Download - Ke Setim Bang An

Transcript
Page 1: Ke Setim Bang An

Modul 6

KESETIMBANGAN BENDA (3D)

1. Kondisi Kesetimbangan

Pada modul ini, kita memperluas prinsip dan metode yang telah dikembangkan untuk

kesetimbangan dua dimensi pada kasus kesetimbangan tiga dimensi. Kesetimbangan benda

mensyaratkan bahwa gaya resultan dan momen resultan pada benda harus nol. Kedua

persamaan vektor dari kesetimbangan ini dan komponen-komponen skalarnya dituliskan

sebagai :

F = 0, atau

Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0

dan

M = 0, atau

Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0

Tiga persamaan skalar yang pertama menyatakan bahwa tidak ada gaya resultan yang

bekerja pada suatu benda dalam kesetimbangan pada ketiga arah koordinatnya. Tiga

persamaan skalar yang kedua menyatakan syarat kesetimbangan berikutnya yakni bahwa

tak ada momen resultan yang bekerja pada benda tersebut terhadap sumbu koordinat atau

terhadap sumbu yang sejajar sumbu koordinat. Keenam persamaan ini merupakan kondisi

yang perlu dan cukup untuk kesetimbangan lengkap. Sumbu acuan dapat dipilih sembarang

asalkan sesuai dan memudahkan penyelesaian, dan satu-satunya batasan yang ada adalah

bahwa sistem koordinat tangan-kanan harus dipakai untuk notasi vektor.

Keenam hubungan skalar dari persamaan di atas adalah kondisi yang independen karena

salah satu dari kondisi tersebut dapat berlaku tanpa bergantung pada kondisi yang lainnya.

Sebagai contoh, untuk sebuah mobil yang bertambah cepat pada jalan yang lurus dan datar

dalam arah –x, hukum Newton kedua menyatakan bahwa gaya resultan pada mobil tersebut

adalah sama dengan massanya dikalikan percepatannya. Karena itu Fx 0, tetapi kedua

persamaan kesetimbangan gaya sisanya dipenuhi karena semua komponen percepatan

yang lain ternyata nol. Sama halnya, jika roda gaya dari mesin mobil yang dipercepat tadi

berotasi dengan kecepatan sudut terhadap sumbu –x yang bertambah roda tersebut tidak

berada dalam kesetimbangan rotasi terhadap sumbu ini. Oleh karena itu, untuk roda

gayanya saja, Mx 0 bersamaan dengan Fx 0, tetapi keempat persamaan

kesetimbangan sisanya untuk roda gaya ini akan dipenuhi bagi sumbu pusat massanya.

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 1

Page 2: Ke Setim Bang An

Dalam menerapkan bentuk vektor dari persamaan di atas, kita pertama-tama menyatakan

setiap gaya dalam vektor-vektor satuan koordinat i, j, dan k. Untuk persamaan pertama, yaitu

F = 0, jumlah vektor akan nol hanya jika koefisien i, j, dan k dalam pernyataan tersebut

berturut-turut adalah nol. Ketiga jumlah ini, jika masing-masing suku sama dengan nol, akan

menghasilkan tiga persamaan skalar dari kesetimbangan, yaitu Fx = 0, Fy = 0, dan Fz = 0.

Untuk persamaan kedua, yaitu M = 0, dimana jumlah momen dapat diambil terhadap

sembarang titik O ke sembarang titik pada garis gaya F. Jadi M = (r x F) = 0. Jika

koefisien-koefisien i, j, dan k, dalam persamaan momen yang dihasilkan disamakan dengan

nol, maka akan dihasilkan persamaan momen skalar Mx = 0, My = 0, dan Mz = 0.

2. Diagram Benda Bebas

Pada modul sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa diagram benda bebas adalah satu-

satunya metode yang dapat diandalkan untuk memisahkan semua gaya dan momen yang

harus dimasukkan dalam persamaan kesetimbangan kita. Dalam tiga dimensi, diagram

benda bebas juga memberikan makna pokok yang sama seperti dalam dua dimensi dan

harus selalu digambarkan. Kita dapat memilih apakah membuat sebuah gambar benda

terpisah tersebut dengan keseluruhan gaya-gaya luarnya yang ada, atau sebuah gambar

proyeksi tegak lurus dari diagram benda bebasnya.

Penggambaran yang benar dari gaya-gaya pada diagram benda bebas tadi memerlukan

pengetahuan mengenai karakteristik permukaan sentuh. Karakteristik untuk tiga dimensi ini

ditampilkan pada gambar di bawah.

Karena tujuan pokok dari diagram benda bebas adalah untuk membuat gambar yang dapat

diandalkan dari aksi fisis semua gaya yang bekerja pada sebuah benda, adalah sangat

berguna bila kita menggambarkan gaya dalam arahan fisisnya yang benar sedapat mungkin.

Dalam cara ini, diagram benda bebas menjadi model yang lebih mendekati persoalan fisis

sebenarnya daripada kasus dimana gaya-gaya tersebut digambarkan sembarang atau selalu

ditetapkan dalam arahan matematis yang sama sesuai dengan penetapan sumbu koordinat.

Sebagai contoh, dalam bagian 4 dari gambar di bawah, arahan yang benar dari besaran

yang tidak diketahui Rx dan Ry, dapat diketahui atau dirasakan dalam arahan yang

berlawanan dengan sumbu koordinat yang ditetapkan. Kondisi yang sama berlaku pada

arahan vektor-vektor momen, yaitu bagian 5 dan 6, dimana arahannya dengan kaidah

tangan kanan dapat ditetapkan berlawanan dengan arah koordinat masing-masing. Kita

seharusnya mengetahui bahwa sebuah arahan negatif untuk sebuah gaya atau momen yang

tak diketahui hanyalah menunjukkan bahwa aksi fisisnya berada dalam arahan yang

berlawanan dengan yang ditetapkan pada diagram benda bebasnya. Tentu saja sering

terjadi dimana arahan fisis yang benar mula-mula tidak diketahui, sehingga penetapan yang

sembarang pada diagram benda bebas terpaksa dilakukan.

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 2

Page 3: Ke Setim Bang An

3. Kategori Kesetimbangan

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 3

Page 4: Ke Setim Bang An

Penerapan persamaan kesetimbangan di atas dikelompokkan ke dalam empat kategori yang

dapat dikelompokkan ke dalam empat kategori yang dapat kita kenali dengan pertolongan

gambar di bawah.

Kasus-1, yaitu kesetimbangan gaya-gaya yang semuanya kongruen pada titik O,

memerlukan ketiga persamaan gaya tetapi tidak ada persamaan momen karena momen

akibat gaya-gaya tersebut terhadap sembarang sumbu yang melalui O adalah nol.

Kasus-2, yaitu kesetimbangan gaya-gaya yang kongruen pada suatu garis, memerlukan

semua persamaan kecuali persamaan momen terhadap garis tersebut, yang secara otomatis

dipenuhi.

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 4

Page 5: Ke Setim Bang An

Kasus-3, yaitu kesetimbangan gaya-gaya sejajar, memerlukan hanya satu persamaan gaya

dalam arah gaya-gaya (arah –x seperti ditunjukkan) dan dua persamaan momen terhadap

sumbu-sumbu (y dan z) yang tegak lurus terhadap arah gaya-gaya tersebut.

Kasus-4, yaitu kesetimbangan suatu sistem gaya-gaya yang umum, memerlukan ketiga

persamaan gaya dan ketiga persamaan momen.

4. Contoh Soal

a. Batang baja seragam sepanjang 7 m

memiliki massa 200 kg dan ditumpu oleh

sambungan engsel peluru di A pada

lantai horisontal. Ujung bola B bersandar

pada tembok vertikal rata seperti terlihat.

Hitung gaya yang dikenakan oleh

dinding dan lantai pada kedua ujung

batang tersebut.

Penyelesaian :

Pertama-tama, diagram benda bebas dari batang tersebut digambarkan dimana gaya

sentuh pada batang di B ditunjukkan tegak lurus terhadap dinding. Di samping berat W =

m.g = 200(9,81) = 1962 N, gaya yang dikenakan oleh lantai pada sambungan bola di A

digambarkan dengan komponen –x, -y, dan –z-nya. Komponen-komponen ini ditunjukkan

dalam arahan fisis yang benar sebagaimana harus jelas dari persyaratan bahwa A tetap

ditempatnya. Posisi vertikal dari B diperoleh dari . Sumbu koordinat

tangan kanan ditetapkan dengan mudah sebagaimana diperlihatkan.

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 5

Page 6: Ke Setim Bang An

Penyelesaian vektor :

Kita akan menggunakan A sebagai pusat momen untuk menghilangkan pengaruh gaya-

gaya di A. Vektor posisi yang diperlukan untuk menghitung momen terhadap A adalah

rAG = -1i + 3j + 1,5k m dan rAB = -2i - 6j +3k m

dimana pusat massa G terletak di tengah-tengah antara A dan B.

Persamaan momen vektor memberikan

[ΣMA = 0] rAB x (Bx + By) + rAB x W = 0

(-2i -6j + 3k) x (Bxi – Byj) + (-i -3j + 1,5k) x (-1962k) = 0

(-3By + 5886)i + (3Bx – 1962)j + (-2By + 6Bx)k = 0

Menyamakan koefisien-koefisien i, j, dan k dengan nol dan menyelesaikannya

memberikan

Bx = 654 N dan By = 1962 N

Gaya-gaya di A dengan mudah ditentukan oleh

[ΣF = 0] (654 – Ax)i + (1962 – Ay)j +(-1962 + Az)k = 0

Dan Ax = 654 N Ay = 196 2N Az = 1962 N

Akhirnya

Penyelesaian skalar

Perhitungan persamaan momen skalar terhadap sumbu yang melalui A yang sejajar

dengan sumbu-sumbu –x dan –y berturut-turut memberikan

[ΣMAx = 0] 1962(3) – 3By = 0 By = 1962 N

[ΣMAy = 0] -1962(1) + 3Bx = 0 Bx = 654 N

Secara sederhana, persamaan-persamaan gaya memberikan

[ΣFx = 0] -Ax + 654 = 0 Ax = 654 N

[ΣFy = 0] -Ay + 1962 = 0 Ay = 1962 N

[ΣFz = 0] Az – 1962 = 0 Az = 1962 N

b. Sebuah gaya sebesar 200 N dikenakan pada pegangan alat kerek dalam arah yang

ditunjukkan dalam gambar. Bantalan A menahan daya dorongan (gaya dalam arah

sumbu poros) dan bantalan B hanya menahan beban radial (beban dalam arah tegak

lurus terhadap sumbu poros). Tentukan massa m yang dapat ditahan dan total gaya

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 6

Page 7: Ke Setim Bang An

radial yang dikenakan pada poros oleh setiap bantalan. Anggaplah kedua bantalan

tersebut tidak dapat memberikan momen terhadap sebuah garis yang tegak lurus

terhadap sumbu poros.

Penyelesaian

Sistem ini jelas merupakan sistem tiga dimensi tanpa ada garis atau bidang yang

simetris, dan oleh karena itu persoalan ini harus dianalisis sebagai suatu sistem gaya

ruang yang umum. Sebuah penyelesaian skalar sigunakan untuk menerangkan

pendekatan demikian, walaupun sebuah penyelesaian dengan notasi vektor juga dapat

memenuhinya. Diagram benda bebas dari poros, lengan, dan drum yang dianggap

berupa sebuah benda tunggal dapat ditunjukkan dengan pandangan ruang, tetapi disini

hanya ditunjukkan dengan ketiga proyeksi tegak lurusnya.

Gaya 200 N tersebut dipecah ke dalam tiga komponennya, dan setiap dari ketiga

pandangan pada gambar menunjukkan dua dari komponen-komponen tersebut. Arah

yang benar dari Ax dan Bx dapat dilihat dengan pengamatan dan pemeriksaan garis kerja

resultan dari kedua gaya 70,7 N yang melalui antara A dan B. Arahan yang benar dari

gaya-gaya Ay dan By tidak dapat ditentukan sebelum besar momennya di dapat, oleh

karena itu digambarkan sembarang. Proyeksi x-y dari gaya-gaya bantalan ditunjukkan

dalam bentuk jumlah komponen-komponen –x dan –y yang tidak diketahui. Tambahan Az

dan berat W = mg melengkapi diagram benda-benda tersebut. Perlu dicatat bahwa

ketiga gambar tersebut masing-masing merupakan tiga buah soal dua dimensi dengan

gaya-gaya yang bersesuaian.

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 7

Page 8: Ke Setim Bang An

[ΣMo = 0] 100(9,81m) – 250(173,2) = 0 m = 44,1 kg

Dari proyeksi x-z

[ΣMA = 0] 150Bx + 175(70,7) – 250(70,7) = 0 Bx = 35,4 N

[ΣFx = 0] Ax + 35,4 – 70,7 = 0 Ax = 35,3 N

Pandangan y-z memberikan

[ΣMA = 0] 150By + 175(70,7) – 250(44,1)(9,81) = 0 By = 520 N

[ΣFy = 0] Ay +520 – 173,2 – (44,1)(9,81) = 0 Ay = 86,8 N

[ΣFz = 0] Az = 70,7 N

Gaya-gaya radial total pada bantalan menjadi

5. Referensi

Meriam, J.L, L.G. Kraige, 1996, Mekanika Teknik Jilid 1: Statika (Edisi Kedua), Jakarta :

Penerbit Erlangga.

Mekanika TeknikFidiarta Andika, ST, MT.

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘11 8