Getaran 1 derajat kebebasan

Getaran Mekanik, Kuliah 2

GETARAN MEKANIK TEKNIK MESIN STT MANDALA -BANDUNG

Recall dari kuliah sebelumnya

Getaran Mekanik, Kuliah 2

0)()( =+ tkxtxm Persamaan diferensial orde 2

t

x(t)

x(t) = Asin(ωnt + φ)

Solusi diasumsikan harmonik sbg fungsi sinus

Solusi alternatif

Getaran Mekanik, Kuliah 2

x(t) = Asin(ωnt + φ)x(t) = A1 sinωnt + A2 cosωntx(t) = a1e

jωnt + a2e− jωnt

Cartesian form

magnitude and phase form

polar form

22

)(

tan,

212

211

212211

2

1122

21

jAAajAAa

jaaAaaAAAAAA

+=

−=

−=+=

=+= −φ

1−=j

Redaman viskos

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

Dalam model massa pegas sebelumnya: getaran terjadi tak berhenti Dalam kenyataan, getaran akhirnya berkurang dan akhirnya berhenti, maka terdapat sesuatu yang meredam getaran tersebut (mendisipasikan energi) maka dibuatlah model redaman viskos untuk merepresentasikan pengurang getaran tsb

)()()( txctcvtfc −=−=

x

fc

Damper (c)

Gaya redaman tsb

c=konstanta redaman

Sistem massa-pegas-peredam

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

M

k x

c

DBB

0)()()( =++ tkxtxctxm

x(t) = aeλtSolusi untuk persamaan gerak ini adalah

t

t

aetxaetx

λ

λ

λ

λ2)(

)(=

=

Solusi persamaan gerak (lanjutan)

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

0)()()( =++ tkxtxctxm

x(t) = aeλt

t

t

aetxaetx

λ

λ

λ

λ2)(

)(=

=

aeλt ≠ 0 ⇒ (λ2 + cλm +ωn

2) = 0

0)( 2 =++ kcmae t λλλ

1

0)2(2

22,1

22

−±−=

=++

=

ζωζωλ

ωλζωλ

ζ

nn

nn

kmcRasio redaman

Persamaan gerak Persamaan kwadrat

Akar akar

Kemungkinan 1: gerak teredam kritis

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

λ1,2 = −1ωn ±ωn 12 −1 = −ωn

x(t) = a1e−ωnt + a2te

−ωnt

nr mkmcc ωζ 221 ===⇒=

Redaman kritis terjadi jika λ=1, koefisien redaman c menjadi koefisien red kritis

Akar berulang dan real

Solusi :

Gerak teredam kritis

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

x = (a1 + a2t)e−ωnt

⇒ a1 = x0

v = (−ωna1 − ωna2t + a2 )e−ωnt v0 = −ωna1 + a2

⇒ a2 = v0 + ωnx0

0 1 2 3 4 -0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Time (sec)

Dis

plac

emen

t (m

m)

k=225N/m m=100kg and ζ=1

x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s

a1 dan a2 dpt diperoleh dari kondisi awal

Tidak terjadi osilasi - Mekanisme pintu, sensor analog

Kemungkinan 2: overdamped

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

λ1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1

x(t) = e−ζωn t(a1e−ωn t ζ 2 −1 + a2e

ωn t ζ 2 −1)

a1 = −v0 + ( −ζ + ζ 2 −1)ωnx0

2ωn ζ 2 −1

a2 =v0 + (ζ + ζ 2 −1)ωnx0

2ωn ζ 2 −10 1 2 3 4

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Time (sec)

Dis

plac

emen

t (m

m)

k=225N/m m=100kg and z =2

x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s

Overdamped terjadi jika ζ>1. akar-akar persamaan real dan berbeda.

Respon lebih lambat dibandingkan kasus redaman

kritis

Kemungkinan 3: teredam

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

λ1,2 = −ζωn ±ωn j 1−ζ 2

x(t) = e−ζωn t(a1ejωn t 1−ζ 2

+ a2e− jωnt 1−ζ 2

) = Ae−ζωn t sin (ωdt +φ)

ωd = ωn 1− ζ 2 (1.37)

Kasus teredam terjadi jikaζ<1. Akar dari persamaan adalah pasangan bilangan kompleks. Ini adalah kasus yang paling sering terjadi dan satu2nya kasus yang menyebabkan osilasi.

Frekuensi pribadi teredam

Getaran teredam

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

A = 1ωd

(v0 +ζωnx0)2 + (x0ωd)2

φ = tan−1 x0ωd

v0 +ζωnx0

0 1 2 3 4 5 -1

-0.5

0

0.5

1

Time (sec)

Dis

plac

emen

t

• Menyebabkan respons berosilasi dengan penurunan exponensial

• Hampir semua sistem getaran alami respons teredam seperti ini

Penurunan exponensial

12/43

jika c = 0.11 kg/s, tentukan rasio redaman dari sistem massa pegas peredam

jika:

gerak

0085.0kg/s 12.993

kg/s 11.0=

kg/s 993.12 8.857102.4922

N/m 8.857 kg, 102.493

3

dunderdampecc

kmc

km

cr

cr

⇒==

=××==

=×=−

−

ζ

Contoh

Latihan

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

Kaki manusia mempunyai frekuensi pribadi sekitar 20 Hz dalam keadaan kaku dalam arah longitudinal (lurus) dengan rasio redaman ζ = 0.224. Hitunglah respons ujung kaki terhadap kecepatan awal v0 = 0.6 m/s dan perpindahan awal nol dan plot responsnya. Berapakah percepatan maksimum yang dialami oleh kaki jika diasumsikan tanpa redaman?

Solusi

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

ωn = 201

cycless

2π radcycles

= 125.66 rad/s

ωd =125.66 1− .224( )2 = 122.467 rad/s

A =0.6 + 0.224( ) 125.66( ) 0( )( )2 + 0( ) 122.467( )2

122.467= 0.005 m

φ = tan-1 0( ) ωd( )v0 +ζω n 0( )

= 0

⇒ x t( )= 0.005e−28.148t sin 122.467t( )

Solusi

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

( ) ( )( ) 2222

0

00

2

020

m/s 396.75m/s 66.1256.06.0max

m6.0m

0 ,6.0 ,66.125 ,

==

−=−=

==

===

+=

nnn

nn

nn

Ax

vA

xvvxA

ωωω

ωω

ωω

maximum acceleration = 75.396 m/s2

9.81 m/s 2 g = 7.68g' s

Plot solusi persamaan gerak