3Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
DADOS
cmapoioLL
cmapoioAbaVigaL
lajelajeteor
laje
9502
5,102955
2
1
9555,10213220210001000
, =×−=−=
=×+×−×−=+−−=
Classe de agressividade II
fck, pré = 30 MPa
fcj, despr = 21 MPa
fck, in loco = 30 MPa
γc, pré = 1,3
ψ1 = 0,7
ψ2 = 0,6
4Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
DADOS
AçãoAçãoAçãoAção Carga (kN/m²)Carga (kN/m²)Carga (kN/m²)Carga (kN/m²) Carga / Painel (kN/m)Carga / Painel (kN/m)Carga / Painel (kN/m)Carga / Painel (kN/m) M (kNm)M (kNm)M (kNm)M (kNm) V (kN)V (kN)V (kN)V (kN)
Peso PróprioPeso PróprioPeso PróprioPeso Próprio 2,8 3,5 39,46 16,62
CapaCapaCapaCapa 1,5 1,875 21,14 8,90
PermanentePermanentePermanentePermanente 1,5 1,875 21,14 8,90
AcidentalAcidentalAcidentalAcidental 3 3,75 42,28 17,81
TotalTotalTotalTotal 8,88,88,88,8 11111111 124,03124,03124,03124,03 52,2452,2452,2452,24
5Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Propriedades da Seção Transversal
Seção Simples
Seção Composta
h = 21 cm
Ac = 0,1448 m²
I = 7,71 E-04 m⁴
y = 10,47 cm
Wi = 7,36 E-03 m³
Ws = 7,32 E-03 m³
h = 26 cm
Ac = 0,2004 m²
I = 1,46 E-03 m⁴
y = 14,08 cm
Wi = 1,04 E-02 m³
Ws = 1,23 E-02 m³
6Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU
Considerando perdas de protensão (imediatas + progressivas) de 17%:
Considerando as perdas imediatas de 6%:
=⋅=⋅
=⋅=⋅≤
MPaf
MPaf
pyk
ptk
pi 1453171085,085,0
1463190077,077,0σ
MPap 1206145383,0 =×=∞σ
MPap 1366145394,00 =×=σ
7Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU - Flexão( )
9243,01892,04,01)(4,01
26,45,221892,0)(
1892,00)(68,0)(272,0
1189,0
3,1
30000225,025,1
64,173
64,173)28,4214,2160,60(4,1
2
22
=×−=−=•
→=×==•
=⇒=+−•
=
××
==•
=++×=++=•
KXKZ
alvéolosdosacimaLNcmdKXx
KXKMDKXKX
fcdbd
MKMD
kNmMMMM
d
qgppfd γ
8Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU - Flexão
Supondo εc = 0,35%: Supondo εs = 1,0%:
Tabela: Vasconcelos, 1980
%0,1lim%50,1 =>=• sε OKc −=<=• %35,0lim%233,0ε⇒
+=
sc
cKXεε
ε
9Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU - Flexão
Utilizando a tabela anterior, pode se encontrar a deformação relativa ao pré-
alongamento para :
A deformação total será:
Logo, a tensão no aço, correspondente à deformação será:
A armadura de protensão, Ap, necessária será:
6217,16217,00,1 =+=→+= tspt εεεε
6217,0=pε
MPapd 1512=σ
MPap 1206=∞σ
7.126²52,52,151225,09243,0
64,173
)(φ
σ⇒=
××== cm
dKZ
MA
pd
dp
tε
10Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
FENDILHAMENTO LONGITUDINAL
Nenhum tipo de fissuração longitudinal nas nervuras é permitido durante o
processo produtivo. Dessa forma, a tensão na armadura mais solicitada
deverá ser:
Onde:
Dados da nervura:bw = 3,5 cm
Ac, nerv = 143,55 cm²
I = 7805 cm⁴
y = 10,54 cm
inf,ctksp f≤σ
MPaff cjctk 60,12121,021,0 )3/2()3/2(
inf, =×= =
11Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
FENDILHAMENTO LONGITUDINAL
A excentricidade da protensão é:
O módulo resistente da nervura é:
A meia altura do núcleo de rigidez na nervura é:
A força de protensão após a liberação dos cabos (com perdas iniciais) é:
O valor inferior de projeto para o comprimento de transmissão é:
cmdye pp 04,75,354,10 =−=−=
kNAP pp 81,134987,06,13600 =×== σ
³74154,10
7805cm
y
IWnerv ===
cmA
Wk
nervc
nerv 16,555,143
741
,
===
cmlpt 2,7627,160601 =×== φ
12Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
FENDILHAMENTO LONGITUDINAL
Sendo:
A tensão na nervura será:
( ) ( )
MPaMPacmkN
e
leb
P
sp
e
p
pt
e
pw
sp
60,181,0²/081,0
1,00704,03,10704,0
762,01
07,009,015
04,75,3
81,134
1,03,11
07,0155,1
3,2
5,1
1
3,2
0
<==
+×
+
+×⋅
×=
+
+
+⋅=
σ
α
ασ
09,021
16,504,7=
−=
−=
h
kep
eα
13Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU – Ato de Protensão (γp = 1,1 e γf = 1,0)
kNmePM
kNAnP
kNmM
pp
pcordp
prépp
4,565)035,01047,0(8,808
8,808987,066,136
9,398
55,95,3
00
0
2
,
0
=−×==
=××==
=×
=
σ
=×=×=
===
MPaf
MPaf
c
cj
c
jct
t
7,133,1
2185,085,0
90,12,1
21
2,1
lim,
,
lim,
γσ
σ
7,139,100
≤±≤−W
M
W
M
A
P ppfpp
c
p γγγm
14Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU – Ato de Protensão
Fibra Inferior Fibra Superior
MPa
MPaW
M
MPaW
M
MPaA
P
i
i
ppf
i
pp
c
p
15,942,543,814,6
42,5
43,8
14,6
0
0
=−+=
=
=
=
σ
γ
γ
γ
MPa
MPaW
M
MPaW
M
MPaA
P
s
s
ppf
s
pp
c
p
12,345,547,814,6
45,5
47,8
14,6
0
0
=+−=
=
=
=
σ
γ
γ
γ
15Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – D
Combinação Quase-Permanente
kNmePM
kNAnP
kNmMMMM
pp
pcordp
qginlocopréppqperm
56,75)035,01408,0(19,714
19,714987,066,120
12,10728,426,014,216,60
0
2,
=−×==
=××==
=×++=++=
∞
∞
+
∞σ
ψ
=×=×=
=
MPaf
MPa
c
ckc
t
6,193,1
3085,085,0
0
lim,
lim,
γσ
σ6,190 ≤±≤
∞∞
W
M
W
M
A
P qpermp
c
m
16Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – D
Combinação Quase-Permanente
Fibra Inferior Fibra Superior
MPa
MPaW
M
MPaW
M
MPaA
P
i
i
qperm
i
p
c
53,030,1027,756,3
30,10
27,7
56,3
=−+=
=
=
=
∞
∞
σ MPa
MPaW
M
MPaW
M
MPaA
P
s
s
qperm
s
p
c
13,672,815,656,3
72,8
15,6
56,3
=+−=
=
=
=
∞
∞
σ
17Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – F
Combinação Frequente
=×=×=
=×
×=×=
MPaf
MPaf
c
ckc
c
mct
t
6,193,1
3085,085,0
90,23,1
303,03,13,1
lim,
)3/2(,
lim,
γσ
γσ
6,1990,2 ≤±≤−∞∞
W
M
W
M
A
P freqp
c
m
kNmePM
kNAnP
kNmMMMM
pp
pcordp
qginlocopréppfreq
56,75)035,01408,0(19,714
19,714987,066,120
34,11128,427,014,216,60
0
1,
=−×==
=××==
=×++=++=
∞
∞
+
∞σ
ψ
18Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – F
Combinação Frequente
Fibra Inferior Fibra Superior
MPa
MPaW
M
MPaW
M
MPaA
P
i
i
freq
i
p
c
12,071,1027,756,3
71,10
27,7
56,3
=−+=
=
=
=
∞
∞
σ MPa
MPaW
M
MPaW
M
MPaA
P
s
s
freq
s
p
c
48,607,915,656,3
07,9
15,6
56,3
=+−=
=
=
=
∞
∞
σ
19Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – CISALHAMENTO
A resistência de lajes alveolares, em regiões fissuradas, é considerada
satisfatória quando:
Sendo:
A resistência à tração do concreto é:
A taxa de armadura é: 007,05,226,37
987,06
1,
1 =×
×=
Σ=
db
A
w
pρ
≤
≤
CapaRdsd
Rdsd
VV
VV
,2
1
∑bw,1 = 37,6 cm
kNVVVV qginlocopréppfsd 13,73)81,1790,852,25(4,1)( , =++×=++= +γ
MPaf
fc
ctk
ctd 56,13,1
3021,0 )3/2(inf,
=×
==γ
20Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – CISALHAMENTO
A força de protensão após todas as perdas será de:
Logo, a tensão de compressão do concreto devido à força de protensão de
projeto será:
kNAnP pcordp 19,714987,066,120 =××==∞∞ σ
MPacmkNA
P
c
cp 93,4²/493,01448
19,7141, ==== ∞σ
21Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – CISALHAMENTO
Sendo
Então:
e
Logo:
kNV
dbkfV
c
wctdc
1,675,226,37)007,0402,1(375,1156,025,0
)402,1(25,0
1
1,11
=×××+×××=
Σ+= ρ
375,1225,06,16,1 =−=−= dk
kNdbV wcpp 6,625,226,37493,015,015,0 1,1,1, =×××=Σ= σ
sdpcRd VkNVVV >=+=+= 7,1296,621,671,1,1
22Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS – CISALHAMENTO
Sendo:
Então:
55,0200
307,05,0
2007,0 =−=→≥−= νν ckf
sdwtotcdRd VkNbdfV >=×××××=Σ= 20,4836,375,229,03,1
355,0
2
19,0
2
11,2 ν
23Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Outras verificações necessárias para o dimensionamento de lajes alveolares:
• Verificação das perdas de protensão estimadas (idem às estruturas de concreto moldado no local;
• Verificações das tensões ao longo do comprimento da laje e não apenas no ponto de maior momento;
• Resistência ao esforço cortante nas chavetas para garantia de transferência de cargas entre os painéis alveolares;
• Resistência à punção para cargas concentradas nas lajes;
• Resistência ao cisalhamento entre o concreto da lajes alveolar e o
concreto moldado no local.
• Verificações das tensões nas fases transitórias (ex: laje montada na obra com o peso da capa antes que esta contribua na resistência)
24Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
DADOS
cmconsoloPilarL
cmaFoPilarL
vigateor
viga
6301522027002
1700
65812202700lg700
, =×−×−=−−=
=×−×−=−−=
Classe de agressividade II
fck, pré = 45 MPa
fcj, despr = 21 MPa
fck, in loco = 30 MPa
γc, pré = 1,3
ψ1 = 0,7
ψ2 = 0,6
25Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
DADOS
AçãoAçãoAçãoAção Carga (kN/m)Carga (kN/m)Carga (kN/m)Carga (kN/m) M (kNm)M (kNm)M (kNm)M (kNm) V (kN)V (kN)V (kN)V (kN)
Peso PróprioPeso PróprioPeso PróprioPeso Próprio 8,87 43,99 27,93
PP LajePP LajePP LajePP Laje 26,74 132,66 84,23
CapaCapaCapaCapa 14,33 71,07 45,12
PermanentePermanentePermanentePermanente 15,00 74,42 47,25
AcidentalAcidentalAcidentalAcidental 30,00 148,84 94,50
TotalTotalTotalTotal 94,9494,9494,9494,94 470,98470,98470,98470,98 299,04299,04299,04299,04
26Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Propriedades da Seção Transversal
Seção Simples
h = 50 cm
Ac = 0,2377 m²
I = 5,23 E-03 m⁴
y = 27,8 cm
Wi = 1,88 E-02 m³
Ws = 2,35 E-02 m³
27Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Propriedades da Seção Transversal
Seção Composta
h = 76 cm
Ac = 0,3843 m²
I = 2,00 E-02 m⁴
y = 43,5 cm
Wi = 4,60 E-02 m³
Ws = 6,14 E-02 m³
cmE
Eb
cmE
Eb
préc
inlococ
préc
inlococ
364537566
3067245
14217437566
30672174
,
,
int
,
,
sup
=×=×=
=×=×=
28Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Armadura
Diferentemente da laje alveolar, é possível utilizar armadura passiva na
contribuição da capacidade resistente de vigas. Dessa forma, torna-se mais
conveniente dimensionar as vigas para o ELS e ELU do Ato de Protensão e
verificar o ELU.
Para o exemplo, adotando a posição dos cabos conforme a figura a seguir,
com cordoalhas de 12.7 mm CP190 RB, σi = 1453 MPa, perdas iniciais de
10% e perdas totais de 25%, as tensões no meio do vão para o ELS-D, ELS-F
e ELU Ato de Protensão são apresentadas a seguir.
29Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Verificações de tensões
Ato de Protensão:
ELS-D:
ELS-F:
MPaMPa
MPaMPa
s
i
74,267,0
70,1425,14
−<−=
<=
σ
σ
MPaMPa
MPaMPa
s
i
2142,4
060,0
<=
>=
σ
σ
MPaMPa
MPaMPa
s
i
2167,4
2128,0
<=
<=
σ
σ
30Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU - Flexão
O cálculo da armadura de protensão é semelhante ao da laje alveolar. Segue
abaixo os resultados.
De acordo com os resultados acima, a armadura de protensão existente é
suficiente para o ELU, sendo necessária, portanto, apenas armadura mínima
passiva de 8,2 cm² (2φ25).
%1
9832,0
90,2
0420,0
0281,0
=
=
→=
=
=
s
KZ
mesanaLNx
KX
KMD
ε ²9,7²43,6
1509
%56,1
%56,0
1090
, cmAcmA
MPa
MPa
existpp
pd
t
p
p
=<=
=
=
=
=∞
σ
ε
ε
σ
31Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU - Cisalhamento
kNmePM
kNAnP
kNmePM
kNAnP
kNdbff
V
p
is
pcordp
s
p
ii
pcordp
i
wcdck
Rd
p
p
23,3)05,0435,050,0(17,215
17,215987,020,109
00,315)069,0435,0(66,860
66,860987,080,109
21181,69403,1
5,4
250
45127,0
250127,02
=−−×==
=××==
=−×==
=××==
=×××
−×=
−=
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
σ
σ
32Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU - Cisalhamento
Para o cálculo da armadura de cisalhamento, a armadura ativa atua de forma
favorável, logo γp = 0,9:
( ) ( )
( )( )
kNmM
A
WPPMMM
i
si
psi
p pp
24,3963843,0
1059,417,21566,8609,023,300,3159,0
2
0
0
=××+×
+−×=
++−=
−
∞∞
∞∞
γγ
33Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU – Cisalhamento
15/8/²07,6100500
453,0402,02,0/
1227,5407,418
27,54038,659
24,396133921
3391,69403,1
10/4521,06,06,0
)3/2(
000
0
)3/2(
0
cmcmf
fbsA
mínimaarmaduraapenasNecessáriokNVVV
VVVM
MVV
kNdbfV
ywk
ctmwsw
csdsw
ccc
d
cc
wctdc
φ→=××
××==
→−=−=−=
<=
+×=→≤
+=
=×××
×==
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