LECTURA DE LA TABLA Se debe tener en cuenta la siguiente:

1º La tabla proporciona área bajo la curva normal estándar desde menos infinito hasta z. es decir área correspondiente a P[Z ≤ z] = Φ(z).

2º Los valores de z están dados en centésimos desde -3.49 hasta 3.49.3º Es una tabla con dos entradas encabezadas por la letra z. en la primera

columna se lee el valor de z. en décimos. En la segunda columna se lee al centecimal.

4º La tabla ayuda a resolver dos tipos de problemasa) Conocido z hallar el área.

Digamos z = 1.86, es decir queremos calcular P[Z ≤ 1.86]. En la primera columna se ubica el valor de Z con un decimal 1.8, y el segundo decimal se ubica en la primera fila 0.06. Por ambos puntos se traza una horizontal y una vertical, el número que corresponde a la intersección de ambas rectas: 0.686, es el área deseada.

b) Conocido el área hallar z.es un procedimiento inverso al anterior. Se ubica el área en el cuerpo de la tabla, por este punto se traza una horizontal y una vertical. Se halla z sumado el punto de intersección de la horizontal con la primera columna + el punto de intersección de la vertical con la primera fila.

3. EXTRACTO DE LA TABLA III

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

.

.

.

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8386

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

0.8413

0.8643

0.8849

0.9032

0.9192

0.8438

0.8665

0.8869

0.9049

0.9207

0.8461

0.8686

0.8888

0.9066

0.9222

0.8485

0.8708

0.890.

0.9092

0.9236

0.8508

0.8729

0.8925

0.9099

0.9251

0.8531

0.8749

0.8944

0.9115

0.9265

0.8554

0.8770

0.8962

0.9131

0.9278

0.8577

0.8790

0.8980

0.9147

0.9292

0.8599

0.8891

0.8997

0.9162

0.9306

0.8621

0.8830

0.9015

0.9177

0.9319

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

0.9332

0.9452

0.9554

0.9641

0.9713

0.9345

0.9463

0.9564

0.9649

0.9719

0.9357

0.9474

0.9573

0.9656

0.9726

0.9370

0.9484

0.9582

0.9664

0.9632

0.9382

0.9495

0.9595

0.9671

0.9638

0.9394

0.9505

0.9599

0.9678

0.9644

0.9406

0.9515

0.9608

0.9686

0.9650

0.9418

0.9525

0.9616

0.9693

0.9656

0.9429

0.9535

0.9625

0.9699

0.9661

0.9441

0.9545

0.9633

0.9706

0.9667

…

IV. PROBLEMAS1. Si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media U = 6

y varianza o 2 = 25. hallar:a) P[6 ≤ X ≤ 12] b) P[0 ≤ X ≤ 8]

c) P[-2 < X < 0] d) P[X >21]

5

6

5

66126

x

PxP

210 .zP )().( 021

346105084610 ...

5

68

5

6080

x

PxP

210 .zP ).().( 2140

540301151065540 ...

5

60

5

6202

x

PxP

2161 .z.P ).().( 6121

060300548011510 ...

35

62121

zPx

PxP

31 zP

00130998701 ..

1. Si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media U = 6 y varianza o 2 = 25. hallar:

e) P[(X-6) < 5] b) P[(x -6) < 10]

2. Si X es N (25, 36) determinar la constante e tal queP[/X -25/ ≤ c]= 0.9544

56556 xP)x(P

5

5

5

5

x

zP

11 zP)()( 11

68201587084130 ,.,

10610106 xP)x(P

5

10

5

10

x

zP

22 zP )()( 22

54400228009772 ..

8482813

5.b.

b

1612813

5.a.

a

6

362

9544025 .c)x(P

9544025 .cxcP

9544066

25

6.

cxcP

9544066

.c

zc

P

9544066

.cc

9544016

2 .c

977206

.c

20

6.

c 21,c

3. Si X es N (u, 4) Calcular P[(x – u) > 3]

4. Si X es N (50, 25) Calcular:

a) P[X > 62] b) P[(x -50) < 8]

24 ])ux[(P])ux[(P 313

].z.[P]ux[P 51511331 ]..[)].().([P 066809332051511 13360.

550 ;

],z[P 421

00820991801 .,

]x[P]x[P 62162

5

50621

o

uxP

5

8

5

50

5

8850

xP])x[(P

]z[P 1616

).().( 6161

890400548094520 ...

5. Si X es N (5, 9)Hallar los valores de a y b tal que P[a < X < b] = 0.80 donde a y b son simétricos con respecto a la media.

6. Si X es N(3, 4). Hallar el número c tal que P[x ≥ c] = 2P[x < c]

2

5

o

u

8003

5

3

5.

bZ

aP

o

ub

o

uacossimétrisonSi

800.]bxa[P

13

5280

b

.

903

5.

b

848281

3

5.b.

b

2

3

cxPcxP 2

cxPczP 21

33330.cxP

333302

310.xP

142430

2

3.c.

c

7. Una variable aleatoria X se distribuye normalmente. Si E(x2)=68 y P[X<10] = 0.8413. Determinar: u y o2.

8. Los tubos fabricados por cierta máquina tienen un diámetro medio de u = 9.8mm, con desviación estándar o = 0.536mm. ¿Qué porcentaje de tubo será rechazado, si no se aceptan diámetros inferiores a 9.0mm? Asuma que los diámetros tiene una distribución normal.

8413010 .]x[P

8413010

.o

uzP

8413010

.o

u

uoo

u

101

10

mm.o

mm.u

5360

89

5360

8999

.

.zP]x[P

].z[P 491

06810491 .).( %.rechazaríaSe 816

9. Los límites de aceptación de los diámetros de los balones producidos por cierta máquina son u ±o ¿que porcentaje de balones serán aceptados?

10. Para cierto examen la calificación media es 11 y o = 2. .Se desea desaprobar al 40% de los examinados. ¿Cuál debe ser la calificación máxima probatoria?

o

uouz

o

uouP]ouxou[P

)()(]zz[P 111

682605187084130 ... %.aceptaríaSe 2668

402

11.

mZ

20

11

u 40.mXP

2502

11.

m

510.M

11. Un ictiólogo está interesado en estimar cuanto tiempo puede sobrevivir cierto tipo de pez de mar en aguas del río Amazonas. Luego de una serie de experimentos llega a estimar que la vida media de este tipo de pez alcanza los 210 días después de haber sido colocado en el agua del río con una desviación estándar de 40 días. El ictiólogo estima que la distribución de los días vividos es normal. Un pez particular ha sobrevivid 230 días.¿cual es la probabilidad de que viva más de un día?

díaso

díasu

40

210

2301

2401230240

xP

xP]x|x[P

7501

7501

40

2302401

40

2102401

.zP

.zP

zP

zP

5647040130

22660

773401

773401.

.

.

.

.

12. Se está construyendo un grupo de 100 casas en la Urbanización San Borja. El material empleado en las redes de desagüe es tal que el 9.512% de las tuberías de desagüe tienen períodos de duración que exceden los 15 años y que el 62.556% tienen períodos de duración que exceden los 9 años. Considerando que la distribución de probabilidad de los períodos de duración de estas tuberías es normal, determine la media y la varianza de estas distribuciones.

datosSegún0951205 .)x(P

9512015

.o

uzP

90488015

.o

u

13115

o

u

o.uo.u 3111531115

13. El gerente de producción de una fábrica piensa que la vida útil de una máquina M está distribuida normalmente en una media de 3000 horas. Si además el gerente piensa que hay una probabilidad de 0.50 de que la máquina dure menos de 2632 o más de 3368 horas. ¿Cuál es la desviación estándar?

?o

horasu

3000 5033682632 .)x(P)x(P

503000336830002632

.o

zPo

zP

50368

1368

.o

zPo

zP

50368

1368

1 .o

zPo

zP

ozP.

368251

ozP.

368750

750368

.o

19545.o

14. Un rodamiento es considerado defectuoso y por lo tanto es rechazado si su diámetro es mayor de 2.2 pulgadas ó menor que 1.98 pulgadas ¿Cuál es el número esperado de rodamientos rechazados , si los diámetros e una partida de 10000 rodamientos están distribuidos normalmente con una media de 2 pulgadas y una desviación estándar de 0,01 pulgadas?

010

2981

010

2022981022

.

.zP

.

.zP),(P),x(P

)z(P)z(P 221

)z(P)z(p 2121

)z(P)z(P 212222

045609772012 .].[

rechazadossrodamiento.:chazadosRe 4560456010000

15. Los diámetros de una partida grande de rodamientos están distribuidos normalmente con una media de 2.0 pulgadas y una desviación estándar de 0.01 pulgadas. Suponga que se necesita un rodamiento con diámetro mayor que 2.02 pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de tener que probar 10 rodamientos?

).x(P).x(P 0201022

)z(P.

.zP 21

010

20221

%... 28202280977201

adaslgpusrodamiento.srodamientolosde%. 22280282

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APROXIMACIONES DE LAS DISTRIBUCIONES

DISCRETAS A LA NORMAL

Cuando p es muy pequeña y n muy grande hemos visto que la aproximación Binomial a la Poison es buena.Observe que la distribución binomial discreta, cuya gráfica se muestra en la 1º figura se aproxima al área bajo la cura de la 2º figura.

Distribución Binomial. Curva Normal como aproximación de la Binomial.

Así la probabilidad de obtener exactamente un valor x, es aproximada mediante el área bajo la curva normal entre x - ½ y x + ½ como es, el área sombrea da en el gráfico de alado.

x-½ x+½x

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

Es decir,

2

1

2

1xXxPxXP

El cuadro siguiente presenta algunas aproximaciones de las probabilidades Binomiales a la curva normal.

xXP

2

1

2

1xXxP

npq

npx

npq

npx2

1

2

1

xXP

2

1xXP

npq

npx2

1

1 xXPxXP

2

11xXP

npq

npx2

1

xXP

2

1xXP

npq

npx2

1

1

1 ´XPxXP

2

11xXP

npq

npx2

1

1

bXaP

2

1

2

1bXaP

npq

npx

npq

npx2

1

2

1

Probabilidad Binomial del evento que se desea

calcular

Con la corrección por continuidad

En términos de la función de distribución normal estandar

1. DEFINICIÓN.La aproximación de Distribución de Poisson a la normal, se hace teniendo en cuenta que si x1, x2, …xn. Son variables aleatorias independientes de Poisson, cada una con parámetro λ , entonces:

II. APROXIMACIÓN POISSON A LA NORMAL.

es una variable aleatoria de Poisson con parámetro nλ (propiedad reproductiva) Por el teorema central del límite, la variable aleatoria

tiene aproximadamente una distribución N(0, 1), para n suficientemente grande. La aproximación de la distribución de Poisson a la normal se mejora conforme aumenta el valor del parámetro nλ , de la suma. En la práctica se considera una aproximación buena cuando nλ > 5. Por lo tanto, si el parámetro común λ de los sumandos es pequeña, n puede reducirse en forma correspondiente.La distribución Normal es continua y de Poisson es discreta, por lo tanto, para aproximar la distribución la Distribución de Poisson por el área bajo la curva normal se usa el factor de corrección de continuidad. Es decir:

n

iiXX

1

n

X

n

nXZ n

n

n.XZ

50

El cuadro siguiente presenta algunas aproximaciones de la distribución de Poisson a la curva normal.

Probabilidad de Poisson del evento que se desea

calcular

Con la corrección por continuidad

En términos de la función de distribución normal estandar

xXP 5050 .xX.xP

n

n.x

n

n.x 5050

xXP 50.xXP

nn.x 50

1 xXPxXP 501 .xXP

n

n.x 50

xXP 50.xXP

n

n.x 501

1 xXPxXP 501 .xXP

n

n.x 501

bXaP 5050 .bX.aP

n

n.x

n

n.x 5050

1. DEFINICIÓN.La distribución Hipergeométrica se relaciona con problemas en donde el muestreo se obtiene sin reemplazo de una población finita.Sea N el tamaño d la población finita constituida por objetos de dos clases A y B. suponga que hay M objetos de clase A y N – M de clase B. se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo de la población, y se define la variable aleatoria como sigue

X = número de objetos de clase A en la muestra de tamaño n.Rx = {0, 1 , 2,…,min(M,n)}

La variable aleatoria así definida tiene una distribución hipergeométrica con media

III. APROXIMACIÓN DE LA HIPERGEOMÉTRICA A LA NORMAL.

11

N

nN

N

M

N

Mn)X(Vary

N

Mn)X(E

definimos ahora la variable aleatoria siguienteXi = nº de objetos de clase A obtenida en la i-ésima extracción.

donde i = 0, 1 , 2,…,nRxi ={0, 1}

Entonces, la variable aleatoria X se escribe

n

iiXX

1

1. Con base en experiencia pasada, el 40% de todos los clientes de cierta estación de gasolina pagan sus compras con tarjeta de crédito. Si se selecciona una muestra aleatoria de 200 clientes, ¿Cuál es la probabilidad que

a) Cuando menos 75 paguen con tarjeta de crédito?

b) No más de 70 paguen con tarjeta de crédito?

c) Entre 70 y 75 clientes, inclusive paguen con tarjeta de crédito?

IV. PROBLEMAS

40

200

.p

n

58040200 ).(np93680 .npqoyu

).x(P)x(P 574175 ].z[P.

.zP 7901

936

805741

78590214101 ..

].z[P.

.zP)x(P 371

936

8057070

08530.

].z.[P.

.z

.

.P)x(P 650521

936

80575

936

805697570

193500643025780 ...

2. Si una muestra de 100 tiene 3 ó menos artículos defectuosos se acepta el lote de 100. Si se supone que la probabilidad de producir artículos buenos del proceso de producción es de 0.90, ¿Cuál es la probabilidad deque se acepte el lote?

3. Si el 10% de los tubos de los receptores de radio se queman antes que la garantía haya expirado: un comerciante ha vendido 100 tubos. ¿Cuál es la probabilidad que:

a) Se vea obligado a sustituir por lo menos 20 de ellos?

b) Sustituya por lo menos 5 y no más de 15 tubos?

10900 .sDefectuoso.iosvarB

3109010059090100 ).)(.(o.p

3

9059797

.zP]x[P ],z[P 52 99380.

100100 n;.p 39010100510 ).)(.(onp

3

10519120

.zP]x[P

].z[P 1731

00080999201 ..

3

10515

3

105415

.z

.P]x[P

].z.[P 831831

0336096640 .. 93280.

4. En la playa de estacionamiento de cierta empresa grande, el registro de los automóviles de los empleados reveló, que la razón de los automóviles de manufactura nacional a extranjera es 2 a 1, es decir dos de cada tres automóviles son de manufactura nacional. Si se elige al azar 72 propietarios de autos y asumiendo una población suficientemente grande,

a) ¿Qué tipo de distribución de probabilidad tendrá el número de propietarios de automóviles de manufactura nacional en la muestra?¿cuales son los valores de sus parámetros?

b) Utilice una aproximación a la verdadera distribución de probabilidad para determinar la probabilidad que en la muestra haya a lo más 48 propietarios de autos de manufactura nacional.

parámetrosn;p 723

2

;np 5483

272

43

1

3

272

pnqo

4

48548548

.zP].x[P

0547820 ].z[P

5. Una compañía estima que ha de recibir de vuelta al rededor del 30 % de los cupones especiales de premio que planea enviar por correo para un programa de promoción de ventas. Si se envían 500 cupones ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban de vuelta más de 165 respuestas?

50030 n.p25107030500515030500 ...o.np

2510

15051651165

.

.zP]x[P

].z[P 5111

6550934501 ..

6. Para decidir a cerca de un proyecto de remodelación de un sector de Lima, el Concejo Municipal decide seleccionar al azar 100 unidades habitacionales de este sector. Si el 40% ó más de ellas están en mal estado, se procederá a la remodelación, en caso contrario. No se hará la remodelación.

a) ¿Cuál es la probabilidad que se haga la remodelación si sólo el 36% de todas las viviendas de ese sector están en mal estado?

b) ¿Cuál es la probabilidad que no se haga la remodelación si el 50% de las viviendas están en mal estado?

º.p;n 40100

94604010054040100 .).)(.(o;),(np

].x.[P]x[P 53653536

49

40536

94

40535

.

.z

.

.P

).().( 920710 0109738098380 ...

].x.[P]x[P 55054950

49

40550

94

40549

.

.z

.

.P

].z.[P 142941 0109738098380 ...

7. Suponga que el 10 % de los neumáticos de un fabricante tienen defectos en la superficie, y que los embarca en lotes de 100.

a) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) que un lote contenga 8 ó menos neumáticos con defectos en la superficie?

b) Un comprador mayorista recibe 500 lotes ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) que al menos 140 lotes contengan8 8 menos neumáticos con defectos en la superficie cada uno?

10010010 n;.%p

39010100051010100 ).)(.(;).(np

3

10588

.zP]x[P

].z[P 50 30850.

8. Sean X1, X2, …X30.variables aleatorias de Poisson distribuidos cada una con λ = 2/3. calcular:

a) P[15 < < 22]

b) P[21 ≤ < 27]

].x.[PxiPi

521515221530

1

5203230 )/(n

47420 .n

47420521

47420515

..

z..

P

].z.[P 340011 476901562063310 ...

30

1iix

30

1iix

].x.[P]x[P 5265202721

474

20526

474

20520

.

.z

.

.P

9. El número de accidentes de un tramo de 100 km de un autopista es una variable aleatoria de Poisson con media 2 por semana. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) que hayan menos de 100 accidentes en este tramo durante un año?

210104104252 .o;n

].x[P]x[P 599100

210104599.

.zP

].z[P 440

330.

10. Se utiliza la siguiente regla para controlar el funcionamiento de una máquina que produce cierto tipo de artículos. Se selecciona una muestra de 400 artículos cada hora. Si el número de artículos defectuosos es de 12 o más, se detiene la máquina; y si el número de artículos defectuosos es inferior a 12, se deja que la máquina siga funcionando. ¿Cuál es la probabilidad de:

a) Detener la máquina si está produciendo un 2 % de artículos defectuosos en promedio?

b) Dejar que la máquina siga funcionando si está produciendo un 4% de artículos defectuosos en promedio?

12n

8020400 .sDefectuosa

].x.[P]x[P 58578

12

1258

12

1257 .z

.P

096801562005131 ..].z.[P engadetse. 05940

16040400 .sDefectuosa

].x.[P]x[P 51651516

12

12516

12

12515 .z

.P ].z.[P 31011

engadetse. 05940

94060059401 ..oproduciendSiga

12. Tornillos de hierro de ½ pulg fabricados por cierta empresa ocasionalmente no tienen ranura. Esto ocurre al azar, y la probabilidad de este hecho y de que escape a la inspección es de 0.02. en una remesa se 2500 de tales tornillos. ¿Cuál es la probabilidad que:

a) 64 ó más carezcan de ranuras?

b) 36 o menos? ¿Entre 36 y 64 inclusive?

500202500 .:sDefectuosa

50

5056356364

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9719019111 .].z[P 02810.

].z[P.

P]x[P 91150

5053636

028810.

16. Un funcionario de asistencia pública en cierta área de una ciudad grande sospecha que un 10% de los niños sufren grave desnutrición. En esa área viven 2000 niños. Se selecciona una muestra de 80 niños.

a) ¿Qué distribución de probabilidad tiene el número de niños desnutridos de la muestra?¿cuáles son sus parámetros?

b) ¿cuál es la probabilidad (aproximada) que cuando menos 5 niños estén desnutridos?

Binomial

.q;nParámetros 1080

68290858 .).(o;nq

].x[P]x[P 545

682854

..

zP

].z[P 8021

99740002601 ..

17. Los automóviles llegan a un servicio de lavado automático a razón de 9 cada media hora. Determine la probabilidad que en cualquier periodo dado de ocho horas.

a) Lleguen cuando menos 120 automóviles.

b) Lleguen entre 120 y 150 automóviles

autos:horasEn 1448928

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zP 042144

1445119

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12

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.P

].z[P 460196

65220025067720 ...

18.

a) Un sistema está formado por 100 componentes que funcionan independientemente. La probabilidad que cualquier componente falle durante el periodo de operación es igual a 0.10. El sistema funciona si funcionan al menos 85 componentes. Calcular la probabilidad que funcione el sistema.

b) Suponga que el sistema anterior está formado por n componentes, cada una con una confiabilidad de 0.90. El sistema funcionará si al menos el 80% de las componentes funcionan correctamente. Determinar n de modo que el sistema tenga una confiabilidad de 0.95.

359090250 npqo;nq;.q;

].x[P)X(P 458185

3

905841

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96640.