενα, δεν είναι ασυσχέτιστες με τον στοχαστικό όρο της συνάρτησης παραγωγής.

Ωστόσο στη συνάρτηση κόστους είναι πιθανό οι υποθέσεις αυτές να ικανοποιούνται, αφού οι τιμές των εισροών και το προϊόν, είναι προκαθορισμένα για την επιχείρηση.

Επομένως, υπάρχει λόγος να εκτιμήσει κανείς τη συνάρτηση κόστους παρά τη συνάρτηση παραγωγής. Το πρόβλημα, είναι με ποιο τρόπο ακριβώς πρέπει να εξειδικεύσουμε μια συνάρτηση κόστους.

Ας θεωρήσουμε μια αυθαίρετη λογαριθμική συνάρτηση κόστους της μορφής ln ln , lnC w y . Λαμβάνοντας ένα ανάπτυγμα Taylor δευτέρου βαθμού, θα έχουμε:

21 10 2 2ln ln ln ln ln ln ln lny yy wyC w w w y y w y .

Αυτή είναι γνωστή σαν υπερβατική λογαριθμική συνάρτηση κόστους (transcendental logarithmic, ή πιο απλά, translog) και αποτελεί μια δευτεροβάθμια προσέγγιση σε μια αυθαίρετη συνάρτηση κόστους. Τέτοια υποδείγματα είναι γνωστά σαν ευέλικτα (flexible). Αν την παραγωγίσουμε ως προς τις τιμές, θα έχουμε:

233

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

ln ln lnln yC w yw

, ή

1

ln ln lnln

m

j jk yjkj

C w yw

,

όπου 1

y

wy

ym

.

Ωστόσο, είναι φανερό ότι:

**

( , )ln , ,ln , ,

jjjj

j j

w x w ywC w y C w yS

w w C w y C w y

,

όπου *jS είναι το βέλτιστο μερίδιο κόστους της εισροής j , για κάθε

. Επομένως, τα βέλτιστα μερίδια θα είναι:

*

1

ln lnm

j j jk k yjk

S w y

, για κάθε .

Για να έχουμε *

1

1m

jj

S

, θα πρέπει να θέσουμε τους περιορισμούς:

1

1m

jj

,

jk kj , για κάθε ,

1

0n

jkk

, για κάθε ,

1

0m

yjj

, για κάθε .

Ο δεύτερος περιορισμός, σημαίνει απλά ότι η Hessian της λογαριθμικής συνάρτησης κόστους είναι συμμετρική (το γνωστό θεώρημα του Green από τα μαθηματικά). Οι υπόλοιποι περιορισμοί, είναι απλοί τρόποι για να επιβάλλουμε το γεγονός ότι τα μερίδια πρέπει να αθροίζουν στη μονάδα (ανεξάρτητα από τα στοιχεία).

Ωστόσο, συνεπάγονται επίσης ότι η translog ικανοποιεί όλες τις θεωρητικές ιδιότητες για να είναι μια αποδεκτή συνάρτηση κόστους, πράγμα που αφήνεται σαν άσκηση.

Αν έχουμε στοιχεία για τις εισροές tjx και τις τιμές τους tjw (για 1,...,t n ), μπορούμε να κατασκευάσουμε το συνολικό κόστος

234

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

1

m

t tj tjj

C w x

και τα μερίδια tj tjtj

tj

w xS

C , για κάθε 1,...,t n και κάθε

.

Αν προσθέσουμε στοχαστικούς όρους στη συνάρτηση κόστους και τις συναρτήσεις των μεριδίων, το οικονομετρικό μας υπόδειγμα θα είναι:

21 10 02 2ln ln ln ln ln ln ln lnt t t t y t yy t w t t tw w w y y w y C u ,

1 1 1 1 11

ln lnn

t k tk y t tk

w y

S u ,

( . . . )

1

ln lnn

tm m mk tk ym t tmk

w y

S u .

Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη σημασία του υποδείγματος, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μόνο 2m εισροές. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε το οικονομετρικό υπόδειγμα:

0 1 1 2 2

2 21 111 1 22 2 12 1 2 1 1 2 2 02 2

ln ln ln

ln ln ln ln ln ln ln ln ,t t t

t t t t y t t y t t t

w w

w w w w w y w y

C

u

1 1 11 1 12 2 1 1 1ln ln lnt t t y t tw w w S u , (*)

2 2 12 1 22 2 2 1 2ln ln lnt t t y t tw w w S u .

Οι περιορισμοί που έχουμε από την οικονομική θεωρία (έχοντας ήδη ενσωματώσει τον περιορισμό της συμμετρίας, 12 21 ) θα είναι:

1 2 1 ,

11 12 0 , 12 22 0 ,

1 2 0y y .

Ενσωματώνοντας τους περιορισμούς στο οικονομετρικό μας υπόδειγμα, θα έχουμε:

2 0 1 1 2

2 2111 1 2 1 2 1 1 2 02

ln ln ln ln

ln ln 2ln ln ln ln ln ,t t t t

t t t t y t t t t

w w w

w w w w w w y

C

u

235

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

1 1 11 1 2 1 1 1ln ln lnt t t y t tw w w S u ,

2 1 11 1 2 1 1 21 ln ln lnt t t y t tw w w S u .

Οι ελεύθερες παράμετροι θα είναι τελικά μόνο οι ακόλουθες:

0

1

11

1y

.

Ένα βασικό συμπέρασμα, είναι ότι η οικονομική θεωρία μας βοήθησε να μειώσουμε τον αριθμό των παραμέτρων από 9 σε 4. Σε μεγαλύτερα συστήματα (δηλαδή 2m ) η εξοικονόμηση των παραμέτρων θα είναι ακόμη πιο μεγάλη.

Ένα άλλο σημαντικό συμπέρασμα, προκύπτει αν προσθέσουμε τις εξισώσεις των μεριδίων, για να έχουμε: 1 2 1 2 1 t t t tS S u u . Επομένως, οι στοχαστικοί όροι 1tu και 2tu , υπόκεινται σε μια ακριβή

γραμμική σχέση και έτσι πρέπει η μήτρα συνδιακύμανσης του 0

1

2

t

t t

t

uu u

u

να είναι ιδιάζουσα.

Έπεται, λοιπόν, ότι μπορούμε να απαλείψουμε οποιαδήποτε εξίσωση μεριδίου (ας πούμε τη δεύτερη) και να έχουμε το τελικό οικονομετρικό υπόδειγμα:

2 0 1 1 2

21

11 1 2 1 1 2 02

ln ln ln ln

ln ln ln ln ln ,

t t t t

t t y t t t t

w w w

w w w w y

C

u

1 1 11 1 2 1 1ln ln lnt t t y t tw w y S u ,

για το οποίο μπορούμε να υποθέσουμε ότι:

0(2 1) (2 2)

1

~ 0 , t

t

iid N

uu

.

236

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Αν ορίσουμε το λογάριθμο της σχετικής τιμής: 1 2ln lnt t tz w w και το λογάριθμο του πραγματικού κόστους: 2ln lnt t tw c C , θα έχουμε το απλούστερο υπόδειγμα:

210 1 11 1 02 ln ,t t t y t t tz z z y c u

1 1 11 1 1lnt t y t tz y S u .

Προφανώς, το σύστημα είναι ένα (γραμμικό στις μεταβλητές και τις παραμέτρους) υπόδειγμα φαινομενικά άσχετων παλινδρομήσεων, με παραμετρικούς περιορισμούς μεταξύ των εξισώσεων (cross equation restrictions).

Το υπόδειγμα μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθοδο SUR ή με τη μέθοδο GMM. Το βασικό χαρακτηριστικό του υποδείγματος είναι, φυσικά, το γεγονός ότι οι ίδιες παράμετροι εμφανίζονται στις διαφορετικές εξισώσεις του συστήματος.

Το υπόδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί, καταρχήν, για τον έλεγχο της οικονομικής θεωρίας. Ας θεωρήσουμε το γενικότερο υπόδειγμα:

210 1 2 3 02 ln ,t t t t t tz z z y c u

1 4 5 6 1lnt t t tz y S u .

Ο έλεγχος της οικονομικής θεωρίας μπορεί να γίνει με βάση τον έλεγχο των περιορισμών 0 1 4 2 5 3 6: , , H με τη χρήση της F -στατιστικής. Στη μορφή αυτή οι περιορισμοί της συμμετρίας και της ομογένειας έχουν επιβληθεί και το μόνο που ελέγχουμε είναι ότι ισχύει το λήμμα του Shephard.

Είναι δυνατόν να ελέγξουμε από κοινού τη συμμετρία και την ομογένεια, αλλά τότε θα πρέπει να εκτιμήσουμε μια μη-περιορισμένη μορφή του συστήματος όπως φαίνεται στη σχέση (*). Η σχετική ανάλυση, αφήνεται σαν άσκηση.

Από τις εκτιμήσεις του υποδείγματος, μπορούμε να σχηματίσουμε μια εικόνα για τις αποδόσεις κλίμακας της παραγωγικής διαδικασίας.

Πραγματικά, η ελαστικότητα του κόστους ως προς το προϊόν, είναι

1lnlncy y tCe zy

. Αν 1cye , τότε πρέπει να έχουμε φθίνουσες

237

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

αποδόσεις κλίμακας, ενώ αν 1cye , θα πρέπει να έχουμε αύξουσες αποδόσεις.

Με ecy>1 η αύξηση του επιπέδου παραγωγής συνεπάγεται ότι το

κόστος αυξάνεται λιγότερο από αναλογικά.

Φυσικά, οι αποδόσεις κλίμακας (που ορίζονται συνήθως σαν 1 cye ) δεν είναι ίδιες για όλες τις παρατηρήσεις (πχ χρονικές περιόδους) αφού εξαρτώνται από τη σχετική τιμή.

Μια άλλη σημαντική εφαρμογή του υποδείγματος, είναι στην ανάλυση της παραγωγικότητας. Το πιο συνηθισμένο μέτρο παραγωγικότητας είναι η μέση παραγωγικότητα της εργασίας, δηλαδή ο λόγος /Y L .

Προφανώς, το μέτρο αυτό δεν ενσωματώνει την επίδραση των υπόλοιπων συντελεστών. Σε μια συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas της μορφής t t tY AL K , το κατάλληλο μέτρο παραγωγικότητας είναι ο συντελεστής A , ο οποίος δείχνει ότι για δυο επιχειρήσεις με τις ίδιες ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου και τους ίδιους τεχνολογικούς συντελεστές και , η πιο παραγωγική επιχείρηση θα είναι εκείνη με την μεγαλύτερη τιμή του A .

Αν επιτρέψουμε στην παράμετρο A να μεταβάλλεται διαχρονικά, θα έχουμε t t t tY A L K . Μια απλή υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι exptA t , ώστε να έχουμε ln ln lnt t tY L K t . Είναι

προφανές ότι θα έχουμε ln tYt

και επομένως αν 0 , τότε το

προϊόν αυξάνεται διαχρονικά ακόμη και αν δεν μεταβάλλονται οι ποσότητες των παραγωγικών συντελεστών.

Επομένως, στην περίπτωση αυτή, βελτιώνεται η παραγωγικότητα της επιχείρησης.

Μπορούμε να ακολουθήσουμε μια παρόμοια προσέγγιση στη συνάρτηση κόστους. Αν έχουμε οποιαδήποτε συνάρτηση κόστους ,t tC w y , μπορούμε να εισάγουμε τη παραγωγικότητα με τη μορφή

, , expt t t t t tC C w y A C w y t , στην οποία είναι φανερό ότι ln tCt

.

Αν 0 , τότε το κόστος της επιχείρησης μειώνεται διαχρονικά, ακόμη κι αν οι τιμές των εισροών και το παραγόμενο προϊόν παραμένουν σταθερά.

238

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Επομένως, βελτιώνεται η παραγωγικότητα της επιχείρησης. Ένα θεμελιώδες μειονέκτημα της ανάλυσης αυτής είναι ότι η παραγωγικότητα είναι σταθερή διαχρονικά και ίση με το συντελεστή .

Η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να γίνει δεκτή στην πράξη.

Θα ήταν επιθυμητό ο δείκτης παραγωγικότητας ln tCt

να μπορεί να

μεταβάλλεται διαχρονικά ώστε να δούμε σε ποιες περιόδους είχαμε αύξηση και σε ποιες είχαμε μείωση της παραγωγικότητας.

Αν θεωρήσουμε το πιο γενικό υπόδειγμα ln ln , ln ,t t tC g w y t , ένα δευτεροβάθμιο ανάπτυγμα του Taylor μας δίνει:

21 10 2 2

212

ln ln ln ln ln ln

ln ln ln ln .t t t t y t yy t

w t t T TT yT t wT t

C w w w y y

w y t t t y t w

Είναι φανερό ότι ln ln lntct T TT yT t wT t

Ce t y wt

,

αντιπροσωπεύει ένα μέτρο διαχρονικής μεταβολής του κόστους, ceteris paribus, που δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένας δείκτης παραγωγικότητας. Αν 0cte , θα πρέπει να έχουμε διαχρονική βελτίωση στην παραγωγικότητα, ενώ αν 0cte , θα πρέπει να έχουμε διαχρονική χειροτέρευση στην παραγωγικότητα.

Το υπόδειγμα translog, μας επιτρέπει να δούμε σε ποιες παρατηρήσεις (πχ χρονικές περιόδους) είχαμε βελτίωση και σε ποιες είχαμε χειροτέρευση της παραγωγικότητας.

Σε ορισμένες αναλύσεις, αντί για τον δείκτη t , εισάγεται μια μεταβλητή tG , που είναι πχ οι δημόσιες δαπάνες σε υποδομές (σε λογαριθμικούς όρους). Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε το υπόδειγμα:

21 10 2 2

212

ln ln ln ln ln ln

ln ln ln ln ,t t t t y t yy t

w t t G t GG t yG t t wG t t

C w w w y y

w y G G G y G w

από το οποίο προκύπτει:ln ln lnt

cG G GG t yG t wG tt

Ce G y wG

.

239

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Η σχέση αυτή μας λέει με ποιο τρόπο οι δημόσιες δαπάνες σε υποδομές επηρέασαν το κόστος του ιδιωτικού τομέα στο επίπεδο της επιχείρησης.

Είναι δυνατόν να εισάγουμε και τις δυο μεταβλητές, t και tG και να βρούμε, επιπρόσθετα, με ποιο τρόπο οι δημόσιες δαπάνες σε υποδομές επηρέασαν την παραγωγικότητα του ιδιωτικού τομέα, που δεν είναι παρά το cte , το οποίο στην περίπτωση αυτή πρέπει να εξαρτάται από το tG και φυσικά μπορεί να εκτιμηθεί στο επίπεδο της επιχείρησης.

Είναι επομένως φανερό ότι μπορούμε να αναλύσουμε πολλές σημαντικές πλευρές της τεχνολογικής διαδικασίας με ένα απλό υπόδειγμα, που έχει κατ' επανάληψη αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμο στις οικονομετρικές εφαρμογές.

Δεν αποτελεί υπερβολή αν πούμε ότι το σύστημα που αναλύσαμε εδώ, είναι το πιο σημαντικό οικονομετρικό

υπόδειγμα που έχει ποτέ προταθεί στα οικονομικά.

Η εύρεση των εξισώσεων των μεριδίων, στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις, με σκοπό τη ταυτόχρονη εκτίμηση με τις μεθόδους SUR ή GMM, αφήνεται σαν άσκηση. Επιπλέον μπορούμε να υπολογίσουμε ελαστικότητες υποκατάστασης μεταξύ των εισροών. Η λεγόμενη

Hicks-Allen ελαστικότητα υποκατάστασης ορίζεται ως ijij

i j

C CC C

,

όπου /i iC C w και 2 /ij i jC C w w . Στην περίπτωσή μας, μπορούμε να υπολογίσουμε ότι:

2

2

, για κάθε , 1,..., , ,

, για κάθε 1,..., .

ij i j

i jij

ii i i

i

S Si j m i j

S S

S Si m

S

Οι ελαστικότητες αυτές, διαφέρουν από παρατήρηση σε παρατήρηση. Θετική ελαστικότητα, σημαίνει ότι οι εισροές είναι υποκατάστατες, ενώ αρνητική ελαστικότητα σημαίνει ότι οι εισροές είναι συμπληρωματικές.

Εκτός από την παραγωγικότητα, είναι δυνατό να εκτιμήσουμε και τη τεχνική αποτελεσματικότητα στο επίπεδο της επιχείρησης.

240

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Η βασική υπόθεση της θεωρίας, είναι ότι κάθε επιχείρηση επιτυγχάνει να παράγει ακριβώς με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Δηλαδή, υποτίθεται ότι κάθε επιχείρηση χρησιμοποιεί τους συντελεστές της αποτελεσματικά. Μια τέτοια υπόθεση δεν είναι πάντα σωστή.

Μπορούμε, λοιπόν, να θεωρήσουμε το γενικότερο πρόβλημα ότι η επιχείρηση ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση:

, min :mx

C w y w x

, με ( )y f x , για δεδομένο (0, 1] .

Σε αυτό το πρόβλημα, η επιχείρηση χρησιμοποιεί όλες τις εισροές με αποτελεσματικότητα που δίνεται από την παράμετρο . Για παράδειγμα, αν , αυτό σημαίνει ότι αξιοποιεί μόνον το 80% κάθε εισροής.

Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι ομογενής βαθμού h , θα έχουμε:

( ) 1h hyy f x f x

f x .

Αυτό σημαίνει ότι η παραγόμενη ποσότητα (δηλαδή το y ) είναι μικρότερη από τη μέγιστη δυνατή ποσότητα, που δίνεται από την f x. Αν 1 , θα έχουμε πλήρη τεχνική αποτελεσματικότητα.

Μια διαφορετική ερμηνεία είναι ότι η αναποτελεσματική επιχείρηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι πλήρως αποτελεσματική, αλλά απλώς αντιμετώπισε υψηλότερες τιμές.

Πραγματικά θα έχουμε:

, min : , με ( )

min : / , με ( )

min : / , με ( )

min : / , με ( ) / , .

m

m

m

m

x

x

X

X

C w y w x y f x

w x y f x

w X y f X

w X y f X C w y

Από τις συνθήκες πρώτης τάξης, στη βέλτιστη λύση, έστω x̂ , θα έχουμε:

241

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

1 1

ˆ /ˆ /

j jf x x wf x x w

και ˆy f x , για κάθε 1,...,j m .

Άρα θα έχουμε *ˆ j jx x , οπότε *ˆ ˆ / , /C w x C C w y . Επομένως η συνάρτηση κόστους είναι ln ln ln , lnt t t tC C w y , όπου ln 0t t .

Επομένως, το πραγματικό κόστος πρέπει να υπερβαίνει το ελάχιστο κόστος που δίνει η συνάρτηση κόστους, ,t tC w y . Ένας άλλος τρόπος για να το δούμε αυτό, είναι να χρησιμοποιήσουμε τη γραμμική ομογένεια της συνάρτησης κόστους ως προς τις τιμές, για να πάρουμε ότι το πραγματικό κόστος της επιχείρησης, C , είναι:

min : / , με ( ) / , , /mX

C w X y f X C w y C w y

.

Η κατάλληλη οικονομετρική προσέγγιση, είναι να εισάγουμε σφάλματα μέτρησης tu και να έχουμε τη συνάρτηση κόστους:

ln ln ln , lnt t t t t

t

C w y e

C u , όπου tu , αλλά 0t .

Ο (στοχαστικός ή όχι) όρος t μετρά την τεχνική αποτελεσματικότητα της παραγωγής, δηλαδή την έκταση στην οποία η επιχείρηση παράγει πάνω από το ελάχιστο δυνατό κόστος.

Η ανάλυση τέτοιων συναρτήσεων κόστους (ειδικά όταν πρέπει να εκτιμηθούν από κοινού με τις εξισώσεις των μεριδίων) είναι αρκετά περίπλοκη και μόνο πρόσφατα έχουν διερευνηθεί οικονομετρικά (Kumbhakar and Tsionas, 2005).

Υπάρχει ωστόσο, μια απλή προσεγγιστική λύση στο πρόβλημα. Αν εκτιμήσουμε το σύστημα του κόστους και των μεριδίων, τα κατάλοιπα t̂e της συνάρτησης κόστους θα πρέπει να είναι (αν 0tu ) θετικά λόγω του παράγοντα της τεχνικής αποτελεσματικότητας, 0t .

Στην πράξη, αυτό δεν ισχύει αλλά μπορούμε να θεωρήσουμε τα κατάλοιπα *

1,...,ˆ ˆ ˆmint t tt ne e e

που θα είναι όλα, από την κατασκευή τους,

μη αρνητικά. Τα κατάλοιπα, *t̂e , τελικά, θα αποτελούν κάποιες

εκτιμήσεις της τεχνικής αναποτελεσματικότητας της επιχείρησης.

242

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Μπορεί να αποδειχθεί σχετικά ότι αν 2~ 0,N uu , 2~ 0,N ξξ και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, τότε η τυχαία μεταβλητή e u ξ θα έχει συνάρτηση πυκνότητας:

,

όπου:

2 2 2 u ξ , / ξ u

και , είναι αντίστοιχα η συνάρτηση πυκνότητας και η συνάρτηση κατανομής της 0, 1N .

Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμήσει κανείς τη συνάρτηση κόστους με τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας, όταν το στοχαστικό σφάλμα αποτελείται από τις δυο συνιστώσες, u και ξ . Στη συνέχεια, η τεχνική αναποτελεσματικότητα μπορεί να εκτιμηθεί με βάση τη παράσταση | στοιχείαE ξ , για την οποία υπάρχουν απλές εκφράσεις στη βιβλιογραφία.Μπορούμε επίσης να κατασκευάσουμε οικονομετρικά υποδείγματα με βάση την (τυποποιημένη) συνάρτηση κέρδους:

max : ( )mx

w f x w x

,

όπου mw είναι οι τιμές των εισροών, διαιρεμένες με τη τιμή του προϊόντος. Η τυποποίηση αναφέρεται στο γεγονός ότι έχουμε διαιρέσει με την τιμή του προϊόντος ή ισοδύναμα ότι η τιμή του προϊόντος είναι μονάδα.

Οι βέλτιστες συναρτήσεις ζήτησης για τις εισροές, είναι

* wx w

w

. Μπορούμε να υποθέσουμε μια translog συναρτησιακή

μορφή για τη συνάρτηση κέρδους, να παράγουμε τις συναρτήσεις ζήτησης και να εκτιμήσουμε το σύστημα που θα προκύψει με τη μέθοδο SUR ή τη μέθοδο GMM. Οι λεπτομέρειες, αφήνονται σαν άσκηση.

Η ανάλυση μπορεί να επεκταθεί στη περίπτωση που έχουμε παραγωγικές διαδικασίες με πολλά προϊόντα. Μια επιχείρηση με προϊόντα qy , υποτίθεται ότι έχει τεχνολογία που δίνεται από τη

243

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

συνάρτηση απόστασης , 0D x y . Για παράδειγμα, η γενίκευση της

συνάρτησης Cobb-Douglas, θα ήταν: 1 1

0ji

q m

i ji j

y A x

.

Μια ερμηνεία αυτής της συνάρτησης, είναι ότι υπάρχει ένα «σύνθετο

προϊόν» που ορίζεται από τη σχέση 1

i

q

ii

Y y

και στη συνέχεια να

ορίσουμε μια απλή συνάρτηση Cobb-Douglas της μορφής: 1

jm

jj

Y A x

.

Η συνάρτηση κόστους θα είναι , min : , με , 0mx

C w y w x D x y

. Η

translog προσέγγιση είναι απλό να ορισθεί και αποτελεί δευτεροβάθμιο ανάπτυγμα ως προς τις μεταβλητές , m qw y

.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

Στοιχεία από τον αγροτικό τομέα των ΗΠΑ για την περίοδο 1948-1994, 47 ετήσιες παρατηρήσεις.

ΕΙΣΡΟΕΣ

Εργασία L με τιμή PLΚεφάλαιο Κ με τιμή PKΕνδιάμεσες εισροές INTM με τιμή PINTM

ΔΥΟ ΠΡΟΪΟΝΤΑ

Υ1 ζωικό προϊόνΥ2 προϊόν από καλλιέργειες

ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΤΩΝ ΕΙΣΡΟΩΝ

TC = PL*L + PK*K + PINTM*INTM

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ

Γενικά μια συνάρτηση κόστους (με ένα προϊόν) είναι στην μορφή

),,...,,( 21 YPPPCC k

και ορίζεται ως

244

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

kkXPXPYPC ....:min),( 11 με τον περιορισμό ),...,( 1 kXXfY

δηλαδή η ελάχιστη δαπάνη για να παράγουμε σε επίπεδο Y . Η ελαχιστοποίηση είναι ως προς τις εισροές kXX ,...,1 .

Η συνάρτηση είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς τις τιμές:

),(),( YPCYPC , για κάθε 0

Η συνάρτηση είναι αύξουσα ως προς τις τιμές και το προϊόν:

0

jPC

, 0YC

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ COBB & DOUGLAS

LTC=B0+B1*LPL+B2*LPK+B3*LPINTM+B4*LY1+B5*LY2+B6*T

L συμβολίζει τον λογάριθμο της μεταβλητής.

Περιμένουμε:

Β1, Β2, Β3, Β4, Β5 > 0

Β1 + Β2 + Β3 = 1

Οικονομίες κλίμακας = Β4 + Β5 = 21 ln

lnlnln

YC

YC

Ρυθμός τεχνολογικής προόδου = Β6 = TC

ln

Οι εντολές για να κατασκευάσουμε τις σειρές δίνονται στη συνέχεια:

GENR TC=PL*L+PK*K+PINTM*INTMGENR LTC=LOG(TC)GENR TREND=YEAR-1947SHOW TRENDGENR LTC1=LOG(TC/PINTM)GENR LPL1=LOG(PL/PINTM)GENR LPK1=LOG(PK/PINTM)GENR LY1=LOG(Y1)GENR LY2=LOG(Y2)PLOT LY1 LY2GENR LPL=LOG(PL)

245

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

GENR LPK=LOG(PK)GENR LPINTM=LOG(PINTM)LS LTC C LPL LPK LPINTM LY1 LY2 TREND

246

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Εκτίμηση υποδείγματος χωρίς περιορισμούς.

Dependent Variable: LTCMethod: Least SquaresSample: 1948 1994Included observations: 47

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.573215 0.367905 -4.276139 0.0001

LPL 0.346870 0.053620 6.469015 0.0000LPK 0.403960 0.013506 29.91007 0.0000

LPINTM 0.653860 0.049561 13.19296 0.0000LY1 -0.049945 0.052259 -0.955714 0.3450LY2 0.568832 0.184039 3.090818 0.0036

TREND -0.030114 0.005022 -5.996204 0.0000R-squared 0.999138 Mean dependent var 11.27868Adjusted R-squared 0.999008 S.D. dependent var 0.740460S.E. of regression 0.023318 Akaike info criterion -4.542576Sum squared resid 0.021749 Schwarz criterion -4.267022Log likelihood 113.7505 F-statistic 7724.171Durbin-Watson stat 1.458718 Prob(F-statistic) 0.000000

247

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Εκτίμηση με τον περιορισμό της ομογένειας πρώτου βαθμού

Dependent Variable: LTC1Method: Least SquaresSample: 1948 1994Included observations: 47

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.203740 0.326916 -0.623218 0.5366

LPL1 0.135304 0.044400 3.047419 0.0040LPK1 0.395888 0.017132 23.10794 0.0000LY1 0.152012 0.044469 3.418336 0.0014LY2 0.249888 0.221494 1.128196 0.2658

TREND -0.010779 0.004294 -2.510432 0.0161R-squared 0.985936 Mean dependent var 0.646683Adjusted R-squared 0.984221 S.D. dependent var 0.237056S.E. of regression 0.029778 Akaike info criterion -4.071380Sum squared resid 0.036355 Schwarz criterion -3.835190Log likelihood 101.6774 F-statistic 574.8585Durbin-Watson stat 0.727376 Prob(F-statistic) 0.000000

Διαδικασία ελέγχου της ομογένειας πρώτου βαθμού

SSR unrestricted 0.021749

SSR restricted 0.036355

Αριθμός περιορισμών J = 1

47n , 7k

Στατιστική F:

86.2640/021749.0

1/)021749.0036355.0()/(/

knSSRJSSRSSRF

U

UR40,1~ F

με κριτική τιμή 95% που είναι (από τους πίνακες) 4.08

άρα απορρίπτουμε την υπόθεση.

Θα μπορούσαμε να κάνουμε τον έλεγχο και με βάση τα R2 με και χωρίς τον περιορισμό.

Οι συντελεστές αθροίζουν στο 1.40 περίπου, αλλά τα τυπικά σφάλματα είναι πολύ μικρά, που σημαίνει ότι εκτιμώνται με σχετική ακρίβεια. Αυτό δεν αφήνει πολλά περιθώρια για να είναι το άθροισμά τους μονάδα.

Ο έλεγχος, θα μπορούσε να γίνει αυτόματα από το υπόδειγμα χωρίς περιορισμούς.

248

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Equation: UntitledNull Hypothesis: C(2)+C(3)+C(4)=1F-statistic 26.86191 Probability 0.000007Chi-square 26.86191 Probability 0.000000

Η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης μπορεί να είναι ένα πρόβλημα. Αν εκτιμήσουμε με AR(2) θα έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα.

249

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Dependent Variable: LTCMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1950 1994Included observations: 45 after adjusting endpointsConvergence achieved after 28 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.684450 0.546698 -1.251971 0.2187

LPL 0.227770 0.055256 4.122109 0.0002LPK 0.377345 0.030477 12.38114 0.0000

LPINTM 0.552812 0.052693 10.49113 0.0000LY1 0.049225 0.050822 0.968578 0.3392LY2 0.033374 0.183285 0.182087 0.8565

TREND -0.012766 0.004900 -2.605373 0.0133AR(1) 0.733566 0.177447 4.134001 0.0002AR(2) -0.045285 0.143578 -0.315402 0.7543

R-squared 0.999428 Mean dependent var 11.32050Adjusted R-squared 0.999301 S.D. dependent var 0.728809S.E. of regression 0.019264 Akaike info criterion -4.884284Sum squared resid 0.013360 Schwarz criterion -4.522951Log likelihood 118.8964 F-statistic 7867.594Durbin-Watson stat 1.882320 Prob(F-statistic) 0.000000Inverted AR Roots .67 .07

Wald Test:Equation: UntitledNull Hypothesis: C(2)+C(3)+C(4)=1F-statistic 3.269573 Probability 0.078936Chi-square 3.269573 Probability 0.070576

Μπορούμε να δεχθούμε την ομογένεια σε επίπεδο 5%.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Berndt, E. R., 1991, The practice of econometrics: Classic and contemporary, Addison-Wesley. Το κεφάλαιο 9, είναι μια εξαιρετική εισαγωγή στα οικονομετρικά υποδείγματα της θεωρίας παραγωγής. Εκτός από τη συνάρτηση κόστους translog, αναλύεται και η λεγόμενη γενικευμένη Leontief συνάρτηση κόστους.

Kumbhakar, S. C., and C. A. K. Lovell, 2000, Stochastic frontier analysis, Cambridge, Cambridge University Press. Μια εξαιρετική εισαγωγή στην ανάλυση της παραγωγικότητας και αποτελεσματικότητας. Σχετικά με την έκφραση | στοιχείαE ξ , βλ. σελ. 78. Για τη συνάρτηση πυκνότητας f ee , βλ. σχετικά σελ. 75.

250

11. Εφαρμοσμένη οικονομετρία στη θεωρία παραγωγής

Kumbhakar, S. C. and E. G. Tsionas, 2005, Measuring Technical and Allocative Inefficiency in the Translog Cost System: a Bayesian Approach, Journal of Econometrics 126, 355-384.

251