Download - IV ELEKTROMAGN

Transcript
Page 1: IV ELEKTROMAGN

158

Page 2: IV ELEKTROMAGN

IV. ELEKTROMAGNĒTISMS 20. Magnetostatika. Bio-Savāra-Laplasa likums. Lorenca spēks. Ampēra spēks. Pēc Bio – Savāra – Laplasa likuma kontūra elements dl, pa kuru plūst strāva I, kādā telpas punktā A rada magnētisko lauku, kura intensitāte

,4sin

2rdlIdH

⋅⋅⋅⋅

=πα

kur r – attālums no strāvas elementa dl līdz punktam A, α - leņķis starp rādiusvektoru r un strāvas elementu dl.

Pielietojot Bio – Savāra – Laplasa likumu dažāda veida kontūriem, var atrast magnētiskā lauka intensitāti riņķveida strāvas centrā

,2 R

IH⋅

=

kur R – riņķveida strāvas kontūra rādiuss; magnētiskā lauka intensitāti, ko rada bezgalīgi garš taisns vadītājs

,2 a

IH⋅⋅

kur a – attālums no punkta, kurā jāaprēķina intensitāte, līdz vadītājam ar strāvu;

magnētiskā lauka intensitāti uz riņķveida strāvas ass

( ),

2 2/322

2

aRIRH

+

⋅=

kur R – riņķveida strāvas kontūra rādiuss un a – attālums no punkta, kurā jāaprēķina intensitāte, līdz kontūra plaknei;

magnētiskā lauka intensitāti toroīdā un bezgalīgi garā solenoīdā ,nIH ⋅=

kur n – vijumu skaits uz solenoīda (toroīda) garuma vienību; magnētiskā lauka intensitāti uz galīga garuma solenoīda ass

( ),coscos2 21 ββ −⋅

=nIH

kur β1 un β2 - leņķis starp solenoīda asi un rādiusvektoriem, kas novilkti no aplūkojamā punkta uz solenoīda galiem.

159

Page 3: IV ELEKTROMAGN

Magnētisko indukciju B ar magnētiskā lauka intensitāti H saista sakarība

,0 HB ⋅⋅= μμ kur μ - vides relatīvā magnētiskā caurlaidība un μ0 – magnētiskā konstante, kas SI sistēmā ir

μ0 = .1057.12104 77

mH

mH −− ⋅=⋅π

Uz strāvas elementu dl, kas atrodas magnētiskajā laukā, darbojas Ampēra spēks

,sin dlIBdF ⋅⋅= α kur α - leņķis starp strāvas un magnētiskā lauka virzieniem.

Magnētiskajā laukā uz slēgtu strāvas kontūru un arī uz magnētadatu darbojas spēku pāris, kura griezes moments

,sinαBpM ⋅= kur p – strāvas kontūra (vai magnētadatas) magnētiskais moments un α - leņķis starp magnētiskā lauka un kontūra plaknes normāles (vai adatas ass) virzieniem.

Strāvas kontūra magnētiskais moments p = I⋅S,

kur S – kontūra laukums, tātad M = B⋅I⋅S sinα. Divi taisni paralēli vadītāji, pa kuriem plūst strāva I1 un I2, savstarpēji

iedarbojas ar spēku

,2

210

dlII

F⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

πμμ

kur l - vadītāja garums un d – attālums starp tiem. Spēku, kāds darbojas uz lādētu daļiņu, kura magnētiskajā laukā kustas

ar ātrumu v, aprēķina pēc Lorenca formulas ,sinα⋅⋅⋅= vBqF

kur q – daļiņas lādiņš un α - leņķis starp daļiņas ātruma un magnētiskā lauka virzieniem.

160

Page 4: IV ELEKTROMAGN

Uzdevumu risināšanas piemēri. Strāvai plūstot pa taisna vada posmu AB, rodas magnētiskais lauks.

Aprēķināt šā lauka intensitāti punktā C, kas atrodas uz posma AB vidusperpendikula, 5 cm attālumā no vada. Pa vadu plūst 20 A stipra strāva. Vada posms AB no punkta C redzams 60° leņķī. Dots: I = 20 A a = 5 cm = 0.05 m θ = 60° H - ? A t r i s i n ā j u m s.

Punktā C strāvas elementa magnētiskā lauka intensitāte

dlr

IdH 24sin⋅

θ. Bet visa strāvas vada magnētiskā lauka intensitāte ir

atsevišķo strāvas vada elementu lauka intensitāšu ģeometriskā summa. Tā kā virziens visiem dH ir vienāds, tad vektoriālo integrāļu vietā var ņemt skalārus

integrāļus ∫ ⋅⋅

=1

224

sinθ

θ πθ

rdIH l

.

Bet l = a⋅ctgθ, θθ

sinadd =l un .

sinθar =

Tātad ( ).coscos4

sin2 21

1

2

θθπ

θθπ

θ

θ

−⋅

=⋅⋅

−= ∫ aId

aIH

Pēc nosacījuma, I = 20 A, a = 5⋅10-2 m, θ1 = 60°, θ2 = 180° - 60° = 120°. Ievietojot šos skaitļus, dabūjam, ka H = 31.8 A/m.

A

l θ1

θ2

C a

r

I

B

161

Page 5: IV ELEKTROMAGN

Vilsona kamerā, kas novietota magnētiskajā laukā, nofotografētā elektrona trajektorija ir riņķa līnijas loks, kuras rādiuss R = 10.5 cm. Magnētiskā lauka indukcija B = 10-3 T. Noteikt elektrona ātrumu un kinētisko enerģiju. Elektrona masa m = 9.1⋅10-31 kg, elektrona lādiņš e = 1.6⋅10-19 C. Dots:

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

m

O

R VrF

r

R=10.5 cm = 1.05⋅10-1 m B = 10-3 T e = 1.6⋅10-19 C m = 9.1⋅10-31 kg v - ? Wk - ? A t r i s i n ā j u m s.

Lorenca spēks piešķir elektronam centrtieces paātrinājumu. Tāpēc (1) nL maF =Tā kā elektrona trajektorija ir riņķa līnijas loks, tad tas nozīmē, ka elektrona ātrums ir perpendikulārs magnētiskā lauka indukcijas līnijām. Šajā gadījumā Lorenca spēka formula FL = evB (2) Centrtieces paātrinājumu an, trajektorijas liekuma rādiusu R un elektrona kustības ātrumu v saista sakarība

.2

Rvan = (3)

ievietojot izteiksmes (2) un (3) izteiksmē (1), iegūstam evB = m ,2

Rv

no

kurienes

.m

eBRv =

Elektrona kinētisko enerģiju aprēķina pēc formulas

.2

2mvWk = (4)

Skaitliski

162

Page 6: IV ELEKTROMAGN

smv 7

31

13191085.1

101.91005.110106.1

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅=

−−−

( ) JWk16

2731

1056.12

1085.1101.9 −−

⋅=⋅⋅⋅

= .

20-1. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti punktā, kas atrodas 2 cm

attālumā no bezgalīgi gara vadītāja, pa kuru plūst 5 A stipra strāva. [39.8 A/m].

20-2. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti riņķveida stieples vijuma centrā, ja vijuma rādiuss ir 1 cm un pa to plūst 1 A stipra strāva. [50 A/m].

20-3. 20-1. attēlā redzami divu bezgalīgi garu taisnu vadu šķērsgriezumi, pa kuriem plūst strāva. Attālums AB starp vadiem ir 10 cm, I1 = 20 A, I2 = 30 A. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti, ko rada strāvas I1 un I2, punktos M1, M2 un M3. Attālums M1A = 2 cm, AM2 = 4 cm un BM3 = 3 cm. [120 A/m; 159 A/m; 135 A/m].

M1 B M2A M3

I1 I2

20-1. Att.

20-4. Atrisināt iepriekšējo uzdevumu, ja strāvas plūst vienā virzienā. [199 A/m; 0; 183 A/m].

20-2. Att.

B A C

I1 I2 I3

M2 A M1

C B I2

I1

20-3. Att.

20-5. 20-2. attēlā doti trīs taisnu bezgalīgi garu vadu šķērsgriezumi, pa kuriem plūst strāva. Attālums AB = BC = 5 cm; I1 = I2 = I un I3 = 2 I. Aprēķināt punktu uz taisnes AC, kurā strāvu I1, I2 un I3 radītā magnētiskā lauka intesitāte ir nulle. [Punkts, kurā magnētiskā lauka intensitāte ir nulle, atrodas starp punktiem I1 un I2 3.3 cm attālumā no A].

163

Page 7: IV ELEKTROMAGN

20-6. Atrisināt iepriekšējo uzdevumu, ja visas trīs strāvas plūst vienā virzienā. [Punkti, kuros magnētiskā lauka intensitāte ir nulle, atrodas pa labi no punkta A 1.8 cm un 6.96 cm attāluma no tā].

20-7. Divi taisni bezgalīgi gari vadi ir perpendikulāri viens pret otru un atrodas vienā plaknē (20-3. Att.). Aprēķinat magnētiskā lauka intensitāti punktā M1 un M2, ja I1 = 2 A un I2 = 3 A. Attālums AM1 = AM2 = 1 cm, BM1 = CM2 = 2 cm. [8 A/m; 55.8 A/m].

20-8. Divi taisni bezgalīgi gari vadi ir perpendikulāri viens pret otro un atrodas savstarpēji perpendikulārās plaknēs (20-4. Att.). Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti punktos M1 un M2, ja I1 = 2 A un I2 = 3 A. Attālums AM1 = AM2 = 1 cm un AB = 2 cm. [35.6 A/m; 57.4 A/m].

B

I2

A M2M1

I1

20-4. Att.

20-9. Divi taisni, gari vadi novietoti paralēli 10 cm attālumā viens no otra. Pa vadiem pretējos virzienos plūst strāvas I1 = I2 = 5 A. Aprēķināt magnētiskā lauka lielumu un virzienu punktā, kas atrodas 10 cm attālumā no katra vada. [8 A/m. Magnētiskā lauka intensitāte vērsta perpendikulāri plaknei, kas iet caur abiem vadiem].

20-10. Pa garu vertikālu vadu no augšas uz leju plūst strāva I = 8 A. Kādā attālumā r no vada lauka intensitāte, kas rodas, saskaitot zemes un strāvas magnētiskos laukus, vērsta vertikāli augšup? Zemes magnētiskā lauka horizontālā komponente Hh = 16 A/m. [0.08 m].

20-11. Atrisināt iepriekšējo uzdevumu, ja strāvas stiprums vadā ir 30 A un vada posms no punkta C redzams 90° leņķī. Punkts C atrodas 6 cm attālumā no vada. [56.5 A/m].

20-12. Pa taisna vada posmu, kura garums 30 cm, plūst strāva. Kādā attālumā no vada uz posma vidusperperdikula jāatrodas punktiem, kuros magnētisko lauku var uzskatīt par bezgalīgi garas taisnvirziena strāvas magnētisko lauku? Kļūda nedrīkst pārsniegt 5 %. [≤ 5 cm].

Norādījums. Pieļaujamā kļūda 2

12

HHH −

=δ , kur H1 – magnētiskais

lauks no strāvas vada posma un H2 – magnētiskais lauks no bezgalīgi garas taisnvirziena strāvas.

164

Page 8: IV ELEKTROMAGN

20-13. Punktā C, kas atrodas 5 cm attālumā no bezgalīgi gara taisna vada ar strāvu, magnētiskā lauka intensitāte ir 400 A/m. 1) Cik garam jābūt vadam, lai šī intensitātes vērtība būtu pareiza ar precizitāti līdz 2%? 2) Cik liela ir magnētiskā lauka intensitāte punktā C, ja vada garums ir 20 cm un punkts C atrodas uz šā vada vidusperpendikula. [1) ≥ 0.245 m; 2) 358 A/m].

20-14. 20 A stipra strāva plūst pa taisnā leņķī saliektu garu vadu. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti punktā, kas atrodas uz šī leņķa bisektrises 10 cm attālumā no leņķā virsotnes. [77.3 A/m].

20-15. Plūstot pa vara stieples gredzenu, strāva I = 20 A gredzena centrā rada magnētiskā lauka intensitāti H = 178.3 A/m. Stieples šķērsgriezums S = 1.0 mm2. Cik liela potenciālu starpība pielikta gredzena stieples galiem? [0.12 V].

20-16. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti uz riņķveida kontūra ass 3 cm attālumā no tā plaknes. Kontūra rādiuss 4 cm. Strāvas stiprums kontūrā 2 A. [12.7 A/m].

20-17. Magnētiskā lauka intensitāte riņķveida vijuma centrā ir 63.7 A/m. Vijuma rādiuss 11 cm. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti uz vijuma ass 10 cm attālumā no tā plaknes. [25.7 A/m].

20-18. Divi riņķveida vijumi atrodas paralēlās plaknēs 0.1 m attālumā viens no otra. Katra vijuma rādiuss 4 cm, un pa tiem plūst strāva I1 = I2 = 2 A. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti uz vijuma kopīgās ass punktā, kas atrodas vienāda attālumā no tiem. Uzdevumu atrisināt, ja: 1) strāva vijumos plūst vienā virzienā; 2) strāvas virzieni vijumos pretēji. [1) 12.2 A/m; 2) 0].

20-19. Divi riņķveida vijumi atrodas paralēlās plaknēs 5 cm attālumā viens no otra. Katra vijuma rādiuss 4 cm un pa tiem plūst strāva I1 = I2 = 4 A. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti viena vijuma centrā. Uzdevumu atrisināt, ja: 1) strāva vijumos plūst vienā virzienā; 2) strāva tajos plūst pretējos virzienos. [1) 62.2 A/m; 2) 38.2 A/m].

20-20. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitātes sadalījumu pa riņķveida vijuma asi, ja pa vijumu plūst 10 A stipra strāva un tā diametrs ir 10 cm. Sastādīt H vērtību tabulu x vērtībam intervālā 0 ≤ x ≤ 10 cm pēc katriem 2 cm un konstruēt grafiku.

20-21. Divi riņķveida vijumi novietoti divās savstarpēji perpendikulārās plaknēs tā, ka šo vijumu centri sakrīt. Katra vijuma rādiuss 2 cm un strāva, kas plūst pa vijumiem, I1 = I2 = 5 A. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti šo vijumu centrā. [177 A/m].

20-22. 1 m gara stieple saliekta kvadrātveida rāmītī. Pa šo rāmīti plūst 10 A stipra strāva. Aprēķināt magnētiskā lauka intensitāti rāmīša centrā. [35.8 A/m].

20-23. Stieples riņķveida vijuma centrā rodas magnētiskais lauks H, ja uz vijuma galiem potenciālu starpība ir U. Cik liela potenciālu starpība jāpieliek 165

Page 9: IV ELEKTROMAGN

vijuma galiem, lai vijuma centrā iegūtu tādu pašu magnētiskā lauka intensitāti, ja vijums izgatavots no tās pašas stieples un tā rādiuss ir divreiz lielāks? [4 U1].

20-24. Pa stieples rāmīti, kam regulāra daudzstūra forma, plūst strāva I = 2 A. Rāmīša centrā veidojas magnētiskais lauks ar intensitāti H = 33 A/m. Aprēķināt, cik gara ir stieple, no kuras izveidots rāmītis. [0.2 m].

20-25. Bezgalīgi garā vadā izveidojusies riņķveida cilpa, kuras pieskare ir vads. Pa vadu plūst 5 A stipra strāva. Aprēķināt cilpas rādiusu, ja zināms, ka magnētiskā lauka intensitāte cilpas centrā ir 41 A/m. [8⋅10-2 m].

20-26. Starp elektromagnēta poliem ir homogens magnētiskais lauks, kura indukcija ir 0.1 T. Pa 70 cm garu vadu, kas novietots perpendikulāri spēka līnijām, plūst 70 A stipra strāva. Aprēķināt spēku, kas darbojas uz vadu. [4.9 N].

20-27. Divi taisni, gari un paralēli vadi atrodas 10 cm attālumā viens no otra. Pa vadiem vienā virzienā plūst strāva I1 = 20 A un I2 = 30 A. Cik liels darbs jāpastrādā (uz vada garuma vienību), lai atbīdītu šos vadus vienu no otra 20 cm attālumā? [8.3⋅10-5 J/m].

20-28. Divi taisni, gari un paralēli vadi atrodas kādā attālumā viens no otra. Pa vadiem vienā virzienā plūst vienāda stipruma strāva. Aprēkināt strāvas stiprumu katrā vadītājā, ja zināms, ka, šos vadus atvirzot vienu no otra divreiz lielākā attālumā, jāpastrādā 5.5⋅10-7 J/cm liels darbs (uz vada garuma vienību). [20 A; 20 A].

20-29. Paātrināts ar 1000 V potenciālu starpību elektrons ielido homogenā magnētiskajā laukā, kas ir perpendikulārs elektrona kustības virzienam. Magnētiskā lauka indukcija ir 1.19⋅10-3 T. Aprēķināt: 1) elektrona trajektorijas liekuma rādiusu; 2) tā apriņķošanas periodu pa riņķa līniju; 3) elektrona kustības daudzuma momentu. [1) 9⋅10-2 m; 2) 3⋅10-8 s; 3) 1.5⋅10-24

smkg 2⋅

].

20-30. Elektrons, kas paātrināts ar 300 V lielu potenciālu starpību, kustas paralēli taisnam garam vadam 4 mm attālumā no tā. Cik liels spēks iedarbojas uz elektronu, ja pa vadu plūst 5 A stipra strāva? [4⋅10-16 N].

20-31. α daļiņu (hēlija atoma kodolu) plūsma, kas paātrināta ar 1 MV lielu starpību, ielido homogenā magnētiskajā laukā, kura intensitāte 1.2 MA/m. Katras daļiņas ātrums vērsts taisnā leņķī pret magnētiskā lauka virzienu. Aprēķināt spēku, kas darbojas uz katru daļiņu. [4.7⋅10-12 N].

20-32. Elektrons ielido homogenā magnētiskajā laukā perpendikulāri spēka līnijām. Elektrona ātrums v = 4⋅107 m/s. Magnētiskā lauka indukcija 10-3

166

Page 10: IV ELEKTROMAGN

T. Cik liels ir elektrona tangenciālais un normālais paātrinājums magnētiskajā laukā? [0 visu kustības laiku; 7⋅1015 m/s2].

20-33. Aprēķināt protona kinētisko enerģiju, ja tas kustas pa riņķa līniju magnētiskajā laukā, kura indukcija 1 T. Riņķa līnijas rādiuss 60 cm. [17.3 MeV].

20-34. Protons un elektrons, kustēdamies ar vienādu ātrumu, noklūst homogenā magnētiskajā laukā. Cik reižu protona trajektorijas liekuma rādiuss R1 lielāks par elektrona trajektorijas liekuma rādiusu R2? [1840].

20-35. Protons un elektrons, kas paātrināti ar vienādu potenciālu starpību, ielido homogenā magnētiskajā laukā. Cik reižu protona trajektorijas liekuma rādiuss R1 lielāks par elektrona trajektorijas liekuma rādiusu R2? [42.9].

20-36. Ievietojot Vilsona kameru magnētiskajā laukā iegūta fotogrāfija, uz kuras elektrona trajektorija ir riņķa līnijas loks ar rādiusu 10 cm. Magnētiskā lauka indukcija 10-2 T. Aprēķināt elektrona enerģiju elekronvoltos. [88 keV].

20-37. Lādēta daļiņa magnētiskajā laukā kustas pa riņķa līniju ar ātrumu 106 m/s. Magnētiskā lauka indukcija ir 0.3 T. Liekuma rādiuss 4 cm. Aprēķināt daļiņas lādiņu, ja zināms, ka tās enerģija ir 12 keV. [3.2⋅10-19 C].

20-38. Protons un α daļiņa ielido homogenā magnētiskajā laukā. Daļiņu ātrums ir vērsts perpendikulāri lauka spēka līnijām. Cik reižu protona apriņķošanas periods magnētiskajā laukā ir lielāks par α daļiņas apriņķošanas periodu? [Divas reizes].

20-39. α daļiņa, kuras kinētiskā enerģija 500 eV, ielido homogenā magnētiskajā laukā, kas ir perpendikulārs tās kustības ātrumam. Magnētiskā lauka indukcuja 0.1 T. Aprēķināt: 1) spēku, kas darbojas uz daļiņu; 2) rādiusu riņķa līnijai, pa kuru kustas daļiņa; 3) daļiņas apriņķošanas periodu. [1) 5⋅10-15 N; 2) 3.2⋅10-2 m; 3) 1.3⋅10-6 s].

20-40. α daļiņa, kuras kustības daudzuma moments ir 1.33⋅10-22

smkg 2⋅

, ielido homogenā magnētiskajā laukā, kas ir perpendikulārs tās

kustības ātrumam. Magnētiskā lauka indukcija ir 2.5⋅10-2 T. Aprēķināt α daļiņas kinētisko enerģiju. [500 eV].

20-41. Vienvērtīgus kālija izotopu jonus paātrina 300 V liela potenciālu starpība; pēc tam joni nokļūst homogenā magnētiskajā laukā, kas perpendikulārs to kustības virzienam. Izotopu atomsvars 39 un 41. Magnētiskā lauka indukcija 0.08 T. Aprēķināt šo jonu trajektoriju liekuma rādiusus. [0.195 m; 0.200 m].

167

Page 11: IV ELEKTROMAGN

20-42. Aprēkināt attiecību mq

lādētai daļiņai, ja tā, ielidot ar ātrumu 108

cm/s honogenā magnētiskajā laukā, kura intensitāte 199 kA/m, sāk kustēties pa riņķa līnijas loku. Riņķa līnijas rādiuss 8.3 cm. Daļiņas kustības ātrums ir perpendikulārs magnētiskā lauka virzienam. Salīdzināt aprēķināto vērtību ar

mq

vērtību elektronam, protonam un α daļiņai. [4.8⋅107 C/kg; 1.76⋅1011 C/kg;

9.6⋅107 C/kg; 4.8⋅107 C/kg]. 20-43. Magnētiskajam laukam ar intensitāti H = 8⋅103 A/m un

elektriskajam laukam ar intensitāti E = 10 V/cm ir vienāds virziens. Šādā elektromagnētiskajā laukā elektrons lido ar ātrumu v = 105 m/s. Aprēķināt elektrona normālo paātrinājumu an, tangenciālo paātrinājumu at un pilno paātrinājumu. Uzdevumu atrisināt, ja: 1) elektrona ātrums vērsts paralēli spēka līnijam un 2) elektrona ātrums vērsts perpendikulāri lauka spēka līnijām. [1) 0, 1.76⋅1014 m/s2, 1.76⋅1014 m/s2; 2) 2.5⋅1014 m/s2, 0, 2.5⋅1014 m/s2].

20-44. Māgnētiskais lauks, kura indukcija B = 5⋅10-4 T, vērsts perpendikulāri elektriskajam laukam, kura intensitāte E = 10 V/cm. Ar ātrumu v lidojošu elektronu kūlis nonāk telpā ar minētajiem laukiem. Elektronu ātrums perpendikulārs plaknei, kurā atrodas vektori E un B. Aprēķināt: 1) elektronu ātrumu v, ja vienlaicīgā abu lauku iedarbībā elektronu kūlis nenovirzās; 2) elektronu trajektorijas liekuma rādiusu, kad ieslēgts tikai magnētiskais lauks. [1) 2⋅106 m/s; 2) 2.3⋅10-2 m].

20-45. Elektrons, kas paātrināts ar potenciālu starpību U = 6 kV, ielido homogenā magnētiskajā laukā, ar lauka virzienu veidojot leņķi α = 30°, un sāk kustēties pa spirāli. Magnētiskā lauka indukcija B = 1.3⋅10-2 Wb/m2. Aprēķināt: 1) spirāles vijuma rādiusu un 2) spirāles kāpi. [1)10-2 m; 2) 11⋅10-2 m].

20-46. Protons ielido homogenā magnētiskajā laukā, ar lauka virzienu veidojot leņķi α = 30°, un tālāk kustas pa spirāli, kuras rādiuss 1.5 cm. Magnētiskā lauka indukcija ir 0.1 T. Aprēķināt protona kinētisko enerģiju. [433 eV].

20-47. Elektrons ielido plakanā horizontālā kondensatorā paralēli tā platēm ar ātrumu v0 = 107 m/s. Kondensatora garums l = 5 cm; kondensatora elektriskā lauka intensitāte E = 100 V/cm. Izlidojot no kondensatora, elektrons nokļūst magnētiskajā laukā, kura spēka līnijas perpendikulāras elektriskā lauka spēka līnijām. Magnētiskā lauka indukcija B = 10-2 T. Aprēķināt: 1) elektrona vītņveida trajektorijas rādiusu magnētiskajā laukā un 2) elektrona vītņveida trajektorijas kāpi. [1) 5 mm; 2) 3.6 cm].

168

Page 12: IV ELEKTROMAGN

20-48. Elektrons, kas paātrināts ar potenciālu starpību U = 3000 V, ielido solenoīda magnētiskajā laukā, ar solenoīda asi veidojot leņķi α = 30°. Solenoīda ampērvijumu skaits ir 5000, tā garums 25 cm. Aprēķināt elektrona vītņveida trajektorijas kāpi solenoīda magnētiskajā laukā. [3.94⋅10-2 m].

20-49. Elekrons kustas homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija B = 9⋅10-3 T, pa skrūves līniju, kuras rādiuss R = 1 cm un kāpe h = 7.8 cm. Noteikt elektrona kustības periodu T un ātrumu v. [3.97⋅10-9 s; 2.5⋅107 m/s].

20-50. Elektronam, kas lido kineskopā, piemīt enerģija W = 12 keV. Kineskops ar tā orientēts, ka elektroni kustas horizontālā virzienā no dienvidiem uz ziemeļiem. Zemes magnētiskā lauka indukcijas vektora vertikālā komponente B = 5.5⋅10-5 T vērsta uz leju. Kādā virzienā tiks noliekts elektronu kūlis? Aprēķināt elektronu paātrinājumu. Cik liela ir elektronu kūļa novirze x, ja elektroni nolido kineskopā attālumu l = 20 cm? [Elektronu kūlis novirzās uz austrumiem; 6.3⋅1014 m/s2; 3⋅10-3 m].

169

Page 13: IV ELEKTROMAGN

21. Elektromagnētiskā indukcija. Magnētiskā lauka enerģija.

Magnētiskā lauka enerģijas blīvums

.20

BH ⋅=ω

Magnētiskās indukcijas plūsma caur kontūru ,cosϕ⋅⋅=Φ SB

kur S – kontūra šķērsgriezuma laukums, ϕ - leņķis starp kontūra plaknes normāli un magnētiskā lauka virzienu.

Vadītājs, pa kuru plūst strāva, pārvietodamies magnētiskajā laukā, veic darbu

Φ⋅= dIdA , kur dΦ - magnētiskās indukcijas plūsma, ko kustoties šķeļ vadītājs.

Elektromagnētiskā indukcija izskaidrojama ar to, ka kontūrā rodas indukcijas EDS, lai arī kā mainītos magnētiskās indukcijas plūsma Φ caur virsmu, ko aptver kontūrs. Indukcijas EDS ε aprēķina no vienādojuma

.dt

dΦ−=ε

Magnētiskās indukcijas plūsmu var mainīt, mainot pašā kontūrā strāvas stiprumu (pašindukcija). Šādā gadījumā pašindukcijas EDS aprēķina pēc formulas

,dt

dIL−=ε

kur L – kontūra induktivitāte (pašindukcijas koeficients). Solenoīda induktivitāte

,20 SlnL ⋅⋅⋅⋅= μμ

kur l - solenoīda garums, S – tā šķērsgriezuma laukums, n – vijumu skaits uz solenoīda garuma vienību.

Izslēdzot EDS, strāvas stiprums ķēdē pašindukcijas dēļ samazinās atbilstoši likumam

,0

tLR

eII−

= bet, ieslēdzot EDS, strāvas stiprums pieaug atbilstoši likumam:

170

Page 14: IV ELEKTROMAGN

,10 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− tLR

eII

kur R – ķēdes pretestība. Strāvas kontūra magnētiskā enerģija

.21 2ILW ⋅=

Indukcijas plūsma mainās arī tad, ja strāvas stiprumu maina blakus kontūrā (savstarpējā indukcija). Šādā gadījumā inducētais EDS

,12dt

dIL−=ε

kur L12 – kontūru savstarpējā induktivitāte. Ja divus solenoīdus šķeļ kopīga magnētiskā plūsma, to savstarpējā

induktivitāte ,21012 lSnnL ⋅⋅⋅⋅⋅= μμ

kur n1 un n2 – vijumu skaits uz šo solenoīdu garuma vienību. Magnētiskā lauka vektora H cirkulācija ∫ = IHdl ; I – pilnā strāva, kuru aptver noslēgtais konturs. Uzdevumu risināšanas piemēri.

Magnētiskajā laukā, kura indukcija ir 0.05 T, rotē 1 m garš stienis ar

pastāvīgu leņķisko ātrumu 20 rad/s. Rotācijas ass iet caur stieņa galu un ir paralēla magnētiskā ļauka spēka līnijām. Aprēķināt indukcijas elektrodzinējspēku, kas rodas uz stieņa galiem. Dots:

A t r i s i n ā j u m s. Katrā stieņa apgriezienāmagnētiskā plūsma, ko šķeļ stienis, Φ = B⋅S = B⋅π⋅l2, kur l– stieņa garums. Ja stienis izdara υ apgr/s, tad ε = B⋅π⋅l2υ

= ,22

22 ωπωπ BllB =⋅ kur ω - rotācijas kustības

leņķiskais ātrums. Ievietojot dotās skaitliskās vērtības,atrodam, ka ε = 0.5 V.

B = 0.05 T ω = 20 rad/s l = 1 m ε - ?

171

Page 15: IV ELEKTROMAGN

Spolē bez serdes 0.01 s laikā strāvas stiprums vienmērīgi pieaug no 1 līdz 2 A, pie tam spolē inducējas 20 V liels pašindukcijas EDS. Aprēķināt spoles induktivitāti un spoles magnētiskā lauka enerģijas izmaiņu. Dots: Δt = 0.01 s I1 = 1 A I2 = 2 A ⎟εi⎟ = 20 V L - ? ΔW = W2 – W1 - ?

A t r i s i n ā j u m s. Saskaņā ar Faradeja likumu pašindukcijas EDS εi skaitlisko vērtību nosaka izteiksme

,tILi Δ

Δ=ε (1)

kur .12 III −=Δ (2) Spoles magnētiskā lauka enerģija gadījumos, kad caur spoli plūst strāva I1 vai I2, atbilstoši izsakāma šādi:

.21 2

11 LIW = (3)

vai .21 2

22 LIW = (4)

Spoles magnētiskā lauka enerģijas izmaiņa ΔW = W2 – W1. (5) No sakarībām (1) un (2) nosakām L:

.12 IIt

L i

Δ=

ε

Savukārt no sakarībām (3) un (4) un (5) iegūstam

( ).21 2

122 IILW −=Δ

Skaitliski:

;2.01201.020 HL =

−⋅

=

( ) JW 3.03.01.01222.0 22 =⋅=−=Δ

Atbilde. L = 0.2 H; W = 0.3 J.

172

Page 16: IV ELEKTROMAGN

21-1. Homogēnā magnētiskajā laukā, kura intensitāte 80 kA/m, novietots kvadrātveida rāmītis. Rāmīša plakne ar magnētiskā lauka virzienu veido 45° leņķi. Rāmīša mala 4 cm. Aprēķināt magnētisko plūsmu, kas šķeļ rāmīti. [1.13⋅10-4 Wb].

21-2. Magnētiskajā laukā, kura indukcija ir 0.05 T, rotē 1 m garš stienis. Rotācijas ass, kas iet caur stieņa vienu galu, ir paralēla magnētiskā lauka spēka līnijām. Aprēķināt magnētiskās indukcijas plūsmu, ko šķeļ stienis katrā apgriezienā. [0.157 Wb].

21-3. Rāmītis, kura laukums 16 cm2, rotē homogēnā magnētiskā laukā, izdarot 2 apgr./s. Rotācijas ass atrodas rāmīša plaknē un ir perpendikulāra magnētiskā lauka spēka līnijām. Magnētiskā lauka intensitāte 7.96⋅104 A/m. Noteikt: 1) magnētiskās plūsmas, kas šķeļ rāmīti, atkarību no laika, 2) vislielāko magnētiskās plūsmas vērtību. [1) 1.6⋅10-4 ⋅cos(4⋅π⋅t + θ) Wb; 2) 1.6⋅10-4 Wb].

21-4. Cik ampērvijumu vajag, lai solenoīdā ar dzelzs serdi, kuras garums 120 cm un šķērsgriezuma laukums 3 cm2, radītu 4.2⋅10-6 Wb lielu magnētisko plūsmu? [955 ampērvijumi].

21-5. Solenoīdā, kura garums 25.1 cm un diametrs 2 cm, ievietota dzelzs serde. Solenoīdam ir 200 vijumu. Attēlot grafiski solenoīda ar serdi magnētiskās plūsmas Φ atkarību no strāvas stipruma I robežās 0 ≤ I ≤ 5 A ik pēc 1 A. Uz ordinātu ass atlikt Φ⋅104 Wb.

21-6. Magnētiskās indukcijas plūsma caur solenoīdu (bez serdes) ir 5⋅10-6

Wb. Aprēķināt šā solenoīda magnētisko momentu. Solenoīda garums 25 cm. [1 m2⋅A].

21-7. No 20 cm garas stieples izveidots: 1) kvadrātveida un 2) riņķveida kontūrs. Aprēķināt spēka griezes momentu, kas darbojas uz katru kontūru, ja tas novietots homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija ir 0.1 T. Pa kontūriem plūst 2 A stipra strāva. Katra kontūra plakne ar magnētiskā lauka virzienu veido 45° leņķi. [1) 3.53⋅10-4 N⋅m; 2) 4.5⋅10-4 N⋅m].

21-8. Kvadrātveida rāmītis iekārts stieplē tā, lai magnētiskā lauka spēka līnijas ar rāmīša plaknes normāli veidotu 90° leņķi. Rāmīša mala 1 cm. Magnētiskā lauka indukcija 1.37⋅10-2 T. Ja pa rāmīti plūst strāva I = 1 A, tad tas pagriežas par 1° leņķi. Aprēķināt stieples materiāla bīdes moduli. Stieples garums 10 cm, diega rādiuss 0.1 mm. [5⋅1010 N/m2].

21-9. Riņķveida kontūrs novietots homogēnā magnētiskajā laukā tā, ka kontūra plakne atrodas perpendikulāri lauka spēka līnijām. Magnētiskā lauka intensitāte ir 160 kA/m. Pa kontūru plūst 2 A stipra strāva. Kontūra rādiuss 2 cm. Cik liels darbs jāpadara, lai pagrieztu kontūru par 90° ap asi, kas sakrīt ar kontūra diametru? [5⋅10-4 J].

173

Page 17: IV ELEKTROMAGN

21-10. Homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija ir 0.5 Wb/m2, vienmērīgi kustas 10 cm garš vads. Pa vadu plūst 2 A stipra strāva. Vada kustības ātrums ir 20 cm/s, un tā virziens ir perpendikulārs magnētiskā lauka virzienam. Aprēķināt: 1) vada pārvietošanas darbu 10 sekunžu laikā; 2) jaudu, kas patērēta šai kustībai. [1) 0.2 J; 2) 2⋅10-2 W].

21-1. Att.

ε b

a

A

21-11. Aprēķināt magnētiskās indukcijas plūsmu, ko rotējot šķeļ diska A rādiuss ab (sk. 21-1. Att.) vienas minūtes laikā. Diska rādiuss r = 10 cm. Magnētiskā lauka indukcija B = 0.1 T. Disks izdara 5.3 apgr./s. [1 Wb].

21-12. Homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija 0.1 T, kustas 10 cm garš vads. Vada kustības ātrums v = 15 m/s un virziens perpendikulārs magnētiskajam laukam. Cik liels ir vadītājā inducētais EDS? [-0.15 V].

21-13. Spole, kuras diametrs 10 cm un kurai 500 vijumu, atrodas magnētiskajā laukā. Kāda šajā spolē ir indukcijas elektrodzinējspēka vidējā vērtība, ja magnētiskā lauka indukcija 0.1 sekundes laikā palielinās no 0 līdz 25 Wb/m2? [78.5 V].

21-14. Reaktīvas lidmašīnas ātrums 950 km/h. Aprēķināt indukcijas elektrodzinējspēku, kas rodas uz šādas lidmašīnas spārnu galiem, ja Zemes magnētiskā lauka intensitātes vertikālā komponente ir 40 A/m un attālums starp lidmašīnas spārnu galiem 12.5 m. [165 mV].

21-15. Riņķveida stieples vijums, kas norobežo 100 cm2 laukumu, atrodas homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija 1 Wb/m2. Vijuma plakne perpendikulāra magnētiskā lauka virzienam. Aprēķināt indukcijas elektrodzinējspēka vidējo vērtību, kas rodas vijumā, ja lauku ieslēdz 0.01 sekundes laikā. [1 V].

21-16. Homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija 0.1 T,vienmērīgi rotē spole ar 100 stieples vijumiem, izdarot 5 apgr./s. Spoles šķērsgriezuma laukums 100 cm2. Rotācijas ass ir perpendikulāra spoles asij un magnētiskā

174

Page 18: IV ELEKTROMAGN

lauka virzienam. Aprēķināt maksimālo indukcijas elektrodzinējspēku rotējošajā spolē. [3.14 V].

21-17. Homogēnā magnētiskajā laukā, kura indukcija 0.8 T, vienmērīgi rotē rāmītis ar leņķisko ātrumu 15 rad/s. Rāmīša laukums 150 cm2. Rotācijas ass atrodas rāmīša plaknē un ar magnētiskā lauka līnijām veido 30° leņķi. Aprēķināt maksimālo indukcijas elektrodzinējspēku rotējošajā spolē. [0.09 V].

21-18. 1 m garš horizontāls stienis rotē ap vertikālu asi, kas iet caur vienu stieņa galu. Rotācijas ass ir paralēla magnētiskā lauka spēka līnijām. Magnētiskā lauka indukcija ir 5⋅10-5 T. Cik apgriezienu sekundē jāizdara stienim, lai potenciālu starpība uz stieņa galiem būtu 1 mV? [6.4 apgr./s].

21-19. Aprēķināt magnētiskā lauka indukciju, ja magnētiskā plūsma, kas perpendikulāri iet cauri 100 cm2 lielam laukumam, ir 0.02 Wb.[2 T].

21-20. Cik lielu darbu veic magnētiskie spēki, pārvietot magnētiskajā laukā 40 cm attālumā perpendikulāri indukcijas līnijām 60 cm garu vadu? Magnētiskā lauka indukcija ir 4 T, bet strāvas stiprums vadā 10 A. [9.6 J].

21-21. Magnētiskā plūsma, kas iet caur taisnstūra rāmīti, kura garums 50 cm un platums 40 cm, ir 0.28 Wb. Aprēķināt magnētisko indukciju, ja rāmīša plakne ar magnētiskā lauka indukcijas līnijām veido 45° lielu leņķi. [≈ 2 T].

21-22. Aprēķināt magnētisko plūsmu cilindriskai spolei, kuras garums 12.56 cm un tērauda serdes šķērgriezuma laukums 0.01 m2, ja spolei uztīts 1000 vijumu un tajos plūst 40 A stipra strāva. Tērauda magnētiskā caurlaidība 1000. [4 Wb].

21-23. Aprēķināt magnētisko plūsmu, kas iet caur 100 cm2 lielu laukumu, ja magnētiskā indukcija ir 2 T. [0.02 Wb].

21-24. Aprēķināt, cik lielam laukumam iet cauri 0.003 Wb liela magnētiskā plūsma, ja magnētiskā indukcija ir 0.2 T. [150 cm2]

21-25. Cilindriskas spoles garums 25.12 cm, serdes šķērsdriezuma laukums 0.01 m2 un vijumu skaits 2000. Serde izgatavota no tērauda, kura magnētiskā caurlaidība 1000. Aprēķināt, cik stipra strāva plūst spolē, ja magnētiskās plūsmas izmaiņa spolē ir 8 Wb. [80 A].

Elektromagnētiskā indukcija. 21-26. Cik ampērvijumu vajag, lai maza diametra solenoīdā, kura garums

30 cm, magnētiskā lauka enerģijas blīvums būtu 1.75 J/m3? [500 ampērvijumu].

21-27. Solenoīdam, kura garums 20 cm un šķērsgriezuma laukums 30 cm2, uzmaukts stieples vijums. Solenoīda tinumā ir 320 vijumu, pa tiem plūst

175

Page 19: IV ELEKTROMAGN

3 A stipra strāva. Cik liels vidējais EDS inducējas solenoīdam uzmauktajā vijumā, ja strāva solenoīda izslēdzas 0.001 sekundes laikā? [0.018 V].

21-28. Cik liela ir elektrodzinējspēka vidēja vērtība, kas inducējas vijumā, ja solenoīdam, kas aplūkots iepriekšējā uzdevumā, ir dzelzs serde? [5.1 V].

21-29. Solenoīdam, kura garums 144 cm un diametrs 5 cm, uzmaukts stieples vijums. Solenoīda tinumā ir 2000 vijumu, un pa tiem plūst 2 A stipra strāva. Solenoīdam ir dzelzs serde. Cik liels elektrodzinējspēks inducējas solenoīdam uzmauktajā vijumā, ja strāva solenoīda izslēdzas 0.002 sekunžu laikā? [1.57 V].

21-30. 1) Aprēķināt spoles induktivitāti, ja tās 20 centimetros ir 400 vijumu. Spoles šķērgriezuma laukums 9 cm2. 2) Aprēķināt šās spoles induktivitāti, ja spolei ielikta dzelzs serde. Serdes materiāla magnētiskā caurlaidība darba apstākļos ir 400. [1) 0.9 mH; 2) 0.36 H].

21-31. Solenoīda tinumā ir N vara stieples vijumu. Stieples šķērsgriezuma laukums S = 1 mm2. Solenoīda garums l = 25 cm, tā pretestība R = 0.2 Ω. Aprēķināt solenoīda induktivitāti. [5.5⋅10-5 H].

21-32. Cik stieples vijumu ir spoles vienslāņa tinumā, ja tās induktivitāte ir 0.001 H? Spoles diametrs 4 cm, stieples diametrs 0.6 mm. Vijumi uztīti cieši cits pie cita. [380 vijumu].

21-33. Spolei ar dzelzs serdi šķērsgriezuma laukums ir 20 cm2 un vijumu skaits 500. Spolei ar dzelzs serdi induktivitāte ir 0.28 H, ja caur tinumu plūst 5 A stipra strāva. Aprēķināt dzelzs serdes magnētisko caurlaidību. [1400].

21-34. 50 cm garam solenoīdam ar šķērsgriezuma laukumu 2 cm2 ir 2⋅10-

7 H liela induktivitāte. Cik stiprai jābūt strāvai, lai magnētiskā lauka enerģijas blīvums solenoīda būtu 10-3 J/m3? [1 A].

21-35. Cik vijumu ir spolei, kuras induktivitāte L = 0.001 H, ja, plūstot strāvai I = 1 A, magnētiskā plūsma caur spoli Φ = 2⋅10-6 Wb? [500].

21-36. Solenoīdam ar dzelzs serdi šķērsgriezuma laukums 10 cm2. 1) Aprēķināt serdes materiāla magnētisko caurlaidību, ja magnētiskā plūsma, kas šķeļ solenoīda šķērsgriezuma laukumu, ir 1.4⋅10-3 Wb. 2) Aprēķināt, cik stiprai strāvai jāplūst caur solenoīdu, lai tā atbilstu šai magnētiskajai plūsmai, ja zināms, ka solenoīda induktivitāte ir 0.44 H. Solenoīda garums 1 m. [1) 1400; 2) 1.6 A].

21-37. Solenoīdam, kuram šķērsgriezuma laukums 10 cm2 un 1000 vijumu, ir 50 cm gara serde. Aprēķināt šā solenoīda induktivitāti, ja pa solenoīda tinumiem plūst strāva: 1) I1 = 0.1 A; 2) I2 = 0.2 A; 3) I3 = 2 A. [1) 9.0 H; 2) 5.8 H; 3) 0.83 H].

21-38. Magnētiskajā laukā, kura indukcija 0.1 T, novietots kvadrātveida rāmītis no vara stieples. Stieples šķērsgriezuma laukums 1 mm2, rāmīša

176

Page 20: IV ELEKTROMAGN

laukums 25 cm2, normāle pret rāmīša plakni vērsta lauka spēka līniju virzienā. Cik elektrības aizplūst pa rāmīša kontūru, ja magnētiskais lauks izzūd. [0.074 C].

21-39. Aprēķināt, cik ilgā laikā magnētiskā plūsma, kas iet caur kontūru, izmainās par 4⋅10-4 Wb, ja šajā laikā rodas 2⋅10-3 V liels indukcijas EDS. [0.2 s].

21-40. Attālums starp lidmašīnas spārnu galiem 60 m. Lidmašīnai lidojot horizontāli, starp spārnu galiem inducējas 0.42 V liels EDS. Aprēķināt lidmašīnas ātrumu, ja Zemes magnētiskā lauka indukcija vertikālā virzienā ir 5⋅10-5 T. [140 m/s].

21-41. Homogēnā magnētiskā laukā, kura indukcija 5 T, atrodas solenoīds. Aprēķināt indukcijas EDS vidējo vērtību, ja 0.2 sekundēs solenoīds pagriežas par 180° un tā rotācijas ass paralēla lauka virzienam. Solenoīds sastāv no 160 vijumiem, un tā diametrs ir 8 cm. [≈30 V].

21-42. Spolē, kuras induktivitāte 2 H, plūst 12 A stipra strāva. Cik liels pašindukcijas EDS inducējas spolē, ja 0.1 s laikā strāva vienmērīgi samazinās līdz 2 A? [200 V].

21-43. Cik stipra strāva plūst spolē, ja spoles magnētiskā lauka enerģija ir 4 J un induktivitāte 2 H? [2 A].

21-44. Vadītājs, kura garums 1 m, pārvietojas magnētiskajā laukā ar ātrumu 10 m/s, un tajā rodas 8 V liels indukcijas EDS. Aprēķināt magnētiskā lauka indukciju, ja vadītājs pārvietojas perpendikulāri magnētiskās plūsmas virzienam. [0.8 T].

21-45. Taisns 0.3 m garš vadītājs šķērso magnētisko lauku 60° leņķī ar ātrumu 6 m/s. Cik liels EDS inducējas vadītājā, ja lauka indukcija ir 2.1 T? [≈3.2 V].

21-46. Cik vijumu ir spolei, ja, magnētiskajai plūsmai 1 sekundē mainoties par 2 Wb, spolē inducējas 24 kV liels indukcijas EDS? [12000].

21-47. Solenoīds, kurš satāv no 100 vijumiem un kura diametrs ir 10 cm, novietots magnētiskajā laukā tā, ka tā ass ir paralēla lauka indukcijas līnijām. Aprēķināt, cik liela ir magnētiskā lauka indukcija, ja 0.005 sekundēs, pagriežot solenoīdu par 180°, tajā inducējas 157 V liels EDS. [0.5 T].

21-48. Strāvas stiprumam spolē 0.2 sekundēs mainoties no 4 līdz 10 A, spolē inducējas 3 V liels pašindukcijas EDS. Aprēķināt spoles induktivitāti. [0.1 H].

21-49. Aprēķināt spoles induktivitāti, ja spolē plūst 3 μA stipra strāva un tās magnētiskā lauka enerģija ir 9⋅10-17 J. [2⋅10-5 H].

177

Page 21: IV ELEKTROMAGN

22. Elektromagnētiskās svārstības. Viļņi.

Elektromagnētisko svārstību periodu T kontūrā, kas sastāv no kapacitātes C, induktivitātes L un pretestības R, virknes slēgumā aprēķina pēc formulas

.

21

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

LR

LC

T π

ja kontūra pretestība ir tik maza, ka

,12

2

LCLR

<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tad svārstību periods .2 LCT π= Paralēlā slēgumā, ja R ir liela

.

211

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

RCLC

T π

Ja kontūra pretestība nav nulle, tad svārstības ir rimstošas. Pie tam potenciālu starpība starp kondensatora klājumiem mainās atkarībā no laika pēc likuma ,cos0 teUU t ⋅= ⋅− ωδ

ja laiku skaita no momenta, kad potenciālu starpība starp kondensatora

klājumiem sasniedz vislielāko vērtību. Šeit L

R2

=δ - rimšanas koeficients.

Lielumu χ = δ⋅T sauc par rimšanas logaritmisko dekrementu. Ja δ = 0, tad svārstības ir nerimstošas un var rakstīt, ka .cos0 tUU ⋅= ω Ja turpretī laiku skaita no tā momenta, kad potenciālu starpība starp kondensatora klājumiem ir nulle, tad ir spēkā sakarība .sin0 tUU ⋅= ω Oma likums maiņstrāvai iegūst šādu formu:

178

Page 22: IV ELEKTROMAGN

,Z

UI ef

ef =

kur Ief un Uef – strāvas stipruma un sprieguma efektīvās vērtības, kuras ar šo amplitūdu vērtībām I0 un U0 saista sakarības

20I

I ef = un ,20U

U ef =

bet Z – ķēdes pilnā pretestība. Ja ķēde sastāv no aktīvās pretestības R, kapacitātes C un induktivitātes L, kas saslēgtas virknē, tad

.1 22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅+=

CLRZ

ωω

Pie tam fāžu nobīdi starp spriegumu un strāvas stiprumu nosaka formula

.

1

RC

Ltg ⋅

−⋅= ωω

ϕ

Spole, kuras aktīvā pretestība ir R un induktivitāte L, maiņstrāvas ķēdē atbilst R un L virknes slēgumam. Kondensators, kuram ir noplūde, t.i., kondensators ar aktīvo pretestību R un kapacitāti C atbilst R un C paralēlam slēgumam. Maiņstrāvas jauda .cosϕefef UIP =

179

Page 23: IV ELEKTROMAGN

Uzdevumu risināšanas piemēri. Avotam, kura spriegumu apraksta vienādojums u=300sin100π⋅t volti,

pievienots vadītājs, kura aktīvā pretestība 100 Ω, spole ar induktivitāti 0.5 H un kondensators ar kapacitāti 10 μF, kas visi saslēgti virknē. Aprēķināt strāvas stipruma amplitūdu un efektīvo vērtību, kā arī ķēdē izdalīto jaudu. C

u L

R

Dots: u = 300sin100π⋅t, V R = 100 Ω L = 0.5 H C = 10 μF = 10-5 F Im - ? I - ? P - ? A t r i s i n ā j u m s. Saskaņā ar Oma likuma maiņstrāvas ķēdei

,Z

UI m

m = (1)

kur Im un Um – strāvas stipruma un sprieguma amplitūdas; Z – ķēdes pilnā pretestība. R, L un C virknes slēguma pilnā pretestība:

,1 22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅+=

CLRZ

ωω (2)

kur ω - maiņstrāvas cikliskā frekvence. No formulām (1) un (2) iegūstam

2

2 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅+

=

CLR

UI m

m

ωω

.

Spriegums u atkarībā no laika dots uzdevuma nosacījumos u = 300sin100π⋅t, (3) bet vispārīgā veidā to var uzrakstīt šādi: .sin tUu m ⋅= ω (4) Salīdzinot vienādojumus (3) un (4), var noteikt Um un ω. Strāvas stipruma efektīvo vērtību I ar amplitūdu saista sakarība

180

Page 24: IV ELEKTROMAGN

2mI

I = (5)

Kondensatorā un spolē (ja tai nav aktīvās pretestības) jauda neizdalās, jo

spriegums un strāvas stiprums tajos nobīdīti fāzā par 2π

un

02

coscos ==πϕ . Tāpēc jauda, kas izdalās ķēdē ir vadītājā R izdalītā

jauda, t.i., P = I2R. No vienādojumiem (3) un (4) izriet, ka Um = 300 V un ω = 100π s-1. Tāpēc

AI m 58.159.3

3

1010015.0100100

3002

52

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅−⋅⋅+

=

−ππ

AI 58.1258.1

== ;

. WP 12510012.1 2 =⋅=

22-1. Svarstību kontūrs sastāv no kondensatora, kura kapacitāte 89⋅10-11 F, un spoles, kuras induktivitāte ir 2⋅10-3 H. Uz kādu viļņa garumu noskaņots kontūrs? Kontūra pretestību neievērot. [2500 m].

22-2. Uz kādu viļņu diapazonu var noskaņot svārstību kontūru, ja tā induktivitāte ir 2⋅10-3 H, bet kapacitāte var mainīties no 6.9⋅10-11 līdz 53.3⋅10-11 F? Kontūra pretestība ir niecīga. [No 700 m līdz 1950 m].

22-3. Kāda induktivitāte jāieslēdz svārstību kontūrā, lai ar 2 μF kapacitāti iegūtu skaņas frekvenci 1000 Hz. Kontūra pretestību neievērot. [12.7 mH].

22-4. Spole, kuras induktivitāte L = 3⋅10-5 H, pieslēgta plakanam kondensatoram, kura plates S = 100 cm2 un attālums starp platēm d = 0.1 mm. Kāda ir dielektriskā caurlaidība videi, kas piepilda telpu starp platēm, ja kontūrs rezonē ar 750 m garu vilni? [6].

22-5. Svārstību kontūrs sastāv no kondensatora, kura kapacitāte 0.025 μF, un spoles, kuras induktivitāte 1.015 H. Ķēdes omisko pretestību neievērot. Kondensators uzlādēts ar elektrības daudzumu 2.5⋅10-6 C. 1) Uzrakstīt vienādojumu (ar skaitliskiem koeficientiem) šā kontūra potenciālu starpības izmaiņai starp kondensatora klājumiem un strāvas stipruma izmaiņai ķēdē 181

Page 25: IV ELEKTROMAGN

atkarībā no laika. 2) Aprēķināt potenciālu starpības vērtības starp

kondensatora klājumiem un strāvas stipruma vērtības ķēdē momentos ,8T

4T

un 2T

s. 3) Konstruēt šo atkarību grafiski viena perioda robežās. [1)

100cos(2π⋅103t) V, -15.7sin(2π⋅103t) mA; 2) 70.7 V un -11.1 mA, 0 un –15.7 mA, -100 V un 0].

22-6. Iepriekšējā uzdevumā minētajam svārstību kontūram 1) uzrakstīt vienādojumus elektriskā lauka enerģijas, magnētiskā lauka enerģijas un pilnas enerģijas izmaiņai atkarībā no laika; 2) aprēķināt elektriskā lauka enerģijas,

magnētiskā lauka enerģijas un pilnās enerģijas vērtības momentos ,8T

4T

un

2T

s; 3) konstruēt šo atkarību grafiski viena perioda robežās. [1)

12.5⋅10-5cos2(2π⋅103t) J, 12.5⋅10-5sin2(2π⋅103t) J, 12.5⋅10-5 J; 2) 6.25⋅10-5 J, 6.25⋅10-5 J un 12.5⋅10-5 J; 0, 12.5⋅10-5 J, 12.5⋅10-5 J; 12.5⋅10-5 J, 0 un 12.5⋅10-5 J].

22-7. Svārstību kontūrā potenciālu starpības maiņu uz kondensatora klājumiem atkarībā no laika izsaka vienādojums U = 50⋅cos104πt V. Kondensatora kapacitāte ir 10-7 F. Noteikt: 1) svārstību periodu; 2) kontūra induktivitāti; 3) likumu, pēc kura strāvas stiprums mainās atkarībā no laika; 4) viļņa garumu, kas atbilst šim kontūram. [1) 2⋅10-4 s; 2) 10.15 mH; 3) -157⋅sin104π⋅t mA; 4) 6⋅104 m].

22-8. Svārstību kontūrā strāvas stipruma maiņu atkarība no laika izsaka vienādojums I = -0.02sin400πt A. Kontūra induktivitāte 1 H. Aprēķināt: 1) svārstību periodu; 2) kontūra kapacitāti; 3) maksimālo potenciālu starpību starp kondensatora klājumiem; 4) maksimālo magnētiskā lauka enerģiju; 5) maksimālo elektriskā lauka enerģiju. [1) 5⋅10-3 s; 2) 6.3⋅10-7 F; 3) 25.2 V; 4) 2⋅10-4 J; 5) 2⋅10-4 J].

22-9. Kāda ir svārstību kontūra magnētiskā lauka enerģijas attiecība pret

elektriskā lauka enerģiju momentā 8T

s? [1].

22-10. Svārstību kontūrs sastāv no kondensatora, kura kapacitāte 7 μF, un spoles, kuras induktivitāte 0.23 H un pretestība 40 Ω. Kondensators uzlādēts ar elektrības daudzumu 5.6⋅10-4 C. 1) Aprēķināt kontūra svārstību periodu. 2) Aprēķināt svārstību rimšanas logaritmisko dekrementu. 3)

182

Page 26: IV ELEKTROMAGN

Uzrakstīt vienādojumu potenciālu starpības maiņai starp kondensatora klājumiem atkarībā no laika. 4) Aprēķināt potenciālu starpības vērtības

momentos 2T

, T, T23

un 2T s. 5) Konstruēt funkcijas U = f (t) grafiku divu

periodu robežās. [1) 8⋅10-3 s; 2) 0.7; 3) 80e-87tcos250πt V; 4) -56.5 V, 40 V, -28 V, 20 V].

22-11. Svārstību kontūrs sastāv no kondensatora, kura kapacitāte 0.2 μF, un spoles, kuras induktivitāte 5.07⋅10-3 H. 1) Kādam jābūt rimšanas logaritmiskajam dekrementam, lai potenciālu starpība starp kondensatora klājumiem 10-3 sekundēs samazinātos trīs reizes? 2) Kāda tādā gadījumā ir kontūra pretestība? [1) 0.22; 2) 11.1 Ω].

22-12. Svārstību kontūrs sastāv no 10-2 H lielas induktivitātes, 0.405 μF kapacitātes un 2 Ω pretestības. Aprēķināt, cik reižu samazinās potenciālu starpība starp kondensatora klājumiem viena perioda laikā. [1.04 reizes].

22-13. Svārstību kontūrs sastāv no kondensatora, kura kapacitāte C = 2.22⋅10-9 F, un spoles, kura uztīta no vara vada. Vada diametrs d = 0.5 mm. Spoles garums l = 20 cm. Aprēķināt svārstību rimšanas logaritmisko dekrementu. [0.018].

22-14. Svārstību kontūra kapacitāte ir 1.1⋅10-9 F un induktivitāte 5⋅10-3 H. rimšanas logaritmiskais dekrements ir 0.005. Pēc cik ilga laika rimšanas dēļ zūd 99% kontūra enerģijas? [6.8⋅10-3 s].

22-15. Svārstību kontūrs sastāv no kondensatora un garas spoles, kas uztīta no vara vada. Vada šķērsgriezuma laukums S = 0.1 mm2. Spoles garums l = 40 cm. Kāda ir kondensatora kapacitāte C, ja kļūda, kas rodas, aprēķinot kontūra svārstību periodu, pēc aptuvenās formulas CLT ⋅⋅⋅= π2 , ir ε = 1%? [0.7 μF].

Norādījums. Ievērot, ka kļūda 2

12

TTT −

=ε , kur T1 – svārstību periods,

kas aprēķināts pēc Tomsona formulas, un T2 – svārstību periods, kas aprēķināts pēc precīzās formulas.

22-16. Spole, kuras garums l = 50 cm un šķērsgriezuma laukums S = 10 cm2, ieslēgta maiņstrāvas ķēdē, kuras frekvence ν = 50 Hz. Spoles vijumu skaits N = 3000. Aprēķināt spoles aktīvo pretestību, ja zināms, ka fāzu nobīde starp spriegumu un strāvu ir 60°. [4.1 Ω].

22-17. Spoles tinums sastāv no 500 vara vada vijumiem, kura sķērsgriezuma laukums 1 mm2. Spoles garums 50 cm un tās diametrs 5 cm.

183

Page 27: IV ELEKTROMAGN

Kādai jābūt maiņstrāvas frekvencei, lai šās spoles pilnā pretestība būtu divreiz lielāka par tās aktīvo pretestību? [300 Hz].

22-18. Divi kondensatori, kuru kapacitāte C1 = 0.2 μF un C2 = 0.1 μF, ieslēgti virknē maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas spriegums 220 V un frekvence 50 Hz. Aprēķināt: 1) strāvas stiprumu ķēdē; 2) potenciāla kritumu uz pirmā un otrā kondensatora. [1) 4.6 mA; 2) 73.4 V, 146.6 V].

22-19. Spoles garums 25 cm un rādiuss 2 cm, tās tinums sastāv no 1000 vara vada vijumiem, kura šķērsgriezuma laukums 1 mm2. Spole ieslēgta maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas frekvence 50 Hz. Kāda daļa no spoles pilnās pretestības ir 1) aktīvā pretestība un 2) induktīvā pretestība? [1) 74 %; 2) 68 %].

22-20. Kondensators, kura kapacitāte 20 μF, un reostats, kura aktīvā pretestība 150 Ω, ieslēgti virknē maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas frekvence 50 Hz. Kāda daļa no šai ķēdei pieslēgtā sprieguma ir sprieguma kritums 1) uz kondensatora un 2) uz reostata? [1) 72.5 %; 2) 68.5 %].

22-21. Kondensators un elektriskā spuldze saslēgti virknē un ieslēgti maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas spriegums 440 V un frekvence 50 Hz. Kādai jābūt kondensatora kapacitātei, lai caur spuldzi plūstu 0.5 A stipra strāva un potenciāla kritums uz spuldzes būtu 110 V? [3.74 μF].

22-22. Spole, kuras aktīvā pretestība 10 Ω un induktivitāte L, ieslēgta maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas spriegums 127 V un frekvence 50 Hz. Aprēķināt spoles induktivitāti, ja zināms, ka spole absorbē 400 W un fāzu nobīde starp spriegumu un strāvu ir 60°. [0.055 H].

22-23. Kondensators, kura kapacitāte 1 μF, un reostats, kura aktīvā pretestība 3000 Ω, bet induktivitāte niecīga, ieslēgti maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas frekvence 50 Hz. Aprēķināt ķēdes pilno pretestību, ja kondensators un reostats ieslēgti: 1) virknē un 2) paralēli. [1) 4380 Ω; 2) 2180 Ω].

22-24. Maiņstrāvas ķēdē virknē ieslēgta kapacitāte 35.4 μF, aktīvā pretestība 100 Ω un induktivitāte 0.7 H. Maiņstrāvas spriegums 220 V un frekvence 50 Hz. Aprēķināt strāvas stiprumu ķēdē un sprieguma kritumu uz kapacitātes, omiskās pretestības un induktivitātes. [1.34 A; 121 V;134 V; 295 V].

22-25. Induktivitāte L = 2.26⋅10-2 H un aktīvā pretestība R ieslēgtas paralēli maiņstrāvas ķēdē. Maiņstrāvas frekvence ν = 50 Hz. Aprēķināt R vērtību, ja zināms, ka fāzu nobīde starp spriegumu un strāvu ir 60°. [12.3 Ω].

184