HeterocedasticidadeAula 23
Prof. Moisés A. Resende Filho
Introdução à Econometria (ECO 132497)
09 de junho de 2014
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 1 / 33
Propriedades dos estimadores MQO
• RLM.1 (linear nos parâmetros): y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u.• RLM.2 (amostragem aleatória): a amostra representa a população.• RLM.3 (colinearidade imperfeita): variação amostral e colinearidadeimperfeita.• RLM.4 (média condicional zero): E (u|x1, x2, . . . , xk ) = 0.
As hipóteses RLM.1 a RLM.4 são suficientes para garantirE (βj ) = βj , j = 0, ..., k (não enviesamento dos estimadores MQOem amostras de qualquer tamanho n < ∞) ep lim(βj ) = βj , j = 0, ..., k (consistência de MQO).RLM.1 a RLM.5 (hipóteses de Gauss-Markov) são suficientespara garantir que os estimadores MQO são os melhores estimadoreslineares não viesados (BLUE).
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Heterocedasticidade
• RLM.5. Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2 pode ser violada de várias formas.• Em geral, a violação se dá porque Var(u|x1, x2, . . . , xk ) depende dosvalores de x1, x2, . . . , xk .• Por exemplo: no modelo de consumo em função da renda dodomicílio.• Se a variância do consumo renda do domicílio, então,Var(consumo|renda) = Var(u|renda) = f (renda) 6= σ2.• É comum se assumir a forma constante multiplicativa deheterocedasticidade:
Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2h(x1, x2, . . . , xk ), com a função h(.) > 0
• Por exemplo, poderia ser queVar(consumo|renda) = Var(u|renda) = σ2renda2, comh(renda) = renda2.
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Heterocedasticidade
• Quais as consequências da violação de RLM.5?1 MQO permanece linear e não viesado (LUE) e consistente => MQOé ainda um bom estimador.
2 MQO deixa ser BLUE, pois deixam de ser os estimadores de menorvariância dentre os estimadores lineares não viesados => pode haverum estimador melhor que MQO.
3 ep(βj ) =√Var(βj ) =
√σ2
SQTj (1−R2j )deixa de ser um estimador
não viesado do dp(βj ), pois se baseia em σ2 (estimador da variânciaconstante de u).
4 Como não se tem certeza de que ep(βj ) são não viesados, asestatísticas t,F e LM usuais não necessariamente seguem asdistribuições t,F ,χ2 e deixam de ser válidas para inferência.
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Heterocedasticidade
• Sob RLM.1 a RLM.4,
βj = βj +∑ni=1 rijui
∑ni=1 r
2ij
• Assumindo que Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2i ,
Var(βj ) =∑ni=1 r
2ij σ
2i(
∑ni=1 r
2ij
)2 (1)
• No caso particular em que Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2, como antes:
Var(βj ) =σ2
∑ni=1 r
2ij
=σ2
SQRj=
σ2
SQTj (1− R2j )
• QUESTÃO: Como estimar σ2i para qualquer forma deheterocedasticidade?Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 5 / 33
Heterocedasticidade
• White (1980) mostra que sob RLM.1 a RLM.4 e para qualquer formade heterocedasticidade, o estimador válido para Var(βj ) é
Var(βj ) =∑ni=1 r
2ij u
2i
SQR2j(2)
onde rij é o i-ésimo resíduo da regressão auxiliar de xj sobre as demaisvariáveis independentes do modelo, SQRj ≡∑n
i=1 r2ij e ui são os resíduos
da regressão de interesse.• Os erros-padrão robustos em relação à heterocedasticidade ouWhite -Huber ou Eicher ou erros-padrão robustos são
ep(βj )robusto =
√√√√∑ni=1 r
2ij u
2i
SQR2j
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Heterocedasticidade
• Às vezes, corrigi-se (2) para graus de liberdade, fazendo
Var(βj ) =∑ni=1 r
2ij u
2i
SQR2j
(n
n− k − 1
)• Para n→ ∞ (ou assintoticamente) corrigir ou não para graus deliberdade são dois procedimentos equivalentes.• Estatísticas t robustas em relação à heterocedasticidade utilizamerros-padrão robustos, tal que
t =βj − βj
ep(βj )robusto
• O uso de erros-padrão robustos se justifica somente assintoticamente.• Em amostra pequenas, as estatísticas t e F robustas em relação àheterocedasticidade não seguem aproximadamente as distribuições t e F .
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Heterocedasticidade
No Stata, basta adicionar a opção robust, por exemplo:
ssc install bcuse
bcuse wage1, clear
drop wage nonwhite numdep smsa northcen south west construc ndurman trcommpu trade services profserv profocc clerocc
servocc
rename female feminino
rename tenure perm
rename married casado
rename lwage lsalarioh
rename tenursq permsq
*Gera as variáveis binárias
gen hcasados=(1-feminino)*casado
gen hsolteiros=(1-feminino)*(1-casado)
gen msolteiras=feminino*(1-casado)
gen mcasadas=feminino*casado
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Heterocedasticidade
*Estima o modelo
reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq
eststo modelo1
reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq, robust
eststo modelo2
esttab modelo1 modelo2, star(* 0.10 ** 0.05 *** 0.01) se label
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Heterocedasticidade
* p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01Standard errors in parentheses
Observations 526 526
(0.100) (0.109)Constant 0.321*** 0.321***
(0.000231) (0.000244)permsq 0.000533** 0.000533**
(0.00676) (0.00694)perm 0.0291*** 0.0291***
(0.000110) (0.000106)expersq 0.000535*** 0.000535***
(0.00524) (0.00514)exper 0.0268*** 0.0268***
(0.00669) (0.00741)educ 0.0789*** 0.0789***
(0.0557) (0.0571)msolteiras 0.110** 0.110*
(0.0578) (0.0588)mcasadas 0.198*** 0.198***
(0.0554) (0.0571)hcasados 0.213*** 0.213***
lsalarioh lsalarioh (1) (2)
• Note que não necessariamente os ep(βj )robusto são maiores que os ep(βj )usuais.
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Testes para homocedasticidade
• Por que testar para homocedasticidade?1 Utilizar erros-padrão usuais é preferível se RLM.1 a RLM.5 e RLM.6(normalidade) forem válidas, pois as estatísticas seguirão exatamenteas distribuições preconizadas (t,F ,χ2), independentemente dotamanho da amostra. Os ep(βj )robusto são válidos apenasassintoticamente.
2 Pode-se utilizar os resultados dos testes na construção de umestimador com menor variância (melhor) que MQO.
• Focaremos os testes da hipótese
H0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2
que, sob RLM.4, é equivalente a
H0 : E (u2|x1, x2, . . . , xk ) = σ2
contra H1 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) depende dos níveis das variáveisindependentes do modelo.Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 11 / 33
Teste Breusch-Pagan e Godfrey
• Assume que se há heterocedasticidade, esta é da forma
u2 = δ0 + δ1x1 + δ2x2 + · · ·+ δkxk + v (3)
• Assim, teste o conjunto de restrições
H0 : δ1 = δ2 = · · · = δk = 0 (4)
• Passos na implementação do teste BP:1 Estime a regressão y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u e armazene asérie dos resíduos u.
2 Estime o modelo (3) utilizando a série u2 e armazene o seu R2,R2u2 ;
3 Calcule a estatística F =R 2u2
/k(1−R 2
u2)/(n−k−1) ∼ Fk ,n−k−1 ou
LM = nR2u2 ∼ χ2k .
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Teste Breusch-Pagan e Godfrey
• No Stata, utilizando o exemplo anterior:quietly reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq
estat hettest, rhs
Prob > chi2 = 0.0068 chi2(8) = 21.14
Variables: hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq Ho: Constant varianceBreuschPagan / CookWeisberg test for heteroskedasticity
• Como Prob > ch2 = 0.0068 < 0.05, ao nível de 5%, rejeita-seH0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2.
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Teste de White
• O teste Breusch-Pagan detecta apenas formas lineares deheterocedasticidade.• O teste de White permite não-linearidades e apenas altera o passo 2do teste de Breusch-Pagan.• No passo 2 do teste de White estime o modelo incluindo os quadradosdas variáveis e todos as interações entre variáveis.• Por exemplo, no caso de y = β0 + β1x1 + β2x2 + u, no passo 2, estimeu2 = δ0 + δ1x1 + δ2x2 + δ3x21 + δ4x22 + δ5x1x2 + v
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Teste de White
• No Stata, utilizando o exemplo anterior:quietly reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq
whitetst
White's general test statistic : 45.68725 Chisq(36) Pvalue = .1293
• Como P-value= .1293 > 0.05, ao nível de 5%, aceita-seH0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2 pelo teste de White.• Problema: perde muitos graus de liberdade, diminuindo o poder doteste (rejeita quando deve rejeitar).
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Teste de White
• Wooldridge propõe uma versão alternativa do teste de White.1 Estime a regressão y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u e armazene asérie dos resíduos u e dos valores estimados y .
2 Estime o modelo u2 = δ0 + δ1y + δ2y2 + v e armazene o seu R2,rotudala como R2u2 .
3 Calcule a estatística F =R 2u2
/2(1−R 2
u2)/(n−2−1) ∼ F2,n−2−1 ou
LM = nR2u2 ∼ χ22.
• Vantagem: mais fácil de implementar que o teste de White usual eimpõe a perda de menos graus de liberdade.
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Teste de White modificado por Wooldridge
• No Stata, utilizando o exemplo anterior:quietly reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq
predict yhat, xb
predict uhat, residuals
gen uhat2=uhat^2
gen yhat2=yhat^2
reg uhat2 yhat yhat2
scalar r2u2 = e(r2)
scalar n = e(N)
scalar Festatistica = (r2u2/2)/((1-r2u2)/(n-3))
scalar Fcrit5 = invFtail(2,n-3,.05)
scalar Fpvalor = Ftail(2,n-3,Festatistica)
scalar Qestatistica=n*r2u2
scalar Qcrit5 = invchi2(n,.05)
scalar Qpvalor = chi2tail(n,Qestatistica)
scalar list Festatistica Fcrit5 Fpvalor Qestatistica Qcrit5 Qpvalor
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Teste de White modificado por Wooldridge
• No Stata, utilizando o exemplo anterior:
Qpvalor = 1 Qcrit5 = 473.8109Qestatistica = 4.155769 Fpvalor = .12565211 Fcrit5 = 3.0129575Festatistica = 2.0824865
• Como os p-valores > 0.05, ao nível de 5%, aceita-seH0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 18 / 33
Heterocedasticidade
• Consequências da violação de RML.5 - SumárioMQO permanece linear e não viesado (LUE) e consistente.
MQO deixa ser "Best"e, portanto, BLUE, pois deixa de ser oestimador de menor variância dentre os estimadores lineares nãoviesados.
ep(βj ) =√Var(βj ) =
√σ2
SQTj (1−R2j )deixa de ser um estimador não
viesado do dp(βj ), pois se baseia em σ2 (estimador da variânciaconstante de u).
Como não se tem certeza de que ep(βj ) são não viesados, então, asestatísticas t,F e LM não necessariamente seguem as distribuiçõest,F ,χ2 e, assim, deixam de ser válidas para inferência.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 19 / 33
Heterocedasticidade
• Potenciais correções para heterocedasticidade:1 Utilizar MQO com procedimentos robustos àheterocedasticidade.
2 Utilizar um estimador não viesado, mas melhor (com menor variância)que MQO: MQG/MQP.
3 Utilizar um outro estimador não viesado, mas, para garantir validadeda inferência no modelo, utilizar procedimentos robustos àheterocedasticidade: MQG/MQP juntamente com procedimentosrobustos à heterocedasticidade.
4 Utilizar um outro estimador provavelmente viesado, mas consistente eassintoticamente mais eficiente que MQO juntamente comprocedimentos robustos à heterocedasticidade: MQGF juntamentecom procedimentos robustos à heterocedasticidade.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 20 / 33
Mínimos Quadrados Ponderados (MQP)
• Idéia: utilizar a informação sobre a forma específica daheterocedasticidade para se obter um estimador eficiente e BLUE, aindafazendo com que as estatíticas t,F e χ2 passem a seguir exatamentesestas distribuições.• Presumimos a forma constante multiplicativa de heterocedasticidade
Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2h(x1, x2, . . . , xk ) (5)
onde h(.) > 0 é uma função em x1, x2, . . . , xk e que deve gerar apenasvalores estritamente positivos; σ2 é um parâmetro populacionaldesconhecido.• Lembre-se de que, sob RLM.4,Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = E (u2|x1, x2, . . . , xk ).
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Mínimos Quadrados Ponderados (MQP)
• Com base em (5), multiplica-se o modelo orginal
y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u.
por 1/√hi , transformando-o para
yi√hi
=1√hi(β0 + β1xi1 + · · ·+ βkxik + ui )
=β0√hi+ β1
xi1√hi+ · · ·+ βk
xik√hi+
ui√hi
(6)
ou, sinteticamente,
y ∗i = β0x∗i0 + β1x
∗i1 + · · ·+ βkx
∗ik + u
∗i
onde y ∗i = yi/√hi ; x∗i0 = 1/
√hi ; x∗ij = xij/
√hi , j = 1, ..., k; e
hi ≡ h(xi1, xi2, . . . , xik ).
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 22 / 33
Mínimos Quadrados Ponderados (MQP)
• ComoVar(u∗i |xi1, xi2, . . . , xik ) = E (u∗2i |xi1, xi2, . . . , xik )
então
E (u∗2i |xi1, xi2, . . . , xik ) = E ((ui/√hi)2|xi1, xi2, . . . , xik )
= (1/hi )E (u2i |xi1, xi2, . . . , xik )
=1hi
σ2h(xi1, xi2, . . . , xik )
= σ2 (u∗2 é homocedástico)
utilizando-se hi ≡ h(xi1, xi2, . . . , xik ) e a presumida forma constantemultiplicativa de heterocedasticidade,E (u2i |xi1, xi2, . . . , xik ) = σ2h(xi1, xi2, . . . , xik ).
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 23 / 33
Mínimos Quadrados Ponderados (MQP)
• Os estimadores de MQO aplicados ao modelo transformado são um casoparticular de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG).• No caso de MQG para heterocedasticidade, os estimadores sãochamados de Mínimos Quadrados Ponderados (MQP), uma vez que osestimadores MQP consistema da aplicação de MQO aos dadosponderados: y ∗i = yi/
√hi ; x∗i0 = 1/
√hi ; e x∗ij = xij/
√hi , j = 1, ..., k.
• A magnitude dos dados que constituem cada observação será tantomenor quanto maior for
√hi .
• MQO constitui um caso especial de MQP quando√hi = 1 para todo
i = 1, ..., n• E (u∗i |xi1, xi2, . . . , xik ) = E ( ui√hi |xi1, xi2, . . . , xik ) =1hi(ui |xi1, xi2, . . . , xik ) = 0 : se o modelo satisfaz RLM.1 a RLM.4,
então, também o modelo transformado satisfará.• Assim, se o erro do modelo transformado atender RLM.5(homocedásticidade), os estimadores MQG/MQP serão BLUE.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 24 / 33
Exemplo de MQP
• Modelo econométrico
poupi = β0 + β1rendai + ui (7)
• Admita que sabe-se com certeza que
Var(ui |rendai ) = σ2rendai
ou seja, neste caso hi = h(xi1, xi2, . . . , xik ) = rendai ;• O modelo transformado é
poupi√rendai
= β01√rendai
+ β1rendai1√rendai
+ ui1√rendai
= β0renda−1/2i + β1renda
1/2i + u∗i
onde u∗i = ui1√rendai
; e Var(u∗i |rendai ) = σ2 (erro homocedástico).
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 25 / 33
MQP no STATA
ssc install bcuse
bcuse saving, clear
rename sav poup
rename inc renda
*Estima o modelo por MQOreg poup renda
eststo modelo1
*Estima o modelo por MQP, utilizando weight=1/hireg poup renda [aw = 1/renda]
eststo modelo2
esttab modelo1 modelo2, star(* 0.10 ** 0.05 *** 0.01) se r2 ar2 label
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 26 / 33
MQP no STATA
* p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01Standard errors in parentheses
Adjusted Rsquared 0.053 0.076Rsquared 0.062 0.085Observations 100 100
(655.4) (480.9)Constant 124.8 125.0
(0.0575) (0.0568)renda 0.147** 0.172***
poup poup (1) (2)
• Note que tanto as estimativas como os erros-padrão se alteram.• Aparentemente o modelo (2) é preferível.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 27 / 33
Heterocedasticidade
• Problema com o uso de MQG/MQP: quase nunca teremoscerteza sobre a verdadeira forma da heterocedasticidade. Neste caso,MQO pode ser mais eficiente que MQP.• Potenciais soluções:
1 Utilize MQP (que é não viesado) junto com estatísticas robustas àheterocedasticidade.
2 Utilize Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis (MQG factível)com estatísticas robustas à heterocedasticidade.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 28 / 33
MQG Factível (MQGF)
• Consiste em utilizar no lugar de hi suas estimativas hi , i = 1, ..., n, porexemplo:
1 Assuma que
Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2 exp(δ0 + δ1x1 + · · ·+ δkxk ) (8)
2 Estime o modelo y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u e armazene a sériedos resíduos u.
3 Estime o modelo log(u2) = α0 + δ1x1 + · · ·+ δkxk + v , obtendo
hi = exp(
α0 + δ1xi1 + · · ·+ δkxk)
4 Finalmente, estime o modeloyi√hi=
β0√hi+ β1
xi1√hi+ · · ·+ βk
xik√hi+ ui√
hi.
• Alternativamente, pode-se substituir no passo 3, no lugar de(x1, x2, . . . , xk ), y e y2.Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 29 / 33
MQG Factível (MQGF)
• Estimar hi utilizando os mesmos dados do modelo original implica queMQGF é viesado e, portanto, não pode ser BLUE.• No entanto, MQGF é consistente e assintoticamente mais eficienteque MQO, o que torna MQGF uma alternativa atrativa para MQO,quando se está trabalhando com amostras grandes.• Se não se tem certeza sobre a forma verdadeira da Var(u|x1, x2, . . . , xk ):deve-se combinar MQGF ou MQP com procedimentos robustos àheterocedasticidade.• É natural que as estimativas de MQO e MQGF sejam diferentes.• Contudo, deve-se desconfiar se forem estatisticamente significantes emuito diferentes, por exemplo, com sinais diferentes.• Neste caso, provavelmente, além de RLM.5, outras hipóteses deGauss-Markov (RLM.1 a RLM.5) também foram violadas.• Vide exemplo a seguir.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 30 / 33
Exemplo no STATA
ssc install estout, replacessc install bcusebcuse saving, clearrename sav pouprename inc renda*Estima o modelo por MQOreg poup renda size educ age blackeststo modelo1reg poup renda size educ age black, robustpredict uhat, residualspredict yhat, xbeststo modelo2*Estima o modelo por MQP, utilizando weight=1/hireg poup renda size educ age black [aw = 1/renda]eststo modelo3reg poup renda size educ age black [aw = 1/renda], robusteststo modelo4Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 31 / 33
Teste de White modificado por Wooldridge
*Estima o modelo por MQP Factível, utilizando weight=1/higen uhat2=uhat^2gen yhat2=yhat^2gen lnuhat2=ln(uhat2)quietly reg lnuhat2 yhat yhat2predict yhat0, xbgen hhat=exp(yhat0)reg poup renda size educ age black [aw = 1/hhat], robusteststo modelo5esttab modelo1 modelo2 modelo3 modelo4 modelo5, star(* 0.10 ** 0.05 ***0.01) se r2 ar2 label
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 32 / 33
Exemplo no STATA
* p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01Standard errors in parentheses
Adjusted Rsquared 0.034 0.034 0.057 0.057 0.050Rsquared 0.083 0.083 0.104 0.104 0.098Observations 100 100 100 100 100
(2830.7) (2931.6) (2351.8) (2126.8) (1751.0)Constant 1605.4 1605.4 1854.8 1854.8 1728.4
(1308.1) (861.1) (844.6) (560.4) (498.6)black 518.4 518.4 137.3 137.3 219.4
(50.03) (43.27) (41.31) (34.20) (32.33)age 0.286 0.286 21.75 21.75 24.55
(117.2) (170.5) (100.5) (111.1) (85.97)educ 151.8 151.8 139.5 139.5 109.9
(223.0) (214.4) (168.4) (121.3) (109.9)size 67.66 67.66 6.869 6.869 5.776
(0.0714) (0.0869) (0.0773) (0.0551) (0.0490)renda 0.109 0.109 0.101 0.101* 0.106**
poup poup poup poup poup (1) (2) (3) (4) (5)
• Provavelmente, além de RLM.5, outras hipóteses de Gauss-Markovforam violadas, em especial a hipótese de média condicional zero do erro.
Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 33 / 33
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