Interfromtrie

Le principe de linterfromtrie I

problme de lantenne unique: rsolution spatiale /D (D: diamtre du tlescope)

ide: remplacer le diamtre du tlescope par la distance entre deux tlescopes

en interfromtrie: un tlescope va chantillonner le champ donde electromagntique

une seule source ponctuelle: champ electromagntiquecohrent

une source qui comprend deux sous sources ponctuelles met deux champs donde spares qui ninteragissent pas -> ils sont incohrents

cela est reconnu par un interfromtre

La cohrence spatiale

x

d

d < D/S =/d > S/D=taille apparente source ponctuelle

S: taille physique de la source: rsolution spatiale

D

Le principe de linterfromtrie II

il faut mesurer la cohrence des signaux en principe un interfromtre ne

fonctionne que correctement si le champ electromagntique peut tre dcrit par une onde de longueur donde, frquence, phase etc. bien dfinis

rsolution spatiale: / (: ligne de base maximum)

La fonction de coherence I

pour decrire une onde electromagnetique on a besoin de 4 parametres:

parametres de Stokes: I, U, Q, V

simplification: on ne prend que le Stokes I

1. onde plane monochromatique ( = 2 = 0):

U(t) = U0 exp(it + )

U0: amplitude: phase

si U0 et sont connu a un point P1, ils sont determine aupoint P2 une fois quon a determine lemission est coherente

2. ondes polychromatiques aleatoires:lemission est incoherente

hypothese: emission stationnaire

mesure de la coherence: fonction de coherence :

(P1, P2, ) = limT

1

2T

T

TU(P1, t)U

(P2, t+)dt =< U(P1)U(P2, t+) >

crosscorrelation

onde plane monochromatique: lamplitude de est 1onde poly chromatique alatoire: lamplitude de est 0

La fonction de coherence II

intensite (Stokes I): I(P ) = (P, P, 0) =< U(P, t)U (P, t) >

On suppose:

U(P, t) = U0 exp(i(kz t))ou P = (x, y, z), k = 2/ = const et = 2 = const

(P1, P2, ) = |U0|2 exp(i(k(z1 z2) + ))

La fonction de coherence a la meme longueur donde que les on-des initiales, mais cest une onde stationnaire

si = 0 et z1 z2 = 0 est maximum

normalisation:

(P1, P2, ) =(P1, P2, )

I(P1)I(P2)

|(P1, P2, )| 1

maintenant: superposition de deux champs dondes monochromatiquesqui se propagent dans deux directions diffrentes

Le theoreme de van Cittert-Zernike I

deux directions de propagation differentes: ~sa, ~sb

Ua = U0a exp(i(k~sa ~x t)Ua = U0b exp(i(k~sb ~x t)

U = Ua + Ub

(P1, P2, ) =< U(P1, t1)U(P2, t2) >=

< (Ua(P1, t1) + Ub(P1, t1))(Ua(P2, t2) + Ub(P2, t2)) >=

< Ua(P1, t1)Ua(P2, t2) > + < Ub(P1, t1)U

b (P2, t2) > +

< Ua(P1, t1)Ub (P2, t2) > + < Ub(P1, t1)U

a(P2, t2) >

si Ua et Ub ne sont pas correles:

< Ua(P1, t1)Ub (P2, t2) >=< Ub(P1, t1)U

a(P2, t2) >= 0

(P1, P2, ) = |U0a|2 exp(i(k~sa ~u+)+ |U0b|2 exp(i(k~sb ~u+)

ou ~u = ~x1 ~x2

seule la difference de distances entre dans le probleme

(incohrents)

Le theoreme de van Cittert-Zernike II

maintenant |U0a| = |U0b| = |U0|:

(~u, ) = cos(k

2(~sa ~sb) ~u) exp(i(

k

2(~sa + ~sb) ~u + ))

lamplitude varie lentement avec la position

perte de coherence pour

k

2(~sa ~sb) ~u = (2n + 1)

2

pour plusieurs composantes:

U(P, t) =

nUn(P, t)

(~u, ) =< U(P1, t)U(P2, t+) >=

n|U0n|2 exp(i(k ~sn ~x+))

pour la limite n :

U(P, t) =

U(~s) exp(i(k~s ~x t))d

(~u, ) =

I(~s) exp((i(k~s ~x + ))davec

I(~s) =

U(~s)U (~s)d

si on peut mesurer (~u, ), on peut determiner I(~s) par inversion

U(s+)U*(s+)d

u

onde stationnaire

u

ds

ds

condition pour source ponctuelle

Linterferometre a deux elements

2 telescopes: T1 et T2

U1 E cos(t)U2 E cos((t ))

interferometre de correlation:

fonction de cross-correlation integree:

R() E2

T

T

0cos(t) cos((t ))dt

ou T 2/la moyenne sur T sin moyenne sur une periode 2/

R() 2

E2 2/

0cos(t) cos((t ))dt

2

E2( cos() 2/

0cos2(t)dt+sin()

2/

0sin(t) cos(t)dt)

R() 12E2 cos()

interferometre daddition (total power):

U1 E1 exp(it)U2 E2 exp((t ))

I =< (U1+U2)(U1+U2) >=< U1U

1 > + < U2U

2 > + < U1U

2 > + < U2U

1 >

ou < U1U1 >= I1, < U2U

2 >= I2, < U1U

2 >=

I1I2 exp(i),

< U1U2 >=

I1I2 exp(i)

I = I1 + I2 + 2

I1I2 cos()

Le retard est la somme du retard geometrique g et instru-mental i:

= g + i =1

c~B ~s i

Leffet dune largeur de bande finie

cross-correlation entre deux signaux monochromatiques x et y:

Rxy() =< x(t)y(t ) >dans le domaine de frequences: Sxy(, g) = X()Y

() = A(~s)S exp(i2g)S: flux; A(~s): surface effective du telescope.

largeur de bande finie:gating function ()

< Sxy(g) >= Sxy(, ~s)()d =

0+B/20B/2 A(, ~s)S() exp(i2g)d

A(, ~s) const. = A(0, ~s) , S() const. = S(0)

< Sxy(g) >= A(0, ~s)S(0)B exp(i20g) sinc(Bg)

necessite dintroduction de i

delay beam

Etendue finie de la source radio

le telescope suit la source: phase tracking center: ~s0

Sxy(0, ~s0 + ~) = A(~s0 + ~)I(~s0 + ~)B exp(i20(g i))d

signal du correlateur:

Sxy(~s0) = B

4 A(~)I0(~) exp(i20(g i))d == B

4 A(~)I0(~) exp(i20(c1 ~B (~s0 + ~) i))d

On suppose que i =1c~B ~s0:

Sxy(~s0) = B

4 A(~)I(~) exp(i2c1 ~B ~)d

Rappel:Sxy(, g) = X()Y

()Rxy() =< x(t)y(t ) >

Definition:

Visibilite:Vij =

A()I() exp(i2~bij, ~)d = |Vij| exp(iij)ou ~bij, = ~bij/

en realite la mesure est: Vij = GijVij + bruit

avec Gij = gigjgij est le gain complex, ou gi est le gain complexe

dun telescope

B: largeur de bande

Les visibilitsInterfrometrie avec les VLTs(Ohnaka et al. 2006)

Synthse douverture

Very Large Array (VLA, USA)

Australia Telescope Compact Array(ATCA)

Plateau de Bure mm interferometer(France)

Synthse douverture

Synthese douverture

reponse dun interferometre:

R( ~B) =

S

A(~s)I(~s) exp (i(1

c~B ~s i))d~sd

ou A(~s): antenna power pattern

Synthese douverture: resoudre cette equation en mesurant R( ~B)afin dobtenir I(~s) pour un ensemble dorientations ~B.

maintenant: vecteur dunite s = s0 + ou s0 est le centre de

pointage.

R( ~B) = exp (i(1

c~B ~s0 i))d

S

A(~)I(~) exp (i

c~B ~)d~

definition: fonction de visibilite:

V ( ~B) =

S

A(~)I(~) exp (i

c~B ~)d~

surface effective

nouveau systeme de coordonnees:

2c~B = (u, v, w)

V (u, v, w) =

A(x, y)I(x, y) exp(i2(ux+vy+w

1 x2 y2)) dxdy

1x2y2

ou on suppose que A(x, y) = 0 pour x2 + y2 > l2 < 1 ou l est laHPBW.

Si lon observe seulement une petite region dans le ciel:1 x2 y2 const 1

V (u, v, w) exp(i2w) =

A(x, y)I(x, y) exp(i2(ux+vy)dxdy

V (u, v, w) exp(i2w) V (u, v, 0)

transformee de Fourier:

(x, y) = A(x, y)I(x, y) =

V (u, v, 0) exp(i2(ux+vy))dudv

Synthesis mapping

Le plan UV: u direction est; v direction nord; w direction de la source

Couverture dans le plan UV

V vs U for 19971106.C_BAND.1 Source:1331+305Ants * - * Stokes RR IF# 1 - 2 Chan# 1

Freq = 4.8851 GHz, Bw = 50.000 MHz

Kilo

Wav

lngt

h

Kilo Wavlngth-15 -10 -5 0 5 10 15

15

10

5

0

-5

-10

-15

VLA observation courte ( snapshot )

Couverture dans le plan UV

beam

VLA+Pie town 1 snapshot

3 snapshots

9 snapshots

Utilisation de la rotation de la terre

(Supersynthese)

probleme: w nest pas constant

solution: les vecteurs ~Bi se trouvent seulement dans un plansi les antenne sont alignees estouest,

on choisi laxe w en direction du pole nord w = 0.

A(x, y)I(x, y)1 x2 y2 =

V (u, v) exp(i2(ux + vy)dudv

pour un alignement est-ouest:

u =L

ccos t , v =

cL sin t sin 0

ou L = | ~B| est la longueur de la ligne de base, t est langlehoraire du centre du champ observe et 0 est la declinaison du

centre du champ observe. (langle horaire est mesure par rap-port au meridien (systeme zenithnordsud))

dans le plan UV :

pour 0 = 90: circlepour 0 = 0

: lignesinon: ellipse

Couverture dans le plan UV full track = 12h dobservation dangles horaires de -6h a +6h

dclinaison = 80 degrs

dclinaison = 20 degrs

Interfromtre dalignement est-ouest

Westerbork Synthesis Radio Telescope (WSRT, Pays Bas)

La tranformation de la fonction de visibilite

I (x, y) = A(x, y)I(x, y)tranformation de Fourier directe (dirty map):

I (x, y) =

k

g(uk, vk)V (Uk, vk) exp(i2(ukx + vky))

ou g(u, v) est une fonction de ponderation

proprietes:I (x, y) = PD(x, y) I (x, y)

ou

PD =

k

g(uk, vk) exp(i2(ukx + vky))

est la reponse de linterferometre a une source ponctuelle;

la distribution des lobes secondaires depend de la distributiondes (uk, vk) (dirty beam).

Grating response (la reponse de

lechantillinnage)

sil y a une regularite dans lespacement des antennes (une frequencespatialle preferee), cela se retrouve dans la structure des lobes

secondaires.

par exemple:

array estouest: distances constantes (L) entre les antennes:

ellipses discretes dans le plan UV avec des axes: kc/Let kc/L sin 0.

solution: procedure de CLEANing.

Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing

pour une transformation de Fourier rapide (FFT) les visibilites

devraient etre mesurees sur une grille equidistante

interpolation afin dobtenir une fonction de visibilites echantil-lonnee (gridded visibility function):

V (u, v) = III(u, v)(G(u, v) V (u, v))ou V (u, v) est la fonction de visibilites mesuree sur une grilleirreguliere (ui, vi) et G(u, v) est une fonction de convolution,

Sha-function:

III(u, v) = uv

j,k=(u ju)(v kv)

transformation de Fourier:

III(x, y) =

i,j=(x i/u)(y j/v)

I(x, y) = III(x, y) (g(x, y)I (x, y))

ou g(x, y) est la transformee de Fourier de G(u, v) (qui determinele beam)

si lechantillonnage nest reste pas zero en dehors des limites

de la carte, le rayonnement en dehors de la carte est aliasedans la carte.

Si G(u, v) est une boite g(x, y) = sincx sincy.

afin de reconnaitre le aliasing: re-echantillonage de la grille

Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing

I (x, y) est une version deformee de la vraie distribution dintensiteamelioration:CLEAN algorithme (Hogbom):

approximer la vraie distribution dintensite (inconnue) par unesuperposition dun nombre fini de sources ponctuelles de flux Aia des positions (xi, yi):dirty map I with beam PD:

I (x, y) =

i

AiPD(x xi, y yi) + IR(x, y)

IR est lintensite residuelle. Remplacement de PD par un beam

propre (Gaussien).

Calibration

calibration avec une source ponctuelle dun flux important S :

Vjk = S exp(i

c~Bjk(~s ~s0))

si lon ne retrouve pas les Vjk, il faut introduire des facteurs decalibration Cjk(t) afin que Cjk(t)V

jk = Vjk ou V

jk sont les visi-

bilites observees. Ces facteurs sont des nombres complexes.

unites de la densite de flux: Jansky per beam (Jy/beam,

1 Jy=1026 W m2Hz1)

flux integre F:source ponctuelle: F = Ssource etendue: F =

Sd unite = Jy

puissance recue dune source de flux S :

P =1

2AeS =

2

2(SA

) = kTA = RkTb

Tb =

1

R

2

2k(SA

)

Tb = 3.62 1021

R(

m

2

)(S/Jy

A/sr)

12 84.62 109 sr

Observer avec un interfromtre

pointage et focus des antennes uniques (voir cours prcdent)

au dbut et a la fin: observation dune source de calibration de flux et de polarisation si ncessaire

en alternance: observation de la source et du calibrateur de phase

Traitement des donnes interfromtriques

Edition des visibilits des calibrateurs Calibration du flux avec les calibrateurs principales Calcul du gain et de la phase pour les calibrateurs Calcul du flux du calibrateur de phase Interpolation des solutions de gain et de phase pour le

calibrateur principale Interpolation des solution de gain et de phase pour le

calibrateur de phase et pour la source observe Calibration de la polarisation si ncessaire avec de

calibrateurs polarises Edition des visibilits de la source observe Calcul de limage + CLEANing

Les visibilitsLogiciel de traitement de donnes du VLA: AIPS

Traitement des donnes interfromtriques

dirty beam

dirty image(FFT direct)

cleaned image

CLEAN