Interférométrie
Le principe de l’interférométrie I
• problème de l’antenne unique: résolution spatiale Θ ∼ λ/D (D: diamètre du télescope)
• idée: remplacer le diamètre du télescope par la distance entre deux télescopes
• en interférométrie: un télescope va échantillonner le champ d’onde electromagnétique
• une seule source ponctuelle: champ electromagnétiquecohérent
• une source qui comprend deux sous sources ponctuelles émet deux champs d’onde sépares qui n’interagissent pas -> ils sont incohérents
• cela est reconnu par un interféromètre
La cohérence spatiale
α∆x
d
d < λ D/S Θ=λ/d > S/D=taille apparente source ponctuelle
S: taille physique de la sourceΘ: résolution spatiale
D
Le principe de l’interférométrie II
• il faut mesurer la cohérence des signaux• en principe un interféromètre ne
fonctionne que correctement si le champ electromagnétique peut être décrit par une onde de longueur d’onde, fréquence, phase etc. bien définis
• résolution spatiale: Θ ∼ λ/Β (Β: ligne de base maximum)
La fonction de coherence I
pour decrire une onde electromagnetique on a besoin de 4 parametres:
parametres de Stokes: I, U, Q, V
simplification: on ne prend que le Stokes I
1. onde plane monochromatique (ν = ω2π = ν0):
U(t) = U0 exp(−iωt + ϕ)
U0: amplitudeϕ: phase
si U0 et ϕ sont connu a un point P1, ils sont determine aupoint P2 une fois qu’on a determine ∆ϕ →l’emission est coherente
2. ondes polychromatiques aleatoires:l’emission est incoherente
hypothese: emission stationnaire
mesure de la coherence: fonction de coherence Γ:
Γ(P1, P2, τ) = limT→∞
1
2T
∫ T
−TU(P1, t)U
∗(P2, t+τ)dt =< U(P1)U∗(P2, t+τ) >
→ crosscorrelation
onde plane monochromatique: l’amplitude de γ est 1onde poly chromatique aléatoire: l’amplitude de γ est 0
La fonction de coherence II
intensite (Stokes I): I(P ) = Γ(P, P, 0) =< U(P, t)U ∗(P, t) >
On suppose:
U(P, t) = U0 exp(i(kz − ωt))
ou P = (x, y, z), k = 2π/λ = const et ω = 2πν = const
→Γ(P1, P2, τ) = |U0|2 exp(i(k(z1 − z2) + ωτ))
La fonction de coherence a la meme longueur d’onde que les on-des initiales, mais c’est une onde stationnaire
si τ = 0 et z1 − z2 = 0 → Γ est maximum
normalisation:
γ(P1, P2, τ) =Γ(P1, P2, τ)√
I(P1)I(P2)
|γ(P1, P2, τ)| ≤ 1
maintenant: superposition de deux champs d’ondes monochromatiquesqui se propagent dans deux directions différentes
Le theoreme de van Cittert-Zernike I
deux directions de propagation differentes: ~sa, ~sb
Ua = U0a exp(i(k~sa · ~x − ωt)
Ua = U0b exp(i(k~sb · ~x − ωt)
U = Ua + Ub
Γ(P1, P2, τ) =< U(P1, t1)U∗(P2, t2) >=
< (Ua(P1, t1) + Ub(P1, t1))(Ua(P2, t2) + Ub(P2, t2))∗ >=
< Ua(P1, t1)U∗a(P2, t2) > + < Ub(P1, t1)U
∗b (P2, t2) > +
< Ua(P1, t1)U∗b (P2, t2) > + < Ub(P1, t1)U
∗a(P2, t2) >
si Ua et Ub ne sont pas correles:
< Ua(P1, t1)U∗b (P2, t2) >=< Ub(P1, t1)U
∗a(P2, t2) >= 0
→
Γ(P1, P2, τ) = |U0a|2 exp(i(k~sa ·~u+ωτ)+ |U0b|2 exp(i(k~sb ·~u+ωτ)
ou ~u = ~x1 − ~x2
seule la difference de distances entre dans le probleme
(incohérents)
Le theoreme de van Cittert-Zernike II
maintenant |U0a| = |U0b| = |U0|:
γ(~u, τ) = cos(k
2(~sa − ~sb) · ~u) exp(i(
k
2(~sa + ~sb) · ~u + ωτ))
→ l’amplitude varie lentement avec la position
perte de coherence pour
k
2(~sa − ~sb) · ~u = (2n + 1)
π
2
pour plusieurs composantes:
U(P, t) =∑
nUn(P, t)
→
Γ(~u, τ) =< U(P1, t)U∗(P2, t+τ) >=
∑
n|U0n|2 exp(i(k ~sn ·~x+ωτ))
pour la limite n → ∞:
U(P, t) =∫ ∫
U(~s) exp(i(k~s · ~x − ωt))dΩ
Γ(~u, τ) =∫ ∫
I(~s) exp((i(k~s · ~x + ωτ))dΩ
avecI(~s) =
∫ ∫
U(~s)U ∗(~s)dΩ
si on peut mesurer Γ(~u, τ), on peut determiner I(~s) par inversion
U(s+σ)U*(s+σ)dσ
u
onde stationnaire
u
ds
ds
condition pour source ponctuelle
L’interferometre a deux elements
2 telescopes: T1 et T2
U1 ∝ E cos(ωt)
U2 ∝ E cos(ω(t − τ))
interferometre de correlation:
fonction de cross-correlation integree:
R(τ) ∝ E2
T
∫ T
0cos(ωt) cos(ω(t − τ))dt
ou T ≫ 2π/ωla moyenne sur T sin moyenne sur une periode 2π/ω
R(τ) ∝ ω
2πE2
∫ 2π/ω
0cos(ωt) cos(ω(t − τ))dt
∝ ω
2πE2( cos(ωτ)
∫ 2π/ω
0cos2(ωt)dt+sin(ωτ)
∫ 2π/ω
0sin(ωt) cos(ωt)dt)
→ R(τ) ∝ 1
2E2 cos(ωτ)
interferometre d’addition (total power):
U1 ∝ E1 exp(iωt)
U2 ∝ E2 exp(ω(t − τ))
I =< (U1+U2)(U1+U2)∗ >=< U1U
∗1 > + < U2U
∗2 > + < U1U
∗2 > + < U2U
∗1 >
ou < U1U∗1 >= I1, < U2U
∗2 >= I2, < U1U
∗2 >=
√I1I2 exp(iωτ),
< U1U∗2 >=
√I1I2 exp(−iωτ)
→ I = I1 + I2 + 2√
I1I2 cos(ωτ)
Le retard τ est la somme du retard geometrique τg et instru-mental τi:
τ = τg + τi =1
c~B · ~s − τi
L’effet d’une largeur de bande finie
cross-correlation entre deux signaux monochromatiques x et y:
Rxy(τ) =< x(t)y(t − τ) >dans le domaine de frequences: Sxy(ν, τg) = X(ν)Y ∗(ν) = A(~s)S exp(−i2πντg)
S: flux; A(~s): surface effective du telescope.
largeur de bande finie:gating function Π(ν)
< Sxy(τg) >=∫∞−∞ Sxy(ν, ~s)Π(ν)dν =
∫ ν0+B/2
ν0−B/2 A(ν, ~s)S(ν) exp(−i2πντg)dν
A(ν, ~s) ∼ const. = A(ν0, ~s) , S(ν) ∼ const. = S(ν0)
→ < Sxy(τg) >= A(ν0, ~s)S(ν0)B exp(−i2πν0τg) sinc(Bτg)
→ necessite d’introduction de τi
« delay beam »
Etendue finie de la source radio
le telescope suit la source: phase tracking center: ~s0
Sxy(ν0, ~s0 + ~σ) = A(~s0 + ~σ)Iν(~s0 + ~σ)B exp(i2πν0(τg − τi))dΩ
signal du correlateur:
Sxy(~s0) = B∫
4π A(~σ)Iν0(~σ) exp(i2πν0(τg − τi))dΩ =
= B∫
4π A(~σ)Iν0(~σ) exp(i2πν0(c
−1 ~B · (~s0 + ~σ) − τi))dΩ
On suppose que τi = 1c~B · ~s0:
Sxy(~s0) = B∫
4π A(~σ)Iν(~σ) exp(i2πνc−1 ~B · ~σ)dΩ
Rappel:Sxy(ν, τg) = X(ν)Y ∗(ν)
Rxy(τ) =< x(t)y(t − τ) >
Definition:
Visibilite:Vij =
∫
A(σ)Iν(σ) exp(i2π~bij,λ · ~σ)dΩ = |Vij| exp(iϕij)
ou ~bij,λ = ~bij/λ
en realite la mesure est: Vij = GijVij + bruit
avec Gij = gig∗jgij est le gain complex, ou gi est le gain complexe
d’un telescope
B: largeur de bande
Les visibilitésInterférometrie avec les VLTs(Ohnaka et al. 2006)
Synthèse d’ouverture
Very Large Array (VLA, USA)
Australia Telescope Compact Array(ATCA)
Plateau de Bure mm interferometer(France)
Synthèse d’ouverture
Synthese d’ouverture
reponse d’un interferometre:
R( ~B) =∫
S
∫
A(~s)Iν(~s) exp (iω(1
c~B · ~s − τi))d~sdν
ou A(~s): antenna power pattern
Synthese d’ouverture: resoudre cette equation en mesurant R( ~B)afin d’obtenir Iν(~s) pour un ensemble d’orientations ~B.
maintenant: vecteur d’unite s = s0 + σ ou s0 est le centre de
pointage.
R( ~B) = exp (iω(1
c~B · ~s0 − τi))dν
∫
S
∫
A(~σ)Iν(~σ) exp (iω
c~B · ~σ)d~σ
definition: fonction de visibilite:
V ( ~B) =∫
S
∫
A(~σ)Iν(~σ) exp (iω
c~B · ~σ)d~σ
surface effective
nouveau systeme de coordonnees:
ω
2πc~B = (u, v, w)
V (u, v, w) =∫∞−∞
∫∞−∞ A(x, y)I(x, y) exp(i2π(ux+vy+w
√1 − x2 − y2)) dxdy√
1−x2−y2
ou on suppose que A(x, y) = 0 pour x2 + y2 > l2 < 1 ou l est laHPBW.
Si l’on observe seulement une petite region dans le ciel:√1 − x2 − y2 ∼ const ∼ 1
V (u, v, w) exp(−i2πw) =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞A(x, y)I(x, y) exp(i2π(ux+vy)dxdy
V (u, v, w) exp(−i2πw) ∼ V (u, v, 0)
transformee de Fourier:
Γ(x, y) = A(x, y)I(x, y) =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞V (u, v, 0) exp(−i2π(ux+vy))dudv
Synthesis mapping
Le plan UV: u – direction est; v – direction nord; w – direction de la source
Couverture dans le plan UV
V vs U for 19971106.C_BAND.1 Source:1331+305Ants * - * Stokes RR IF# 1 - 2 Chan# 1
Freq = 4.8851 GHz, Bw = 50.000 MHz
Kilo
Wav
lngt
h
Kilo Wavlngth-15 -10 -5 0 5 10 15
15
10
5
0
-5
-10
-15
VLA observation courte (« snapshot »)
Couverture dans le plan UV
beam
VLA+Pie town 1 snapshot
3 snapshots
9 snapshots
Utilisation de la rotation de la terre
(Supersynthese)
probleme: w n’est pas constant
solution: les vecteurs ~Bi se trouvent seulement dans un plansi les antenne sont alignees est–ouest,
on choisi l’axe w en direction du pole nord → w = 0.
A(x, y)I(x, y)√1 − x2 − y2
=∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞V (u, v) exp(−i2π(ux + vy)dudv
pour un alignement est-ouest:
u =νL
ccos t , v =
ν
cL sin t sin δ0
ou L = | ~B| est la longueur de la ligne de base, t est l’anglehoraire du centre du champ observe et δ0 est la declinaison du
centre du champ observe. (l’angle horaire est mesure par rap-port au meridien (systeme zenith–nord–sud))
dans le plan UV :
pour δ0 = ±90: circlepour δ0 = 0: ligne
sinon: ellipse
Couverture dans le plan UV« full track » = 12h d’observation d’angles horaires de -6h a +6h
déclinaison = 80 degrés
déclinaison = 20 degrés
Interféromètre d’alignement est-ouest
Westerbork Synthesis Radio Telescope (WSRT, Pays Bas)
La tranformation de la fonction de visibilite
I ′(x, y) = A(x, y)I(x, y)tranformation de Fourier directe (“dirty” map):
I ′′(x, y) =∑
k
g(uk, vk)V (Uk, vk) exp(−i2π(ukx + vky))
ou g(u, v) est une fonction de ponderation
proprietes:I ′′(x, y) = PD(x, y) ∗ I ′(x, y)
ou
PD =∑
k
g(uk, vk) exp(−i2π(ukx + vky))
est la reponse de l’interferometre a une source ponctuelle;
la distribution des lobes secondaires depend de la distributiondes (uk, vk) (“dirty” beam).
Grating response (la reponse de
l’echantillinnage)
s’il y a une regularite dans l’espacement des antennes (une frequencespatialle preferee), cela se retrouve dans la structure des lobes
secondaires.
par exemple:
array est–ouest: distances constantes (∆L) entre les antennes:
→ ellipses discretes dans le plan UV avec des axes: kc/ν∆L
et kc/ν∆L sin δ0.
solution: procedure de “CLEANing”.
Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing
pour une transformation de Fourier rapide (FFT) les visibilites
devraient etre mesurees sur une grille equidistante
interpolation afin d’obtenir une fonction de visibilites echantil-lonnee (gridded visibility function):
V ′(u, v) = III(u, v)(G(u, v) ∗ V (u, v))
ou V (u, v) est la fonction de visibilites mesuree sur une grilleirreguliere (ui, vi) et G(u, v) est une fonction de convolution,
Sha-function:
III(u, v) = ∆u∆v∞∑
j,k=−∞δ(u − j∆u)δ(v − k∆v)
transformation de Fourier:
III(x, y) =∞∑
i,j=−∞δ(x − i/∆u)δ(y − j/∆v)
→I(x, y) = III(x, y) ∗ (g(x, y)I ′(x, y))
ou g(x, y) est la transformee de Fourier de G(u, v) (qui determinele beam)
si l’echantillonnage n’est reste pas zero en dehors des limites
de la carte, le rayonnement en dehors de la carte est “aliase”dans la carte.
Si G(u, v) est une boite → g(x, y) = sincx sincy.
afin de reconnaitre le aliasing: re-echantillonage de la grille
Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing
I ′(x, y) est une version deformee de la vraie distribution d’intensite
amelioration:CLEAN algorithme (Hogbom):
approximer la vraie distribution d’intensite (inconnue) par unesuperposition d’un nombre fini de sources ponctuelles de flux Ai
a des positions (xi, yi):“dirty” map I ′ with beam PD:
I ′(x, y) =∑
i
AiPD(x − xi, y − yi) + IR(x, y)
IR est l’intensite residuelle. Remplacement de PD par un beam
“propre” (Gaussien).
Calibration
calibration avec une source ponctuelle d’un flux important Sν :
Vjk = Sν exp(iω
c~Bjk(~s − ~s0))
si l’on ne retrouve pas les Vjk, il faut introduire des facteurs decalibration Cjk(t) afin que Cjk(t)V
′jk = Vjk ou V ′
jk sont les visi-bilites observees. Ces facteurs sont des nombres complexes.
unites de la densite de flux: Jansky per beam (Jy/beam,
1 Jy=10−26 W m−2Hz−1)
flux integre Fν:source ponctuelle: Fν = Sν
source etendue: Fν =∫
SνdΩ unite = Jy
puissance recue d’une source de flux Sν :
Pν =1
2AeSν =
λ2
2(Sν
ΩA
) = kTA = ηRkTb
→Tb =
1
ηR
λ2
2k(Sν
ΩA
)
Tb = 3.62 × 10−2 1
ηR
(λ
m
2
)(Sν/Jy
ΩA/sr)
12′ ≃ 84.62× 10−9 sr
Observer avec un interféromètre
• pointage et focus des antennes uniques (voir cours précèdent)
• au début et a la fin: observation d’une source de calibration de flux et de polarisation si nécessaire
• en alternance: observation de la source et du calibrateur de phase
Traitement des données interférométriques
• Edition des visibilités des calibrateurs• Calibration du flux avec les calibrateurs principales• Calcul du gain et de la phase pour les calibrateurs• Calcul du flux du calibrateur de phase• Interpolation des solutions de gain et de phase pour le
calibrateur principale• Interpolation des solution de gain et de phase pour le
calibrateur de phase et pour la source observée• Calibration de la polarisation si nécessaire avec de
calibrateurs polarises• Edition des visibilités de la source observée• Calcul de l’image + CLEANing
Les visibilitésLogiciel de traitement de données du VLA: AIPS
Traitement des données interférométriques
dirty beam
dirty image(FFT direct)
cleaned image
CLEAN
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