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Ebene Geometrie Formeln und Begriffe

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Geometrie – Begriffe und Formeln

Geometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wörtern „geo“ (Erde) und „metrein“ (messen) zu-sammen, bedeutet ursprünglich „Erdvermessen“. Alle Gegenstände unseres Universums sind dreidi-mensionale Körper. Körper werden durch Flächen begrenzt; Flächen stoßen in Kanten aufeinander, welche durch gerade oder gekrümmte Linien gebildet werden; Kanten laufen in Ecken (= Punkte) zusammen.

Ebene Geometrie

Grundbegriffe Grundbegriffe der ebenen Geometrie sind ein Punkt, eine Gerade und eine Ebene. Diese Begriffe Punkt, Gerade und Ebene werden nicht definiert, es werden grundlegende Sätze (Axiome) angegeben, die diese Begriffe zuei-nander in Beziehung setzen. Strahl (oder auch Halbgerade): Ein Strahl ist ein einseitig begrenztes Geradenstück, er be-sitzt einen Anfangspunkt P.

Strecke: Eine Strecke ist ein zweiseitig be-grenztes Geradenstück, sie hat zwei Endpunk-te. AB bezeichnet die Strecke mit den End-punkten A und B, ̅̅ ̅̅ bezeichnet ihre Länge.

Parallele Geraden: Zwei Geraden g und h hei-ßen parallel, wenn sie keinen Punkt gemein-sam haben oder zusammenfallen. Man schreibt g || h. Flächeninhalt: Der Flächeninhalt A ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Der Flächeninhalt A wird oft Fläche A genannt. Das Formelzei-chen A leitet sich vom Lateinischen "area" ab und bedeutet Grundfläche. Die Einheiten ei-ner Fläche sind z.B. m², cm², mm² etc. 1 Quadratzentimeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 cm. 1 Quadratdezimeter ist der Flächeninhalt ei-nes Quadrates mit der Seitenlänge 1 dm. 1 Quadratmeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 m. Usw… Rechtwinkeliges (kartesisches) Koordinaten-system: Ein rechtwinkliges Koordinatensys-tem besteht aus zwei Geraden, die aufeinan-der normal stehen. Die horizontal liegende Gerade wird als x-Achse oder auch

als Abszisse (vom lateinischen Wort abscisus = abgebrochen) bzw. als 1. Koordinatenachse bezeichnet. Die senkrecht liegende Gerade wird als y-Achse oder auch als Ordinate (vom lateinischen Wort ordinatus = geordnet) bzw. als 2. Koordinatenachse bezeichnet.

Winkel: Zwei Strahlen mit gemeinsamen An-fangspunkt S bestimmen einen Winkel. Die beiden Strahlen heißen Schenkel, S heißt Scheitel des Winkels. Bezeichnung: ∠CAB oder durch griechische Kleinbuchstaben: α, β, γ...

Winkelpaare:

Es gilt: Nebenwinkel betragen zusammen 180°. Scheitelwinkel sind gleich groß. Parallelwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, nennt man Parallel-

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winkel.

Normalwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen heißen Normalwinkel.

Es gilt: Parallelwinkel und Normalwinkel sind gleich groß oder supplementär. Komplementärwinkel betragen zusammen 90°. Supplementärwinkel betragen zusammen 180°. Kongruenzabbildung: Unter ei-ner Kongruenzabbildung versteht man ei-ne geometrische Abbildung, bei der Form und Größe von beliebigen geometrischen Figuren nicht verändert werden, das heißt jede Figur wird dabei auf eine zu ihr kongruente (=deckungsgleich) abgebildet. Es gibt folgende Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung

Drehung

Punktspiegelung (Drehwinkel = 180°)

Parallelverschiebung oder Translation

Schubspiegelung: Schubspiegelungen setzen sich aus einer Verschiebung und einer Achsen-spiegelung zusammen. Die Reihenfolge ist dabei egal.

Symmetrie Eine ebene Figur heißt symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es eine Achsenspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Die Gerade heißt Symmetrieachse oder Spiegelungsachse.

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Eine Figur heißt punktsymmetrisch oder zent-ralsymmetrisch, wenn es eine Punktspiege-lung an einem Punkt Z gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn es eine Drehung um einen Punkt Z mit einem Drehwinkel α ≠ 360° gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Eine Figur heißt verschiebungssymmetrisch, wenn es eine Verschiebung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Eine Figur heißt schubspiegelsymmetrisch, wenn es eine Schubspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Das Dreieck Allgemeines Dreieck

Bezeichnungen: A, B, C Eckpunkte a, b, c Seiten α, β, γ Innenwinkel α1, β1, γ1 Außenwinkel Für jedes Dreieck gilt: Dreiecksungleichungen: Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die dritte: a + b > c b + c > a a + c > b Winkelsummensatz: Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

180

Die Summe der Außenwinkel beträgt 360°. 360111

Formeln für den Flächeninhalt:

222

cba hchbhaA

r

cbaA

4

csbsassA

(Formel von Heron) sA

sin2

sin2

sin2

acbcab

A

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Einteilung von Dreiecken Nach der Seitenlänge:

ungleichseitig a≠b≠c α≠β≠γ

gleichschenkelig a,b… Schenkel c…Basis a=b≠c α=β≠γ

gleichseitig a=b=c α=β=γ=60° Nach den vorkommenden Winkeln:

spitzwinkelig α<90° β<90° γ<90°

rechtwinkelig γ =90° a,b…Katheten c…Hypotenuse p,q…Hypotenusenabschnitte γ=90° α<90° β<90°

rechtwinkelig-gleichschenkelig a=b≠c γ=90° α=β=45°

stumpfwinkelig 90°<γ<180° α<90° β<90° Besondere Linien und Punkte im Dreieck: Höhen, Höhenschnittpunkt

ha…Höhe auf die Seite a, ha⏊a hb…Höhe auf die Seite b, hb⏊b hc…Höhe auf die Seite c, hc⏊c

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Fa, Fb, Fc…Höhenfußpunkte H…Höhenschnittpunkt = Schnittpunkt der Höhen Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck außerhalb der Dreiecksfläche. Beim rechtwinkeligen Dreieck ist er der Scheitel des rechten Winkels. Seitensymmetralen, Umkreismittelpunkt, Umkreisradius

ma…Seitensymmetrale der Seite a mb… Seitensymmetrale der Seite b mc… Seitensymmetrale der Seite c Ma, Mb, Mc…Mittelpunkte der Seiten a, b, c U…Umkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Seitensymmetralen Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck außerhalb der Dreiecksfläche. Beim rechtwinkeligen Dreieck ist er der Mittelpunkt der Hypotenuse.

r= AU = BU = CU =

…Umkreisradius

(A=Flächeninhalt des Dreiecks) Schwerlinien, Schwerpunkt

sa, sb, sc…Schwerlinien Jede Schwerlinie teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Teile.

Ma, Mb, Mc…Mittelpunkte der Seiten a, b, c S…Schwerpunkt = Schnittpunkt der Schwerlinien Er liegt stets innerhalb des Dreieckes und teilt jede Schwerlinie innen im Verhältnis 2:1

(z.B.: AS : SMa = 2:1)

Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt, Inkreisradius

wα…Winkelsymmetrale des Winkels α wβ… Winkelsymmetrale des Winkels β wγ… Winkelsymmetrale des Winkels γ D, E, F…Berührungspunkte des Inkreises mit den Seiten des Dreiecks: a=y+z, b=x+z, c=x+y I…Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelsymmetralen Er liegt stets innerhalb des Dreiecks

ρ= DI = EI = FI =

…Inkreisradius (

, A = Dreiecksfläche)

Kongruenz Vielecke, die nicht nur in der Form, sondern auch in der Größe übereinstimmen, heißen kongruent (=deckungsgleich). Kongruenzsätze Dreiecke sind kongruent, wenn sie über-einstimmen

in einer Seite und zwei Winkeln oder

in zwei Seiten und dem eingeschlos-senen Winkel oder

in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel o-der

in den drei Seiten.

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Ähnliche Vielecke Vielecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis entsprechender Seiten oder in den entspre-chenden Winkeln übereinstimmen. Symbol: (~) Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke ΔABC und ΔDEF (ΔABC ∼ ΔDEF) sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen

in zwei Winkeln oder

im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder

im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite oder

im Verhältnis der drei Seiten. Ähnliche Dreiecke werden durch entspre-chende Höhen oder Winkelhalbierenden oder Seitenhalbierenden in ähnliche Dreiecke zer-legt. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich entsprechende Höhen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden wie ein Paar entspre-chender Seiten. Die Umfänge ähnlicher Drei-ecke verhalten sich wie ein Paar entsprechen-der Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhalbieren-den usw.):

kccbbaauu 21212121 ::::

(Ähnlichkeitsverhältnis, Linearvergrößerung) Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhal-ten sich wie die Quadrate zweier entspre-chender Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhal-bierenden usw.).

222

21

22

21

22

2121 :::: kccbbaaAA (k

siehe oben!) Ähnlichkeitslage Ähnliche Vielecke sind in Ähnlichkeitslage, wenn entsprechende Seiten parallel sind und entsprechende Punkte auf Strahlen eines Strahlenbüschels liegen. Der Scheitel S des Strahlenbüschels heißt Ähnlichkeitspunkt.

Strahlensätze 1. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einem Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf jedem anderen Strahl.

321

321321

::

::::

SCSCSC

SBSBSBSASASA

32211

3221132211

CC:CC:SC

BB:BB:SBAA:AA:SA

2. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den Paral-lelen wie die entsprechenden Scheitelstrecken auf irgendeinem Strahl.

321332211

321332211

::::

::::

SCSCSCCBCBCB

SASASABABABA

usw.

Sätze über das rechtwinkelige Dreieck Rechtwinkliges Dreieck:

rechtwinkelig γ =90° a,b…Katheten c…Hypotenuse p,q…Hypotenusenabschnitte γ=90° α<90° β<90°

22

bahcA c

Pythagoräischer Lehrsatz1 Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der beiden Quadrate über den Katheten:

222 bac

1 Auch die Schreibweise „Pythagoreischer Lehrsatz“ ist richtig.

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Der Kathetensatz (Euklid) Das Quadrat über der Kathete eines recht-winkligen Dreiecks ist flächengleich dem Rechteck, gebildet aus Hypotenuse und anlie-gendem Hypotenusenabschnitt:

qcb

pca

2

2

Der Höhensatz (Euklid) Das Quadrat über der Höhe eines rechtwinkli-gen Dreiecks ist flächengleich dem Rechteck, gebildet aus den beiden Hypotenusenab-schnitten:

qph 2

Pythagoräische Zahlentripel:

22

22

2

qpc

qpb

pqa

wobei p > q

p q a b c

2 1 4 3 5

3 1 6 8 10

4 1 8 15 17

5 1 10 24 26

3 2 12 5 13

4 2 16 12 20

5 2 20 21 29

4 3 24 7 25

5 3 30 16 34

5 4 40 9 41

… … … … …

Man erhält weitere pythagoräische Zahlentri-pel, wenn man die in obiger Tabelle zusam-

mengehörenden Werte a, b, c durch a, b,

c ersetzt. Das gleichseitige Dreieck:

34

32

2

aA

ah

Satz von Thales Sei k ein Halbkreis über der Strecke AB. Liegt der Eckpunkt C eines Dreiecks ABC auf k, so hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

Trigonometrie des rechtwinke-ligen Dreiecks

γ =90° c = AB Hypotenuse

a = BC Gegenkathete zu

b = AC Ankathete zu

= 90 – Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

sin

cos

tan

1cot

cos

sintan

cos

sin

zuteGegenkathe

zuAnkathete

zuAnkathete

zuteGegenkathe

Hypotenuse

zuAnkathete

Hypotenuse

zuteGegenkathe

Besondere Funktionswerte:

= 0 30 45 60 90

sin 0 2

1

2

2

2

3 1

cos 1 2

3

2

2

2

1 0

tan 0 3

3 1 3

cot 3 1 3

3 0

Das Viereck Bei jedem Viereck ist die Summe der Innen-

winkel gleich 360. Das Parallelogramm

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A = aha = bhb (Grundlinie mal zugehörige Höhe)

+ = + = + = + = 180 Die Diagonalen halbieren einander. Das Rechteck

A = ab

d = 22 ba

Die Diagonalen halbieren einander. Das Quadrat A = a²

d = 2a Die Diagonalen halbieren einander und stehen aufeinander normal. Das Trapez

hmhca

A

2

Der Rhombus (= die Raute)

2

feA

Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht, halbieren einander und halbieren auch die Rhombuswinkel. Das Sehnenviereck

180

180

A s a s b s c s d

wobei u a b c d

s2 2

.

Das Tangentenviereck

a + c = b + d

A = s Das Deltoid (Drachenviereck)

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2

feA

Vieleck (Polygon) Die Winkelsumme beträgt (n-2)· 180°, wenn n die Eckenanzahl des konvexen Vielecks ist. Regelmäßige Vielecke Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle seine Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Jedem regelmäßigen Vieleck kann ein Umkreis und ein Inkreis eingeschrieben werden.

Der Kreis und Kreisteile Kreis: Ein Kreis ist definiert durch die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M (=Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (=Radius) haben. Sehne s: Verbindungsstrecke zweier Kreis-punkte Durchmesser d: Jede Sehne durch den Kreis-mittelpunkt: d=2r Kreistangente: Steht normal auf den Kreisra-dius im Tangentenberührpunkt Der Satz vom Zentri- und Peripheriewinkel: Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie jeder beliebige Peripheriewinkel über demselben Bogen (über derselben Sehne).

Der Satz vom Sehnentangentenwinkel Der Sehnentangentenwinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel über demselben Bogen, folglich gleich dem Peripheriewinkel über demselben Bogen. Kreiszahl π = 3,1415927… beschreibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu sei-nem Durchmesser. Kreisumfang:

u = 2r Kreisbogen:

180

rb für in Altgrad

rb für im Bogenmaß

Kreisfläche: 2rA Kreisausschnitt (Kreissektor):

360

2rA für in Altgrad

2

2rA für im Bogenmaß

rbA 2

1

Kreisabschnitt (Kreissegment):

A = AKreissektor – AAMB

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22

hrsrbA

Kreisring:

22 rRA

Bogenmaß: 180° = π (rad) 1 rad = 57,3° Umrechnungsfaktoren vom Gradmaß ins Bo-genmaß und umgekehrt:

180

bzw.

180