Download - INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

Transcript
Page 1: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

BAB

5INTERPOLASI

Page 2: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

INTERPOLASI

• Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi

pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada

ke-2 titik tersebut sudah diketahui

• Cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn]

dengan menggunakan informasi dari seluruh atau

sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)

2

x x0 x1 x2 ……. xn

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ……. f(xn)

Page 3: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

TEKNIK UMUM YANG DIGUNAKAN

(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg

mempunyai harga fungsi di titik-titik yang

diketahui Polinomial Interpolasi(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya

ke dalam polinomial interpolasi

3

Page 4: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

INTERPOLASI LINIER

• ide dasar : pada saat

data dalam bentuk

tabel tidak begitu

bervariasi, sehingga

memungkinkan untuk

dilakukan pendekatan

dengan

menggunakan sebuah

garis lurus di antara

dua titik yang

berdekatan.

Page 5: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

INTERPOLASI LINIER

Page 6: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

CONTOH :

• Jarak yang dibutuhkan sebuahkendaraan untuk berhenti adalah fungsikecepatan. Data percobaan berikut inimenunjukkan hubungan antarakecepatan dan jarak yang dibutuhkanuntuk menghentikan kendaraan.

• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkanbagi sebuah kenderaan yang melajudengan kecepatan 45 mil/jam.

Page 7: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

CONTOH :

• maka untuk mencari nilai x=45 maka,

Page 8: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

EXAMPLE

The upward velocity of a rocket is given as

a function of time in Table 1. Find the

velocity at t=16 seconds using linear splines.t v(t)

s m/s

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

Table : Velocity as a

function of time

Figure : Velocity vs. time data

for the rocket example

Page 9: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

LINEAR INTERPOLATION

10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x desired

x s1

10x s0

10 x s range x desired

,150 t 78.362)( 0 tv

,201 t 35.517)( 1 tv

)()()(

)()( 0

01

01

0 tttt

tvtvtvtv

)15(1520

78.36235.51778.362

t

)15(913.3078.362)( ttv

At ,16t

)1516(913.3078.362)16( v

7.393 m/s

Page 10: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

INTERPOLASI KUADRAT

F(x) = ax2 + bx + c

Page 11: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

INTERPOLASI KUADRAT

• Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)

• Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss

Page 12: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

CONTOH :

• Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

• Sistem Pers Linier yang terbentuk.• 64 a + 8 b + c = 2.0794

• 81 a + 9 b + c = 2.1972

• 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513

• Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266

c = 0.6762

• Sehingga p2(9.2) = 2.2192

Page 13: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

POLINOM NEWTON

• Persamaan Polinom Linier

• Bentuk pers ini dapat ditulis :

• Yang dalam hal ini (1)

• Dan (2)

• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-

difference)

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

)()( 0101 xxaaxp

)( 000 xfya

)(

)()(

)(

)(

01

01

01

011

xx

xfxf

xx

yya

],[ 011 xxfa

Page 14: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

POLINOM NEWTON

• Polinom kuadratik

• Atau

• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers

sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)

• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))((

)()(

1202

021022

xxxx

xxaaxfa

12

01

01

02

02

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Page 15: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

POLINOM NEWTON

• Dengan melakukan utak-atik aljabar,

pers ini lebih disukai

02

0112

02

01

01

12

02

2

],[],[

)()()()(

xx

xxfxxf

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Page 16: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

POLINOM NEWTON

• Jadi tahapan pembentukan polinom

Newton :)()()( 0101 xxaxpxp

)()( 0101 xxaaxp

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp

Page 17: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

POLINOM NEWTON

• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi ,

dg nilai

• Yang dalam hal ini ],,...,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

012111011

),,...,,[],...,,[],,...,,[

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

Page 18: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

POLINOM NEWTON

• Dengan demikian polinom Newton dapat

ditulis dalam hub rekursif sebagai :

• Rekurens

• basis

• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap

sbb :

],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn

)()( 00 xfxp

],,...,,[))...()((

],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

Page 19: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

CONTOH SOAL :

• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan

empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4]

dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan

x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147

1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880

2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551

3.0 -0.99 0.3363

4.0 -0.6536

Page 20: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

CONTOH SOAL :

• Contoh cara menghitung nilai selisih

terbagi pada tabel :

2484.002

4597.09564.0

)(

],[],[],,[

9564.012

5403.04161.0

)(

)()(],[

4597.001

15403.0

)(

)()(],[

02

0112012

12

1212

01

0101

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

Page 21: INTERPOLASI BAB 5eprints.dinus.ac.id/14371/1/[Materi]_BAB_5_-_INTERPOLASI.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang

CONTOH SOAL :

• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0= 0 sebagai titik pertama :

• Nilai sejati f(2.5) adalah• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011

)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.0(4597.00.1)()cos(

4

3

2

1

xxxxxxx

xxxxpx

xxx

xxxxpx

xxxxpx

xxpx