Inferencias acerca del parámetro de la pendiente β1

En casi todo el trabajo inferencial realizado hasta el momento, el concepto de variabilidad de muestreo ha sido dominante. En particular, las

propiedades de las distribuciones de muestreo de varios datos estadísticos han sido la base para desarrollar formulas del intervalo de confianza y métodos de prueba de hipótesis. La idea clave es que el valor de casi

cualquier cantidad calculada a partir de los datos muéstrales, el valor de casi cualquier dato estadístico, va a variar de una muestra a otra.

Veamos un ejemplo

• Del ejercicio dado considere los datos de X= rapidez de liberación de calor del área del quemador y Y= proporción de emisiones de NOx. Hay 14 observaciones, hechas en los valores de x. suponga que pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión verdadera son β1=1.70 y β0=-50 con σ=35(consistente con los valores ´ β`1=1,7114, β0= - 45.55, s=36.75). Se procede a generar una muestra de desviaciones aleatorias ϵ¡ a β0 + β1 x¡ para obtener los 14 valores correspondientes de Y.

Los cálculos de regresión se realizaron para obtener, la pendiente estimada, la ordenada al origen y la desviación estándar.

X 100 125 125 150 150 200 200 250 250 300 300 350 400 400

Y 150 140 180 210 190 320 280 400 430 440 390 600 610 670

Este proceso se repitió un total de 20 veces y se obtuvieron los valores.

β1 Β0 S β1 β0 S

1.7559 -60.62 43.23 1.7843 -67.36 41.80

1.6400 -49.40 30.69 1.5822 -28.64 32.46

1.4699 -4.80 36.26 1.8194 -83.99 40.80

1.6944 -41.95 22.89 1.6469 -32.03 28.11

1.4497 5.80 36.84 1.7712 -52.66 33.04

1.7309 -70.01 39.56 1.7004 -58.06 43.44

1.8890 -95.01 42.37 1.6103 -27.89 25.60

1.6471 -40.30 43.71 1.6396 -24.89 40.78

1.7216 -42.68 23.68 1.7857 -77.31 32.38

1.7058 -63.31 31.58 1.6342 -17.00 30.93

Hay variación clara de los valores estimados de la pendiente y la ordenada al origen, así como de la desviación estándar. Por lo tanto, la ecuación de mínimos cuadrados varia de una muestra a la siguiente.

• Se muestra un diagrama de puntos de las pendientes estimadas, así como las graficas de la recta de regresión verdadera y las rectas de regresión de 20 muestras.

• La pendienteβ1 de la recta de regresión poblacional es el cambio promedio real en la variable independiente y relacionada con un incremento unitario en la variable independiente X. La pendiente de la recta de mínimos cuadrados, β´ proporciona una estimación puntual de β1. del mismo que un intervalo de confianza µ se basaron en las propiedades de la distribución de muestreo de Ẋ mas inferencias respecto a β1 se basan en considerar a β´1 como uno estadístico e investigar su distribución de muestreo.

Se supone que los valores de las X; se eligen antes de realizar el experimento, de modo que solo las Y¡ son aleatorias. Los estimadores (estadísticos y por consiguiente, variables aleatorias) para β0 y β1 se

obtienen al remplazar Y¡ en las ec.(1)y(2)

De manera similar, el estimador para σ2 resulta de remplazar cada y¡ en la formula para S 2 por la variable aleatoria y¡:

El denominador de β´1, S xx =Σ(X¡-Ẋ) 2, depende solo de las Y¡, así

que es una constante. Entonces, como Σ(X¡-Ẋ)ẏ=YΣ(x¡-Ẋ)= ẏ(0)=0 el estimador de la pendiente se puede escribir como.

Es decir β´1 es una función lineal de las variables independientes Y1,Y2,…..Yn. Cada una de las cuales tiene una distribución normal.

El recurrir a las propiedades de una función lineal de variables aleatorias da lugar a resultados siguientes.

1. El valor de β´1 es E(β´1)=μβ´1, =β1, así β´1 es un estimador insesgado de β1(la distribución de β´1 se centra siempre en el valor de β1)

2. La varianza y la desviación estándar de β´1 son

Al reemplazar σ por su estimación s se obtiene una estimación para σ β´1, la desviación estándar estimada, es decir, el error estándar estimado, de β´1):

3. El estimador β´1tiene una distribución normal(debido a que es una función lineal de las variables aleatorias normales independientes.

Teorema. Las suposiciones del modelo de regresión lineal simple implica que la variable estandarizada tiene una distribución t con n – 2 gl.

El manejo de las desigualdades dentro de los paréntesis para aislar β1 y la sustitución de las estimaciones en lugar de los estimadores proporciona la formula del IC.

Intervalo de confianza para β1

Como en la deducción previa de los IC, se empieza con un enunciado de probabilidad:

Este intervalo tiene la misma forma general que muchos de los intervalos previos. esta centrado en la estimación puntual del parámetro, y la cantidad que abarca a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado(por el valor critico t) y la cantidad de variabilidad en el estimador β´1(por s β1 que tendera a ser pequeña cuando haya poca variabilidad en la atribución de β´1 y grande en caso contrario)

Veamos un ejemplo: