Formulario de Cálculo II – Geometría Analítica del Espacio
1. Distancia entre puntos.
Si: ; ; la distancia entre estos dos puntos es:
2. Cosenos directores.
Si: es un punto en el espacio y es la distancia que existe entre el origen y el punto, entonces:
Donde:
3. Recta.
Si: y un vector , que es la dirección de la recta L:
Ecuación General:
Ecuación Vectorial:
Ecuación Paramétrica:
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Ecuación Cartesiana:
Ecuación entre dos puntos P1, P2:
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
4. Vector de una Recta Bisectriz.
Si: y , dos vectores direccionales de dos rectas L1 y L2
respectivamente, que se interceptan entre si, y el vector direccional de la recta bisectriz L:
Primer método:
Segundo método:
5. Coordenadas del Baricentro.
Si: , forman un triángulo cualquiera y el punto que representa al Baricentro:
6. Distancia de un punto a una recta.
La distancia mínima entre un punto a una recta en el espacio que pasa por el punto , cuya dirección es , se determina por:
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7. Distancia entre rectas.
La distancia mínima entre dos rectas no paralelas de direcciones que pasan por los puntos respectivamente, se determina por:
8. Plano.
Si: son puntos que pertenecen al plano y un vector perpendicular al plano y se lo llama Vector Normal:
Ecuación General:
Ecuación Vectorial:
Ecuación Punto-Normal:
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Ecuación Reducida:
Donde a, b y c son las intersecciones con los ejes.
Ecuación de tres puntos:
Donde
9. Distancia de un punto a un plano.
La distancia mínima, de un punto a un plano de Normal que pasa por el punto , se determina por:
10. Esfera.
Si es el centro de la esfera y el radio, entonces:
Ecuación Ordinaria:
Si :
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Ecuación General:
11. Elipsoide.
Si es el centro del elipsoide y son los semiejes, entonces:
Ecuación Ordinaria:
Si :
Ecuación General:
12. Hiperboloide de una hoja.
Si es el centro del hiperboloide y son los semiejes, entonces:
I)
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Eje en Z
II)
Eje en X
III)
Eje en Y
13. Hiperboloide de dos hojas.
Si es el centro del hiperboloide y son los semiejes, entonces:
I)
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Eje en X
II)
Eje en Y
III)
Eje en Z
14. Paraboloide Elíptico.
Si es el centro del hiperboloide, son los semiejes y una longitud focal F, entonces:
I)
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Eje en X;
II)
Eje en Y;
III)
Eje en Z;
15. Paraboloide Hiperbólico.
Si es el centro del hiperboloide, son los semiejes y longitud focal F, entonces:
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I)
Eje en X;
II)
Eje en Y;
III)
Eje en Z;
16. Cono.
Si es el centro del hiperboloide y son los semiejes, entonces:
I)
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Eje en X
II)
Eje en Y
III)
Eje en Z
17. Cilindro.
El cilindro debe satisfacer las ecuaciones de la forma:
Cilindro de Eje Paralelo al Eje XCilindro de Eje Paralelo al Eje YCilindro de Eje Paralelo al Eje Z
Ejemplos:
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Paralelo al eje ZCon prolongación sobre el eje Z
Sobre el plano XY tiene una parábolaCon prolongación sobre el eje Y
Con prolongación sobre el eje Y
18. Observaciones.
Ecuación General:
Ecuación cuádrica:
Mediante rotación de ejes:
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Mediante traslación de ejes:
Cónicas:
Esfera:
; ; ;
Elipsoide:
; ; ;
Hiperboloide de una hoja:
; ;
Para la diferenciación de signos, tenemos los siguientes casos:
; ; ; ; ; ;
Hiperboloide de dos hojas:
; ;
Para la diferenciación de signos, tenemos los siguientes casos:
; ; ; ; ; ;
Paraboloide:
, pero su coeficiente lineal tiene que ser , para esta diferenciación de valores tenemos los siguientes casos:
; ; ; ; ; ; ; ; ;
Paraboloide Circular: Los coeficientes Cuadráticos diferentes de cero, son iguales entre sí.
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Paraboloide Elíptico: Los coeficientes Cuadráticos diferentes de cero, son diferentes en valor pero iguales en signo.
Paraboloide Hiperbólico: Los coeficientes Cuadráticos diferentes de cero y diferentes en signo.
Cono:
; ;
Unos de los coeficientes presenta signo negativo y que
Cilindro:
Si en la ecuación cuádrica, no está presente alguna de las tres variables ; tal cuádrica será un cilindro.
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