Download - Integraalrekening 1 les 2

Transcript
Page 1: Integraalrekening 1 les 2

Bespreken: Appendix E: 10, 20; §5.2: 11, 23, lesuur 1, les 2

Welkom terug!!!Bespreken huiswerkopgaven

Page 2: Integraalrekening 1 les 2

Appendix E: 10

schrijf de som uit: f (xi )Δxi =i=1

n

∑f (x1)Δx1 + f (x2 )Δx2 + ...+ f (xn−1)Δxn−1 + f (xn )Δxn =

Δx f (x1)+ f (x2 )+ ...+ f (xn−1)+ f (xn )( )

Page 3: Integraalrekening 1 les 2

Appendix E: 20

schrijf in sigma notatie: 1− x + x2 − x3 + ...+ (−1)n xn =

(−1)i xii=0

n

Page 4: Integraalrekening 1 les 2

xx +10

2

∫ dx ≈

f (xi ) ⋅ Δxi=1

n=5

∑ =

f (0+ 12 Δx + i ⋅ Δx) ⋅ Δx

i=1

n−5

∑ =

Δx ⋅ f (0,2)+ f (0,6)+ f (1)+ f (1,4)+ f (1,8)( ) =0,4 ⋅ 1

6 + 38 + 1

2 + 712 + 9

14( ) = 127140 (≈ 0,907)

Bereken:

§5.2: 11

Page 5: Integraalrekening 1 les 2

limn→∞

4n

1− 3in+ 2i

2

n2i=1

n

∑ =

limn→∞

4n

1i=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 4n

3ini=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 4n

2i2

n2i=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4n⋅n⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− 12n2

⋅ n(n+1)2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 8n3

⋅ n(n+1)(2n+1)6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4( )− 12n2

⋅ n2 + n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 8n3

⋅ 2n3 + 3n2 + n6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4( )− 6n2 + 6nn2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 16n3 + 24n2 +8n

6n3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4( )− 6+ 6n−1( )+ 83 + 4n

−1 + 43 n

−2( ) =4− 6− 0+ 8

3 + 0+ 0 = 23

Bereken:

§5.2: 23

x2 + x−2

0

∫ dx =

limn→∞

f (xi ) ⋅ Δxi=1

n

∑ =

limn→∞

f (−2+ i ⋅ 2n) ⋅ 2ni=1

n

∑ =

limn→∞

2n

−2+ i ⋅ 2n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i=1

n

∑2

+ −2+ i ⋅ 2n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

2n

4− 8in+ 4i

2

n2− 2

i=1

n

∑ + 2in=

limn→∞

2n

2− 6in+ 4i

2

n2i=1

n

∑ =

Page 6: Integraalrekening 1 les 2

Nog een stukje van §5.2:The Definite Integral

Blijf altijd beseffen dat je al veel oppervlaktes kunt berekenen:

Als de vraag is bereken , maak dan eerst een plaatje:

De oppervlakte van een kwart cirkel kunnen we wel berekenen zonder moeilijke limieten…

1− x2 dx0

1

1− x2 dx0

1

∫ = π ⋅12

4= π4

Page 7: Integraalrekening 1 les 2

Properties of the Definite Integral

Er zijn een heleboel rekenregels voor integralen:

f (x)dxa

b

∫ = − f (x)dxb

a

f (x)dxa

a

∫ = 0

cdxa

b

∫ = c(b − a)

cf (x)dxa

b

∫ = c f (x)dxa

b

f (x)− g(x)dxa

b

∫ = f (x)dxa

b

∫ − g(x)dxa

b

f (x)dxa

c

∫ + f (x)dx =c

b

∫ f (x)dxa

b

als f (x) ≥ 0 voor a ≤ x ≤ b, dan f (x)dx ≥ 0a

b

als f (x) ≥ g(x) voor a ≤ x ≤ b, dan f (x)dx ≥a

b

∫ g(x)dxa

b

∫als m ≤ f (x) ≤ M voor a ≤ x ≤ b,

dan m(b − a) ≤ f (x)dxa

b

∫ ≤ M (b − a)

f (x)a

b

∫ + g(x)dx = f (x)dx +a

b

∫ g(x)a

b

∫ dx

Page 8: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 0

Bereken wetende dat (zie voorbeeld 6

van de vorige les).

4 − 3x2 dx0

2

∫ x2 dx0

2

∫ = 83

4 − 3x2 dx0

2

∫ = 4dx −0

2

∫ 3x2 dx0

2

= 4dx −0

2

∫ 3 x2 dx0

2

= 4 ⋅(2 − 0)− 3⋅ 83= 8 − 8 = 0

Page 9: Integraalrekening 1 les 2

lesuur 1, les 2

sin, cos, tan, sec, csc, cotvoorkennis goniometrische verhoudingen

Page 10: Integraalrekening 1 les 2

Eenheidscirkel

Alle goniometrische verhoudingen komen voort uit de eenheidscirkel:

sin(α ) = ypcos(α ) = xp

tan(α ) =ypxp

= sin(α )cos(α )

csc(α ) = 1sin(α )

sec(α ) = 1cos(α )

cot(α ) = 1tan(α )

= cos(α )sin(α )

cos2(α )+ sin2(α ) = 11+ tan2(α ) = sec2(α )1+ cot2(α ) = csc2(α )

Page 11: Integraalrekening 1 les 2

lesuur 1, les 2

§4.9 AntiderivativesChapter 4 Application of Differentiation

Page 12: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

Het omgekeerde van differentiëren is integreren.

Definitie: Als F(x) een functie is en er geldt op een interval I voor alle x datF’(x) = f(x), dan noemen we F de anti-afgeleide ofwel primitieve van f.

Maar:

F’(x) = [x2]’ = 2x

F’(x) = [x2 + 15]’ = 2x

Page 13: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

Een constante die we differentiëren valt weg en dus als we het omgekeerde proces moeten volgen weten we nooit of er een constante bij heeft gestaan.

Stel f(x) = x2 dan zijn er een heleboel functies die de anti- afgeleide F van f zouden kunnen zijn:

We moeten daarom in meer algemene termen de anti- afgeleide noteren.

Page 14: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

Afspraak:Als F de anti-afgeleide of primitieve is van f op een interval I. Dan geldt dat de meest algemene vorm van de anti-afgeleide van f is: F(x) + C. Waarbij C een willekeurig getal is.

Dus als f(x) = x2, dan is + C. (Want de afgeleide van F is weer f, ongeacht wat C is.)

F(x) = 13 x

3

Page 15: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 1 (voor jullie)

a) Bereken f als je weet dat

want de afgeleide van f is .

b) Bereken f als je weet dat

De functie f is niet direct zichtbaar. Maar het lijkt er op dat hier de quotiëntregel is toegepast.

Dus:

f '(x) = 2x2 + 2x +1

f '(x) = 4sin(4x)

f '(x) = sin(4x) ⋅4

f '(x) = 2x2 + 2x +1

= 2(x +1)2

=(x +1)(1)( )− (x −1)(1)( )

(x +1)2 f (x) = x −1x +1

+C

f (x) = −cos(4x)+C

Meerdere juiste antwoorden…

Page 16: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

In Calculus 2 hebben we gezien dat de standaard afgeleide van een machtsfunctie gelijk is aan (n ≠ -1).

Maar wat is dan de anti-afgeleide ofwel primitieve van ?

f (x) = xn

f (x) = xn

f '(x) = n ⋅ xn−1

Page 17: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

Maar wat is dan de anti-afgeleide ofwel primitieve van ?

Wat deden we bij differentiëren: functie ☞ getal voor de macht maal exponent ☞ exponent

minus 1 ☞ afgeleide.

Dus nu doen we het omgekeerde: functie ☞ exponent plus 1 ☞ getal voor de macht delen door de

nieuwe exponent ☞ primitieve (+C).

f (x) = xn

Page 18: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

Dus nu doen we het omgekeerde: functie ☞ exponent plus 1 ☞ getal voor de macht delen door de

nieuwe exponent ☞ primitieve (+C).

Algemeen: De standaard primitieve van is gelijk aan de functie (n ≠ -1).

f (x) = xn

F(x) = 1n+1

xn+1 +C = xn+1

n+1+C

Page 19: Integraalrekening 1 les 2

Standard list of antidifferentiation formulas

Note: natuurlijk moet er achter iedere primitieve nog + C staan.

Page 20: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 2 (voor jullie)

Bereken de primitieve van

want:

Let op: dit kan ook makkelijker door de wortel te splitsen.

f (x) = 2ex + 3cos(x)− 2x

− 2x = − 2x( )12 exponent plus 1⎯ →⎯⎯⎯⎯ − 2x( )

32

getal voor de macht delen door nieuwe exponent⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −132

2x( )32 ⋅ 12= −132x( )

32 = −1

3⋅2x ⋅ 2x( )

12 = − 2

3 x ⋅ 2x

2ex⎡⎣ ⎤⎦'= 2ex , 3sin(x)⎡⎣ ⎤⎦

'= 3cos(x) en − 4

3 x 2x⎡⎣

⎤⎦

'

= − 2x

F(x) = 2ex + 3sin(x)− 43 x 2x +C

Page 21: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 3 (voor jullie)

Gegeven is met . Bereken f(x).

Dus:

f ''(x) = x−2 f (1) = 0 en f (2) = 0

f '(x) = −1⋅ x−1 +C

f (x) = − ln x +Cx + Kf (1) = − ln(1)+C + K = 0f (2) = − ln(2)+ 2C + K = 0

f (1) = 0+C + K = 0 dus C = −Kf (2) = − ln(2)+ 2C −C = 0

− ln(2) = −Cln(2) = C

f (x) = − ln x + ln(2)x − ln(2)

= −1x+C

Page 22: Integraalrekening 1 les 2

Antiderivatives

Om een top te vinden van een functie stelden we de afgeleide gelijk aan 0. (Want in een top is de helling gelijk aan 0.)

Dus om van een grafiek een globale grafiek van de primitieve te maken kijken we eerst naar de nulpunt van de grafiek.

Nieuw: De toppen van de grafiek zijn buigpunten in de globale grafiek van de primitieve.

Page 23: Integraalrekening 1 les 2

Teken op de plaatsen van de nulpunten de toppen (let op: maxima of minima).

Teken op de plaatsen van de toppen een buigpunt.

Graphs of Antiderivatives

Page 24: Integraalrekening 1 les 2

lesuur 2 en 3, les 2

§5.3 The Fundamental Theorem of CalculusChapter 5 Integrals

Page 25: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusVorige week hebben we al gezien dat met behulp van een integraal de oppervlakte onder een grafiek te berekenen is.

We gaan in de rest van de les verder bouwen op deze theorie.

De oppervlakte V onder een grafiek op een differentieerbaar interval [a, b] is te berekenen met:

We zouden ook best de b kunnen laten variëren: g(x) = f (t)dt

a

x

V = f (x)dxa

b

∫ = f (t)dta

b

Page 26: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusDe oppervlakte wordt dus op deze manier een functie, met als variabele de eindwaarde van het gekozen interval.

Stel f(t) = 2t, dan krijgen we:

We kunnen deze integraal uitrekenen door de theorie uit §4.9 toe te passen (verhoog de macht met 1 en deel 2 door de nieuwe macht).

Ofwel:

g(x) = 2t dta

x

g(x) = 2t dta

x

∫ = t2⎡⎣ ⎤⎦ax

Page 27: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusOm nu de oppervlakte te berekenen moeten we de grenzen nog invullen in de gekregen primitieve. Stel a = 1 en x = 5.

We moeten beseffen dat een integraal altijd vanaf x = 0wordt berekent. Dus de opper- vlakte op [1,5] is de oppervlakte op [0,5] minus de oppervlakte op [0,1]:

g(x) = 2t dt1

5

∫ = t2⎡⎣ ⎤⎦15= 52 −12 = 24

Page 28: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusAlgemener: Stel a = 0 en x = x (variabel), dan geldt:

Dit geldt altijd zo (wordt op een complexe manier bewezen op de pagina’s 387 t/m 389):

Als f is continu op [a, b] dan kan de functie g geschreven worden als: met a ≦ x ≦ b die ook continu is op [a, b] en differentieerbaar op (a, b) en g’(x) = f(x).

g(x) = 2t dt0

x

∫ = t2⎡⎣ ⎤⎦0x= x2

g(x) = f (t)dta

x

Page 29: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 4 (voor jullie)

Gegeven is

Bereken g’(x).

Omdat: continu is geldt:

g(x) = t2 − sec2(4t) dt0

x

f (t) = t2 − sec2(4t) g '(x) = x2 − sec2(4x)

Page 30: Integraalrekening 1 les 2

Let op de net area en de slope:

Visueel bewijs

Page 31: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusIndien er geen x staat (op de plaats van b), maar een andere variabele zullen we goed moeten nadenken over de definitie.

Indien we moeten berekenen is dat niet meer

’gewoon’ . Maar wat dan wel?

De moeilijke manier is gebruikmakend van de kettingregel.

ddx

t dt0

x2

∫x

Page 32: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusDe kettingregel zegt:

ddx

t dt0

x2

∫ = ddu

t dt ⋅ dudx0

u

∫ = u ⋅ dudx

=

u ⋅2x = x2 ⋅2x = x ⋅2x = 2x2

dydx

= dydu

⋅ dudx

Page 33: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusMaar dit kan makkelijker door gebruik te maken van het volgende theorema:

Definitie: Als f continu is op [a, b], dan geldt:waarbij F een primitieve (anti-afgeleide) is van f. Ofwel F’(x) = f(x).

Nu volgt:

f (x)dx = F(b)− F(a)a

b

ddx

t dt0

x2

∫ = ddx

23x32

⎣⎢

⎦⎥0

x2

= ddx

23x2( )

32 − 230( )

32

⎝⎜⎞

⎠⎟= ddx

23x3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2x2

Page 34: Integraalrekening 1 les 2

ttdt = t

−12 dt =

4

x2

∫4

x2

∫ 2t12

⎣⎢

⎦⎥4

x2

= 2 t⎡⎣

⎤⎦4x2

= 2 x2 − 2 4 = 2x − 4

Voorbeeld 5 (voor jullie)

Bereken: ttdt

4

x2

Page 35: Integraalrekening 1 les 2

The fundamental Theorem of CalculusMaar waar blijft de constante C eigenlijk?

Bij een integraal op een bepaald interval [a, b] doet de constante C er dus niet toe.

Wel als we alleen de primitieve moeten zoeken!

f (x)dx = F(b)− F(a)a

b

∫ = (g(b)+C)− (g(a)+C)= g(b)+C − g(a)−C= g(b)− g(a)

Page 36: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 6 (voor jullie)

Bereken: ( y −1)(2y +1)dy0

2

( y −1)(2y +1)dy0

2

∫ = 2y2 − y −1dy0

2

∫ = 23 y

3 − 12 y

2 − y⎡⎣ ⎤⎦02=

( 23 ⋅23 − 1

2 ⋅22 − 2)− ( 23 ⋅0

3 − 12 ⋅0

2 − 0) = 163 − 2− 2 = 4

3

Page 37: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 7 (voor jullie)

Bereken:

4

1− x212

12

∫ dx = 4sin−1(x)⎡⎣ ⎤⎦12

12 = 4sin−1 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 4sin−1 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4 ⋅ 14π − 4 ⋅ 16π = 1

4

1− x212

12

∫ dx

Page 38: Integraalrekening 1 les 2

Voorbeeld 8 (voor jullie)

Bereken:

De functie is niet continu op het gegeven interval, dus de integraal bestaat niet!!!

1x−e

e2

∫ dx = ln x⎡⎣ ⎤⎦−ee2

= ln e2( )− ln e( ) = 2−1= 1

1x−e

e2

∫ dx

Page 39: Integraalrekening 1 les 2

Einde les 2

Huiswerk: §4.9 en §5.3§4.9: 1, 5, 9, 13, 17, 25, 32, 35, 45, 51; §5.3: 7, 19, 25, 26, 27, 41, 45 en 69