ΖΑΡΚΑΔΟΥΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΓεωμετρίαΑ΄λυκείου

Στοιχεία θεωρίας -Ασκήσεις

Σ ε λ ί δ α | 1

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Τρίγωνα Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχει για κορυφές του τα σημεία Α ,Β ,Γ .

Οι πλευρές του είναι τα 3 ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ (γ) ,ΒΓ (α) και ΑΓ (β).

Οι γωνίες του είναι οι , , .

Οι πλευρές και οι γωνίες ορίζουν τα κύρια στοιχεία του τριγώνου.

ΕΙΔΗΤΡΙΓΩΝΩΝΩΣΠΡΟΣΤΙΣΠΛΕΥΡΕΣΤΟΥΣ ΣΚΑΛΗΝΟ: Κάθε τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του άνισες ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ: Κάθε τρίγωνο που έχει τις 2 πλευρές του ίσες (και τις προσκείμενες στην

άνιση πλευρά , γωνίες ίσες) ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ: Κάθε τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες (και όλες του τις γωνίες

ίσες με 60ο)

Σκαληνό Ισοσκελές Ισόπλευρο

Σ ε λ ί δ α | 2

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΕΙΔΗΤΡΙΓΩΝΩΝΩΣΠΡΟΣΤΙΣΓΩΝΙΕΣΤΟΥΣΟξυγώνιο: όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες

Ορθογώνιο: όταν έχει μια γωνία ορθή. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία

λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές .Η υποτείνουσα είναι η

μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου αφού βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία.

αμβλυγώνιο: όταν έχει μια γωνία αμβλεία .

οξυγώνιο ορθογώνιο αμβλυγώνιο

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΑΣΤΟΙΧΕΙΑΕΝΟΣΤΡΙΓΩΝΟΥ

Διάμεσος : λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι

πλευράς . Κάθε τρίγωνο έχει 3 διαμέσους. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές α , β και γ

συμβολίζονται με μα , μβ και μγ αντίστοιχα.

Διχοτόμος: λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή μέ την απέναντι πλευρά

και χωρίζει τη γωνία της κορυφής σε 2 ίσες γωνίες .Κάθε τρίγωνο έχει 3 διχοτόμους . Οι διχοτόμοι

των γωνιών Α, Β και Γ του τριγώνου συμβολίζονται με δα , δβ και δγ αντίστοιχα.

Ύψος: λέγεται η απόσταση από την κορυφή ενός τριγώνου έως την απέναντι

πλευρά.(ΓΕΝΙΚΑ οποιαδήποτε στιγμή στη ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ συναντώ τη λέξη απόσταση , φέρνω

κάθετη !!!!!)Κάθε τρίγωνο έχει 3 ύψη . Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμβο-

λίζονται αντίστοιχα με υα ,υβ και υγ.

Σ ε λ ί δ α | 3

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Ύψος Διάμεσος Διχοτόμος

ΠΡΟΣΟΧΗ !

Σε οποιοδήποτε σχήμα φέρω ύψος, διάμεσο ή διχοτόμο και γενικά εάν γνωρίζω ότι 2 πλευρές ή 2 γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες ,φροντίζω πάντα να το δείχνω πάνω στο σχήμα μου βάζοντας σύμβολα !!!!

ΙΣΟΤΗΤΑΤΡΙΓΩΝΩΝΑν 2 τρίγωνα είναι μεταξύ τους ίσα τότε:

Όλες οι πλευρές τους είναι μια προς μια ίσες. Όλες οι γωνίες τους είναι μια προς μια ίσες. Απέναντι από τις ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντιστρόφως. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται ομόλογες ή

αντίστοιχες.

∆ύο τρίγωνα ονοµάζονται ίσα όταν ύστερα από κατάλληλη µετατόπιση ταυτίζο- νται, δηλαδή όταν έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες µία προς µία. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντί- στροφα. Οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες ονοµάζονται αντί- στοιχες ή οµόλογες.

Για να αποδείξουμε ότι 2 τρίγωνα είναι μεταξύ τους ίσα μας αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει ένα από τα παρακάτω 3 κριτήρια:

Σ ε λ ί δ α | 4

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΚΡΙΤΗΡΙΑΙΣΟΤΗΤΑΣΤΡΙΓΩΝΩΝ1. Δυο τρίγωνα είναι μεταξύ τους ίσα όταν όλες οι πλευρές του ενός είναι ίσες με όλες τις

πλευρές του άλλου μια προς μια.

2. Δυο τρίγωνα είναι μεταξύ τους ίσα όταν 2 πλευρές του ενός είναι ίσες με 2 πλευρές του

άλλου μια προς μια και οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές ,γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες.

3.Δυο τρίγωνα είναι μεταξύ τους ίσα όταν μια πλευρά του ενός ισούται με μια πλευρά του άλλου και οι προσκείμενες στις ίσες πλευρές , γωνίες είναι μεταξύ τους μια προς μια ίσες.

Για να δείξουµε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, πρέπει να δείξουµε ότι τρία στοιχεία είναι ίσα, εκ των οποίων το ένα πάντα να είναι πλευρά. Συγκεκριµένα: i. Να έχουν τρεις πλευρές ίσες µία προς µία. ii. Να έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία και την περιεχόµενη γωνία τους ίση. iii. Να έχουν µία πλευρά και τις προσκείµενες σ’ αυτήν γωνίες ίσες µία προς µία.

Σ ε λ ί δ α | 5

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Κριτήριαισότηταςορθογωνίωντριγώνων:

1.(2αντίστοιχεςπλευρέςίσες) 1 i. Δυο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις κάθετες πλευρές τους μια προς μια ίσες ,είναι μεταξύ τους ίσα.

1 ii . Δυο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά τους ίσες μια προς μια είναι μεταξύ τους ίσα.

2.(1πλευράκαι1οξείαγωνίαίσες)2 i. Δυο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σ΄ αυτή οξεία γωνία ίσες μια προς μια, είναι μεταξύ τους ίσα.

Σ ε λ ί δ α | 6

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

2 ii. Δυο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες , είναι μεταξύ τους ίσα.

Για να δείξουµε ότι δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα θα πρέπει, αφού βεβαιώσουµε από τα δεδοµένα ότι έχουν µία ορθή γωνία, να βρούµε ότι έχουν δύο στοιχεία ίσα από τα οποία το ένα να είναι πλευρά.

Ειδικότερα: i. να έχουν δύο πλευρές (οµόλογες) µία προς µία ίσες, ii. µία πλευρά (οµόλογη) και µία προσκείµενη οξεία γωνία ίση.

Χρήσιμασυμπεράσματα‐θεωρήματαπουαπορρέουναπότηνισότητατριγώνων:

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες γωνίες στην άνιση πλευρά, είναι μεταξύ τους ίσες.

Η διχοτόμος που βαίνει στην άνιση πλευρά είναι διάμεσος και ύψος.(αντίστοιχα το ύψος είναι διάμεσος και διχοτόμος και η διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος.)

Άρα : = και αν ΑΜ διχοτόμος της τότε: =90° και ΒΜ=ΜΓ

Απόδειξη:

Φέρνω στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ τη διχοτόμο ΑΜ.

Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ που δημιουργήθηκαν και έχω:

Σ ε λ ί δ α | 7

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

1. ΑΜ κοινή πλευρά. 2. ΑΒ = ΑΓ ως ίσες πλευρές του τριγώνου. 3. αφού ΑΜ διχοτόμος της γωνίας .

Άρα τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι μεταξύ τους ίσα .Οπότε όλα τους τα στοιχεία είναι μεταξύ τους ίσα .Άρα: = . Επίσης ΒΜ = ΜΓ , άρα η ΑΜ εκτός από διχοτόμος είναι και διάμεσος . Τέλος η Α . Όμως η είναι ευθεία γωνία άρα 180 οπότε κάθε μια γωνία από τις Α θα είναι ορθές. Άρα ΑΜ ύψος. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν θέλω να αποδείξω ότι η διχοτόμος είναι διάμεσος και ύψος τότε η βοηθητική ευθεία που φέρνω είναι η διχοτόμος. Αν δείξω ότι η διάμεσος είναι διχοτόμος και ύψος τότε θα φέρω για βοηθητική ευθεία τη διάμεσο. Η υπόθεση είναι αυτή που με καθοδηγεί ποια βοηθητική ευθεία θα φέρω.

Αν δυο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.(και αντιστρόφως)

τόξ = τόξoΓΔ ΑΒ=ΓΔ

Απόδειξη:

Έστω κύκλος (Ο,ρ) , και δυο ίσα τόξα ΑΒ =ΓΔ. Φέρνω τις ακτίνες ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ. Εφόσον τα τόξα είναι ίσα θα είναι ίσες και οι επίκεντρες γωνίες Α .Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ:

1. ΑΟ=ΟΔ=ρ 2. ΒΟ=ΟΓ=ρ 3. Α .

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και ΑΒ = ΓΔ .

(Η απόδειξη για το αντίστροφο αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη).

Σ ε λ ί δ α | 8

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Οι γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου είναι όλες μεταξύ τους ίσες. Απόδειξη: σε κάθε τρίγωνο ή μεταξύ 2 ίσων τριγώνων, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντιστρόφως. Άρα ένα ισόπλευρο τρίγωνο θα έχει τις γωνίες του μεταξύ τους ίσες και ίσες με 60 .

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του και αντιστρόφως, δηλαδή ,κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετο του.

έστω ε μεσοκάθετος του ΑΒ και Γ σημείο της ,τότε ΓΑ=ΓΒ και αντιστρόφως (δηλ αν Γ ανήκει στην ε ώστε ΓΑ=ΓΒ τότε ε μεσοκάθετος του ΑΒ )

Απόδειξη:

έστω ε μεσοκάθετος του ΑΒ και Γ σημείο της .Φέρνω τις αποστάσεις του Γ από άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ (ΓΑ και ΓΒ ) και συγκρίνω τα τρίγωνα ΓΜΑ και ΓΜΒ :

1. Ορθογώνια . 2. ΑΜ =ΜΒ. 3. ΓΜ κοινή πλευρά.

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε και ΓΑ = ΓΒ .

(Η απόδειξη για το αντίστροφο αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη).

Σ ε λ ί δ α | 9

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (ορισμός μεσοκαθέτου)

Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος.

Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής κύκλου είναι μεσοκάθετος της χορδής και διχοτομεί τα αντίστοιχα τόξα.

Απόδειξη:

Έστω κύκλος (Ο,ρ) και ΟΜ το απόστημα στη χορδή ΑΒ. Το τρίγωνο ΟΑΒ που δημιουργείται είναι ισοσκελές αφού ΟΑ = ΟΒ = ρ. Το ΟΜ είναι ύψος στη πλευρά ΑΒ άρα διάμεσος και διχοτόμος. (ΑΜ=ΜΒ).

Οπότε αφού ΜΑ=ΜΒ το σημείο Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Επίσης ΟΑ=ΟΒ άρα και το σημείο Ο ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ .(2 σημεία ορίζουν μια ευθεία).

Άρα ο φορέας του αποστήματος ΟΜ της χορδης ΑΒ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.

Σε κάθε κύκλο ή μεταξύ ίσων κύκλων ισχύουν τα έξης: ΙΣΕΣ ΧΟΡΔΕΣ ΙΣΑ ΤΟΞΑ ΙΣΑ ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΑ ΙΣΕΣ ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ ΙΣΕΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ.

Σ ε λ ί δ α | 10

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντιστρόφως.(δηλ αν ένα σημείο ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας τότε ανήκει στη διχοτόμο της .)

Απόδειξη:

Έστω x γωνία, Οδ η διχοτόμος της και σημείο Γ ένα τυχαίο σημείο πάνω στη διχοτόμο. Φέρνω τις αποστάσεις του Γ (ΓΑ και ΓΒ) από τις πλευρές της γωνίας Οx και Oy αντίστοιχα. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΓΒ:

1. Ορθογώνια. 2. ΟΓ κοινή πλευρά. 3. Γ αφού Οδ διχοτόμος.

Άρα τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΓΒ είναι μεταξύ τους ίσα οπότε ΓΑ=ΓΒ.

(Η απόδειξη για το αντίστροφο αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (ορισμός διχοτόμου) :

Διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Παρατηρήσεις

Η ισότητα τριγώνων είναι η βασική μέθοδος για να αποδείξω ότι 2 γωνίες ή 2 ευθύγραμμα τμήματα είναι μεταξύ τους ίσα!!!

Προσπαθώ πάντα να πετύχω όσο το δυνατόν ένα πιο ακριβές σχήμα. Γενικά αν σε μια οποιαδήποτε άσκηση μου ζητηθεί να δείξω ότι 2 κύρια στοιχεία ή

δευτερεύοντα ή έστω δυο ευθύγραμμα τμήματα που ανήκουν σε ένα τρίγωνο ,είναι ίσα, τότε βρίσκω δυο τρίγωνα που έχουν για στοιχεία τους τα παραπάνω ,τα συγκρίνω και τα βγάζω ίσα.

Σ ε λ ί δ α | 11

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

σε κάθε τρίγωνο ή μεταξύ 2 ίσων τριγώνων, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντιστρόφως.

Για να δείξω ότι δυο τρίγωνα θα είναι μεταξύ τους ίσα ,πάντα θα πρέπει να έχουν τουλάχιστον μια τους πλευρά ίση. Η ισότητα τριγώνων δεν αποδεικνύεται μόνο με ίσες γωνίες!!!!

Συνήθως ,αν σε μια άσκηση τα δεδομένα μου δεν αρκούν για να πετύχω μια ισότητα τριγώνων που θα μου αποφέρει το ζητούμενο αποτέλεσμα ,θα χρειαστεί και δεύτερη ή ακόμη και τρίτη σύγκριση άλλων τριγώνων, μόνο και μόνο για τη συλλογή στοιχείων ώστε να πετύχω την τελική μου σύγκριση.

Για να δείξουµε ότι µία ευθεία είναι µεσοκάθετος ενός ευθύγραµµου τµήµατος, αρκεί να δείξουµε ένα από τα παρακάτω: i) Ικανοποιεί τον ορισµό, δηλαδή διέρχεται από το µέσο του τµήµατος και είναι κάθετη

σ’ αυτό. ii) ∆ύο σηµεία της ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. iii) Είναι διχοτόµος της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου και το ευθύγραµµο τµήµα η βάση

του. iv) Είναι ο φορέας αποστήµατος µιας χορδής κύκλου (όπου η χορδή είναι το

ευθύγραµµο τµήµα). v) ∆ιέρχεται από τα µέσα δύο τόξων µε χορδή το ευθύγραµµο τµήµα.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:

i. Οι προσκείμενες γωνίες της βάσης ισοσκελούς είναι ίσες. ii. Το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος από την κορυφή του ισοσκελούς ταυτίζονται

(είναι το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα) iii. Tα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα iv. Οι διχοτόμοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσες v. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσες

Για να δείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές μπορώ να δείξω και ένα από τα

παρακάτω:

i) Δύο ίσα ύψη ή

ii) Δύο ίσες διχοτόμους ή

iii) Δύο ίσες διαμέσους

i) Μία διάμεσος είναι και διχοτόμος ή

ii) Μία διχοτόμος είναι και ύψος ή

i) Ένα ύψος είναι και διάμεσος

Τα άκρα ευθυγράμμου τμήματος και ένα σημείο της μεσοκαθέτου ορίζουν ισοσκελές τρίγωνο με βάση το ευθύγραμμο τμήμα

Η κορυφή μιας γωνίας, ένα σημείο της διχοτόμου της, και οι προβολές του σημείου αυτού πάνω στις πλευρές της, ορίζουν δύο ισοσκελή τρίγωνα.

Σ ε λ ί δ α | 12

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΩΣΤΟ–ΛΑΘΟΣ.1. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι παραπληρωματική με την αντίστοιχη εσωτερική.

2. Ένα τρίγωνο με μία οξεία γωνία είναι οξυγώνιο.

3. Δύο ίσα τρίγωνα έχουν ίσες περιμέτρους

4. Δύο τρίγωνα με ίσες περιμέτρους έχουν ίσες πλευρές.

5. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) ισχύει εξ εξB Γ

6. Το απόστημα μιας χορδής είναι η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την χορδή.

7. Δυο ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες είναι ίσα.

8. Στις ίσες χορδές ενός κύκλου ή δυο ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσα αποστήματα και

αντιστρόφως.

9. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.

10. Ένα τρίγωνο με δυο οξείες γωνίες είναι οξυγώνιο.

11. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο δυο οποιεσδήποτε διάμεσοι του είναι ίσες.

12. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

13. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

14. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

15. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

Σ ε λ ί δ α | 13

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

16. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

17. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

18. ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄

19. Τα δευτερεύοντα στοιχεία δύο ίσων τριγώνων είναι ίσα.

20. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ισοσκελές.

21. Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

22. Υπάρχει ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

23. Υπάρχει αμβλυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.

24. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα.

25. Ένα σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετο του.

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΣΤΗΝΙΣΟΤΗΤΑΤΡΙΓΩΝΩΝ.1. Στις πλευρές ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε σημεία Δ, Ε, Ζ

αντιστοίχως, ώστε ΑΔ=ΒΕ=ΓΖ . Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

Σ ε λ ί δ α | 14

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

2. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου

παίρνουµε ίσα τµήµατα Α∆ και ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το µέσο της ΒΓ, να δειχθεί

ότι το τρίγωνο ΜΕ∆ είναι ισοσκελές.

3. Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόµοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου

είναι ίσες. 4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑBΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουµε τη µεσοκάθετο της πλευράς ΑΓ, η

οποία τέµνει την προέκταση της ΒΓ στο ∆. Προεκτείνουµε τη ∆Α προς το µέρος του Α κατά τµήµα ΑΕ = Β∆.

Να αποδειχθεί ότι: i. Το ∆ΑΓ είναι ισοσκελές. ii. Το Γ∆Ε είναι ισοσκελές. 5. Αν δύο τµήµατα ΑΒ και Γ∆, που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία, έχουν κοινή

µεσοκάθετο δ, να δείξετε ότι το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων των ΑΓ και Β∆ βρίσκεται πάνω στη δ. (Θα δείξουµε ότι το σηµείο τοµής των δύο µεσοκαθέτων ανήκει στην τρίτη µεσοκάθετο .)

6. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ και . Να δείξετε ότι ΑΔ=ΔΓ. Τι

συμπεραίνετε για τη ΒΔ ;

7. Δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ( με βάσεις ΒΓ και ΔΕ) έχουν κοινή την κορυφή Α και

τις γωνίες της κορυφής ίσες. Να δείξετε ότι : ΒΔ=ΓΕ

Σ ε λ ί δ α | 15

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

8. ∆ύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και την περιεχόµενη διάµεσο ίσες µία προς µία. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

9. ∆ύο ευθείες και τέµνονται σε σηµείο Ο. Πάνω στην παίρνουµε δύο τµήµατα ΑΟ =

ΟΒ και πάνω στην δύο τµήµατα ΓΟ = Ο∆. Να αποδειχθεί ότι:

i. ΑΓ = Β∆. ii.Α ∆ = Β Γ .

10. Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόµοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

11. Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της διχοτόµου της γωνίας της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχει από τα άκρα της βάσης του.

12. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στις προεκτάσεις της βάσης ΒΓ παίρνουµε

αντίστοιχα δύο σηµεία ∆ και Ε µε Β∆ = ΓΕ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισοσκελές.

13. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα παίρνουµε σηµεία ∆ και Ε ώστε Β∆ = ΓΕ. Να αποδειχθεί ότι ∆Γ = ΒΕ.

14. Να αποδειχθεί ότι οι διάµεσοι ισοσκελούς τριγώνου οι οποίες αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσες.

15. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε αντίστοιχα

τµήµατα ΑΑ΄ = ΒΒ΄ = ΓΓ΄. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο Α΄Β ΄Γ΄ είναι ισόπλευρο

16. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, του οποίου οι κορυφές είναι τα µέσα των πλευρών

ισοσκελούς τριγώνου, είναι ισοσκελές.

17. ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και Α∆Ε έχουν την κορυφή Α κοινή και τις γωνίες της κορυφής ίσες. Να αποδειχθεί ότι Β∆ = ΓΕ.

18. Αν οι πλευρές ενός πενταγώνου είναι ίσες µεταξύ τους και οι γωνίες του είναι επίσης ίσες

µεταξύ τους (κανονικό πεντάγωνο), να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιοί του είναι ίσες µεταξύ τους.

19. Έστω ισοσκελές τρίγωνο Α ΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουµε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ προς το

µέρος της κορυφής και παίρνουµε αντίστοιχα σηµεία Ε και Ζ ώστε ΑΕ = ΑΖ. Φέρνουµε το ύψος από την κορυφή Α∆. Να αποδειχθεί ότι: i. Ε∆ = Ζ∆. ii. τα τρίγωνα ΕΒ∆ και Ζ Γ ∆ είναι ίσα.

20. ∆ίνεται γωνία xOy. Φέρουµε Oz Ox, ώστε η Οy να βρίσκεται στο εσωτερικό της ορθής

Σ ε λ ί δ α | 16

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

γωνίας, και Oδ Oy ώστε η Ox να βρίσκεται εντός της ορθής γωνίας. Στις Οx και Oz παίρνουµε σηµεία Μ και Ν αντίστοιχα ώστε ΟΜ = ΟΝ.Στις Οδ καi Oy παίρνουµε σηµεία Σ και Ρ αντίστοιχα ώστε ΟΡ = ΟΣ. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΟΡΝ , ΟΣΜ ειναι μεταξύ τους ίσα.

21. Αν δύο κυρτά τετράπλευρα έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία και µία γωνία που

περιέχεται µεταξύ ίσων πλευρών ίση, τότε να αποδειχθεί ότι τα τετράπλευρα είναι ίσα.

22. Έστω Α, Β και Ο τρία µη συνευθειακά σηµεία του επιπέδου. Προεκτείνουµε την ΑΟ προς το Ο κατά τµήµα ΟΑ΄ = ΟΑ και τη ΒΟ προς το Ο κατά τµήµα ΟΒ΄ = ΟΒ. Να αποδειχθούν ότι:

i. ΑΒ = Α΄Β΄. ii. Αν Μ το µέσο του ΑΒ, τότε η προέκταση του ΜΟ τέµνει το Α΄Β΄ στο µέσο του.

23. Στις πλευρές ισοσκελούς τριγώνου κατασκευάζουµε ισόπλευρα τρίγωνα τα οποία βρίσκονται εκτός του ισοσκελούς τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι οι εξωτερικές κορυφές σχηµατίζουν ισοσκελές τρίγωνο.

24. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ Γ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουµε τη βάση ΒΓ προς το µέρος του Γ

και παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε. Προεκτείνουµε τη βάση ΒΓ προς το µέρος του Β και παίρνουµε σηµείο ∆ ώστε Β∆ = ΓΕ. Αν Ζ και Η οι προβολές των ∆ και Ε στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι:

i. τα τρίγωνα ∆ΒΖ , ΕΓΗ είναι μεταξύ τους ίσα ii. ΓΖ = ΒΗ .

25. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο Α ΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στην προέκταση της ΒΑ προς το µέρος του Α παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε, και πάνω στην ΑΓ σηµείο ∆ ώστε ΑΕ = Α∆. Αν Μ και Ν το µέσο των ΒΓ και Ε∆ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο Α ΜΝ είναι ορθογώνιο.

26. Θεωρούμε αμβλεία γωνία x y και τα σημεία Α, Β στις πλευρές της Οx , Οy αντίστοιχα ,

ώστε ΟΑ=ΟΒ. Στα σημεία Α, Β φέρνουμε κάθετες στις Οx , Οy αντίστοιχα , οι οποίες

τέμνονται στο Γ . Αποδείξτε ότι : α) η ΟΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Α ΓΒ.

β) η ΟΓ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ

.

Σ ε λ ί δ α | 17

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

27. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι διάμεσοι ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες. Προεκτείνουμε το ΕΔ και παίρνουμε

τμήμα ΔΗ=ΕΔ. Επίσης προεκτείνουμε το ΔΕ και παίρνουμε τμήμα ΕΖ=ΕΔ. Να δειχθεί ότι:

i) To AZH είναι ισοσκελές ii) Τα τρίγωνα ΑΖΕ και ΑΗΔ είναι ίσα iii) Το ΑΒΓ είναι

ισοσκελές.

28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ και διχοτόμο ΑΔ. Φέρνουμε από το Β κάθετη στην ΑΔ που την

τέμνει στο Ε και την ΑΓ στο Ζ. Αποδείξτε ότι : α) ΑΒ=ΑΖ β) ΓΖ =β-γ γ) ΒΔ=ΔΖ

δ) η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας .

29. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ) και την διχοτόμο ΑΔ. Στην ημιευθεία ΑΒ παίρνουμε

τμήμα ΑΓ΄=ΑΓ και στην ημιευθεία ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΒ΄=ΑΒ. Να δείξετε ότι τα σημεία

Β΄, Δ, Γ΄ είναι συνευθειακά.

Σ ε λ ί δ α | 18

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

30. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ . Στην προέκταση του ύψους ΑΗ παίρνουμε τμήμα ΗΔ=ΑΗ. και στην

προέκταση της διαμέσου ΑΜ παίρνουμε τμήμα ΜΕ=ΑΜ. Να δείξετε ότι:

ΓΒΔ ΒΓΕ και ΒΔ=ΓΕ.

31. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα Α και Β.

i) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΚΛΒ είναι ίσα

ii) Αν Μ το μέσο της χορδής ΑΒ να αποδειχθεί ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά.

32. Σε ένα πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ είναι ΑΒ=ΕΔ , ΒΓ=ΔΓ και . Να δείξετε ότι η μεσοκάθετος

της πλευράς ΑΕ διέρχεται από το Γ και είναι διχοτόμος της γωνίας Γ .

Σ ε λ ί δ α | 19

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

33. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι διάμεσος και Δ είναι το μέσο της διαμέσου. Αν είναι ΒΔ =ΒΓ

2

να δειχθεί ότι: ΑΒ=ΔΓ

34. Σε κύκλο (Ο , ρ) έστω ΑΒ διάμετρος και Μ ένα σημείο της ΑΒ. Γράφουμε τον κύκλο

(Α , ΑΜ) που τέμνει τον κύκλο (Ο , ρ) στα σημεία Γ και Δ. Να δειχθεί ότι :

i) ii) ΒΓ=ΒΔ

35. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( 1 ), Μ μέσο της ΒΓ και η μεσοκάθετος της ΒΓ τέμνει την

ΓΑ στο Ζ. Αν το Α είναι μέσο του ΓΖ να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισόπλευρο.

36. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ).Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα

τμήματα ΒΔ και ΓΕ. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι

ισοσκελές.

Σ ε λ ί δ α | 20

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

37. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ .Αν οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών και τέμνονται στο Κ τότε

να δειχθεί ότι το σημείο Κ ισαπέχει από τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ.(υποδ. Φέρνω ΚΛ ΒΓ.)

38. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ότι 2 και α = 2γ .Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο .Υποδ (φέρνω διχοτόμο ΒΔ και διάμεσο ΔΜ )

39. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) ,ΑΚ το ύψος του ,ένα σημείο Μ του ύψους και οι

ευθείες ΒΜ,ΓΜ που τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα .Να δείξετε ότι:

i. AM Ε∆.

ii. MΔ = ΜΕ

Σ ε λ ί δ α | 21

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

40. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι μεταξύ τους ίσα αν έχουν:

i. α = α΄ , β = β΄ και ΄.

ii. ΄ , ΄ ΄.

iii. β = β΄ , ΄ και ΄ .

41. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Κ στο εξωτερικό του .Στις ημιευθείες ΑΚ , ΒΚ και ΓΚ

θεωρούμε αντίστοιχα τα τμήματα ΚΔ = ΚΑ , ΚΕ = ΚΒ και ΚΖ =ΚΓ .Να δειχθεί ότι Ε Ζ =

Β Γ .

42. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ).Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ

και ΓΕ . Από το Δ και το Ε φέρνουμε τις κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα που τις τέμνουν

στα σημεία Ζ και Μ . Αν οι ΔΖ και ΕΜ τέμνονται στο Ι να δείξετε ότι η ΑΙ διχοτομεί τη

γωνία .

43. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ). Έστω Μ και Ν τα µέσα των ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα. Αν οι µεσοκάθετες των ίσων πλευρών τέµνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Κ και Λ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι ΜΛ = ΚΝ.

Σ ε λ ί δ α | 22

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

44. Να αποδειχθεί ότι τα µέσα των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν από τη βάση του.

45. Να αποδειχθεί ότι το µέσο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου

ισαπέχει από τις κάθετες πλευρές του.

46. Από το µέσο Μ της βάσης ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου Α ΒΓ φέρουµε κάθετες προς τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ που τις τέµνουν αντίστοιχα στα σηµεία ∆ και Ε. Να αποδειχθεί ότι:

i. ∆Μ = ΜΕ. ii. ∆ Α = Ε Α.

47. Να αποδειχθεί ότι τα άκρα της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν από τις ίσες πλευρές του.

48. Να αποδειχθεί ότι οι δύο κορυφές ενός τριγώνου ισαπέχουν από τη διάµεσο που φέρουµε

από την τρίτη κορυφή του.

49. Να αποδειχθεί ότι αν δύο ύψη ενός τριγώνου είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

50. Έστω ∆ σηµείο της διχοτόµου γωνίας xOy . Από το ∆ φέρουµε κάθετη στην διχοτόµο η οποία τέµνει τις Ox και Oy στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΟΒ = ΟΓ και ∆Β = ∆Γ.

51. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε τη διχοτόµο Α∆. Από το Β φέρουµε κάθετη στη διχοτόµο η οποία

την τέµνει στο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι ΒΕ = ΕΖ.

52. Να αποδειχθεί ότι τα άκρα ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχουν από κάθε ευθεία η οποία διέρχεται από το µέσο του.

53. Από τα άκρα ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ φέρουµε κάθετες προς αυτό, οι οποίες τέµνουν

ευθεία που διέρχεται από το µέσο του Ο στα σηµεία Γ και ∆ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΟΓ = Ο∆.

54. ∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β ΄Γ΄ έχουν τις γωνίες και ΄ παραπληρωµατικές και ίσες

πλευρές τις ΑΒ = Α΄Β΄ και ΑΓ = Α΄Γ΄ . Να αποδειχθεί ότι τα ύψη Β∆ και Β΄∆΄ είναι ίσα. Οµοίως και τα ύψη ΓΕ και Γ΄Ε΄.

55. Σε ευθεία xx΄ παίρνουµε δύο σηµεία Α και Β. Από τυχαίο σηµείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία xx΄ φέρνουµε τις ΟΑ και ΟΒ και στις προεκτάσεις τους παίρνουµε τµήµατα ΑΑ΄ = ΟΑ και ΒΒ΄ = ΟΒ , αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α΄ και Β΄ ισαπέχουν από την ευθεία xx΄.

56. Έστω ΑΒΓ∆Ε πεντάγωνο µε ΑΒ = Ε∆, ΒΓ = ∆Γ και Β = ∆ . Να αποδειχθεί ότι η µεσοκάθετος

της πλευράς ΑΕ διέρχεται από το Γ και είναι διχοτόµος της γωνίας .

57. ∆ίνεται αµβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (µε ( > 90) και έστω ∆ και Ε τα µέσα των πλευρών του

Σ ε λ ί δ α | 23

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Η µεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ τέµνει την προέκταση της ΑΓ στο Ζ και η µεσοκάθετος της ΑΓ τέµνει την προέκταση της πλευράς ΑΒ στο Η. Να αποδειχθεί ότι αν ∆Ζ = ΕΗ, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και αντίστροφα.

58. ∆ίνεται χορδή ΑΒ ενός κύκλου (Κ, ρ). Αν Μ το µέσο του τόξου ΑΒ , να αποδειχθεί ότι οι

αποστάσεις του Μ από τις ακτίνες ΚΑ και ΚΒ είναι ίσες µε το µισό του µήκους της χορδής ΑΒ.

59. ∆ίνονται δύο παραπληρωµατικές γωνίες xOy και x΄Oy΄ ώστε Οx Ox΄ και Οy Oy΄ . Στις

Οx και Οx΄ παίρνουµε σηµεία Α και Α΄ αντίστοιχα ώστε OA = OA΄ και στις Οy και Oy΄ σηµεία Β και Β΄ ώστε ΟΒ = ΟΒ΄. Να αποδειχθεί ότι η κάθετος από το Ο στη ΒΑ διχοτοµεί την Β΄Α΄.

60. ∆ίνονται δύο εφεξής γωνίες x y και y z ώστε y z = 2x y και ευθεία ε που τέµνει κάθετα

την Αx στο Β και την Αy στο ∆. Αν Γ σηµείο της Αz ώστε AΓ = Α∆ και Μ σηµείο της ∆Γ ώστε x Μ = y M, να αποδειχθεί ότι:

i. AM Γ∆. ii. ΑΒ = ΑΜ. iii. η Α∆ είναι µεσοκάθετος του ΒΜ.

61. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = Α∆ και ΒΓ = ∆Γ. Στην προέκταση της ∆Γ προς το µέρος του Γ παίρνουµε σηµείο Ε ώστε ∆Γ = ΓΕ. Αν οι µεσοκάθετοι των ΒΓ και ΓΕ τέµνονται στο Μ, να αποδειχθεί ότι:

i. AΓ ΜΓ και ii. τα σηµεία ∆ και Β ανήκουν στον κύκλο (Γ, ΓΕ).

62. ∆ίνεται κύκλος µε κέντρο Ο και σηµεία του Α και Β και Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές µε ΑΒ = ΑΓ. Από το µέσο Μ της ΒΓ φέρουµε Μ∆ ΑΓ που τέµνει τον κύκλο στα Η και Ζ, και ΜΕ ΑΒ που τέµνει τον κύκλο στα Κ και Λ. Να αποδειχθεί ότι:

i Τα Α, Ο, Μ είναι συνευθειακά. ii. ΚΛ = ΖΗ .

Σ ε λ ί δ α | 24

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΒΑΣΙΚΟΙΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙΤΟΠΟΙ:

Ορισμός γεωμετρικού τόπου:

Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που έχουν μια κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα.

Οι βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι τρείς:

Κύκλος: Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο.

Μεσοκάθετος: ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος.

Διχοτόμος μιας γωνίας: ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Γιαναλύσουµεέναπρόβληµαγεωµετρικούτόπουακολουθούµετρίαστάδια:i. Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου και, µε βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουµε τη γραµµή στην οποία βρίσκεται (χρησιµοποιώντας τους προηγούµενους βασικούς γεωµετρικούς τόπους ). ii. Κατασκευάζουµε τη γραµµή που βρήκαµε και εξετάζουµε αν ένα τυχαίο σηµείο της γραµµής αυτής ικανοποιεί την ιδιότητα του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου. Αν αυτό συµβαίνει, τότε η γραµµή που κατασκευάσαµε είναι ο ζητούµενος τόπος. iii. Ελέγχουµε αν ο γεωµετρικός τόπος είναι ολόκληρη η γραµµή (ευθεία ή κύκλος) ή µόνο ένα τµήµα της (π.χ. χωρίς κάποια σηµεία).

Εκτόςτωνπαραπάνωγεωμετρικώντόπωνυπάρχουνκαιάλλοιδευτερεύοντεςγ.τ.όπως:

Η μεσοπαράλληλος Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 , είναι η μεσοπαράλληλος ευθεία ε των ε1 και ε2 .

Δύο παράλληλες ευθείες Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση ίση με λ από μία ορισμένη ευθεία ε , είναι δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 εκατέρωθεν της ε .

1

ε

ε

ε

1

2

Μ

Μ

ε

ε

ε

1

2

Μ

λ

λ

Σ ε λ ί δ α | 25

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Τόξο που δέχεται ορισμένη γωνία

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου τα οποία βλέπουν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με ορισμένη γωνία φ , είναι δύο ίσα κυκλικά τόξα ΑΚΒ και ΑΛΒ που έχουν χορδή την ΑΒ και δέχονται εγγεγραμμένη γωνία ίση με την φ .

Συνήθως θεωρούμε ένα σημείο Μ του γεωμετρικού τόπου ως κινητό σημείο, οπότε καθώς αυτό κινείται διαγράφει (παράγει) τον γεωμετρικό τόπο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κορυφών όλων των ισοσκελών τριγώνων, τα οποία

έχουν ως βάση ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = α, όπου α σταθερό µήκος.

2. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κορυφών Β των ορθογώνιων τριγώνων ΑΒΓ, τα οποία έχουν µία κάθετη πλευρά ΑΓ = β, όπου β σταθερό µήκος.

3. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι εφάπτονται σε σταθερό σηµείο Α µιας ευθείας ε.

4. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι εφάπτονται στις πλευρές µιας γωνίας xOy .

5. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κορυφών Α τριγώνων ΑΒ Γ,τα οποία έχουν σταθερή πλευρά ΒΓ = α και δεδοµένο ύψος υα = υ.

6. Να αποδειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, τα οποία ισαπέχουν από δύο τεµνόµενες ευθείες σε σηµείο Ο, είναι δύο κάθετες ευθείες που διέρχονται από το Ο.

7. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µέσων διαµέσων µα τριγώνου ΑΒΓ, µε σταθερή πλευρά ΒΓ = α και δεδοµένη διάµεσο µα = λ.

A B

K

Λ

φ

φ

Μ

Μ

Σ ε λ ί δ α | 26

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑΣΧΗΜΑΤΑΈνα σχήμα θα λέμε ότι έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο , αν για κάθε σημείο Μ του σχήματος ,το συμμετρικό Μ΄ του Μ ως προς το σημείο Ο είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας παρουσιάζει κεντρική συμμετρία.

Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του . Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του. Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της. Οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο (ορθογώνιο , ρόμβος , τετράγωνο ) έχει κέντρο

συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Ένα σχήμα θα λέμε ότι έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία ε ,αν το συμμετρικό κάθε σημείου του σχήματος ως προς την ευθεία ε είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας παρουσιάζει αξονική συμμετρία.

Το ευθύγραμμο τμήμα έχει άξονες συμμετρίας τη μεσοκάθετό του και τον φορέα του.

Η ευθεία έχει άξονες συμμετρίας τον εαυτό της και κάθε ευθεία κάθετη σε αυτή.

Μια γωνία έχει άξονα συμμετρίας τη διχοτόμο της.

Σ ε λ ί δ α | 27

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Το ισοσκελές τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας τη μεσοκάθετο της άνισης πλευράς.

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει άξονες συμμετρίας τις μεσοκαθέτους των πλευρών του.

Ο κύκλος έχει για άξονα συμμετρίας κάθε διακεντρική ευθεία. (άπειροι άξονες συμμετρίας)

Το ορθογώνιο έχει άξονες συμμετρίας τις μεσοκάθετους των πλευρών του. Ο ρόμβος έχει άξονες συμμετρίας τους φορείς των διαγωνίων του. Το τετράγωνο έχει άξονες συμμετρίας τις μεσοκάθετους των πλευρών του και

τους φορείς των διαγωνίων του.

Παρατηρήσεις:

1. Τα συμμετρικά σχήματα είναι ΙΣΑ. 2. Αν ένα σχήμα έχει δυο άξονες συμμετρίας που είναι μεταξύ τους κάθετοι τότε θα έχει κέντρο

συμμετρίας το σημείο τομής τους.

Σ ε λ ί δ α | 28

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Σ ε λ ί δ α | 29

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Σ ε λ ί δ α | 30

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να αποδειχθεί ότι το µέσο Ο ενός ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ είναι κέντρο συµµετρίας

του.

2. ∆ίνονται δύο σηµεία Α και Α΄ συµµετρικά ως προς µία ευθεία ε. Αν Β και Γ δύο σηµεία της ευθείας ε, να αποδειχθεί ότι Β Γ = Β ΄Γ.

3. Να αποδειχθεί ότι κάθε ευθεία δ κάθετη στην ευθεία ε είναι άξονας συµµετρίας της ε.

4. Έστω µία ευθεία ε και Α, Β δύο σηµεία που δεν ανήκουν στην ε. Έστω Κ το σηµείο τοµής της µεσοκαθέτου του ΑΒ µε την ε, και Α΄ και Β΄ τα συµµετρικά των Α και Β αντίστοιχα ως προς την ε. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος (Κ, ΚΑ) διέρχεται από τα σηµεία Α, Β, Α΄ και Β΄.

5. Έστω Ο το κέντρο του περιγγεγραµµένου κύκλου ενός τριγώνου Α Β Γ. Αν Α΄, Β΄ και Γ΄ τα συµµετρικά του Ο ως προς τις πλευρές ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα Α ΒΓ και Α΄Β ΄Γ΄ είναι ίσα.

6. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Α ΒΓ (µε = 90° ) και ΑΗ το ύψος του. Έστω ∆ το συµµετρικό του Η ως προς την ευθεία ΑΒ και Ε το συµµετρικό του Η ως προς την ευθεία ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι:

i. τα σηµεία ∆, Α και Ε είναι συνευθειακά.

ii. Β∆ // ΓΕ.

iii. Α∆ = ΑΕ.

Σ ε λ ί δ α | 31

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣΣΧΕΣΕΙΣΣχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας ενός τριγώνου: κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε απέναντι εσωτερική.

στο διπλανό σχήμα ισχύει:

> και εξ >

εξ > και εξ>

εξ> και εξ>

πορίσματα – παρατηρήσεις:

Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια ορθή ή μια αμβλεία γωνία. Το άθροισμα δυο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο από 180ο .

Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών: σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντιστρόφως.

στο παραπάνω σχήμα έχουμε: ΑΓ > ΑΒ > .

πορίσματα – παρατηρήσεις:

Αν ένα τρίγωνο έχει δυο πλευρές ίσες τότε είναι ισοσκελές. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες τότε είναι ισόπλευρο. Αν ένα τρίγωνο έχει μια γωνία ορθή ή αμβλεία τότε η απέναντι πλευρά της είναι

η μεγαλύτερη στο τρίγωνο.(πχ ορθογώνιο τρίγωνο και υποτείνουσα)

ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ: κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δυο και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

| |

| |

| |

Σ ε λ ί δ α | 32

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Η τριγωνική ανισότητα είναι το μοναδικό εργαλείο με το οποίο δείχνω ότι 3 ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν τρίγωνο!

Συμπέρασμα: κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

Για να λύσουµε ασκήσεις που ζητείται να αποδειχθεί µία ανισοτική σχέση, κοιτάµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα:

Αν οι σχέσεις που δίνονται ή ζητούνται περιέχουν µόνο γωνίες, χρησιµοποιούµε το θεώρηµα για την εξωτερική γωνία του τριγώνου.

Αν οι σχέσεις που δίνονται ή ζητούνται περιέχουν πλευρές και γωνίες, χρησιµοποιούµε το θεώρηµα ότι απέναντι από τη µεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η µεγαλύτερη γωνία και αντίστροφα.

Αν οι σχέσεις που δίνονται ή ζητούνται περιέχουν µόνο πλευρές, χρησιµοποιούµε την τριγωνική ανισότητα.

Αν οι σχέσεις που δίνονται περιέχουν ισότητες δύο πλευρών και µία ανισότητα, χρησιµοποιούµε το πόρισµα που λέει ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόµενη γωνία άνιση, τότε και η τρίτη πλευρά είναι όµοια άνιση και αντίστροφα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣΣΧΕΣΕΙΣ‐ΤΡΙΓΩΝΙΚΗΑΝΙΣΟΤΗΤΑ1.Κυκλώστε τη σωστή απάντηση:

α) Αν οι 2 πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 4 και 9 ,τότε η περίμετρός του είναι

Α. 17 Β. 22 Γ. 17 ή 22 Δ. απροσδιόριστη

β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι 60 cm και το ΒΓ είναι 40 cm. Ποιο από τα παρακάτω δεν μπορεί να είναι το μήκος του ΓΑ ;

Α. 40 cm B. 70 cm Γ. 100 cm Δ. 110 cm

γ) Για ποιες τιμές του x υπάρχει τρίγωνο με πλευρές x , x+1, x+2 ;

Α. για κάθε x>0 Β. για κάθε x>1 Γ. για κάθε 0<x<1 Δ. για κάθε x>0,5

Σ ε λ ί δ α | 33

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = 8 , β= 6 , γ= 4 και Μ εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αποδείξτε ότι : 9 < ΜΑ+ΜΒ+ΜΓ < 18 .

3. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με μεγαλύτερη πλευρά την ΑΒ και μικρότερη την ΓΔ .

Αποδείξτε ότι η γωνία είναι μικρότερη της γωνίας .

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ και σημείο Ο της διαμέσου ΑΜ . Αποδείξτε ότι:

α) η γωνία Α Γ είναι μεγαλύτερη της γωνίας Α Β

β) ΟΓ>ΟΒ .

5. Θεωρούμε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ και Η εσωτερικό σημείο της ΑΓ . Αποδείξτε ότι: ΒΓ > ΒΗ >ΑΓ .

6. Αποδείξτε ότι σε κάθε αμβλυγώνιο τρίγωνο, το ύψος προς την μεγαλύτερη πλευρά είναι μικρότερο της μεγαλύτερης πλευράς .

7.Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:

i) Α ii) AΓ >ΔΓ

8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Μ της πλευράς ΒΓ. Αν Δ και Ε είναι οι προβολές του Μ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

i) ΜΔ<ΒΜ και ΜΕ<ΜΓ

ii) ΔΕ<ΒΓ

iii) ΜΔ+ΜΕ<ΑΒ+ΑΓ

9. Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ και Μ ένα σημείο της πλευράς ΑΒ.

Να αποδειχθεί ότι: ΜΒ < ΜΓ.

Α

Β ΓΜ

∆

Ε

Σ ε λ ί δ α | 34

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

10. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με = 90° και Δ , Ε σημεία των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Φέρουμε την ΔΓ. Να αποδειχθεί ότι: ΔΕ < ΒΓ

11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Ν πάνω στην διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας της

διαφορετικό από το Α. Να αποδείξετε ότι: ΝΒ+ΝΓ >ΑΒ+ΑΓ

12. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ , η διχοτόμος του ΑΔ και Μ εσωτερικό σημείο της ΑΔ. Δείξτε ότι:

α) ΜΓ-ΜΒ<ΑΓ-ΑΒ β) ΜΒ<ΜΓ

13. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) . Από την κορυφή Β της βάσης του φέρουµε τυχαία ευθεία Β∆ εντός του τριγώνου, η οποία τέµνει την ΑΓ στο ∆. Να αποδειχθεί ότι Β∆ > ∆Γ.

14. Οι διχοτόµοι των γωνιών και ενός τριγώνου τέµνονται σε σηµείο Ο. Αν ΑΒ > ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΟΒ > ΟΓ.

15. Να αποδειχθεί ότι κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι µικρότερη από την ηµιπεριµετρό του.

16. Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆, η ΑΒ είναι η µεγαλύτερη και η Γ∆ η µικρότερη πλευρά του. Να αποδειχθεί ότι

i.Α∆Γ > Α Γ και ii. Β ∆ > Β ∆.

17. Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι Α∆ = ΒΓ και ∆> .Να αποδειχθεί ότι ΑΓ > Β∆.

Σ ε λ ί δ α | 35

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

18. Να αποδειχθεί ότι αν οι κάθετοι που φέρουµε από το µέσο µιας πλευράς ενός τριγώνου προς τις άλλες δύο πλευρές είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

19. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε αντίστοιχα τυχαία σηµεία ∆, Ε και Ζ. Να αποδειχθεί ότι η περίµετρος του τριγώνου ∆ ΕΖ είναι µικρότερη από την περίµετρο του Α Β Γ.

20. Να αποδειχθεί ότι κάθε διάµεσος ενός τριγώνου είναι µικρότερη από το ηµιάθροισµα των δύο πλευρών που περιέχουν τη διάµεσο και µεγαλύτερη από την ηµιδιαφορά τους σε απόλυτη τιµή.

21. Να αποδειχθεί ότι η διάµετρος ενός κύκλου είναι µεγαλύτερη από κάθε άλλη χορδή του.

22. ∆ίνεται κύκλος (Ο, ρ) µε διάµετρο ΑΒ και έστω Γ τυχαίο σηµείο της ακτίνας ΟΒ. Αν Μ σηµείο του κύκλου να αποδειχθεί ότι:

i. ΓΜ < ΓΑ. ii. ΓΜ > ΓΒ.

23. ∆ίνεται τρίγωνο Α ΒΓ και ∆ τυχαίο εσωτερικό σηµείο της ΒΓ. Η κάθετη από το ∆ στην ευθεία ΑΒ την τέµνει στο Ε, και η κάθετη από το ∆ στην ευθεία ΑΓ την τέµνει στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι ΒΓ > ΕΖ.

24. Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο που δεν ανήκει στη διχοτόµο µιας γωνίας α- πέχει άνισα από τις πλευρές της και αντίστροφα.

25. Στην προέκταση διαµέτρου ΑΒ ενός κύκλου παίρνουµε σηµείο Γ. Αν Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου, να αποδειχθεί ότι ΓΒ < ΓΜ < ΓΑ .

Σ ε λ ί δ α | 36

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

26. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και έστω ∆ σηµείο της πλευράς ΑΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ προς το Α κατά τµήµα ΑΕ = Α∆. Να συγκριθούν τα τµήµατα Β∆ και ΓΕ (για κάθε περίπτωση της γωνίας Α).

27. ∆ίνεται ΑΒΓ∆ κυρτό τετράπλευρο µε ΑΒ = ΒΓ και Α = Γ . Να αποδειχθεί ότι:

i. Α∆ = ∆Γ.

ii. Οι διαγώνιες του είναι κάθετες.

28. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε µη ισοσκελές τρίγωνο ισχύει < < .

29. Στη βάση ισοσκελούς τριγώνου Α ΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) παίρνουµε σηµείο ∆ ώστε Β∆ < ∆Γ.

i. Να αποδειχθεί ότι Β ∆ < ∆ Γ.

ii. Αν Μ τυχαίο σηµείο του Α∆, να αποδειχθεί ότι ΜΒ < ΜΓ και Α Μ < Α Μ .

30. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι για κάθε εσωτερικό σηµείο Μ της διχοτόµου Α∆ ισχύει ΜΒ <ΜΓ.

31. ∆ίνεται αµβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (µε > 90° ) . Έστω ∆ σηµείο της ΑΒ και Ε σηµείο της ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι: ΒΕ + Γ∆ > Β∆ + ∆Ε + ΕΓ.

32. ∆ίνονται δύο κύκλοι (Ο, ρ) και (Ο, R) µε ρ < R. Φέρουµε δύο χορδές ΑΒ και Γ∆ του κύκλου (Ο, ρ) που δεν διέρχονται από το κέντρο του, ώστε ΑΒ < Γ∆ . Αν οι ακτίνες ΟΑ και ΟΓ τέµνουν τον κύκλο (Ο, R) στα σηµεία Α΄ και Γ΄ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι Α΄Β < Γ΄∆.

33. Στην προέκταση του ύψους ΑΗ τριγώνου Α ΒΓ παίρνουµε τµήµα Η∆ = ΑΗ, και στην προέκταση της διαµέσου του ΑΜ παίρνουµε τµήµα ΜΕ = ΑΜ. Να αποδειχθεί ότι:

i. Γ ∆ = Β Ε και Β∆ = ΓΕ.

Σ ε λ ί δ α | 37

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ii. Αν οι ευθείες Β∆ και ΓΕ τέµνονται στο Ο, τότε η ΟΜ είναι κάθετη στις ΒΓ και ∆Ε.

34. Στο εσωτερικό κυρτού τετράπλευρου ΑΒΓ∆ παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ ώστε η τεθλασµένη ΑΕΖ∆ να είναι κυρτή. Να αποδειχθεί ότι η περίµετρος του τετραπλεύρου ΑΕΖ∆ είναι µικρότερη από την περίµετρο του ΑΒΓ∆.

35. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε αντίστοιχα τµήµατα Β∆ = ΓΕ. Να αποδειχθεί ότι: ∆Ε > ΒΓ.

36. Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ισχύει ΒΓ = Α∆ και Α > Β > 90. Να αποδειχθούν ότι:

i. Β∆ > ΑΓ.

ii. Γ∆ > ΑΒ.

ΚΑΘΕΤΑΚΑΙΠΛΑΓΙΑΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑΤΜΗΜΑΤΑΑν από σηµείο Α , εκτός ευθείας ε, φέρουµε κάθετο δ και πλάγιο τμήμα η προς την ε, που την τέµνουν στα Μ και Β αντίστοιχα, τότε το Μ ονοµάζεται προβολή του Α πάνω στην ε ή ίχνος της καθέτου και το Β ονοµάζεται ίχνος της η πάνω στην ε.

Αν δύο πλάγια τµήµατα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου και αντίστροφα.

Αν από σηµείο εκτός ευθείας φέρουµε ένα κάθετο και ένα πλάγιο ευθύγραµµο

τµήµα προς την ευθεία, τότε το κάθετο τµήµα είναι πάντοτε µικρότερο από το πλάγιο.

Σ ε λ ί δ α | 38

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Αν από σηµείο εκτός ευθείας φέρουµε δύο πλάγια προς αυτή τµήµατα, τότε αν τα τµήµατα είναι άνισα, και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου θα είναι οµοια άνισες και αντίστροφα.

ΕΥΘΕΙΑΚΑΙΚΥΚΛΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΕΣΘΕΣΕΙΣΕΥΘΕΙΑΣΚΑΙΚΥΚΛΟΥΗ σχετική θέση μιας ευθείας xx΄ και ενός κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ρ , C (Κ,ρ) καθορίζεται από την απόσταση δ = ΚΜ ,δηλαδή την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία xx΄.

Η ευθεία εε΄ είναι εξωτερική του κύκλου (κανένα κοινό σημείο) αν και μόνο αν δ > ρ Η ευθεία εε΄ εφάπτεται του κύκλου (ένα κοινό σημείο) αν και μόνο αν δ = ρ Η ευθεία εε΄ τέμνει τον κύκλο (δυο κοινά σημεία) αν και μόνο αν δ < ρ

1. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. 2. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική. 3. Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δυο κοινά σημεία.

Σ ε λ ί δ α | 39

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑΤΜΗΜΑΤΑ Έστω κύκλος ( Ο , ρ ) και Μ ένα σημείο εκτός κύκλου. Τα ευθύγραμμα τμήματα που εφάπτονται στον κύκλο από το σημείο Μ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου και η ευθεία που ενώνει το σημείο Μ με το κέντρο του κύκλου Ο λέγεται διακεντρική ευθεία του σημείου Μ.

Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα.

Η διακεντρική ευθεία του σημείου Μ είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής.

Η διακεντρική ευθεία του σημείου Μ διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής.

ΣΧΕΤΙΚΕΣΘΕΣΕΙΣΔΥΟΚΥΚΛΩΝΤο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος των δυο κύκλων και θα το συμβολίζουμε με δ .Οι σχετικές θέσεις δυο κύκλων εξαρτώνται από τη σχέση της διακέντρου με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους.

1. Κανένα κοινό σημείο μεταξύ δυο κύκλων.

Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις : i. Ο κύκλος με ακτίνα ρ βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου ακτίνας R αν

και μόνο αν ισχύει δ < R – ρ . ii. Ο κύκλος με ακτίνα ρ βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου ακτίνας R αν και μόνο

αν ισχύει δ > R + ρ .

Σ ε λ ί δ α | 40

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

2. Εφαπτόμενοι κύκλοι (ένα κοινό σημείο).

Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις :

i. Ο κύκλος ακτίνας ρ εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου ακτίνας R αν και μόνο αν ισχύει δ = R – ρ.

ii. Ο κύκλος ακτίνας ρ εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου ακτίνας R αν και μόνο αν ισχύει δ = R + ρ.

3. Τεμνόμενοι κύκλοι.(δυο κοινά σημεία)

Οι κύκλοι τέμνονται αν και μόνο αν ισχύει R – ρ < δ < R + ρ , δηλαδή η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο με πλευρές R , ρ , δ .

Η διάκεντρος δυο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους , ενώ αν οι δυο κύκλοι που τέμνονται είναι ίσοι (R=ρ) ,τότε η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου.

Σ ε λ ί δ α | 41

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΚοινήεφαπτομένηδυοκύκλωνΜία ευθεία που εφάπτεται µε δύο κύκλους ονοµάζεται κοινή εφαπτοµένη.

Όταν οι κύκλοι βρίσκονται προς το ίδιο µέρος της εφαπτοµένης, τότε αυτή ονοµάζεται εξωτερική εφαπτοµένη.

Όταν οι κύκλοι βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής, τότε ονοµάζεται εσωτερική εφαπτοµένη.

∆ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις(να γίνουν τα σχήματα από τους μαθητές):

i.Όταν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτοµένες και µία κοινή εσωτερική, η οποία είναι κάθετη στη διάκεντρο.

ii. Όταν ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου, έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτοµένες και δύο κοινές εσωτερικές εφαπτοµένες.

iii. Όταν δύο κύκλοι τέµνονται, έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτοµένες και καµία εσωτερική.

iv. Όταν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, έχουν µία κοινή εξωτερική εφαπτοµένη που είναι κάθετη στο φορέα της διακέντρου.

v.Όταν ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου, τότε δεν υπάρχει κοινή εφαπτοµένη.

Σ ε λ ί δ α | 42

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω Κ το µέσο της διακέντρου δύο ίσων κύκλων. Ευθεία που διέρχεται από το Κ τέµνει τους κύκλους στα σηµεία Α, Β και Α΄, Β΄ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΑΒ = Α΄Β΄.

2. Σε µία χορδή ΑΒ ενός κύκλου κέντρου Ο παίρνουµε σηµεία Γ και ∆ για τα οποία είναι ΑΓ = Β∆. Να αποδειχθεί ότι:

i. Α Γ = Β ∆

ii. Αν ΟΜ το απόστηµα της χορδής, τότε η ΟΜ είναι διχοτόµος του τριγώνου Ο∆ Γ.

3. Από σηµείο Α εξωτερικό ενός κύκλου (Κ, ρ) φέρουµε εφαπτοµένη ΑΒ στον κύκλο, όπου Β το σηµείο επαφής. Να συγκριθούν τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και ΑΚ.

4. Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο παράλληλων χορδών διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

5. Να αποδειχθεί ότι δύο σηµεία χορδής κύκλου, τα οποία είναι συµµετρικά ως προς το µέσο της χορδής, ισαπέχουν από το κέντρο του κύκλου και αντίστροφα.

6. Σε κύκλο µε κέντρο Ο παίρνουµε δύο ίσες χορδές ΑΒ και Γ∆, οι οποίες όταν προεκταθούν τέµνονται σε σηµείο Μ εκτός κύκλου. Να αποδειχθεί ότι:

i. Το σηµείο Μ ισαπέχει από τα άκρα των χορδών αυτών.

ii. Η ΟΜ διχοτοµεί τη γωνία Α ∆.

Σ ε λ ί δ α | 43

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

7. ∆ύο χορδές ΑΒ και Γ∆ ενός κύκλου τέµνονται σε σηµείο Μ εντός κύκλου. Να αποδειχθεί ότι η διχοτόµος της µίας γωνίας των χορδών διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

8. Από σημείο Α εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ , ΑΓ .

Αν ΑΒ= 2 5 6 και ΑΓ= 3 5, να βρείτε τα μήκη των ΑΒ , ΑΓ .

9. Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος εφάπτεται της πλευράς ΒΓ

και των ευθειών ΑΒ , ΑΓ Αποδείξτε ότι ΑΖ = ΑΕ = τ , όπου

τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ.

10. Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους (Ο,ρ) και (Ο΄,ρ) με ΟΟ΄ > 2ρ . Από το μέσο Μ του ΟΟ΄

φέρνουμε ευθεία ε που τέμνει τους κύκλους στα Α , Β και Α ΄, Β΄ αντιστοίχως . Να

δείξετε ότι ΑΒ=Α΄Β΄.

11. Θεωρούμε δύο κύκλους (Ο, ρ1) και (Ο΄, ρ2) με ρ1 > ρ2 και η διάκεντρος δ=ΟΟ΄

α) Αν δ = 1 22

2

, αποδείξτε ότι οι κύκλοι τέμνονται .

β) Αν δ = 2 2

1 2

1 2

, αποδείξτε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

γ) Αν δ = 2 2

1 2

1 2

, αποδείξτε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.

12. Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους με άνισες ακτίνες και ευθεία ε που τέμνει

αυτούς κατά σειρά στα σημεία Γ , Α , Β , Δ .Αποδείξτε ότι : ΑΓ=ΒΔ και ΒΓ=ΑΔ .

13. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και η εφαπτομένη ευθεία ε στο σημείο Α του κύκλου. Εκατέρωθεν

του Α πάνω στην ε παίρνουμε σημεία Δ και Ε ώστε ΑΔ=ΑΕ. Τα τμήματα ΟΔ και ΟΕ

τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι ΔΓ=ΒΕ.

Α

Β

Γ

Ε

Ζ

Σ ε λ ί δ α | 44

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

14. Οι κύκλοι του διπλανού σχήματος εφάπτονται εσωτερικά

στο σημείο Γ. Τα τμήματα του σχήματος είναι εφαπτόμενα

σε σημεία των δύο κύκλων.Αν ΑΒ=ΕΗ , να δειχθεί ΒΔ=ΕΖ.

15. Να δείξετε ότι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα ΜΝ των δύο κύκλων του

παρακάτω σχήματος είναι μικρότερο της διακέντρου ΚΛ.

16. ∆ύο ίσοι κύκλοι µε κέντρα Κ και Λ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Από το µέσο Ο της ΑΒ φέρουµε τυχαία ευθεία ε που τέµνει τον κύκλο µε κέντρο Κ στα ∆ και Ε, και τον κύκλο µε κέντρο Λ στα Ζ και Η (το Ζ σηµείο της ∆Ε και το Ε της ΖΗ). Να αποδειχθεί ότι: ΟΕ = ΟΖ.

17. ∆ύο κύκλοι (Ο,ρ) και (Ο, R) έχουν ρ < R . Από σηµείο Κ εξωτερικό του κύκλου (Ο, R) φέρουµε κύκλο (Κ, R), ο οποίος τέµνει τους δύο άλλους κύκλους στα σηµεία Α, Β και Γ, ∆ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι AB // Γ∆ .

18. ∆ίνεται κύκλος (Κ, ρ) και σηµείο του Λ. Κατασκευάζουµε κύκλο (Λ, ρ). i.Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέµνονται. ii.Αν Α το ένα σηµείο τοµής των δύο κύκλων και Ε, Ζ τα αντιδιαµετρικά του Α στους κύκλους (Κ, ρ) και (Λ, ρ) αντίστοιχα, να βρεθεί το είδος του τριγώνου Α ΚΛ ως προς τις πλευρές του. iii. Να αποδειχθεί ότι ΕΛ = ΚΖ.

Ε Γ Β

Η ΑΖ ΔΚ

Λ

Κ Λ

ΜΝ

Σ ε λ ί δ α | 45

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣΕΥΘΕΙΕΣΓνωρίζουμε ότι οι σχετικές θέσεις 2 ευθειών είναι οι εξής:

Ταυτίζονται. Τέμνονται. Δεν τέμνονται. Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και

δεν τέμνονται ( άρα δεν έχουν κανένα κοινό σημείο ) λέγονται παράλληλες.

Έστω 2 ευθείες του επιπέδου και και ας θεωρήσουμε άλλη μια ευθεία η οποία τις τέμνει. Θα λέμε ότι οι ευθείες και είναι μεταξύ τους παράλληλες ( // ) όταν τεμνόμενες από την τρίτη σχηματίζουν :

1. 2 εντός εναλλάξ γωνίες ΙΣΕΣ . = και = 2. 2 εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ΙΣΕΣ . = και = και = και

= 3. 2 εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ . + =180° και

+ =180°

ΑΙΤΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ: Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή.

Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των Στοιχείων του Ευκλείδη:

Αν μια ευθεία τέμνει δυο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος εντός και επι τα αυτά γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δυο ορθές ,τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Σ ε λ ί δ α | 46

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Κριτήρια παραλληλίας ευθειών. 1. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες,

τότε είναι παράλληλες.

απόδειξη:

έστω ω=φ και ότι οι ευθείες και δεν είναι

παράλληλες ,άρα τέμνονται στο σημείο Γ .Τότε

σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία φ να είναι

εξωτερική του. Όμως φ = ω δηλαδή η φ ισούται με την

απέναντι εσωτερική γωνία ω του τριγώνου. ΑΤΟΠΟ , καθώς κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου

είναι μεγαλύτερη από κάθε μια από τις απέναντι εσωτερικές. Άρα // .

2. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός, εκτός και επί τα αυτά

μέρη γωνίες ίσες . τότε είναι παράλληλες.

3. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη

παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες.

Σ ε λ ί δ α | 47

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

4. Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια τρίτη ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ

τους παράλληλες.

5. Δύο ευθείες παράλληλες στην ίδια τρίτη ευθεία ,είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Παρατήρηση: χρησιμοποιώντας ένα από τα παραπάνω κριτήρια μπορώ να διαπιστώσω και να δείξω ότι δυο ευθείες είναι παράλληλες.

Ιδιότητες παράλληλων ευθειών. i. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ

γωνίες ίσες.

απόδειξη:

Έστω // και η τέμνουσα αυτών. Θα δείξουμε ότι ω = φ . Έστω ω ≠ φ ,τότε φέρνουμε την ημιευθεία Αx έτσι ώστε η γωνία φ να ισούται με την . Άρα Αx // αφού τεμνόμενες από την σχηματίζουν 2 εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. ΑΤΟΠΟ οπότε ω = φ .

ii. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες.

iii. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές.

iv. Αν δύο διαφορετικές ευθείες και είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία , τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες.

Σ ε λ ί δ α | 48

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

απόδειξη:

έστω // και // . Αν οι και τέμνονταν στο σημείο Α τότε από το Α διέρχονται δυο ευθείες παράλληλες στην

.ΑΤΟΠΟ.

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή.

v. Αν δύο ευθείες και είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία τέμνει τη μία από

αυτές, τότε η θα τέμνει και την άλλη.

απόδειξη:

Έστω // και η τέμνει την στο σημείο Α. αν η δεν

έτεμνε την τότε θα ήταν παράλληλες οπότε από το Α θα

είχαμε δυο παράλληλες προς την .ΑΤΟΠΟ . Άρα η τέμνει

την .

vi. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και

στην άλλη.

vii. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη

γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος

της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες .

απόδειξη:

Έστω ότι η τέμνει τις και στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και

ότι ω + φ ≠ 180° άρα οι και δεν είναι παράλληλες οπότε θα

τέμνονται ,και έστω Μ το σημείο τομής τους προς το μέρος της

τέμνουσας που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ .Τότε όμως η

εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΜΒ είναι μεγαλύτερη από την του τριγώνου. Άρα φ >

φ> 180° – ω φ + ω >180 .ΑΤΟΠΟ . Οπότε οι και θα τέμνονται προς το μέρος της

τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ .

Σ ε λ ί δ α | 49

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

viii. Έστω και δύο παράλληλες ευθείες οι οποίες τέµνονται από ευθεία ε. Τότε οι

διχοτόµοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες, ενώ οι διχοτόµοι δύο

εντός και επί τα αυτά µέρη γωνιών είναι κάθετες.

ix. Κατασκευή παράλληλης ευθείας.

Από τυχαίο σηµείο Α, που βρίσκεται εκτός της ευθείας ζ, να φέρετε παράλληλη προς στη ζ.

τρόπος:

Από τυχαίο σηµείο Α φέρουµε τέµνουσα της ζ και έστω Β το σηµείο τοµής. Έστω η γωνία που

σχηµατίζει η ΑΒ µε την ζ. Με κορυφή το σηµείο Α και πλευρά την ΑΒ σχηµατίζουµε γωνία Β Γ

ίση µε τη γωνία . Η ευθεία ΑΓ είναι η ζητούµενη παράλληλη ευθεία.

ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΠΛΕΥΡΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές παράλληλες μία προς μία τότε είναι ίσες αν είναι και οι

δυο οξείες ή αμβλείες ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη

αμβλεία.

Σ ε λ ί δ α | 50

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΚΥΚΛΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ο ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Οι τρείς μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο , το οποίο

είναι το κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.

i. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών ενός τριγώνου λέγεται περίκεντρο.

ii. Ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου λέγεται περιγεγραμμένος

κύκλος του τριγώνου.

Ο ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο είναι το κέντρο

κύκλου που εφάπτεται στις τρείς πλευρές του τριγώνου.

i. Το σημείο τομής των διχοτόμων λέγεται έγκεντρο .

ii. Ο κύκλος που εφάπτεται στις πλευρές του τριγώνου λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος

του τριγώνου.

Σ ε λ ί δ α | 51

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Έστω γωνία = 50 και σημείο Δ της διχοτόμου της . Αν η παράλληλη από το Δ προς

την Οx τέμνει την Οy στο Ε ,τότε να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΟΔΕ . 2. Από την κορυφή Β τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε τμήμα ΒΔ // ΑΓ και ίσο με ΑΒ . Να δειχθεί

ότι η ΑΔ διχοτομεί την ή την . 3. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) και τμήμα ΒΔ = ΒΓ κάθετο στην ΑΒ , έτσι ώστε τα Γ , Δ να

είναι προς το ίδιο μέρος της ΑΒ . Να δειχθεί ότι η ΓΔ διχοτομεί τη . 4. Στο παρακάτω σχήμα αν είναι Αx//Γy να δειχθεί ότι : = + .

5. Έστω // και τέμνουσα τους στα σημεία Α και Β . Να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι 2

εντός και εναλλάξ γωνιών στα Α και Β είναι παράλληλες . 6. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) και ΑΜ η διάμεσος του. Η παράλληλη προς

την ΑΜ από το Γ τέμνει την ΒΑ στο Δ . Να δείξετε ότι ΑΓ = ΑΔ . 7. Στο παρακάτω σχήμα οι ΒΚ και ΓΚ είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα .

Αν ΚΔ//ΑΒ και ΚΕ//ΑΓ να δείξετε ότι : ΚΔ +ΔΕ+ΕΚ=ΒΓ .

8. Να δείξετε ότι αν δυο απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ίσες ,τότε οι διχοτόμοι

των δυο άλλων γωνιών του είναι παράλληλες. 9. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ )και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ .Να δείξετε ότι

ΔΕ//ΒΓ. 10. Έστω κύκλος (Ο ,ρ) και Μ το μέσο μιας χορδής του ΑΒ. Αν Οχ κάθετη στην ΟΜ να

δείξετε ότι Οχ//ΑΒ . 11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε ΒΕ//ΑΔ που

τέμνει τη προέκταση της ΓΑ στο Ε. Να δείξετε ότι : ΕΓ = ΑΒ + ΑΓ . 12. Έστω // και τέμνουσα τους στα σημεία Α και Β . Να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι 2

εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι μεταξύ τους κάθετες . 13. Προεκτείνουμε τη διάμετρο ΑΒ ενός κύκλου (Ο,R) κατά τμήμα ΑΜ και από το Μ

φέρνουμε τέμνουσα ΜΓΔ του κύκλου , ώστε ΜΓ=R. Δείξτε ότι η γωνία ΔO

Β είναι

τριπλάσια της ΓO

Μ. 14. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Στις ίσες πλευρές παίρνουµε σηµεία ∆ και Ε

αντίστοιχα, έτσι ώστε Α∆ = ΑΕ. Να δείξτε ότι ∆Ε // ΒΓ.

Σ ε λ ί δ α | 52

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

15. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΒΓ και η διχοτόµος Αx της εξωτερικής γωνίας εξ . Από την κορυφή Β φέρουµε ηµιευθεία Βy // Ax, που τέµνει την πλευρά ΑΓ στο σηµείο ∆. Να δείξετε ότι ∆Γ = ΑΓ − ΑΒ .

16. ∆ίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 . Πάνω σε αυτές παίρνουµε τα ευθύγραµµα

τµήµατα ΑΒ και Γ∆ που είναι άνισα µεταξύ τους. Φέρουµε τις Α∆ και ΒΓ οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Ε. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΕΓ∆ έχουν τις γωνίες τους ίσες µία προς µία.

17. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ . Φέρουµε τις διχοτόµους της γωνίας Α και της

εξωτερικής γωνίας εξ . Αν από την κορυφή Β φέρουµε παράλληλη στην πλευρά ΑΓ, η οποία τέµνει τις διχοτόµους στα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα, να δείξετε ότι Β∆=ΒΕ.

18. ∆ίνεται γωνία xOy και έστω ένα τυχαίο σηµείο Α της πλευράς Οx. Από το Α φέρουµε

ευθεία παράλληλη προς την πλευρά Οy και πάνω σε αυτή παίρνουµε τµήµα AB = OA . Αν το ΑΒ βρίσκεται στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό της γωνίας xOy, να δείξετε ότι η ευθεία OB είναι διχοτόµος της γωνίας xOy ή της παραπληρωµατικής της.

19. Από την κορυφή Α ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ φέρουµε ηµιευθεία Αx κάθετη προς

την ΑΓ, στο ηµιεπίπεδο που δεν περιέχει το Β. Πάνω σε αυτή παίρνουµε σηµείο ∆ έτσι ώστε A∆ = BΓ . Να δείξετε ότι η Β∆ διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζεται από την πλευρά ΑΒ και το ύψος ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ.

20. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ο εγγεγραµµένος κύκλος εφάπτεται στο µέσο της

πλευράς ΒΓ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

21. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και φέρουµε ευθεία ε // BΓ που διέρχεται από την κορυφή Α. Επίσης φέρουµε τις διχοτόµους των γωνιών Β και Γ, οι οποίες τέµνουν την ευθεία ε στα σηµεία ∆ και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ∆Ζ = ΑB + ΑΓ.

22. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε AΒ = ΑΓ. Από την κορυφή Α φέρουµε ευθεία ε

παράλληλη στη ΒΓ. Να δείξετε ότι η ευθεία ε διχοτοµεί την εξωτερική γωνία εξ του τριγώνου ΑΒΓ.

23. ∆ίνεται µία γωνία xOy και στην πλευρά της Οx παίρνουµε ένα τυχαίο σηµείο Α και φέρουµε κάθετη στην Οy που την τέµνει στο σηµείο Β. Φέρουµε τη διχοτόµο της γωνίας ΟΑΒ που τέµνει την Οy στο σηµείο Γ και στη συνέχεια από το σηµείο Γ φέρουµε κάθετη στην Οy που τέµνει την ηµιευθεία Οx στο σηµείο ∆. Να δείξετε ότι το τρίγωνο Γ∆Α είναι ισοσκελές.

24. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ . Παίρνουµε τυχαίο σηµείο ∆ της πλευράς ΒΓ

και έστω Ε και Ζ τα µέσα των ευθύγραµµων τµηµάτων Β∆ και Γ∆ αντίστοιχα. Από τα σηµεία Ε και Ζ φέρουµε κάθετες προς την πλευρά ΒΓ, οι οποίες τέµνουν τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Η και Θ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι Η∆Θ = .

Σ ε λ ί δ α | 53

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

25. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ . Φέρουµε ευθεία ε παράλληλη προς τη βάση ΒΓ η οποία τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα. Αν φέρουµε το ύψος ΑΖ, να δείξετε ότι

α. Ε∆Ζ = ∆ Ζ , β. Α ∆ = Α Ε .

26. ∆ίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Ο, ρ) και (Κ, ρ) µε ΟΚ > 2ρ . Έστω Μ το µέσο της ΟΚ. Φέρουµε µία ευθεία ε που διέρχεται από το Μ και τέµνει τους δύο κύκλους στα σηµεία Α και Β, Γ και ∆ αντίστοιχα µε τη σειρά που δίνονται. Να δείξετε ότι: α. ΑΒ = Γ∆ β. ΟΑ // Κ∆ γ. οι εφαπτόµενες στα σηµεία Α και ∆ είναι µεταξύ τους παράλληλες.

27. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο γνωρίζουµε ότι Β = 2Γ και α = 2γ .Να δείξετε ότι

= 90° .

28. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ=Α∆ και ΒΓ=Γ∆. Οι πλευρές ΑΒ και Γ∆ τέµνονται στο σηµείο Κ, ενώ οι πλευρές Α∆ και ΒΓ τέµνονται στο σηµείο Λ.Να δείξετε ότι ΚΛ // Β∆ .

29. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, για το οποίο γνωρίζουµε ότι < 90° και γ = 2β .Να δείξετε ότι

<

30. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ. Φέρουµε τη διχοτόµο Α∆. Το σηµείο Ε είναι το µέσο της πλευράς ΒΓ. Φέρουµε ευθεία ε παράλληλη στο Α∆ που διέρχεται από το Ε και τέµνει την πλευρά ΑΒ στο Ζ και την ΑΓ στο Η.

Να δείξετε ότι ΒΖ = ΓΗ =

Σ ε λ ί δ α | 54

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 2 ορθές.

απόδειξη:

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο. Από μια κορυφή του π.χ. την Α φέρνουμε

ευθεία ε // ΒΓ . Άρα ω = και φ = ως εντός και εναλλάξ των

παραλλήλων ε και ΒΓ με τέμνουσες τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Όμως ω + + φ = 180° άρα και = 180° .

Θεώρημα 2. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δυο

απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου.

απόδειξη:

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο. Άρα = 180° .επίσης έχουμε

= 180° (και = 180° και = 180°) ,δηλ.

= =

= . Όμοια = και = .

Παρατηρήσεις:

1. Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες μια προς μια ίσες τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους

ίσες.

2. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι μεταξύ τους συμπληρωματικές.

3. Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60°

Σ ε λ ί δ α | 55

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΠΛΕΥΡΕΣ ΚΑΘΕΤΕΣ Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους κάθετες τότε είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή

αμβλείες ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Πολύγωνο είναι το γεωμετρικό σχήμα που έχει πολλές πλευρές και γωνίες. Τα πολύγωνα ονομάζονται ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών και των πλευρών που έχουν.

ΓΩΝΙΕΣ ΚΥΡΤΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 1. Το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου με ν πλευρές είναι (2ν-4) ορθές. 2. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν - γώνου είναι 4 ορθές.

Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με (ν-2)180°.

Απόδειξη:

Θεωρούμε πολύγωνο ν γωνιών. Από μία κορυφή του φέρνουμε όλες τις διαγωνίους προς τις άλλες κορυφές. Με αυτόν τον τρόπο το πολύγωνο διαιρείται σε ( ν-2 ) τρίγωνα με συνολικό άθροισμα γωνιών προφανώς ίσο με το άθροισμα των των γωνιών του ν-γώνου, ίσο με (ν-2)180°.

Σ ε λ ί δ α | 56

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με 360°. Απόδειξη: Θεωρούμε πολύγωνο ν γωνιών . Αν για κάθε κορυφή πάρουμε το άθροισμα της εσωτερικής και εξωτερικής της γωνίας τότε έχουμε:

= 180° = 180°

………...…= ….. = 180°

και αν αθροίσουμε κατά μέλη, έχουμε: . . . ° … . . . ° . . . ° . . . ° ° °

. . . °

Σ ε λ ί δ α | 57

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΠΑΡΑΤΗΡΩ ΟΤΙ:

Για να δείξουµε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, αρκεί να δείξουµε ότι όταν τέµνονται από µία άλλη ευθεία, σχηµατίζουν κάποιο ζευγάρι ίσων ή παραπληρωµατικών γωνιών.

Για να δείξουµε ότι τα τρία σηµεία είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουµε ότι δύο ευθύγραµµα τµήµατα που σχηµατίζουν τα σηµεία αυτά βρίσκονται σε παράλληλους φορείς και επειδή έχουν ένα κοινό σηµείο θα βρίσκονται στον ίδιο φορέα δηλαδή στην ίδια ευθεία.

Κάθε ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία 60 είναι ισόπλευρο. Κάθε ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει 2 οξείες γωνίες. Αν 2 γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες με 2 γωνίες άλλου τριγώνου τότε και οι τρίτες

γωνίες των τριγώνων είναι μεταξύ τους ίσες.

Σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι : = 180. Αν σε κάποιο πρόβλημα ασχοληθούμε με

διχοτόμους γωνιών τριγώνου τότε συχνά μετατρέπουμε τη σχέση μας σε

=

δηλ :

=90° .

Αντίστοιχα αν στη θέση τριγώνου έχουμε κυρτό τετράπλευρο τότε ισχύουν οι σχέσεις

= 360° ή

= 180° .

Σε τρίγωνο ΑΒΓ μπορούμε να εκφράσουμε κάθε γωνία του ως εξής : πχ. = 180° .

Για να δείξουµε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, αρκεί να δείξουµε ότι:

α. είναι παράλληλες προς µία τρίτη ευθεία

β. είναι κάθετες σε µία τρίτη ευθεία

γ. τεµνόµενες από µία τρίτη ευθεία σχηµατίζουν:

Σ ε λ ί δ α | 58

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

i. ∆ύο εντός εναλλάξ γωνίες τους ίσες.

ii. ∆ύο εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες ίσες.

iii. ∆ύο εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τους παραπληρωµατικές.

Για να δείξουµε ότι δύο ευθείες τέµνονται, αρκεί να δείξουµε ότι τεµνόµενες από µία τρίτη ευθεία σχηµατίζουν δύο εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες που έχουν άθροισµα µικρότερο από δύο ορθές γωνίες.

Για να δείξουµε ότι δύο γωνίες είναι ίσες αρκεί να δείξουµε ότι είναι:

α. Εντός εναλλάξ παράλληλων ευθειών.

β. Εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες παράλληλων ευθειών.

γ. Γωνίες ίσων τριγώνων(αντίστοιχες ίσων πλευρών).

δ. Κατακορυφήν γωνίες.

ε. Συµπληρωματικές ίσων γωνιών.

ζ. Παραπληρωματικές ίσων γωνιών.

η. ∆ιαφορές ή αθροίσµατα ίσων γωνιών.

θ. Γωνίες προσκείµενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου.

ι. Γωνίες µε πλευρές κάθετες (και οι δύο οξείες ή και οι δύο αµβλείες).

ια. Γωνίες µε πλευρές παράλληλες (και οι δύο οξείες ή και οι δύο αµβλείες).

Σ ε λ ί δ α | 59

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και στην ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΔ = ΑΒ . Να δειχθεί ότι:

= 90° + και = . 2. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ , Λ εφάπτονται εξωτερικά στο Α . Αν ευθεία ε εφάπτεται των

κύκλων στα Β, Γ αντίστοιχα , αποδείξτε ότι ΒΑΑΓ .

3. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με

=20° +

, ΑΔ διχοτόμος και Ε σημείο της πλευράς ΑΓ

με ΑΕ=ΑΒ Υπολογίστε τις γωνίες Ε

Γ , Α

Β , Α

Γ.

4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με = 45° και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που τέμνονται στο Η. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΕΗΒ είναι ισοσκελή. β) ΑΗ=ΒΓ.

5. Αν οι γωνίες ενός τριγώνου είναι x

, 2 x

, 3 x

τότε να βρείτε το είδος του τριγώνου ως

προς τις γωνίες του .

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με

= 90° . Να υπολογίσετε το άθροισμα

εξ +

εξ .

7. Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού 12-γώνου ;

8. Αν ένα κυρτό πολύγωνο έχει άθροισμα γωνιών 8 ορθές , πόσες κορυφές έχει ;

9. Υπάρχει κυρτό πολύγωνο με άθροισμα γωνιών 11 ορθές ;

10. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και κέντρου Κ. Από το Κ φέρω την ακτίνα και έστω Μ το μέσο της ΚΓ. Από το Μ φέρνω την κάθετη στην ΚΓ η οποία τέμνει τον κύκλο στο Δ. α)Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΔΓ είναι ισόπλευρο. β) Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της Μ Κ. γ) Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία Β Δ.

11. ∆ίνεται µία γωνία x y = 70° και η διχοτόµος της Οδ. Παίρνουµε σηµείο Α της διχοτόµου και φέρουµε παράλληλη προς την Οx η οποία τέµνει την Οy στο σηµείο Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΟΒ.

12. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Ι έγκεντρο. Αν = 60° , να υπολογίσετε το µέτρο της γωνίας Β Γ.

13. ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90°. Στο εξωτερικό του τριγώνου κατασκευάζουµε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ∆. Να υπολογίσετε τα µέτρα των γωνιών του τριγώνου ΑΓ∆ και του τριγώνου ΒΓ∆.

14. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90° και Α∆ ύψος. Φέρουµε τη διχοτόµο της γωνίας ∆AΓ, η οποία τέµνει την ΒΓ στο σηµείο Ε. Να δείξετε ότι ΒΕ = ΑΒ.

Σ ε λ ί δ α | 60

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

15. Οι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 1, 2, 3, 4.Να βρεθούν τα µέτρα των γωνιών του.

16. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90° . Από τις κορυφές Β και Γ και εξωτερικά του τριγώνου φέρουµε Bx και Γy ηµιευθείες που σχηµατίζουν µε τις ΑΒ και ΑΓ γωνίες 45°. Από το σηµείο Α φέρουµε Α∆ κάθετη στην ηµιευθεία Βx και ΑΕ κάθετη στη Γy.Να δείξετε ότι τα σηµεία ∆, Α, Ε είναι συνευθειακά.

17. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και A= 78° . Προεκτείνουµε τη ΒΓ και προς τα δύο µέρη. Στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα Β∆ = ΑΒ και ΓΕ = ΑΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ και Α∆Ε.

18. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι εξωτερικές γωνίες εξ , εξ , εξ είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 3, 4, 5. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

19. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε = 60° και = 50°. Να δείξετε ότι το ύψος Α∆ και η διχοτόµος ΒΕ τέµνονται σε ένα σηµείο Ζ και να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΖΕ.

20. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90°. Να δείξετε ότι οι διχοτόµοι των εξωτερικών γωνιών εξ και εξ σχηµατίζουν γωνία 45°.

21. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και = 120° . Στην πλευρά ΒΓ παίρνουµε σηµεία ∆ και Ε έτσι ώστε Β∆ = ΓΕ = ΑΒ.Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων που σχηµατίζονται.

22. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε 2 = .Η διχοτόµος της εξωτερικής γωνίας εξ σχηµατίζει µε την ΑΒ πλευρά του τριγώνου γωνία 70°.Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

23. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε = 2 = 2 .Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Σ ε λ ί δ α | 61

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

24. Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου που έχει όλες τις γωνίες του ίσες µε 8/5 της ορθής.

25. Μία γωνία ενός δεκαγώνου είναι ορθή. Οι υπόλοιπες είναι ίσες µεταξύ τους. Πόσες µοίρες είναι κάθε γωνία του;

26. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ότι − = 50°.Στην πλευρά ΑΓ παίρνουµε σηµείο ∆ µε Α∆ = ΑΒ. Να υπολογίσετε τη γωνία ∆ Γ.

27. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται η σχέση = 3 .Στην πλευρά ΑΓ παίρνουµε σηµείο ∆ έτσι ώστε ∆ Γ = Γ. Να δείξετε ότι η διχοτόµος της γωνίας A είναι κάθετη στην Β∆.

28. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε > προεκτείνουµε την πλευρά ΓΑ και παίρνουµε τµήµα Α∆ = ΑΒ.

Να δείξετε ότι ∆ΒΓ = 90° + .

29. ∆ίνεται µία ορθή γωνία xOy. Στην πλευρά Οx παίρνουµε σηµείο Α και στην πλευρά Οy ένα σηµείο Β. Από το Α φέρουµε ηµιευθεία Αz, που σχηµατίζει µε την Οx γωνία 30° και τέµνει την Οy στο σηµείο ∆. Από το σηµείο Β φέρουµε ηµιευθεία Βt, που σχηµατίζει µε την Οy γωνία 30° και τέµνει την Οx στο σηµείο Γ. Τα ευθύγραµµα τµήµατα Α∆ και ΒΓ τέµνονται στο σηµείο Ε.Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ και Β∆Ε είναι ισοσκελή.

30. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ∆, ΑΓΕ και ΒΓΖ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ∆ΕΖ είναι ισοσκελές.

31. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε = 120° . Φέρουµε τη διχοτόµο της γωνίας Α που τέµνει την πλευρά ΒΓ στο σηµείο ∆. Από το σηµείο ∆ φέρουµε παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ, η οποία τέµνει την ΑΓ στο σηµείο Ε.

α. Να δείξετε ότι το Α∆Ε τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Σ ε λ ί δ α | 62

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

β. Να υπολογίσετε το µέτρο των γωνιών E∆Γ και Α∆Β αν γνωρίζουµε ότι η γωνία είναι κατά 20° µεγαλύτερη από τη γωνία .

32. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ,

ΓΕ και ΑΖ. Να αποδείξετε ότι: = 60 .

33. Σε ευθεία θεωρούμε κατά σειρά τα σημεία Α,Β,Γ έτσι ώστε ΑΒ=2ΒΓ και στο ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ. Να αποδείξετε ότι:

α) Η απόσταση ΔΖ του Δ από την ΑΒ ισούται με ΔΕ

β) ΔΕ ΒΕ γ) το τρίγωνο ΔΖΕ είναι ισόπλευρο.

34. Σε τρίγωνο ΑΒΓ χαράσσουμε την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας Α και τα ύψη ΒΖ και ΓΘ από τις κορυφές Β και Γ τα οποία την τέμνουν στα σημεία Δ και Ε. Αν Η το σημείο τομής των υψών, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΗ είναι ισοσκελές.

35. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με =2 και το ύψος του ΑΚ. Ο κύκλος κέντρου Α και ακτίνας ΑΓ τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Ε. Να δειχθεί ότι:

α) Το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισοσκελές. β) ΚΓ=ΚΒ+ΑΒ .

36. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στο σημείο Α φέρνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΑΕ έτσι ώστε ΑΔΑΒ, ΑΕΑΓ, ΑΔ=ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ και οι γωνίες ΔΑΒ, ΒΑΓ και ΓΑΕ να είναι διαδοχικές. Αν Η είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΓΔ, να αποδείξετε ότι:

α) ΒΕ=ΓΔ

β) ΒΕ ΓΔ

37. Δίνεται ισοσκελές ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με > 30 . Στην πλευρά ΒΓ παίρνουμε σημείο Δ με = 30° και στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι = 15°

. 38. Αν ΑΔ ,ΒΕ, ΓΖ είναι διχοτόμοι του

τριγώνου ΑΒΓ να υπολογίσετε το

άθροισμα

+

+

.

Α

Β ΓΔ

Ε

Ζ

ω

φ

θ

Σ ε λ ί δ α | 63

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ–ΤΡΑΠΕΖΙΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΟΡΙΣΜΟΣ

Παραλληλόγραμμο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες.

Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ λέγοντα διαγώνιοι του και το σημείο τομής τους Ο λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. Η απόσταση των δύο απέναντι παραλλήλων λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

1. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. 2. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. 3. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται.(δηλ κάθε μια από τις διαγωνίους διέρχεται από το μέσο

της άλλης) 4. Δύο διαδοχικές γωνίες είναι μεταξύ τους παραπληρωματικές.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ

1. Οι απέναντι πλευρές να είναι ανα δύο ίσες. 2. Οι απέναντι γωνίες να είναι ανα δύο ίσες. 3. Δύο απέναντι πλευρές του να είναι ίσες και παράλληλες. 4. Οι διαγώνιοι του να διχοτομούνται.

Για να αποδείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο πρέπει οποσδήποτε να αποδείξω ένα από τα τέσσερα παραπάνω κριτήρια.

Σ ε λ ί δ α | 64

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο για το οποίο γνωρίζουµε ότι οι διαδοχικές γωνίες έχουν µέτρο x και 4x − 10.Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµµου.

2. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Φέρουµε τις διχοτόµους ΑΕ και ΒΖ. Να δείξετε ότι τέµνονται κάθετα.

3. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Φέρουµε τις διχοτόµους ΑΕ και ΓΖ. Να δείξετε ότι είναι παράλληλες.

4. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Παίρνουµε τα µέσα Ε και Ζ των απέναντι πλευρών ΑΒ και ∆Γ. Να δείξετε ότι τα τετράπλευρα ΑΕΖ∆ και ΕΒΓΖ είναι παραλληλόγραµµα.

5. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ στο οποίο ισχύει AB = 2BΓ . Να δείξετε ότι η διχοτόµος της γωνίας Β διχοτοµεί και το ευθύγραµµο τµήµα ΓΕ, όπου Ε το µέσο της πλευράς ΑΒ.

6. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουµε τις διαµέσους Β∆ και ΓΕ. Προεκτείνουµε τη Β∆ κατά ίσο τµήµα Β∆ = ∆Ζ και την ΓΕ κατά ίσο τµήµα ΓΕ = ΕΗ.

Να δείξετε ότι:

i. τα σηµεία Ζ, Α, Η είναι συνευθειακά,

ii. ΑΖ = ΖΗ.

7. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Φέρουµε τις διαγωνίους ΑΓ και Β∆ που τέµνονται στο σηµείο Ε. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ζ της πλευράς ΑΒ και φέρουµε την ΕΖ.

Σ ε λ ί δ α | 65

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Προεκτείνουµε την ΕΖ ώστε να τέμνει την πλευρά ∆Γ στο σηµείο Η. Να δείξετε ότι το ΑΖΓΗ είναι παραλληλόγραµµο.

8. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Παίρνουµε το µέσο ∆ της πλευράς ΑΒ και φέρουµε µία ευθεία η οποία διέρχεται από το ∆ και τέµνει την πλευρά ΑΓ σε σηµείο Ε. Προεκτείνουµε την Ε∆ κατά ίσο τµήµα ∆Ζ = Ε∆. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΖΑΕ είναι παραλληλόγραµµο.

9. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Φέρουµε τη διχοτόµο της γωνίας Β που δεν διέρχεται από το ∆. Να δείξετε ότι η διχοτόµος δηµιουργεί µε τις πλευρές του τρία ίσα τρίγωνα.

10. ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ κατά ίσο τµήµα ΒΕ. Το ευθύγραµµο τµήµα ∆Ε τέµνει την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ. Να δείξετε ότι:

i. Το Ζ είναι το µέσο της ΒΓ,

ii. το ΒΕΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο.

11. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Παίρνουµε Ε και Ζ τα µέσα των απέναντι πλευρών ΑΒ και Γ∆. Φέρουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΖ και ∆Ε που τέµνονται στο Η, καθώς και τα τµήµατα ΒΖ και ΓΕ που τέµνονται στο Θ.Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΗΕΘ είναι παραλληλόγραµµο.

Σ ε λ ί δ α | 66

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΕΙΔΗΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΟΡΙΣΜΟΣ

Ορθογώνιο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

1. Οι διαγώνιοι είναι ίσες.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ

Για να αποδείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αρκεί να δείξω ένα από τα παρακάτω ,δηλ. ότι:

1. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια γωνία ορθή. 2. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει ίσες διαγωνίους. 3. Έχει τρείς γωνίες ορθές. 4. Έχει όλες τις γωνίες του ίσες.

ΡΟΜΒΟΣΟΡΙΣΜΟΣ

Ρόμβος ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Σ ε λ ί δ α | 67

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

1. Οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα. 2. Οι διαγώνιοι του διχοτομούν τις γωνίες του.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ

Για να αποδείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αρκεί να δείξω ένα από τα παρακάτω ,δηλ. ότι:

1. Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. 2. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες. 3. Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα. 4. Είναι παραλληλόγραμμο και μια διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία του.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΟΡΙΣΜΟΣ

Τετράγωνο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

1. Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. 2. Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. 3. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. 4. Οι διαγώνιοι του είναι ίσες , τέμνονται κάθετα , διχοτομούνται και διχοτομούν τις

γωνίες του.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ

Για να αποδείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο αρκεί να δείξω ένα από τα παρακάτω ,δηλ. ότι:

1. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ορθή γωνία και δυο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Σ ε λ ί δ α | 68

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

2. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ορθή γωνία και μια διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία του.

3. Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ορθή γωνία και έχει κάθετες διαγωνίους. 4. Είναι παραλληλόγραμμο , έχει ίσες διαγωνίους και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. 5. Είναι παραλληλόγραμμο , έχει ίσες διαγωνίους και μια διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία

του. 6. Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του είναι ίσες και κάθετες.

Με λίγα λόγια για να αποδείξω ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο δείχνω ότι είναι παραλληλόγραμμο ,ορθογώνιο και ρόμβος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Παίρνουµε το µέσο ∆ της βάσης ΒΓ και

φέρουµε ηµιευθείες παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ που τις τέµνουν στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το ΑΕ∆Ζ είναι ρόµβος.

2. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 2ΒΓ και > 90° . Έστω Ε και Ζ τα µέσα των ΑΒ και ∆Γ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΕΒΓ είναι ρόµβος.

3. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και παίρνουµε σηµείο Ε της διαγωνίου Β∆ τέτοιο ώστε ΒΕ = ΒΓ. Να υπολογιστούν οι γωνίες του σχηµατιζόµενου τριγώνου ∆ΓΕ.

4. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και παίρνουµε τα µέσα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

5. ∆ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και παίρνουµε µία ακτίνα ΟΑ. Φέρουµε την µεσοκάθετο στην ακτίνα ΟΑ που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β και Γ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΒΑΓ είναι ρόµβος.

6. ∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Παίρνουµε τα µέσα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος.

Σ ε λ ί δ α | 69

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

7. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 2ΒΓ. Αν Ε είναι το µέσο της πλευράς Γ∆, να δείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα ΕΑ και ΕΒ διχοτοµούν τις γωνίες και αντίστοιχα και ότι η γωνία A B = 90° .

8. Δίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ > ΒΓ. Παίρνουµε το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ και φέρουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΜ το οποίο προεκτείνουµε. Στην προέκταση παίρνουµε ίσο µήκος ΜΕ = ΑΜ. Να δείξετε ότι τα Ε, Γ, ∆ είναι συνευθειακά.

9. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90° . Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τετράγωνα ΑΒ∆Ε και ΑΓΖΗ. Να δείξετε ότι τα σηµεία ∆, Α, Ζ είναι συνευθειακά.

10. ∆ίνεται δύο κύκλοι (Ο,ρ) , (Κ, ρ), οι οποίοι τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΒΟ είναι ρόµβος.

11. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ΑΓ = 2Β∆. Φέρουµε τις διαγώνιες που τέµνονται στο σηµείο Ε. Παίρνουµε τα µέσα Ζ, Η των ευθυγράµµων τµηµάτων ΕΑ και ΕΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ∆ΖΒΗ είναι ορθογώνιο.

12. ∆ίνεται ρόµβος ΑΒΓ∆ µε 2 . Να δείξετε ότι η περίµετρος του ρόµβου είναι τετραπλάσια της διαγωνίου ∆Β.

13. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και εξωτερικά του τετραγώνου κατασκευάζουµε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και Α∆Ζ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΓΕΖ είναι ισόπλευρο.

14. ∆ίνεται κύκλος (Ο,ρ) και ΑΒ, Γ∆ δύο κάθετες διάµετροι. Φέρουµε τις εφαπτοµένες στα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ οι οποίες τέµνονται ανά δύο στα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ. Να δείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

Σ ε λ ί δ α | 70

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

15. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουµε ισόπλευρο τρίγωνο Γ∆Ε. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του.

16. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ κατά τµήµα ΑΕ και την πλευρά ΓΒ κατά τµήµα ΒΖ έτσι ώστε ΑΕ = ΒΖ.

Να δείξετε ότι:

i. AZ = ∆E

ii. AZ ∆E.

17. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ κατά ίσο τµήµα ΒΕ = ΑΒ,την πλευρά ΒΓ κατά ίσο τµήµα ΓΖ = ΒΓ,την πλευρά Γ∆ κατά ίσο τµήµα ∆Η = Γ∆

και την πλευρά ∆Α κατά ίσο τµήµα ΑΘ = ∆Α.Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

18. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ και στο εξωτερικό του τριγώνου ισόπλευρο τρίγωνο ΖΒΓ. Να δείξετε ότι τα σηµεία ∆, Ζ, Ε είναι συνευθειακά.

19. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και εξωτερικά του τετραγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, Γ∆Η και ∆ΑΘ.

Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

Σ ε λ ί δ α | 71

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΤΩΝΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝΣΤΑΤΡΙΓΩΝΑΘΕΩΡΗΜΑ 1:

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ,Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΔΕ κατά ίσο τμήμα ΔΖ=ΔΕ. Τότε το ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο εφόσον οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ//=ΓΖ . Άρα ΒΔ//=ΓΖ οπότε το ΒΓΖΔ είναι επίσης παραλληλόγραμμο εφόσον έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες. Άρα ΔΖ//=ΒΓ 2ΔΕ//=ΒΓ

ΔΕ//= .

ΘΕΩΡΗΜΑ 2:

Αν από το μέσο πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια πλευρά του , τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του τριγώνου.

Απόδειξη:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ το μέσο της ΑΒ. Από το Δ φέρνουμε την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αρκεί

να δείξουμε ότι το Ε είναι μέσο της ΑΓ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω Ζ το μέσο της ΑΓ. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΖ εφόσον ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών του τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τρίγωνου. Δηλαδή ΔΖ//ΒΓ. Άτοπο! Αφού από το σημείο Δ μπορώ να φέρω μόνο μια παράλληλη προς την ΒΓ και έχω φέρει την ΔΕ. Άρα Ε μέσο της ΑΓ.

ΘΕΩΡΗΜΑ 3:

Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία που τις τέμνει τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

Απόδειξη:

Έστω // // οι οποίες τέμνουν την στα σημεία Α,Β,Γ και ορίζουν σ’ αυτή ίσα τμήματα ΑΒ=ΒΓ. Αν μια άλλη ευθεία τέμνει τις , , στα σημεία Δ,Ε,Ζ θα αποδείξουμε ότι ΔΕ=ΕΖ

Σ ε λ ί δ α | 72

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

. φέρνουμε ΑΘ//ΔΖ οπότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΗΕΖΘ είναι παραλληλόγραμμα . Άρα ΑΗ=ΔΕ και ΗΘ=ΕΖ. Στο τρίγωνο ΑΓΘ το Β είναι μέσο και ΒΗ//ΓΘ άρα Η μέσο της ΑΘ οπότε ΑΗ= ΗΘ δηλαδή ΔΕ=ΕΖ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

Τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου (κυρτού και μη κυρτού) είναι κορυφές παραλληλογράμμου.(σχ 1)

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες

ευθείες είναι μια ευθεία παράλληλη τους που διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν άκρα στις δύο παράλληλες. Η παραπάνω ευθεία λέγεται μεσοπαράλληλος των δύο ευθειών.(σχ 2)

Σ ε λ ί δ α | 73

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΤΟΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟΤΟΥΤΡΙΓΩΝΟΥΟι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε

κορυφή είναι τα 2

3του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. Το σημείο G, στο οποίο τέμνονται

οι διάμεσοι του ΑΒΓ, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου.

Δηλαδή: , ,

TOOΡΘΟΚΕΝΤΡΟΤΟΥΤΡΙΓΩΝΟΥΤο σημείο Η, στο οποίο τέμνονται οι φορείς των υψών του ΑΒΓ, λέγεται ορθόκεντρο του

τριγώνου

ΠΟΡΙΣΜΑ:

Οι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρο του , αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα , δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία.

Σ ε λ ί δ α | 74

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, το ορθόκεντρο βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου. Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το ορθόκεντρο βρίσκεται στην κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ αν το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο, το ορθόκε- ντρο βρίσκεται στο εξωτερικό του τριγώνου.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΡΙΓΩΝΟΘΕΩΡΗΜΑ 1

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που βαίνει στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας.

Απόδειξη:

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ° και Μ το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ του ΑΒΓ και τη διάμεσο ΜΔ του τριγώνου ΑΜΒ. Το ΜΔ ενώνει τα μέσα Μ,Δ των

πλευρών ΒΓ και ΑΒ. Άρα ΜΔ//= . Οπότε ΜΔ ΑΒ αφού ΑΓ

ΑΒ. Δηλαδή στο τρίγωνο ΑΜΒ διάμεσος ΜΔ είναι και ύψος. Άρα

το ΑΜΒ είναι ισοσκελές οπότε ΑΜ=ΜΒ= .

ΘΕΩΡΗΜΑ 2 (Αντίστροφο Θ.1)

Αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί ,τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη πλευρά αυτή.

Απόδειξη:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο του την ΑΜ και ΑΜ= .Θα δείξουμε ότι

°.Αφού ΑΜ=ΜΒ ΑΜΒ ισοσκελές = . Αντίστοιχα ΑΜ=ΜΓ ΑΜΓ ισοσκελές = . Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε : + = + = + .Όμως + + =180°

=180° =90°.

Σ ε λ ί δ α | 75

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30° τότε η απέναντι πλευρά από τη γωνία αυτή ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντιστρόφως.

Απόδειξη:

Ευθύ: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ° και ° .Τότε °.Φέρνουμε τη

διάμεσο ΑΜ με ΑΜ=ΜΒ=ΜΓ= .Άρα το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ισόπλευρο. Οπότε ΑΒ= ΑΜ=ΜΒ

= .

Αντίστροφο: Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ° ισχύει ότι ΑΒ = τότε φέρνοντας τη

διάμεσο του ΑΜ θα ισχύει ότι ΑΒ= ΑΜ=ΜΒ .Δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ισόπλευρο οπότε °. Άρα και ° 30°.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Παίρνουµε Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ και ∆Α αντίστοιχα.Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος.

2. ∆ίνεται ρόµβος ΑΒΓ∆. Παίρνουµε Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ και ∆Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο.

3. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Παίρνουµε Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ και ∆Α αντίστοιχα.Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

4. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Παίρνουµε τα µέσα ∆, Ε, Ζ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Α∆ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Σ ε λ ί δ α | 76

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

5. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Παίρνουµε τα µέσα ∆, Ε, Ζ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα ∆Ε, ΕΖ, ∆Ζ χωρίζουν το αρχικό τρίγωνο σε τέσσερα ίσα τρίγωνα.

6. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Παίρνουµε τα µέσα ∆, Ε, Ζ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Φέρουµε το ευθύγραµµο τµήµα Ζ∆ και τη διάµεσο ΕΑ.

Να δείξετε ότι τα ευθύγραµµα αυτά τµήµατα διχοτοµούνται.

7. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ στο οποίο οι διαγώνιοι ΑΓ και Β∆ τέµνονται κάθετα. Παίρνουµε τα µέσα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆ και ∆Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο.

8. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε = 60° . Φέρουµε τη διχοτόµο της γωνίας η οποία τέµνει την Α∆ στο σηµείο Ε. Παίρνουµε το σηµείο Ζ µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΕΓ. Να δείξετε ότι:

i. η ∆Ζ είναι διχοτόµος της γωνίας ∆.

ii.∆Ζ = .

9. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Παίρνουµε σηµεία ∆, Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Α∆ = ΑΒ/4 και ΑΕ = ΑΓ/4 . Να δείξετε ότι ∆Ε = ΒΓ /4.

10. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Παίρνουµε σηµείο ∆ της πλευράς ΒΓ και τα µέσα Ε, Ζ των ευθύγραµµων τµηµάτων Β∆ και ∆Γ αντίστοιχα. Από το σηµείο ∆ φέρουµε κάθετες στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ που τις τέµνουν στα σηµεία Η, Θ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

i. ΕΗ + ΖΘ = .

ii. Αν Ι µέσο του Α∆ τότε ΗΙ + ΙΘ = Α∆ .

11. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Παίρνουµε το µέσο Ε της πλευράς Γ∆ και φέρουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΕ και ΒΕ. Παίρνουµε τα σηµεία Ζ και Η µέσα των ΑΕ και ΒΕ

Σ ε λ ί δ α | 77

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

αντίστοιχα. Φέρουµε την ΖΗ και προεκτείνουµε προς τις δύο πλευρές. Η ΖΗ τέµνει τις Α∆ και ΒΓ στα σηµεία Θ και Ι αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι ΘΖ = ΗΙ = .

12. ∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ > Α∆. Φέρουµε τις διαγώνιους του ΑΓ και Β∆ που σχηµατίζουν γωνία 60° και τέµνονται στο κέντρο Ο του τετραπλεύρου. Από το σηµείο ∆ φέρουµε κάθετη προς την ΑΓ που την τέµνει στο σηµείο Ε. Να δείξετε ότι:

i. Ε το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΟΑ.

ii. ΑΕ = .

13. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Φέρουµε τη διαγώνιο Β∆ και παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε. Φέρουµε από το Ε κάθετη στην ΑΒ που την τέµνει στο Ζ. Από το σηµείο Β φέρουµε κάθετη στην ΑΕ που την τέµνει στο σηµείο Η και από το Α κάθετη στην ΕΒ που την τέµνει στο σηµείο Θ.Να δείξετε ότι οι ΕΖ, ΒΗ, ΑΘ συντρέχουν.

14. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε = = 90° . Προεκτείνουµε τις πλευρές ΒΑ και Γ∆ που τέµνονται στο σηµείο Ε. Επίσης προεκτείνουµε τις πλευρές Α∆ και ΒΓ που τέµνονται στο σηµείο Ζ. Να δείξετε ότι ΕΖ Β∆ .

15. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τετράγωνα ΑΒ∆Ε και ΑΓΖΗ. Να δείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα Γ∆ και ΒΖ τέµνονται σε σηµείο του ύψους ΑΘ .

16. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και παίρνουµε σηµεία ∆, Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ∆Ε // ΒΓ και 2∆Ε = ΒΓ . Να δείξετε ότι τα σηµεία ∆, Ε είναι µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

17. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 90° , = 30° . Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓ∆. Προεκτείνουµε τις ΓΑ και ∆Β οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Ε. Να δείξετε ότι

Σ ε λ ί δ α | 78

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

i. ΑΒ // Γ∆ ii. το Α µέσο του ΓΕ και το Β µέσο του ∆Ε.

18. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε > . Φέρουµε τις διαµέσους Α∆ και ΒΕ που τέµνονται στο σηµείο Ζ. Φέρουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΖΓ και παίρνουµε το µέσο του Η. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΗ και Α∆ τέµνονται στο σηµείο Θ. Να δείξετε ότι:

i. ΖΘ = Α∆. ii. το τετράπλευρο ΖΕΗ∆ είναι παραλληλόγραµµο.

ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΟΡΙΣΜΟΣ

Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δυο πλευρές παράλληλες.

Οι παράλληλες πλευρές του τραπεζίου λέγονται ΒΑΣΕΙΣ του.Η απόσταση των παράλληλων πλευρών του λέγεται ΥΨΟΣ του τραπεζίου.ΔΙΑΜΕΣΟΣ του τραπεζίου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1

Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Απόδειξη:

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ και ΒΔ η μια διαγώνιος του.Απο το μέσο Μ της ΑΔ φέρνω ΜΝ//ΑΒ//ΔΓ που τέμνει την ΒΔ στο Κ. Τότε στο τρίγωνο ΑΒΔ: Μ μέσο ΑΔ και

ΜΚ //ΑΒ Κ μέσο ΒΔ και ΜΚ = (1) .Επίσης στο

τρίγωνο ΒΔΓ: Κ μέσο ΒΔ και ΚΝ //ΔΓ Ν μέσο ΒΓ

και ΚΝ = (2). Άρα προφανώς η διάμεσος ΜΝ είναι

παράλληλη στις βάσεις ΑΒ , ΓΔ από κατασκευή και προσθέτοντας τις (1) +(2) κατά μέλη :ΜΚ

+ΚΝ = + ΜΝ = .

Σ ε λ ί δ α | 79

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΠΟΡΙΣΜΑ

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου βρίσκεται πάνω στη διάμεσο του τραπεζίου και ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεών του.

Απόδειξη:

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ και ΒΔ,ΑΓ διαγώνιοι του.Αν ΜΝ διάμεσος του , τότε Κ μέσο ΒΔ και Λ μέσο ΑΓ και ΜΚ

= (Θ 1). Αρα ΚΛ τμήμα της διαμέσου. Στο τρίγωνο

ΑΔΓ Μ μέσο ΑΔ ,Λ μέσο ΑΓ ΜΛ= .Αφαιρώντας

κατά μέλη έχουμε ότι :ΜΛ – ΜΚ =

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣΤΡΑΠΕΖΙΟΟΡΙΣΜΟΣ

Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου η μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ - ΚΡΙΤΗΡΙΑ

1. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι μεταξύ τους ίσες. 2. Οι διαγώνιοι του είναι μεταξύ τους ίσες.

Σ ε λ ί δ α | 80

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΟΙΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΟΙΚΥΚΛΟΙΕΝΟΣΤΡΙΓΩΝΟΥ

Σ ε λ ί δ α | 81

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Στο τρίγωνο ΑΒΓ:

(Ι,ρ) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος

(Ο,R) είναι o περιγεγραμμένος κύκλος

Η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας Α και οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ

διέρχονται από το ίδιο σημείο Ια .

Το σημείο Ια λέγεται παράκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο κύκλου που

εφάπτεται στην πλευρά ΒΓ και στις προεκτάσεις των άλλων δύο πλευρών του.

Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος με ακτίνα ρα .(ΥΠΑΡΧΟΥΝ 3).

Παρατηρήσεις

Για να δείξουµε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, αρκεί να δείξουµε ότι είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράµµου.

Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο, αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει µία από τις παρακάτω προτάσεις.

α. έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες

β. έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες

γ. έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες

δ. έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες

ε. οι διαγώνιοι διχοτοµούνται

Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει µία από τις παρακάτω προτάσεις.

α. είναι παραλληλόγραµµο και έχει µία γωνία ορθή

β. έχει όλες τις γωνίες του ορθές

γ. είναι παραλληλόγραµµο και έχει ίσες διαγωνίους

Σ ε λ ί δ α | 82

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόµβος αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει µία από τις παρακάτω προτάσεις.

α. έχει όλες τις πλευρές του ίσες

β. είναι παραλληλόγραµµο και έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες

γ. είναι παραλληλόγραµµο και οι διαγώνιοί του είναι κάθετες

δ. είναι παραλληλόγραµµο και µία διαγώνιος διχοτοµεί µία γωνία του

Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο αρκεί να δείξουµε ότι είναι ορθογώνιο και ρόµβος.

Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι τραπέζιο αρκεί να δείξουµε ότι έχει δύο (απέναντι) πλευρές παράλληλες. Σύµφωνα µε τον ορισµό, πρέπει να δείξουµε ότι και οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες πράγµα που αν δεν είναι προφανές όπως στις περισσότερες περιπτώσεις θα χρειάζεται απόδειξη.

Για να δείξουµε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει µία από τις παρακάτω προτάσεις.

α. οι διαγώνιοί του είναι ίσες

β. έχει τις µη παράλληλες πλευρές ίσες

γ. οι προσκείµενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

δ. οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωµατικές

ε. Η ευθεία που ενώνει τα µέσα των δύο βάσεων του τραπεζίου είναι κάθετη σε αυτές.

Για να δείξουµε ότι ένα τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο αρκεί να δείξουµε αρχικά ότι είναι τραπέζιο και έπειτα ενα κριτήριο για το ισοσκελές.

Σ ε λ ί δ α | 83

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ //Γ∆ και ΑΒ = 2Γ∆. Προεκτείνουµε τις µη παράλληλες πλευρές ΒΓ και Α∆ που τέµνονται στο σηµείο Ε. Να δείξετε ότι τα σηµεία Γ , ∆ είναι µέσα των πλευρών ΕΒ και ΕΑ αντίστοιχα.

2. ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ // Γ∆ και Α∆ = ΑΒ = ΒΓ και Γ∆ = 2ΑΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.

3. ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 3Γ∆. Φέρουµε τις διαγωνίους ΑΓ και Β∆ και παίρνουµε τα µέσα Ε, Ζ των διαγωνίων του. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Γ∆ΕΖ είναι ορθογώνιο.

4. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ // Γ∆ και ΑΒ > Γ∆. Φέρουµε τις διχοτόµους των γωνιών Α και Β που τέµνονται σε σηµείο Ε της πλευράς Γ∆. Να δείξετε ότι Γ∆ = Α∆ + ΒΓ .

5. ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο µε ΑΒ > Γ∆. Επίσης Α∆ = ΒΓ = Γ∆ και ΑΓ = ΑΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.

6. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ // Γ∆. Φέρουµε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ του τραπεζίου και παίρνουµε τα µέσα Η και Θ των µη παράλληλων πλευρών Α∆ και ΒΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΘΗΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

7. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ οξυγώνιο µε > . Φέρουµε το ύψος Α∆ και το προεκτείνουµε κατά ίσο τµήµα ∆Ε = Α∆. Επίσης φέρουµε τη διάµεσο ΑΖ και προεκτείνουµε κατά ίσο τµήµα ΖΗ = ΑΖ.Να δείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ∆ΕΗΖ είναι τραπέζιο. ii. το τετράπλευρο ΒΓΗΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

8. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ > Γ∆ και ΑΒ // Γ∆. Να δείξετε ότι ΑΒ − Γ∆ < Α∆ + ΒΓ .

Σ ε λ ί δ α | 84

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

9. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ // Γ∆ και ΑΒ > Γ∆. Φέρουµε από τις κορυφές Α και Β παράλληλες προς τις ΒΓ και Α∆ αντίστοιχα που τέµνουν την ∆Γ στις προεκτάσεις της στα σηµεία Ε και Ζ. Να δείξετε ότι = και = .

10. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ // Γ∆ και Γ∆ = 2ΑΒ. Προεκτείνουµε τις µη παράλληλες πλευρές ∆Α και ΓΒ που τέµνονται στο σηµείο Ε. Παίρνουµε τα µέσα Ζ, Η, Θ, Ι των ΑΓ, Β∆, ΕΑ, ΕΒ ευθύγραµµων τµηµάτων αντίστοιχα.Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΗΘΙ είναι παραλληλόγραµµο.

11. ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ // Γ∆. Φέρουµε τις διαγωνίους ΑΓ και Β∆ και παίρνουµε τα µέσα Ε, Ζ, Η, Θ των ΑΒ, ΑΓ, ∆Γ, Β∆ τµηµάτων αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος.

12. ∆ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και φέρουµε τη διάµεσο Α∆. Φέρουµε µία ευθεία ε από την κορυφή Α που τέµνει την ΒΓ σε σηµείο µεταξύ των Β και ∆. Φέρουµε ΒΕ ε , ΓΖ ε και ∆Η ε . Να δείξετε ότι ∆Η = (ΓΖ − ΒΕ)/2.

13. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και µία ευθεία ε. Από τις κορυφές Α, Β, Γ, ∆, φέρουµε κάθετες στην ευθεία ε, στα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ αντίστοιχα. Παίρνουµε τα σηµεία Ι, Κ, Λ, Μ µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α αντίστοιχα και φέρουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΙΛ και ΚΜ που τέµνονται στο σηµείο Ν. Από το σηµείο Ν φέρουµε κάθετη στην ευθεία ε στο σηµείο Ξ.Να δείξετε ότι ΑΕ + ΒΖ + ΓΗ + ∆Θ = 4ΝΞ .

14. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και µία ευθεία ε εξωτερική του τριγώνου. Παίρνουµε τα µέσα ∆, Ε, Ζ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Από τις κορυφές Α, Β, Γ και τα µέσα ∆, Ε, Ζ φέρουµε τις κάθετες στην ευθεία ε την οποία τέµνουν στα σηµεία Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ.Να δείξετε ότι ΑΗ + ΒΘ + ΓΙ = ∆Κ + ΕΛ + ΖΜ .

Σ ε λ ί δ α | 85

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Γενικέςασκήσειςκεφαλαίου

1.Το ΑΒΓΔ του σχήματος είναι

παραλληλόγραμμο με Ο σημείο τομής

των διαγωνίων του. Αν ΟΕ = ΟΖ,

αποδείξτε ότι:

α) ΔΕ = ΒΖ

β) το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.

2.Να αποδείξετε ότι:

α) τα μέσα των πλευρών ρόμβου είναι κορυφές ορθογωνίου.

β) τα μέσα των πλευρών τετραγώνου είναι κορυφές άλλου τετραγώνου

3.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και από τις απέναντι κορυφές του Α και Γ φέρνουμε

καθέτους ΑΕ και ΓΖ στη διαγώνιο ΒΔ.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΒΖ είναι ίσα.

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο.

4.Οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι ίσες. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα μέσα των πλευρών

του, αποδείξτε ότι το ΚΛΜΝ είναι ρόμβος.

5.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία Β = 45°. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε κάθετη

πάνω στη ΒΓ και έστω Ε και Ζ τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τις ΑΒ και ΔΓ (ή τις προεκτάσεις

τους) αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι το ΕΒΖΓ είναι τετράγωνο.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΖ ΑΒ καιΔΕ ΑΓ . Αν Η και Θ τα μέσα των ΒΔ και ΓΔ αντίστοιχα δείξτε ότι: 2(ΖΗ+ΕΘ)=ΒΓ

Α

Β Γ ∆

Z

E

Η Θ

Σ ε λ ί δ α | 86

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

7. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α=Γ=90ο . Αν Μ είναι το μέσο της ΒΔ και Ν το μέσο της ΑΓ να αποδείξετε ότι:

α)To τρίγωνο ΜΑΓ είναι ισοσκελές.

β) γ)

8.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 45° και 030 . Αν Δ είναι το μέσο της ΑΓ δείξτε ότι: 15°

9.Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, να αποδείξετε ότι γωνία ΔΜΕ είναι ορθή.

10. Στο διπλανό σχήμα είναιΑΔ ΒΓ , 20° , 40° και 0ΗΓΒ 30 .

α) Να αποδείξετε ότι ΓΗ ΑΒ .

β)Να υπολογίσετε τη γωνία x.

∆ A

Γ

B

Μ

Ν

300450

∆

ΒΓ

Α

ΑΓ

Β

Μ

∆ Ε

Σ ε λ ί δ α | 87

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

11. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ. Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ και τη ΔΓ στο σημείο Η, να αποδείξετε ότι:

α)Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι παραλληλόγραμμο.

β)ΔΗ=ΗΓ

γ) Η ΔΖ περνάει από το μέσο της ΒΓ.

12.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία Α διπλάσια της γωνίας Β. Η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την πλευρά ΓΔ στο Ε. Να αποδείξετε ότι τα μέσα Κ,Λ,Μ και Ν των τμημάτων ΑΒ,ΒΓ,ΓΕ και ΑΕ είναι κορυφές ρόμβου.

13.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=45ο, τα ύψη ΒΔ και ΓΕ που τέμνονται στο Η, το μέσο Μ του ΑΗ και το μέσο Ν του ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α)EN=ΔΝ β)ΕΜ=ΜΔ

γ)Τα τρίγωνα ΑΗΔ και ΒΔΓ είναι ίσα.

δ)Το τετράπλευρο ΔΜΕΝ είναι ρόμβος.

20

40 30

x

Α

Β Γ∆

H

A B

∆ Γ

Ε

Ζ

Η

12

Α Β

∆ ΓΕ

Ν

Κ

Λ

Μ

Σ ε λ ί δ α | 88

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

14.Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΖ από τα οποία το ένα βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο και το άλλο έξω απ’ αυτό. Αφού υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΔΕ, ΒΕΓ και ΒΕΖ, να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

15. Εξωτερικά τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ και ΔΑΘ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

16.Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος του ΑΔ και προεκτείνουμε την ΒΓ κατά τμήμα ΓΜ = ΒΓ. Αν Κ είναι το μέσο του ΑΜ και η ΔΚ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο σημείο Ε, να δείξετε :

α) το τετράπλευρο ΒΚΓΕ είναι παραλληλόγραμμο.

β) ΕΔ = AM

2. γ) το σημείο Γ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΚΕΜ.

∆

Ε

45

A Γ

B

Ν

Μ

Η

Σ ε λ ί δ α | 89

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

17.Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι απέναντι γωνίες του Β και Δ είναι παραπληρωματικές. Οι πλευρές του ΔΑ και ΓΒ τέμνονται στο σημείο Ε, ενώ οι ΑΒ και ΔΓ τέμνονται στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών Ε και Ζ με τις πλευρές του ΑΒΓΔ είναι κορυφές ρόμβου.

18.Αν Ε, Ζ, Η και Θ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα, τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και Κ, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ, να δείξετε ότι:

α) τα τετράπλευρα ΕΚΗΛ και ΖΚΘΛ είναι παραλληλόγραμμα.

β) οι ευθείες ΕΗ, ΖΘ και ΛΚ συντρέχουν.

Σ ε λ ί δ α | 90

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

19.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Η σημείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΗ = 4ΒΓ

. Αν Ε είναι το μέσο

της διαμέσου ΒΔ, αποδείξτε ότι ΗΕ = // 4

AB.

20.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε τις διαμέσους ΒΜ και ΓΝ και στις προεκτάσεις τους

παίρνουμε ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ = ΒΜ και ΝΕ = ΓΝ.

Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΔ = ΑΕ, β) τα σημεία Α, Δ, Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το συμμετρικό Ε του Α ως προς τη διαγώνιο ΒΔ. Να δειχθεί ότι το ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

22. Σε πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ είναι 120°.

Να αποδείξετε ότι: AB+BΓ=ΕΔ

23. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με 90°., ΑΒ > ΓΔ,

ΒΓ = 4ΓΔ και 60°.Φέρνουμε την ΓΗΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε , Ζ των πλευρών του ΑΔ , ΒΓ αντίστοιχως.Να δείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.

β) ΗΒ = ΕΖ.

A B

∆ Γ

Ε

Σ

120

120

120 120

Α Ε

Β

Γ ∆

Ζ

Σ ε λ ί δ α | 91

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

γ)Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.

24. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ κέντρου Ο φέρνουμε ΑΕ ΒΔ καιΒΖ ΑΓ . Να αποδείξετε ότι:

α)Το τρίγωνο ΟΕΖ είναι ισοσκελές.

β)Το τετράπλευρο ΓΔΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

25. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ // ΓΔ και ΑΒ = ΑΔ. Δείξτε ότι η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας

Δ.

26.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ και ΑΒ = 23

ΓΔ. Αν Ε, Ζ, Η είναι τα μέσα των ΓΔ, ΒΕ,

ΑΔ αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΗΖΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Αν Θ είναι το σημείο τομής της ΑΒ και της προέκτασης της ΓΖ, να αποδειχθεί ότι το ΘΒ ισούται με τη διαφορά των βάσεων του τραπεζίου.

27.Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ και ΑΒ < ΓΔ. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ της ΓΔ και το ενώνουμε με τα μέσα Ε και Ζ των ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως. Στις προεκτάσεις των ΜΖ και ΜΕ παίρνουμε αντιστοίχως ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ = ΖΜ και ΕΘ = ΕΜ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Θ, Α, Β, Η είναι συνευθειακά.

Α

∆ Γ

Β

Ο

Ε Ζ

Σ ε λ ί δ α | 92

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑΣΧΗΜΑΤΑΜία γωνία λέγεται επίκεντρη, όταν η κορυφή της είναι κέντρο ενός κύκλου και οι πλευρές τις ακτίνες του κύκλου.

Μία κυρτή γωνία λέγεται εγγεγραµµένη (σε ένα κύκλο (Ο, R)), όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου .

Οι πλευρές της επίκεντρης γωνίας τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία Β και Γ. Το τόξο ΒΓ που περιέχεται στην γωνία ονοµάζεται αντίστοιχο τόξο της. ∆ιαφορετικά λέµε τότε ότι η επίκεντρη γωνία βαίνει στο τόξο ΒΓ .

Οι πλευρές της εγγεγραµµένης γωνίας τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία Β και Γ. Το τόξο ΒΓ που περιέχεται στη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της. ∆ιαφορετικά λέµε τότε ότι η εγγεγραµµένη γωνία βαίνει στο τόξο .

Έστω η κυρτή γωνία της οποίας η κορυφή Α είναι σηµείο του κύκλου, η µία της πλευρά είναι χορδή και η άλλη εφαπτόµενη του κύκλου.

Τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτοµένης.

Σ ε λ ί δ α | 93

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΣΧΕΣΗΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗΣΚΑΙΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΠΙΚΕΝΤΡΗΣΓΩΝΙΑΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ:

Κάθε εγγεγραµµένη γωνία ισούται µε το µισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο.

ΠΑΡΑΤΗΡΉΣΕΙΣ

Το µέτρο µιας εγγεγραµµένης γωνίας ισούται µε το µισό του µέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή .

Οι εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα .

Τα τόξα που περιέχονται µεταξύ παράλληλων χορδών είναι ίσα.

Σ ε λ ί δ α | 94

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Παρατήρηση:

Το αντίστροφο του παραπάνω πορίσµατος ισχύει µόνο µε την επιπλέον απαίτηση οι χορδές ΑΒ και Γ∆ να µην έχουν κοινό σηµείο . Αν δεν ισχύει η απαίτηση αυτή, τότε δεν µπορούµε να συµπεράνουµε ότι οι χορδές είναι παράλληλες .

∆ύο εγγεγραµµένες γωνίες που καθεµία βαίνει στο τόξο που δέχεται την άλλη είναι παραπληρωµατικές:

Αν δύο χορδές τέµνονται σε σηµείο Α εσωτερικό του κύκλου , τότε η γωνία που ορίζουν ισούται µε το άθροισµα των εγγεγραµµένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που περιέχουν η γωνία και η κατακορυφήν της.

Σ ε λ ί δ α | 95

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Αν οι προεκτάσεις δύο χορδών τέµνονται σε σηµείο Α (εξωτερικό του κύκλου) , τότε η γωνία που ορίζουν ισούται µε τη διαφορά των εγγεγραµµένων γωνιών, που βαίνουν στα τόξα του κύκλου που περιέχει η γωνία.

ΓΩΝΙΑΧΟΡ∆ΗΣΚΑΙΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣΘΕΩΡΗΜΑ:

Η γωνία που σχηµατίζεται από µία χορδή κύκλου και την εφαπτόµενη στο άκρο της χορδής ισούται µε την εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής .

Η γωνία που σχηµατίζεται από µία χορδή κύκλου και την εφαπτόµενη στο άκρο της χορδής είναι ίση µε το µισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο τόξο της χορδής .

Η γωνία που σχηµατίζεται από µία χορδή κύκλου και την εφαπτοµένη στο άκρο της χορδής έχει µέτρο ίσο µε το µισό του µέτρου του αντίστοιχου τόξου της χορδής.

Σ ε λ ί δ α | 96

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

7. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και τα σηµεία του Α, Β, Γ ώστε τα τόξα ΑΒ και ΒΓ να είναι διαδοχικά και ΑΒ = 80° , ΒΓ = 100° . Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

8. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R), η διάµετρος Α∆ και το ύψος ΓΗ. Να δείξετε ότι ΓΗ // Β∆.

Σ ε λ ί δ α | 97

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

9. ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R) και η διχοτόµος του Α∆ που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Μ. Αν η παράλληλη από το Μ προς την ΑΒ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε, να δείξετε ότι τα τόξα ΑΕ και ΓΜ είναι ίσα.

10. Στις πλευρές Οx και Oy γωνίας xOy παίρνουµε σηµεία Α, Β αντίστοιχα. Φέρουµε τους κύκλους µε διαµέτρους τα τµήµατα ΟΑ και ΟΒ που τέµνονται στο Γ. Να δείξετε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

11. Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούµε δύο κάθετες χορδές ΑΒ και Γ∆ ώστε A ∆ = 35° και Β ∆ = 25° . Να υπολογίσετε τα µέτρα των τόξων Α∆, ∆Β,ΒΓ,ΓΑ, και στη συνέχεια τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΓΒ∆.

12. ∆ίνεται γωνίαΒΑΓ εγγεγραµµένη σε κύκλο (Ο, R) και η διχοτόµος της που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο ∆. Φέρουµε τη ∆Ε // ΑΒ. Να δείξετε ότι ∆Ε = ΑΓ.

13. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και τρία διαδοχικά σηµεία του Α, Β, Γ. Αν Μ είναι το µέσο του τόξου ΑΒ , Ν τυχαίο σηµείο του τόξου ΒΓ που δεν περιέχει το σηµείο Μ και η κάθετη από το Α προς τη ΜΝ τέµνει τη ΝΒ στο ∆, να δείξετε ότι Ν∆ = ΝΑ.

14. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Αν η διχοτόµος του Α∆ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε, να δείξετε ότι A∆Β = AΓ Ε .

15. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R) µε ΑΒ < ΑΓ. Η εξωτερική διχοτόµος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ τέµνει την προέκταση της ΒΓ στο ∆ και τον κύκλο (Ο, R) στο Ε. Να δείξετε ότι: Α Β > A Ε .

16. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και τα διαδοχικά τόξα ΑΒ = 100° , ΒΓ = 70° και Γ∆ = 50° . Να βρεθούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆, η γωνία των διαγωνίων του, καθώς και οι γωνίες που σχηµατίζουν προεκτεινόµενες οι απέναντι πλευρές του.

Σ ε λ ί δ α | 98

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

17. Από τα άκρα Α, Β διαµέτρου ΑΒ ενός κύκλου (Ο, R) φέρουµε προς το ίδιο µέρος της ΑΒ τις χορδές ΑΓ και Β∆ που τέµνονται στο σηµείο Μ ώστε A ∆ = 30° . Να δείξετε ότι Γ ∆ = 120° .

18. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο κάθετες χορδές του ΑΒ και Γ∆. Αν ΓΕ είναι διάµετρος, να δείξετε ότι Β∆ = ΑΕ.

19. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R), µία διάµετρός του ΑΒ και µία χορδή ΒΓ. Έστω ∆ τυχαίο σηµείο της διαµέτρου ΑΒ. Η κάθετος προς την ΑΒ στο σηµείο ∆ τέµνει την ευθεία ΒΓ στο Ε. Αν ο κύκλος διαµέτρου ΒΕ τέµνει τον (Ο, R) στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι:

α. Τα σηµεία Α, Ε, Ζ είναι συνευθειακά και β. ΑΕ ΒΖ .

20. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και µία χορδή του ΑΒ. Στα σηµεία Α, Β φέρουµε ευθείες κάθετες προς την ΑΒ που τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία ∆ και Γ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ορθογώνιο.

21. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και µία χορδή του ΑΒ. Έστω ε η εφαπτόµενη του κύκλου στο σηµείο Α. Στην ευθεία ε παίρνουµε σηµείο Γ ώστε ΑΓ = ΑΒ. Αν η ευθεία ΒΓ τέµνει τον κύκλο (Ο, R) στο σηµείο ∆, να δείξετε ότι ∆Γ = ∆Α.

22. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R), µία χορδή του ΑΒ και η εφαπτόµενη xx΄ του κύκλου στο σηµείο Α. Να δείξετε ότι η διχοτόµος της γωνίας xΑΒ διχοτοµεί το τόξοΑΒ και αντιστρόφως.

23. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και σηµείο Α στο εξωτερικό του. Αν η ηµιευθεία Αx εφάπτεται στον κύκλο στο σηµείο ∆, µία ευθεία ε που διέρχεται από το Α τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β και Γ (µε το Β µεταξύ των Α και Γ )και ∆Ε είναι µία χορδή του κύκλου παράλληλη προς την ΒΓ, να δείξετε ότι Β ∆ = ∆ Ε .

24. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ και Γ∆. Από το σηµείο ∆ φέρουµε χορδή ∆Ε παράλληλη προς τη ΒΓ. Αν ε είναι η εφαπτόµενη του κύκλου στο σηµείο Γ, να δείξετε ότι η ε είναι παράλληλη προς την ΑΕ.

Σ ε λ ί δ α | 99

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

25. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και µία χορδή του ΑΒ. Αν οι εφαπτόµενες του κύκλου στα άκρα της χορδής ΑΒ τέµνονται στο σηµείο Ρ και η διακεντρική ευθεία ΡΟ τέµνει το τόξο ΑΒ που βρίσκεται στο εσωτερικό τετραπλεύρου ΡΑΟΒ στο σηµείο Γ, να αποδείξετε ότι το Γ είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΡΑΒ.

26. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο κάθετες διάµετροι ΑΒ και Γ∆. Έστω Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου. Αν η εφαπτόµενη του κύκλου στο Μ και οι ευθείες ΜΑ, ΜΒ τέµνουν την Γ∆ στα σηµεία Η, Ε και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι ΕΗ = ΗΖ.

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑΚΑΙΕΓΓΡΑΨΙΜΑΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Ένα πολύγωνο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ που είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο(Ο, R) έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i. Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές.

Σ ε λ ί δ α | 100

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ii.Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

iii.Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραµµένου τετραπλεύρου ισούται µε την απέναντι εσωτερική γωνία του.

iv.Οι µεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγεγραµµένου τετραπλεύρου διέρχονται από το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου.

Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του.

προσοχή!

Σ ε λ ί δ α | 101

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

Αν γραφεί ο κύκλος αυτός, τότε το τετράπλευρο δεν είναι πλέον εγγράψιµο. Έχει γίνει εγγεγραµµένο

ΚΡΙΤΗΡΙΑΕΓΓΡΑΨΙΜΟΤΗΤΑΣΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝΈνα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιµο σε κύκλο, αν ισχύει µία από τις ακόλουθες προτάσεις:

i.∆ύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές.

ii.Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

iii. Μία εξωτερική του γωνία ισούται µε την απέναντι εσωτερική γωνία του τετρα- πλεύρου.

iv.Οι µεσοκάθετοι των πλευρών διέρχονται από το ίδιο σηµείο.

Παρατήρηση:

Αν οι µεσοκάθετοι τριών πλευρών ενός τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σηµείο, τότε από το σηµείο αυτό θα διέρχεται και η µεσοκάθετος της τέταρτης πλευράς και το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο µε κέντρο το σηµείο αυτό.

ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑΚΑΙΠΕΡΙΓΡΑΨΙΜΑΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Ένα τετράπλευρο του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο λέγεται περιγεγραµµένο στον κύκλο αυτό. Τότε ο κύκλος λέγεται εγγεγραµµένος στο τετράπλευρο αυτό.

(να γίνει σχήμα…)

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ που είναι περιγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R) έχει τις παρακάτω ιδιότητες(να γίνει σχήμα…):

i.Οι διχοτόµοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραµένου κύκλου.

Σ ε λ ί δ α | 102

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ii.Τα αθροίσµατα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Ένα τετράπλευρο λέγεται περιγράψιµο όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να εφάπτεται και στις τέσσερις πλευρές του.

προσοχή!

Αν γραφεί ο κύκλος αυτός, τότε το τετράπλευρο δεν είναι πλέον περιγράψιµο. Έχει γίνει περιγεγραµµένο.

ΚΡΙΤΗΡΙΑΠΕΡΙΓΡΑΨΙΜΟΤΗΤΑΣΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι περιγράψιµο σε κύκλο, όταν ισχύει µία από τις παρακάτω προτάσεις:

i.Οι διχοτόµοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σηµείο.

ii.Τα αθροίσµατα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Παρατήρηση:

Αν οι διχοτόµοι τριών γωνιών ενός τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σηµείο, τότε από το σηµείο αυτό θα διέρχεται υποχρεωτικά και η διχοτόµος της τέταρτης γωνίας. Αρκεί λοιπόν να δείχνουµε ότι οι διχοτόµοι τριών γωνιών του τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Το σηµείο αυτό είναι το κέντρο του εγγεγραµµένου στο τετράπλευρο κύκλου.

Όταν µας ζητείται να αποδείξουµε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιµο, τότε αποδεικνύουµε ένα από τα επόµενα:

α. ∆ύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές.

Σ ε λ ί δ α | 103

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

β. Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

γ. Μία γωνία του ισούται µε την απέναντι εξωτερική.

δ. Οι µεσοκάθετοι τριών πλευρών του συντρέχουν (διέρχονται από το ίδιο σηµείο).

Όταν µας ζητείται να αποδείξουµε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι περιγράψιµο, τότε αποδεικνύουµε ένα από τα επόµενα:

α. Οι διχοτόµοι τριών γωνιών του συντρέχουν (διέρχονται από το ίδιο σηµείο).

β. Τα αθροίσµατα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°)µε = 30 °. Φέρουµε το ύψος του Α∆ και την διάµεσο ΑΜ. Από την κορυφή Β φέρουµε κάθετο ΒΕ προς την ευθεία ΑΜ. Να δείξετε ότι:

α. Το τετράπλευρο ΑΒΕ∆ είναι εγγράψιµο,

β. ΒΕ = Ε∆ = ∆Α.

2. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σηµείο ∆ της πλευράς του ΒΓ. Γράφουµε τους κύκλους που διέρχονται από το ∆ και εφάπτονται στην πλευρά ΑΒ στο σηµείο Β και στην πλευρά ΑΓ στο Γ. Έστω Ε το δεύτερο κοινό σηµείο των δύο κύκλων. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι εγγράψιµο.

3. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο χορδές του ΑΒ και Γ∆ κάθετες µεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες του κύκλου στα Α, Β, Γ και ∆ σχηµατίζουν εγγράψιµο τετράπλευρο.

4. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγγεγραµµένος του κύκλος (Ο, R). Φέρουµε τα ύψη Α∆ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Να δείξετε ότι:

Σ ε λ ί δ α | 104

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

α. Η ευθεία ∆Ε είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Γ.

β. ΟΓ ∆Ε .

5. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Φέρουµε τις διχοτόµους των γωνιών Β και Γ του τριγώνου που τέµνουν τον κύκλο στα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα. Αν Ι είναι το έγκεντρο του τριγώνου, να δείξετε ότι η ευθεία ∆Ε είναι µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΙ.

6. ∆ίνεται τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Θεωρούµε σηµεία ∆ και Ε στα τόξα ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ώστε Α∆ = ΑΕ . Αν η χορδή ∆Ε τέµνει τιςπλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου στα σηµεία Ζ και Η αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΖΗΓ είναι εγγράψιµο.

7. Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και τυχαίο σηµείο του Γ. Με διαµέτρους τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και ΒΓ γράφουµε ηµικύκλια που βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΒ. Έστω ∆ σηµείο του ίδιου ηµιεπιπέδου εξωτερικό των δύο ηµικυκλίων. Αν τα ευθύγραµµα τµήµατα Α∆ και Β∆ τέµνουν τα ηµικύκλια διαµέτρων ΑΓ και ΒΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ∆ΕΓΖ είναι εγγράψιµο.

8. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α∆. Αν ο κύκλος διαµέτρου Α∆ τέµνει τους φορείς των πλευρών ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Β, Γ, Ε και Ζ είναι εγγράψιµο.

9. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( = 90° ) . Έστω ∆, Ε, Ζ τα σηµεία επαφής του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ µε τις πλευρές του ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα. Από το σηµείο Ε φέρνουµε την κάθετο ΕΜ προς την ∆Ζ .Να δείξετε ότι:

α. Το τετράπλευρο ΑΕΜΖ είναι εγγράψιµο.

β. Α Ε = 45° .

γ. Η ευθεία ΜΓ είναι µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος ∆Ε.

Σ ε λ ί δ α | 105

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

10. ∆ίνονται δύο κύκλοι (Ο, R), και (Κ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο Α. Έστω ε µία εφαπτόµενη του κύκλου (Κ, ρ) σε σηµείο του Β, ώστε η ε να είναι εξωτερική του κύκλου (Ο, R). Έστω επίσης ότι η ευθεία ΑΒ τέµνει τον κύκλο (Ο, R) στο σηµείο Γ. Να δείξετε ότι:

α. ΟΓ ε .

β. Αν ∆ είναι το αντιδιαµετρικό σηµείο του Γ στον κύκλο (Ο, R) και η ευθεία

∆ΟΓ τέµνει την ε στο σηµείο Ε, τότε τα σηµεία Α, Β, Ε και ∆ είναι οµοκυκλικά.

11. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R). Αν οι απέναντι πλευρές του ΑΒ και Γ∆ τέµνονται στο σηµείο Κ, οι ΒΓ και ∆Α τέµνονται στο σηµείο Λ και οι διχοτόµοι των γωνιών Κ και Λ τέµνουν τις πλευρές ΒΓ, ∆Α η πρώτη και ΑΒ, Γ∆ η δεύτερη στα σηµεία Ε, Ζ, Η και Θ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

α. Το τρίγωνο ΚΗΘ είναι ισοσκελές.

β. Το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Ε, Ζ, Η και Θ είναι ρόµβος.

γ. Οι διχοτόµοι των γωνιών Κ και Λ τέµνονται κάθετα.

12. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90° ) . Φέρουµε τη διχοτόµο του Α∆. Αν η κάθετη προς τη ΒΓ στο σηµείο ∆ τέµνει τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

α. Το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, ∆ και Ζ είναι εγγράψιµο.

β. Β∆ = ∆Ζ .

γ. ∆Ε = ∆Γ .

13. Να δείξετε ότι ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ // Γ∆ )είναι περιγράψιµο σε κύκλο,όταν το άθροισµα των µη παράλληλων πλευρών του Α∆ και ΒΓ ισούται µε το διπλάσιο της διαµέσου του ΕΖ.

Σ ε λ ί δ α | 106

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΕπαναληπτικάθέματαΕλληνικήΜαθηματικήΕταιρεία

ΘΕΜΑ 1

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΔΕ και έστω Ζ η τομή της ΔΕ με την ΑB. Ονομάζουμε Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΔΖ και Μ το μέσο της ΒΔ. 1. Να αποδείξετε ότι το ΒΕΖ είναι ισόπλευρο. 2. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΕΖΟ και ΟΔΓ είναι ίσα. 3. Να αποδείξετε ότι ΟΜ ΜΓ. ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην πλευρά ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε, στην πλευρά ΑΓ τα Ζ, Η και στην πλευρά ΑΒ τα Θ και Ι ώστε το εξάγωνο ΔΕΖΗΘΙ να έχει όλες τις πλευρές ίσες. Στο εσωτερικό του εξαγώνου σχηματίζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΔΕΡ . 1. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα ΡΔΙΘ και ΡΕΖΗ είναι ρόμβοι. 2. Να αποδείξετε ότι Δ Ζ + Ε Η = 240° και ότι Δ Θ = Δ Ζ. 3. Να αποδείξετε ότι ΘΔ = ΔΖ. ΘΕΜΑ 3 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και στις προεκτάσεις της ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε ώστε ΔΒ = ΒΓ = ΓΕ. Η ευθεία που είναι κάθετη στη ΔΕ στο Ε τέμνει την ευθεία ΔΑ στο Ζ. 1. Να αποδείξετε ότι ΑΓ ΔΖ. 2. Να αποδείξετε ότι ΑΖ = ΖΕ. 3. Να αποδείξετε ότι ΓΖ // ΑΒ και ΓΔ = ΓΖ. ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και στο ύψος του ΑΔ παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ. 1. Αν ΜΕ // ΑΒ το Ε στην ΑΓ να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΑΕ. 2.Αν η παράλληλη από το Μ στην ΑΓ τέμνει την παράλληλη από το Γ στην ΑΒ στο Ζ να δειχθεί ότι ΒΖ = ΒΕ. 3. Να αποδειχθεί ότι το ΒΕΖ τρίγωνο είναι ισόπλευρο. ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Η ευθεία του ύψους ΑΔ τέμνει την κάθετη στην ΑΒ στο Β, στο Ζ και ονομάζουμε Κ το μέσο του ΑΖ. 1. Να αποδείξετε ότι ΒΖ = ΑΖ . 2. Να αποδείξετε ότι ΓΚ = ΒΖ.

Σ ε λ ί δ α | 107

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

3. Να αποδείξετε ότι ΒΚ ΑΓ.

ΘΕΜΑ 6 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β. Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη τους ΓΔ που είναι πλησιέστερα στο Α , όπου Γ , Δ είναι τα σημεία επαφής στους κύκλους(C1) και (C2) αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΓΑ και ΔΑ τέμνουν τους κύκλους (C2) και (C1) στο Ε και Ζ αντίστοιχα , τότε: 1. Να αποδείξετε ότι ∆ 180° . 2. Να αποδείξετε ότι ΒΔ διχοτόμος της Γ Ε. 3. Να αποδείξετε ότι Γ Ε = Δ Ζ. ΘΕΜΑ 7 Δύο κύκλοι(C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β. Η εφαπτομένη του (C1) στο Α τέμνει τον (C2) στο Γ, η εφαπτομένη του (C2) στο Α τέμνει τον (C1) στο Δ και η ευθεία ΓΔ ξανατέμνει τον (C1) στο σημείο Ε εξωτερικό του ΓΔ. Η ΕΒ ξανατέμνει τον (C2) στο Ζ. 1. Να αποδείξετε ότι Α Ζ = Β Γ . 2. Να αποδείξετε ότι ΑΕΓΖ παραλληλόγραμμο. 3. Να αποδείξετε ότι η ΕΒ περνά από το μέσο της ΑΓ. ΘΕΜΑ 8 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β. Η εφαπτομένη του (C1) στο Α τέμνει τον (C2) στο Γ, η εφαπτομένη του (C2) στο Α τέμνει τον (C1)στο Δ. Αν οι προεκτάσεις των ΓΒ και ΔΒ τέμνουν τους κύκλους(C1) και (C2) στο Ε και Ζ αντίστοιχα , τότε: 1. Να αποδείξετε ότι Γ Ε = Δ Ζ. 2. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ. 3. Να αποδείξετε ότι ΓΕ = ΔΖ. ΘΕΜΑ 9 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β και έχουν κέντρα Κ, Λ αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ΑΚΛ τριγώνου τέμνει τους (C1), (C2) στα Γ, Δ αντίστοιχα. 1. Να αποδείξετε ότι Α Β = Α Λ. 2. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Γ, Β, Λ, όπως και τα Δ, Β, Κ είναι συνευθειακά. 3. Να αποδείξετε ότι η ΑΒ διχοτομεί την ΓΑΔ. ΘΕΜΑ 10 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β και το κέντρο του (C2) είναι εσωτερικό του (C1) και η ακτίνα του (C1) είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα του (C2). Στον (C1) παίρνουμε το σημείο Γ ώστε ΑΒ = ΑΓ. Η ΒΓ τέμνει τον (C2) στο Κ, η ΑΚ τέμνει τον (C1) στο Δ και η ΒΔ τέμνει τον (C2) στο Ε. 1. Να αποδειχθεί ότι η ΔΑ διχοτόμος της Β Γ. 2. Να αποδειχθεί ότι ΑΔ διχοτόμος της Γ Ε.

Σ ε λ ί δ α | 108

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

3. Να αποδειχθεί ότι ΓΕ ΑΔ. ΘΕΜΑ 11 Θεωρούμε σε τετράγωνο ΑΒΓΔ σημείο Ε της ΒΓ ώστε ΒΕ < ΕΓ.Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ στο Θ. Φέρνουμε την ευθεία (ε) κάθετη στην ΑΕ στο σημείο Θ. Η (ε) τέμνει την πλευρά ΓΔ στο Ζ. 1. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΘΖΔ είναι εγγράψιμο. 2. Να αποδειχθεί ότι ΑΘ = ΘΖ. 3.αν στη ΘΖ πάρουμε σημείο Κ ώστε ΘΚ = ΘΕ να αποδειχθεί ότι ΑΚ = ΖΕ και ΑΚ ΖΕ. ΘΕΜΑ 12 Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ τα σημεία Κ, Λ στην πλευρά ΓΔ και τα σημεία Μ, Ν στην ΒΓ ώστε ΔΚ = ΛΓ = ΓΜ = ΜΝ = ΑΒ. 1. Να αποδειχθεί ότι ΔΜ = ΑΚ και ΔΝ = ΑΛ. 2. Να αποδειχθεί ότι ΑΚ ΔΜ και ΑΛ ΔΝ. 3. Αν Ε το σημείο τομής των ΔΝ και ΑΚ και Ζ το σημείο τομής των ΔΜ και ΑΛ τότε να αποδειχθεί ότι ΕΖ // ΓΔ.

ΘΕΜΑ 13 Έστω ΑΒΓΔ τετράγωνο και Μ μέσο της πλευράς ΑΒ. Η ευθεία (ε) είναι κάθετη στη ΓΜ στο Μ και τέμνει την πλευρά ΑΔ στο Ε και την προέκταση της ΓΒ στο Ζ. 1.Να αποδειχθεί ότι ΜΕ = ΜΖ. 2. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΕΓΖ είναι ισοσκελές. 3. Αν ΖΘ ΕΓ (Θ στην ΕΓ) να αποδειχθεί ότι ΖΘ = ΑΒ. ΘΕΜΑ 14 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΕ = ΓΖ. 1. Να αποδειχθεί ότι ΑΖ = ΔΕ και ΑΕ = ΒΖ. 2. Να αποδειχθεί ότι ΑΖ ΔΕ και ΒΖ ΑΕ. 3. Αν Θ η τομή των ΔΕ και ΑΖ και Ι η τομή των ΑΕ και ΒΖ να αποδειχθεί ότι τα σημεία Γ, Ε, Ι, Θ και Ζ ανήκουν στον ίδιο κύκλο. ΘΕΜΑ 15 Θεωρούμε ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°) και κατασκευάζουμε εκτός αυτού τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΑΓΗΘ. Αν ΕΚ ΒΓ και ΗΛ ΒΓ, 1. Να αποδειχθεί ότι ΚΒ = ΓΛ. 2. Να αποδειχθεί ότι ΕΚ + ΗΛ = ΒΓ. 3. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Ε, Α, Η είναι συνευθειακά. 4. Αν Μ το μέσο του ΕΗ , να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Σ ε λ ί δ α | 109

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ 16 Θεωρούμε το τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ, ΑΒ < ΓΔ) έτσι ώστε οι ευθείες των μη παραλλήλων πλευρών του να τέμνονται κάθετα στο Ο. Αν τα Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα , 1. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Ο, Κ, Λ είναι συνευθειακά. 2. Να αποδειχθεί ότι ΚΛ = 3. Αν Η, Θ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα, τότε να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΚΗΛΘ είναι ορθογώνιο. . ΘΕΜΑ 17 Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ, σημείο Ε της ΒΔ και το συμμετρικό Γ' του Γ ως προς το Ε. Αν είναι Γ΄Ζ ΑΒ και Γ΄Η ΑΔ, 1.Να αποδειχθεί ότι ΑΓ'//ΒΔ 2.Να αποδειχθεί ότι ΖΗ//ΑΓ 3. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Ε, Ζ, Η είναι συνευθειακά. ΘΕΜΑ 18 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω Μ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου ΒΓ. 1. Να αποδειχθεί ότι αν Ν σημείο της ΑΜ ώστε ΒΜ = ΜΝ τότε το τρίγωνο ΒΜΝ είναι ισόπλευρο. 2. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΝ , ΒΜΓ είναι ίσα. 3. Να αποδειχθεί ότι ΑΜ = ΒΜ + ΜΓ.

ΘΕΜΑ 19 Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και από εσωτερικό σημείο Μ φέρνουμε παράλληλες στις πλευρές του τριγώνου. Υποθέτουμε ότι οι παράλληλες είναι ΔΕ // ΑΒ με Δ στη ΒΓ και Ε στην ΑΓ, ΖΗ // ΑΓ με Ζ στη ΒΓ και Η στην ΑΒ και ΙΘ // ΒΓ με Ι στην ΑΒ και Θ στην ΑΓ. 1. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΜΖΔ,ΜΘΕ και ΜΙΗ είναι ισόπλευρα. 2. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα ΜΔ + ΜΕ + ΜΗ είναι σταθερό.

ΘΕΜΑ 20 Έστω ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (C), όπως φαίνεται στο σχήμα. Παίρνουμε Μ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου ΑΒ. Από το Γ φέρνουμε κάθετη στην ΑΜ που τέμνει την ΑΜ στο Ε και τη ΒΜ στο Δ. 1. Να αποδειχθεί ότι 2ΜΕ = ΔΜ. 2. Να αποδειχθεί ότι ΜΔ = ΜΓ.

Σ ε λ ί δ α | 110

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ 21 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το Α φέρνουμε τυχαία ευθεία που τέμνει τον (C1), στο Γ και τον (C2) στο Δ. Ονομάζουμε Μ, Ν τα μέσα των τόξων , των (C1), (C2) που δεν περιέχουν το Α, και Κ το μέσο του ΓΔ. 1. Αν Ρ το συμμετρικό του Μ ως προς το Κ να αποδειχθεί ότι ΔΡ = ΜΒ. 2. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΜΒΝ και ΡΔΝ είναι ίσα. 3. Να αποδειχθεί ότι ΝΚ ΜΚ.

ΘΕΜΑ 22 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β και έχουν κέντρα Κ και Λ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η εφαπτομένη του (C2) στο Α τέμνει την ΚΒ στο Μ και η εφαπτομένη του (C1), στο Α τέμνει την ΒΛ στο Ν. 1. Να αποδειχθεί ότι Κ Μ = Λ Ν. 2.Να αποδειχθεί ότι Μ Ν + Μ Ν = 180ο. 3. Να αποδειχθεί ότι ΑΒ ΜΝ.

Σ ε λ ί δ α | 111

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ23 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι εφαπτόμενες των (C2), (C1) στο Α τέμνουν τους (C1), (C2) στα Γ, Δ αντίστοιχα. 1. Να αποδείξετε ότι Γ Δ = 2Γ Δ. 2. Αν Ο το περίκεντρο του ΑΓΔ τριγώνου να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΟΓΔ είναι εγγράψιμο. 3. Να αποδείξετε ότι ΟΒ ΑΒ.

ΘΕΜΑ 24 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και Μ τυχαίο σημείο της διαγωνίου ΒΔ. Από το Μ φέρνουμε ΕΖ // ΑΒ κα ΗΘ // ΒΓ, όπου Ε, Ζ σημεία στις ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα και Η, Θ στις ΑΒ και ΓΔ. 1. Να αποδείξετε ότι ΕΗ = ΘΖ. 2. Να αποδείξετε ότι ΜΓ ΕΗ. 3. Αν Κ, Λ τα κέντρα των ορθογωνίων ΑΗΜΕ και ΓΖΜΘ τότε να αποδείξετε ότι το μήκος ΚΛ είναι σταθερό. ΘΕΜΑ 25 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και παίρνουμε το σημείο Ε στην ΑΒ και το σημείο Η στην προέκταση της ΒΓ ώστε ΑΕ = ΓΗ. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ και ΑΓ τέμνονται στο Ρ και η κάθετος στην ΔΕ στο Ρ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ. 1. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ , ΔΓΗ είναι ίσα. 2. Να αποδείξετε ότι Ε Η = 90°. 3. Να αποδείξετε ότι ΔΖ διχοτόμος της Ε Η. 4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΕΖ, ΔΖΗ και να δείξετε ότι ΕΖ = ΑΕ + ΓΖ.

Σ ε λ ί δ α | 112

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ 26 Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ και παίρνουμε στην πλευρά ΑΒ το Μ στην πλευρά ΒΓ το Ν έτσι ώστε Μ Ν = 45°. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΜ και ΔΝ τέμνουν τη διαγώνιο ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. 1. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΓΔΕΝ είναι εγγράψιμο. 2. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΕΝ και ΔΜΖ είναι ορθογώνια και ισοσκελή. 3. Να αποδείξετε ότι Α Ζ = Μ Ζ. ΘΕΜΑ 27 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και από το Α φέρνουμε δύο ημιευθείες Αx και Αy στο εσωτερικό της . Φέρνουμε ΔΕ Αχ, ΒΘ Αχ και ΔΖ Ay, ΒΗ Ay. 1. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο. 2. Να αποδείξετε ότι Α Ζ = Β Η. 3. Να αποδείξετε ότι ΖΕ ΘΗ. ΘΕΜΑ 28 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ, στο εσωτερικό του οποίου παίρνουμε το σημείο Μ, (το Μ και το Α να μην είναι στο ίδιο μέρος σχετικά με την διαγώνιο ΒΔ), ώστε Μ Δ = 2Μ Β = 30°. Στην προέκταση της ΒΑ παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΒ = ΑΕ. 1. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΜΔΕ είναι εγγράψιμο. 2. Να αποδειχθεί ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τετράπλευρο ΒΜΔΕ είναι το Α. 3. Να αποδείξετε ότι ΔΜ = ΑΒ ΘΕΜΑ 29 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και το σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ. Η διχοτόμος της Ε Γ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ. Στη ΔΕ παίρνουμε το σημείο Η ώστε ΕΗ = ΑΕ και φέρνουμε την ευθεία ΑΗ που τέμνει τη ΓΔ στο Θ. 1. Να αποδειχθεί ότι ΔΗ = ΔΘ. 2. Να αποδείξετε ότι ΔΖ ΑΘ. 3. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΑΕ + ΓΖ. ΘΕΜΑ 30 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και στο εσωτερικό του παίρνουμε σημείο Ε ώστε: Ε Β = Ε Α = 15° 1. Να αποδειχθεί ότι ΔΕ = ΕΓ. 2. Εξωτερικά του τετραγώνου κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΖ. Να αποδειχθεί ότι ΖΒ = ΖΕ = ΖΑ. 3. Να αποδειχθεί ότι το ΓΕΔ είναι ισόπλευρο.

Σ ε λ ί δ α | 113

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ 31 Δύο κύκλοι (C1), (C2) έχουν κέντρα Κ, Λ αντίστοιχα και τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Η ευθεία ΚΑ τέμνει τον (C1) στο Δ και τον (C2) στο Ζ και η ευθεία ΑΛ τέμνει τον (C2) στο Γ και τον (C1) στο Ε. Η ευθεία ΕΖ ξανατέμνει τον (C1) στο Η και τον (C2) στο Θ. 1. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά. 2. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΔΕΖΓ είναι εγγράψιμο. 3. Να αποδειχθεί ότι ΒΗ ΑΔ και ΒΘ ΑΓ. ΘΕΜΑ 32 Δύο κύκλοι (C1), (C2) έχουν κέντρα Κ, Λ αντίστοιχα και τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Αν η ευθεία ΚΛ τέμνει τον (C1) στο Γ και οι ευθείες ΓΑ, ΓΒ τέμνουν τον (C2) στα Δ και Ε να αποδειχθεί ότι: 1. ΑΒ // ΕΔ. 2. Τα τόξα ΑΔ και ΒΕ είναι ίσα. ΘΕΜΑ 33 Δύο κύκλοι (C1), (C2) έχουν κέντρα Κ, Λ αντίστοιχα και τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Αν το Γ είναι ένα τυχαίο σημείο του (C1) που δεν ανήκει στο μικρό τόξο ΑΒ και οι ΓΑ, ΓΒ τέμνουν τον (C2) στα Ε και Δ αντίστοιχα να δείξετε ότι: 1. 2. ΓΚ ΔΕ. ΘΕΜΑ 34 Δύο κύκλοι (C1), (C2)τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Από το εξωτερικό τους σημείο Δ φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΔΓ του (C1).H ευθεία ΓΑ τέμνει τον (C2)στο Ε και η ΔΕ τέμνει τον (C2) στο Ζ ώστε το Ζ να είναι εσωτερικό του ΔΕ. 1.Να αποδειχθεί ότι Γ Ζ = Δ Ε + Δ Γ. 2. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος που περνά από τα Β, Γ, Ζ περνά και από το Δ. ΘΕΜΑ 35 Δύο κύκλοι (C1), (C2)τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Από το Β φέρνουμε ευθεία που τέμνει τον (C1) στο Γ και τον (C2)στο Δ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος (C3) του ΑΓΔ τριγώνου τέμνει την ΑΒ στο Ε και οι ευθείες ΕΓ, ΕΔ τέμνουν τους (C1), (C2) στα Ζ και H αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: 1. Ζ Γ = Δ Η. 2.τα Ζ, Β, Η είναι συνευθειακά. 3.το τετράπλευρο ΑΖΕΗ είναι εγγράψιμο.

Σ ε λ ί δ α | 114

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ 36 Δύο κύκλοι (C1), (C2) έχουν κέντρα Κ, Λ αντίστοιχα και τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Η ΚΒ τέμνει τον (C2) ξανά στο Γ και η ΛΒ ξανατέμνει τον (C1) στο Δ και η ΓΔ τέμνει τον (C1) στο Ζ και τον (C2) στο Ε. 1.Να αποδειχθεί ότι Β Δ = Β Γ. 2. Να αποδειχθεί ότι το ΓΔΚΛ είναι εγγράψιμο. 3. Να αποδειχθεί ότι ΒΖ = ΒΕ. ΘΕΜΑ 37 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β. Μία ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο (C1) στα Γ, Δ, τον (C2) στα Ε και Ζ και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο Θ. 1.Να αποδειχθεί ότι Ε Β = Ε Β . 2. Να αποδειχθεί ότι Γ Β = Γ Β. 3.Να αποδειχθεί ότι Γ Ε = Δ Ζ. ΘΕΜΑ 38 Δύο κύκλοι (C1), (C2) τέμνονται στα Α και Β, ώστε το μικρό τόξο ΑΒ του καθενός να είναι στο εσωτερικό του άλλου. Φέρνουμε τις διαμέτρους ΑΓ και ΑΔ των (C1), (C2) αντίστοιχα και η ΑΓ τέμνει τον (C2) στο Ε και η ΑΔ τέμνει τον(C1) στο Ζ. 1. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. 2.Να αποδειχθεί ότι ΑΒ, ΓΖ, ΔΕ συντρέχουν. 3. Να αποδειχθεί ότι το περίκεντρο του ΑΕΖ είναι σημείο της ΑΒ. ΘΕΜΑ 39 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Η διχοτόμος της Α Δ τέμνει την ΑΔ στο Κ. Από την κορυφή Β φέρνουμε κάθετη στη ΓΚ που τέμνει την ΑΓ στο Ε και την ΔΓ στο Ζ. 1. Να αποδειχθεί ότι ΓΕ = ΔΚ. 2. Αν Θ μέσο ΔΖ και Ο κέντρο του τετραγώνου να αποδειχθεί ότι ΓΘ = ΓΟ. 3. Να αποδειχθεί ότι ΔΖ = 2ΕΟ. ΘΕΜΑ 40 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε της πλευράς ΑΔ. Από τις κορυφές Α και Γ φέρνουμε ΑΖ ΒΕ και ΓΘ ΒΕ. 1. Να αποδειχθεί ότι ΒΖ = ΓΘ. 2. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΓΔΕΘ είναι εγγράψιμο. 3. Να αποδειχθεί ότι ΔΘ = ΓΖ. ΘΕΜΑ 41 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Φέρνουμε τις κάθετες ημιευθείες Ax και Δy που τέμνονται σε σημείο Ε που είναι εσωτερικό του τετραγώνου. Η Ax τέμνει την πλευρά ΓΔ στο Ζ και την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο Θ. Η Δy τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Η και την προέκταση της πλευράς ΑΒ στο Κ. 1. Να αποδειχθεί ότι ΑΖ = ΔΗ. 2. Να αποδειχθεί ότι ΒΚ = ΓΘ. 3. Να αποδειχθεί ότι ΑΗ ΚΘ.

Σ ε λ ί δ α | 115

Γεωμετρία Α΄Λυκείου Ζαρκαδούλας Δημήτριος

ΘΕΜΑ 42 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ. Με κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΒ γράφουμε το τεταρτοκύκλιο (C1) εντός του τετραγώνου. Με διάμετρο ΓΔ γράφουμε ημικύκλιο (C2) εντός του τετραγώνου και παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε του (C2). Η ΓΕ τέμνει το (C1) στο Ζ και η ΔΖ τέμνει το (C2) στο Θ. 1. Να αποδειχθεί ότι Θ μέσο του ΔΖ. 2. Να αποδειχθεί ότι 2Α Ζ = ∆ Ζ. 3. Αν ΖΚ Α∆ να αποδειχθεί ότι ΖΚ = ΖΕ. ΘΕΜΑ 43 Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΗ με Η εσωτερικό του τετραγώνου. 1. Αν η ΔΗ τέμνει την ΑΒ στο Θ να αποδειχθεί ότι το Η είναι μέσο του ΔΘ και Α Θ = 15°. 2. Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε Γ Ε = 30° να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΒΓΕ ,ΒΗΘ είναι ίσα. 3. Αν Ζ στην προέκταση της ΑΓ ώστε ΕΓ = ΓΖ να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΔΖ είναι ισόπλευρο. ΘΕΜΑ 44 Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΓΔΖ , (το Ζ εσωτερικό σημείο του τετραγώνου.)Επίσης κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΖΕ και ΖΕΗ . 1. Να αποδειχθεί ότι Ε Δ = Ε Α = 15°. 2. Να αποδειχθεί ότι ΔΕ ΕΗ. 3. Να αποδειχθεί ότι ΔΕ = ΓΗ. ΘΕΜΑ 45 Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ και παίρνουμε στην ΑΒ το σημείο Ε, στη ΒΓ το σημείο Ζ και στην προέκταση της ΒΓ το Η ώστε Ε Ζ = Ζ Η = 45°. 1.Να αποδειχθεί ότι Α Ε = Γ Η. 2. Να αποδειχθεί ότι ΔΕ = ΔΗ. 3.Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με κέντρο το Δ και ακτίνα ΑΔ εφάπτεται στην ΕΖ και ότι ΕΖ = ΑΕ + ΓΖ.