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Page 1: Geometría Espacial Univ  Eduardo Reyes

Formulario de Cálculo II – Geometría Analítica del Espacio

1. Distancia entre puntos.

Si: ; ; la distancia entre estos dos puntos es:

2. Cosenos directores.

Si: es un punto en el espacio y es la distancia que existe entre el origen y el punto, entonces:

Donde:

3. Recta.

Si: y un vector , que es la dirección de la recta L:

Ecuación General:

Ecuación Vectorial:

Ecuación Paramétrica:

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Ecuación Cartesiana:

Ecuación entre dos puntos P1, P2:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

4. Vector de una Recta Bisectriz.

Si: y , dos vectores direccionales de dos rectas L1 y L2

respectivamente, que se interceptan entre si, y el vector direccional de la recta bisectriz L:

Primer método:

Segundo método:

5. Coordenadas del Baricentro.

Si: , forman un triángulo cualquiera y el punto que representa al Baricentro:

6. Distancia de un punto a una recta.

La distancia mínima entre un punto a una recta en el espacio que pasa por el punto , cuya dirección es , se determina por:

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7. Distancia entre rectas.

La distancia mínima entre dos rectas no paralelas de direcciones que pasan por los puntos respectivamente, se determina por:

8. Plano.

Si: son puntos que pertenecen al plano y un vector perpendicular al plano y se lo llama Vector Normal:

Ecuación General:

Ecuación Vectorial:

Ecuación Punto-Normal:

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Ecuación Reducida:

Donde a, b y c son las intersecciones con los ejes.

Ecuación de tres puntos:

Donde

9. Distancia de un punto a un plano.

La distancia mínima, de un punto a un plano de Normal que pasa por el punto , se determina por:

10. Esfera.

Si es el centro de la esfera y el radio, entonces:

Ecuación Ordinaria:

Si :

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Ecuación General:

11. Elipsoide.

Si es el centro del elipsoide y son los semiejes, entonces:

Ecuación Ordinaria:

Si :

Ecuación General:

12. Hiperboloide de una hoja.

Si es el centro del hiperboloide y son los semiejes, entonces:

I)

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Eje en Z

II)

Eje en X

III)

Eje en Y

13. Hiperboloide de dos hojas.

Si es el centro del hiperboloide y son los semiejes, entonces:

I)

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Eje en X

II)

Eje en Y

III)

Eje en Z

14. Paraboloide Elíptico.

Si es el centro del hiperboloide, son los semiejes y una longitud focal F, entonces:

I)

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Eje en X;

II)

Eje en Y;

III)

Eje en Z;

15. Paraboloide Hiperbólico.

Si es el centro del hiperboloide, son los semiejes y longitud focal F, entonces:

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I)

Eje en X;

II)

Eje en Y;

III)

Eje en Z;

16. Cono.

Si es el centro del hiperboloide y son los semiejes, entonces:

I)

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Eje en X

II)

Eje en Y

III)

Eje en Z

17. Cilindro.

El cilindro debe satisfacer las ecuaciones de la forma:

Cilindro de Eje Paralelo al Eje XCilindro de Eje Paralelo al Eje YCilindro de Eje Paralelo al Eje Z

Ejemplos:

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Paralelo al eje ZCon prolongación sobre el eje Z

Sobre el plano XY tiene una parábolaCon prolongación sobre el eje Y

Con prolongación sobre el eje Y

18. Observaciones.

Ecuación General:

Ecuación cuádrica:

Mediante rotación de ejes:

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Mediante traslación de ejes:

Cónicas:

Esfera:

; ; ;

Elipsoide:

; ; ;

Hiperboloide de una hoja:

; ;

Para la diferenciación de signos, tenemos los siguientes casos:

; ; ; ; ; ;

Hiperboloide de dos hojas:

; ;

Para la diferenciación de signos, tenemos los siguientes casos:

; ; ; ; ; ;

Paraboloide:

, pero su coeficiente lineal tiene que ser , para esta diferenciación de valores tenemos los siguientes casos:

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Paraboloide Circular: Los coeficientes Cuadráticos diferentes de cero, son iguales entre sí.

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Paraboloide Elíptico: Los coeficientes Cuadráticos diferentes de cero, son diferentes en valor pero iguales en signo.

Paraboloide Hiperbólico: Los coeficientes Cuadráticos diferentes de cero y diferentes en signo.

Cono:

; ;

Unos de los coeficientes presenta signo negativo y que

Cilindro:

Si en la ecuación cuádrica, no está presente alguna de las tres variables ; tal cuádrica será un cilindro.

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