PRUEBA CHI-CUADRADA

Chi-Cuadrado X2 es el nombre de una prueba de hipótesis que determina si dos

variables están relacionadas o no.

Ejercicio: Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia α=5%. Para n=50 datos, considerando m=11 intervalos, la media de 15,04 y la varianza de 13,14, permiten establecer la siguiente hipótesis.

1) Datos extraídos del ejercicio

2) Desarrollo de la prueba (Indicadores)

1A 2A 3A 4A 5A 6A

7A 8A 9A

11A

2.1A

12A

13A

10A

1A: Es el conjunto de numero Pseudoaletarios que seran utilizados para esta prueba los podremos obtener aplicando la siguiente Formula =Aletaroios(), aplicar en la primera celda en este caso A19 y proceda arrastrar con el puntero hasta el numero deseado de pseudoaleatorios.

2A: Se escribe 2 numeros que serviran para realizar el intervalo

2.1A:

En la celda C20 se escribe la siguiente Formula =D19+1 donde se obtendra el valor de la celda D19 y se le sumara 1

En la celda D20 se escribe la siguiente Formula =C20+1donde se obtendra el valor de la celda C20 y se le sumara 1

Se procede arrastrar la formula para que de esta manera la formula se genere automaticamente

3A: Se toman valores de X y de el final del intervalo, en este caso el rango de x seria A19:A68 y el final del intervalo D19:D28

Nota: Seleccionar las celdas a utilizar en la frecuencia, sin deseleccionar las celdas escribir la formula dada y presionar Ctrl+Shift+Enter.

4A: Se calcula la distribución de Poisson sin aplicar la formula específica en Excel.

5A: Es la multiplicación de las ProbabilidadesP(x) con la Muestra su Fórmula es :

6A: Elevamos a la potencia 2 a la resta de las Frecuencias Esperada – La Frecuencia Observada y la dividimos para la Frecuencia Esperada. Su Fórmula es:

=SUMA((POTENCIA($C$16;C20)*EXP(-$C$16))/FACT(C20);(POTENCIA($C$16;D20)*EXP(-$C$16))/FACT(D20))

=$C$12*F19

=POTENCIA(G19-;2)/G19

Sumas

7A 8A 9A 10AFormula Formula Formula Formula

=SUMA(E19:E29) =SUMA(F19:F29) =SUMA(G19:G29) =SUMA(H19:H29)

11A: Para Calcular el intervalo de confianza se resta 1 al número dado de intervalos SU FORMULA ES:

=C13-1

12A Para calcular la Prueba chi cuadra utilizaremos la fórmula del Excel y seleccionamos el nivel de significancia con el intervalo de confianza. SU FÓRMULA ES:

13A Es la conclusión tomando en consideración las hipótesis puestas en el archivo de Excel. Y la comparamos

=PRUEBA.CHI.INV(E34;E35)

=SI(H30<E36;B9;B10)

PRÁCTICA REALIZADA EN EXCEL

Ejercicio: Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas.

a) Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.

Hallar la probabilidad de los siguientes eventos:

b) b) sea A: la suma de las caras de los dados sea igual a 10.c) c) sea B : la suma de las caras de los dados se encuentre entre 7 y 9

Desarrollo del ejercicio (indicadores)

1A 2A

Desarrollo detallado del ejercicio y sus Fórmulas.

1A. Colocamos las combinaciones de los dados concatenando los valores del dado 1 y el dado 2.

2A. En este punto colocamos la suma de las caras de los dados y su Formula es:

=SUMA(A10;B10)

3A. Colocamos la suma de Caras/Variables en este caso colocaremos de 1 a 12 como lo observamos en pantalla.

4A. La fórmula del Conteo se lo aplicará de la siguiente manera: su fórmula es:

=FRECUENCIA(D10:D45;F10:F21)

Teniendo en cuenta que al seleccionar las celdas a utilizar en la frecuencia, sin deseleccionar las celdas escribir la formula dada y presionar Ctrl+Shift+Enter.

5A. En este punto colocaremos la fórmula de probabilidad usando la siguiente fórmula:

=G10/$G$22

4A 5A3A 6A 7A 8A9A

10A

11A

6A. Función de Distribuciones y colocaremos las siguientes fórmulas:

En la primera fila colocamos el valor de probabilidad que es =H10,

Y en la siguiente fila usamos la fórmula siguiente: =SUMA(I10;H11)

7A. Ahora calculamos la Esperanza Matemática con la siguiente fórmula:

=H10*F10

8A. En este punto usamos la siguiente fórmula de X^2 pi.

=POTENCIA(F10;2)*H10

9A. Colocamos la fórmula de Varianza de la siguiente manera:

=RAIZ(L22-(J22*J22))

10A. La respuesta del literal b) colocamos la suma de los dados cuando sea igual a 10 por lo tanto pondremos lo siguiente y con formato de porcentaje:

=H19

11A. La respuesta del literal b) colocamos la suma de los dados cuando se encuentre entre 7 y 9 por lo tanto pondremos la siguiente fórmula:

=SUMA(H16:H18)

DISTRIBUCION UNIFORME

1) Datos extraídos del ejercicioLa temperatura de una estufa se comporta uniformemente dentro del rango de 95 a 100°C. Una lista de números pseudoaleatorios y la ecuación x¡ = 95 + 5r( . nos permiten modelar el comportamiento de la variable aleatoria que simula la temperatura de la estufa (vea la tabla 3.6 en el libro guía).

Desarrollo del ejercicio.

1A. Ingresamos la secuencia de números desde el 1 hasta el 25 en este caso como podemos observar.

2A. El valor de ri que es un valor psudoaleatorio, colocaremos los 5 primeros valores como nos indica el libro y A partir del 6to valor ingresamos la fórmula de Aleatorios.

=ALEATORIO()

2A 3A1A 4A

3A. Calculamos la variable aleatoria de temperatura con la siguiente fórmula:

=$C$6+($C$7-$C$6)*B10

4A. Para generar el gráfico usaremos los siguientes datos y de esta manera nos dará como resultado el gráfico que tenemos. Y usaremos el tipo de gráfico Área.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Datos extraídos del ejercicio

Los datos históricos del tiempo de servicio en la caja de un banco se comportan de forma exponencial con media de 3 minutos/cliente. Una lista de números pseudoaleatorios

r¡ ~ U(0,1) y la ecuación generadora exponencial x(. = -3ln(1 - r¡) nos permiten simular el comportamiento de la variable aleatoria (vea la tabla 3.7).

Desarrollo del Ejercicio

1A. Son los clientes donde colocamos una secuencia de números del 1 al 20 en este caso y lo observamos claramente en el gráfico.

2A. En la siguiente columna ubicamos los números psudoaleatorios recalcando que estos números son extraídos del libro de su respectivo ejercicio. Y podemos observar claramente en pantalla.

2A 3A1A 4A

3A. En esta columna calcularemos el Tiempo de servicio(Min) en este caso usaremos la siguiente fórmula.

=-$C$6*(LN(1-B10))

4A. Ahora realizaremos el gráfico seleccionando la columna del Tiempo de servicio y usando el tipo de gráfico de Área y el resultado es el gráfico presentado anteriormente.

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

Datos del ejercicio:

Los datos históricos sobre la frecuencia de paros de cierta máquina muestran que existe una probabilidad de 0.2 de que ésta falle (x = 1), y de 0.8 de que no falle (x = 0) en un día determinado. Generar una secuencia aleatoria que simule este comportamiento. A partir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con media 0.8, P(x) = (0.2) x (0.8) 1 - x para x = 0,1 se calculan las probabilidades puntuales y las acumuladas parax = 0y x = 1,y se obtienenlos datos ilustrados en la tabla 3.8:

Desarrollo del ejercicio

1A. En este caso es la medición donde colocamos una secuencia de números del 1 al 25 en este caso y lo observamos claramente en el gráfico.

2A. En la siguiente columna ubicamos los números psudoaleatorios ri recalcando que estos números son extraídos del libro de su respectivo ejercicio. Y podemos observar claramente en pantalla.

2A 4A1A

7A

3A

5A 6A

3A. Calculamos si el valor es 0 o 1 en Xi y usamos una fórmula condicional:

=SI(B10<$D$7;0;1)

4A. Ingresamos el evento de la máquina haciendo una comparación cuando es 0, no falla y cuando el valor es 1 el evento de la máquina falla. Su Fórmula es:

=SI(C10=0;$G$16;$G$15)

5A. Obtenemos el valor de la Frecuencia de las repeticiones de cuantas veces falla o no falla el evento de la máquina usamos la siguiente fórmula.

=CONTAR.SI($C$10:$C$34;0)

6A. Representamos los resultados de las Frecuencias de Repeticiones en porcentajes con la siguiente fórmula:

$G11/$G$13

7A. Ahora realizamos la presentación en el gráfico con los datos de la siguiente columna. Y así obtendremos el gráfico requerido en este caso Circular.

Etiqueta del eje horizontal Series de Entrada

GENERADOR ERLANG

El tiempo de proceso de cierta pieza sigue una distribución 3-Erlang con media 1/A de 8 minutos/pieza. Una lista de números pseudoaleatorios r. ~ U{0,1) y la ecuación de generación de números Erlang permite obtener la tabla 3.14, que indica el comportamiento de la variable aleatoria.

Datos del ejercicio.

Desarrollo del ejercicio:

1A. En este ri donde colocamos una secuencia de 15 números aleatorios extraídos del libro guía y lo observamos claramente en el gráfico.

2A. En la siguiente columna ubicamos los números psudoaleatorios ri recalcando que estos números son extraídos del libro de su respectivo ejercicio. Y podemos observar claramente en pantalla.

3A, 4A, 5A, En las tres columnas siguientes las fórmulas son similares con la diferencia que en la primera columna utiliza los 5 primeros números ri, en la segunda los 5 números ri siguientes y en la tercera columna los últimos números ri.

2A 4A1A

7A

3A6A

5A

A continuación observamos las fórmulas debidas

6A. El tiempo de procesos será calculado con la siguiente fórmula.

=-8/3*(LN(C9*D9*E9))

7A. El gráfico tiene como entrada de datos al tiempo de procesos. Y de esta manera insertamos el gráfico de Área así como lo observamos en el gráfico en pasos anteriores.

=1-A9 =1-A14 =1-A19

DISTRIBUCION BERNOULI-POISON

Datos del Ejercicio.

Ejemplo 3.9: El número de piezas que entran en un sistema de producción sigue una distribución de poisson con media de 2 piezas/h.

Simular el comportamiento de la llegada de las piezas al sistema.

2A

4A

1A 3A

Desarrollo del Ejercicio

1A. En Calculo(X) ingresamos una secuencia de números del 0 al 12 como lo observamos claramente en el gráfico.

2A. En las Probabilidades que presenta el ejercicio las calculamos con la siguiente fórmula de Poisson.

=POISSON.DIST(A8;$C$5;FALSO)

3A. En las Acumuladas que presenta el ejercicio las calculamos con la siguiente fórmula de Poisson.

=POISSON.DIST(A8;$C$5;VERDADERO)

4A. Valor que asigna el ejercicio como la variable Poisson.

5A. En esta columna se asigna la Hora donde colocamos una secuencia de 12 números (1-12) y lo observamos claramente en el gráfico.

6A5A 7A

6A. En la siguiente columna ubicamos los números psudoaleatorios ri recalcando que estos números son extraídos del libro de su respectivo ejercicio. Y podemos observar claramente en pantalla.

BIBLIOGRAFÍA:

Simulación y Análisis de Sistemas con Promodel/Autores Eduardo García Dunna, Heriberto García Reyes, Leopoldo E. Cárdenas Barrón.

Anónimo. (2009). Distribución de Bernoulli. Obtenido de http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node69.htm

Anónimo. (2010). La distribución uniforme discreta. Obtenido de http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo3/B0C3m1t8.htm

Distribución de Weibull. (2009). Obtenido de http://office.microsoft.com/es-es/excel-help/dist-weibull-HP005209338.aspx

Distribución Hipergeométrica. (2010). Obtenido de http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/hipergeometrica.htm

Perez, V. (16 de Septiembre de 2010). Distribución exponencial. Obtenido de http://matematica.laguia2000.com/general/distribucion-exponencial#ixzz36MyMfl2S

PRUEBA DE KOLMOGOROV

Datos del ejercicio.

Un estudio del comportamiento del tiempo entre roturas de cierto filamento, medido en minutos/roturas se muestra a continuación.

Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia ⍺ de 5 por ciento.

El histograma de los n = 50 datos con m = 8 intervalos, la media muestral de 4.7336 y la varianza muestral de 12.991 permiten estimar un parámetro de forma de 1.38 y un parámetro de escala de 5.19 y establecer la hipótesis.

Datos.

2A 4A1A 3A 5A 6A 7A 8A 9A10A

11A