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Νομικός
Geometrie - Ausgewählte Kapitel
Christina Birkenhake
[email protected]://christina.birkenhake.net
8. März 2010
Urspünge der Navigation
Erste Navigationsgeräte
Infinitesimale Methoden I
r=1/2M
Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π
Un Umfang n-Eckdann: Un
n→∞−→ π
Infinitesimale Methoden I
M
�s12
s62
r=1/2
r=1/2
Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π
Un Umfang n-Eckdann: Un
n→∞−→ πUn = n · sn
Infinitesimale Methoden I
M
�s12
s62
r=1/2
r=1/2
F
B
C
Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π
Un Umfang n-Eckdann: Un
n→∞−→ πUn = n · sn
Pythagoras:l(MF ) =
√1−s2
n2
l(FB) =√s22n −
s2n2
Infinitesimale Methoden I
M
�s12
s62
r=1/2
r=1/2
F
B
C
Kreis: r = 12 ⇒ UKreis = π
Un Umfang n-Eckdann: Un
n→∞−→ πUn = n · sn
Pythagoras:l(MF ) =
√1−s2
n2
l(FB) =√s22n −
s2n2
l(MF ) + l(FB) = 12
...s2n =
√12 −
12
√1− s2
n
U2n = n√
12 −
12
√1− U2
nn2
Infinitesimale Methoden II
r=1/2M
s =1 2
s =4√𝍩
22
Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1
mit TR iterativ sn und Un be-rechnen
s2n =
√12 −
12
√1− s2
n
Un = nsnn sn Un2 1 24
√2
2 2√2
8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141
......
∞ π
Infinitesimale Methoden II
r=1/2M
s =1 2
s =4√𝍩
22
Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1mit TR iterativ sn und Un be-rechnen
s2n =
√12 −
12
√1− s2
n
Un = nsnn sn Un2 1 24
√2
2 2√2
8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141
......
∞ π
Infinitesimale Methoden II
r=1/2M
s =1 2
s =4√𝍩
22
Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1mit TR iterativ sn und Un be-rechnen
s2n =
√12 −
12
√1− s2
n
Un = nsn
n sn Un2 1 24
√2
2 2√2
8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141
......
∞ π
Infinitesimale Methoden II
r=1/2M
s =1 2
s =4√𝍩
22
Start: z.B. mit Zweieck: s2 = 1mit TR iterativ sn und Un be-rechnen
s2n =
√12 −
12
√1− s2
n
Un = nsnn sn Un2 1 24
√2
2 2√2
8 0, 383 3, 06116 0, 195 3, 12132 0, 098 3, 13764 0, 049 3, 140128 0, 025 3, 141
......
∞ π
Infinitesimale Methoden III
Prinzip von Cavalieri - ZweidimensionalBeispiel Dreiecksfläche
F (∆) =12 · g · h
Geogebra: Dreiecksfläche
Infinitesimale Methoden IIIIPrinzip von Cavalieri:Körper, deren Schnitte mit jeder Ebene einer Schar aus parallelenEbenen flächengleich ist, haben dasselbe Volumen.
Schöne Internetseite:http://tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/DFU-Koerper/cavalieri.html
Bestimmung des Erdradius nach Eratosthenes
Alexandria
Syene
α
α
M
Ekliptik
Sommer
22.7.
Winter
22.12.
Herbst22.9.
Frühling22.3.
Berechnung der Erdneigung oder des Breitengrades I
Horizont
Äquator
M
Erde
Sonnenstrahlenα
εφ
Winter
Berechnung der Erdneigung oder des Breitengrades II
Horiz
ont
Äquator MErde
Sonnenstrahlen
α
εφ
Sommer
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen
Navigation
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen
Navigation
lateinisch: navem agere
Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markantenStellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarkenoffenes Meer Peilung von Gestirnen
Navigation
lateinisch: navem agere ein Schiff lenken
Navigationsgeräte
Latitude HookKamalAstrolabiumJakobsstabQuadrant/SexantKompassChronometerSeekarte
Latitude Hook
(Polynesien)
Ermöglicht die Höhe eines Gestirns zu vergleichen
Kamal
(Arabien)
Ermöglicht die Höhe eines Gestirns zu vergleichen
Astrolabium
(Naher Osten und Europa)Im 15.-17.Jh. üblichErmöglicht, die Zenitdistanz einesGestirns zu messen.
Jakobsstab
W
N
O
S
Richtung Nordstern
Horizont
(ab 13. Jh.)Zum Winkel messen.
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
α0º120º
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
α
α0º120º
α/2
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
α
α0º120º
α/2
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
α
α0º120º
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel
2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel
3) α2 Wechselwinkel
4) δ = 180◦ − β − γ − α2
5) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel
4) δ = 180◦ − β − γ − α2
5) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
2
5) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ
4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Ein Sextant halbiert den angepeilten Winkel
60º
Horizontspiegelparallel zur Alhidade in Nullstellung
Alhidade
Indexspiegelgenau im Drehpunkt der Alhidade
Fernrohr
β
β
α
α0º120º
α/2
α/2
δ
δ
γγ
Dieser Zusammenhang muss untersucht werden!
1) Einfalls-=Ausfallswinkel2) β Wechselwinkel3) α
2 Wechselwinkel4) δ = 180◦ − β − γ − α
25) β + 2γ = 180◦
6) α = 180◦ − β − 2δ4)= β+2γ−180◦+α
5)= α
Magnetkompass
(frühes 14. Jhd)Probleme: Missweisung , Ablenkung
Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?
I terrestrische NavigationI AstronavigationI Funk-/Schallnavigation
Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?I terrestrische Navigation
I AstronavigationI Funk-/Schallnavigation
Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?I terrestrische NavigationI Astronavigation
I Funk-/Schallnavigation
Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?I terrestrische NavigationI AstronavigationI Funk-/Schallnavigation
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