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Aerodinâmica I

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Introdução

Objectivo: Determinar as forças que se exercem

sobre um corpo imerso num

escoamento

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Introdução

Peso

Sustentação

Resistência

Força Propulsiva

Aeronave a voar a altitude e velocidade constantePeso = Sustentação

Força Propulsiva = Resistência

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Introdução

Força de Sustentação é a componente da força aerodinâmica na direcção perpendicular ao escoamento de aproximação.

Força de Resistência é a componente da forçaaerodinâmica na direcçãodo escoamento de aproximação.

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Introdução

Origem da força aerodinâmica:

1. Pressão na superfície do corpo

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Introdução

Origem da força aerodinâmica:

2. Tensão de corte na superfície do corpo

Transição

TurbulentoTensão de

corte na parede

0=

∂=

y

wy

Uµτ

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IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:

a) Experimental

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IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:

b) Teórica (Solução numérica de um modelo matemático)

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Descrição do campo do escoamento

Variáveis a determinar:

• Pressão (1)

• Velocidade (3)

• Massa específica (1)

• Temperatura (1)

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Descrição do campo do escoamento

• Fluido é tratado como um meio contínuo

• Equação de estado(1)

- Fluido Incompressível ρ=constante

- Gás Perfeito p=ρRT

• Princípio de Conservação da Massa (1)

• Segunda lei de Newton (Balanço de quantidade de movimento)(3)

• 1ª Lei da Termodinâmica (Balanço de energia)(1)

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Descrição do campo do escoamento

• Metodologia Euleriana

- Análise do escoamento num volume fixo no espaço

- Derivada temporal inclui duas parcelas

1. Variação com o tempo num ponto fixodo espaço

2. Variação de ponto para ponto no espaço,num determinado instante de tempo

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Conceitos Básicos

• Derivada Material

Propriedade genérica→= ),,,( tzyxqq

z

qw

y

qv

x

qu

t

q

Dt

Dq

t

z

z

q

t

y

y

q

t

x

x

q

t

q

Dt

Dq

∂+

∂+

∂+

∂=

∂+

∂+

∂+

∂=

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Conceitos Básicos

• Teorema da divergência de Gauss

Balanço do campo vectorial a um volume infinitesimal

zyx

SV

ez

ey

ex

dSnQdVQ

rrrr

rrrr

∂+

∂+

∂=∇

⋅=⋅∇ ∫∫

→⋅∇ Qrr

Qr

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Conceitos Básicos

• Transformação da derivada temporal de um volume

variável (V) no tempo para um volume fixo (Vo)

Propriedade genérica por unidade de massa

( ) ( )∫∫∫ ⋅+∂

∂=

oo SVVdSnvdV

tdV

Dt

D rrρξρξρξ

→ξ

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Balanço de uma propriedade genérica

(“Equação de conservação”)

• Volume variável no tempo

fontes/poços da propriedade

∫∫ =VV

dVfdVDt

Dξρξ

→ξf ξ

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Balanço de uma propriedade genérica

(“Equação de conservação”)

• Volume fixo

• Como Vo é arbitrário

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

0

=−⋅∇+∂

=

−⋅∇+

=⋅+∂

∫∫ ∫

ξ

ξ

ξ

ρξρξ

ρξρξ

ρξρξ

fvt

dVfvt

dVfdSnvdVt

o

oo o

V

VV S

rr

rr

rr

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Balanço de uma propriedade genérica

(“Equação de conservação”)

Propriedade ξ fξ

Massa 1 —

Quantidade de movimento

Forças

EnergiaCalor

Trabalho

vr

gzv

ue ++=2

2

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Conservação da Massa (equação da continuidade)

• Forma integral

• Forma diferencial

( ) 0=⋅+∂

∂∫ ∫

o oV SdSnvdV

t

rrρ

ρ

( )

( ) 0

0

0

=⋅∇+

=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

=⋅∇+∂

vDt

D

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

vt

rr

rr

ρρ

ρρρρρ

ρρ

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Aerodinâmica I

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Conservação da Massa (equação da continuidade)

• Fluido incompressível (ρ=constante)

• Forma integral

• Forma diferencial

( ) 0=⋅∫oV

dSnvrr

0

0

=∂

∂+

∂+

=⋅∇

z

w

y

v

x

u

vrr

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Forma integral

Soma da forças aplicadas ao fluido novolume de controle Vo

( ) FdSnvvdVt

v

o oV S

rrrrr

=⋅+∂

∂∫ ∫ ρ

ρ

→Fr

• Forças de pressão + tensões normais

• Tensões de corte

• Forças mássicas (força da gravidade)

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Relação das forças com as variáveis que caracterizam

o escoamento

( )

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂−=

+⋅∇+∇−=

o

o

o

o

V

zzyzxzz

V

zyyyxy

y

V

zxyxxxx

Vij

zyxz

pF

gzyxy

pF

zyxx

pF

gpF

τττ

ρτττ

τττ

ρτrrrrr

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Forma diferencial

(Navier-Stokes)

zyxz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gzyxy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

zyxx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

gpz

vw

y

vv

x

vu

t

v

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

−∂

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

+⋅∇+∇−=∂

∂+

∂+

∂+

τττρρρρ

ρτττρρρρ

τττρρρρ

ρτρρρρ rrrrrrrr

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)

• As tensões são linearmente proporcionaisàs derivadas das componentes da velocidade

• As constantes de proporcionalidade sãoindependentes da direcção. Fluido isotrópico

• As tensões não dependem explicitamente daposição no espaço e da velocidade do fluido

• O tensor é simétrico, τxy=τyx, τxz=τzx, τyz=τzy

(Navier-Stokes)

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Relação entre tensões e movimento do fluido

(modelo de Newton)

z

w

y

v

x

u

y

w

z

vA

z

w

x

w

z

uA

y

v

x

v

y

uA

x

u

zyyzzz

zxxzyy

yxxyxx

∂+

∂+

∂=Θ

∂+

∂==+

∂+Θ

−=

∂+

∂==+

∂+Θ

−=

∂+

∂==+

∂+Θ

−=

µττµµλσ

µττµµλσ

µττµµλσ

23

2

23

2

23

2

(Navier-Stokes)

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)

• µ, λ e A são parâmetros independentes dos gradientesdas componentes do vector velocidade

z

w

y

v

x

u

y

w

z

vA

z

w

x

w

z

uA

y

v

x

v

y

uA

x

u

zyyzzz

zxxzyy

yxxyxx

∂+

∂+

∂=Θ

∂+

∂==+

∂+Θ

−=

∂+

∂==+

∂+Θ

−=

∂+

∂==+

∂+Θ

−=

µττµµλσ

µττµµλσ

µττµµλσ

23

2

23

2

23

2

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)

- Escoamento Uniforme

- Pressão média (average pressure),

th

zzyyxx

pA

A

−≡

=== σσσ

( )

th

zzyyxx

pp

p

+Θ−=

++−=

λ

σσσ3

1

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)

• As constantes λ e A desaparecem das relações entre tensões e gradientes das componentes do vector velocidade

z

w

y

v

x

u

y

w

z

v

z

wp

x

w

z

u

y

vp

x

v

y

u

x

up

zyyzzz

zxxzyy

yxxyxx

∂+

∂+

∂=Θ

∂+

∂==

∂+Θ−−=

∂+

∂==

∂+Θ−−=

∂+

∂==

∂+Θ−−=

µττµµσ

µττµµσ

µττµµσ

23

2

23

2

23

2

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Equações de Navier-Stokes

( )

( )

( )

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

Θ∂

∂−

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

Θ∂

∂−

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

Θ∂

∂−

∂−=

∂+

∂+

∂+

z

w

zy

w

z

v

yx

w

z

u

x

zz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gy

w

z

v

zy

v

yx

v

y

u

x

yy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

x

w

z

u

zx

v

y

u

yx

u

x

xx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

µµµ

µρρρρ

ρµµµ

µρρρρ

µµµ

µρρρρ

2

3

2

2

3

2

2

3

2

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Equações de Navier-Stokes

Fluido incompressível, ρ=constante

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

z

w

zy

w

z

v

yx

w

z

u

xz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gy

w

z

v

zy

v

yx

v

y

u

xy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

x

w

z

u

zx

v

y

u

yx

u

xx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

νννρ

νννρ

νννρ

21

21

21

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Balanço de Quantidade de Movimento

• Equações de Navier-Stokes

Fluido incompressível, ρ=constante

Viscosidade constante, ν=constante

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

z

w

y

w

x

w

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

gz

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

νρ

νρ

νρ