1.1

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

PROVE TRIASSIALIPROVE TRIASSIALI

1.2

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tipologie di provaTipologie di provaσ1

σ2

σ3

σ1

σ3

σ3

σ1

σ2

σ1

σ1

σ1

σ1

Compressionetriasiale vera

Stato piano di compressione

Compressione isotropa

Compressione cilindrica(triassiale)

Compressione semplice

1.3

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensore della tensioneTensore della tensione

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

jjii

nnn

ttt

nt

στττστττσ

σ

y

z

x

tr

nr

Tetraedro di Cauchy

1.4

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensioni principaliTensioni principali

σ2

σ3

σ1

Stato tensionale piano

Stato tensionale isotropo

Stato tensionale assialsimmetrico

1.5

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Convenzioni di segno per le tensioniConvenzioni di segno per le tensioni

y

z

x

σy

τyz

τyxτxy

τxz

σx

τzy

σz

τzx

y

z

x

σy

τyz

τyxτxy

τxz

σx

τzy

σz

τzx

Meccanica dei solidi Meccanica dei terreni

1.6

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Invarianti del tensore delle tensioniInvarianti del tensore delle tensioni

( ) ( )[ ]

3213

13322122

2

3211

det

21

σσσσ

σσσσσσσσσσσσ

σσσσσ

==

++=−=−=

++===

I

trtrI

trI

ijijjjii

ii

1.7

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Decomposizione del tensore della tensioneDecomposizione del tensore della tensione

−−

−+

=

pp

p

pp

p

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

στττστττσ

στττστττσ

000000

331 1Ip ii == σ

ijijij sp += δσ

tensore dellapressione media

deviatore di tensione

Pressione media

1.8

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensione ottaedrica (1)Tensione ottaedrica (1)

( )( )( )

=

=

333

313131

00

0000

3

2

1

3

2

1

σσσ

σσ

σ

zoct

yoct

xoct

ttt

σ2

3

1,3

1,3

1nr

σ3

σ1

octtr

σoct

τoct

( )32131 σσσσ ++=⋅= ntoctoct

rr

222octoctoct tr

=+τσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )213

232

221

2321

23

22

21 3

191

31 σσσσσσσσσσσστ −+−+−=++−++=oct

1.9

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensione ottaedrica (2)Tensione ottaedrica (2)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 031

31

31

222

321

=−+−+−=

++=++=

pppppp

ppp

oct

oct

τ

σσσσ

Per il tensore della pressione media:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )213

232

221

321

31

031

σσσσσστ

σσσσ

−+−+−=

=−+−+−=

oct

oct ppp

Per il deviatore delle tensioni:

σoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensioneτoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensione

1.10

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensione ottaedrica (3)Tensione ottaedrica (3)

( )

221133221

23

22

21

1321

332

32

331

II

I

oct

oct

−=−−−++=

=++=

σσσσσσσσστ

σσσσ

Le tensioni ottaedriche sono invarianti di tensione

( )

( ) ( ) ( )213

232

221

321

21

23

31

σσσσσστ

σσσσ

−+−+−==

++==

oct

oct

q

p

Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:

1.11

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Stati di tensione assialsimmetrici Stati di tensione assialsimmetrici

q

σ3+∆σ

p’,p

σ3+∆σ

σ3+∆σ’

σ’3 σ’3+∆σ σ3 σ3+∆σ

uw=cost.

uw.

q

σ3

p’,p

σ3+∆σ

σ3

σ’3 σ’3+∆σ/3 σ3 σ3+∆σ/3

uw=cost.

uw.

( )

( )

qq

upp

p

w

=−=−=

+=+=

+=

3131

31

31

'''

'231

'2'31'

σσσσ

σσ

σσ

1.12

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

CerchioCerchio di Mohrdi Mohrσy

τxy

σx

τyx

y

x

σn

τn

α(σx,τxy)

σn

τn

(σy,τyx)

(σy,τyx)

P=polo

τn positiva se suggerisce rotazioneantioraria

α

1.13

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

StatiStati tensionalitensionali pianipiani

σ’1σ’3 σ’, σ

τ

σ1σ3

u

2

2

2'''

2'''

31

31

31

31

σσ

σσ

σσ

σσ

−=

+=

−=

+=

t

s

t

s (raggio)

(centro)

''ttuss

=+=

t’

s’

1.14

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

TensoreTensore delladella deformazionedeformazione

=

=

zyx

sss

xs

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

jjii

εγγ

γεγ

γγε

ε

21

21

21

21

21

21

y

z

x

sr

xr

1.15

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

InvariantiInvarianti di di deformazionedeformazione

( ) ( )[ ]

3213

13322122

2

3211

det

21

εεεε

εεεεεεεεεεεε

εεεεε

==

++=−=−=

++===

I

trtrI

trI

ijijjjii

ii

1.16

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Decomposizione del tensore della Decomposizione del tensore della deformazionedeformazione

−

−

−

+

=

321

21

21

321

21

21

3

300

03

0

003

21

21

21

21

21

21

vzyzxz

zyv

yxy

zxyxv

x

v

v

v

zyzxz

zyyxy

zxyxx

εεγγ

γεεγ

γγεε

ε

ε

ε

εγγ

γεγ

γγε

1Iiiv == εε

ijijv

ij e+= δεε3

tensore isotropo deviatore di deformazione(distorsione)

Deformazione volumetrica

1.17

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Deformazione ottaedrica (1)Deformazione ottaedrica (1)

( )( )( )

=

=

333

313131

00

0000

3

2

1

3

2

1

εεε

εε

ε

zoct

yoct

xoct

sss

ε2

3

1,3

1,3

1nrε3

ε1

octsr

εoct

(1/2)γoct

( )321311 εεεε ++=⋅=⋅ nsoctoct

rr

222

4111 octoctoct sr=

⋅+⋅ γε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )213

232

221

2321

23

22

21 3

291

312 εεεεεεεεεεεεγ −+−+−=++−++=oct

31,

31,

31xr

1.18

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Deformazione ottaedrica (2)Deformazione ottaedrica (2)

( )

03333333

2

31

33331

222

321

=

−+

−+

−=

++=

++=

vvvvvvoct

vvvoct

εεεεεεγ

εεεεεεε

Per il tensore della deformazione media:

( ) ( ) ( )213

232

221

321

32

03333

1

εεεεεεγ

εεεεεεε

−+−+−=

=

−+

−+

−=

oct

vvvoct

Per il deviatore della deformazione:

εoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioniγoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioni

1.19

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Deformazione ottaedrica (3)Deformazione ottaedrica (3)

( )

221133221

23

22

21

1321

33

223

2233

1

II

I

oct

oct

−=−−−++=

=++=

εεεεεεεεεγ

εεεε

Le deformazioni ottaedriche sono invarianti di deformazione

( ) ( ) ( )213

232

221

321

32

21

3

εεεεεεγε

εεεεε

−+−+−==

++==

octq

octv

Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:

1.20

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Lavoro di deformazione (terreno saturo)Lavoro di deformazione (terreno saturo)F1

F2

F3

a2

a3

a1

( ) ( ) ( ) ( )

vw

ww

ww

uVW

VVu

aa

aaF

aa

aaF

aa

aaF

VW

VuaFaFaFW

δεδεσδεσδεσδ

δδδδδ

δδδδδ

−++=

−

−+

−+

−=

−−+−+−=

332211

3

3

21

3

2

2

31

2

1

1

32

1

332211

332211 ''' δεσδεσδεσδ++=

VW

1.21

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Variabili coniugate (stati di tensione e Variabili coniugate (stati di tensione e deformazione assialsimmetrici) deformazione assialsimmetrici)

( )

31

31

'''

'2'31'

σσ

σσ

−=

+=

q

p

( )31

31

32

2

εεε

εεε

−=

+=

q

v

( ) ( ) ( )VWqp qv

δδεσδεσεεσσεεσσδεδε =+=−−++

+

=+ 331131313131 '2'

32''2

3'2''

1.22

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Condizioni al contorno nelle prove di Condizioni al contorno nelle prove di laboratoriolaboratorio

• Controllo/misura degli spostamenti totali

• Controllo/misura delle forze totali

• Controllo/misura delle pressioni dell’acqua interstiziale

• Controllo/misura del volume dell’acqua interstiziale

1.23

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

LL’’apparecchiatura triassialeapparecchiatura triassiale

σc

F

δ

trasduttore di pressione

Volumometro

rubinetto

pressione di cella

cella di carico

δV

ua

membrana

trasduttore di spostamento

1.24

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Prova in condizioni drenate Prova in condizioni drenate

L’acqua può liberamente uscire o entrare dal provino per garantire l’equilibrio con la pressione dell’acqua nella buretta (uw≅0)I volumi di acqua entranti o uscenti dal provino sono misurati mediante la buretta (la variazione del volume dell’acqua coincide con la variazione del volume totale)

σc

F

δ

APERTO

δV

ua

1.25

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Prova in condizioni non drenate Prova in condizioni non drenate

σc

F

δ

CHIUSO

L’acqua non può uscire o entrare nel provino ed il volume si mantiene costante.La variazione di pressione interstiziale è misurata mediante il trasduttore di pressione

δV

ua

1.26

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensioni e deformazioni in Tensioni e deformazioni in una prova triassialeuna prova triassiale

Pressione assialeσa=σc (1-a/A)+F/A

Pressione radiale σr=σc

D + ∆D

Deformazione radialeεr = -∆D/D

H + ∆H

Deformazione assialeεa = -∆H/H

1.27

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Invarianti di tensione e deformazioneInvarianti di tensione e deformazione

( )

31

31

'''

'2'31'

σσ

σσ

−=

+=

q

p( )31

31

32

2

εεε

εεε

−=

+=

q

v

( )

'

'231

31

31

qq

upp w

≡−=

+=+=

σσ

σσ

Tensione efficace

Tensione totale

Deformazione

1.28

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Le condizioni iniziali di un provino triassialeLe condizioni iniziali di un provino triassiale

uw0< 0 σ’r = -uw0 >0 ;

La pressione efficace deve essere positiva perché il provino possa autosostenersi

Poiché la pressione totale è nulla, ne consegue che la pressione interstiziale ènegativa

uw0< 0 σr =0 ;

σa = 0 σ’a= -uw0 >0 ;

Tensioni totali Tensioni efficaci

1.29

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Saturazione di un provino triassialeSaturazione di un provino triassiale

uw≅0 σr >0

σa = σr >0

Se ∆σr=∆σa=∆σ ed il campione è saturo:

∆uw=∆σ

1.30

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Applicazione della pressione isotropa in Applicazione della pressione isotropa in condizioni drenatecondizioni drenate

uw= cost. σr +∆σ

∆σa = ∆σr = ∆σ

La pressione interstiziale assume il valore imposto dalle condizioni al contorno. La variazione di pressione di cella coincide con la variazione di pressione efficace, sia radiale, sia assiale

σa +∆σ

uw= cost.

σ’a +∆σ

σ’r +∆σ

Tensioni totali Tensioni efficaci

1.31

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Applicazione della pressione isotropa in Applicazione della pressione isotropa in condizioni non drenatecondizioni non drenate

La pressione interstiziale si incrementa di un valore pari al’incremento della pressione di cella. Lo stato tensionale efficace non varia.

uw0. σr +∆σ

σa +∆σ

uw0+∆σ.

σ’a

∆σa = ∆σr = ∆σ

σ’r

Tensioni totali Tensioni efficaci

1.32

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Applicazione dello sforzo deviatorico in Applicazione dello sforzo deviatorico in condizioni drenatecondizioni drenate

La pressione interstiziale si mantiene sempre costante. La pressione di cella e quindi la pressione efficace radiale σ’r è mantenuta costante e viene incrementata la pressione assiale σa e quindi q

uw= cost. σr

∆σa >0, ∆σr = 0

σa +∆σ

uw= cost.

σ’a +∆σa

σ’r

Tensioni totali Tensioni efficaci

1.33

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Applicazione dello sforzo deviatorico in Applicazione dello sforzo deviatorico in condizioni non drenatecondizioni non drenate

La pressione interstiziale varia. La pressione efficace radiale σ’r e la pressione efficace assiale σ’a variano in funzione della variazione della pressione dell’acqua interstiziale. Lo sforzo deviatorico q si incrementa

uw0. σr

σa +∆σ

uw0+∆uw.

σ’a +∆σa-∆uw

σ’r -∆uw

∆σa >0, ∆σr = 0

Tensioni totali Tensioni efficaci

1.34

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Prova consolidata drenata (CD)Prova consolidata drenata (CD)

p’,p

q,q’

Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. 3=∆∆pq

Fase di taglio

∆uw=0 3'=

∆∆pq

Efficaci

Totali 1

2

3

Saturazione

Consolidazione

Taglio1 2

3

1

3

1 2

3

1.35

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

p’,p

q,q’

Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. 3=∆∆pq

Fase di taglio

∆uw≠0 3'≠

∆∆pq

Efficaci

Totali 1

2

3

Saturazione

Consolidazione

Taglio1 2

3

1

3

1 2

3

Prova consolidata non drenata (CU)Prova consolidata non drenata (CU)

1.36

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

p’,p

q,q’

Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. 3=∆∆pq

Fase di taglio

∆uw≠0 3'≠

∆∆pq

Efficaci

Totali

2

3

Consolidazione

Taglio

2

3

1

3

2

3

Prova non consolidata non drenata (UU)Prova non consolidata non drenata (UU)

1.37

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Risposta dei terreni ad elevata porositRisposta dei terreni ad elevata porositàà in in condizioni drenatecondizioni drenate

q

εa

εv = ∆V/V

εa

La risposta è del tutto simile a quella osservata in prove di taglio diretto, con la varabile q in luogo della variabile τ.

1.38

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Risposta dei terreni a bassa porositRisposta dei terreni a bassa porositàà in in condizioni drenatecondizioni drenate

q

εa

εv = ∆V/V

εa

La risposta è del tutto simile a quella osservata in prove di taglio diretto, con la varabile q in luogo della variabile τ.

1.39

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Percorsi nei piani di tensione e di Percorsi nei piani di tensione e di compressione in prove drenatecompressione in prove drenate

p’

q’

1

3

p’

v

1.40

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Risposta dei terreni a elevata porositRisposta dei terreni a elevata porositàà in in condizioni non drenatecondizioni non drenate

q

εa

uw

εa

Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe a diminuire. Poiché il volume è forzato a mantenersi costante, l’acqua reagisce quindi incrementando la sua pressione. La pressione efficace e, quindi la resistenza, diminuisce.

1.41

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Risposta dei terreni a bassa porositRisposta dei terreni a bassa porositàà in in condizioni non drenatecondizioni non drenate

uw

q

εa

εa

Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe ad aumentare. Poiché il volume è forzato a mantenersi costante, l’acqua reagisce diminuendo la sua pressione. La pressione efficace e, quindi la resistenza, aumenta.

1.42

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Percorsi nei piani di tensione e di Percorsi nei piani di tensione e di compressione in prove non drenatecompressione in prove non drenate

p’

q’

1

3

p’

v

1.43

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Stato criticoStato critico

p’

q’

1

3

p’

v

q=Mp’

v=Γ-λ ln p’

1.44

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Previsione della resistenza ultima Previsione della resistenza ultima Condizioni drenate

q=Mp’

v=Γ-λ ln p’

q=3(p’-p’0)

p’

q’

13

p’

vp’0

Condizioni non drenate

q=Mp’

p’

q’

p’

vp’0

v=Γ-λ ln p’

v=cost.

1.45

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Inviluppi di rottura Inviluppi di rottura (condizioni drenate e non drenate)(condizioni drenate e non drenate)

τ

σ’

resistenza di picco

τ

σ’

resistenza ultima

σ’aσ’r

σ’aσ’r

Gli inviluppi di rottura richiedono la costruzione dei cerchi di Mohr ed hanno un andamento simile a quello osservato in prove di taglio diretto.

1.46

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Criterio di resistenza di MohrCriterio di resistenza di Mohr--CoulombCoulomb

σ’

resistenza di picco

resistenza ultima

φ’

φ’φ’ultimo

c’c’

τ

τ = σ’ tan φ’ultimoresistenza ultima:

resistenza di picco τ = c’ + σ’ tan φ’

1.47

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Previsione della resistenza in Previsione della resistenza in condizioni non drenatecondizioni non drenate

Analisi in termini di pressioni efficaci

τ = c’ + (σ−uw0-∆uw) tan φ’

E’ necessario prevedere l’incrementodella pressione interstiziale ∆uw

Analisi in termini di pressioni totali

τ = cu + σ tan φu

Caratterizzo la resistenza in termini di tensioni totali a condizioni di eseguireprove che rispettinoi il vincolo di condizione non drenata (volume costante)

1.48

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Resistenza a taglio in condizioni non drenate Resistenza a taglio in condizioni non drenate

Prove UU applicandodifferenti pressioni di cella

1.49

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Inviluppi di rottura in C.N.D. Inviluppi di rottura in C.N.D.

σ

τ

σ’aσ’r σaσr

cu

Se il terreno è saturo, dopo l’applicazione della pressione di cella, lo stato tensionaleefficace dei tre campioni non cambia. Ne consegue che qualunque sia la pressione di cella σr=σc, il provino si trova sempre nelle stesse condizioni. Lo sforzo deviatorico che determina la rottura è quindi lo stesso qualunque sia la pressione di cella. Questo dà luogo ad un inviluppo costante in termini di pressioni totali

1.50

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Criterio di resistenza di MohrCriterio di resistenza di Mohr--Coulomb in Coulomb in termini di tenzioni totali (c.n.d.)termini di tenzioni totali (c.n.d.)

τ = cu

σ

τ

cu

In condizioni non drenate, si assume che la resistenza sia indipendente dalla pressione totale σ.