KALKULUS VEKTORKEKONTINUAN FUNGSI VEKTOR

Konsep kekontinuan fungsi vektor disatu titik dapat di definisikan limitfungsi dititik itu, yang harus samadengan nilai fungsinya, atau langsungdengan ε = δ, berikut adalahdefinisinya.

Definisi 1.2.2Misalkan fungsi vektor

F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)enterdefinisi pada selang terbuka D yangmemuat a, F dikatakan kontinu di a ∈ Djika

lim t→a F(t) = F(a).

Definisi 1.2.3 Misalkan fungsi vektor

F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)enterdefinisi pada himpunan D yang memuata, fungsi F dikatakan kontinu di a ∈ Djika

∀ ε >0 ∃ δ >0 ∋ | t – a | < δ⟹ǁ F (t) – F (a) ǁ < ε

Definisi 1.2.4Fungsi vektor

F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)enyang terdefiinisi pada himpunan D⊆ Rdikatakan kontinu pada D jika fungsi Fkontinu di setiap titik pada D.

Teorema 1.2.4 Fungsi vektor F(t)= F (t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en

kontinu pada ⇔ fungsi real f1 kontinu pada Df = Df1∩ … ∩ Dfn , t = 1, 2, …, n

Bukti:Bukti ke kanan⟹) F(t)= = f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu pada Df⇒ F kontinu pada setiap titik di D⇒ F kontinu pada Df = Df1 ∩ … ∩ Dfn , i = 1, 2, …, n⇒ f1(t) kontinu pada Df1⇒ fn(t)kontinu pada Dfn⇒ fi(t) kontinu pada Df = Df1 ∩ … ∩ Dfn

Bukti ke kiri⟸) fi(t)kontinu pada Df= Df1 ∩ … ∩ Dfn⇒ f1(t) kontinu pada DF⇒ fn(t) kontinu pada DF⇒ F(t) kontinu pada setiap titik di DF

Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.

Teorema 1.2.5Misalkan fungsi vektor F(t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en dan

G(t)= = g1(t)e1 + ... + gn (t)en dan fungsi real u = g(t)semuanya terdefinisi pada selang terbuka D = DF∩ DG∩ Dg, terdefinisi

lim t→a F(t) = F(a)lim t→a G(t) = G(a)lim t→a g(t) = g(a)

maka• lim t→a F+G (t) = lim t→a [F(t) + G(t)]

= lim t→a F(t) + lim t→a G(t)= F(a) + G(a)= (F+G)(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F + G kontinu pada D.

• lim t→a F-G (t) = lim t→a [F(t) - G(t)] = lim t→a F(t) - lim t→a G(t)= F(a) - G(a)= (F-G)(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F - G kontinu pada D.

• lim t→a c (F) (t) = c lim t→a F(t)

= c F(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi c F kontinu pada D.

• lim t→a (F . G) (t) = lim t→a [F(t) . G(t)] = lim t→a F(t) . lim t→a G(t)= F(a) . G(a)= (F . G)(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F .G kontinu di D

• lim t→a (gF) (t) = lim t→a [g(t) . F(t)] = lim t→a g(t) . lim t→a F(t)= g(a) . F(a)= (gF)(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi gF kontinu pada D

Teorema 1.2.6

1. Jika fungsi real u =g(t) semuanya terdefinisi pada selang terbuka

D yang memuat a dengan

lim t→a g(t) = b

dan fungsi vektor F, F(t) = f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu di b, maka

lim t→a F(g(t)) = F [lim t→a g(t)] = F(b)

2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan Rg=

g(D) ⊆ E ⊆ R dan fungsi vektor F(t)= f1(t)e1 + ... + fn (t)en kontinu

pada E, maka fungsi vektor (F∘ G) kontinu pada D.

Bukti :

1. Diberikan ε>0, akan ditunjukan terdapat suatu δ>0 sehingga

0<|t-a|< δ⇒ ‖F(G(t) )-F(b)‖<ε. Diketahui F kontinu di b, maka

∃ δ1 > 0∋ 0 <|u-b|< ⇒ δ1⇒‖F(u)-F(b)‖ < ε. Dari lim t→a g(t) = b

diperoleh bahwa untuk δ1>0 terdapat η > 0 sehingga 0<|t-a|< η

⇒‖g(t)-b‖< δ1. Ambil δ=η, maka 0<|t-a|<δ=η⇒‖g(t)-b‖<δ1⇒|u-

b|<δ1⇒‖F(u)-F(b)‖<ε⇒‖F(g(t) )-F(b)‖<ε.Jadi terbuktilah yang diinginkan

2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.

Contoh soal:1. a.Misalkan

f1(t) = 3t -2 , f2(t) = -3t , f3(t) = 4toleh karena fi kontinu pada R, maka F(t) = f1(t)i + f2(t)j + f3(t)kkontinu pada R sehingga Df = R

b. buktiDiberikan sembarang ε > 0 , kemudian ambil sembarang a ϵ R.perhatikan bahwa,|t-a|< δ⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε

⇒ ‖ ((3t - )i + (-3t)j + 4tk) – (( 3a – 2)i + (-3a)j + 4ak) ‖ < ε⇒ ‖ 3(t – a)i + (-3)(t-a)j + 4(t-a)k ‖ < ε⇒|t-a| ‖ 3i – 3j + 4k ‖ < ε⇒ |t-a| √34 < ε⇒ |t-a| < ε /√34

sehingga, dengan memilih δ = ε/√34 untuk sebebarang ε yang diberikan berlaku,

|t-a|< δ⇒ |t-a| < ε/√34⇒ |t-a| √34 < ε⇒ |t-a| ‖ 3i – 3j + 4k ‖ < ε⇒ ‖ 3(t – a)i + (-3)(t-a)j + 4(t-a)k ‖ < ε⇒ ‖ ((3t - )i + (-3t)j + 4tk) – (( 3a – 2)i + (-3a)j + 4ak) ‖ < ε⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε

Berdasarkan definisi F kontinu di aTetapi, karena hal ini berlaku untuk sembarang a ϵ R, maka Fkontinu pada Df = R.Terbukti.

c. Jawab:Pandang f1(t) = 3t -2 dan Df = R.Perhatikan bahwa Df = R ⊆ R . Sedangkan f1 kontinu pada R, dengankata lain f1 kontinu disetiap titik pada R. sehingga f1 kontinu disetiaptitik pada subhimpunan dari RJadi karena Df = R ⊆ R , maka f1 kontinu pada Df

Dengan penyelidikan yang analog untuk f2 dan f3 , diperolehkesimpulan yang sama bahwa f2 dan f3 juga kontinu pada Df

d. Berdasarkan soal 1a, 1b, dan 1c disimpulkan bahwa hubungan antarakekontinuan F dengan kekontinuan komponen komponen F adalah

F kontinu pada DF jika dan hanya jika setiap komponenkomponen F kontinu pada DF

Catatan:Karena kekontinuan F bergantung pada kekontinuan setiapkomponen komponennya, maka DF itu sendiri merupakanirisan dari domain domain masing masing komponen F.

2.a. Akan dibuktikan bahwa:F(t) = f1(t)i + f2(t)j + f3(t)k kontinu pada DF ↔ fungsi realfi kontinu pada DF = Df i ∩ Df 2 ∩ Df 3 , i= 1, 2, 3

(⇒) Diberikan F(t) kontinu pada DF maka∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∋ ; t ϵ DF , |t-a| < δ⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε , ∀ t ϵ DFperhatikan bahwa

‖F(t) - F(a)‖ = ‖ (f1(t) - f1(a))i + (f2(t) –f2(a))j + (f3(t) + f3(a))k ‖= [∑³i=1 (fi(t) - fi(a))²] ^½≥ [(fi(t) - fi(a))²] ^½≥ | fi(t) - fi(a)|

sehingga,jika F(t) kontinu pada DF , maka∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∋ ; t ϵ DF , |t-a| < δ⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε , ∀ t ϵ DFdengan kata lain,jika F(t) kontinu pada DF ⇒ fi kontinu pada DF.

(⟸) Diberikan fi kontinu pada DF , maka∀ ε/√3 > 0 ∃ δ > 0 ∋ ; t ϵ DF , |t - a| < δ⇒ | fi(t) - fi(a)| < ε/√3 , ∀ t ϵ DF,i = 1, 2, 3

perhatikan bahwa| fi(t) - fi(a)| < ε/√3 , ∀ t ϵ DF ,i = 1, 2, 3(fi(t) - fi(a))² < ε²/3

∑³i=1 (fi(t) - fi(a))² < ε²[∑³i=1 (fi(t) - fi(a))²]^½ < ε

‖F(t) - F(a)‖ < ε

Sehingga jika fi kontinu pada DF , i = 1, 2, 3 maka∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∋ t ϵ DF , |t - a| < δ⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε , ∀ t ϵ DF

dengan kata lainjika fi kontinu pada DF , i = 1, 2, 3 maka F kontinu pada DF .

Jadi, fungsi maka F kontinu pada DF jika dan hanya jika fungsi real fi kontinu pada DF = Df 1∩ Df 2 ∩ Df 3

Terbukti.

b. Bukti:

Diberikan fungsi vektor F(t) = f1(t)i + f2(t)j + f3(t)k dan G(t) = g1(t)i + g2(t)j + g3(t)k , dan u = g(t) semuanya kontinu pada D = DF ∩ DG ∩ Dgmaka,

∀ ε/2 > 0 ∃ δ > 0 ∋ ; t ϵ D , |t - a| < δ1 ⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε/2 , ∀ t ϵ D dan∀ ε/2 > 0 ∃ δ > 0 ∋ ; t ϵ D , |t - a| < δ2 ⇒ ‖G(t) - G(a)‖ < ε/2 , ∀ t ϵ D

Perhatikan bahwa,‖ (F(t) + G(t)) – (F(a) + G(a)) ‖ = ‖ (F(t) - F(a)) + (G(t) – G(a)) ‖

≤ ‖ F(t) - F(a) ‖ + ‖ G(t) - G(a) ‖dengan memilih δ = min {δ1 , δa } , diperoleh‖ F(t) - G(t) ‖ + ‖ F(a) - G(a) ‖ < ε/2 + ε/2

< ε

Sehingga, jika F(t) dan G(t) kontinu pada D, maka∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∋ ; t ϵ DF , |t - a| < δ⇒ ‖F(t) - F(a)‖ < ε , ∀ t ϵ D

Dengan kata lain,Jika F(t) dan G(t) kontinu pada D , maka F(t) + G(t) kontinu padaD.

Terbukti.

c) Di berikan u = g(t) kontinu pada D dengan G(D) ⊆ E ⊆ R.Dan fungsi vektor F(t) = f1(t) i + f2 (t) j + f3 (t) k kontinu pada E,maka,

∀ δ >0 ∃ λ >0 ; t∈D, | t – a | < λ ⟹ | g (t) – g (a) | < δ, ∀ t ∈ D.

dan

ε >0 ∃ δ >0 ; u∈E | u – b | < δ⟹|| F (u) – F (b) || < ε, ∀ u ∈ E.

Karena g(D) ⊆ D, sehinggaJika g(t) ∈ E yang memenuhi | g (t) – g (a) | < δ⟹ ǁ F (g(t)) – F (g(u)) ǁ< ε, ∀ g(t) ∈ E, ∀ t ∈ D.tetapi∀ ε >0 ∃ δ >0 dan ∀ δ >0 ∃ λ >0, sehingga∀ ε >0 ∃ λ >0 ; t ∈ D, | t – a | < λ ⟹ | g (t) – g (a) | < δ, g(t) ∈ E ⟹ǁ F (g(t)) – F (g(a)) ǁ < ε, ∀ t ∈ D.

Jadi,∀ ε >0 ∃ λ >0 ; t∈D, | t – a | < λ ⟹ ǁ (F o g)(t) – (Fog) (a) ǁ < ε, ∀ t∈DDengan kata lain, F o g kontinu pada D.Terbukti