PRACTICA DE GEOMETRIA

ANA HERNANDEZ Página 1

GUIA DE EJERCICIOS

ALGUNAS FORMULAS Expresiones Matemáticas utilizadas en la resolución de Problemas Geométricos.

a) Teorema de Pitágoras

A

En triángulos rectángulos

B C

b) Teorema de Euclides

c) Relaciones Trigonométricas básicas.

d) Ley del Seno.

e) ley del coseno.

b a

c

θ

α β

C

A B

A B C

D

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f) Herón.

EJERCICIOS DE AREAS

1.- Emplée la información dada en la figura para encontrar el valor de la letra según el caso. Todos los triángulos son rectángulos.

2.-Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm.

3.- En los ejercicios que siguen, emplée el triangulo ABC, rectángulo en A (90°) a) Si AB=6 y AC=8, entonces BC= b) Si BC=15 y AB=9, entonces AC=

4.- Si en un triangulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de los catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.

C

B A

D

c

a b

b a

c

θ

α β

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5.-¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo si las longitudes de sus lados son 20 cm y 10 cm respectivamente? 6.- Hallar el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que la medida del ancho es 15 cm y la medida de la diagonal es 20 cm. Verificar usando Herón.

7.- En un triángulo isósceles los lados congruentes miden 45 cada uno y el lado desigual mide 22 unidades. ¿Cuál es el valor de la altura sobre el lado desigual? 8.-Las diagonales de un rombo miden 16cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto mide cada uno de los lados? Calcule el área del rombo.

9.-En la figura siguiente AD = 3 m. y AC = 5 m., el valor de BD es:

10.-En la figura siguiente, CD = 6 cm.; AD = 3 cm. Determinar el área del triángulo

ABC.

11.-

A B C

D

∡ADB = 60

∡BCD = 50

AB = 4cms

AD = ? BD = ?

BC = ? CD = ?

Calcular el area.del ADC

C

D B A

C

D B A

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12.-

E

A B C D

∡BAC = 60 AB = 4 cms AE = 6 cms BC = 1 cm CD = 2 cms ∡ABE = ? ∡AEB = ?∡CBE = ? BC = ? CE = ? ∡BEC = ?∡ECD=? ED=? ∡CDE = ? ∡CED = ?

15.-

A B

C

AB = 6 cms.

BC = 7 cms

AC = 8 cms

∡ABC = ?

∡ACB =?∡BAC = ?

14-

D

A B C

∡ABD = 100. ∡ AB = 3 cms CD = 7cms AD = ? ∡CBD = ? ∡BCD = ? ∡BDC = ? BC = ?

13.-

.-

C

A B

AC = 5

AB = 8

∡BAC = ?

∡ABC = ?

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16.- La base de un rectángulo es el doble que su altura y su perímetro es de 72mts. Halla su área.

18.-Hallar el área de un cuadrado si su perímetro es 24 cms. 19.-Hallar el área de un cuadrado si su diagonal es 8 cms. 20.-Hallar el área de un triangulo que tiene dos lados que miden 7 y 8 cms y forman

.

21.-Hallar el área de un trapecio de altura 7 cms, y cuyos lados paralelos miden 15 y 25 cms c/u 22.-

A B

C

D

17.-.-.-

T

S

K

R

X

90

U

A B D

C E

BDCE es un

rectángulo, BD =

2AB, el ▲ABE es

isósceles de 72 cms2

de área. Calcule el

área del cuadrilátero

ABDE.

18.--

En el triangulo ABC,

se tiene AB = 6cms,

DC = 2√5cms, DB =

2 cms. Cual es el área

del▲ ADC, en cms2.

RS = 24

TS = 10

TU = 20

∡

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23.-

24.- 25.-

ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS

1. En la figura, arco DE = 39º, arco FH = 45º, luego el < ángulo x = a) 42º b) 135º c) 138º d) 90º

2. En la figura el valor de los ángulos α, βson respectivamente: a) 50º y55º b) 50º y100º c) 25º y50º d) 100º y50º

A B

C F

Determinar el área del

trapecio

CD = 10cms

CF = 2cms

AC = 3,6cms BD =

5cms BD

D

18

12

23

X

Hallar X A

B C

D E

4

m

m

3

AC=8∡AEC=90

Área

ADCB=?

F E

F

H D .o x

50° β O

α

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3. En la figura, arco GH=146º; arco EF=31º, entonces el ángulo α=? a) 17,5º b) 27,5º c) 37,5º d) 47,5º e) 57,5º

4. En la figura, AB es diámetro, si el ángulo α=23º, entonces el ángulo β? a) 46º b) 23º c) 11,5º d) 134º

5. En la circunferencia de la figura, arco BC=80º, entonces ángulo EFA? a) 75º b) 25º c) 35º d) 45º e) 55º

F

G α

.

E

H

A B

O

α β

D <EDA=75°

E <EFA= ¿?

C

A

B

F

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6. En la figura <AEB=26 y CD=36, ¿Cuánto mide el arco AB? a) 52º b) 36º c) 88º d) 100º e) 72º

7.-El arco AC de la figura mide 94º y el arco BC mide 108º. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB?

8.-Los segmentos AP y BP son tangentes a la circunferencia en A y B respectivamente, y el ángulo APB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo AOB?

9.- Si el arco AC = 86º y el arco BD mide 144º, ¿cuánto mide el ángulo APD?

A

C

E

D

B

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10.- En la figura, AB es diámetro de la circunferencia y α = 58º. ¿Cuál es el valor de X?

11.- En la figura, AD es diámetro de la circunferencia y los arcos AB, BC, CD y DE son congruentes. ¿Cuál es la medida del ángulo BAE?

12.- En la figura, AB es diámetro de la circunferencia y es paralela a CD. El arco CD mide 106º. ¿Cuánto mide el ángulo BAD?

13.- Los arcos AC y DB de la figura miden 144º y 76º, respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo APC?

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14.- El ángulo ADC de la figura mide 64º y el ángulo APC mide 34º. ¿Cuánto mide el arco BD?

15.- ¿Cuál es la medida del ángulo ACB de la figura?

EJERCICIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS. .

1.-Si un árbol de 20 metros proyecta una sombra de 45 metros, ¿qué sombra proyectar a un árbol de 30 metros? R/67,5. 2.- Un edificio de 95 metros de altura proyecta una sombra de 650 metros, un hombre quiere aprovechar esta situación para calcular su estatura, si su sombra es de 11.60 metros. R/1,7 m. 3.- Una antena proyecta una sombra de 50.4 metros, y un poste de altura 2.54 metros proyecta una sombra de 4.21 metros. ¿Cuánto mide la antena? R/30.41 m. 4.- Una torre proyecta una sombra de 79.42 metros, y un poste de altura 3.05 metros proyecta una sombra de 5.62 metros. ¿Cuánto mide la torre? R/43,1.

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5.- Una antena mide 1.20 metros, otra semejante a ella mide 5 veces la antena original. ¿Cuánto mide la antena más grande? R/6 m. 6.- Un terreno es mide 144 metros cuadrado de área. Otro terreno semejante es 10 más grande en cuanto a área. ¿Cuánto mide el área grande? R/1440 m. 7.-

8.-

9.-

A

B

C

D

E X

Si AD ⊥ AE ⋀ EC ⊥ BC 1.-Demuestre que

△AED ~ △EBC. 2.-Calcular el valor de X (EB), y EC, si AD = 9, DE=15, AE=12, BC=5

A

B

C

D

E

Si AB // DE

1.-Demostrar que el △ ABC ~ △ CDE 2.-Determine la relación de proporcionalidad 3.-Si DE =4, CD=2, BC=6, AB=?

A

B

C

D

F

E

Si AB // DE Demostrar:

1.- △ ABC ~△ CDE 2.-Determinar la relación de proporcionalidad. 3.-Si AC = 3, AD = 2, AB=4, DE =?

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10.-

11.-

12.-

Q P

E Si AB ⊥ AE ⋀ DE ⊥ AE

= 4; EC = x-4; BD = x-3

DA = 3x -19

Hallar el valor de x, si DE // AC

R

Si RQ⊥ PQ ⋀ PQ ⊥ PT

ST ⊥ PR

DEMOSTRAR:

STxRQ = PS xPQ

S

C

B

A

BE = 4; EC = x-4; BD = x-3 DA = 3x -19 Hallar el valor de x, si DE // AC

D E

A B

C

D E

Si AB ⊥ AE ⋀ DE ⊥ AE

Demostrar

1.- △ ABC ~ △DEC 2.-Calcular DB, si AB = 10, DE= 6, AE= 12

A B

C

D E

Si AB ⊥ AE ⋀ DE ⊥ AE Demostrar

1.- △ ABC ~ △DEC 2.-Calcular DB, si AB = 10, DE= 6, AE= 12

T

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13.-

14.-

15.-

B A

E Si AB ⊥ AE ⋀ DE ⊥ AE

= 4; EC = x-4; BD = x-3

DA = 3x -19

Hallar el valor de x, si DE // AC

C

<AGD = 90° y <DFB = 90°

AC = CB DEMOSTRAR GA x DF = GD x FB

D

G F

B A

E Si AB ⊥ AE ⋀ DE ⊥ AE

= 4; EC = x-4; BD = x-3

DA = 3x -19

Hallar el valor de x, si DE // AC

C

<FGD = π y <FBE = δ

∆ADG ~ ∆ CGF DEMOSTRAR Π = δ

D

G F

B A

E Si AB ⊥ AE ⋀ DE ⊥ AE

= 4; EC = x-4; BD = x-3

DA = 3x -19

Hallar el valor de x, si DE // AC

C

DEFG es un cuadrado y < C

es recto. DEMOSTRAR a) ∆ ADG ~ ∆GCF b) ∆ ADG ~ ∆FEB

D E

G F

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EJERCICIOS DE LA ECUACION DE LA RECTA. 1.-Un triángulo tiene por vértices los puntos M (-2,-3) N (1,3) P (4, -2). Calcule la longitud de los tres lados. Determine el perímetro de la figura. Calcular el área por Herón. 2.-Determine la pendiente de la recta que pase por los puntos. a) R (-3,-4) y T (-5,2) b) A (5,-1) y D (-4,-3)

Calcule el ángulo de inclinación α, de una recta cuya pendiente es m= ¾.

3.-Dada la recta L1 de ecuación 3X-4Y-34=0, y el punto P2 (-3,8). Encontrar: La ecuación de la recta L2 que pasa por P2, y es perpendicular a la recta L1.

La intersección de la recta L1 con la recta L2. La distancia más corta del punto P2 a la recta L1.

4.-Clasifique y determine el área de un cuadrilátero cuyas diagonales AC y DB, tiene por puntos extremos las siguientes coordenadas:

A (-1, 2) B (3, 3) C (2, -1) D (-2, -2). Hallar los ángulos internos.

5.-Clasifique y determine el área del cuadrilátero de vértices A (2,4) B (7,3) C (6,-2) D (1,-1)

Determine la ecuación de la mediana de BD en el triángulo DBC. 6.-Clasifique y determine el área del cuadrilátero de vértices A (-2,0) B (0,2)

C (-3,-5) D (3,1). Calcule los ángulos internos. Determine el área del triángulo ABD. En el triángulo ACD determine la ecuación de la altura de DC. Determine las coordenadas del ortocentro del triángulo ACD. 7.-En el triángulo A (7,5) B (3,9) C (-5,1) Derermine el área del triángulo por la formula BxH/2. Y chequear por Herón. 8.-En el triángulo de vértices A (7, -5) B (3, 7) C (-1, -1) Hallar la ecuación de los lados del triángulo. Hallar la ecuación de la altura de AB. Hallar la ecuación de la mediana AB.

Hallar la ecuación de la mediatriz de BC. 9.- Clasifique y determine el área del cuadrilátero de vértices A (2,2) B (5,6)

C (9,9) D (6,5)

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Determine los ángulos internos, y el área del triángulo ABC. 10.-Tres vértices consecutivos de un paralelogramo con V1 (9,-1) V2 (7,5) V3 (1,-7). Hallar la longitud de la diagonal V24. Graficar. 11.-Determinar las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC, sabiendo que A (2,7), B (5,9) y C (2, 7). 12.- Averiguar si el triángulo de vértices A (2,2), B (4,7), C (9,4) es isósceles. 13.- Escribir en la forma reducida, indique la pendiente y el punto de corte con el eje de las Y. a) -6x + 8y = 4 b) 11x + 3y - 39 = 0 c) -6x - 2y = 10 d) -3x - 3y = 9 e) -4x + 2y = 8 14.-Exprese la ecuación en la forma general a) y = 10x - 7 b) y = -3x + 19 c) y = 8x + 6 d) y = 4x + 2 e) y = -5x – 4 15.-determine si los puntos pertenecen a la recta a) x + 3y + 6 = 0 P (3; -3) b) -2x + y +1 = 0 P (2; 6) c) 5x - 2y + 2 = 0 P (0; 1) d) 6x + 2y +1 = 0 P (3; 0) 16.-Determine la ecuación de la recta a) Sean P1 (3; 6) y P2 (1; 4) b) Sean P1 (3; 6) y P2 (1; 2) c) Sean P1 (0; 2) y P2 (4; 1) d) Sean P1 (1; 1) y P2 (2; 3) 17.-Dados los puntos A (-3, 4), B (0,2) y C (-3,2) vértices del ∆ ABC;

a) Determinar las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del ∆ ABC. b) Verificar que el ∆ ABC es un triángulo rectángulo. c) Determinar la ecuación de la recta paralela del lado AB que pasa por el vértice C. d) Calcular el valor de la altura correspondiente al lado AB.

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e) Calcular el área del ∆ ABC. 18.- Dados los puntos A (3,5), B (7, -1), C (- 4, 4) y D (0, -2) ¿Es AB // CD? 19.- Demostrar que los puntos A (1,-3) y C (-3, 7) y D (-6, -1) son los vértices de un paralelogramo. 20.- Escribir la recta que pasa por (8, -2) y que es perpendicular a la recta 5x – 3y = 7.