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  • NDICE GENERAL

    LISTA DE SMBOLOS iii

    GLOSARIO vii

    RESUMEN ix

    OBJETIVOS xi

    INTRODUCCIN xiii

    1. ELECTROMAGNETISMO 1

    1.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Onda electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3. Polarizacin de ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4. Efecto Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2. GRAVITACIN 13

    2.1. Teora general de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.1.1. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.1.2. Ecuacin de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.3. Solucin de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2. Campo gravitacional dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3. Lentes gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.1. ndice efectivo de refraccin de un campo gravitacional . . . . 22

    2.4. Gravitoelectromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3. ROTACIN FARADAY GRAVITACIONAL 27

    3.1. Derivacin de la rotacin Faraday gravitacional . . . . . . . . . . . . 27

    3.2. Lmite gravitacional dbil de rotacin Faraday . . . . . . . . . . . . 30

    3.3. Rotacin Faraday gravitacional en un espacio NUT . . . . . . . . . . 32

    i

  • 3.4. Rotacin Faraday gravitacional en una mtrica de Kerr . . . . . . . 343.4.1. Orbitas en planos ecuatoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2. rbita simtrica respecto al plano ecuatorial . . . . . . . . . . 35

    3.5. Observaciones en sistemas astrofsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1. Sistema de lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.2. Corteza rotando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    CONCLUSIONES 41

    RECOMENDACIONES 43

    BIBLIOGRAFA 45

    APNDICE B:

    PROYECCIN DE LA RBITA 47

    ii

  • LISTA DE SMBOLOS

    E Campo elctrico

    B Campo magntico

    Densidad de carga

    0 Permitibidad del espacio libre

    t, Tiempo

    c Velocidad de la luz

    J Densidad de corriente

    A Potencial vectorial magntico

    Potencial escalar elctrico, ngulo de desfase

    r Radio vector

    x, y, z Coordenadas cartesianas

    Ex Componente del campo elctrico en el eje x

    iii

  • Derivada parcial

    i Imaginario

    E Amplitud vectorial de campo

    k Vector de propagacin

    w Velocidad angular

    0 Constante de permeabilidad

    u, s,p Vectores unitarios perpendiculares

    H Magnitud de campo magntico

    V Constante de Verdet

    n ndice de refraccin

    d Distancia

    Longitud de onda

    Sumatoria

    F Fuerza

    m,M Masa

    iv

  • g Aceleracin de gravedad

    a Aceleracin, constante

    T Tensor energa momentum

    R Tensor de Ricci

    R Escalar de curvatura

    G Tensor de Einstein

    k Constante

    g Tensor mtrico

    ds2 Intervalo invariante infinitesimal o mtrica

    Coordenada polar

    Coordenada azimutal

    A,B Coeficientes

    ms Constante

    Mtrica de Minkowsky

    h Perturbacin gravitacional

    v

  • Smbolos de Christoffel

    v Velocidad

    G Constante de gravitacin universal

    Potencial newtoniano

    Bg Campo gravitomagntico

    Eg Campo gravitoelctrico

    h Componente de la mtrica

    k Vector de onda

    f Vector de polarizacin

    3 Triespacio

    L Velocidad Angular

    ngulo de rotacin

    ~V Potencial vectorial

    l, 1, 2 Coordenadas ortogonales

    J Momentum angular

    vi

  • GLOSARIO

    Relatividad general Teora elaborada por Albert Einstein en la dcada de 1906-1916. Su idea esencial es que la gravedad es un efecto de lacurvatura del espacio-tiempo.

    Mtrica Es la conexin que existe entre las coordenadas de dos eventosy su distancia.

    Velocidad de la luz Constante fundamental de la relatividad especial, cuyo valores de 299,729 Km/s. Es la velocidad de las partculas de masacero, y se denota por la letra c.

    Invariante Cantidad que conserva el mismo valor al ser transformado deun sistema de referencia a otro.

    Campos dinmicos Son los campos que varan en el tiempo.

    Singularidad Regin donde la curvatura del espacio-tiempo es tan grandeque sus leyes ya no operan. Punto casi cero con enorme can-tidad de materia. Matemticamente es una regin donde nopuede definirse una funcin, convergiendo hacia valores infi-nitos.

    Geodsica Es la trayectoria ms corta entre dos puntos sobre una super-ficie.

    vii

  • Transformacin Es una transformacin de un grado de libertad que no modi-de Gauge fica ninguna propiedad observable fsica

    Geodsica nula Es cuando la distancia entre cualquier dos puntos es cero.

    Espaciotiempo plano Es el que est descrito bajo la mtrica de Minkowski.

    Fuerza tidial Se da cuando la fuerza no se aplica uniformemente sobre lasuperficie del objeto.

    Relatividad especial Teora expuesta por Einstein en 1905, que presenta una nuevaconcepcin del espacio-tiempo. En esta las transformacionesdel espacio-tiempo dejan invariable la velocidad de la luz.

    Tensor El tensor se define mediante la transformacin de un siste-ma inercial S a otro S.Se define mediante la transformacin:Tij = aiiajjTij.

    Combinacin lineal Es una expresin de tipo x1 + + xnvn donde v1, . . . , vnson elementos de un espacio vectorial V, y x1 + + xn sonnmeros.

    viii

  • RESUMEN

    El propsito del presente trabajo es presentar de manera detallada la deriva-cin de la rotacin del plano de polarizacin de una onda electromagntica, bajo lainfluencia de un campo gravitacional dbil, el llamado efecto Faraday gravitacionalpor su analoga con el efecto Faraday electromagntico.

    En la primera parte se presenta el efecto Faraday electromagntico, para esto seintroducen conceptos de la teora electromagntica clsica, tratndose las ecuacionesde Maxwell y el desarrollo del concepto de onda electromagntica.

    En la segunda parte se incluyen conceptos de Relatividad General, debido a loextenso de este tema nicamente se tocarn brevemente ciertos puntos importantes.Entre estos destacamos el concepto de lentes gravitacionales, que constituyen unade las principales pruebas de la validez de la teora de gravitacin de Einstein.Se introduce en esta parte el concepto de gravitoelectromagnetismo, junto a susprincipales ideas.

    En la ltima parte se presenta la derivacin de la rotacin Faraday gravitacio-nal en un campo gravitacional dbil, adems incluye ciertas observaciones partcu-lares en diversos sistemas astrofsicos.

    El efecto Faraday gravitacional demuestra la influencia de la geometra delespacio-tiempo en las propiedades de la luz que pasa cerca de una cantidad de masa.

    ix

  • x

  • OBJETIVOS

    General

    Realizar un estudio detallado de la obtencin relativista (gravitacional) de unfenmeno anlogo a uno electromagntico clsico, el efecto Faraday.

    Especficos

    1. Analizar las propiedades clsicas del efecto Faraday electromagntico.

    2. Desarrollar la derivacin de la rotacin Faraday gravitacional para un campogravitacional dbil.

    3. Presentar aplicaciones observacionales de la rotacin Faraday gravitacional.

    xi

  • xii

  • INTRODUCCIN

    Es ya conocido que la teora de gravedad aceptada luego de la desarrollada porNewton, la Relatividad General, predice una curvatura del espacio-tiempo. Cuandoexisten objetos supermasivos, a stos se les asocian corrientes de masa-energa entreellos, las cuales originan diversos fenmenos fsicos. El estudio de esto es conocidocomo gravitoelectromagnetismo.

    La teora electromagntica aplicada en ptica geomtrica para un espacio curvoha sido una de las principales pruebas de la teora de la Relatividad General. En lasltimas dcadas, observaciones tanto de curvatura de la luz y un retraso de tiempogravitacional han sido herramientas tiles tanto en Astrofsica como en Cosmologa.

    Tambin es conocido que el plano de polarizacin de rayos de luz que atraviesanplasma en presencia de un campo magntico sufre una rotacin, llamada rotacinFaraday.

    Como consecuencia de la Relatividad General se sabe que rayos que pasancerca de un objeto masivo son curvados hacia el mismo. Esta influencia gravitacionalsobre la luz presenta muchos fenmenos, asociados al gravitoelectromagnetismo, quetienen sus anlogos en la teora electromagntica clsica. Muchos estudios se hanrealizado sobre el efecto de la gravedad en el plano de polarizacin de un rayo deluz, siendo Skrotskii en 1957, aplicando un mtodo desarrollado por Rytov, quiendesarroll la primera discusin de este fenmeno.

    Ahora se sabe que el vector de polarizacin de una onda electromagntica rotadebido a las propiedades del espacio-tiempo. Esta rotacin gravitacional del planode polarizacin constituye un anlogo a la rotacin Faraday electromagntica.

    El propsito del presente trabajo es desarrollar la derivacin de la rotacinrelativista del plano de polarizacin, para rayos de luz linealmente polarizada en un

    xiii

  • campo gravitacional dbil.

    Este trabajo se compone de tres captulos, en el primero se desarrolla el fenme-no electromagntico, donde se presentan las principales ideas de electromagntismoque llevaron al entendimiento de la rotacin Faraday.

    El segundo captulo contiene las ideas de Relatividad General, aplicadas enespecial a un campo gravitacional dbil, y se presenta un poco sobre los lentes gra-vitacionales, que son una de las principales pruebas de la validez de esta teora.Adems incluye una breve presentacin de los conceptos de gravitoelectromagnetis-mo.

    En el tercer captulo se presenta de manera detallada la derivacin de la ro-tacin Faraday gravitacional, aplicando los conceptos presentados en los anteriorescaptulos, as como se presentan casos partculares en sistemas astrofsicos. Estefenmeno gravitacional es anlogo al electromagntico, pero con un origen distinto.

    Finalmente, el trabajo contiene dos apndices, el primero acerca de la derivadacovariante, un concepto necesario para el desarrollo de las ecuaciones relativistas. Elsegundo apndice es acerca de la proyeccin de la rbita, en el plano polar, seguidapor el haz de luz que rodea un objeto masivo rotando. Este es un concepto til parael desarrollo del fenmeno en sistemas astrofsicos.

    xiv

  • 1. ELECTROMAGNETISMO

    Teora que describe de manera clsica las interacciones entre la electricidady el magnetismo. Pese a que algunos efectos magnticos se conocen desde pocasantiguas, su teora fue principalemente desarrollada en el siglo XIX, tuvo en lasecuaciones de Maxwell los principales fundamentos para su desarrollo. James ClerkMaxwell desarroll estas ecuaciones basandose en los estudios previos desarrolladospor Ampere y Faraday, llevando a impresionantes descubrimientos como el hecho deque la luz es de origen electromagntico y predijo la existencia de ondas electromag-nticas (verificado posteriormente con experimentos desarrollados por Hertz). Estateora es uno de los pilares de la fsica clsica, junto con la mecnica de Newton.Una de las tantas contribuciones de esta teora fue el desarrollo de otra teora igualde notable, como lo es la Relatividad desarrollada por Einstein.

    1.1. Ecuaciones de Maxwell

    El conjunto de ecuaciones que describen la teora electromagntica son lasllamadas ecuaciones de Maxwell, las cuales son:

    E = 0, (1.1)

    E = Bt, (1.2)

    B = 0, (1.3)

    c2B = J0

    +E

    t, (1.4)

    donde E y B1 son los campos elctrico y magntico respectivamente, representalas fuentes de carga y J la densidad de corriente.

    1Se colocarn en negrilla las variables que representan cantidades vectoriales, esta notacin seutilizar en los desarrollos posteriores.

    1

  • Cada una de estas ecuaciones representa una generalizacin de ciertas observa-ciones experimentales, la primera representa una extensin de la ley de Gauss vlidapara campos dinmicos como estticos, la segunda es la forma diferencial de la leyde induccin electromagntica de Faraday, la tercera representa la inexistencia demonopolos magnticos y la ltima representa la ley de Ampre.

    Una consecuencia de aceptar estas cuatro leyes como vlidas es la conservacinde la carga.

    J + t

    = 0 (1.5)

    Las ecuaciones (1.1) y (1.4) son las llamadas ecuaciones inhomogneas, stasdeterminan como los campos electromagnticos son producidos por cargas y corrien-tes. Las restantes son las ecuaciones homogneas, que describen el comportamientode campos electromagnticos independientemente de las cargas y corrientes. Estasecuaciones reflejan la ausencia experimental de cargas y corrientes magnticas. Laseparacin de ecuaciones en homogneas e inhomogneas no quiere decir que seutilicen las ecuaciones por aparte, ya que en el vaco se utilizan las cuatro con lacondicin de hacer cero tanto la carga como la corriente.

    1.2. Onda electromagntica

    Juntando las ecuaciones de Maxwell se pueden obtener diversas situaciones,empezaremos con: B = 0, lo que implica que B es el rotor de algn campovectorial:

    A = B (1.6)

    Tomamos en cuenta a continuacin la ley de Faraday, E = Bt

    , dondeno intervienen ni corrientes ni cargas. Luego escribiendo B = A, donde Arepresenta al potencial vectorial magntico, y derivando posteriormente respecto a

    2

  • t, escribimos ahora la ley de Faraday como:

    E = tA (1.7)

    y al no importar el orden de derivacin entre la coordenada temporal y las espacialesse puede colocar la ecuacin de la sig. manera:

    (E +

    A

    t

    )= 0 (1.8)

    Ya que E + At

    es un vector cuyo rotor es igual a 0 este es el gradiente dealguna funcin escalar, por lo que definimos:

    E +A

    t= (1.9)

    que es equivalente a:

    E = At (1.10)

    Continuamos sustituyendo la ec. (1.10) en la ec. (1.1) se obtiene:

    ( A

    t

    )=

    0(1.11)

    lo que equivale a:

    2 t A =

    0(1.12)

    Ahora reexpresamos la cuarta ecuacin de Maxwell y expresando a B y E entrminos de los potenciales, usando las ecuaciones (1.6) y (1.10):

    c2 (A) t

    ( A

    t

    )=

    J

    0(1.13)

    utilizando identidades algebraicas: (A) = ( A)2A obtenemos:

    c22A + c2( A) + t+

    2A

    t2=

    J

    0(1.14)

    3

  • la cual no resulta simple de resolver. Ahora ya tenemos reducidas las ecuaciones deMaxwell a dos ecuaciones, las ecs. (1.12) y (1.14), aunque an estn acopladas. Eldesacoplamiento se puede obtener mediante las transformaciones de gauge[7], queson consecuencia de la definicin de B como B = A, la cual permite que laeleccin de la divergencia sea aleatoria, manteniendose a B inalterado. Las eleccionestomadas son:

    A + 1c2

    t= 0 (1.15)

    y para que el campo elctrico sea inalterado tambin, el potencial escalar debetransformarse simultneamente:

    = 1c2

    t(1.16)

    La libertad en las anteriores ecuaciones, ecs. (1.15) y (1.16), implica que lospotenciales elegidos cumplen con la condicin:

    A A = A + (1.17)

    esto desacopla el par de ecuaciones, y dejar un par de ecuaciones de ondas inho-mogneas, una en trminos de A:

    2A 1c22A

    t2= J

    0c2(1.18)

    y la ecuacin para , la ec. (1.12) asume una forma similar:

    2 1c22

    t2=

    0(1.19)

    Estas dos ltimas ecuaciones nos permiten observar una separacin; que conla densidad de carga se asocia y con la corriente de carga a A. Adems estasecuaciones son muy similares a la que describe la propagacin de ondas en direccinr a una rapidez c:

    2

    r2=

    1

    c22

    t2(1.20)

    4

  • 1.2.1. Ondas planas

    Una onda plana se define como una onda que, en cierto instante, presenta lamisma fase para todos los puntos de cada plano perpendicular a alguna direccinespecfica [15].

    Al colocar las ecuaciones de Maxwell juntas, sucede un nuevo fenmeno nota-ble; campos producidos por las cargas en movimiento pueden abandonar las fuentesy viajar a travs del espacio. Discutiremos el comportamiento de los campos elc-tricos y magnticos en el espacio vaco muy lejos de las fuentes que lo generan. Seanalizarn estos casos cuando estn en regiones sin corrientes ni cargas. Esto se ob-tiene cuando y J son igual a 0, por lo que las ecuaciones (1.18) y (1.19) toman lasiguiente forma:

    2 1c22

    t2= 0 (1.21)

    2A 1c22A

    t2= 0 (1.22)

    Por lo que en espacio libre el potencial escalar y cada componente del poten-cial vectorial A satisfacen todos la misma ecuacin matemtica. Suponemos ahoraque representa cualquiera de las anteriores cantidades, entonces:

    2 1c22

    t2= 0 (1.23)

    En el espacio libre, los campos elctrico E y magntico B tambin satisfacen laecuacin de onda. Esto lo podemos obtener partiendo de las ecuaciones de Maxwellen el espacio libre. Para realizar esto haremos las cargas y corrientes iguales a 0:

    E = 0, (1.24)

    E = Bt, (1.25)

    5

  • B = 0, (1.26)

    c2B = Et, (1.27)

    desglosando la primera ecuacin en componentes:

    E = Exx

    +Eyy

    +Ezz

    = 0, (1.28)

    Asumiendo que no hay variacin en y, t y z, por lo que los dos ltimos terminosson 0, entonces:

    Exx

    = 0 (1.29)

    lo que implica que Ex es una constante en el espacio. Considerando la ecuacin(1.27) y suponiendo que no hay variacin alguna en B, en y ni en z, se observa queEx tambin es constante en el tiempo. Se obtiene tambin que para la propagacinde ondas planas en cualquier direccin, el campo elctrico debe ser perpendicular ala direccin de propagacin.

    Resolveremos ahora un campo E transversal el cual tiene slo una componentetransversal. Se considerar un campo que siempre est en la direccin y, con la com-ponente z nula. Resolviendo este problema, se puede luego generalizar para cualquierotra componente. En este caso se considera entonces que la nica componente queno es cero es la componente Ey y todas las derivadas, excepto en x, tambin soncero.

    Consideremos ahora la ecuacin (1.25) Escribiendo las componentes del rotortenemos:

    ( E)x =Ezy

    Eyz

    = 0 (1.30)

    ( E)y =Exz

    Ezx

    = 0 (1.31)

    6

  • ( E)z =Eyx

    Exy

    =Eyx

    (1.32)

    Ahora de la ecuacin (1.25) igualando las componentes del rotor de E a las dela derivada temporal de B, tenemos que:

    Bxt

    = 0,Byt

    = 0 (1.33)

    Bzt

    = Eyx

    (1.34)

    En esta ltima ecuacin se puede observar que el campo elctrico tiene slocomponente en y asi como el campo magntico nicamente componente en z, demodo que E y B son perpndiculares entre si y a la vez perpendiculares con ladireccin de propagacin.

    Ahora utilizamos la ltima ecuacin de Maxwell para espacio libre, escribiendoen componentes tenemos:

    c2(B)x = c2Bzy

    c2Byz

    =Ext

    (1.35)

    c2(B)y = c2Bxz

    c2Bzx

    =Eyt

    (1.36)

    c2(B)z = c2Byx

    c2Bxy

    =Ezt

    (1.37)

    recordemos que de las seis derivadas de B, nicamente el trmino Bzx

    no es igual acero. Entonces nos queda nicamente:

    c2Bzx

    =Eyt

    (1.38)

    7

  • Entonces conclumos que solamente una componente del campo elctrico y unadel campo magntico no son cero, y estas componentes deben satisfacer las ecuacio-nes (1.32) y (1.36). Estas ecuaciones se combinan derivando la primera respecto a xy la segunda respecto a t:

    2Bztx

    = 2Eyx2

    (1.39)

    2Bzxt

    = 1c22Eyt2

    (1.40)

    combinando ambos resultados podemos llegar a:

    2Eyx2

    1c22Eyt2

    = 0 (1.41)

    la cual es completamente anloga a la ecuacin de propagacin de ondas en unadireccin. Ahora colocando una direccin de propagacin r cualquiera, se puedellegar a una solucin para la anterior:

    E(r, t) = Eei(wtkr) (1.42)

    donde E es una amplitud vectorial constante y compleja de la onda plana, k repre-senta un vector de propagacin. Con esta solucin podemos llegar a las ecuacionesde Maxwell en la forma:

    Kk E = 0 (1.43)

    k B = 0 (1.44)

    k E = wB (1.45)

    kB = wc2KE (1.46)

    8

  • Donde la relacin de k se obtiene de = K0 y recordando que 00 = 1c2 [15].Aunque las soluciones de onda planas son una solucin restringida de las ecuacio-nes de Maxwell, son muy importantes formando bases de soluciones ms amplias.Puesto que las ecuaciones son lineales, una combinacin lineal de las mismas (unasuperposicin de ondas planas) es tambin una solucin, por lo que se formarnotras soluciones haciendo una sumatoria de ondas planas:

    E(r, t) =

    i

    E(k1, wi)ei(witkir) (1.47)

    Donde cada coeficiente E depender de ki y de wi. Esta superposicin de ondasplanas tiene la forma de una serie de Fourier [1], por lo que podra representarcualquier solucin que fuera peridica. Cada trmino de la serie deber satisfacerpor separado las condiciones de las ecuaciones (1.43) a la (1.46). Para una solucinque no es peridica ni par, la sumatoria puede convertirse en una integral de Fourier.

    1.3. Polarizacin de ondas electromagnticas

    Los vectores complejos E y B pueden ser expresados de diversas maneras, unaes con una cantidad real y otra imaginaria:

    E = Er + iEi (1.48)

    o puede expresarse al vector cuyas componentes (con respecto a los vectores basereales) son escalares complejos:

    E = Epp + Ess + Euu (1.49)

    Tomaremos a u como la direccin de propagacin de la onda plana, por lo queEu = 0, de acuerdo al resultado u E = 0, pero Ep y Es son arbitrarios. El vectorunitario p puede elegirse en cualquier direccin perpendicular a u. Adems resultams conveniente expresar las componentes complejas en forma polar:

    Ep = Epeip ,Es = Ese

    is (1.50)

    9

  • Se puede tener la condicin de que s = 0 simplemente con una eleccinadecuada del origen de t. Realizando esta eleccin tenemos:

    E = Epeip + Ess (1.51)

    E(r, t) = Eppei(wtkr) + Esse

    i(wtkr) (1.52)

    o la parte real es

    E(r, t) = Epp cos (wt k r ) + Ess cos(wt k r) (1.53)

    El campo E se divide en sus componentes en dos direcciones, con amplitudesreales Ep y Es, que pueden tener cualquier valor. Por otro lado ambas componentespueden estar oscilando fuera de fase por , osea en cualquier punto dado r, el mximode E en la direccin p puede alcanzarse a un tiempo distinto del mximo de E enla direccin s.

    Podemos analizar un caso en particular, el caso en que r = 0 y suponiendoque = 0. Entonces:

    E(0, t) = (Epp + Ess) cos(wt) (1.54)

    En este caso el campo E varaE2p + E

    2s , pasando por cero, hasta

    E2p + E

    2s

    y regresando a su valor original, siempre apuntando a lo largo de la direccin Epp+Ess. Este caso se conoce como polarizacin lineal. Tambin se da si Ep = 0 o Es = 0y en este caso es indefinido. Ahora para = tambin se tiene una polarizacinlineal:

    E(0, t) = (Epp + Ess) cos(wt) (1.55)

    ahora en el caso de que = 2

    tenemos:

    E(0, t) = Epp sen(wt) + Ess cos(wt) (1.56)

    10

  • La punta del vector E sigue una trayectoria elptica en el sentido de las ma-necillas del reloj. En este caso se llama plarizacin dextrgira. Para =

    2, la tra-

    yectoria es la misma pero con el sentido cambiado, llamndose polarizacin elpticalevgira. En el caso especial cuando =

    2y Ep = Es se tiene una polarizacin

    circular. Para otros valores de tenemos una polarizacin elptica. La amplitudcompleja del vector B est dada por la sig. ecuacin:

    B =n

    cu E (1.57)

    de esto se obtiene que:

    B E = 0 (1.58)

    En general de la ecuacin anterior no se puede concluir que las partes realesde los anteriores vectores sean perpendiculares, pero en este caso si se cumple, comolo hemos visto anteriormente.

    1.4. Efecto Faraday

    Una onda electromagntica linealmente polarizada atrabezando una sustanciaubicada en un campo magntico H constante, en la direccin del vector de onda,sufre un cambio en la direccin del plano de polarizacin. El efecto Faraday quedadefinido por el ngulo entre los planos de polarizacin inicial y final, dado por[4]:

    = V dH (1.59)

    donde d representa la longitud recorrida por la onda en la materia sometida al campomagntico de magnitud H y con V siendo la llamada constante de Verdet, la cualmide la sensibilidad magneto-ptica del medio en cuestion. Una onda linealmentepolarizada se puede presentar como la superposicin de dos ondas circularmentepolarizadas, una derecha y otra izquierda. Si bien los vectores elctricos E1 y E2de ambas ondas, rotan en sentido contrario, la suma de ellos se mantiene constantesobre la direccin que define la polarizacin lineal. Por otro lado, la presencia deun campo magntico tiene como efecto tornar diferentes los ndices de refraccin de

    11

  • las ondas polarizadas a derecha y a izquierda, provocando que nder sea diferente anizq en una cantidad proporcional a H, por lo que ambas componentes circulares alrecorrer una distancia d, sufren un desface:

    =w

    cd(nder nizq) (1.60)

    Debido a este desfase, la suma de los vectores elctricos correspondientes a lasdos ondas circularmente polarizadas cambiar de direccin en un ngulo =

    2. Se

    concluye entonces que el efecto Faraday es explicado por la direfencia de velocidadesde propagacin de las ondas polarizadas a derecha y a izquierda como consecuenciade la accin del campo magntico aplicado a la sustancia. Esta variacin de velocida-des se asocia con el hecho de que las frecuecias de absorcin y por ende de dispersindel medio, dependen de la polarizacin de la luz. Lejos de la banda de absorcin, laconstante de Verdet es aprximadamente proporcional a 1

    2.

    Este fenmeno es ampliamente conocido, y tambin presenta una forma integral[13]:

    =2e3

    m2c2w2

    ba

    nB||dl (1.61)

    Donde B|| es la componente del campo magntico sobre la lnea de visin, a elpunto inical y b el punto final del recorrido del vector de polarizacin. Es de notarque este fenmeno presenta una dependencia de la frecuencia de la onda w.

    La rotacin Faraday tambin es observada en distintas situaciones, tanto deAstrofsica como de Cosmologa, en las cuales este origen electromagntico no puedeser considerado debido a las caractersticas del medio, por lo que su origen se atribuyea situaciones distintas a ser tratadas en el tercer captulo.

    12

  • 2. GRAVITACIN

    Se conoce como Gravitacin a la rama de la fsica que se dedica al estudio dela Relatividad General desarrollada por Einstein. El desarrollo de esta surge con laincompatibilidad de la Relatividad Especial en la descripcin de la gravedad, ya queesta no puede lograrse en un espacio-tiempo plano. La teora de Relatividad Gene-ral extiende los principios de la Relatividad Especial, teniendo su pieza clave en elprincipio de equivalencia. Una aplicacin de esta teora se da en el estudio de loslentes gravitacionales. Debido a lo extenso del tema en este captulo se desarrollarnnicamente las ideas principales y ecuaciones aplicables en el fenmeno del efecto Fa-raday Gravitacional, a tratarse en el siguiente captulo. En este captulo se introducetambin otra rama desarrollada con la Relatividad General, que presentas analogascon la teora electromagntica clsica, el llamado Gravitoelectromagnetismo.

    2.1. Teora general de la relatividad

    En el ao 1905 Einstein publica su Teora Especial de la Relatividad e inme-diatamente despes empieza a pensar en gravedad y cmo presentar una formulacinrelativisticamente invariante. Su trabajo le llev los siguientes 10 aos, hasta culmi-nar con su teora General de la Relatividad, presentada en 1915/1916. Esta es unade los principales logros cientficos de todos los tiempos, una teora derivada de laintuicin fsica, capaz de explicar detalladamente los aspectos de la fsica gravita-cional.

    La principal idea que le llev al desarrollo de esta teora fue el considerar ala gravedad no como una fuerza externa, sino como una manifestacin de la curva-tura del espacio-tiempo. Las observaciones hicieron que extendiese los principios deRelatividad Especial y los elevara hacia el principio de equivalencia.

    Esta teora ha tenido varias aplicaciones, desarrollando predicciones compro-badas experimentalmente. Entre sus principales aplicaciones se encuentran su apli-

    13

  • cacin en la fsica de los agujeros negros, cosmologa, ondas gravitacionales y otrasteoras gravitacionales en ms dimensiones.

    2.1.1. Principio de equivalencia

    Existen muchas maneras de expresar este principio. Una manera de enunciarloes que requiere que la masa pasiva gravitacional (F = mg) sea la misma que lamasa inercial (la masa que aparece en la ec. F = ma). Si la equivalencia de masainercial/gravitacional se mantiene, entonces no se podran diferenciar experimental-mente dos situaciones equivalentes. Tal sera el caso si se colocara una masa dentrode un elevador (en espacio sin gravedad) que se acelera a 9,8m/s2, un investigadordentro del mismo no podra distinguir entre la fuerza inercial presionando hacia aba-jo o el peso producido por un campo uniforme gravitacional de 9,8m/s2, es decirno podra notar la diferencia entre un campo gravitacional uniforme y un marcouniformemente acelerado.

    El principio puede expresarse como:

    "No existe experimento que permita distinguir entre un observador en un ele-vador que se acelera uniformemente con aceleracin g, y uno que est estacionarioen un campo gravitacional con aceleracin uniforme g sobre las dimensiones delelevador"[11].

    Se sabe que ningn campo gravitacional real es uniforme sobre grandes dis-tancias, debido a que el campo gravitacional diverge desde el centro de masa, asique las lneas de campo no son generalmente paralelas entre si. Si se callese en unplaneta con los pies por delante, se sentira una aceleracin gravitacional mayor enlos pies que en la cabeza, originando una fuerza llamada tidial.

    Otra diferencia entre un campo gravitacional divergente y uno uniforme es quedado que la gravedad del espacio-tiempo se manifiesta a travs de las propiedadesgeomtricas del mismo, en general, no existe un sistema de coordenadas que cubratodo el espacio-tiempo sin encontrar singularidades en el mismo. En otras palabras,

    14

  • un marco global o nico sistema de coordenadas no es suficiente para describir lageometra (campo gravitacional) del espacio-tiempo. En una regin lo suficientemen-te pequea del espacio-tiempo se puede encontrar un sistema de coordenadas (marcoinercial) tal que la mtrica toma la forma de un espacio plano o de Minkowski.

    Puede existir una analoga, entre la diferencia entre un campo gravitacionaldivergente y uno uniforme, y la diferencia entre un espacio plano y uno curvo. Lamtrica de un campo divergente no puede ponerse en correspondencia global con lamtrica de un sistema uniformemente acelerado nicamente coinciden en un punto.El postulado formal del principio de equivalencia dice:

    Existe un plano tangente en cada punto en un campo gravitacional tal que lamtrica del campo gravitacional local y sus primeras derivadas pueden ponerse encorrespondencia con la mtrica del plano tangente y sus primeras derivadas[11].

    2.1.2. Ecuacin de campo de Einstein

    Las ecuaciones que describen el comportamiento de partculas y de camposen un campo gravitacional involucran a la mtrica y las ecuaciones que describenel comportamiento del campo gravitacional deben ser ecuaciones diferenciales cova-riantes.Se desea realizar una conexin entre materia y energa que lleve a una teoragravitacional satisfactoria. De parte de la geometra se tienen suficientes herramien-tas, entre ellas el tensor mtrico, el tensor de Riemann-Christoffel y los smbolos deChristoffel(determinados por la mtrica). Para realizar la equivalencia en la parte demateria, lo nico comparable es el tensor de energa-momentum T , la cual incluyecontribuciones del campo electromagntico y la materia ordinaria. Entonces lo quese busca es una igualdad entre el tensor de energa momentum en cada punto conotro tensor representando la geometra en cada punto, el tensor necesario no deberestringir muy fuerte la mtrica pero debe tener una divergencia igual a cero. Eltensor que presenta estas cualidades es el llamado tensor de Einstein.

    En un principio esto pareca una situacin inexistente, pero fue Einstein quiennot que existen tensores que pueden ser construidos de la derivada de la mtrica

    15

  • que no son cero y los cuales pueden ser utilizados para escribir las ecuaciones dife-renciales covariantes para la mtrica. El ms importante era el tensor de curvaturade Riemman y sus diversas contracciones.

    Se utilizar el Tensor de Ricci (que es una contraccin del Tensor de Riemman),debido a que el escalar de Ricci o de curvatura R (que representa la contraccin deltensor de Ricci) es un invariante. En principio Einstein supuso que este tensor (deRicci) se deba igualar al tensor de materia, as la materia sera la fuente de gravedad.Esto no funcion debido a que la divergencia del tensor de Ricci no siempre es cero.Por lo que se busc un tensor que si cumpliese esta condicin, recurriendose a lasidentidades de Bianchi[14]. Mediante estas se puede llegar a:

    R; 1

    2R; = 0 = (R

    1

    2R); (2.1)

    donde la cantidad en parntesis es el tensor de Einstein, adems el ; representa laderivada covariante (ver Apndice A).

    G = R

    1

    2R (2.2)

    Este tiene una divergencia igual a 0, y es necesario debido a que T tambintiene una divergencia 0, esto representa la conservacin de la energa (un pilar en lafsica) y por esto se busca construir un tensor con divergencia 0 y G califica comoel tensor geomtrico, de manera que:

    G = kT (2.3)

    lo que equivale a:

    R 1

    2R = kT (2.4)

    En este caso la constante k debe ser evaluada. Esta es la llamada ecuacin decampo de Einstein, este es el postulado fundamental de la teora gravitacional deEinstein. La ecuacin se especfica con el reqerimiento que la energa y el momentumson conservados covariantemente en cada punto; esto viene de la exigencia de que

    16

  • se aplique la conservacin de la energa en cualquier sistema inercial del plano tan-gente local alcanzable por el principio de equivalencia. La ec. (2.4) tambin puedepresentarse de forma covariante, nicamente al bajar el ndice del anterior tensormixto:

    R 1

    2gR = kT (2.5)

    Adems existe la forma contravariante al subir el ndice inferior del tensormixto. Al contraer la ec. (2.4) sumando sobre y , la resultante ecuacin escalares:

    R = kT (2.6)

    donde T = T .

    2.1.3. Solucin de Schwarzschild

    Al aplicar la teora gravitacional a un fenmeno dentro del sistema solar siem-pre se analizan fenmenos de cuerpos bajo influencias de un cuerpo gravitacionalcercano. Para el espacio vaco se aplica:

    R = 0 (2.7)

    Las soluciones a esta ecuacin dan el comportamiento de los planetas, lu-nas, cmetas, etc. La solucin ms importante de esta ecuacin es la solucin deSchwarzschild[11], la cual refleja la simetra esfrica del campo que rodea un obje-to gravitacional esfrico.Una mtrica esfricamente simtrica puede ponerse en laforma:

    ds2 = adr2 + r2(d2 + sen2 d2) bd 2 (2.8)

    Debido al coeficiente que antecede a dr2, la circunferencia no siempre ser iguala 2 veces el radio. En la ecuacin anterior conviene ms redefinir los coeficientes a

    17

  • y b:

    ds2 = eAdr2 + r2(d2 + sen2 d2) eBd 2 (2.9)

    as los elementos diagonales del tensor mtrico sern:

    g = (eA, r2, r2sen,eB) (2.10)

    Con esta mtrica, slo los trminos diagonales del tensor de Ricci sobreviveny se igualan a cero de acuerdo con la ec. (2.7):

    R11 =1

    2B 1

    4AB +

    1

    4(B)2 A

    r= 0

    R22 = eA

    [1 +

    1

    2r(B A)

    ] 1 = 0 (2.11)

    R33 = R22 sen2 = 0

    R44 = eBA[1

    2B 1

    4AB +

    1

    4(B)2 +

    B

    r

    ]= 0

    Se aclara que lo primado representa la primera derivada parcial respecto alradio r. De la primera y cuarta ecuacin conclumos que:

    A = B (2.12)

    Por lo que podemos concluir que la cantidad A+B = const.

    Por otro lado como la mtrica de la ec. (2.9) debe convertirse en la mtrica dela relatividad especial (+1,+1,+1,1) cuando r tiende a infinito, entonces tanto Acomo B deben ser cero en ese lmite, as la constante anterior debe ser cero. EntoncesA = B. Sustituyendo esto y la ec. (2.12) en la segunda ecuacin de las ec. (2.11)obtenemos la siguiente ecuacin diferencial:

    eB[1 + rB] = 1 (2.13)

    18

  • Esta ecuacin tiene la solucin eB = 1 2msr

    , donde ms es una constante.Ahora combinando esto con la condicin de A = B se llega a:

    g11 = eA =

    (1 2ms

    r

    )1(2.14)

    g44 = eB =(1 2ms

    r

    )por lo que entonces ahora la simetra esfrica, ec. (2.9), queda de la siguiente manera:

    ds2 =(1 2ms

    r

    )1dr2 + r2

    (d2 + sen2 d2

    )

    (1 2ms

    r

    )d 2 (2.15)

    Esta mtrica es vlida para un campo gravitacional dbil a grandes distanciasdel origen. Relacionando con la forma del potencial gravitacional en un campo gra-vitacional dbil, podemos obtener el valor de la constante ms, el cual debe ser iguala GM/c2, quedando ahora la mtrica de la siguiente manera:

    ds2 = 1dr2 + r2(d2 + sen2 d2

    ) d 2 (2.16)

    Donde: = (1 + 2/c2) = (1 2ms/r), donde a su vez ms = GM/c2, y Mrepresenta la masa del objeto gravitacional. Esta solucin es vlida para cualquierr, excluyendo la singularidad en r = 2ms, este punto es llamado el horizonte deSchwarzschild. Tambin se excluye el punto r = 0, que es una singularidad fsica, lacurvatura en este punto es infinita. En r = 2M la singularidad es de las coordenadasy puede ser eliminada cambiando el sistema de coordenadas.

    2.2. Campo gravitacional dbil

    Debido al lenguage geomtrico y las abreviaciones utilizadas al escribir la ecua-cin de campo de Einstein, ec.(2.3), dificilmente se observan ecuaciones diferenciales,mucho menos algunas con propiedades familiares. La mejor forma de observarlas esaplicandolas a una situacin de campo gravitacional dbil[10], debido a que estamos

    19

  • familiarizados con sistemas de este tipo, ya que vivimos inmersos en uno (el casodel sistema solar).

    g = + h (2.17)

    Esta representa una mtrica para una situacin donde la mtrica de Minkowski() es afectada por la presencia de una fuente gravitacional. Al ser en este casouna perturbacin gravitacional dbil se asume que: | h | 1.

    En una situacin de campo dbil, la mtrica se puede descomponer en unaparte que es el espacio de fondo ab ms una perturbacin hab y resolver las ecuacionesde Einstein para hab como si fuera un campo sobre un espacio de fondo plano,pudiendo mantener nicamente los trminos lineales sin perder mucha precisin. Elformalismo resultante es llamado frecuentemente teora linealizada de gravedad.Esta teora linealizada de gravedad puede ser derivada de la teora general de larelatividad. Los coeficientes de conexin, al linealizar en la perturbacin de la mtricah quedan [10]:

    =1

    2(h; + h; h;) (2.18)

    1

    2(h; + h

    ; h

    ;) (2.19)

    se utilizar ; para representar la derivada covariante.

    La segunda ecuacin introduce la convencin utilizada usualmente al expandiren potencias de h , ac los ndices de h son subidos o bajados utilizando y . Una lienealizacin similar en el tensor de Ricci lleva a:

    R = ; ; (2.20)

    R =1

    2(h; + h

    ; h; h;) (2.21)

    20

  • donde:

    h h = h (2.22)

    Despus de ms contracciones se puede formar R gR R , unoencuentra que la ecuacin de Einstein, 2G = 16T , se lee:

    h; + h; h; h; (h

    ; h

    ;) = 16T (2.23)

    El nmero de trminos ha aumentado al pasar de ec. (2.21) a la ec. (2.23).Esto puede contrarrestarse con una nueva definicin:

    h h 1

    2h (2.24)

    La barra implica la operacin correspondiente en otro tensor simtrico y hviene dada por la ec. (2.22). Con esta notacin las ecuaciones de campo linealizadasse convierten en:

    h; h; + h

    ; + h

    ; = 16T (2.25)

    El primer trmino de esta ecuacin es el usual dlembertiano[1] de un es-pacio plano y los otros trminos sirven para mantener las ecuaciones como gauge-invariantes. Tambin se sabe que sin perder generalidad uno puede imponer lascondiciones de gauge:

    h; = 0 (2.26)

    por lo que las ecuaciones de campo se convierten en:

    h; = 16T (2.27)

    y ahora podemos definir a la mtrica como:

    g = + h = + h 1

    2 h (2.28)

    21

  • Las condiciones gauge, las ecuaciones de campo y la definicin de la mtricason las ecuaciones fundamentales de la teora linealizada de gravedad.

    2.3. Lentes gravitacionales

    La teora general de la relatividad ha demostrado que la presencia de grancantidad de masa puede deformar el espacio-tiempo y as variar el recorrido de la luz.La presencia de esta masa afecta no slo el recorrido sino tambin la seccin eficaz delhaz de luz proveniente de la fuente. Para la mayora de propsitos prcticos se puedeasumir que la accin de lente se produce por alguna inhomogeneidad de materia enalgn lugar del trayecto entre la fuente y el observador, as toda la accin de deflexinse produce en una distancia nica. Esta aproximacin es vlida nicamente cuandola velocidad relativa de la fuente, observador y lente es pequea en relacin a lavelocidad de la luz, v c, y si el potencial newtoniano es pequeo | | c2.Estas dos asunsiones son justificables en los casos astronmicos de inters. Se asumeque el espacio recorrido est descrito por la mtrica de Friedmann-Robinson-Walkerperturbada [16]:

    ds2 =

    (1 +

    2

    c2

    )c2dt2 a2(t)

    (1 2

    c2

    )d2 (2.29)

    El recorrido de la luz al propagarse desde la fuen>0te y pasar por el lentepuede separarse en tres zonas distintas. En la primera, la luz viaja desde la fuentehasta un punto cercano al lente a travs de espaciotiempo no perturbado. En lasegunda zona, cercana al lente, la luz es deflectada, y finalmente en la tercera la luzviaja de nuevo por espaciotiempo no perturbado. Para estudiar la deflexin de la luzcercana al lente asumiremos un espaciotiempo de Minkowski local plano, el cual esdbilmente perturbado por el potencial gravitacional newtoniano de la distribucinde masa que constituye el lente.

    2.3.1. ndice efectivo de refraccin de un campo gravitacional

    Como mencionamos anteriormente la propagacin de la luz cercana al lentepuede ser descrita en un espaciotiempo de Minkowski local perturbado por el poten-

    22

  • cial gravitacional del lente. El efecto de la curvatura del espacitiempo en el recorridode la luz puede ser expresado en trminos de un ndice de refraccin n [16]:

    n = 1 2c2

    = 1 +2

    c2| | (2.30)

    Ntese que el potencial gravitacional es negativo si se define de tal forma quese aproxime a cero al acercarse a infinito. Ahora, la velocidad efectiva de propagacinen un campo gravitacional para la luz es:

    v =c

    n' c 2

    c| | (2.31)

    Se puede notar que al igual que al pasar la luz por un medio distinto al vaco,la velocidad efectiva de la luz es menor que c, por lo que la luz viene con un retrasoen relacin a su propagacin en el vaco. El tiempo total de retraso t se obtiene alintegrar sobre la trayectoria de la luz de la fuente al observador:

    t =

    obsfuente

    2

    c3| | (2.32)

    este es llamado el retraso Shapiro [3].

    2.4. Gravitoelectromagnetismo

    Teoras post-Newtonianas de gravedad, tal como la Relatividad General, pre-dicen curvaturas de espacio-tiempo por corrientes de masa-energa relativas a otrasmasas. Esta interaccin se conoce como Gravitomagnetismo [19].

    Durante las enseanzas de fsica en universidades, el campo electromagnticoy el campo gravitacional son tratados como dos tpicos completamente separados,de hecho son diferentes; el campo gravitacional es mplicito de las propiedades geo-mtricas del espaciotiempo, mientras el campo electromagntico reacciona ante estageometra como cualquier otro campo. Sin embargo es de notar que existen fuertesanalogas entre las dos teoras, existe una gran analoga entre las ecuaciones de Max-well y las ecuaciones linealizadas de Einstein. Se ha observado que el linealizar estas

    23

  • ecuaciones (las de Einstein) en el vaco lleva a una forma casi idntica a las ecua-ciones de Maxwell de electromagnetismo. En la aproximacin lineal la interaccingravitacional puede considerarse como si fuera efecto de un campo gravitoelectro-magnetico.

    Los campos gravitoelectromagnticos quedarn definidos de la siguiente ma-nera [9]:

    Bg = Ag (2.33)

    Eg = 1

    c

    Ag2t

    (2.34)

    donde:

    Ag =G

    c

    J rr3

    (2.35)

    =GM

    r(2.36)

    ac M y J son la masa y momentum angular de la fuente. Se observa que los cam-pos gravitoelectromagnticos tienen dimensionales de aceleracin. De las anterioresdefiniciones se pueden generar 4 ecuaciones anlogas a las electromagnticas.

    Eg = 4G, (2.37)

    Eg = 1

    c

    t(1

    2Bg), (2.38)

    (12Bg) = 0, (2.39)

    (12Bg) =

    1

    c

    tEg +

    4G

    cj, (2.40)

    24

  • Una vez establecida la analoga existen muchas consecuencias, por ejemplo lainduccin gravitomagntica que se puede expresar en analoga a la ley de Faraday-Henry [19]:

    Eg = 1

    2

    Bgt

    (2.41)

    En este caso Eg es la parte gravitoelctrica del campo gravitacional, mientrasBg es la parte gravitomagntica. Aparte de esta analoga se han observado otras,como el efecto Meissner gravitacional y el efecto de rotacin Faraday (que sertratado con mayor detalle en el captulo 3). Es de notar de la relacin anterior que uncampo gravitomagntico que vare en el tiempo inducir un campo gravitoelctricoy viceversa. Se debe tener en cuenta que a diferencia de la teora electromagnticaahora el parmetro de acoplamiento entre los campos es la masa. Pese a todas lasanalogas existentes debemos mencionar que la teora de Gravitoelectromagnetismotiene muchas limitaciones, ya que lleva a una teora inconsistente. Esto se observa almomento de considerar condiciones energticas, debido a que el tensor de esfuerzo-energa T se conserva independientemente de la accin de campos gravitacionales.Aparte las fuerzas gravitacionales no realizan un trabajo significativo.

    El estudio de la teora gravitoelectromagntica puede aplicarse en fenmenospresentados en las propiedades de la luz al pasar por el campo gravitacional deobjetos en rotacin, donde se observan fenmenos anlogos a los vistos en supercon-ductores, nicamente que con un origen distinto.

    25

  • 26

  • 3. ROTACIN FARADAY GRAVITACIONAL

    Este es un efecto gravitacional muy conocido, que se origina por la curvatu-ra del espaciotiempo por corrientes de masa. Consiste en la rotacin del plano depolarizacin de un rayo de luz.

    En el electromagnetismo clsico, bajo la ptica geomtrica, un rayo de luz sigueuna geodsica nula sin importar su estado de polarizacin y el vector de polarizacines transportado paralelamente sobre el rayo.

    Bajo la presencia de un campo gravitacional se origina una rotacin en elplano de polarizacin, tal rotacin es un anlogo al efecto Faraday electromagntico,es decir la rotacin que sufre un rayo al pasar por plasma en la presencia de uncampo magntico. Este efecto gravitacional es conocido como la Rotacin FaradayGravitacional o efecto Skrotskii o Rytov.

    3.1. Derivacin de la rotacin Faraday gravitacional

    Consideremos un espaciotiempo estacionario1 definido con una mtrica g.Tal mtrica puede ser descrita por [17]:

    ds2 = h(dx0 Adx)2 dl2 (3.1)

    donde:

    A g = g0g00

    , h = g00 (3.2)

    dl2 = dxdx =

    (g +

    g0g0g00

    )dxdx (3.3)

    1El espaciotiempo estacionario es el producido por un campo gravitacional constante, no necesa-riamente de un objeto en reposo, tambin puede ser un campo producido por un cuerpo axialmentesimtrico rotando uniformemente sobre su eje.

    27

  • Tomamos tambin que el plano de polarizacin de una onda electromagnticatiene como base a dos vectores k y f , el vector de onda, y el vector de polarizacin,respectivamente. Los cuadrivectores correspondientes a estos trivectores tienen lassiguientes relaciones:

    kaka = 0, kafa = 0, f

    afa = 1, a = 0, 1, 2, 3. (3.4)

    Ambos de estos cuadrivectores son transportados paralelamente sobre unageodsica nula, es decir:

    ka

    + amnk

    nkm = 0 (3.5)

    fa

    + amnf

    nfm = 0 (3.6)

    Ac representa un parmetro afin que vara sobre el rayo. Utilizando una des-composicin ortogonal basada en coordenadas adaptadas, los anteriores trivectoresdefinidos en el triespacio 3 pueden ser llevados a un equivalente a las componentescontravariantes de ka y fa. Uno debe notar que las contrapartes covariantes de estostrivectores no son las componentes espaciales de los cuadrivectores covariantes ka yfa, pero:

    (3)kb = (3)ka =(4) k + k0g (3.7)

    (3)fb = (3)fa =(4) f + f0g (3.8)

    De la ec. (3.4) se puede notar que al vector de polarizacin se le puede agregaruna constante mltiplo del vector de onda, es decir que ambos fa y f a = fa + Ckasatisfacen dicha ecuacin. Esto demuestra que existe una especie de libertad gaugeal elegir f el cual permite hacer f0 = 0 sin perder generalidad. Aplicando estadescomposicin y las ecuaciones de transporte paralelo, ecs. (3.5) y (3.6), se puede

    28

  • arribar a las siguientes dos ecuaciones para describir la evolucin de estos trivectoresk y f en el rayo [13]:

    3kk = L k + (Eg k)k (3.9)

    3kf = L f (3.10)

    donde:

    L = 12ko

    [Bg

    1

    2(Bg f)f +

    1

    |f |Eg (k f)f

    ](3.11)

    En este caso L representa la velocidad de rotacin del plano originada porefectos gravitacionales.Ntese que se han escrito los resultados en trminos de loscampos gravitoelectromagnticos, Eg y Bg, presentados en el captulo II. Si slotuviesemos el segundo trmino del lado derecho de la ec. (3.9) hubiese significado,por la comparacin de la definicin del transporte paralelo cuadridimensional, queel vector tridimensional k es transportado paralelamente sobre la proyeccin de lageodsica nula en el espacio 3. Pero el hecho que est el primer trmino muestra quek tambin ha sido rotado con una velocidad angular L. La misma rotacin le sucedeal vector de polarizacin f como puede verse en la ec. (3.10). La combinacin de estasdos ecuaciones lleva al hecho de que el plano de polarizacin ha sido rotado por unavelocidad angular L sobre la geodsica nula proyectada. El ngulo de rotacin sobreel vector tangente k sobre el recorrido entre la fuente y el observador est dado por:

    =

    obsfuente

    L kd = 12

    obsfuente

    koBg kd (3.12)

    En este caso hemos utilizado el hecho de que f k = 0, que viene de la ec. (3.4)y la eleccin de que f0 = 0. Ahora combinando las dos ecuaciones:

    k0 = g0aka = h(k0 gaka) (3.13)

    kaka = 0 h(k0 gaka)2 kk = 0 (3.14)

    29

  • tenemos:

    k20h

    =

    (dl

    d

    )2(3.15)

    Finalmente sutituyendo en ec. (3.12) la ec. (3.15) y colocando a kdl = dl,encontramos:

    = 12

    obsfuente

    hBg dl (3.16)

    lo cual tambin utilizando la definicin en la ec. (2.33) puede expresarse como:

    = 12

    obsfuente

    hA dl (3.17)

    Donde este constituye el ngulo de rotacin Faraday gravitacional, se observaque es proporcional a la integral de la componente del campo gravitomagntico sobrela lnea de propagacin. Tiene una forma similar al efecto Faraday electromagntico,ec. (1.61), pero la diferencia principal es que la rotacin faraday gravitacional es unefecto puramente geomtrico, mientras el electromagntico tiene dependencia de lafrecuencia del rayo de luz.

    La primera discusin de este efecto relativista fue realizada en 1957, cuandoSkrotskii aplic un mtodo previamente desarrollado por Rytov para considerarptica geomtrica en un espacio-tiempo curvo. Es por esta razn histrica que elefecto gravitacional en la polarizacin de la luz es conocido como el efecto Skrotskiio efecto Rytov.

    3.2. Lmite gravitacional dbil de rotacin Faraday

    Las hiptesis estndar de lentes gravitacionales asumen que el lente gravita-cional est localizado en una pequea regin del cielo y que su efecto es dbil. Eldeflector cambia su posicin lentamente respecto al sistema de coordenadas, es decir,que la velocidad de materia es mucho menor que c, por lo que la materia se deformamuy poco. En este rgimen de campo dbil y aproximacin a movimiento lento, el

    30

  • espacio-tiempo es casi plano cerca del lente. Como puede verse en la ec.(3.17) elorden de aproximacin est determinado por las componentes no diagonales de lamtrica. Podemos escribir [18]:

    ds2 '(

    1 + 2

    c2+ (4)

    )c2dt2 8cdtV d~x

    c3

    (1 2

    c2+ (4)

    )dx2 (3.18)

    donde 1 denota el orden de aproximacin, es el potencial Newtoniano, y /c2

    es del orden (2).

    V es un potencial vectorial que toma en cuenta el campo gravitomagnticoproducido por corrientes de masa. Para (3):

    V ' G

    R3

    (v)(t,x)

    |x x|d3x (3.19)

    en este caso v representa el campo de velocidades de los elementos de masa deldeflector.

    Se asume que durante el recorrido de la luz a travs del lente, el potencial enla ec. (3.19) sufre una variacin insignificante, por lo que el lente puede ser tratadocomo estacionario.

    En el lmite de campo dbil, h y A se relacionan con el potencial gravitacionalde la sig. manera [17]:

    h ' 1 + 2c2

    + (4) (3.20)

    Ai '4

    c3Vi + (

    5) (3.21)

    y la longitud de arco propia est dada por:

    dlp '{

    1 c2

    + (3)

    }dlE (3.22)

    31

  • donde dlE ijdxidxj, es la longitud de arco Euclideana. Insertando ahora las

    ecuaciones (3.20), (3.21) y (3.22) en la ec. (3.17) tenemos:

    = 2c3

    p

    V kdlE + (5) dl (3.23)

    en este caso p constituye la proyeccin espacial de la geodsica nula y k es el vectorunitario tangente.

    Es til el utilizar las coordenadas espaciales ortogonales (l, 1, 2) (l, ),centradas en el lente y tal que el eje l est sobre la direccin del rayo provenientesin perturbacin ein. El plano del lente (1, 2), corresponde a l = 0. El vector deposicin tridimensional del rayo de luz x puede ser escrito como x = + lein.

    Para calcular el efecto Skrotskii del orden de (3) podemos adoptar la apro-ximacin de Born, la cual asume que los rayos de radiacin electromagntica sepropagan sobre lneas rectas, es decir que el curvamiento de la luz puede ser dese-chado. La resolucin de la integral sobre la lnea de visin (l.o.s , por sus siglas eningls) es suficientemente precisa para evaluar la contribucin principal a la rotacinneta. Para este orden podemos utilizar la mtrica de Minkowski sin perturbacin yun vector unitario de propagacin de la seal. La rotacin Faraday gravitacional deeste orden es:

    = 2c3

    l.o.s

    V|l.o.sdlE + (5) (3.24)

    3.3. Rotacin Faraday gravitacional en un espacio NUT

    No existe una rotacin Faraday Gravitacional inducida por un espacio NUT(Newman-Tamburino-Unti), donde el espacio NUT[8] est descrito por la siguiente mtrica:

    ds2 = f(r)(dt 2l cos d)2 f(r)1dr2 (r2 + l2)(d2 + sen2 d2) (3.25)

    donde:

    f(r) = 1 2(mr + l2)

    (r2 + l2)(3.26)

    32

  • adems m representa la masa y l es el llamado parmetro NUT, conocido tambincomo monopolo gravitomagntico[8].

    Demostraremos lo anterior mediante lo siguiente. Tomemos ahora un recorridocerrado C alrededor de un agujero NUT el cual consiste en dos trayectorias (vasefigura): la trayectoria 1, una geodsica nula la cual pasa cerca del agujero negro,y la trayectoria 2, que pasa lo suficientemente lejos para que el efecto del campogravitacional (incluyendo la rotacin Faraday, debido al hecho que Bg 0 cuandor ) de los rayos de luz sea despreciable.

    Agujero negro NUT

    Ahora utilizando el teorema de Stokes[1], se puede escribir la ec. (3.16) en laforma:

    = 12

    C

    (hBg) dl =

    1

    2

    s

    (hBg) dS (3.27)

    lo que puede ser transformado a:

    12

    1

    (hBg) dl

    1

    2

    2

    (hBg) dl =

    S

    (Eg hBg) dS (3.28)

    33

  • El segundo trmino del lado izquierdo de la anterior ecuacin es cero porconstruccin. Por otro lado para los campos Gravitoelectromagnticos en un espacioNUT tenemos:

    Eg = 1

    2r [lnf(r)] r (3.29)

    Bg =2lf(r)1/2

    r2r (3.30)

    Los cuales juntos muestran que el lado derecho de la ec. (3.28) es tambin cero,por lo que:

    12

    1

    (hBg) dl = 0 (3.31)

    lo que nos demuestra que no existe efecto Faraday gravitacional en rayos de luz quepasan cerca de un agujero negro NUT.

    3.4. Rotacin Faraday gravitacional en una mtrica de Kerr

    Se ha observado que cuando rayos de luz pasan por la regin de vaco fuera dela materia en rotacin sufre una rotacin en su plano de polarizacin. Este efectoFaraday en una mtrica de Kerr puede ser estudiado en dos casos diferentes: cuandola rbita est en el pano ecuatorial, es decir para = /2; y una rbita ms generalla cual intersecta el plano ecuatorial y es simtrico respecto a esto.

    3.4.1. Orbitas en planos ecuatoriales

    En este caso utilizando las definiciones de Eg y Bg y la ec. (3.28) uno puedever que el anlogo gravitacional del vector de Poynting definido por Eg

    hBg

    tiene una nica componente, la cual est sobre la direccin por lo que es normal alplano de la rbita(r, ), el cual lleva el caso especial que ac no existe efecto Faradaygravitacional en los rayos de luz[13].

    34

  • 3.4.2. rbita simtrica respecto al plano ecuatorial

    En este caso necesitamos encontrar la rbita y veremos que nicamente senecesita encontrar la rbita de orden cero en a/r y m/r, es decir una aproximacina lnea recta.

    Escribiendo la mtrica de Kerr, ec. (3.1) en coordenadas Boyer-Lindquist sepuede ver que:

    A = A =2amr sen2

    2mr 2(3.32)

    de la cual tenemos que:

    Brg =2amr sen 2[2mr r2 a2](2mr r2 a2 cos2 )

    (3.33)

    Bg =2am sen2 (a2 cos 2 r2)(2mr r2 a2 cos2 )2

    (3.34)

    donde = det y 2 = r2 + a2cos2

    Procederemos ahora a redefinir los campos gravitoelectromagnticos en tr-minos de la mtrica de Kerr, quedando el campo gravitoelctrico de la siguientemanera [13]:

    Eg = lnh1/2 = 1

    2

    hh

    (3.35)

    utilizando esta anterior definicin, tenemos que:

    Erg =m(a2 cos2 r2)4(2 2mr)

    (3.36)

    Eg =rma2 sen 2

    4(2 2mr)(3.37)

    en este caso = r2 +a2 2mr. Substituyendo las anteriores definiciones del campoen la ec. (3.28) y colocando = cos tenemos:

    =

    S

    (Eg hBg)dS

    (3.38)

    35

  • = 2am2 00

    rORB()

    drd

    (r2 + a22 2mr)2(3.39)

    donde rORB() es la ecuacin de la proyeccin de la rbita en el plano (r, ) (verapndice B).

    Para encontrar el menor orden del efecto Faraday podemos calcular la integralanterior despreciando el trmino a2/r2 y m/r. En cuyo caso tenemos:

    = 2am2 00

    rORB()

    1

    r4drd = 4

    3am2

    00

    1

    r3ORBd (3.40)

    Para la evaluacin de la anterior integral utilizaremos la proyeccin de unarbita en el plano (r, ) definida por:

    rORB =rmin

    1 (r2min/)cos2(3.41)

    en la cual es una constante del movimiento (ver Apndice B) elegida > 0.Entonces ahora la integral quedar como:

    = 43am2

    00=

    /rmin

    (1 r

    2min

    2

    )3/2d (3.42)

    = (1/4) cos 0am2

    r3min(3.43)

    y esta es la expresin de tercer orden para el efecto Faraday en este caso.

    3.5. Observaciones en sistemas astrofsicos

    Alta calidad de datos provenientes de sistemas astrofsicos llegan a nosotros,con flujos de alta densidad en cuanto a informacin. Parte de la informacin quenos llega es la polarizacin, en s su ngulo de polarizacin. Existen muchos datos,principalmente en frecuencias de radio donde se pueden observar imgenes mltiples,tal es el caso del sistema B0218+357.

    36

  • En esta seccin proveeremos de frmulas explcitas para calcular la RotacinFaraday Gravitacional en sistemas astrofsicos de importancia.

    3.5.1. Sistema de lentes

    Un sistema de lentes puntuales[16], que se mueven a velocidad constante in-ducen una rotacin Faraday gravitacional. Las estrellas en movimiento, donde lasvelocidades pueden ser tratadas como lentas, constituyen una representacin de di-cho sistema.

    El potencial gravitomagntico generado por una lente puntual de masa M , conun vector de posicin xi, moviendose a velocidad constante vi se reduce a[17]:

    Vi(x) ' GMivi

    | x xi |(3.44)

    El ngulo de rotacin Faraday para un sistema de N lentes que se mueven estdado por:

    = 2c3

    Ni

    l.o.s

    Vi|l.o.sdlE + (5) (3.45)

    = 4Gc3

    Ni

    Mi(i)1v(i)2 (i)2v(i)1

    | (i) |2+ (5) (3.46)

    donde (i) (i). Al nivel ms bajo nicamente la proyeccin sobre la lnea devisual del momento angular total entra en efecto.

    3.5.2. Corteza rotando

    El potencial gravitomagntico toma una forma muy simple en el caso de unadistribucin de simetra esfrica de materia en rotacin rgida. Nos limitaremos auna rotacin lenta para que la deformacin causada por esta sea despreciable y elcuerpo tenga casi simetra esfrica. Tomando el centro de la fuente como el origende un sistema inercial de fondo tenemos:

    V = 43G

    {1

    x3

    x0

    (r)r4dr +

    +x

    (r)rdr

    }w x (3.47)

    37

  • V = G2J(x) x

    x3 4

    3G

    ( +x

    (r)rdr

    )w x (3.48)

    donde w = const es la velocidad angular y J(x) = 83

    ( x0(r)r4dr

    )w es la contri-

    bucin de momentum angular de la materia en un radio x =| x |.

    La teora gravitacional de Einstein predice un fenmeno peculiar dentro deuna corteza rotando. Es interesante calcular el potencial gravitomagntico para talsistema. El potencial gravitomagntico, ec. (3.48), dentro de una corteza esfrica demasa M y radio R, que rota con una frecuencia constante, se reduce a:

    VIn(x) ' GM3R

    w x (3.49)

    Esta se da en el interior de la corteza, mientras que para la parte exterior,(x > R), se obtiene:

    VOut(x) ' GMR2

    3

    w xx3

    = G2

    J xx3

    (3.50)

    en la cual J = (2/3)MR2w. Aplicando el rotor a ambos se obtiene:

    VIn(x) ' 2GM3R

    w (3.51)

    VOut(x) ' G2

    [J 3(J x)x

    x3

    ](3.52)

    Consideremos un rayo de luz el cual entra a la corteza, es decir que tiene unparmetro de impacto R; el rayo de luz entra y deja la esfera a lin =

    R2 2

    y lout = +R2 2, respectivamente. La rotacin neta del vector de polarizacin

    ser:

    38

  • ' 2c3

    { lin Vout |l.o.sdlE

    +

    loutlin

    Vinl.o.s

    dlE +

    +lout

    Voutl.o.s

    dlE

    }+ (5)

    (3.53)

    =4GM

    c3wl.o.s

    1

    (

    R

    )2+ (5) (3.54)

    El resultado vara si la velocidad angular se encuentra en el plano del lenteya que la corteza acta como lente gravitacional. Tambin se tiene que la rotacinFaraday Gravitacional fuera de un cuerpo rotando, cuando la luz no entra en ellente, es (G2MTOT/c5)(Jl.o.s/3), es decir del orden de (5), el efecto sobre elrayo de luz puede ser despreciado en este orden de aproximacin.

    El caso de una esfera rotante externa de espesor finito puede ser fcilmenteresuelto nicamente integrando el resultado en la ec. (3.53). Cada corteza infinitesi-mal de radio r con masa dM = 4(r)r2dr y velocidad angular w(r) contribuyecon un ngulo:

    d ' 16Gc3

    (r)wl.o.s(r)r2 2rdr + (5) (3.55)

    Integrando desde el parmetro de impacto , al radio externo de la corteza R,tenemos la rotacin Faraday Gravitacional total que sufre un rayo debido al giro dela corteza externa. Tenemos:

    =

    d (3.56)

    =16G

    c3

    R

    (r)wl.o.s(r)r2 2rdr + (5) (3.57)

    Consideremos una esfera homognea de densidad constante en rotacin rgida.El plano de polarizacin de un rayo de luz, que penetre a este cuerpo, es rotado en:

    =16G

    c3wl.o.s(R

    2 2)3/2 + (5) (3.58)

    39

  • =10G

    c3Jl.o.s

    (R2 2)3/2

    R5+ (5) (3.59)

    donde Jl.o.s es la componente sobre la linea de visin del momentum angular totalde la esfera.

    40

  • CONCLUSIONES

    1. El llamado efecto Faraday gravitacional no es equivalente al efecto Faradayelectromagntico, nicamente constituye un anlogo del mismo, ya que ambostienen orgenes distintos; el electromagntico es debido a la interaccin delplano de polarizacin con un campo magntico, mientras el gravitacional esdebido a las propiedades geomtricas del espacio-tiempo. Ambos se explicanmediante distintas teoras fsicas.

    2. La rotacin Faraday electromagntica tiene dependencia de la frecuencia delrayo de luz que atraviesa el medio, y es explicado por la diferencia de velocida-des de propagacin de ondas con distinta polarizacin, a derecha e izquierda,que constituyen el haz y su interaccin con el campo magntico aplicado.

    3. El gravitoelectromagnetismo estudia fenmenos anlogos a los electromagnti-cos con un origen gravitacional. Se explica mediante la existencia de corrientesde masa-energa, entre dos objetos masivos. Es una teora ajena al electromag-netismo y a la Relatividad, que combina efectos de una y causas de la otra,sin embargo, es una teora con limitantes, ya que lleva a inconsistencias.

    4. La rotacin Faraday gravitacional depende de la geometra del espacio-tiempo,por lo que su comportamiento no ser el mismo en los distintos sitemas as-trofsicos, destacando el hecho que no existir rotacin Faraday en un agujeroNUT.

    41

  • 42

  • RECOMENDACIONES

    1. Presentar de manera clara los conceptos de los fenmenos anlogos al estudiaranalogas entre distintas teoras, separando los fundamentos e ideas de estas yresaltando que el hecho que sean similares no constituye que sean equivalentes,en este caso la rotacin del plano de polarizacin por origen electromagnti-co es distinta a la de origen gravitacional, observndose con el hecho que elelectromagntico tiene dependencia de la frecuencia de la onda mientras elgravitacional nicamente depende de la geometra del espacio-tiempo.

    2. Desarrollar estudios posteriores con los datos experimentales obtenidos parauna mayor comprensin del fenmeno gravitacional, y aprovechar los mismospara determinar caractersticas propias del sistema astrofsico del que provie-nen.

    43

  • 44

  • BIBLIOGRAFA

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    46

  • APNDICE B:

    PROYECCIN DE LA RBITA

    La ecuacin que gobierna la proyeccin de una rbita en el plano (r, ) parala mtrica de Kerr est dada por: r dr

    r4 + (a2 2 )r2 + 2m[ + ( a)2]r a2= (1)

    =

    d + a2 cos2 2 cot2

    (2)

    Donde y son constantes de movimiento y elegimos el caso para > 0,que corresponde a la geodsica nula que intersecta el plano ecuatorial y es simtricorespecto a este. Desarrollamos las anteriores integrales para el caso en que a/r 1y m/r 1, es decir para deflexiones dbiles. Primero evaluamos el lado izquierdo dela ecuacin anterior, el cual puede reescribirse descartando los trminos pequeos:

    dr/r2

    1 r2min/r2 = (1/rmin)arcos(rmin/r) (3)

    Donde rmin =2 + es el trmino principal en el desarrollo de la expancin

    de la raiz de r4 + (a2 2 )r2 + 2m [ + ( a)2] r a2 = 0 para pequeasdeflexiones.Ahora evaluamos el lado derecho (LD) de la misma ecuacin, para elmismo lmite, y esta puede escribirse como:

    LD =

    d + 2(a2 2 ) a24

    (4)

    Ahora utilizando el hecho de que a/rmin 1 y rmin =2 + se puede

    aproximar para evaluar la integral anterior, quedando:

    LD =

    d 2r2min

    = (1/rmin)arcsen(r2min/

    )(5)

    47

  • igualando las ecs. (2) y (5) tenemos:

    rorb =rmin

    1 (r2min/) cos2 (6)

    Que es la proyeccin de la rbita en el plano (r, ) para pequeas deflexionesy en el caso, como este, donde no hay deflexiones porque no hay ningn trminodependiente de m o a. Se puede observar tambin que r cuando cos =/rmin donde los signos ms y menos corresponden a los ngulos de posicin obsy fuente del observador y la fuente, respectivamente.

    48

    LISTA DE SMBOLOSGLOSARIORESUMENOBJETIVOSINTRODUCCIN1 ELECTROMAGNETISMO1.1 Ecuaciones de Maxwell1.2 Onda electromagntica1.2.1 Ondas planas

    1.3 Polarizacin de ondas electromagnticas1.4 Efecto Faraday

    2 GRAVITACIN2.1 Teora general de la relatividad2.1.1 Principio de equivalencia2.1.2 Ecuacin de campo de Einstein2.1.3 Solucin de Schwarzschild

    2.2 Campo gravitacional dbil2.3 Lentes gravitacionales2.3.1 ndice efectivo de refraccin de un campo gravitacional

    2.4 Gravitoelectromagnetismo

    3 ROTACIN FARADAY GRAVITACIONAL3.1 Derivacin de la rotacin Faraday gravitacional3.2 Lmite gravitacional dbil de rotacin Faraday3.3 Rotacin Faraday gravitacional en un espacio NUT3.4 Rotacin Faraday gravitacional en una mtrica de Kerr3.4.1 Orbitas en planos ecuatoriales3.4.2 rbita simtrica respecto al plano ecuatorial

    3.5 Observaciones en sistemas astrofsicos3.5.1 Sistema de lentes3.5.2 Corteza rotando

    CONCLUSIONESRECOMENDACIONESBIBLIOGRAFAAPNDICE B: PROYECCIN DE LA RBITA